WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

Необходимость учета всевозможных случаев, разных способов обобщения

+! Позволяют выдвигать дедуктивные гипотезы (пред­поло­же­ния о результате решения частной задачи о том, как изменение задачной ситуации повлияет на результат решения всей задачи)

+! Проверка гипотез, сфор­мулированных для обобщенных задач, на частных примерах

Задачи на поиск ошибок. Математические софизмы. Задачи на объяснение парадоксальных ситуаций. «Провоцирующие» задачи

+! Сама постановка задач вызывает проблемную ситуацию (противоречие между «кажущейся правильностью» и ошибочностью рассуждений)

Необходимость объяснения причин возникновения полу­ченного результата (ошиб­ки, противоречивый или невозможный ответ).

± Предполагают выдвижение гипотез о том, как исправить, как избежать возникновения описанной в задаче ситуации, обос­но­вание при­чин ее возникновения

+ Теоретическое обоснование предполагаемых причин возникновения ошибок

Задачи на поиск объектов, соответствующих определенным условиям.

В таких задачах требуется привести пример, контрпример

+ Требуют выполнения дополнительных действий: обоб­щения способов решения задач определенных ти­пов, теоретического материала, составления собствен­ных примеров при отсутст­вии готового алгоритма

+! Позволяют выдвигать интуитивно-ин­ду­к­тивные или интуитивно-аналити­ческие гипотезы

+! Проверка соот­ветствия приведенного примера всем указанным условиям

Раскрывая возможности задач того или иного типа для формирования ведущих приемов поисково-исследовательской деятельности, были введены следующие условные обозначения: 1) «+!» – задачи данного типа наиболее эффективны и их следует применять в первую очередь в процессе формирования соответствующих приемов поисково-исследовательской деятельности студентов; 2) «+» – возможности задач данного типа ограничены; они требуют создания дополнительных условий, используются лишь на отдельных этапах процесса формирования; 3) «±» – задачи данного типа обладают еще меньшими возможностями, но расширяют сферу приложения приема, их применение не всегда может быть удачным.

В качестве примера приведем задачи, направленные на формирование каждого из ведущих приемов.

1. Задача, направленная на формирование приема постановки проблемы.

Проблемная задача. Применить подстановки Эйлера для нахождения интеграла.

На первый взгляд задача не несет никакой проблемы, так как требует от студентов простого применения известной формулы, тем более что данный интеграл является «табличным».

Проблемная ситуация возникает в результате выполнения задания, когда, воспользовавшись указанными подстановками, студенты получают различные ответы. В педагогическом эксперименте были получены следующие ответы:

с помощью подстановки ;

с помощью подстановки ;

с помощью подстановки.

Известно же, что, так как.

Проблема. Выяснить причину, почему в правых частях полученных выше равенств получились различные выражения.

Процессуальный компонент:

1. Осознание поставленной задачи: 1) анализ задачи; 2) выполнение указанных действий; 3) проверка результатов. Студенты анализируют ответы, полученные с помощью каждой подстановки, обнаруживают возникшее в результате решения противоречие.

2. Анализ проблемной ситуации: ожидаемый и полученный результаты оказались различными, чем объяснить такую ситуацию

3. Формулировка проблемы: требуется обосновать происхождение противоречия (получение различных ответов, отличающихся от предполагаемого ответа).

Данная задача, относящаяся к типу задач на сравнение способов решения, использовалась на этапе закрепления приема постановки проблемы.

2. Задача, направленная на формирование приема выдвижения гипотезы. Найдите производную y(10), если y =. Решите задачу в общем виде.

Проблема. Найти общую формулу y(n) для функции у =, где kN, mZ.

  1. Анализ проблемы. Студенты отмечают, что процесс решения задачи в общем виде проще (сформулированная проблема), чем решение исходной задачи, однако он требует дополнительного рассмотрения частных решений, зависящих от значений параметров k и m.
  2. Интуитивные предположения (догадка, основанная на прежнем опыте – опыт вычисления производных степенных функций с целым показателем). Если k = 1 и n > m, то y(n) = 0.
  3. Частные решения (опытная работа). Находим производные первого порядка, второго ; третьего.
  4. Синтез полученных результатов. Устанавливаем закономерности между порядком производной и результатом ее нахождения.
  5. Формулировка гипотезы. Если у =, где kN, mZ, k > 1 (дробь несократима), то производная п-го порядка будет вычисляться по формуле.

