WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

, (5)

и оставляющих систему (1) в классе М, решения системы (1) будут устойчивы при всех,, для которых выполняются неравенства

, (6)

где – некоторые положительные числа.

Только счетное число частот вида (3) и (4) может не быть сильно устойчивым.

Определение 3. Частоту будем называть сильно неустойчивой, если при произвольных, но достаточно мало измененных матрицах, в (1), удовлетворяющих (5) и оставляющих систему (1) в классе М, при любых найдутся, из (6), при которых решения системы (1) будут неустойчивы.

В этом случае к критической частоте будет примыкать широкая область неустойчивости.

Во второй главе исследуется устойчивость решений векторного уравнения, представляющего собой линейную модель движения динамической системы с гироскопической структурой при наличии возмущений при координате, следующего вида

. (7)

Получены следующие результаты.

Теорема 2.1. Если в системе (7) класса М с положительно определенными диагональными матрицами А, В и кососимметрической матрицей G матрица – симметрическая, то частоты (3) не могут быть сильно устойчивыми, а сопряженные им частоты (4) не могут быть сильно неустойчивыми.

Теорема 2.2. Если в системе (7) класса М с положительно определенными диагональными матрицами А, В и кососимметрической матрицей G матрица – кососимметрическая, то частоты (3) не могут быть сильно неустойчивыми, а частоты (4) не могут быть сильно устойчивыми.

Здесь теорема 2.1 обобщает результат М. Г. Крейна на некоторый класс систем с гироскопическим членом.

Теоремы 2.1 и 2.2 являются также обобщением теоремы К. Г. Валеева на системы с гироскопическими членами.

Приводятся формулы, определяющие границы области неустойчивости, выраженные через параметры системы.

Также изучается устойчивость решений векторного уравнения

(8)

для различных классов матриц возмущения. Доказаны теоремы 2.1 и 2.2.

Теорема 2.3. Если в системе (8) класса М с положительно определенными диагональными матрицами А, В и кососимметрической матрицей G матрица – симметрическая, то частоты (3) и (4) не могут быть сильно устойчивыми.

Теорема 2.4. Если в системе (8) класса М с положительно определенными диагональными матрицами А, В и кососимметрической матрицей G матрица

– кососимметрическая, то частоты (3) и (4) не могут быть сильно неустойчивыми.

Рассмотрены примеры, где результаты численного исследования уравнения согласуются с результатами, полученными аналитически.

Изучается влияние малых диссипативных сил на устойчивость динамической системы с гироскопической структурой при параметрических возмущениях. Рассматриваются уравнения вида

, (9)

где ; ; ;, G – кососимметрическая матрица вида

, (10)

, – вещественные периодические 2n2n матрицы с периодом, элементы которых представимы рядами Фурье:

(11)

Системой вида (9) описываются линеаризованные дифференциальные уравнения движения гиромаятника, четырехгироскопной вертикали, однороторного гирокомпаса и т. д. при линейных вибрациях основания с учетом сил трения в осях подвесов. Квадраты собственных частот системы (9) при выражаются формулами

, (12)

где введены безразмерные параметры

. (13)

Здесь – кинетический момент ротора гироскопа, – элементы матриц А и В (9).

Для быстровращающихся гироскопов имеют место соотношения

;. (14)

Частоты и (12) будем называть соответственно частотами нутационных и прецессионных колебаний. Для частоты в формуле (12) перед корнем следует взять знак «+». Для быстровращающихся гироскопов выполняются условия

. (15)

Используя результаты главы I, приводим уравнения (9) к специальной форме (2), где матрицы и имеют представление

(16)

Параметрический резонанс в системе (2) и (9) возможен при критических значениях частоты, определяемых

. (17)

Равенство (17) для данных и выполняется лишь при единственном наборе номеров. Границы областей неустойчивости

(18)

для системы (2) на плоскости параметров в первом приближении будут

. (19)

Здесь выражения для коэффициентов, полученные в работе К. Г. Валеева, для системы (2) без трения и с трением имеют соответственно вид

(20)

и

, (21)

где введено обозначение

,, (22)

. (23)

Приведем выражение для в случае основного (простого) резонанса при наличии в системе трения:

. (24)

Из анализа формул (20) – (24) следует, поскольку и имеют смысл угловых коэффициентов касательных в (19), то расширение области неустойчивости может происходить при введении трения лишь в случае комбинационного резонанса. Приведены выражения для коэффициентов Фурье элементов матрицы (16) системы (2), соответствующие частотам нутационных и прецессионных колебаний системы (9) при, полученных после преобразования уравнения (9) к виду (2):

(25)

где – элементы матрицы D – коэффициенты трения системы (9).

