WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


 

На правах рукописи

Фотов Кириак Николаевич

Гамильтонова динамика магнитной жидкости

01.04.07 –  физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Москва – 2012

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный университет приборостроения и информатики».

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор        Соколов Виктор Васильевич

Официальные оппоненты:  доктор физико-математических наук,

                                               профессор Дадиванян Артем Константинович                                                                

                                               доктор физико-математических наук,

                                               профессор Николаев Павел Николаевич

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики»

Защита диссертации состоится 11 октября 2012 г. в 1500 часов на заседании диссертационного Совета Д212.155.07 при Московском государственном областном университете по адресу: 105005, Москва, ул. Радио, д. 10а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат разослан «07» сентября 2012 года.

 

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук,  доцент 

  Барабанова Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Относительно недавно сформировался новый раздел гидродинамики – феррогидродинамика. Предметом ее изучения является магнитная жидкость или феррожидкость – искусственно синтезированная конденсированная среда, которая является коллоидным раствором наночастиц твердого магнитного материала с размерами порядка 10 нм в несущей жидкости. В отличие от магнитной гидродинамики, изучающей  взаимодействие магнитных полей с электропроводящей жидкостью, подавляющая часть магнитных жидкостей синтезируется на основе жидких диэлектриков и не проводит электрический ток. Несмотря на существование значительного количества континуальных моделей непроводящих магнитных жидкостей, тенденция построения новых моделей сохраняется, что  обусловлено сложностью моделируемой среды.  Свойства феррожидкости ранее описывались с помощью полуфеноменологических систем уравнений, полученных на основе уравнений баланса.  Этот метод очень громоздок, и, кроме того, при учете следующих нелинейных членов нужно каждый раз заново повторять сложную процедуру вывода с целью проверки всех законов сохранения.

Эффективным методом получения и исследования нелинейных динамических уравнений, описывающих разнообразные явления в конденсированных средах, является гамильтоновский формализм, который позволяет непосредственно выписать нелинейные  уравнения динамики, автоматически удовлетворяющие всем законам сохранения. Метод скобок Пуассона позволяет регулярным способом получать уравнения движения для гидродинамических систем, корректировать уравнения, получаемые из феноменологических соображений для уже известных моделей, а также находить нелинейные диссипативные уравнения  различных моделей гидродинамики.

       Каноническая форма уравнений  идеальной гидродинамики классической баротропной жидкости была получена в работе [1]. Для сверхтекучей жидкости та же задача  решена  в работах  Лебедева и Халатникова [2]. Использование  метода скобок Пуассона в физике конденсированного состояния непосрественно для естественных физических переменных впервые было предложено Дзялошинским и Воловиком [3]. Этот метод использовался в работах Лебедева и Каца для вывода нелинейных уравнений динамики жидких кристаллов [4]. В то же время,  гамильтонова теория, позволяющая единым образом описать известные модели  феррогидродинамики,  до  недавнего времени  не была построена.

Цель работы. Основной целью диссертации является вывод  гамильтоновых уравнений для существующих моделей феррогидродинамики.

Научная новизна. На основе предложенного функционала полной энергии  непроводящей магнитной жидкости и метода неканонических скобок Пуассона впервые получены  гамильтоновы уравнения феррогидродинамики. Используя  представление Клебша для гидродинамического импульса, вычислены взаимные скобки Пуассона для всех пар физических переменных и построены нелинейные гамильтоновы уравнения движения непроводящей магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью. В аналитическом виде получены формулы описывающие эффект анизотропии скорости распространения звука  и закон дисперсии спиновых волн в модели непроводящей магнитной  жидкости с уравнением Ландау-Лифшица для намагниченности. Вычислена неканоническая скобка Пуассона для функционалов от естественных физических переменных  феррогидродинамики с внутренним вращением. Используя метод Рэлея, получена система диссипативных уравнений непроводящей магнитной жидкости.

Научная и практическая ценность работы. Впервые развитый в работе гамильтоновский формализм для описания динамики магнитных жидкостей может быть использован для исследования нелинейных волновых процессов, построения новых математических моделей с различными уравнениями эволюции намагниченности. Практическая ценность работы заключается в создании физической основы для проектирования узлов и устройств на основе уникальных свойств магнитных жидкостей.

Положения, выносимые на защиту:

1. Гамильтонова теория непроводящей магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью.

