WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


На правах рукописи

Баланцев Илья Анатольевич

ДВИЖЕНИЕ НЕЙТРИНО И ЭЛЕКТРОНОВ В СРЕДЕ И МАГНИТНОМ ПОЛЕ В РАМКАХ МЕТОДА ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ

01.04.02 – теоретическая физика А в т о р е ф е р а т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2012

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный консультант: Доктор физико-математических наук, профессор А.И. Студеникин

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник отделения теоретической физики ФИРАН А.И. Никишов Кандидат физико-математических наук, научный сотрудник теоретического отдела ИЯИ РАН Г.И. Рубцов

Ведущая организация: Объединенный институт ядерных исследований, г. Дубна

Защита диссертации состоится 2012 года в часов на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 МГУ имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, ГСП-1, Ленинские Горы, МГУ, физический факультет, ауд..

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.002.10, доктор физико-математических наук Ю.В. Грац

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена изучению движения нейтрино и электронов в среде и магнитном поле в рамках метода точных решений.

Для описания движения нейтрино и электрона в среде и магнитном поле используется модифицированное уравнение Дирака, учитывающее взаимодействие пробной частицы с частицами среды и внешним полем. Структура уравнения зависит от состава среды и типа пробной частицы. В случаях неподвижной среды и безмассовой частицы найдены новые точные решения (спектры и волновые функции). В случае вращающейся среды и массивной частицы найдено приближенное решение, причем в качестве первого приближения использованы решения предыдущего случая.

В работе обсуждаются приложения полученных результатов в астрофизике. Изучен эффект удержания нейтрино в связанных состояниях при движении во вращающейся среде. Для заряженных частиц, движущихся в среде, найдены поправки к критическому значению напряженности поля (при превышении которого влияние последнего становится значительным), к силе Лоренца и к интенсивности излучения.

Также в работе выявлены некоторые закономерности, присущие задачам на собственные значения для гамильтонианов определенного типа. Эти закономерности развивают метод факторизации применительно к гамильтонианам Дирака в магнитном поле и при наличии материальной среды.



Актуальность темы исследования.

Физика нейтрино одно из самых динамично развивающихся направлений физики элементарных частиц. На настоящий момент известно множество происходящих в природе процессов с участием нейтрино. Свойства нейтрино, заслуживающие подробного изучения, проявляются в различных явлениях, например, спиновые и флейворные осцилляции. Каждый год в современной науке происходят продвижения в исследовании физики нейтрино. Очередным важным шагом в этом направлении стало точное измерение угла смешивания 13 матрицы Понтекорво-Маки-Накагавы-Сакаты, выполненное в экспериментах T2K, MINOS, Double Choose, Daya Bay и RENO.

Многочисленные нейтринные эксперименты, проведенные различными коллаборациями, убедительно свидетельствуют о существовании у нейтрино ненулевой массы. Этот факт ведет к необходимости выхода за рамки Стандартной модели электрослабых взаимодействий Вайнберга-СаламаГлешоу, что открывает возможность существования у нейтрино ненулевого аномального магнитного момента и миллизаряда.

С точки зрения современных развитых методов релятивистской квантовой теории, наличие у нейтрино массы и электромагнитных свойств приводит к новым задачам теории, предсказывающим эффекты, проявления которых (например, в астрофизике) могут стать предметом для новых экспериментальных исследований.

В основе техники, применяемой для описания процессов взаимодействия элементарных частиц в сильных внешних полях и плотных средах, лежит известная расчетная программа квантовой теории взаимодействующих полей. Влияние внешнего поля и среды учитывается использованием в операторных разложениях вместо волновых функций свободных частиц точных решений релятивистских волновых уравнений для этих частиц, помещенных во внешнее поле и среду. Метод точных решений позволяет учитывать присутствие внешних полей и среды точно, а поле излучения по теории возмущений. При этом напряженность внешнего поля и плотность среды могут быть предельно большими.

