WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Вторая глава посвящена определению потенциала скорости движения безграничной идеальной несжимаемой однородной жидкости, вызванного продольным движением в ней пульсирующего вытянутого эллипсоида вращения в направлении большой оси со скоростью.

Для решения этой задачи принято линейное распределение гидродинамических особенностей вдоль фокальной оси эллипсоида вращения. С эллипсоидом вращения связали декартовую систему координат () и эллиптическую систему координат (), образующуюся тремя семействами координатных поверхностей, которые взаимно-ортогональны в каждой точке поверхности эллипсоида (рис. 1). Связь декартовых координат и эллиптических имеет вид:

где полярный радиус; полуфокальное расстояние у семейства софокусных эллипсоидов вращения и у семейства софокусных двуполостных гиперболоидов вращения эллиптической системы координат.

Наружная поверхность исследуемого пульсирующего тела представляет собой эллипсоид вращения, определяемый уравнением семейства софокусных эллипсоидов вращения (координатных поверхностей) эллиптической системы координат. Следовательно, полуфокальное расстояние одно и то же у эллиптической системы координат и у исследуемого эллипсоида вращения, т.е. каждая поверхность эллипсоида вращения совпадает с одной из координатных поверхностей своей системы координат.

Известно, что искомый потенциал скорости Ф есть решение уравнения Лапласа, которое в эллиптических координатах,, имеет вид:

,

(1)

где коэффициенты Ламе.

Рис. 1. Системы координат, связанные с эллипсоидом вращения,

движущимся в направлении его большой оси

После всех необходимых вычислений и преобразований, из уравнения (1) получаем уравнение сплошности:

(2)

Для решения уравнения (2) воспользуемся методом разделения переменных. Его общий вид решения в эллиптической системе координат:

,

(3)

где и некоторые постоянные;, и присоединенные функции Лежандра соответственно 1 и 2-го рода.

Теперь из общего решения уравнения сплошности (3) предстоит выделить те, которые соответствуют поставленной в данном исследовании задаче. Так как ось декартовой системы координат направлена в сторону поступательного движения эллипсоида вращения, искомый потенциал скорости не будет зависеть от эллиптической координаты (т.е. течение жидкости будет осесимметричное). Следовательно ( проекция скорости частицы жидкости на координатной линии ). Тогда, общее решение уравнения Лапласа (3) принимает вид:

.

(4)

Однако наше искомое решение должно удовлетворить все требования, предъявляемые к нему: 1) потенциал скорости функция однозначная, непрерывная, дважды дифференцируемая во всех точках области вне эллипсоида и на его поверхности ; 2) в области вне поверхности эллипсоида: ; 3) движение жидких частиц, описываемое потенциалом скорости, должно затухать на бесконечности, т.е. ; 4) граничное условие на поверхности эллипсоида (т.е. нормальная составляющая скорости жидкой частицы, прилегающей к поверхности эллипсоида вращения, должна равняться нормальной составляющей скорости точки его поверхности в том же месте ):

,

(5)

где – внешняя нормаль в точках поверхности эллипсоида.

Учитывая особенности присоединенных функций Лежандра, искомое решение из (4), которое удовлетворяет все вышесказанные требования, предъявляемые к потенциалу скорости за исключением граничного условия на поверхности эллипсоида (5), будет иметь вид:

.

Так как уравнение сплошности (2) и граничное условие (5) линейные, то представим потенциал скорости Ф в виде суммы двух потенциалов:

,

где потенциал скорости жидких частиц, вызванный только продольным движением в направлении большой оси эллипсоида вращения в безграничной жидкости;

потенциал скорости жидких частиц, вызванный только пульсационным движением в направлении большой оси.

Нормальная составляющая скорости точки поверхности эллипсоида вращения представлена в виде суммы двух скоростей (рис.2):

,

где нормальная составляющая скорости точки поверхности эллипсоида вращения, обусловленная только его поступательным движением;

нормальная составляющая скорости точки поверхности эллипсоида вращения, обусловленная только его пульсацией за счет изменения.

Рис. 2. Нормальные составляющие скорости точки

поверхности эллипсоида вращения

В результате удовлетворения граничного условия (5) для отдельных потенциалов найдены их выражения. В итоге искомый потенциал скорости будет иметь вид:

;

(6)

где коэффициенты; и функции Лежандра 1 и 2-го рода нулевой, первой и второй степени. Эти коэффициенты и функции определяются следующими выражениями:

; ;

;

(7)

; ; ; ;

;,

где скорость движения тела.

Достоверность найденного выражения потенциала скорости (6) доказана путем его удовлетворения уравнению сплошности (2).

