WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

1. Приведенная ниже теорема описывает обширный класс нормальных многозначных изоморфов классической логики, причем для трехзначного случая данный класс является единственным.

Теорема 1. Пусть M есть логическая матрица, где n – число элементов класса U, а m – число элементов класса D. Если n, и ¬n отвечают условиям:

1) x n y D е.т.е x D и y D;

2) ¬n x D е.т.е D,

то M является нормальным изоморфом классической логики высказываний.

Мы можем вычислить количество таких матриц для каждых m и n. Их число равно.

2. Существуют как нормальные, так и ненормальные изоморфы классической пропозициональной логики, не являющиеся С-расширяющими.

3. Три частично пересекающихся класса ненормальных многозначных изоморфов могут быть описаны следующими теоремами:

Теорема 2. Если M – C-расширяющий и нормальный изоморф классической логики при m = 1, то M является изоморфом классической логики для любого m.

Теорема 3. Если M отвечает следующим условиям:

1) Формулы, не являющиеся элементарными, принимают в Mтолько значения из {1, 0};

2) Существует матрица M, отличная от M лишь классом выделенных значений, и M является нормальным изоморфом,

то M является изоморфом классической логики.

Теорема 4. Если M отвечает следующим условиям:

1) M является C-расширяющей;

2) если x n y = 1, то x = 0 или y = 1; если x n y = 0, то x = 1 и y = 0; ¬n x = 1 е.т.е. ¬n x = 0; ¬n x = 0 е.т.е. ¬n x = 1,

верно следующее: матрица M, отличная от M лишь классом выделенных значений, является изоморфом классической логики.

4. Существуют изоморфы, являющиеся нормальными лишь при использовании нестандартного определения отношения логического следования.

5. Некоторые изоморфы могут содержать другие изоморфы в качестве фрагментов. Так, в матрице, аналогичной матрице для трехзначной логики Гейтинга, но с двумя выделенными значениями содержатся в качестве подматриц все трехзначные нормальные изоморфы с двумя выделенными значениями.

Научно-практическая значимость работы

Как представляется автору, выводы работы представляют научный и философский интерес с двух точек зрения.

В первую очередь, это взаимоотношение классической и многозначных логик. Отметим, что эта проблема носит в значительной степени философский характер. Ведь в основе многих неклассических логик лежала попытка избавиться от парадоксальных и контринтуитивных свойств классической логики. По мнению автора, ответ на вопрос, в каких случаях многозначная логика оказывается в действительности классической логикой высказываний может лечь в основу эффективного метода, позволяющего определить для любой многозначной логики, является ли она расширением классической логики или нет.

Во вторых, некоторые из наших результатов могут быть полезны не только при осмыслении фундаментального характера классической логики и ее роли среди множества разнообразных логических систем, но и для исследования природы классической логики самой по себе.

На разных этапах развития логики считалось, что двузначность или, позже, С-расширительность базовых операций, а также классическое определение отношения логического следования – необходимые черты классической логики. Однако, как показывают полученные нами результаты, может быть построена характеристическая матрица для классического исчисления высказываний гильбертовского типа, в которой нарушаются все эти принципы. Возникает вопрос: означает ли это, что исчисление играет в классической логике приоритетную по отношению к семантике роль Положительный ответ на этот вопрос может служить аргументом в пользу того, что базовые философские принципы, лежащие в основе классической логики, на самом деле являются следствием попытки подведения философской основы под уже существующий способ рассуждения.

Материал и выводы диссертации могут иметь практическое применение при разработке спецкурсов по неклассическим логикам.

Апробация результатов работы

Основные идеи данной работы были изложены автором в публикациях, в том числе, в статье «Отношение логического следования и проблема многозначности» // «Вестник Московского университета» (Серия 7. Философия). №2, 2008. С 106-108.

Отдельные результаты по теме исследования также были изложены автором в докладах на таких научных конференциях как IV Российский философский конгресс (МГУ, 2005), Cмирновские чтения по логике (ИФ РАН, 2007), 10-я всероссийская конференция «Современная логика: проблемы истории, теории и применения в науки» (СПбГУ, 2008).

