WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

На правах рукописи

КАРЛОВ Александр Владимирович

НЕЛИНЕЙНЫЕ ДВ-ОСЦИЛЛЯТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ И МОДЕЛИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ;

01.04.03 – радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара – 2012

Работа выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет»

Научный консультант:

кандидат физико-математических наук, доцент Зайцев Валерий Васильевич

Официальные оппоненты:

Башкиров Евгений Константинович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет», профессор кафедры общей и теоретической физики Медведев Сергей Юрьевич, кандидат физико-математических наук, доцент, ЗАО «Время-Ч» (г. Нижний Новгород), начальник отделения радиотехнических, оптических и информационных систем и технологий

Ведущая организация: ФГОБУ ВПО «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

Защита состоится 14 декабря 2012 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.218.08 при ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет» по адресу:

443011, г. Самара, ул. акад. Павлова,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СамГУ Автореферат разослан «___» ______________ 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.218.08 В.В. Зайцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования Настоящая работа развивает цикл исследований в области нелинейной динамики систем с дискретным временем, проводимых на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования Самарского государственного университета.

Исследования нелинейных динамических систем в дискретном времени (ДВ-систем) могут быть направлены на решение двух задач. Во-первых, динамика ДВ-системы при определенных условиях может качественно отражать основные свойства аналоговой системы-прототипа, функционирующей в непрерывном времени (НВ-системы). В этом случае уравнения движения ДВ-систем, имеющие форму дискретных отображений, приводят к сравнительно простым алгоритмам компьютерного моделирования. Во-вторых, нелинейные ДВсистемы могут демонстрировать динамические режимы, отсутствующие у НВпрототипов. В таком случае нелинейные ДВ-системы представляют самостоятельный интерес для теории и практики цифровой обработки сигналов.

Автоколебательные модели занимают одну из центральных позиций в нелинейной динамике. Они, например, используются для описания осцилляций в химических реакциях, в био- и экосистемах, в механических конструкциях. Но наиболее полная и детальная теория автоколебаний сформировалась в радиофизике, где автоколебания и автоколебательные системы являются одним из центральных объектов исследований.

В радиофизике автоколебательными системами является множество различных физических источников колебаний от генераторов на электронных лампах до микроволновых и оптических квантовых генераторов. Введено в рассмотрение и подробно исследовано множество типов аналоговых автоколебательных систем, различающихся по физическим принципам взаимодействия колебаний с источником энергии, видам нелинейностей, структурам резонаторов. Изучены основные физические явления и эффекты, сопутствующие автоколебаниям, определены способы их практического использования.

В значительно меньшей степени сказанное относится к дискретным автоколебательным системам. Традиционно теория дискретных систем развивается, ориентируясь на решение задач цифровой обработки и фильтрации сигналов.

При этом в подавляющем большинстве случаев исследуются лишь линейные системы.

К дискретным нелинейным динамическим системам можно отнести точечные отображения, в частности, отображения Пуанкаре. Последние строятся на основе решений дифференциальных уравнений движения динамической системы (в настоящее время, как правило, численных) и служат для качественного анализа особенностей поведения исходной динамической системы в непрерывном времени. Можно также постулировать вид точечного отображения и рассматривать его как модель для описания некоторой физической ситуации.

Тем не менее, целесообразно использовать регулярный метод для проектирования нелинейных ДВ-систем с ориентировочно заданными характеристиками для нелинейной фильтрации сигналов.

Следует особо отметить, что нелинейная дискретная система может быть сравнительно легко переведена из динамического режима в режим хаотических колебаний или автоколебаний. При этом характеристики хаоса определяются динамикой системы, а не внешними шумовыми источниками с независимо заданной статистикой. Подход на основе представлений о динамическом хаосе в настоящее время обоснованно считается весьма плодотворным при вероятностной интерпретации многих явлений окружающей среды. Кроме того, генераторы хаотических автоколебаний имеют широкие перспективы применения в устройствах Таким образом, специфика автоколебаний в ДВ-системах определяет актуальность задачи их детального и систематического исследования на основе методов математического моделирования, цифровой обработки сигналов и радиофизической теории нелинейных колебаний.

