WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

А.В.Блохин ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Курс лекций в двух частях Часть 1 Блохин А.В. Теория эксперимента [Электронный ресур]: Курс лекций в двух частях: Часть 1. — Электрон. текст. дан. (1,1 Мб). — Мн.:

Научно-методический центр “Электронная книга БГУ”, 2003. — Режим доступа:

http://anubis.bsu.by/publications/elresources/Chemistry/blohin1.pdf. — Электрон.

версия печ. публикации, 2002. — PDF формат, версия 1.4. — Систем.

требования: Adobe Acrobat 5.0 и выше.

МИНСК «Электронная книга БГУ» 2003 © Блохин А.В.

© Научно-методический центр «Электронная книга БГУ» www.elbook.bsu.by elbook@bsu.by БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра физической химии А. В. Блохин ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Курс лекций В двух частях Часть 1 МИНСК БГУ 2002 УДК 542(042) ББК 24.в.я73 Б70 Рецензенты:

кандидат химических наук Н. Н. Горошко;

старший преподаватель кафедры физической химии Л. М. Володкович Печатается по решению Редакционно-издателъского совета Белорусского государственного университета Блохин А. В.

Б70 Теория эксперимента: Курс лекций. В 2 ч. Ч. 1 / А. В. Бло- хин. - Мн.: БГУ, 2002. - 68 с.

ISBN 985-445-790-7.

В курсе лекций изложены основы современных методологических подходов к постановке и обработке результатов физико-химических иссле дований и математических методов, применяемых при планировании и оп тимизации эксперимента.

Предназначено для студентов IV курса химического факультета.

УДК 542(042) ББК 24.в.я ISBN 985-445-790-7(ч. 1) © Блохин А. В., ISBN 985-445-792-3 © БГУ, СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ _ ВВЕДЕНИЕ _ ЛЕКЦИЯ 1 1.1 Случайные величины. Классификация ошибок измерений. Абсолютная и.

относительная погрешность. 1.2. Оценка погрешностей функций приближенных аргументов. _ 1.3. Распределение случайных величин. Функция распределения и плотность распределения случайной величины. ЛЕКЦИЯ 2 _ 2.1. Числовые характеристики случайной величины. Свойства математического ожидания и дисперсии. Нормированная случайная величина. _ 2.2. Нормальное и стандартное распределения случайной величины. Функция Лапласа. Задача об абсолютном отклонении. _ ЛЕКЦИЯ 3 _ 3.1. Генеральная совокупность и случайная выборка. Выборочная функция распределения. Гистограммы. Понятие об оценках параметров генерального распределения. _ 3.2. Метод максимального правдоподобия. _ 3.3. Оценка математического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной величины. Дисперсия среднего серии измерений. _ ЛЕКЦИЯ 4 _ 4.1. Доверительные интервалы и доверительная вероятность, уровень значимости. 4.2. Проверка статистических гипотез, критерии значимости, ошибки первого и второго рода. _ 4.3. Построение доверительного интервала для математического ожидания непосредственно измеряемой величины. Распределение Стъюдента. ЛЕКЦИЯ 5 _ 5.1. Оценка случайной и суммарной ошибки косвенных измерений. 5.2. Оценка дисперсии нормально распределенной случайной величины. _ 5.3. Сравнение двух дисперсий. Распределение Фишера. _ ЛЕКЦИЯ 6 _ 6.1. Определение дисперсии по текущим измерениям. Сравнение нескольких дисперсий. _ 6.2. Сравнение двух средних. Расчет средневзвешенного значения. _ 6.3. Проверка однородности результатов измерений. 6.4. Сравнение выборочного распределения и распределения генеральной совокупности. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова. _ ПРИЛОЖЕНИЯ_ Приложение 1 Приложение 2 Приложение 3 Приложение 4 Приложение 5 Приложение 6 Приложение 7 Приложение 8 ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие представляет собой лекции по курсу «Теория экс перимента» для студентов IV курса химического факультета, специали зирующихся на кафедре физической химии, и содержит основы совре менных методологических подходов к постановке и обработке резуль татов физико-химических исследований и математических методов, применяемых при планировании и оптимизации эксперимента.

В первой части пособия введено понятие о результатах эксперимен та как случайных величинах, информация о которых содержится в за конах распределения. Рассмотрен нормальный закон распределения ве роятностей для непрерывных величин. Во многих прикладных задачах нет необходимости использовать законы распределения в полном виде, вместо них можно воспользоваться числовыми характеристиками слу чайной величины, в сжатой форме выражающими наиболее существен ные особенности ее распределения. Введено понятие и рассмотрены свойства наиболее часто применяемых моментов распределения — ма тематического ожидания и дисперсии. Рассмотрены основные понятия математической статистики: генеральная совокупность и случайная выборка, оценки генеральных параметров и их свойства, методы про верки статистических гипотез и построение доверительных интервалов для генерального среднего и дисперсии. Для получения оценок гене ральных параметров используется метод максимального правдоподо бия. Указаны способы оценки случайной и суммарной погрешности косвенных измерений. Представлены методы проверки однородности двух и более выборочных дисперсий, сравнения средних и расчета средневзвешенного значения величины.

Во второй части пособия рассмотрены основные методы корреля ционного и регрессионного анализов, широко применяемых при обра ботке результатов физико-химических измерений. Введено понятие о стохастической связи между случайными величинами и коэффициенте корреляции, характеризующем тесноту линейной зависимости между ними. Коэффициенты полиномиальных зависимостей определяются методом наименьших квадратов, который обосновывается как частный случай метода максимального правдоподобия при нормальном распре делении случайных величин. Использование полиномиальных моделей позволяет улучшать аппроксимацию экспериментальных данных, по вышая порядок полиномов. Представлены основы дисперсионного ана лиза, использующего свойство аддитивности дисперсии изучаемой случайной величины, что дает возможность разложить ее на отдельные составляющие, обусловленные влиянием независимых факторов или их взаимодействий. Рассмотрены основные положения и методы обработ ки результатов для однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализов;

метод планирования эксперимента по схеме латинского квадрата для трехфакторного анализа.

Изложены методы планирования эксперимента с использованием полиномиальных моделей, направленные на поиск оптимальных усло вий при неизвестном механизме протекания процессов. Показано, что выбор плана эксперимента определяется задачей исследования. Линей ные модели используются в методе крутого восхождения по поверхно сти отклика. Для достижения экстремума может быть также использо ван метод симплекс-планирования. Для описания области, близкой к экстремуму, применяются композиционные планы второго порядка.

Лекции основаны на материале, представленном в следующих учебных пособиях:

1. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в хими ческой технологии. М.: Высш. шк., 1985. 327 с.

2. Спиридонов В.В., Лопаткин А.А. Математическая обработка физико-хими ческих данных. М.: МГУ, 1970. 221 с.

3. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. М.: Мир, 1985. 272 с.

Изложенный в пособии материал условно систематизирован по раз делам-лекциям и представляет собой теоретическую основу для рас смотрения практических вопросов и задач, возникающих при поста новке, планировании и обработке физико-химических экспериментов.

Многие положения и правила даны без математических доказательств, рассмотрение которых не является целью курса. Проведение с помо щью этого пособия лекций-консультаций позволит, во-первых, высво бодить дополнительное время для решения практических заданий в рамках отведенных на курс учебных часов (традиционно 24 лекцион ных часа и 10 часов семинарских занятий) и, во-вторых, активизиро вать самостоятельную работу студентов. На каждом занятии после об суждения теоретических вопросов студентам будут предложены прак тические задачи, основанные на экспериментальных исследованиях, выполненных сотрудниками кафедры физической химии. Последние, после их апробации, составят в будущем третью часть данного посо бия.

ВВЕДЕНИЕ Задачей большинства физико-химических экспериментов является количественное изучение каких-либо свойств вещества. Для этого про водятся измерения одной или нескольких физических величин с после дующей обработкой полученных данных. Экспериментальные резуль таты всегда содержат погрешности, связанные с тем, что любые изме рения сопровождаются действием и взаимодействием большого числа разнообразных и трудноучитываемых факторов. Конечной целью лю бого исследования является не только представление наилучшей, по мнению экспериментатора, оценки измеряемой величины, но и макси мально достоверной оценки погрешности измерений.

Любой прибор или устройство для измерения физических величин можно рассматривать в виде объекта (рис. 1), для которого x1, …, xk — входные измеряемые и регулируемые параметры;

w1, …, wl — некон тролируемые, случайным образом изменяющиеся параметры («шум» объекта);

y1, …, ym — выходные параметры. Комплекс параметров x1, …, xk называют основным, поскольку он определяет условия экспери мента. Результат опыта зависит не только от основных параметров, но и от «шума» объекта, влияние которого носит случайный характер. По этому естественно рассматривать и результат эксперимента, и ошибку измерения как случайные величины, управляемые вероятностными за конами, и применять для учета действия случайных факторов теорию вероятностей. Тогда влияние случайных ошибок на результат измере ния можно количественно оценить при помощи математической стати стики — науки, занимающейся применением вероятностных методов к решению задач в различных областях наук, в частности в задаче обра ботки результатов наблюдений.

Современная химическая промышленность выпускает несколько десятков тысяч наименований продуктов, в лабораториях разрабаты ваются сотни новых технологических процессов. Экспериментальное изучение механизмов протекания всех этих процессов нереально, меж ду тем задачи оптимизации и управления этими процессами необходи мо решать. Для этих целей успешно применяются экспериментально статистические методы, с помощью которых составляется математи ческая модель объекта и при неизвестном механизме протекающих в объекте процессов изучается зависимость отклика системы на измене ния основных параметров.

Рис. 1. Схема объекта.

Математической моделью объекта служит функция отклика, связы вающая выходной параметр, характеризующий результаты экспери мента, с переменными, которые варьируют при проведении опытов:

y = (x1, x2,…, xk).

Независимые переменные x1, x2,…, xk называют факторами, простран ство с координатами x1, x2,…, xk — факторным пространством, а гео метрическое изображение функции отклика в факторном пространстве — поверхностью отклика.

Эффективность экспериментов в большой степени зависит от мето дов их проведения. Пассивный эксперимент является традиционным методом, когда ставится большая серия опытов с поочередным варьи рованием каждой из переменных. Обработка опытных данных прово дится статистическими методами, позволяющими оптимизировать про цедуру обработки и анализа эксперимента. Используя активный (спла нированный) эксперимент, можно достичь существенно большего — оптимизировать и стадию постановки эксперимента. Под планировани ем эксперимента понимают оптимальное управление экспериментом в условиях неполной информации о механизме процесса. Развитие этой концепции связано с работами Р. Фишера, главная идея которых состо ит в раздельной оценке эффектов в многофакторной ситуации. Широко применяемое планирование эксперимента при поиске оптимальных ус ловий процесса связано с работами Бокса и Уилсона. В настоящее вре мя методы планирования и оптимизации эксперимента широко приме няются при изучении процессов в лабораторных и полузаводских усло виях и несколько реже в промышленности.

ЛЕКЦИЯ Случайные величины. Классификация ошибок измерений. Абсолютная и относительная погрешность. Прямые и косвенные измерения. Оценка по грешностей функций приближенных аргументов. Распределение случай ных величин. Функция распределения и плотность распределения.

1.1. Случайные величины. Классификация ошибок измерений.

Абсолютная и относительная погрешность.

Под случайной величиной понимают величину, принимающую в ре зультате испытания значение, которое принципиально нельзя предска зать, исходя из условий опыта. Случайная величина обладает целым набором допустимых значений, но в результате каждого отдельного опыта принимает лишь какое-то одно из них. В отличие от неслучай ных величин, изменяющих свое значение только при изменении усло вий опыта, случайная величина может принимать различные значения даже при неизменном комплексе основных факторов.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Воз можные значения дискретных величин можно заранее перечислить.

Значения непрерывной случайной величины не могут быть заранее пе речислены, они заполняют собой некоторый интервал. Набор допусти мых значений сам по себе слабо характеризует случайную величину.

Чтобы ее полностью охарактеризовать, необходимо не только указать, какие значения она может принимать, но и как часто.

Каждый результат измерения — случайная величина. Отклонение результата реального измерения от истинного значения величины на зывается ошибкой измерения. («Ошибка» в научном смысле означает неизбежную погрешность, которая сопутствует всем измерениям). Ни одну физическую величину (длину, время, температуру и т.д.) невоз можно измерить с полной определенностью. Лучшее, на что можно рассчитывать, — это свести ошибки к возможному минимуму и надеж но рассчитать их величины.

Различают ошибки измерений трех видов:

1. Грубые ошибки возникают вследствие нарушения основных усло вий измерения. Результат, содержащий грубую ошибку, резко отли чается по величине от остальных измерений, на чем основаны неко торые критерии исключения грубых ошибок.

2. Систематические ошибки постоянны во всей серии измерений или изменяются по определенному закону. Выявление их требует спе циальных исследований, их всегда стремятся свести к минимуму, а при необходимости они обычно учитываются введением соответст вующих поправок в результаты измерения.

