WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |
  1. По правилам соответствующей нечеткой алгебры проводится обычная арифметическая операция (с числами x1 и x2 как с независимыми). Например, для гауссовского числа на этом шаге вычисляется как среднее значение a, так и его дисперсия 2; для сложения/вычитания независимых чисел x1 и x2 имеем

2 = 12 + 22, (4а)

для умножения/деления —

2 = a2(12/a12 + 22/a22). (4б)

Итоговая погрешность рассчитывается с учетом найденной на шаге 3 поправки.

Следует заметить, что в стандартной нечеткой алгебре (гауссовских и большинства других нечетких чисел) отсутствует свойство дистрибутивности погрешности (ширины интервала и т. п.). В частности, если x = a(b+c), а y = ab+ac, то алгебра независимых гауссовских чисел (см. формулы 4) дает (x2–y2) = 2bca2. Поправка из формулы (3а), учитывающая, что оба числа a в формуле для y — это одно и то же число, возвращает свойство дистрибутивности погрешности. Однако это верно только в том случае, если нечеткие числа, содержащие в своей линеаризованной истории одно и то же исходное нечеткое число, входят в формулы аддитивно (не перемножаясь). В противном случае даже предлагаемая поправка к погрешности (см. формулу 3б) не обеспечивает свойство дистрибутивности. Нарушение дистрибутивности допустимо в безытерационных алгоритмах решения алгебраических уравнений, однако в более сложных задачах оно приводит к неверному решению, — как правило, к экспоненциальному росту погрешности (со временем или с номером итерации). Поэтому вместо шагов 3–4 описанного алгоритма предлагается явно применять правила соответствующей алгебры по отношению к исходным нечетким числам. В случае гауссовских чисел этот («прямой») вариант метода дает:

, (5а)

, где (5б)

для j1j2, для j1=j2=j.

Эти формулы получаются напрямую путем сложения (5а) и умножения (5б) чисел x1 и x2 в представлении (1). Хотя необходимость в таком прямом методе вызвана свойствами операции умножения, наряду с (5б) необходимо также использовать формулу для сложения (5а) вместо (3а,4а). Сложение (5а) требует даже меньше машинных операций, чем (3а), однако умножение в прямом методе является гораздо менее экономичным: число машинных операций становится пропорциональным не длине линейной комбинации K, а K2. По этой причине для грубых оценок целесообразно производить умножение нечетких чисел не по старым, а по новым коэффициентам линейной комбинации, заменяя K2 умножений K сложениями:

. (5б)

Преимуществом формул (5) по сравнению с (3–4) является отсутствие необходимости в аналитических выкладках, которые для некоторых типов нечетких чисел являются очень громоздкими, а для произвольных функций принадлежности без интервального представления вообще невозможны. Кроме того, в прямом варианте метода достаточно решить задачу один раз при каких-то одних значениях параметров, заданных в какой-либо одной форме (можно даже при четких значениях), после чего можно много раз подставлять в найденные линейные комбинации не только другие значения нечеткости, но и нечеткие числа (с тем же средним), представленные в другой форме. Другими словами, каждый следующий расчет одной нечеткой задачи может проводиться без пересчета коэффициентов cj и, соответственно, без использования базовых вычислительных алгоритмов. Это существенно экономит машинное время в нечетких вычислительных экспериментах.

Предлагаемое правило изменения коэффициентов при вычислении произвольной элементарной функции над нечетким числом сводится к их умножению на скалярное значение производной этой функции

. (6)

Обосновать это приближенное правило можно исходя из линейной экстраполяционной формулы для f(x) (разложения в ряд Тейлора до первого члена). Для того чтобы сумма линейной комбинации вычисленного таким образом результата функции была равна скалярному значению результата, необходимо также положить

. (6)

Если производная определяется численно, то формулы (6,6) можно рассматривать как экстраполяцию значения функции нечеткого аргумента по близким (четким) соседним точкам на кривой f(a). Данный способ вычисления коэффициентов комбинации, не зависящий от функции f(x), позволяет определить и само нечеткое значение функции, используя только ее аналог для вещественных чисел f(a). Для этого достаточно восстановить нечеткость значения функции по найденной линейной комбинации, пользуясь стандартной формулой сложения независимых нечетких чисел (см. формулу 5а для гауссовских чисел).