2. Аналитические результаты, описывающие эффект анизотропии скорости распространения звука  и закон дисперсии спиновых волн в модели непроводящей магнитной  жидкости с уравнением Ландау-Лифшица для намагниченности.

3. Вывод неканонических скобок Пуассона физических переменных и диссипативных уравнений феррогидродинамики с внутренним вращением.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: II Всероссийской научной конференции «Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем» (г. Ставрополь, 14-17 сентября, 2009); 12 Международной конференции по магнитным жидкостям (Sendai, Japan 1-5th August, 2010); III Всероссийской научной конференции «Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем» (г. Ставрополь ,15-18 сентября 2011); XLVIII Всероссийской конференции по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники (г. Москва, 15-18 мая 2012).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, в том числе 3 работы из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Работа изложена на 90 стр. машинописного текста, состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 90 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении обоснована актуальность темы исследований, показана ее научная новизна и практическая значимость, сформулированы цели работы, а также представлены сведения о структуре и содержании работы, приводятся положения, выносимые на защиту.

В Главе 1 приведен  обзор современного состояния  исследований, посвященных изучению динамических свойств феррожидкости.

В Главе 2 диссертации  излагаются физические принципы и математический аппарат, составляющие основу гамильтоновского подхода к  гидродинамическим системам. Локальная лагранжева теория без высших производных по времени задается лагранжианом L, который является функционалом обобщенных координат и их производных  , взятых в один и тот же момент времени. По лагранжиану строится действие, а уравнения движения получаются из вариационного принципа.

Переход к гамильтоновскому формализму совершается введением полей импульсов , сопряженных обобщенным координатам . Далее строится гамильтониан системы, а гамильтоновы уравнения движения, которые формулируются на языке введенных пар канонических переменных и гамильтониана H, записываются в виде уравнений Гамильтона:

         (1)

Если определить канонические скобки Пуассона для двух локальных по времени функционалов F и G от обобщенных координат и импульсов

       (2)

где суммирование проводится по всем парам канонических переменных, то уравнения Гамильтона записываются в таком же виде, как и для классических систем с конечным числом степеней свободы:

       (3)

Скобки Пуассона обладают двумя основными свойствами:

1) - свойство антисимметричности;        (4)

2) они удовлетворяют тождеству Якоби

       (5)

На практике оказывается удобным рассмотрение гамильтоновых систем более общего вида, в которых невозможно или нет необходимости провести однозначное разделение переменных на обобщенные координаты и сопряженные им импульсы. Такие системы описываются с использованием «обобщенных координат» не являющихся каноническими переменными, а в качестве таких координат используются естественные физические переменные, функционалом от которых является функционал полной энергия системы. Наиболее простой способ построения неканонических скобок Пуассона в системах гидродинамического типа состоит в переходе от скобки Пуассона, выраженной через канонические переменные, к неканонической скобке используя представление Клебша для гидродинамического импульса.

Скобка Пуассона для двух функционалов F и G от функционально независимых друг от друга независимых физических переменных определяется тензором Пуассона по правилу

       (6)

Если положить то из этого определения следует:

       (7)

т.е. тензор Пуассона выражается через фундаментальные скобки Пуассона базисных функций - естественных физических переменных, образующих фазовое пространство.

Из условия антисимметричности скобки Пуассона и тождества Якоби следует, что тензорное поле удовлетворяет свойству антисимметричности

       (8)

и соответственно тождеству Якоби

       (9)

где сокращенная запись ц.п. означает слагаемые, полученные из первого циклической перестановкой по индексам и аргументам. Введенные согласно (6)-(9) скобки Пуассона определяют гамильтоновы системы общего вида как системы, которые эволюционируют по закону

       (10)

где H – гамильтониан системы – величина, функционально зависящая от полей .

В Главе 3 получены гамильтоновы уравнения движения идеальной феррожидкости с вмороженной намагниченностью.

В П.1 дано обоснование выбора динамических переменных, описывающих движение  непроводящей феррожидкости и используя первое начало термодинамики, показано, что функционал полной энергии системы представляется в виде:

.                        (11)

где - плотность, - удельная энтропия, - вектор удельной намагниченности, - плотность внутренней энергии  и   - скорость жидкости.

