WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

загрузка...
   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

где 1р, 2р - нормальные напряжения от изгибающих моментов, возникающих при изгибе стержня по форме потери устойчивости. Из разности уравнений (18) вытекают свойства стержней наименьшего веса при потере устойчивости в двух плоскостях инерции:

, (19)

. (20)

Свойства (19), (20) выражают требования постоянства напряжений и по длине стержня и соотношение между ними. При потере устойчивости в одной плоскости постоянство напряжений было отмечено еще Е.Л.Николаи.

Для вывода особых свойств стержней наименьшего веса при действии пространственной статической нагрузки и ограничениях на величину первой частоты собственных колебаний (5), (6) рассмотрим функционалы, на основе которых определяются формы собственных колебаний в двух главных плоскостях инерции:

Э1 =

-, (20)

Э2 =

-. (21)

Запишем функционал, объединяющий функцию цели (1) и ограничения на величину первой частоты собственных колебаний:

(23)

Условия экстремума функционала (23) соответственно запишутся

, (24)

. (25)

После преобразований выражения (24), (25) примут вид:

,.

Здесь - нормальные напряжения от моментов, возникающих при собственных колебаниях в главных плоскостях инерции. Из полученных уравнений следует:

(26)

(27)

Выражения (26), (27) устанавливают свойства стержней наименьшего веса при собственных колебаниях в двух главных плоскостях инерции.

Сформулированные выше свойства стержней наименьшего веса могут использоваться в различных сочетаниях в зависимости от постановки задачи. Так, например, свойства (13) и (14), соответствующие условиям прочности, могут использоваться совместно с условиями (19) и (20) (устойчивость), и условиями (26), (27) (собственные колебания). При этом соблюдаться будут только те свойства, которые соответствуют активным ограничениям.

Третья глава посвящена выбору и обоснованию дискретной модели расчета стержневых систем, а также изложению основной идеи метода последовательных приближений реализации особых свойств стержневых систем наименьшего веса при их синтезе. Приводится алгоритм реализации метода при действии различных вариантов нагрузок и разнородных ограничениях.

Для формирования ограничений по прочности, устойчивости и на частоту собственных колебаний используется шарнирно-стержневая модель. Исходный стержень разбивается на ряд однотипных стержней одинаковой

длины бесконечно большой жесткости, соединенных между собой шарнирами с упругой связью и массой, сосредоточенной в шарнирах.

Для использования сформулированных в главе 2 свойств (13, 14, 19, 20, 25, 26) необходимо знать при ограничениях по прочности внутренние усилия, а при ограничениях на величину критической нагрузки или первой собственной частоты соответственно формы потери устойчивости или собственных колебаний.

Однако как формы потери устойчивости и собственных колебаний, так и внутренние усилия (в статически неопределимых системах или при расчете по деформированной схеме) зависят от законов изменения параметров сечений. В свою очередь законы изменения параметров сечений оптимальной системы и являются объектом поиска.

Идею метода и основные его этапы изложим, используя укрупненную блок-схему, представленную на рис. 1.

Блок ввода данных предусматривает получение информации о геометрических параметрах системы, граничных условиях, механических характеристиках материала, типах ограничений, количестве участков дискретной модели.

Также задаются коэффициенты запаса по устойчивости и первой собственной частоте, вводятся начальные значения размеров сечений, относительная величина, кратность и число делений шага поиска (соответственно h, Со и Coo), допустимая относительная погрешность вычислений (ooo).

На основе исходной информации подсчитываются жесткости узлов дискретной модели, формируются матрицы коэффициентов жесткости (R), продольных сил и (в динамических задачах) масс (M). Производится подсчет и запоминание величины функции цели (V3=V, V2=V). Здесь также принимается значение ключа (Ok=0).

Остальные блоки реализуют сочетание метода последовательных приближений при формировании

аналитических выражений ограничений с одним из вариантов метода спуска.

Можно выделить основные этапы метода.

1. Формирование формул для аналитической записи ограничений и выход на границу.

2. Выбор относительного шага и числа его делений, а также на основе особых свойств, сформулированных в главе 2, выбор направления метода спуска.

3. Реализация метода спуска при сформированных аналитических выражениях ограничений.

Рассмотрим каждый из этапов подробнее.

На первом этапе для формирования формул аналитической записи ограничений производятся расчеты системы. В расчеты закладываются принятые размеры сечений. При ограничениях по прочности в узлах определяются прогибы и изгибающие моменты. При ограничениях по устойчивости или на величину первой собственной частоты – соответственно критические нагрузки, собственные частоты, формы потери устойчивости и собственных колебаний в главных плоскостях инерции. Запоминается величина функции цели (V1=V).