3. Случайные ошибки — ошибки измерения, остающиеся после устра нения всех выявленных грубых и систематических ошибок. Они вызываются большим количеством таких факторов, эффекты дейст вия которых столь незначительны, что их нельзя выделить в от дельности (при данном уровне техники измерения). При этом рас пределение случайных ошибок обычно симметрично относительно нуля: ошибки, противоположные по знаку, но равные по абсолют ной величине, встречаются довольно часто.

Корректный способ представления результатов любого измерения состоит в том, что экспериментатор указывает свою наилучшую оценку измеряемой величины и интервал, в котором, как он уверен, она лежит.

Чтобы охарактеризовать отклонение приближенного значения некото рой величины от ее истинного значения, вводят понятия абсолютной и относительной погрешностей, отвлекаясь от конкретного источника погрешностей.

Пусть А — точное значение исследуемой величины, а — ее наи лучшая экспериментальная оценка (обычно среднее арифметическое серии измерений). Под абсолютной ошибкой (или погрешностью) ве личины а понимают абсолютное значение разности между этими зна чениями:

= А – а = а, (1.1) или А = а ±. (1.2) Предельная абсолютная погрешность определяется как пр. А – а, (1.3) или пр., (1.4) при этом (а + пр.) А и А (а - пр.), (1.5) т. е. истинное значение искомой величины заведомо лежит в пределах а - пр. А а + пр.. (1.6) Для характеристики относительной точности измерений, зависящей от значения измеряемой величины, вводится относительная погреш ность:

=, (1.7) A A =. (1.8) По аналогии с абсолютной погрешностью вводится также понятие пре дельной относительной погрешности:

пр., (1.9) A или пр. A. (1.10) Тогда пр.

пр. =, (1.11) A или пр. A = пр.. (1.12) В вышеприведенные формулы входит неизвестная величина А, что делает невозможным численное определение погрешности. Практиче ски поступают следующим образом: так как в большинстве случаев аб солютная погрешность много меньше самой измеряемой величины, т. е. << A, << a или А а, то для таких достаточно точных изме рений можно записать:

a и пр. a пр..

Тогда с учетом определений абсолютной и относительной погрешно стей получаем A = a ± = a1 ± a(1 ± ) или A a(1 ± пр.). (1.13) a Относительная погрешность в отличие от абсолютной является вели чиной безразмерной и для большинства измерений представляет собой малое число, поэтому ее часто умножают на 100 и приводят в процен тах.

1.2. Оценка погрешностей функций приближенных аргумен тов.

Измерения делят на прямые и косвенные. В первом случае непо средственно измеряется определяемая величина, при косвенных изме рениях она задается некоторой функцией от непосредственно измеряе мых величин. Подавляющее большинство физико-химических свойств веществ и параметров процессов определяются в результате косвенных измерений, погрешность которых зависит от погрешностей непосред ственно измеряемых величин, использованных в расчетах.

Предположим, что некоторые величины X1, X2, …, Хn измерены с абсолютными погрешностями х1, х2, …, хn и что измеренные значе ния используются для вычисления функции Z = f (X1, X2, …, Хn). (1.14) Очевидно, что погрешности приближенных аргументов должны при вести к погрешности в значении искомой функции, что можно записать в следующем виде:

Z + z = f (X1 + x1, X + x2,..., X + xn ), (1.15) 2 n где z — абсолютная погрешность функции Z.

Разложим правую часть равенства (1.15) в ряд Тейлора:

Z + z = f (X1, X,..., X ) + 2 n n n f 1 2 f + (1.16) xi + 2 xi2 +....

Xi Xi i =1 i = Если предположить, что измерения достаточно точны, так что величи ны хi малы по сравнению со значениями аргументов Xi, то в выраже нии (1.16) можно отбросить все члены, содержащие абсолютные по грешности аргументов во второй и высшей степенях. Тогда n f Z + z f (X1, X,..., X ) + (1.17) 2 n xi, Xi i = откуда с учетом (1.14) получаем n f z (1.18) xi.

Xi i = Выражение для предельной абсолютной погрешности функции n переменных запишется в следущем виде:

n n f f пр xi = i, (1.19) Xi Xi i =1 i = т.е. предельная абсолютная погрешность функции независимых пере менных равна сумме частных производных этой функции, умноженных на соответствующие абсолютные погрешности аргументов. В прак тических расчетах значения частных производных берутся в точках, соответствующих измеренным значениям хi или средним арифметиче ским xi, если проводились серии измерений.

В математической статистике также доказывается, что если абсо лютные погрешности аргументов независимы и случайны, то наилуч шей оценкой погрешности функции (1.14) будет квадратичная сумма ее частных производных, умноженных на соответствующие погрешно сти аргументов:

n f z xi. (1.20) Xi i = Формулы (1.19) и (1.20) являются основными при практических расче тах. Из них можно вывести формулы для расчетов погрешностей кос венных измерений для некоторых частных случаев, использование ко торых на практике бывает более удобным:

1. Измеренная величина умножается на точное число. Если величина X измерена с погрешностью х и используется для вычисления Z = BX, в котором В — точное число, то абсолютная погрешность в Z равна z = B x. (1.21) 2. Погрешность в суммах и разностях. Если величины X1, X2, …, Хn из мерены с малыми погрешностями х1, х2, …, хn и измеренные зна чения используются для вычисления функции Z = (X1 + … + Хm) – (Хk + …+ Хn), а погрешности аргументов независимы и случайны, то погрешность в Z равна квадратичной сумме исходных погрешностей:

z = (x1)2 +... + (xm )2 + (xk )2 +... + (xn )2 ;

(1.22) в любом случае она никогда не больше, чем их обычная сумма z x1 +... + xm + xk +... + xn. (1.23) 3. Погрешности в произведениях и частных. Если величины X1, X2, …, Хn измерены с малыми погрешностями х1, х2, …, хn и измеренные значения используются для вычисления функции X1... X m Z =, X... X k n а погрешности аргументов независимы и случайны, то относитель ная погрешность в Z равна квадратичной сумме исходных относи тельных погрешностей:

2 2 2 z x1 xm xk xn = +... + + +... + ;

(1.24) Z X1 X X X m k n в любом случае она никогда не больше, чем их обычная сумма z x1 xm xk xn +...+ + +...+. (1.25) Z X1 X X X m k n 4. Погрешность в произвольной функции одной переменной. Если вели чина X измерена с погрешностью х и используется для вычисления функции Z = f (X), то абсолютная погрешность в Z равна Z z = x. (1.26) X 5. Погрешность в степенной функции. Если величина X измерена с по грешностью х и используется для вычисления степенной функции m Z = X (где m — фиксированное известное число), относительная погрешность в Z в m раз больше, чем в Х:

z x = m. (1.27) Z X Пользуясь формулами (1.21) - (1.27), можно справиться практиче ски с любой задачей вычисления ошибок в случае косвенных измере ний. Любой расчет может быть представлен как последовательность определенных шагов, каждый из которых включает один из следующих видов операций: 1) нахождение сумм и разностей, 2) расчет произведе ний и частных, 3) вычисление функции одного переменного (данный метод называют «шаг за шагом»). Однако в случае когда выражение для вычисления функции Z включает одну и ту же величину более чем один раз (например, дважды Х1), то некоторые из ошибок могут взаим но компенсироваться и в результате расчет ошибки методом «шаг за шагом» может привести к переоценке конечной погрешности. Поэтому в подобных случаях рекомендуется пользоваться общими формулами (1.19) и (1.20).

1.3. Распределение случайных величин. Функция распределе ния и плотность распределения случайной величины.

Пусть дискретная физическая величина Х может принимать в ре зультате опыта значения х1, х2, …, хn. Отношение числа опытов mi, в ре зультате которых величина Х принимает значение хi, к общему числу проведенных опытов n называется частотой появления события Х = хi.

Частота (mi / n) является случайной величиной и меняется в зависимо сти от количества проведенных опытов. Однако при большом количе стве опытов (в пределе n ) она стабилизируется около некоторого значения рi, называемого вероятностью события Х = хi (статистиче ское определение):

рi = Р (Х = хi) (mi / n). (1.28) Очевидно, что сумма вероятностей реализации всех возможных значе ний случайной величины равна единице:

n pi = 1. (1.29) i = Дискретную случайную величину можно полностью задать вероят ностным рядом, указав вероятность рi для каждого значения хi:

х1 х2 х3 … хn р1 р2 р3 … рn Законом распределения случайной величины называют любое соот ношение, устанавливающее связь между возможными значениями слу чайной величины и соответствующими им вероятностями. Вероятност ный ряд является одним из видов законов распределения случайной ве личины.

Распределение непрерывной случайной величины нельзя задать ве роятностным рядом, поскольку число значений, которое она может принимать, так велико, что для большинства из них вероятность при нять эти значения равна нулю. Поэтому для непрерывных физических величин изучается вероятность того, что в результате опыта значение случайной величины попадет в некоторый интервал. Удобно пользо ваться вероятностью события Х х, где х — произвольное действи тельное число. Эта вероятность Р (Х х) = F(x) (1.30) является функцией от х и называется функцией распределения (пре дельной функцией распределения, функцией распределения генеральной совокупности) случайной величины. В виде функции распределения можно задать распределение как непрерывной, так и дискретной слу чаной величины (рис. 2 и 3). F(x) является неубывающей функцией, т.е.

если х1 х2, то F(х1) F(х2) (рис. 3).

Рис. 2. Функция распределения Рис. 3. Функция распределения дискретной случайной величины. непрерывной случайной величины.

Ордината кривой F(x), соответствующая точке хi, представляет со бой вероятность того, что случайная величина Х при испытании ока жется хi. Тогда вероятность того, что значения случайной величины будут лежать в интервале от х1 до х2, равна Р(х1 Х х2) = F(х2) - F(х1). (1.31) Значения F(х) при предельных значениях аргумента равны: F(-) = 0, F(+) = 1. Следует отметить, что функция распределения дискретной случайной величины всегда есть разрывная функция. Скачки происхо дят в точках, соответствующих возможным значениям этой величины, и равны вероятностям этих значений (рис. 2).

Для непрерывной случайной величины наиболее часто использует ся производная функции распределения — плотность распределения случайной величины Х.

Если F(х) непрерывна и дифференцируема, то dF(x) f (x) =. (1.32) d x Задание f (x) также полностью определяет случайную величину. Плот ность распреределения является неотрицательной функцией (рис. 4).

Рис. 4. Плотность распределения непрерывной случайной величины.

Площадь, ограниченная осью х, прямыми х = х1 и х = х2 и кривой плотности распределения, равна вероятности того, что случайная вели чина примет значения из интервала х1 х2:

x Р (х1 Х х2) = f (x) dx = F(х2) - F(х1). (1.33) x Тогда x F(х) = Р(- Х х)= f (x) d x. (1.34) Поскольку попадание случайной величины в интервал - < Х < + есть достоверное событие, то + f (x) dx = 1. (1.35) ЛЕКЦИЯ Числовые характеристики случайной величины. Свойства математиче ского ожидания и дисперсии. Нормированная случайная величина. Кван тили. Нормальное и стандартное распределения случайной величины.

Функция Лапласа. Задача об абсолютном отклонении.

2.1. Числовые характеристики случайной величины. Свойст ва математического ожидания и дисперсии. Нормиро ванная случайная величина.

Вместо полного определения случайной величины в виде законов распределения вероятностей в прикладных задачах ее часто определя ют при помощи числовых характеристик — чисел (вещественных), выражающих характерные особенности случайной величины, называе мых моментами случайной величины.

Наиболее часто в приложениях математической статистики исполь зуют математическое ожидание (характеристику положения значений случайной величины на числовой оси) и дисперсию (или среднее квад ратичное отклонение), определяющую характер разброса значений случайной величины.

Математическое ожидание (генеральное среднее) случайной вели чины (начальный момент первого порядка) принято обозначать М [Х], mx или m. Оно определяется для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно как n m = M [X] = pi, (2.1) i x i = + mх = M [X] = f (x) d x. (2.2) x Для случайных величин математическое ожидание является теоре тической величиной, к которой приближается среднее значение x слу чайной величины Х при большом количестве испытаний.

Свойства математического ожидания:

1. Если с — постоянное число (неслучайная величина), то М [c] = c, (2.3) М [cХ] = c М [Х]. (2.4) 2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих случайных величин:

М [Х1 + Х2 + …+ Хn] = М [Х1] + М [Х2] + … + М [Хn]. (2.5) 3. Математическое ожидание произведения независимых случай ных величин равно произведению математических ожиданий со множителей:

М [Х1Х2Х3…Хn] = М [Х1]М [Х2]М [Х3]…М [Хn]. (2.6) Случайные величины называются независимыми, если каждая из них имеет самостоятельное распределение, не зависящее от воз можных значений других величин.

4. Если случайная величина Z является некоторой нелинейной функцией n независимых случайных величин Z = f (X1, X2, …, Хn), которая мало меняется в небольших интервалах изменения аргу ментов, то M[Z]= f (M[X1], M[X ],..., M[X ]). (2.7) 2 n Дисперсией (вторым центральным моментом) случайной величи ны называется математическое ожидание квадрата отклонения случай ной величины от ее математического ожидания, т. е.