Для среды с произвольной связью между индукцией и напряженностью магнитного поля, уравнения Максвелла, в которых будем пренебрегать током смещения, могут быть записаны в виде

, ,                                                        (12)

,                                                                        (13)

где введен скалярный потенциал магнитного поля. В модели феррогидродинамики с вмороженной намагниченностью эволюция удельной намагниченности задается уравнением

.                                                                (14)

В П.2 получены  лагранжевы уравнения движения идеальной феррожидкости  с вмороженной намагниченностью. Расширенный функционал действия с  лагранжианом со связями, в роли которых выступают уравнение (14), а также уравнение непрерывности

,                                                                        (15)

и условие адиабатичности движения

,                                                                (16)

задается формулой:

       (17)

где функции –  множители Лагранжа. Вычислив вариационные производные по всем полям, включая множители Лагранжа и скорость жидкости, получим расширенную  лагранжеву систему уравнений непроводящей феррожидкости с вмороженной намагниченностью:

,                (18)

,                        (19)

,                                (20)

,                                                        (21)

,                                                        (22)

,                                                                (23)

.                                                (24)

Определив обобщенные импульсы, сопряженные обобщенным координатам и построив расширенный гамильтониан системы как преобразование Лежандра, в работе получена расширенная гамильтонова система уравнений движения феррогидродинамики с вмороженной намагниченностью.

В П.3 на основе функционала (11) и метода скобок Пуассона выведена полная система гамильтоновых уравнений гидродинамики непроводящей магнитной жидкости со свободной и вмороженной намагниченностью.

Итак, чтобы сформулировать гамильтоновы уравнения движения, необходимо вычислить взаимные скобки Пуассона для величин, функционалом которых является энергия системы.

Вычисляя скобки Пуассона для физических полей согласно формуле

,                                (25)

где , и учитывая представление Клебша для гидродинамического импульса, находим:

, ,                                                                (26)

, ,                        (27)

, ,                (28)

где - дельта функция Дирака.

Гамильтоновы уравнения движения формулируются при помощи гамильтониана (11) с учетом коммутационных соотношений (26)-(28) и  имеют  следующий вид:

,                                                                (29)

,                                         (30)

,                                                                (31)

.        (32)

В П.4 изучается модель непроводящей феррожидкости, в которой недиссипативное движение  удельной  намагниченности описывается уравнением Ландау-Лифшица

,                                                                        (33)

где   - эффективное магнитное поле.

В этом случае явный вид взаимных скобок Пуассона для физических переменных имеет следующий вид:

, ,                                (34)

,                                                                (35)

, ,                                (36)

где – полностью антисимметричный единичный тензор.

Скобки Пуассона произвольного функционала с гамильтонианом системы W можно представить в виде

,                (37)

а для плотности гидродинамических сил получаем формулу

.                               (38)

Формулы (34)-(38) приводят к следующей гамильтоновой системе уравнений движения непроводящей магнитной жидкости, в которой эволюция удельной намагниченности происходит согласно уравнению (33):

,                                                        (39)

,                                        (40)

                       (41)

Исходя из полученной системы уравнений  рассмотрено распространение малых возмущений в рассматриваемой модели непроводящей магнитной жидкости. В покоящейся феррожидкости имеем

, ,                                                        (42)

где – постоянное магнитное поле. Возмущения плотности, напряженности магнитного поля и удельной намагниченности  относительно их равновесных значений представим в виде

, ,                                                (43)

и с учетом обменного взаимодействия эффективное магнитное поле задается формулой

,                                                                        (44)

где – постоянная обменного взаимодействия.

В результате, линеаризованная система уравнений (39)-(41), решение которой ищется в виде плоских волн

, ,

, ,                                                        (45)

сводится к системе алгебраических уравнений

,                                                        (46)

,                        (47)

где  – скорость звука в ненамагниченной жидкости.

Из условия совместимости полученной системы однородных линейных уравнений получаем дисперсионное уравнение

,                                                (48)

где приняты обозначения

,        (49)

,                                                        (50)

.                        (51)

Уравнение (66) приводит к двум решениям:

,                                        (52)

.                                        (53)

Формула (52) определяет закон дисперсии магнонов в сжимаемой непроводящей магнитной жидкости. В предельном случае  несжимаемой жидкости из  (52)  следует известный закон дисперсии спиновых волн в кубических кристаллах, если  пренебречь энергией магнитной анизотропии.  Формула (53) определяет закон дисперсии продольной звуковой волны с учетом влияния внешнего магнитного поля и обменного взаимодействия. В предельном случае, когда  не учитывается влияние магнитного поля , возникающего при колебаниях вектора намагниченности, из (53) для скорости звуковой волны находим следующую формулу:

,                                                        (54)

где – угол между направлением напряженности внешнего поля и направлением распространения волны.

