WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Схема течения представлена на рис.3. Начало декартовой системы координат помещено в середине сечения минимального зазора. Ось у направлена горизонтально, ось x – вертикально вниз. Уровень жидкости x = x0 постоянен. Объемный расход жидкости G. Окружная скорость валков V, а их радиус R. Минимальный зазор между валками 2H0, текущий - 2h. Высота столба жидкости над сечением минимального зазора –. Если ось х не вертикальна, то в уравнениях следует использовать проекцию вектора ускорения свободного падения на ось х.

В направлении z течение отсутствует. Задача квазиплоская (одномерная по давлению и двумерная для поля скоростей). Основные уравнения. Выделим в зоне течения криволинейную трапецию, ограниченную сечениями х и х1. Определим поток вектора скорости через замкнутый контур, проинтегрировав уравнение неразрывности по высоте зазора

. (1)

Учитывая соотношения

,, (2)

получим уравнение неразрывности в интегральной форме

. (3)

Объёмный расход жидкости G постоянен по длине зоны течения.

Оценка членов уравнения движения (сил инерции, вязкого трения, собственного веса) и обоснование правомерности квазиплоского представления задачи приведено в 3 главе. С учетом принятых допущений течение описывается системой дифференциальных уравнений движения и реологического состояния:

,,, =, ( = vx/y). (4)

В выходном сечении x = x1 осевая скорость однородна по сечению vx = V. На входе x = x0 и на выходе x = x1 давление равно атмосферному, и без снижения общности полагаем p = 0.

Кинематическое условие для поверхности валка (прилипания) записано в предположении следующих соотношений для компонент скорости (рис.4): vx= V·cos   V, vy= V·sin  = V·x/R. Последнее соотношение правомерно при x/R << 1.

Граничные условия задачи:

входное сечение x = x0, p = 0, (5)

условие прилипания y = h, vx = V, (6)

выходное сечение x = x1, p = 0, vx = V, xy(y = h)= 0, (7)

условие симметричности x0 < x < x1, y = 0, = 0, xy = 0. (8)

Интегрируя уравнение движения, имеем

. (9)

В задачах контактной гидродинамики без учета сил собственного веса для выходного сечения традиционно применялось кавитационное (рейнольдсово) условие (x = x1, p/x = 0) [18]. Однако применение кавитационного условия для рассматриваемой задачи показывает наличие касательных напряжений на стенке валка (xy= –gh), что свидетельствует о наличии течения в выходном сечении. Следовательно, в качестве граничного необходимо принять более общее условие x = x1, xy= 0, которое гарантирует прекращение течения.

В результате интегрирования уравнения движения находим скорость. (10)

А также расход

. (11)

Откуда имеем уравнение для давления

. (12)

Анализ решения. Введем безразмерные параметры и переменные:

,,,, (13)

где g – ускорение свободного падения, q – безразмерный расход, – плотность среды, – безразмерная переменная Гаскелла, 0, – безразмерные координаты входа и выхода из зазора, St– критерий Стокса (необходим для оценки влияния силы тяжести на процесс валкового течения), La – критерий Лагранжа (безразмерное давление).

Используя уравнение (10) и граничное условие y = 0,  = 0, найдем функцию тока

. (14)

При определенных условиях организации течения возможно возникновение циркуляции жидкости во входной области. Циркуляция на входе интенсифицирует перемешивание жидкости (рис.5). Предельное условие отсутствия циркуляции в зоне течения имеет вид: y = 0, x = xo, vx = 0.

Используя выражение для скорости, получим равенство

. (15)

При выполнении этого равенства точка с нулевой скоростью жидкости находится в начальном сечении. Для возникновения циркуляции во входной зоне течения точка нулевой скорости должна находиться внутри зоны течения (зоны противотока). При этом должно выполняться неравенство, или в безразмерной форме (13). При этом сама величина характеризует безразмерную координату точки остановки течения ().

Перейдём к безразмерным переменным,. Учитывая соотношения и (13), выражение для функции тока примет вид. Функция тока изменяется в пределах 0 <  < 1+2. Причём, нижний предел соответствует оси х, а верхний – поверхности валка. Поперечная безразмерная координата Y изменяется в пределах 0 < Y < 1. Свойства этой координаты аналогичны функции тока: нижний предел соответствует оси х, а верхний – поверхности валка.

На рис.6, а представлены функции тока. Расчеты выполнены для условий:  = 1100 кг/м3, m = 1, Ho= 2,5·10-4 м, R = 0,6 м, = 0,002 Па·с, n = 10 мин-1, V = 0,628 м/с, = 0,9, 1+2 = 1,81, при этом St = 0,537, 0 = -2,66697, = 0,0462 м. Безразмерная функция тока изменяется в пределах 0 <  < 1,81. Условие циркуляции (= 7,113 > 32 + 2 = 4,430) выполняется. В центре рисунка - точка остановки течения (vx= 0, t = -2,105). Линии тока, лежащие выше этой точки показывают существование циркуляции жидкости на входе. Также построена кривая давления (La) для рассматриваемых условий (рис.6, б).