D [X] = M [(X – mx)2]. (2.8) Для дискретной и непрерывной случайных величин дисперсия оп ределяется следующим образом соответственно:

n D [X] = i (x - mx )2 pi, (2.9) i = + D [X] = - mx )2 f (x) d x. (2.10) (x Другие обозначения для дисперсии: Dx, x2, 2(X).

Дисперсия играет важную роль при статистических расчетах и яв ляется мерой рассеяния значений х около их математического ожида ния. Корень квадратный из второго центрального момента называется средним квадратичным отклонением (стандартным отклонением, или стандартом):

x = = D [X ]. (2.11) Свойства дисперсии:

1. Если с — постоянное число (неслучайная величина), то 2(c) = 0, (2.12) 2(cХ) = с2 2(Х). (2.13) 2. Дисперсия случайной величины равна математическому ожида нию квадрата случайной величины минус квадрат ее математиче ского ожидания:

2 2(Х) = М [ X ] — mx. (2.14) 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

2(Х1 + Х2 +…+ Хn) = 2(Х1) + 2(Х2) + … + 2(Хn). (2.15) Выражение (2.15) называют законом сложения дисперсий. Следует отметить, что закон сложения справедлив для дисперсий случайных величин (2), а не среднеквадратичных отклонений ().

4. Если случайная величина Z является нелинейной функцией n не зависимых случайных величин Z = f (X1, X2, …, Хn), которая мало меняется в небольших интервалах изменения аргу ментов, то ее дисперсия приближенно равна 2 f f 2(Z) = 2 (X1) + 2 (X ) + X1 X f +... + 2 (X ). (2.16) n X n Выражение (2.16) называют законом накопления ошибок, и он часто используется в теории ошибок для определения случайной ошибки функции по значениям случайных ошибок аргументов.

Третий центральный момент, разделенный на x3, называется коэф фициентом асимметрии плотности распределения:

+ = - mx )3 f (x) d x / 3. (2.17) x (x - На рис. 5 приведены примеры плотностей распределения с одинаковы ми математическим ожиданием и дисперсией, но с разными коэффици ентами асимметрии.

Рис. 5. Плотности распределения с нулевым и ненулевым коэффициентами асимметрии.

Если у случайной величины Х существуют первый и второй момен ты, то можно построить нормированную случайную величину X - mx X =, (2.18) x для которой М [X0] = 0, D [X0] = 1. (2.19) Докажем, что для нормированной случайной величины справедли вы утверждения (2.19):

- mx 1 X M[X ] = M = M[X - mx ] = [M (X ) - mx]= 0, x x x - mx 1 1 D[X ] X D[X ] = D = D(X - mx ) = [D(X ) - 0]= =1.

x 2 2 x x x Существуют следующие соотношения между функциями распреде ления, соответствующими нормированной Х0 и ненормированной Х ве личинам:

1 1 x - mx f (x) = f1(x0) = f1, (2.20) x x x f1(x0) = x f (x) = x f (mx + xx0), (2.21) - mx x F(x) = F1(x0) = F1, (2.22) x F1(x0) = F(x) = F(mx + xx0). (2.23) Рассмотренные выше моменты являются общими (интегральными) характеристиками распределения случайной величины. Вторая группа параметров характеризует отдельные значения функции распределе ния. К ним относятся квантили. Квантилем х распределения случай ной величины Х с функцией распределения F(x) называется решение уравнения F(x) =, т. е. такое значение случайной величины, что Р (Х x) =. Наиболее важное значение имеет квантиль х1/2, называе мый медианой распределения (рис. 6).

Рис. 6. Медиана распределения.

Ордината медианы пополам рассекает площадь между кривой плотности вероятности и осью абсцисс. Если распределение симмет рично, то х1/2 = mx 2.2. Нормальное и стандартное распределения случайной ве личины. Функция Лапласа. Задача об абсолютном откло нении.

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид 1 (x - mx ), (- < x < +), (2.24) f (x) = exp 2 x x где mx и 2 — математическое ожидание и дисперсия случайной вели x чины Х.

Функция распределения равна x 1 (x - mx ) F(x) = exp - d x. (2.25) 2 x x Нормальное распределение наиболее часто встречается на практике и теоретически наиболее полно разработано. Множество событий про исходит случайно вследствие воздействия на них большого числа неза висимых (или слабо зависимых) возмущений, и у таких явлений закон распределения близок к нормальному. Установлено, что нормальное распределение содержит минимум информации о случайной величине по сравнению с любыми распределениями с той же дисперсией. Следо вательно, замена некоторого распределения эквивалентным нормаль ным не может привести к переоценке точности наблюдений, что ши роко используется на практике.

График плотности нормального распределения называется нор мальной кривой, или кривой Гаусса (рис. 7).

Рис. 7. Кривая Гаусса. Рис. 8. График функции F0(x) стандартного распределения.

Нормальное распределение нормированной случайной величины называется стандартным. Его функция распределения имеет вид x F0(x) = exp(-x2 / 2) d x, (2.26) а график этой функции представлен на рис. 8.

Вероятность того, что значения нормированной случайной величи ны будут лежать в интервале от х01 до х02, равна Р(х01 Х0 х02) = F0(х02) – F0(х01). (2.27) Функция Ф(Х) = F0(х) – (2.28) называется функцией Лапласа x Ф(Х) = F0(х) – = F0(х) – F0(0) = exp(-x2 / 2) d x. (2.29) Значения функции Лапласа табулированы (приложение 1). Так как она является нечетной функцией, т. е. Ф(-х) = -Ф(х), то таблицы значе ний Ф(х) составлены лишь для х > 0.

Для нормированной случайной величины с учетом (2.27) и (2.28) имеем:

Р(х01 Х0 х02) = F0(х02) – F0(х01) = = Ф(х02) + - Ф(х01) - = Ф(х02) - Ф(х01). (2.30) Тогда в общем случае - mx x2 - mx x P(x1 X x2 ) = P X = x x - mx x - mx x - Ф = Ф. (2.31) x x Во многих практических задачах х1 и х2 симметричны относительно математического ожидания, в частности в задаче об абсолютном от клонении. Абсолютным отклонением является величина x = X - mx. (2.32) Требуется найти вероятность того, что абсолютное отклонение случай ной величины не превзойдет некоторого заданного числа :

P( x ) = P (mx - X mx + ). (2.33) В частности, для нормированной случайной величины P ( x0 ) = P (- X0 +) = Ф() – Ф(-) = 2Ф(). (2.34) Тогда для нормально распределенной случайной величины с парамет рами mx и х справедливо P ( x ) = P x0 = 2Ф. (2.35) x x Обозначив /х = k, из (2.35) получаем P ( x kх) = 2Ф(k), (2.36) откуда P ( x х) = 2Ф(1) = 0.6826, P ( x 2х) = 2Ф(2) = 0.9544, P ( x 3х) = 2Ф(3) = 0.9973.

Таким образом, отклонения больше, чем утроенный стандарт (утро енное стандартное отклонение), практически невозможны. На практике часто величины 2х (или 3х ) считают максимально допустимой ошиб кой и отбрасывают результаты измерений, для которых величина от клонения превышает это значение, как содержащие грубые ошибки.

Нормальное распределение обладает также свойством линейности:

если независимые случайные величины Х1 и Х2 имеют нормальные рас пределения, то для произвольных чисел и величина Y = X1 + X также имеет нормальное распределение, причем из свойств математи ческого ожидания и дисперсии следует, что M [Y]= M[X1]+ М[X ], (2.37) [Y]= 22[X1]+ 22[X ]. (2.38) ЛЕКЦИЯ Генеральная совокупность и случайная выборка. Выборочная функция распределения. Гистограммы. Понятие об оценках параметров генераль ного распределения. Метод максимального правдоподобия. Оценка мате матического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной величины. Дисперсия среднего серии измерений.

3.1. Генеральная совокупность и случайная выборка. Выбороч ная функция распределения. Гистограммы. Понятие об оценках параметров генерального распределения.

Явление статистической устойчивости результатов наблюдений имеет место лишь при большом (в пределе — бесконечно большом) числе измерений. В подавляющем же числе экспериментов исследова телю приходится иметь дело лишь с ограниченным, обычно неболь шим, числом наблюдений. В силу закона случая какие-то величины, определенные по малому числу наблюдений, в общем случае могут не совпадать с теми же величинами, вычисленными по большому числу наблюдений, выполненных в тех же условиях. Поэтому в математиче ской статистике вводят понятие абстрактной генеральной совокупно сти, состоящей из всех допустимых значений случайной величины, и выборки, представляющей собой совокупность ограниченного числа значений, полученных в результате опытов. В соответствии с этим раз личают выборочные характеристики случайной величины, найденные по ограниченному числу наблюдений и зависящие от этого числа, и со ответствующие им характеристики генеральной совокупности. При этом выборочные характеристики рассматриваются как оценки соот ветствующих характеристик генеральной совокупности.

Выборка называется репрезентативной (представительной), если она дает достаточное представление об особенностях генеральной со вокупности. Однако из случайного характера выборок следует, что лю бое суждение о генеральной совокупности само случайно. Предполо жим, что в результате эксперимента получена выборка из х1, х2, …, хn значений случайной величины Х. Обозначим через nx число выбороч ных значений, расположенных левее х — некоторой точки числовой оси Х. Отношение (nx / n) есть частота появления значений Х, меньших х, и является функцией от х. Эта функция, получаемая по выборке, на зывается эмпирической, или выборочной функцией распределения (в от личие от распределения генеральной совокупности) и обозначается как Fn(x) = nx / n. (3.1) Можно доказать, что с вероятностью, равной 1, при n макси мальная разность между функциями распределения случайной величи ны Fn(x) и F(x) стремится к нулю. На практике это означает, что при достаточно большой выборке функцию распределения генеральной со вокупности приближенно можно заменять выборочной функцией рас пределения. Пусть х1 < х2 < … < хn (упорядоченная по величине выбор ка, или вариационный ряд). Все элементы выборки имеют одинаковую вероятность, равную 1/n. Поэтому Fn(x) = 0 при x < x1, Fn(x) = k/n при xk x < xk+1, где k = 1, 2, …, n – 1, Fn(x) = 1 при x xn.

График Fn(x) представлен на рис. 9. Все элементы выборки оказывают ся точками разрыва этой функции. В точке разрыва х = хk функция скачком переходит от значения (k – 1)/n к значению k/n, которое и удерживает в следующем интервале.

Рис. 9. Выборочная функция распределения.

При обработке выборок обычно используют метод «сгруппирован ных данных»: выборка объема n преобразуется в статистический ряд.

Весь диапазон значений случайной величины от хmin до xmax делится на k равных интервалов ( j = 1, 2, …, k). Число интервалов можно выбирать произвольно или по эмпирическим формулам, например:

k = 1+1.39ln n (3.2) с округлением до ближайшего целого. Длина интервала равна h = (xmax - xmin ) / k. (3.3) Число элементов выборки, попавших в j-интервал, обозначим через nj.

Величина p* = n / n (3.4) j j определяет относительную частоту попадания случайной величины в j интервал. Все точки, попавшие в j-интервал, относят к его середине:

x* = (x + x ) / 2. (3.5) j j-1 j Статистический ряд записывается в виде табл. 1.

Таблица Статистический ряд.

Интервал Длина Середина Число точек Относительная интервала интервала в интервале частота 1(хmin, x1) x1* n1 p1* 2(х1, x2) x2* n2 p2* …… … … … k (хk-1, xmax) xk* nk pk* n График, построенный по данным табл. 1, называется гистограммой эмпирического, или выборочного, распределения (рис. 10). На рис. приведен график функции Fn(x), построенный по сгруппированным данным.

Рис. 10. Гистограмма распределения. Рис. 11. График функции Fn(x), построенный по сгруппированным данным.

При обработке результатов наблюдений обычно не удается полу чить эмпирическую функцию распределения. Однако даже простейший анализ условий опыта позволяет с достаточной уверенностью опреде лять тип неизвестной функции распределения. Окончательное уточне ние неизвестной функции распределения сводится к определению не которых числовых параметров распределения. По выборкам могут быть рассчитаны выборочные статистические характеристики (выбо рочное среднее, дисперсия и т.д.), которые являются оценками соответ ствующих генеральных параметров.

Оценка а*(х1, х2, …, хn) называется состоятельной, если с увеличе нием объема выборки n она стремится (по вероятности) к оцениваемо му параметру а. Эмпирические (выборочные) моменты являются со стоятельными оценками теоретических моментов.

Оценка а*(х1, х2, …, хn) называется несмещенной, если ее математи ческое ожидание при любом объеме выборки равно оцениваемому па раметру а, т. е. М [а*] = а.

Важной характеристикой оценок генеральных параметров является также их эффективность, которая для различных несмещенных оце нок одного и того же параметра при фиксированном объеме выборок обратно пропорциональна дисперсиям этих оценок.

3.2. Метод максимального правдоподобия.

Для получения точечных оценок используют различные методы.

Широко применяется метод максимального правдоподобия. Сущность метода заключается в нахождении таких оценок неизвестных парамет ров, для которых функция правдоподобия при случайной выборке объ ема n будет иметь максимальное значение.

