WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |

«СЕРИЯ «СОВРЕМЕННЫЕ НЕФТЕГАЗОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ» Редакционный совет: ...»

-- [ Страница 5 ] --

Для доказательства сделанного утверждения используем следующие рассуждения. Соотношение (18.12) справедливо в предположении, что фильтрационные свойства пористой среды изотропны и однородны, то есть проницаемость не зависит от направления и постоянна для всех то чек. Если предположить, что пористая среда однородна, но анизотропна, то можно проделать следующий эксперимент. Вырежем куб, грани ко торого будут перпендикулярны главным направлениям проницаемости (то есть при приложении градиента давления перпендикулярно граням куба векторы скорости фильтрации также будут перпендикулярны граням ку ба). Введем декартову систему координат, оси которой направлены вдоль ребер куба, и проделаем серию экспериментов, направляя фильтрацию по следовательно вдоль каждой оси. В результате для каждого эксперимен та получим Qy ky p Qx kx p Qz kz p wx = =, wy = =, wz = =, S µ L S µ L S µ L где wx,wy,wz – компоненты вектора скорости фильтрации, Qx, Qy, Qz и kx,ky,kz – значения расходов и проницаемостей вдоль соответствую щих координатных осей. Таким образом, при одинаковых перепадах давле ния и площади сечения образца (галереи) в общем случае необходимо вво дить разные значения просветности при построении связи между скоро стями фильтрации и средними истинными скоростями, то есть принять соотношения wxS = vxSxпор, wyS = vySyпор, wzS = vzSzпор 364 ГЛАВА XVIII или wx = sxvx, wy = syvy, wz = szvz, (18.13) где vx,vy,vz и sx, sy, sz – значения истинных средних скоростей и про светностей вдоль соответствующих координатных осей. В самом деле, связь (18.12) задает линейную зависимость между двумя векторами, ко торая в наиболее общем виде при записи в главных осях задается форму лой w1 s1 0 0 v = 0 s2 0. (18.14) w v 2 w 0 0 s3 v 3 Частный случай равенства (18.14) – s1 = s2 = s3 = s приводит к со отношению (18.12), а в общем случае имеем матрицу коэффициентов про светности.

Таким образом, при переходе от средних истинных скоростей к ско ростям фильтрации необходимо использовать не скалярную функцию векторного аргумента, которая выше была определена как просветность, а матрицу.

Переход от экспериментального соотношения (18.9) к равенству (18.11) показывает, что в эксперименте А.Дарси была установлена линей ная зависимость между двумя векторными характеристиками – вектором скорости фильтрации и вектором градиента фильтрационного давления в однородном, изотропном, недеформируемом пласте (пористой среде).

Однако равенство (18.11) представлено в скалярном виде, поэтому нужно восстановить его в векторной форме записи.

В случае изотропных фильтрационных свойств векторы скорости фильт рации и градиента фильтрационного давления лежат на одной прямой. По этому, если умножим равенство (18.9) на орт n, задающий направление фильтрации, получим k p w = wn = n. (18.15) µ L В равенстве (18.15) множитель p L представляет собой модуль градиента давления при линейном законе распределения давления. Следо вательно, дальнейшее обобщение экспериментального результата приво дит к векторному уравнению вида k w = - grad p (18.16).

µ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ Векторное уравнение (18.16) представляет собой закон Дарси для изо тропной пористой среды. Знак минус в правой части равенства появляется из-за того, что скорость фильтрации направлена в сторону уменьшения давления. Поэтому векторы скорости фильтрации и градиента фильтраци онного давления направлены в противоположные стороны (напомним, градиент направлен в сторону роста давления, а скорость фильтрации, сле довательно, в обратную сторону – от большего давления к меньшему).

Равенство (18.16) задает закон Дарси в универсальной безиндексной форме записи, справедливой для любой системы координат. В декартовой системе координат это равенство записывается в виде k p p p, (18.17) wxi + wyj + wzk = - i + j + k + gk µ x y z где i, j, k – орты декартовой системы координат, при этом ось z направле на вертикально вверх. Последнее векторное равенство может быть спроек тировано на оси координат и переписано в виде системы соотношений k p k p k p. (18.18) wx = -, wy = -, wz = - + g µ x µ y µ z Однако закон Дарси имеет границы применимости, которые рассмот рим в следующем параграфе.

§5. Границы применимости закона Дарси. Анализ и интерпретация экспериментальных данных Проверке и исследованию применимости закона Дарси посвящено значительное число работ отечественных и зарубежных специалистов.

В процессе исследований было установлено, что закон Дарси имеет верх нюю и нижнюю границы применимости. Верхняя граница применимости закона Дарси определяется группой причин, связанных с проявлением инерционных сил при высоких скоростях фильтрации. Нижняя граница определяется проявлением неньютоновских реологических свойств жидкос ти, ее взаимодействием с твердым скелетом пористой среды при достаточ но малых скоростях фильтрации.

Рассмотрим каждый из этих предельных случаев, которые приводят к появлению нелинейности в законе фильтрации.

Верхняя граница применимости закона Дарси. Наиболее полно изу чены отклонения закона Дарси, вызванные проявлением инерционных сил при увеличении скорости фильтрации. Верхнюю границу применимости закона Дарси обычно связывают с некоторым критическим (предельным) 366 ГЛАВА XVIII значением числа Рейнольдса Re:

wd Re =, где d – некоторый характерный линейный размер пористой среды, – кинематический коэффициент вязкости флюида ( = µ ).

Многочисленные экспериментальные исследования, в частности, опыты Дж.Фэнчлера, Дж.Льюиса и К.Бернса, Линдквиста, Г.Ф.Требина, Н.М.Жаво ронкова, М.Э.Аэрова, А.И.Абдулвагабова и других были направлены на построение для пористой среды универсальной зависимости (по аналогии с трубной гидравликой) коэффициента гидравлического сопротивления от числа Рейнольдса. Однако вследствие различной структуры и состава пористых сред получить такую универсальную зависимость не удается.

При обработке результатов экспериментов значительное внимание обращалось на такой выбор характерного размера поровой структуры, что бы отклонения от закона Дарси возникали при одинаковых значениях чис ла Рейнольдса, а закон фильтрации в нелинейной области допускал уни версальное представление.

Первая количественная оценка верхней границы применимости закона Дарси была дана более 60-ти лет назад Н.Н.Павловским, который, опира ясь на результаты Ч.Слихтера, полученные для модели идеального грунта, и полагая характерный линейный размер d равным эффективному диа метру d частиц, вывел следующую формулу для числа Рейнольдса wd Re =. (18.19) (0,75m + 0,23) Используя эту формулу и данные экспериментов, Н.Н.Павловский ус тановил, что критическое значение числа Рейнольдса находится в пределах 7,5 < Reкр < 9.

Достаточно узкий диапазон изменения значений Reкр объясняется тем, что в опытах использовались не слишком разнообразные образцы по ристых сред.

Для удобства обработки результатов многочисленных эксперимен тальных данных различных авторов В.Н.Щелкачев предложил использо вать безразмерный параметр, названный им параметром Дарси и опреде ляемый равенством w µ k wµL Da = =. (18.20) p L kp Из определения (18.20) видно, что параметр Дарси представляет собой отношение силы вязкого трения к силе давления, и при выполнении закона ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ Дарси значение параметра Дарси должно быть равно единице – Da = 1. (18.21) Таким образом, равенство (18.21) должно выполняться при Re < Reкр.

Введение параметра Da упрощает исследование границы применимо сти линейного закона фильтрации. Действительно, если на оси абсцисс от кладывать lg Re, а по оси ординат – lgDa, то поскольку lgDa = 0, при Re < Reкр графиком зависимости lg Re от lgDa будет прямая линия, совпадающая с осью абсцисс до тех пор, пока Re < Reкр. Как только на этом графике линия начнет отклоняться от оси абсцисс, сразу же обнаружится и от клонение от закона Дарси (это соответствует Da < 1, lgDa < 0 ). Значение Re, при котором станет заметным отклонение упомянутой линии от оси абсцисс, и будет критическим.

Для иллюстрации сказанного на рис. 18.8 на логарифмической сетке показаны зависимости lgDa от lg Re, представляющие результат обра ботки опытов по формулам В.Н.Щелкачева (табл. 18.1). Данные на этом графике соответствуют области нелинейной фильтрации для различных образцов пористых сред.

Рис. 18.8. Зависимости lg Da от lg Re на логарифмической сетке Основываясь на этих соображениях, В.Н.Щелкачев провел критичес кий анализ и сравнение формул, полученных разными исследователями, для определения Re в подземной гидромеханике и оценки возможных критических значений числа Рейнольдса, соответствующих верхней гра нице применимости закона Дарси. Результаты такого сопоставления при ведены в таблице 18.1. В первых двух строках таблицы даны, соответст венно, формулы для числа Рейнольдса и коэффициента гидравлического сопротивления, полученные разными авторами. В четвертой и пятой стро ках приведены критические значения числа Рейнольдса, полученные са мими авторами, и их уточненные значения.

Таблица 18.1. Определение верхней границы применимости закона Дарси по данным различных исследований Фэнчер, № М.Д.Мил- Ф.И.Котяков Параметры Н.Н.Павловский Льюис, В.Н.Щелкачев Е.М.Минский А.И.Абдулвагабов п/п лионщиков (Г.Ф.Требин) Бернс 1 2 3 4 5 6 7 8 Re wd wd 10 w k 10 w k 4 2w k w k 12(1 - m)w k m3 / 2 v (0,75m + 0,23)v v v m3 2v v m2v m2, dp 2m2,3 kp m3 2 kp 2m3 2 kp kp 4,6(1-m)m2 kp – Lw2 Lw2 Lw 2Lw2 2Lw2 2Lw Re 0, 20 0,5 0, 8 2 55,2(1 - m) – f(m)Da Da Da Da Da Da Reкр авторов 7,5–9 1–4 1–12 0,022–0,29 0,3 – 0,019–8, (по дан ным фор мул) Reкр (уточнен – – 0,032–14 0,0015–0,60 0,0085–3,4 – 0,019–8, ные значения) ГЛАВА XVIII ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ Наличие третьей строки табл. 18.1, в которой приведено произведение Re, объясняется следующим. В области линейного закона фильтрации (Re < Reкр ) справедливо равенство (18.21). Поэтому если произведе ние Re зависит только от параметра Дарси (см. графы 5–8 табл. 18.1), то оно имеет постоянное значение (не зависящее от свойств пористой среды) в случае, если Re < Reкр. И только в этом случае можно получить «уни версальный» прямолинейный график в координатах (lg Re, lg ), соответ ствующий фильтрации разных флюидов через различные по свойствам по ристые среды. Результаты обработки опытов подтверждают такой вывод.

На основании анализа данных, приведенных в таблице 18.1, можно сделать следующие выводы.

1. Несмотря на отмеченные недостатки результатов Н.Н.Павловского, есть основания для их сопоставления с соответствующими результатами трубной гидравлики. Важно подчеркнуть, что критические значения фильтрационного числа Рейнольдса, подсчитанные по формуле (18.19), намного меньше тех, которые в трубной гидравлике соответствуют пере ходу ламинарного движения в турбулентное. Это служит одним из доводов в пользу того, что причины нарушения закона Дарси при высоких скоро стях фильтрации (увеличение влияния сил инерции по мере увеличения числа Рейнольдса) не следует связывать с турбулизацией течения. Отсут ствие турбулентности при нарушении закона Дарси было доказано также прямыми опытами, проведенными Г.Шнобели.

Формулы Фэнчера, Льюиса и Бернса получены формальным введени ем в выражение для числа Рейнольдса эффективного диаметра dэф в каче стве характерного внутреннего линейного размера пористой среды. Они не сопоставимы с результатами трубной гидравлики, дают слишком узкий диапазон изменения значений Reкр (см. графу 4 табл. 18.1), мало обосно ваны.

2. Во все другие формулы табл. 18.1 (графы 5–8) в качестве характер ного линейного размера входят величины, пропорциональные k (k – ко эффициент проницаемости породы), методы определения которых хорошо известны. Формулы этой группы не имеют принципиальных преимуществ и одинаково удобны для практического использования. Для этих формул характерно то, что все они приводят к очень широким диапазонам измере ния Reкр для различных пористых сред. Это представляется вполне есте ственным ввиду разнообразия свойств испытанных пористых сред. Кроме того, это свидетельствует о том, что ни в одну из предложенных формул для определения Re не входит полный набор параметров, позволяющий характеризовать сложную структуру пористых сред. Использование для 370 ГЛАВА XVIII этой цели коэффициентов пористости и проницаемости явно недоста точно.

Вместе с тем, широкий диапазон изменения значений Reкр можно разбить на сравнительно узкие интервалы, соответствующие различным группам образцов пористых сред. Это означает указание возможной верх ней границы справедливости закона Дарси при движении флюида в какой либо пористой среде.

Результаты такого разбиения для формулы В.Н.Щелкачева (см. табл. 18.1, первая строка, пятая графа) приведены в табл. 18.2.

Таблица 18.2. Интервалы критических значений Re для образцов по ристых сред.

№ Диапазон критиче Образец пористой среды п/п ских значений 1 Однородная дробь 13– 2 Однородный крупнозернистый песок 3– 3 Неоднородный мелкозернистый песок с преобладанием фракций диаметром менее 0,1 мм 0,34–0, 4 Сцементированный песчаник 0,05–1, §6. Нелинейные законы фильтрации Как было показано в предыдущем параграфе, основное уравнение теории фильтрации, закон Дарси, имеет верхнюю и нижнюю границы при менимости, поэтому необходимо его обобщение. Первое обобщение закона Дарси при Re Reкр было предложено Дюпюи, который сформулировал двухчленный закон, получивший имя австрийского ученого Ф.Форхгейме ра, независимо предложившего этот закон несколько позднее. Двучленный закон, разрешенный относительно градиента давления, в векторной форме записывается в виде µ grad p = - w - w w, (18.22) k k где w – модуль вектора скорости фильтрации, – константа пористой среды, определяемая экспериментально, – плотность флюида. Для од номерного течения, когда модуль градиента давления не изменяется вдоль потока (см. §4, формула (18.15)), уравнение можно спроектировать на ко ординатную ось и записать в скалярном виде p µ = w + w. (18.23) L k k ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ Из последнего равенства становится понятно, почему обычно соотно шение (18.23) трактуется как разложение в ряд Тейлора закона фильтрации по степеням вектора скорости фильтрации.

Необходимо отметить, что представление нелинейного закона фильт рации в виде (18.22) является неединственным. В учебниках и монографиях приводится и иное представление коэффициента при квадратичном чле не. Например, вместо константы и проницаемости фигурирует вве денный Е.М.Минским коэффициент макрошероховатости l µ grad p = - w - w w k l или иной коэффициент проницаемости (коэффициент проницаемости ве сомой жидкости) µ grad p = - w - w w, kµ k где kµ – коэффициент проницаемости для вязкой жидкости, k – коэффициент проницаемости весомой жидкости.

Перечисленные представления нелинейных законов фильтрации лишь один из вариантов обобщения закона Дарси при больших скоростях фильт рации. Другой распространенный вариант нелинейного закона фильтрации, разрешенного относительно скорости фильтрации, имеет вид 1-n w = c grad p n grad p, (18.24) где grad p – модуль вектора градиента фильтрационного давления, c, n – материальные константы пористой среды, определяемые в результате об работки экспериментальных данных. Обычно константа n лежит в преде лах от единицы до двух. При n = 2 формула (18.24) называется формулой Краснопольского, предположившего, что зависимость между градиентом давления и скоростью фильтрации при отклонении от закона Дарси квад ратичная. В самом деле, для одномерного течения уравнение (18.24) мож но спроектировать на координатную ось и записать в скалярном виде w = c grad p n, откуда при n = 2 получается w = c grad p.

Соотношение (18.22) представляется более универсальным, чем (18.24), и обычно считается, что его можно использовать при любых скоростях фильтрации. При малых скоростях фильтрации второе слагаемое имеет второй порядок малости (по скорости фильтрации), и им можно пренеб речь. В то время как степенной закон фильтрации (18.24), очевидно, можно 372 ГЛАВА XVIII использовать только при нарушении закона Дарси (то есть при Re Reкр ).