Цель диссертационной работы состоит в проектировании ДВосцилляторов томсоновского типа, обладающих режимами регулярных и хаотических автоколебаний, исследовании их характеристик и возможностей их применения для решения задач обработки сигналов и моделирования систем различной физической природы.

Методы исследования Работа выполнена на основе методов теории колебаний, математического моделирования, спектрально-корреляционной теории случайных процессов, теории дискретных сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов цифровой обработки сигналов. Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических расчетов.

Научная новизна работы определяется:

– введенными в рассмотрение новыми объектами нелинейной динамики дискретного времени;

– методикой и результатами численного эксперимента с синтезированными дискретными автоколебательными системами;

– обобщением метода ММА теории нелинейных колебаний на дискретные автоколебательные системы с внешними воздействиями;

– обнаруженными новыми хаотическими аттракторами дискретных осцилляторов с запаздывающими связями и инерционными нелинейностями;

– математической моделью двухкомпонентных систем с взаимодействием по схеме «хищник–жертва»;

– алгоритмами генерации случайных процессов с фликкерными спектрами мощности.

Практическая ценность работы Предложенные в диссертационной работе методы проектирования нелинейных ДВ-осцилляторов и численного анализа автоколебаний в дискретном времени могут найти применение при решении задач проектирования цифровых устройств обработки сигналов и защиты информации, для моделирования систем различной физической природы, в учебном процессе высших учебных заведений Обоснованность результатов диссертации определяется использованием математически строгих и физически аргументированных методовисследования.

Их достоверность подтверждается:

– количественной согласованностью аналитических результатов с результатами численного эксперимента;

– соответствием ряда результатов математического моделирования их аналогам, полученным другими авторами;

– соответствием основных результатов численного моделирования общим физическим закономерностям.

На защиту выносятся следующие основные положения 1. Метод проектирования дискретных нелинейных колебательных и автоколебательных систем по линеаризованным аналоговым прототипам.

2. Новые ДВ-автоколебательные системы как объекты нелинейной динамики в дискретном времени и как составные части цифровых систем нелинейной обработки и кодирования сигналов.

3. Результаты анализа и численного моделирования регулярных и хаотических автоколебаний в синтезированных ДВ-осцилляторах.

4. Модель системы Вольтерра с запаздыванием и дискретным временем, предназначенная для имитационного моделирования детерминированных и шумовых воздействий на систему «хищник–жертва».

5. Эффект подмены частот в численных моделях нелинейных динамических систем и его следствия.

6. Алгоритмы генерации стохастических процессов, основанные на дискретизации аналоговых систем с дробно-дифференциальными уравнениями движения.

Апробация работы Материалы диссертации докладывались на – VI – XI Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Казань, 17-21 сентября 20г.; г. Самара, 15–21 сентября 2008 г.; г. Санкт-Петербург, 15–18 сентября 2009 г.; г. Челябинск, 13–17 сентября 2010 г.; г. Самара, 11–17 сентября 2011 г.;

г. Екатеринбург, 26–28 сентября 2012 г.);

– VIII Всероссийской научно-технической конференции «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем» (г. Чебоксары, 2009 г.);

– Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы ракетно-космической техники и ее роль в устойчивом социальноэкономическом развитии общества », посвященной 50-летию образования ЦСКБ и 90-летию со дня рождения Д.И. Козлова (г. Самара, 28 сентября – 3 октября 2009 года);

– XII–XIII Всероссийских школах-семинарах «Волновые явления в неоднородных средах» (г. Москва, 24 – 29 мая 2010 г.; г. Москва, 24 – 29 мая 20г.);

– IX Всероссийской научно-технической конференции «Современные методы и средства обработки пространственно-временных сигналов» (г. Пенза, – 25 мая 2011 г.);

– XIII Всероссийской школе-семинаре «Физика и применение микроволн» (г. Москва, 23-28 мая 2011 г.);

– Международной молодежной конференции, посвященной 50-летию первого полета человека в космос «Королевские чтения» (г. Самара, 4 – 6 октября 2011 г.);

– VI Всероссийской научно-технической конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 1 – 4 июня 2009 г.) и VIII Всероссийской научно-технической конференции с международным участием, посвященной 75-летию Ю.П. Самарина «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 15 – 17 сентября 2011 г.);

– III Международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара, 27 августа – 1 сентября 2012 г.) Публикации По материалам диссертации опубликованы 24 работы, в их числе 8 статей в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций результатов исследований на соискание степени доктора и кандидата наук, и 16 публикаций в материалах научно-технических конференций.

