WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |

«СЕРИЯ «СОВРЕМЕННЫЕ НЕФТЕГАЗОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ» Редакционный совет: ...»

-- [ Страница 4 ] --

Для простоты и наглядности последующих выводов будем считать, что газ совершенный, то есть его уравнение состояния имеет вид p = RT. (15.1) §1. Скорость звука Скорость распространения звука в газе является одним из важнейших понятий газовой динамики. Для ее определения рассмотрим длинную цилиндрическую трубу, закрытую с одной стороны поршнем и запол-ненную газом (рис. 15.1). При этом предполагается, что в начальный момент времени газ в трубе покоится, а давление p и плотность 0 во всех сечениях трубы Рис. 15. одинаковы.

Приведем поршень в движение – начнем вдвигать его в трубу. Газ пе ред поршнем начнет сжиматься и двигаться со скоростью v, а возникшее возмущение будет распространяться по трубе слева направо с некоторой скоростью с.

274 ГЛАВА XV Пусть это возмущение в момент времени t достигло сечения I – I, а в момент t + dt – сечения II – II. За время dt между указанными сече ниями параметры течения газа меняются, то есть рассматриваемое течение будет неустановившимся. Для его изучения воспользуемся законом сохра нения массы (2.29) и законом изменения количества движения (2.49).

В течение промежутка времени dt скорость, давление и плотность га за в сечении I – I изменяются и достигают значений v1, p1 и 1, а в сече нии II – II скорость равна нулю, а давление и плотность постоянны – p0, (возмущение еще не успело дойти до этого сечения). Поэтому в мо мент t + dt, то есть в конце рассматриваемого промежутка времени, уравнение (2.29) и уравнение (2.49) в проекции на ось трубы 0х запишутся в виде dV = 1v1dS, (15.2) t V S (v)dV - 1v1 dS = x + Tx, (15.3) t V S где S1 – площадь поперечного сечения трубы. Проекция главного вектора N нормальных составляющих реакций стенок трубы на ее ось, очевидно, равна нулю, а весом газа пренебрегаем.

Сила давления, действующая на объем газа между сечениями I–I и II– II в момент t + dt, равна x = p1 - p0)dS1, (15.4) ( S а сила трения Tx = -срc dt, (15.5) где ср – среднее за время dt и на длине c dt напряжение трения на стенке трубы, – ее смоченный периметр. За время dt плотность газа на рас сматриваемом участке трубы меняется в пределах значений 0 до 1, а ско рость – от нуля до v1. Поэтому на интервале dt (v)dt = (v) = 1v1, (15.6) dt dt = 1 - 0, t t t t ср ср где значок «ср» также означает среднее значение за время dt и по объе му V.

Элемент объема dV можно представить в виде dV = c dt dS. (15.7) ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Подставив соотношения (15.4) – (15.7) в уравнения (15.2) и (15.3), по лучаем приближенно (из-за несовпадения средних и точных величин) 1 - 0)c - 1v1]dS = 0, (15.8) [( S 1v1c - 1v1 )dS = = (p1 - p0)S - срc dt. (15.9) ( S Учитывая теперь, что рассматриваемое течение одномерное, то есть все параметры распределены по сечению трубы равномерно, и считая газ идеальным ( = ср = 0 ), переходим к пределу при dt 0 и из равенств (15.8) и (15.9) получаем (1 - 0)c = 1v1, 1v1c - 1v1 = p1 - p0. (15.10) Исключив из соотношений (15.10) скорость v1, имеем 1 p1 - p c2 =. (15.11) 0 1 - Скоростью звука а называется скорость бесконечно малых возмуще ний, то есть a = lim c, p1 p поэтому в соответствии с формулой (15.11) получаем 1 p1 - p0 dp a2 = lim =. (15.12) p1 p 0 1 - 0 d Заметим, что при выводе формулы (15.12) нигде не использовалось то обстоятельство, что рассматриваемая среда является газом. Следовательно, эта формула справедлива для любой сжимаемой среды. Так как давление p и плотность газа связаны между собой уравнением состояния (15.1), то для вычисления скорости звука a необходимо задать вид термодинами ческого процесса, связанного с распространением звука.

Предположим, что этот процесс изотермический, то есть что T = const.

Обозначив через aT скорость звука, вычисленную в этом предположении, из уравнений (15.1) и (15.12) получаем dp aT = = RT. (15.13) d м Для воздуха газовая постоянная R = 287, и для температу с2град ры T = 293°K имеем aT = 290м/с, что заметно отличается от результа тов эксперимента, и, следовательно, формула (15.13) непригодна для опре 276 ГЛАВА XV деления скорости звука. Предположим поэтому, что процесс распростра нения звука является изэнтропическим, то есть в этом процессе соблюда ется уравнение (7.38), или k p =. (15.14) p0 Тогда с учетом уравнения состояния (15.1) получаем dp k-1 p0 k kp as = = kp0 k = k = = kRT, (15.15) k d 0 где as – скорость звука, подсчитанная в предположении изэнтропичности м процесса. Для воздуха показатель адиабаты k = 1,4, и при R = 287, с2град T = 293°K по формуле (15.15) получаем a = 343м/с, что очень хорошо согласуется с результатами измерений. Поэтому в дальнейшем для опреде ления скорости звука в газе будем пользоваться формулой (15.15).

§2. Закон сохранения энергии Для вывода закона сохранения энергии при установившемся одномерном течении идеального, то есть невязкого, газа воспользуемся уравнением (2.70) и соотношением (4.3), в соответствии с которым для идеального газа pn = pnnn = - pn. В этом случае pn1= 0, и уравнение (2.70) принимает вид p v2 p v - + u + + v dS - - + u + + v dS = qedV.(15.16) 2 S2 S1 V Так как течение, по условию, одномерное, то выражения в скобках могут быть вынесены из-под знака интеграла. Кроме того, при установив шемся течении v dS = v dS = Qm. (15.17) S2 S С учетом сказанного и формулы (15.17) уравнение (15.16) может быть переписано в виде p v2 p v2 - + u + + - - + u + + = qedV. (15.18) 2 2 Qm 2 1 V Уравнение (15.18) выражает собой закон сохранения энергии при од номерном установившемся движении идеального газа. В дальнейшем при изучении движения газа будем пренебрегать влиянием массовых сил, в ча стности весом, то есть считать, что = 0.

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА При адиабатическом процессе qe = 0, и из уравнения (15.18) имеем p v u + + = const. (15.19) Введем тепловую функцию – энтальпию i, по определению, равную p i = u +. (15.20) Подставив это соотношение в уравнение (15.19), получим v i + = const. (15.21) Для газа, подчиняющегося уравнению состояния (15.1), удельная внут ренняя энергия u пропорциональна его абсолютной температуре T и равна u = CVT. (15.22) Кроме того, для такого газа имеет место формула Майера (7.33) Cp - CV = R. (15.23) Из формул (15.22) и (15.23) следует, что i = CVT + RT = CpT, (15.24) и закон сохранения энергии (15.21) может быть представлен в виде v CpT + = const. (15.25) Из уравнения Менделеева–Клапейрона (15.1) и формулы Майера (15.23) имеем Cp p Cp p k p Cp CpT = = =, k =. (15.26) R Cp - CV k - 1 CV Подставив соотношение (15.26) в уравнение (15.25), получим k p v + = const. (15.27) k - 1 Заметим, что с точностью до члена gz, которым мы пренебрегаем, уравнение (15.27) совпадает с интегралом Бернулли (7.45). Из этого следу ет, что интеграл Бернулли представляет собой частный случай закона со хранения энергии.

Введем понятие параметров торможения. Под параметрами торможе ния в данном поперечном сечении одномерного потока (трубки тока) под разумеваются параметры, которыми будет характеризоваться газ при при ведении его мысленно к состоянию покоя изэнтропическим путем, то есть с сохранением той энтропии, которую имеет движущийся газ в рассматри ваемом поперечном сечении. Температура, давление, энтальпия торможе ния, плотность заторможенного газа обозначаются, соответственно, че рез T0, p0,i0, 0.

278 ГЛАВА XV Уравнения (15.21), (15.25), (15.27), то есть различные виды закона со хранения энергии, можно, очевидно, используя параметры торможения, записать в виде v i + = i0, (15.28) v CpT + = CpT0, (15.29) k p v2 k p + =. (15.30) k - 1 2 k - 1 Из уравнений (15.28), (15.29), (15.30) следует, что при адиабатическом течении идеального газа с ростом скорости течения его температура, эн p тальпия, отношение убывают. Из уравнений (7.46) и (7.47) видно, что при этом убывают и p и (k > 1). Отметим, что если энтропия вдоль по тока меняется, то параметры торможения в различных сечениях, вообще говоря, будут различными. Отметим также, что адиабатическое течение невязкого газа является изэнтропическим.

§3. Число Маха. Коэффициент скорости Из закона сохранения энергии (15.29) видно, что при адиабатическом течении изменение скорости потока от сечения к сечению приводит к со ответствующему изменению температуры. С другой стороны, как это сле дует из формулы (15.15), изменение температуры приводит к изменению скорости звука. Таким образом, скорость звука в каком-либо месте по тока зависит от скорости течения газа в том же месте. При этом увели чение местной скорости течения v приводит к уменьшению местной скорости звука а.

Отношение скорости v течения газа в данном месте потока к скорости звука в том же месте, то есть величина M, равная v M =, (15.31) a называется числом Маха*.

При v < a, или M < 1, режим называется дозвуковым;

при v > a, или M > 1, режим называется сверхзвуковым;

при v = a, или M = 1, режим называется критическим.

Параметры течения газа при критическом режиме называются крити ческими и обозначаются vкр, pкр, кр,Tкр, aкр.

* Эрнст Мах (1838–1916), австрийский физик и философ.

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Отношение местной скорости течения газа v к критической скоро сти vкр =aкр, то есть величина, равная v v = =, (15.32) aкр vкр называется коэффициентом скорости.

