WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Санкт-Петербургский Государственный Университет

На правах рукописи

Назаров Антон Андреевич

Правила ветвления аффинных алгебр Ли и приложения в моделях конформной теории поля

01.04.02 – Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург – 2012

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный консультант: доктор физико-мате матических н а у к, профессор, Ляховский Владимир Дмитриевич

Официальные оппоненты: Кулиш Петр Петрович доктор физико-мате матических н а у к, профессор, Санкт-Петербургское отде ление Ма­ те матического института им. В. А.

Стеклова РАН, заведующий лаборато­ рии мате матических пробле м физики ;

Мудров Андрей Игоревич кандидат физико-мате матических на­ ук, Университет Лестера (Ве ли кобри ­ тания), преп о давате ль

Ведущая организация: Объединенный институт ядерных ис­ с ледова н ий

Защита состоится « » 2012 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском государ­ ственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр.

В.О., д. 41/43, ауд. 3

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан « » 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,д.ф.-м.н. Аксенова Е.В.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Последние тридцать лет конформная теория поля в двух измерениях привлекает большое внимание исследователей. Кон­ формная теория поля используется для описания критического поведения в двумерных статистических системах и обладает большой практической цен­ ностью – с ее использованием было получено значительное количество резуль­ татов и численных предсказаний. Методы двумерной конформной теории по­ ля с успехом применяются также при изучении эффекта Кондо и дробного квантового эффекта Холла. Благодаря наличию бесконечномерной алгебры симметрии двумерная конформная теория поля может быть сформулирована аксиоматически.

Поиски строгого математического доказательства для предсказаний дву­ мерной конформной теории поля в последние годы привели к большому ко­ личеству новых идей и результатов в дискретном комплексном анализе [1].

Теория представлений бесконечномерных алгебр Ли является важным инструментом изучения моделей конформной теории поля. Помимо алгеб­ ры Вирасоро, наличие которой обязательно в двумерной конформной теории поля, большую роль играют аффинные алгебры Ли. Изучение аффинных ал­ гебр Ли было начато Виктором Кацем и Робертом Муди в 1960-х годах с по­ пытки обобщения классификации простых конечномерных алгебр Ли на бес­ конечномерный случай [2, 3]. Интерес к этим алгебрам был связан с модуляр­ ными свойствами характеров их модулей. После возникновения двумерной конформной теории поля были предложены модели Весса-Зумино-Новикова­ Виттена (ВЗНВ), а затем и coset-модели, в которых теория представлений аффинных алгебр Ли играет определяющую роль.

ВЗНВ-моделям, coset-моделям и теории представлений аффинных ал­ гебр Ли посвящены тысячи работ. Однако многие проблемы по-прежнему не имеют простых решений. Так, задача вычисления коэффициентов ветвления для представлений алгебр Ли стоит уже многие десятилетия. Она актуальна для физических приложений в coset-моделях конформной теории поля. Для вычисления коэффициентов ветвления, в отличие от проблемы нахождения кратностей весов, не существовало особенно эффективных алгоритмов.

Научная новизна и практическая значимость. В диссертации впер­ вые решены следующие задачи:

Получено эффективное рекуррентное соотношение для коэффициентов ветвления модулей аффинных и конечномерных алгебр Ли на моду­ ли не максимальных подалгебр. Алгоритм вычисления коэффициентов ветвления реализован в пакете A ne.m для популярной системы ком­ пьютерной алгебры Mathematica.

Установлена прямая связь инъективного сплинта и ветвлений. Доказа­ но, что при определенных условиях кратности весов вспомогательного модуля иньективного сплинта совпадают с коэффициентами ветвления в редукции на вложенную подалгебру. Наличие расщепления приводит к существенному упрощению при вычислении коэффициентов ветвле­ ния.

Исследована связь процедуры редукции с обобщенной резольвентой Берн­ штейна-Гельфанда-Гельфанда (БГГ). Показано, что разложение сингу­ лярного элемента определяет как коэффициенты ветвления, так и обоб­ щенную БГГ-резольвенту, так как действие веера вложения на компо­ ненты разложения порождает обобщенные модули Верма, которые об­ разуют точную последовательность.

Построена модель обобщенного стохастического процесса Шрамма-Лёв­ нера для систем с калибровочной инвариантностью, соответствующих coset-моделям конформной теории поля.

