WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |

В третьей главе «Методы формирования эталонных траекторий сбалансированного развития макросистем» описаны методы, позволяющие формировать эталонные траектории сбалансированного развития макроэкономических систем. Методики формирования эталонных траекторий ВВП основаны на изменении собственных динамических свойств макросистем. Управление валовыми выпусками сводится к такому выбору собственных чисел и собственных векторов, который бы обеспечивал постоянный сбалансированный рост и расширение эталонной экономики. Анализ СДС выявил существование трех типов замкнутых систем:

1. Системы с отрицательным спектром собственных чисел, расположенных целиком в левой части комплексной плоскости, устойчивые в классическом понимании теории систем.

2. Системы с одним положительным собственным числом, называемые магистральными макросистемами.

3. Системы с двумя и более положительными собственными числами, в которых присутствуют конкурирующие отрасли и при этом одни отрасли развиваются, а другие характеризуются падающими объемами производства.

Для этих типов систем собственные числа являются своеобразными индикаторами развития и функционирования. Динамическая модель межотраслевого баланса В. Леонтьева позволяет использовать эти индикаторы для планирования эффективных траекторий функционирования производственного сектора экономики.

Первый метод основан на численной минимизации функционала качества собственных динамических свойств. Функционал удовлетворяет следующим требованиям. Во-первых, он учитывает расположение в комплексной плоскости некоторой группы доминирующих корней, определяющих динамические свойства системы, предоставляет возможность задания желаемой степени экономического роста и степени колебательной устойчивости. Во-вторых, он обладает необходимыми математическими свойствами, позволяющими использовать его в традиционных алгоритмах численного поиска, в связи с чем, функционал является достаточно гладким, т.е. имеет непрерывные производные по варьируемым параметрам. Функционал имеет вид:

, (2)

где + - заданная величина степени экономического роста; - - заданный показатель демпфирования колебательных составляющих; Re и Im – действительная и мнимая части комплексного числа;

Формирование F можно пояснить с использованием координат на комплексной плоскости (рисунок 1). Функция F зависит как от действительных корней 1-3, так и от комплексно-сопряженных пар 4-6. 7-ой корень не участвует в суммах F, т.к. находится левее границы - и, следовательно, его уровень демпфирования достаточен. 6-ой корень также находится за границами коридора [-, +], но, обладая мнимой частью, подлежит переносу за границу
-. Корни 2-6 подлежат переносу за границу - для установления заданного уровня демпфирования составляющих движений.

Решающее значение при определении темпов роста оказывает 1-ый корень, т.к. он является максимальным среди действительных положительных собственных чисел. Смещение его за границу + обеспечивает заданный уровень и темпы расширения валовых выпусков макроэкономической системы.

Рисунок 1 - Схема расположения корней и формирование функции качества

Процесс минимизации F оканчивается при полном удалении из коридора [-,+] всех корней. При этом должно остаться одно действительное положительное собственное число, а все остальные будут иметь отрицательные действительные части. Такое расположение корней на комплексной плоскости обеспечит постоянное расширение валовых выпусков при переходном процессе.

В результате минимизации функционала была получена такая структура матрицы замкнутой системы, реализация которой гарантировало постоянное расширение экономики (рисунок 2) при первоначально заданных не оптимальных пропорциях валового производства.

Рисунок 2 - Результат балансировки ВВП модели макросистемы

Замкнутую систему с такой матрицей следует использовать в виде эталонной макросистемы, с целью приближения траекторий развития реальной макросистемы к эталонным траекториям.

Второй метод предназначен для разделения неустойчиво-развивающихся макросистем на устойчивые подсистемы. Данный метод использует преобразование подобия как средство разделения неустойчивых макроэкономических систем на подсистемы с целью оптимального управления.

