WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

В.И. БОДРОВ, Т.Я. ЛАЗАРЕВА, Ю.Ф. МАРТЕМЬЯНОВ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ ПРИ ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ Издательство ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации Тамбовский

государственный технический университет В.И. БОДРОВ, Т.Я. ЛАЗАРЕВА, Ю.Ф. МАРТЕМЬЯНОВ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ ПРИ ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ Утверждено Ученым советом университета в качестве учебного пособия Тамбов Издательство ТГТУ 2004 УДК 519.7(075) ББК В183я73 Б75 Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор Ю.В. Литовка Доктор физико-математических наук, профессор С.М. Дзюба Бодров В.И., Лазарева Т.Я., Мартемьянов Ю.Ф.

Б75 Методы исследования операций при принятии решений: Учебное пособие. Тамбов: Изд-во Тамб.

гос. техн. ун-та, 2004. 160 с.

Изложены такие методы исследования операций, как графы, сети, теория расписания, теория массового обслуживания, управление запасами, используемые при принятии решений экономического плана.

Учебное пособие предназначено для студентов 4 курса дневного отделения специальности 351400 "Прикладная информатика (в экономике)".

УДК 519.7(075) ББК В183я ISBN 5-8265-0259- © Бодров В.И., Лазарева Т.Я., Мартемьянов Ю.Ф., © Тамбовский государственный технический университет (ТГТУ), Учебное издание БОДРОВ Виталий Иванович, ЛАЗАРЕВА Татьяна Яковлевна, МАРТЕМЬЯНОВ Юрий Федорович МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ ПРИ ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ Учебное пособие Редактор Т.М. Глинкина Компьютерное макетирование Е.В. Кораблевой Подписано в печать 30.12. Формат 60 84 / 16. Бумага офсетная. Печать офсетная Гарнитура Тimes New Roman. Объем: 9,30 усл. печ. л.;

9,20 уч.-изд. л.

Тираж 100 экз. С. Издательско-полиграфический центр Тамбовского государственного технического университета, 392000, Тамбов, Советская, 106, к. ВВЕДЕНИЕ Целью преподавания курса "Теория принятия решений" при подготовке экономистов по специ альности 351400 "Прикладная информатика (в экономике)" является формирование у студентов знаний о математических основах принятия решения, умения применять эти знания при решении конкретных задач. Количественная оценка принятого решения может производиться различными методами, среди которых выделяются методы исследования операций. В учебном пособие рассмат риваются такие методы, как графы, сети, теория расписаний, теория массового обслуживания, управление запасами, наиболее часто используемые при принятии технико-экономических реше ний.

Материал курса может быть использован студентами при выполнении курсовых работ по спе циальности, а также при выполнении квалификационной работы по специальности.

Учебное пособие полностью отражает читаемый курс.

ТЕОРИЯ ГРАФОВ Для решения многих задач, в частности, задач теории расписаний, сетевых задач, задач поиска ре шений в пространстве состояний, теории игр и других используется теория графов.

Основные понятия теории графов Графом называется особого типа схема. Эта схема состоит из кружков (или точек), некоторые из ко торых соединены линиями и имеют определенный физический смысл.

Кружки называются вершинами графа, соединительные линии – ребрами графа или дугами графа.

На рис. 1.1 изображен пример плоского графа.

Вершины графа представляют собой: объект, событие, состояние.

Термин "объект" очень широкий и не требует особых уточнений: это может быть город, станок, че ловек и т.д. в различных задачах.

Событие – это то, что произошло с некоторыми объектами, например: покупка елки, покупка креста для елки, установка елки и т.д.

Состояние – это некоторый набор признаков (например, список параметров), которые характеризу ют объект и позволяют судить о его дальнейшем поведении.

Ребро графа может обозначать:

- возможность перехода от одного объекта к другому, возможность того, что за одним объектом может следовать другой;

- возможность поступления одного события после наступления предыдущего, возможность того, что одно событие последует за другим;

- возможность того, что за некоторым состоянием последует другое состояние, что данное состоя ние перейдет в другое.

Ребро графа может оканчиваться стрелкой односторонней (рис. 1.2, а), двусторонней (рис. 1.2, б) или вообще быть без стрелок (рис. 1.2, в).

2 Рис. 1.1 Плоский граф а б а) а б б а б) в) Рис. 1.2 Ребро графа:

а – с односторонней стрелкой;

б – с двухсторонней стрелкой;

в – без стрелок Односторонняя стрелка (рис. 1.2, а) обозначает, что из состояния "а" можно перейти в состояние "б", обратный же переход невозможен. Двухсторонняя стрелка (рис. 1.2, б) обозначает, что возможен переход из "а" в "б" и из "б" в "а".

Если на ребре стрелок нет (рис. 1.2, в), то это обычно означает взаимный переход, если по дого воренности или из контекста не следует, что этот переход однонаправленный.

На ребре иногда указывается стоимость перехода из одного состояния в другое (рис. 1.3), причем переход из "а" в "б" может иметь одну цену, а из "б" в "а" другую. Например, изготовление на одном и том же оборудовании черной краски после белой требует небольших затрат на очистку оборудования, переход же от черной краски к изготовлению белой требует больших затрат.

Ситуация, изображенная на рис. 1.4 показывает, что из состояния "а" можно перейти либо в состоя ние "б", либо в состояние "в", либо в состояние "г".

В этом случае появляется понятие выбора перехода. Сделав выбор, переходят из состояния "а" в со ответствующее возможное состояние. Переход может осуществляться автоматически (в том числе управляющим устройством) с применением некоторого алгоритма выбора перехода.

С а б С а) а б С а б б) С в) Рис. 1.3 Стоимость перехода:

а – из "а" в "б" со стоимостью С1;

б – из "а" в "б" и из "б" в "а" с одной стоимостью;

в – из "а" в "б" и из "б" в "а" с разными стоимостями б а в г Рис. 1.4 Переходы из состояния "а" Пусть из некоторого состояния "а" (рис. 1.5) в результате применения алгоритма система перешла в состояние "б", затем в "в" и наконец в "г".

Последовательность обхода вершин "а-б-в-г" вместе с соответствующими ребрами называется пу тем "а-б-в-г".

Если существует путь из вершины "а" в вершину "г", то говорят, что "г" достижима из вершины "а". Если такого пути нет, то вершина "г" не достижима из вершина "а".

в а б г Рис. 1.5 Путь на графе а) б) Рис. 1.6 Подграфы:

а – связанные;

б – изолированные Если между вершинами "а" и "б" существует путь, говорят, что эти вершины связаны.

Часть графа называется подграфом. Если хотя бы одна вершина подграфа А связана с вершиной подграфа В, то говорят, что эти подграфы связаны (рис. 1.6, а). Если же ни одна вершина подграфа А не связана ни с одной вершиной подграфа В, то говорят, что эти подграфы изолированы (рис. 1.6, б).

Пути графа классифицируют, на рис. 1.7 представлена классификация этих путей.

Пути делятся на цепи и не цепи.

Цепь (рис. 1.8) отличается тем, что в ней нет общих ребер. Так, "а-б-в-г-д-в-б-е" (рис. 1.8, б) не яв ляется цепью, так как ребро s между "б" и "в" проходится дважды.

Путь "а-б-в-г-д-в-с" (рис. 1.8, а) является цепью.

ПУТЬ ЦЕПЬ НЕ ЦЕПЬ (путь) ЦИКЛ () ПРОСТОЙ ДУГА ЦИКЛ Рис. 1.7 Классификация путей s а б а б в в е е г д д г а) б) Рис. 1.8 Типы путей:

а – "а-б-в-г-д-в-е" – путь;

б – "а-б-в-г-д-в-б-е" – не цепь б б в а а в г д г д а) б) Рис. 1.9 Циклы:

а – простой;

б – сложный Цепи делятся на циклы и не циклы. Циклы – это замкнутые цепи, т.е. цепи, в которых одна и та же вершина является началом и концом пути. При этом цикл называется простым (рис. 1.9, а), если каждая вершина проходит только один раз.

Цикл "а-б-в-г-д-в-а" (рис. 1.9, а) является сложным, так как вершина "в" проходится два раза. Цикл "а-б-в-г-д-а" (рис. 1.9, б) – простой.

Цепи, не являющиеся циклическими, делятся на дуги и не дуги.

Цепь, не являющаяся циклом, называется дугой, если ни одна вершина в ней не проходится дважды.

Так, на рис. 1.10, а цепь "а-б-в-г-б-д" не является дугой, так как вершина "б" проходится дважды, цепь "а-б-в-г-д" (рис. 1.10, б) является дугой.

д д б в а в а б г г а) б) Рис. 1.10 Виды цепей:

а – не дуга;

б – дуга а б д с Рис. 1.11 Дерево Деревом называется связанный граф, такой, что все возможные пути в нем являются дугами, т.е.

не содержат циклов и не проходят ни одной вершины более одного раза (рис. 1.11).

Начальная точка "0" (рис. 1.11) называется корнем дерева, отходящие от нее ребра "0а", "0б", "0с", "0д" отделяют изолированные подграфы, похожие на ветви дерева. Именно из-за этого сходства такой граф получил название дерева.

Дерево – это наиболее простой вид графа, легко поддающийся исследованию. Исследование других бо лее сложных графов сводится некоторым усложненным алгоритмом к исследованию соответствующего де рева.

Корень дерева называется вершиной нулевого уровня. Вершины, в которые можно перейти из корня (вершины "а", "b", "с" на рис. 1.12) 0 уровень 1 уровень a b c 2 уровень d e f q h j 3 уровень k l m n p r s t Рис. 1.12 Вершины разных уровней а б г в Рис. 1.13 Отношение между вершинами называются вершинами первого уровня. Вершины, в которые можно попасть за один переход, называ ются вершинами второго уровня. Вершинами n-го уровня называются вершины, в которые можно по пасть за один переход из вершины n – 1-го уровня.

Если из вершины "а" (n – 1)-го уровня следуют вершины "б", "в", "г" следующего n-го уровня (рис.

1.13), то вершина "а" называется материнской, вершины "б", "в", "г" называются дочерними. Также вершина "а" называется "предком", а вершины "б", "в", "г" – потомками.

Вершины, из которых не выходят ребра, называются конечными вершинами. Конечных вершин может быть много.

Начальных вершин (корней) также может быть много. В случае дерева каждая начальная верши на (корень) выделяет изолированное дерево, так как у дерева в отличие от произвольного графа от сутствуют циклы.

Поиск решений в пространстве состояний Первоначально следует рассмотреть состояние системы в виде дерева.

Деревья в пространстве состояния могут быть заданы в эксплицидной и имплицидной форме.

Дерево, заданное в эксплицидной форме, представляет собой граф с полным обозначением всех вершин (состояний) и всех ребер перехода от одного состояния к другому. Если такой граф задан, лю бое решение очевидно – его можно показать на графе. Но к сожалению такой граф можно построить лишь для очень простых задач, т.е. задач с очень малым числом состояний.

Если представить, что состояние – это список букв и знаков русского алфавита, то корневой верши ной будет вершина, состояние которой "а". Эта вершина в качестве дочерних имеет вершины, в которых состояниями будут две буквы аа, аб, ав,..., ая, а также буква а и знаки – а, а,, а!, а? и т.п.

Каждая из этих вершин имеет столько же дочерних. Этот гигантский бесконечный граф в качестве вершин где-то имеет набор – "Анна Каренина", "Преступление и наказание", другая вершина – это поч ти "Анна Каренина", отличающаяся, может быть, строкой, или буквой, или ошибкой. Все в этом графе гениально, в нем еще не написанные рассказы, все мудрые мысли прошлых и будущих мыслителей, теоремы и их доказательства, изобретения будущих тысячелетий.

Однако, такой граф нельзя построить в явном виде. Обычно дерево состояния строят в имплицид ной форме.

Дерево в имплицидной форме считается заданным, если а) определено понятие состояния (форма лизованы обозначение каждого состояния);

б) задано начальное состояние;

в) задан оператор, перево дящий одно состояние в дочернее.

Этот оператор обозначается F(an-1 an), а R(an) – оператор раскрытия вершин, под которым пони мают построение всех дочерних вершин для вершины an.

Имея оператор R(an), можно, последовательно применяя его к вершинам, из имплицидного дерева получить эксплицидное на любую глубину. Применяя последовательно оператор R(an) к оператору F(an-1 an), формируют одну за другой дочерние вершины для материнской вершины an. При этом опе ратор F(an-1 an) формирует новое состояние an+1 следующим образом:

а) либо применяя правила переписывания строк, определяющие состояние, например, последова тельную запись расположения фигур на шахматной доске Kpq1, Фf3, ЛФ1 и т.д. Эти правила иногда на зываются продукциями;

б) в виде таблицы, в которой заданы вершины, дочерние вершины, стоимость всех связывающих их ребер;

в) с применением оператора (вычислительной процедуры), который определяет (вычисляет) все па раметры дочерних вершин, описывающие их состояние, рассчитывает стоимости соединяющих их ре бер. В этом случае говорят, что граф задан алгоритмически (неявно), причем вычисления могут быть очень сложными.

При формулировке задачи принятия решения необходимо формализовать конечное (целевое) со стояние. Например, при игре в шахматы конечным желаемым состоянием является состояние мата ко ролю соперника.

В этом случае простейшая задача оптимизации (принятия решения) на графе состояний заключает ся в нахождении пути (последовательности состояний) из начального состояния в целевое, при котором целевая функция принимает минимальное (максимальное) значение.

В качестве целевой функции может выступать число пройденных вершин (это часто тождественно вре мени решения) или затраты (прибыль), которые на каждом этапе характеризуются стоимостью ребер, соединяющих вершины на выбранном пути.

Если конечных состояний много, то необходимо найти такое конечное состояние и такой путь из начального состояния в конечное, при котором целевая функция будет минимальна.

Если и начальных состояний много, то необходимо найти такое начальное и такое конечное состоя ние и такой соединяющий их путь, при котором целевая функция примет минимальное значение.

Методы поиска оптимальных решений в пространстве состояний Пусть оператор R(a) задан, этот оператор строит все вершины a, дочерние вершине а, и устанавли вает у каждой из них указатель (стрелку) на ту вершину, которая является материнской. Это позволяет найти путь от любой раскрытой вершины к корню дерева, переходя по стрелке последовательно к мате ринским вершинам.

Ниже рассматриваются различные методы поиска оптимального пути на графе. При этом рассмат риваются деревья, как более простые графы. Все методы поиска на деревьях отличаются правилами вы бора вершины, подлежащей раскрытию в первую очередь.

МЕТОДЫ СЛЕПОГО ПОИСКА К методам слепого поиска относятся методы, которые принимают решение о раскрытии очередной вершины по тому результату, который уже достигнут, не принимая во внимание (не прогнозируя), ка кой успех ожидается при дальнейшем движении по тому или иному пути.

К методам слепого поиска относятся:

- метод полного перебора (перебора в ширину);

- метод перебора в глубину;

- метод равных цен.

Применение перечисленных методов удобно рассмотреть на примере решения задачи коммивояже ра, граф которой изображен на рис. 1.14.

Рис. 1.14 Граф задачи коммивояжера Коммивояжеру требуется последовательно обойти все города, начиная с первого, и снова вер нуться в него. При этом стоимость пути должна быть минимальной. Стоимость пути из города в го род (из вершины в вершину) указана на ребрах графа (рис. 1.14), причем стоимость на прямом и об ратном пути может быть различной.

Стоимость дорог для разных направлений приведена в табл. 1.1.

1.1 Стоимость дорог Города 1 2 3 1 0 2 15 2 1 0 5 3 6 2 0 4 2 8 3 МЕТОД ПЕРЕБОРА В ШИРИНУ (ПОЛНОГО ПЕРЕБОРА) В данном методе вершины раскрываются в том порядке, в котором они появляются, т.е. первой рас крывается вершина, которая первой и появляется. Другими словами, в этом методе вершины раскрыва ются слоями: сначала вершины первого уровня, затем второго и т.д.

Вершиной первого уровня будет корень дерева, соответствующий стартовому городу 1.

Далее необходимо формализовать состояние списка городов, которые коммивояжер уже прошел. Эти состояния в рамках стоят рядом с соответствующей вершиной. Первому городу соответствует состояние.

Вершина раскрывается, появляются вершины второго уровня (рис. 1.15), соответствующие горо дам 2, 3, 4, в которые имеет право направиться коммивояжер. Соответствующие состояния дочерних вершин будут 13 14,.. Эти состояния представляют собой, список уже пройденных городов.