Отметим, что долгое время метод точных решений применялся только к расчетам процессов во внешнем электромагнитном поле. Лишь сравнительно недавно, начиная с развития квантовой теории спинового света нейтрино в среде (А.И. Студеникин, А.И. Тернов, 2004), метод точных решений стал использоваться для описания движения нейтрино и электрона в различных средах при наличии внешних электромагнитных полей, а затем было дано общее обоснование его применимости к указанному классу задач (А.И. Студеникин, 2006, 2008). Это делает актуальным поиск новых точных решений квантовых задач о движении нейтрино и электрона в среде и магнитном поле. Найденные новые точные решения могут быть применены для расчетов процессов взаимодействия частиц в среде и магнитном поле.

Это определяет ту роль, которую точные решения квантовых уравнений движения выполняют при построении эффективного инструмента для исследования различных явлений при взаимодействии частиц, имеющих место в физике высоких энергий. Они также применяются для решения частных задач движения элементарных частиц в электромагнитных полях, создаваемых в земных установках, а также в астрофизике и космологии.

Целью работы является поиск и исследование точных решений квантовых уравнений движения нейтрино и электрона в плотной среде и сильном электромагнитном поле различных конфигураций.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней впервые:

1) найдены точные решения задач для модифицированного уравнения Дирака о движении нейтрино во вращающейся среде и электрона в неподвижной среде и магнитном поле, а также задачи о движении миллизаряженного нейтрино во вращающейся среде и магнитном поле;





2) разработана универсальная схема для поиска решения указанных задач и им аналогичных, основанная на введении абстрактных операторов и установлении соотношений между ними, развивающая и дополняющая традионные методы решения, которые рассматривают уравнения Дирака как систему дифференциальных уравнений;

3) получены точные решения модифицированного уравнения Дирака в виде точных выражений для спектра и векторов состояний, а задачи, точное решение которых сопряжены со значительными трудностями и которые, в связи с этим, требуют отдельного глубокого исследования, предложено рассмотреть в некоторых приближениях, тем не менее, адекватных реальным астрофизическим условиям, отчего эти исследования не утрачивают своей значимости для приложений (условия применимости этих приближений и их физический смысл обоснованы соответствующими оценками);

4) на основе полученных решений и их анализа развито последовательное описание эффекта удержания низкоэнергетических нейтрино во вращающейся плотной среде и изучено изменение интенсивности электромагнитного излучения заряженными частицами, движущимися в среде;

5) предложено обобщение метода факторизации применительно к гамильтонианам Дирака в магнитном поле и материальной среде.

Практическая ценность диссертации определяется возможностью использования ее результатов при построении эффективного инструмента для исследования различных явлений при взаимодействии частиц, имеющих место в физике высоких энергий, для расчетов процессов взаимодействия частиц в среде и магнитном поле. Применение точных решений к исследованию взаимодействия частиц позволяет построить феноменологическое описание, предсказывающее эффекты, проявления которых (например, в астрофизике) могут стать предметом для новых экспериментальных исследований. Результаты работы могут также применяться для решения частных задач движения элементарных частиц в электромагнитных полях, создаваемых в земных установках, а также в астрофизике и космологии.

Апробация диссертации.

Основные результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались на следующих конференциях: XV международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых ”Ломоносов - 2008”, XXIst Rencontres de Blois ”Windows on the Universe” (Blois, France, 2009), Научная конференция ”Ломоносовские чтения” (2010), 16th International Seminar on High Energy Physics ”Quarks-2010”, XXIInd Rencontres de Blois ”Particle Physics and Cosmology: First Results from LHC” (Blois, France, 2010), th XXIV Rencontres de Blois ”Particle Physics and Cosmology” (Blois, France, 2012), 17th International Seminar on High Energy Physics ”Quarks-2012”, 25th International Conference in Neutrino Physics and Astrophysics Neutrino 20(Kyoto, Japan, 2012).

Публикации.

Основные результаты диссертации изложены в 7 опубликованных работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, трех приложений и списка цитируемой литературы, содержащего 106 наименований.

Общий объем 105 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Введение. Обсуждается история исследования нейтрино в контексте развития физики элементарных частиц. Как известно, наиболее значительной и плодотворной идеей в этой области стало предположение о ненулевой массе нейтрино, возникшее при рассмотрении проблемы осцилляций.