а б

Рис.6. Функции тока при циркуляции жидкости во входной области.

При анализе задачи необходимо знать уравнение поверхности валка h(x). Изменение высоты зазора по длине зоны течения описывается зависимостью, содержащей иррациональность (радикал). Разложим последнее слагаемое правой части в ряд Маклорена в окрестности точки x = 0

. (16)

Уравнение для безразмерного расхода в переменных (13)

. (17)

Для давления

. (18)

Оценка влияния силы тяжести на процесс валкового течения ньютоновских жидкостей приведена на рис.7. Для 50 % раствор глицерина при 20 °С, = 1100 кг/м3, = 0,002 Па·с, n = 45 мин-1, соответственно, St = 0,119. Принимаем = 0,27.

По характеру распределения давления можно выделить два режима. Первый – режим слабого влияния сил тяжести. Число Стокса находится в интервале 0<St<St*. Граничное значение St* находится из условия  = 0, dLa/d = 0. Откуда находим St*= 32/2. В окрестности выхода ( < ) имеет место разрежение (La < 0). Эпюра давления имеет два экстремума (рис.7). Второй режим – режим существенного влияния сил тяжести. При этом St > St*. Давление монотонно возрастает к сечению выхода (dLa/d > 0). Экстремумов и точек перегиба нет.

Аналогично строится модель течения для жидкости Оствальда де-Виля. Определены энергосиловые характеристики течений рассмотренных жидкостей: распорное усилие, окружное усилие, потребляемая мощность. Установлено, что силы собственного веса способствуют снижению распорного усилия, потребляемой мощности и уменьшению расхода жидкости.

Глава 3 посвящена построению моделей валкового течения тяжёлых вязкопластичных сред Шведова-Бингама и среды Гершеля-Балкли. Получены решения задач и выполнен их анализ.

Параграф 1. Изучена модель Шведова-Бингама. Постановка задачи. Схема течения и система координат представлены на рис.8. Ось у направлена горизонтально, ось x – вертикально вниз. Минимальный зазор 2H0, текущий – 2h. Текущая толщина квазитвердого ядра 2h0. Течением среды вдоль валков пренебрегаем (/z = 0).

Плоское течение среды в зазоре валков описывается системой уравнений:

неразрывности ; (19)

движения

; ; (20)

Считаем течение изотермическим и стационарным (/ t = 0). Течение сверху-вниз (gy= 0, gx= g). Гравитационным осаждением частиц пренебрегаем. Плотность материала не изменяется ( = const). Силы вязкого трения соизмеримы с силами собственного веса. Скорость вращения валков мала и силы инерции значительно меньше сил вязкого трения. Окружные скорости валков равны, течение симметричное.

Составляющие девиатора тензора напряжений для реологической модели вязкопластичной жидкости Гершеля–Балкли ( = 0+m) вычисляются по формулам

; ; ;

;.

Ввиду относительной протяженности зоны течения ( = H0/<<1) пренебрегаем изменением давления в поперечном сечении зазора (p/y  0), т.е. полагаем p = p(x). При этом можем записать: A= vx/y; B = (0/Am + )Am-1 = 0/A + Am-1 = = 0/(vx/y) + (vx/y)m-1. Оценка составляющих девиатора тензора напряжений: xx<< xy; yy<< xy; xy  B(vx/x). Далее полагаем xx = yy= 0, xy= 0s + (vx/y)m, s = sign(vx/y). Кроме того, методом малого параметра выполнена оценка сил инерции. Выяснилось, что силы инерции на два порядка меньше сил вязкого трения, а силы собственного веса соизмеримы с силами вязкого трения. Анализ ведем в рамках квазиплоского подхода: одномерное приближение для давления и двумерное – для скорости и напряжений. Правомерность подхода подтверждена экспериментально [7]. Решение задачи. С учетом принятых допущений течение описывается системой дифференциальных уравнений движения, неразрывности и реологического состояния:

,, (22)

где s = sign() – знак скорости сдвига, = vx/y – скорость сдвига, – плотность жидкости, 0 – предельное напряжение сдвига, xy – касательное напряжение, – пластическая вязкость. Используется модель Шведова–Бингама.

Всю область течения в межвалковом зазоре, по характеру изменения градиента давления и скорости в зонах пластического течения, можно разбить на две зоны (рис.7): в первой x0<x<xm градиент давления положителен dp/dx > 0 (зона противотока); во второй xm<x<x1 градиент давления отрицателен dp/dx < 0 (зона прямотока). На границе зон x = xm, h0 = h эпюра давления в общем случае (0  0) имеет излом (). В выходном сечении (x = x1) квазитвердое ядро касается поверхностей валков (h0 = h), а осевая скорость однородна по сечению vx = V. При этом течение заканчивается. На входе x = x0 и на выходе x = x1 давление равно атмосферному, и без снижения общности полагаем p = 0, поскольку согласно уравнению движения функция р определена с точностью до произвольной постоянной. В поперечном сечении используется граничное условие прилипания среды к непроницаемой поверхности валка, а на границе квазитвердого ядра условие текучести Генки-Мизеса и непрерывности скорости.

