WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

АРСЕНТЬЕВ Тимофей Петрович

КОЛЕБАНИЯ КРЫЛА В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ГАЗА

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург

2008

Работа выполнена на кафедре гидроаэромеханики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор БАРАНЦЕВ Рэм Георгиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ЕРШОВ Борис Александрович

кандидат физико-математических наук,

доктор технических наук,

доцент ПОЛЯКОВА Екатерина Владимировна

Ведущая организация: Московский Авиационный Институт

Защита состоится "_____" _____________ 2008 г. в _____часов на заседании совета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28, ауд. ____

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9.

Автореферат разослан " " 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук, профессор С. А. Зегжда.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Некоторые типы колебаний крыльев самолета и рулевых поверхностей наблюдались с первых дней полета самолета. Для того чтобы описать физическое явление, рассмотрим свободнонесущее нестреловидное крыло без элерона, смонтированное под малым углом в аэродинамической трубе и жестко закрепленное у корня. Когда поток воздуха в аэродинамической трубе отсутствует и модель возбуждается, например, толчком с помощью тяги, то возникает колебание, которое потом постепенно затухает. При постепенном увеличении скорости потока в трубе скорость затухания колебания возбужденного профиля сначала увеличивается. Однако по мере дальнейшего увеличения скорости достигается такой момент, когда скорость затухания быстро уменьшается. При критической скорости флаттера колебание может продолжаться с постоянной амплитудой. При скоростях потока несколько превышающих критическую, небольшое случайное возмущение профиля может служить толчком к возникновению очень сильного колебания. Такие колебания даже если и не приведут к разрушению крыла и крушению самолета, то могут существенно ухудшить управляемость.

В ранние периоды развития авиации устойчивость конструкции относительно флаттера могла быть достигнута за счет незначительных изменений конструкции и за счет незначительного увеличения веса. Новая тенденция к оптимальной конструкции самолетов с высокими летными качествами создает совершенно иную картину. Обычно желают создать самолет с минимальным весом, должным образом соответствующий заданным проектным требованиям (нагрузка, геометрия и т. п.). Эти и другие проблемы, связанные с развитием авиации, остаются актуальными и по сегодняшний день. И дальнейшее развитие авиации влечет за собой дальнейшие исследования задач, связанных с флаттером.

Целью работы является постановка и решение задач, связанных с процессом колебания крыла в сверхзвуковом потоке идеального сжимаемого газа. А именно, исследование аэродинамической задачи и применение полученных в аэродинамике результатов для нахождения асимптотического решения связанной аэроупругой задачи на малых и больших частотах.

Методы исследования. В работе применяются асимптотические методы, основанные на использовании малости относительной толщины профиля крыла и малости амплитуды его колебаний, а также основанные на рассмотрении задачи при малых и больших частотах. Для решения задач используются метод Римана, общее решение для телеграфного уравнения, общее решение для однородного волнового уравнения и формула для решения неоднородного волнового уравнения при нулевых граничных условиях. Также используются методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Найдено аналитическое решение аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа с помощью метода Римана и общего решения телеграфного уравнения. Также найдено второе приближение стационарной части задачи. Получено асимптотическое решение аэроупругой задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа при малых и больших частотах на основе результатов, найденных при решении аэродинамической задачи.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением асимптотических методов, методов математической физики и теории дифференциальных уравнений.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты исследования могут представлять интерес для специалистов, занимающихся проектированием летательных аппаратов, движущихся со сверхзвуковой скоростью. Полученные аналитические решения могут быть использованы для расчета скорости и давления на профиле крыла, совершающего произвольной формы колебания. Найденные формулы также позволяют рассчитать скорость и давление в области между профилем крыла и характеристикой. Еще могут представлять интерес найденные частоты, при которых возникают колебания определенной формы.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в данной работе, были доложены на международных конференциях «Пятые Окуневские Чтения» (Санкт-Петербург, 2006) и «Шестые Окуневские Чтения» (Санкт-Петербург, 2008), на XXI Всероссийской конференции по аналитическим методам в газовой динамике «САМГАД-2006» (Санкт-Петербург, 2006), на Всероссийском семинаре по аэрогидродинамике, посвященном 90-летию со дня рождения Сергея Васильевича Валландера (Санкт- Петербург, 2008) и на 6-ой Европейской конференции по нелинейной динамике «ENOC 2008» (Санкт-Петербург, 2008).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1-8]. Работа [5] опубликована в рецензируемом научном журнале «Вестник Санкт-Петербургского Университета», входящем в перечень ВАК.