Это открывает возможность для существования у нейтрино ненулевого аномального магнитного момента и миллизаряда. С точки зрения современных развитых методов квантовой теории поля нетривиальные электромагнитные свойства нейтрино приводят к новым эффектам, проявления которых могут стать предметом для экспериментальных исследований. Также обсуждается роль точных решений квантовых уравнений, описывающих движение нейтрино при построении эффективных расчетных программ для исследования различных явлений при взаимодействии частиц, имеющих место в физике высоких энергий.

Глава 1. Методика исследования. В этой главе кратко описывается подход к квантованию уравнения Дирака с помощью повышающих и понижающих операторов и некоторые примеры его использования для решения конкретных задач, делается акцент на наиболее существенных деталях. Также обсуждается общая форма модифицированного уравнения Дирака для частиц в среде и магнитном поле, учитывающая взаимодействие пробной частицы с частицами среды. Для случаев движения нейтрино и электрона в среде приведена конкретная структура этого уравнения.

Глава 2. Движение нейтрино во вращающейся среде. Исследуется движение массивных нейтрино в среде с градиентом скорости и вращающейся среде. Модифицированное уравнение Дирака, описывающее это движение, имеет вид iµµ - µ(1 + 5)fµ - m (x) = с потенциалом материи fµ = -Gn(1, 0, x, 0) для случая среды с градиентом скорости и fµ = -Gn(1, -y, x, 0) для случая вращающейся среды.

GF Всюду в формулах G =, m масса нейтрино, n концентрация частиц среды, угловая скорость вращения среды. Используя для матриц Дирака киральное представление эта задача эквивалентно переписывается в виде it| = |, где -(p - f) - Gn m = m p В пределе пренебрежимо малой массы нейтрино можно найти собственные значения и собственные векторы этого гамильтониана и дать им физическую интерпретацию. Предел m = 0 разумно применять в случае, когда взаимодействие нейтрино со средой преобладает над действием массового слагаемого в модифицированном уравнении Дирака. Именно, Gn m.

Если положить n = 1040 см-3, то Gn = 640 эВ m.

В этом приближении найдено выражение для спектра p0 = -Gn + m2 + p2 + kGnN, N = 0, 1, 2,..., 2, для среды с градиентом скорости, k = 4, для вращающейся среды.

Состояния нейтрино классифицированы на левые, связанные с материей, и правые, свободные. Полученные результаты для случая среды с градиентом скорости согласуются с известными из литературы.

Найденные соотношения применены к численной оценке эффекта удержания нейтрино в связанном состоянии внутри вращающейся нейтронной звезды. В квазиклассическом случае (а именно он и реализуется) эти состояния можно представлять себе как движение по замкнутым круговым N орбитам, расположенным внутри звезды. Радиус этих орбит R =.

Gn Чтобы оценить характерные величины, рассмотрена модель вращающейся нейтронной звезды радиуса RNS = 10 км, плотности n = 1040 см-3 и угловой скорости = 2 103 с-1. Для этого набора параметров радиус орбит будет меньше типичного радиуса звезды RNS, если квантовое число N Nmax = 1012. Данные результаты находятся в согласии с имеющимися в литературе оценками эффекта удержания нейтрино во вращающихся нейтронных звездах, полученными с использованием модели среды, движущейся с градиентом скорости. Дополнительно показано, что исследуемое движение частиц удовлетворяет соответствующему условию квазиклассичности.

Глава 3. Движение миллизаряженного нейтрино во вращающейся среде. Рассмотрена задача о миллизаряженном нейтрино, помещенном во вращающуюся среду и сильное магнитное поле. Известно, что требование квантования заряда может исчезать из расширений Стандартной модели электрослабых взаимодействий, включающих явную U(1) симметрию, в которых нейтрино может быть миллизаряженной частицей. Современное наиболее строгое экспериментальное ограничение на электрический заряд нейтрино, полученное из закона сохранения в бета-распаде нейтрона, составляет оценку q 10-21e0. Если нейтрино движется в толще вещества достаточно высокой плотности (n 1040 см-3) при наличии сильного магнитного поля (B 1012 Гс) с достаточно высоким энергетическим квантовым числом (N 1010) (возможен переход к квазиклассическому описанию), то эти факторы будут оказывать на движение частицы влияние большее, чем масса, именно: qBN m2, Gn m. В этом приближении решено модифицированное уравнение Дирака {µ(pµ - qAµ) - µ(1 + 5)fµ} = 0.