Третья глава посвящена определению гидродинамических характеристик таких, как гидродинамическое давление жидкости, кинетическая энергия потока жидкости и его гидродинамическая реакция, действующая на исследуемое тело.

Гидродинамическое давление жидкости на поверхность тела определяется с помощью интеграла Коши-Лагранжа в подвижной системе координат, который справедлив для всех точек области потенциального движения жидкости:

;

(8)

где гидродинамическое давление жидкости на бесконечности, ; плотность жидкости; вектор переносной скорости подвижной декартовой системы координат относительно неподвижной системы координат.

После всех необходимых вычислений и преобразований, выражение давления по (8) имеет вид:

,

(9)

где производные определяются из выражений (7).

По выражению (9) можно рассчитать гидродинамическое давление жидкости на поверхность эллипсоида вращения, в котором вместо необходимо подставить уравнение его поверхности.

Выражение кинетической энергии потока жидкости имеет вид:

,

где плотность жидкости; элементарная координатная площадь поверхности эллипсоида вращения.

Для его вычисления выполним необходимые математические преобразования, при этом используем свойство ортогональности функций Лежандра. В итоге получим:

.

(10)

Проекция на оси гидродинамической реакции воздействия со стороны жидкости на тело, выраженная через кинетическую энергию, имеет вид:

.

Поскольку в выражении кинетической энергии потока жидкости (10) от зависит только коэффициент, имеем:

.

(11)

здесь объём эллипсоида вращения.

Введем обозначение:

,

и назовем его форм-функцией тела. Подставив обозначения и в выражение проекции гидродинамической реакции (11), получим:

,

где

и назовем форм-объемом эллипсоида вращения.

В настоящей главе также определена гидродинамическая реакция потока, осредненная за период. Если движение рассмотренного тела происходит по периодическим законам изменения скорости и форм-объема с одинаковыми периодами, тогда выражение будет тоже периодической функцией с тем же периодом. Реакция потока, осредненная за период, равна:

.

При поверхностном анализе полученный результат приводит к выводу, что получить в целом за период эффекты в смысле способствования или препятствования движению тела за счет изменения величины или формы его объема невозможно.

Тем не менее, попытка получения положительного гидродинамического эффекта в смысле способствования движению тела предпринималась неоднократно. Так, Ю.И. Фадеевым рассмотрено осесимметричное нестационарное движение деформируемого тела вращения в безграничной невязкой жидкости им было установлено, что осредненная гидродинамическая реакция за период колебания скорости равна нулю. Однако автор указывает, что в некоторых случаях эта гидродинамическая реакция может стать тягой, и, возможно, колебание скорости и изменения поверхности тела влияет на пограничный слой деформируемого тела.

Четвертая глава посвящена исследованию работы реакции потока жидкости за период и выявлению предполагаемого положительного гидродинамического эффекта для пульсирующего эллипсоида вращения при продольном движении в направлении большой оси в безграничной идеальной несжимаемой однородной жидкости.

При равномерном движении тел (со скоростью) с периодической пульсацией работа реакции потока за период равна:

.

(12)

При периодическом движении и пульсации тела с одинаковыми периодами работа реакции потока за период равна:

.

(13)

Преобразуя выражение (13) и учитывая выражение (12), получим выражение работы реакции потока :

.

(14)

Таким образом, работы реакции потока есть половина работы силы.

Выражение (14) является общей интегральной формулой определения работы реакции потока. В диссертационной работе приведена не только формула (14) для определения работы, но и другие формулы: формула по коэффициентам разложения скорости и форм-объема в ряд Фурье; формула по первым коэффициентам их разложения.

Пусть законы изменения и произвольные периодические. Предполагая и непрерывными и периодическими функциями с одинаковыми периодами, можно разложить их в тригонометрические ряды:

;

(15)

.

(16)

Здесь и средние значения за период соответственно форм-объема и скорости поступательного движения тела. В выражениях (15) и (16) отсчет времени может начинаться с разных моментов, что зафиксировано индексом в переменной времени у, при этом полагаем. За счет изменения параметра можно менять сдвиг фаз колебаний и этим самым выяснить влияние сдвига фаз на величину и знак работы реакции потока за период.

В соответствии с выражением работы реакции (14) отыщем разложения для,, через время. В результате математических преобразований получим:

,

(17)

где

(18)

Выражение (17) является формой для определения работы по коэффициентам разложения и, из которого мы можем получить формулу работы реакции потока через первые коэффициенты разложений и. Итак, для этого случая, из формулы (17), имеем:

.

(19)

Подставляя в (19) выражения и, полученные из (18), в результате преобразований выражение (19) примет вид:

(20)

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»