WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Физика волнового взаимодействия с периодической средой или структурой хорошо описывается брэгговским условием в виде закона сохранения момента между волновыми векторами падающей и дифрагированной волны, с учётом пространственного волнового вектора структурных гармоник. Рассеивающая поверхность моделируется диапазонно ограниченной непрерывной фрактальной функцией неровностей f(x), являющейся модифицированной функцией Вейерштрасса W(t), свойства которой подробно исследованы в [5, 6]. Данная функция имеет конечный диапазон пространственных частот и проявляет свойство самоподобия в пределах конечного диапазона разрешения:

(1)

где С – коэффициент контроля амплитуды; N – число гармоник (тонов); - коэффициент масштаба неровностей (0 < < 1); K – основное пространственное волновое число; b > 1 – параметр пространственно-частотного масштабирования; - произвольная фаза.

Коэффициент контроля амплитуды

(2)

выбран так, что функция f(x) имеет среднеквадратичное отклонение = 1.

Для функции (1) можно ввести несколько фрактальных размерностей, потому что она самоафинна. В общем случае фрактальная размерность функции Вейерштрасса

[3]. Для точного описания формы неровностей в [6] используется фрактальная размерность в виде:

. (3)

При D = 1 имеем гладкую периодическую кривую. С увеличением D (D 2) получаем различные хаотические кривые.

Геометрия рассеяния падающей плоской волны на одномерной неровной, идеально проводящей фрактальной вдоль оси x поверхности представлена на рис. 1. Индексы i и s относятся к падающей и рассеянной волнам с волновыми векторами ki и ks, соответственно. Одномерная квазипериодическая поверхность описывается уравнением

. (4)

Здесь параметр h контролирует среднеквадратическое значение неровностей.

Далее мы будем рассматривать подход на основе приближения Кирхгофа. В методе Кирхгофа используется крупномасштабность плавность пологость. Здесь – радиус корреляции неровностей; – локальный радиус кривизны, – среднеквадратичное значение тангенса угла наклона неровностей (штрихи означают порядок производной). В общем случае величина D определяет угловое распределение энергии. Энергия рассеянного поля концентрируется в зеркальном направлении при малых значениях размерности D и диффузно распределена для больших значений D.

Пространственные индикатрисы рассеяния, или угловые распределения характеристик рассеянного поля от фрактальных поверхностей, в настоящее время исследованы совершенно недостаточно. Известные экспериментальные и теоретические исследования с использованием различных фрактальных моделей проводились ранее и приведены в работе [6] (см. также ссылки в ней).

Моделирование фрактальных поверхностей

При моделировании использовалась диапазонно ограниченная фрактальная функция с нулевым средним, записываемая в виде:

(7)

Коэффициент контроля амплитуды С, определяемый с помощью (2), выразим через фрактальную размерность D следующим образом:

(8)

Очевидно, что в (7) при необходимости могут быть использованы и другие периодические функции.

Коэффициент контроля амплитуды (8) выбран так, чтобы имела среднеквадратичное отклонение. С увеличением частоты периодические функции (7) описывают всё более тонкую структуру неровностей. Самоподобие функции демонстрируется соотношением, которое означает, что кривая выглядит подобной оригиналу, когда горизонтальная ось масштабируется коэффициентом b, а вертикальная ось – коэффициентом

Взаимосвязь статистических и фрактальных параметров

Из формулы (7) следует, что профиль неровной поверхности определяется параметрами, D, b, K, N. Традиционными параметрами при моделировании случайной поверхности являются: – среднеквадратичное значение высоты неровностей; – радиус их корреляции; - среднеквадратичное значение тангенса угла наклона неровностей [1-3, 6].

Для фрактальной модели для = 1 значение находится через среднеквадратичное значение первой производной от функции (7). В результате:

(9)

Из формулы (9) следует, что при D = 1 или N = 1. Для типового примера

D = 1,5 при и N = 6 имеем.