Из закона сохранения энергии (15.29) следует, что максимально воз можная скорость адиабатического потока vmax достигается при T = 0 и vmax = 2cpT0. (15.33) Скорость звука, как это видно из формулы (15.15), при T = 0 также равна нулю. Таким образом, число Маха может изменяться в пределах 0 M <.

Подставив в уравнение закона сохранения энергии (15.30) скорость звука по формуле (15.31), получаем a2 v2 a + =, (15.34) k - 1 2 k - p где a0 = k = kRT0 – скорость звука при температуре торможения T = T0.

Полагая в уравнении (15.34) a = v = aкр, имеем 2 2k 2k p aкр = vкр = a0 = RT0 =, (15.35) k + 1 k + 1 k + 1 откуда видно, что в адиабатическом потоке с температурой торможения T критическая скорость есть величина постоянная для всего потока. Полагая в уравнении (15.34) a = 0, получим еще одно выражение для vmax :

vmax = a0. (15.36) k - Из определения ao и формулы Майера (15.23) следует, что выраже ния (15.33) и (15.36) идентичны. Из формул (15.32), (15.35) и (15.36) видно, что коэффициент скорости может изменяться в пределах k + 0 <.

k - Для того, чтобы установить зависимость параметров потока от числа Маха и параметров торможения, воспользуемся законом сохранения энер гии в виде (15.34). Из этого уравнения имеем k - 1 v2 a 1 + =, 2 a2 a 280 ГЛАВА XV или, с учетом формул (15.15) и (15.31), T0 k - = 1 + M2. (15.37) T Из уравнения состояния Менделеева–Клапейрона (15.1) и адиабаты Пуассона (15.14) следует, что 1 k k p0 0T0 0 0 T0 p0 T k-1, = k-1. (15.38) = =, = p T T p T Подставив в формулу (15.37) равенства (15.38), получаем 0 k - = + M2 k-1, (15.39) k p0 k - = + M2 k-1. (15.40) p Формулы (15.37), (15.39) и (15.40) представляют собой искомые зависимо сти. Заметим, что если величины p,,T и p0, 0,T0 берутся в одном и том же сечении, то, как это следует из определения параметров тормо жения, формулы (15.37), (15.39) и (15.40) справедливы и при неадиабати ческих процессах.

Полагая в формулах (15.37), (15.39), (15.40) M = 1, имеем 1 k Tкр 2 кр 2 k-1, pкр 2 k-1.

=, = = (15.41) T0 k + 1 0 k + 1 p0 k + Для метана k = 1,3, для воздуха k = 1,4. Поэтому для метана Tкр кр pкр = 0,870, = 0,628, = 0,546.

T0 0 p Для воздуха Tкр кр pкр = 0,833, = 0,634, = 0,528.

T0 0 p Из приведенного примера видно, что критическое течение возникает при относительно небольших перепадах давления.

Из формул (15.15), (15.31), (15.32), (15.35) и (15.37) следует, что - v2 v2 a2 a0 T k + 1 k + 1 k - 2 = = = M2 = M21 + M2, (15.42) 2 2 aкр a2 a0 aкр T0 2 2 ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА откуда M2 =.

k + 1 - (k - 1) Подставив это выражение в формулы (15.37), (15.39) и (15.40), полу чаем T k - () = = 1 - 2, (15.43) T0 k + k - () = = - 2 k-1, (15.44) 0 k + k p k - () = = - 2 k-1, (15.45) p0 k + то есть зависимости, связывающие между собой параметры потока, парамет ры торможения и коэффициент скорости.

§4. Связь между площадью поперечного сечения трубки тока и скоростью течения При установившемся одномерном течении газа уравнение неразрыв ности (2.30), или (15.17), имеет вид Qm = vS = const. (15.46) Дифференцируя это выражение, получаем vS d + S dv + v dS = 0, или dS d dv = - +. (15.47) S v Дифференцируя закон сохранения энергии (15.30), имеем k dp - p d + v dv = 0, (15.48) k - а так как в соответствии с формулами (15.12) и (15.15) dp = a2d, p = a2, k то равенство (15.48) можно представить в виде d a2 + v dv = 0. (15.49) 282 ГЛАВА XV Исключив из выражений (15.47) и (15.49) величину d /, получаем dS dv v dv dv v2 dv = - - - - = - (1 - M2). (15.50) = 1 a S v a2 v v Из формулы (15.50) видно, что при M = 1 dS = 0. Следовательно, экстремум функции S = S(x), где координата х отсчитывается вдоль оси трубки тока, соответствует критическому режиму. При M < 1 1 - M2 > 0, и знаки dv и dS противоположны. Это означает, что в дозвуковом режиме скорость потока возрастает при уменьшении площади поперечного сечения трубки. В сверхзвуковом потоке M > 1, 1 - M2 < 0, и знаки dv и dS сов падают. Следовательно, в этом случае скорость потока возрастает с ростом площади сечения. Таким образом, экстремум S является минимумом*, и крити ческий режим (M = 1) может возникнуть только в самом узком, так называе мом критическом сечении трубки тока. Из уравнения (15.46) следует, что при S = Smin = Sкр массовая скорость v достигает максимума. Примерный график зависимости S Smin от M представлен на рис. 15.2.

Рис. 15.2 Рис. 15. Из формулы (15.39) видно, что при сверхзвуковом течении рост числа Маха сопровождается резким снижением плотности газа. Поэтому для того, чтобы выполнялся закон сохранения массы (15.46), необходимо увеличи вать площадь сечения трубки тока. Отметим особо, что при дозвуковом те чении зависимость скорости от площади сечения имеет качественно такой же вид, что и при течении несжимаемой жидкости. В сверхзвуковом пото ке эта зависимость имеет принципиально иной характер.

* Условие dS = 0 не может соответствовать максимуму S, так как дозвуковой поток при подходе к Smax будет замедляться, то есть число Маха, которое меньше единицы, будет далее уменьшаться. Ес ли M > 1, то при подходе к Smax поток будет ускоряться. Следовательно, критическое тече ние (M = 1) может быть только при S = Smin.

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА §5. Истечение газа через сходящийся насадок Рассмотрим установившееся адиабатическое истечение газа из резер вуара через сходящийся насадок (рис. 15.3). Как уже указывалось, адиаба тическое течение невязкого газа является изэнтропическим. Поэтому па раметры покоящегося в резервуаре газа – p0,T0, 0 – можно рассматривать как параметры торможения. Из закона сохранения энергии (15.30) имеем, что скорость газа в любом сечении насадка равна 2k p0 p v = -, k - 1 0 1 p или, с учетом адиабаты Пуассона (15.14), k - k 2k p0 p v = -. (15.51) k - 1 0 p Массовый расход в рассматриваемом сечении в соответствии с фор мулами (15.1), (15.14) и (15.51) равен k p Qm = vS = 0vS = 0vS = 0 p (15.52) 2 k+ Sp0 2k p p k - k =.

k RT0 - 1 p0 p Обозначив площадь выходного сечения насадка через S1, а давление вне резервуара через p1, из формулы (15.52) имеем 2 k+ S1p0 2k p1 p1 k k - Qm =. (15.53) k RT0 - 1 p0 p Для исследования формулы (15.53) положим 2 k+ k p1 p1 p1 k 2 k+ k = x, - = xk - x = y.

p0 p0 p Очевидно, что 0 p1 p0, или 0 x 1. Внутри этого промежут ка y > 0, так как (k + 1) k > 2 k, а на его концах y = 0. Следовательно, функция y(x) имеет на отрезке [0,1] максимум. Приравнивая первую производную нулю, имеем 2 - dy 2 k + = xk - xk = 0, dx k k 284 ГЛАВА XV откуда массовый расход Qm достигает максимума при k p1 k- x = = (15.54) p k + и k+ S1p0 max Qm = k k-1. (15.55) RT0 k + Сравнивая формулу (15.54) с соответствующим равенством (15.41), видим, что k k-1 = pкр.

k + 1 p Таким образом, при снижении наружного давления p1 массовый рас max ход Qm возрастает от Q = 0 при p1 = p0 до Qm при p1 = pкр. При p = pкр скорость газа в выходном сечении насадка равна критической, то есть v = vкр = aкр. Такое истечение называется критическим. Дальнейшее снижение давления p1 должно в соответствии с формулой (15.53) приво дить к уменьшению массового расхода, что противоречит физическому смыслу процесса. Опыт показывает, что при 0 p1 pкр массовый расход остается постоянным, давление и скорость в выходном сечении остаются равными p = pкр, v = vкр, а струя по выходе из насадка расширяется. При этом между давлением в выходном сечении pкр и давлением в окружаю щем пространстве p1 образуется разрыв.

Итак, массовый расход через сходящийся насадок определяется при pкр p1 p0 по формуле (15.53), а при 0 p1 pкр – по формуле (15.55). График зависимости p Qm от представлен на рис. 15.4.

p Пунктирная линия на этом графике отвечает части решения, даваемого формулой (15.53), не имеющей фи зического смысла.

Рис. 15. Постоянство расхода в области 0 p1 pкр можно объяснить сле- ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА дующим образом. Когда в выходном сечении насадка скорость течения газа становится равной скорости звука, изменение давления во внешней среде не может проникнуть внутрь насадка. Действительно, это возму щение (изменение давления) распространяется со скоростью звука и, следовательно, не может пройти через сечение, в котором скорость рав на критической. Создается динамический барьер, изолирующий внут реннюю часть насадка от внешних возмущений, что и приводит к посто янству массового расхода.

