WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Во второй главе исследуется теоретическая база моделирования телетрафика многомерными распределениями. Разрабатываются алгоритмы генерации потоков сообщений от нескольких источников в виде многомерных распределений. Предложена конструкция многомерного случайного процесса эллиптического вида для построения модели телетрафика. В данной главе диссертации основным результатом является построение математического описания процесса, обобщающего нормальный процесс. В работе были использованы следующие свойства многомерного нормального распределения (теорема 1):

Теорема 1

Распределение -мерной случайной величины полностью определяется одномерными распределениями линейных функций, где и.

На основе этого определения построен генератор для нормального многомерного распределения с любыми заданными характеристиками, а именно – ковариационной матрицей и математическим ожиданием.

Далее предлагается методика генерации многомерного нормального распределения, в которой используется свойство плотности нормального закона распределения, представленной в виде формулы (1), где каждый из сомножителей является условной плотностью нормального закона распределения:

. (1)

В диссертации предложен алгоритм, который назван итеративным генератором выборки многомерных наблюдений. Для этого алгоритма должна быть известна плотность распределения и сгенерировано некоторое множество, случайных величин с заданной плотностью.

Далее рассматривается метод смешивания нормальных распределений, который позволяет формировать случайные процессы произвольной длины, предназначенный для моделирования класса процессов, многомерные плотности распределений которых аппроксимируются гауссовыми распределениями со случайными весовыми коэффициентами. Этот метод может быть использован для моделирования случайных процессов, нестационарных как по времени, так и по реализации, в то время как первые два метода позволяют моделировать процессы, нестационарные только по времени. Этот метод основан на том, что выполняется (2):

если, то матрица (2)

имеет распределение Уишарта –, где – объем выборки.

В диссертации разработан алгоритм генерации случайной ковариационной матрицы с распределением Уишарта. На основе этого алгоритма предложен усовершенствованный алгоритм, в котором перед генерацией случайного вектора генерируется случайная ковариационная матрица, соответствующая выборке. размера -мерных случайных величин. Таким образом, получим смесь нормальных законов, в которой ковариационная матрица – случайна.

Остановимся на сферических и эллиптических распределениях, в частности, приведем определение 1.

Определение 1

Случайный вектор имеет сферическое распределение, если существует функция скалярной переменной такая, что характеристическая функция имеет вид.

Важным для дальнейшего является следующий факт, доказанный в диссертации (утверждение 1).

Утверждение 1

Если имеет сферическое распределение, то для любого вектора выполняется равенство (по распределению), где.

Следствием из утверждения 1 является тот факт, что, где вектор имеет равномерное распределение на единичной гиперсфере и случайная величина независима от.

Таким образом, все многообразие сферических распределений может быть получено с помощью двух генераторов. Генератора и генератора. В диссертации рассмотрены различные генераторы сферических распределений.

Далее рассматривается составной эллиптический процесс, который основан на эллиптическом распределении (определение 2).

Определение 2

Случайный вектор из имеет эллиптическое распределение, если, где,,.

Таким образом, определение основного процесса имеет вид
(определение 3).

Определение 3

Стохастический -мерный процесс называется составным эллиптическим процессом (с секторами), если он имеет следующее стохастическое представление:

,

где векторы,, такие, что ; независимы от.

Заметим, что – некоторые неотрицательные возрастающие функции, например, суммы модулей случайных величин, распределенных в соответствии с заданной плотностью. Далее приведем результирующий алгоритм генерации случайных траекторий составного эллиптического процесса.

Алгоритм генерации случайных траекторий составного
эллиптического процесса

  1. Рассчитываем, используя декомпозицию Холецкого.
  2. Генерируем траектории длины из.
  3. Генерируем раз независимых случайных величин, из одномерного стандартного нормального распределения.
  4. Рассчитываем для.
  5. Рассчитываем для.
  6. Генерируем где,,.
  7. Получаем.

Предложенный алгоритм генерации представляет собой основной результат главы, имеющий широкое практическое применение в области теории телетрафика, так как составляющие процесса дают возможность выражать в зависимости от контекста характерные свойства процесса.