Пусть плотность распределения случайной величины Х задается функцией f (x, a), где а — неизвестный параметр, входящий в выраже ние закона распределения. На опыте получена выборка значений х1, х2, …, хn. Окружим каждую точку хi окрестностью длины. Тогда вероят ность попадания в интервал с границами (хi - / 2), (хi + / 2) прибли женно равна f (x, a). Если произведено n наблюдений, то вероятность того, что одновременно первое наблюдение попадет в первый интер вал, второе — во второй и т.д., есть вероятность совместного осущест вления всех этих независимых событий и равна Р (x, a) = f (x1, a)f (x2, a)…f (xn, a)n = = f (x1)f (x2)…f (xn)n. (3.6) Так как событие с вероятностью Р осуществилось на самом деле при первом же испытании, то естественно предположить, что ему соот ветствует максимальная вероятность. Поэтому в качестве оценки сле дует взять то значение а* из области допустимых значений параметра а, для которого эта вероятность принимает наибольшее возможное значе ние, т.е. корень уравнения P(x, a) = 0. (3.7) a a=a* Достаточным условием максимума при этом является выполнение не равенства 2P(x, a) < 0. (3.8) a Решение проще получить, если перейти к функции n P(x,a) L(x,a) = ln = (3.9) ln f (xi,a), n i = которая называется функцией правдоподобия.

Вероятность Р и функция L имеют максимумы при одних и тех же значениях определяемых параметров, так как L 1 P = ln P =, P > 0. (3.10) a a P a В общем случае, когда требуется оценить одновременно несколько параметров одномерного или многомерного распределения, формули ровка принципа максимального правдоподобия сохранится: надо найти такую совокупность допустимых значений параметров а1*, а2*, …, аk*, которая обращает функцию правдоподобия в максимум.

Найдем методом максимального правдоподобия оценку параметра показательного распределения с плотностью f (x) = exp(-x), 0 x < (3.11) по выборке х1, х2, …, хn.

Функция правдоподобия примет следующий вид:

n n L = (3.12) i i ln(exp(-x )) = nln -x.

i =1 i = Тогда n L n = - (3.13) i x = 0, i = n * = =, (3.14) n x i x i = где x — среднее выборки.

3.3. Оценка математического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной величины. Дисперсия среднего серии измерений.

Пусть распределение случайной величины Х подчинено нормаль ному закону 1 (x - m)2 1 (x - m) f (x) = exp- = exp-.

22 2 (22) Тогда вероятность совместного осуществления n независимых событий Х = xi (i = 1, 2, …, n) равна n 1 P(x, m,2 ) = exp i (x - m)2 n (3.15) n 22 i = (22) и функция правдоподобия n P n n L(x,m,2) = ln = - ln 2 - - ln2 i (x - m)2. (3.16) 2 n 22 i = Продифференцируем (3.16) по m n L = (3.17) i (x - m) = 0.

m 22 i = Поскольку 1/2 0, то n i (x - m) = 0.

i = Тогда оценка для математического ожидания равна n m* = x = (3.18) i x, n i = где x — среднее арифметическое выборки (серии измерений). Отме тим, что для выборочного среднего сохраняются все свойства матема тического ожидания. Например, если Z является нелинейной функцией n независимых случайных величин Z = f (X1, X2, …, Хn), то ее выборочное среднее приближенно выражается формулой z = f (x, x,..., x ).

1 2 n Дифференцируя функцию правдоподобия (3.16) по 2, получаем n L n 1 = - + (3.19) i (x - m)2 = 0, 2 2 2(2)2 i = n 1 - - (3.20) n i (x - m)2 = 0.

22 2 i = Поскольку 1/(22) 0, то n n - (3.21) i (x - m)2 = 0, 2 i = откуда находим оценку s12 для дисперсии случайной величины:

n (2)* = s1 = (3.22) i (x - x)2.

n i = Метод максимального правдоподобия всегда приводит к состоя тельным, хотя иногда и смещенным оценкам, имеющим наименьшую возможную дисперсию при неограниченном возрастании объема вы борки. Так, выборочная дисперсия s12 оказывается смещенной оценкой генеральной дисперсии n - M [s1 ] = 2. (3.23) n Для получения несмещенной оценки дисперсию s12 надо умножить на величину n/(n - 1) n i (x - x) n i = s2 = s1 =. (3.24) n -1 n - Уменьшение знаменателя в (3.24) на единицу непосредственно связано с тем, что величина x, относительно которой берутся отклонения, сама зависит от элементов выборки. Каждая величина, зависящая от элемен тов выборки и входящая в формулу выборочной дисперсии, называется связью. Можно доказать, что знаменатель выборочной дисперсии все гда равен разности между объемом выборки n и числом связей l, нало женных на эту выборку. Эта разность f = n – l (3.25) называется числом степеней свободы выборки.

В практических вычислениях для выборочной дисперсии s2 часто более удобна следующая формула, получаемая из (3.24) путем арифме тических преобразований:

n i x n i = i x - n i = s2 =. (3.26) n - Итак, для нормально распределенной случайной величины получа ют по выборке следующие оценки генеральных параметров распреде ления: среднее арифметическое x для математического ожидания m и выборочную дисперсию s2 для генеральной дисперсии 2.

Определим дисперсию среднего арифметического через дисперсию единичного наблюдения, воспользовавшись свойствами дисперсии. Ес ли Х1, Х2, …, Хn — независимые случайные величины, а1, а2, …, аn — неслучайные величины, а функция Z равна Z = а1X1 + а2X2 + … + аnXn, (3.27) то дисперсия Z определяется следующим образом:

2 2 2(Z) = a1 2(X1) + a22(X ) +... + an2(X ). (3.28) 2 n Пусть в результате одной серии опытов получена выборка х1, х2, …, хn. Если провести несколько серий подобных наблюдений, то в общем случае будут получены другие совокупности значений случайной ве личины Х: х1', х2', …, хn';

х1'', х2'', …, хn'' и т.д. Поэтому значения х1, х2, …, хn в серии из n наблюдений можно рассматривать как случайные вели чины с некоторыми дисперсиями 2(х1), 2(х2), …, 2(хn). Поскольку эти случайные величины возникают при измерении одной и той же случайной величины Х, то дисперсии их естественно считать одинако выми:

2(х1) = 2(х2) = … = 2(хn) = 2. (3.29) Применим теперь (3.28) для случая, когда Z является средним арифме тическим (в этом случае а1 = а2 = … = аn = 1/n):

1 1 2(x) = [2(x1) + 2(x2) +... + 2(xn )]= n2 =. (3.30) n n2 n Из (3.30) следует, что дисперсия среднего в n раз меньше дисперсии единичного измерения, поэтому для стандартного отклонения (x) =. (3.31) n Если принять (x) в качестве меры случайной ошибки среднего выборки, то увеличение числа параллельных определений одной и той же величины снижает величину случайной ошибки. Это свойство слу чайной величины используют на практике для повышения точности ре зультатов измерений.

Так как свойства генеральных дисперсий сохраняются и для их оценок — выборочных дисперсий, то 2 2 s2(Z) = a1 s2(X1) + a2s2(X2) +... + ans2(X ), (3.32) n s2 (X ) s (X ) s2 (x) =, s (x) =, (3.33) n n где s2 — выборочные дисперсии, s — выборочное отклонение.

ЛЕКЦИЯ Доверительные интервалы и доверительная вероятность, уровень значи мости. Проверка статистических гипотез, критерии значимости, ошибки первого и второго рода. Построение доверительного интервала для мате матического ожидания непосредственно измеряемой величины. Распреде ление Стъюдента.

4.1. Доверительные интервалы и доверительная вероятность, уровень значимости.

Выборочные параметры распределения, определяемые по серии из мерений, являются случайными величинами, следовательно, и их от клонения от генеральных параметров также будут случайными. Оценка этих отклонений носит вероятностный характер — при статистическом анализе можно лишь указать вероятность той или иной погрешности.

Пусть для генерального параметра а получена из опыта несмещен ная оценка а*. Назначим достаточно большую вероятность (такую, что событие с вероятностью можно считать практически достовер ным) и найдем такое значение = f (), для которого P( a* - a )=. (4.1) Диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене а на а*, будет ±. Большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью p = 1-, (4.2) называемой уровнем значимости. Иначе выражение (4.1) можно интер претировать как вероятность того, что истинное значение параметра а лежит в пределах a* - a a* +. (4.3) Вероятность называется доверительной вероятностью и характе ризует надежность полученной оценки. Интервал I = a* ± называет ся доверительным интервалом. Границы интервала a = a* - и a = a* + называются доверительными границами. Доверительный интервал при данной доверительной вероятности определяет точность оценки. Величина доверительного интервала зависит от доверительной вероятности, с которой гарантируется нахождение параметра а внутри доверительного интервала: чем больше величина, тем больше интер вал I (и величина ). Увеличение числа опытов проявляется в сокра щении доверительного интервала при постоянной доверительной ве роятности или в повышении доверительной вероятности при сохране нии доверительного интервала.

На практике обычно фиксируют значение доверительной вероятно сти (0,9;

0,95 или 0,99) и затем определяют доверительный интервал результата I. При построении доверительного интервала решается за дача об абсолютном отклонении:

P( a* - a )= P( a )= F()- F(- )= f (a)da =. (4.4) Таким образом, если бы был известен закон распределения оценки а*, задача определения доверительного интервала решалась бы просто.

Рассмотрим построение доверительного интервала для математическо го ожидания нормально распределенной случайной величины Х с из вестным генеральным стандартом по выборке объемом n. Наилучшей оценкой для математического ожидания m является среднее выборки x со стандартным отклонением среднего (x) = / n.

Используя функцию Лапласа, получаем P( x - mx )= = 2Ф. (4.5) (x) Задавшись доверительной вероятностью, определим по таблице функции Лапласа (приложение 1) величину k = / (x). Тогда дове рительный интервал для математического ожидания принимает вид x - k (x) mx x + k(x), (4.6) или x - k mx x + k. (4.7) n n Из (4.7) видно, что уменьшение доверительного интервала обратно пропорционально корню квадратному из числа опытов.

Знание генеральной дисперсии позволяет оценивать математиче ское ожидание даже по одному наблюдению. Если для нормально рас пределенной случайной величины Х в результате эксперимента полу чено значение х1, то доверительный интервал для математического ожидания при выбранной имеет вид x1 - U1- p / 2 mx x1 + U1- p / 2, (4.8) где U1-p/2 — квантиль стандартного нормального распределения (при ложение 2).

Закон распределения оценки а* зависит от закона распределения ве личины Х и, в частности, от самого параметра а. Чтобы обойти это за труднение, в математической статистике применяют два метода:

1) приближенный — при n 50 заменяют в выражении для неиз вестные параметры их оценками, например:

k = / (x) / s (x) ;

2) от случайной величины а* переходят к другой случайной величине *, закон распределения которой не зависит от оцениваемого пара метра а, а зависит только от объема выборки n и от вида закона рас пределения величины Х. Такого рода величины наиболее подробно изучены для нормального распределения случайных величин. В ка честве доверительных границ и обычно используются сим метричные квантили (1-) / 2 * (1+) / 2, (4.9) или с учетом (4.2) * 1- p/2. (4.10) p/ 4.2. Проверка статистических гипотез, критерии значимости, ошибки первого и второго рода.

Под статистическими гипотезами понимаются некоторые пред положения относительно распределений генеральной совокупности той или иной случайной величины. Под проверкой гипотезы понимают со поставление некоторых статистических показателей, критериев про верки (критериев значимости), вычисляемых по выборке, с их значе ниями, определенными в предположении, что данная гипотеза верна.

При проверке гипотез обычно подвергается испытанию некоторая ги потеза Н0 в сравнении с альтернативной гипотезой Н1.

Чтобы решить вопрос о принятии или непринятии гипотезы, зада ются уровнем значимости р. Наиболее часто используются уровни зна чимости, равные 0.10, 0.05 и 0.01. По этой вероятности, используя ги потезу о распределении оценки * (критерия значимости), находят квантильные доверительные границы, как правило, симметричные p/ и 1-p/2. Числа p/2 и 1-p/2 называются критическими значениями гипо тезы;

значения * < p/2 и * > 1-p/2 образуют критическую область гипотезы (или область непринятия гипотезы) (рис. 12).

Рис. 12. Критическая область Рис. 13. Проверка статистических гипотезы. гипотез.

Если найденное по выборке 0 попадает между p/2 и 1-p/2, то ги потеза допускает такое значение в качестве случайного и поэтому нет оснований ее отвергать. Если же значение 0 попадает в критическую область, то по данной гипотезе оно является практически невозмож ным. Но поскольку оно появилось, то отвергается сама гипотеза.

При проверке гипотез можно совершить ошибки двух типов. Ошиб ка первого рода состоит в том, что отвергается гипотеза, которая на самом деле верна. Вероятность такой ошибки не больше принятого уровня значимости. Ошибка второго рода состоит в том, что гипотеза принимается, а на самом деле она неверна. Вероятность этой ошибки тем меньше, чем выше уровень значимости, так как при этом увеличи вается число отвергаемых гипотез. Если вероятность ошибки второго рода равна, то величину (1 - ) называют мощностью критерия.

