WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |

На правах рукописи  

Непомнящих Сергей Владимирович

Методы декомпозиции области

и фиктивного пространства

01.01.07 вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Новосибирск – 2008

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Агошков В.И.

доктор физико-математических наук,

профессор Лапин А.В.

доктор физико-математических наук,

доцент Чижонков Е.В.

Ведущая организация: Институт вычислительного моделирования СО РАН (ИВМ СО РАН).

Защита состоится 13 февраля 2009 года в 14:00 часов на заседании Диссертационного совета Д 002.045.01 в­­­­­­­­­­­­­­­­­ Институте вычислительной математики РАН по адресу: 119991, г. Москва, ГСП-1, ул. Губкина, 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН.

Автореферат разослан “___” ___________ 2008 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук Бочаров Г.А.

Настоящая диссертация посвящена исследованию и разработке итерационных методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений эллиптического типа второго порядка в областях сложной геометрической формы и их вариационно-разностных аналогов.

Актуальность темы. Многие задачи естествознания и в частности математической физики приводят к краевым задачам эллиптического и параболического типа для дифференциальных уравнений в частных производных. Во многих случаях краевые задачи можно заменить на равносильные вариационные или проекционные задачи в соответствующих гильбертовых пространствах. Для приближенного решения краевых, вариационных или проекционных задач обычно используются разностные и вариационно-разностные методы, приводящие к системам линейных алгебраических (сеточных) уравнений. Современные задачи науки и техники, стремление создать детальную картину исследуемых явлений предъявляют все более высокие требования к точности их моделирования, следствием чего являются усложнение методов построения и повышения размера систем сеточных уравнений.

Для решения систем сеточных уравнений высокого порядка обычные прямые методы, типа метода Гаусса, неприменимы даже для самых мощных ЭВМ. С другой стороны, стремительный прогресс в области вычислительной техники, создание мощных многопроцессорных вычислительных комплексов вызывает необходимость в разработке новых параллельных вычислительных алгоритмов, которые могли бы быть эффективно реализованы на этих многопроцессорных комплексах. Для эффективного решения систем разностных и вариационно-разностных уравнений целесообразно строить итерационные процессы, учитывающие специфику дискретных задач и использующие на каждом своем шаге быстрые прямые алгоритмы для решения вспомогательных задач, либо оптимальные многоуровневые переобуславливающие операторы на иерархических сетках.

Изложенные обстоятельства позволяют сделать вывод об актуальности проблемы построения и исследования итерационных методов параллельного типа решения краевых задач и их дискретных аналогов.

Цель работы состоит в разработке эффективных итерационных процессов решения систем сеточных уравнений, аппроксимирующих эллиптические краевые задачи, которые основаны на декомпозиции (разбиение) исходной задачи на конечное число подзадач и на упрощении этих подзадач с помощью введения вспомогательного (фиктивного) пространства.

Научная новизна и практическая ценность. Наиболее эффективные методы решения краевых задач в областях сложной геометрической формы, как правило, связаны с методами упрощения геометрии области. Для решения этой задачи строятся два класса итерационных процессов. В основе первого класса лежит идея метода альтернирования Шварца по подобластям (методы декомпозиции области). Второй является аналогом метода фиктивных областей. В диссертационной работе предложено развитие идей этих подходов: аддитивный метод Шварца и метод фиктивного пространства.

  1. На основе разработанной теории аддитивного метода Шварца предложены эффективные алгоритмы решения эллиптических краевых задач второго порядка, являющимися оптимальными как по скорости сходимости, так и по порядку числа арифметических действий. Рассматривается случай разбиения исходной области на большое число подобластей, а также задачи с сильно меняющимися разрывными коэффициентами. Метод декомпозиции области применяется также для построения эффективных переобуславливатеющих операторов в пространстве следов сеточных функций. Разработанные методы могут быть эффективно реализованы на многопроцессорных вычислительных комплексах.
  2. Разработана теория метода фиктивного пространства для построения переобуславливающих операторов. Данная теория применяется для решения конечно-элементных аппроксимаций эллиптических краевых задач второго порядка на неструктурированных сетках. Предложенные алгоритмы являются оптимальными и могут быть легко реализованы на практике.
  3. Доказаны сеточные теоремы о следах в пространствах Соболева. Рассматриваются как случай классических пространств Соболева с липшицевыми границами, так и случаи пространств Соболева, зависящих от параметров, в том числе и случаи весовых пространств Соболева, включая сингулярные весовые функции, пространства с анизотропными коэффициентами, случай анизотропной геометрии области. Полученные результаты применяются для построения и исследования методов декомпозиции области и фиктивного пространства.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на ряде российских и международных конференций, в том числе и в качестве пленарных и приглашенных докладов:

1. International Conference on Parallel Algorithms (Обервольфах, Германия, 1992).

2. 6-th International Conference on Domain Decomposition Methods (Комо, Италия, 1992).

3. 7-th International Conference on Domain Decomposition Methods (Пенсильвания, США, 1993).

4. International GAMM-Workshop on Multilevel Methods (Мейсдорф, Германия, 1994).

5. 8-th International Conference on Domain Decomposition Methods (Пекин, Китай, 1995).

6. International GAMM-Workshop on Multilevel Methods (Стробль, Австрия, 1996).

7. 9th International Conference on Domain Decomposition Methods (Улленсванг, Норвегия, 1996).

8. European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications (Париж, Франция, 1996).

9. Second European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications (Хайдельберг, Германия, 1997).

10. 1-st Workshop on ``Large-Scale Scientific Computations'' (Варна, Болгария, 1997).

11. Domain Decomposition and Multifield Theories (Обервольфах, Германия, 1998).

12. 11-th International Conference on Domain Decomposition Methods (Лондон, Великобритания, 1998).

13. 3-rd European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications (Юваскюла, Финляндия, 1999).

14. Special Radon Semester 2005 on Computational Mechanics (Линц, Австрия, 2005).

15. International Workshop on Direct and Inverse Field Computations in Mechanics (Линц, Австрия, 2005).

Публикации. Всего по теме диссертации автором опубликовано около 70 научных работ, из них 24 работы [1-24] в рецензируемых изданиях.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и списка основных публикаций автора. Общий объём диссертации 262 страницы.

Содержание работы.

Во введении дается краткий обзор литературы, посвященной методам решения краевых задач, связанных с геометрией рассматриваемой области, сеточным теоремам о следах в пространствах Соболева и приводится краткое содержание диссертации.

Первая глава диссертации посвящена сеточным аналогам теоремы о следах в пространствах Соболева, как для классических нормировок в пространстве Соболева, где – заданная область

и, соответственно, в пространстве следов, где – граница области

так и в пространствах Соболева, когда соответствующие нормировки функций зависят от различных параметров (дополнительные весовые коэффициенты в определении норм, параметры, характеризующие геометрию области и сеточные аппроксимации этих областей, весовые сингулярные функции). Данные результаты имеют как самостоятельное значение (например, при исследовании устойчивости по условиям Дирихле), так и являются важным аппаратом при конструировании и исследовании методов декомпозиции области и метода фиктивного пространства.

В пункте 1.1 приводятся постановки эллиптических краевых задач, описывается их дискретизация и формулируется задача о построении переобуславливающих операторов для возникающих систем сеточных уравнений.

Пункт 1.2 посвящен сеточным теоремам о следах в пространстве Соболева. Рассматривается как случай полной нормы в пространстве, так и случай полунормы. Диаметр области может зависеть от малого параметра, а триангуляции, аппроксимирующие область, могут иметь точки сгущения. Доказывается сеточный аналог теоремы о следах с константами, не зависящими от параметра и триангуляций.

В пункте 1.3 рассматриваются пространства Соболева с параметрами. Здесь

Такие пространства рассматривались М.С.Агроновичем и М.И.Вишиком и возникают, например, при использовании неявных разностных схем для решения параболических краевых задач. Определяются сеточные нормы в возникающих пространствах следов

и доказываются сеточные теоремы о следах с константами, которые не зависят как от параметров и, так и от триангуляции области.

