WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |

На правах рукописи

Исламов Ринат Робертович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

С ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Уфа 2007

Работа выполнена на кафедре вычислительной техники

и защиты информации в ГОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет»

Научный руководитель доктор технических наук,

профессор

ГУЗАИРОВ Мурат Бакеевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

АСАДУЛЛИН Рамиль Мидхатович

доктор технических наук,

профессор

ЮСУПОВА Нафиса Исламовна

Ведущая организация Башкирский государственный университет, кафедра математического моделирования

Защита диссертации состоится 14 декабря 2007 г. в 1000 часов на заседании диссертационного совета Д 212.288.06 при ГОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет» по адресу: 450000,
г. Уфа, Республика Башкортостан, ул. К. Маркса, д. 12, корп. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уфимского государственного авиационного технического университета.

Автореферат разослан 12 ноября 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета БУЛГАКОВА Г. Т.

доктор физико-математических наук,

профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Изучение моделей динамических систем с гироскопической структурой, описывающих движение данных систем при параметрических возмущениях с учетом диссипации, является актуальной задачей, поскольку динамические системы с гироскопической структурой встречаются во многих областях техники. Это гироскопические системы (гировертикали, гирокомпасы, гиростабилизаторы и т.д.), которые применяются в авиации и на морских судах для навигации и автоматического управления; на танках для стабилизации прицелов и орудий; в нефтяной и горнорудной промышленности при бурении скважин, прокладке шахт и тоннелей и т.д. В реальных условиях эксплуатации гироприборы находятся под воздействием разнообразных возмущений, которые могут привести к параметрическим резонансным явлениям, нарушающим нормальную работу гироприборов. Предвидение и предупреждение резонансных явлений – неотъемлемая часть расчетов на точность и стабильность работы гироскопических систем.

Изучение линейной математической модели движения динамических систем с гироскопической структурой в условиях параметрических возмущений и диссипации приводит к исследованию линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и гироскопическими связями, что представляет трудную для исследования задачу.

С такими уравнениями приходится встречаться при исследовании движения моделей гироскопических систем в линейном приближении при вибрациях основания, когда центр тяжести гироприбора смещен относительно точки подвеса (гиромаятник, гирокомпас и т.д.). Смещение центра тяжести может происходить в процессе его эксплуатации вследствие температурных напряжений, износа подшипников и т.д.

Большое число задач физики и техники сводится к исследованию систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, что подчеркивает актуальность указанной проблемы. Достаточно указать на теорию нелинейных колебаний, небесную механику, динамическую устойчивость упругих систем, проблемы волновой механики, колебаний коленчатых валов.

Несмотря на многочисленные исследования по изучению уравнений с периодическими коэффициентами, выполненные отечественными и зарубежными учеными, некоторые вопросы остаются нераскрытыми. Задача о влиянии малых диссипативных сил для системы с гироскопическими связями при параметрическом резонансе является актуальной, так как в реальных системах всегда имеет место диссипация, а этот вопрос изучен недостаточно. Также важной является задача об устойчивости гироскопически стабилизированных динамических систем при различных классах параметрических возмущений, которая на настоящий момент практически не изучена.

Необходимо отметить, что учет диссипативных сил в линейной модели движения делает непригодными многие методы, применяемые для исследования параметрических резонансов в канонических системах. Поэтому актуальна задача построения упрощенной линейной модели рассматриваемой динамической системы, удобной для дальнейшего исследования.

Цель работы

Целью работы является построение линейной модели динамической системы с гироскопической структурой при параметрических возмущениях с учетом диссипации в специальных координатах, разработка приближенного аналитического метода исследования устойчивости таких систем для различных классов параметрических возмущений, создание численного метода и комплекса программ для нахождения границ областей неустойчивости.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:

1. Построить линейную модель динамической системы с гироскопической структурой при действии диссипативных сил и параметрических возмущений в специальных координатах.

2. Разработать приближенный аналитический метод исследования устойчивости динамической системы при действии гироскопических и диссипативных сил в случае наличия параметрических возмущений на основе ее линейной модели.

3. Провести исследование влияния диссипативных сил на устойчивость динамических систем с гироскопической структурой в случае простого и комбинационного параметрических резонансов. Изучить движение гироскопически стабилизированных систем для различных классов периодических возмущений.

4. Разработать численный метод и комплекс программ для построения границ областей неустойчивости системы и применить созданные методы к исследованию параметрического резонанса в конкретных гироскопических системах.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Научная новизна разработанной линейной модели движения динамической системы с гироскопической структурой заключается в учете действия диссипативных сил и параметрических возмущений, а также в приведении ее к специальным координатам, удобным для дальнейшего исследования.

2. Разработан приближенный аналитический метод исследования устойчивости движения для построенной модели в случае параметрических возмущений, новизна которого заключается нахождении границ области неустойчивости непосредственно через параметры систем и обобщении результатов, касающихся устойчивости движения динамических систем при параметрических возмущениях на более широкий класс динамических систем с гироскопической структурой.

3. Получены данные о расширении границ области неустойчивости в случае комбинационного параметрического резонанса при наличии в системе с гироскопической структурой достаточно малого трения, научная новизна которых заключается в определении критериев, при которых происходит расширение границы области неустойчивости на плоскости параметров системы. Также получены новые данные об устойчивости гироскопически стабилизированной системы для различных классов параметрических матриц возмущений.

4. Разработан численный метод и комплекс программ для построения границы области неустойчивости в случае параметрического резонанса, опирающийся на новые подходы, предложенные в диссертационной работе.