Действия студентов соответствуют действиям, составляющим прием выдвижения гипотезы.

3. Задача, направленная на формирование приема доказательства гипотезы. Дан квадрат со стороной 1 (рис. 2, а)). Каждую из его сторон разделяют на три равные части и соединяют ближайшие точки смежных сторон. Полученные треугольники отрезают (рис. 2, б)). Также поступают с оставшимся 8-угольником (рис. 2, в)), затем – с 16-угольником (рис. 2, г)) и так до бесконечности. Требуется найти площадь фигуры, которая образуется в результате бесконечного процесса.

а) б) в) г)


Рис. 2

Гипотеза: построенная фигура напоминает круг, вписанный в квадрат, следовательно, его площадь равна.

Доказательство (опровержение) гипотезы состоит в вычислении площади фигуры, полученной в результате описанных действий.

1. Выяснить, какое утверждение достаточно доказать для подтверждения гипотезы. Устанавливается, что для проверки гипотезы необходимо найти суммарную площадь отрезанных треугольников. Найти суммарную площадь значит найти сумму ряда, членами которого являются площади треугольников, отрезаемых на каждом шаге. С учетом выдвинутой гипотезы, суммарная площадь должна составлять 1 –.

2. Установить, исходя из п.1, какие действия и в каком порядке нужно выполнить.

Студенты определяют следующую последовательность действий:

а) найти сумму площадей треугольников, отрезанных на первом шаге;

б) составить формулу площадей треугольников отрезаемых на п-ом шаге;

в) составить ряд, исследовать его на сходимость, найти сумму ряда;

г) ответить на вопрос задачи.

3. Выполнить действия, отмеченные в п. 2.

а) На первом шаге площадь квадрата уменьшилась на s1=.

б) На п-ом шаге площадь отрезаемой фигуры находится по формуле
, где n > 1, – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

в) Ряд сходится. Сумма этого ряда равна.

г) Искомая площадь равна 1 –.

4. Проверить истинность результатов, полученных в ходе выполненных операций. При вычислении суммарных площадей отсекаемых треугольников используются знания по планиметрии.

5. Принять или опровергнуть гипотезу.

Гипотеза отвергается, так как.

В работе показано, что одна задача может быть направлена на формирование сразу нескольких приемов.

Во втором параграфе раскрыта особая роль лабораторных практикумов в процессе формирования приемов поисково-исследовательской деятельности будущих учителей математики при обучении математическому анализу.

В педагогическом эксперименте при организации и проведении лабораторных практикумов внимание было акцентировано на разработке задач на экспериментирование по ведущим разделам математического анализа, на использовании при решении этих задач возможностей информационно-коммуникационных технологий, на подтверждении теоретических положений эмпирическим путем и обеспечении актуальности изучения того или иного материала математического анализа.

Процесс организации лабораторных практикумов, направленных на формирование приемов поисково-исследовательской деятельности, имеет ряд характеристик. Укажем некоторые из них:

  • Ведущими для этого процесса являются эмпирические методы обучения (наблюдение, опыт, измерение), с помощью которых формулируется гипотеза, подлежащая обоснованию (или опровержению) уже иными методами.
  • Наиболее оптимальной является групповая форма обучения. При этом возможны следующие случаи: 1) каждая группа выполняет одно общее задание, сформулированное для всех, и выдвигает в результате его выполнения собственную гипотезу; 2) каждая группа выполняет часть общего задания, после чего полученные результаты объединяются и выдвигается общая гипотеза; 3) при общем для всех студентов задании каждая группа выполняет свой вариант работы (частные задачи) и формулирует свою гипотезу, а далее, анализируя все полученные результаты, выдвигает обобщенную гипотезу. В том числе групповая форма обучения сочетается с коллективной, парной или индивидуальной формами.
  • Средством управления деятельностью студентов во время практикума служат инструкции, в которых излагаются правила и последовательность действий студентов, дается информация о повторении необходимого материала, указывается порядок выполнения заданий. Предусмотрено также указание целей работы (или ряда вопросов, позволяющих студентам сформулировать цель самостоятельно), оборудования (если таковое имеется), кратких предписаний к выполнению экспериментального задания, вопросов для контроля и помощи студентам.
  • Практикумы проводятся после изучения крупных разделов учебных курсов, а также предваряют их изучение, создавая опытно-экспериментальный образец предстоящего теоретического материала. Проведению практикума преимущественно предшествуют лекция и мотивационная беседа.