Личный вклад автора Диссертант участвовал в обсуждении постановок задач исследований, а также непосредственное и равноправное участие в построении аналитических и численных моделей, проведении расчетов, обсуждении и физической интерпретации результатов.

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, двух приложений и списка использованных источников из 146 наименований. Она содержит 166 страниц основного текста и 95 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность темы исследования, ее теоретическая и практическая значимость, проведен обзор литературы по теме диссертации, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, представлены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертационной работы посвящена проектированию (синтезу) дискретных нелинейных колебательных и автоколебательных систем по аналоговым системам-прототипам. Основу проектирования составляет принцип импульсной инвариантности. Он заключается в том, что в аналоговом прототипе выделяется линейная диссипативная подсистема, отсчеты импульсной характеристики которой используются для преобразования уравнения движения аналоговой системы (дифференциального или интегрального) к дискретной форме. При этом динамические переменные, преобразованные нелинейностью исходной аналоговой системы, считаются входными воздействиями линейной подсистемы (п. 1.1). Таким способом синтезирован ряд дискретных автоколебательных систем томсоновского типа: разновидности ДВ-осциллятора Ван дер Поля, в том числе с запаздывающей обратной связью (ЗОС), ДВосцилляторы Рэлея и Дюффинга.

В частности, дискретные осцилляторы Ван дер Поля и Рэлея определяются системами разностных уравнений движения (алгоритмами генерации) вида:

y[n] = 2cos(20)0 y[n -1] - 0 y[n - 2] + FC,R(y[n -1], z[n -1]), (1) z[n] = 0 z[n -1] - 20 y[n], где значение коэффициента 0 в линейной части системы (1) 0 0 = exp- Q вычисляется по параметрам аналогового прототипа – колебательного контура с собственной частотой 0 (измеряется в единицах тактовой частоты) и добротностью Q, а множитель > 0 при нелинейном слагаемом FC(y, z)= (1 - y2)z (для осциллятора Ван дер Поля) или FR(y, z)= (1 - z2)z (для осциллятора Рэлея) имеет физический смысл коэффициента глубины положительной обратной связи.

В п. 1.2 принцип импульсной инвариантности применяется для проектирования нелинейных ДВ-осцилляторов совместно с методом эквивалентной (гармонической) линеаризации теории нелинейных колебаний. При этом импульсная инвариантность используется для дискретизации линеаризованного уравнения аналогового осциллятора, а оценка амплитуды производится путем детектирования и низкочастотной фильтрации. Синтезированный таким способом ДВ-осциллятор Ван дер Поля – Дюффинга задается следующим алгоритмом генерации:

y[n] = 2cos(2e (I[n]))(I[n])y[n -1] - (I[n])y[n - 2] + [n -1], (2) I[n] = exp(- 2c )I[n -1] + 2c y2[n -1], где [n] – сигнал внешнего воздействия, (I ) = 0 exp(0 (1 - I )), e (I ) = 0 (1 - µI ), µ – коэффициент реактивной нелинейности осциллятора Дюффинга, c – частота среза ФНЧ в цепи квадратичного детектирования.

Предлагается также второе уравнение системы (2) формировать на основе моделирования двухполупериодного детектора, либо оценивать амплитуду путем скользящего усреднения мгновенной мощности колебаний y[n].