Формируются аналитические выражения ограничений. Эти выражения дают точные значения координат тех граничных точек в пространстве искомых параметров, при которых они были получены. При других значениях параметров границы определяются аналитически, но приближенно.

По полученным зависимостям, сохраняя соотношения между искомыми параметрами, определяются коэффициенты, умножением параметров на каждый из которых реализуется выход на соответствующую границу. Число коэффициентов равно количеству ограничений. Из найденных коэффициентов выбирается наибольший.

Умножением параметров на принятый коэффициент определяются их новые граничные значения, подсчитываются жесткости и функция цели V, формируются матрицы R и M. Такая процедура реализует выход на границу допустимой

области в пространстве искомых параметров по лучу, проходящему из начала координат, через точку, координаты которой – выбранные параметры.

В том случае, если относительная разность |V1-V|/V > ooo, то принимается V1 = V и вновь реализуется выход на границу по лучу. Если |V1-V|/V < ooo, то проверяется соотношение |V2-V|/V. Если |V2-V|/V > ooo, то принимается V2 = V и вновь реализуется выход на границу по лучу. Если |V2-V|/V < ooo, то процесс выхода на границу заканчивается.

Полученные таким образом координаты с точностью до заданной погрешности принадлежат выражению граничной поверхности. Использование в дальнейшем приближенного аналитического выражения границы не влияет на точность окончательного результата. Поскольку формирование ограничений на каждом приближении происходит в точке оптимума, а выражение границы в точке формирования достаточно точное, то при окончании процесса решение будет в пределах заданной погрешности.

На втором этапе производится выбор относительного шага и числа его делений, а также, на основе свойств, сформулированных в главе 2, выбирается направление метода спуска.

После выхода на границу и формирования необходимых матриц проверяется ключ Ok. На этом месте процесса Ok = 0. В соответствии с блок-схемой осуществляется переход к проверке номера приближения.

На первом приближении вводится значение начального относительного шага h в доле от разности между принятыми значениями искомых параметров и их величинами, подсчитанными в соответствии с зависимостями (13, 14, 19, 20, 26, 27). Вводится также кратность деления шага и количество делений в процессе спуска. Во всех приближениях, кроме первого оценивается вклад приближения в изменение функции цели (|V3-V|/V < ooo).

Рис. 1

Если |V3-V|/V > ooo, то переобозначается V3 = V, запоминаются параметры (bo1[i] = b1[i] и bo2[i] = b2[i]), и функция цели (V4 = V). Для выбора направления спуска на основании зависимостей (13, 14, 19, 20, 26, 27) определяются параметры b1[i] и b2[i] (процедура «выравнивание»). В составе этой процедуры по прогибам при изгибе, формам потери устойчивости и собственных колебаний на основании расчетов, выполненных в блоке «Расчеты по ограничениям», определяются изгибающие моменты для ограничений по прочности, устойчивости и собственных колебаний. Моменты для ограничений по прочности принимаются для текущего приближения без изменений, а для ограничений по устойчивости и собственных колебаний с точностью до постоянного множителя.

По моментам в каждом сечении определяются для ограничения по прочности напряжения 1[i], 2[i], p[i], 0[i], а по устойчивости и собственной частоте условные напряжения 1р[i] и 2р[i], 1[i] и 2[i]. Затем для задач устойчивости и собственных колебаний по каждому ограничению выбирается сечение с наибольшим условным напряжением по ограничениям напряжения. После этого величины остальных условных напряжений делятся на наибольшее в данном ограничении. Таким образом, наибольшее условное напряжение оказывается равным единице. Далее условные напряжения для ограничений по устойчивости умножаются на Р*ky и делятся на P1[l] для одной плоскости и на Р2[l] для другой. Соответственно для ограничений на величину собственной частоты условные напряжения умножаются на 0*k и делятся на 1[l] для одной плоскости и на 2[l] для другой. Полученные напряжения назовем приведенными. Для ограничений по прочности за приведенное напряжение примем 0[i]/0. Приведенные напряжения позволяют оценивать варьируемые параметры по отношению к рассматриваемому ограничению. Так если все приведенные напряжения данного ограничения меньше единицы, то ограничение пассивно. Если хотя бы одно из

приведенных напряжений больше единицы, то ограничение не соблюдается. Если же, по крайней мере, одно равно единице, а остальные не больше, то ограничение активно. При выполнении условий оптимальности по одному из ограничений значения соответствующих приведенных напряжений близки к единице.