Затем применяется оператор раскрытия к вершинам второго уровня. При этом учитывается, что из вершины "а" коммивояжер может направиться только в города 3 и 4, в город 1 возвращаться рано, так как коммивояжер не прошел еще всех городов. Применяя этот алгоритм, можно построить весь путь, т.е. перевести имплицидное задание дерева в эксплицидное.

При раскрытии вершин 4-го уровня алгоритм отправляет коммивояжера назад в город 1, так как все города пройдены.

Для каждого пути внизу проставлена суммарная цена пути, равная сумме цен соответствующего перехода. Как видно из рис. 1.15, оптимальным маршрутом является путь 1-4-3-2-1. Потери на этом пути Уровень 2 13 3 14 8 124 134 6 8 2 123 5 132 7 142 8 3 2 1234 1324 11 1243 12 14 1432 2 6 6 13421 17 19 27 12431 13421 18 15 Рис. 1.15 Метод перебора в ширину минимальны и соответствуют 9 единицам. Всего было построено 22 вершины, из которых раскрыто 16.

Задача коммивояжера не относится лишь только к путешественникам, это модель весьма широкого класса задач. Например, задачи последовательной обработки деталей, обрабатывающихся на разных станках в произвольном порядке;

производство красителей на одном и том же оборудовании, когда очи стка оборудования от черного цвета для производства белого очень дорогостояща и длительна, а произ водство черного после белого не требует очистки вовсе. То же относится и к пластмассовым изделиям (пленки разной толщины, технические и пищевые, разной окраски) и ко многим другим задачам. На рис. 1.16 представлена блок-схема алгоритма поиска методом перебора вершин. Этот алгоритм работает со списком вершин "о" и "з".

В список "о" помещаются нераскрытые дочерние вершины, перед раскрытием эти вершины пере мещаются в список "з", т.е. вычеркиваются из списка "о" и вносятся в список "з". Всякий раз в список "о" помещается и список "з", а вершины перемещаются вместе с соответствующими указателями на ма теринскую вершину. Метод поиска вширь всегда находит глобальный экстремум, так как он строит полный эксплицидный граф, т.е. находит стоимостную оценку всех возможных путей. Это дает воз можность выбрать среди них наилучший.

1.3.3 МЕТОД ПЕРЕБОРА В ГЛУБИНУ Согласно этому методу прежде всего раскрывается та вершина, которая имеет наибольший уровень (наибольшую глубину).

Наибольшую глубину имеет вершина, которая построена последней. Таким образом, раскрыва ется прежде всего вершина, построенная последней (рис. 1.17).

На рис. 1.18 изображена последовательность раскрытия вершин методом перебора вглубь. В верх ней части вершины цифра обозначает порядок раскрытия вершины. В центре кружка указывается уро вень (глубина) вершины. Алгоритм (рис. 1.17) раскрывает первой вершину самого большого уровня.

Вначале раскрывается а0 (рис. 1.18), соответствующая городу 1. После ее раскрытия в списке "о" образуются три дочерние вершины 12,,14.

После раскрытия одной из них, в частности (рис. 1.17), образуются две вершины третьего уровня 123 и, которые согласно алгоритму (рис. 1.17) раскрываются первыми. Таким образом, выявлен пер вый путь 1-2-3-4-1 и его стоимость С = 11.

Теперь раскрываются оставшиеся вершины, причем на любом пути раскрытие будет прекращено, если затраты на нем превысят или будут равны 11.

Путь 1-2-3-4 обрывается, так как затраты равны 14. Путь 1-3 обрывается сразу, поскольку затраты при переходе из города 1 в город 2 превышают 11 и равны 15 и т.д. Обрыв пути на рис. 1.18 обозначен знаком "х".

Поместить начальную вершину а0 в "о" Определяют Да стоимость пути Список "о" нет Первую вершину из "о" переместить в список "з", назвав ее аn стоп Да аn – конечная?

7 нет Раскрыть аn. Установить указатели (стрелки) от Рис. 1.16 Алгоритм полного перебора (перебора в ширину) 1 Поместить начальную вершину а0 в "о", С = Да Список "о" нет 5 Восcтановить путь по стрелке Оптимальный путь с минимальным С Первую вершину найден из списка "о" переместить в список "з".

Назвать ее аn стоп Да аn – конечная?

нет Стоимость нет (an) < С Да Раскрыть аn. Установить указатели (стрелки) от дочерних вершин к аn, "" Рис. 1.17 Алгоритм перебора вглубь Рассмотренный алгоритм значительно эффективнее метода перебора вширь. Действительно для нахож дения оптимального пути 1-4-3-2-1 потребовалось раскрыть всего 8 вершин, построить же 13 вершин.

В этом алгоритме движение идет вдоль одного пути до конечной вершины, определяется стоимость этого пути. Затем раскрываются другие пути. При этом движение вдоль следующего пути ведется до тех пор, пока накопленные затраты не превысят уже достигнутых.

Для того, чтобы предотвратить слишком длительное движение вглубь в то время, как путь может оказаться неперспективным, данный алгоритм дополняется некоторой предельной глубиной пр.

уровень 12 13 2 6 2 8 142 3 3 8 4 5 С = 11 С = Рис. 1.18 Метод перебора в глубину Движение вдоль пути прекращается, если глубина достигла пр. После этого раскрывается самая глубокая вершина при условии, что ее глубина не превышает пр.

После того, как все пути достигли глубины пр, кроме тех, которые были оборваны, глубина увели чивается и поиск продолжается до достижения большей глубины или конечного состояния.

1.3.4 МЕТОД РАВНЫХ ЦЕН Метод равных цен заключается в том, что каждой вершине ставится в соответствие стоимость пути от начальной вершины до рассматриваемой. При этом начальной вершине ставится в соответствие стои мость нуль.

Алгоритм (рис. 1.19) раскрывает ту вершину, стоимость пути для которой минимальна.

Как и раньше, блок 8 проверяет, не превышают ли уже достигнутые на новом пути затраты (аn) до вершины an стоимости М ранее построенного до конечной вершины пути.

Работа алгоритма равных цен проиллюстрирована на рис. 1.20.

Потребовалось построить всего 11 вершин, а раскрыть 6 вершин, чтобы найти наилучший путь 1-4 3-2-1.

Данный алгоритм всегда находит глобальный оптимальный путь. Как и метод поиска вглубь, он не рассматривает лишь те ветви, на которых не может быть минимальной стоимости, так как затраты уже больше, чем достигнутые на всем ранее построенном пути.

1.4 Метод ветвей и границ Все алгоритмы, рассмотренные в п. 1.3, относятся к методам слепого поиска. Про них можно сказать, что это "близорукие" стратегии. Так, в методе равных цен для раскрытия выбирается верши на, путь до которой имел минимальную стоимость. Однако дальнейший путь до конечной вершины может оказаться любым, и вполне возможно, что раскрываемая вершина не только не стоит на наи лучшем пути, а, может быть, на очень неудачном. Напротив, вершина, путь которой очень дорог, может оказаться перспективной, если дальнейший путь от нее до конечной вершины будет дешевым.

Метод ветвей и границ учитывает не только, какова цена пути до некоторой вершины an, но и про гнозирует стоимость дальнейшего пути от этой вершины.

Первую вершину из списка "о" переместить в список "з".

Назвать ее аn 1 Поместить начальную вершину а0 в "о", С = - Да Список "о" нет 5 Восcтановить путь по стрелке Оптимальный путь с минимальным С найден стоп Да аn – конечная?

нет Стоимость нет (an) < С Да Рис. 1.19 Алгоритм равных цен Раскрыть аn. Установить указатели (стрелки) от дочерних вершин к аn, "" 2 2 8 14 7 Рис. 1.20 Метод равных цен В методе ветвей и границ каждая вершина an оценивается функцией Q(an) = q(an) + (an).

Эта функция содержит две составляющие. Функция q(an) оценивает стоимость пути (an) от на чальной вершины a0 до вершины an.

Функция (an) называется функцией прогноза, обещанием, оценкой. Эта функция прогнозирует, ка кая наилучшая (минимальная) стоимость пути от вершины an до конечной вершины.

Метод ветвей и границ на каждом шаге раскрывает ту вершину, для которой функция оценки Q(an) – минимальна.

Выбор функции (an) – это всегда нестандартная, творческая задача. От правильного задания функ ции (an) зависит не только эффективность метода, т.е. число раскрытых вершин, но и сам результат. В отличие от вышерассмотренных методов в методе ветвей и границ оптимальный (в глобальном смысле) путь может быть потерян, если (an) выбрана неправильно.

Если допустить, что для каждой вершины an известна функция (an), которая точно позволяет на звать стоимость дальнейшего пути от an до конечной вершины при условии, что этот путь оптимален.

Таким образом, (an) – максимально возможная стоимость при движении от точки an к конечной. Дока зано, что в этом случае метод ветвей и границ будет более эффективен, так как найдет именно опти мальный путь при минимальном числе раскрытых вершин.

Рассмотренную ранее задачу коммивояжера решим методом ветвей и границ, считая, что откуда-то известен алгоритм *(an) – точная функция прогноза.

Для первой точки а0 (корня дерева) (рис. 1.21) можно записать Q(a0) = q(a0)+ *(a0). Принимается, как и раньше, q(a0) = 0. Функция *(an) "знает" цену оптимального пути.

Раскрывается вершина, ее дочерними вершинами являются вершины, и. Потери 12 q(ai) для этих вершин указаны на ребрах.

26 14 Рис. 1.21 Метод ветвей и границ Функция *(a) вычисляет оптимальный путь от соответствующей вершины до конечной. Исполь зуя граф (рис. 1.14), можно подсчитать, какие значения, как гипотезу, примет функция *(ai): *( ) = 9;

*( ) = 11;

*( ) = 6.

Таким образом, Q( ) = 11;

Q( 13 ) = 26 и, наконец, Q( ) = 9. Эти значения внесены в соот ветствующие вершины (рис. 1.21).

Наилучшей, согласно оценке Q, является вершина. Раскрывая ее, получают вершины и.

Очевидно, что q( ) = 11;

q( ) = 6.

С помощью графа полного перебора (рис. 1.14) устанавливают, что прогноз *(а) был бы следую 142 щим: *( ) = 1;

*( ) = 3. Таким образом, Q( ) = 22;

Q( ) = 9, поэтому раскрытию подлежит вершина и т.д.

Для нахождения оптимального пути методом ветвей и границ с идеальной (абсолютно точной) функцией прогноза потребовалось раскрыть всего 4 вершины, именно столько вершин, сколько их на оптимальном пути, исключая конечную.

Этот алгоритм выводит на оптимальный путь, так как он дает сразу точное знание того, какова же будет цепь того или иного пути.

Однако абсолютно точную функцию прогноза *(ai) найти невозможно. Вместо *(ai) используется какая-либо другая функция (ai), являющаяся оценкой функции *(ai). Очевидно, чем ближе функция (ai) к *(ai), тем меньше границ нужно перебрать, чтобы найти оптимальный путь. При неправильном выборе (ai) может оказаться, что нашли и посчитали за оптимальный путь, который в действительно сти таковым не является.

Доказано, что если для всех ai выполняется условие (ai) *(ai), (1.1) то алгоритм метода ветвей и границ найдет оптимальное решение.

Если условие (1.1) не соблюдается, то алгоритм может пропустить оптимальный путь.

Если принять (ai) 0, то (1.1) соблюдается, и оптимальный путь будет найден. Но при этом алго ритм метода ветвей и границ превратится в алгоритм равных цен, для нахождения оптимального пути 13 потребуется раскрыть слишком много вершин.

Следовательно, необходимо, чтобы прогноз (ai), оставаясь меньше *(ai) для каждой ai, давал как можно большую оценку. Другими словами, требуется, чтобы функция (ai) была как можно ближе к нижней границе оценки функции *(ai).

В качестве примера решим рассмотренную уже ранее задачу комивояжера (рис. 1.14).

Оценочная функция (ai) выбирается, как среднее расстояние от города аi до тех городов, в кото рых комивояжер еще не побывал, включая и город 1, в который ему предстоит вернуться.

Итак, для первой вершины, как всегда, q( ) = 0, а обещание ( ) = (0 + 2 + 15 + 3)/4 = 5.

Таким образом, Q( ) = 5 (рис. 1.22).

6, 4, 5 12 18, 12, Рис. 1.22 Метод ветвей и границ с оценочной функцией среднего расстояния до непройденных городов Для ее дочерних вершин,, расчеты Q(a) сведены в табл. 1.2. Наименьшее значение Q соответствует вершине (рис. 1.22).

Оценки дочерних вершин и приведены в табл. 1. 123 1.2 Оценки вершин Прой- Города, Порядок Расстоя Вер- ден- которые раскры- ние шина ный необхо- (аi) Q(ai) тия до горо аi путь димо вершин да q(ai) посетить 2 (2 + 15 + 3 1 0 + 3 + 0)/4 4 = 1 3 (5 + 8 + 2 2 4 8 + 1)/3 = 6, 4, 1 2 (2 + 2 + – 15 4 2 + 6)/13 = 18, 3, 1 2 (8 + 3 + 2)/3 = 3 3 3 3 7, = 4, 1 4 (6 + 6)/ 7 = 1 (3 + 2)/ 3 10 = 1 = 2, 3 (5 + 1)/ 11 = 1 2 (2 + 6)/ 4 6 = 1 5 8 1 1 1/1 = 1 – 1442 9 – – – Следующей раскрывается вершина, так как она имеет наименьшую оценку Q = 7,3. Расчет оценок ее дочерних вершин и также приведен в табл. 1.2.

Далее раскрывается вершина, так как ее оценка Q = 10 наименьшая.

Затем раскрывается вершина, последняя вершина заканчивает путь с результатом Q = 9. Этот результат окончательный: действительно все другие ветви имеют оценку, большую 9.

При нахождении оптимального пути потребовалось раскрыть всего 5 вершин (рассмотрено же вершин). Это меньше, чем в любом из рассмотренных методов, исключая метод ветвей и границ с иде альной функцией прогноза *(а).

Метод ветвей и границ находит широкое применение в самых различных задачах принятия ре шения и является одним из основных приемов построения алгоритмов искусственного интеллекта (при доказательстве теорем;

играх в шахматы, шашки, карты;

в экспертных системах, постановке диагноза, автоматических приемах обучения и воспитания и др.).

1.5 Поиск на графах При поиске на графах применяются те же самые алгоритмы: перебор вширь, вглубь, метод равных цен, метод ветвей и границ, что и при поиске на деревьях. Однако, они усложняются проверкой: не на ходится ли "вновь" появляющаяся вершина уже в списке "о" или "з", т.е. не появлялась ли она уже раньше, при раскрытии предыдущих вершин.

Если она уже появлялась, т.е. содержится в списках "о" или "з", производится коррекция уже полу ченных результатов, приходится возвращаться к предыдущим вершинам, чего никогда не бывает при работе с деревьями, и корректировать, если нужно стрелку (указание материнской вершины), глубину вершины, ее оценку.

Для примера рассмотрим метод слепого поиска вширь. Пусть фрагмент графа имеет вид, изобра женный на рис. 1. 23. В табл. 1.3 приведены этапы алгоритма, представленного на рис. 1.14, дополнен ного блоками проверки списков "о" и "з" и отбрасыванием тех вершин, которые уже есть в списке.

На первом этапе в список "о" перемещается вершина 1.

На втором этапе вершина 1 перемещается в список "з" и раскрывается, т.е. определяются ее дочер ние вершины 2 и 3.

уровень 1 2 4 5 6 7 Рис. 1.23 Фрагмент графа полного перебора (перебора вширь) На третьем этапе проверяется, не находятся ли вершины 2 и 3 уже в списке "о" или "з".

На четвертом этапе вершины 2(1) и 3(1), где индекс (1) указывает, что их материнской вершиной яв ляется вершина 1, помещаются в список "о".

Действия этапов 5, 6, 7 аналогичны действию этапов 1, 3, 4.

На этапе 8 раскрывается вершина 3(1), первая из списка "о", ее дочерними вершинами являются 2(3), 5(3), 7(3), где индекс (3) указывает, что их материнской вершиной является вершина 3.

Однако, на этапе 9 блок проверки обнаруживает, что вершина 5 уже находится в списке "о", при этом ее материнской вершиной является вершина 2. Кроме того, блок проверки находит, что цена дуги 2-5 больше, чем цена дуги 3-5. В связи с этим блок коррекции меняет для вершины 5 материнскую вер шину. Вместо вершины 5(2) в список "о" записывается вершина 5(3).