Отметим, что пакет A ne.m может быть использован для решения задач теории представлений конечномерных и аффинных алгебр Ли, возникающих в различных областях физики, начиная от изучения атомных и молекуляр­ ных спектров и заканчивая конформной теорией поля и интегрируемыми си­ стемами.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

Получены новые рекуррентные соотношения на коэффициенты ветвле­ ния представлений аффинных алгебр Ли на представления произволь­ ных редуктивных подалгебр, с использованием разложения сингуляр­ ных элементов Установлено, что разложение сингулярного элемента определяет как коэффициенты ветвления, так и обобщенную БГГ-резольвенту, так как действие веера вложения на компоненты разложения порождает обоб­ щенные модули Верма, которые образуют точную последовательность Доказано, что при определенных условиях кратности весов вспомога­ тельного модуля иньективного сплинта совпадают с коэффициентами ветвления в редукции на вложенную подалгебру. Наличие расщепления приводит к существенному упрощению при вычислении коэффициентов ветвления.

Показано, что условие для мартингала, определяющее классификацию операторов изменения граничных условий в наблюдаемых стохастиче­ ского процесса Шрамма-Лёвнера, задает ограничения на структуру син­ гулярных элементов представлений аффинной алгебры Ли, порожден­ ных граничными состояниями. Изучение структуры сингулярных эле­ ментов существенно упрощает поиск операторов смены граничных усло­ вий. Построена модель обобщенного стохастического процесса Шрамма­ Лёвнера для систем с калибровочной инвариантностью, соответствую­ щих coset-моделям конформной теории поля и показано, что такое обоб­ щение совместно с coset-реализацией минимальных моделей.

Разработан пакет программ A ne.m, реализующий различные алго­ ритмы для вычислений в теории представлений конечномерных и аф­ финных алгебр Ли Апробация работы Материалы диссертации докладывались на трех международных конференциях, а также на семинарах кафедры физики вы­ соких энергий и элементарных частиц СПбГУ, на семинарах в лаборатории имени П.Л. Чебышева математико-механического факультета СПбГУ, на се­ минаре лаборатории теоретической физики ОИЯИ (Дубна).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 печатных ра­ ботах, из них 5 статей в рецензируемых журналах [A1, A2, A3, A4, A5], статей в сборниках тезисов и трудов конференций [A6, A7, A8, A9, A10].

Личный вклад автора. Все основные результаты и выносимые на за­ щиту положения получены автором самостоятельно. Личный вклад автора в работы с соавтором составляет 50 процетнов, в работы без соавторов – 1процентов.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения и шести глав, содержит 160 страниц и 30 рисунков. Список литературы вклю­ чает 151 наименование.

Содержание работы Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор­ мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

Глава 1 носит обзорный характер. В ней приводится аксиоматическая формулировка конформной теории поля, описываются ВЗНВ-модели и coset­ модели. Затем демонстрируется роль аффинных алгебр в описании этих мо­ делей и вводятся основные понятия теории представлений, использующиеся в диссертации. Мы указываем на то, что основные свойства интегрируемых модулей старшего веса определяются структурой сингулярного элемента, что выражается в формуле Вейля-Каца для формальных характеров. Мы обсуж­ даем конформную теорию поля на области с границей, так как она оказыва­ ется связана со стохастическим описанием решеточных моделей.

В главе 2 выводится основное рекуррентное соотношение на коэффи­ циенты ветвления. Сначала доказывается лемма о разложении сингулярного элемента. Структура сингулярного элемента определяет свойства модуля ал­ гебры Ли, поэтому разложение определяет правила ветвления и позволяет сформулировать рекуррентную процедуру редукции. Основные результаты данной главы опубликованы в работе [A1].

Формула Вейля-Каца для формальных характеров интегрируемых моду­ (µ) лей старшего веса конечномерных и аффинных алгебр Ли имеет вид chV = (µ), где (µ) – сингулярный элемент модуля, а R = (1 - e-)mult() – + R знаменатель Вейля. Здесь + – множество положительных корней алгебры, а – вектор Вейля. Сингулярный элемент определяется набором сингуляр­ ных весов модуля и имеет разный вид для разных типов модулей старшего веса. Например, (µ) = (w)ew(µ+)- для неприводимых модулей (W wW – группа Вейля). Знаменатель Вейля R является универсальным объектом, характеризующим корневую систему алгебры Ли, а свойства модуля опреде­ ляются сингулярным элементом.

