WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Григорьев Юрий Александрович

Геометрические методы исследования интегрируемых и суперинтегрируемых систем в классической механике

01.04.02 – Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург – 2012

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор, Цыганов Андрей Владимирович

Официальные оппоненты: Бабич Михаил Васильевич, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН, ведущий научный сотрудник;

Борисов Алексей Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, Удмуртский государственный университет, заведующий сектором

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт машиноведения им. А. А. Благонравова Российской академии наук (ИМАШ РАН)

Защита состоится 2012 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском государ ственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр., д. 41/43, ауд. 3

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан 2012 г.

Ученый секретарь Аксенова Е. В.

диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность работы Исследование интегрируемых систем с момента постановки задачи раз деления переменных в уравнении Гамильтона–Якоби и поиска интегралов движения систем классической механики являлось одной из самых сложных проблем теоретической физики. После первых успехов для множества извест ных к тому времени и некоторых вновь построенных интегрируемых систем прогресс в этой области замедлился, поскольку общего метода исследования заданной интегрируемой системы не было обнаружено, и нахождение перемен ных разделения превратилось в своего рода искусство, в котором каждый из исследователей должен был выбирать различные методы решения для различ ных систем, не имея возможности предвидеть результаты применения этих методов и очертить круг действий (таких, как замены переменных, переход к промежуточным координатам), необходимых для успешности исследования.

Нахождение переменных разделения для конечномерных интегрируемых систем оставалось скорее искусством, чем научным методом на протяжении более века, хотя в течение этого времени были построены подробные классифи кации интегрируемых систем по виду интегралов движения, и выявлена связь теории интегрируемых систем с некоторыми классами нелинейных систем. Ме тод решения обратной задачи рассеяния, построенный во второй половине ХХ века, позволил найти явные решения для широкого класса нелинейных урав нений, а последующий перенос многих его положений на квантовый случай предоставил возможность его применения для построения точных решений большого количества интегрируемых систем, описывающих модели квантовой механики, квантовой теории поля и статистической физики.

Дальнейшее изучение возможностей переноса методов исследования ин тегрируемых систем с классических на квантовые случаи позволило выделить основные элементы таких схем, вернуться к исследованным ранее класси ческим системам и сделать первые шаги к пониманию причин успеха или неудачи в разделении переменных для тех или иных систем. Внутренние симметрии систем и вообще методы задания систем и пространств, в кото рых интегрируемые системы определены, оказали определяющее влияние на развитие методов разделения переменных в 1980-е годы. Найденные инва риантные характеристики интегрируемых систем позволили создать новый математический аппарат для решения классической задачи, в котором оказа лись естественным образом взаимосвязаны функциональный анализ, теория функций, алгебраическая, дифференциальная и пуассонова геометрия, теория групп и алгебр Ли.

Быстрое развитие в конце XX и начале XXI века компьютерных средств, разработанных для решения различных математических задач, в частно сти, пакетов компьютерной алгебры общего назначения, позволило в полной мере использовать найденные связи между теорией интегрируемых систем и другими областями математической физики. Возможность использовать компьютеры для сложных и объёмных расчётов оказалась ключевой для применения формализованных методов исследования интегрируемых систем, позволив как применять их для уже изученных систем с интегралами высоких степеней по импульсам, так и с гораздо меньшими усилиями исследовать обширные классы в том числе и новых интегрируемых систем.

Таким образом, современные хорошо формализуемые методы исследо вания интегрируемых систем являются одним из актуальных направлений в теории квантовых и классических интегрируемых систем. Интерес к та ким методам определяется не только практическим значением метода для разделения переменных в заданной системе классической механики, но и теоретическими возможностями построения новых интегрируемых систем и более полного понимания их организации, как для классического, так и для квантового случая.

Цель диссертационной работы состоит в развитии геометрических методов исследования интегрируемых по Лиувиллю систем классической механики.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Реализован метод построения переменных разделения и интегралов дви жения для L-систем.

2. Разработан метод классификации интегрируемых систем типа Штеккеля.

3. Исследованы методы поиска новых интегрируемых систем.

4. Предложен метод классификации суперинтегрируемых систем типа Штек келя, основанный на теоремах сложения.

5. Создан метод разделения переменных для широкого класса бигамильтоно вых систем с интегралами движения старших степеней.

