WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

В главе освещены особенности систем координат трехосного эллипсоида, введены понятия о широтах и долготах в связи с тем, что геодезическая система координат не является однозначной для трехосного эллипсоида.

Вопросами установления систем координат трехосного эллипсоида занимались: А. Кларк, Н. Ф. Красовский, Н. А. Беспалов и другие.

В работе используются понятия условно-геодезической и геодезической систем координат, приведенные в работе Л. М. Бугаевского «Теория картографических проекций регулярных поверхностей». В обеих системах координат долготы определяются одинаково, как двугранный угол между плоскостями сечений, проходящих через ось эллипсоида, начальный и текущий пункты. А понятия условно-геодезической и геодезической широт не совпадают.

Под условно-геодезической широтой В понимается угол между нормалью АК к эллипсу РАР1 в т. А и линией OD. Однако линия АК не является нормалью к его поверхности (рис. 3).

Под геодезической широтой трехосного эллипсоида понимается угол между нормалью к поверхности трехосного эллипсоида в т. А и плоскостью экватора.

Рис. 3. Условно геодезическая система координат трехосного эллипсоида

Формулы связи геодезической и условно-геодезической систем координат имеют следующий вид:

sinB = sin[(1+z2)/(1+z2sin2)1/2]; cosB = cos[(1+z2 sin2)-1/2], где

z = - d/d = k2sin2/[2(1-k2cos2);

d = - ab(a2-b2)sin2/[2(a2sin2+b2cos2)1/2];

d = b(1-k2cos2)-1/2; k2 = 1-(b/a)2,

a, b –полуоси трехосного эллипсоида,

– геодезическая широта данной точки,

В – условно-геодезическая широта данной точки,

– геодезическая долгота данной точки.

Различия в величинах условно-геодезических и геодезических широт не велики и наглядно представлены на рис. 4, на примере проекции типа Брауна.

Рис. 4. Проекция типа Брауна в различных системах координат (сплошная сетка построена с использованием геодезической системы координат; штриховая сетка построена с использованием условно-геодезической системы координат)

В дальнейшем при рассмотрении вопросов, связанных с получением формул прямоугольных координат проекции использовалась условно-геодезическая система координат. Расчеты всех проекций выполнены для спутника Юпитера Амальтеи, т.к. его форма аппроксимируется трехосным эллипсоидом.

Перспективные цилиндрические проекции трехосного эллипсоида.

Получим формулы прямоугольных координат перспективной цилиндрической проекции с негативным изображением на основе метода визирования.

Рассмотрим рис. 5, на котором представлена схема получения нормальных перспективных цилиндрических проекций трехосного эллипсоида с негативным изображением на секущем цилиндре с произвольным положением точки зрения.

Рис. 5. Схема получения перспективных цилиндрических проекций трехосного эллипсоида с негативным изображением на секущем цилиндре с произвольным положением точки зрения

Пусть положение точки зрения g определяется расстоянием Og=D от центра трехосного эллипсоида и углом. А (В, ) – текущая точка на поверхности трехосного эллипсоида. Аk – точка пересечения образующей цилиндра и трехосного эллипсоида. R – радиус вспомогательного цилиндра. Возьмем начало прямоугольных координат в т. О. Тогда в системе координат плоскости каждого меридиана будем иметь:

О: x = 0; A: x = N(1-p2)sinB; g: x = Dsin;

y = 0; y = - NcosB; y = Dcos.

Запишем уравнения визирного луча gA и образующей цилиндра AkA’:

(x-Dsin)(-NcosB-Dcos) = (y-Dcos)(N(1-p2)sinB-Dsin); y = - R.

Совместное решение этих уравнений, позволяет получить формулы прямоугольных координат проекции на секущем цилиндре:

x = Dsin+(R+Dcos)(N(1-p2)sinB-Dsin)/(NcosB+Dcos); y = R. (2)

Если в качестве вспомогательной поверхности использовать касательный цилиндр, то формулы прямоугольных координат перспективной цилиндрической проекции трехосного эллипсоида с негативным изображением будут иметь следующий вид:

x = Dsin+(а+Dcos)(N(1-p2)sinB-Dsin)/(NcosB+Dcos); (3)

y = а.