Процедура редукции состоит в разложении модуля алгебры Ли g в сумму модулей некоторой подалгебры a: Lµ = b(µ)L.

a ga + Pa Используя оператор проекции a (на весовое пространство h*), перепи­ a шем это разложение для формальных характеров:

a ch (Lµ) = b(µ)ch (L). (1) a + Pa Нас интересуют коэффициенты ветвления b(µ).

Для любой алгебры g и подалгебры a g можно построить подалгебру a такую, что a = { g|h ha; (h) = 0}.

Обозначим через Wa подгруппу группы Вейля W, порожденную отраже­ ниями w, соответствующими корням +. Подсистема a определяет a подалгебру a с подалгеброй Картана ha.

Пусть h* := { h* |h haa ; (h) = 0}, тогда имеет место разложе­ a ние подалгебры Картана h = ha ha h. Для подалгебр из ортогональной пары (a, a) рассмотрим соответствующие векторы Вейля a и a, и образу­ ем так называемые “дефекты” вложения Da := a - a, Da := a - a .

Рассмотрим сингулярные веса {(w(µ + ) - ) |w W } модуля старшего веса Lµ и их проекции на h* (дополнительно сдвинутые на дефект -Da ):

g a µa (w) := a [w(µ + ) - ] - Da, w W.

Среди весов µa (w) |w W выберем находящиеся в главной камере Вейля Ca. Множество U := u W | µa (u) Ca состоит из элементов группы Вейля, переводящих старший вес в главную камеру Вейля подалгебры a (с учетом сдвига на и на дефект). Элементы U являются представителя­ ми классов смежности W/Wa. Каждому элементу U поставим в соответ­ ствие вес µa (u) := a [u(µ + ) - ]+Da. Аналогичным образом определим µ (u) := [u(µ + ) - ] + Da и µa (u) := a [u(µ + ) - ] + Da. Мы доказываем следующую лемму о разложении сингулярного элемента:

Лемма 1. Пусть (a, a) – ортогональная пара редуктивных подалгебр g и a = a h, a = a h, Lµ – модуль старшего веса с сингулярным эле­ ментом (µ), Ra – знаменатель Вейля для подалгебры a. Тогда элемент µ g (µ) = a Ra можно разложить в сумму по u U сингулярных весов (a,a) µa(u) a eµ (u) с коэффициентами (u)dim La :

µ µa(u) a (µ) = a = (u)dim La eµ (u). (2) (a,a) Ra uU Введем “веер вложения”, который необходим для формулировки рекур­ рентных соотношений:

Определение 1. Рассмотрим произведение a 1 - e- mult()-multa(a) = - s()e- (3) Pa ++ a и носитель ag Pa функции s() = det () : ag = { Pa|s() = 0} Упорядочение корней в a индуцирует естественное упорядочение весов в Pa.

Обозначим через 0 наименьший вектор ag.

Множество ag = { - 0| ag}{0} называется веером вложения.

Веер вложения универсален и зависит только от вложения a g и не зависит от модуля L(µ).

Введем сингулярные коэффициенты ветвления следующим образом:

(µ) k = b(µ) если Ca (µ) k = (w)b(µ) где w Wa : w( + a) - a Ca.

w(+af )-a Теперь можно сформулировать основную теорему, которая позволяет ре­ куррентно вычислять коэффициенты ветвления.

(µ) Теорема 1. Для сингулярных коэффициентов ветвления k выполняется соотношение µa(u) (µ) k = -s( ) uU (u) dim La -,a(u(µ+)-)+ 0 (4) (µ) + s ( + 0) k+.

ag Далее мы анализируем пары (a, a) для простых алгебр Ли. Оказыва­ ется, что для “ортогональной пары” (a, a), вообще говоря, a a g. В частности, для серии простых конечномерных алгебр Bn существуют “орто­ гональные пары” подалгебр (Bk, Bn-k).

На основании рекуррентного соотношения (4) сформулирован алгоритм вычисления коэффициентов ветвления. Остальные разделы главы 2 содержат примеры вычислений с использованием предложенного алгоритма, а также описание роли функций ветвления в формулировке конформной теории поля на торе и в coset-моделях конформной теории поля.