6. Данный метод применён к конкретным системам с интегралами высоких порядков по импульсам.

Научная новизна В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Создана практическая реализация алгоритма построения переменных разделения и интегралов движения для L-систем на основе методов бига мильтоновой геометрии.

2. Построена классификация систем типа Эйлера на основе теорем сложения.

3. Предложен метод построения суперинтегрируемых систем типа Ришело.

4. Осуществлено разделение переменных для обобщённой системы с потен циалом четвёртой степени и интегралом четвёртой степени по импульсам.

Практическая значимость Диссертация носит теоретический харак тер. В то же время прикладное программное обеспечение, представленное в диссертации, может быть использовано для исследования интегрируемых и суперинтегрируемых систем с интегралами второго и более высоких порядков по импульсам. Метод классификации интегрируемых систем, основывающийся на использовании теорем сложения, может быть применён для исследова ния существующих и построения новых суперинтегрируемых систем. Метод исследования, основанный на использовании оператора рекурсии, позволя ет находить переменные разделения для широкого класса бигамильтоновых систем.

На защиту выносятся следующие основные результаты и поло жения:

1. Практическая реализация алгоритма построения переменных разделения и интегралов движения для L-систем на основе методов бигамильтоновой геометрии.

2. Классификация систем типа Эйлера на основе теорем сложения.

3. Метод построения суперинтегрируемых систем типа Ришело.

4. Разделение переменных для обобщённой системы с потенциалом четвёртой степени и интегралом четвёртой степени по импульсам.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. The third International Conference Superintegrable Systems in Classical and Quantum Mechanics, Prague, 5-9 May, 2008;

2. XIII International Conference “Symmetry Methods in Physics”, Dubna, Russia, July 6-9, 2009;

3. Second International Conference Geometry, Dynamics, Integrable Systems, Belgrade, 7 – 13 September 2010;

4. International Conference Geometry, Dynamics, Integrable Systems, Belgrade, 2 – 7 September 2008;

а также на семинарах в ОИЯИ, МГУ, СПбГУ и УдГУ.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 7 статьях в веду щих рецензируемых научных журналах, рекомендуемых ВАК для опубликова ния основных научных результатов диссертаций [A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7].

Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликован ные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 4 глав и библиографии. Общий объем диссертации страницы. Библиография включает 103 наименования на 11 страницах.

Содержание работы Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

Обзор литературы описывает основные этапы развития теории инте грируемых систем и важнейшие полученные в данной области результаты.

В первой главе вводятся основные определения теории разделения переменных для систем классической механики. Приведены теоремы Лиувилля о полной интегрируемости системы и теорема Штеккеля. Осуществляется постановка задачи разделения переменных для систем с гамильтонианом натурального вида и приводится критерий Леви-Чивита для таких систем.

Во второй главе обсуждается реализация метода разделения перемен ных, основанного на бигамильтоновом подходе к построению переменных разделения и интегралов движения для L-систем. Рассматриваются примеры использования разработанного автором программного обеспечения, реализу ющего этот метод в среде символьных вычислений Maple, для разделения переменных в системах Неймана и Холта.

При рассмотрении системы классической механики необходимо учитывать влияние метрики, задаваемой метрическим тензором G, на возможность разделения переменных. Введя через тензорное уравнение Киллинга [K, G] = тензор Киллинга K, можно построить конформный тензор Киллинга L = K + f(q)G, где функцию f называют потенциалом, c нулевым кручением Ниейенхейса m Tij 2LLm - 2LmiL = 0, i j j который называется L-тензором или тензором Бененти. Важность L-тензора для задачи разделения переменных состоит в том, что он с помощью кон структивной процедуры, предложенной Бененти, порождает пространство Киллинга-Штеккеля тензоров Km, уравнения на которые сводятся к урав нениям Леви-Чивита, и которые, с другой стороны, связаны с расслоением риманова пространства Q на гиперповерхности, образующие веб Штеккеля.

Собственные значения тензора Бененти являются переменными разделе ния для интегрируемой системы, а каноническое поднятие тензора Бененти на кокасательное расслоение T Q оператор рекурсии позволяет с помощью рекуррентной процедуры построить все интегралы движения системы.

