WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

пусть имеется два гауссовских вектора и с нулевыми средними и ковариациями and, соответственно, причем. Пусть имеется набор действительных чисел. Обозначим через алгебру подмножеств, порожденную всеми параллелепипедами вида. Тогда для любого, имеет место неравенство

Здесь – гауссовская двумерная плотность с нулевыми средними, единичными дисперсиями и ковариацией, а.

В третьем параграфе второй главы доказана предельная теорема для предельного совместного распределения случайных величин

Пусть не растет слишком быстро, а именно,

11 12

Введем преобразование Лапласа функции распределения,

и обозначим

где - плотность стандартного нормального распределения.

Мы предположим, что, так же как, псевдо-стационарные последовательности с функциями распределениями и соответственно. Заметим, что если, тогда.

Предположим, что

13 14

и

15 16

Положим, что для ковариационной функции гауссовской последовательности выполняются следующие условия:

17 18

и

19 20

для некоторого действительного.

В частности, можно предполагать произвольной на "редких" множествах, таких что

для любого при

Тогда для любого

21 22

где

Рассмотрим случай, когда частичная выборка является на самом деле полной, то есть, найдем предельное распределение максимума гауссовской стационарной последовательности с почти периодическим трендом. В этом случае

23 24

то есть для любых,

25 26

Этот результат оформлен в виде следствия 2.4 во второй главе.

Все результаты, полученные для максимумов, очевидным образом переносятся на минимумы, так как справедливо следующее соотношение:

Задача оценки функции распределения максимумов выборок случайных последовательностей с псевдостационарным трендом играет важную роль при определении резервов, прогнозировании пиков потребления (например, потребления электроэнергии), в прогнозировании экстремальных погодных явлении (например, высоких температур) и др. К решению этих задач можно подходить как с позиции результатов классической теории экстремумов, так и с позиции результатов, являющихся расширением классической теории экстремумов, с учетом сезонности данных. Рассматриваемые данные обрабатываются c помощью этих двух подходов.

В третьей главе при помощи методов стохастического моделирования, проведено сравнение классическим подхода (без учета тренда) оценки функции распределения максимума и подхода с учетом пcевдостационарного тренда, основанного на результатах из главы 1. А именно, проведено сравнение качества подходов на примерах смоделированных прореженных выборок из некоторых случайных последовательностей, каждый элемент которых представим в виде суммы стационарной последовательности, где имеет функцию распределения, которая максимум-устойчива, и добавочной псевдостационарной составляющей, где последовательность такая, что выполняется (2). Рассмотрены случаи, когда элементы стационарной последовательности имеют гауссовское распределение, распределение Коши и равномерное на отрезке распределение, и в которых элементы стационарной последовательности являются независимыми случайными величинами, так и случаи, в которых элементы стационарной последовательности являются -зависимыми. Прореживание моделируется при помощи последовательности :

- последовательность независимых случайных величин, не зависящих от.

Пусть удовлетворяет условиям основного результата главы.

Применим этот результат к

Пусть

Cмоделируем выборку стационарной последовательности объема 250000:

Возьмем:

Порядковая статистика для :

Тогда бумага квантилей функции распределения против квантилей эмпирической функции распределения нормированных максимумов примет вид

Пусть

Рассмотрим множество пар чисел

Одно приближение лучше другого, если бумага первого расположена ближе к прямой с коэффициентом наклона 1, проходящей через начало координат, чем бумага второго. Хотя в рассмотренных примерах преимущество одного приближения над другим будет заметно визуально, мы численно измерим преимущество одного приближения над другим с использованием суммы квадратов отклонений:

27 28

где, a – пороговый индекс (мы будем брать ).

Во всех рассмотренных случаях видно, что функция распределения приближает эмпирическую функцию распределения нормированных максимумов прореженной выборки лучше, чем функция распределения.

В четвертой главе проведена обработка реальных данных о потреблении электроэнергии в России и температуре воздуха в Центральной Англии. Полученные результаты также сравнены с результатами, полученными с помощью классического подхода.