В этом уравнении учитывается взаимодействие миллизаряженного нейтрино с частицами среды лишь посредством нейтральных токов. Считается, что частицы среды и W -бозоны не обладают миллизарядом, с которым мог бы взаимодействовать миллизаряд нейтрино.

Потенциалы и гамильтониан имеют вид yB xB Aµ = (0, -,, 0), fµ = -Gn(1, -y, x, 0), 2 -(p - qA + f) - Gn = 0 (p - qA) Из структуры гамильтониана следует, что имеются два собственных состояния:

1e-il i2e-i(l-1) 0 3 0 l = e-ip teip z, r = e-ip teip z.

0 3e-il 0 i4e-i(l-1) Для компонент i получены системы уравнений + -p3 - Gn -RB, 1 = p0, RB, p3 - Gn 2 + p3 RB 3 = p0, -RB -p3 4 где введены повышающие и понижающие операторы d l - 1 qB + RB, = - - ( - Gn)r, dr r d l qB RB, = + + ( - Gn)r, dr r d l - 1 qB + RB = - - r, dr r d l qB RB = + + r.

dr r В результате решения задачи получены выражения для спектра левых и правых нейтрино:

pl = -Gn + p2 + |2qB - 4Gn|N, 0 pr = p2 + 2qBN, 0 где N = 0, 1, 2,..., = ±1. Непосредственно из вида спектра следует, что 1) при выполнении условия qB = Gn правые нейтрино удерживаются в веществе так же эффективно, как и левые;

2) при выполнении условия qB = 2Gn левые нейтрино становятся стерильными, а правые – связанными с материей.

Для волновых функций получены точные выражения:

p 1 - Ll (q B - Gn)r2 e-il s p0+Gn 0 l = e-ip teip z pi 1 + Ll-1 (q B - Gn)r2 e-i(l-1) s p0+Gn p3 1 + Ll (q Br2)e-il p0 s 0 r = e-ip teip z pi - 1 - Ll-1(q Br2)e-i(l-1) p0 s На основе выражений для спектра найдена поправка к критическому полю нейтрино, рождающегося в процессе распада нейтрона, в случае малых плотностей имеющая вид 2Gn Bc = +.

q 2q Показано, что со стороны магнитного поля и среды на нейтрино действует эффективная сила Feff = (-qB + 2Gn)r, где 2Gn2r играет роль силы инерции, выталкивающая частицу с орбиты, 2Gn – эффективная инертная масса.

Для излучения миллизаряженного нейтрино получена формула dE 2 q2 (qB - 2Gn)=.

dt 3 m2 1 - Дополнительными оценками показано, что в реальных астрофизических условиях (например, нейтронных звездах) действие среды может быть соизмеримо с действием магнитного поля, Gn qB, и приводить к существенному изменению интенсивности излучения.

Глава 4. Движение электрона в среде и магнитном поле. Исследована задача о распространении электрона в среде и магнитном поле.

Найдено точное решение модифицированного уравнения Дирака µ(pµ + e0Aµ) + µ(1 - 4 sin2 W + 5)fµ - m | = 0, где fµ эффективный потенциал электронов в среде, m масса электрона, e0 - модуль заряда электрона, W угол Вайнберга. Потенциалы имеют вид Aµ = (0, A) = (0, 0, xB, 0), fµ = -Gn(1, 0, 0, 0).

В качестве спинового оператора выбран оператор продольной поляризации 0 1 T = (p + e0A). Точное выражение для спектра имеет вид m Gn Gn p0 = - 2Gn sin2 W + (mT - )2 + m2, 2 0 s где = ±1 – "знак" энергии, T = p2 + 2e0BN, s = ±1 cобственные m значения спинового оператора. Важно отметить, что в полученном спектре отсутствует вырождение по спиновому квантовому числу, которое имеет место для уровней электрона, помещенного в магнитное поле (уровней Ландау). Это связано с нарушением четности в слабых взаимодействиях электрона с частицами среды.