Введение в представление множителя при второй степени скорости фильтрации в формуле (18.22) в качестве множителя следует как из тео рии размерности, так и по физическому смыслу, вкладываемому в причину отклонения закона фильтрации от линейности (плотность – мера инер ции, удельная масса).

Для изотропных пористых сред несложно получить общий вид нели нейного закона фильтрации. Умножим векторное уравнение (18.16) ска лярно вначале на орт, направленный вдоль скорости фильтрации. В ре зультате получим равенство k w = grad p.

µ Далее, разрешая последнее равенство относительно k, будем иметь µ w k =. (18.25) grad p В эксперименте находится зависимость w = Q S = F(grad p). По этому, выбрав класс функций, в которых определяется аппроксимация F(grad p), можно получить выражение того или иного нелинейного за кона фильтрации.

Аналогичные выкладки и рассуждения можно проделать и при опре делении закона фильтрации, разрешенного относительно градиента фильтрационного давления. Выражение, аналогичное (18.25), для коэффи циента фильтрационного сопротивления имеет вид grad p r =.

µ w В этом случае полученная экспериментальная зависимость обрабаты вается уже как grad p = (w).

Обратимся теперь к отмеченному выше отклонению от закона Дарси, экспериментально наблюдаемому при малых скоростях фильтрации (так как скорости фильтрации очень малы, то это отклонения вблизи нуля). От клонения при малых скоростях фильтрации имеют другую физическую природу и обусловливаются, как уже отмечалось, неньютоновскими свой ствами жидкости и действием значительных поверхностных сил (сил взаи модействия между флюидом и твердым скелетом). При очень малых ско ростях фильтрации неньютоновскими свойствами в пористой среде могут ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ обладать даже ньютоновские жидкости. Но с ростом скорости этот эффект в ньютоновских жидкостях быстро исчезает.

В нефтегазовом деле к жидкостям, проявляющим неньютоновские свойства, относятся так называемые аномальные нефти и буровые растворы.

Классическим примером выражения закона фильтрации для неньюто новской жидкости является закон фильтрации с предельным (начальным) градиентом. Этот закон фильтрации выписывается для вязкопластичной жидкости Бингама–Шведова и имеет вид k p w = - - при grad p, i µ grad p x (18.26) i w = 0 при grad p.

i Как следует из соотношений (18.26), фильтрационное течение возможно лишь при градиентах давления, превышающих некоторое значение, которое называется на чальным (предельным) градиентом.

При меньших значениях градиента давления фильтрационное течение отсутствует. Величина начального градиента зависит от начального на пряжения сдвига жидкости 0 и эф фективного диаметра капилляра dэф.

Рис. 18.9. Графики зависимости w от На рисунке 18.9 приведены графики grad p :

зависимости скорости фильтрации 1 – для вязкопластической жидкости от градиента фильтрационного дав с предельным градиентом;

ления, соответствующие линейным 2 – для реальных неньютоновских неф тей;

и нелинейным законам фильтра 3 – для закона Дарси.

ции.

§7. Структурные модели пористых сред Как уже отмечалось выше, реальные коллекторы углеводородного сырья имеют сложное строение пустотного пространства, которое образу ется поровыми каналами с резко изменяющимися диаметрами и направле ниями, состоят из частиц различной формы и размеров и т.д. Поэтому по строение аналитических решений, учитывающих все перечисленные осо бенности реальных пористых сред, практически, невозможно. В связи с этим в подземной гидромеханике часто пользуются упрощенными идеа 374 ГЛАВА XVIII лизированными моделями пористой среды. К таким моделям относятся идеальные (капиллярные) и фиктивные (корпускулярные) грунты (среды).

В корпускулярных моделях пористая среда моделируются шарами, а в ка пиллярных – капиллярными трубками.

Простейшая корпускулярная модель, в которой пористая среда моде лируется упаковкой шаров постоянного диаметра, называется фиктивным грунтом (или фиктивной пористой средой). Простейшая капиллярная мо дель, в которой пористая среда моделируется капиллярными трубками постоянного диаметра, уложенными с постоянным периодом, называется идеальным грунтом (или идеальной пористой средой). Наиболее популяр- Рис. 18.10. Слой шаров, плотнейшим Рис. 18.11. Проекции двух основных образом прилегающих друг к другу плотнейших упаковок шаров:

а – кубическая, б – гексагональная ные модели фиктивного грунта соответствуют наиболее плотным упаков кам шаров. Две основные упаковки – кубическая и гексагональная полу чаются следующим образом: первый плоский слой уложен так, что каждый шар касается шести соседних, каждый шар второго слоя помещается в уг лубление между тремя шарами первого слоя (рис. 18.10, 18.11). При нало- жении третьего слоя возможны два варианта. В первом варианте (куби ческая упаковка) каждый шар третьего слоя лежит на трех шарах второго слоя таким образом, что под шаром третьего слоя нет шара пер вого слоя (рис. 18.12). Во втором ва рианте (гексагональная упаковка) каждый шар третьего слоя лежит на Рис. 18.12. Плотнейшие упаковки ша- трех шарах второго, но под каждым ров по кубической (а) и гексагональной шаром третьего слоя оказывается (б) схемам шар первого слоя. Кроме указанной ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ наиболее плотной упаковки с кубической симметрией рассматривают и та кую упаковку, когда в первом слое каждый шар касается только четырех шаров, а все последующие слои повторяют первый. Назовем последнюю кубическую упаковку шаров рыхлой кубической упаковкой.

Для капиллярных моделей идеального грунта наиболее простые моде ли получаются при взаимно перпендикулярном расположении капилляров.

Введение в рассмотрение идеальных и фиктивных грунтов и получае мое в результате упрощение структуры порового пространства позволяют находить аналитические формулы, связывающие между собой фильтрацион но-емкостные характеристики таких упрощенных пористых сред, и далее обобщать полученные соотношения на реальные пористые среды. Рас смотрим в начале основные соотношения для фиктивного грунта.

Для фиктивного грунта достаточно просто получается соотношение, связывающее удельную поверхность с пористостью упаковки m и диа метром шаров D. Возьмем объем, в котором имеется n шаров. Тогда весь объем можно представить как сумму объема пустот и шаров – D Vпор + n = V.

Отсюда для m получаем D3n m = 1 -. (18.27) 6V Удельная поверхность, очевидно, равна площади поверхности одного шара умноженной на число шаров в упаковке D2n =. (18.28) V Из соотношений (18.27) и (18.28) следу ет, что 6(1 - m) =. (18.29) D Более детальное исследование модели фиктивного грунта было предпринято С.Слих тером, который схематизировал наиболее плот ные упаковки шаров, введя элементарную ячей- Рис 18.13. Элементарная ку упаковок шаров (рис. 18.13) и нашел сле- ячейка упаковки шаров дующие аналитические формулы для порис тости и просветности:

m = 1 - (18.30) 6(1 - cos ) 1 + 2 cos 376 ГЛАВА XVIII и s = 1 -, (18.31) 4 sin где – острый угол боковой грани элементарной ячейки ромбоэдра в ук ладке шаров. Значение этого угла, по С.Слихтеру, изменяется в пределах от 600 до 900, и, следовательно, пористость и просветность изменяются в пределах 0,259 m 0,476 и 0,0931 s 0,2146. Как следует из соот ношений (18.30) и (18.31), ни пористость, ни просветность не зависят от диаметра шаров и определяются только углом. Поэтому, исключив из соотношений угол, можно найти связь между пористостью и просветно стью. К сожалению, система этих уравнений относительно является транс цендентной и не решается в явном виде, поэтому связь между пористостью и просветностью задается с помощью приближенных формул s = 0,61m1,4 или s = 0,56m - 0,052, (18.32) которые на указанном выше диапазоне пористости укладок шаров дает по грешность менее 2%.

Дальнейшее развитие изучение фиктивного грунта получило в рабо тах И.Козени и П.Кармана, которые предложили для вычисления прони цаемости пористых сред формулу m k =, (18.33) c где c – число Кармана. В результате многочисленных экспериментальных исследований было установлено, что для упаковок шаров число Кармана приблизительно равно 5.

Подстановка в равенство (18.33) формулы (18.29) приводит к сле дующему выражению для проницаемости фиктивного грунта m3D k =. (18.34) 36c(1 - m) Для идеального грунта структура порового пространства допускает аналитическое определение основных фильтрационно-емкостных характе ристик. Для представления идеального грунта использовались разные схемы элементарных ячеек – одномерные (рис. 18.14) и трехмерные (рис. 18.15).

Вычислим значения пористости, просветности, удельной поверхности и проницаемости для идеального грунта, образованного тремя системами взаимно перпендикулярных капилляров с диаметрами d = 2r и периода ми укладки a, = 1, 2, 3.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ Рис. 18.14. Схема укладки и элементар- Рис. 18.15. Элементарная ячейка ная ячейка одномерной модели идеально- трехмерной модели идеального го грунта грунта Все вычисления можно проделать на элементарной ячейке, образован ной тремя взаимно перпендикулярными периодами укладки (рис. 18.15).

Введем декартову систему координат, оси которой параллельны осям сим метрии капилляров, которые, в свою очередь, параллельны периодам ук ладки. Значение индекса в обозначении диаметров и периодов соответст вует номеру оси координат, которой параллельны капилляр и период. То гда для пористости, просветности, удельной поверхности и проницаемос ти, соответственно, получим следующие значения:

2 4 di2ai d diai d d m =, s =, =, k = = s. (18.35) 4a1a2a3 4aa a1a2a3 128aa В формулах (18.35) под повторяющимся латинским индексом i под разумевается суммирование, греческие индексы,, образуют цикличес кую перестановку из чисел 1,2,3. Вычисления пористости, просветности и удельной поверхности являются чисто геометрическими и поэтому опус каются. Единственное замечание – при вычислении пористости и удельной поверхности считалось, что объем «узла» (пересечения капилляров) мал, поэтому им можно пренебречь.

Для вычисления проницаемости рассмотрим движение жидкости в ка пилляре и воспользуемся известными гидравлическими соотношениями – уравнением Бернулли для потока вязкой жидкости и формулой Дарси– Вейсбаха для определения потерь напора 2 1v1 p1 2v2 p2 l v + + z1 = + + z2 + h1-2, h =.

2g g 2g g d 2g 378 ГЛАВА XVIII Здесь использованы обозначения: h1-2 – потеря напора между сече ниями 1 и 2, h – потеря напора по длине, – коэффициент гидравличес кого сопротивления, l – длина капилляра между сечениями 1 и 2.

Так как при фильтрации скорости очень малы, то пренебрежем скорост ными напорами, для вычисления коэффициента гидравлического сопро тивления примем формулу для ламинарного режима течения в круглой трубе 64 64µ = =.

Re vd Для упрощения выкладок положим, что капилляры расположены го ризонтально, то есть z1 = z2. Далее можно принять, что потери напора оп ределяются только потерями на трение по длине, поэтому h1-2 = h, и по сле несложных преобразований получим p 64µ l v =.

g vd d 2g Разрешая формулу относительно средней скорости жидкости в капилляре (истинной средней скорости движения флюида), будем иметь d2 p v =.

32µ l Для того, чтобы перейти к скорости фильтрации w, воспользуемся определением (18.12) – подсчитаем расход, соответствующий скорости v, а затем «размажем» его по всей площади сечения образца. Умножив v на площадь сечения капилляра d2 4, получим объемный расход Q, разделив который на площадь элементарной ячейки a2, получим уравнение движе ния фильтрующейся жидкости d2 d2 1 p w =, (18.36) 32 4a2 µ l которое, как легко видеть, по форме совпадает с законом Дарси (18.15).

Структура численного коэффициента в правой части (18.36) сохране на для того, чтобы подчеркнуть физический смысл входящих в него со множителей. Из закона Дарси в форме (18.15) видно, что результирующий коэффициент d4 128a2 представляет собой проницаемость «одномерно го» идеального грунта. При этом первый множитель d2 32 задает «прово димость» капилляров, и его вид определяется формой поперечного сечения каналов. Если вместо цилиндрических трубок кругового сечения, которые использовались в приведенном примере, взять плоские щели или капилля ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ры эллиптического сечения, то, очевидно, пропорциональность этого мно жителя квадрату характерного размера сечения сохранится, но будет со держать иной численный коэффициент. Второй множитель – d2 4a2 за дает просветность, которая выступает в качестве масштаба осреднения.

Следовательно, проницаемость является комплексной характеристи кой пористой среды, учитывающей как форму и размеры сечения поровых каналов, так и их концентрацию в среде. Часто в расчетные формулы для определения проницаемости включают коэффициент извилистости, ко торый равен отношению длины проводящего порового канала или «истин ного» пути флюида в образце (траектории меченой частицы) к длине об разца (например, керна). В различных модификациях модели одномерного идеального грунта =1-3.

При получении соотношения (18.36) рассуждения проводились для одномерной модели идеального грунта. Очевидно, что они сохранятся и при рассмотрении трехмерной модели с той лишь разницей, что необхо димо проставить индексы, для того чтобы указать, какому капилляру соот ветствует выписанная формула поэтому, равенство (18.36) примет вид 2 d d 1 p w =, (18.37) 32 4aa µ l где индексы,, образуют циклическую перестановку.

Из равенства (18.37) получаем выражение для коэффициента прони цаемости в трехмерной модели идеальной пористой среды d k =. (18.38) 128aa Из соотношений (18.35) следует, что m = s1 + s2 + s3, а равенство просветности и пористости выполняется лишь при s2 = s3 = 0. Таким об разом, равенство m = s выполняется только для одномерной модели иде ального грунта.

При решении прикладных задач часто возникает необходимость опре делить характерный линейный размер, который трактуется как эффектив ный диаметр пор, или диаметр капилляров в модели идеального грунта.

В общем виде из (18.38) имеем следующее равенство для определения диаметра капилляра 32k d =. (18.39) s 380 ГЛАВА XVIII Обычно в формуле (18.39), из-за отождествления просветности и по ристости, используется пористость 32k d =. (18.40) m Однако, как было показано, равенство (18.40) справедливо только для одномерной модели, в которой m = s. В трехмерной модели идеального грунта равенство (18.40) не выполняется. Для перехода от просветности к по ристости можно ввести структурный коэффициент = m s. Тогда формула (18.39) примет вид 32k d =. (18.41) m Если в трехмерной модели идеального грунта положить, что выпол няются равенства d1 = d2 = d3 = d и s1 = s2 = s3 = s, то будет m = 3s и, следовательно, = 3, и формула для диаметра капилляра примет вид:

96k d =. (18.42) m В общем случае значение ограничено только снизу – 1, и зна чение структурного коэффициента может изменять значения эффективного диаметра капилляра в широком диапазоне.

В заключение отметим, что выше были рассмотрены лишь простей шие структурные модели пористых сред, модели, для которых наиболее просто вычислить фильтрационно-емкостные характеристики с помощью геометрических и гидравлических соотношений, не привлекая стохастичес ких и иных методов. В настоящее время для моделирования пористых сред используются разнообразные статистические структурные модели с хао тично уложенными сферами, со случайными решетками и со сложной гео метрией капиллярных каналов.

§8. Закон Дарси для анизотропных сред Рассмотрим особенности фильтрационных течений в средах, обла дающих сложной геометрией порового пространства и анизотропией фильтрационных свойств.

В зависимости от структурных особенностей и геометрии порового пространства различают однородные и неоднородные, изотропные и ани зотропные среды. Анизотропия свойств (в том числе и фильтрационных) означает неодинаковость физических или геометрических свойств по раз личным направлениям (термин происходит от двух греческих слов: anisos – ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ неравный и tropos – свойства). В реальных коллекторах нефти и газа ани зотропия может быть обусловлена трещиноватостью, слоистостью, нали чием различного вида включений в коллекторах, которые приводят к не одинаковости свойств по различным направлениям. Например, в слоистых пористых средах фильтрационные свойства в плоскости слоев отличаются от фильтрационных свойств в направлении, перпендикулярном слоям, в трещиновато-пористых средах фильтрационные потоки по трещинам значительно превосходят потоки в других направлениях и т.п.

