WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Первая часть главы посвящена оптимизации предела ответственности для страховой компании и для страхователя. Обозначим ожидаемый доход страховой компании за.

Теорема 1. Функция является убывающей, а функция – возрастающей.

Увеличение предела ответственности снижает надежность, но увеличивает ожидаемый доход страховой компании. Таким образом, для обеспечения высокой надежности страхования предел ответственности необходимо устанавливать на низком уровне.

Обозначим пороговый уровень затрат, приемлемый для страхователя за, а вероятность превышения порога – за.

Теорема 2. Функция является убывающей и, если. Если, функция является кусочно-монотонной и, где – это точка разрыва функции, являющаяся решением уравнения

.

Заметим, что – это стоимость полного страхования без ограничения ответственности, а приведенное уравнение требует, чтобы стоимость страхования с пределом ответственности равнялась пороговому значению затрат. Таким образом, страхователю выгоднее тратить на страхование максимально возможную для него сумму денег, ничего не оставляя на возможный ущерб, превышающий предел ответственности.

Во второй части главы рассмотрены задачи оптимизации уровня безусловной франшизы для страховой компании и для страхователя.

Теорема 3. Функции и являются убывающими.

Увеличение уровня франшизы снижает и надежность, и ожидаемый доход страховой компании. Поэтому страховой компании следует устанавливать безусловную франшизу на максимально низком уровне или вообще отказаться от ее использования.

Теорема 4. Функция является убывающей и, если. Если, то функция – кусочно-монотонная и.

Заметим, что – это стоимость страхования без франшизы и с некоторым пределом ответственности. Значение франшизы означает отсутствие страхования, потому что все риски остаются на удержании страхователя. Таким образом, если у страхователя достаточно средств, чтобы приобрести страховку без франшизы с каким-либо пределом ответственности, то ему выгоднее сделать это. Если при этом можно выбирать не только уровень франшизы, но и предел ответственности, то оптимальным будет выбор максимально возможного предела ответственности (теорема 2). Если же страхование без франшизы слишком дорого при любом допустимом пределе ответственности, то оптимальным является отказ от страхования.

В третьей части главы исследуется задача определения оптимального уровня собственного удержания при эксцедентном перестраховании. Решение этой задачи получено для обеих моделей страховых рисков.

Общие затраты страховой компании складываются из случайной величины суммарных страховых выплат и фиксированной стоимости перестрахования. При эксцедентном перестраховании чем больше ущербов передается на перестрахование (меньше уровень собственного удержания), тем выше ожидаемые затраты страховой компании, с одной стороны, но ниже дисперсия страховых выплат, а значит и риск больших убытков, с другой стороны. В результате существует уровень собственного удержания, обеспечивающий такие математическое ожидание и дисперсию затрат страховой компании, при которых ее надежность максимальна.

Теорема 5. Если для модели индивидуальных рисков выполняются условия:

,

то функция является унимодальной и достигает своего максимума в точке, где – это единственное решение уравнения

, где

.

В противном случае функция является возрастающей и достигает своего максимума в точке.

Заметим, что значение означает отсутствие перестрахования, так как все риски остаются на собственном удержании страховой компании. Приведенная система неравенств представляет собой условия на параметры, при выполнении которых перестрахование выгодно с точки зрения надежности страховой компании. Трансцендентное уравнение на оптимальный уровень собственного удержания имеет единственное решение, которое можно получить численно, используя стандартные методы решения уравнений. Аналогичные результаты получены в рамках модели коллективных рисков.

Теорема 6. Если для модели коллективных рисков выполняются условия:

,

то функция является унимодальной и достигает своего максимума в точке, где – это единственное решение уравнения

, где

.

В противном случае функция является возрастающей и достигает своего максимума в точке.

Численные расчеты (проводимые с помощью разработанного в Matlab комплекса программ) показывают, что перестрахование позволяет повысить надежность на 1-3%. Получить такое повышение надежности при высоких ее значениях (например, с 97% до 99%) сложно, потому что функция распределения суммарных страховых выплат растет очень медленно в этом диапазоне. Например, увеличение надежности с 97% до 99% с помощью рисковой надбавки может потребовать двукратного увеличения стоимости страхования, что негативно скажется на конкурентоспособности страховой компании.