Собственные динамические свойства подобной системы абсолютно идентичны свойствам первоначальной системы благодаря равенству собственных чисел обеих систем. Матрица переходов подобной системы является диагональной, поэтому возможно разделение системы на подсистемы. Процедура разделения основана на утверждении теоремы Перрена-Фробениуса о том, что в макроэкономической балансовой системе среди положительных собственных чисел обязательно найдется такое минимальное число, которому соответствует целиком положительный собственный вектор. Поэтому задача разделения системы сводится к выделению такой подсистемы, которой соответствует минимальное положительное собственное число. Эта подсистема будет одномерной и вследствие наличия положительного числа в показателе экспоненты – постоянно растущей и неустойчивой. Для второй подсистемы можно синтезировать такой оптимальный регулятор, который приблизит траектории к нулю, тем самым, сделав ее устойчивой. С момента сближения траекторий второй подсистемы с нулем, макросистема целиком начинает развиваться в магистральном режиме с темпом роста первой подсистемы.

На практике разделение макросистемы на подсистемы удобно проводить, используя балансовую модель, записанную в форме модели пространства состояний:

, (3)

где - матрица переходов, - матрица связи.

На сегодняшний день существует пробел в области применения достижений полученных в теоретическом виде на практике. Для лиц непосредственно принимающих решение важно знать не просто функциональные зависимости (пусть даже оптимальные) финансовых потоков, а, скорее, какие экономические параметры макросистемы нужно изменить, и на какую величину, чтобы получить постоянный рост продукции в своей отрасли или сбалансированное расширение ВВП макросистемы в целом.

В такой постановке задача оптимального выбора конечного продукта связана с определением матрицы затрат Z, которая связывает конечный продукт Y с ВВП:

. (4)

Тогда модель (3), замкнутая по потреблению выглядит следующим образом:

. (5)

Добавка к коэффициентам матрицы будет той самой величиной, на которую нужно изменить параметры исходной системы с целью ее сбалансированного функционирования в магистральном режиме.

Система (5) является системой с положительной обратной связью, которая, как известно из теории автоматического управления (ТАУ) является неустойчивой. Методы оптимального синтеза матрицы Z, которая является своеобразным экономическим регулятором, разработаны только для устойчивых систем, что связано с наличием подавляющего большинства устойчивых моделей в технике, электротехнике и автоматике.

Решение системы (5) можно получить путем введения n новых фазовых переменных с помощью такого невырожденного линейного преобразования:

(6)

тогда, получающаяся в результате система

, (7)

в которой матрица становится проще, чем первоначальная. В этом случае, если, в частности существует преобразование подобия (6), приводящее матрицу G системы к диагональному виду, то использование преобразует первоначальную систему к системе уравнений с «разделенными» переменными:

(8)

решение которой имеет вид:

(9)

и окончательно получаем с использованием преобразования подобия (6) решение системы (5):

, (10)

где - собственные числа, T - собственные векторы матрицы G, diag(et) – диагональная матрица.

Таким образом, преобразование подобия (6) может приводить систему (5) к диагональному виду, в котором ее можно делить на подсистемы, функционирующие в параллельном соединении. Преобразование подобия можно применить и к разомкнутой системе. Тогда матрицы подобной системы общего вида будут следующими:

. (11)

Собственные динамические свойства подобной системы абсолютно идентичны свойствам первоначальной системы благодаря равенству собственных чисел обеих систем. Матрица переходов подобной системы является диагональной, поэтому возможно разделение системы на подсистемы. Процедура разделения основана на утверждении теоремы Перрена-Фробениуса о том, что в макроэкономической балансовой системе среди положительных собственных чисел обязательно найдется такое минимальное число, которому соответствует целиком положительный собственный вектор. Поэтому задача разделения системы сводится к выделению такой подсистемы, которой соответствует минимальное положительное собственное число. Эта подсистема будет одномерной и вследствие наличия положительного числа в показателе экспоненты – постоянно растущей и неустойчивой. Для второй подсистемы можно синтезировать такой оптимальный регулятор, который приблизит траектории к нулю, тем самым, сделав ее устойчивой.

Представим подобную систему в следующем виде:

, (12)

,

в котором вектора входа и выхода разбиты на два подвектора, а матрицы системы разбиты на подматрицы со следующими размерностями:

,

размерность подматриц матрицы соответствует размерности подматриц матрицы. Так как матрица переходов подобной системы диагональная, то подматрицы и являются нулевыми, следствием чего становится возможным представление системы (12) в виде параллельного соединения двух подсистем:

, (13)

. (14)

Графическое представление такого соединения показано на рисунке 3.