На рис. 13 приведены две кривые плотности распределения случай ной величины, соответствующие двум гипотезам Н0 и Н1. Если из опыта получается значение > p, то отвергается гипотеза Н0 и при нимается гипотеза Н1, и наоборот, если < p.

Площадь под кривой плотности вероятности, соответствующей справедливости гипотезы Н0 вправо от значения p, равна уровню зна чимости р, т. е. вероятности ошибки первого рода. Площадь под кривой плотности вероятности, соответствующей справедливости гипотезы Н влево от p, равна вероятности ошибки второго рода, а вправо от p — мощности критерия (1 - ). Таким образом, чем больше р, тем больше (1 - ). При проверке гипотезы стремятся из всех возможных критериев выбрать тот, у которого при заданном уровне значимости меньше вероятность ошибки второго рода.

Обычно в качестве оптимального уровня значимости при проверке гипотез используют p = 0,05, так как если проверяемая гипотеза при нимается с данным уровнем значимости, то гипотезу, безусловно, сле дует признать согласующейся с экспериментальными данными;

с дру гой стороны, использование данного уровня значимости не дает осно ваний для отбрасывания гипотезы.

* * Например, найдены два значения a1 и a2 некоторого выборочного параметра, которые можно рассматривать как оценки генеральных па * * раметров а1 и а2. Высказывается гипотеза, что различие между a1 и a случайное и что генеральные параметры а1 и а2 равны между собой, т. е. а1 = а2. Такая гипотеза называется нулевой, или нуль-гипотезой.

* Для ее проверки нужно выяснить, значимо ли расхождение между a1 и * a2 в условиях нулевой гипотезы. Для этого обычно исследуют случай * * ную величину a* = a1 – a2 и проверяют, значимо ли ее отличие от * * нуля. Иногда удобнее рассматривать величину a1 / a2, сравнивая ее с единицей.

Отвергая нулевую гипотезу, тем самым принимают альтернатив * * * * ную, которая распадается на две: a1 > a2 и a1 < a2. Если одно из этих равенств заведомо невозможно, то альтернативная гипотеза называется односторонней, и для ее проверки применяют односторонние критерии значимости (в отличие от обычных, двусторонних). При этом необхо димо рассматривать лишь одну из половин критической области (рис. 12).

Например, р = 0,05 при двустороннем критерии соответствуют кри тические значения 0.025 и 0.975, т. е. значимыми (неслучайными) счи таются *, принявшие значения * < 0.025 и * > 0.975. При односто роннем критерии одно из этих неравенств заведомо невозможно (на пример, * < 0.025) и значимыми будут лишь * > 0.975. Вероятность последнего неравенства равна 0,025, и, следовательно, уровень значи мости будет равен 0,025. Таким образом, если при одностороннем кри терии значимости использовать те же критические числа, что и при двустороннем, этим значениям будет соответствовать вдвое меньший уровень значимости.

Обычно для одностороннего критерия берут тот же уровень значи мости, что и для двустороннего, так как при этих условиях оба крите рия обеспечивают одинаковую ошибку первого рода. Для этого одно сторонний критерий надо выводить из двустороннего, соответст вующего вдвое большему уровню значимости, чем тот, что принят.

Чтобы сохранить для одностороннего критерия уровень значимости р = 0,05, для двустороннего необходимо взять р = 0,10, что дает крити ческие значения 0.05 и 0.95. Из них для одностороннего критерия ос танется какое-нибудь одно, например, 0.95. Уровень значимости для одностороннего критерия равен при этом 0.05. Этому же уровню зна чимости для двустороннего критерия соответствует критическое значе ние 0.975. Но 0.95 < 0.975, значит, при одностороннем критерии боль шее число гипотез будет отвергнуто и, следовательно, меньше будет ошибка второго рода.

4.3. Построение доверительного интервала для математиче ского ожидания непосредственно измеряемой величины.

Распределение Стъюдента.

При отсутствии грубых и систематических ошибок математиче ское ожидание случайной величины совпадает с истинным результа том наблюдений. Легче всего оценить математическое ожидание при известной дисперсии генеральной совокупности (выражения 4.6 – 4.8).

Однако значение 2 нельзя получить из наблюдений, ее можно только оценить при помощи выборочной дисперсии s2. Ошибка от этой замены будет тем меньше, чем больше объем выборки n. На практике эту по грешность не учитывают при n 50 и в формуле (4.7) для доверитель ного интервала генеральный параметр заменяют выборочным стан дартом. В дальнейшем примем, что наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение.

При небольших объемах выборок для построения доверительного интервала математического ожидания используют распределение Стъюдента, или t-распределение. Распределение Стъюдента имеет ве личина t x - mx t = n (4.11) sx с плотностью вероятности f + f + - Г 1+ t (t) =, - < t < +, (4.12) f f Г f где Г(f ) — гамма-функция Эйлера:

- y Г (z) = yz-1dy ;

(4.13) e f — число степеней свободы выборки. Если дисперсия s2 и среднее x определяются по одной и той же выборке, то f = n – 1.

Распределение Стъюдента зависит только от числа степеней свобо ды f, с которым определена выборочная дисперсия. На рис. 14 приведе ны графики плотности t-распределения для нескольких чисел свободы f и нормальная кривая.

Рис. 14. Плотность распределения Стъюдента.

Кривые t-распределения по своей форме напоминают нормальную кривую, но при малых f они медленнее сближаются с осью абсцисс при t. При f s2 2, поэтому распределение Стъюдента сближается (в пределе соответствует) с нормальным распределением.

Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (tp/2;

t1-p/2), определяется выражением P (t t t1- p/2) = 1- p =. (4.14) p/ Распределение Стъюдента симметрично относительно нуля, поэтому t = -t1- p/2. (4.15) p/ Учитывая симметрию t-распределения, часто пользуются обозначе нием tp(f ), где f — число степеней свободы, р — уровень значимости, т. е. вероятность того, что t находится за пределами интервала (tp/2;

t1 ). Подставляя в (4.14) выражение для t (4.11) с учетом (4.15), получа p/ ем неравенство x - mx - t1- p/2 n t1- p/2, (4.16) sx и после преобразований имеем sx sx x - t1- p/2 mx x + t1- p/2. (4.17) n n Значения квантилей t1-p/2 для различных чисел степеней свободы f и уровней значимости р приведены в приложении 3. Выражение (4.17) означает, что интервал с доверительными границами (x - s(x) t1- p/2)(x + s(x) t1- p/2) (4.18) накрывает с вероятностью генеральное среднее измеряемой величи ны. Величина доверительного интервала (4.18) определяет надежность среднего выборки. Величину sx s(x)t1- p/2 = t1- p/2 = случ, (4.19) n т. е. половину доверительного интервала, называют случайной ошиб кой. С учетом только случайной ошибки результат измерений некото рой величины следует записывать так:

sx X = x ± случ = x ± t1- p/2. (4.20) n ЛЕКЦИЯ Оценка случайной и суммарной ошибки косвенных измерений. Оценка дисперсии нормально распределенной случайной величины;

распределе ние Пирсона. Сравнение двух дисперсий, распределение Фишера.

5.1. Оценка случайной и суммарной ошибки косвенных измере ний.

В самом общем виде пример косвенных измерений формулируется следующим образом: имеется известная функция нескольких аргумен тов Z = f (X1, X2, …, Хk), причем на опыте непосредственно измеряются случайные величины X1, X2, …, Хk. При строгом статистическом анализе случайной ошибки Z необходимо найти закон распределения функции по известным законам распределения аргументов, что связано с большими вычислительными трудностями. Из-за этого строгая оценка ошибки косвенных измерений трудно выполнима и практически нецелесообразна. Поэтому исполь зуются упрощенные подходы, значительно облегчающие расчеты и вместе с тем дающие удовлетворительные для практических целей ре зультаты.

Рассмотрим вначале случай, когда Z является известной функцией только одного параметра X: Z = f (X). Введем допущение о том, что в небольших интервалах изменения нормально распределенного аргу мента функция этого аргумента также подчиняется нормальному зако ну распределения. Пусть х1, х2, …, хn — результаты n измерений вели чины Х. Для каждого из хi можно найти соответствующее значение zi, затем вычислить среднее z и выборочную дисперсию s2(Z) с числом степеней свободы f = n – 1. Тогда согласно изложенному в предыдущем разделе имеем s(Z) случ(Z) = s(z)t1- p/2 = t1- p/2. (5.1) n При учете только случайной ошибки результат измерений функции следует записать так:

s(Z) Z = z ±случ(Z) = z ± t1- p/2. (5.2) n Если f (x) является достаточно сложной функцией и каждый раз вы числение величины zi по значению хi трудоемко, то можно определить сначала величины x и s (X), а затем пересчитать их в соответствующие величины z и s (Z) при помощи приближенных формул:

z = f (x), (5.3) f s(Z) = s(X ). (5.4) X X = x Для случая, когда Z является извеcтной функцией нескольких аргу ментов, используем следующие допущения:

1) Случайные величины X1, X2, …, Хk независимы.

2) В небольших интервалах изменения аргументов функция Z рас пределена нормально.

3) Выборочная дисперсия величины z равна соответствующей ге неральной s2(z) = 2(z). (5.5) Оценка случайной ошибки функции проводится в следующем по рядке. Находим среднее функции:

z = f (x1, x2,..., xk ), (5.6) где x1, x2,..., xk — средние по выборкам соответствующих аргументов.

Затем по закону накопления ошибок оцениваем выборочную диспер сию k f s2 (z) = s2 (x ). (5.7) j X j X j = x j j = Тогда величина случайной ошибки функции определяется следующим образом:

случ(Z) = U1- p / 2 s (z), (5.8) где U1-p/2 — квантиль стандартного нормального распределения (при ложение 2), равный 1,96 для уровня значимости р = 0,05.

При учете только случайной ошибки для доверительной вероятно сти = 0,95 результат измерений функции нескольких аргументов сле дует записать так:

Z = z ± случ(Z) = z ±U1- p / 2 s (z) = z ±1.96 s (z) z ± 2 s (z). (5.9) Случайную ошибку косвенных измерений можно оценить также, воспользовавшись формулами расчета погрешностей функций при ближенных аргументов (лекция 1) для случая, когда погрешности ар гументов независимы и случайны:

2 k k f f случ(Z) 2 s (z) = x = (2 s(x ))2, (5.10) j j X X j j j =1 j = при этом в качестве абсолютной погрешности аргументов следует ис пользовать удвоенное значение среднеквадратичных отклонений их средних x = 2s(x ). (5.11) j j В общем случае при представлении результатов измерений следует учитывать не только случайную, но и систематическую ошибку мето дики или прибора. Предполагая, что эти два типа ошибки взаимонеза висимы, суммарная ошибка измерений равна:

сумм = сист + случ. (5.12) Систематические ошибки являются величинами, не зависящими от числа измерений, и определяются спецификой используемой аппарату ры и методом измерений. Так, например, с помощью ртутного термо метра нельзя измерить температуру с точностью, большей 0,01 оС (ред ко 0,005 оС);

значение эталонного сопротиления может быть известно с точностью 0,1% или 0,01%;

и т. д. Если и источники, и величины сис тематических ошибок определены, то их влияние на окончательный ре зультат косвенных измерений для функции нескольких аргументов можно оценить как предельную абсолютную погрешность по формуле (лекция 1) k f сист = пр x. (5.13) j X j j = Величина систематической ошибки ограничивает число верных знача щих цифр при представлении результатов эксперимента. С учетом сис тематической ошибки результат любого измерения следует записывать следующим образом:

Z = z ± сумм = z ± (сист + случ). (5.14) 5.2. Оценка дисперсии нормально распределенной случайной величины.

Дисперсию генеральной совокупности 2 нормальной распределен ной случайной величины можно оценить, если известно распределение ее оценки — выборочной дисперсии s2. Распределение выборочной дисперсии можно получить при помощи распределения Пирсона или 2-распределения.

Пусть имеется выборка n независимых наблюдений х1, х2, …, хn над нормально распределенной случайной величиной. Можно показать, что сумма n xi - x 2 = (5.15) i = имеет распределение с f = n – 1 степенями свободы. Плотность 2 рас пределения зависит только от числа степеней свободы f:

f - (2) = (2) e, 0 2, (5.16) f / 2 Г( f /2) где Г(f ) — гамма-функция. На рис. 15 приведены кривые плотности ве роятности 2 распределения при некоторых значениях f. Кривые асим метричны, степень асимметрии уменьшается с увеличением f.

Рис. 15. Плотность 2-распределения.

При доверительной вероятности = 1 – р двусторонняя довери тельная оценка для 2 имеет вид 2 2 1- p/2, (5.17) p/ односторонние оценки имеют вид 2 1-p, 2 2. (5.18) p Квантили 1- p при различных р и f приведены в приложении 4.