В этих формулах:

x, y – прямоугольные координаты точек проекции;

В, – условно-геодезические координаты;

R – радиус вспомогательного цилиндра;

D – расстояние от точки зрения до центра трехосного эллипсоида;

– угол между направлением Og и плоскостью экватора;

N – радиус кривизны сечения первого вертикала; N = d/(1-p2sin2B)1/2, где

d = b/(1-k2cos2)1/2; k2 = 1-(b/a)2; p2 = 1-(c/d)2.

a, b, с – полуоси трехосного эллипсоида.

Рис. 6. Сетка прямоугольных координат перспективной цилиндрической проекции трехосного эллипсоида с негативным изображением на секущем цилиндре с произвольным положением точки зрения для спутника Юпитера Амальтеи с изоколами масштабов плошадей (Расчет производился по значениям: a=135000 (м), b=85000 (м), с=77500 (м); D=100000 (м), =25;

Rцилиндра=100000 (м))

В диссертации приведены 6 формул для нахождения прямоугольных координат перспективных цилиндрических проекций трехосного эллипсоида с негативным и позитивным изображением с различным положением точки зрения, а также формулы комбинированных перспективных цилиндрических проекций с негативным и позитивным изображением.

На основании расчетов прямоугольных координат проекций было построено 6 вариантов сеток разработанных проекций для спутника Юпитера – Амальтеи на рис. 7, 8 представлены 2 из них.

Рис. 7. Сетка перспективной цилиндрической проекции трехосного эллипсоида типа Уэтча с изоколами масштабов площадей

Рис. 8. Сетка перспективной цилиндрической проекции трехосного эллипсоида типа Брауна с изоколами масштабов площадей

Поскольку перспективный способ изыскания проекций основан на решении прямой задачи математической картографии, свойства получаемых проекций (характер искажений, их величины и распределение) нельзя определить заранее. Эти свойства определяются после получения формул прямоугольных координат проекций и вычислений на их основе частных масштабов длин, площадей и искажений углов. На основании построенных сеток и вычисленных искажений перспективных цилиндрических проекций трехосного эллипсоида можно сделать следующие относящиеся к ним выводы:

  • в проекциях параллели изображаются в виде кривых, т.к. являются

функциями и широты, и долготы;

  • меридианы изображаются в виде равноотстоящих параллельных прямых;
  • сетки проекций не ортогональны;
  • в проекциях полюс изображается в виде прямой линии или уходит в

бесконечность (проекции типа Уэтча);

  • сетки проекции симметричны относительно среднего меридиана;
  • изоколы масштабов площадей и искажений углов имеют вид кривых.

Оценка искажений. В пределах всей картографируемой территории для оценки всех типов искажений использовался критерий вариационного типа

Е2 = 1/S2dS, (4)

где S – площадь территории;

2 – критерий Эйри, являющийся мерой комплексного искажения в отдельной точке;

2 = ((a/b-1)2+(ab-1)2)/2; (5)

a, b – экстремальные масштабы длин.

Определить Е2 в явном виде трудно, но его приближенное значение можно получить, заменив интеграл суммой i2, взятых в отдельных точках проекции

Е2 = 1/Ki2. (6)

Для определения характера искажений полученных проекций использовался критерий Г. И. Конусовой, определяющий соотношение искажений форм и площадей:

tg = (a/b-1)/(ab-1), (7)

= 0 – для равноугольных проекций;

= /2 – для равновеликих проекций;

0<</2 – для произвольных проекций.

Результаты оценки искажений по критериям Эйри и Г. И. Конусовой представим в табл. 2.

Оценка перспективных цилиндрических проекций

трехосного эллипсоида по критериям Эйри и Конусовой Табл. 2.

Положение точки зрения

Критерий

Эйри

Конусовой ()

1

В бесконечности

0,698

77

2

В центре эллипсоида

8,993E+30

33

3

На поверхности эллипсоида

0,662

69

4

Произвольное

0,691

76

Из таблицы видно, что наибольшие искажения наблюдаются в проекциях типа Уэтча. Наименьшие искажения в проекциях типа Брауна. Искажения в проекциях с произвольным положением точки зрения и с точкой зрения, лежащей в бесконечности примерно одинаковые.

Анализ проекций по критерию Конусовой показал, что они произвольны по характеру искажений, но наиболее близки к равновеликим, кроме проекций типа Уэтча (в этих проекциях, характер искажений ближе к равноугольному).