Для нахождения L-тензора данной системы с гамильтонианом натураль ного вида H = T + V уравнения на его компоненты были сведены к виду d(iX d - T d1) = T d(iX d - V d1) = 0, V n где = Li pidqj L-деформация стандартной 1-формы Лиувилля, а i,j=1 j 1 = tr L. Эта система уравнений решается в системе символьных вычислений Maple после преобразования к системе уравнений в частных производных на компоненты L-тензора. В результате был реализован конструктивный алгоритм построения переменных разделения и соответствующих интегралов движения для данного гамильтониана натурального вида H.

Созданное программное обеспечение было применено для нахождения переменных разделения для различных L-систем и показало свою эффек тивность, позволяя получить переменные разделения и интегралы движения за несколько минут в автоматическом режиме. В работе приведены более сложные примеры для системы Неймана и системы Холта, потребовавшей предварительной замены переменных, сводящей её к системе Штеккеля.

Результаты второй главы опубликованы в работах [A1, A2, A5, A6].

В третьей главе рассматривается метод построения и классификации суперинтегрируемых систем. После краткого обзора результатов Эйлера, впер вые связавшего решение дифференциального уравнения с теоремой сложения, приводится классификация систем типа Эйлера, а затем обсуждается ме тод построения дополнительных интегралов движения для уравнений Абеля и построения соответствующих суперинтегрируемых систем классической механики.

Систематическое исследование суперинтегрируемых систем началось c результата Эйлера, который установил, что дифференциальное уравнение dx dy + = 0, X Y где X = ax4 + 4bx3 + 6cx2 + 4dx + e, и Y так же зависит от y, связано с интегралом движения F (x, y) = ax2y2 + 2bxy(x + y) + c(x2 + 4xy + y2) + 2d(x + y) + e = 0, задающим классическую траекторию движения.

Для классификации суперинтегрируемых систем типа Эйлера рассмотрим гиперэллиптическую кривую µ2 = P (), где P (x) = X, которая после замены переменных порождает заданные через матрицу Штек келя S разделённые уравнения для систем штеккелевского типа pj = HkSkj + Uj(qj).

k=Решения этих уравнений требуется ограничить, используя теоремы сложения Эйлера и получая в итоге уравнения 4 3 jujvj = 2vj + 42vj + 62vj + 42vj +, 1 = 1, 2 = ±1, на функции u(q), v(q), задающие замену переменных в гиперэллиптической кривой, и коэффициенты 2, 2,...,, с которыми в полученное уравнение входят интегралы движения H1 и H2.

Существует всего пять различных решений этого уравнения, и, накла дывая дополнительные ограничения на метрику системы, например, требуя, чтобы кинетическая часть гамильтониана принимала вид T = S-1 p2 = pxpy, j 1j получим полную классификацию суперинтегрируемых систем типа Эйлера.

В качестве иллюстрации этого метода построены все суперинтегрируемые системы типа Эйлера на комплексном евклидовом пространстве E2(C) с гамильтонианом H1 = pxpy + V (x, y) и вещественными потенциалами.

Обобщением результатов Эйлера можно считать теоремы сложения для уравнений Абеля. Следуя Ришело, рассмотрим гиперэллиптическую кривую y2 = f(x) A2nx2n + A2n-1x2n-1 + · · · + A1x + Aи систему из n - 1 дифференциального уравнения Абеля на этой кривой dx1 dx2 dxn + + · · · + = 0, f(x1) f(x2) f(xn) x1dx1 x2dx2 xndxn + + · · · + = 0, f(x1) f(x2) f(xn) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · xn-2dx1 xn-2dx2 xn-2dxn 1 2 n + + · · · + = 0.

f(x1) f(x2) f(xn) Переходя с помощью произвольных подстановок, аналогичных таковым для систем типа Эйлера, к координатам i, µi, рассматриваем коэффициенты ги перэллиптических кривых как линейные функции интегралов системы. Решая полученные уравнения относительно интегралов движения, получаем инте гралы типа Штеккеля, и, таким образом, определяем вид матрицы Штеккеля в переменных . Практическое применение данного метода осложнено тем, что конечным результатом должна быть система, выраженная в исходных физических переменных, а не в абстрактных переменных разделения.