Поскольку выборочная дисперсия определяется по формуле n n i i (x - x)2 (x - x) i =1 i = s2 = =, n -1 f то с учетом (5.15) имеем:

2 = f s2 / 2. (5.19) Подставляя (5.19) в (5.17) и решая полученное неравенство относи тельно 2, получим доверительные двусторонние границы для гене ральной дисперсии:

2 f s2 2 1- p/2, (5.20) p/ f s2 f s 2. (5.21) 1- p/2 p/ Аналогично получаются односторонние доверительные оценки:

2 f s2 2, 2 f s2 1- p. (5.22) p С ростом числа степеней свободы асимметрия кривых 2-распре деления уменьшается, соответственно уменьшается и асимметрия до верительных границ. Можно показать, что при n 30 выборочный стандарт s распределен приближенно нормально с математическим ожиданием ms = и среднеквадратичной ошибкой s = / 2 f. (5.23) Неизвестный генеральный стандарт в (5.23) при n 30 заменяют выбо рочным s s / 2 f. (5.24) Тогда по уравнению (4.8) (лекция 4) доверительные границы для гене рального стандарта определяются неравенством s - (s / 2 f ) U1- p/2 s + (s / 2 f ) U1- p/2. (5.25) 5.3. Сравнение двух дисперсий. Распределение Фишера.

При обработке результатов измерений часто бывает необходимым сравнить две или несколько выборочных дисперсий. Основная гипоте за, которая при этом проверяется, следующая: можно ли считать срав ниваемые выборочные дисперсии оценками одной и той же генераль ной дисперсии? Рассмотрим две выборки х1, х2, …, xn1 ' и х1, х2, …, xn2 '', средние значения которых равны x1 и x2. Выборочные дисперсии оп ределяются со степенями свободы f1 = n1 – 1 и f2 = n2 – 1:

n1 n i i (x '-x1) (x ''-x2) i =1 i = 2 s1 = ;

s2 =. (5.26) f1 f 2 Требуется выяснить, являются ли выборочные дисперсии s1 и s2 зна чимо различными или же полученные выборки можно рассматривать как взятые из генеральных совокупностей с равными дисперсиями.

Допустим, что первая выборка была взята из генеральной совокуп ности с дисперсией 1, а вторая — из генеральной совокупности с дисперсией 2. Проверяется нулевая гипотеза о равенстве генераль ных дисперсий Н0: 1 = 2. Чтобы отвергнуть эту гипотезу, нужно до 2 казать значимость различия между s1 и s2 при выбранном уровне зна чимости р.

В качестве критерия значимости обычно используется критерий Фишера. Распределением Фишера (F-распределением, v2-распределе нием) называется распределение случайной величины 2 (s1 / 1 ) F =. (5.27) (s2 / 2) Плотность F-распределения определяется выражением f1 + f Г f1 ( f1 -2)/ f1 F (F) =, 0 F, (5.28) ( f1 + f2 ) / f1 f Г Г f2 f1 F 2 2 1 + f где Г(f ) — гамма-функция. Распределение Фишера зависит только от числа степеней свободы f1 и f2. На рис. 16 приведены кривые плотности вероятности F-распределения для некоторых значений f1 и f2. Кривые имеют асимметричную форму.

Рис. 16. Плотность F-распределения.

В приложении 5 приведены квантили F1-p (критерии Фишера) для уровня значимости р = 0,05. Для определения квантилей Fр использует ся соотношение Fp( f1, f2 )=. (5.29) F1- p( f2, f1) 2 В условиях нулевой гипотезы 1 = 2 и 1 /2 = 1 и, следователь 2 но, F-распределение может быть непосредственно использовано для 2 оценки отношения s1 / s2. При доверительной вероятности (1 – р) дву сторонняя оценка величины F имеет вид Fp / 2 ( f1, f2 ) F F1- p / 2 ( f1, f2 ) (5.30) или с учетом (5.29) F F1- p / 2 ( f1, f2 ). (5.31) F1- p / 2 ( f2, f1) 2 В условиях нулевой гипотезы F = s1 / s2 и, следовательно, с вероят ностью (1 – р) должно выполняться двустороннее неравенство 1 s F1- p / 2 ( f1, f2 ) (5.32) F1- p / 2 ( f2, f1) s или одно из односторонних неравенств, например, для оценки сверху:

s F1- p ( f1, f2 ). (5.33) s Вероятность неравенств, противоположных (5.32) – (5.33), равна уровню значимости р;

они образуют критическую область для нулевой гипотезы. Если полученное дисперсионное отношение попадает в кри тическую область, то различие между дисперсиями значимо. Для удоб ства будем обозначать большую дисперсию через s1.

При проверке нулевой гипотезы 1 = 2 односторонний критерий применяется, если альтернативной гипотезой является 1 > 2, т. е.

что большей выборочной дисперсии заведомо не может соответство вать меньшая генеральная. При этом различие между дисперсиями со гласно (5.33) следует считать значимым, если s > F1- p ( f1, f2). (5.34) s Значения F1-p ( f1, f2) для р = 0,05 приведены в приложении 5.

Двусторонний критерий значимости применяется для альтернатив ной гипотезы 1 2, т. е. когда соотношение между генеральными дисперсиями неизвестно. При этом в неравенстве (5.32) необходимо проверять только правую часть, так как левая часть всегда выполняется по условию s1 >1, а < F1- p / 2( f2, f1) s при небольших р. При этом различие между дисперсиями следует счи тать значимым, если s > F1- p / 2 ( f1, f2 ). (5.35) s Критерий Фишера используется для сравнения дисперсий и в том случае, когда одна из дисперсий является генеральной (ее число степе ней свободы считается равным ).

ЛЕКЦИЯ Определение дисперсии по текущим измерениям. Сравнение нескольких дисперсий;

критерии Бартлета, Кохрена. Сравнение двух средних;

расчет средневзвешенного значения. Проверка однородности результатов изме рений. Сравнение выборочного распределения и распределения генераль ной совокупности;

критерии согласия Пирсона, Колмогорова.

6.1. Определение дисперсии по текущим измерениям. Сравне ние нескольких дисперсий.

Математическое ожидание и дисперсия генеральной совокупности оцениваются средним и дисперсией выборки тем точнее, чем больше объем выборки. При этом среднее характеризует результат измерений, а дисперсия — точность этого результата (дисперсия воспроизводимо сти). Если проделано n параллельных опытов (опытов, проведенных при неизменном комплексе основных факторов) и получена выборка y1, y2, …, yn значений измеряемой величины, то дисперсия воспроизводи мости равна n n yu u (y - y) u =1 u = sвоспр. =, где y =, (6.1) n -1 n и ошибка опыта (ошибка воспроизводимости) sвоспр. = sвоспр. (6.2) Для оценки точности применяемой методики можно поставить спе циальную серию опытов, многократно повторяя измерение для одного и того же образца. Однако более надежным методом является опреде ление ошибки воспроизводимости по текущим измерениям. Предполо жим, что выполняются измерения некоторой физической характери стики для k образцов, при этом для каждого образца делается различ ное число параллельных опытов: n1, n2, …, nk. Частные дисперсии для 2 2 каждой выборки обозначим как s1, s2, …, sk. Числа степеней свободы частных дисперсий равны: f1 = n1 – 1, f2 = n2 – 1, …, fk = nk – 1. Общая дисперсия воспроизводимости всех опытов будет равна средневзвешен ному значению частных дисперсий (в качестве весов берутся степени свободы):

2 2 f1s1 + f2s2 +... + fk sk sвоспр. = = f1 + f2 +... + fk 2 2 (n1 -1)s1 + (n2 -1)s2 +... + (nk -1)sk =. (6.3) n1 + n2 +... + nk - k Число степеней свободы общей дисперсии равно общему числу из мерений минус число связей, использованных для определения k сред них:

k fвоспр. = n1 + n2 +... + nk - k = (6.4) j n - k.

j = Если число опытов для каждого образца одинаково (n1 = n2 = … = = nk = n), то k k 2 j j 2 2 (n -1)(s1 + s2 +... + sk )= (n -1)s s j =1 j = sвоспр = =, (6.5) nk - k k(n -1) k т. е. при равном числе параллельных опытов общая дисперсия воспро изводимости равна среднеарифметическому значению частных диспер сий. Число степеней свободы равно fвоспр. = k (n - 1). Число степеней свободы у общей дисперсии воспроизводимости гораздо больше, чем у каждой дисперсии в отдельности. Поэтому общая дисперсия воспроиз водимости намного точнее оценивает дисперсию генеральной совокуп ности.

При вычислении дисперсии воспроизводимости по текущим изме рениям можно объединять между собой только те результаты, которые можно рассматривать как выборки из генеральных совокупностей с равными дисперсиями.

Итак, при определении оценки дисперсии по текущим измерениям k f s j j 2 2 f1s1 + f2s2 +... + fk sk j = sвоспр = = (6.6) f1 + f2 +... + fk fвоспр принимается нулевая гипотеза равенства соответствующих генераль ных дисперсий. Проверить эту гипотезу для выборок разного объема можно по критерию Бартлета. Бартлет показал, что в условиях нуле вой гипотезы отношение В/С, где k B = fвоспр ln sвоспр - f ln s2, (6.7) j j j = k 1 1 C = 1+ -, (6.8) 3(k -1) f fвоспр j j = распределено приближенно как 2 с k – 1 степенями свободы, если все fj > 2. Гипотеза равенства генеральных дисперсий принимается, если при выбранном уровне значимости р B / C 1- p. (6.9) Различие между выборочными дисперсиями можно считать незначи мым, а сами выборочные дисперсии — однородными. Так как всегда С > 1, то при B 1- p нулевую гипотезу следует принять;

если же B > 1- p, то критерий Бартлета вычисляют полностью.

Если выборочные дисперсии получены по выборкам одинаковых объемов (n1 = n2 = … = nk = n), то для их сравнения используют более удобный и точный критерий Кохрена. Кохрен исследовал распределе ние отношения максимальной выборочной дисперсии к сумме всех дисперсий smax G = (6.10) k j s j = Распределение случайной величины G зависит только от числа сумми руемых дисперсий k и числа степеней свободы f = n – 1, с которым оп ределена каждая дисперсия.

В приложении 6 приведены квантили G1-p для уровня значимости р = 0,05. Если найденное по выборочным дисперсиям значение крите рия Кохрена окажется меньше табличного G < G1- p(k, f ), (6.11) то расхождение между дисперсиями следует считать случайным при выбранном уровне значимости. Если при этом определяется оценка для дисперсии воспроизводимости, то однородные дисперсии можно ус реднить.

6.2. Сравнение двух средних. Расчет средневзвешенного значе ния.

Для сравнения между собой двух средних, полученных по выбор кам из нормально распределенных генеральных совокупностей, приме няется критерий Стъюдента.

Пусть заданы две случайные выборки объемами n1 и n2. Первая вы борка взята из нормально распределенной совокупности с параметрами mx и x2, вторая — из совокупности с параметрами my и y2. По выбор кам получены оценки для этих параметров: x, sx и y, s2. Требуется y проверить нулевую гипотезу: mx = my при условии x2 = y2 = = 2. Од нородность дисперсий sx и s2 проверяется по критерию Фишера. Рас y смотрим случайную величину z = x - y. (6.12) По свойству линейности (уравнения 2.37 – 2.38) величина z распреде лена нормально с параметрами mz = mx - my, (6.13) 2 2 1 y x 2 = 2 + 2 = + = 2 + (6.14) z x y n1 n2 n1 n2.

Составим нормированную случайную величину (x z - mz - y)-(mx - my).

= (6.15) z (1/n1 +1/n2) При замене генерального стандарта выборочным получается величина, имеющая распределение Стъюдента:

(x - y)- (mx - my), t = (6.16) s (1/n1 + 1/n2 ) с числом степеней свободы f = n1 + n2 – 2. В качестве выборочного стандарта используется ошибка опыта, равная 2 2 2 f1s1 + f2s2 (n1 -1)s1 + (n2 -1)s s = =. (6.17) f1 + f2 n1 + n2 - При доверительной вероятности = 1 – р получаем двустороннюю оценку для разности (mx - my) x - y - t1- p / 2 s (1/ n1 + 1/ n2 ) mx - my x - y + t1- p / 2 s (1/ n1 + 1/ n2 ) (6.18) или односторонние оценки mx - my x - y + t1- p s (1/ n1 + 1/ n2), (6.19) mx - my x - y - t1- p s (1/ n1 + 1/ n2 ). (6.20) В условиях нулевой гипотезы mx = my и неравенства (6.18) – (6.20) дают критерий проверки этой гипотезы. Нулевая гипотеза отвергается при двустороннем критерии, если x - y > t1- p / 2 s (1/ n1 + 1/ n2 ), (6.21) и при одностороннем критерии, если x - y > t1- p s (1/ n1 + 1/ n2 ). (6.22) В том случае если выборочные средние являются оценками одного и того же математического ожидания и выборочные дисперсии однород ны, то полученные выборки можно объединить в одну серию и рассчи тать для нее общие среднее и дисперсию.

Приведенными критериями нельзя пользоваться, если выборочные дисперсии неоднородны (т. е. 2 2 ). Для этого случая существует x y несколько приближенных критериев для сравнения двух средних. При n1 = n2 = n можно воспользоваться приближенным t-критерием:

(x - y) n t (6.23) sx + s y n -1 sx с числом степеней свободы f =, где c =.

c2 - (1- c)2 sx - s y Если число степеней свободы дисперсии sx равно f1 = n1 – 1, дис персии s2 — f2 = n2 – 1, можно использовать другой приближенный y критерий. Вычислим величину 1 t1- p / 2( f1) + 2 t1- p / 2( f2) T =, (6.24) 1 + где 1 = sx / n1 и 2 = s2 / n2. Нулевая гипотеза отвергается, если y x - y > T.