§6. Сопло Лаваля Сопло Лаваля* (рис. 15.5) состоит из сужающейся и расширяющейся частей и служит для получения сверхзвуковых скоростей течения газа. При рассмотрении работы сопла Лаваля будем считать течение установившим ся и изэнтропическим. Тогда вдоль сопла выполняется закон сохранения массы в виде (15.46), а массовая скорость v в любом сечении сопла в со ответствии с формулой (15.52) равна 2 k+ Qm p0 2k p p k - k v = =. (15.56) S(x) RT0 - 1 p0 p k p Из формулы (15.56) видно, что v = f, то есть массовая скорость p зависит только от распределения давления вдоль сопла (трубки тока) и не зависит явно от его геометрии. Иначе говоря, массовая скорость есть уни версальная функция давления. На основании проведенного в предыдущем параграфе анализа имеем, что max(v) достигается при p = pкр, то есть при критическом режиме, и k+ p0 max(v) = крvкр = k k-1.

RT0 k + v p График зависимости = f схематически показан на рис. 15.6.

крvкр p * Карл Густав Лаваль (1845–1913), шведский инженер и изобретатель.

286 ГЛАВА XV Рис. 15.5 Рис. 15. Итак, если заданы закон распределения площади S(x) и массовый рас p ход Qm, то с помощью формулы (15.56) можно найти = f(x), то есть p можно найти распределение давления по длине сопла Лаваля. Для получе ния решения удобно воспользоваться графиком рис. 15.6. Будем считать, что форма сопла Лаваля, то есть функция S = S(x) известна. Массовый расход Qm будем также считать известным. Возьмем какое-либо сечение сопла x1 слева от сечения x = xкр (рис. 15.5). Тогда в соответствии с фор мулой (15.56) величина Qm (v) = S(x1) будет известна. На графике (15.6) этому значению массовой скорости со p1 pкр ответствуют точки 1 и 1а. В точке 1 имеем >, а в точке 1а – p0 p p1a pкр <. Следовательно, точка 1 соответствует дозвуковому течению, p0 p а точка 1а – сверхзвуковому. В сужающейся части сопла происходит раз гон потока, а при x = xкр течение не может быть сверхзвуковым. Поэтому при x = x1 может существовать только дозвуковое течение, котором реа p лизуется только одно значение давления –.

p Возьмем теперь сечение x2 справа от сечения x = xкр. Массовая ско рость в этом сечении равна Qm (v) = S(x2).

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА На графике рис. 15.6 значению v = (v) соответствуют точки p2 pкр p2a pкр ( > – дозвуковой режим) и 2а ( < – сверхзвуковой режим).

p0 p0 p0 p В расширяющейся части сопла могут происходить как разгон, так и торможение потока, то есть могут существовать как дозвуковой, так и сверхзвуковой режимы. Какой из них фактически имеет место, зависит от давления на выходе сопла. Проводя указанные построения для различных сечений, можно построить кривые распределения давлений по длине сопла Лаваля (рис. 15.7).

Из приведенных рассуждений следует, что при pe = p0, где pe – дав ление во внешнем пространстве, газ в сопле покоится. Снижение pe при водит к возникновению течения, причем в сужающейся части сопла проис ходит разгон, а в расширяющейся – торможение потока. Скорость течения при этом остается всюду дозвуковой, распределение давлений имеет вид пунк тирной кривой на рис. 15.7. По мере дальнейшего снижения pe ( pe > pc ) скорость во всех сечениях и массовый расход через сопло возрастают. При pe = pc скорость течения в сечении x = xкр становится равной скорости звука aкр = vкр, а в расширяющейся части сопла плавно уменьшается.

max Массовый расход достигает максимального значения Qm = крvкрSкр, давление в расширяющейся части возрастает от p = pкр до p = pc (кри вая А, рис. 15.7).

Рис. 15. Дальнейшее снижение pe ( pp < pe < pc ) приводит к возникновению в расширяющейся части сопла скачков давления (кривая В, рис. 15.7). На участке xкр < x < xc течение будет сверхзвуковым, а при xc < x < l – дозвуковым.

288 ГЛАВА XV При p = pp течение всюду в расширяющейся части сопла будет сверх звуковым, а распределение давления будет описываться кривой С на рис. 15.7.

При pe < pp параметры газа (v, p,,T ) в выходном сечении сопла будут такими же, как при p = pp, а по выходе из сопла струя газа будет расширяться. Выравнивание давления от значения pp до значения pe бу дет сопровождаться многократными расширениями и сжатиями струи с возникновением системы косых скачков. Отметим особо, что из построе max ния кривых А и С следует, что при Qm = Qm давления на срезе сопла pc и pp определяются только геометрией сопла и не зависят от противодав ления pe.

Режимы, при которых pc = pe или pp = pe, называются расчетными.

Первый – режим адиабатического сжатия, второй – адиабатического рас ширения. Все прочие режимы работы сопла Лаваля – нерасчетные.

§7 Газодинамические функции Соотношения (15.43), (15.44), (15.45), то есть функции (), (), () называются газодинамическими функциями. Для этих функций составле ны подробные таблицы, что существенно облегчает выполнение различ ных газодинамических расчетов.

Между газодинамическими функциями (), (), () существуют очевидные связи 1 k T (), p k =()= = ()=[()]k-1, =()=[()]k-1 =[()]. (15.57) T0 () 0 p Пользуясь газодинамическими функциями, массовый расход можно представить в виде v Qm = vS = 0 aкрS = 0aкрS(). (15.58) 0 aкр Введем новую газодинамическую функцию q() = C() (15.59) и определим константу С так, чтобы q(1) = 1. Из формул (15.44) и (15.59) следует, что q(1) 1 k + k-1, C = = = (1) (1) ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА и формула (15.59) принимает вид k + k- q() = (). (15.60) кр Представим функцию q(), учитывая, что (1) =, в виде () v 0 v q() = = =. (15.61) (1) vкр кр 0 крvкр Из формулы (15.61) видно, что q() представляет собой отношение массовой скорости к критической массовой скорости.

График q() представлен на рис. 15.8. Отметим особо, что каждому значению q() 1 соответствуют два значения : одно в дозвуковом ре жиме, другое – в сверхзвуковом.

Рис. 15. С введением функции q() формулу (15.58) можно представить в виде k+ p0S k-1q Qm = k (). (15.62) RT0 k + При этом значение q() в формуле (15.62) надо брать в том же сече нии, что и S. Например, при работе сопла Лаваля в расчетном режиме при x = xкр = 1, и надо принимать S = Sкр. Для иллюстрации возможных 290 ГЛАВА XV применений газодинамических функций рассмотрим работу сопла Лаваля в расчетном режиме. В этом случае Qm = крvкрSкр = выхvвыхSвых, (15.63) где вых,vвых – плотность и скорость в выходном сечении сопла, Sвых – площадь этого сечения.

Из формул (15.62) и (15.63) имеем Sкр выхvвых = q(вых) =. (15.64) крvкр Sвых Примем, что p0 = 107 Па, T0 = 293° К, Sкр = 0,5 см2, Sвых = 2 см2, м R = 287, показатель адиабаты k = 1,4. Требуется определить с2град, M, p,T в выходном сечении сопла. Из формулы (15.64) имеем q(вых) = 0,25. По таблицам газодинамических функций для k = 1,4 нахо дим, что значению q() = 0,25 соответствуют 1 = 0,16, M1 = 0,146, (1) = 0,996, (1) = 0,985, 2 = 1,95, M2 = 2,94, (2) = 0,366, (2) = 0,0297.

Так как 1 < 1, а 2 > 1, то первый режим соответствует адиабатичес кому сжатию, а второй – адиабатическому расширению.

В соответствии с формулами (15.57) получаем T1 = (1)T0 = 292°, p1 = (1)p0 = 9,85 106 Па;

T2 = (2)T0 = 107°, p2 = (2)p0 = 2,97 105 Па.

Из формулы (15.62) имеем k+ p0S k-1q = 1,18 кг/с.

Qm = k (1) RT0 k + §8. Ударные волны Ранее рассматривались течения, при которых распределение всех ве личин (,v, p,T ) в газе непрерывно. Возможны, однако, и такие движе ния, в которых характеристики потока терпят разрыв. Эти разрывы возни кают вдоль некоторых поверхностей – поверхностей разрыва. При пересе чении поверхности разрыва характеристики течения испытывают скачок.

Для объяснения причины возникновения скачков, иначе называемых удар ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА ными волнами, рассмотрим трубу, закрытую с одной стороны поршнем и за полненную газом (рис. 15.1). В начальный момент времени поршень и газ неподвижны. Когда поршень начинает вдвигаться в трубу, перед ним воз никает возмущение (сжатие газа). Можно считать, что скорость распро странения возмущений в каждом сечении равна местной скорости звука.

Распространение возмущений, создаваемых поршнем, можно рассматри вать как последовательность непрерывно следующих друг за другом зву ковых волн, причем каждая последующая волна распространяется по газу, возмущенному предыдущими волнами. Сжатие газа сопровождается его на гревом, а скорость распространения возмущений возрастает вместе с тем пературой. Отсюда следует, что каждая последующая волна будет переме щаться относительно стенок трубы быстрее предыдущей. Волны будут до гонять друг друга, складываться и образовывать одну сильную волну сжа тия – ударную волну.

При движении поршня внутри трубы за ним образуются волны разре жения. Но в этом случае волны уже не будут догонять друг друга, так как последующая волна пойдет по газу, охлажденному в результате прохожде ния предыдущей, и скорость распространения последующей волны будет меньше скорости волны, ей предшествующей. Таким образом, волны раз режения не могут образовывать ударных волн.

Прямой скачок уплотнения Неподвижная в пространстве удар ная волна, фронт которой перпендикуля рен скорости потока, называется прямым скачком (рис. 15.9). Для расчета прямого скачка, то есть установления связи меж ду параметрами газа до и после скачка, воспользуемся законами сохранения массы, изменения количества движения и сохранения энергии. Движение будем считать установившимся, а процесс ади Рис. 15. абатическим. Примем площадь попереч ного сечения трубы постоянной, S = 1.

