WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 |

На правах рукописи

Евдокимов Алексей Витальевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ НЕЧЕТКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Специальность: 05.13.18
Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата
физико-математических наук

Москва – 2003

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте
(государственном университете) на кафедре вычислительной математики

Научный руководитель:

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук,
профессор Холодов Александр Сергеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,
профессор Фаворский Антон Павлович

кандидат физико-математических наук,
Толстых Михаил Андреевич

Ведущая организация:

Институт математического моделирования РАН

Защита диссертации состоится «____» _______________ 2003 г. в ____ часов на заседании диссертационного совета К 212.156.02 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу:
г. Долгопрудный Московской обл., Институтский пер., д. 9

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института.

Автореферат разослан «____» ________________ 2003 г.

Ученый секретарь
диссертационного совета: Федько О.С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Диссертация относится к области численных методов решения уравнений с недетерминированными параметрами (конкретнее, нечетких уравнений), и к области моделирования физиологических систем, – прежде всего, с помощью указанных методов. Актуальность темы во многом обусловлена принципиальной неопределенностью параметров физиологических моделей и отсутствием нечетких методов, способных при разумных затратах вычислительных ресурсов решать нелинейные алгебраические и дифференциальные системы высокой размерности.

Физиология человека является одной из наиболее слабо формализуемых предметных областей, где математические модели зачастую базируются на принципиально приближенных закономерностях (не только на физических законах, но и на экспертных оценках), а значения их параметров всегда имеют существенную неопределенность (обусловленную низкой точностью измерений, субъективностью оценок, вариабельностью значений у различных людей). В то же время, сложность (в частности, нелинейность) уравнений в физиологии достаточно высока, не позволяя использовать аналитические методы получения их решения и оценок его погрешности.

Поэтому в физиологии и аналогичных областях используются численные методы, работающие с недетерминированными значениями параметров и переменных. Условно их можно разделить на три класса: стохастические, интервальные и нечеткие методы. Каждый из них имеет свои достоинства и недостатки; в частности, наиболее мощные и универсальные нечеткие методы (на базе многократного решения четких задач c комбинированием значений параметров) требуют неприемлемых (для физиологических моделей) вычислительных затрат, растущих экспоненциально с числом нечетких параметров. С другой стороны, высокопроизводительные алгебраические методы обладают более узкой областью применения, требуют аналитических выкладок для каждого типа задачи. Наиболее развитые из них интервальные методы дают слишком большую по величине и слишком малоинформативную по форме неопределенность результатов (что имеет смысл, как правило, только при поиске гарантированных оценок допустимых режимов безотказной работы каких-либо систем). В связи с этим, проблема сочетания в одном методе достоинств существующих подходов к численной обработке неопределенности до сих пор является актуальной.

Наряду с указанной методической проблемой, при разработке комплексных моделей функциональных систем организма возникает также много проблем содержательного характера. Одна из них — проблема моделирования работы сердца и ее регуляции, встречающаяся в большинстве таких исследований — подробно изучается в данной работе. Несмотря на огромное число публикаций по этой тематике, до сих пор актуальной задачей является создание замкнутой модели кровообращения, которая была бы максимально близка к принятому в физиологии способу описания закономерностей сердечной деятельности, и поэтому имела бы минимальное число подлежащих идентификации параметров и минимальный уровень формализации (что позволило бы использовать ее не только математикам, но и специалистам предметной области).

Цель работы

В соответствии с двумя упомянутыми выше проблемами, цель диссертации имеет две тесно взаимосвязанные составляющие:

  • создание высокопроизводительного, универсального и простого в реализации метода численного расчета нечетких уравнений разного типа;
  • моделирование с его помощью конкретных физиологических систем, включающее анализ погрешности (нечеткости) результатов и их чувствительности к параметрам.

Научная новизна

Научная новизна работы заключается, прежде всего, в разработанном методе линеаризации; а именно:

  • впервые преодолена проблема быстрого (экспоненциального) роста вычислительных затрат с числом нечетких параметров задачи, которая характерна для современных неалгебраических нечетких методов;
  • разработанный метод впервые среди высокопроизводительных алгебраических методов решает произвольные нелинейные дифференциальные уравнения и при этом не требует аналитических выкладок для каждого типа задачи;
  • впервые вместе с расчетом погрешности (нечеткости) результатов моделирования метод решает задачу анализа чувствительности (приближенно рассчитывает коэффициенты вклада параметров в результаты);
  • впервые метод позволяет единообразно рассчитывать нечеткие числа разного типа и с разной алгеброй без разложения их функций принадлежности на интервалы, а также в одном расчете получать семейство результатов, для которых нечеткости параметров отличаются по величине и форме представления.

Научная новизна содержательной части работы относится к модели сердца и заключается в уходе от физических аналогий, которые обычно приводят к большому количеству неидентифицируемых параметров. Вместо них в модели впервые явно используются имеющиеся эмпирические зависимости и данные о насосных свойствах сердца.

Кроме того, проведенные расчеты с нечеткими параметрами обладают новизной для всех рассматриваемых моделей. Особенно это касается модели нефрона с хаотическим решением: влияние неопределенности параметров на системы со странным аттрактором до сих пор исследовано слабо.

Практическая ценность

Практическая ценность части результатов работы, связанных с методом линеаризации, обусловлена, прежде всего, его ориентацией на применение в прикладных программных пакетах для моделирования. Свойства метода позволяют существенно ускорить и упростить для пользователей таких пакетов оценку неопределенности результатов моделирования, а также оценку степени влияния на них различных параметров. Применяемый вне пакета, метод также позволяет сократить затраты на программную реализацию вычислительных моделей — за счет того, что одну и ту же реализацию метода без изменений в программном коде можно использовать совместно с реализациями относительно произвольных «четких» численных методов и произвольных нечетких чисел.

