WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |

На правах рукописи

Колпаков Илья Юрьевич

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С НЕОБРАТИМОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЧАСТЬЮ

01.01.02 – дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Пермь - 2006

Работа выполнена в Пермском государственном техническом университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Абдуллаев Абдулла Рамазанович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Максимов Владимир Петрович

кандидат физико-математических наук,

доцент Коган Юрий Вольфович

Ведущая организация: Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина

Защита состоится « 2 » ноября 2006 года в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета К 212.188.02 в Пермском государственном техническом университете по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Поздеева 11, ауд.309.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан «___» сентября 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

канд. физ.-мат. наук, доцент В.А. Соколов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию краевых задач для квазилинейных функционально- дифференциальных уравнений (ФДУ). Такие задачи возникают в математических моделях механики, химии, физики, биологии, экономики и в других науках. Вопросам разрешимости краевых задач посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных исследователей, в том числе Н.В. Азбелева, И.Т. Кигурадзе, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматуллиной и др. Систематическое применение методов функционального анализа при исследовании ФДУ началось с основополагающих работ Н.В. Азбелева, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахматуллиной.

В большинстве работ, посвященных условиям разрешимости квазилинейных краевых задач, предполагается, что соответствующая линейная краевая задача однозначно разрешима для всех пар правых частей. И в относительно небольшом количестве работ рассматриваются квазилинейные краевые задачи с необратимой линейной частью, это так называемые «резонансные» краевые задачи. Признаки разрешимости резонансных краевых задач получены в работах С.А. Вавилова, И.Г. Малкина, А.Р. Абдуллаева, А.А. Бойчука, А.Б. Бурмистровой, A. Cabada, S. Fucik, M. Furi, J. Mawhin, M. Martelli, L. Nirenberg, B. Przeradzki и др. авторов. В работах, посвященных условиям разрешимости резонансных краевых задач, наиболее распространены методы, основанные на преобразовании Ляпунова-Шмидта. Однако применение данных методов имеет ряд трудностей, в том числе само фактическое построение уравнения разветвления довольно сложно и громоздко. В связи с этим возникла проблема создания новых простых в применении универсальных методов для исследования на разрешимость резонансных краевых задач. К данным методам относится и метод, предложенный в диссертационной работе.

Цель работы. Получение новых достаточных условий разрешимости краевых задач для различных классов квазилинейных функционально-дифференциальных уравнений с необратимой линейной частью.

Методы исследования. Проблема существования решения краевой задачи сводится к проблеме разрешимости операторного уравнения. Используются методы теории краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений, теории линейных операторов и нелинейного функционального анализа. Также используется теорема о существовании неявного оператора и теоремы существования с условиями на границе. Кроме того, применяется аппарат, связанный с коэффициентом сюръективности.

Научная новизна. В работе предложен новый подход к исследованию на разрешимость квазилинейных краевых задач с необратимой линейной частью. Получены новые признаки разрешимости квазилинейных краевых задач для абстрактных функционально-дифференциальных уравнений с необратимой линейной частью и систем квазилинейных операторных уравнений. Найдены условия разрешимости некоторых классов квазилинейных краевых задач, в том числе:

- краевой задачи для уравнения с отклоняющимся аргументом;

- краевой задачи для уравнения Льенара;

- краевой задачи для уравнения с малым параметром;

- краевой задачи для уравнения нейтрального типа;

- краевой задачи для сингулярного дифференциального уравнения первого порядка.