да получим в соответствии с формулой (15.46) 1v1 = 2v2 = m. (15.65) Здесь m – массовый расход на единицу площади трубы, индекс 1 относит ся к параметрам газа перед скачком, индекс 2 – за скачком. Закон измене ния количества движения (2.58) в рассматриваемом случае, то есть при пренебрежении силой тяжести и трением, в проекции на ось потока Oх 292 ГЛАВА XV принимает вид m(v2 - v1) = x = p1 - p2. (15.66) Из закона сохранения энергии (15.30) имеем 2 k p1 v1 k p2 v2 k p + = + =. (15.67) k - 1 1 2 k - 1 2 2 k - 1 Из уравнения (15.65) имеем m m v1 =, v2 =.

1 Подставив эти соотношения в равенства (15.66) и (15.67), получаем 1 = p m2 - - p2, 2 (15.68) k p1 p2 m2 1 - = -.

2 k - 1 1 2 2 2 Исключая m2 из формул (15.68), имеем k p1 p2 1 p1 - p2 1 1 p1 - p2 1 - = - = +. (15.69) 2 1 k - 1 1 2 2 2 1 2 2 2 Умножив равенство (15.69) на, получаем p k p1 2 1 p1 - 1 = - 1 - 1, k - 1 p2 1 2 p2 или, после приведения подобных членов – k + 1 p1 2 k + 1 p1 = + -. (15.70) k - 1 p2 1 k - 1 p2 p Разрешив уравнение (15.70) относительно имеем p k + 1 - p2 k - 1 =, (15.71) p1 k + 1 - k - 1 или, разрешив относительно, – 2 k + 1 p2 k + 1 p =+ 1 +. (15.72) 1 k - 1 p1 k - 1 p ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Соотношение (15.71), или (15.72), называется ударной адиабатой, или адиабатой Гюгонио. Из (15.71) следует, что p2 2 k + 1 p2 k - 1 при и - при 0.

p1 1 k - 1 p1 k + 1 На рис. 15.10 представлены графики адиабаты Гюгонио и адиабаты Пуассона. При рассмотрении этих адиабат возникает ряд вопросов. Во первых, при 2 1 = 0 отношение давлений p2 p1 в соответствии с формулой (15.71) становится отрицательным, что физически бес смысленно. Во-вторых, почему в соответствии с адиабатой Пуассона 2 1 при p2 p1, а по адиабате Гюгонио предельное сжатие k + ограничено величиной ?

k - Рис. 15. Рассмотрим на рис. 15.10 точки 1 и 2, отвечающие какому-либо 2 значению > 1, и 1, 2, соответствующие значению < 1. В соответ 1 ствии с формулой (7.37) изменение энтропии равно k p2 s2 - s1 = CV ln. (15.73) p1 294 ГЛАВА XV Из графика рис. 15.10 видно, что при > p2 p (15.74) >, p1 p Г П p где – соотношение давлений, определенное по адиабате Гюгонио, p Г p а – по адиабате Пуассона. Следовательно, в соответствии с нера p П венством (15.74) k k p2 1 p2 = 1. (15.75) > p1 2 p1 Г П Из формул (15.73) и (15.75) имеем, что при > p2 1 k s2 - s1 = CV ln > 0. (15.76) p1 Г Повторив аналогичные рассуждения для точек 1 и 2, то есть при < 1, получаем, что в этом случае p2 1 k S2 - S1 = cV ln < 0. (15.77) p1 Г Неравенства (15.76) и (15.77) показывают, что процесс сжатия в адиа бате Гюгонио сопровождается ростом энтропии, а процесс разрежения – ее уменьшением. Таким образом, в ударной волне сжатия происходят рост энтропии и необратимый переход механической энергии в тепло. Это об стоятельство препятствует неограниченному росту величины.

В ударной волне разрежения происходит убывание энтропии, что фи зически невозможно – это противоречит второму закону термодинамики, то есть ударные волны разрежения невозможны, и часть адиабаты Гюго нио, соответствующая < 1, не имеет физического смысла.

Вернемся к уравнениям (15.65), (15.66) и (15.67) и исключим из них давления и плотности.

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Из равенства (15.65) имеем m m 1 =, 2 =.

v1 v Подставив эти выражения в соотношение (15.66), получаем p1 p2 p1 1 p2 m(v2 - v1) = 1 - 2 = m - (15.78) 1 2 1 v1 2 v2.

p1 p Исключая с помощью равенств (15.67) величины и из форму 1 лы (15.78), после элементарных преобразований получим 2k p v1v2 = (15.79) k + 1 или с учетом формулы (15.35) – v1v2 = aкр. (15.80) Соотношение (15.80), связывающее значения скорости до и после пря мого скачка, называется соотношением или формулой Прандтля.

Формулу Прандтля можно представить в виде v1 v = 12 = 1. (15.81) aкр aкр Из соотношения (15.81) следует, что формально возможны случаи:

1) 1 > 1, 2 < 1;

2) 1 = 2 ;

3) 1 < 1, 2 > 1.

В соответствии с уравнением неразрывности (15.65) и формулой (15.80) имеем 2 2 v1 v1 v1 = = = = 1. (15.82) 1 v2 v1v2 aкр Случай 3) соответствует условию <1, то есть скачку разрежения, что, как было показано, невозможно. Случай 2) означает, что 1= 2 – нет скачка. Случай 1) соответствует условию >1, то есть ударной волне сжатия.

Условия 1 > 1, 2 < 1 означают, что перед скачком течение сверхзву ковое, а позади скачка – дозвуковое.

296 ГЛАВА XV Итак, скачки уплотнения (прямые ударные волны) могут возникать толь ко в сверхзвуковом потоке. При прохождении через прямую ударную волну сверхзвуковой поток переходит в дозвуковой. Обратное невозможно.

Рассмотрим, как меняются параметры газа при его прохождении через прямой скачок уплотнения.

Из условия адиабатичности процесса следует, что температура тор можения до скачка T01 равна температуре торможения после скачка T02, то есть T01 = T02 = T0. (15.83) Следовательно, a01 = kRT01 = a02 = kRT02 = a0.

Для определения изменения давления воспользуемся адиабатой Гю гонио (15.71) и формулой (15.82). Тогда k + 1 - p p2 - p1 p2 k - 1 1 1 - = = - 1 = - 1 = 2k.(15.84) p1 p1 p1 k + 1 - 2 k + 1 - (k - 1) k - 1 Заменяя в формуле (15.84) 1 с помощью соотношения (15.42), имеем p 2k = (M1 - 1). (15.85) p1 k + k + 1 p При M или будет.

k - 1 p Изменение плотности, как это следует из формулы (15.82), равно 2 - 1 = = 1 - 1.

1 Для определения изменения температуры воспользуемся соотношения ми (15.43) и (15.83). Тогда, с учетом формулы Прандтля (15.81), получим k - 1 k - 1 - 2 1 - k + 1 T2 T2 T0 (2) k + = = = =.

k - 1 k - T1 T0 T1 (1) 2 1 - 1 1 - k + 1 k + k + 1 T При 1, то есть при v vmax,. Однако это не оз k - 1 T начает, что T2, так как при v vmax T1 0. Поскольку при прохож дении газа через ударную волну энтропия возрастает, этот процесс сопро ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА вождается изменением давления торможения. Так как температура тормо жения при этом сохраняется, то в соответствии с уравнением состояния Менделеева–Клапейрона p02 p =, 02 и p02 02 02 2 = = =.

p01 01 2 1 На основании формул (15.44), (15.81), (15.82) последнее равенство мож но представить в виде k- k - 1 - (1) 2 = 1 = 1 2. (15.86) k - 1 (2) 1 - 2 Из формулы (15.86) видно, что при 1 > 1 всегда < 1, то есть p02 < p01. Следовательно, механическая энергия необратимо перехо дит в тепло, как это и должно быть при росте энтропии.

Косой скачок уплотнения При изменении направления пото ка газа, например, при обтекании клина (рис. 15.11), образуются так называе мые косые скачки уплотнения. Фронт таких скачков расположен наклонно по отношению к направлению набегающе го потока. В этом случае массовый рас ход через единицу площади фронтовой поверхности ОА, очевидно, равен 1vn1 = 2vn2 = m, (15.87) где vn1,vn2 – проекции скорости на нор Рис. 15. маль к плоскости скачка.

Закон изменения количества движения (2.54) запишем в виде m(v2 - v1) = n(p1 - p2), (15.88) где n – единичный вектор нормали к ОА.

Закон сохранения энергии сохраняет свой вид (15.67).

298 ГЛАВА XV Проектируя уравнение (15.88) на плоскость скачка ОА и на нормаль к ней, имеем v2 - v1 = 0, m (v2n - v1n) = p1 - p2, (15.89) где v1,v2 – проекции скорости на плоскость скачка.

Из первого равенства (15.89) следует, что при переходе через плос кость скачка касательная составляющая скорости v не терпит разрыва, то есть v1 = v2 = v.

Так как 2 2 2 2 v1 = v1n + v, v2 = v2n + v2, то, подставляя эти соотношения в закон сохранения энергии (15.67), полу чим 2 2 k p1 v1n p2 v2n p0 v k k - k k p + = + = - = - v2. (15.90) k -1 1 2 k -1 2 2 k -1 0 2 k -1 0 2k Сравнивая между собой группы уравнений (15.65), (15.66), (15.67) и (15.87), (15.89) и (15.90) видим, что эти системы уравнений совпадают между собой, если в уравнениях для прямого скачка (15.65), (15.66), (15.67) заменить скорости v1,v2, соответственно, на v1n,v2n, а величину k p0 k p0 k - на - v. Следовательно, все формулы, получен k - 1 0 k - 1 0 2k ные для прямого скачка, остаются в силе, если в них произвести указанную замену.

