WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

где, удовлетворяют неоклассическим условиям

Динамика фондовооруженности в -м () секторе задана уравнением

(2.2)

где, — коэффициенты амортизации; — поток внешних инвестиций в 1-й сектор; — поток фондообразующей продукции из второго сектора в первый; — поток внешних инвестиций во 2-й сектор; — поток фондообразующей продукции второго сектора, направленный на собственное развитие.

Уравнение баланса продукции для первого сектора имеет вид

(2.3)

Здесь — поток экспорта первого сектора, а, — потребление продукции первого сектора в соответствующих отраслях.

Балансовое уравнение для второго сектора задается равенством

(2.4)

где — поток продукции, направленный на неинвестиционное потребление.

В рассматриваемой модели предполагается, что потоки экспорта и импорта определяют динамику внешнего долга. Пусть означает внешний долг в момент времени. Тогда

, (2.5)

где обозначает поток обслуживания внешнего долга; — поток импорта потребительских товаров; коэффициент служит для сопоставления внутренних и внешних цен.

Предполагается, что поток потребления не может быть меньше некоторого минимального значения

(2.6)

Кроме того, уровень фондовооруженности во втором секторе не должен падать ниже некоторого критического уровня

(2.7)

Смысл ограничения (2.7) состоит в том, что падение фондовооруженности в этом секторе ниже указанного критического уровня означает деиндустриализацию государства и утрату технологической независимости.

Значение внешнего долга не может превышать некоторого порогового уровня, за которым следует финансовое банкротство страны

(2.8)

Начальное состояние системы известно

(2.9)

Задача : Рассматривается задача о минимизации внешнего долга при наличии ограничений (2.1)— (2.9), т.е.

(2.10)

и заданных краевых условиях

(2.11)

В параграфе 2.1.1 изучается первое приближение задачи определяемое линейной задачей ОУ.

Найти x3 (T)min x3 при следующих ограничениях.

Система линейных ОДУ:

Фазовые ограничения типа неравенств:

Смешанные ограничения типа равенств:

Ограничения на управляющие функции типа неравенств:

Начальные и краевые условиями:

В §2.1.2 рассматривается задача со свободным правым концом без учета фазовых ограничений типа неравенство и снятие фазовых ограничений типа равенство. В том параграфе снимается ограничение типа равенства. Его можно снять двумя различными способами (2.21) или (2.22).

В §2.1.3 смешанное ограничение снималось равенством (3.21).

В §2.1.4 смешанное ограничение снималось равенством (2.22).

В §§2.1.3-2.1.4 изучается вид решения прямой и сопряженной задачи ОУ в зависимости от параметров задачи.

В §2.1.5 дается реализация численного решения основной системы с некоторыми фиксированными параметрами задачи.

В §2.1.6 при помощи метода предварительной оценки оптимальной траектории программным пакетом «Баланс-2» получено дискретное приближение для решения задачи управления внешним долгом с конкретными числовыми значениями параметров модели, формулируются гипотезы о геометрии оптимального процесса, находятся его характеристики и доказывается его оптимальность.

В §2.1.7 дается заключение по изучению задачи I.

В §2.2.1 дается постановка задачи II (динамическая модель обслуживания внешнего государственного долга). Для приближенной линейной постановки задачи ОУ имеем систему линейных ДУ:

с фазовыми ограничения типа неравенств:

смешанными ограничениями типа неравенств:

ограничениями на управляющие функции типа неравенств:

начальными и краевыми условиями:

,

и целевую функцию:.

В §2.2.2 дается решение задачи II методами классического математического анализа. В этом параграфе построено аналитическое решение исследуемой задачи как функция времен переключений, вычислен минимизируемый функционал и краевые условия как функция тех же параметров. В этой задаче было четыре точки переключения, поэтому мы вычислили функцию, два условия связи, и исследовали эту функцию на условный экстремум.

В этом параграфе найдены стационарные точки безусловного экстремума функции, одна из которых оказалась седловой точкой, а другая точкой локального минимума. Эти результаты были получены с привлечением математического пакета MAPLE.