Структура диссертации

Работа состоит из введения, шести глав, заключения и библиографии.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, описываются объект, предмет, цели и задачи исследования. Обсуждается степень разработанности проблемы, дается краткий обзор содержания работы.

1. История вопроса

Первая глава посвящена обзору литературы по интересующей нас теме. Рассмотрены примеры изоморфов и методы доказательств изоморфности, предложенные Бочваром, Финном, Решером, Эпштейном, Малиновским и другими авторами.

2. Трехзначные изоморфы классической пропозициональной логики с классическим отношением логического следования

Во второй главе рассматриваются трехзначные изоморфы с классическим отношением логического следования (нормальные трехзначные изоморфы). В начале главы задаются основные понятия и определения, такие как язык, матрица, оценка. Многие из них остаются актуальными до конца работы.

Далее доказываются теоремы, в которых описываются изоморфы с одним и двумя выделенными значениями. При доказательстве используются понятия 0-замещения и отображения 0 (см. выше), а также аналогичные им понятия 1-замещения и отображения 1.

Результатом главы становится обобщенная теорема, в которой формулируется критерий, которому должна отвечать матрица с трехэлементным множеством-носителем, чтобы являться нормальным изоморфом классической пропозициональной логики.

Эта теорема позволяет нам сделать несколько важных выводов. Во-первых, мы можем дать точный ответ на вопрос о числе трехзначных нормальных изоморфов классической логики – существует 8 трехзначных нормальных изоморфов с одним выделенным значением и 256 с двумя. Кроме того, как оказывается, C-расширительность не является необходимым условием для построения изоморфа. Также во второй главе приводится ряд примеров трехзначных изоморфов, не встречавшихся ранее в других работах.

3. Трехзначные изоморфы с неклассическим отношением логического следования

Третья глава посвящена изоморфам, в которых отношение логического следования не является классическим. Такие изоморфы мы называем ненормальными. Как и в предыдущей главе, мы поочередно рассматриваем классы матриц с одним и двумя выделенными значениями.

В начале третьей главы описан принцип работы разработанной нами программы, при помощи которой были отброшены матрицы, заведомо не являющиеся трехзначными ненормальными изоморфами классической логики. Далее, для оставшихся матриц доказываются теоремы о том, что они равны классической логике высказываний по классу тавтологий.

Результатом проделанной работы оказывается первый в научной литературе полный список трехзначных изоморфов с неклассическим отношением логического следования. Существует всего два таких изоморфа с одним выделенным значением (один из них – фрагмент трехзначной логики Бочвара B). При двух выделенных значениях число подходящих матриц возрастает до 12. Интересно, что матрицы с двумя выделенными значениями, аналогичные матрицам сильной, слабой и двух промежуточных трехзначных логик Клини, оказываются ненормальными изоморфами классической логики.

4. Изоморфы, не являющиеся С-расширяющими

В четвертой главе мы отдельно останавливаем внимание на изоморфах, не являющихся С-расширяющими. Главной вывод главы состоит в том, что каждый из описанных в предыдущих главах классов изоморфов делится на два подкласса посредством взаимнооднозначного соответствия между элементами этого класса. Причем существуют как пары из С-расширяющего и не С-расширяющего изоморфа, так и пары, в которых оба элемента являются С-расширяющими. Этот результат может оказаться полезным при дальнейшем изучении функциональных свойств изоморфов.

5. Трехзначные изоморфы классической логики и неклассические определения отношения логического следования

В пятой главе мы рассматриваем связь трехзначных изоморфов и неклассических определений отношения логического следования. Альтернативные определения строятся на основе q-матриц, предложенных Г. Малиновским. Наряду с классом выделенных значений, в этих матрицах задается класс анти-выделенных значений, интерпретируемых как «ложь». Такие матрицы называются q-матрицами и имеют следующий вид: M* = <U, F, D*, D>. Классы D и D* являются подмножествами U и представляют собой классы выделенных и анти-выделенных значений соответственно.

Показано, что ненормальный при стандартном определении отношения логического следования изоморф Bстановится нормальным, если использовать следующее определение отношения логического следования: в матрице M из множества формул Г логически следует формула В, е.т.е не существует такой оценки v в M, что ни одна формула А из Г не принимает анти-выделенного значения и В принимает анти-выделенное значение.