         Таким образом, формулы (53)-(54) описывают явление анизотропии скорости звука в модели феррожидкости с уравнением (33) для намагниченности.

В первом параграфе Главы 4 выводится  система взаимных скобок Пуассона для физических переменных и скобка Березина-Кириллова-Константа идеальной феррогидродинамики с внутренним вращением. Функционал полной энергии идеальной феррожидкости с внутренним вращением  с учетом энергии скрытого вращения задается  формулой:

,                        (55)

где - удельный момент инерции феррожидкости, - удельный внутренний момент импульса. Новая динамическая переменная играет роль некоммутативной динамической  переменной и характеризуется взаимной скобкой Пуассона

.                                        (56)

В связи с этим, непосредственное применение метода наименьшего действия оказывается невозможным. В работе используется прямой метод вычисления неканонических скобок Пуассона, в основе которого лежит использование полной системы уравнений феррогидродинамики с внутренним вращением и интеграла энергии (55), который в дальнейшем выступает в роли гамильтониана системы.

Из уравнений баланса для импульса и полного момента импульса получаются следующие уравнения для скорости и внутреннего момента импульса идеальной феррожидкости с внутренним вращением:

,                                                        (57)

,                                                                        (58)

где - давление в сжимаемой жидкости.

Уравнение движения удельной намагниченности в модели идеальной феррогидродинамики с внутренним вращением имеет вид:

.                                                              (59)

Система (15)-(16), (56)-(59) замыкается заданием конкретного вида удельной внутренней энергии . Вычислив  временные производные естественных физических переменных и  используя  соответствующие скобки Пуассона с гамильтонианом (55),  в итоге получаем следующую систему уравнений движения феррожидкости.:

.                        (60)

Воспользовавшись далее уравнениями (15)-(16), (56)-(59), исключим  из системы (60) частные производные по времени от динамических переменных и с помощью дельта - функции Дирака внесем оставшиеся локальные члены под знак интеграла. Для выполнения получившихся интегральных равенств  необходимо и достаточно, чтобы система взаимных неканонических скобок Пуассона для естественных физических переменных феррогидродинамики имела следующий вид:

,                                      (61.1)

,                                        (61.2)

,                                        (61.3)

,                                        (61.4)

,                                                (61.5)

,                                      (61.6)

,                                        (61.7)

                       (61.8)

Формулы (61.1)-(61.8) позволяют  найти неканоническую скобку Пуассона функционалов и на фазовом пространстве, образованном естественными физическими переменными феррогидродинамики с внутренним вращением:

          (62)

.

Cумма первых двух слагаемых в правой части (62) совпадает со скобкой Березина-Кириллова-Константа.  Если к ним добавить третье слагаемое, то получаем неканоническую скобку Пуассона для небаротропных течений.

  В П.2 используя метод Рэлея  выводится системы  уравнений феррогидродинамики  с внутренним вращением с учетом диссипации. Для описания диссипативных процессов  в феррожидкости воспользуемся методом Рэлея, согласно которому  в гамильтоновы уравнения следует добавить слагаемые, явный вид которых  определяется диссипативной функцией Рэлея.

Плотность обобщенного тока, соответствующего естественной физической  переменной , задается  формулой

.                                                                        (63)        

В  случае феррогидродинамики с внутренним вращением для компонент тока получаем следующие формулы:

                                               (64)

где - угловая скорость. 