Адиабата Гюгонио, то есть формулы (15.71) и (15.72), сохраняет свой вид, так как эти формулы не содержат скоростей. Формула Прандтля (15.80) с учетом равенств (15.79) и (15.89) принимает вид 2k p0 k - 1 k - 2 2 v1nv2n = - v = aкр - v. (15.91) k + 1 0 2k k + Анализ формулы (15.91) показывает, что на косом скачке всегда v1 > v2, но могут реализовываться случаи v1 > aкр, v2 > aкр. Таким образом, в от личие от прямого скачка, скорость за косым скачком может оставать ся сверхзвуковой. Формула (15.85) для косого скачка принимает вид (см. рис. 15.11) p 2k v1n 2k v1 2k - 1 = = sin2 - 1 = (M1 sin2 - 1), p1 k + 1 a2 k + 1 a2 k + то есть изменение давления на косом скачке меньше, чем на прямом. Чем меньше, тем слабее скачок.

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА §9. Расчет газового эжектора В газовых эжекторах используется свойство струи газа, движущейся в газовой среде, увлекать за собой частицы этой среды. Таким образом, га зовый эжектор представляет своего рода насос и находит широкое примене ние в технике. В эжекторах поток с большей скоростью (активный газ) и поток с меньшей скоростью (пассивный газ) вводятся через отдельные входные сопла в смесительную камеру. Смешение происходит до тех пор, пока в конце смесительной камеры поток не становится практически одно родным. Из смесительной камеры поток попадает в выходной диффузор. В простейших случаях активный и пассивный газы представляют собой одно и то же (или практически одно и то же) вещество. В других случаях оба га зовых потока могут иметь различные физико-химические свойства. Разли чие в химической природе газов может приводить при смешении потоков к химическим реакциям, например, к горению. Эжектор (рис. 15.12) состоит из четырех основных элементов: сопла 1 для газа высокого давления (ак тивного газа), сопла 2 для газа низкого давления (пассивного газа), камеры смешения 3, диффузора 4.

В дальнейшем отмечены ин дексами: 1 – параметры активного газа на выходе из сопла, 2 – пас сивного газа в том же сечении, 3 – параметры смеси на выходе из камеры смешения. Индексом 0, как и раньше, обозначаются па раметры торможения в рассмат Рис. 15. риваемых сечениях.

При истечении высоконапорной струи из сопла 1 во входном сечении камеры смешения устанавливается давление p2, которое всегда ниже дав ления торможения низконапорного газа p02. Под действием разности этих давлений низконапорный газ втекает через сопло 2 в камеру смешения.

Соотношение массовых расходов эжектирующего Qm1 и эжектируемого Qm2 газов зависит от соотношения площадей сопел, плотностей газов, ре жима работы эжектора. Выбором геометрических размеров эжектора ко эффициент эжекции n, Qm n =, (15.92) Qm можно варьировать в широких пределах.

Закон сохранения массы в рассматриваемом случае имеет, очевидно, вид Qm3 = Qm1 + Qm2, 300 ГЛАВА XV или, в соответствии с формулой (15.92), Qm = 1 + n. (15.93) Qm Закон сохранения энергии при пренебрежении теплопередачей через стенки эжектора можно записать в виде 2 2 v1 v2 v Qm1cp1T1 + + Qm2cp2T2 + = Qm3cp3T3 +. (15.94) 2 2 Будем здесь и далее считать, что термодинамические параметры ак тивного и пассивного газов, а значит и их смеси, имеют одинаковые значе ния, то есть p1 = cp2 = cp3, k1 = k2 = k3. Тогда, переходя в уравнении (15.94) к температурам торможения, получаем Qm1T01 + Qm2T02 = Qm3T03. (15.95) С учетом равенств (15.92) и (15.93) уравнение (15.95) можно предста вить в виде T01 + nT02 = (1 + n)T03. (15.96) Введем обозначение T =.

T Тогда a2кр T = =, (15.97) a1кр T и в соответствии с формулой (15.96) a3кр T03 1 + n = =. (15.98) a1кр T01 1 + n Закон изменения количества движения при пренебрежении трением о стенки цилиндрической камеры смешения можно представить в виде Qm3v3 - Qm1v1 - Qm2v2 = p1S1 + p2S2 - p3S3. (15.99) Рассмотрим выражение p Qmv + pS = Qmv +.

v Используя соотношения (15.1), (15.32), (15.35), (15.43), имеем p k + 1 k - = RT = RT0() = aкр1 - 2, v = aкр.

2k k + ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Тогда k + 1.

Qmv + pS = Qmaкр + (15.100) 2k Из формул (15.99) и (15.100) следует, что 1 1 Qm1a1кр1 + + Qm2a2кр2 + = Qm3a3кр3 +.

1 2 Разделив это равенство на Qm1a1кр, и учитывая формулы (15.92), (15.93), (15.97), (15.98), имеем 1 1 + + n + = (1 + n)(1 + n )3 +. (15.101) 1 2 2 Второе уравнение, которое наряду с равенством (15.101) является ос новным в расчете эжектора, получим из условия цилиндричности камеры смешения, то есть соотношения S3 = S1 + S2. (15.102) В соответствии с формулой (15.62) массовый расход газа Qm равен k+ p0S Qm = k k-1q(). (15.103) RT0 k + Выразив из этого соотношения площадь S и подставив результат в равенство (15.102), с учетом формул (15.92), (15.93), (15.97) и (15.98) получим (1 + n)(1 + n ) 1 n = + (15.104) p03 q(3) p01 q(1) p02 q(2).

Из формул (15.92), (15.97) и (15.103) следует, что 1 p02 q(2), n = (15.105) p01 q(1) S где =.

S Пять соотношений (15.97), (15.98), (15.101), (15.104) и (15.105) содер жат 12 величин: p01, p02, p03,T01,T02,T03, 1, 2, 3,n,,. Таким образом, если задать параметры потоков на входе в камеру смешения, то есть вели чины p01, p02,T01,T02, 1, 2 и, кроме того, задать значение n (или ), то указанные формулы позволят определить параметры смеси на выходе из 302 ГЛАВА XV камеры смешения, то есть величины p03,T03, 3, а также значения и (или n ). По параметрам потока на выходе из камеры смешения можно вы числить параметры потока на выходе из диффузора. Для этого необходимо знать отношение выходной и входной площадей сечений диффузора S = и коэффициент потери давления торможения в диффузоре S p =.

p Так как T04 = T03, то из условия Qm3 = Qm4 и формулы (15.103) имеем p04S4q(4) = p0S3q(3), или q(4) = q(3).

Определив из этого соотношения величину 4 и зная p04,T04, можно определить все остальные параметры потока на выходе из диффузора.

§10. Установившиеся движения газа в трубах* Для вывода уравнений, описывающих установившиеся движения газа по трубам, воспользуемся законом изменения кинетической энергии (2.75), то есть v2 v2 dV + vndS = F v dV + pnv dS + Ni dV,(15.106) t 2 V S V S V где в соответствии с формулой (4.43) Ni = p div v - W. (15.107) Произведение pn v можно представить как * pnv = (- pn + n)v = - pvn +. (15.108) * Величины W и представляют собой члены, обусловленные вязко стью газа, или, что то же самое, трением. Подставив равенства (15.107) и (15.108) в уравнение (15.106) и учитывая, что в соответствии с теоремой Гаусса–Остроградского получим pvndS = div pv dV, S V _ * В этом параграфе для удобства читателя частично повторяются рассуждения и преобразования соотноше ний, которые были приведены в главе XI.

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА v2 v2 dA dV + vndS = Fv - div pv + p div v)dV -,(15.109) ( t 2 2 dt V S V где dA * = W dV - dS dt V S – мощность сил трения.

Введем функцию dp = или = p. (15.110) Тогда p div v - div pv = -vp = -v, и уравнение (15.109) можно представить в виде v2 v2 dA dV + vndS = Fv - v)dV -. (15.111) ( t 2 2 dt V S V Введем следующие предположения:

1) движение установившееся, то есть 0, div v = 0 ;

t 2) массовая сила обладает потенциалом, F =.

На основании этих предположений (F - )v = ( - )v = ( - )v + ( - )div v = div[ ( - )v], и уравнение (15.111) принимает вид v2 dA vndS = div[ ( - )v]dV -, (15.112) 2 dt S V или на основании теоремы Гаусса–Остроградского – v2 dA - + vndS = -.

(15.113) 2 dt S Рассмотрим участок трубы, ограниченный сечениями S1 и S2 (рис. 15.13) и боковой поверхностью S3. Так как на S1 vn = -v, на S2 vn = v, на S3 vn = 0, то уравнение (15.113) можно представить в виде v2 v2 dA - + vndS - - + vndS- = -. (15.114) 2 2 dt S2 S 304 ГЛАВА XV В соответствии с теоремой о среднем значении v2 v2 v - + vndS = - + vndS = - + Qm.(15.115) 2 2 ср S ср S Массовый расход Qm равен dm Qm =, (15.116) dt где dm – масса газа, протекшего через сечение за время dt. При устано вившемся течении Qm1 = Qm2.

Из соотношений (15.114), (15.115), (15.116) имеем* v2 v2 1 dA dA - + - - + = = - = -h1-2,(15.117) 2 2 1 Qm dt dm где h1-2 – удельная по массе работа сил трения.

Пусть расстояние между сечениями S1 и S2 равно dx. Тогда при dx 0 из равенства (15.117) следует, что v2 dp d - + + dh = -d + + v dv + dh = 0. (15.118) Уравнение (15.118) называется уравнением энергии в механической форме, или обобщенным уравнением Бернулли. Для применения этого урав нения необходимо задать зависимость p(), то есть необходимо задать вид термодинамического процесса, имеющего место при движении газа по трубопроводу. Примем в качестве такого процесса политропический с постоянным показателем политропы n = const, то есть n p p = const или =. (15.119) n p 1 Потери напора на длине dx в соответствии с формулой Дарси–Вейс баха (11.13) равны dx v dh =, (15.120) D 2g где D – диаметр трубы.