В третьей главе разработан подход к вычислению функции надежности при разрывной функции распределения выплат. В работе получена рекуррентная формула для функции распределения суммы страховых выплат при эксцедентном перестраховании. Формула позволяет разработать алгоритм последовательного вычисления распределения суммарных выплат. Для равномерного распределения ущерба из рекуррентной формулы выведена явная аналитическая формула функции распределения. Основная сложность заключается в том, что распределение выплаты в одном страховом случае имеет разрыв в точке r вследствие перестрахования. Дискретная составляющая распределения серьезно усложняет задачу вычисления функции распределения для суммы случайных величин.

Обозначим функцию распределения выплаты в одном страховом случае при эксцедентном перестраховании за, а ее плотность вероятности за :

.

Если при этом ущерб имеет равномерное распределение (), то будем обозначать функцию распределения выплаты за :

.

Функцию распределения суммы независимых случайных величин, имеющих распределение, обозначим за.

Лемма 1. Справедлива следующая рекуррентная формула для функции :

Теорема 7. Функция удовлетворяет следующей рекуррентной формуле:

Здесь за обозначена функция на отрезке, или k-я часть этой кусочно-непрерывной функции.

Лемма 2. Если, то для -й части () функции справедлива следующая формула:

.

Теорема 8. Если, то для -й части ( ) функции справедлива следующая общая формула:

.

При получаем известную формулу для равномерного распределения ([Feller, 1950]10):

.

С помощью найденной формулы можно получить функцию распределения суммарных выплат страховой компании и вычислить ее в любой точке с заданной точностью. Обозначим за функцию распределения суммарных выплат страховой компании при эксцедентном перестраховании в случае равномерного распределения ущерба.

Теорема 9. В модели индивидуальных рисков справедлива формула:

, где

, при.

С помощью теоремы 9 можно вычислить с любой наперед заданной точностью. Пусть – это минимальное значение индекса суммы, до которого достаточно посчитать обе суммы в формуле для, – остаток любой из этих сумм, тогда при выполнении условий

имеет место оценка точности.

Теорема 10. В модели коллективных рисков справедлива формула:

, где

, при.

С помощью теоремы 10 можно вычислить с любой наперед заданной точностью. Пусть – это минимальное значение индекса суммы, до которого достаточно посчитать обе суммы в формуле для, – остаток любой из этих сумм, тогда при выполнении условий

имеет место оценка точности.

Надежность равна значению функции распределения суммы выплат в точке и может быть точно вычислена по приведенным выше формулам. Для автоматизации вычислений разработаны соответствующие программы в Matlab, позволяющие точно вычислять надежность страховой компании при различных значениях параметров, получать функцию зависимости надежности от уровня собственного удержания и находить оптимальное значение этого уровня, обеспечивающее максимум надежности. Сравнение точных результатов с результатами, полученными во второй главе, позволяет сделать вывод о том, что подход главы II достаточно точно определяет оптимальный уровень собственного удержания, однако немного завышает надежность страховой компании (см. рис. 1).

Рис. 1. Сравнение функции надежности Rl с точной

С помощью точных вычислений обнаружен необычный феномен функции надежности при эксцедентном перестраховании. Функция надежности при малом среднем числе страховых случаев ( в модели индивидуальных рисков и в модели коллективных рисков) имеет значительный скачок, достигающий 10% при определенных значениях параметров (см. рис. 2).

Рис. 2. Эффект скачка функции надежности

Эта особенность зависимости надежности от уровня собственного удержания имеет важное практическое значение для страховой деятельности. Она возникает не только при равномерном распределении ущерба, но и при любом другом. Результаты, полученные в следующей главе с помощью имитационного эксперимента, подтверждают этот факт.

В четвертой главе рассматривается применение методов имитационного моделирования для анализа оптимальных параметров в страховых моделях. Необходимо отметить, что полученные имитационным методом результаты обладают определенным разбросом. Поэтому к значениям любой вычисленной функции применяется сглаживание. В диссертации разработана и программно реализована имитационная модель деятельности страховой компании, позволяющая численно находить оптимальные параметры страхования. Рассмотрено применение этой модели для определения оптимального уровня собственного удержания при эксцедентном перестраховании. Результаты, найденные с помощью имитационного подхода, сравниваются с результатами главы II и главы III (см. рис. 3). Для широкого класса распределений подход главы II определяет оптимальный уровень собственного удержания с хорошей точностью, однако несколько завышает надежность страховой компании.