Диссипативная функция Рэлея определяется формулой

,                                                                        (65)

где – локальная скорость производства энтропии. Предполагается, что не зависит от потока j. Отсюда следует, что уравнение движения для массовой плотности  представляет собой уравнение непрерывности

.                                                                        (66)

Обобщенные уравнения движения для векторных переменных и для плотности энтропии имеют следующий вид:

                                                               (67)

                                                               (68)

Положительно определенная локальная скорость производства энтропии  определяется формулой

                               (69)

где – это сдвиговая вязкость,   – объёмная вязкость, – вращательная вязкость, – скорость магнитной релаксации, а – теплопроводность. С учетом приведенных выше соотношений уравнение движения для феррожидкости  и релаксационное уравнение для намагниченности  принимают следующий вид:

(70)

                                        (71)

Временная эволюция  плотности внутреннего момента импульса и плотности энтропии определяется уравнениями

                                       (72)

                                                       (73)

В П.3 с помощью метода скобок Пуассона рассматривается возможность совмещения концепции вмороженности вектора намагниченности  с основными  уравнениями для магнитной жидкости с внутренним вращением.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации:

1. Предложен  функционал полной энергии  непроводящей магнитной жидкости, дано его обоснование, и обоснование выбора  физических полей, в фазовом пространстве которых  выводятся  гамильтоновы уравнения движения  феррогидродинамики.

2. Получены расширенные лагранжевы системы уравнений движения как для модели феррогидродинамики со свободной намагниченностью, так и для непроводящей магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью.

3. На основе найденного представления Клебша для гидродинамического импульса вычислены взаимные скобки Пуассона для всех пар физических переменных и построены нелинейные гамильтоновы уравнения движения непроводящей магнитной жидкости с вмороженной намагниченностью.

4. Выведены гамильтоновы уравнения движения непроводящей магнитной жидкости, в которой эволюция удельной намагниченности происходит согласно уравнению Ландау-Лифшица.

5. На основе линеаризованных уравнений феррогидродинамики с уравнением Ландау-Лифшица для намагниченности исследован спектр собственных мод системы. В аналитическом виде получены формулы описывающие эффект анизотропии скорости распространения звука  и закон дисперсии спиновых волн в непроводящей магнитной  жидкости. 

6. Показано, что система уравнений феррогидродинамики с внутренним вращением в случае отсутствия диссипации обладает гамильтоновой структурой. Получена система фундаментальных скобок Пуассона для базисных функций в фазовом пространстве.

7. Вычислена неканоническая скобка Пуассона для функционалов от естественных физических переменных идеальной феррогидродинамики с внутренним вращением. Используя метод Рэлея,  получена система диссипативных  уравнений феррогидродинамики  с внутренним вращением. 

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Соколов В. В., Фотов К. Н., Эминов П.А. Гамильтоновы уравнения феррогидродинамики с уравнением Ландау-Лифшица для намагниченности.// Изв. вузов. Физика. № 7.2010, С. 38-45.

2. Соколов В.В,, Фотов К.Н., Эминов П.А. Гамильтонова структура  уравнений идеальной феррогидродинамики с внутренним вращением.// Доклады Академии Наук, том 440, № 3. 2011, С. 331-334.

3. Соколов В. В., Фотов К. Н., Эминов П.А. Лагранжева и гамильтонова форма уравнений феррогидродинамики.// II Всероссийская научная конференция «Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем». Сборник научных трудов, г. Ставрополь, 2009, С. 231-237.

4. Sokolov V. V., Fotov K. N., Eminov P.A. Poisson brackets method in ferrohydrodynamics.// Physics Procedia 9, 2010, P. 131-136.

5. Соколов В. В., Фотов К. Н. Гамильтонова структура  уравнений идеальной феррогидродинамики с внутренним вращением.// III Всероссийская научная конференция «Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем», Сборник научных трудов, г. Ставрополь, 2011, С. 131-137.

6. Sokolov V. V., Fotov K. N., Eminov P.A. Poisson brackets method in ferrohydrodynamics.// 12 International Conference on Magnetic Fluids. Abstracts, Japan, 2010, P.302

7. Соколов В.В., Фотов К.Н. Скобка Березина-Кирилова-Константа феррогидродинамики с внутренним вращением.// III Всероссийская конференция по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники. Тезисы докладов, г. Москва,2012, C. 138-141.

Цитируемая литература:

1. Х. Ламб. Гидродинамика.// Л.: Гостехиздат, 1947, 928 с.

2. В.В. Лебедев, И.М. Халатников.// ЖЭТФ. 1978, Т. 75 № 6. С. 2312-2316

3. I. E. Dzyaloshinsky, G. E. Volovick.// Ann. Phys. 1980. V. 125. P. 67-97.

4. В.В. Лебедев, Е.И. Кац. Динамика жидких кристаллов.// M.: «Наука», 1988, 144 c.

 






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.