WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |

в которой матрица капитальных коэффициентов и матрица Леонтьева (обозначенная как А) разбиты на четыре подматрицы.

Запись модели МОБ в виде (27) дает возможность легко привести ее к нормальной форме Коши. Приведение начинается с исключения алгебраических уравнений и завершается разрешением дифференциальных относительно первых производных.

Если система (27) состоит из m дифференциальных уравнений и n алгебраических, то размерности подматриц следующие: A1(m,m), A2(m,n), A3(n,m), A4(n,n), B1(m,m), B2(m,n), B3(n,m), B4(n,n). По причине наличия в матрице B нулевых строк элементы подматриц B3 и B4 равны нулю. Так как матрица Леонтьева продуктивна, то квадратная подматрица A4 невырождена и имеет обратную матрицу A4-1. Смысл дальнейших преобразований сводится к избавлению от алгебраических уравнений системы (27) и приведения ее к системе одних дифференциальных уравнений.

Выразим вектор X2 из системы алгебраических уравнений:

X2=-A4-1A3X1-A4-1Y2. (28)

Полученное значение подставим в систему дифференциальных уравнений, которая примет следующий вид:

. (29)

В данной системе матрица коэффициентов при производных невырождена, а, следовательно, и нет проблем с нахождением решения в виде X1(t). Подставляя полученное решение в систему (28) находим X2(t). Таким образом, определяется решение системы дифференциально-алгебраических уравнений (27) и преодолевается проблема решения системы дифференциальных уравнений (1), в которой не все отрасли являются фондосоздающими.

В нормальной форме система (29) запишется в следующем виде:

,. (30)

Наличие в модели отраслей не создающих фонды и как следствие нулевых строк в матрице капитальных коэффициентов приводит к трансформации системы дифференциальных уравнений (1) в систему уравнений (29) или (30), что приводит к уменьшению размерности дифференциальной модели. Размерность модели в этом случае определяется количеством фондосоздающих отраслей. Таким образом, чем меньше фондосоздающих отраслей в модели, тем меньше составляющих движения в решении системы (30) и, соответственно, (27). Учет же динамики развития отраслей, не генерирующих основной капитал, осуществляется посредством решения алгебраических уравнений (28), не содержащих инерционные элементы, а потому, эти решения будут линейно зависимы относительно найденных из первой части системы (27).

Четвертый метод демонстрирует возможность построения эталонной динамической модели, учитывающей затраты на предотвращение загрязнений. Статическая модель межотраслевого баланса с учетом затрат на ликвидацию загрязнений была предложена В. Леонтьевым и Д. Фордом. В этой модели появляются величины, измеренные в натуральных единицах, а именно отходы производства по каждому виду загрязнений.

Динамическая модель межотраслевого баланса, отражающая содержание этой задачи, может быть записана в виде дифференциально-алгебраической системы уравнений:

, (31)

где - матрица коэффициентов текущих затрат; - матрица коэффициентов текущих затрат, необходимых для ликвидации загрязнений; - матрица коэффициентов, характеризующих количество поступающих в окружающую среду отходов по каждому виду загрязнителей в расчете на единицу валового выпуска каждой из отраслей; - матрица коэффициентов, учитывающих вторичный эффект загрязнения, связанный с деятельностью предприятий по ликвидации загрязнений; и - доли ВВП расходуемые на генерацию основных производственных фондов и капитальное строительство предприятий, ликвидирующих загрязнения;

Анализ решений данной системы показывает, что помимо увеличения значений коэффициентов прямых и капитальных затрат балансовой модели, что отрицательно влияет на темпы развития моделируемой макросистемы, в модели увеличено значение уровня конечного продукта на постоянную составляющую. Таким образом, ликвидация загрязнений окружающей среды практически всегда является дополнительной нагрузкой на макросистему. Тем не менее, влияние этой нагрузки можно контролировать, оптимизировать и строить оптимальные траектории развития макросистем с учетом загрязнений.

В четвертой главе «Синтез параметров макроэкономической системы, находящейся в процессе оптимального перехода к сбалансированному состоянию» раскрыта методология синтеза параметров макроэкономической системы, находящейся в процессе оптимального перехода к сбалансированному состоянию, а также проведен анализ чувствительности, устойчивости и управляемости синтезируемых моделей. Теоретическую основу методологии составляет задача преследования, решение которой позволяет выводить произвольную макроэкономическую систему на магистральный путь развития по траектории, которая с точки зрения квадратичного критерия качества приближает пропорции валового внутреннего продукта к оптимальным пропорциям. При этом оптимальными пропорциями ВВП считаются пропорции эталонной сбалансированной экономической системы.