В главе 3 мы используем разложение сингулярного элемента, чтобы показать связь ветвления с (обобщенной) БГГ-резольвентой. Данные резуль­ таты опубликованы в работах [A2, A7].

Для полупростой конечномерной алгебры g и полупростой конечномер­ ной подалгебры a алгебра a является регулярной. Отношение знаменателей Вейля порождает параболические модули Верма. Сингулярный элемент (µ) µa(u) может быть разложен в сумму по u U сингулярных элементов a с a коэффициентами (u)eµ (u):

µa(u) a (µ) = (u)eµ (u)a. (5) uU Мы доказываем следующее утверждение, демонстрирующее, что разложение сингулярного элемента связано с разложением характера неприводимого мо­ дуля в комбинацию характеров обобщенных модулей Верма Утверждение 1. Для ортогональной подалгебры a в g (являющейся ор­ тогональным партнером редуктивной подалгебры a g) характер инте­ грируемого модуля старшего веса Lµ может быть представлен в виде ком­ бинации (с целочисленными коэффициентами) характеров параболических модулей Верма, распределенных по множеству весов µ a (u):

µa(u) a ch (Lµ) = (u)eµ (u)chMI, (6) uU где U := u W | µa (u) Ca и I – такое подмножество в S, что + I эквивалентно +.

a Связь редукции и (обобщенной) резольвенты БГГ дается следующим утверждением:

+ Утверждение 2. Пусть Lµ – g-модуль со старшим весом µ P, и пусть регулярная подалгебра a g является ортогональным партнером редук­ тивной подалгебры a g. Тогда разложение (5) определяет как обобщен­ ную резольвенту Lµ по отношению к a, так и правила ветвления Lµ по отношению к a, так и правила ветвления Lµ по отношению к a.

Глава 4 посвящена сплинтам – расщеплением корневой системы алгебры Ли в объединение образов корневых систем двух алгебр, не обязательно явля­ ющихся подалгебрами данной алгебры. Если одна из алгебр является подал­ геброй, то сплинт приводит к резкому упрощению в вычислении коэффициен­ тов ветвления – они совпадают с кратностями весов в модуле другой алгебры.

Основная часть главы посвящена доказательству этого факта. Кроме того, сплинт корневой системы простой конечномерной алгебры Ли приводит к воз­ никновению новых соотношений на струнные функции и функции ветвления соответствующего аффинного расширения. Эти соотношения обсуждаются в разделе 4.4. Данные результаты опубликованы в статьях [A3, A10].

Определение 2. Пусть 0 и – корневые системы с соответствующими ве­ совыми решетками P0 и P. Отображение : {0 , P0 P } называется “вложением”, если вкладывает 0 в и действует гомоморфно по отноше­ нию к группам сложения векторов в P0 и P : () = () + () для любой тройки , , P0, такой, что = + .

Вложение индуцирует вложение формальных алгебр: E0 E и для об­ раза Ei = Im (E0) можно рассмотреть обратное отображение -1 : Ei - E0.

Нужно различать два класса вложений: “метрические”, если скалярное про­ изведение (заданное формой Киллинга) в корневом пространстве P0 инвари­ антно по отношению к и “неметрические”, если оно не -инвариантно.

Будем говорить, что корневая система “расщепляется” на (1, 2), если существует два вложения 1 : 1 и 2 : 2 , где (a) – несвязное объединение образов 1 и 2, и (b) ни ранг 1, ни ранг 2 не превосходит ранга . Можно сказать, что (1, 2) – “сплинт” (расщепление) и мы можем обозначить его через (1, 2). Каждая из компонент и 2 называется “стеблем” сплинта (1, 2).

Покажем связь веера вложения и “инъективного” сплинта, когда один из стеблей 1 = a является подсистемой корневой системы, соответствую­ щей регулярной редуктивной подалгебре a g. В этом случае знаменатель Вейля, соотвествующий второму стебелю s := 2 = a, может быть пе­ реписан в виде произведения (аналогично формуле (3)) и определяет веер вло­ жения ag. Обозначим через s0 кообраз второго вложения : s0 g.

Верно следующее утверждение.