В первом параграфе четвертой главы представлены результаты обработки реальных данных, представляющих собой выборку, состоящую из ежедневных максимумов температур воздуха в Центральной Англии, взятых за период с 1 января 1878 по 31 декабря 1998 года, для которых описана процедура построения функции распределения годовых максимумов температур в этом регионе на основании классической теории экстремальных значений, на основании результатов главы и сравним каждую из полученных функций распределения с эмпирической функцией распределения.

Во втором параграфе четвертой главы исследуются данные о почасовом потреблении электроэнергии в России за период с 7 июня 2005 года по 22 июля 2005 года. Визуальный анализ изменения потребления электроэнергии позволяет сделать вывод о периодичности потребления за сутки. Более того, можно увидеть, что имеется периодичность, связанная с днями недели, и годичная периодичность (однородность по сезонам). При полном исследовании экстремальных значений потребления необходимо учитывать и годичный тренд. Задача полного исследования в работе не ставится.

В нашем случае, такой период взят как пример однородности по сезону. Были взяты только данные со вторника по четверг каждой недели, так как максимумы потребления в течение недели за рассматриваемый период достигаются только в эти дни и для этих дней наблюдается похожая структура потребления.

Для обоих примеров данных схема оценки функции распределения максимумов на основе результатов главы 1 одна и та же:

пусть – это выборочные значения случайного ряда, представимого в виде суммы некоторой детерминированной периодической составляющей и стационарного временного ряда, то есть:

Далее,положим, что детерминированная периодическая составляющая имеет период равный.

В качестве оценки для мы берем обычное эмпирическое среднее -ых наблюдения выборки в каждом из последующих периодов:

где, (- множество натуральных чисел), а -количество лет, охватываемые выборкой.

Пусть

Возьмем индекс максимального элемента последовательности и пусть такое, что в промежуток времени каждого периода попадают все максимумы за период нашей выборки. Будем рассматривать только такие промежутки (сезон) в каждый из периодов, охватываемых нашей выборкой. Им будут отвечать следующие элементы последовательностей,, :

Обозначим -ый элемент первой и второй подпоследовательностей через,, соответственно, а -ый элемент третьей подпоследовательности -.

Возьмем максимум элементов на каждом интервале индексов, где для ряда и ряда, получим:

Пусть последовательность - это выборка последовательности, тогда - это выборка последовательности. Положим, что обладает свойствами стационарности и асимптотической независимости. Тогда, применив результаты главы 1 для случая, когда периодический тренд равен нулю, получим предельную функцию распределения для нормированных максимумов случайного ряда (функцию распределения экстремальных типов). Оценим эту предельную теоретическую функцию распределения. Для этого необходимо оценить экстремальный индекс. Мы будем использовать оценку Пиккандса для экстремального индекса. Возьмем вариационный ряд последовательности

тогда оценка Пикандса для экстремального индекса имеет вид:

Кратко опишем статистические свойства этой оценки (см. [De Haan L., Ferreira A.(2006)]):

• Если при, тогда по вероятности стремится к.

• При некоторых дополнительных условиях имеет ассимптотическое нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией

Для того, чтобы выбрать оптимальное значение оценки, прибегнем к часто используемой процедуре (см. 7):

• Изобразим график множества

• Выберем наибольшую область, где график приблизительно горизонтален и в качестве оценки экстремального индекса берут значение соответствующее этому уровню.

Для того, чтобы оценить нормирующие коэффициенты, рассмотрим квантильквантиль график, представляющий собой множество, элементы которого составлены из пар, имеющих вид (квантиль уровня для эмпирической функции распределения ; квантиль уровня для функции распределения экстремальных типов с экстремальным индексом ), более формально:

29 30

Пусть в линейной регрессии значений на соответствующие значения, где – свободный член, а – коэффициент при регрессоре. Тогда в качестве оценок для берутся равными берутся и, соответственно. С помощью этой нормировки пронормируем максимумы :

3132

Обозначим эмпирическую функцию распределения величин через, а эмпирическую функцию распределения величин через.