В п. 1.3 приведены результаты проектирования ДВ-осциллятора, имеющего в качестве прототипа генератор с инерционной нелинейностью, выполненный по схеме К.Ф. Теодорчика. Показано, что такой ДВ-осциллятор задается системой двух уравнений движения, первое из которых имеет вид y[n] = 2cos(20 )0 y[n -1] - 0 y[n - 2] + (1 - I[n -1])(y[n -1] - y[n - 2]), (3) а второе совпадает со вторым уравнением системы (2). На основе сходства уравнений движений предлагается классифицировать дискретные системы (2) и (3) как ДВ-осцилляторы с инерционными нелинейностями.

Пример проектирования ДВ-осциллятора на основе совместного использования принципа импульсной инвариантности и метода усреднения Боголюбова – Митропольского приведен в п. 1.4. Показано, каким образом дискретизованные по времени укороченные уравнения для огибающих синфазной и квадратурной составляющих колебаний неавтономного осциллятора Ван дер Поля можно использовать в алгоритме генерации ДВ-автоколебаний. В дальнейшем, в главе 2 диссертации установлено, что спектр такого ДВ-осциллятора характеризуется отсутствием гармоник основной частоты.

Во второй главе диссертации методом имитационного моделирования проведено исследование характеристик синтезированных ДВ-осцилляторов. В ряде случаев для характеристик осцилляторов получены приближенные аналитические результаты и проведено их сравнение с результатами моделирования.

В п. 2.1 даны краткие сведения о характеристиках фазовых портретов динамических систем в дискретном времени, в том числе хаотических аттракторов. Описана процедура вычисления фрактальной размерности аттрактора – его корреляционного показателя.

При моделировании автономных автоколебаний в дискретных осцилляторах Рэлея, с ЗОС, с инерционной нелинейностью (3) и инерционном осцилляторе Ван дер Поля – Дюффинга (2) установлено, что перечисленные ДВ-системы, наряду с динамическими режимами, имеют режимы хаотических автоколебаний (пп. 2.2 – 2.5). Представлены оценки спектров мощности и фрактальных размерностей аттракторов хаотических автоколебаний. В п. 2.6 приведены результаты разложений хаотических автоколебаний методом сингулярного спек трального анализа (ССА). Приближенное аналитическое исследование динамики автоколебаний инерционного ДВ-осциллятора Ван дер Поля методом медленно меняющихся амплитуд (ММА) выполнено в п. 2.7. Результаты расчета процесса установления автоколебаний сравниваются с результатами численного моделирования, делается вывод о применимости методики ММА в нелинейной динамике дискретного времени.

П. 2.8 посвящен анализу процессов фазовой синхронизации ДВавтогенераторов методом ММА. Анализ проведен на примере осциллятора с уравнением движения вида y[n] = 2cos(20)0 y[n -1] - 0 y[n - 2] + (4) + (1 - y2[n -1])(y[n -1] - y[n - 2])+ [n -1], где [n] – дискретный сигнал синхронизации. Получено нелинейное уравнение для амплитуды установившегося режима синхронных колебаний под действием внешнего дискретного гармонического сигнала и построены АЧХ и ФЧХ синхронных колебаний. Процессы установления и устойчивость установившегося режима исследованы на основе укороченного уравнения для комплексной амплитуды автоколебаний.

A[n] = A[n -1] + (5) j jE + [D(Z) - G(A[n -1], Z)]A[n -1] -, 2sin(2) 2sin(2) 2 -где D(Z) = (Z - 20 cos(20 ) + 0 Z ) – функция множителя поворота Z = exp( j2), E - амплитуда гармонического сигнала [n], G(A,Z) - средняя крутизна нелинейности автогенератора (4). В п. 2.8 дан подробный вывод уравнения (5).

В третьей главе диссертации методы проектирования нелинейных ДВосцилляторов используются для разработки автоколебательных моделей и моделированию автоколебаний в двухкомпонентной системе с элементами, взаимодействующими по схеме «хищник–жертва».