Утверждение 3. Каждый инъективный сплинт (a, s) определяет веер вложения с носителем {}ag, задающимся произведением 1 - e- = - s()e- + P s В случае инъективного сплинта можно сказать, что подалгебра a g расщепляет . Сплинты были классифицированы в работе [4] (см. Прило­ жение в конце главы) и первые три класса сплинтов в этой классификации инъективны. Если выполнено техническое требование на структуру сингуляр­ ного элемента, то верно следующее свойство:

Свойство 1. Любой вес с ненулевой кратностью, входящий в правую часть равенства:

g e µ s µ+ = M(s)e(µ-(µ-)) = b(µ)e, (1 - e-) + ++ s µ Pa Ns µ равен одному из старших весов в разложении. Кратность M(s) веса Nsµ определяет коэффициент ветвления b(µ) для старшего веса = (µ - (µ - )):

µ b(µ) = M(s).

(µ-(µ-)) Заключительная глава 5 посвящена практическим приложениям резуль­ татов диссертации. В разделе 5.1 мы примененяем алгебраические методы к проблеме поиска соответствия между квантовополевым и решеточным описа­ нием критического поведения. Результаты опубликованы в работах [A4, A6].

gt(z) 2 Стохастический процесс, удовлетворяющий уравнению =, t gt(z)- t называется эволюцией Шрамма-Левнера (SLE) на верхней полуплоскости H.

Здесь t – Броуновское движение, – параметр процесса. Динамика конца zt критической кривой t (конец следа эволюции Шрамма-Левнера) описы­ -вается уравнением zt = gt ( t). Нам удобнее использовать отображение wt(z) = gt(z) - t.

Мы обобщаем анализ соответствия между эволюцией Шрамма-Левнера и конформной теорией поля на случай coset-моделей. Такие модели задаются алгеброй Ли g и ее подалгеброй a. G/A-coset модель конформной теории поля может быть реализована как ВЗНВ-модель (с калибровочной группой G), взаимодействующая с чисто калибровочными полями, с калибровочной группой A G. Действие записывается через поля : C G и , : C A:

k 1 S = - d2x K(-1µ, -1µ) - K -1, -1 -1 d3y ijk 8 3 yi yj yk B S +2 d2z K(, -1) - K(, ()-1) +K(, -1) - K(, ). (7) SЧерез K обозначена форма Киллинга в алгебре Ли g, соответствующей группе Ли G. После фиксации A-калибровки останется G/A калибровочная инвари­ антность. Поэтому надо добавить случайные калибровочные преобразования i к эволюции Шрамма-Левнера. Обозначим через ta (tb) генераторы представ­ i ления алгебры g (соответственно, представления a), соответствующего при­ марному полю i.

Рассмотрим наблюдаемые в присутствии следа эволюции Шрамма-Лев­ нера. Математическое ожидание решеточной наблюдаемой O на верхней по­ луплоскости можно вычислить как сумму ожиданий этой наблюдаемой в при­ сутствии (конечной части) траектории эволюции Шрамма-Левнера t вплоть до некоторого времени t, умноженных на вероятность этой траектории:

O H= E [ O ] = P [C ] O t t t t Решеточная наблюдаемая O H не зависит от t, следовательно O t – мартингал. Это должно выполняться и для ее непрерывного предела, даю­ щегося комбинацией корреляционных функций в конформной теории поля:

O({zi})(zt)†() Ht O H F({zi})H =. Мы предполагаем, что F содержит t t (zt)†()Ht некоторый набор примарных полей i с конформными весами hi. Так как мы рассматриваем конформную теорию с границей, необходимо добавить объем­ ные поля в сопряженных точках zi. Операторы смены граничного условия находятся на конце следа эволюции Шрамма-Левнера и на бесконечности.

Исследуем, что происходит с наблюдаемыми при эволюции следа SLE t с момента t до t + dt. Пусть Gi – генераторы инфинитезимальных преоб­ разований примарных полей i:di(wi) = Gii(wi). Нормируем дополнитель­ ное (dim g)-мерное Броуновское движение следующим образом: E da db = 2dt K(ta, tb)dt. Генератор преобразования поля равен Gi = - dt w + i wi (data). Мы фиксировали A-калибровку, разрешив случай­ a:K(ta,tb)=0 i wi ное блуждание только в направлении, ортогональном подалгебре a.