Для описания фильтрационных течений в анизотропных коллекторах углеводородного сырья постулируется обобщенный закон Дарси, справед ливость которого подтверждена как многочисленными эксперименталь ными, так и теоретическими исследованиями. Обобщение закона Дарси на случай анизотропных сред производится с математической точки зрения формально. Так как закон Дарси постулирует линейную зависимость меж ду двумя векторными полями – вектора скорости фильтрации и вектора градиента фильтрационного давления, то соотношения (18.16) – (18.18) за дают наиболее простую зависимость, когда оба вектора лежат на одной прямой и отличаются друг от друга направлением и длиной. Такая зависи мость определяет и задает изотропные фильтрационные свойства. В общем случае линейная зависимость между двумя векторными полями определя ется таким образом, что каждая компонента одного вектора зависит от всех компонент другого. Поэтому в самом общем случае линейная зависимость вектора скорости фильтрации и градиента фильтрационного давления (са мый общий случай закона Дарси для анизотропных сред) имеет следую щий вид:

1 p p p w1 = - k11 + k12 + k µ x1 x2 x3, 1 p p p w2 = - (18.43) k12 + k22 + k µ x1 x2 x3, 1 p p p w3 = - k13 + k21 + k µ x1 x2 x3, где wi – компоненты вектора скорости фильтрации, p xi – компоненты вектора градиента приведенного давления, kij (i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3) – ком поненты симметричной матрицы (тензора), которая называется матрицей (тензором) коэффициентов проницаемости. Она определяет и задает фильтрационные свойства пористой среды, которые могут быть как изо тропными, так и анизотропными, с разными типами анизотропии. Явный вид матрицы коэффициентов проницаемости зависит от типа анизотропии 382 ГЛАВА XVIII и системы координат, в которой записан обобщенный закон Дарси. Всегда можно выбрать хотя бы одну систему координат Ox1x2x3, в которой за пись обобщенного закона Дарси имеет наиболее простой вид k1 p k2 p k3 p w1 = -, w2 = -, w3 = -. (18.44) µ x1 µ x2 µ x Соотношение (18.43) может быть записано и в матричном виде w1 k11 k12 k13 p x = (18.45) w k k22 k23 p x2.

2 w k k23 k33 p x 3 Если принять соглашение о суммировании, согласно которому по по вторяющемуся в записи индексу подразумевается суммирование, то соот ношение (18.43) можно записать более компактно 1 p wi = - kij, (18.46) µ xj где i и j принимают значения 1, 2, 3.

Система координат, в которой матрица коэффициентов проницаемо сти имеет диагональный вид и обобщенный закон Дарси записывается в виде (18.44), называется главной системой координат, а значения диаго нальных коэффициентов проницаемости ki – главными значениями тензо ра проницаемости. В главной системе координат компоненты матрицы обозначаются одним индексом, если система координат не главная – дву мя. Первый индекс соответствует номеру строки, второй – столбца.

В соотношении (18.46) выписано самое общее представление закона Дарси для анизотропных пористых сред. Уменьшая число отличных от ну ля компонент матрицы коэффициентов проницаемости, можно получить все возможные типы анизотропии и изотропию. В самом деле, если поло жить, что все недиагональные элементы матрицы равны нулю, а все диаго нальные равны друг другу, то получим случай изотропных свойств. Все остальные варианты будут задавать разные типы анизотропии. Прежде чем их классифицировать, определим свойство проницаемости в самом общем виде.

Проницаемостью пористой среды, по определению, (или направленной проницаемостью) называется величина k(n), которая определяется по формуле µwini k(n) = -, (18.47) gradp ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ где ni – единичный вектор, задающий направление в пористой среде, вдоль которого определяется направленная проницаемость, wini = (w n) – скалярное произведение вектора скорости фильтрации и единичного век тора, grad p – модуль градиента фильтрационного давления. Как следует из определения, в общем случае проницаемость может зависеть от направ ления.

Определение (18.47) имеет прозрачный фи зический смысл – проницаемость, по определе нию, является скалярной величиной, которая вычисляется вдоль некоторого направления. По этому для того, чтобы ее вычислить, необходимо найти отношение скалярных величин специаль ным образом определенных вдоль направления.

В равенстве (18.47) в качестве направления, Рис. 18. вдоль которого определяется свойство, рассмат ривается направление приложения градиента дав- ления (grad p = grad p n ), а скалярные величины определяются проекти рованием на это направление векторов скорости фильтрации и градиента фильтрационного давления. При проектировании на это направление век торов w и grad p получаем – wini и grad p, а их отношение, умножен ное на вязкость и взятое с обратным знаком, равно проницаемости. Знак минус берется потому, что скалярное произведение wini отрицательно (угол между векторами w и ni тупой). Иллюстрация определения направ ленной проницаемости приведена на рис. 18.16.

Подставляя запись обобщенного на случай анизотропных сред закона Дарси (18.46) в равенство (18.47), получим kijninj µ k(n) = - - grad p = kijninj. (18.48) grad p µ Соотношение (18.48) дает общее правило вычисления проницаемости, которое справедливо как для изотропных, так и для анизотропных порис тых сред. В самом деле, для изотропных пористых сред, по определению (18.47) и правилу (18.48) вычисления проницаемости в линейном законе фильтрации, имеем k(n) = knini = k.

Следовательно, проницаемость для изотропных сред не зависит от на правления (она для всех направлений одинакова и равна k ).

Равенство (18.48) расшифровывает и смысл утверждения, согласно которому матрица коэффициентов проницаемости kij определяет и задает 384 ГЛАВА XVIII фильтрационные свойства пористой среды. В самом деле, матрицы опре деляют тип свойств – изотропные или анизотропные, а численные значе ния ее элементов – величины, характеризующие их.

Как было показано, изотропные фильтрационные свойства задаются матрицей вида k 0 kij = 0 k 0, (18.49) 0 0 k следовательно, все возможные другие типы матриц задают анизотропные фильтрационные свойства. С помощью методов линейной алгебры можно показать, что все возможные варианты «анизотропных» матриц имеют вид k1 0 0 k1 0 0 k11 k12 0 k11 k12 k kij= 0 k1 0, kij= 0 k2 0, kij=k12 k22 0, kij=k12 k22 k23. (18.50) 0 0 k3 0 0 k3 0 0 k3 k13 k23 k Первый тип матриц (18.50) задает фильтрационные свойства, напри мер, слоистых (как правило, осадочных) пористых сред, у которых прони цаемость в поверхностях напластований одинакова (плоскость с изотроп ными фильтрационными свойствами) и отличается от проницаемости в на правлении, перпендикулярном к поверхностям напластований. Так как матрица имеет диагональный вид, то главные направления тензора коэф фициентов проницаемости у данного типа пористых сред известны априо ри – одно главное направление перпендикулярно слоистости, два других – лежат в плоскости слоистости. В представлении матрицы коэффициентов проницаемости (18.50) направление, перпендикулярное напластованию, соответствует координатной оси Ox3.

Второй тип анизотропии задает пористую или трещиноватую среду, у которой априори, как и в первом случае, известны направления всех главных осей матрицы kij, но проницаемости по всем главным направле ниям различны. Подобной анизотропией могут обладать трещиноватые коллекторы с тремя взаимно перпендикулярными системами трещин, или уже упомянутые осадочные породы, образованные частицами вытянутой формы.

Первые два типа анизотропии имеют специальные названия – первый тип называется транверсально-изотропным, второй – ортотропным.

В оставшихся двух типах анизотропии априори неизвестно положение главных осей. В третьем типе неизвестно положение двух главных осей, в последнем случае неизвестно положение всех трех главных осей. По-ви димому, реальные пористые и трещиноватые среды, как правило, к этим ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ типам и относятся, но при решении задач обычно рассматриваются два первых. Специальных названий два последних типа не имеют. Подстанов ка матриц (18.50) в равенство (18.45) или (18.46) дает явный вид закона Дарси для всех типов анизотропии.

Равенства (18.43) представляют собой систему линейных алгебраичес ких уравнений, которая может быть разрешена относительно компонент вектора grad p и переписана в виде p = - µrijwj.

xi В этом случае фильтрационные свойства определяет и задает симмет ричная матрица коэффициентов фильтрационного сопротивления rij. Яв ный вид матриц rij, для всех рассмотренных случаев анизотропии и изо тропии, такой же, как и у матриц коэффициентов проницаемости, с точно стью до замены k, k на соответствующие компоненты r, r.

Все соотношения (18.49) и (18.50), представленные в виде матриц, до пускают и другую, индексную форму записи. Для индексного представле ния законов фильтрации в анизотропных пористых средах введем понятие диадного произведения двух векторов (см. приложение П.68) a1b1 a1b2 a1b ab aibj b1 a2b2 a2b3, (18.51) a a b1 a3b2 a3b где ai,bi – компоненты векторов a и b.

Далее в качестве векторов a и b возьмем векторы декартова бази са e1,e2,e3, координаты которых обозначим через ei(1), ei(2), ei(3), соответст венно. Нетрудно убедиться, что с помощью базисных тензоров можно со ставить девять диад, которые будут представлять собой девять специаль ных матриц типа (2.9), у которых все компоненты, кроме одной будут рав ны нулю, единственная отличная от нуля компонента будет стоять на «ij -й позиции» при умножении i -го базисного вектора на j -й базисный вектор.

В самом деле, рассмотрим для примера диадное произведение e1 на e2.

( Тогда имеем, и, согласно определению (18.51), ei(1) = (1,0,0), ej2 ) = (0,1,0) матрица для этой диады будет представляться соотношением 0 1 ( e1e2 = ei(1)ej2) = 0 0.

0 0 386 ГЛАВА XVIII Используя диадные произведения базисных векторов, матричное пред ставление можно переписать в индексной форме, разложив матрицы по ба ( зису из диад ei(k)ejl). Например, для самого общего типа анизотропии такое представление будет иметь вид ( ( ( ( ( wi = - [k11ei(1)ej1) + k12(ei(1)ej2) + ei(2)ej1))+ k22ei(2)ej2) + k33ei(3)ej3) + µ (18.52) p ( ( ( ( + k13(ei(1)ej3) + ei(3)ej1))+ k23(ei(2)ej3) + ei(3)ej2))].

xj Уменьшая число отличных от нуля коэффициентов тензора kij, можно получить закон фильтрации для любого типа анизотропных и изотропных пористых сред. Например, для ортотропных сред закон фильтрации будет иметь вид 1 p ( ( ( wi = - [k1ei(1)ej1) + k2ei(2)ej2) + k3ei(3)ej3) ]x, (18.53) µ j для трансверсально-изотропных – 1 p ( ( ( wi = - [k1ei(1)ej1) + k1ei(2)ej2) + k3ei(3)ej3) ]x, (18.54) µ j для изотропных – k p ( ( ( wi = - [ei(1)ej1) + ei(2)ej2) + ei(3)ej3) ]x. (18.55) µ j Последнее выражение можно преобразовать, заметив, что в квадрат ных скобках стоят три матрицы, которые в сумме дают единичную матрицу 1 0 0 1 0.

0 0 Для обозначения единичной матрицы используется специальный сим вол ij, который называется дельтой Кронекера. Поэтому последнее равен ство (18.55) можно переписать в виде k p wi = - ij µ xj или, после проведения суммирования – k p wi = -.

µ xi ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ Используя правило вычисления направленной проницаемости (18.48), несложно вычислить ее для самого общего случая (18.50):

( ( ( ( ( k11ei(1)ej1) + k12 ei(1)ej 2) + ei(2)ej1) + k22ei(2)ej 2) + k33ei(3)ej3) + kijninj = () ( ( ( ( + k13 ei(1)ej3) + ei(3)ej1) + k23 ei(2)ej3) + ei(3)ej 2) ninj = () () + k11 cos2 + 2k12 cos cos + k22 cos2 + k33 cos2 + + 2k13 cos cos + 2k23 cos cos, где,, – углы, которые образует единичный вектор n с координатны ми линиями.

Уменьшая число отличных от нуля коэффициентов тензора kij, можно поучить выражение для направленной проницаемости для любого типа ани зотропных и изотропных пористых сред.

Глава XIX МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ §1. Вводные замечания. Понятие о математической модели физического процесса Для количественного описания реальных физических процессов ис пользуются различные уравнения и методы их решения для конкретных задач. Как отмечалось выше, в качестве наиболее используемого и разра ботанного метода такого описания процессов в подземной гидромеханике применяется макроскопический, в основе которого лежат гипотеза сплош ности, законы и методы механики сплошной среды. Поэтому нефтегазо вую подземную гидромеханику следует рассматривать как специальный раздел механики сплошной среды.

Повторим основные положения, используемые в механике сплошной среды при построении математических моделей, но с учетом специфики нефтегазовой подземной гидромеханики.

В сплошной среде определяются различные по своей физической при роде поля, которые формируются под воздействием внешних и внутренних факторов и могут изменяться во времени и в пространстве. Изменение по лей основных физических величин подчиняется законам сохранения, кото рые представляют собой фундаментальные законы природы. В нефтегазо вой подземной гидромеханике, как и в других разделах механики сплош ной среды, основными законами сохранения являются законы сохранения массы, изменения количества движения (импульса) и момента количества движения (момента импульса), сохранения энергии и баланса энтропии.

Однако законы сохранения выполняются для всех сплошных сред, свойст ва которых могут быть весьма различными. Поэтому одних законов сохра нения для описания физических процессов и решения конкретных задач недостаточно для получения замкнутой системы уравнений. Для того что бы задать свойства конкретных сплошных сред, к законам сохранения до бавляются определяющие уравнения и законы, которые задают особеннос ти поведения данной среды. В результате объединения законов сохранения и определяющих уравнений получается замкнутая система уравнений, в ко МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ торой число уравнений равно числу неизвестных функций и которая опре деляет и задает математическую модель сплошной среды, описывающую конкретные физические процессы.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением только таких процессов, для которых температура движущегося в пористой среде флюида равна температуре пористой среды и остается неизменной. Действительно, из-за того, что фильтрация представляет собой очень медленный процесс, изме нение температуры флюида, возникающее в ходе движения вследствие на личия сопротивления стенок поровых каналов и трещин, а также из-за рас ширения флюида при уменьшении давления, успевает компенсироваться теплообменом с окружающими горными породами. Для таких изотермиче ских процессов, как было показано Б.Б.Лапуком, уравнение энергии можно не рассматривать.

Однако в ряде случаев при разработке нефтяных и газовых месторож дений неизотермичность фильтрации проявляется локально в призабойной зоне скважин вследствие значительных перепадов давления. Изучение не изотермических процессов имеет важное значение в связи с повышением нефтеотдачи путем закачки в пласт теплоносителей (горячей воды, пара), разработки газогидратных месторождений и в некоторых других случаях.

При этом в модель должно быть добавлено уравнение закона сохранения энергии.

Для описания конкретных физических процессов и получения реше ний соответствующих задач, необходимо сформулировать постановку за дачи, то есть задать условия в начальный момент времени и условия на границах области пласта. В результате имеем дифференциальные уравне ния с начальными и граничными условиями, интегрируя которые можно определить распределение давления и скоростей фильтрации по пласту в любой момент времени, т.е. построить функции p = p (x,y, z,t), wx = wx(x,y, z,t), wy = wy(x,y, z,t), wz = wz(x,y, z,t).

Если рассматривается несжимаемая жидкость ( = const) в недефор мируемом пласте (m = const, k = const), то число искомых функций огра ничивается только этими четырьмя. Для описания фильтрации сжимаемого флюида в сжимаемой пористой среде, кроме упомянутых функций, нужно определить еще плотность флюида. Для более сложных процессов в число неизвестных функций включают вязкость µ, пористость m и про ницаемость k. В этом случае необходимо иметь восемь уравнений – диф ференциальных и конечных – для определения восьми характеристик фильтрационного потока, жидкости и пористой среды.