Из найденного спектра следует соотношение Gn Gn (p0 - + 2Gn sin2 W )2 = (mT - )2 + m2, 2 Gn которое при исчезающе малой плотности (то есть при 1) переходит m в известную формулу Эйнштейна p2 = p2 + m2.

Для вектора состояния получено выражение C1|N - iC2|N |N = e-ip t|p2 |p3, C3|N - 1 iC4|N где использованы векторы состояния одномерного гармонического осциллятора с положением равновесия, сдвинутым относительно нуля. Спиновые коэффициенты имеют вид m p3 s m pC1 = 1 + 1 +, C2 = 1 + 1 -, Gn 0 Gn 2 mT 2 mT p0 - p0 2 m p3 s m pC3 = 1 - 1 +, C4 = 1 - 1 -.

Gn 0 Gn 2 mT 2 mT p0 - p0 2 Эти формулы дают точное решение задачи о движении электрона в среде и магнитном поле. Как и в вакуумном случае частица в нулевом состоянии левополяризована. Правополяризованного нулевого состояния не существует. Показано, что в случае n = 0 эти формулы сводятся к известному решению задачи для электрона в постоянном магнитном поле.

В отдельном разделе выполнен предельный переход к случаю B и получены известные из литературы формулы, описывающие свободное движение электрона в неподвижной среде.

В качестве дальнейщего развития полученных результатов на основе найденного спектра построена классическая функция Лагранжа, описывающая электрон в среде и магнитном поле Gn L = -m 1 - v2 + q(vA) + s v.

Соответствующее уравнение Лагранжа m Gn ( + s )v = q[v H] 1 - v2 2v описывает частицу, движущуюся по окружности (в случае vz = 0) c раGn P+s mv диусом R =, где P =. Интенсивность излучения при этом qH 1-vсоставляет dE 2q2 a2 2 q4H2 v= =.

dt 3 (1 - v2)2 3 ((P + sGn)2 - v2)Сравнивая с интенсивностью излучения в вакууме, находим, dE 1 Gn Gn dt = = 1 - s + O ( )2.

dE P P |n=0 (1 + sGn)dt 2P Если, например, положить для плотности вещества n = 1043 см-3 = 7.72 · 1028 эВ3, v 1, то окажется, что Gn Gn 1, .

m P v Таким образом, действие среды может существенно влиять на интенсивность синхротронного излучения, происходящего от ускоренно движущейся элементраной частицы. При движении в среде с медленно вдоль траектории меняющейся плотностью при прочих равных условиях это проявляется в монотонном изменении интенсивности синхротронного излучения. При этом играет роль поляризация частицы. Эффект усиления интенсивности достигается лишь при ориентации спина, противоположной направлению движения. В ином случае интенсивность ослабляется.

Важно отметить, что полученное точное решение для квантового состояния электрона в среде и магнитном поле может быть также использовано как первое приближение для описания движущихся частиц во внешней среде более сложной конфигурации. В качестве примера рассмотрена проблема движения электрона в среде с градиентом скорости и магнитном поле. Эта задача интересна с точки зрения различных астрофизических приложений.

Если эффект, связанный с угловой скоростью , мал по сравнению с действием магнитного поля, то можно вычислить поправку к спектру, исGn пользуя теорию возмущений с малым параметром 1. Проведенные e0B оценки показывают, что для нейтронных звезд Gn = 10-20 1.

e0B Поэтому оправдано использование спектра и найденного выше состояния (не учитывающего вращение) в качестве низшего порядка ряда теории возмущений для поиска на этой основе следующих поправок. Окончательная формула для спектра имеет вид pN p0 + 2s sin2 W 2e0BN.

N Полученный сдвиг уровней энергии, зависящий от энергетического квантового числа N = 0, 1, 2... приводит к соответствующему сдвигу в частоте синхротронного излучения электрона, движущегося внутри плотной среды с градиентом скорости.

Глава 5. Некоторые спектральные задачи для систем Дирака и Максвелла. Рассматривается общая проблема поиска собственных значений и собственных векторов квантовых задач, гамильтониан которых обладает заданной общей структурой. Обсуждается метод решения краевых задач для систем Дирака и Максвелла в слабой постановке с использованием специально определенных фукнциональных пространств. Показано, как задача дифракции электромагнитных волн в конусе может быть сведена к фредгольмово разрешимой.