Третья глава посвящена стохастическим моделям источников ошибок в каналах связи. Проведен анализ известных математических моделей источников ошибок. Разработаны модели источника ошибок: типа скользящего среднего; типа авторегрессии; на основе скрытой марковской модели. Выполнена идентификация моделей и оценены основные характеристики канала.

Основная трудность построения моделей состоит в том, что пространство состояний процесса ошибок в цифровом канале связи дискретно, поэтому стандартные модели процессов не применимы. В главе исследуются два типа моделей. Первый класс моделей составляют модели, в которых сочетается линейная модель с нейроном – определение 4.

Определение 4

Процесс будем называть процессом типа скользящего среднего порядка –, если

. (3)

В (3) – последовательность одинаково распределенных стандартных нормальных случайных величин, – порог.

Процесс типа скользящего среднего является стационарным процессом с ковариационной функцией (4).

, (4)

где,, – функция Лапласа,.

При.

В диссертации исследовано поведение ковариационной функции в зависимости от параметров модели.

Основные характеристики канала: математическое ожидание числа ошибок определяется формулой (5), дисперсия числа ошибок – формулой (6).

. (5)

. (6)

Таким образом, в рассматриваемой модели наблюдается линейная зависимость математического ожидания и дисперсии числа ошибок от длины сообщения. Оценка сверху средней длины пакета ошибок определяется формулой (7); оценка снизу среднего расстояния между соседними ошибками – формулой (8).

, (7)

где,

– наибольшее собственное значение ковариационной матрицы.

, (8)

где,

– наименьшее собственное значение ковариационной матрицы.

Идентификация модели. Для идентификации модели применен метод Монте-Карло с генерацией необходимого числа независимых стандартных нормальных случайных величин. В силу громоздкости выкладок приведем лишь окончательный результат (9). Оптимальная оценка в среднеквадратичном смысле:

,(9)

где G =, – матрица, строки которой соответствуют,
– матрица, строки которой соответствуют ; все компоненты вектора равны единице, число компонент равно – числу строк матрицы ; все компоненты вектора равны единице, число компонент равно – числу строк матрицы.

Таким образом, алгоритм идентификации параметров модели выглядит следующим образом.

Алгоритм идентификации параметров модели

Инициализация. Выбираем начальное значение для параметра –.

Итерация. Вычисляем для оценки и. Вычисляем.

Если, то полагаем и переходим к итерации.

Останов.

Далее приведем примеры расчетов. Рассматривается модель четвертого порядка с параметрами, приведенными в таблице 1. С помощью датчика стандартного нормального распределения была сгенерирована последовательность длиной 10004, на основании которой и параметров модели была получена последовательность длиной 10000, по которой были вычислены оценки параметров модели. Оценки параметров модели приведены в третьей строке таблицы.

Таблица 1

Параметры модели. Оценки параметров модели

Ковариационная и корреляционная функции приведены в таблице 2. В первом столбце таблицы приведены значения аргумента, во втором – значения ковариационной функции, в третьем – значения корреляционной функции (использовались параметры модели). В четвертом и пятом приведены значения корреляционной функции (использовались оценки параметров модели).

Таблица 2

Ковариационная и корреляционная функции

Основные характеристики канала приведены в таблице 3. В первом столбце таблицы приведены значения для модельных значений параметров, во втором столбце – для оценок

Таблица 3

Основные характеристики канала

Модель типа авторегрессии определяется формулой (10). В работе показано, что модель авторегрессии сводится к модели типа скользящего среднего:

,. (10)

Скрытая марковская модель определяется формулой (11):

(11)

,

где процесс – процесс состояния канала, например, «плохое», «промежуточное», «хорошее».

В ряде случаев возникает задача оценки ненаблюдаемой последовательности – состояния канала по наблюдаемой последовательности помех. В качестве «хорошей оценки» часто рассматривается оценка, которая доставляет максимум апостериорной вероятности. В работе предлагается алгоритм нахождения оптимальных оценок.

Следующей, часто встречающейся задачей является задача идентификации модели, то есть оценка параметров распределений и по наблюдаемой последовательности, где – векторы параметров. Далее приведен общий алгоритм, позволяющий найти локальный максимум функции правдоподобия.

