WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Использование предложенного формализма демонстрируется на простых примерах декомпозиции области на пересекающиеся подобласти.

Пункт 2.3 посвящен методу декомпозиции области на непересекающиеся подобласти.

Положим

На основе аддитивного метода Шварца строится переобуславливающий оператор, являющийся суммой двух переобуславливателей, который соответствует разбиению (декомпозиции) исходного конечно-элементного пространства в векторную сумму двух подпространств

.

Первое подпространство соответствует функциям, обращающимся в ноль на границе подобластей и являющимся прямой суммой локальных подпространств, состоящих из функций, обращающихся в ноль вне подобласти.

Первое слагаемое в переобуславливателе состоит из локальных переобуславливателей для внутренности подобластей.

.

Построение локальных переобуславливателей рассматривается в третьей главе. Второе подпространство является образом оператора продолжения сеточных функций с границ подобластей в их внутренность. Второе слагаемое в переобуславливателе состоит из явного оператора продолжения сеточных функций с сохранением нормы и оператора, определяющего норму на объединении границ подобластей

,

,

,

,

.

Переобуславливающий оператор определяется как

.

Приводятся оценки эквивалентности предложенного переобуславливающего оператора и оператора исходной задачи в зависимости от свойств локальных переобуславливателей, нормы оператора продолжения сеточных функций с границ подобластей в их внутренность, а также от констант эквивалентности оператора, определяющего норму на объединении границ подобластей и нормы в пространстве, которая порождается оператором исходной задачи.

В пункте 2.4 рассматривается построение явного оператора продолжения сеточных функций с границ области в её внутренность с сохранением нормы в классе конечно-элементных функций. В подпункте 2.4.1 предлагаются явные операторы продолжения интегрального типа, а в подпункте 2.4.2 явные операторы продолжения на иерархических сетках. В обоих случаях нормы предложенных операторов продолжения оцениваются константой, не зависящей от шага сетки, а арифметическая сложность реализации операторов продолжения пропорциональна числу степеней свободы области. Операторы продолжения интегрального типа могут применяться на произвольных неструктурированных сетка, однако их реализация логически сложнее, чем реализация на иерархических сетках.

Построению легко обратимого оператора, порождающего норму на объединении границ подобластей, которая эквивалентна норме в пространстве следов с константами, не зависящими от шага сетки, посвящен пункт 2.5. Данное построение основано на аддитивном методе Шварца. Для этого пространство сеточных функций на объединении границ подобластей (внутренних границах) разбивается на пересекающиеся подпространства, часть из которых соответствует окрестностям точек ветвления (точки, где пересекаются границы более двух подобластей), а остальные – криволинейным интервалам, соединяющим точки ветвления.

В пункте 2.6 рассматривается метод декомпозиции области на большое число непересекающихся подобластей. Предлагаемый переобуславливатель основан на аддитивном методе Шварца и имеет похожую структуру, что и переобуславливатель из пункта 2.3. Отличительной особенностью является введение дополнительного каркасного пространства на объединении границ подобластей. Константы спектральной эквивалентности предложенного переобуславливающего оператора и оператора исходной задачи не зависят ни от числа подобластей, ни от шага сетки, а арифметическая сложность реализации переобуславливателя пропорциональна числу степеней свободы исходной задачи.

Наконец, в пункте 2.7 второй главы рассматривается метод декомпозиции области на непересекающиеся подобласти для эллиптических краевых задач с разрывом коэффициентов на границах подобластей.

,

Рассмотрим декомпозицию на два подпространства

.

Здесь

Пусть :

Положим

.

Обозначим

и определим

,

,

,

.

Тогда

.

Рассмотрим

.

.

.

,

.

Для решения

рассмотрим итерационный процесс с Чебышевским набором параметров

Положим

Тогда

Положим

Теорема. :

Третья глава диссертации посвящена методу фиктивного пространства. Данный метод является развитием идеологии решения краевых задач, заложенной в методах фиктивных областей и фиктивных компонент. Основу метода фиктивного пространства составляет введение фиктивного более “богатого” гильбертова пространства, норма в котором определяется легко обратимым оператором, использование соответствующего оператора сужения из введённого гильбертово пространства в исходное. Используя этот метод, удаётся как “упростить” геометрию исходной области, так и “улучшить” структуру сетки.

В пункте 3.1 формулируется и доказывается лемма, которая является основой метода фиктивного пространства.

Лемма. Пусть, - гильбертовы пространства со скалярными произведениями, соответственно,, – самосопряженные положительно определенные непрерывные операторы в пространствах, :

Пусть - линейный оператор такой, что

для любого элемента. И пусть существует оператор такой, что

для любого элемента. Здесь, - положительные константы. Тогда

для любого элемента. Здесь - оператор, сопряженный к относительно скалярных произведений, :

В пункте 3.2 рассматривается применение леммы о фиктивном пространстве для построения переобуславливающих операторов для модельных эллиптических задач в - образных областях с краевыми условиями Дирихле и смешанными краевыми условиями.

Метод фиктивного пространства для построения переобуславливающего оператора для сеточных эллиптических краевых задач в кусочно-гладких областях рассматривается в пункте 3.3. Метод фиктивного пространства применяется следующим образом. Сначала упрощается геометрия исходной области, а затем улучшается структура сетки. Основные арифметические затраты при реализации переобуславливающего оператора заключается в использовании переобуславливающего оператора на равномерной сетке в прямоугольной области. Константы спектральной эквивалентности предложенного переобуславливающего оператора и сеточного эллиптического оператора со смешанными краевыми условиями не зависят от шага сетки.