Теоретическая и практическая ценность работы

Теоретическая ценность работы заключается в разработке приближенного метода исследования устойчивости для линейной модели динамической системы с гироскопической структурой по виду периодических матриц возмущений и установлении критерия расширения границы области неустойчивости в случае комбинационного параметрического резонанса при наличии малой диссипации.

Практическая ценность работы заключается в применении разработанных методов при исследовании устойчивости движения гироскопических приборов (гировертикали, гирокомпаса, четырехгироскопной вертикали) в случае параметрического резонанса. Получены соотношения, позволяющие отыскать параметры гироскопических приборов, исключающие возможность наступления простого параметрического резонанса. Разработанные численные методы используются для построения границ области неустойчивости.

Методы исследований

Поставленные в работе задачи решались с использованием методов математического моделирования и численного решения дифференциальных уравнений.

При решении задач использовались методы преобразования уравнений к форме Рауса и специальным координатам, а также методы математической теории параметрического резонанса.

Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в диссертационной работе, основывается на классических методах механики, математической теории параметрического резонанса и подтверждается сравнением полученных результатов с некоторыми известными.

На защиту выносятся:

1. Результаты исследования линейной модели некоторых динамических систем с гироскопической структурой при параметрических возмущениях.

2. Вывод о расширении области неустойчивости при комбинационном параметрическом резонансе для системы с гироскопическими связями при введении малой диссипации.

3. Исследование устойчивости гироскопически стабилизированных систем при симметрических и кососимметрических матрицах возмущений.

4. Использование полученных результатов и предложенного метода в исследовании некоторых гироскопических приборов.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях и семинарах:

  1. 2-я региональная зимняя школа-семинар аспирантов и молодых ученых. – УГАТУ, 2007.
  2. Международная математическая конференция «Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика». – Уфа, 2007.
  3. Международная конференция «Компьютерные науки и информационные технологии. CSIT’2007». – Уфа, 2007.
  4. Уфимский городской семинар по математическому моделированию, численным методам и программированию. – Уфа: БашГУ, 2007.

Публикации

Основные материалы диссертационной работы опубликованы в 7 работах, в том числе 3 статьи в издании, рекомендованном ВАК, 3 – в материалах и трудах конференций, 1 – свидетельство об официальной регистрации программного продукта.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, одного приложения и списка литературы. Работа без библиографического списка содержит 118 страниц машинописного текста и библиографический список из 110 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируется цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость результатов работы, выносимых на защиту, дается краткое описание работы и обзор работ, имеющих наиболее близкое отношение к теме диссертации.

В первой главе в предположении, что существуют циклические интегралы, уравнения движения динамической системы с гироскопической структурой приводятся к форме Рауса. Далее линеаризованные уравнения движения динамической системы для нециклических координат, при наличии  - параметрических возмущений с частотой и диссипативных сил (со слабой диссипацией), записываются в виде

, (1)

здесь X – n-мерный вектор;,,, – вещественные постоянные nn матрицы (* – знак транспонирования); – малый параметр;, – вещественные периодические nn матрицы, элементы которых представлены рядами Фурье.

Уравнения вида (1) часто встречаются в задачах современной техники и физики при исследовании параметрического резонанса. В дальнейшем исследуется устойчивость по Ляпунову решений X=0 системы (1) в зависимости от свойств возмущающих матриц, и находятся области неустойчивости на плоскости параметров в случае параметрического резонанса при наличии в системе диссипативных сил.

Для решения этих задач система (1) приводится к специальным (квазинормальным) координатам:

(2)

где Y – n-мерный вектор; – диагональная матрица, причем – частоты собственных колебаний системы (1) при ;, – периодические nn матрицы. Получены расчетные формулы, связывающие коэффициенты Фурье элементов матриц, и,,. Система дифференциальных уравнений (2) представляет собой упрощенную линейную модель исследуемой динамической системы, описываемой уравнениями (1) с точностью до. При этом устойчивость тривиального решения системы (2) равносильна устойчивости тривиального решения системы (1). Система (2) более удобна для исследования параметрического резонанса.

Также приводятся основные положения теории параметрического резонанса.

Уравнения (1), (2) при сколь угодно малом и некотором могут иметь неограниченные при решения. В этом случае говорят, что в системе наступает параметрический резонанс. Точку будем называть неустойчивой точкой, если уравнения (1), (2) для всех неотрицательных и, достаточно близких соответственно к и, имеют неограниченное при решение. На плоскости параметров,  множество всех неустойчивых точек распадается на счетное число связных областей, каждая из которых имеет вид «клинышков», примыкающих острыми концами к точкам, на оси. Частота называется критической (резонансной). Критическими частотами для систем (1), (2) могут быть лишь частоты вида

(3)

или

, (4)

где – частоты собственных колебаний систем (1) и (2) при. Частоты (3) при j=h называются частотами основного (простого) резонанса, частоты (3) при jh, а также частоты (4) называются частотами комбинационного резонанса.

Определение 1. Будем относить систему уравнений (1) к классу М, если ее характеристические показатели расположены симметрично относительно мнимой оси.

Постоянную симметрическую матрицу А будем называть определенно положительной матрицей, если ей соответствует положительно определенная квадратичная форма.

Определение 2. Частоту будем называть сильно устойчивой, если при произвольных, но достаточно мало измененных матрицах,

в (1), удовлетворяющих условию

Pages:     || 2 | 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»