В работах [3, 4] соавтору принадлежит постановка аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа. Также соавтором предложен метод Римана для решения задачи на профиле крыла. Диссертантом решена задача на профиле крыла методом, предложенным соавтором и произведен расчет амплитуды колебаний давления на профиле крыла при переходе через критическую частоту. Асимптотика найденного решения и асимптотика колебаний давления на профиле крыла принадлежит обоим авторам.

В работе [8] соавтором показана возможность расщепления стационарной и нестационарной частей задачи на одном уровне точности, получено уравнение и граничные условия во втором приближении стационарной задачи. Диссертантом получено аналитическое решение стационарной задачи во втором приближении.

Вклад соавторов в подготовку докладов и материалов для конференций (см. [1, 2, 6]) такой же, как и в [3, 4, 8].

Структура работы. Работа состоит из двух частей, содержит введение, заключение и список литературы, состоящий из 94 наименований. Общий объем работы составляет 59 страниц текста и 10 иллюстраций.

Результаты, выносимые на защиту.

  • Аналитическое решение аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа, полученное на профиле крыла методом Римана.
  • Аналитическое решение аэродинамической задачи о колебании крыла в сверхзвуковом потоке газа, найденное в области между профилем крыла и характеристикой с помощью общего решения телеграфного уравнения.
  • Второе приближение стационарной задачи.
  • Выражение для аэродинамического давления, возникающего при колебании крыла в сверхзвуковом потоке и его асимптотика на профиле крыла при малых и больших частотах.
  • Асимптотическое решение связанной аэроупругой задачи на малых и больших частотах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткая история исследований проблемы флаттера и приведен обзор литературы, посвященной аэродинамике колебаний крыла и связанным аэроупругим задачам о колебании крыла. Также во введении обосновывается актуальность и научная новизна диссертации. Формулируются цель работы, указывается практическая и теоретическая ценность её результатов. Приводится краткое содержание диссертации и результаты, выносимые на защиту.

В первой части работы исследуется аэродинамика колебаний крыла в сверхзвуковом потоке газа. Рассматривается крыло (см. рис. 1), испытывающее поперечные колебания, амплитуда которых мала по сравнению с его толщиной, так что профиль крыла можно представить в виде:

, |f | << |f 0| << 1,

где и малые параметры, обеспечивающие выполнение указанных неравенств, а частота  произвольна.

Нестационарное сверхзвуковое течение идеального газа около тонкого крыла описывается известным уравнением для потенциала скоростей при соответствующих граничных условиях на профиле крыла и характеристиках, в которые вырождается ударная волна. Представление искомого потенциала в соответствующей форме

, || << ||,

позволяет расщепить решение задачи на два последовательных этапа: сначала найти, а затем. Упрощая уравнение для потенциала с помощью найденных порядков возмущенных величин, для стационарной задачи было получено однородное волновое уравнение. Решение стационарной задачи известно и имеет вид

,

где, – число Маха.

Рисунок 1. Профиль крыла.

Был рассмотрен случай, когда

,

Уравнение для при этом сводится к виду:

.

Условие на профиле, снесенное на ось y=0, и условие на ударной волне, снесенное на характеристику, принимают вид:

Решение данной задачи на профиле крыла найдено методом Римана

.

И получена его асимптотика при малых и больших

,,

,.