Для сравнения эмпирической функции распределения и теоретической функции распределения экстремального типа с экстремальным индексом с учтенным псевдостационарным трендом.

Далее, воспользуемся результатами главы 1, в соответствии с которыми, при определенных достаточно общих предположениях, функция распределения

33 34

должна приближать эмпирическую функцию распределения выборки нормированных максимумов (17). Для того, чтобы увидеть насколько хорошо одна функция распределения приближается другой функцией распределения, обратимся к множеству

35 36

где является решением уравнения

37 38

Заметим, что это уравнение всегда имеет решение, так как функция, стоящая слева, монотонна по.

Схема оценки функции распределения максимумов на основе результатов классической теории экстремумов следующая:

Возьмем вариационный ряд последовательности :

Для оценки экстремального индекса применим оценку Пиккандса:

39 40

Для того, чтобы выбрать оптимальное значение оценки, прибегнем к уже описанной процедуре:

• Построим график функции

• Выберем наибольшую область, где график приблизительно горизонтален, и в соответствии со значением функции, отвечающем этому уровню, выбираем значение оценки Пикандса.

Определим линейную нормировку, построив прямую по методу наименьших взвешенных квадратов, приближающую квантильквантиль график

41 42

на плоскости. В соответствии с этой линейной нормировкой пронормируем максимумы:

43 44

Для сравнения эмпирической функции распределения и теоретической функции распределения экстремального типа с экстремальным индексом без учета псевдостационарного тренда обратимся к квантиль-квантиль графику

45 46

Сравнивая графики и, приходим к выводу, что учет периодического тренда позволяет получить более лучшие оценки для описания эмпирической функции распределения максимумов, чем оценки построенные на основании выборки, состоящей из ежегодных максимумов. Такие результаты можно объяснить тем, что учет нестационарности типа периодического тренда (даже малого, как в этом примере) позволяет оценивать параметры соответствующей функции распределения по большему числу данных по сравнению с числом данных, по которым оценивается функция распределения экстремального типа, а значит позволяет получить более устойчивые оценки.

III. Основные выводы по результатам исследования.

1. Получена предельная теорема для совместного распределения максимума отрезка стационарного временного ряда с добавленным малым псевдо-стационарным трендом и максимума по тому же отрезку, но с пропущенными наблюдениями. С этой целью введено понятие перемешивания высоких экстремумов при наличии тренда, обобщающее введенные ранее условия типа Лидбеттера.

2. С целью конкретизации условия перемешивания, рассмотрен случай гауссовского временного ряда. Оказалось, что если корреляционная функция исходного гауссовского стационарного ряда ведет убывает к нулю быстрее, чем, то предельный закон распределения максимума совпадает с законом, полусенным в условиях перемешивания. Если же где убывает к нулю пропорционально, то предельный закон уже отличается, он основан не на пуассоновском распределении высоких экстремумов, а на смеси пуассоновских - на процессе Кокса. То есть, найден пример временного ряда, не удовлетворяющего введенному условию перемешивания, для которого, тем не менее, получено предельное распределение максимума.

3. При помощи методов статистического моделирования проведено сравнение точности приближения распределения максимума, основанное на полученных в данной работе предельных теоремах и точности, основанной на классических приближениях, когда рассматриваются лишь сезонные максимумы. Поскольку в в новых приближениях задействованы не только сезонные максимумы, но и близкие к ним другие значения временного ряда, новые приближения оказываются точнее.

4. На основании полученных предельных теорем в диссертации разработаны методы статистического оценивания распределения параметров максимума отрезка временного ряда в условии наличия пропущенных наблюдений и сезонной составляющей. Проведена сравнительная статистическая обработка данных классическим и новым методом. Новый метод в данной модели дает безусловно лучшие результаты.

IV. Публикации по теме диссертации.

Работы, опубликованные автором в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ:

1. Кудров А. В. Оценка функции распределения максимумов выборок стационарных последовательностей с псевдостационарным трендом.// Журнал ''Прикладная эконометрика'', 2008, No. 3(11). – 1.2 п.л.

Другие работы, опубликованные автором по теме диссертации:

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»