На основании соотношений (14) показано, что

. (26)

Неравенства (26) выполняются для систем с большим кинетическим моментом гироскопов (для быстровращающихся гироскопов). В дальнейшем соотношения (26) используются при доказательстве теоремы о расширении области неустойчивости.

Получено условие расширения области неустойчивости в случае комбинационного параметрического резонанса при наличии в системе (2) достаточно малого трения в виде:

, (27)

где и выражаются формулами (22) и (25).

Получен следующий результат.

Теорема 2.5. Если в системе (9) класса М с положительно определенными диагональными матрицами А, В и кососимметрической матрицей G комбинационная частота является сильно неустойчивой (>0), то введение трения при условии (27) приводит к расширению области неустойчивости.

На основании теоремы 2.5 и формул (21), (23) и (25) можно сделать заключение об особой опасности комбинационного параметрического резонанса для системы (9) в случае частот

. (28)

Это утверждение следует из того, что в формуле (23) при и множитель

,, (29)

входящий в выражение (21), при условии (26) принимает сколь угодно большие значения.

Как следует из формулы (24), силы трения при простом параметрическом резонансе сужают область неустойчивости.

В третьей главе исследуется устойчивость решений векторного уравнения вида

, (30)

где – вектор, 0 – малый параметр, ; ;, G – кососимметрическая матрица вида (10), – вещественная периодическая 2n2n матрица. Например, уравнениями вида (30) описывается движение гироскопической системы (в линейной постановке) при вибрациях основания прибора, когда центр тяжести системы расположен выше точки подвеса. Предполагается, что решения уравнения (30) при ограничены из-за наличия гироскопического члена. Квадраты частот собственных колебаний системы (30) при находятся из формулы

, (31)

где величины и определены по формулам (13), а и – частоты нутационных и прецессионных колебаний.

Установлен следующий результат.

Теорема 3.1. Если в системе (30) класса М с положительно определенными диагональными матрицами А, В и кососимметрической матрицей G матрица возмущения – симметрическая, то частоты

, (32)

не могут быть сильно устойчивыми, а частоты

(33)

не могут быть сильно неустойчивыми.

Этот результат является новым для систем вида (30) при симметрической матрице возмущений.

Теорема 3.2. Если в системе (30) класса М с положительно определенными диагональными матрицами А, В и кососимметрической матрицей G матрица возмущения – кососимметрическая, то частоты (33) не могут быть сильно устойчивыми, а частоты (32) не могут быть сильно неустойчивыми.

Данный результат также является новым для систем (30) с гироскопической стабилизацией при кососимметрической матрице возмущений. Теоремы 3.1, 3.2 и 2.1, 2.2 указывают на различное поведение систем (30) и (7) при заданных матрицах возмущений.

Также исследуется устойчивость гироскопически стабилизированной системы

(34)

для различных классов периодических матриц возмущений. Здесь X – 2n-мерный вектор; А и В – положительно определенные диагональные матрицы, G – кососимметрическая матрица вида (10).

Получены новые данные об устойчивости системы (34).

Теорема 3.3. Пусть в системе (34) класса М диагональные матрицы А и В – определенно положительные, матрица G (10) – кососимметрическая. Тогда:

1. Если матрица – симметрическая, то частоты

,

(35)

не могут быть сильно устойчивыми, а частоты

(36)

не могут быть сильно неустойчивыми.

2. Если матрица – кососимметрическая, то частоты (36) не могут быть сильно устойчивыми, а частоты (35) не могут быть сильно неустойчивыми.

Из утверждений теорем 3.3, 2.3 и 2.4 следует, что резонансные свойства систем (34) и (8) различны при параметрических возмущениях.

Приведены формулы, определяющие границы области неустойчивости, выраженные через параметры системы. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие основные положения изложенной теории.

Четвертая глава посвящена применению результатов, полученных в предыдущих главах, в исследовании конкретных гироскопических систем, подверженных действию периодических параметрических возмущений.