Теоретическая и практическая ценность работы. Разработанная методика может быть использована для изучения новых классов краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений. Результаты работы могут применяться при исследовании конкретных краевых задач, возникающих в математических моделях реальных процессов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международной летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» в Казани (2003), на Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» в Самаре (2003), на Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» в Нижнем Новгороде (2003), на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самаре (2003, 2004, 2006), на Областной научной конференции молодых ученых и аспирантов «Молодежная наука Прикамья» в Перми (2002), на научно-практической конференции «Педагогические идеи Е.А. Дышинского и современное математическое образование» в Перми (2004), на научно-исследовательском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям под руководства профессора Абдуллаева А.Р., на семинаре кафедры математического анализа Пермского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двенадцати работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 155 страницах. Библиографический список содержит 160 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введем обозначения:, - ядро и образ линейного оператора,, - граница и замыкание множества, - открытый шар с центром в нуле и радиуса, - мерное евклидово пространство, - частная производная по второму аргументу оператора в точке.

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, содержится краткий обзор работ по тематике, приводится описание методики исследования и краткое содержание диссертационной работы.

Первая глава носит вспомогательный характер. Здесь собраны основные определения и утверждения, используемые в основном тексте.

В параграфе 1.1 приводятся необходимые сведения из функционального анализа, в том числе, определение частной производной оператора.

В параграфе 1.2 абстрактная линейная краевая задача рассматривается как одно линейное операторное уравнение

,

где, и. Для оператора приводится условие нетеровости, дается описание ядра, обобщенно обратного оператора, проектора на образ оператора и оценка его нормы.

В параграфе 1.3 рассматривается операторное уравнение второго рода вида:

,

где дополнительный проектор на образ оператора,, (). Такое уравнение возникает при исследовании на разрешимость квазилинейного операторного уравнения

. (1)

Поскольку, в общем случае, образ оператора не совпадает со всем пространством, то с помощью теоремы о существовании неявного оператора, являющегося решением данного операторного уравнения, можно определить множество пар, которое оператор переводит в образ оператора. Приведем здесь эту теорему:

Теорема 1.3.3. Пусть оператор непрерывен на множестве и имеет на частную производную, непрерывную в точке. Пусть далее, оператор непрерывно обратим и справедливы следующие оценки:

1) ;

2), для любых ;

3), для любых, где, и -некоторые постоянные, зависящие только от множества и оператора.

Положим

,

.

В этих условиях существует единственный оператор такой, что элемент при каждом является решением уравнения. При этом оператор непрерывен на шаре, и.

В диссертационной работе пространство отождествляется с пространством, имеющие согласованные нормы:. Поэтому, при необходимости прямая топологическая сумма рассматривается как прямое произведение с изометричной нормой, а оператор записывается в виде.

Вторая глава содержит основные результаты диссертационной работы. В начале главы рассмотрен новый подход для получения условий разрешимости квазилинейного операторного уравнения (1). Во второй части главы предложенный подход применяется к решению вопроса о разрешимости абстрактной квазилинейной краевой задачи и системы квазилинейных операторных уравнений, путем сведения их к квазилинейному операторному уравнению (1).

В параграфе 2.1 приведены теоремы о неподвижных точках и теорема существования решения квазилинейного операторного уравнения (1), необходимые в дальнейшем.

В параграфе 2.2 доказываются теоремы существования решения уравнения (1) с условиями на границе области, в которой ищется решение. Приведем здесь одну из этих теорем:

Теорема 2.2.1. Пусть оператор - нетеров, - обобщенно обратный к оператор и пусть существуют открытая ограниченная окрестность нуля и непрерывный оператор такие, что выполнены условия:

1),

2) из,.

Тогда существует ненулевое решение уравнения (1) в.

На практике, в случае, если трудно вычислить точно условие 2) теоремы 2.2.1 удобно заменить следующим, более легко проверяемым условием:

2) из,.

В параграфе 2.3 описывается предлагаемый подход к решению вопроса о разрешимости квазилинейного операторного уравнения (1). Идея подхода состоит в следующем: сначала с использованием теоремы 1.3.3 о существовании неявного оператора доказывается существование множества и непрерывного оператора, с помощью которых нелинейный оператор переводит данное множество в образ линейного оператора. Затем с помощью теоремы 2.2.1 существования с условиями на границе доказывается существование решения в полученном множестве.