Основные ортогональные системы криволинейных координат в евклидо вом пространстве определяются функцией N ( - qj) () i=e() = =, M = N, N ± 1, M u() ( - ej) j=N M где () = ( - qj) и u() = ( - ej) полиномы. Если разделённые i=1 j=уравнения в таких координатах имеют вид N p2 u(qi)2 = u() · H1 k + Hi n-i - (), i i==qi 2N где () = j j произвольный полином, и k = n, то соответствующий j=максимально суперинтегрируемый гамильтониан N N 1 () H1 = T + V = res · p2 - res i e() u2()e() i=1 i==qi =qi представляется в натуральном виде в физических декартовых координатах на пространстве En N M 1 () H1 = T + V = p2 + res, xi 2 u2() e() i=1 i==ei таким образом, можно построить полную классификацию суперинтегрируемых систем типа Ришело в основных системах координат.

Для различных систем координат (параболической, эллиптической, вы тянутой сфероидальной, параболоидальной, вырожденной эллиптической) можно легко построить суперинтегрируемую систему с потенциалом M () V = res, u() = ( - ej), =ei u2() e() j=определяемым через производящую функцию e() системы координат и про извольный полином (). При этом интегралы движения Hk системы и до полнительные интегралы движения Ришело являются полиномами второй степени по импульсам u1p1 unpn K1 = + · · · + - A2n-1(v1 + · · · + vn) - A2n(v1 + · · · + vn)F (v1) F (vn) и u1p1 unpn 2 2 K2 = + · · · + v1v2 · · · vn v1F (v1) vnF (vn) 1 1 1 - A1 + · · · + - A0 + · · · +.

v1 vn v1 vn что позволяет найти суперинтегрируемые системы с гамильтонианом нату рального вида на римановых многообразиях постоянной кривизны, используя теорию ортогональных систем координат и соответствующих тензоров Кил линга, описанную во второй главе.

Результаты третьей главы опубликованы в работах [A3, A4].

В четвёртой главе рассматривается метод разделения переменных для более широкого класса интегрируемых систем, использующий общие для всех интегрируемых систем геометрические принципы и разные интегралы движения, отвечающие конкретным интегрируемым системам. Накладывая ограничения на форму бивектора Пуассона бигамильтоновой системы с га мильтонианом натурального вида, для системы Энона-Эйлеса и обобщённой системы с потенциалом четвёртой степени, с помощью данного метода оказа лось возможным по двум заданным интегралам движения системы построить переменные разделения для системы и получить разделённые уравнения.

Рассматривая бигамильтоновы системы с двумя совместимыми скобками Пуассона {.,.} и {.,.}, можно заметить, что во многих случаях задающий вторую скобку бивектор Пуассона имеет натуральный вид, то есть представим в виде суммы геодезического бивектора PT и потенциального бивектора, связанного с потенциалом V.

0 ij P = PT + .

n ki kj -ji - pk qj qi k=Геодезический бивектор Пуассона PT при этом определяется матрицей раз мерности n n на T Q и функциями x, y и z:

n jk ik xjk(q) - yik(q) ij pi pj k= PT = .

n ki kj -ji - zk(p ) qj qi k=Заданные условия на нахождение интегралов системы в инволюции отно сительно скобок Пуассона и нахождение бивекторов Пуассона в инволюции относительно скобок Схоутена позволяют найти в явном виде бивекторы Пуассона системы.

Рассмотрим обобщённую систему Энона-Эйлеса с гамильтонианом p2 + p2 c1 2 2 q1 c4 c1 2 H1 = + q2(3q1 + 16q2) + c2 2q2 + + + 2 2 8 8 q1 qи вторым интегралом движения четвёртого порядка по импульсам. Для раз деления переменных в этой системе требуется неточечное преобразование, и конструктивного метода разделения переменных для этой системы не суще ствовало.

Решая уравнения относительно компонент бивекторов Пуассона для слу чая c4 = c5 = 0, можно найти два решения , , x, y, z, порождающих бивек торы Пуассона P1 и P2 системы. Используя одно из этих решений вместе с каноническим бивектором Пуассона, можно немедленно построить оператор рекурсии N, задающий переменные разделения и определяющий рекуррент ные уравнения для вычисления интегралов движения.

