WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 |

2

1

1

0

1

2

2

1

1

0

1

2

1

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

Значения в ячейкахтаблицы ширины подмножеств (табл. 1)представляют собой суммы значениймаксимальной ширины какого-либо(затененного) подмножества и минимальногорасстояния между подмножествами насоответствующем уровне k решетки разбиений(рис. 1).

Р и с. 1. Решеткаразбиений с повторением для натуральногочисла n=12

Значения в ячейкахтаблицы количества вершин подмножеств(табл. 2) представляют собой количестворазбиений, находящихся на соответствующемуровне kкакого-либо (затененного) подмножестварешетки разбиений (рис. 1). В результатеанализа значений таблицы количествавершин подмножеств была полученарекурсивная формула [2]:

(1)

где – значениепроизвольного элемента числового образарешетки.

Индекс iувеличивается снизу вверх, аj – слева направо.Элемент соответствует левойнижней единице таблицы. Число разбиений определяется как элемент числовогообраза решетки разбиений:

.

(2)

Формула (1) дает точноевычисление функции.

Покажем, чтораспределение уровневых чисел решеткиразбиений аппроксимируется логнормальнымраспределением. Пусть случайная величина означает количество kчастей, на которыеразбивается натуральное число n. Используя формулу (1),определим:

,

(3)

где.

Вероятность появления равна.

Исходя из формулы (3),построим с использованием программногокомплекса графики для,, (рис. 2). Анализируя форму иповедение кривой для различных значенийнатурального числа n, выдвигаем гипотезу: график внешне соответствует функцииплотности вероятности для логнормальногораспределения.

Семейство N решеток разбиенийпредставлено на рис. 3. Числовые плоскостисемейства Nрешеток разбиений приведены в табл. 3. Втабл. 4 представлены соответствующие суммыэлементов каждой строки таблицы числовыхплоскостей семейства N решеток разбиений.

Р и с. 2.Графики распределения разбиений дляn=30, n=70, n=100

Р и с. 3.Семейство N=6решеток разбиений

Таблица3     

Таблица4     

Количество вершинподмножеств

Суммыколичества вершин подмножеств

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

3

0

0

0

0

1

3

0

0

0

0

2

2

0

0

0

1

2

1

0

0

0

2

1

1

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

№строки

Суммаэлементов

1

1

2

3

3

4

4

4

5

4

6

4

7

3

8

2

9

2

10

1

11

1

В результате анализакаждого элемента таблицы числовыхплоскостей семейства N решеток разбиений была полученарекурсивная формула [2]:

(4)

Здесь i – номер столбца;j – номер строки;

a(i, j)– значениечислового образа для соответствующихi, j.

Покажем, чтораспределение уровневых чиселсемейства Nрешеток разбиений аппроксимируетсялогнормальным распределением. Для этого вычислим абсолютную и относительную разности функцииплотности вероятности распределения ифункции плотности вероятностилогнормального распределения по формулам:

На рис. 4, а, 4, б представленысоответственно графики абсолютных иотносительных разностей функции плотностивероятности распределения для семейства решеток разбиений ифункции плотности вероятностилогнормального распределения.

Р и с. 4. Графикиабсолютных и относительных разностейфункции плотности вероятностираспределения Q(N) для семейства N=100 решеток разбиений и функцииплотности вероятности логнормальногораспределения X(N)

Анализируя форму иповедение кривых, представленных на рис. 4,а, 4, б, выдвигаем гипотезу:при значительном увеличении N график функцииплотности вероятности распределения сопоставим сграфиком функции плотности вероятностилогнормального распределения.

В разделе«Упорядоченные алфавиты» рассматриваютсяструктуры систем, которые можнопредставить в виде частично упорядоченныхмножеств (алфавитов) с заданнымиотношениями упорядочения. В данном случаемножество элементов решетки структурзадается в виде некоторого формальногоязыка, определенногограмматикой, где N – множествонетерминальных символов, – множествотерминальных символов, P – множество правилили продукций, g– начальныйсимвол. Произвольная цепочка терминальных символов (слов)является обозначением (моделью) структурысложной системы [9], в которой каждоепоследующее подмножество включает в себяпредыдущее. На решетке структур (рис. 5)представлены все варианты упорядоченныхкомбинаций для 4-буквенного алфавита имаксимальной длины слова, равной четырем.Анализируя решетку упорядоченных цепочек,можно предвидеть развитие системы и всевозможные пути ее развития (переходы отодной вершины к другой). Затененные областина рис. 5 представляют собойнепересекающиеся подмножестваупорядоченных комбинаций 4-буквенногоалфавита с длиной слова, равнойсоответственно 1, 2, 3, 4.

Р и с. 5. Решеткаструктуры системы для 4-буквенногоалфавита
и максимальнойдлины слова, равной четырем

Раздел «Графыалгебраических уравнений» программногокомплекса позволяет проводить построениеграфов алгебраических уравненийцелочисленных последовательностей (обобщенная или р-последовательностьФибоначчи) с характеристическим полиномом, где [2].На рис. 6 представлен граф алгебраическихуравнений для характеристическогополинома с количествомуровневых линий.

Р и с. 6. Графалгебраических уравнений дляхарактеристического
полинома x2(x–1)–1=0 сколичеством уровневых линий k=10

Заключение

Таким образом,разработанный программный комплекс«Система наглядной компьютерной алгебры»реализует построение решетчатых моделейприменительно к разбиениям натуральныхчисел, упорядоченным алфавитам ипоследовательностям Фибоначчи.Программный комплекс позволяет пополученным решетчатым моделям выявить иисследовать такие свойства математическихобъектов, как иерархичность, соотношениечасти и целого, множественнаясимметричность, структурированность,целостность, отношения с объектами одногоуровня, с объектами верхних и нижнихуровней, которые необходимы дляпоследующего анализа, а именно:

1. Раздел «Разбиения сповторением» позволяет проводитьпостроение решетки разбиений, числовогообраза решетки разбиений, графиковраспределения количества вершин длясоответствующих уровней решетки разбиенийи их сопоставление с графикамилогнормального распределения.

2. Раздел«Упорядоченные алфавиты» программногокомплекса позволяет проводить построениеструктур сложных иерархических систем,упорядоченных, с разным количествомэлементов, в которых каждое последующееподмножество включает в себя предыдущее.

3. Раздел «Графыалгебраических уравнений» позволяетпроводить построение графовалгебраических уравнений целочисленныхпоследовательностей чисел Фибоначчи.

Проведенный анализрешетчатых моделей позволилсформулировать и экспериментальноподтвердить две гипотезы:

– распределение уровневых чиселрешетки разбиений аппроксимируетсялогнормальным распределением;

– график внешнесоответствует функции плотностивероятности для логнормальногораспределения;

– графикфункции плотности вероятностираспределения призначительном увеличении N сопоставим сграфиком функции плотности вероятностилогнормального распределения.

Разработанныйпрограммный комплекс может бытьиспользован в учебном процессе для анализасвойств таких математических объектов, какразбиения натуральных чисел,упорядоченные алфавиты ипоследовательности Фибоначчи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙСПИСОК

1. НовосельцевВ.И. Теоретические основысистемного анализа. – М.: Майор, 2006. – 592 с.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»