В п. 3.1 дан краткий обзор популяционных моделей математической биологии. За основу исследований принята модификация Вангерски – Каннингема модели Вольтерра с запаздыванием, которая в п. 3.2 для относительных отклонений численностей видов от их стационарных значений приведена к форме dy= -µ y1 -1y2 + f1(t, y1, y2 ) + (t), dt (6) dy= - y2 + f2 (t -, y1, y2 ).

dt Здесь (t) – аддитивное внешнее воздействие, 1, и µ – параметры модели, а функции f1(t, y1, y2 ) = -1 y1(t) y2 (t) - µy1 (t), f2 (t, y1, y2 ) = [(1- µ /1)y1(t) + y2 (t) + y1(t) y2 (t)] учитывают нелинейности системы и наличие в ней запаздывающей обратной связи, которая при определенных условиях приводит к возбуждению автоколебаний. Выделенная в (6) линейная диссипативная подсистема, в отсутствие обратной связи, релаксирует к устойчивому нулевому состоянию. Ее импульсная характеристика в п. 3.3 использована для разработки в дискретном времени автоколебательной модели «хищник–жертва». В результате для выборочных значений y[n] = y(n) получена система разностных уравнений:

( ( ( ( ( y11)[n] = a111) y11)[n -1] + b011) f1[n,y] + b010)[n], ( ( ( ( ( y12)[n] = a112) y12)[n -1] + a212) y12)[n - 2] + b1(12) f2[n -1 - m,y], (7) ( ( y1[n] = y11)[n] + y12)[n], ( ( y2[n] = a122) y2[n -1] + b022) f2[n - m,y].

При этом предполагается, что интервал дискретизации составляет целую часть времени запаздывания: = m. Коэффициенты в уравнениях (7) определяются через полюсы системной функции порождающей линейной подсистемы.

В пп. 3.3 и 3.4 приведены примеры моделирования автоколебаний в системе в динамическом режиме и при наличии флуктуаций параметров запаздывания. В п. 3.5 модель (7) использована для численного эксперимента по исследованию синхронизации автоколебаний в системе «хищник–жертва» гармоническим воздействием.

Четвертая глава посвящена обсуждению возможностей применения синтезированных ДВ-осцилляторов для обработки и кодирования сигналов. В п. 4.1 описан алгоритм кодирования путем смешения информационного сигнала и хаотических автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля (4).

Приведены примеры функционирования системы защиты текстовых файлов и файлов изображений (в BMP-формате). Исследовано влияние расстройки параметров генераторов хаотических автоколебаний в системе кодер – декодер на степень защищенности информации (отношение сигнал/шум в восстановленном сигнале). Продемонстрирована высокая чувствительность системы к точности настройки частоты 0.

Пример использования фазовой синхронизации ДВ-осциллятора Ван дер Поля, синтезированного с помощью метода ММА, для детектирования частотно-модулированного сигнала приведен в п. 4.2. Далее, в п. 4.3 этот осциллятор, находящийся под действием дискретного белого шума, использован для моделирования стохастических автоколебаний с заданной шириной спектральной линии.

В пятой главе проанализированы эффекты нелинейной динамики осцилляторов, наблюдаемые при численном моделировании аналоговых систем ко нечно-разностными методами. Показано, что эффект подмены частот, приводящий к самосинхронизации ДВ-автогенераторов, может существенным образом исказить результаты численного моделирования автоколебательных систем (п. 5.1). В п. 5.2 на примере численного интегрирования уравнений движения осциллятора Ван дер Поля – Дюффинга продемонстрирован сопровождающий изменение шага интегрирования переход от регулярных автоколебаний к хаотическим. На основе этого предложен алгоритм генерации хаотических ДВавтоколебаний (п. 5.3):

x[n] x[n -1] = RK4F(x, y), , (8) y[n] y[n -1] xf [n] xf [n - 2] 2 -0 - 0 ) x[n] = + (1 , (9) y [n] y [n - 2] y[n] f f x [n] X[n] x[n] f = - . (10) y [n] Y[n] y[n] f Здесь RK4{F,(x, y)T} – разностный оператор одношагового интегрирования методом Рунге – Кутта системы уравнений движения осциллятора с векторфункцией правых частей y 2a F(x, y)= - 4 2(1 - µ x2)x + (1 - x2)y.

a Qa Дискретная система (9) представляет собой резонансный фильтр с добротностью Q настроенный на частоту 0 = 0.25. Разностный сигнал (10) не содержит гармонической составляющей с частотой = 0.25, присутствующей в сигнале (8).