Параграф 2.4 посвящен разрешимости абстрактной квазилинейной краевой задачи:

(2)

где - линейный и непрерывный операторы, - линейный и непрерывный вектор-функционалы, - банаховы пространства, причем.

Задача (2) исследуется на разрешимость как одно операторное уравнение:

,

где операторы определены равенствами:

,.

Затем к полученному квазилинейному операторному уравнению применяется предлагаемый в работе подход.

В предлагаемом подходе требуется дифференцируемость оператора, поэтому приведем здесь условия дифференцируемости и вид производной оператора :

Если оператор и вектор–функционал дифференцируемы по Фреше, то оператор дифференцируем по Фреше и его производная в точке равна.

Далее сформулируем теорему о разрешимости квазилинейной краевой задачи (2):

Теорема 2.4.1. Пусть оператор - нетеров, и - обобщенно обратные к и операторы. Оператор вполне непрерывен и вместе с функционалом дифференцируемы, причем их частные производные непрерывны в точке. Пусть далее, оператор непрерывно обратим и справедливы следующие оценки:

1) ;

2),, ;

3),,

;

4),,, ;

5) ;

6), где, и.

Тогда существует ненулевое решение квазилинейной краевой задачи (2).

В параграфе 2.5 рассмотрен вопрос разрешимости системы квазилинейных операторных уравнений:

(3)

где - линейные ограниченные операторы, - непрерывные операторы, и,, - банаховы пространства. Система (3), как и в случае краевой задачи, записывается в виде одного операторного уравнения:

,

где операторы определены равенствами:

,.

Затем приводится условие нетеровости оператора, дается описание ядра, вида проектора на образ оператора, проектора на и ассоциированного с ним обобщенно обратного оператора.

Введем понятие производной оператора в точке:

Если операторы и дифференцируемы по Фреше, то оператор дифференцируем по Фреше и его производная в точке равна

,

где - частная производная - ой функции по - ому аргументу, то есть и.

Оператора в случае системы (3) имеет вид:

.

Условия разрешимости системы (3) примут вид:

Теорема 2.5.1. Пусть операторы и - нетеровы, - обобщенно обратный к оператор. Операторы и вполне непрерывны, дифференцируемы и их производные непрерывны в точке. Пусть далее ( - нуль в ), оператор непрерывно обратим и справедливы следующие оценки:

1) ;

2), ;

3), ;

4), ;

5), где ;

6), где,,, и.

Тогда существует ненулевое решение системы квазилинейных операторных уравнений (3).

С применением теоремы 2.5.1 получены условия существования периодического решения системы дифференциальных уравнений:

где и - некоторые константы. В качестве приложения рассмотрена двухвидовая конкурирующая модель Лотки – Вольтерра.

Третья глава содержит приложение полученных в работе утверждений о разрешимости квазилинейных краевых задач к исследованию на разрешимость некоторых классов краевых задач.

В параграфе 3.1 рассматривается вопрос о разрешимости периодической краевой задачи для уравнения Льенара

(4)

Условия разрешимости задачи (4) сформулированы в теореме:

Теорема 3.1.1. Пусть функции и вместе со своими производными и непрерывны. Пусть далее выполнены следующие условия:

1) ;

2), ;

3), ;

4), ;

5) ;

6), где,,, и ().

Тогда существует ненулевое решение задачи (4).

Отдельно рассмотрены частные случаи задачи (4) - случай, когда и периодическая краевая задача для уравнения Ван-дер-Поля.

В параграфе 3.2 рассматривается периодическая краевая задача для уравнения с отклоняющимся аргументом:

(5)

Если уравнение в задаче (5) является линейным, то оператор можно найти в явном виде. В этом случае условия разрешимости краевой задачи (5) примут вид:

Теорема 3.2.2. Пусть выполнены условия:

и,

тогда существует ненулевое решение задачи (5) в шаре с радиусом.

Pages:     || 2 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»