В случае c4,5 = 0 применим к бивекторам Пуассона, полученным для - 2cпредыдущего случая, каноническое преобразование p1 p1 +, по q -сле чего рассмотрим оператор рекурсии N2 = P2P, собственные значения которого являются корнями полинома p2 c1q2 + c2 2 -2c5 p1 2c5 c2(8q1 + q2) 1 B() = 2 - + + - + 2 5 q1 4 q1 q1 c1(4p2q2 - 2q1p1p2 - c2q1q2) c1 -2c5(4p1q2 - q1p2) c1c5q- - +, 2 5 16q1 8q1 2qи построим дополнительный полином A() = a1 + a0, являющийся решением уравнений d2µ2 + d1µ + d0 B() - d22 + d1µ + d0 B(µ) {B(), A(µ)} = -, - µ {A(), A(µ)} = относительно неизвестных функций a1,0, d1,2 и d0. После того, как полином A() найден, легко вычислить сопряжённые импульсы и построить обрат ное каноническое преобразование от переменных разделения к исходным переменным. Разделённые уравнения для системы Энона-Эйлеса имеют вид c4(c2 - 8uk) c2 -2c5 pu 1 k (uk, pu ) = +(uk, pu )-(uk, pu )- + = 0, k = 1, 2, k k k 4 где c2pH2 128u3 32c2u1 uk k k ±(uk, pu ) = - H1 ± - +.

k 32 2 c2 c1 Этот метод также применён для обобщённой системы с потенциалом четвёртого порядка, для которой заданы гамильтониан p2 + p2 c1 4 2 2 4 c2 2 2 2c3 c4 c1 H1 = + q1 + 6q1q2 + 8q2 + q1 + 4q2 + + + 2 2 2 4 2 q2 q1 qи второй интеграл движения четвёртого порядка по импульсам. Для этой системы существуют разделённые уравнения; в зависимости от значений параметров c4 и c5 разделённые уравнения имеют штеккелевский или нештек келевский вид. Далее в главе воспроизведён в рамках бигамильтонова подхода известный результат для случая c4 = c5 = 1 2u2 2c2u1 2c1c- (u1, pu ) = H1 - H2 + 2c1u1p2 - + + = 0, 1 u2 c1 c1 u1 2u2 2c2u2 2c1c+ (u2, pu ) = H1 + H2 + 2c1u2p2 - + + = 0.

2 u2 c1 c1 uа затем для случая c4,5 = 0 получены новые нештеккелевские разделённые уравнения (uk, pu ) = + (uk, pu ) - (uk, pu ) + c4 (2uk - c2) - 2 -2c5pu ukc1 = 0, k k k k где 1 2u2 2c2uk 2c1ck ± (uk, pu ) = H1 ± H2 + 2c1ukp2 - + + = k uk 2 c1 c1 uk Результаты четвёртой главы опубликованы в работе [A7].

Список публикаций A1. Григорьев Ю. А. Программное обеспечение для построения переменных разделения в уравнении Гамильтона-Якоби // Вестник Санкт-Петербург ского университета. Серия 4: Физика. Химия. 2010. № 2. С. 107–112.

A2. Григорьев Ю. А., Цыганов А. В. О вычислении переменных разделения в уравнении Гамильтона-Якоби на компьютере // Нелинейная динамика.

2005. Т. 1, № 2. С. 163–179.

A3. Григорьев Ю. А., Цыганов А. В. Об уравнениях Абеля и интегралах Ришело // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, № 4. С. 463–478.

A4. Grigoryev Yu. A., Khudobakhshov V. A., Tsiganov A. V. On the Euler superintegrable systems // J. Phys. A: Math. Theor. 2009. Vol. 42, no. 7, 075202. 11 pp.

A5. Grigoryev Yu. A., Tsiganov A. V. Symbolic software for separation of variables in the Hamilton-Jacobi equation for the L-systems // Regular and Chaotic Dynamics. 2005. Vol. 10, no. 4. Pp. 413–422.

A6. Grigoryev Yu. A., Tsiganov A. V. On the Darboux-Nijenhuis variables for the open Toda lattice // Symmetry, Integrability and Geometry - Methods and Applications. 2006. Vol. 2, 097. 15 pp.

A7. Grigoryev Yu. A., Tsiganov A. V. Separation of variables for the generalized Henon-Heiles system and system with quartic potential // J. Phys. A: Math.

Theor. 2011. Vol. 44, no. 25, 255202. 9 pp.

Подписано к печати 20.06.12. Формат 60 84 1/8.

Бумага офсетная. Печать цифровая. Печ. л. 1,00.

Тираж 100 экз. Заказ 5480.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., Тел.: (812) 428 4043, 428 69






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.