0.6 0.X() Y() 0.0.0.0.0.0.0.0.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0. Рис. На рис. 1 приведены усредненные амплитудные спектры X () и Y () сигналов, генерируемых по алгоритму (8)–(10) со значениями параметров a = 0.27, µ = 0.04, Y[n] Qa = 3 и Q = 50. Для оценки спектров применен метод Бартлетта.

с 512-точечным дис0.кретным преобразова. нием Фурье по отрезкам реализаций длины N = 216. Аттрактор хаотических автоколебаний представлен на 0.рис. 2. Он характеризуется корреляционной размерностью (корреляционным показате0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.X[n] лем) =1.73 ± 0.05.

Рис. Далее в пятой главе дискретизация оператора дробной производной Капуто использована в алгоритмах генерации дискретных стохастических процессов – фликкер-шума (п. 5.4) и дробного процесса Орнштейна – Уленбека (п. 5.5). Объединение алгоритмов в форме рекурсивной ДВ-системы переменного порядка имеет вид:

(1 + )[1] = [0] +[1], (1 + )[2] = a1[1] + a0[0] +[2], n (1 + )[n] = am[n - m] +[n], n = 3,4,... (11) m=Здесь [n] – дискретный белый, а коэффициенты системы для процесса дробного порядка 0 < <1 равны a0 = 21- -1, a1 = 2 - 21-, an = -(n -1)1- + n1- am = -(m -1)1- + 2m1- - (m +1)1-, m = 2,3,...,n -1.

Параметр связан с постоянной времени стандартного процесса Орнштей- на – Уленбека отношением пропорциональности ~, а для фликкер-шума = 0. Вычислительная эффективность алгоритма генерации шума повышается при ограничении порядка рекурсивной ДВ-системы (11). При этом АЧХ системы насыщается в области низких частот, обеспечивая стационарность процессу [n] на ее выходе.

На рис. 3 в качестве примера реализации генератора фликкер-шума приведена периодограммная оценка спектра мощS1) (1.

ности процесса [n] на выходе системы (11) при = 0.5.

1Оценка получена по методу Бартлетта с 512-точечным преобразованием Фурье по реализации длиной N =131072. Пунктирной линией на рис. 3 в двойном логарифмическом масштабе по.

0.казана зависимость 1.10 0.01 0.1 ~ 1/ . Как видно из Рис. графика, спектральная плотность мощности случайного процесса [n] в широком диапазоне частот с хорошей точностью воспроизводит спектр фликкер-шума. Неизбежный для ДВ-систем эффект наложения в окрестности частоты = 0.5 при необходимости устраняется дополнительной фильтрацией.

Смесь дискретного дробного процесса Орнштейна – Уленбека и дискретного винеровского процесса исследована методом сингулярного спектрального анализа (ССА). Установлено, что характер распределения сингулярных чисел траекторной матрицы процесса [n] делает возможным его выделение из смеси с помощью сингулярных спектральных разложений.

В п. 5.5 ССА временных рядов, отражающих дневные колебания относительных курсов основных мировых валют, позволил выделить из них быструю спекулятивную составляющую со спектральными характеристиками дробного процесса Орнштейна – Уленбека. В связи с этим предложено моделировать спекулятивную составляющую с помощью рекурсивного алгоритма (11), дополненного алгоритмом формирования условной дисперсии D() последовательных приращений ARCH(1)-процесса:

D([n]) = b0 + b1 [n -1]. (12) Здесь [n] – гауссова случайная величина с нулевым средним и дисперсией D([n]), b0 и b1 – положительные константы (b1 <1). Сформированный таким способом дискретный случайный сигнал {[n]} подается на вход рекурсивной системы (11): [n] = [n]. Он позволяет моделировать характерные для финансовых временных рядов отклонения одномоментной плотности вероятности от гауссовой кривой.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Приложения содержат описание алгоритма и программы сингулярного спектрального разложения временных рядов и результаты ССА временного ряда, отражающего суточные колебания курса Рубль/Евро в период с 2000 г. по 2012 г.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Разработан метод проектирования дискретных нелинейных колебательных и автоколебательных систем, основанный на применении принципа импульсной инвариантности к гармонически линеаризованным аналоговым системам-прототипам.