Радиус корреляции исследуемой модели находится с помощью коэффициента автокорреляции () фрактальной функции (7), который имеет вид

(10)

Из (10) следует, что коэффициент автокорреляции () не зависит от высоты неровностей. Радиус корреляции определим как первый корень уравнения при увеличении от нуля. Радиус корреляции уменьшается с ростом D. Таким образом, неровности фрактальной модели определяются фрактальной размерностью D, хотя среднеквадратичная величина их есть. Фрактальная поверхность может быть точно определена и легко видоизменяться при варьировании параметров K, b, N, D. Способность быстрого контроля поверхности на основе реализаций функции (7) с помощью её параметров делает такую фрактальную модель полезной при исследовании рассеяния волн земными покровами.

Индикатрисы рассеяния

Рассмотрим плоскую волну единичной амплитуды с волновым вектором ki, падающую на одномерную неровную поверхность, которая характеризуется фрактальной функцией, простирающейся от x = – L до x = L (см. рис. 1). Эффекты затенения не учитываются. В приближении Кирхгофа поле рассеяния на расстоянии от источника в плоскости записывается в виде [1-3, 6]

(11)

где

Для упрощения расчётов рассматривается рассеяние от идеально проводящей поверхности, когда френелевы коэффициенты отражения V становятся равными

(12)

где индексы “+” и ”–” означают поляризацию, соответственно параллельную и перпендикулярную плоскости падения.

Для гладкой идеально проводящей поверхности поле рассеяния при горизонтальной поляризации в направлении зеркального отражения () имеет вид После несложных, но громоздких выкладок, вводя индикатрису рассеяния g, получим:

(13)

Рассмотрим сначала специальный случай, когда Тогда из формулы (13) следует, что

, (14)

и не является функцией от b и n. Учитывая аппроксимацию

(15)

при малых x (малых k), находим следующее приближение формулы (14):

. (16)

Результат (16) показывает, что при малых k интенсивность рассеяния в зеркальном направлении определяется только среднеквадратичной высотой неровностей, независимо от того, фрактальная поверхность или нет. Фрактальная функция (7) является результатом суммирования N периодических синусоид. Радиоволна действует как измерительная линейка, выделяя пространственные частоты посредством брэгговских условий. В общем случае

(17)

где – волновой вектор в направлении рассеяния; – волновой вектор в направлении зеркального рассеяния; – пространственные волновые векторы структурных гармоник; – целые числа.

Для фрактальной функции (7) имеем. Таким образом, падающая волна будет взаимодействовать с различными гармониками рассеивающей структуры. Направление рассеяния каждого лепестка зависит от пространственной частоты гармоники, а интенсивность определяется фрактальной размерностью поверхности D, которая регулирует амплитуду каждой гармоники. Высшие пространственные частоты как бы связывают угловое распределение рассеяния с большим отклонением от зеркального направления.

Рассеяние волн ограниченной фрактальной площадью

Изменение характеристик рассеяния при облучении поверхностей различных размеров представляет интерес в практических задачах радиолокации и дистанционного зондирования. Размер облучаемой площадки определяет ширину индикатрис рассеяния. Для случая рассеяния фрактальной поверхностью не существует качественного изменения, если размеры площадки больше основного пространственного периода Чем меньше размер площадки, тем меньше информации о неровностях будут давать характеристики рассеяния.

Для установления связи фрактальной размерности поверхности с интенсивностью боковых лепестков рассматриваются зависимости коэффициентов рассеяния от аргумента и рассчитывается наклон огибающей. Основная огибающая обусловлена конечным размером площадок и связывает основной лепесток с самым крайним боковым. Её наклон всегда почти постоянен при изменении фрактальной размерности.

Огибающая, связывающая боковые лепестки, определяется пространственными гармониками, и её наклон монотонно изменяется с изменением фрактальной размерности. Очень важно, что наклоны дифракционных пиков позволяют дистанционно измерить неровности или размерности D поверхности.

В практической части работы автором показана и обоснована возможность описания естественных поверхностей двумерной диапазонно-ограниченной функцией Вейерштрасса. Она имеет следующий вид

, (18)

где – константа, обеспечивающая единичную нормировку; – параметр пространственно-частотного масштабирования; D – фрактальная размерность (2<D<3); K – основное пространственное волновое число; N и M – число гармоник; – произвольная фаза, распределенная равномерно в интервале.