Таким образом, прямой вариант метода нечеткой линеаризации является простой надстройкой над произвольной алгеброй независимых нечетких чисел (его реализация не требует изменения кода операций), а также предъявляет малые требования к этой алгебре (в частности, не требует специальных алгоритмов вычисления нечетких функций).

Количество машинных операций, необходимых для одной операции над нечеткими числами, пропорционально числу элементов K во множестве {j}1{j}2, т. е. длине линеаризованной истории результата операции: KK1+K2. Коэффициент пропорциональности для случая гауссовских чисел меняется в пределах от 4 до 13 (в зависимости от операции). В случае прямого метода расчета погрешности умножения (5б), количество операций пропорционально K1K2 (имеет вид 5K+(68)K1K2). При этом сложение (и умножение по формуле (5б)) занимает всего 3K операций, а вычисление нечеткой функции методом линеаризации, — 3K операций плюс затраты на однократное вычисление соответствующей скалярной функции и ее производной.

Основной проблемой, ограничивающей область применения предложенного метода, является эффект диссипации коэффициентов линейной комбинации, который при решении нелинейных задач (с использованием значения 1/2 параметра q формулы умножения (2б)) может приводить к существенному (иногда в разы) уменьшению погрешности по сравнению с методами многократного решения четких задач. Перспективными представляются следующие направления борьбы с диссипацией коэффициентов:

  1. Построение алгоритмов выбора оптимального весового коэффициента q в формуле умножения (2б), который по свойствам был бы между константным коэффициентом q = 1/2 (диссипативный вариант) и проанализированной в работе функцией отношения средних операндов с граничными условиями 0 и 1 (осциллирующий вариант).
  2. Использование вместо линеаризованной истории «истории второго порядка» — представление нечеткого числа в виде квадратного многочлена многих переменных.
  3. Хранение в «истории» не только разложения каждого числа по начальному состоянию системы, но и динамики этого состояния на протяжении нескольких операций (которые могут соответствовать одной или нескольким итерациям системы).

Глава 3 посвящена тестированию изложенного в главе 2 метода линеаризации с целью:

  • иллюстрации свойств получаемых с его помощью решений;
  • исследования влияния на эти свойства используемого численного метода;
  • оценки реальной производительности метода;
  • сравнения решений с результатами других авторов.

В этой главе рассматриваются нечеткие дифференциальные уравнения; и хотя в процессе их численного решения рассчитывались также нечеткие алгебраические уравнения, само по себе это не является предметом данной главы (см. также Главу 5). В частности, решаются колебательные уравнения 2-го порядка: нелинейное уравнение Релея

и его линейный аналог – простой осциллятор

.

Соответствующие задачи Коши имеют три общих параметра: множитель a = 0.2±0.1 и начальные условия x0 = 2±0.5, y0 = 1±0.5; параметр уравнения Релея b = aср.

На рис. 1А,Б показаны погрешности решений обоих уравнений, полученные при расчете на отрезке [0;80] с постоянным шагом 0.1 явным методом Рунге-Кутты 4-го порядка. На рис. 1В погрешность решения линейного уравнения сравнивается с модулем разности четких решений, полученных при значениях параметров, которые отличаются от указанных значений на j (в обе стороны). Тот факт, что кривая погрешности нечеткого решения ограничена кривыми разностей четких решений, показывает, что предлагаемый подход дает результат, близкий к стандартной методике учета нечеткости за счет многократного расчета четких задач.

А. Уравнение Релея

Б. Линейный осциллятор

В. Разности четких решений

Рис. 1. А, Б — погрешность () x-компонент решений. Тип линии соответствует учитываемым нечетким параметрам: пунктир – x0, штриховая – (x0, y0), сплошная – (a, x0, y0).
В – сравнение погрешности x-компоненты решения линейного уравнения (сплошная линия) с модулем разности решений, полученных при вариациях параметров (пунктир).

В работе исследовалась также зависимость погрешности нечеткого решения от свойств численного метода (порядка, явности) и шага интегрирования. При этом во всех случаях не обнаружено относительных различий погрешности решений, превышающих относительное различие самих (средних) решений. Это иллюстрирует тот факт, что коэффициенты линейной комбинации обрабатываются численными методами в соответствии с известными закономерностями «четкой» вычислительной математики.

Также следует обратить внимание на то, что при использованном (относительно грубом) шаге по времени, равном 0.1, скалярное решение уравнения Релея (при b > 10) явным методом начинает расходиться с некоторого момента времени. Однако это не мешает корректно рассчитывать нечеткость решения, так как расходимость проявляется только в свободном члене линейной комбинации, но не в ее коэффициентах.