Опытами установлено, что зависимости от числа Рейнольдса Re и относительной шероховатости, установленные для жидкостей, можно перенести на движение газа, пренебрегая в первом приближении зави симостью от числа Маха M. При турбулентном течении можно по ложить const. Действительно, зависимость динамического коэффици * Для сокращения записи здесь и далее индекс «ср» опущен.

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА ента вязкости µ от температуры имеет вид T µ = µ0, T D где µ = µ0 при T = T0. Тогда, учитывая, что Qm = v, имеем vD T0 4Qm T vD A Re = = = =, µ µ0 T Dµ0 T T причем A = const.

Наиболее сильно зависимость от Re при турбулентном режиме те чения проявляется в зоне гидравлически гладких труб, когда определя ется по формуле Блазиуса 1 T8 = = T8.

Re 100A При изменении температуры газа на ± 30°C абсолютная температу ра изменяется на ± 10%, следовательно, меняется на ± 2%. Таким об разом, действительно, можно считать = const. Подставив равенство (15.120) в уравнение (15.118) и пренебрегая, как обычно, массовыми си лами, имеем dp dx v + v dv + = 0. (15.121) D Умножая уравнение (15.121) на 2 и выражая через p с помощью соотношения (15.119), получим n dv dx (v) p 1 dp + (v) + = 0.

p1 v D Так как v = const при D = const, то, интегрируя это уравнение в полных дифференциалах по х от x = 0 до х, по v от v = v1 до v, по p от p1 до p, имеем n 1 n+1 n+1 v x (v) n p - p1 n + (v) ln + = 0. (15.122) n + 1 p1 n v1 D Поскольку при D = const v = 1v1, 306 ГЛАВА XV то v 1 p1 n = =, v1 p и уравнение (15.122) можно представить в виде 2 n 1 n+1 n+1 (v) p1 x (v) n p - p1 n + ln + = 0. (15.123) n + 1 p1 n n p D Для магистральных газопроводов 1 p1 x ln <<.

n p 2D Рассмотрим следующий типичный пример. Пусть D = 1м, x = l = 105 м, p = 1,5 10-2, n = 1,2, p = p2, = 2. Тогда p l 1 p = 0,75 103, ln = 0,58.

2D n p Таким образом, в уравнении (15.123) членом с логарифмом можно пре небречь по сравнению с остальными членами. Положив x = l, p = p2, из уравнения (15.123) получим n 1 n+1 n+1 l (v) p1 n - p2 n =. (15.124) n + 1 p1 n d Тогда массовый расход будет равен 2n 1D5 n+1 n+ Qm = D2v = p1 n - p2 n. (15.125) 4 4 n + 1 p1 nl Из формулы (15.125) видно, что Q ~ D2,5, то есть массовый расход сильно зависит от диаметра трубопровода. Если в формулах (15.124) и (15.125) положить n = k, то получим формулы для распределения дав ления и расхода для адиабатического течения. В длинных газопроводах обычно имеет место изотермический режим течения. В этом случае n = 1, и условие для выполняется не приближенно, а точно.

Подставив значение n = 1 в формулы (15.124) и (15.125), получим 1 2 l (p1 - p2) = (v), p1 d (15.126) 1 D5 Qm = (p1 - p2).

4 p1 l ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Из формулы (15.126) следует, что при изотермическом течении давле ние по длине газопровода изменяется по параболическому закону.

§11. Формула Шухова Если на входе в газопровод температура газа T1 отличается от наружной температуры Tнар, то те чение газа будет неизотермичес ким. Рассмотрим участок трубо провода рис. 15.13. Пренебрегая массовыми силами и учитывая формулы (15.20) и (15.24), из урав нения закона сохранения энергии Рис. 15. (4.18) имеем v2 v2 CpT + 2 - + 2 = Qm qe dV. (15.127) CpT 2 1 V Величина qe dV V представляет собой внешнее тепло, подведенное в единицу времени к газу между сечениями S1 и S2. Будем считать, пренебрегая теплопроводностью газа, что тепло проводится только через боковую поверхность S3. Тогда * * qe dV = qe dS = qe d dx, (15.128) V S * где qe – тепло, подведенное в единицу времени через единицу площади поверхности S3, = D – периметр газопровода.

Подставив соотношение (15.127) в уравнение (15.126) и полагая dx 0, получим * v2 qe dCpT + = D dx. (15.129) 2 Qm * Величину qe можно представить в виде * qe = (Tнар - T1), (15.130) 308 ГЛАВА XV где – коэффициент теплопередачи, T = T(x) – температура газа в газо проводе.

Пренебрегая изменением скоростного напора по длине газопровода, из равенств (15.129) и (15.130) имеем D CpdT = (Tнар - T)dx. (15.131) Qm Интегрируя соотношение (15.130), при условии, что в начале трубо провода при x = 0 T = T1, получим T - Tнар CpQm ln = -Dx (15.132) T1 - Tнар или D T = Tнар + (T1 - Tнар)exp- x. (15.133) CpQ Формула (15.133) представляет собой известную формулу В.Г. Шу хова*. Эта формула была получена при расчете остывания нагретой нефти, перекачиваемой по трубопроводу, без учета тепла, выделяющегося вслед ствие наличия гидравлических сопротивлений. Формула Шухова оказыва ется вполне точной для идеального газа, движущегося в трубе с дозвуко вой скоростью. Из формулы (15.132) следует, что T Tнар при x.

Значение x = x1, при котором температура газа в трубопроводе отличается от Tнар меньше, чем на 1%, определяется из формулы (15.132) в виде cpQm T1 - Tнар x1 > ln.

D 0,01 Tнар Оценки, выполненные по этой формуле, показывают, что величина x достаточно мала, то есть течение в магистральном газопроводе можно счи тать изотермическим.

* Владимир Григорьевич Шухов (1853–1939), инженер и изобретатель, почетный член АН СССР.

Глава XVI ЛАМИНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ В предыдущих главах рассматривалось течение вязкой жидкости, то есть жидкости, у которой связь между тензорами напряжений и скоростей деформаций имеет вид pik = (- p + div v)ik + 2µik, (16.1) или для несжимаемой жидкости – pik = - p ik + 2µik. (16.2) Таким образом, одной из основных отличительных особенностей вяз кой жидкости является линейная связь между тензорами напряжений и скоростей деформаций. В то же время существует широкий класс разно образных сред, общим свойством которых является отклонение от обоб щенного закона Ньютона (16.1) или (16.2). Такие жидкости называются неньютоновскими.

В нефтегазовой промышленности неньютоновские жидкости весьма распространены. К ним относятся многие тяжелые нефти, мазуты, глини стые и цементные растворы, растворы полимеров. Многие неньютоновские жидкости, например, глинистые растворы, обладают внутренними прост ранственными структурами. Они могут быть образованы кристаллами па рафина в нефти, частицами глины в глинистых растворах и т.д. При увели чении напряжения эти структуры разрушаются. Очевидно, что при этом свойства среды будут меняться. Напомним, что математическая зависи мость напряжения от характера деформации сплошной среды называется реологическим уравнением, а входящие в нее коэффициенты – реологичес кими константами. Так, соотношения (16.1) представляют собой реологи ческие уравнения для линейно-вязкой сжимаемой жидкости, а величины и µ – реологические константы.

Следует отметить, что одна и та же жидкость может вести себя как ньютоновская и как неньютоновская в зависимости от значений темпера туры, давления и ряда других параметров. Поэтому выбор модели (реоло гического уравнения) для данной среды является важной и достаточно сложной проблемой.

310 ГЛАВА XVI §1. Простой сдвиг Рассмотрим тензор скоростей деформаций 11 12 ik = 22 23.

32 и пусть 11 = 22 = 33 = 0, а из величин 12 = 21, 23 = 32, 31 = 13 только одна отлична от нуля. Такая деформация на зывается простым сдвигом, а соответст вующее течение – течением с простым сдвигом. Очевидно, что простой сдвиг представляет собой простейший вид де формации. В §3.3 было показано, что Рис. 16. скорость скашивания прямого угла меж- ду осями xi и xk равна 2ik. Таким образом, при течении с простым сдви гом происходит скашивание прямого угла между двумя взаимно ортого нальными осями, а объем рассматриваемой частицы жидкости остается без изменений, так как 11 + 22 + 33 = div v = 0. Рассмотрим некоторые при меры течений с простым сдвигом.

1. Ламинарное плоскопараллельное течение несжимаемой жидкости между двумя параллельными плоскостями (рис. 16.1). В этом случае vx = vx(y), vy = vz = 0. (16.3) Из соотношений (16.3) имеем vy vx vz 1 vx vy 1 vx xx = = 0, yy = = 0, zz = = 0, xy = + =, x y z 2 y x 2 y vy vz 1 1 vz vy yz = + = 0, zx = + = 0.

2 z y 2 y z Следовательно, рассматриваемое течение – это течение с простым сдвигом. Скорость скашивания прямого угла xOy, или скорость сдвига vx = 2xy =. При этом касательное напряжение в линейно-вязкой жид y кости будет равно vx = 2µxy = µ = µ. (16.4) y ЛАМИНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ 2. Ламинарное течение несжимаемой жидкости по круглой трубе.

Введем цилиндрическую систему координат Oxr и совместим ось Ox с осью трубы. Тогда vx = vx(r), vr = v = 0. (16.5) Компоненты тензора скоростей деформаций в цилиндрической систе ме координат имеют вид (см. приложение) v vx vr 1 vr 1 vx vr xx =, rr =, = +, xr = +, x r r r 2 r x (16.6) v 1 1 vr v v 1 1 vx r = + -, x = 2 x + r.