Сформулированный критерий является двусторонним, он превращается в односторонний при замене р/2 на р.

При сравнении нескольких средних можно использовать t-крите рий, проводя сравнение попарно. Если выборочные средние оценивают одно и то же математическое ожидание, то в качестве единственной наилучшей оценки обычно используется средневзвешенное значение.

Пусть независимым образом получено k оценок ( j = 1, 2,…, k) некото рой величины Х:

s(x ) j x ± t1- p / 2 ( f ) = x ± x. (6.25) j j j j n j Определим вес результата, полученного в каждой серии опытов:

wj =1 x. (6.26) j Тогда средневзвешенное значение (наилучшая оценка для Х) равно k k X = (6.27) j j j w x w, j =1 j = а его погрешность определяется формулой k X = 1 (6.28) j w.

j = 6.3. Проверка однородности результатов измерений.

Грубые измерения являются результатом поломки прибора или не досмотра экспериментатора, и результат, содержащий грубую ошибку, сильно отличается по величине. На этом основаны статистические кри терии оценки и исключения грубых измерений. Наличие грубой ошиб ки в выборке нарушает характер распределения случайной величины, изменяет его параметры, т.е. нарушается однородность наблюдений.

Следовательно, выявление грубых ошибок можно трактовать как про верку однородности наблюдений, т. е. проверку гипотезы о том, что все элементы выборки получены из одной и той же генеральной совокуп ности.

Пусть имеется выборка х1, х2, …, хn значений нормально распреде ленной случайной величины Х. Обозначим через хmax (хmin) наибольший (наименьший) результат измерений. Величины xmax - x =, (6.29) n - s n x - xmin '= (6.30) n - s n имеют специальное распределение, зависящее только от числа степе ней свободы f = n – 2. В приложении 7 приведены значения () для р = 0,10;

0,05;

0,025 и 0,01 при числе степеней свободы от 1 до 23. Ве личина хmax (хmin) исключается из выборки как грубое измерение (на уровне значимости р), если определенное по формулам (6.29) и (6.30) значение или окажется больше табличного.

Если сомнение вызывают два или три элемента выборки, поступают следующим образом. Для всех сомнительных элементов вычисляют (), и исследование начинается с элемента, имеющего наименьшее значение (). Остальные сомнительные элементы из выборки исклю чаются. Для этой уменьшенной выборки вычисляют x, s и новое зна чение () для исследуемого элемента. Если исследуемый элемент яв ляется грубым измерением, еще с большим основанием можно считать грубыми ранее исключенные элементы. Если исследуемый элемент не является грубым измерением, его присоединяют к выборке и начинают исследовать следующий по величине () элемент выборки, при этом снова вычисляя новые значения x, s, и т.д.

6.4. Сравнение выборочного распределения и распределения генеральной совокупности. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова.

Гипотезу о нормальности изучаемого распределения в математиче ской статистике назыают основной гипотезой. Проверку этой гипотезы по выборке проводят при помощи критериев согласия. Критерии со гласия позволяют определить вероятность того, что при гипотетиче ском законе распределения наблюдающееся в рассматриваемой выбор ке отклонение вызывается случайными причинами, а не ошибкой в ги потезе. Если эта вероятность велика, то отклонение от гипотетического закона распределения следует признать случайным и считать, что гипо теза о предполагаемом законе распределения не опровергается. Крите рий согласия позволяет лишь утверждать, что гипотеза не противоре чит опытным данным, если вероятность наблюдаемого отклонения от гипотетического закона велика. Чаще всего используется один из двух критериев согласия: критерий Пирсона (критерий 2) и критерий Кол могорова.

Критерий согласия Пирсона. Для применения критерия 2 весь диапазон изменения случайной величины в выборке объема n разбива ется на k интервалов (от 8 до 20). Число элементов выборки, попавших в i-интервал, обозначим через ni. Построенная по этим данным гисто грамма выборочного распределения служит основанием для выбора типа закона распределения.

Параметры этого распределения могут быть найдены или из теоре тических соображений, или нахождением их оценок по выборке. На основании принятого закона распределения вычисляются вероятности рi попадания случайной величины Х в i-интервал. Величина, характери зующая отклонение выборочного распределения от предполагаемого, определяется формулой k ni - npi ) 2 =, (6.31) ( npi i = где k — число интервалов;

n — объем выборки.

Сумма (6.31) имеет приближенно 2-распределение с f = (k – c – 1) степенями свободы, где с — число параметров гипотетического закона распределения, определяемых по выборке. Для нормального распреде ления с = 2, если и x, и s определяются по данной выборке.

Гипотеза о принятом типе закона распределения принимается на 2 выбранном уровне значимости р, если 2 1- p, где 1- p — квантиль распределения Пирсона для данного р и числа степеней свободы f (приложение 4). В противном случае делается вывод о том, что гипоте за не согласуется с выборочным распределением.

При использовании критерия 2 желательно, чтобы объем выборки был достаточно велик: n 50 150, а количество элементов ni 5 8.

Вероятности рi для нормального закона распределения можно опреде лить по формуле b a - x - x P(a X b)= Ф.

- Ф s s При подсчете теоретических вероятностей рi считается, что крайний левый интервал простирается до -;

крайний правый — до +.

Критерий согласия Колмогорова. Для применения этого критерия необходимо определить наибольшее абсолютное отклонение выбороч ной функции распределения Fn(x) от генеральной F(x):

D = max Fn(x)- F(x), (6.32) затем вычислить величину :

= n D. (6.33) Квантили 1-р распределения Колмогорова приведены в приложе нии 8. Если < 1-р, то гипотеза о совпадении теоретического закона распределения F(x) с выборочным Fn(x) не отвергается. При 1-р ги потеза отклоняется (или считается сомнительной). Уровень значимости при применении критерия Колмогорова выбирают обычно равным 0. 0.3.

Для нормального распределения F(x) определяется по формуле 1 x - x F(x)= + Ф.

2 s В случае выборок небольшого объема (n < 20) для проверки гипоте зы о законе распределения можно использовать простые критерии, ос нованные на сравнении генеральных параметров распределения и их оценок, полученных по выборке. В качестве оцениваемых параметров удобнее всего брать моменты.

ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение x Значения функции Лапласа Ф(х) = exp(-x2 / 2) d x.

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) 0.00 0.0000 0.29 0.1141 0.58 0. 0.01 0.0040 0.30 0.1179 0.59 0. 0.02 0.0080 0.31 0.1217 0.60 0. 0.03 0.0120 0.32 0.1255 0.61 0. 0.04 0.0160 0.33 0.1293 0.62 0. 0.05 0.0199 0.34 0.1331 0.63 0. 0.06 0.0239 0.35 0.1368 0.64 0. 0.07 0.0279 0.36 0.1406 0.65 0. 0.08 0.0319 0.37 0.1443 0.66 0. 0.09 0.0359 0.38 0.1480 0.67 0. 0.10 0.0398 0.39 0.1517 0.68 0. 0.11 0.0438 0.40 0.1554 0.69 0. 0.12 0.0478 0.41 0.1591 0.70 0. 0.13 0.0517 0.42 0.1628 0.71 0. 0.14 0.0557 0.43 0.1664 0.72 0. 0.15 0.0596 0.44 0.1700 0.73 0. 0.16 0.0636 0.45 0.1736 0.74 0. 0.17 0.0675 0.46 0.1772 0.75 0. 0.18 0.0714 0.47 0.1808 0.76 0. 0.19 0.0753 0.48 0.1844 0.77 0. 0.20 0.0793 0.49 0.1879 0.78 0. 0.21 0.0832 0.50 0.1915 0.79 0. 0.22 0.0871 0.51 0.1950 0.80 0. 0.23 0.0910 0.52 0.1985 0.81 0. 0.24 0.0948 0.53 0.2019 0.82 0. 0.25 0.0987 0.54 0.2054 0.83 0. 0.26 0.1026 0.55 0.2088 0.84 0. 0.27 0.1064 0.56 0.2123 0.85 0. 0.28 0.1103 0.57 0.2157 0.86 0. Продолжение приложения х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) 0.87 0.3078 1.22 0.3883 1.57 0. 0.88 0.3106 1.23 0.3907 1.58 0. 0.89 0.3133 1.24 0.3925 1.59 0. 0.90 0.3159 1.25 0.3944 1.60 0. 0.91 0.3186 1.26 0.3962 1.61 0. 0.92 0.3212 1.27 0.3980 1.62 0. 0.93 0.3238 1.28 0.3997 1.63 0. 0.94 0.3264 1.29 0.4015 1.64 0. 0.95 0.3289 1.30 0.4032 1.65 0. 0.96 0.3315 1.31 0.4049 1.66 0. 0.97 0.3340 1.32 0.4066 1.67 0. 0.98 0.3365 1.33 0.4082 1.68 0. 0.99 0.3389 1.34 0.4099 1.69 0. 1.00 0.3413 1.35 0.4115 1.70 0. 1.01 0.3438 1.36 0.4131 1.71 0. 1.02 0.3461 1.37 0.4147 1.72 0. 1.03 0.3485 1.38 0.4162 1.73 0. 1.04 0.3508 1.39 0.4177 1.74 0. 1.05 0.3531 1.40 0.4192 1.75 0. 1.06 0.3554 1.41 0.4207 1.76 0. 1.07 0.3577 1.42 0.4222 1.77 0. 1.08 0.3599 1.43 0.4236 1.78 0. 1.09 0.3621 1.44 0.4251 1.79 0. 1.10 0.3643 1.45 0.4265 1.80 0. 1.11 0.3665 1.46 0.4279 1.81 0. 1.12 0.3686 1.47 0.4292 1.82 0. 1.13 0.3708 1.48 0.4306 1.83 0. 1.14 0.3729 1.49 0.4319 1.84 0. 1.15 0.3749 1.50 0.4332 1.85 0. 1.16 0.3770 1.51 0.4345 1.86 0. 1.17 0.3790 1.52 0.4357 1.87 0. 1.18 0.3810 1.53 0.4370 1.88 0. 1.19 0.3830 1.54 0.4382 1.89 0. 1.20 0.3849 1.55 0.4394 1.90 0. 1.21 0.3869 1.56 0.4406 1.91 0. Продолжение приложения х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) 1.92 0.4726 2.28 0.4887 2.72 0. 1.93 0.4732 2.30 0.4893 2.74 0. 1.94 0.4738 2.32 0.4898 2.76 0. 1.95 0.4744 2.34 0.4904 2.78 0. 1.96 0.4750 2.36 0.4909 2.80 0. 1.97 0.4756 2.38 0.4913 2.82 0. 1.98 0.4761 2.40 0.4918 2.84 0. 1.99 0.4767 2.42 0.4922 2.86 0. 2.00 0.4772 2.44 0.4927 2.88 0. 2.02 0.4783 2.46 0.4931 2.90 0. 2.04 0.4793 2.48 0.4934 2.92 0. 2.06 0.4803 2.50 0.4938 2.94 0. 2.08 0.4812 2.52 0.4941 2.96 0. 2.10 0.4821 2.54 0.4945 2.98 0. 2.12 0.4830 2.56 0.4948 3.00 0. 2.14 0.4838 2.58 0.4951 3.20 0. 2.16 0.4846 2.60 0.4953 3.40 0. 2.18 0.4854 2.62 0.4956 3.60 0. 2.20 0.4861 2.64 0.4959 3.80 0. 2.22 0.4868 2.66 0.4961 4.00 0. 2.24 0.4875 2.68 0.4963 5.00 0. 2.26 0.4881 2.70 0. Приложение Квантили нормального распределения.