Широкий класс задач, возникающих в нерелятивистской квантовой механике, допускает применение метода факторизации, предложенного Л. Инфельдом и Т. Халлом. В работе предложено обобщение этого метода для определенного класса гамильтонианов Дирака, который включает все рассмотренные в работе задачи, имеющие точные решения. Эти общие закономерности сформулированы в виде отдельного утверждения.

Заключение. Перечислены полученные результаты и кратко сформулированы основные выводы диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ 1. Найдены точное решение задачи для модифицированного уравнения Дирака, описывающего движение нейтрино во вращающейся среде, задачи о движении миллизаряженного нейтрино во вращающейся среде и магнитном поле, а также задачи об электроне в неподвижной среде и магнитном поле. Получены точные выражения для спектра и волновых функций. Для задачи об электроне выполнен переход к случаю B = 0 и получены формулы, описывающие свободное движение электрона в неподвижной среде, совпадающие с известными из литературы.

2. Разработана универсальная схема для поиска решений указанных задач и им аналогичных, основанная на введении абстрактных операторов и установлении соотношений между ними, развивающая и дополняющая традионные методы, которые рассматривают уравнение Дирака как систему дифференциальных уравнений.

3. На основе полученных точных решений с использованием теории возмущений исследованы задачи о движении массивных частиц (нейтрино и электронов) во вращающейся среде. Показано, что параметры применимости полученных таким способом результатов соответствуют реальным астрофизическим условиям.

4. На основе полученного решения для волновой функции нейтрино, движущегося во вращающейся среде, проведена реалистическая оценка характерного радиуса орбит движения нейтрино внутри вращающейся нейтронной звезды и рассмотрены ограничения на энергию удерживаемых нейтрино.

5. Исследовано влияние среды на силу Лоренца, удерживающую миллизаряженные нейтрино на замкнутой орбите, и на интенсивность излучения.

6. С использованием процедуры предельного перехода построена классическая функция Лагранжа, описывающая движение электрона в среде и магнитном поле. Выведена формула для полной интенсивности излучения заряженной частицы в среде. Приближенно по теории возмущений учтено вращение среды и получена соответствующая поправка для спектра, а также формула для расщепления энергетических уровней электрона в среде под действием вращения.

7. Предложено обобщение метода факторизации применительно к гамильтонианам Дирака в магнитном поле и материальной среде. Эти общие закономерности сформулированы в виде отдельного утверждения.

Основное содержание диссертации и результаты выполненных исследований опубликованы в следующих работах.

1. Баланцев И.А., Делицын А.Л. Векторные функциональные пространства, связанные с задачей электромагнитной дифракции в конусе, и их свойства // Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика.

Астрономия. 2009. Т. 64. № 3. С. 23-28.

2. Balantsev I., Popov Yu., Studenikin A. Neutrino magnetic moment and neutrino energy quantization in rotating media // IL Nuovo Cimento.

2009. Vol. 32 C. № 5-6. Pp. 53-61.

3. Balantsev I., Studenikin A. Electrically Millicharged Neutrino in Media // Nucl. Phys. B Proc. Supp. in Proc. of XXIV Int. Conference in Neutrino Physics and Astrophysics, Athens, June 14-19, 2010 (Preprint hep-ph/1012.3653).

4. Balantsev I., Popov Yu., Studenikin A. On the problem of relativistic particles motion in strong magnetic field and dense matter // J. of Phys.

A. 2011. Vol. 44. P. 255301.

5. Баланцев И.А. О задаче электромагнитной дифракции в конусе // XV международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов - 2008". Секция Физики. Подсекция Математики.

/ Материалы докладов. М.: Издательство МГУ, 2008. С. 2.

6. Balantsev I., Popov Yu., Studenikin A. Квантование энергии во вращающейся среде // Научная конференция "Ломоносовские чтения".

Секция Физики. / Сборник тезисов докладов. М.: Физический факультет МГУ, 2010. С. 117-119.

7. Balantsev I., Studenikin A. Electromagnetic properties of neutrino and millicharged neutrino in media // Proc. XXIInd Rencontres de Blois, 2010. Pp. 207-210.






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.