Постановка задачи предполагает наличие двух моделей макроэкономических систем, одна из которых является развивающейся, а вторая – эталонной.

, X(0)=X0, (32)

, Xm(0)=Xm0, (33)

здесь X(t) и Xm(t) – уровень валового внутреннего продукта развивающейся и магистральной системы; К – матрица конечного потребления; U(t) – внешнее инвестиционное воздействие; Gm – матрица замкнутой магистральной системы.

Развивающаяся система не в состоянии самостоятельно перераспределить пропорции ВВП оптимальным образом, поэтому в модели предусмотрена внешняя инвестиционная составляющая U(t) пока неизвестная, но благодаря которой должен получиться результат совмещения ВВП развивающейся и эталонной системы. Из этого следует, что разность

(34)

должна стремиться к нулю при t=, т.е. Y()=0. Для практических целей необходимо синтезировать такое внешнее управление U(t), которое бы за конечное время tk приводило разность Y(tk) к нулю. При этом, начиная со времени tk, уровень ВВП развивающейся системы должен совпадать с уровнем эталонной системы.

Продифференцировав (34) по t получим

. (35)

Для упрощения дальнейших выкладок предположим, что модель (35) полностью управляема, тогда имеется возможность определения такого линейного квадратичного оптимального регулятора Z, который удерживал бы выходы системы вблизи нулевого положения. Для замыкания системы введем следующее линейное преобразование:

X(t)=-ZY(t). (36)

Предположив, что Z такой регулятор, который учитывает внешнее воздействие на систему (35) со стороны X(t) и U(t) получим замкнутую систему:

. (37)

Определим Z таким образом, что бы использование его в цепи отрицательной обратной связи (36) минимизировало квадратичный функционал:

, (38)

здесь Q – неотрицательно определенная, а R – положительно определенная диагональная матрица весовых коэффициентов. Весовые матрицы Q и R определяют соотношение между качеством регулирования (как быстро процесс сходится к нулю) и затратами на управление.

Опуская преобразования, связанные с элементами вариационного исчисления, представим уравнение Риккати:

, (39)

решение которого относительно матрицы P позволяет получить в явном виде выражение для линейно-квадратичного регулятора Z:

. (40)

Определение функциональной зависимости Y(t):

, (41)

которая оптимальна с точки зрения минимума функционала (38), позволяет вычислить траектории сближения развивающейся и эталонной системы по формуле:

. (42)

Оптимальный процесс перехода макроэкономической системы из несбалансированного состояния в сбалансированное состояние является разностью двух процессов: первого – эталонного и второго – асимптотически устойчивого процесса. Причем устойчивость второго процесса гарантирует сближение траекторий ВВП развивающейся макросистемы с магистралью или любой другой наперед заданной функцией развития.Результат вычисления (42) показан на графике рисунка 5.

Имея в наличии лишь оптимальные траектории перехода из одного состояния в другое сложно, что-либо сказать о параметрах оптимальной системы. Эти параметры необходимо знать для получения информации о том, как и в каких пределах необходимо изменить экономические параметры развиваемой несбалансированной системы для реализации оптимальных траекторий развития. Решение задачи синтеза параметров предполагает определение коэффициентов затрат (материальных, капитальных и т.д.) балансовой модели по оптимальным траекториям переходных процессов.

Несбалансированная система (32) может развиваться в магистральном режиме только при наличие изменений в коэффициентах матриц А, В, К. Учитывая эти изменения перепишем систему (32) в следующем виде:

, (43)

где - добавки к коэффициентам прямых, капитальных и трудовых затрат, необходимые для функционирования системы в магистральном или любом наперед заданном режиме.

Рисунок 5 - Сближение траекторий развивающейся и эталонной системы

Не теряя общности рассуждений можно переписать систему (43) в эквивалентном виде:

, (44)

где - коэффициенты матрицы, отвечающие за импортно-экспортное воздействие. В этом случае внешние инвестиции, которые влияют непосредственно на капитальные коэффициенты, можно рассматривать как часть импортируемого финансового потока. Тогда задачу идентификации можно свести к задаче определения коэффициентов матрицы, учитывающую импортно-экспортные и инвестиционные воздействия над системой с целью приведения ее в сбалансированное состояние.