390 ГЛАВА XIX Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений уда ется получить лишь в ограниченном числе простейших случаев, например, в задаче о притоке упругой жидкости к скважине в пласте бесконечной протяженности с постоянным дебитом.

В более сложных случаях система уравнений решается численными методами с применением компьютеров. Существуют хорошо разработан ные численные методы решения самых разнообразных и очень сложных задач подземной гидромеханики. Упомянутые аналитические решения иг рают очень важную роль: на них опробуются численные методы.

Систему дифференциальных уравнений можно использовать также для качественного исследования процесса. Если полученные уравнения привести к безразмерному виду, то в качестве коэффициентов будут фигу рировать безразмерные параметры подобия. Анализируя их строение и численные значения, можно судить о том, какие силы играют решающую роль в процессе, какие члены в уравнениях можно отбросить и т.д.

Перейдем теперь к формулировке основных законов сохранения с уче том специфики подземной гидромеханики.

§ 2. Закон сохранения массы в пористой среде При написании закона сохранения массы в интегральной формули ровке воспользуемся контрольным объемом и вычислим массу флюида в контрольном объеме пористой среды.

Масса жидкости, содержащаяся в бесконечно малом (физическом) объеме пористой среды равна m dV. В самом деле, объем пор в элемен тарном объеме пористой среды, равен dVп = mdV. Умножив его на плот ность, получим массу флюида в элементарном объеме пористой среды – dM = dVп = mdV.

Проинтегрировав выписанное соотношение по всему контрольному объему, получим массу флюида в контрольном объеме M = mdV.

V Так как через контрольную поверхность флюид может втекать и вы текать (см. рис. 19.1), то масса флюида изменяется во времени. Изменение массы по времени вычисляется следующим образом M = m dV.

t t V МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ Рис. 19.1. К выводу закона сохранения массы Изменение массы равно притоку массы через контрольную поверх ность, который равен vinidSП = winidS, SП S где ni – внешняя нормаль к контрольной поверхности.

Действительно, поток массы через элементарную площадку dS, по определению, равен wndS или winidS, то есть, равен скалярному произведению вектора массовой скорости и век тора нормали к площадке, умноженному на величину площадки. Для вы числения потока массы через всю поверхность нужно проинтегрировать эти элементарные потоки по всей поверхности.

Следовательно, можно составить балансовое уравнение mdV = - winidS, (19.1) t VS которое читается следующим образом: изменение массы в контрольном объеме равно притоку флюида через контрольную поверхность. Появление знака «минус» в правой части уравнения обусловлено ориентацией вектора нормали к контрольной поверхности. Так как нормаль внешняя к кон трольной поверхности, то «втеканию» флюида в контрольный объем должно соответствовать увеличение массы, положительное значение про изводной по времени в левой части равенства (19.1) и отрицательное зна чение скалярного произведения wini под интегралом в правой части этого равенства. Для уравнивания знаков необходимо поставить минус. Анало гичное рассуждение справедливо для «вытекания» флюида.

Уравнение (19.1) представляет собой интегральную формулировку за кона сохранения массы флюида в пористой среде. Нетрудно увидеть, что по сравнению с интегральной формулировкой закона сохранения массы, полученной во второй главе, интегральное уравнение для пористой среды 392 ГЛАВА XIX содержит вместо плотности величину m, представляющую собой фик тивную плотность флюида – плотность, размазанную по всему объему по ристой среды.

При установившемся движении производная по времени равна нулю, и из равенства (19.1) следует wnidS = 0.

i S Поэтому если в качестве контрольного объема взять трубку тока для ско рости фильтрации, то получим 1w1nds = 2w2nds, (19.2) S1 S где S ( = 1,2 ) – площади двух сечений трубки тока (на «входе» и на «выходе»). При выводе равенства (19.2) было использовано, что скалярное произведение вектора скорости фильтрации и вектора нормали равно wini = wn, где wn – проекция вектора скорости на нормаль, и что в одном случае она положительна (например, в сечении с индексом 2), а в другом – отрицательна. Для несжимаемой жидкости 1 = 2 =, поэтому w1nds = w2nds.

S1 S Если скорости в обоих сечениях по всему сечению постоянны, то по лучаем равенство w1nS1 = w2nS2.

Выписанные соотношения по своему физическому смыслу и по форме записи аналогичны формулам, полученным ранее в первой части этой книги.

От интегральной формулировки закона сохранения массы можно пе рейти к дифференциальной. Для этого сначала в силу фиксированности контрольного объема в пространстве внесем оператор t под знак инте грала, а затем с помощью теоремы Гаусса–Остроградского преобразуем по верхностный интеграл в объемный. В результате преобразований получим m + div w dV = 0. (19.3) t V Из условия, что равенство (19.3) выполняется для любого объема V, сле дует, что выражение под знаком интеграла равно нулю, то есть m + div w = 0. (19.4) t МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ Уравнение (19.4) выражает закон сохранения массы в пористой среде в дифференциальной форме или уравнение неразрывности при фильтра ции флюида в пористой среде.

Если пористость m постоянна, то ее можно вынести за знак произ водной и переписать уравнение неразрывности в виде m + div w = 0.

t Для несжимаемого флюида = const, поэтому уравнение неразрыв ности принимает еще более простой вид div w = 0.

При выводе как интегрального, так и дифференциального законов со хранения массы считалось, что в объеме пористой среды нет ни источни ков, ни стоков флюида, не происходит химических реакций, фазовых пере ходов и так далее. Если же это не так, то в правую часть уравнения (19.4) необходимо добавить функцию q, которая будет задавать массу флюида, поступающего (уходящего) в единицу времени в единицу объема, то есть оно приобретет вид m + div w = q.

t При этом q будет положительной величиной, если флюид поступает в объем, и отрицательной, если флюид уходит из объема.

§3. Дифференциальное уравнение движения флюида Другой универсальный закон сохранения механики – закон изменения количества движения (импульса). В механике сплошной среды этот закон, записанный в дифференциальной форме, имеет вид уравнения движения сплошной среды в напряжениях. Дальнейшая его трансформация опреде ляется реологическими (или определяющими) уравнениями среды.

В нашем случае в качестве определяющих уравнений выступает закон вяз кого трения Ньютона, приводящий к уравнениям Навье-Стокса. Но так как в подземной гидромеханике изучается движение осредненное по всему объему пористой среды, то уравнения необходимо осреднить. В результате осреднения получается обсуждавшийся выше закон Дарси. Однако приме няемые при подобном выводе закона Дарси математические методы выхо дят за рамки курса подземной гидромеханики. В первой главе был рас смотрен вывод, основанный на гидравлических соотношениях. Здесь рас смотрим еще один вывод, который был сделан Н.Е.Жуковским.

394 ГЛАВА XIX В основу рассуждений Н.Е.Жуковский положил уравнение движения идеальной жидкости Эйлера. Для упрощения рассуждений рассмотрим случай одномерного течения, когда уравнение движения имеет вид v v p + v = - + f, t x x где f – проекция плотности объемных (массовых) сил на направление движения, v – истинная средняя скорость движения.

При течении жидкости в пористой среде возникает сила трения на границе раздела «среда–жидкость». Поскольку поверхность поровых кана лов достаточно велика и при переходе от истинной средней скорости фильтрации к скорости фильтрации сила трения «размазывается» по всей области, то силу трения можно считать объемной силой. Поэтому плот ность объемных сил можно представить в виде f = f1 + f2, где f1 – проекция плотности объемной силы тяжести, f1 = g sin = = (z1 - z2 )g l, если ось потока наклонена к горизонтали под углом (см.

рис. 18.6), f2 – проекция объемной силы вязкого трения, обусловленной течением в пористой среде.

Далее, считая, что среда изотропна и просветность постоянна, перей дем от истинной средней скорости к скорости фильтрации w w w p + = - + (f1 + f2 ).

s t s2 x x Положим, что изменения скорости во времени малы и пренебрежем членом v t. Второе слагаемое в левой части, представляющее инерцион ный член, при малых скоростях фильтрации тоже оказывается пренебре жимо малым. Тогда получается p = (f1 + f2). (19.5) x Считая, что сила вязкого трения пропорциональна скорости фильтра ции w в первой степени, то есть принимая f2 = w, получаем из (19.5) соотношение p z1 - z = w + g.

x l Теперь достаточно положить = - µ k, тогда получится закон Дар си.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ §4. Замыкающие уравнения. Математические модели изотермической фильтрации Выпишем полученные законы сохранения:

для изотропной пористой среды – m + div w = 0, t (19.6) k w = (grad p + f);

µ для анизотропной пористой среды – m + div w = 0, t (19.7) k p ij w = -.

+ f ij µ x j Полученные четыре скалярных уравнения (три уравнения задаются законом Дарси, одно выражает закон сохранения массы) содержат шесть неизвестных скалярных функций – три компоненты вектора скорости, плот ность, давление и пористость (в общем случае в число неизвестных функ ций еще можно добавить проницаемость и вязкость). Поэтому ясно, что системы (19.6) и (19.7) незамкнуты. Более того, понятно, почему только одних законов сохранения недостаточно для получения замкнутой системы уравнений. Законы сохранения справедливы при фильтрации вязкой жидко сти во всех пористых средах, а сами пористые среды и вязкие жидкости мо гут обладать различными свойствами – жидкость может быть сжимаемой и несжимаемой, пористая среда – деформируемой и недеформируемой и так далее. Следовательно, для задания свойств конкретной пористой среды и жидкости необходимо иметь еще уравнения, определяющие эти дополни тельные свойства (поэтому уравнения и называются определяющими).

В рассматриваемых изотермических фильтрационных течениях опре деляющие уравнения обычно имеют вид зависимости плотности, пористо сти (проницаемости, вязкости) от давления, например, = ( p) и так да лее. В этом случае наиболее общий вид замкнутой системы уравнений (ма тематической модели) имеет вид m + div w = 0, t k w = - (grad p + f), (19.8) µ = (p), m = m(p), k = k(p), µ = µ(p).

396 ГЛАВА XIX Вид функций от давления в (19.8) подразумевается заданным. Ниже рассмотрим некоторые варианты задания этих функций и соответствую щие математические модели.

§5. Модель фильтрации несжимаемой вязкой жидкости по закону Дарси в недеформируемом пласте Наиболее простая модель изотермической фильтрации получается, ко гда жидкость считается несжимаемой, вязкость – постоянной, а пласт – не деформируемым. В этом случае определяющие уравнения задаются равен ствами:

= const, m = const, k = const, µ = const, (19.9) и замкнутая система уравнений для фильтрации в изотропном пласте при обретает вид div w = 0, (19.10) k w = - (grad p + f).

µ Система уравнений (19.10) содержит четыре уравнения и четыре не известных функции – три компоненты вектора скорости и давление. Плот ность перестает быть искомой функцией, так как она не изменяется и зада ется, если необходимо, при постановке задачи, так же как и вектор массо вых сил.

Система (19.10) может быть преобразована. Для упрощения рассуж дений пренебрежем массовыми силами и подставим закон Дарси в уравне ние неразрывности. В результате получим k k k div - grad p = - divgrad p = - p = 0, или p = 0, µ µ µ где – оператор Лапласа.

Следовательно, систему (19.10) можно переписать в виде p = 0, (19.11) k w = - grad p.

µ Замкнутые системы уравнений (19.10) и (19.11) представляют собой математическую модель теории фильтрации вязкой несжимаемой жидко сти в недеформируемой изотропной пористой среде.

Системы уравнений для математической модели теории фильтрации вязкой несжимаемой жидкости в недеформируемой анизотропной порис той среде выглядят аналогично и получаются заменой в системах (19.10) МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ и (19.11) закона Дарси для изотропных сред на закон Дарси для анизо тропных пористых сред (18.46).

Уравнения в системах (19.10) и (19.11) записаны в универсальной без индексной форме, справедливой для любой системы координат. Проектируя эти уравнения, например, на декартову систему координат, будем иметь, со ответственно, для уравнений (19.10) – w1 w2 w + + = 0, x1 x2 x p k w1 = - + f1, µ x (19.12) p k w2 = - + f2, µ x p k w3 = - + f3, µ x и для уравнений системы (19.11) – 2 2 p p p + + = 0, 2 2 x1 x2 x p k w1 = -, µ x (19.13) p k w2 = -, µ x p k w3 = -.

µ x Для сжимаемого флюида математическая модель включает еще урав нение состояния. Рассмотрим, к каким особенностям приводит данное об стоятельство.

§6. Модель фильтрации газа по закону Дарси.

Функция Л.С.Лейбензона Как было сказано, при учете сжимаемости жидкости (газа) в процессе фильтрации в недеформируемом пласте необходимо задать в явном виде уравнение состояния (определяющее уравнение), связывающее между со бой плотность и давление. Уравнения состояния могут быть различными, однако построение модели и все необходимые при этом математические преобразования можно проделать в общем виде.

398 ГЛАВА XIX Математическая модель фильтрации сжимаемой жидкости (газа) в не деформируемой изотропной пористой среде без учета силы тяжести в об щем виде определяется системой уравнений m + div w = 0, t k w = - grad p, (19.14) µ = (p).

Систему (19.14) можно преобразовать к виду, более удобному для ре шения задач, когда система приводится к одному уравнению относительно одной неизвестной функции. Для вывода такого уравнения подставим за кон Дарси в уравнение неразрывности и получим k k m + div - grad p = m - div( grad p) = 0.

t µ t µ Дальнейшее преобразование связано с введением функции P, позво ляющей провести линеаризацию выражения под оператором дивергенции:

grad P = grad p. (19.15) Функция P называется функцией Лейбензона. Из (19.15) с учетом то го, что = (p), интегрированием получаем P = (p)dp. (19.16) Равенство (19.16) позволяет определить явный вид функции Лейбен зона при заданном уравнении состояния = (p), а подстановка уравне ния состояния в полученное выше уравнение k m - div(grad P) = t µ позволяет получить уравнение относительно лишь одной функции – дав ления p. Проведенные преобразования в более общем виде далее будут использованы при рассмотрении теории упругого режима.

После введения функции Лейбензона систему (19.14) уравнений мож но переписать в виде k m - P = 0, t µ k w = - grad P, (19.17) µ = (p), P = dp.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ Замкнутые системы уравнений (19.14) и (19.17) определяют матема тическую модель теории фильтрации вязкой сжимаемой жидкости (газа) в недеформируемой изотропной пористой среде.

Математические модели (19.14) и (19.17), очевидно, эквивалентны и описывают неустановившееся фильтрационное течение. Для установив шегося процесса системы упрощаются и принимают вид div w = 0, k w = - grad p, (19.18) µ = (p) и P = 0, k w = - grad P, µ (19.19) = (p), P = dp, соответственно.

Таким образом, при установившейся фильтрации первое уравнение сис темы (19.19) представляется уравнением Лапласа для функции Лейбензона, интегрируя которое можно найти эту функцию и, далее, определить рас пределение скоростей и давлений в пласте. Первое уравнение систе мы (19.17) содержит две неизвестных функции – плотность и функцию Лейбензона, но при задании уравнения состояния (предпоследнего соот ношения в системе), его тоже можно представить в виде дифференциаль ного уравнения только для функции Лейбензона.

Для математической модели (19.8) пласт считается деформируемым, так как пористость и проницаемость полагаются функциями давления. При этом изменение давления в пласте столь существенно, что и вязкость тоже полагается функцией давления. Поэтому подстановка закона Дарси в урав нение неразрывности приводит к обобщенной функции Лейбензона. В са мом деле, при такой подстановке получаем m(p) k(p) - div (p)grad p = 0.

t µ(p) Поэтому функцию Лейбензона, определенную равенством (18.16), мож но обобщить, полагая k(p) grad P = (p)grad p.

µ(p) 400 ГЛАВА XIX Разрешив последнее равенство относительно обобщенной функции Лей бензона, получим формулу для вычисления P k(p)(p)dp.

P = (19.20) µ(p) Система уравнений (19.8) после проведенных преобразований приоб ретает вид m - P = 0, t k w = - grad p, µ (19.21) = (p), m = m(p), k = k(p), µ = µ(p), k(p) P = (p)dp.