Здесь же приводится аналитическое решение этой задачи, взятое из диссертации Д.А. Чекарева, которые совпадают с полученными в этом параграфе вычислениями.

В §2.2.3 на основе исследований проведенных в §2.2.2 предложен метод вариации минимизируемого функционала по временам переключений. При изучении задачи II был проделан следующий численный эксперимент. В поставленной задаче мы изменили краевые условия при, а именно закрепили первое условие, а для второго условия предположили, что.



Таким образом, условие равенства заменили условием неравенства. Вычисленная в предыдущем параграфе траектория является допустимой для предложенного случая. Путем некоторых вариаций времен переключений можно получить другие траектории. При этих вариациях мы будем стараться сохранять первое условие, и идти в направлении увеличения и уменьшения. В результате этих вычислений получены другие допустимые (в новой постановке) траектории с меньшим функционалом.

В третьей главе «Явные вычислительные схемы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений» приведены в основном результаты посвященные изучению некоторых итерационных процессов предназначенных для решения систем ОДУ, доказательство их сходимости с оценкой скорости сходимости.

В начале главы дается небольшое описание классических методов численного решения задачи Коши для систем ОДУ. В §3.1 приведены обозначения и некоторые вспомогательные результаты, в §3.2 изучаются некоторые итерационные процессы (ИП) для систем ОДУ. Для задачи Коши системы ОДУ с постоянными коэффициентами и симметричной матрицей:,,, предлагается ИП:. Обозначим,, – собственные числа матрицы. Доказана теорема о скорости сходимости ИП при различных соотношениях между собственными числами. Приведем формулировку этого результата:

Теорема 3.1. Последовательность,,, последовательных приближений (ИП1) сходится по норме к решению задачи Коши с оценкой скорости сходимости

,

где произвольная, непрерывная на функция, при следующих дополнительных ограничениях:

  1. ,,

1.1),,

ограничения на соотношение между и нет;

1.2),, ;

1.3),, ;

2),,,

2.1),

, ;

2.2),, ;

2.3),,

;

3),,

3.1),,

;

3.2),, ;

3.3),,.

Аналогично изучаются случаи с несимметричной диагонализуемой матрицей и с непрерывной правой частью, удов­летворяю­щей условию Липшица, в этом случае изучается несколько типов ИП:

.

Для них доказываются теоремы аналогичные теореме 3.1 о скорости сходимости ИП в нормах и.

В §3.3 вводятся и изучаются последовательности согласованных ИП, в §3.4 исследуется связь интегральных и разностных ИП, здесь же вычисляется оценка погрешности перехода от интегрального к разностному ИП, в §3.5 дается программная реализация ИП, а в §3.6 приведены результаты вычислений. §3.7 посвящен изучению одной явной схемы интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений в задачах с большим параметром, здесь предложена методика численного решения, систем ОДУ, позволяющая вводить для разнотемповых процессов свое дискретное время для каждого уравнения системы. В §3.8 даны доказательства теорем, сформулированных в §3.2.

В четвертой главе «Методы решения систем линейных алгебраических уравнений и задачи линейного программирования, основанные на теории операторов монотонного типа» построены два монотонных оператора, которые можно использовать в качестве операторов штрафа при построении итерационных методов решения СЛАУ и задач ЛП. Глава содержит 5 параграфов – краткое описание классических методов; о решении вариационных неравенств в ; о сходимости одной итерации; построение монотонного коэрцитивного оператора, ядром которого является симплекс и решение с его помощью задачи линейного программирования; сведение задачи нахождения решения СЛАУ к решению ВН.

    1. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Разработана новая методика решения линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями, численного решения систем ОДУ, задач ЛП и СЛАУ большой размерности и изучены численные реализации решений этих задач.

Данная методика позволяют получить численное решение задачи ОУ, и, при необходимости, проверить его аналитически.

