WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     ||
|

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, дается исторический обзор результатов по математическому моделированию балочных систем, сформулирована цель работы, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе формулируются основные гипотезы и допущения для построения математической модели сложных колебаний балок Эйлера-Бернулли. Рассматриваются однослойные упругие балки, подчиняющиеся закону Гука. Проводится сравнительный анализ методов типа конечных разностей для сведения уравнений в частных производных к задаче Коши. Разработан алгоритм расчета динамики балок Эйлера-Бернулли методами конечных разностей с аппроксимацией по пространственной координате и конечных элементов с аппроксимацией по Бубнову-Галеркину. Обеспечивается достоверность получаемых результатов.

Как двумерная область балка определяется следующим образом:,. Рассматривается балка с прямоугольным поперечным сечением длиной, высотой, нагруженная распределенной на единицу длины поперечной знакопеременной нагрузкой, действующей в направлении оси oz. Колебания балки рассматриваются в рамках гипотезы Эйлера-Бернулли, т.е. в предположении, что поперечные сечения, перпендикулярные оси балки до изгиба, остаются плоскими и перпендикулярными изогнутой оси и не деформируются в своей плоскости. Система дифференциальных уравнений в перемещениях в безразмерном виде, описывает движение балки с учетом диссипации энергии (1), черточки над безразмерными параметрами, для простоты опущены:

(1)

где,, - нелинейные операторы. Для сведения уравнений (1) к безразмерному виду использовались следующие безразмерные параметры:,,,,,,,.

К уравнениям (1) следует присоединить одно из краевых условий и начальные условия:

1. Заделка – заделка:

(2)

2. Шарнир – шарнир:

(3)

3. Заделка – шарнир:

(4)

4. Заделка – свободный край:

(5)

Начальные условия:

(6)

На рассматриваемую балку действует знакопеременная поперечная нагрузка вида

(7)

Бесконечномерная задача (1)-(6) с помощью метода конечных разностей с аппроксимацией, а также метода конечных элементов в представлении Бубнова-Галеркина, сводится к конечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений решаем методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности.

Важным вопросом при решении задач хаотической динамики является вопрос достоверности получаемых результатов. В связи с тем, что дифференциальные уравнения, описывающие поведение используемых математических моделей, существенно не линейны, получение аналитических решений для проверки численных результатов становится невозможным. Данный тип динамических задач решается впервые, таким образом, сопоставление с результатами других авторов невозможно. Единственным выходом является сопоставление с результатами, полученными с помощью разных численных методов. Поэтому используем сравнение решений по методу конечных разностей с аппроксимацией (МКР) и методу конечных элементов (МКЭ) в форме Бубнова-Галеркина.

Отметим, что для каждого метода, используя принцип Рунге, проводились исследования на предмет сходимости результатов по разбиениям: а) пространственной координаты; б) времени. Было установлено, что оптимальным разбиением по пространственной координате является, шаг по времени. На основании этих исследований выбирались параметры задачи, используемые в дальнейшем. Показана сходимость численных результатов с использованием МКР и МКЭ на примере не только сходимости сигнала, но и фазовых портретов, спектров мощности в представлении Фурье.

Для подтверждения достоверности результатов и следуя идее А.Пуанкаре о том, что лучше изучать все многообразие орбит, чем следить за какой-то конкретной, были построены карты динамических режимов для управляющих параметров, которые представляют собой графическое отображение результатов решения динамической задачи. Важным вопросом является наиболее полное отображение информации при минимальных затратах машинного времени. Для построения карт на область пространства была наложена сетка, в узлах которой производилась идентификация характера колебаний. Предварительно исследовался вопрос о сходимости решения при увеличении количества разбиений области. Расчеты показали, что является оптимальным. Для построения одной карты, с разрешением необходимо просчитать вариантов. Время счета одного варианта составляет примерно 2.5 часа.

МКР

МКЭ

Условные обозначения

а)

б)

Рис. 1 Карты динамических режимов

Для консольной балки приведены карты динамических режимов, полученные двумя разными методами: конечных разностей (рис.1а) и конечных элементов (рис. 1б).

Условные обозначения применимы ко всем нижеприведенным картам. Как видно, карты для каждого набора управляющих параметров, построенные разными методами, практически полностью совпадают. Для всех граничных условий было проведено сравнение численных результатов по методам исследования (сопоставление сигналов, спектров мощности, карт), в результате чего сделан вывод о достоверности получаемых численных решений.

Во второй главе исследуются сценарии перехода гармонических колебаний в хаотические для гибких балок Эйлера-Бернулли в условиях поперечной знакопеременной нагрузки для различных граничных условий.