1- p / 2 U1- p / 2 1- p / 2 U1- p / p p 0.80 0.60 0.25 0.05 0.975 1. 0.50 0.75 0.67 0.04 0.980 2. 0.40 0.80 0.84 0.02 0.990 2. 0.30 0.85 1.04 0.01 0.995 2. 0.25 0.875 1.15 0.005 0.9975 2. 0.20 0.90 1.28 0.002 0.999 3. 0.15 0.925 1.44 0.001 0.9995 3. 0.10 0.95 1.64 0.0001 0.99995 3. Приложение Квантили распределения Стъюдента t1- p / 2 (t ( f )).

p Число Уровни значимости р степеней свободы f 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 0.005 0. 1 3.08 6.31 12.71 31.82 63.66 127.32 636. 2 1.89 2.92 4.30 6.97 9.93 14.09 31. 3 1.64 2.35 3.18 4.54 5.84 7.45 12. 4 1.53 2.13 2.78 3.75 4.60 5.60 8. 5 1.48 2.02 2.57 3.37 4.03 4.77 6. 6 1.44 1.94 2.45 3.14 3.71 4.32 5. 7 1.42 1.90 2.37 3.00 3.50 4.03 5. 8 1.40 1.86 2.31 2.90 3.36 3.83 5. 9 1.38 1.83 2.26 2.82 3.25 3.69 4. 10 1.37 1.81 2.23 2.76 3.17 3.58 4. 11 1.36 1.80 2.20 2.72 3.11 3.50 4. 12 1.36 1.78 2.18 2.68 3.06 3.43 4. 13 1.35 1.77 2.16 2.65 3.01 3.37 4. 14 1.34 1.76 2.15 2.62 2.98 3.33 4. 15 1.34 1.75 2.13 2.60 2.95 3.29 4. 16 1.34 1.75 2.12 2.58 2.92 3.25 4. 17 1.33 1.74 2.11 2.57 2.90 3.22 3. 18 1.33 1.73 2.10 2.55 2.88 3.20 3. 19 1.33 1.73 2.09 2.54 2.86 3.17 3. 20 1.33 1.73 2.09 2.53 2.85 3.15 3. 22 1.32 1.72 2.07 2.51 2.82 3.12 3. 24 1.32 1.71 2.06 2.49 2.80 3.09 3. 26 1.32 1.71 2.06 2.48 2.78 3.07 3. 28 1.31 1.70 2.05 2.47 2.76 3.05 3. 30 1.31 1.70 2.04 2.46 2.75 3.03 3. 40 1.30 1.68 2.02 2.42 2.70 2.97 3. 60 1.30 1.67 2.00 2.39 2.66 2.91 3. 120 1.29 1.66 1.98 2.36 2.62 2.86 3. 1.28 1.64 1.96 2.33 2.58 2.81 3. Приложение Квантили распределения Пирсона 1- p.

Число Уровни значимости р степеней 0.99 0.98 0.95 0.90 0.80 0.70 0.50 0. свободы f 1 0.00016 0.0006 0.0039 0.016 0.064 0.148 0.455 1. 2 0.020 0.040 0.103 0.211 0.446 0.713 1.386 2. 3 0.115 0.185 0.352 0.584 1.005 1.424 2.336 3. 4 0.30 0.43 0.71 1.06 1.65 2.19 3.36 4. 5 0.55 0.75 1.14 1.61 2.34 3.00 4.35 6. 6 0.87 1.13 1.63 2.2 3.07 3.83 5.35 7. 7 1.24 1.56 2.17 2.83 3.82 4.67 6.35 8. 8 1.65 2.03 2.73 3.49 4.59 5.53 7.34 9. 9 2.09 2.53 3.32 4.17 5.38 6.39 8.34 10. 10 2.56 3.06 3.94 4.86 6.18 7.27 9.34 11. 11 3.1 3.6 4.6 5.6 7.0 8.1 10.3 12. 12 3.6 4.2 5.2 6.3 7.8 9.0 11.3 14. 13 4.1 4.8 5.9 7.0 8.6 9.9 12.3 15. 14 4.7 5.4 6.6 7.8 9.5 10.8 13.3 16. 15 5.2 6.0 7.3 8.5 10.3 11.7 14.3 17. 16 5.8 6.6 8.0 9.3 11.2 12.6 15.3 18. 17 6.4 7.3 8.7 10.1 12.0 13.5 16.3 19. 18 7.0 7.9 9.4 10.9 12.9 14.4 17.3 20. 19 7.6 8.6 10.1 11.7 13.7 15.4 18.3 21. 20 8.3 9.2 10.9 12.4 14.6 16.3 19.3 22. 21 8.9 9.9 11.6 13.2 15.4 17.2 20.3 23. 22 9.5 10.6 12.3 14.0 16.3 18.1 21.3 24. 23 10.2 11.3 13.1 14.8 17.2 19.0 22.3 26. 24 10.9 12.0 13.8 15.7 18.1 19.9 23.3 27. 25 11.5 12.7 14.6 16.5 18.9 20.9 24.3 28. 26 12.2 13.4 15.4 17.3 19.8 21.8 25.3 29. 27 12.9 14.1 16.2 18.1 20.7 22.7 26.3 30. 28 13.6 14.8 16.9 18.9 21.6 23.6 27.3 31. 29 14.3 15.6 17.7 19.8 22.4 24.6 28.3 32. 30 15.0 16.3 18.5 20.6 23.4 25.5 29.3 33. Продолжение приложения Число Уровни значимости р степеней 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 0.005 0.002 0. свободы f 1 1.64 2.7 3.8 5.4 6.6 7.9 9.5 10. 2 3.22 4.6 6 7.8 9.2 10.6 12.4 13. 3 4.64 6.3 7.8 9.8 11.3 12.8 14.8 16. 4 6.0 7.8 9.5 11.7 13.3 14.9 16.9 18. 5 7.3 9.2 11.1 13.4 15.1 16.3 18.9 20. 6 8.6 10.6 12.6 15.0 16.8 18.6 20.7 22. 7 9.8 12.0 14.1 16.6 18.5 20.3 22.6 24. 8 11.0 13.4 15.5 18.2 20.1 21.9 24.3 26. 9 12.2 14.7 16.9 19.7 21.7 23.6 26.1 27. 10 13.4 16.0 18.3 21.2 23.2 25.2 27.7 29. 11 14.6 17.3 19.7 22.6 24.7 26.8 29.4 31. 12 15.8 18.5 21.0 24.1 26.2 28.3 31 32. 13 17.0 19.8 22.4 25.5 27.7 29.8 32.5 34. 14 18.2 21.1 23.7 26.9 29.1 31.3 34 36. 15 19.3 22.3 25.0 28.3 30.6 32.8 35.5 37. 16 20.5 23.5 26.3 29.6 32.0 34.3 37 39. 17 21.6 24.8 27.6 31.0 33.4 35.7 38.5 40. 18 22.8 26.0 28.9 32.3 34.8 37.2 40 42. 19 23.9 27.2 30.1 33.7 36.2 38.6 41.5 43. 20 25.0 28.4 31.4 35.0 37.6 40.0 43 45. 21 26.2 29.6 32.7 36.3 38.9 41.4 44.5 46. 22 27.3 30.8 33.9 37.7 40.3 42.8 46 48. 23 28.4 32.0 35.2 39.0 41.6 44.2 47.5 49. 24 29.6 33.2 36.4 40.3 43.0 45.6 48.5 51. 25 30.7 34.4 37.7 41.6 44.3 46.9 50 52. 26 31.8 35.6 38.9 42.9 45.6 48.3 61.5 54. 27 32.9 36.7 40.1 44.1 47.0 49.6 53 55. 28 34.0 37.9 41.3 45.4 48.3 51.0 54.5 56. 29 35.1 39.1 42.6 46.7 49.6 52.3 56 58. 30 36.3 40.3 43.8 48.0 50.9 53.7 57.5 59. Приложение Квантили распределения Фишера F1- p для р = 0.05.

f2 f 1 2 345 6 12 1 164.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 244.9 249 254. 2 18.5 19.2 19.2 19.3 19.3 19.3 19.4 19.5 19. 3 10.1 9.6 9.3 9.1 9.0 8.9 8.7 8.6 8. 4 7.7 6.9 6.6 6.4 6.3 6.2 5.9 5.8 5. 5 6.6 5.8 5.4 5.2 5.1 5.0 4.7 4.5 4. 6 6.0 5.1 4.8 4.5 4.4 4.3 4.0 3.8 3. 7 5.6 4.7 4.4 4.1 4.0 3.9 3.6 3.4 3. 8 5.3 4.5 4.1 3.8 3.7 3.6 3.3 3.1 2. 9 5.1 4.3 3.9 3.6 3.5 3.4 3.1 2.9 2. 10 5.0 4.1 3.7 3.5 3.3 3.2 2.9 2.7 2. 11 4.8 4.0 3.6 3.4 3.2 3.1 2.8 2.6 2. 12 4.8 3.9 3.5 3.3 3.1 3.0 2.7 2.5 2. 13 4.7 3.8 3.4 3.2 3.0 2.9 2.6 2.4 2. 14 4.6 3.7 3.3 3.1 3.0 2.9 2.5 2.3 2. 15 4.5 3.7 3.3 3.1 2.9 2.8 2.5 2.3 2. 16 4.5 3.6 3.2 3.0 2.9 2.7 2.4 2.2 2. 17 4.5 3.6 3.2 3.0 2.8 2.7 2.4 2.2 2. 18 4.4 3.6 3.2 2.9 2.8 2.7 2.3 2.1 1. 19 4.4 3.5 3.1 2.9 2.7 2.6 2.3 2.1 1. 20 4.4 3.5 3.1 2.9 2.7 2.6 2.3 2.1 1. 22 4.3 3.4 3.1 2.8 2.7 2.6 2.2 2.0 1. 24 4.3 3.4 3.0 2.8 2.6 2.5 2.2 2.0 1. 26 4.2 3.4 3.0 2.7 2.6 2.4 2.1 1.9 1. 28 4.2 3.3 2.9 2.7 2.6 2.4 2.1 1.9 1. 30 4.2 3.3 2.9 2.7 2.5 2.4 2.1 1.9 1. 40 4.1 3.2 2.9 2.6 2.5 2.3 2.0 1.8 1. 60 4.0 3.2 2.8 2.5 2.4 2.3 1.9 1.7 1. 120 3.9 3.1 2.7 2.5 2.3 2.2 1.8 1.6 1. 3.8 3.0 2.6 2.4 2.2 2.1 1.8 1.5 1. Приложение Квантили распределения Кохрена G1- p * для р = 0.05.

k f 1 2 3 4 5 6 8 10 16 2 9985 9750 9392 9057 8772 8534 8159 7880 7341 6602 3 9669 8709 7977 7454 7071 6771 6333 6025 5466 4748 4 9065 7679 6841 6287 5895 5598 5175 4884 4366 3720 5 8412 6838 5981 5441 5065 4783 4387 4118 3645 3066 6 7808 6161 5321 4803 4447 4184 3817 3568 3135 2612 7 7271 5612 4800 4307 3974 3726 3384 3154 2756 2278 8 6798 5157 4377 3910 3595 3362 3043 2829 2462 2022 9 6385 4775 4027 3584 3286 3067 2768 2568 2226 1820 10 6020 4450 3733 3311 3029 2823 2541 2353 2032 1655 12 5410 3924 3264 2880 2624 2439 2187 2020 1737 1403 15 4709 3346 2758 2419 2195 2034 1815 1671 1429 1144 20 3894 2705 2205 1921 1735 1602 1422 1303 1108 0879 24 3434 2354 1907 1656 1493 1374 1216 1113 0942 0743 30 2929 1980 1593 1377 1237 1137 1001 0921 0771 0604 40 2370 1576 1259 1082 0968 0887 0780 0713 0595 0462 60 1737 1131 0895 0765 0682 0623 0552 0497 0411 0316 120 0998 0632 0495 0419 0371 0337 0292 0266 0218 0165 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 * Все квантили G1-p меньше единицы, поэтому в таблице приведены лишь деся тичные знаки, следующие после запятой, перед которой при пользовании таблицей нужно ставить ноль целых. Например, при n = 6, f = 3 имеем G0.95 = 0.5321.

Приложение Значения () для различных уровней значимости.

Число Уровни Число Уровни степеней значимости р степеней значимости р свободы f свободы f 0.10 0.05 0.01 0.10 0.05 0. 1 1.406 1.412 1.414 12 2.297 2.461 2. 2 1.645 1.689 1.723 13 2.326 2.493 2. 3 1.791 1.869 1.955 14 2.354 2.523 2. 4 1.894 1.996 2.130 15 2.380 2.551 2. 5 1.974 2.093 2.265 16 2.404 2.577 2. 6 2.041 2.172 2.374 17 2.426 2.600 2. 7 2.097 2.237 2.464 18 2.447 2.623 2. 8 2.146 2.294 2.540 19 2.467 2.644 2. 9 2.190 2.343 2.606 20 2.486 2.664 3. 10 2.229 2.387 2.663 21 2.504 2.683 3. 11 2.264 2.426 2.714 22 2.520 2.701 3. Приложение Квантили распределения Колмогорова.

p p p 1-р 1-р 1-р 0.99 0.44 0.50 0.83 0.15 1. 0.90 0.57 0.40 0.89 0.10 1. 0.80 0.64 0.30 0.97 0.05 1. 0.70 0.71 0.25 1.02 0.02 1. 0.60 0.77 0.20 1.07 0.01 1. Учебное издание Блохин Андрей Викторович ТЕОРИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА КУРС ЛЕКЦИЙ В двух частях Часть В авторской редакции Художник обложки А.А. Федорчепко Технический редактор Г. М. Романчук Корректор Р.П. Кадырко Ответственный за выпуск А В Блохин Подписано в печать 18.10.2002. Формат 60x84/16. Бумага офсетная Гарнитура Тайме Печать офсетная Уел печ л 3,95 Уч. изд. л. 3,72. Тираж 100 экз. Зак. 1275.

Белорусский государственный университет Лицензия ЛВ № 315 от 14.07. 98.

220050, Минск, проспект Франциска Скорины, Отпечатано с оригинала-макета заказчика Республиканское унитарное предприятие «Издательский центр Белорусского государственного университета» Лицензия ЛП № 461 от 14.08.2001.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.