WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Пусть аналитическое решение задачи,,,площадь поверхности и объем фигуры, полученной аналитически, - численное решение задачи, -количество итераций метода, -площадь поверхности и объем фигуры, полученной численно,,- точность численного метода, - норма в. Построено численное решение задачи при следующих значениях параметров: =0,8, D=1, r=1, =1, q=3000, =. Начальное приближение выбрано в виде. В результате работы метода получены значения:,,,,, при этом,. На рис. 3,4 приведены графики функций,, полученных методом внешних штрафных функций и аналитически.

Рис.3. Графики

Рис.4. Графики

Аналогично получено численное решение задачи о построении фигуры минимальной площади поверхности при следующих значениях параметров: =0,8, D=1, r=1, =0,8, q=3000, =,. В результате работы метода вычислены значения:,,,,, при этом,. Графики функций,, полученных численно и аналитически, представлены на рис. 5,6.

Рис.5. Графики

Рис.6. Графики


Таким образом, оптимальное управление, определенное методом штрафных функций, имеет отклонения от аналитического решения.

В третьей главе_диссертационной работы рассматривается решение экстремальных задач геометрии для фигур вращения методами нелинейного программирования.

Задача (6)-(10) приводится к виду: минимизировать функционал

(15)

при ограничениях

(16)

,

(17)

,,,

(18)

,,,.

(19)

Строится дискретная задача нелинейного программирования, аппроксимирующая (15)-(19). Пусть,,,,,,,, четно. Применяя формулы Эйлера аппроксимации производных,, с учетом (16),(17) получаем ограничения на :,. Дискретная задача, аппроксимирующая (15)-(19) с точностью, принимает вид: минимизировать

,

(20)

,,

(21)

(22)

(23)

,,

(24)

,,,,.

Из условий (21) получены линейные ограничения для :

,,,

.

(25)

Построен алгоритм решения рассматриваемой задачи методом градиентного спуска, где ограничения (22)-(25) учтены посредством проекции на допустимое множество. Для определения направления приближения к экстремуму применяется метод наискорейшего спуска, сопряженных градиентов, метод Ньютона. В табл.1 приведены результаты работы градиентных методов при решении рассматриваемой задачи. При =0.9, D=1, r=1, =1,, = известно:,.

Табл.1. Сравнительный анализ градиентных методов при решении задачи

q

Значе-

ние

Методы

q

Значе-

ние

Методы

наиск. спуска

сопряж.

град.

Ньютона

наиск. спуска

сопряж.

град.

Ньютона

500

16448

13

8

120834

32

24

-1,9890

-1,9890

-1,9891

-1,9897

-1,9898

-1,9898

0,12

0,11

0,11

0,07

0,05

0,05

0,05

0,04

0,04

0,015

0,01

0,01

3,1227

3,1229

3,1229

3,1238

3,1239

3,1239

Экстремальная фигура имеет вид, представленный на рис. 1.

В результате решения задачи методом градиентного спуска при выборе параметров:, =0,9, D=1, r=3, =0.95, =0.975, =0.9875,,,, = получены значения:,, Графики, опорной функции и вид экстремальной фигуры, соответствующих численному решению, приведены на рис.7-9.

Аналогично разработан и реализован алгоритм решения задачи (6),(7),(9),(11): максимизировать функцию (20) при ограничениях (21), (22),

(26)


где,,,,,,,

(27)

,,,,

При, =0,8, D=1, r=1, =0,8,, = получено:,,, =12320,, при этом,. Вид экстремальной фигуры представлен на рис.2.

При, =0,9, D=1, r=2, =0,93, =0,95,,, = получены значения: =25832,,. Графики, и вид экстремальной фигуры, приведены на рис. 10-12.

Рис.7. График

Рис.8. График

Рис.9. Вид фигуры

Рис.10. График

Рис.11. График

Рис.12. Вид фигуры

Разработан и реализован алгоритм построения методом градиентного спуска оптимального решения задачи о нахождении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения максимального объема: минимизировать

при ограничениях (21)-(24).

При выборе параметров:, =0.8, D=1, r=1, =1,, = получено:,,,,. Аналитическому решению соответствуют величины:,. Экстремальная фигура имеет вид, представленный на рис.1.

Аналогично приведена схема решения задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения минимального объема, которая сводится к нахождению максимума функции (28) при ограничениях (21),(22),(26),(27). Выбраны следующие значения параметров: =0.9, D=1, r=1, =0.9,, =. При этом получено: =12846,,,,,,. Экстремальная фигура имеет вид, представленный на рис.2.

Для рассмотренных задач произведен анализ влияния вычислительных параметров на оптимальное решение. Приведены результаты их численного решения методом градиентного спуска при заданном количестве и расположении дополнительных ограничений.

В работе рассматривается решение задачи о построении произвольной выпуклой фигуры вращения максимальной площади поверхности

при ограничениях:,,,,

В обозначениях,,,,, задача сводится к минимизации

(29)

при ограничениях:

,,,,

,,

,

,,,,

,.

(30)

Дискретная задача нелинейного программирования, аппроксимирующая (29),(30) с точностью, имеет вид: минимизировать функцию

(31)

при ограничениях:

,

(32)

,

(33)

,,

(34)

,

(35)

где,,,,,,,

,,,,,

,,,.

Описывается схема построения оптимального решения методом градиентного спуска. При значениях параметров:, =0.9, D=1, r=2, 0.95, =-0.02, =0,,, =0,9, =0, = получено:,, =27012. График опорной функции и вид экстремальной фигуры приведены на рис. 13,14.

Рис.13. График

Рис.14. Вид фигуры

Аналогично решается задача о нахождении выпуклой фигуры вращения максимального объема, для которой дискретная аппроксимирующая задача состоит в минимизации функции

(36)

при ограничениях (32)-(35).

При, =0.9, D=1, r=2, ==0.95,, =0,,, = получено:,, =26821.

Четвертая глава диссертационной работы посвящена решению задач о построении произвольных выпуклых экстремальных пространственных фигур.

Рассматривается задача о нахождении формы пространственной выпуклой фигуры максимальной площади поверхности: минимизировать

(37)

при ограничениях:

(38)

,

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»