Так, исследован сценарий перехода системы к хаосу для граничных и начальных условий (3), (6), в результате чего выявлено, что система переходит к хаотическим колебаниям через последовательное появления трех частот, значения которых линейно не зависят друг от друга, то есть наблюдаем модифицированный сценарий Рюэля, Такенса, Ньюхауза, который был впервые предложен В. А.Крысько и И.В.Кравцовой. Для граничных и начальных условий (5), (6) переход системы к хаосу происходит по следующему сценарию: колебания системы на частоте возбуждения, появление одной линейно независимой частоты, обогащение спектра рядом частот, линейно зависящих от первых двух. Если рассматривать сценарий в случае заделки обоих концов балки (2) и начальных условий (6), то для частот возбуждающих колебаний и сценарии различны.

Проведено сравнение результатов расчета гибких балок Эйлера-Бернулли для прогиба и перемещений при некоторых граничных условий. На рис. 2 представлены карты динамических режимов при граничных условиях (4).

Исследуется влияние коэффициентов диссипации энергии на частотные характеристики по длине балки для. При и количество и значения частот по длине балки совпадает, то есть эти значения являются наиболее оптимальными при расчетах. Параллельно исследовалось влияние относительной толщины балки на характер колебаний гибких балок.

Для учета влияния Кулоновского, нелинейного и линейного трения, а также упругих оснований Винклера и В.З.Власова, уравнения движения, в безразмерном виде (модель Эйлера-Бернулли), запишем как

(8)

Нелинейные операторы аналогичны приведенным выше. Дополнительные безразмерные параметры:,. Система уравнений (8) является дважды нелинейной. С одной стороны, она учитывает нелинейную зависимость между деформациями и перемещениями, а с другой - нелинейность сил трения от скорости, которая описывается моделью Кулона (при параметре m = 0). Для исследования колебаний при линейном трении следует положить m = 1, при нелинейном m = 2.

К уравнению (8) следует присоединить граничные (2) – (4) и начальные условия.

Дано сравнение динамического состояния балки Эйлера-Бернулли на основании Виклера и без его учета (рис. 3) для балки с шарнирным опиранием краев. Как видно, учет основания Винклера в математи-ческой модели приводит к существенному измене-нию характера колебаний балки.

Третья глава посвящена изучению колебаний гибких балок Эйлера-Бернулли при действии продольного удара груза массой. В момент удара на свободный край балки, согласно второму закону Ньютона, действует сила:. Приводя данное уравнение к безразмерному виду, получим.

Тогда, к уравнениям (1) присоединим уравнения на границе в безразмерном приведении:

где, и начальные условия:

(10)

где - скорость груза в момент удара.

Данная бесконечномерная задача с помощью метода конечных разностей с аппроксимацией сводится к конечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которую также решаем методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности.

При увеличении скорости груза V, система переходит к хаосу по сценарию Фейгенбаума. Получена первая константа Фейгенбаума, относительная погрешность которой составляет 0.005.

Анализ характера распространения волны по длине балки позволяет говорить о том, что характер волны не зависит от скорости груза, но ее амплитуда увеличивается. При ударе по торцу балки грузом массой со скоростью происходит процесс распространения продольных волн и их отражения. Время начала резкого увеличения амплитуды поперечных колебаний примем за.

Исследование вопроса о зависимости от геометрических параметров балки и от скорости груза в момент удара позволяет сделать вывод о том, что значение значительно больше в случае относительно толстых балок и напрямую зависит от скорости груза.

В четвертой главе формулируются основные гипотезы и допущения для построения математической модели гибкой балки С.П.Тимошенко.

Размерная система дифференциальных уравнений в перемещениях с учетом вышеприведенных безразмерных параметров и дополнительных, сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в перемещениях описывающих движения балки с учетом диссипации энергии:

(11)

где - нелинейные операторы аналогичные используемым в уравнениях (1), а.

К системе дифференциальных уравнений (11) следует присоединить одно из нижеследующих граничных условий, и начальные условия.

1. Заделка – заделка:

(12)

2. Шарнир – шарнир:

(13)

3. Заделка – шарнир:

(14)

4. Заделка – свободный край:

(15)

Начальные условия:

(16)

Бесконечномерную задачу с помощью метода конечных разностей сводим к конечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Применяя процедуру метода Бубнова–Галеркина, получаем разрешающие уравнения МКЭ. Отметим, что аппроксимирующие функции для прогиба и перемещений были использованы исходя из свойств математической модели. Сборка матриц масс, демпфирования и формы производится так же как и для модели Эйлера-Бернулли.

На рассматриваемую балку действует знако-переменная поперечная нагрузка вида (7). Чтобы убедиться в достоверности получаемых численных результатов, решаем описан-ную систему уравнений методами конечных элементов и конечных разностей, при всех граничных условиях. В целях сокращения затрат времени, можно проанализировать характер колебаний системы, только для одного значения частоты, по всему интервалу нагрузки. Для этого строим шкалы зависимости характера колебаний от амплитуды внешней нагрузки. На рис.4 показаны шкалы и графики зависимости, для граничных условий (12).

На основании этих результатов, можно сказать, что при значениях амплитуды нагрузки, соответствующей нехаотическим колебаниям, значения по МКР и МКЭ совпадают полностью. После перехода к хаосу значения максимального прогиба отличаются, но несущественно.

Pages:     ||
|



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.