µ(p) Конкретная реализация модели (19.21) будет рассмотрена в XXI главе при выводе основного уравнения теории упругого режима.

§7. Модели однофазной фильтрации в недеформируемом пласте при нелинейных законах фильтрации Как уже отмечалось, закон Дарси имеет верхний и нижний пределы применимости. Построенные в предыдущих пунктах математические мо дели справедливы лишь для фильтрационных потоков при выполнении за кона Дарси. Поэтому при нарушении линейного закона фильтрации эти модели уже неприменимы, и их необходимо обобщить на случай нелиней ных законов фильтрации. Как было показано, закон фильтрации получает ся из закона об изменении количества движения. Общий принцип построе ния математической модели остается прежним – математическая модель представляет собой замкнутую систему уравнений, выражающих законы сохранения, к которым добавляются определяющие уравнения. И в нели нейном случае закон Дарси необходимо заменить на нелинейный закон фильтрации.

При нелинейной фильтрации несжимаемой жидкости (без учета силы тяжести) по закону Форхгеймера система уравнений (19.10) заменяется на div w = 0, µ grad p = - w - w w, k k МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ а при фильтрации по степенному закону – на div w = 0, 1-n w = c grad p n grad p.

Аналогично переписывается и математическая модель при установив шейся фильтрации газа:

div w = 0, µ grad p = - w - w w, k k = (p) и div w = 0, 1-n w = c grad p n grad p, = (p).

Анализ этих систем и их интегрирование будут рассмотрены в сле дующей главе.

§8. Зависимость параметров флюидов и пористой среды от давления Понятно, для возможности использования построенных моделей тео рии однофазной фильтрации при решении конкретных задач необходимо в явном виде задать зависимости = (p), m = m(p), k = k(p), µ = µ(p).

Поэтому выпишем основные зависимости параметров флюидов и пористой среды от давления.

В неустановившихся процессах часто большое количество нефти можно отобрать за счет расширения ее объема при снижении давления. В этих процессах необходим учет сжимаемости жидкости. При движении газа не обходимо учитывать зависимость плотности газа от давления. Поэтому в качестве основных уравнений состояния рассматривают уравнения со стояния упругой жидкости, совершенного и реального газов.

В дальнейшем будем считать, что давление является функцией только плотности. Процессы, в которых p = f(), называются, как уже ранее от мечалось, баротропными. Примерами баротропных процессов могут слу жить изотермические фильтрационные течения.

402 ГЛАВА XIX По определению, коэффициент объемного сжатия жидкости равен ж отношению относительного изменения объема жидкости dVж Vж к изме нению давления dp 1 dVж ж = -. (19.22) Vж dp Знак минус поставлен для того, чтобы коэффициент объемного сжа тия жидкости был положительной величиной. В самом деле, при увеличе нии давления (dp > 0) объем жидкости уменьшается (dVж < 0) и наобо рот, то есть дифференциалы в числителе и знаменателе равенства (19.22) имеют разные знаки. Коэффициент объемного сжатия жидкости обычно считается универсальной постоянной, то есть считается, что он не зависит ни от температуры, ни от давления, но для разных жидкостей он принима ет разные значения.

По данным В.Н.Щелкачева, для нефти отечественных месторождений ж изменяется в диапазоне от 7 10–10 Па–1 до 30 10–10 Па–1, а для пластовых вод диапазон изменения лежит в пределах от 2,7 10–10 Па–1 до 5 10–10 Па–1.

Соотношение (19.22) в неявном виде задает связь между давлением и плотностью в упругой жидкости (то есть уравнение состояния). Чтобы получить уравнение состояния из равенства (19.22) в явном виде, перейдем от объемов к плотности жидкости. Для однородной жидкости масса жид кости и объем связаны соотношением M = Vж, поэтому при M = const M M dVж = d = - d, Следовательно, подставляя выписанные выражения в (19.22), получаем M d d ж = =, M dp dp откуда d = жdp.

Проинтегрируем последнее соотношение от заданных значений 0, p0 до переменных, p, то есть запишем p d = ж dp, 0 p в результате получим ln = ж(p - p0).

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ Из этого соотношения найдем ж = 0e (p- p0 ). (19.23) Показатель степени ж(p - p0) обычно мал, и экспоненту можно раз ложить в ряд. Ограничиваясь только линейным членом разложения, будем иметь ж e (p- p0 ) 1 + ж(p - p0), Используя проведенные преобразования, получим уравнение состояния упругой слабосжимаемой жидкости при небольших перепадах давления = 0[1 + ж(p - p0)]. (19.24) Для больших значений ж(p - p0) необходимо использовать уравне ние состояния (19.23). Наряду с коэффициентом объемного сжатия часто используют обратную величину, Kж = 1 ж, которая называется модулем упругости жидкости.

Для природных газов в качестве уравнения состояния часто исполь зуют уравнение состояния совершенного газа (уравнение состояния Мен делеева–Клапейрона) p = RT, (19.25) где R – газовая постоянная, T – абсолютная температура. Уравнение со стояния (19.25) для изотермических процессов принимает вид p = RT = const.

Обычно константу в уравнении состояния определяют заданием плот ности газа и давления при атмосферных условиях, принимая при этом, что температура T равна температуре в пласте Tпл – pат = const, ат где ат – плотность газа при атмосферном давлении pат. Следовательно, уравнение состояния совершенного газа, которым мы будем пользоваться в дальнейшем, запишется в виде ат = p. (19.26) pат Для газовых месторождений с большими пластовыми давлениями (по рядка 40–60 МПа) используется уравнение состояния, которое называется уравнением состояния реального газа и имеет вид p = zRT, (19.27) 404 ГЛАВА XIX где z – коэффициент сверхсжимаемости газа, равный отношению плотно сти совершенного газа к плотности реального при заданных P и T. Коэф фициент сверхсжимаемости учитывает отклонения состояния реального газа от предписываемого уравнением состояния для совершенного газа.

Коэффициент z зависит от приведенных значений давления pr и темпера туры Tr p T pr =, Tr = (19.28) pср.кр. Tср.кр.

и может быть определен как аналитически, так и графически с помощью графиков, представленных на рис. 19.2. В равенствах (19.28) pср.кр. и Tср.кр.

– среднекритические давление и температура. Как известно, природный газ состоит из различных компонентов (метан, этан, пропан и др.), и средне критические давление и температура определяются по формулам nj pкр.j njTкр.j pср.кр. =, Tср.кр. =, nj nj где nj – содержание j-го компонента в газе, в объемных процентах;

pкр.j и Tкр.j – критические давление и температура j-го компонента, соответственно.

Для изотермических фильтрационных течений величина RT посто янна и для уравнения состояния реального газа может быть определена при атмосферных условиях pат = z(pат)RT.

ат Уравнение состояния реального газа в этом случае примет вид атz(pат)p = (19.29) pатz(p).

Используя приведенные уравнения состояния (19.23), (19.24), (19.26) и (19.29), нетрудно вычислить функцию Лейбензона для каждого случая.

Для упругой жидкости с уравнением состояния (19.23) функция Лей бензона имеет вид ж ж P = 0e (p- p0 )dp = e (p- p0 )dж(p - p0) = ж (19.30) 0 (p- p0 ) ж = e + C = + C.

ж ж МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ Рис. 19.2. Зависимость коэффициента сверхсжимаемости от приведенного дав ления и температуры для природных газов При малых значениях ж(p - p0) равенство (19.30) можно преобразо вать, разложив экспоненту в ряд, так что получится 0 P = [1 + ж(p - p0)]+ C = + 0 p - 0 p0 + C = 0 p + C,(19.31) ж ж где C = C + 0 ж - 0 p0.

Для упругой жидкости с уравнением состояния (19.24) имеем p P = 0[1 + ж(p - p0)]dp = 0 p + 0ж - p0 p + C, 406 ГЛАВА XIX или, учитывая, что жидкость слабосжимаемая и коэффициент ж мал, P = 0 p + C.

Таким образом, функция Лейбензона для уравнений состояния (19.23) и (19.24) при малых изменениях давления в слабосжимаемой жидкости, как и следовало ожидать, одинакова и совпадает с функцией Лейбензона для несжимаемой жидкости. В самом деле, для несжимаемой жидко сти = 0 = const и функция Лейбензона определяется равенством P = dp = p + C.

Для совершенного газа с уравнением состояния (19.25) функция Лей бензона имеет вид ат p ат p P = dp = + C. (19.32) pат 2 pат Для реального газа в случае изотермической фильтрации функция Лейбензона определяется равенством атz(pат) p P = pат z(p)dp.

Зависимость z(p) при постоянной температуре можно считать линей ной при малых изменениях давления z = z0[1 - az(po - p)], (19.33) где z0 – коэффициент сверхсжимаемости при p = p0;

и экспоненциальной при больших изменениях давления z z = z0e-a (po - p), (19.34) причем константа az должна быть подобрана так, чтобы кривая (19.33) или (19.34) как можно ближе подходила к соответствующей эмпирической кривой на графиках Д.Брауна для z = z(p).

Здесь был приведен простейший способ учета изменения свойств ре ального газа при изменении давления и температуры. В сложных термоба рических условиях, при фильтрации многокомпонентных газов следует пользоваться более совершенными уравнениями состояния.

Эксперименты показывают, что коэффициенты вязкости нефти (при давлениях выше давления насыщения) и газа увеличиваются с повышением давления. При изменении давления в значительных пределах (до 100 МПа) зависимость вязкости пластовых нефтей и природных газов от давления можно принять экспоненциальной:

µ µ = µ0e-a (p0 - p). (19.35) МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ При малых изменениях давления эта зависимость близка к линейной µ = µ - a p - p, (19.36) ( ) 0 µ где µ0 – вязкость при зафиксированном давлении p0, aµ – коэффициент, определяемый экспериментально и зависящий от состава нефти или газа.

Чтобы выяснить, как зависит от давления коэффициент пористости, рассмотрим вопрос о напряжениях, действующих в пористой среде, запол ненной жидкостью.

Масса горных пород, расположенных над кровлей продуктивного пла ста, создает так называемое горное давление pгорн, которое обычно можно считать неизменным в процессе разработки пласта. Горное давление опре деляется по формуле pгорн = горнgH, где горн – средняя плотность гор ных пород, слагающих вышележащие пласты, H – глубина залегания пла ста. Если предположить, что кровля и подошва пласта абсолютно непро ницаемы и полностью воспринимают нагрузку вышележащих пород, то горное давление уравновешивается напряжением в скелете пласта и давлением p в жидкости, то есть соблюдается соотношение pгорн = (1 - m) + mp. (19.37) Здесь – истинное напряжение в скелете пористой среды, рассчи танное на единицу горизонтальной площади, мысленно выделенной в лю бой точке пласта;

оно действует на части площади - m ). Поровое давле ( ние p действует на остальной части площади m. Удобнее ввести еще так называемое эффективное напряжение, определяемое как разность на эф пряжений в твердом скелете и жидкой фазе и связанное с истинным на пряжением соотношением = (1 - m)( - p). (19.38) эф Тогда из формулы (19.37) следует, что pгорн = + p. (19.39) эф Эффективное напряжение физически интерпретируется как та часть истинного напряжения в твердой фазе, которая передается по контакту между зернами скелета, не зависит от присутствия жидкости и будет суще ствовать также в сухой среде. Понятие эффективного напряжения удобно еще и потому, что его можно определить из опыта: можно измерить на грузку, моделирующую горное давление pгорн и поровое давление p, и найти эф = - p.

408 ГЛАВА XIX При разработке залежи пластовое давление p падает, и напряжение в скелете возрастает.

эф Изменение пористости обусловлено как изменением внутрипорового дав ления p, так и изменением эффективного напряжения : m = m(p,эф).

эф При падении давления уменьшаются усилия, сжимающие каждое из зерен породы, поэтому увеличивается объем зерен и уменьшается объем пор.

Увеличение приводит к тому, что зерна породы испытывают дополни эф тельную деформацию – поверхность контактов между зернами увеличива ется, происходит уплотнение упаковки зерен (схематично этот процесс по казан на рис. 19.3), возможна также перегруппировка зерен, разрушение цементирующего вещества и самих зерен, дробление зерен и т.д.

Рис. 19.3. Упрощенная схема деформации зерен пористой среды: а – до дефор мации, б – после деформации В тех случаях, когда pгорн = const, обычно принимают, что порис тость зависит только от давления m = m(p).

Вследствие малой деформации твердой фазы обычно считают, что из менение пористости зависит от изменения давления линейно. Закон сжимае мости породы записывают, вводя коэффициент упругости пласта c, в виде dVп c =, (19.40) Vdp где dVп – изменение объема пор в элементе пласта, имеющем объем V, при изменении давления на величину dp. Если объем элемента пласта Vп считается неизменным, то dVп V = d = dm, и закон сжимаемости по Vп роды примет вид dm = cdp. (19.41) МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ Интегрируя соотношение (19.41), получаем m = m0 + c(p - p0), (19.42) где m0 – коэффициент пористости при p = p0.

Лабораторные эксперименты для разных зернистых пористых сред и промысловые исследования показывают, что коэффициент объемной упру гости пласта составляет величины порядка c = (0,3 - 2)10-10 Па-1.

При значительных изменениях давления изменение пористости опи сывается уравнением c m = m0e- (po - p) mo. (19.43) Экспериментами установлено, что не только пористость, но и прони цаемость существенно меняется с изменением пластового давления, при чем часто проницаемость изменяется в более сильной степени, чем порис тость. При малых изменениях давления эта зависимость может быть при нята линейной k = k0[1 - ak(p - p0)], ak(p - p0) << 1, (19.44) а при больших – экспоненциальной k k = k0e-a (p- po ). (19.45) Заметим, что выше рассматривались только пористые среды. В тре щиноватых пластах проницаемость изменяется в зависимости от давления интенсивнее, чем в пористых.

Глава XX ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА В ОДНОРОДНОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ §1. Схемы одномерных фильтрационных потоков Как уже отмечалось, реальные коллекторы углеводородного сырья об ладают сложной геометрией, строением, условиями залегания и т.д. По этому для моделирования фильтрационных течений часто используют уп рощенные постановки краевых задач, которые часто называют модельны ми. В наиболее простых модельных задачах рассчитываются одномерные установившиеся фильтрационные течения в однородном недеформируе мом изотропном пласте (коллекторе).

К простейшим одномерным задачам относятся такие, в которых над лежащим выбором системы координат можно сделать так, что фильтраци онные характеристики (скорость, давление) будут функциями только од ной координаты. Одномерные фильтрационные потоки обладают различ ной симметрией. В зависимости от симметрии фильтрационного потока различают прямолинейно-параллельное, плоскорадиальное и радиально сферическое течение.

В прямолинейно-параллельном потоке траектории частиц (линии то ка) представляют собой прямые линии, параллельные друг другу. В качес тве примеров прямолинейно-параллельных фильтрационных течений можно привести следующие: течение жидкости в экспериментальной уста новке Дарси, течение жидкости или газа в лабораторных установках по оп ределению проницаемости (см. рис. 18.6) и т.д.

В случае плоскорадиального течения линии тока представляют собой лучи, лежащие на плоскости и исходящие из общего центра (полюса). При мером подобной схемы фильтрационного течения является приток флюида к центральной скважине в круговом пласте (рис. 20.1).

При радиально-сферической фильтрации траектории частиц направ лены к центру (от центра) полусферы. Подобное фильтрационное течение можно представить в случае, когда вскрыта кровля пласта и приток флюи да направлен к полусфере (рис. 20.2).

ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ Рис. 20.1. Линии тока при плоскоради- Рис. 20.2. Радиально-сферический фильт альном потоке рационный поток Заметим, что при определении схем одномерных потоков использова лись такие понятия, как траектории частиц и линии тока. В определениях использовались кинематические характеристики фильтрационного тече ния, которые отражают не истинную, а осредненную картину течения, т.е.

истинные траектории частиц и линии тока могут не совпадать со средни ми, модельными характеристиками фильтрационного потока.