Фрагмент графа (рис. 1.23) приобретает вид, представленный на рис. 1.24.

Вершины 2(3), 7(3) не содержатся в списке "о". Далее следует проверить, содержатся или нет верши ны 2(3), 7(3) в списке "з".

Оказывается, что вершина 2 находится в списке "з". Указатель (стрелка) направлен (табл. 1.3) на вершину 1. Затраты на дуге 1-2 при этом составляют 3 единицы. Так как на дуге 3-2 затраты меньше (всего лишь 1 единица), алгоритм изменяет направление стрелки вершины 2. Теперь материнской вер шиной для нее становится вершина 3 (табл. 1.3).

Фрагмент графа приобретает вид, представленный на рис. 1.25, вместо графа на рис. 1.24.

1.3 Этапы раскрытия графа Дочерние Вершины Этап Действие Список вершины Список "о" "з" 1 Заполнение – 1 – "о" 2 Раскрытие 1 2(1), 3(1) – 3 Проверка 2(1), 3(1) – 4 Заполнение – 2(1), 3(1) "о" 5 Раскрытие 4(2), 5(2), 3(1) 1, 2(1) 2(1) 6(2) 6 Проверка 4(2), 5(2), 3(1) 1, 2(1) 6(2) 7 Заполнение – 3(1), 4(2), 5(2), 1, 2(1) "о" 6(2) 8 Раскрытие 2(3), 5(3), 4(2), 5(2), 6(2) 1, 2(1), 3(1) 7(3) 3(1) 2 9 Проверка 6 2(3), 5(3) *, 4(2), 5(2)*, 6(2) 1, 2(1), 2 (3) 7 3(1) Коррекция 2(3), 7(3) 4(2), 5(3)*, 6(2) 1, 2(1), 4 6 5 7(1) 5(2) Проверка 2(3)*, 7(3) 4(2), 5(3), 6(2) 1, 2(1)* Коррекция 7(3) 4(2), 5(3), 6(2) 1, 2(3)* 2(3) Заполнение – 4(2), 5(3), 6(2), 1, 2(3)* 7(3) Таким образом, граф (рис. 1.23) преобразуется в дерево (рис. 1.25).

В этом случае, если бы стоимость дуг от вершины 3 к вершине 2 или вершине 5 оказалась бы боль ше уже рассчитанного, были бы оставлены те же материнские вершины, новые дуги были бы отброше ны, и граф (рис. 1.23) снова превратился бы в дерево.

Рассмотрим теперь пример перебора в глубину на графе с ограниченной глубиной перебора.

Пусть максимальная глубина равна 4. Граф имеет вид, представленный на рис. 1.26. В этом случае порядок раскрытия вершин будет 1, 2, 5, 6 (табл. 1.4).

уровень 6 2 6 5 Рис. 1.24 Преобразование фрагмента графа (рис. 1.23) Рис. 1.25 Преобразование фрагмента графа (рис. 1.23) в дерево уровень 3 3 2 5 Рис. 1.26 Фрагмент графа, раскрываемого перебором в глубину На этапе 14 должна была бы раскрываться вершина 7, как имеющая наибольшую глубину, но так как ее глубина превышает предельный уровень, равный 4, то она не раскрывается.

На этапе 14 вместо вершины 7 раскрывается самая глубокая вершина, уровень которой не превы шает максимального. Это вершина, стоящая первой в списке "о", т.е. 3(1). Ее дочерними вершинами, как это следует из рис. 1.26, будут вершины 6, 8, 4.

Следующим этапом после раскрытия вершины 3(1) (табл. 1.4) будет проверка и коррекция списков "о" и "з".

1.4 Порядок раскрытия графа в глубину Вершины Эта Дочерние Действие Список п вершины Список "з" "о" 1 Заполнение – 1 – "о" 2 Раскрытие 1 2(1), 3(1), – 4(1) 3 Проверка 2(1), 3(1), – 4(1) 4 Заполнение – 2(1), 3(1), "о" 4(1) 5 Раскрытие 5(2) 3(1), 4(1) 1, 2(1) 2(1) 6 Проверка 5(2) 3(1), 4(1) 1, 2(1) 7 Заполнение – 5(2), 3(1), 1, 2(1) "о" 4(1) 8 Раскрытие 6(5) 3(1), 4(1) 1, 2(1), 5(2) 5(2) 9 Проверка 6(5) 3(1), 4(1) 1, 2(1), 5(2) 10 Заполнение – 6(5), 3(1), 1, 2(1), 5(2) "о" 4(1) 11 Раскрытие 7(6) 3(1), 4(1) 1, 2(1), 5(2), 6(5) 6(5) 12 Проверка 7(6) 3(1), 4(1) 1, 2(1), 5(2), 6(5) 13 Заполнение – 7(6), 3(1), 1, 2(1), 5(2), 6(5) "о" 4(1) 14 Раскрытие 6(3), 8(3), 7(6), 4(1) 1, 2(1), 5(2), 6(5), 3(1) 4(3) 3(1) а Проверка 6(3), 8(3), 7(6), 4(1)* 1, 2(1), 5(2), 6(5), "о" 4(3)* 3(1) б Коррекция 6(3), 8(3) 7(6), 4(3)* 1, 2(1), 5(2), 6(5), "о" 3(1) 15 Проверка "з" 6(3)*, 8(3) 7(6), 4(3) 1, 2(1), 5(2), 6(5)*, в 3(1) г Коррекция 8(3) 7(6), 4(3) 1, 2(1), 5(2), 6(5), "з" 3(1) д Заполнение – 7(6), 8(3), 1, 2(1), 5(2), 6(5), "о" 4(3) 3(1) Вначале проверяется, не содержится ли какая-нибудь дочерняя вершина (6(3), 8(3), 4(3)) в списке "о".

Оказывается, что в этом списке есть вершина 4. Далее проверяется, что лучше: 4(3) или 4(1).

Двигаясь по стрелкам от дочерних вершин к материнским, получают путь 4-3-1 и второй путь 4-1, ясно, что эти пути создают цикл 4-3-1-4. Причем затраты на пути 4-3-1 меньше (равны), чем на пути 4-1, которые равны 6.

Поэтому выгодно считать предком вершины 4 не вершину 1, а вершину 3. В этом случае список "о" корректируется (этап 15, б табл. 1.4), и граф на рис. 1.26 трансформируется в граф, представленный на рис. 1.27.

Затем на этапе 15, в проверяется, не содержится ли одна из оставшихся вершин 6(3) или 8(3) в списке "з".

Оказывается, в списке "з" есть вершина 6(5), а среди дочерних вершин 6(3). Следуя от потомков к предкам, получают два пути, составляющие вместе цикл. Один путь 6-3-1, второй – 6-5-2-1. При этом путь 6-3-1 стоит 5 единиц, а путь 6-5-2-1 – 13 единиц. Путь 6-3-1 выгоднее и на этапе 15, г предок вер шины 6 заменяется.

Вершина 8(3) не находится ни в списке "о", ни в списке "з", и поэтому вносится в список "о". При этом граф, изображенный на рис. 1.27, преобразуется в граф, представленный на рис. 1.28.

уровень 2 5 8 Рис. 1.27 Преобразованный граф (рис. 1.26) уровень 1 2 2 4 5 6 Рис. 1.28 Преобразование графа (рис. 1.26) в глубину Необходимо отметить, что так как вершина 7(6) находится за чертой допустимости (это показа но в табл. 1.4 пунктирной линией), то вершина 8(3) вносится в начало списка, но за пунктирную чер ту. Вершина 7 (рис. 1.26) стала теперь выше предельного уровня и подлежит раскрытию в первую очередь.

Аналогичными приемами осуществляются поиски оптимальных путей на графах и при других алгоритмах. При этом всегда в конечном итоге граф преобразуется в дерево, т.е. граф без циклов.

2 СЕТЕВЫЕ ЗАДАЧИ 2.1 Основные понятия Сетью называется граф, каждая вершина которого представляет работу (событие), а дуги – порядок выполнения работ. При этом каждая работа (вершина) характеризуется временем (продолжительно стью) выполнения работы.

Сеть удобно изображать в виде, представленном на рис. 2.1. Здесь кружочками обозначаются рабо ты, цифры в кружочках обозначают продолжительность выполнения работы, стрелки – последователь ность. Цифры i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 обозначают номера (названия) работ.

Отношения между работами обозначаются знаками " ", " ". Так i j обозначает, что работа i предшествует работе j, т.е. работа i выполняется раньше, чем работа j;

работа j выполняется позже ра боты i.

Знак " " обозначает непосредственное следование работ. Так i j обозначает, что работа i непо средственно предшествует работе j (рис. 2.2) или работа j непосредственно следует за работой i.

2 25 125 Рис. 2.1 Граф последовательности выполнения работ – сеть i j Рис. 2.2 Непосредственное предшествование работ Для графа, изображенного на рис. 2.1, можно записать: 1 2, 1 3, 2 4, 2 5, 4 5, 4 6, 6.

Сеть считается заданной, если заданы:

а) все работы (вершины);

б) продолжительность работ i;

в) порядок следования работ.

Сеть (рис. 2.1) позволяет увидеть, что работа 2 может начаться только после того, как закончится работа 1 (так как 1 2). Работа 3 также начнется после окончания работы 1 (3 1), работа 5 может на чаться только после того, как будут окончены работы 2, 3, 4 (5 3, 5 2, 5 4). Так как 6 4, 6 5, то работа 6 начнется после окончания работ 4 и 5.

Начальная вершина обозначается буквой В, конечная вершина – буквой F. Иногда продолжительно сти работ B и F бывают равными нулю. Это означает, что данная вершина является фиктивной: она про сто обозначает "начало" или "конец" выполнения работ всего комплекса.

Необходимо заметить, что граф на рис. 2.1 можно изобразить как граф выполнения работ (рис. 2.3).

Однако изображение (рис. 2.1) удобнее, и именно оно используется в сетевых задачах.

125 25 18 Рис. 2.3 Граф выполнения работ Для решения сетевых задач можно применять методы и алгоритмы теории графов, однако, здесь графы не являются деревьями, и хотя имеется множество методов решения задач на графах, но они менее удобны. К тому же задачи исследования последовательности работ (сетевые задачи) специ фичны и эта специфика сделала возможным использовать более простые алгоритмы исследования.

Сетевые задачи делятся на две группы:

1 Задачи исследования комплекса работ.

2 Задачи оптимизации комплекса работ.

2.2 Задача исследования комплекса работ Задача исследования комплекса работ является важнейшей из двух типов сетевых задач.

Пусть работа 3 начинается лишь после выполнения работ 1 и 2 (рис. 2.4).

Предполагается, что работы 1 и 2 стартовали в одно и то же время. Однако, работа 1 выполняется единиц времени (1 = 5), а работа 2 выполняется 10 единиц времени (2 = 10). Следовательно, начало выполнения работы 3 определяется временем выполнения работы 2. Если выполнение работы 2 запо здало на любую величину t, то на эту же величину запоздает начало выполнения работы 3 (рис. 2.5).

Работа 1 может опоздать на некоторое время (на время, равное 5 единиц) и это не вызовет изме нения начала выполнения работы 3, так как все равно работа 3 должна "ждать" конца выполнения работы 2.

Говорят, что работа 2 является критической для работы 3. Этот факт отмечен на рис. 2.4 двойным кружком. Однако, для работы 4 работа 3 может не являться критической.

Путь от вершины В до вершины F (т.е. от начальной до конечной вершины), который целиком со стоит из критических вершин, называется критическим путем.

Рис. 2.4 Фрагмент сети начало работа конец t работа t конец t Рис. 2.5 Продолжительность работ Критический путь определяет продолжительность Т выполнения комплекса работ. Эта продолжи тельность равна сумме продолжительностей работ, составляющих критический путь.

Таким образом, критическим путем называется путь, на котором увеличение продолжительности любой работы приводит к увеличению продолжительности выполнения всех работ, другими словами, к увеличению времени завершения проведения всех работ.

Критической работой или критической операцией, соответственно, называется работа (операция), за держка выполнения которой приводит к задержке выполнения всего комплекса работ.

Критическая работа – вершина критического пути.

Для некритических операций, некритических работ существует определенный временной диапазон t, такой, что задержка выполнения работы в пределах этого диапазона не приводит к изменению про должительности выполнения всего комплекса работ.

Очевидно, диапазон t -й работы можно определить как ti = timax - timin, (2.1) где timax – максимально возможное время начала -й работы;

timin – минимально возможное время начала -й работы.

Можно получить рекуррентную формулу вычисления минимального и максимального возможного начала -й работы.

Пусть известны минимально возможное значение начала – 1-й работы timin (рис. 2.6) и макси - мально возможное время начала работы + 1 - timax, такие, что – 1 + 1.

+ Если известно минимально возможное время начала работы – 1 – – timin, то минимально возможное - время начала работы определяется по формуле – + + i- timax timin + - min Рис. 2.6 Определение t1 и timax timin = timin + i -1, (2.2) - где -1 – продолжительность – 1-й работы.

min Очевидно, что если в цепочке (рис. 2.7) известно t1 для первой работы, то рекуррентная формула (2.2) позволит определить timin для каждой работы (т.е. для = 2, 3,..., n).

Более общий случай представлен на рис. 2.8. Работе 4 предшествует три работы = 1, 2, 3, для кото рых известно минимальное время начало работ tmin, j = 1, 2, 3.

j Очевидно, t4min определяется как min min min min t4 = max (t1 + 1,t2 + 2,t1 + 3). (2.3) Если для работы + 1 (рис. 2.6) известно максимально возможное время начала работы timax, то мак + симально возможное время timax начала работы (рис. 2.9) определяется по формуле timax = timax - i. (2.4) + max Если для цепочки (рис. 2.7) известно максимально возможное время начала работы n (т.е. tn ), то по соотношению (2.4) можно последовательно найти максимально возможные времена начала работ timax для всех = n – 1, n – 2,..., 2, 1.

1 1 Рис. 2.7 Граф выполнения работ t1min t2min t4min t3min Рис. 2.8 Определение t4min Для более общего случая, изображенного на рис. 2.10, когда дочерними вершинами для вершины являются вершины timax, = 1, 2, 3 и для каждой из них известно максимально возможное время начала max н работ, = 1, 2, 3, очевидно, чтобы работа = 1 начиналась не позднее t1, начало работы 4 – t4 должно быть не позднее max t4 = t1 - 4. (2.5) Аналогичным образом можно определить начало работы 4 для выполнения предельных сроков на чала работ 2 и 3 (рис. 2.11).

н Максимальным временем начала работы 4 будет минимальное время из всех t4 :

max max max max max max max t4 = min[t1 - 4,t2 - 4,t3 - 4]= min[t1,t2,t3 ]- 4. (2.6) max max t t i i+ Рис. 2.9 Графическое изображение timах t1mах t2mах t3mах Рис. 2.10 Определение t4mах н max t t Работа max t Работа н t 4 max t Работа max t н t max Рис. 2.11 Диаграмма определения t max Действительно, если начало 4-й работы будет позже, чем t4, то работа 2 будет начата позже пре max дельно допустимого срока t2.

Самый общий случай изображен на рис. 2.12.

Пусть множество вершин, непосредственно предшествующих вершине i, есть множество Niвх, а множество вершин, непосредственно следующих за вершиной i – Niвых. Аналогично формулам (2.3 – 2.6) для данного случая можно записать timin = max [tmin + i];

j jNiвх (2.7) timax = min [tmax] - i.

j jNiвых При этом величина ti = timax - timin является мерой критической работы и называется резервом вре мени операции i.

Niвых Niвых Рис. 2.12 Определение timin, timax 2.3 Цель исследования сетевой задачи Целью задачи исследования комплекса работ или сетевой задачи является:

1 Нахождение минимальной продолжительности всего комплекса работ;

2 Определение критического пути;

3 Нахождение критических операций, т.е. операций, в которых tmin равно tmax и любая задержка в выполнении операций приводит к увеличению времени выполнения всего комплекса работ.

В такой постановке данная задача не является задачей исследования операции как таковой, это задача чистого анализа, в ней нет принятия решения. Однако, задача позволяет выявить узкие места в про изводстве комплекса работ, т.е. операции, которые нужно усовершенствовать, она служит основой для постановки задач принятия решения, задач оптимизации.