2. Показано, что сочетание методов фильтрации ДВ-сигналов и усреднения в НВ-системах позволяет разработать алгоритм генерации ДВ-автоколебаний без гармоник основной частоты.

3. Синтезирован ряд новых ДВ-систем с режимами регулярных и хаотических автоколебаний. Предложено рассматривать синтезированные системы как новые объекты нелинейной динамики дискретного времени, а также использовать их в устройствах цифровой обработки сигналов и защиты информации.

4. Метод медленно меняющихся амплитуд теории нелинейных колебаний в непрерывном времени адаптирован к анализу колебаний в ДВавтогенераторах. Проведено исследование процессов фазовой синхронизации ДВ-осциллятора Ван дер Поля гармоническим сигналом.

5. Представлена схема численного эксперимента по исследованию частотных характеристик нелинейных ДВ-осцилляторов с внешним воздействием, дана ее алгоритмическая и программная реализация.

6. Разработана ДВ-модель Вольтерра с запаздыванием, предназначенная для имитационного моделирования регулярных и стохастических автоколебаний в системе «хищник–жертва».

7. На основе теории дробного интегро-дифференцирования спроектированы стохастические ДВ-системы, преобразующие белый шум в случайный процесс с фликкерным спектром мощности и дробный дискретный процесс Орнштейна – Уленбека. Предложено использовать их при моделировании финансовых временных рядов.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Зайцев В.В. Семейство ДВ-осцилляторов с режимом хаотических автоколебаний / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, А.В. Карлов (мл), А.В. Карлов // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов VII Международной научно-технической конференции. – Самара, 2008. С. 323325.

2. Зайцев В.В. ДВ-осцилляторы, порождаемые томсоновскими автоколебательными системами / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, А.В. Карлов (мл), А.В. Карлов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы (ФВПиРС). 2008. Т. 11. № 4. С. 98-103.

3. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Карлов А.В.(мл). ДВ-осциллятор с режимом хаотических автоколебаний // Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем: тезисы докладов VIII всероссийской научно-технической конференции. – Чебоксары, 2009. С. 17-18.

4. Зайцев В.В., Карлов А.В.(мл), Телегин С.С. ДВ-модель системы Вольтерра с запаздыванием // Математическое моделирование и краевые задачи: тезисы докладов VI Всероссийской научно-технической конференции. Ч.2. – Самара, 2009. С. 52-5. Зайцев В.В., Карлов А.В.(мл), Телегин С.С. ДВ-модель системы хищник– жертва // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2009. №6 (72).

С. 139-148.

6. Зайцев В.В., Карлов А.В.(мл), Карлов Ар.В. ДВ-осциллятор с инерционной нелинейностью // Физика и технические приложения волновых процессов:

тезисы докладов VIII Международной НТК. – СПб.: Политехника, 2009.

С. 246-247.

7. Зайцев В.В., Карлов А.В.(мл). Защита цифровых изображений с помощью хаотических ДВ-автоколебаний // Актуальные проблемы ракетнокосмической техники и ее роль в устойчивом социально-экономическом развитии общества: материалы конференции: тезисы докладов. – Самара:

ФГУП «ГНПРКЦ ЦСКБ-Прогресс», 2009. C. 293-294.

8. Карлов А.В. (мл), Агибалов С.А. О синхронизации биологических осцилляторов // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов IX Международной НТК. – Челябинск, 2010. С. 241.

9. Зайцев В.В., Карлов А.В.(мл). Автогенератор с инерционной нелинейностью в дискретном времени // Волновые явления в неоднородных средах:

труды XII Всероссийской школы-семинара. Секция 3. «Нелинейная динамика» – Москва, 2010. С. 10-11.