В качестве примера приведем фрагмент организации лабораторного практикума (таблица 3), сориентированного на формирование приемов поисково-исследовательской деятельности, в процессе которого студенты выполняли задачу на экспериментирование с использованием информационно-коммуника­ционных технологий. Подобное задание позволило студентам осознать изучаемые понятия, они приобрели средство самопроверки при выполнении заданий на нахождение области сходимости степенных рядов.

Таблица 3

Организация лабораторного практикума при выполнении
заданий на экспериментирование (фрагмент)

Пример задачи и заданий
на экспериментирование

Особенности организации выполнения

задачи

Формируемые приемы

Используя формулу Тейлора, некоторая функция была разложена в ряд и построены графики исходной функции и частичных сумм.

1) Можно ли найти область сходимости полученного функционального ряда, не проводя дополнительных вычислений

2) Как изменится точность аппроксимации при увеличении числа слагаемых при фиксированном значении х

3) Экспериментально определить область сходимости функционального ряда.

4) (Каждая подгруппа получает свой вариант задания.) Разложить в ряд Тейлора указанную функцию и определить ее область сходимости, построив в одной системе координат графики исходной функции и графики частичных сумм ряда, полученного в результате разложения, при п = 1, 2, 3, … (п – количество слагаемых в разложении функции в ряд, п). Графики могут быть построены, например, с помощью пакета Mathcad

Задание было предложено при изучении темы «Степенные ряды. Разложение функций в ряд».

Для выполнения задания использовались графические возможности математического пакета Mathcad.

1) Поставлена проблема: как найти область сходимости ряда, не проводя вычислений

2) После того как были заданы студентам дополнительные вопросы, они уточняли формулировку проблемы: как поведение графиков частичных сумм ряда влияет на определение его области сходимости

3) Для проверки правильности разложения в ряд было предложено воспользоваться встроенной функцией series пакета Mathcad, которая позволяет разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности указанной точки с учетом степени старшего члена в разложении.

4) Студенты, построив графики частичных сумм при увеличении значений п, наблюдают на экране компьютера, как ведут себя графики членов функциональной последовательности при п, приближаются ли графики частичных сумм к графику исходной функции.

5) Каждая подгруппа студентов, анализируя поведение графиков, выдвигает гипотезы области сходимости исследуемого ряда.

Например, одна из гипотез была следующей: область сходимости функционального ряда, полученного при разложении функции ln(1+x) в ряд Тейлора, равна (–1;1]. Заметим, что выполненное построение позволяет выдвинуть гипотезу об интервале сходимости, а вопрос о сходимости ряда на концах интервала требует дополнительных вычислений

Прием

постановки проб­лемы

Прием выдвижения гипотезы

В третьем параграфе описаны организация и результаты педагогического эксперимента, состоящего из трех этапов: констатирующего, поискового, формирующего. Для исследования динамики уровня сформированности у студентов приемов поисково-исследовательской деятельности проводились самостоятельные работы. В их содержание были включены задачи и задания, выполнение которых требовало использования ведущих приемов поисково-исследовательской деятельности (баллы, набранные студентом за решение каждой задачи самостоятельной работы, использовались при статистической обработке результатов). Уровень сформированности приемов поисково-исследовательской деятельности у каждого студента определялся в соответствии с количеством баллов (от 0 до 4), набранных за решение задач самостоятельных работов.

Для проведения педагогического эксперимента в качестве основных выбраны две группы студентов математического факультета Омского государственного педагогического университета: контрольная 11 группа (КГ) и экспериментальная 12 группа (ЭГ).

Pages:     | 1 | 2 || 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»