2 r r r Подставив соотношения (16.5) в равенства (16.6), имеем 1 vx xx = rr = = 0, xr =, r = x = 0, 2 r то есть имеем течение с простым сдвигом. Скорость скашивания прямого угла xOr равна vx = 2xr =, (16.7) r а касательное напряжение в линейно-вязкой жидкости – vx = 2µxr = µ = µ. (16.8) r 3. Ламинарное плоскопараллельное враща тельное течение между двумя соосными цилинд рами (рис. 16.2). В цилиндрической системе ко ординат Oxr имеем vx = vr = 0, v = r, (16.9) где = (r) – угловая скорость вращательного течения.

Подставив значения скорости (16.9) в фор Рис. 16. мулы (16.6), получим xx = rr = = 0, x = xr = 0, (16.10) v v 1 (r) r = - = - = r, 2 r r 2 r 2 r и, следовательно, опять имеем простой сдвиг. В соответствии с форму лой (16.10) скорость скашивания прямого угла rO равна = 2r = r, (16.11) r 312 ГЛАВА XVI а касательное напряжение в линейно-вязкой жидкости – = 2µr = µr = µ. (16.12) r Формулы (16.4), (16.8), (16.12) представляют собой уже отмечавшийся ранее закон вязкого трения Ньютона, причем µ = const при T = const, где T – абсолютная температура. Величина = называется текучестью.

µ Как уже указывалось, течения с простым сдвигом представляют собой простейшие течения. Поэтому они широко используются для проведения вискозиметрических исследований, то есть для экспериментальной про верки той или иной модели для рассматриваемой жидкости и для опреде ления ее реологических констант.

§2. Классификация неньютоновских жидкостей Классификация неньютоновских жидкостей обычно основывается на виде зависимости скорости сдвига от величины касательного напряже ния. Все неньютоновские жидкости могут быть разбиты на три класса.

1. Системы, для которых скорость сдвига зависит только от величины касательного напряжения, то есть = f( ). (16.13) Это – неньютоновские вязкие жидкости, или нелинейно-вязкие жидкости.

2. Системы, для которых скорость сдвига зависит как от величины ка сательного напряжения, так и от времени t, то есть = f(,t).

Если с течением времени при заданной величине напряжение в жидкости уменьшается, то такая жидкость называется тиксотропной, а если возрастает – реопектической. Соответствующие кривые течения (за висимости касательного напряжения от скорости сдвига) представлены на рис. 16.3, где стрелками указано направление процесса (нагружения).

Рис. 16. ЛАМИНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ 3. Системы, обладающие свойствами как твердого тела, так и жидкос ти, и частично проявляющие упругое восстановление формы после снятия напряжения (вязкоупругие жидкости). Для них (n) (m) f1(,,,..., ) = f2(,,,..., ).

Неньютоновские вязкие жидкости, в свою очередь, могут быть разде лены на две группы:

а) жидкости, обладающие начальным напряжением сдвига 0, то есть жидкости, которые начинают течь (деформироваться) лишь после того как касательное напряжение превысит некоторый предел 0 ;

б) жидкости, не обладающие пороговым (начальным) касательным на пряжением 0.

Для неньютоновских вязких жидкостей так же, как для ньютоновских, можно формально ввести понятия вязкости и текучести, а именно µa =, a = =. (16.14) µa В отличие от ньютоновской жидкости ве личины µa и a не константы, а функции ка сательного напряжения. Поэтому будем на зывать эти величины кажущейся вязкостью и кажущейся текучестью.

Если известна кривая течения (рис. 16.4), то кажущаяся вязкость µa легко может быть найдена графически. Действительно, в точке А AB Рис. 16. µa = = = tg.

OB Из формул (16.13) и (16.14) следует, что f( ).

a = a( ) = (16.15) Так как при смене знака напряжения должен меняться знак скорости сдвига, то есть f( ) = -f(- ), то функция f( ) – нечетная. Тогда, в соответствии с формулой (16.15) функция a( ) будет четной.

Примером жидкостей с начальным напряжением сдвига является вяз копластичная жидкость, или жидкость Бингама–Шведова. Ее реологичес 314 ГЛАВА XVI кое уравнение имеет вид 0, = -, (16.16), где 0 – начальное напряжение сдвига, – коэффициент пластической вязкости. Модель вязкопластичной жидкости широко используется для опи сания поведения глинистых растворов, буровых шламов и т.д.

Примерами жидкостей, не обладающих начальным напряжением сдвига, могут служить так называемые «степенные» жидкости, то есть жид кости, для которых реологическое уравнение имеет вид n = k. (16.17) Величина k называется консистентностью, а n – индексом течения.

Для жидкостей с разным индексом течения n величина k имеет разную размерность, откуда следует, что k не имеет явно выраженного фи зического смысла, а уравнение (16.17) пред ставляет собой лишь удобную в инженерном отношении аппроксимацию. При n < 1 жидкость называется псевдопластичной, а при n > 1 – дилатантной. При n = 1 соотношение (16.15) переходит в закон трения Ньютона, то есть Рис. 16. в обычное соотношение для ньютоновской вяз кой жидкости, а k совпадает с динамическим коэффициентом вязкости. Кривые течения представлены на рис. 16.5, где кривая 1 соответствует ньютоновской жидкости, 2 – дилатантной, 3 – псев допластичной, 4 – вязкопластичной.

В дальнейшем будут рассматриваться только неньютоновские вязкие жидкости.

§3. Вискозиметрия Под вискозиметрией понимается совокупность методов определения вязкостных свойств жидкости, то есть построение кривой течения. Виско зиметрия ньютоновских жидкостей просто сводится к определению вели чины коэффициента вязкости. В случае неньютоновской жидкости задачей вискозиметрии является определение вида зависимости между скоростью сдвига и касательным напряжением, а также численных значений констант (реологических параметров), входящих в эту зависимость. Наиболее рас пространенными типами вискозиметров, то есть приборов, на которых вы ЛАМИНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ полняются вискозиметрические исследования, являются капиллярные и ро тационные вискозиметры.

Принципиальная схема капиллярного вискозиметра представлена на рис. 16.6, где 1 – резервуар для исследуемой жид кости, 2 – калиброванная измерительная трубка, 3 – датчик давления. Меняя вы соту налива жидкости H или давление над свободной поверхностью p0 (в слу чае герметично замкнутого резервуара), можно получить экспериментальную за висимость перепада давления pl на трубке длиной l от расхода Q, то есть Рис. 16. зависимость вида pl = f(Q). Этот пере- пад складывается из перепада pм на мерном участке lм и перепада pвх на входном участке длиной lвх (lм = l - lвх ) pl = pвх + pм.

Повторив эксперимент на трубке того же диаметра, но при длине L, получим кривую pL = f(Q), причем опять (1 (1) pL = pвх) + pм, (1 (1) где pвх) – перепад давления на входном участке трубки длиной lвх, а pм – перепад на длине L - lвх. Так как диаметры обеих трубок и условия вхо ( да в них жидкости одинаковы, то при равных расходах pвх = pвх). Поэто му величина (1) p = pL - pl = pм - pм будет представлять собой перепад давления на участке длиной L - l для условий бесконечно длинной трубы*.

Принципиальная схема ротационного вискозиметра представлена на рис. 16.7. При вращении наружного цилиндра 1 с угловой скоростью в жидкости 2 возникают касательные напряжения, создающие на внутрен нем цилиндре 3 крутящий момент M. Под действием этого момента ци линдр 3 поворачивается на угол, величина которого зависит от M и уп ругих характеристик нити 4. Измеряя этот угол, получают значение дейст вующего момента M. Проводя эксперимент при различных значениях уг- * Участок бесконечно длинной трубы представляет собой участок реальной трубы, на котором не сказы ваются концевые эффекты.

316 ГЛАВА XVI ловой скорости, можно получить зависи мость M = f(). Здесь, как и в случае капил лярного вискозиметра, возникают концевые эффекты вблизи свободной поверхности жид кости и дна цилиндра 2. Для их устранения можно повторить эксперимент при другом уровне жидкости h. Дальнейшие рассужде ния аналогичны приведенным при рассмотре нии концевых эффектов в капиллярном вискозиметре.

Итак, с помощью капиллярного вискози метра можно получить зависимость вида Рис. 16. p = f1(Q), (16.18) а с помощью ротационного – вида = f2(M), (16.19) справедливые для бесконечно длинной трубы и зазора бесконечной высо ты. Для того, чтобы по соотношениям (16.18) или (16.19) можно было най ти реологические параметры исследуемой жидкости, необходимо иметь теоретический вид этих выражений для неньютоновских жидкостей раз личных типов.

§4. Течение жидкости по бесконечно длинной круглой трубе Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости по участ ку бесконечно длинной трубы длиной l и радиусом a. Распределение ка сательного напряжения по радиусу трубы описывается формулами* (10.33) и (10.34), то есть r p1 - p = a, a = a. (16.20) a 2l dv Так как в рассматриваемом случае vx = v = v(r) и < 0, то из фор dr мул (16.7) и (16.19) имеем dv = = -f( ). (16.21) dr При таком выборе знака f( ) > 0. Подставив выражение (16.20) в равенст во (16.21), получим dv r = -fa, (16.22) dr a * Из вывода формул (10.33) и (10.34) видно, что результат не зависит от вязкостных характеристик. Сле довательно, они справедливы и для неньютоновских жидкостей.

ЛАМИНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ то есть получим дифференциальное уравнение для определения скорости жидкости v(r).

Для дальнейшего использования уравнения (16.22) необходимо иметь в виду следующее. При течении неньютоновских жидкостей наличие стенки трубы может приводить к возникновению особых направлений в жид кости, изотропной вдали от стенки. Например, возможное распределение ориентации коллоидных частиц или длинных полимерных цепей вблизи стенки ограничено присутствием самой стенки. Аномалия течения вбли зи стенки может также возникать благодаря физико-химическому взаи модействию жидкости с материалом стенки трубы. Аномалия течения, возникающая вблизи стенки, называется пристенным скольжением. Она dv заключается в резком изменении величины в пристенном слое при dr сохранении непрерывности распределения скорости вдоль радиуса.