Алгоритм нахождения локального максимума функции правдоподобия

Инициализация. Выбираем начальные значения для оцениваемых параметров:.

Итерация. Находим максимально правдоподобную оценку

.

Находим и.

Останов. Если отличие между и не превосходит заданной точности вычислений, то останов, иначе переход к Итерация.

Основные характеристики канала: среднее число ошибок определяется по формуле (12); дисперсия числа ошибок вычисляется по формуле (13), средняя длина пакета ошибок – формула (14).

, (12)

где – вектор размерности ; – квадратная матрица порядка, ; – вектор размерности,.

, (13)

где ;.

, (14)

где.

Среднее расстояние между последовательными ошибками. Необходимая формула получается из (14) заменой (формула (15)).

. (15)

Как пример скрытой марковской модели в работе рассматривается модель Гильберта, и на этой модели демонстрируются преимущества предлагаемого общего подхода.

В четвертой главе разработана технология имитационного моделирования телекоммуникационного канала на основе модифицированных атрибутных грамматик. Предложена общая структура имитационной модели, подробно рассмотрены блоки математической модели помехоустойчивого цифрового канала и имитации внешних воздействий. Разработан генератор шума. Приведены элементы интерфейса и примеры результатов расчетов разработанного программного комплекса, реализующего предложенные в диссертации математические модели.

Ядром имитационной системы, разработанной в диссертации, является блок имитации внешних воздействий – генерации ошибок канала, в котором используются модели двух типов: модель типа скользящего среднего и скрытая марковская модель.

В диссертации разработана формально-грамматическая модель шума, позволяющая генерировать квазипериодический процесс на основе модификации атрибутной грамматики Д. Кнута.

Пусть – контекстно-свободная (КС) грамматика, где – стартовый символ, – алфавит нетерминальных символов, – алфавит терминальных символов, – множество правил вывода КС-грамматики. Мы предполагаем, что в грамматике отсутствуют нетерминальные символы, не принадлежащие ни одному из выводов.

Атрибутная грамматика состоит из КС-грамматики, которая называется базой атрибутной грамматики, отображений и, которые ставят в соответствие каждому символу непересекающиеся множества и синтезируемых и наследуемых атрибутов, а также из множеств – множеств семантических правил (правил вычисления атрибутов) для каждого правила.

Определение модифицированной атрибутной грамматики

В качестве базы взята стохастическая КС-грамматика. Элемент – конечное множество стохастических правил вывода. Стохастическое правило вывода имеет вид, где,, – вероятность применения правила. Вероятности применения правил должны удовлетворять ограничению. Пусть в имеется набор стохастических правил вывода:, тогда, и все. Отображения и определяются для каждого. Множества семантических правил определяются для каждого.

Формально-грамматическая модель шума

Каждый элемент алфавита терминальных символов соответствует состоянию канала. Атрибутами элемента алфавита являются. Атрибут является наследуемым атрибутом, атрибуты и – синтезируемые атрибуты. Причем – случайная величина с распределением вероятностей (длина периода для состояния канала ). Атрибут – модель типа скользящего среднего, соответствующая состоянию канала.

Вычисление наследуемого атрибута . Пусть содержится в цепочке и – предшествующий терминальный символ из цепочки, тогда. Если в цепочке нет предшествующих терминальных символов, то полагается равным нулю. Таким образом, каждый терминальный символ порождает стохастический интервал и определяет распределение вероятностей для сегмента шума, соответствующего интервалу при помощи модели.

Далее построен генератор шума, который базируется на следующих определяющих генераторах: генератор стандартной нормальной случайной величины –, генератор равномерной случайной величины на интервале –. Алгоритм работы генератора шума имеет следующий вид.

Алгоритм работы генератора шума

Инициализация. Определение длины сообщения. Полагаем. Генерация начального терминального символа, вычисление атрибутов:, с использованием и распределения вероятностей. Вычисление правой границы стохастического интервала. Генерация нулевого фрагмента «шум» с использованием и.

Pages:     | 1 || 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»