Затраты машинного времени при использовании метода линеаризации оказались значительно меньше затрат на многократное решение четкой задачи (условия сравнения затрат см. ниже). В частности, расчет уравнения Релея с одним нечетким a требует 0.71 с, с 2-мя нечеткими (x0,y0) — 0.81 с, с 3-мя нечеткими (a,x0,y0) — 1.01 с; в то время как один четкий расчет занимает 0.25 с, а его 5, 25 и 125-кратные повторения занимают, соответственно, 0.86 с, 3.8 с и 19 с, что в 1.21, 4.7, и 19 раз больше.

Далее метод линеаризации сравнивается с методом многократного решения четких задач на примере нечеткой задачи из области теории массового обслуживания. Эта задача и соответствующий метод изложены в [1]. После загрузки экскаватором за время 1/ N грузовиков отвозят грунт, а спустя время 1/ встают снова в очередь к экскаватору. Нечеткие вероятности возникновения очереди из k грузовиков (обозначаемые через pk(t), k = 0,1,..N) определяются из следующей системы дифференциальных уравнений:

,

,

.

В расчетах 1/ принимается равным нечеткому числу с «треугольной» функцией принадлежности с основанием [2;6], а 1/ — [9;11]. В начальный момент времени состояние системы полностью определено: pN(0) = 1, а для k = 0,1,..N–1 pk(0) = 0.

На рис. 2 для случая N = 3 сопоставляются результаты решения данной задачи в интервальных числах (на базе алгебры, позволяющей интерпретировать среднее значение интервалов как четкое решение). Как видно, характерная неопределенность решения методом линеаризации меньше неопределенности, вычисленной по минимаксному критерию (но имеет качественно близкую динамику, включая эффект минимума погрешности в окрестности t = 5 с). Характерная погрешность, полученная методом многократного расчета четких задач, в диссертации также сравнивается с результатами применения метода линеаризации к различным алгебрам (гауссовская, несколько вариантов интервальной).

При решении задачи обслуживания N = 3 грузовиков методом нечеткой линеаризации с гауссовскими числами затраты машинного времени (за 400 шагов явного метода Рунге-Кутты 4-го порядка) составляют 1.0 с. При использовании интервальной алгебры с представлением нечетких чисел в виде 1 и 4 интервалов эти затраты увеличиваются. В случае стандартной интервальной алгебры они составляют 1.5 и 2.5 с, соответственно.

А. p2(t) методом линеаризации

Б. p2(t) из [*]

Рис. 2. Сравнение методов при N = 3: вероятность очереди из двух грузовиков p2(t)

Для оценки аналогичных временных затрат при многократных расчетах четкой задачи предполагается, что каждый нечеткий параметр может быть принят равным одному из M = 5 четких значений (это минимум, необходимый даже для приближенного анализа). Соответственно, K нечетких параметров в силу их независимости дают MK комбинаций четких значений, два параметра данной задачи — M2 = 25. Для каждой такой комбинации нужно проводить свой расчет, не говоря уже о дополнительном n-кратном увеличении числа расчетов при аппроксимации функции принадлежности n интервалами. В [*] число n варьировалось от 4 до 8; здесь при оценках затрат n равнялось 1 (при этом нечеткая задача заменяется на интервальную). Даже в этом случае 25-кратный расчет задачи занимает 3.7 с машинного времени, что в 2.5 раз больше, чем расчет методом линеаризации в интервальных числах (с n = 1), и в 3.7 раз больше, чем в гауссовских.

Глава 4 описывает разработанную модель кровообращения (поскольку новизна модели сосредоточена в способе формализации ею сердечной деятельности, ниже она называется моделью сердца). Модель является квазистационарной, то есть в ней рассчитываются средние равновесные значения давлений и скоростей. Под равновесными значениями здесь понимаются те, которые устанавливаются в кровеносной системе спустя некоторое время после какого-либо изменения её входных данных (это время имеет порядок 1 сек), а под средними значениями – осреднённые по периоду сердечного цикла (также около 1 сек); пульсации параметров явно не учитываются. Модель является замкнутой в том смысле, что не содержит в качестве исходных данных гемодинамические переменные (давления или скорости кровотока) ни в одной точке кровеносной системы.

Свойства сердца принято сводить к 3-м эмпирическим диаграммам «давление–объём»:

Pages:     | 1 || 3 | 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»