В пятой главе также приводится ряд других определений отношения логического следования и доказывается теорема о наличии решеточного порядка по включению объема следования среди различных определений логического следования в отдельно взятой произвольной трехэлементной матрице.

6. Многозначные изоморфы классической логики

В последней главе мы производим окончательное обобщение полученных ранее результатов. Здесь доказывается приведенные выше Теоремы 1, 2, 3 и 4, которые также описывают различные классы многозначных изоморфов.

Заключение

В заключении мы подводим общие итоги работы и описываем дальнейшие направления исследования, в некоторых из которых уже сделаны первые шаги. Остановимся на них немного подробнее.

Первоочередной задачей мы видим завершение описания класса ненормальных многозначных изоморфов. Предположительно, эта задача может быть решена с применением метода гипертавтологий, разработанного Я. Калицким.

Нашей следующей задачей станет глубокое изучение функциональных свойств изоморфов. Уже сейчас ясно, что некоторые изоморфы являются более сильными с функциональной точки зрения. Возникает вопрос: какую структуру образуют изоморфы с равным числом истинностных и выделенных значений по отношению включения

Кроме того, представляет интерес проблема построения исчислений для ненормальных изоморфов. В то время как неклассическое отношение логического следования в этих изоморфах не играет роли, если мы рассматриваем исчисления гильбертовского типа, некоторые правила вывода в секвенциальных исчислениях потребуется заменить или модифицировать.

Решению этих задач мы собираемся посвятить нашу дальнейшую работу.

Публикации по теме диссертации

1. «Трехзначные изоморфы классической пропозициональной логики» // Сборник «Логические исследования». Вып. 11. М.: Наука, 2004. С. 119-125.

2. «Изоморфы C2 в трехзначной логике Гейтинга» //. IV (, 24–28 2005.) 1.., 2005. С. 502-503.

3. «К вопросу о трехэлементных характеристических матрицах для классической логики высказываний» // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН – 2007. Вып. XVIII. М.: ИФ РАН. С. 43-49.

4. Девяткин Л. Ю., Карпенко А. С., Попов В. М. «Трехзначные характеристические матрицы классической пропозициональной логики» // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН – 2007. Вып XVIII. М.: ИФ РАН. С. 50-62.

5. «Неклассические определения отношения логического следования» // Смирновские чтения по логике. Материалы 5-й конференции (Москва, 20-22 июня 2007 г.) М., 2007. С. 26-27.

6. «Отношение логического следования и проблема многозначности» // «Вестник Московского университета» (Серия 7. Философия). 2008. Вып. 2. С. 106-108.

7. «Классическая логика высказываний и многозначные логические матрицы» // Современная логика: проблемы истории, теории и применения в науке. Материалы X Общероссийской научной конференции 26-28 июня 2008 г. СПб: Санкт-Петербургский Государственный Университет. С.268-270.


1 Бочвар Д.А. Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления // Математический сборник. – 1938. Т. 4. № 2. C. 287-308.

2 Финн В. К. Аксиоматизация некоторых трехзначных исчислений высказываний и их алгебр // Философия в современном мире: Философия и логика – 1974. М.: Наука. С. 393-438.

3 Карпенко А.С. Многозначные логики (монография). Логика и компьютер – 1997. Вып. 4. М.: Наука.

4 Epstein R.L The semantic foundations of logic. – Vol. 1: Propositional logic – 1990. Dordrecht: Kluwer. (2nd ed., 1995).

5 Malinowski G. On Many-Valuedness, Sentential Identity, Interference and ukasiewicz Modalities // Logica Trianguli – 1997. Vol. 1 – P. 61-71.

6 Комендантский В.Е. Алгоритм поиска трехзначных изоморфов классической логики// Logical Studies – 2000. No. 4. (web).

7 Девяткин Л. Ю., Карпенко А. С., Попов В. М. Трехзначные характеристические матрицы классической пропозициональной логики // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН – 2007. Вып. XVIII. М.: ИФ РАН. С. 50-62.

Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»