Тождественное равенство траекторий развития предполагает равенство их производных, следовательно:

. (45)

Для определения коэффициентов матрицы необходимо соответствующим образом подготовить тождество (45). Произведем замену переменных. Пусть и, тогда

. (46)

Тождественность систем (46) предполагает равенство:

(47)

или

(48)

и в сокращенном варианте

, (49)

где.

В стационарном случае равенство (49) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, т.е. произведение матрицы на вектор X дает вектор. В динамическом варианте это равенство должно соблюдаться для любого момента времени на интервале [tН, tК]. Этим свойством можно воспользоваться для определения коэффициентов матрицы.

Таким образом, задача идентификации коэффициентов матрицы сводится к определению матрицы ( известна и определена выше), которая бы при умножении на вектор X(t) была бы равна вектору правой части системы линейных алгебраических уравнений (49) на интервале времени [tН, tК].

Для нахождения элементов первой строки матрицы необходимо сформировать матрицу коэффициентов на основе вектора X(t), изменяющегося во времени на интервале [tН, tК]. При этом дискретизации должен быть подвергнут и вектор (t). Таким образом, в результате получается СЛАУ:

. (50)

Обобщая данные преобразования на случай определения i-ой строки матрицы решение системы (50) будет иметь вид:

. (51)

Практические расчеты матрицы с использованием (51) показали наличие определенной невязки в системе (50). Поэтому дальнейшее уточнение коэффициентов матрицы и, следовательно, проводилось с применением численных алгоритмов оптимизации. При этом полученные значения использовались как начальные данные оптимизационной процедуры, минимизирующей функционал вида:

. (52)

В результате численной минимизация была получена матрица, коэффициенты которой характеризуют необходимый уровень импортно-экспортных и инвестиционных вложений на единицу ВВП. Решение задачи идентификации параметров модели макроэкономической системы позволило определить временной график импортно-эксортных процессов изображенный на рисунке 6.

Рисунок 6 - Временной график инвестиционных процессов

Для данной динамической системы, взятой в качестве примера, на первоначальном этапе необходимы вложения (импорт и инвестиции) в отрасль U0 при этом система будет работать в автономном режиме (без инвестиций) приблизительно 1 год. Далее потребуются инвестиции (импорт) в отрасль U1, а затем почти одновременно для U0 и U2. Причем эти инвестиции должны постоянно увеличиваться, чего требует выбранное магистральное направление развития и соответствующие ему пропорции ВВП. В связи с тем, что в системе функционируют двунаправленные финансовые потоки (импорт и экспорт), то положительные значения U(t) следует рассматривать как экспорт средств в виде конечного продукта данной макросистемы.

При исследовании динамических систем балансового типа важно знать, как влияет изменение определенного параметра на качество системы. Показана связь передаточной функции динамической системы с матричной моделью макроэкономической системы. Определены функции чувствительностей передаточных функций, функции чувствительностей частотных характеристик, функции чувствительностей переходных характеристик и чувствительности корней характеристического полинома динамической модели макроэкономической системы.

Сложность взаимосвязей и высокая степень взаимообусловленности составляющих современных макроэкономических систем непременно ведет к значительному усложнению их свойств и, как следствие, к возможности неоднозначного решения задачи устойчивости экономической динамики. В главе рассмотрено построение годографа Михайлова, который использовался для оценки самого правого в комплексной плоскости корня характеристического уравнения модели магистральной макросистемы, с целью определения границы устойчивости.

Управляемость моделей была оценена с использованием матрицы управляемости специального вида и грамиана управляемости, которые показали, что управление темпами развития макросистем целесообразно проводить с использованием всех отраслей участвующих в формировании ВВП. Раскрыта методика модального управления, позволяющая избирательно воздействовать на заданные составляющие движения динамических макросистем.

Рассмотренные критерии чувствительности, устойчивости и управляемости увеличивают информативность моделей макроэкономических систем, что необходимо для экономистов-аналитиков, занимающихся более тонкой настройкой и формированием вариантов целостной экономической политики.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»