Исследуется движение гиромаятника и четырехгироскопной вертикали при вибрации основания по гармоническому закону в вертикальном направлении с учетом массы рамок и вязкого трения в опорах осей подвесов. При этом уравнения малых колебаний гиромаятника и четырехгироскопной вертикали представляют собой линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами вида (7) и (9), причем для четырехгироскопной вертикали матрица возмущения – симметрическая матрица четвертого порядка. Исследование устойчивости проводится согласно методике, изложенной в главах I – III. Приводятся формулы, определяющие границы области неустойчивости в случае простых и комбинационных параметрических резонансов. Установлено, что при определенных условиях наличие малого трения в осях карданова подвеса приводит к расширению области неустойчивости при комбинационном параметрическом резонансе. Показано, что при определенных соотношениях параметров гиромаятника простые параметрические резонансы отсутствуют. С помощью разработанного численного метода определяются границы области неустойчивости.

Рассматривается также случай, когда центр тяжести гиромаятника расположен выше точки опоры. При этом исследование параметрических колебаний гиромаятника проводится на основе метода, изложенного в главе III при исследовании гиростабилизированной системы.

Исследуется движение однороторного гирокомпаса с маятником при трехкомпонентной линейной вибрации основания. Полученные уравнения после линеаризации приводятся к линейным дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами вида (9), где матрица возмущения – симметрическая матрица второго порядка. Получены формулы для уравнения границ области неустойчивости на плоскости параметров. Приведены условия устойчивости, выраженные через параметры гирокомпаса, амплитуды вибраций и коэффициенты трения в осях подвесов.

Также рассматривается вопрос об устойчивости двухроторного гирокомпаса типа Аншютца при циркуляции корабля с учетом диссипативных сил. Уравнения движения приводятся к системе вида (2) в квазинормальных координатах. Получены уравнения границ области неустойчивости в первом приближении в случае параметрического резонанса. С учетом сил трения получены условия асимптотической устойчивости гирокомпаса.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

  1. Модифицирована линейная модель движения динамической системы с гироскопической структурой в специальных координатах с учетом действия диссипативных сил и параметрических возмущениях.
  2. Для построенной модели разработан приближенный аналитический метод исследования параметрического резонанса. Получены результаты, обобщающие теоремы об устойчивости решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами на более широкий класс уравнений с гироскопическим членом.
  3. Вычислительный эксперимент, проведенный для рассматриваемой модели, установил, что в случае комбинационного параметрического резонанса при введении в систему с гироскопической структурой достаточно малого трения происходит расширение границ области неустойчивости. Найдены условия, при которых происходит расширение области неустойчивости. Также получены новые данные об устойчивости гироскопически стабилизированной системы для различных классов параметрических матриц возмущений
  4. Разработан численный метод и комплекс программ для построения границ области неустойчивости. Созданные методы применены к исследованию параметрического резонанса в гироскопических системах.

публикациИ по теме диссертации

В рецензируемых журналах из списка ВАК

1. Исламов Р. Р. Исследование параметрического резонанса в гироскопических системах / Р. Р. Исламов, Р. Р. Исламов (мл.). // Вестник УГАТУ. – Уфа: УГАТУ, 2005. – Т. 6. – №1 (12). – С. 41–45.

2. Исламов Р. Р. Исследование устойчивости решений дифференциальных уравнений при параметрических возмущениях. / Р. Р. Исламов, Р. Р. Исламов (мл.). // Вестник УГАТУ. – Уфа: УГАТУ, 2005. – Т. 6. – №2 (13). – С. 40–44.

3. Исламов Р. Р. Исследование устойчивости решений системы с гироскопической стабилизацией при параметрических возмущениях. / Р. Р. Исламов // Вестник УГАТУ. Сер. «Управление, вычислительная техника и информатика». – Уфа: УГАТУ, 2007. – Т.9. – №4(22). – С. 34–38.

В других изданиях

4. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2007614619. Расчет областей неустойчивости решений уравнений с гироскопической структурой при параметрическом резонансе / Р.Р. Исламов. РосПатент, 2007.

5. Исламов Р. Р. Исследование устойчивости решений динамической системы с гироскопической структурой при параметрических возмущениях. / Р. Р. Исламов // Интеллектуальные системы обработки информации и управления: сб. материалов 2-й региональной зимней школы - семинара аспирантов и молодых ученых. Сер. «Управление, вычислительная техника и информатика». – Уфа: УГАТУ, 2007. – С. 20–24.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»