WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Для определения оптимального управления разрешим сопряженную систему. В силу вида матрицы можем с разу выписать выражения для первых двух компонент (t)

Оставшиеся компоненты найдем, решив следующую систему

(2.6)

Уравнения 1 и 3, 2 и 4 системы (2.6) можно решить независимо; в итоге получим:

Полученные решения сопряженной системы нужно подставить в (2.4) и (2.5), и окончательно значения оптимального управления можно будет записать, определив параметры и. Для этого можно воспользоваться системой двух линейных уравнений относительно и, которая получается из уравнений при t=T подставкой в нее выражений (2.4) и (2.5), и найденных решений сопряженной системы (2.3). А именно

(2.7)

(2.8)

Выражения (2.7) и (2.8) окончательно решают поставленную задачу в аналитической форме.

Далее во второй главе рассмотрена задача оптимального управления с функционалом вида

,,

Для этой задачи получено решение с разрывным оптимальным управлением, со следующими условиями для точек переключения

причем эти условия могут не иметь решений, например, если, что будет соответствовать решению (плата «слишком завышена»).

Они могут иметь счетное число решений, соответствующее количеству пересечений периодических функций в левых частях с прямой у =.

В третьей главе рассмотрены вихревые движения вязкой жидкости в полости вращающегося тела. Уравнения движения жидкости записывается в вращающейся системе координат Oxyz, жестко связанной с твердым телом, а уравнение моментов относительно центра инерции всей системы. Уравнения линеаризуются около равномерного вращения всей системы, как твердого тела и имеют вид

(3.1)

в Q, на S, при

Используя после процедуру Галеркина для коэффициентов разложения, получим систему интегро-диференциальных уравнений вида

(3.2)

где, Коэффициенты, - зависят от геометрии полости и характеризуют взаимодействие между движением твердого тела и волновыми движениями жидкости.

Для полости в форме цилиндра коэффициенты известны [61].

Далее в третьей главе приводится характеристическое уравнение системы тело-жидкость в невозмущенном движении.

Поправки, обусловленные вязкостью жидкости находятся методом возмущений. Сформулирован критерий устойчивости по линейному приближению. Построены области устойчивости в безразмерных параметрах (,h). Показано, как вязкость сдвигает границы области неустойчивости.

Методом преобразования по Лапласу получена формула зависимости угловой скорости от внешнего момента. В отсутствие вязкости (=0) формула переходит выражение для идеальной жидкости.

Показано, что введением новых функций интегральное уравнение для можно привести к виду (1.4) для идеальной жидкости, но матрицы А и В будут иметь другой вид и система (1.4) имеет десятый порядок.

Показано, что с помощью комплексной структуры систему уравнений шестого порядка для идеальной жидкости и систему уравнений десятого порядка для вязкой жидкости можно преобразовать в систему из четырех уравнений.

В четвертой главе рассмотрена задача оптимального управления системой содержащей вязкую жидкость. Рассматривается функционал

(4.1)

или в векторном виде

где - неизвестная функция управления, – заданное действительное положительное число, - матрица nxn, причем отличны от нуля только - столбец, при i =1,2 – заданные действительные числа.

Функция Гамильтона-Понтрягина для рассматриваемой задачи

Сопряженная система запишется так

Из условия получим выражение для оптимального управления

(4.2)

Разрешим сопряженную систему

Оставшиеся 8 компонент определяется из соотношений

Уравнения системы разбиваются на независимые пары, решая которые, получим (пример для и, остальные аналогично)

Эти решения сопряженной системы подставим в выражения оптимального управления, и окончательно значения оптимального управления можно будет записать, определив параметры и. Для этого воспользуемся системой линейных уравнений относительно и, которая получается из выражения оптимального управления при. Имеем

(4.3)

Полученные выражения окончательно решают поставленную задачу в аналитической форме.

Наконец, в четвертой главе рассмотрена задача с интегральными ограничениями типа неравенств.

Имеется функционал

(4.4)

где - произвольные наперед заданные действительные числа, - неизвестная функция управления.

Предложен регуляризованный метод проекции градиента. Он позволяет построить сильно сходящуюся к М* (оптимальное управление) последо-вательность - область допустимых значений управления, N = 1,2,.... Для регуляризованной задачи вида

, N=1,2,…,

рассмотрена следующая интерационная схема

где - вектор направления спуска, удовлетворяющий условию и шаг спуска реализована с помощью, так называемого, алгоритма Армийо. Вектора направления спуска

где выбирается как

- оператор проектирования на множество U. Для нахождения элементов применяется двойственный метод.

На рис.3 на правом графике - пространство управлений М(t), отрезок [T,t0] равен [0,1], на левом - пространство траекторий, терминальная точка, которая помечена порядковым номером компоненты. Терминальная точка отмечена на левом графике и имеет координаты. На рис.3 представлено полученное численно решение задачи (4.3). Первая и вторая компоненты траектории сошлись в точке у.

Картина качественно изменилась при увеличении Т. На ней появлялись характерные осцилляции. На рис.4 приведено численное решение задачи для Т = 5.

В заключении приведены основные результаты работы.

Основные результаты работы

  1. Построена математическая модель для вращающегося твердого тела с
    жидким наполнением и найдена аналитическая зависимость угловой скорости возмущенного относительно стационарного вращения движения твердого тела с осесимметричной полостью, полностью заполненной идеальной или вязкой несжимаемой жидкостью, от внешнего момента.
  2. Найдены эквивалентные системы дифференциальных уравнений для случаев идеальной и вязкой жидкости, которые позволяют применить аппарат Гамильтона-Понтрягина для постановки, анализа, аналитического и численного решения широкого класса задач оптимального управления твердыми телами с жидким наполнением.
  3. Рассмотрены различные модели задач оптимального управления. Задача с переключениями управлений, задача с интегральными ограничениями на управление и демонстрируются аналитические и численные методы их решений.
  4. Набор предложенных в диссертации алгоритмов представлен в виде комплекса программ для численного решения рассматриваемых задач.

Публикации по теме диссертации

  1. Гурченков А.А, Корнеев В.В., Носов М.В. устойчивость и управление движением волчка с жидким наполнением. М.: ВЦ РАН, 2006.
  2. Гурченков А.А, Корнеев В.В. Нестационарный поток вязкой жидкости на вращающейся пластине. XVI Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам» Дюрсо.2006.
  3. Гурченков А.А., Корнеев В.В. Задача оптимального управления ротором, содержащим вязкую жидкость. М.: Динамика неоднородных систем. 2006. с. 41-57
  4. Гурченков А.А., Корнеев В.В., Носов М.В. Управлением движением волчка с жидким наполнением. М.: Динамика неоднородных систем. 2006. с.27-33.
  5. Гурченков А.А., Корнеев В.В., Носов М.В. Оптимальное управление вращательным движением твёрдого тела с жидким наполнением. Международный аэрокосмический конгресс IAC 2006. Москва. 2006.
  6. Корнеев В.В., Носов М.В. Международная конференция молодых учёных. MAKS 2007, г. Жуковский, М.О.
Pages:     | 1 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»