Данная функция (18) является комбинацией случайной структуры и детерминированного периода. Она анизотропна в двух направлениях, если числа гармоник не очень велики. Она имеет производные и в то же время – самоподобна. Поверхность на ее основе имеет много масштабов, а шероховатость может изменяться в зависимости от рассматриваемого масштаба. Так как естественные поверхности не являются чисто случайными или чисто периодическими и часто анизотропны, то предложенная выше функция является хорошим приближением для описания естественных поверхностей. На рис. 2 приведены примеры диапазонно-ограниченной функции Вейерштрасса для различных масштабов. Важно отметить, что функция (18) описывает математические фракталы только при стремлении M и N к бесконечности.

a

b

c

Рис. 2. W(x,y) при (a) - N = 2, M = 3, D = 2.01, q = 1.01; (b) - N = 5, M = 5, D = 2.5,

q = 3; (c) - N = 10, M = 10, D = 2.99, q = 7. По осям: 1 отн. ед. = 80 см

Такие параметры, как интервал корреляции, среднеквадратичное отклонение и коэффициент пространственной автокорреляции () традиционно принято использовать для численного описания шероховатой поверхности. В работе продемонстрировано, как эти статистические параметры можно использовать для оценки влияния фрактальной размерности D и других параметров на шероховатость поверхности. Приведён вывод выражения для усредненного интервала корреляции :

. (19)

На рис. 3 и 4 показаны зависимости от q и D соответственно.

Рис. 3. Зависимость среднего интервала корреляции от D при разных значениях q

Рис. 4. Зависимость среднего интервала корреляции от q при разных значениях D

С увеличением фрактальной размерности D поверхности усреднённый интервал корреляцииуменьшается более быстро для тех же самых изменений параметра пространственно-частотного масштабирования q. Величинамонотонно спадает с возрастанием значения D; однако не меняется при q = 1,01. Следовательно, средний интервал корреляции чувствителен к фрактальной размерности D, за исключением случаев, когда. Эти результаты означают то, что величина неровностей фрактальной поверхности в основном управляется величиной D.

Для расчёта поля рассеяния и индикатрис рассеяния на построенных поверхностях было использовано приближение Кирхгофа. Приведён вывод выражения для индикатрисы рассеяния по усреднённой интенсивности:

. (20)

Автором создана обширная база данных различных характерных видов фрактальных рассеивающих поверхностей на основе функций Вейерштрасса, а также трехмерных индикатрис рассеяния и их сечений, рассчитанных для длин волн мм, мм и см при разных значениях фрактальной размерности D и изменяющейся геометрии рассеяния соответственно (рис.5).

На основе проведённых расчетов были сделаны следующие выводы. При значениях D, мало отличающихся от целочисленных, основная доля энергии рассеивается в зеркальном направлении. Боковые лепестки образуются из-за брэгговского рассеяния. С увеличением фрактальной размерности D поверхности рассеяния возрастает число боковых лепестков и их интенсивность. Угловой диапазон боковых лепестков также расширяется с увеличением D, когда высокие пространственные частоты начинают играть существенную роль. В случае малых D, классические и фрактальные методы расчета полей рассеяния, совпадают. Таким образом, фрактальная размерность D шероховатой поверхности может быть оценена из рассчитанных или измеренных характеристик поля рассеяния. На практике размеры облучаемой площадки должны быть, по крайней мере, в 2 раза больше основного периода структуры поверхности, чтобы информация о ее фрактальных параметрах содержалась в характеристиках рассеяния.

На основе функции Вейерштрасса для одномерной фрактальной рассеивающей поверхности автор рассчитал зависимости модуля рассеянного поля от фрактальной размерности поверхности D и от угла падения (рис. 6 и рис. 7). Чем больше фрактальная размерность, тем выше абсолютное значение поля рассеяния. Данное явление можно объяснить увеличивающимся вкладом вторичного рассеяния на мелких неровностях по сравнению с менее шероховатой поверхностью. При изменении угла падения поле рассеяния меняется спонтанно, что объясняется хаотической структурой рассеивающей поверхности.

Рис. 6. Зависимость модуля поля рассеяния от фрактальной размерности для падающей длины волны 2,2 мм

Рис. 7. Зависимость модуля поля рассеяния от угла падения

Дальнейшие исследования рассеяния волн на фракталах будут продолжены в рамках расчёта частотных функций когерентности или полосы когерентности fc для радиолокационного фрактального канала зондирования.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»