В практике математической картографии нашли применение проекции, получаемые комбинацией уравнений известных проекций. Уравнения таких проекций задаются как: Х = К1Х1+К2Х2, Y = К1Y1+К2Y2,

где К1+К2 = 1,

К1 – доля проекций с негативным изображением;

К2 – доля проекций с позитивным изображением;

Х1, Y1, Х2, Y2 - координаты исходных проекций.

В работе рассмотрены проекции, получаемые комбинированием перспективных цилиндрических проекций с позитивным и негативным изображением. Для определения их оптимального соотношения, т.е. коэффициентов К1, К2, использовались критерии Эйри и Г. И. Конусовой, изменения которых представлены на рис. 9.

Рис. 9. Изменения критериев Г. И. Конусовой и Эйри в зависимости от изменения коэффициентов проекций

Анализ изменений критериев показал, что при увеличении доли проекции с негативным изображением происходит незначительный рост суммарных искажений, и по характеру искажений проекция приближается к равновеликой. Наиболее близкой к равновеликой комбинированная проекция будет при K1 = 0,6.

Перспективные конические проекции трехосного эллипсоида.

Принципиальная схема получения прямоугольных координат перспективных конических проекций на основе метода визирования сводится к последовательному нахождению:

  • прямоугольных координат х, у точек проекции трехосного эллипсоида

на поверхность вспомогательного конуса в плоскости каждого меридиана;

  • прямоугольных координат xp, yp вершины вспомогательного конуса;
  • полярных радиусов и полярных углов ;
  • постоянного параметра проекции С;
  • прямоугольных координат X, Yперспективной конической проекции на

плоскости.

Рассмотрим пример получения нормальной перспективной конической проекции трехосного эллипсоида с негативным изображением на секущем конусе с произвольным положением точки зрения. На рис.10, точка g – точка проектирования, А – проектируемая точка (текущая точка) на поверхности трехосного эллипсоида, РА’ – образующая секущего конуса. R – радиус основания конуса в плоскости экватора, – угол между образующей конуса и его основанием. Возьмем начало системы координат в т. О, тогда в системах координат плоскости каждого меридиана получим:

Рис. 10. Схема получения нормальной перспективной конической проекции трехосного эллипсоида на секущем конусе

О: х = 0; g: x = Dsin; A: x = N(1-р2)sinВ;

y = 0; y = Dcos; y = - NcosВ.

Прямоугольные координаты х, у точек проекции трехосного эллипсоида на поверхности вспомогательного конуса можно получить из совместного решения уравнений образующей конуса и визирного луча.

Уравнение визирного луча gA запишется:

(x-Dsin)( - NcosB-Dcos) = (y-Dcos)(N(1-p2)sinB-Dsin).

Уравнение образующей конуса:

- R(x-Rtg) = - Rtg.

Из решения этих уравнений получим формулы прямоугольных координат точек на поверхности вспомогательного конуса в плоскости каждого меридиана:

x = ((Rtg+Dcostg)(N(1-p2)sinB-Dsin)+Dsintg(NcosB+Dcos))/

/(tg(NcosB+Dcos)+N(1-p2)sinB-Dsin); (8)

y = (x-Rtg)/tg.

Прямоугольные координаты вершины вспомогательного конуса хр, ур запишутся в виде: хр = Rtg; ур = 0.

На основе общих формул конической проекции и из Рис. 9 формулы прямоугольных координат перспективной конической проекции трехосного эллипсоида на плоскости запишутся в виде:

X = ю - cos; Y = sin; (9)

В этих формулах:

X, Y – прямоугольные координаты точек проекции на плоскости;

x, y – прямоугольные координаты точек проекции в плоскости каждого

меридианного сечения;

= [(х - хр)2 + (y - ур)2]1/2 – полярный радиус;

= С – полярный угол;

С = cos – параметр проекции.

Получены формулы прямоугольных координат 6-и проекций и из них построено 5. На рис. 11, 12 представлены картографические сетки 2-х из них, рассчитанные для Амальтеи.

Рис. 11. Сетка перспективной конической проекции с точкой зрения, лежащей в бесконечности с изоколами масштабов площадей

Рис. 12. Сетка перспективной конической проекции с точкой зрения, лежащей на поверхности эллипсоида в плоскости экватора с изоколами масштабов площадей

На основании построений и вычисления искажений длин, площадей и углов можно сделать следующие выводы:

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»