Подобные задачи встают буквально во всех областях как производственной, так и социально общественной жизни. Любое строительство, научные разработки, конструирование и производство промышленных машин и изделий, военные и медицинские операции, экономические проекты, про ведение культурных и общественных мероприятий и т.п., которые представляют сколько-нибудь сложный комплекс работ, требуют составления графика последовательности операций, его анализа с целью определения сроков проведения этапов выявления узких мест, определения критического пути, последовательности операций, продолжительность которых определяет срок выполнения комплекса работ, определения для остальных операций минимальных и максимальных сроков на чала работ.

Множество всех вершин, у которых резерв времени t(x) = 0, составляет множество Rкр критиче ских операций (вершин), причем у каждой вершины путь заканчивается стрелкой. Эти вершины и свя зывающие их стрелки образуют критические пути.

Блок-схема описанной процедуры представлена на рис. 2.13. На рис. 2.14 представлен пример про хождения критических путей для сети. Вершины обозначены кружками. Порядок вершин показан ря дом с кружками цифрами. В верхнем полукруге пишется продолжительность операции, в левой части нижнего полукруга tmin(), в правой части – tmax().

В табл. 2.1 представлены результаты работы алгоритма (рис. 2.13) по нахождению критических путей сети (рис. 2.14).

Алгоритм формирует список (множество) "открыто" {0} и список (множество) "закрыто" {з}.

В блоке 1 эти множества обнуляются. 1 – 9 определяют tmin() для всех = 0, 1,..., n.

В блоке 2 для нулевой вершины присваивается tmin = 0.

Блок 3 проверяет, есть ли среди множества вершин Nвых() вершины, которые были помещены в список {0}.

Если такие вершины есть, то они удаляются из Nвых(). После этого блок 4 оставшиеся вершины пе реносит в конец списка {0}. Соответствующая вершина заносится в список {з}, если список {0} оказы вается непустым.

Блок 5 передает управление блоку 6, который выбирает новые (первые) из списка {0}.

Блок 7 проверяет, все ли входные вершины Nвх() уже были рассмотрены, т.е. содержатся ли они в списке {з}. Если это не так, то управление передается блокам 9 и 6 для выбора нового.

Так, при рассмотрении первой вершины 1 из списка {0} = 1, 2, 3 оказалось (строка 2 табл. 2.1), что вершины 2 из списка Nвх(1) нет в списке {з}, т.е. она еще не рассмотрена. Поэтому рассмотрение вершины невозможно, и блок 6 выбирает для рассмотрения вторую вершину – 2.

В этом случае, если все вершины из {0} перебраны и все они не подошли, блок 9 останавливает работу, так как в сети имеется цикл, которого, естественно, быть не должно.

В том случае, если все вершины Nвх() содержатся в {з}, блок 8 определяет tmin() по формуле (2.7), т.е. выбирает среди всех непосредственно предшествующих вершин Nвх() ту, для которой время воз можного начала работ максимально. Блок 8 устанавливает также стрелку (указатель), направленную на эту вершину. Далее управление снова передается блоку 3.

1 {0} {з} = 0;

tmin(0) = 0 0 {0} Из множества Nвых() удаляется вершина, уже находящаяся в {з} Оставшаяся часть Nвых() отправляется в {0};

{з} 5 {0} {з} Да {0} = n Rкр;

= n n {0};

tmax() = T 6 нет нет "" нет Все перебрали Nвх() {з} Да Да Стоп 8 tmin();

стрелка имеется цикл Из множества Nвх() удаляется вершина, уже находящаяся в {0} Nвх() {0}, {з} нет Стоп {0} = Да Выбирается новое из {0} нет Nвых() {з} Рис. 2.13 Блок-схема поиска критического пути * = 0 2 * 1 =4 =3 = 5 9 2 6 2 1 6 * =4 =6 = 9 1 5 9 3 * * =3 = 1 1 1 * = 2 Рис. 2.14 Граф прохождения работ Если при работе блока 5 оказалось, что множество {0} пусто, то это означает, что минимальные времена tmin() начала работ найдены для всех вершин. При этом управление передается блокам 10 – 17, которые определяют максимальные времена tmax() начала работ для каждой вершины.

Блок 10 обнуляет списки {0} и {з} и направляет последнюю вершину n в список критических вершин {Rкр}. Значение tmin(n) для каждой вершины n принимается равным tmax(n) для этой вершины tmin(n) = T = tmax(n).

Работа блоков 11 – 17 аналогична работе блоков 3 – 8. В список критических вершин направляется та вершина, у которой минимально возможное время tmin() начала работы совпадает с максимально воз можным временем tmax().

2.1 Результаты работы алгоритма поиска критического пути Стрелка Ша tmin( Nвх {з} Nвых {0} на г ) вершину 1 0 – – 1, 2, 3 0 0 – 0, не рассматрива 1, 2, 2 1 0 = = ется 1, 2, 3 2 0 0 4,5 2 = 1, 3, 4, = 4 1 0, 2 0, 2 4 5 3, 4, 5, 5 3 0 0, 2, 1 6 2 = 4, 5, 6, = 6 4 1,2 0, 2, 1, 3 7 9 0, 2, 1, 3, 6, 5, 7 5 2 7, 8 5 = 0, 2, 1, 3, 7, 6, 8 6 3 8, 9 3 = 4, 4, 5, 0, 2, 1, 3, не рассматрива 8, 7, 9 7 = 4, 5, 6 ется = 0, 2, 1, 3, 7, 8, 10 8 5, 6 9 15 = 4, 5, 4, 5, 0, 2, 1, 3, 7, 11 7 9 17 = 8 4, 5, 6, 0, 2, 1, 3, 7, 8, 12 9 4, 5, 6, 8, – 20 = 0, 2, 1, 3, 13 – – 4, 5, 6, 8, – пусто – – Результаты работы алгоритма представлены в табл. 2.2.

Критический путь, отмеченный в табл. 2.2 и звездочками на рис. 2.14, будет 0-3-6-8-7-9. Этот путь (в общем случае несколько путей) восстанавливают по множеству Rкр и стрелкам, связывающим каждую по следующую вершину с предыдущей (начиная с нулевой вершины).

2.2 Нахождение критического пути t( timax Шаг i Nвых {з} Nвх {о} Rкр i) 1 9 – – 9 20 0 8, 9 не рассматри 2 6 9 3 6, 7, = вается 4, 6, 7, 8, 4, 9, 3 7 9 9 5, 17 5 8, 9 не рассматри 4 6 9, 7 3 6, 8, 4, = вается 9, 5 8 7, 9 9, 7 5,6 6, 8, 4, 5 15 0 7, 9, 7, 6 6 8, 9 9, 7, 8 3 6, 8, 4, 3 3 8, 9, 1, 4, 5, 3, 1, 7, 7 4 7 9, 7, 8, 6 13 2 2 8, 8 5 7, 8 9,7,8,6, 4 2 5, 3, 1, 2 9 4 9, 7, 8, 9, 7, 9, 7, 8, 6, 9 3 6 0 3, 1, 2, 0 2 0 8, 4, 6, 9, 7, 9, 7, 8, 6, 10 1 4 0 1, 2, 0 9 4 8, 4, 5, 6, 9, 7, 9, 7, 8, 6, 11 2 1, 4, 5 0 2,0 6 4 8, 4, 5, 3, 6, 9, 7, 9, 7, 8, 6, 8, 12 0 1, 2, 3 4, 5, 3, 1, – 0 0 6, 3, 9, 7, 8, 6, 13 – – 4, 5, 3, 1, – пусто – – – В описанном методе отсутствуют варьируемые параметры, а следовательно, нет места принятию како го-либо (в частности оптимального) решения.

Метод анализирует комплекс работ, вычисляет интервалы времени выполнения работ, определяет критические пути, т.е. операции, которые должны быть выполнены точно в срок и не имеют запаса вре мени. Этот анализ позволяет сделать вывод о допустимости или недопустимости предложенного плана выполнения работ. Однако, в такой постановке отсутствуют управления, позволяющие скорректировать план выполнения работ. Решение об изменении продолжительности работ критического пути, опреде ляющем продолжительность выполнения всего комплекса работ, оставляется вышестоящей организа ции.

2.4 Задача оптимизации комплекса работ Пусть теперь продолжительность работ i является переменной величиной, зависящей от затрат на эту работу. Обычно с увеличением вложений в работу (привлечением дополнительных механизмов, машин и т.п.) уменьшается продолжительность работы. Зависимость продолжительности работы i от ее стоимости Сi представлена на рис. 2.15.

Эта зависимость часто выражается в виде прямой линии:

i = i – iСi. (2.8) Продолжительность работы изменяется в пределах i i i. При этом нижний предел i и верх i i i i ний i соответствуют стоимостям Ci = - и Ci = -.

i i i i Таким образом, стоимость изменяется в пределах Ci Ci Ci.

Из формулы (2.8) можно получить обратную зависимость стоимости от продолжительности:

i i i Ci = - = ai - bii, где ai =, bi = – стоимость единицы уменьшения продолжительности работы.

i i i i i i i Сi Сi Сi Рис. 2.15 Зависимость продолжительности работы i от стоимости этой работы Сi Общая стоимость всех затрат составит:

n n n Z = = - = - bii ), Ci i i (ai i i i= i=1 i= где n – число работ (вершин).

Условия (2.7) определяют минимальное время начала каждой работы. Очевидно, что эти условия могут быть переписаны в следующей форме:

вх, i t(i) t(k) + (k), k Nвх( ), =1, 2,..., n. (2.9) i Теперь можно поставить задачу выбора такой продолжительности работ, при которой будет минималь на стоимость работ, а время выполнения комплекса работ будет не больше заданного.

n i Так как не зависит от продолжительности работ i и является постоянным числом, мини i i= мизация Z соответствует максимизации функции n n i Q = = i. (2.10) bi i i=1 i = При такой постановке задача оптимизации заключается в выборе * таких, при которых целевая i n функция (2.10) принимает максимальное значение i max и при этом удовлетворяются ограничения bi i= t(i ) t(k )+ (k ), = 1, 2,..., n - 1, k N,вх () ;

i i вх t(0)= 0;

t(n) Tз ;

i i i, где Тз – предельное время выполнения работ.

Эта задача относится к классу задач линейного программирования и может быть решена симплекс методом.

В представленной постановке задачи (i) в некритических вершинах будет принимать максимально возможные значения, чтобы увеличить целевую функцию (2.10) (уменьшить стоимость работ).

Если последнее не желательно, то можно вместо целевой функции (2.10) использовать другую це левую функцию n n Q = i - ti, (2.11) bi Mi i=1 i= где Мi – некоторое большое число – штраф на время выполнения операций.

При большом ti целевая функция уменьшается, поэтому в оптимальном решении будет компромисс между стоимостью комплекса работ и временем выполнения каждой операции. Подбором чисел Мi можно выделить те операции, в которых желательно уменьшить время их выполнения, и те, в которых же лательно уменьшить стоимость работ.

Представленную задачу можно сформулировать и как задачу минимизации времени t(k) выполне ния всего комплекса работ при затратах не меньше заданных.

Для решения этих задач разработано много алгоритмов, использующих их особенности и обладающих большим быстродействием (например, алгоритм Келли), чем симплекс-метод.

В качестве примера рассмотрим эвристический метод, позволяющий как вручную, так и с помощью вычислительной техники найти достаточно близкое к оптимальному решение.

Этот метод рассматривается на примере графа (рис. 2.14).

В табл. 2.3 представлены для данного примера диапазоны изменения продолжительности работ [ i, i ], цены bi единицы уменьшения продолжительности работы и интервалы изменения продолжительно q сти i.

2.3 Результаты расчета графа эвристическим путем q i i Вершина i bi 0 1 2 10 1 2 4 2 2 2 3 2 3 1 1 – 4 4 4 – 5 4 6 2 6 4 12 3 7 1 3 4 8 1 2 4 9 0 0 – Продол житель- 10 ность Как видно из рис. 2.14, анализ графа проводится при продолжительностях работ, равных макси мальным i. При этом время выполнения всех работ составило Т = 20.

При минимальных значениях продолжительностей работ i время выполнения комплекса работ со гласно графу (рис. 2.16) в соответствии с данными табл. 2.3 составляет Т = 10.

Значения допустимых изменений продолжительности работ приведены в табл. 2.3.

Алгоритм решения задачи оптимизации продолжительности работ сети представлен на рис. 2.17.

Этот алгоритм позволяет построить зависимость увеличения стоимости С работ от уменьшения времени Т выполнения работ, что позволяет найти необходимый компромисс среди этих величин.

Согласно блок-схеме алгоритма вначале выписываются все возможные пути графа от начальной вершины до конечной (табл. 2.4).

0= 0 0 1=2 2=2 3= 3 2 5 4 =4 5=4 6= 5 3 4 8= 7= 9= Рис. 2.16 Граф прохождения работ при минимальном времени выполнения комплекса работ Для графа (рис. 2.14, 2.16) таких путей 9. Затем блок 2 (рис. 2.17) для каждой вершины каждого пу ти записывает в табл. 2.4 цены в bi уменьшения на единицу стоимости продолжительностей i соответ ствующих работ. Таким образом, увеличение стоимости работ при изменении на i продолжительно n n сти этих работ будет рассчитываться по формуле Q = - i = - (i - i), где i – максимальная bi bi i =1 i= продолжительность i-й работы.

Блок 3 заполняет строку 0 и столбец 0 табл. 2.4. При этом в столбец 0 заносятся минимальные времена выполнения соответствующих путей при максимальной продолжительности работ i. В строку q 0 заносятся диапазоны допустимых уменьшений i продолжительности работ.

Затем блоки 4, 5 последовательно (итерационно) начинают корректировать (уменьшать) продолжи тельности работ, при этом возрастает их стоимость Q.

В табл. 2.4 критическим путем, как это и указывалось раньше, является путь 7. Продолжитель ность прохождения этого пути Т = 20 и она определяет продолжительность комплекса работ.

Очевидно, уменьшать надо продолжительность именно критического пути, так как уменьшение продолжительности других путей не влияет на продолжительность всего комплекса. Наоборот, в некоторых вариантах там, где это возможно, целесообразно увеличить продолжительность работ для некритических путей с целью уменьшения стоимости соответствующих работ.

Продолжительность критического пути 7 можно уменьшить с Т = 20 до Т = 17. Дальнейшее умень шение нецелесообразно, так как путь 8 имеет время выполнения 17 и, вполне вероятно, будут два кри тических пути и их надо уменьшать уже совместно.

Уменьшить продолжительность пути 7 можно, уменьшив одну из следующих работ: 0, 6, 7 или 8.

q Продолжительность третьей работы уменьшать нельзя, так как допустимый диапазон изменен = (табл. 2.4). Из работ 0, 6, 7, 8 самой "дешевой" является шестая работа: увеличение единицы продолжи q тельности стоит bi = 3. Диапазон возможного изменения продолжительности 3 = 8.

1 Формирование возможных путей 2 Формирование таблицы платежей Заполнение строки диапазонов изменения i и столбца минимальных длительностей выполнения работ для каждого пути 4 нет Коррекция Стоп возможна Да 5 Коррекция продолжительности Рис. 2.17 Блок-схема алгоритма построения зависимости Для того, чтобы продолжительность пути 7 стала равной 17, необходимо уменьшить продолжи тельность работы 6 на три единицы, так как работа 8 уже имеет продолжительность, равную 17. Однако работа 6 входит также в путь 8 и путь 9. Следовательно, продолжительность этих путей также умень шится на 3 единицы. Результат этих преобразований представлен в табл. 2.4 в строке 1 и столбце 1.

Для первой коррекции в табл. 2.4 под столбцом с номером 1 заносится приращение стоимости ра бот, которое в первой итерации составляет Qi = - b33 -Q1 = 33 = 9.

Критическим путем продолжает оставаться путь 7. Его еще можно уменьшить на единицу с тем, чтобы он сравнялся по продолжительности с путями 2 и 5. Результат этой коррекции представлен в строке и столбце с номерами 2. При этом Q2 = Q1-b33;

Q2 = 9 + 3 = 12.

Теперь критических путей три: 2, 5 и 7. Их надо уменьшать совместно на две единицы, так как дальше их продолжительность становится такой же, как и у пути 4 (Т = 14).