С точки зрения использования в прикладных моделях функциональных систем организма человека, основным преимуществом разработанной модели сердца является ее замкнутость, т. е. способность замыкать квазистационарные (с характерными временами не менее секунды) модели сосудистых систем, — без привлечения каких бы то ни было эмпирически необоснованных параметров (например, давлений).

Защищаемые положения

  1. Разработанный численный метод позволяет решать нечеткие нелинейные алгебраические и дифференциальные уравнения (с произвольной формализацией нечеткости) ценой существенно меньших вычислительных затрат, чем существующие аналоги.
  2. Устойчивость расчета «нечеткости» предложенным методом наблюдается при условиях, более слабых, чем условия устойчивости расчета соответствующего «четкого» решения. Погрешность метода является приемлемой для рассмотренных в диссертации тестовых и прикладных задач.
  3. Выполненная программная реализация метода удовлетворяет требованиям прикладных пакетов моделирования в слабо формализуемых предметных областях, в частности, сочетается с произвольными «четкими» вычислительными алгоритмами и с разнообразными формами нечетких чисел с произвольной алгеброй.
  4. Созданная модель сердца адекватно известным фактам рассчитывает все основные гемодинамические переменные при малом (по сравнению с аналогами) числе входных параметров.
  5. Полученные результаты расчета нескольких нечетких физиологических моделей показывают эффективность предложенного метода и дают полезную информацию о погрешности результатов моделирования (обусловленной неопределенностью параметров), а также об их чувствительности к параметрам.

Апробация

Результаты работы докладывались:

  • на научных конференциях МФТИ (Долгопрудный, 1999, 2003);
  • на международной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003).
  • на научно-практической конференции «Теоретические и практические аспекты медицинской кибернетики» (Москва, 2001).

Публикации

Научные результаты диссертации опубликованы в 8 работах общим объемом 56 стр.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Каждая глава завершается разделом «Резюме» с перечнем полученных в ней результатов и промежуточными выводами. Общий объем диссертации составляет 125 страниц, в том числе 116 страниц основного текста, включающего 43 рисунка и 5 таблиц. Список литературы включает 53 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 (Введение) включает описание актуальности темы, цели и задач работы, обоснования новизны ее результатов, а также формулировку защищаемых положений и ограничений работы (т. е. задач, которые в ней не решались, и областей применимости результатов решенных задач). Большая часть Введения отводится обзору математических методов обработки неопределенности и существующих моделей кровообращения; на основании этого обзора указывается место предложенного в работе метода и модели.

Глава 2 посвящена изложению идеи, математической и алгоритмической формулировки метода линеаризации, а также теоретическим оценкам эффективности метода, анализу его области применимости и перспективам его совершенствования.

Идея преодоления проблемы операций над зависимыми нечеткими числами состоит в том, что число должно хранить не только свое текущее значение (включающее некоторым образом формализованную погрешность), но и информацию о том, из каких исходных данных и как это число было получено. Это дополнительно дает очень полезную в приложениях возможность анализа результатов численных экспериментов на предмет того, каким образом сказались на них заданные исходные данные. Однако буквальная реализация указанной идеи приводит к неадекватным затратам памяти и времени расчетов: фактически, нечеткое число превращается из значения в формулу зависимости значения от исходных данных; причем с каждым параметром этой формулы при арифметических операциях должны производиться сложные вычисления. Поэтому в целях экономии ресурсов нечеткое число предлагается представлять в виде линейной комбинации по нечетким числам — исходным данным. Это выражается формулой

, (1)

где x0i — часть числа xi, не зависящая от исходных нечетких чисел j. В числе xi должны храниться лишь ссылки на эти числа (или их идентификаторы j, в зависимости от языка реализации), и скалярные коэффициенты cij при них. Ниже такая конструкция называется «линеаризованной историей» числа. В отличие от отмеченного выше полного варианта хранения информации об истории, текущее значение нечеткого числа при использовании линеаризованной истории не теряет смысла и также должно храниться в числе.

В базовом варианте метода алгоритм арифметической операции над числами x1 и x2 выглядит следующим образом:

  1. Определяется набор исходных данных {j}, которые должны входить в линеаризованную историю результата операции. В простейшем случае это делается объединением множеств {j}1 и {j}2, хотя число элементов множества {j} может быть уменьшено путем исключения тех исходных чисел j, которые дают несущественный вклад в x.
  2. Для каждого j{j}1{j}2 рассчитываются коэффициенты линейной комбинации (для остальных j из {j}1 или {j}2 расчет тривиален). В случае сложения/вычитания это можно сделать точно:

x = x1 ± x2, (2а)

в случае умножения/деления — лишь приближенно (заменяя по очереди каждый из нечетких операндов xi на его среднее скалярное значение ai):

x = x1x2, (2б)

где вес q является одинаковым для всех j, в простейшем случае равен 1/2 и может зависеть от всех произведений cija3–i. Выбор весовой функции q влияет на погрешность и устойчивость метода. В случае деления рекомендуется рассматривать 1/x как элементарную функцию (см. формулу (6)), вследствие чего

x = x1/x2. (2в)

  1. Вычисляется величина поправки к погрешности, обусловленной наличием в линеаризованных историях x1 и x2 одних и тех же чисел j. Данный шаг алгоритма является единственным, который требует проведения различных аналитических выкладок для разных форм нечетких чисел. В случае гауссовских чисел эти выкладки дают для сложения/вычитания

, (3а)

для умножения —

, (3б)

а для деления —

, (3в)

где 2j — дисперсии исходных нечетких чисел, 2 — (аддитивная) поправка к дисперсии 2, вычисляемой на шаге 4.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»