Рисунок 3 – Параллельное соединение двух подсистем

В данной схеме вход первой подсистемы для определенности приравнен к нулю, но вследствие взаимосвязи входов по (12) на первую неустойчивую подсистему продолжает оказывать воздействие вход второй подсистемы, уровень которого можно оптимизировать с использованием метода оптимального синтеза линейно-квадратичного регулятора. Графическое представление параллельного соединения двух подсистем, вторая из которых является замкнутой линейно-квадратичным регулятором, представлена на рисунке 4.

Определим таким образом, что бы использование его в цепи отрицательной обратной связи минимизировало квадратичный функционал:

, (15)

здесь Q – неотрицательно определенная, а R – положительно определенная диагональная матрица весовых коэффициентов. Весовые матрицы Q и R определяют соотношение между качеством регулирования (как быстро процесс сходится к нулю) и затратами на управление.

Рисунок 4 – Соединение подсистем с обратной связью

Функционал (15) является стандартным вспомогательным квадратичным критерием, по которому вторую подсистему можно сделать устойчивой, затратив при этом минимальное количество усилий с точки зрения управления динамикой выхода посредством входа.

Решим задачу минимизации (15) методом классического вариационного исчисления. Для этого составим вспомогательный функционал.

, (16)

где - (n-1) - мерный вектор множителей Лагранжа.

Решение вариационной задачи минимизации функционала (16) для подсистемы (14) дает следующую систему уравнений:

. (17)

Подставив значение в первое уравнение системы (17) получим:

. (18)

Уравнение (18) состоит из системы взаимосвязанных линейных дифференциальных уравнений относительно и. Поэтому и должны быть связаны линейным преобразованием. Для получения уравнения оптимального управления решим систему (18), полагая

. (19)

Умножая слева первое равенство в системе (18) на матрицу P и вычитая из него второе равенство этой системы, окончательно получим:

. (20)

Уравнение (20) является алгебраическим матричным уравнением Риккати, в которое вырождается дифференциальное уравнение Риккати в установившемся режиме при.

Подставив выражение (19) в последнее уравнение системы (17), получим искомое уравнение оптимального управления:

. (21)

Замкнутая матрица второй подсистемы при наличии линейно-квадратичного регулятора будет определяться по формуле:

, (22)

тогда подобная (уже оптимальная) система (12) будет выглядеть так:

(23)

или в сокращенном варианте

, (24)

где - матрица оптимизированных коэффициентов замкнутой подобной системы.

Возврат к замкнутой матрице коэффициентов макросистемы осуществляется с помощью обратного преобразования подобия:

. (25)

Теперь можно определить добавку к коэффициентам первоначальной несбалансированной системы для вывода ее на магистральные темпы развития:

, (26)

а используя уравнение (4) оценивается оптимальный уровень конечного продукта, т.е. такая затратная нагрузка макросистемы при которой она будет развиваться сбалансировано.

Таким образом, применение преобразования подобия позволяет разделять исходные неустойчивые макросистемы на подсистемы, в которых возможно применение методов синтеза развитых для устойчивых систем, с целью получения оптимальных параметров конечного потребления и функционирования макроэкономических систем.

Третий метод предназначен для построения эталонных систем и траекторий, применяя модели, в которых матрица капитальных коэффициентов вырождена.

Предметом широкого обсуждения ученых-экономистов является проблема вырожденности матрицы капитальных коэффициентов модели межотраслевого баланса. Значительное число специалистов в области межотраслевого анализа считает, что она содержит лишь две ненулевые строки, соответствующие строительству и машиностроению, признавая предположение о ее заполненности слишком обременительным. Модель с «пустой» матрицей капитальных коэффициентов, во-первых, теряет способность адекватно воспроизводить важные в прикладном отношении особенности и детали процесса экономического развития. Во-вторых, частично заполненная матрица исключает эффективное применение методов исследования на основе аппарата линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений и автоматического управления.

Деление отраслей на «фондосоздающие» и не образующие фонды приводит к появлению нулевых строк в матрице капитальных коэффициентов. В этом случае матрица В является вырожденной и, что следует из курса линейной алгебры не имеет обратной матрицы В-1. Учет отраслей не способных генерировать основные фонды позволяет записать систему дифференциальных уравнений (15) в виде системы дифференциально-алгебраических уравнений:

, (27)

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»