Имеется несколько вариантов снижения на две единицы критических работ.

q Вариант 1. Уменьшают самую "дешевую" работу 1 на две единицы (диапазон 1 = 2 позволяет это q сделать). При этом путь 2 уменьшается на две единицы. Уменьшить работу 5 на две единицы (5 = 2).

При этом Q3 = Q2 - b11 - b55 - b66 - Q3 =12 + 2 2 + 2 2 + 3 2 = 26.

Вариант 2. Работа 7 входит во все критические пути и позволяет уменьшить их продолжитель q ность на две единицы (7 = 2). Отсюда Q3 = Q2 - b77 - Q3 =12 + 4 2 = 20.

Таким образом, выбирается вариант 2. Результаты расчета представлены в строке и столбце 3. Критиче скими остались те же пути (2, 5, 7).

Наилучшим вариантом сокращения продолжительности критических работ на единицу, т.е. до t = q 13, будет сокращение работы 2 (q =1) и работы 6 (6 = 3). При этом Q4 = Q3 - b22 - b6 - 6;

Q4 = 20 + 2 1+ 31= 25.

Критическими путями становятся пути 2, 5, 7. Их необходимо уменьшить на единицу.

q q Вариант 1. Уменьшается на единицу работа 1 (1 = 2), работа 5 (5 = 2) и работа 6 tн.

j + Тогда Q5 = Q4 - b11 - b55 - b66 - Q5 = 32.

q q Вариант 2. Уменьшается на единицу работа 7 (1 = 1) и работа 8 (8 = 4) - Q5 = 31.

Выбирается вариант 2. Результаты расчета представлены в строке и столбце 5 табл. 2.4.

Критическими путями становятся пути 2, 5 и 7. Уменьшение их до Т = 11 возможно лишь уменьше нием на единицу работы 1, 5 и 6, диапазон изменения остальных работ равен нулю, за исключением ну левой, имеющей слишком высокую цену (b1 = 10). При этом Q6 = 38. Результаты представлены в стро ке и столбце 6 табл. 2.4. Критические пути остались теми же, однако уменьшить их все на единицу воз можно лишь, изменив на единицу продолжительность первой работы, и тогда Q7 = 48. Результаты представлены в строке и столбце 7 табл. 2.4.

Q 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 T Рис. 2.18 Зависимость удорожания от продолжительности комплекса работ Возможность дальнейшей коррекции продолжительностей работ исчерпана, так как для критиче q ского пути 10 все работы имеют нулевой диапазон i = 0.

Результаты зависимости удорожания Q выполнения комплекса работ от времени его выполнения Т (табл. 2.4) представлены на рис. 2.18.

Критическим решением (рис. 2.18) является результат компромисса между увеличением стоимости комплекса работ и уменьшением его продолжительности.

При заданном ограничении на продолжительность комплекса работ T Tзад график позволяет найти оптимальную стоимость комплекса работ Q и соответствующую ей продолжительность i работ ком плекса (табл. 2.4).

3 ТЕОРИЯ РАСПИСАНИЯ Расписание – это последовательность выполнения работ. Составить расписание – это составить (за планировать) последовательность выполнения работ.

Наука, разрабатывающая методы составления оптимального, т.е. наилучшего с точки зрения какой то целевой функции, расписания – порядка выполнения работ, называется теорией расписания.

3.1 Задачи теории расписания Формально задачи теории расписаний можно представить следующим образом.

Пусть имеется всего две работы А и В. Выполнение работы А перед работой В (А << В) приводит к последствиям РА, а ситуация В << А – к последствиям РВ. В том случае, если оценка РА предпочтительнее РВ, работа А должна выполняться раньше работы В.

Задачи теории расписаний возникают в самых различных областях составления расписаний аэро портов, вокзалов, порядка приема посетителей и больных, работы, производства и т.д.

Таким образом, в теории расписания предполагается, что а) имеется набор работ (требований), которые должны быть выполнены;

б) порядок выполнения этих работ неизвестен, более того, именно порядком выполнения работ можно варьировать произвольно, добиваясь наиболее эффективного расписания.

В теории расписания принята следующая терминология.

Работой (задачей) называется любое требование, которое надо выполнить.

Составляющие работы называются операциями. Таким образом, работа состоит из операций (из одной или многих). Операция – это неделимая подзадача, которую необходимо решить.

Устройство, которое может выполнить некоторую операцию, называется машиной. Множество ма шин, предназначенных для выполнения всех операций некоторого множества работ, называется цехом обслуживания.

Понятие машины в теории расписания употребляют в обобщенном смысле. Под этим термином по нимают и собственно машины и механизмы, и людей, и вычислительные устройства, и различные орга низации, и т.д.

Совокупность работ и составляющих их операций, машин и дисциплин обслуживания (порядок на значения операций для выполнения их в тот или иной момент, правил назначения операций) называется системой обслуживания.

Составление расписания в самом общем случае заключается в том, что для каждой операции, для каждой работы необходимо:

а) назначить машину, на которой эта операция должна быть выполнена;

б) определить интервал времени, в течение которого эта операция осуществляется таким образом, что выполняются технологические условия и ограничения и целевая функция принимает бы минималь ное (максимальное) значение.

ijk Pijk Рис. 3.1 Представление j-й операции i-й работы Подобная задача сложна даже для формализации, а не только для ее решения. В практике теории расписания такая задача решалась численно очень немного раз.

Более простым является случай, когда операция каждой работы закреплена за машиной, т.е. каждая операция выполняется лишь на одной машине. В этом случае составление расписания заключается в установлении интервала времени, когда должна осуществляться каждая конкретная операция на соот ветствующей машине, при этом целевая функция должна быть минимальна (максимальна) и все техно логические условия и ограничения выполнены.

В этом случае каждую операцию можно изобразить прямоугольником (рис. 3.1) с единичной вы сотой и длиной, равной продолжительности этой операции.

Индексы ijk на рис. 3.1 обозначают:

i – номер работы;

j – номер операции i-й работы;

k – номер машины, на которой выполняется j-я операция i-й работы.

Длительность Рijk операции j работы i, выполненной на машине k, численно равна длине прямо угольника (рис. 3.1), но также и его площади, так как высота этого прямоугольника равна единице.

Множество всех работ может быть задано диаграммой (рис. 3.2) Блоки, расположенные в одной строке (рис. 3.2), относятся к одной работе, первый индекс каж дого блока в строке соответствует номеру работы. Второй индекс обозначает номер операции – это порядковый номер (1, 2, 3,...). Третий индекс – это номер машины, на которой выполняется опера ция, поэтому этот номер беспорядочен.

Работа 1 112 124 133 Работа 2 213 224 Работа 3 311 322 331 Работа 4 413 422 433 Рис. 3.2 Задание Рijk для составления расписания t машина Рис. 3.3 Представление машины Pijk 141 t машина Рис. 3.4 Длительность операции При составлении расписания обычно принимаются следующие допущения:

1 Машина под одним номером единственна, эта машина всегда исправна, т.е. в любой момент вре мени можно назначить выполнение операции, если эта операция действительно выполняется на данной машине и если в необходимый момент машина свободна.

Таким образом, машину можно представить себе как временную ось (рис. 3.3).

2 Прерывание операций отсутствует. Это означает, что на временной оси каждая операция обозна чается отрезком [a, b], причем длительность операции при этом Рijk = b – a. Таким образом, назначить выполнение операции на машине 1 в момент t – это значит поместить соответствующий блок из табл.

3.1 на ось t машины 1 (рис. 3.4).

В записи (141) цифра 1 – это и есть номер машины, на которой выполняется четвертая операция первой работы.

3 В каждый момент времени машина может выполнять не более одной работы. Это означает, что прямоугольники не могут налезать друг на друга, т.е. если есть две операции [ах, bх] и [аy, by], то для со ответствующих отрезков должно выполняться либо [ах, bх] < [аy, by], либо [аy, by] < [ах, bx].

4 Операции строго упорядочены и не пересекаются. Это очень важное допущение, оно означает что j + 1-я операция одной и той же работы i должна начаться только после того, как кончится j-я операция той же работы независимо от машины, на которой они выполняются (рис. 3.5) Для операций j и j + 1 одной и той же работы справедливо tн tк.

j +1 j i j k tн tк j j машина i, j + 1, tн tк j +1 j + машина Рис. 3.5 Отношение между операциями Сформулированные допущения не обязательны, есть задачи, в которых они не приемлемы, но эти задачи чрезвычайно сложны и почти не рассматривались.

Задача теории расписания считается заданной, если заданы число машин – m, число работ – n, число операций для каждой работы – qj, j = 1, 2, 3,..., n, время выполнения j-й операции i-й работы на k-й машине – Pijk, причем множество Pijk может быть задано в форме, представленной на рис. 3.2, момент готовности к выполнению i-й работы (момент наступления i-й работы) – ri, плановый срок выполнения i-й работы – di.

В теории расписания обычно рассматривается случай, когда момент прихода всех работ единовре менный, т.е. r1 = r2 = r3 =.... Таким образом, рассматривается статический случай: все работы извест ны, нужно их распределить по машинам. При этом можно считать ri 0. Иногда, однако, ri различны, т.е. необходимо рассматривать динамический процесс составления и коррекции расписания.

Однако характерными случаями разновременного прихода работ (ri = var) занимается теория массо вого обслуживания.

В дальнейшем считается, что ri = const, величина di – срок выполнения i-й работы.

Таким образом, продолжительность i-й работы Tiпр определяется как Tiпр = di - ri (3.1) или, если ri = 0, то Tiпр = di. (3.2) Предельная продолжительность – это интервал времени, в котором должны быть выполнены все операции i-й работы.

3.2 Диаграмма Гратта Составить расписание можно с помощью диаграммы Гратта.

Пусть для трех машин задание будет в виде табл. 3.1.

3.1 Задание для трех машин Работа 1 113 122 Работа 2 212 Работа 3 312 321 Каждую машину изображают в виде временной оси, и операции табл. 3.1 разно сят по машинам.

Теперь последний индекс операции соответствует своей машине и выполняется допущение о том, что машина в любой момент времени выполняет одну работу, прерывания операций отсутствуют. Но не выполнено допущение об упорядоченности и о непересекаемости операций.

r1 131 321 машина r2 122 212 312 машина r3 113 223 333 машина Рис. 3.6 Распределение работ по машинам Так, для первой работы все операции выполняются совместно. Этого не может быть. Сначала должна быть окончена первая операция, и только потом начинаться вторая операция. Поэтому диаграмму (рис. 3.6) необходимо преобразовать к этим условиям.

Если спроектировать операции работы 1 на горизонтальную ось, то получается график (рис. 3.8) ра боты 1.

Из графика (рис. 3.8) видно, что операции идут последовательно, не пересекаясь. Это и означает, что рис. 3.7 есть расписание.

Однако это плохое расписание с точки зрения любого критерия, и его можно улучшить.

Методами оптимизации и занимается теория расписания.

r1 131 321 машина r2 122 212 313 машина r3 113 223 333 машина Тmax Рис. 3.7 Расписание работы машин 11 12 13 работа Рис. 3.8 График операций работы 3.2 Связь между операциями и машинами Операции i-й работы 1 2 3 … gi Номер (mij) машины i-й работы j-й mi1 mi2 mi3 mig … операции Длительность Pi1 Pi2 Pi3 … Pig Учитывая, что между операциями и машинами существует однозначная связь, часто трехиндексную Pijk продолжительность работ, где первый индекс – номер работ, второй – номер операции, третий – но мер машины, заменяют на двухиндексную Pij, где первый индекс – номер работы, второй может быть либо номер машины, либо номер операции в зависимости от постановки задачи. Однако при этом зада ется связь между операциями и машинами в виде табл. 3. В табл. 3.2 mij – номер машины, на которой выполняется j-я операция i-й работы;

Pij – продолжи тельность выполнения j-й операции i-й работы.

Длительность выполнения всех операций i-й работы (длительность выполнения работы) gi Pi =. (3.3) Pij j = Очевидно, что Pi – минимальная длительность выполнения i-й работы. Максимально возможная длительность выполнения (говорят "прохождения") работ определяется плановыми заданиями Tiпр = di - ri, (3.4) где ri – момент готовности i-й работы (поступление i-й работы);

di – плановый срок выполнения i-й ра боты.

Между минимальной и максимально возможной длительностями естественно выполняется неравен ство Pi Tiпр.

Величины Pi, Tiпр, di, ri являются заданными величинами, известными до начала составления распи сания.

В качестве примера рассмотрим фрагмент расписания для двух работ и двух машин (рис. 3.9) Здесь в (i, j) первый индекс означает номер работы, второй – номер операции. Заштрихованные прямоугольники (рис. 3.9) – это интервалы времени, в течение которых выполняются операции.

н к Время начала j-й операции i-й работы обозначается tij, а время конца – tij. Время окончания всей i й работы обозначается tiк. Момент готовности первой работы r1, величина же W11 – время ожидания к первой операции первой работы (потерянное время). В момент времени t11 первая операция заканчива ется, однако вторая операция (1,2) этой работы начинается не сразу, а спустя время ожидания W12.

Таким образом, общее время ожидания для первой работы составит W1 = W11 + W12.

Начало второй работы также происходит не в момент r2, а спустя некоторое время ожидания W для первой операции и W22 для второй операции. Общее время ожидания для второй работы составит W2 = W21 + W22.

Т Т W11 W (1,1) (2,2) к н н к r1 t11 t11 t22 t W21 W (2,1) (1,2) к н к н r2 t21 t12 t t Рис. 3.9 Расписание для двух работ и двух машин Таким образом, общее время ожидания для любой работы определяется по формуле gi Wi =. (3.5) Wij j = Пусть Ti – продолжительность (прохождение) i-й работы, тогда она может быть рассчитана как Ti = tiк - ri, где tiк – конец последней операции работы i. Очевидно, что Ti = Wi + Pi. (3.6) Решить задачу составления расписания – значит найти все Wij, i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, gi. Причем начало и конец всех работ можно рассчитать как tiк = riWi1;

tiк = tiк + Pi1;

1 н tij = tiк + Wij ;

(3.7), j - к н tij = tij + Pij;

j = 2, K, gi.

Подведя итог, можно сказать, что расчет, необходимый для составления расписания, проводит ся по следующим формулам.

1 Момент окончания работы tiк = ri + Pi + Wi.

2 Длительность прохождения работы (интервал времени между началом и окончанием работы) Ti = Pi +Wi или Ti = tiк - ri.

3 Временное смещение работы Li = tiк - di или Li = Ti - Tiпр, где Tiпр = di - ri.

Таким образом, смещение работы Li является разностью между реальным и плановым сроком окончания работы или разностью между реальной и плановой длительностями работ.

4 Запаздывание и опережение работы. Если величина Li положительна, то она называется запаз дыванием – zi, если же Li – отрицательна, то она называется опережением Ei, т.е.

Li, tiк di, т.е. Ti Tiпр;

zi = (3.8) 0, tiк < di, т.е. Ti < Tiпр;

Li, tiк < di, т.е. Ti < Tiпр;

Ei = (3.9) 0, tiк di, т.е. Ti Tiпр или Li = zi - Ei.

Условно эти соотношения можно изобразить так, как представлено на рис. 3. Tiпp Ti Wi Pi Ei ri tiк di t Ti Wi Pi ri di t tiк Tiпр zi Рис. 3.10 Условные соотношения 3.3 Целевые функции задач теории расписания 3.3.1 СРЕДНИЕ ПОКАЗАТЕЛИ Основными средними показателями, используемыми в теории расписания являются следующие:

– средняя длительность ожидания n (3.10) W = ;

Wi n i= – среднее значение времени окончания работ n к к t = ;

(3.11) ti n i= – среднее значение длительности прохождения работ n T = ;

(3.12) Ti n i= – среднее временное смещение n L = ;

(3.13) Li n i= – среднее запаздывание n z =. (3.14) zi n i= Между средними показателями существует однозначное соответствие к пр L = t - d = T - T ;

к t = r + p + W;

n n n n пр 1 1 1 пр так как d =, p = pi, r =, T = относятся к исходным данным и не зависят от рас di ri Ti n n n n i=1 i=1 i=1 i= к писания, величины L, t, T, W тождественны.

Между средними показателями существует связь, как и между индивидуальными показателями. Эта связь показана на рис. 3.11.

к к Средний момент окончания работ t равен среднему времени прохождения T, так как T = t - r, а пр T = d.

пр T L L T z = L W Р к r t d Рис. 3.11 Соотношение между средними величинами Очевидно, вследствие связей оптимизация расписания по одному из средних показателей приводит к оптимизации по всем средним показателям.