На основе предложенного подхода:

1) создана двухуровневая методика численного решения линейных параметрических задач ОУ со смешанными ограничениями (смешанные ограничения типа равенств изучались в случае исключения этих ограничений с уменьшением размерности вектора управлений), данная методика позволяют получить не только численное решение задачи ОУ, но и, при необходимости, проверить его аналитически;

2) исследована линейная модель оптимального управления внешним долгом;

3) проведен численный анализ модели, показавший эффективность предложенного подхода;

4) изучен способ решения задачи ОУ позволяющий вычислить и исследовать минимизируемый функционал в виде функции нескольких переменных от времен переключения;

5) построены итерационные процессы решения систем ОДУ, задач ЛП и СЛАУ большой размерности и изучены численные реализации решений этих задач.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:





1

Трушин Ю.В. Исследование решения задачи оптимального управления внешним долгом // Обработка информации и моделирование. Москва, 2002. С. 230-237

2

Трушин Ю.В. Задача оптимального управления внешним долгом. Дипломная работа на звание бакалавра. Кафедра высшей математики МФТИ. 2002. 22 с.

3

Трушин Ю.В. Некоторые явные схемы интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений в задачах с большим параметром. // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Труды XLVI научной конференции МФТИ. Ч. VII - Москва-Долгопрудный, 2003.- С. 84.

4

Трушин Ю.В. Методы решения задачи Коши с большим параметром для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Кафедра высшей математики МФТИ. 2004. 50 с.

5

Трушин Ю.В., Шомполова О.И. Один итерационный метод решения задачи Коши с большим параметром для систем ОДУ. // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Труды XLVIII научной конференции МФТИ. Секция педагогики и информационных технологий - Москва-Долгопрудный, 2005.- С. 25-26.

6

Трушин Ю.В., Шомполова О.И. Некоторые явные схемы численного решения систем ОДУ в задачах с большим параметром. // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Труды XLVIII научной конференции МФТИ. Секция педагогики и информационных технологий - Москва-Долгопрудный, 2005.- С. 27-30.

7

Трушин Ю.В., Шомполова О.И. Некоторые явные схемы решения систем ОДУ с большим параметром. Труды Института системного анализа Российской Академии Наук. Динамика неоднородных систем. Выпуск 9(2).-М.: КомКнига, 2005.-С. 146-150.

8

Трушин Ю.В. Решение систем линейных уравнений с большим числом обусловленности при помощи одной задачи с монотонным оператором штрафа. Труды Института системного анализа Российской Академии Наук. Динамика неоднородных систем. Выпуск 9(2).-М.: КомКнига, 2005.-С. 193-203.

9

Трушин В.Б., Трушин Ю.В., Шомполова О.И. Свойства одной функции штрафа // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Труды 49 научной конференции МФТИ. Ч. VII.- Москва-Долгопрудный, 2006.- С. 12.

10

Трушин В.Б., Трушин Ю.В., Шомполова О.И. Сведение задачи линейного программирования к вариационному неравенству // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Программа 49 научной конференции МФТИ. - Москва-Долгопрудный, 2006.- С. 152.

11

Трушин В.Б., Трушин Ю.В., Шомполова О.И. Сведение задачи линейного программирования к вариационному неравенству // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Программа 49 научной конференции МФТИ. - Москва-Долгопрудный, 2006.- С. 152.

12

Трушин В.Б., Трушин Ю.В., Шомполова О.И. О монотонности и коэрцитивности одного отображения // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Программа 49 научной конференции МФТИ. - Москва-Долгопрудный, 2006.- С. 153.

13

Трушин В.Б., Трушин Ю.В., Шомполова О.И. Сведение систем линейных уравнений к вариационному неравенству // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Программа 49 научной конференции МФТИ. - Москва-Долгопрудный, 2006.- С. 154.

14

Трушин Ю.В., Шомполова О.И. О решении невырожденных систем линейных уравнений методом монотонного штрафа // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук / Труды 50 научной конференции МФТИ. Ч. VII. Управление и прикладная математика. Т.1 - М.: МФТИ, 2007- С. 35 - 38.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»