Формула Ито дает выражение для дифференциала dF, который равняет­ ся нулю в силу условия мартингала. Это равенство можно переписать в виде дифференциального уравнения на корреляционные функции, эквивалентное алгебраическому условию на граничное состояние (0) |0.

dim g dim a 1 a a b b | >= -2L-2 + L2 + J-1J-1 - J-1J-1 · (0)|0 > (8) -2 a=1 b=является нулевым состоянием, то есть соответствуют сингулярному весу в представлении алгебры Вирасоро. Действуя повышающими операторами мы получаем соотношения, связывающие параметры стохастического процесса и coset-модели конформной теории поля:

(3 - 8)h(µ,) - c + (k dim g - xek dim a) = (9) -12h(µ,) + 2h(µ,)(2h(µ,) + 1) + (Cµ - C) = 0, здесь Cµ = (µ, µ + 2) и C = (, + 2a) – собственные значения квадратич­ ных операторов Казимира tata и tbtb алгебр Ли g и a. Из уравнения a b (9) мы сразу получаем значения , для каждой пары весов (µ, ) алгебр g и a. Для coset-реализаций минимальных и парафермионных моделей эти ре­ зультаты совпадают со значениями, полученными в работе [5] путем введения стохастического процесса с дискретным случайным блужданием.

Остальная часть главы представляет собой описание пакета A ne.m, предназначенного для вычислений в теории представлений аффинных и ко­ нечномерных алгебр Ли и реализующего предложенные в диссертации мето­ ды. Вычислительным методам посвящены работы [A5, A9, A8].

Список публикаций [A1] V. Lyakhovsky, A. Nazarov. Recursive algorithm and branching for nonmax­ imal embeddings // Journal ofPhysics A: Mathematical and Theoretical. — 2011. — Vol. 44, no. 7. — P. 075205(20).

[A2] В.Д. Ляховский, А. Назаров. Рекуррентные свойства ветвления и резольвента Бернштейна–Гельфанда–Гельфанда // Теоретическая и математическая физика. — 2011. — Том 169, вып. 2. — Стр. 218–228.

[A3] V. Lyakhovsky, A. Nazarov. Fan, splint and branching rules // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2012. — Том 398. — Стр. 162–178.

[A4] A. Nazarov. SLE martingales in coset conformal field theory // Письма в ЖЭТФ — 2012. — Том 96, вып. 2. — Стр. 93–96.

[A5] A. Nazarov. A ne.m - Mathematica package for computations in repre­ sentation theory of finite-dimensional and a ne Lie algebras // Computer Physics Communications. — 2012. — Vol. 183. — Pp. 2480–2493.

[A6] A. Nazarov. Algebraic properties of CFT coset construction and SchrammLoewner evolution // Journal of Physics: Conference Series. — 2012. — Vol. 343, no. 1. — P. 012085(10).

[A7] V. Lyakhovsky, A. Nazarov. Branching functions generated by the injection fan for Lie algebras. (The role of BGG-resolvent) // Models in Quantum Field Theory /SPbSU. — 2010. — P. [A8] А.А. Назаров. Сравнение эффективности алгоритмов построения представлений алгебр Ли // Физика и прогресс / СПбГУ. — 2008. — Стр. 71–76.

[A9] A. Nazarov. Computational tools for representation theory of a ne Lie algebras // Second Workshop on Advanced Computer Simulation Methods for Junior scientists / EIMI. — ACSM. — 2009. — P. [A10] V. Laykhovsky, A. Nazarov. On a ne extension of splint root systems // Physics of Particles and Nuclei. — 2012. — Vol. 43, no. 5. — Pp. 676–678.

Цитированная литература [1] S. Smirnov. Critical percolation in the plane: Conformal invariance, Cardy’s formula, scaling limits // Comptes Rendus de l’ Acad des Sciences-Series emie I-Mathematics. — 2001. — Vol. 333, no. 3. — Pp. 239–244.

[2] V.G. Kac. Simple irreducible graded Lie algebras of finite growth // Mathe­ matics of the USSR-Izvestiya. — 1968. — Vol. 2. — P. 1271.

[3] R.V. Moody. A new class of Lie algebras // Journal of algebra. — 1968. — Vol. 10, no. 2. — Pp. 211–230.

[4] David Richter. Splints of classical root systems // Journal of Geometry. — 2012. — Vol. 103. — Pp. 103–117.

[5] R. Santachiara. SLE in self-dual critical Z (N) spin systems: CFT predic­ tions // Nuclear Physics B. — 2008. — Vol. 793, no. 3. — Pp. 396–424.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.