По приведенным напряжениям для ограничений по устойчивости и собственной частоте в каждом сечении в каждой главной плоскости инерции отбираются наибольшие, и по ним подсчитывается условный момент. Используя внутренние усилия из блока «Расчеты по ограничениям» и полученные условные моменты производится подбор сечений. При этом рассматриваются различные сочетания условий. Используются либо условия (13) и (14), либо (19) и (20), либо (26) и (27). Подобранные таким образом сечения приближенно реализуют соответствующие свойства оптимальной системы. Дальнейшее уточнение решения производится при приближении к минимуму функции цели (1) и последовательным уточнением выражений для ограничений вблизи области минимума.

Для этого переходим к третьему этапу. Метод при сформированных аналитических выражениях ограничений и выбранном направлении поиска реализуется следующим действиями:

• Принимаем Ok = 2, что направит в дальнейшем процесс непосредственно на реализацию спуска;

• Принимаем V2 = V и переходим к блокам «Расчеты по ограничениям», «граница» и так далее как выполнялось на первом этапе. Это действие выводит на границу допустимой области параметры, соотношения между которыми установлены в блоке «Выравнивание», а также уточняет выражение граничных поверхностей при новых параметрах;

• В соответствии с блок-схемой переходим к определению направления поиска и величины шага (блок «шаг 1»). Предварительно принимаем Ok = 0, что позволит после исчерпания возможностей выбранного направления и величины

шага поиска перейти к новому направлению и делению шага. Составляющие координаты направления поиска h1[i] и h2[i] выбираются как разности между запомненными и найденными в результате действий «выравнивания» и «граница» параметрами.

h1[i]=bo1[i]-b1[i] и h2[i]=bo2[i]-b2[i] (28)

• В блоке «шаг 2» координаты направления поиска, определенные в блоке «шаг 1» (28), умножаются на выбранный, на втором этапе относительный шаг h, а затем подсчитываются новые значения параметров

b1[i]=bo1[i]-h1[i]*h и b2[i]=bo2[i]-h2[i]*h (29)

• После каждого шага проверяется условие уменьшения функции цели (V4>V). Если она уменьшилась, то найденные параметры и функция цели запоминаются, и вновь выполняется «шаг 2». Так продолжается до тех пор, пока функция цели не начнет увеличиваться (V4<V);

• Переходим к блокам «Расчеты по ограничениям», «граница» и так далее как выполнялось на первом этапе. Это действие выводит на границу допустимой области параметры, соотношения между которыми установлены в блоке при поиске оптимального решения, а также уточняет выражение граничных поверхностей в окрестности области поиска минимума;

• Проверяем ключ Ok. Поскольку на этой стадии Ok = 0, переходим к проверке номера приближения и его вклада в понижение функции цели. Если вклад мал (|V3-V|/V < ooo), то после возврата на шаг назад, проверяем число делений шага. Если оно меньше принятого количества, шаг делится. Если же (|V3-V|/V > ooo), то принимается (V3 = V), а дальше как при сохраненном, так и при поделенном шаге запоминаем функцию цели и действующие параметры, а затем выполняем процедуру «выравнивание» (смотри этап 2).

• Переходим к началу этапа 3.

Процесс продолжается до тех пор, пока не окажутся выполненными два признака. Первый (|V3-V|/V < ooo), а второй – заданное число делений шага исчерпано. В этом случае

принимаем Ok = 3. В соответствии с блок-схемой выходим на уточненную границу, выводим результаты и заканчиваем процесс.

В четвертой главе исследуются вопросы сходимости и точности метода синтеза при различных сочетаниях ограничений (ограничения по прочности, устойчивости, на величину первой частоты собственных колебаний).

Эффективность предложенного в данной работе метода и сходимость итерационных вычислительных процедур исследовалась на примерах проектирования конструкций с различными условиями опирания, находящихся под действием различных сочетаний нагрузок, при учете разнородных ограничений.

По результатам исследований видно, что разброс значений объема материала сравнительно невелик. Если принять за условно точную величину в каждом из примеров значение объема, подсчитанное при наибольшем количестве участков дискретной схемы, то разница между наибольшим и наименьшим значениями объемов составит для всех примеров менее 4%.

При этом разница в экономии материала при разбиении стержня на 11 и на 13 участков составила менее 1%. Следовательно, можно сделать вывод о том, что для получения удовлетворительной точности оптимального решения при различных условиях опирания, различных нагружениях и разнородных ограничениях достаточно разбиения дискретной схемы на 11-15 участков.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»