Среднее смещение и среднее запаздывание связаны соотношением L = z - E.

Таким образом, максимум L совпадает с максимумом z только в случае, если Li > 0 при всех i = 1, 2, …, n.

3.3.2 МАКСИМАЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ К максимальным критериям относятся:

– максимальное значение длительности прохождения работ max T = maxTi;

(3.15) i – максимальное значение момента времени окончания работ tmax = max tiк;

(3.16) i – максимальное временное смещение Lmax = max Li;

(3.17) i – максимальное запаздывание zmax = max zi ;

(3.18) i 3.3.3 НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ЦЕЛЕВЫЕ ФУНКЦИИ К нерегулярным целевым функциям, используемым в теории расписания, относятся:

– коэффициент использования U, который рассчитывается по формуле n Pi i= U =. (3.19) max mT n Соотношение / m определяет среднюю продолжительность по машинам, которая известна, по Pi i= max этому коэффициент использования определяется максимальной длительностью T продолжения ра бот;

– среднее число работ в системе max t N = N(t)dt, (3.20) max t где N(t) – число работ в системе в момент времени t.

На рис. 3.12 представлен ранжированный график количества работ в системе.

Очевидно max t 1 N = N (t)dt = [nT1 + (n -1)(T2 - T1) + K + 2(Tn-1 - Tn-2) + Tn].

max max t t После преобразования получают n Ti nT i = N = =. (3.21) max max t t N T Таким образом =, т.е. отношение среднего числа работ N в системе к максимальному равно max n t отношению средней длительности прохождения работ в системе к максимальной.

n n – n – Т1 Т2 Т3 Tn-2 Tn-1 Tn Рис. 3.12 График изменения числа работ 3.3.4 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ К экономическим критериям относятся:

– стоимость эксплуатации машин;

– стоимость хранения запасов для производства работ;

– стоимость запаздывания z;

– стоимость простоев машин;

Уменьшить стоимость эксплуатации машин – это значит составить расписание, в котором машина за одно и то же время выполняет большую работу, чем при другом расписании, или выполняет ту же работу меньшим числом устройств. Это приводит либо к увеличению валовой продукции, либо к со кращению парка машин. Косвенным показателем этой целевой функции является коэффициент исполь зования.

Стоимость хранения запасов пропорциональна объему незавершенных работ. Косвенным показате лем здесь является средняя длительность продолжения работ.

Запаздывание при выполнении работ влечет штрафы, срыв ритмичности производства, увеличение простоев оборудования и т.п. Экономическое выражение ущерба от запаздывания весьма сложно.

Косвенным показателем ущерба от запаздывания является сама величина запаздывания.

В связи с тем, что экономические критерии вычисляются не просто, обычно при решении задач тео рии расписания используют регулярные и нерегулярные целевые функции.

Улучшения всех абсолютно критериев можно добиться, сдвигая влево все операции, пока это воз можно, т.е. пока не мешает предстоящая операция на этой машине, и пока операция не "налезает" на предыдущую операцию этой же работы, выполняемой на другой машине.

На примере расписания на рис. 3.7 преобразование "сдвиг влево" приводит к расписанию, пред ставленному на рис. 3.8.

Расписание, в котором нельзя сдвинуть ни одной операции влево, называется квазикомпактным (рис. 3.13).

Операцию (312) можно перенести на свободное место перед операцией (122), а операцию (321) поставить перед операцией (131) (рис. 3.14) Расписание, когда ни одну операцию нельзя ни перевести влево, ни передвинуть влево, называется компактным расписанием (рис. 3.14).

Буквально по всем разумным критериям оптимальное расписание нужно искать среди множества компактных расписаний.

r1 131 321 машина r2 122 212 312 машина r3 113 223 333 машина Тmax Рис. 3.13 Квазикомпактное расписание r1 321 131 машина r2 312 122 212 машина r3 213 223 машина Рис. 3.14 Компактное расписание 3.4 Частные задачи теории расписания 3.4.1 УПОРЯДОЧЕНИЕ ЧИСЛА РАБОТ НА ОДНОЙ МАШИНЕ Пусть все работы поступают одновременно, т.е. без уменьшения общности можно считать, что ri = 0 для всех i;

выполнение работ происходит либо без перенастройки машин, либо настройка не зависит от порядка выполнения работ.

Такая задача имеет большое практическое применение. Так, на химических, фармацевтических, пищевых производствах часто продукцию производят на одном оборудовании. То же относится к тяжелой, приборостроительной, бумажной и другим видам промышленности.

Иногда работает много машин, но одна из них является узким местом, и для этой одной машины не обходимо составить расписание. Это же относится и к транспорту, обслуживающему клиентов, аэро портам, морским портам, если в их системе есть узкие места (один аэропорт, обслуживающий общий поток – тогда для этого аэропорта необходимо составить расписание). Задача директора также отно сится к типу составления расписания для одной машины.

к max Так как ri 0, то очевидно t = T и tmax = T.

В теории расписания доказывается, что при одной машине оптимальное расписание не имеет преры ваний (рис. 3.15).

Как видно из рис. 3.15, значения критериев Тmax (максимальное время прохождения работ) или рав ное ему значение tmax (максимальный момент окончания работ) не зависят от расписания (порядка про хождения работ). Но, однако, средние показатели зависят.

Пусть имеются две работы с продолжительностью Р1 = 2 и Р2 = 4. Для одной машины может быть два типа расписания, которые представлены на рис. 3.16.

T T Т 1 2 0 Тmax tmax Рис. 3.15 Расписание для одной машины 1 0 2 а) 2 0 4 б) Рис. 3.16 Варианты расписаний:

а – первый вариант;

б – второй вариант Для первого варианта (рис. 3.16, а) имеем T1 = 2,W1 = 0, W1 = 2 и следовательно, T = (2 + 6) / 2 = 4, W = (0 + 2) / 2 = 1.

Для второго варианта (рис. 3.16, б) – T2 = 4, T1 = 6, W2 = 0, W1 = 4 ;

T = (4 + 6) / 2 = 5, W = (0 + 4) / 2 = 2. Оба средних показателя T, W лучше там, где вначале проходила короткая работа.

Для общего случая последовательности работ, отличающихся лишь тем, что работы i, j меняются местами, варианты расписаний представлены на рис. 3.17.

Pi Pj Pj Pi i j j i a) б) Рис. 3.17 Варианты расписаний для общего случая:

а – первый вариант;

б – второй вариант Средние значения времени ожидания в расписании первого (I) и второго (II) вариантов будут I I I W = (W + W + K + WiI + WjI + K+ W );

I [1] [2] [n] n II II II II W = (W + W + K + WiII + W + K + W ), II [1] [2] [n] j n где W – время ожидания работ, стоящих на -м месте.

[] Очевидно, что WiI =, WjI = + Pi;

WjII =, WiII = + Pi.

Отсюда 1 W -W = ( + + Pi - - - Pj ) = (Pi - Pj ).

I II n n Пусть Pi > Pj, тогда W -W > 0, т.е. W > W.

I II I II Таким образом, работа с меньшей длительностью должна выполняться раньше, чем работа с боль шей длительностью.

Расписание должно быть составлено так, чтобы работы возрастали по длительности P[1] P[2] K P[n].

Это правило носит название правила кратчайших операций.

В оптимальном решении первой должна выполняться операция с наименьшей длительностью.

Алгоритм, который ранжирует работы и назначает порядок в соответствии с возрастанием ее про должительности, называется алгоритмом SPT (shortest-processing-timesennencing). Он основан на теоре ме: среднее время ожидания W при одной машине минимально, если P[1] P[2] K P[n], и максимально, если после упорядочения длительности работ последняя не возрастает P[1] P[2] K P[n ].

Оптимальное по одному среднему критерию расписание будет оптимально и по другому среднему критерию W, tк, T, L, z.

SPT минимизирует и целый ряд других целевых функций: минимальную длительность прохожде ния, минимальное время окончания работ, минимальное ненулевое ожидание, максимальное ожидание.

Из соотношения (3.21) следует T N = n, max t т.е. SPT минимизирует и среднее число работ N в системе.

3.4.2 РАБОТЫ РАЗНОЙ ВАЖНОСТИ Для работ разной важности иногда в качестве целевой функции берется W, которая определяется как n W = Wi. (3.22) i n i= Расписание будет минимизировать функцию (3.22), если работы выполняются в порядке P[1] P[2] P[3] P[n] K. (3.23) [1] [2] [3] [n] С точки зрения других целевых функций, расписание будет другим. Так, расписание, минимизи рующее Lmax или zmax, таково, что должно выполняться условие d[1] d[2] d[3]K d[n]. (3.24) 3.4.3 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ Когда говорят о параллельных машинах, то под этим понимают случай, при котором имеется не од на, а несколько одинаковых машин, и каждая операция может выполняться на любой машине.

3.3 Исходные данные для двух параллельных машин и двух работ Машины 1 Работы 1 2 2 2 1 машина 0 1 2 машина 0 1 а) 1 2 машина 0 1 1 2 машина 0 1 б) Рис. 3.18 Варианты расписаний для двух работ на двух машинах:

а – первый вариант;

б – второй вариант Пусть имеются две машины и две работы. Требуется составить расписание, используя исходные данные, представленные в табл. 3.3.

Каждая работа выполняется любой из двух одинаковых машин за время Т = 2. Здесь могут быть два варианта расписаний (рис. 3.18).

В первом варианте (рис. 3.18, а) каждая работа полностью выполняется на своей машине. Во вто ром варианте (рис. 3.18, б) на обеих машинах сначала выполняется первая работа, затем на обеих маши нах выполняется вторая работа.

max В рассматриваемых вариантах очевидно, что максимальные показатели T и tmax одинаковы, а средние нет. Действительно, среднее время прохождения работ для первого варианта T = (2 + 2) / 2 = 2, а для второго варианта T = (1+ 2) / 2 = 1,5.

Следовательно, второй вариант лучше. Работы лучше производить одновременно на параллельных машинах. Здесь встает вопрос о том, P10 P 0 1 2 машина Рис. 3.19 Эквивалентная машина как же назначать порядок работ. Из рис. 3.18, б следует, что можно считать, что у нас есть одна машина с производительностью в два раза большей (рис. 3.19), которая называется эквивалентной.

На эквивалентной машине за единицу времени выполняют первую работу и за вторую единицу вре мени – вторую работу.

Эквивалентные времена выполнения работ этой машиной будут P1 P P10 = ;

P20 =.

2 Если имеются m одинаковых машин, то эквивалентная продолжительность работ определяется по формуле Pi Pi0 =.

m Если машины разные, то Pi0 =.

m Pij j= Как и для одной машины, при минимизации средних показателей: среднего времени ожидания W, среднего времени прохождения работ T и других – используется алгоритм SPT:

0 0 P[1] P[2] K P[n].

3.4.4 СИСТЕМЫ КОНВЕЙЕРНОГО ТИПА Система называется системой конвейерного типа, если машины можно ранжировать таким образом, что первая операция каждой работы выполняется на первой машине, вторая операция на второй и т.д.

Именно так обстоит дело при работе на конвейерах, и в связи с этим такие задачи получили название конвейерных.

Пусть производительность работ задана табл. 3. 3.4 Производительность машин конвейерного типа Работа 1 111 122 133 Работа 2 211 222 233 Работа 3 311 322 333 Работа 4 411 422 433 Как и раньше, первый индекс i обозначает номер работы, второй индекс j обозначает номер опера ции. Третий индекс здесь уже лишний, так как он совпадает со вторым (ведь j-я операция любой работы делается в конвейерной системе на j-й машине).

Конвейерные системы являются значительным упрощением задачи теории расписания общего вида, хотя и имеет широкое применение. Для этих задач получен ряд частных результатов.

3.4.5 СИСТЕМА ИЗ ДВУХ МАШИН КОНВЕЙЕРНОГО ТИПА Каждая работа такой системы имеют две операции (имеются две машины). Первая операция произ водится на первой машине, вторая операция – на второй машине.

Для обозначения длительности здесь достаточно двух индексов. Так, Рij обозначает длительность j-й операции для i-й работы, причем j = 1, 2. Или можно считать Pij длительностью i-й работы, выполняе мой на машине j (j = 1, 2).

В теории расписания доказывается, что в случае двух машин в системе конвейерного типа порядок выполнения операций на первой машине в оптимальном случае совпадает с порядком выполнения операций на второй машине.

Действительно, пусть имеются две работы I1 = (1, 1) и I2 = (2, 2), для которых указанное правило не выполняется (рис. 3.20, а), а расписание оптимально: 1 < 2, 2 < 1.

Очевидно, 1 можно подвинуть, отрезок "bd" сдвинуть так, чтобы точка b совпала с точкой а. То гда, так как отрезок "ad" не трогали, то после работы 2 можно поместить операцию 1.

В результате получили 2 1 и 2 1. Новое расписание (рис. 3.20, б) не хуже старого, а может быть и лучше, если 2 можно сдвинуть влево и 1 также сдвинуть влево.

1 a b c d 2 a) b d 2 а c d 2 б) Рис. 3.20 Расписание для двух машин:

а – правило конвейерной системы не выполняется;

б – оптимальное расписание Таким образом, можно считать, что при работе на двух машинах порядки выполнения работ на од ной машине и на второй совпадают.

Для целевой функции максимальной длительности прохождения работ Джонсоном доказана теоре ма.

В конвейерной системе из двух машин при одновременном доступе всех работ минимизация мак max симальной длительности прохождения этих работ min( T ) осуществляется следующим образом:

работа I1 = (1, 1) предшествует работе I2 = (2, 2), т.е. I1 < I2, если min(1, 2) min(2, 1). (3.25) Пример 3. Пусть I1 = (5, 2), I2 = (10, 4), тогда min(5, 4) = 4, min(10, 2) = 2, откуда 4 > 2 и следовательно I2 < I1.

На основе теоремы Джонсона построен алгоритм ранжирования работ.

Доказано, что условие (3.25) тождественно следующему.

Работа I1 < I2, если а) 1 1, 2 2, 1 < 2 ;

б) 1 1, 2 > 2;

(3.26) в) 1 1, 2 2, 1 > 2.

Условия (3.26) делят все множество работ на два типа (табл. 3.5).

3.5 Формирование расписания для двух машин Работа I типа Работа II типа WI = {Ii} WII = {Ij} i i j > j Порядок следования I[1], I[2], K, I[k] I[k +1], I[k +2], K, I[n] [1] [2] K [k] [k +1] [k +2] K [n] Пример 3. 3.6 Исходные данные 1 2 3 4 5 6 7 7 9 1 3 4 6 10 i 5 11 8 1 9 3 2 i 3.7 Ранжирование работ Номер работы 1 2 3 4 5 6 7 Номер ранжи [5] [4] [1] [8] [3] [6] [7] [2] ровки 3 8 5 2 5 3 Рис. 3.21 Расписание для двух машин конвейерного типа 3.4.6 СИСТЕМА ИЗ ДВУХ МАШИН КОНВЕЙЕРНОГО ТИПА Каждая работа в конвейерной системе из трех машин состоит из трех операций: Ii = (i, i, i), где i – операция, выполняемая на первой машине;

i – операция, выполняемая на второй машине;

i – опера ция, выполняемая на третьей машине.

max Целевой функцией является максимальное время прохождения работ T, которое необходимо ми нимизировать.

Здесь возможны следующие варианты:

1 Работы располагаются в порядке i = 1, 2, 3, …, n, если i i i;

1 2 3 K n;

1 2 3 K n;

1 2 3 K n.

2 Операции на второй машине малы, т.е.

min i maxi i i или min i max i.

i i В этом случае следует рассматривать комплексы работ i + i и i + i и уже к ним применять тео рему Джонсона.

Работа I1 < I2, если min(1 + 1, 2 + 2) < min(2 + 2, 1 + 1). Задача решается так же, как и для двух машин с той лишь разницей, что i заменяется на i + i, а i на i + i.

Для непосредственного решения задачи необходимо составить таблицы исходных данных для каж дой работы i i + i, i = i + i = и применить Джонсовский алгоритм для ранжирования работ.

3.4.7 СИСТЕМА КОНВЕЙЕРНОГО ТИПА ИЗ m МАШИН В системе конвейерного типа из m машин работа состоит из m операций:

I = (1, 2, …, m), где i выполняется на i-й машине.

Для таких систем мало конечных результатов составления оптимального расписания.