Наиболее технически сложным в главе 1 является пункт 1.4, в котором рассматриваются нормировки с анизотропными коэффициентами в областях с анизотропной геометрией и с анизотропными триангуляциями. Так как простой заменой переменных случай анизотропных коэффициентов в нормах сводится к случаю изотропных норм, то достаточно рассмотреть случай областей с анизотропной геометрией и анизотропными сетками (при замене переменных меняется как геометрия, так и характеристики триангуляций). Данный пункт состоит из четырёх частей. В первой части пункта (подпункт 1.4.1) рассматривается случай функций во всём пространстве Соболева, то есть без конечно-элементных аппроксимаций, в областях с анизотропной геометрией (узкие полосы). Вводится нормировка следов функций, характеризующих область, и доказывается теорема о следах с константами, которые не зависят от геометрии области. Во втором подпункте 1.4.2 рассматривается случай областей с изотропной геометрией, но анизотропной триангуляцией. Определяются сеточные нормы в пространствах следов конечно-элементных функций, и доказывается теорема о следах с оптимальными по порядку константами, то есть не зависящими от характеристик анизотропной сетки. В подпункте 1.4.3 доказывается аналогичная теорема для случая, когда диаметр области зависит от малого параметра. В этом случае константы в теореме о следах не зависят от этого параметра и анизотропии триангуляции (при соответствующем определении норм в пространствах следов конечно-элементных функций). Наконец, в последнем подпункте 1.4.4 полученные в 1.4.1-1.4.3 результаты объединяются, определяется соответствующая сеточная норма в пространстве следов и доказывается сеточная теорема о следах для случая анизотропных областей с анизотропной триангуляцией. Константы в сеточной теореме о следах не зависят ни от геометрии области, ни от триангуляций.

В последнем пункте 1.5 первой главы рассматриваются весовые пространства Соболева, в определении которых участвуют сингулярные весовые функции, характеризующиеся параметром. Соответствующие нормы в пространстве следов были введены С.М.Никольским

При исследовании следов сеточных функций в весовых пространствах, важную роль играют сеточные аналоги норм в пространствах и пространствах следов.

Пусть

Для введённых сеточных норм доказан сеточный аналог теоремы о следах в этих пространствах с константами, не зависящими от параметра и от триангуляции области.

Во второй главе диссертации предлагаются и исследуются эффективные переобуславливающие операторы, которые основаны на методе декомпозиции. Методы декомпозиции рассматривается как применения аддитивного метода Шварца в гильбертовых пространствах со специальным выбором подпространств в этих пространствах. Выбор этих подпространств связан с декомпозицией исходной области на подобласти. Использование абстрактной формулировки аддитивного метода Шварца в произвольных гильбертовых пространствах позволяет предлагать широкий класс эффективных параллельных переобуславливающих операторов.

В первом пункте 2.1 второй главы в качестве введения в методы декомпозиции областей рассматривается простейший случай метода – так называемая, декомпозиция на полосы (без точек ветвления на объединении границ подобластей). Используя результаты главы 1, предлагаются оптимальные переобуславливающие операторы, как по скорости сходимости соответствующих итерационных процессов, так и по арифметической сложности реализации предложенных переобуславливающих операторов.

В пункте 2.2 приводится формулировка аддитивного метода Шварца в произвольных гильбертовых пространствах (предложенная совместно с А.М.Мацокиным), которая основана на декомпозиции этого пространства в векторную сумму подпространств. Далее формулируются и доказываются дополнительные утверждения, которые могут быть полезны для решения конкретных задач с использованием абстрактной схемы аддитивного метода Шварца. В частности, предлагается способ определения подпространств с использованием оператора продолжения из более “бедного” пространства в более “богатое” исходное гильбертово пространство.

Теорема. Пусть и.

Предположим, что существуют положительные константы :

а) для ;

б) ;

в), :

.

Тогда

,

где.

Теорема. Пусть и – евклидовы вещественные пространства, а и – симметричные положительно-определенные матрицы порядка m и n соответственно. Обозначим

и пусть – линейный оператор, действующий из в такой, что

. Здесь, – положительные константы. Положим

где – оператор, сопряженный к относительно евклидовых скалярных произведений в и. Тогда

, – образ оператора, – псевдо-обратный для.

Pages:     || 2 | 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»