§ 2. Прямолинейно-параллельная фильтрация несжимаемой жидкости Рассмотрим решение задач по определению характеристик одномерных фильтрационных течений несжимаемой однородной ньютоновской жидкости в изотропном однородном недеформируемом пласте. Математическая мо дель в данном случае задается системой уравнений k p = 0, w = - grad p. (20.1) µ Проектируя уравнения (20.1) на декартову систему координат, получим 2 p 2 p 2 p + + = 0, x2 y2 z (20.2) k p k p k p wx = -, wy = -, wz = -.

µ x µ y µ z Пусть пласт представляет собой прямоугольный параллелепипед ши риной B и толщиной h, ограниченный сверху и снизу непроницаемыми плоскостями, слева – контуром питания, справа – галереей. Выберем сис тему координат так, как это показано на рис. 20.3, то есть начало координат 412 ГЛАВА XX поместим на плоскость контура пи тания. Название – контур питания – обусловлено тем, что согласно по становке задачи через плоскость x = 0 происходит приток в пласт жидкости, которая далее фильтрует ся к галерее x = L. Ось Ox напра вим параллельно вектору скорости фильтрации. Тогда можно принять, Рис. 20.3. Прямолинейно-параллель- что искомые функции – давление и ный фильтрационный поток скорость фильтрации – зависят только от координаты x, и уравнения (20.2) запишутся в виде d2 p k dp = 0, wx = -, wy = wz = 0. (20.3) dx2 µ dx Проинтегрировав первое уравнение (20.3) получим dp = C1, откуда dp = C1dx, и, далее, p = C1x + C2.

dx Для нахождения констант интегрирования C1 и C2 необходимо задать граничные условия, то есть значения давления в двух точках на линии то ка. Обычно известны значения давления на контуре питания pk и галерее pг ( pk > pг ). Поэтому для нахождения C1 и C2 имеем граничные условия p = pk при x = 0 и p = pг при x = L.

Подставив граничные условия в выражение для давления, получим pk = C2 и pг = 1L + C2, откуда найдем, что pk - pг C1 = - и C2 = pk.

L Далее, подставив найденные значения постоянных интегрирования в вы ражения для давления и скорости фильтрации, получим решение задачи при прямолинейно-параллельной фильтрации p - p k г p(x) = p - x, k L (20.4) k dp k k p - p k г w = - = - C =.

x µ dx µ µ L Данный результат можно представить и в несколько ином виде. Ум ножив скорость фильтрации на площадь галереи S = Bh (см. рис. 20.3), ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ получим значение расхода Q k pk - pг wxS = Q = S. (20.5) µ L Выразив из равенства (20.5) перепад давления pk - pг Qµ = L kS и подставив результат в формулу для распределения давления в пласте, будем иметь Qµ p(x) = pk - x. (20.6) kS Проанализируем полученные результаты. Как следует из соотноше ний (20.4), давление в пласте при прямолинейно-параллельной фильтрации распределено по координате x по линейному закону, а скорость фильтра ции во всем пласте постоянна. Важно отметить также, что соотношение (20.5), полученное в результате решения задачи для сформулированной выше математической модели фильтрации несжимаемой жидкости, в точности соответствует экспериментальному результату, полученному А.Дарси.

Для прикладных исследований (при определении фильтрационных ха рактеристик пласта в промысловых условиях) часто используют еще и дру гую интерпретацию полученного результата (20.4). При определении фильт рационных характеристик пласта по методу установившихся отборов стро ится индикаторная линия, которая представляет собой график зависимости расхода от разности давлений на контуре питания и галерее (эта разность называется депрессией на пласт). Таким образом, индикаторная линия представляет собой график зависимости вида Q = Cp, где коэффициент пропорциональности С называется коэффициентом про дуктивности. Очевидно, он равен kS C =.

µL Следовательно, при выполнении закона Дарси индикаторная линия пред ставляется в виде прямой.

Еще одна промысловая задача связана с определением времени дви жения в пласте «меченых частиц». С целью определения фильтрационных и емкостных параметров нефтегазового пласта в фильтрационный поток можно закачать изотопы некоторых атомов или другие частицы, которые можно идентифицировать в потоке с помощью специальных методов. Время движения «меченых частиц» определяется из закона движения с помощью определения истинной средней скорости.

414 ГЛАВА XX Вначале приведем вывод формулы, используя стандартный подход, со гласно которому пористость равна просветности, а далее внесем корректи вы, которые получаются в результате использования при определении свя зи между скоростью фильтрации и истинной средней скоростью вместо пористости – просветности (см. (18.12)).

Пусть выражение для истинной средней скорости имеет вид dx w v = =. (20.7А) dt m Разделим переменные в равенстве (20.7.A) m dt = dx w и подставим в последнее равенство найденное выше выражение для моду ля вектора скорости фильтрации (20.4). В результате получим mµ L dt = dx.

k pk - pг Далее это соотношение можно проинтегрировать и найти время, за которое «меченая частица» переместится от контура питания (x = 0 при t = 0) до произвольной точки в пласте (x = x1 и t = t1):

mµ Lx t1 =. (20.8А) k pk - pг Приняв, что x1 = L, получим время прохождения «меченой частицей» всего пласта, от контура питания до галереи – mµ L T =. (20.9А) k pk - pг Однако в исходном соотношении вместо пористости необходимо бы ло использовать просветность. В результате в качестве исходного будем иметь иное соотношение dx w v = =. (20.7В) dt s Теперь для перехода от пористости к просветности воспользуемся структурным коэффициентом, который был введен в первой главе при оп ределении диаметра капилляра в идеальной пористой среде m s =, преобразуем формулу (20.7В) к виду dx w v = =.

dt m ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ Так как в однородной пористой среде – постоянная величина, все дальнейшие выкладки остаются теми же, что и выше, и конечный резуль тат, учитывающий то, что пористость не равна просветности, приводит к равенствам mµ Lx t1 = (20.8В) k pk - pг и mµ L T =. (20.9.В) k pk - pг Формулы (20.8В) и (20.9В) отличаются от обычно используемых (20.8А) и (20.9А) на величину структурного коэффициента, значения которого удовлетворяют неравенству 1. Поэтому учет структурного коэффи циента приводит к уменьшению времени движения «меченых частиц».

Еще одной важной характеристикой, используемой при решении при кладных задач, является средневзвешенное по объему порового простран ства пластовое давление p, которое обычно определяется по формуле p = pdVп, (20.10) Vп Vп где Vп – общий объем порового пространства пласта. Однако подобное оп ределение является не совсем корректным. В самом деле, согласно опреде лению пористости (m = dVП dV ) объем пор представляется функцией вида Vп =, mdV V которая определена на том же множестве «физических точек», что и объем пласта V, по которому непрерывно «размазаны» пустоты. Поэтому кор ректное определение (20.10) должно выглядеть следующим образом p = mp dV, (20.11) Vп V то есть необходимо изменить область, по которой ведется интегрирование.

Понятно, что можно ввести и другую характеристику – среднее по пласту давление pпл = pdV. (20.12) V V 416 ГЛАВА XX Введенные характеристики можно сравнить. Для однородного пласта (dVП = mdV и m = const) имеем 1 p = pm dV = pпл = p dV.

mV V V V Следовательно, для однородного пласта среднее по пласту давление равно средневзвешенному по объему пор. Если же пласт не является одно родным, то среднее по пласту давление может и не совпадать со средне взвешенным по объему пор:

pmdV pdV VV p = p =.

mdV mdV VV Подставим теперь формулу (20.4) для распределения давления в пла сте в выражение (20.11) и вычислим средневзвешенное по объему пор давление (которое в данном случае равно среднему по пласту давлению) L 1 pk - pг pk + pг p = Bh( pk - x)dx =. (20.13) BhL L Таким образом, основные фильтрационные характеристики при пря молинейно-параллельной фильтрации несжимаемой жидкости определяются формулами (20.4). (20.8А), (20.8В) и (20.13).

§3. Плоскорадиальная фильтрация несжимаемой жидкости Определим теперь распределе ние давления и скорости фильтрации в пласте при плоскорадиальной сим метрии задачи. Пусть имеется в кру говом пласте толщиной h и радиуса RK (см. рис. 20.4) центральная сква жина радиуса rc, на забое которой поддерживается постоянное давле ние. На боковой поверхности r = RK также поддерживается постоянное Рис. 20.4. Плоскорадиальный поток в давление pK ( pk > pc ), и через нее круговом пласте происходит приток флюида, равный дебиту скважины.

ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ Фильтрация установившаяся. Боковая поверхность, через которую происхо дит приток, называется контуром питания. Система уравнений остается прежней и в безиндексной форме представляется уравнениями (20.1). При проектировании уравнений (20.1) на цилиндрическую систему координат (см. приложение П.52) получим 1 p 1 2 p 2 p r + + = 0, r r r r2 2 z (20.14) k p k p k p wr = -, w = -, wz = -.

µ r µ µ z Согласно принятой схеме течения искомые функции не зависят ни от (течение осесимметричное), ни от z (течение плоское), поэтому в рассматриваемой задаче p = p z = 0, и, значит, p = p(r) и w = wz = 0, wr = w(r). Система уравнений (20.14) при этих условиях принимает вид d dp k dp r = 0, w =. (20.15) dr dr µ dr Обратим внимание на то, что в проекции закона Дарси (второго равенст ва (20.15)) на координатную ось r знаки в левой и правой частях совпада ют. Это обусловлено тем, что движение происходит к скважине, и скорость фильтрации проектируется со знаком «минус».

dp Проинтегрируем первое уравнение r = C, и далее, разделяя пере dr менные и интегрируя последнее выражение, получим RK pK - p = C ln. (20.16) r При интегрировании было использовано граничное условие p = pK при r = RK.

Можно было использовать и другое граничное условие – p = pc при r = rc, тогда получилось бы r p - pc = C ln. (20.17) rc Очевидно, что оба выражения (20.16) и (20.17) эквивалентны.

Для нахождения константы C можно поступить следующим обра зом. Умножим формулу для скорости фильтрации (20.15) на площадь боковой поверхности цилиндра произвольного радиуса r (rC r RK ) 418 ГЛАВА XX и получим k dp 2rhw = 2rh, µ dr или k Q = 2h C.

µ Из последнего соотношения следует выражение для C Qµ C =.

2kh Можно было поступить и иначе: в формуле (20.17) положить r = Rk и получить Rk pk - pc = C ln.

rc Разрешив это соотношение относительно C, получим pk - pc C =.

Rk ln rc Подставляя первое найденное значение постоянной интегрирования в (20.16) и (20.17), получаем формулы для распределения давления в пла сте Qµ Rk Qµ r p = pk - ln и p = pc + ln. (20.18) 2kh r 2kh rc Из соотношений (20.18), при r = rc для первого равенства и при r = Rk для второго, можно получить выражение для дебита (объемного расхода) сква жины 2kh pk - pc Q =. (20.19) Rk µ ln rc Равенство (20.19) называется формулой Дюпюи, по имени ее автора – французского инженера гидравлика XIX века.

С помощью формулы Дюпюи равенства (20.18) для распределения дав ления в пласте можно преобразовать к виду pk - pc Rk pk - pc r p = pk - ln и p = pc + ln. (20.20) Rk r Rk rc ln ln rc rc Формулы (20.18) и (20.20), очевидно, эквивалентны, и из них следует, что давление в пласте распределено по логарифмическому закону. Поэтому ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ при значениях радиуса, близких к ра диусу контура питания, значения дав ления изменяются незначительно, но при приближении к скважине давле ние изменяется резко (см. рис. 20.5).

Формулы (20.18) и (20.20) в простран стве определяют поверхности, которые получаются вращением образующей вокруг оси симметрии скважины. Эта поверхность, соответствующая распре делению давления, носит название во ронки депрессии.

Рис. 20.5. Распределение давления Понятно, что аналогично ведет се в плоскорадиальном потоке бя и градиент давления, а следовательно, и скорость фильтрации (с той лишь разницей, что давление при приближе нии к скважине резко уменьшается, а скорость резко возрастает). Подобное поведение скорости можно установить при анализе связывающей скорость и расход формулы Q w =. (20.21) 2h r Из физических соображений подоб ное поведение функций, определяющих изменение в пласте давления и скорости фильтрации, легко объяснимо. В самом деле, через любую цилиндрическую по верхность, концентрично расположен ную относительно скважины, в единицу времени протекает один и тот же объем несжимаемой жидкости (Q = const ). По скольку вблизи контура питания пло Рис. 20.6. Зависимость скорости щадь боковой поверхности цилиндра фильтрации жидкости в плоскора очень велика, скорости там малы. При диальном потоке от радиуса приближении к скважине площадь по верхности постоянно уменьшается, а скорость возрастает (см. рис. 20.6). Чтобы скорость возрастала необходимо увеличение градиента давления, которое и имеется по построенному решению.

Как следует из формулы Дюпюи, уравнение индикаторной линии при плоскорадиальном потоке так же, как и в случае фильтрации в галерее, за дается уравнением прямой (см. рис. 20.7):

2kh Q = Cp = ( pk - pc) (20.22) Rk µ ln rc с коэффициентом продуктивности C = 2kh (µ ln Rk rc).

420 ГЛАВА XX Получим теперь расчетные соотно шения для определения времени движения «меченой частицы» в плоскорадиальном потоке. Как и в случае прямолинейно параллельной фильтрации, рассмотрим два варианта. В первом варианте положим, что пористость равна просветности, во втором внесем коррективы, которые сле Рис. 20.7. Индикаторная линия дуют из уточнения понятия просветности.

для потока несжимаемой жидко Согласно формулам (20.7А) и (20.21) для сти по закону Дарси определения времени движения «меченой частицы» от контура питания до произ- вольной точки пласта имеем уравнение dr w Q = v = =.

dt m 2rhm Разделив переменные в этом дифференциальном уравнении и проинтегри ровав его с пределами интегрирования от 0 до произвольного момента времени t1 и от радиуса контура питания до r1, получим соотношение hm(Rk - r12) t1 =.

Q Отсюда после использования формулы Дюпюи (20.19) найдем µm ln(Rk rc)(Rk - r12).

t1 = (20.23) 2k(pk - pc) Из равенства (20.23) следует, что «меченая частица» пройдет расстоя ние от контура питания до скважины за время T, определяемое формулой µm ln(Rk rc)(Rk - rc2).

T = (20.24) 2k(pk - pc) Введение вместо пористости просветности, как и в случае прямоли нейно-параллельной фильтрации, приводит к появлению в формулах (20.23) и (20.24) структурного коэффициента 2 µm ln(Rk rc)(Rk - r12) и T = µm ln(Rk rc)(Rk - rc2).

t1 = 2k(pk - pc) 2k (pk - pc) Далее определим средневзвешенное по поровому пространству давле ние при плоскорадиальной фильтрации. Для этого подставим в равенство (20.10) формулу для распределения давления (20.20) и получим Rk h 1 pk - pc Rk p = dz d pk - mr dr.

hm(Rk - rc2) ln(Rk rc)ln r 0 0 rc ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ После выполнения интегрирования по z и получаем Rk k R 2 pk - pc pk - pc p = - ln Rk r dr + r ln r dr.

pk Rk - rc2 ln(Rk rc) ln(Rk rc) rc rc Первый интеграл в квадратных скобках легко вычисляется, а второй интегрируется по частям. В результате получаем pk- pc 2 pk-pc Rk rc2 p = pk - ln Rk - lnrc - (Rk - rc2).

ln(Rk rc)ln Rk + ln(Rk rc) 2 2 Rk- rc Преобразуем полученное выражение, добавляя и вычитая в квадрат ных скобках выражение Rk ln rc 2. В результате очевидных преобразова ний получаем rc2(pk - pc) pk - pc p = pk + -.

Rk - rc2 2 ln(Rk rc) Поскольку Rk rc >> 1 вторым слагаемым в полученном выражении можно пренебречь и переписать выражение для среднего по поровому пространству давления в виде pk - pc p = pk - (20.25) 2 ln(Rk rc).