Для целевой функции, представляющей собой средние регулярные критерии T, W и другие, дока зана теорема [1]:

В оптимальном расписании должен быть одинаковый порядок выполнения работ на первых двух машинах, если все работы доступны одновременно.

max Для целевой функции, минимизирующей максимальную продолжительность T, доказана сле дующая теорема:

В оптимальном расписании должен быть одинаковый порядок работ на двух первых машинах и на двух последних, т.е. на машинах 1, 2 и на m – 1, m, если все работы доступны одновременно.

Решение данной задачи осуществляется методом ветвей и границ.

3.5 Алгоритм решения общей задачи составления расписания Алгоритмы решения общей задачи составления расписания подразделяются на диспетчерские (при ближенные) и точные.

3.5.1 АЛГОРИТМЫ ДИСПЕТЧЕРИЗАЦИИ В алгоритмах диспетчеризации включение в расписание операции производится один раз и навсегда.

Операции назначаются одна за другой и также выполняются.

Таким образом, процесс назначения операции и выполнение ее можно совместить, именно поэтому такие алгоритмы называются алгоритмами диспетчеризации.

Пусть {Sso} – множество ожидающих операций. Если операция взята из {Sso} и включена в распи сание, назад в {Sso} она вернуться не может, то это алгоритм диспетчеризации.

Наиболее часто используются следующие типы алгоритмов диспетчеризации.

1 Незадерживающая диспетчеризация. Множество {Sso} разбивается на m подмножеств {Sso}k опе раций, которые ожидают освобождения k-й машины и для которых предшествующие операции выполнены.

Пусть {Sso}k = {(i, j, k), (i1, j1, k), (i2, j2, k), …};

Tk – момент освобождения k-й машины.

Для машины с номером k выбирается та операция, для которой предыдущая операция выполнена, если такой нет, то выбирается та, у которой минимально время ожидания до начала операции на k-й ма шине (ij) = argminWijk, i, j где Wijk = Sijk – Tk, Sijk – момент возможности начала операции j на машине k, т.е. момент, когда все пре дыдущие операции этой машины выполнены. Выбор операции для машины с номером k представлен на рис. 3.22.

Wijk ijk машина k Tk Sijk i, j – 1, l машина l Рис. 3.22 Выбор операции для машины с номером k 2 Диспетчеризация по минимуму времени выполнения операций.

При такой диспетчеризации из {Sso}k выбирается не та операция, у которой меньше время ожидания от момента освобождения Тk, а та у которой меньше сумма времени ожидания и времени выполнения (рис. 3.23) (ij) = arg min[ Wijk + Pijk].

ij Pijk Wijk ijk машина k Tk i, j – 1, l машина l Рис. 3.23 Диспетчеризация по минимуму времени выполнения операций Диспетчеризация по минимуму времени ожидания и незадерживающимся операциям называется моделированием процесса, так как сам процесс составления расписания моделирует реальное выполне ние расписания.

3 Моделирование по приоритетам.

Приоритет является числовой характеристикой, показывающей важность работы.

Сначала выбираются те машины, которые имеют высший приоритет, затем с более низким.

3.5.2 ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАСПИСАНИЯ К точным методам составления расписания относится метод ветвей и границ. Для применения мето да из теории графов известно, что для этого необходимо:

1) правильно сформулировать, что такое состояние (вершина);

2) формализовать функцию оценки вершины.

Таким образом, состояние – это фрагмент расписания, которое уже построено. Ветвление – операции, идущие за этим фрагментом. Функция оценки Qn = qn + n, где qn – оценка уже пройденного пути (т.е. оценка фрагмента расписания);

n – функция прогноза, обещание эффективности оставшегося фрагмента расписания, т.е. длительности, ожидания и т.д. до це левой вершины.

Из теории графов известно, что метод будет тем эффективнее, чем ближе функция к (к n * n точному значению), тем меньше количество вершин потребуется раскрыть. Причем, если для n всех вершин меньше, метод ветвей и границ найдет оптимальное расписание, а если для не * n * которой вершины будет больше – метод ветвей и границ не гарантирует нахождение оптималь n n * n ного решения.

n Для каждой конкретной задачи формализация функции происходит нестандартно. Часто n расчет для каждого узла сам по себе сложная задача, требующая длительных расчетов. При этом встает задача компромисса между точностью оценки нижней границы и временем, необ * n ходимым для расчета этой оценки. Может оказаться, что целесообразно загрубить, что приво n n дит к большему числу вершин, которые нужно раскрыть, однако, времени на расчет функции оцен ки этих вершин затрачивается мало.

Наиболее распространены следующие методы расчета оценок.

1 Используя уже составленный до данной вершины фрагмент расписания, формализуется все рас писание одним из методов диспетчеризации. При этом значением n для этой вершины будет значение максимального идеального времени прохождения работ полученного расписания.

2 Для каждой оставшейся невыполненной работы определяется время его полного выполнения. К этому времени прибавляется время возможного начала выполнения этой работы. За оценку нижней гра ницы для этой вершины берется максимум этой величины по всем работам.

3 Для каждой из машин находится сумма длительностей всех оставшихся операций, выполняемых на данной машине. К этой сумме добавляется время начала выполнения операций на этой машине. За оценку нижней границы для вершины берется максимум этих величин по всем машинам.

Первый из описанных алгоритмов наиболее трудоемок, алгоритмы 2 и 3 требуют значительно меньшего времени для вычисления, однако, они дают часто слишком низкую оценку функции, что приводит к большему числу раскрываемых вершин.

Алгоритм 2 эффективнее, если осталось много работ с высокой длительностью, большей, чем длительно сти уже запланированных работ.

Алгоритм 3 эффективен, если существует машина, у которой время еще невыполненных работ больше, чем выполненных.

4 ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Практические требования рациональной организации массового обслуживания: билетные кассы, магазины, автоматы и прочее, а также телефонного дела – физики выдвинули в начале нашего столетия в ряд интересных математических задач нового типа. Задачи подобного типа возникают в самых разно образных направлениях исследований: в естествознании, в технике, в экономике, транспорте, военном деле, организации производства. Решением этих задач занимается теория массового обслуживания.

Итак, теория массового обслуживания занимается изучением вопросов организации и обслуживания потока требований или заявок.

4.1 Некоторые понятия теории массового обслуживания Требованием или заявкой называется объект, который необходимо обслужить. Такими объектами могут быть станок, подлежащий ремонту, самолет противника, который надо сбить, железнодорожные составы, проходящие через железнодорожный узел, покупатели, приобретающие товар, и т.д. Как вид но, объект является носителем запроса. Поэтому в дальнейшем под требованием и заявкой понимается не только объект, но и сам запрос на обслуживание. Например, запрос на ремонт станка, запрос на уничтожение самолета, запрос на продажу товара покупателю и т.д.

Совокупность появляющихся требований называется потоком требований.

Устройства, удовлетворяющие запросу на обслуживание, называются обслуживающими устройст вами, аппаратами или приборами. Эти термины используются широко, т.е. прибором могут быть как устройство, собственно прибор, но также и совокупность устройств, человек, коллектив завода и т.д., словом все те люди и механизмы, с помощью которых удовлетворяется запрос на обслуживание.

Совокупность всех обслуживающих устройств называется цехом. Термин "цех" также понимается в широком смысле. Так, магазин с Входной Выходной поток поток Цех Очередь х х х х х х х х х х х х х х Прибор Индуктор Система массового обслуживания Рис. 4.1 Система массового обслуживания покупателями – это цех с приборами. Таким образом, цех может содержать один или несколько прибо ров в зависимости от того, сколько обслуживающих устройств обслуживает поток требований.

Если время обслуживания велико, появляется очередь, т.е. множество требований, желающих быть обслуженными, но еще не обслуженных.

Цех вместе с очередью называется системой массового обслуживания. Эта система изображена на рис. 4.1. Непосредственно сама система выделена пунктирным контуром, который является внешним контуром системы.

Работу системы массового обслуживания можно абстрактно представить следующим образом: гене ратор (источник) генерирует очередное требование, которое поступает в систему и либо становится в очередь на обслуживание, либо, если очереди нет, поступает в цех, где прибор начинает выполнять запрос на обслуживание.

Последовательность требований, входящих в систему массового обслуживания, называется входя щим (входным) потоком, выходящие требования называются выходящим (выходным) потоком.

4.2 Цели и задачи теории массового обслуживания Целью теории массового обслуживания является создание моделей различных систем массового обслуживания для анализа операционных показателей этих систем и синтеза целесообразных систем массового обслуживания.

Операционными показателями систем массового обслуживания являются:

– вероятность наличия очереди;

– средняя длина очереди;

– среднее время ожидания начала обслуживания;

– степень загруженности обслуживающей системы;

– определение числа необслуженных требований.

Теория массового обслуживания ставит своей целью получение математического описания, позво ляющего рассчитать операционные показатели в зависимости от варьируемых параметров таких, как число приборов, эффективность приборов, организация процесса обслуживания и другие, а также пара метров входного потока.

Математическую модель массового обслуживания в операторной форме можно представить как Q = f (x, u), (4.1) где Q – вектор операционных показателей;

x – параметры входного потока требований;

u – варьируемые параметры;

f – оператор, устанавливающий связь между Q и x, u.

Вектор варьируемых параметров обычно разбивается на две составляющие u = (u1, u2), где u1 – век тор дисциплины очереди;

u2 – вектор механизма обслуживания.

Дисциплиной очереди называется порядок выбора требований из очереди. Обычно используют следующие дисциплины очереди:

1) "первый пришел – первый обслуживается" – дисциплина "живой очереди";

2) "последний пришел – первый обслуживается" – примером такой системы является склад, запол ненный изделиями, из которого на доработку удобно брать изделия, поступившие последними;

3) выбор требований случайным способом;

4) выбор требований в соответствии с присвоенными приоритетами.

К составляющим механизма обслуживания относятся эффективность, т.е. скорость, с которой прибор обслуживает требования;

количество каналов обслуживания или, другими словами, число парал лельных приборов, обслуживающих требования;

наличие последовательных приборов.

Входной поток х характеризуется различной интенсивностью (скоростью возникновения новых зая вок), структурой (числом очередей), характером поведения требований (требования могут быть терпе ливые и нетерпеливые), ограниченностью и неограниченностью максимального числа требований и другими показателями.

Если для некоторого типа систем массового обслуживания математическая модель (4.1) создана, то задача теории массового обслуживания считается решенной. Задача оптимизации операционных пока зателей или зависимости от них экономических показателей решается обычно поисковыми методами или иными методами принятия оптимальных решений и уже, по сути дела, не относится к задачам соб ственно теории массового обслуживания.

Задачи, решаемые теорией массового обслуживания, чрезвычайно разнообразны, поэтому их следует каким-либо образом классифицировать.

4.3 Классификация задач теории массового обслуживания 4.3.1 КЛАССИФИКАЦИЯ ПО ОБЩИМ ПРИЗНАКАМ Одна из возможных классификаций систем массового обслуживания представлена на рис. 4.2. Со гласно этой классификации система массового обслуживания разделяется на три подсистемы.

Первая подсистема – это система массового обслуживания без потерь. Под термином "система без потерь" (с полным ожиданием) будем понимать систему, в которой, если все приборы заняты, требова ние становится в очередь и не покидает ее до тех пор, пока не будет обслужено.

Вторая подсистема – это система с частичными потерями. Эта подсистема характеризуется тем, что требование либо не становится в очередь, если эта очередь превышает по длине некоторую величину (система с ограниченной длиной очереди), либо становится в очередь, но покидает ее, если время пре бывания в ней превышает определенную величину (система с ограниченным временем пребывания), или, если время ожидания в очереди начала обслуживания превышает определенную величину (система с ограниченным временем ожидания начала обслуживания).

Третья подсистема – это система без очередей. Под этим термином понимают систему, в которой требование покидает систему, если все обслуживающие устройства (приборы) заняты. В такой сис теме, очевидно, очереди не может быть.

Системы, имеющие очередь, подразделяются на системы с одной очередью и системы с нескольки ми очередями.

Все системы массового обслуживания делятся на системы с одним каналом и системы с конечным числом каналов. Под термином "канал" понимают обслуживающее устройство в цехе, пропускающее через себя требование (удовлетворяющее запрос на обслуживание). Таким образом, число каналов об служивания равно числу приборов. В тех случаях, когда приборов много, удобно (математически более просто) считать, что их бесконечное число.

Система массового обслуживания c потерями, без потерь, без очередей с очередями, с ограни с ограни с огра ченной ченным ни длиной временем ченным очереди ожидания време нем пре со многими очередями - - Рис. 4.2 Классификация систем массового обслуживания Все системы можно разделить на системы с бесконечным числом требований (например, запросы на телефонные переговоры, на обслуживание покупателей, автомашины на бензозаправках и т.д.) и с конечным числом требований в системе (группа ремонта станков в цехе: число станков известно, тре нировка футболистов футбольной команды, лечение больных студентов в институтской поликлинике и т.п.). Представленная классификация, конечно, не исчерпывает все множество различных систем мас сового обслуживания. Эти системы могут классифицироваться и по другим признакам.

Так, весьма важной характеристикой является дисциплина обслуживания, в соответствии с которой системы подразделяются на четыре вида, как уже указано в п. 4.2.

Другими вариантами классификации являются следующие.

Поступление требований может быть единичным и групповым.

Требования могут обслуживаться параллельно работающими приборами, но может быть и система, в которой приборы расположены последовательно, так, что как только будет обслужено требование первым прибором, то начнет обслуживаться и другое и т.д.

Интенсивное обслуживание прибором может быть постоянным или зависеть от длины очереди, приоритетов или каких-либо других факторов.

Наконец системы массового обслуживания различают по характеру входного потока и по характеру обслуживающих устройств.

4.3.2 КЛАССИФИКАЦИЯ ВХОДНЫХ ПОТОКОВ По характеру входной поток требований разделяется на детерминированный поток требований и стохастический (рис. 4.3).

Входной поток Детерминированный Стохастический (D) процесс с постоянными с известными произвольный рекуррентный пуассоновский интервалами интервалами поток поток (совершенно между (расписание) требований (G) требований случайный) требованийями (GI) поток требований (M) Рис. 4.3 Классификация входного потока Детерминированный входной поток может быть двух видов. В первом случае требования поступа ют через равные промежутки времени t = 1/, где – интенсивность потока, т.е. число требований в единицу времени.

Другим видом детерминированного потока является поток, в котором требования хотя и поступают, но не через равные промежутки времени, а по известной программе – расписанию, когда моменты по ступления новых требований известны заранее. В этом случае можно определить средний интервал t между поступлениями требований, который определяется как t = 1/, где – по-прежнему средняя интенсивность.

Если промежутки времени между поступлениями требований случайны, то это будет стохастиче ский процесс. Этот случай имеет наибольшее практическое значение, так как поступление заявок на об служивание в подавляющем большинстве случаев случайно.

Стохастический поток требований подразделяется на три вида: поток с произвольными стохастиче скими свойствами, рекуррентный поток и совершенно случайный или пуассоновский поток требований.

Произвольный поток требований характеризуется тем, что в нем не накладывается никаких ог раничений на стохастическую независимость интервалов между поступлениями требований, а так же на характер вероятностных законов, описывающих интервалы между требованиями.

Входной поток называется рекуррентным, если он характеризуется следующими свойствами:

а) продолжительность интервалов между поступлениями требований стохастически независимы;

б) продолжительность интервалов описывается одной и той же плотностью распределения.

Рекуррентный поток требований называется процессом восстановления. Средняя продолжитель ность t интервалов между последовательными поступлениями требований определяется по формуле математического ожидания t = (4.2) tg(t)dt = 1/.

Входной поток называется совершенно случайным или простейшим, если для него характерны сле дующие признаки:

а) продолжительность интервалов между поступлениями требований статически независимы;

б) продолжительность интервалов описывается одной и той же плотностью распределения;

в) вероятность поступления требований на достаточно малом интервале t не зависит от времени t, а зависит только лишь от величины t (это свойство называется стационарностью или однородностью прихода);

г) вероятность поступления требований на интервале t не зависит от предыстории процесса, т.е. от того, сколько требований поступило, каким образом (через какие промежутки времени) и в какой мо мент по отношению к интервалу t. Это свойство называется отсутствием памяти или свойством отсут ствия последствия. Говорят, что процесс поступления требования в этом случае имеет марковский ха рактер;

д) характер потока требований таков, что в любой момент времени может поступить только одно требование. Это свойство называется свойством ординарности. В таких потоках вероятность появления двух требований в малом интервале t пренебрежима мала, она имеет порядок малости выше t.