Рис. 3. Сравнение функций надежности

Результаты, полученные на основе имитационного подхода, подтверждают для различных распределений ущерба феномен скачка функции надежности, обнаруженный в третьей главе (см. рис. 4).

Рис. 4. Эффект скачка функции надежности при нормальном распределении ущерба

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. В рамках моделей индивидуальных и коллективных рисков получены уравнения на оптимальные значения параметров страхования, обеспечивающих максимальную надежность страхового портфеля для случая разрывной функции распределения выплат. Для вычисления оптимальных значений параметров реализован комплекс программ в системе Matlab.

2. Разработан подход к вычислению распределения суммарных выплат при разрывной функции распределения индивидуальной выплаты. Найдено явное выражение функции распределения суммарных выплат для равномерного распределения ущерба. Разработан комплекс программ численного вычисления функции надежности.

3. Разработан комплекс программ для вычисления надежности страхового портфеля с разрывной функцией распределения выплат на основе имитационного моделирования. Проведен анализ точности имитационного подхода.

Работа выполнена при поддержке лаборатории ТАПРАДЕСС НФ ГУ-ВШЭ.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Работы, опубликованные автором в ведущих рецензируемых научных журналах и журналах рекомендованных ВАК Министерства образования и науки России:

  1. Бацын М.В., Калягин В.А. Об одном случае вычисления распределения суммарных выплат в задаче перестрахования индивидуальных рисков // Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика. Выпуск 3(14). 2009. С. 81-100. 1,3 п.л. (вклад автора 0,9 п.л.).

Другие работы, опубликованные автором по теме кандидатской диссертации:

  1. Бацын М.В., Калягин В.А. О качестве одной имитационной модели для определения оптимального уровня собственного удержания при эксцедентном перестраховании убытка // Известия АИН им. А.М. Прохорова. Бизнес-информатика. Т. 17. 2006. С. 117-125. 0,9 п.л. (вклад автора 0,6 п.л.).
  2. Бацын М.В., Калягин В.А. Определение оптимального уровня собственного удержания при эксцедентном перестраховании убытка // Известия АИН им. А.М. Прохорова. Бизнес-информатика. Т. 12. 2005. С. 67-74. 0,8 п.л. (вклад автора 0,6 п.л.).
  3. Бацын М.В. О точном вычислении оптимального уровня собственного удержания при перестраховании индивидуальных рисков // Тезисы докладов 14-й Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки). Нижний Новгород. 2009. 0,1 п.л.
  4. Бацын М.В., Калягин В.А. Об одном алгоритме вычисления функции распределения выплат в модели коллективных страховых рисков // Сборник трудов V-й Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых. СПбГУ ИТМО. Санкт-Петербург. 2008. 1,0 п.л. (вклад автора 0,7 п.л.).
  5. Бацын М.В. Аналитическая формула для функции распределения выплат в модели коллективных страховых рисков // Тезисы докладов 13-й Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки). Нижний Новгород. 2008. 0,1 п.л.
  6. Бацын М.В., Калягин В.А. О точном вычислении функции распределения выплат в однопериодной модели страховых рисков // Материалы V-й научно-практической конференции студентов и преподавателей НФ ГУ-ВШЭ «Современные проблемы в области экономики, менеджмента, социологии, бизнес-информатики и юриспруденции». Нижний Новгород. 2007. 0,4 п.л. (вклад автора 0,3 п.л.).
  7. Бацын М.В. Уровень собственного удержания в эксцедентном перестраховании // Тезисы докладов IV-й Международной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки». Нижний Новгород. 2005. 0,1 п.л.
  8. Бацын М.В. О точности нормальной аппроксимации при расчетах уровня собственного удержания в эксцедентном перестраховании // Тезисы докладов 15-й Международной научно-практической конференции по графическим информационным системам КОГРАФ-2005. Нижний Новгород. 2005. 0,1 п.л.

Лицензия ЛР № 020832 от 15 ноября 1993 г.

Подписано в печать 09 ноября 2009 г.

Формат 60 х 84/16

Бумага офсетная.

Печать офсетная.

Усл. печ. л. 1

Тираж 100 экз. Заказ № ______

Типография издательства

Государственного университета – Высшая школа экономики,

125319, г. Москва, Кочновский проезд, д.3

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»