Пользуясь интегралом Лагранжа и полученной асимптотикой, была найдена амплитуда колебаний давления на профиле крыла в следующем виде:

Следовательно, при малых амплитуда колебаний в асимптотике пропорциональна наклону профиля и не зависит от частоты, при больших амплитуда пропорциональна ординате профиля и частоте колебаний.

а б

Рисунок 2. Амплитуда колебаний давления на профиле крыла (M=2, f  (x,)=0,1x(1-x)). На рисунке а кривая 1 соответствует значению =0,5, кривая 2 - =1, кривая 3  =3, кривая 4 - =5. Звездочками показана асимптотика при малых . На рисунке б кривая 1 соответствует значению =3, кривая 2 - =5, кривая 3  =8, кривая 4 - =11, кривая 5 - =15. Точками показана асимптотика при больших (=15).

а б

Рисунок 3. Амплитуда колебаний давления на профиле крыла (M=2; f  (x,)=0,1x(1-x); а - =0,1; б - =1).

На рисунке 2 представлена амплитуда колебаний давления на профиле крыла для случая, когда крыло совершает колебания по закону f  (x,)=0,1x(1-x). Также показана асимптотика при больших и малых.

Для решения задачи в области между профилем крыла и характеристикой, уравнение для с помощью замены сводилось к уравнению. Решение этого уравнения имеет вид

,

где и - произвольные функции, которые были найдены из условий на профиле крыла и характеристике. В результате в области между профилем крыла и характеристикой получено решение

.

а б

Рисунок 4. Амплитуда колебаний давления на профиле крыла (M=2; f  (x,)=0,1x(1-x); а - =5; б - =15).

На рисунках 3 и 4 представлена амплитуда колебаний давления в области между характеристикой и профилем крыла при различных. Рисунки 2, 3 и 4 показывают, как меняется характер колебаний при переходе через критическую частоту порядка единицы.

В случае, когда потенциал скоростей имеет форму

,

более высокие приближения становятся сравнимыми с и при этом естественно обе части задачи решать на одном уровне точности.

Подставляя выражение для в известное уравнение для потенциала скоростей и допуская, что

,

для получили волновое уравнение

,

для - неоднородное волновое уравнение

(39)

а для - уравнение

.

Подставляя разложения для и в условия на профиле, получили (после сноса на )

,

,

.

Полагая

и подставляя в условия динамической совместности разложения для и, получили

,

В результате после сноса условия для на характеристику имеем

,

,

.

Таким образом, показано, что расщепление стационарной и нестационарной задач сохраняется и на одинаковом уровне точности.

Первое приближение стационарной части задачи хорошо известно

.

Для получили задачу, которая уже была рассмотрена ранее в этой работе. Решение задачи для искалось в виде суммы, где - решение неоднородного волнового уравнения с нулевыми граничными условиями

- решение однородного волнового уравнения с ненулевыми граничными условиями

По известной формуле было найдено.

,

где.

Решение для было получено с помощью общего решения однородного волнового уравнения. Складывая полученные для и решения и, используя результаты первого приближения, для имеем следующее выражение:

.

Во второй части работы исследуется форма колебаний гибкого профиля в сверхзвуковом потоке идеального сжимаемого газа. Решается связанная задача аэроупругости. Для постановки задачи вводится модель несущей поверхности и используется модель потока, принятая в первой части.

В качестве модели крыла была рассмотрена тонкая пластина постоянной толщины. И мгновенное положение верхней и нижней поверхности колеблющегося профиля представлено в следующем виде

,

,

где малый параметр, определяющий толщину крыла-пластины. Функция, определяет форму колебаний профиля крыла-пластины.

Уравнение поперечных колебаний пластины постоянной толщины имеет вид

,

где - цилиндрическая жесткость, E, v, - модуль Юнга, коэффициент Пуассона и плотность материала пластины, h - толщина пластины, w(x,t) - прогиб пластины, - избыточное давление, возникающее вследствие колебаний профиля.

В наших обозначениях уравнение поперечных колебаний пластины примет следующий вид

,

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»