10. Зайцев В.В., Карлов А.В. (мл), Яровой Г.П. Метод линеаризации и алгоритмы генерации нелинейных колебаний в дискретном времени // ФВПиРС. 2010. Т. 13. N 3. С. 73-76.

11. Зайцев В.В, Агибалов С.А., Карлов А.В. (мл). Синхронизация осциллятора Ван дер Поля в дискретном времени гармоническим сигналом // ФВПиРС.

2010. Т. 13. № 4. С. 47-51.

12. Агибалов С.А., Зайцев В.В., Карлов А.В. (мл). Моделирование процессов установления синхронизации ДВ-осциллятора // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2010. Вып. 2(76). С 129-137.

13. Зайцев В.В., Карлов А.В.(мл), Карлов Ар.В. Модель источника флуктуирующих ДВ-автоколебаний // Математическое моделирование и краевые задачи: тезисы докладов VIII Всероссийской научно-технической конфе ренции с международным участием, посвященной 75-летию Ю.П. Самарина. Ч.2. – Самара, 2011. С. 51-52.

14. Зайцев В.В., Карлов А.В.(мл), Карлов Ар.В. Метод усреднения и алгоритм генерации ДВ-автоколебаний // ФВПиРС. 2011. Т. 14. № 4. С. 77-80.

15. Зайцев В.В., Карлов А.В.(мл). Метод эквивалентной линеаризации и нелинейные динамические системы дискретного времени // Современные методы и средства обработки пространственно-временных сигналов: тезисы докладов IX Всероссийской научно-технической конференции. – Пенза, 2011. С. 52-55.

16. Зайцев В.В., Карлов А.В.(мл). Метод усреднения и нелинейные динамические системы дискретного времени // Физика и применение микроволн:

труды XIII Всероссийской школы-семинара. Секция 10 «Нелинейная динамика» – Москва, 2011. С. 15-18.

17. Зайцев В.В., Карлов А.В.(мл). Хаотические автоколебания в ДВосцилляторе с инерционной нелинейностью // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов X Международной научнотехнической конференции – Самара, 2011. С. 262-264.

18. Карлов А.В. (мл). Модель стохастического ДВ-автогенератора // Королёвские чтения: тезисы докладов международной молодежной конференции, посвященной 50-летию первого полета человека в космос – Самара, 2011.

С.240.

19. Зайцев В.В., Карлов Ар.В., Карлов А.В.(мл). Генерация сигналов и шумов ДВ-системами дробного порядка //Волновые явления в неоднородных средах: труды XIII Всероссийской школы-семинара. Секция 10 «Нелинейная динамика» – Москва, 2012. С. 17-20.

20. Зайцев В.В., Карлов А.В.(мл), Карлов Ар.В. Метод эквивалентной линеаризации и алгоритм генерации ДВ-автоколебаний // Нелинейный мир.

2012. Т.10. №3. С.169-172.

21. Зайцев В.В., Карлов Ар.В., Карлов А.В.(мл). Дробный дискретный процесс Орнштейна – Уленбека в моделях временных рядов // Математическая физика и ее приложения: тезисы докладов III Международной конференции – Самара, 2012. С. 139-140.

22. Зайцев В.В., Карлов А.В.(мл). О подмене частот в численных моделях нелинейных динамических систем // Математическая физика и ее приложения: тезисы докладов III Международной конференции – Самара, 2012. С.

141-142.

23. Зайцев В.В., Карлов Ар.В., Карлов А.В.(мл). Генераторы дискретных сигналов и шумов дробного порядка // ФВПиРС. 2012. Т. 15. № 2. С. 58–61.

24. Карлов А.В.(мл), Сарников А.Ю., Стулов И.В. Взаимная синхронизация автогенераторов в дискретном времени // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докладов XI Международной НТК. – Екатеринбург, 2012. С. 143.

Подписано в печать 24.10.12.

Формат 60 x 84/16. Бумага ксероксная. Печать оперативная.

Объем – 1,25 усл. п.л. Тираж 120 экз. Заказ № Отпечатано в типографии ООО «Инсома-пресс» 443080, г.Самара, ул. Санфировой, 110 А; тел.: 222-92-






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.