В пункте 3.4 определяются переобуславливающие операторы на основе двух подходов: метода фиктивного пространства и многоуровневой декомпозиции на неструктурированных сетках. В отличие от пункта 3.3 последовательность применения метода фиктивного пространства меняется: на первом шаге улучшается структура сетки и осуществляется переход на фиктивную (вспомогательную) структурированную, но ещё не иерархическую, сетку, на втором шаге улучшается геометрия, то есть область заключается в фиктивную область простого вида (квадрат), в которой используется естественная иерархия сеток и соответствующих подпространств для построения многоуровневых переобуславливателей. Константы спектральной эквивалентности предложенного переобуславливающего оператора и исходного оператора задачи не зависят от шага сетки, а арифметическая сложность реализации переобуславливателя пропорциональна числу степеней свободы исходной задачи.

В четвертой главе предлагается построение переобуславливающих операторов для двух классов задач с особенностями: эллиптических краевых задач с разрывными коэффициентами в малых подобластях (на основе специального метода декомпозиции) и для анизотропных эллиптических краевых задач (с использованием эквивалентных нормировок в соответствующем пространстве следов сеточных функций).

В пункте 4.1 рассматриваются эллиптические краевые задачи в случае, когда в подобластях, диаметр которых характеризуется параметрами такими, что, а коэффициенты задачи в этих подобластях характеризуются параметрами такими, что. В подпункте 4.1.2 предлагается построение переобуславливателя на основе декомпозиции области на непересекающиеся подобласти. Результаты, полученные в данном подпункте, имеют как самостоятельное значение, так и существенно используются в следующем подпункте. Наибольший интерес представляют результаты, полученные в подпункте 4.1.3, где переобуславливающий оператор строится на основе декомпозиции области на пересекающиеся подобласти. Примечательно, что для задачи с разрывными коэффициентами строится переобуславливающий оператор, использующий переобуславливающие операторы только для операторов Лапласа (например, из третьей главы) и не использует операторы продолжения сеточных функций. Константы спектральной эквивалентности предложенного переобуславливающего оператора и оператора исходной задачи не зависят от параметров и шага сетки, а арифметическая сложность реализации переобуславливателя пропорциональна числу степеней свободы исходной задачи.

Пункт 4.2 посвящён методу декомпозиции области для эллиптических краевых задач с анизотропными кусочно-постоянными коэффициентами. Общая схема построения переобуславливателя основана на предлагаемом методе декомпозиции области для непересекающихся подобластей (пункт 2.3) и внутренних Чебышевских итераций (пункт 2.7). Принципиальным моментом в построении и исследовании переобуславливающего оператора является использование результатов, полученных в пункте 1.4. Константы спектральной эквивалентности предложенного переобуславливающего оператора и оператора исходной задачи не зависят от шага сетки и коэффициентов и исходного анизотропного эллиптического оператора. Арифметическая сложность реализации переобуславливателя пропорциональна

,

где, – шаг сетки.

В заключении сформулированы основные результаты, совокупность которых выносится на защиту:

1. Сеточные теоремы о следах конечно-элементных функций:

а) Сеточные теоремы о следах в пространстве Соболева, включая случай сгущающихся сеток.

б) Теорема о следах конечно-элементных функций для областей с малым диаметром.

в) Терема о следах конечно-элементных функций в случае весового пространства Соболева.

г) Терема о следах конечно-элементных функций для анизотропных (узких) областей.

д) Теорема о следах конечно-элементных функций в случае весового пространства Соболева.

2. Разработана теория Аддитивного метода Шварца в абстрактных гильбертовых пространствах (совместно с А.М. Мацокиным). На основе этого метода предложены и обоснованы:

а) Новые формулировки методов декомпозиции области для непересекающихся подобластей.

б) Метод явного продолжения сеточных функций на иерархических сетках с сохранением нормы с оптимальной арифметической сложностью.

в) Аддитивный метод Шварца на границах подобластей в пространстве Соболева.

г) Метод декомпозиции области для случая большого числа подобластей.

д) Построены оптимальные переобуславливающие операторы для эллиптических задач с разрывными коэффициентами диффузии.

3. Разработана теория метода фиктивного пространства в абстрактных гильбертовых пространствах, который является обобщением известного метода фиктивных областей. На основе этого метода предложены и обоснованы:

а) Переобуславливающие операторы для эллиптических задач с кусочно-гладкими границами.

б) Используя комбинацию Аддитивного метода Шварца и метода фиктивного пространства, предложен оптимальный многоуровневый переобуславливатель для решения эллиптических задач на неструктурированных сетках.

4. Предложен новый оптимальный метод декомпозиции для решения эллиптических задач с разрывными коэффициентами без использования явных операторов продолжения сеточных функций и с использованием только переобуславливателей для оператора Лапласа.

5. На основе предложенного метода декомпозиции области и сеточных теоремах о следах предложены эффективные переобуславливающие операторы для анизотропных эллиптических задач.

Благодарности. Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность своему учителю д.ф.-м.н. Александру Михайловичу Мацокину за постоянную научную поддержку при выполнении данной работы. Автор также признателен д.ф.-м.н. Юрию Алексеевичу Кузнецову за искреннее внимание и постоянное творческое взаимодействие, способствующие плодотворной работе над диссертацией.

Список основных публикаций

Список работ автора по теме диссертации, которые опубликованы в рецензируемых изданиях.

Статьи, опубликованные в журналах, рекомендуемых ВАК.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»