§4. Радиально-сферическая фильтрация несжимаемой жидкости Перейдем к рассмотрению радиаль но-сферической фильтрации несжимаемой жидкости в изотропном недеформируе мом пласте. Пусть имеется скважина ра диуса rc, вскрывшая кровлю пласта, на забое которой поддерживается постоянное давление pC. Если предположить, что толщина пласта h достаточно большая, то можно выделить полусферу радиуса Rk (см. рис. 20.8), на поверхности которой Рис. 20.8. Радиально-сферический поддерживается постоянное давление pk фильтрационный поток и через которую происходит приток флюида, равный дебиту скважины. Течение 422 ГЛАВА XX установившееся, и поверхность полусферы представляет собой контур пи тания. Можно еще принять, что вскрытие кровли пласта имеет форму по лусферы, вектор скорости фильтрации в любой точке пласта между конту ром питания и забоем скважины направлен к центру сферы. В этом случае задача имеет сферическую симметрию, и ее удобно решать в сферической системе координат.

Система уравнений для решения задачи остается прежней и в безин дексной форме представляется уравнениями (20.1). В сферической системе координат (см. приложение П.53) уравнения (20.1) имеют следующий вид 1 p 1 p 1 2 p r + sin + = 0, r2 r r sin sin (20.26) k p k 1 p k 1 p wr = -, w = -, w = -.

µ r µ r µ r sin При сделанном предположении о сферической симметрии процесса все искомые функции зависят только от r. В этом случае система уравне ний (20.26) упрощается и принимает вид d dp k dp r = 0, wr =. (20.27) dr dr µ dr Интегрирование первого уравнения системы (20.27) приводит к равенству dp r2 = C, dr где С – постоянная интегрирования. Разделяя переменные и интегрируя, получим p R k k dr 1 dp = C, откуда p - p = C k.

rr R p r k Для определения С можно в последнем равенстве положить r = rc. В ре зультате будем иметь C = (pk - pc) (1 rc - 1 Rk), но так как Rk >> rc, можно положить C = rc(pk - pc), и формула для распределения давления примет вид p = pk - rc(pk - pc) 1 -. (20.28) r Rk ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ Используя второе уравнение (20.27) и соотношение (20.28), получим формулу для расчета дебита k dp 2k Q = 2r2wr = -2r2 = rc(pk - pc).

µ dr µ Остальные параметры радиально-сферического фильтрационного те чения могут быть получены аналогично тому, как это сделано в двух пер вых случаях рассмотренных одномерных течений.

В заключение отметим одно обстоятельство. Нетрудно заметить, что оператор Лапласа для всех трех рассмотренных случаев одномерных тече ний можно записать с помощью единой формулы d dp = 0, (20.29) d d где показатель степени = 0, 1, 2 и может быть назван коэффициентом фор мы. При = 0 имеем прямолинейно-параллельное течение ( = x), при = плоскорадиальное течение ( = r), при = 2 радиально-сферическое тече ние ( = r). Однако, используя общую для всех трех случаев запись, нельзя получить универсальную форму представления решений, потому что инте грал, задающий распределение давления, вычисляется неоднозначно:

d 1- d = + C при 1 и = ln + C при = 1.

1 - Но представление (20.29) можно использовать как мнемоническое пра вило для запоминания вида оператора Лапласа в разных вариантах одно мерных течений.

§5. Аналогия между фильтрацией несжимаемой жидкости и газа Решения, которые получены в предыдущем параграфе для одномер ных схем течения, справедливы при фильтрации несжимаемой жидкости.

Обобщим их на случай фильтрации газа. Для этого рассмотрим математи ческие модели установившейся фильтрации несжимаемой жидкости и газа и установим между ними аналогию. Системы уравнений для моделей не сжимаемой жидкости и газа имеют, как было показано в предыдущей главе (системы уравнений (19.10) и (19.18) без учета массовых сил, соответст венно), следующий вид:

div w = 0, div w = 0, k k w = - grad p, w = - grad p, µ µ = const ;

= ( p).

424 ГЛАВА XX Переходя к функции Лейбензона, для чего нужно умножить закон Дарси в модели для газа на плотность и вместо grad p записать grad P, а в уравнение неразрывности подставить закон Дарси, получим системы уравнений (19.11) и (19.19) p = 0, P = 0, k k w = - grad p, w = - grad P, µ µ (20.30) P = dp, = const ;

= ( p).

Напомним, что уравнение состояния для газа считается известным. Из сравнения первых двух уравнений в моделях (20.30) видно, что они экви валентны с точностью до замены искомых функций – давления p на функцию Лейбензона P и скорости фильтрации w на массовую скорость фильтрации w. Поэтому если геометрия пласта и граничные условия в постановках задач совпадают, то и решения имеют одинаковый вид. Таким образом, если в полученных ранее решениях для одномерных фильтраци онных течений несжимаемой жидкости произвести указанную замену функций, то получим решения, которые будут справедливы при фильтра ции газа. Например, решения для распределения давления в пласте и ско рости фильтрации, полученные для прямолинейно-параллельного течения (20.4) несжимаемой жидкости, при фильтрации газа преобразуются сле дующим образом:

для несжимаемой жидкости для газа pk - pг Pk - Pг p (x) = pk - x, P = Pk - x, L L (20.31) pk Pk k - pг k - Pг w = w = ;

.

µ L µ L Однако, чтобы получить явный вид выражений для распределения давления и массовой скорости при фильтрации газа, необходимо задать уравнение состояния. Понятно, что после подстановки функции Лейбензо на, для каждого из уравнений состояния, рассмотренных в третьей главе, будем получать различные выражения для распределений давления и ско рости, а также формулы для среднего по пласту давления. Поэтому далее рассмотрим каждый случай отдельно.

ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ §6. Фильтрационное одномерное течение совершенного газа После установления аналогии между установившейся фильтрацией несжимаемой жидкости и газа и задания уравнений состояния, можно вы писать в явном виде решения для каждой из одномерных фильтрационных схем. Положим, что фильтруется совершенный газ.

Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток совершен ного газа. Для совершенного газа подстановка функции Лейбензона (19.32) в равенства (20.31) дает следующее решение для распределений давления и скорости фильтрации, соответственно, 2 ат pk ат pг ат p2 ат pk 2 pат 2 pат + C = + C - x, 2 pат 2 pат L 2 ат pk ат p k 2 pат 2 pат w =.

µ L После очевидных преобразований и умножения скорости фильтрации на площадь галереи, получаем 2 pk - pг p(x) = pk - x, (20.32) L 2 k ат(pk - pг ), w = (20.33) µ 2 pатL 2 k ат(pk - pг )Bh.

wBh = Qm = (20.34) µ 2 pатL Формулы (20.32)–(20.34) позволяют рассчитать основные фильтраци онные характеристики при прямолинейно-параллельной фильтрации со вершенного газа. Анализируя формулу для массового расхода (20.34), не трудно заметить, что и она может быть получена из формулы для дебита несжимаемой жидкости путем замены давления на функцию Лейбензона и объемного расхода на массовый. Таким образом, полная аналогия между фильтрацией несжимаемой жидкости и газа устанавливается с помощью следующей замены переменных:

для несжимаемых жидкостей для газа p (x) P(x) w w Q Qm 426 ГЛАВА XX При изучении фильтрации газа, кроме массового дебита, широко ис пользуется понятие объемного расхода Qат, приведенного к атмосферным условиям, который определяется равенством Qm Qат =.

ат Формула для приведенного к атмосферным условиям объемного де бита газа имеет вид 2 k pk - p Qат = Bh. (20.35) µ 2 pатL Используя полученное решение для массовой скорости фильтрации, можно получить формулу для времени движения «меченых частиц» в газо вом пласте. Для определения этого времени подставим в формулу (20.7) выражение для скорости фильтрации газа (20.33):

xx x 2 dx 2mµL 2mµLpk pk - pг t = m = p(x)dx = 1 - x dx, (20.36) 2 2 2 2 w k(pk - pг ) k(pk - pг ) pkL где использовано выражение (20.32) для p(x).

Выполнив интегрирование в (20.36), будем иметь 3 2 4mµL2 pk 1 pk - pг t = - 2 2 3k(pk - pг )1 pkL x.

Полученное выражение можно преобразовать, внеся pk в выражение в квад ратных скобках. В результате получим 4mµL2(pk - p3(x)).

t = (20.37) 2 3k(pk - pг ) Формула (20.37) позволяет определить время движения «меченой части цы» до любой точки пласта. В частности, при x = L из (20.37) следует 3 4mµL2(pk - pг ).

T = (20.38) 2 3k(pk - pг ) Выражение (20.38) можно упростить, используя формулу для средне взвешенного пластового давления. Средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление при фильтрации совершенного газа оп ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ределяется формулой L h B 1 p = pmdV = p(x)dxdydz = V BhL V 0 0, L L 2 1 pk pk - p = p(x)dx = 1 - x dx L L Lpk 0 в которой необходимо вычислить тот же интеграл, что и в равенстве (20.36).

Используя полученный выше результат, будем иметь 3 2 pk - pг p =. (20.39) 2 3 pk - pг Таким образом, формулу (20.38) можно переписать в виде 2mµL2 p T = (20.40) 2 k(pk - pг ).

Как уже отмечалось, функция Лейбензона для упругой жидкости при малых изменениях давления совпадает с функцией Лейбензона для не сжимаемой жидкости. Поэтому для упругой жидкости при малых изме нениях давления решения имеют тот же вид, что и для несжимаемой жидкости.

Представляет интерес сравнение решений, полученных для прямо линейно-параллельной фильтрации несжимаемой жидкости и совершен ного газа. Из формулы (20.32) следует, что давление в газовом пласте изменяется не по линейному закону, как это было при фильтрации не сжимаемой жидкости, а пропорционально квадратному корню от коор динаты (см. рис. 20.9). При этом градиент давления (угол наклона к ко ординатной оси х кривой 2 на рис. 20.9) возрастает по мере продвижения газа по пласту и максимальное значение принимает на галерее. Нели нейность изменения давления в пласте приводит к изменению значений градиента давления и, по закону Дарси, скорости фильтрации. Сравне ние скоростей для прямолинейно-параллельной фильтрации при движе нии несжимаемой жидкости и совершенного газа приведено на рис.

20.10. Скорость фильтрации совершенного газа при приближении к га лерее возрастает. Поэтому нелинейной становится и формула для време ни движения «меченой частицы». Сравнение формул для времени дви жения «меченых частиц» при фильтрации несжимаемой жидкости и со вершенного газа приведено на рис. 20.11.

428 ГЛАВА XX Рис. 20.9. Кривые распределения давления для прямолинейно-параллельной фильтра ции: 1 – несжимаемая жидкость, 2 – газ Рис. 20.10. Графики зависимости скорости от координаты для прямолинейно-параллельной фильтрации: 1 – несжимаемая жидкость, 2 – газ Рис. 20.11. Графики зависимости времени движения «меченой частицы» для прямоли нейно-параллельной фильтрации: 1 – несжи маемая жидкость, 2 – газ Плоскорадиальный фильтрационный поток совершенного газа. Ис пользуя аналогию между фильтрацией несжимаемой жидкости и газа, пре образуем найденные выше решения (20.19), (20.20) и (20.21), заменив дав ление на функцию Лейбензона, скорость фильтрации на массовую ско рость фильтрации и объемный дебит на массовый. В результате получим Pk - Pc Rk P = Pk -, ln(Rk rc)ln r Qm w =, (20.41) 2kh r 2kh Pk - Pc Qm = µ ln(Rk rc).

ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ Заменяя в равенствах (20.41) функцию Лейбензона на ее представ ление для совершенного газа (формула (19.32), из которого следует 2 P = ат p2 2 pат + C, Pk = ат pk 2 pат + C, Pc = ат pc 2 pат + C ), будем иметь 2 pk - pc Rk p2 = pk -, ln(Rk rc )ln r Qm w =, 2h r 2 khат pk - pc Qm = µpат ln(Rk rc ).

Следовательно, при плоскорадиальной фильтрации совершенного газа распределение давления в пласте определяется формулой 2 pk - pc Rk p = pk -. (20.42) ln(Rk rc)ln r Сравнение кривых распреде ления давления в пласте при уста новившейся фильтрации несжи маемой жидкости (20.20) и совер шенного газа (20.42) при одинако вых граничных условиях и одина ковых размерах пласта приведено на рис. 20.12. Из графиков видно, что в газовом пласте давление мед леннее изменяется вблизи контура питания и более резко падает вбли зи скважины, чем в нефтяном, для Рис. 20.12. Сравнение кривых распреде расчетов которых обычно прини ления давления в пласте при устано мается модель несжимаемой жид вившейся фильтрации несжимаемой кости. А так как скорость измене жидкости и совершенного газа ния давления определяет градиент давления, который, в свою очередь, определяет скорость фильтрации, то указанное поведение давления в газовом пласте приводит к нарушению за кона Дарси в прискважинной зоне при разработке газовых месторождений.

Поэтому для прикладных расчетов фильтрационных течений совершенно го газа более актуальными являются решения, которые получаются при использовании нелинейных законов фильтрации. Решение соответствую щих задач и их анализ будут рассмотрены далее.

430 ГЛАВА XX Формулу для массового дебита в газовом пласте обычно преобразуют к формуле для объемного дебита, приведенного к атмосферным условиям делением на плотность газа при атмосферном давлении, 2 Qm kh pk - pc Qaт = =. (20.43) ат µpат ln Rk rc Индикаторная линия для газовых скважин строится как график зависимости 2 объемного дебита от (pk - pc ). Поэтому из формулы (20.43) следует, что индикаторная линия представляет собой прямую (рис.

20.13), а коэффициент продуктивности ра вен kh.

µpат ln Rk rc Формулу для массовой скорости при плос Рис. 20.13. Индикаторная ли корадиальной фильтрации совершенного ния для газовых скважин газа после подстановки выражения для мас сового дебита можно преобразовать к виду 2 k ат pk - pc w =. (20.44) µ 2 pат ln(Rk rc) r Формулы для объемного расхода и скорости фильтрации при ради альном течении в пласте совершенного газа имеют вид 2 Qm Qm pат kh pk - pc Q(r) = = =, (20.45) ат µpат ln Rk p(r) rc 2 Q(r) k pk - pc w = =. (20.46) 2rh µ 2 ln Rk rc p(r)r Определим теперь средневзвешенное по поровому пространству дав ление при плоскорадиальной фильтрации совершенного газа Rk h 2 1 1 pk - pc Rk p = pmdV = dz d pk - ln rdr.

V h(Rk - rc2) ln Rk rc rc V 0 0 rc ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ Проинтегрируем выписанное выражение по z, и вынесем из под знака интеграла pk, в результате получим Rk 2 2 pk 1 - pc pk Rk p = 1 - ln rdr. (20.47) Rk - rc2 ln Rk rc rc rc Интеграл (20.47) не берется в конечном виде, поэтому вычисляется приближенно. Для наглядности проведения приближенного вычисления и упрощения выкладок введем обозначение 2 1 - pc pk Rk y = ln.

ln Rk rc r Нетрудно видеть, что при rc < r < Rk для новой переменной выполня ется неравенство 0 < y < 1 (в самом деле, при r = Rk имеем ln R r = k = ln1 = 0 и y = 0, при rc < r < Rk имеем 0 < ln Rk r ln Rk rc < 2 0 < 1, поэтому 0 < y < 1). Разложим радикал в ряд и - pc pk < y y 1 - y = 1 - - -...

2 Ограничиваясь только линейным по y членом, получим 2 1 - pc pk Rk 1 - y 1 - ln.

2 ln Rk rc r После проведенного упрощения формула (20.47) примет вид Rk 2 2 pk 1 - pc pk Rk p = ln.

1 - rdr Rk - rc2 2 ln Rk rc r rc Полученный интеграл вычисляется по частям (см. вычисление средне взвешенного по поровому пространству давления при радиальной фильтра ции несжимаемой жидкости в §2), и, пренебрегая слагаемым, содержа щим rc2 Rk, получаем 2 - pc pk p pk 4. (20.48) ln Rk rc Определим теперь время движения «меченых частиц» в газовом пла сте при радиальной фильтрации. Подставим в формулу для определения этого времени r dr t = m w(r) rc 432 ГЛАВА XX выражение для скорости фильтрации (20.46) и получим r 2µ ln(Rk rc) t = m p(r)dr.