Таким образом, простейший поток требований или совершенно случайный поток – это поток, опре деляющийся свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последствия одновременно.

Предположения о совершенно случайном входном потоке требований эквивалентно тому, что плот ность распределения интервалов времени между последовательными поступлениями требований описывается экспоненциальным законом g(t) = e-t, t 0. (4.3) Таким образом, можно сказать, что входной поток является совершенно случайным или простей шим, если а) плотность вероятности интервалов между последовательными поступлениями требований рас пределена по одному и тому же экспоненциальному закону (4.3);

б) поток ординарен, т.е. в малом интервале t поступление двух и более требований невозможно или почти невозможно;

Докажем, что поток требований, интервалы между которыми распределены с плотностью вероятно сти (4.3), удовлетворяет свойствам стационарности и отсутствия последствия.

Для этого обозначим вероятность отсутствия требований на интервале [0, t] P0(t) = Вер{ > t}= d = e-t, (4.4) e а на интервале [t, t + t] t +t P0(t) = Вер{t t + t}= d = e-t = 1- t + 0(t2 ). (4.5) e t При малом t эта вероятность (4.5) может быть представлена в виде P0(t / t) = P0(t) 1- t. (4.6) Из формулы (4.6) видно, что вероятность P0(t / t) зависит лишь от величины интервала времени t, поэтому ее будем обозначать Р0(t).

Вероятность того, что в интервале t появится хотя бы одно требование, также не зависит от мо мента времени t и предыстории процесса и определяется как P(t) = 1- P0(t) = t, (4.7) что и доказывает стационарность процесса и отсутствие последствия.

Так как вероятность поступления в малый интервал времени двух и более требований ничтожно мала, то (4.7) показывает вероятность P1 (t) поступления одного требования в интервале t.

Таким образом, P1(t) = t, (4.8) которая с ростом t пропорционально растет, что свидетельствует о появлении на данном интервале но вого требования.

Согласно (4.3) средний интервал времени между появлением требований будет t = 1/, дисперсия Dt = 1/ 2.

Если Рn(t) – вероятность поступления n требований в системе на интервале [0, t] и если интервалы распределены по экспоненциальному закону (4.3), то вероятность Рn(t), n = 0, 1, 2, …, удовлетворяет за кону Пуассона (t)n e-t Pn (t) =. (4.9) n!

Процесс в этом случае называется пуассоновским.

Итак, если интервалы распределены по экспоненциальному закону, то процесс пуассоновский, т.е.

Рn(t) удовлетворяет (4.9), и наоборот, если процесс пуассоновский, то интервалы между последователь ными поступлениями требований распределены по экспоненциальному закону. Такие процессы назы ваются M-процессами (марковскими).

P 4 P = = 2 = = 0, 1 = 0, 0,5 1 1,5 2 2,5 3 t t Рис. 4.4 Экспоненциальное Рис. 4.5 Пуассоновское распределение распределение Пример экспоненциального распределения приведен на рис. 4.4, а на рис. 4.5 – пуассоновское рас пределение Рn(t). Пуассоновским законом распределения описываются очень многие реальные потоки требований на обслуживание.

Кроме закона Пуассона? часто применяется закон распределения Эрланга, который используется для аппроксимации широкого круга распределений, отличающихся от экспоненциального, путем под бора параметров k и.

(k)(kt)k -1e-kt g(t) =, t 0. (4.10) (k -1)!

Если = 1, эрланговский закон превращается в экспоненциальный.

На рис. 4.6 представлена взаимосвязь различных видов входных потоков. Как следует из рисун ка и определений, данных выше, пуассоновский поток является частным случаем эрланговского по тока, который, в свою очередь, является частным случаем рекуррентного потока. Последний же яв ляется частным случаем общего потока – стохастического произвольного.

В соответствии с принятой терминологией Кендалла обозначают: М – экспоненциальное распреде ление;

D – детерминированное распределение;

Еk – k-фазное распределение Эрланга;

GI – рекуррентный входной поток;

G – общий вид распределения.

Стохастический произвольный поток G Детерминированный рекуррентный входной поток поток GI с постоянным с переменным эрланговский интервалом интервалом Еk D D пуассо- новский М Рис. 4.6 Отношение различных видов входных потоков 4.3.3 КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ОБСЛУЖИВАНИЯ Аналогично входному потоку процесс обслуживания требований может быть детерминированным и стохастическим.

Детерминированный процесс обслуживания характеризуется постоянной величиной времени об служивания t0 = 1/ µ, где µ – интенсивность обслуживания, которая представляет собой число требований, обслуживаемых в единицу времени.

Стохастический процесс обслуживания может быть произвольным, рекуррентным или совершенно случайным, как и при описании входного потока требований.

На практике считают и это чаще всего соответствует реальным ситуациям, что время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону (t) = µe-µt, t 0. (4.11) Здесь параметр µ представляет собой среднее время обслуживания t0 = t(t)dt = 1/ µ.

Таким образом, параметр µ – это среднее число требований, обслуживаемых в единицу времени.

Дисперсия в этом случае определяется как Dt0 = 1/ µ2.

Как уже указывалось, экспоненциальный закон распределения времени предполагает, что случай ный процесс является стационарным, без последствия. При допущении ординарности процесса, когда в достаточно малом интервале времени не могут окончиться обслуживания двух и более требований, процесс, описываемый (4.11) является совершенно случайным. При этом, как и при классификации входных потоков, поток обслуживания требований является пуассоновским, т.е. вероятность, что за время t будет окончено обслуживание n требований, определяется по формуле (µt)ne-µt Pn(t) =. (4.12) n!

Вероятность того, что при интервале времени меньшем t ни одно обслуживание не будет окончено, определяется как G0(t) = (4.13) (t)dt = e-µt.

t Вероятность, что при интервале времени t будет закончено хотя бы одно обслуживание, составит G(t) = 1- e-µt. (4.14) При малых интервалах времени t, для которых не может закончиться обслуживание более одного требования, как следует из (4.14), вероятность того, что закончится обслуживание одного требования в интервале t, будет G1(t) = 1 - e-µt µt + 0(t2). (4.15) Аналогично входному потоку можно показать, что это выражение справедливо и для вероятности окончания обслуживания полного требования в интервале [t, t + t]. При экспоненциальном распреде лении времени обслуживания этот процесс стационарен и без последствия, т.е. совершенно случаен.

4.3.4 ОБОЗНАЧЕНИЯ КЕНДАЛЛА СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Для систем массового обслуживания Кендаллом введены следующие обозначения: H1 H2 i, где Н1 – характеристика входного потока;

Н2 – характеристика времени обслуживания прибора;

i – число прибо ров (каналов).

Так, например, ММ1 – обозначает систему с пуассоновским входным потоком, экспоненциаль ным временем обслуживания, одним прибором;

GID2 – система с рекуррентным входным потоком, детерминированным временем обслуживания, с двумя потоками (приборами);

Е2G4 – система с вре менем обслуживания, имеющим общий вид распределения по двухфазному распределению Эрланга, с четырьмя обслуживающими устройствами.

В дальнейшем системы массового обслуживания будут обозначаться следующим образом H1 H2 i K =, R µ s r p где K – обозначения Кендалла;

R – обозначения подсистем систем массового обслуживания типа, ха рактеризуемого K.

Под R понимается следующая последовательность R = µ s r p, где – может быть либо числом N, либо числом : число N обозначает, что в системе число требований оценимо и их не может быть более N;

знак обозначает, что поток требований не ограничен (бесконе чен);

– характеристика интенсивности входного потока: если на этом месте стоит, то это обозначает, что интенсивность постоянна ( = const), если (х), то интенсивность зависит от параметра системы х;

µ – характеристика интенсивности обслуживания: знак µ обозначает, что µ = const;

знак µп обозна чает, что интенсивность пропорциональна длине очереди;

µ(х) обозначает, что интенсивность зависит от параметра системы х;

s – характеризует "терпеливость" требований: на этом месте может стоять Н, что обозначает отсут ствие очереди или абсолютные потери (полностью нетерпеливые клиенты);

Т обозначает отсутствие потерь – требования не уходят из очереди (безусловно терпеливые клиенты);

уТ – условно терпеливые клиенты, при этом условия могут быть: m M – очередь не может быть больше М, t0 – время ожида ния в очереди не может быть больше и т.д.;

r – число очередей;

p – обозначает наличие или отсутствие приоритетов: 0 – отсутствие, 1 – наличие.

Пусть система массового обслуживания обозначена M M, µ T СОГЛАСНО ПРИНЯТЫМ ОБОЗНАЧЕНИЯМ ЭТО СИСТЕМА С ПУАССОНОВСКИМ ВХОДНЫМ ПОТОКОМ, ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМ ВРЕМЕНЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ, С ДВУМЯ ОБСЛУЖИ ВАЮЩИМИ ПРИБОРАМИ, С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ПОТОКОМ ТРЕБОВАНИЙ, С ОДНОЙ ОЧЕРЕ ДЬЮ, БЕЗ ПРИОРИТЕТОВ.

G M Система отличается от предыдущей тем, что входной поток произволен, имеет три об µ yT служивающих прибора, требования терпеливы при выполнении некоторого условия. Так m 20 означа ет, что, если в очереди стоит уже 20 клиентов, то остальные требования теряются.

Ниже рассматриваются конкретные типы систем массового обслуживания.

4.4 Системы массового обслуживания с очередью без потерь 4.4.1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СИСТЕМЫ Система массового обслуживания с очередью без потерь обозначается M M.

µ T Простейшая система данного типа характеризуется следующими свойствами:

а) в системе имеется один канал обслуживания (в цехе один прибор);

б) поток требований не ограничен;

в) входной поток совершенно случайный с параметром ;

г) длительность обслуживания распределена по показательному закону с параметром µ;

д) параметры и µ постоянны.

Условная схема системы массового обслуживания без потерь с очередью и одним каналом обслу живания показана на рис. 4.7.

Очередь x x x x x x x х х m Рис. 4.7 Система массового обслуживания без потерь с очередью и одним каналом обслуживания Примером такой системы может быть очередь на приеме у должностного лица, директора, юриста, очередь в билетную кассу, а также задачи ремонта техники, снабжения и т.п.

Пусть m – число требований в очереди, n – число требований, находящихся в системе (т.е. в очереди и в цехе).

Очевидно, что n = 0, 1, 2, K;

0, если n = 0;

(4.16) m =.

n -1, если n = 1, 2, K Так как входной поток пуассоновский, то P0 (t) = 1- t + 0(t2);

(4.17) P1(t) = t + 0(t2).

Обслуживание подчиняется экспоненциальному закону G0(t) = 1- µt + 0(t2);

(4.18) G1(t) = µt + 0(t2).

Число n требований в системе называется состоянием системы.

Вероятность Рn того, что в системе находится точно n требований, называется вероятностью со стояния n:

Pn = Вер { = n}.

Если эта вероятность не меняется во времени, то такой процесс обслуживания называется статиче ским стационарным. Очевидно, при изменении параметров входного потока или интенсивности прибо ров эта величина может меняться во времени, тогда процесс называется статическим нестационарным.

Обозначим через Рn(t) вероятность того, что в системе находится точно n требований в момент вре мени t, если в начальный момент требований не было, и Рni(t) вероятность того, что в системе находится точно n требований в момент времени t, но если в начальный момент в системе было i требований.

4.4.2 ПРОЦЕСС РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ Класс случайных процессов марковского типа начали изучать и в связи с биологическими поста новками вопросов о численности популяций, распространении эпидемий и т.п. Это обстоятельство при вело к тому, что подобные процессы получили название "процессы рождения и гибели" и нашли широ кое применение во многих прикладных вопросах, далеких по своему физическому характеру от биоло гических. Рассматриваемый класс процессов относится к данному классу и описывается уравнением изменения Рni(t) во времени.

Если s – событие, заключающееся в том, что в момент t + t состояние системы будет n, а в момент времени t = 0 состояние системы было i, то вероятность события s будет Рni(t + t).

Интервал времени [0, t + t] разделим на два интервала [0, t] и [t, t + t]. Как указывалось выше, за время t, если оно мало, в систему не могут поступить два и более требований и не может закончиться обслуживание двух и более требований. Отсюда следует, что состояние системы за время t может из меняться только за счет того, в систему войдет или выйдет одно требование.

Рассмотрим некоторое событие s = sА + sВ + sС + sD. На рис. 4.8 представлена полная система собы тий sА, sВ, sС, sD таких, что событие s произойдет, если произойдет одно из этих событий. На рис. 4.8, а и 4.8, б показана ситуация, когда в момент времени t состояние системы n, которое останется в момент времени t + t только в том случае, если в систему не поступит и не выйдет ни одного требования, или, если поступит и выйдет по одному требованию. Событие sС (рис. 4.8, в) заключается в том, что в момент времени t состояние системы было n – 1, но за время t одно требование поступило, но ни одно не вы шло. Событие sD (рис. 4.8, г) состоит в том, что в момент времени t состояние системы было n + 1, за время t одно требование вышло из системы и ни одного не вошло.

Вероятности РsA, PsB, PsC, PsD соответственно событий sА, sВ, sС, sD выражаются соотношениями Ps A = Pin (t)P0(t)G0(t) Pin (t)(1- nt)(1- µnt);

PsB = Pin (t)P1(t)G1(t) Pin (t)ntµnt;

PsC = Pin-1(t)P1(t)G0(t) Pin (t)n-1t(1- µn-1t);

PsD = Pin+1(t)P0(t)G1(t) Pin+1(t)(1- n+1t)(µn+1t).

= 0 = t = t + t Состояние i Интервал [0, t] Состояние n Интервал [t, t + t] Состояние n а) = 0 = t = t + t Состояние i Интервал [0, t] Состояние n Интервал [t, t + t] Состояние n б) = 0 = t = t + t Состояние i Интервал [0, t] Состояние n – 1 Интервал [t, t + t] Состояние n в) = 0 = t = t + t Состояние I Интервал [0, t] Состояние n + 1 Интервал [t, t + t] Состояние n г) Рис. 4.8 Событие s = sА + sВ + sС + sD, составляющие события s:

а – sА;

б – sВ;

в – sС;

г – sD В этих уравнениях индексы при и µ показывают, что в общем случае параметры и µ зависят от со стояния системы.

Так как s = sА + sВ + sС + sD, то Pin(t + t) = РsA + PsB + PsC + PsD и следовательно Pin (t + t) = Pin(t)(1- nt)(1- µnt) + Pin(t)ntµnt + + Pin(t)n-1t(1- µn-1t) + Pin (t)(1- n+1t)µn+1t.

Если t 0, то получим дифференциальное уравнение, описывающее процессы рождения и гибе ли:

dPin = n-1Pin-1 (t) - (n + µn)Pin (t) + Pin+1 (t)µn+1, (4.19) dt при начальных условиях Pin(0) = 0, n = 0, 1, 2, …, i – 1, i + 1, …, Pii(0) = 1.

Уравнение (4.19) справедливо для n = 0, 1, 2, … Если для n = 0 считать, что n–1 = –1 0 и µ0 0, то это уравнение преобразуется к виду dP0i = -0Pi0(t) + Pi1µ1. (4.19а) dt Уравнение (4.19) называется моделью процессов рождения и гибели.

Если принять, что в момент времени t = 0 состояние системы равно нулю и µn 0 для n = 0, 1, 2, …, то из модели (4.19) получается модель чистого рождения dP0n = n-1P0n-1(t) - nP0n (t), n = 0, 1, 2, K dt При условии –1 0 и начальных условиях Р0n(0) = 0, n = 1, 2, 3;

P00(0) = 1. Индекс "0" в этих урав нениях, очевидно, можно опустить, и тогда модель чистого рождения принимает вид dP = -0P0(t);

dt (4.20) dP n = n-1Pn-1(t) - nPn(t), n = 1, 2, K;

dt Р(0) = 1, Рn(0) = 0, n = 1, 2, … Решение системы дифференциальных уравнений (4.20) в явном виде дает изменение вероятности состояния Pn(t) во времени (t)n-1e-t Pn(t) =, n!

но это и есть пуассоновский закон (4.9), которым, по предположению, описывается входной поток тре бований (рождение требований).

Если принять, что в момент времени t = 0, состояние системы будет равно s и n 0 для n = 0, 1, 2, 3, …, то из модели (4.19) получается модель чистой гибели;

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.