Уравнения (22) дополним следующими граничными условиями (рис.8):

входное сечение x = x0, p = 0, (23)

первая зона (противотока) x0 < x < xm:

условие прилипания y = h, vx = V, (24)

на границе ядра y = h0, = 0, xy= 0, vx = v0, (25)

стык зон противотока и прямотока x = xm, vx = V, h0 = h, (26)

вторая зона (прямотока) xm < x < x1:

условие прилипания y = h, vx = V, (27)

на границе ядра y = h0, = 0, xy= 0, vx = v0, (28)

выходное сечение x = x1, p = 0, xy(y=h)= 0, vx = V, (29)

условие симметрии x0 < x < x1, y = 0, = 0, xy = 0. (30)

В результате решения задачи получены выражения. Распределение скорости в зонах градиентного течения

. (31)

Здесь и ниже знак s указывает на принадлежность выражения к первой (s = +1) или второй зоне (s = –1, s = sign(dp/dx)).

Осевая скорость квазитвердого ядра v0 находится из условий (25), (28)

. (32)

В области квазитвердого ядра (y < ho) функция тока

,. (33)

На границе ядра (y = ho) функция тока. (34)

В зонах градиентного течения (ho < y < h)

,. (35)

Условие циркуляции жидкости на входе определяется, исходя из направления движения ядра. Применяя условие наличия циркуляции s = +1, y = 0, x = xo, vo< 0 к выражению (31), получим неравенство

, (36)

или переходя к обозначениям (38),

. (37)

Следовательно, циркуляция имеет место, если для координаты входа выполняется условие. Здесь функция () определяется согласно (41). Соответственно, величина, определяемая выражением, характеризует координату точки остановки течения. В случае циркуляции жидкости выполняется условие.

Анализ решения. Дополнительно к переменным (13) введем безразмерные параметры:

,, (38)

где – безразмерная текущая толщина квазитвердого ядра, m – безразмерная координата точки максимума, S – критерий Ильюшина (необходим для оценки влияния вязкопластических свойств жидкости на процесс валкового течения).

Для поверхности валка принимаем приближение (15) в переменных (13).

Расход жидкости складывается из осевого расхода квазитвердого ядра и расхода в зонах вязкопластического течения

. (39)

Уравнение (39) описывает распределение безразмерной полувысоты квазитвердого ядра () по длине зоны течения ().

Уравнение для давления в безразмерных переменных (38) примет вид

. (40)

В выходном сечении выполняется условие:  = ,  = 1, и в соответствии с (39) q = 2(1+2), кроме того, из (40) следует граничное значение градиента давления на выходе dLa/d = St–S/(1+2). С другой стороны, в сечении  = m квазитвердое ядро также касается поверхностей валков ( = 1) и согласно (11) скорость ядра v0=V. При этом для расхода согласно выражению (39) имеем q = 2(1+ m2). Сопоставляя выражения расхода в сечениях  =  и  =  m, получим  m= –. Согласно полученному равенству зона прямотока симметрична относительно минимального зазора.

Решение уравнений (39), (40) с учетом граничного условия (29) и равенства s = –sign( + ), можно представить в интегральной форме

,,. (41)

Согласно выражениям (23), (38), (41) для координаты входного сечения 0 получим интегральное уравнение

. (42)

Анализ полученного результата. Течение вязкопластической жидкости возможно если градиент давления отвечает одному из условий: dLa/d > +B, (B = S/(1+2)) на интервале 0 <  < –, dLa/d < –B на интервале – <  < . Если dLa/d< B, то  = 1, т.е. квазитвердое ядро занимает весь зазор и течение невозможно. В сечении  = – функция dLa/d терпит разрыв, а эпюра давления имеет излом (на рис.9 отмечено кружком). В случае вязкой жидкости (S = 0 и B = 0) излом отсутствует. В выходном сечении  =  градиент давления не равен нулю и используется условие остановки течения вязкопластической жидкости dLa/d = –B. На участке <  функция dLa/d симметрична относительно вертикальной линии  = 0.

При незначительном влиянии сил собственного веса St < B. Распределение давления качественно мало отличается от первого случая: на участке 0<  <–, dLa/d  St+B, а на участке < , dLa/d  St – B.

При St >B на участке <  функция La имеет два экстремума, расположенных симметрично относительно сечения минимального зазора  = 0 (табл.1). Причем, минимум в окрестности  =  предполагает разрежение (La < 0). Без учета силы тяжести (St = 0) отмеченный эффект исчезает. Максимум давления из точки  = – смещается к выходному сечению.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»