2 k(pk - pc ) rc Преобразуем выражение, подставив под знак интеграла формулу для распределения давления (20.42) при радиальной фильтрации совершенного газа, вычислим время движения «меченой частицы» от контура питания до скважины Rk 2 - pc pk Rk 2mµ ln(Rk rc ) T = pk 1 - ln r dr.

2 2 ln Rk rc r k(pk - pc ) rc Возникший здесь интеграл уже встречался при вычислении средне взвешенного по поровому пространству давления (20.47). Поэтому, как и в предыдущем случае, проведем приближенное вычисление, раскладывая в ряд выражение под знаком интеграла. В результате получим mµ ln(Rk rc)(Rk - rc2) T p. (20.49) 2 k(pk - pc ) При выводе формулы (20.49) полагалось, что пористость равна про светности. Если отказаться от этого допущения и принять связь между по ристостью и просветностью в виде m = s, то формула (20.49) перепи шется в виде mµ ln(Rk rc)(Rk - rc2) T p.

2 k(pk - pc ) Введение структурного коэффициента уменьшает время движения «мече ных частиц».

Замечание о радиально-сферическом фильтрационном потоке со вершенного газа. Используя соотношения (20.27), (20.28) и аналогию ме жду фильтрацией несжимаемой жидкости и газа, можно получить основ ные фильтрационные характеристики и для радиально-сферического фильт рационного потока совершенного газа.

§7. Фильтрационное плоскорадиальное течение реального газа по закону Дарси В главе XIX была введена обобщенная функция Лейбензона посредст вом формулы (19.20). Положим теперь, что проницаемость постоянна, а плотность связана с давлением уравнения состояния для реального га ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ за (19.27). Тогда функция Лейбензона будет иметь вид kатz(pат) p P = (20.50) pат µ(p)z(p)dp.

После задания зависимостей (20.33), (20.34) и (20.35), (20.36) функ цию Лейбензона (20.50) можно использовать для решения одномерных за дач фильтрации сжимаемых флюидов с учетом коэффициента сверхсжи маемости и зависимости от вязкости давления. Для примера рассмотрим решение задачи по определению дебита скважины при плоскорадиальной фильтрации.

Для расчета дебита нужно воспользоваться аналогией между фильт рацией несжимаемой жидкости и сжимаемого флюида и записать формулу для массового дебита, используя функцию Лейбензона, 2kh Pk - Pc Q =.

Rk µ ln rc Подставив в это соотношение функцию Лейбензона в виде (20.49), полу чим pk 2kh атz(pат) p Q = Rk µ µ(p)z(p)dp.

ln rc pc Для вычисления интеграла в полученной формуле можно восполь зоваться разными методами. Наиболее простой способ состоит в том, что по графикам, представленным на рис. 19.2, определяются значения z(pk) = zk, z(pc) = zc и µ(pk) = µk, µ(pc) = µc, а переменные z(p) и µ(p) под знаком интеграла заменяются постоянными значениями, равными средним арифметическим zk + zc µk + µc z = и µ =. (20.51) ~ ~ 2 Тогда формула для массового дебита принимает вид pk 2kh атz(pат)p dp.

Q = Rk µ µz ln ~ ~ rc pc Теперь интеграл вычисляется, и для массового дебита реального газа с уче том зависимости от давления и вязкости получаем формулу 2 kh атz(pат)(pk - pc ).

Q = Rk µ µzpат ln ~ ~ rc 434 ГЛАВА XX Учет отклонений свойств реального газа от определяемых по уравне нию состояния совершенного газа и зависимости вязкости от давления приводит к уточнению дебита до 30%.

Замечание о расчете фильтрационных характеристик для одно мерных течений упругой жидкости. Как было отмечено при выводе формулы (19.31), при малых изменениях давления функция Лейбензона для упругой жидкости совпадает с функцией Лейбензона для несжимаемой жидкости. Поэтому при установившихся фильтрационных течениях упру гую жидкость можно считать несжимаемой и использовать для вычислений и расчетов решения, которые были получены для несжимаемого флюида.

Однако при больших изменениях давления, например, в пласте с высоким пластовым давлением и при большой депрессии, использование уравнения состояния для несжимаемого флюида может привести к большим погреш ностям. В этом случае нужно пользоваться уравнением состояния (19.23) и соответствующей ему функцией Лейбензона (19.30). Но тогда решения будут представляться экспонентами и в таком виде они обычно не используются.

Поэтому рассматриваются модели совершенного или реального газа. Модель упругой жидкости в теории фильтрации используется при решении задач для неустановившихся течений.

§8. Плоскорадиальный фильтрационный поток несжимаемой жидкости и газа по двухчленному закону фильтрации Рассмотрим способы определения основных характеристик фильтраци онных потоков при плоскорадиальном движении жидкости и газа с боль шими скоростями, когда причиной отклонения от закона Дарси являются значительные инерционные составляющие общего фильтрационного со противления.

Математические модели фильтрации несжимаемой жидкости и газа в этом случае имеют следующий вид:

div w = 0, div w = 0, µ µ grad p = - w - w w, grad p = - w - w w, k k k k = const;

= (p).

С помощью введения функции Лейбензона обе модели допускают ус тановления аналогии между фильтрацией жидкости и газа и при нелиней ном законе фильтрации. В самом деле, умножим на плотность закон фильтрации в модели для газа и введем функцию Лейбензона. В результате ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ для первых двух уравнений будем иметь div w = 0, div w = 0, µ µ grad p = - w - w w ;

grad P = - w - w w.

k k k k Таким образом, обе модели допускают такую же аналогию, как и при линейном законе фильтрации.

Для общности представления результатов получим решение задачи об установившейся плоскорадиальной фильтрации по двучленному закону для газа, а решение для несжимаемой жидкости выпишем, как частный случай при функции Лейбензона для уравнения состояния = const.

Спроектируем двучленный закон фильтрации на линию тока (на коорди натную ось r цилиндрической системы координат) и в результате получим dP µ = wr + (wr). (20.52) dr k k Чтобы дифференциальное уравнение (20.52) преобразовать к виду, удобному для интегрирования, рассмотрим уравнение неразрывности и найдем связь между расходом и скоростью фильтрации, интегрируя уравнение неразрывности. Уравнение неразрывности для установившегося течения в цилиндрической системе координат имеет вид (см. приложе ние П.52) w wz wrr + + r = 0.

r z Так как течение одномерное, плоскорадиальное, то все искомые функции зависят только от r, уравнение неразрывности упрощается – приводится к виду dwrr = dr и после интегрирования дает равенство wrr = C = const.

Умножим результат на 2h, где h – толщина пласта, и получим 2wrrh = Qm = const.

Из последнего соотношения можно выразить массовую скорость фильтрации формулой Qm wr =, 2h r 436 ГЛАВА XX подставить ее в (20.52) и получить dP µ Qm 1 Qm = +.

dr k 2h r 2h k r Интегрируя это уравнение в пределах от радиуса контура до произвольной точки в пласте, получим µ Qm Rk Qm 1 P = Pk - ln - -. (20.53) k 2h r k 2h r Rk Так как r << Rk, то последним выражением в круглых скобках можно пре небречь. Положив r = rc, последнее соотношение перепишем в виде µ Qm Rk Qm Pk - Pc = ln +. (20.54) k 2h r k 2h rc Формулы (20.53) и (20.54) дают распределение функции Лейбензона в пласте и связь между депрессией на пласт и дебитом, соответственно.

Переходя от функции Лейбензона к давлению по формулам ат p P = + C – для совершенного газа, 2 pат P = 0 p + C – для несжимаемой жидкости, найдем из (20.53) и (20.54) соотношения, для распределения давления и связи между расходом и депрессией при плоскорадиальной фильтрации по дву членному закону. Для несжимаемой жидкости распределение давления в пласте определяется формулой µ Q Rk 0 Q 1 p = pk - ln - -, (20.55) k 2h r k 2h r Rk связь между депрессией на пласт и расходом – формулой µ Q R Q k p - p = ln +. (20.56) k c k 2 h r 2 h r k cc Для совершенного газа распределение давления в пласте дается формулой µ Qат pат Rk ат pат Qm 1 p = pk - ln - -, (20.57) k h r 2 k h r Rk связь между депрессией на пласт и расходом – формулой µ Q p R p Q 2 ‡m ‡ k ‡ ‡ ‡m p - p = ln +. (20.58) k c k h r h r 2 k cc ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ Из формул (20.56) и (20.58) видно, что индикаторные линии, постро 2 енные в координатах Q, p для жидкости и Qат, (pk - pc) для газа, явля ются параболами (рис. 20.14 и 20.15).

Рис. 20.14. Индикаторная линия при Рис. 20.15. Индикаторная линия при фильтрации жидкости по двучленно- фильтрации газа по двучленному за му закону кону Запишем уравнения притока к скважине в ином виде:

для несжимаемой жидкости pk - pc = AQ + BQ2, (20.59) для газа 2 2 pk - pc = A1Qат + B1Qат. (20.60) Здесь µ Rk 0 A = ln, B =, 2kh r rc k(2h) µpат Rk ат pат A = ln, B =.

kh r 2 k h2 rc Коэффициенты фильтрационных сопротивлений, постоянные для данной скважины. Они определяются опытным путем по данным исследования скважин при установившихся режимах. Скважины исследуются на пяти– шести режимах, на каждом из которых измеряется дебит и определяется забойное давление. Затем скважину закрывают, а установившееся давление на забое остановленной скважины принимают за контурное давление pk.

Для интерпретации результатов исследования скважин уравнения (20.59) и (20.60) делением на Q и Qат, соответственно, приводят к уравнению 438 ГЛАВА XX прямой pk - pc = A + BQ, (20.61) Q 2 pk - pc = A1 + B1Qат. (20.62) Q 2 Графики в координатах Q, (pk - pc) Q и Qат, (pk - pc ) Qат представ ляют собой прямые линии, для которых A(A1) – отрезок, отсекаемый на оси ординат, B(B1) – тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс (рис.

20.16).

Уравнения притока (20.59) и (20.60) с экспериментально определяемыми ко эффициентами широко используются в расчетах при проектировании разра ботки месторождений. Кроме того, по значению A(A1), найденному в резуль тате исследования скважины, можно оп ределить коллекторские свойства плас та, например, коэффициент гидропро Рис. 20.16. График зависимости водности:

2 (pk - pc ) Qат от Qат при фильт для нефтяной скважины рации по двучленному закону kh 1 Rk = ln ;

µ 2A rc для газовой скважины kh pат Rk = ln.

µ A1 rc Уравнение притока реального газа к скважине по двучленному закону фильтрации имеет вид µz Qаm pат Rk zат pат Qаm ~ ~ ~ 2 pk - pc = ln +, (20.63) k h r 2 k h rc где µ и z ~ ~ определяются по соотношениям (20.51).

В заключение параграфа отметим, что в реальных условиях нельзя считать, что во всем пласте – от стенки скважины до контура питания – справедлив единый нелинейный закон фильтрации. При значительных де битах закон Дарси нарушается в некоторой области вблизи забоя скважи ны, в то время как в остальной области пласта по-прежнему соблюдается ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ линейный закон. При увеличении дебита область, в которой нарушается закон Дарси, увеличивается.

§9. Плоскорадиальный фильтрационный поток несжимаемой жидкости и газа по степенному закону фильтрации Спроектируем степенной закон фильтрации (18.45) на цилиндричес кую систему координат и для плоскорадиального фильтрационного потока получим 1 n dp wr = c, w = wz = 0.

dr Математическая модель, кроме закона фильтрации, содержит и урав нение неразрывности. Интегрирование уравнения неразрывности анало гично проведенному выше в §8 данной главы и приводит к тому же ре зультату 2wrrh = Qm = const.

Поэтому выражение для массового расхода имеет вид dp Qm = 2wrrh = 2rhc n = const.

dr Чтобы проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение, возведем его в степень n dp n n Qm = (2hc) rnn dr и преобразуем к виду dp A = rnn, dr n где A = (Qm 2hc) = const.

Разделим переменные dr A = ndp (20.64) rn и введем функцию давления P• P• = ndp, (20.65) так что dP• = d ndp = n p.

440 ГЛАВА XX Таким образом, уравнение (20.64) можно переписать в виде dr A = dP•. (20.66) rn После интегрирования от забоя до контура питания, т.е. используя для интегрирования уравнения (20.66) граничные условия • r = rc, P• = Pc• и r = Rk, P• = Pk, получаем • Pk Rk dr A 1 1 A • - dP• = Pk - Pc• = A =.(20.67) n- n rn - 1 rcn-1 Rk (n - 1)rcn- rc Pc• Подставив вместо А его представление через параметры пласта и фильтра ционного потока, будем иметь из (20.67) n Qm • Pk - Pc• =.

n (2hc) (n - 1)rcn- Из последнего равенства получаем формулу для дебита n- • n Qm = 2hcrc n [(n - 1)(Pk - Pc•)]. (20.68) Если в равенстве (20.67) в качестве нижнего предела интегрирования принять произвольную точку (r, P• ), то получим формулу для распределе ния в пласте функции давления A 1 • - Pk - P• = (20.69) n- n - 1 rn-1 Rk или, исключив A с помощью равенства (20.67), 1 • • P•(r) = Pk - (Pk - Pc•)rcn-1 -, rc r Rk. (20.70) n- rn-1 Rk Функция давления, определенная по формуле (20.65), имеет вид:

для несжимаемой жидкости n P• = 0 p + C, (20.71) для совершенного газа (при изотермической фильтрации) n n ат p ат + pn P• = + C. (20.72) dp = pат pат n + Подставляя (20.71) и (20.72) в (20.68) и (20.70), получим формулы для дебита и распределения давления для жидкости и совершенного газа, соот ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ветственно;

из формулы для дебита получается и формула для скорости фильтрации.

Выпишем теперь все расчетные формулы для плоскорадиальной фильт рации по степенному закону для несжимаемой жидкости.

Для массового дебита n- n Qm = 2h0crc n [(n - 1)(pk - pc)], (20.73) для объемного дебита n- n Q = 2hcrc n [(n - 1)(pk - pc)], (20.74) для распределения давления в пласте 1 p (r) = pk - (pk - pc)rcn-1 -, rc r Rk, (20.75) n- rn-1 Rk для скорости фильтрации n- Q crc n n w = = [(n - 1)(pk - pc)]. (20.76) 2rh r Если в формулах (20.73)–(20.76) положить n = 2, то получим расчетные формулы для закона фильтрации Краснопольского:

для массового дебита Qm = 2h0c rc(pk - pc), (20.77) для распределения давления в пласте 1 p p r = p - ( - p r -, rc r Rk, (20.78) ( ) ) k k c c r R k для скорости фильтрации Q crc w = = [(pk - pc)]. (20.79) 2rh r Расчетные формулы для плоскорадиальной фильтрации по сте пенному закону для совершенного газа:

для массового дебита n - n ат (n - 1) n n Qm = 2h0crc n (pk +1 - pc +1), (20.80) pат (n + 1) для объемного дебита, приведенного к атмосферным условиям, n - n 2h0crc n (n - 1) n n Qam = (pk +1 - pc +1), (20.81) pат (n + 1) 442 ГЛАВА XX для распределения давления в пласте n + 1 n +1 n +1 n +1 n - p r = p - ( - p r -, rc r Rk, (20.82) p ( ) ) k k c c -1 n - n r R k для скорости фильтрации n- n Q crc n (n - 1) n+1 n+ w = = (pk - pc ). (20.83) 2rh rp(r) (n + 1) Если в формулах (20.80)–(20.83) положить n = 2, то получим расчет ные формулы для закона фильтрации Краснопольского.

Как следует из формулы (20.75), кривая распределения давления для несжимаемой жидкости имеет формулу гиперболы степени n - 1, т.е. во ронка депрессии, будет гиперболоидом вращения. Крутизна воронки де прессии у стенки скважины будет больше, чем у логарифмической кривой.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.