При наличии пристенного скольжения уравнение (16.22) будет справедливо лишь в области 0 r a - h, где h – толщина пристенно го слоя, в котором происходит аномальное течение. Так как обычно h << a, то вместо того, чтобы рассматривать течение в пристенном слое, можно задать на стенке трубы значение v(a) = v(a - h), то есть значение скорости, отличное от нуля и равное скорости на границе при стенного слоя.

Можно показать, что введенная таким образом фиктивная скорость есть функция касательного напряжения a. Скорость v(a) = v(a) = s(a) называется скоростью скольжения. Интегрируя выражение (16.22), имеем a r r r a dv = v(r) - s(a) = - fa dr = f( )d. (16.23) a a a a Расход жидкости через сечение трубы равен a Q = 2 dr.

v(r)r Следуя Олдройду, проинтегрируем это соотношение по частям. Тогда с учетом равенств (16.22) и (16.23) получим a a a r dv r 2 Q = 2 v(r) - r dr = a2s( ) + r f dr = a a 2 a 0 0 dr (16.24) a a3 = a2s( ) + f( )d.

a a 318 ГЛАВА XVI Формула (16.24) представляет собой основное соотношение для определе ния скорости скольжения. Наличие скорости скольжения и вид зависимо сти s(a) могут быть установлены с помощью эксперимента на капилляр ном вискозиметре. Для этого необходимо получить зависимости p(Q) на нескольких трубках разного диаметра. Полученные результаты представим Q p в координатах, a = a (рис. 16.8), где различные кривые соответ a3 2l ствуют экспериментам, проведенным на трубках различных диаметров.

Из формулы (16.24) следует, что a Q s(a) 1 s(a) = + f( )d = + F(a). (16.25) a3 a a a Рис. 16.8 Рис. 16. Q Если s(a) = 0, то есть скольжение отсутствует, то = F(a) и кри a вые на рис. 16.8, полученные для трубок различных диаметров, должны Q совпадать между собой. Если s(a) 0, то зависит от a и а, то есть a имеет место картина, представленная на рис. 16.8. Проведя на графике рис. 16.8 сечения прямыми = const, можно построить график, пред a ставленный на рис. 16.9, где линии 1, 2, 3 соответствуют различным значе Q ниям a. Из формулы (16.25) следует, что при = const величина a a линейно зависит от, причем s(a) представляет собой тангенс угла на a клона прямых 1, 2, 3. После того как зависимость s(a) определена, можно ЛАМИНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ с помощью формулы (16.25) вычислить функцию a F(a) = f( )d, a откуда после дифференцирования имеем 1 d[aF(a)].

f(a) = a da Таким образом, функция f( ) может быть найдена с помощью экспе риментов на капиллярном вискозиметре. Однако это сопряжено с необхо димостью проведения обширных экспериментальных исследований и диф ференцирования функции, полученной опытным путем. Как ниже будет показано, задача определения коэффициентов функции f( ) значительно упрощается, если заранее известен ее аналитический вид.

§5. Вращательное течение жидкости в кольцевом зазоре Рассмотрим установившееся ламинарное вращательное движение жидкости между двумя соосными цилиндрами бесконечной высоты. При этом жидкость движется по круговым траекториям, плоскости которых перпендикулярны оси цилиндров (рис. 16.2). В §1 настоящей главы было показано, что такое течение представляет собой течение с простым сдви гом, причем скорость сдвига определяется по формуле (16.11). Выделим в потоке элемент радиуса r, толщиной dr и высотой h. Сила, приложен ная к цилиндрической поверхности радиуса r, равна, очевидно, F1 = 2rh, а приложенная к поверхности радиуса r + dr – F2 = 2(r + dr)h ( + d ).

Так как выделенный элемент вращается с постоянной во времени уг ловой скоростью, то сумма моментов сил, приложенных к этому эле менту, равна нулю, то есть F2 r + dr - F1r = 2 h r + dr + d - r2 = 0. (16.26) ( ) ( )2 ( ) После элементарных преобразований и перехода к пределу при dr 0, из равенства (16.26) получим d dr = -2, (16.27) r 320 ГЛАВА XVI или, после интегрирования, C =. (16.28) r Для определения константы интегрирования C обозначим момент сил трения на внутреннем цилиндре радиуса Ri и единичной высоты через M.

Тогда M = 2RiiRi, (16.29) где i – напряжение трения на радиусе Ri.

Из формул (16.28) и (16.29) имеем C M i = =, Ri2 2Ri M откуда C =, и формула (16.28) принимает вид M =. (16.30) 2r Подставив соотношения (16.10), (16.11) и (16.30) в равенство (16.13), получаем d M r = f, (16.31) dr 2r то есть получаем дифференциальное уравнение вращательного движения жидкости в кольцевом зазоре.

Для интегрирования уравнения (16.31) примем, что внутренний ци линдр покоится, а внешний вращается с угловой скоростью. Тогда, с учетом пристенного скольжения, можем для скорости течения на по верхности внутреннего цилиндра радиуса Ri записать v(Ri) = s(i), (16.32) а для скорости на поверхности внешнего цилиндра радиуса Re – v(Re) = Re - s(e), (16.33) где e – напряжение сил трения на поверхности внешнего цилиндра. Так v как угловая скорость =, то из уравнения (16.31) имеем r v r R v v vi M dr d = - = f, r r Ri r 2r vi Ri Ri ЛАМИНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ или, с учетом формул (16.27), (16.30) и (16.32), i v s(i) = + f( )d. (16.34) r Ri Выражение (16.34) дает закон распределения скоростей по радиусу.

Из этого закона и формулы (16.33) получаем i s(e) s(i) = + + f( )d. (16.35) Re Ri e §6. Интегральный метод в вискозиметрии Интегральный метод в вискозиметрии заключается в том, что на осно вании тех или иных физических предположений заранее задается вид функций f( ) и s(a). Это позволяет вычислить интегралы в уравнениях (16.24) и (16.35) и получить, с учетом формул (16.20) и (16.30) теоретиче ские зависимости вида Q = Q(p,1,2,...,n ) (16.36) для течения в трубе и = (M,1,2,...,n ) (16.37) для течения в кольцевом зазоре, где 1,2,...,n – реологические пара метры (константы в функциях f( ) и s(a)) рассматриваемой жидкости.

Пусть теперь при эксперименте на капиллярном вискозиметре полу чено n пар значений Qj, pj. Подставив эти значения в формулу (16.36), получим n уравнений для определения численных значений n реологичес ких параметров 1,2,...,n. Аналогично, получив на ротационном виско зиметре n пар значений j, Mj и подставив их в равенство (16.37), полу чим опять n уравнений для определения реологических параметров жид кости. Очевидно, что значения реологических параметров, найденных пу тем измерений на обоих типах вискозиметров, должны совпадать между со бой. Несоблюдение этого условия свидетельствует о том, что принятые зави симости f( ) и s(a) не описывают поведения рассматриваемой жидкости.

Перейдем к рассмотрению некоторых простейших примеров.

I. Вязкая ньютоновская жидкость. Для такой жидкости в соответствии с формулой (16.12) имеем = f( ) =, s(a) = 0. (16.38) µ 322 ГЛАВА XVI Подставив эти выражения в равенство (16.23), с учетом соотноше ний (16.20) получим a a a ap r v(r) = d = - - =. (16.39) 1 a µa µa 1 2 4µl a Из равенств (16.24), (16.38) и формулы (16.20) имеем a a3 3 a3a a Q = d = = p. (16.40) µa 4µ 8µl p p Так как при течении по горизонтальной трубе - Fx = -, то x l легко видеть, что формулы (16.39) и (16.40) совпадают с полученными ра нее выражениями (9.29) и (9.31). Поскольку значения a и l для капилляр ного вискозиметра известны, то из формулы (16.40) следует, что для опре деления величины динамического коэффициента вязкости достаточно сде лать одно измерение величин p и Q.

Для ротационного вискозиметра в соответствии с формулами (16.30), (16.34), (16.38) получим закон распределения скоростей в кольцевом зазо ре в виде i v 1 i - M 1 - = d = =. (16.41) r 2µ 2µ 4µ Ri2 r Используя формулы (16.30), (16.35), (16.38) или полагая в форму ле (16.41) r = Re, находим ve M 1 - = =.

Re 4µ Re Ri Так как радиусы Ri и Re известны, то так же, как и в случае капил лярного вискозиметра, для определения µ достаточно сделать одно изме рение пары значений, M.

II. Жидкость Бингама–Шведова. Для такой жидкости в соответствии с формулой (16.16) 0, 0, f( ) = - (16.42), 0, s(a) = 0.

ЛАМИНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ Подставив выражение (16.42) в формулу (16.23), получим 0 a a a a a - 0 a v(r) = f( )d + f( )d = d + f( )d = a a a a 0 (16.43) a(a - 0) a = + f( )d.

2a a В соответствии с формулой (16.42) a при 0 f( )d = 0, (16.44) a 0 a a - 0 a( - 0) при 0 f( )d = d = -. (16.45) a a 2a Из формулы (16.20) следует, что r 0 r =, =, (16.46) a a a a где r0 – радиус, на котором = 0. Тогда из формул (16.43), (16.44), (16.45), (16.46) имеем aa r при 0 r r0, v(r) = - 2 a aa r0 r02 r v(r) = 1 - - - при r0 r a.

2 a a2 r Таким образом, при 0 r r v(r) = const, то есть в потоке имеется «ядро течения», в котором все частицы движутся с одинаковой скоростью, то есть как твердое тело (рис. 16.10).

Можно показать, что наличие ядра течения присуще любой жидкости с на чальным напряжением сдвига, а не только жидкости Бингама–Шведова.

Рис. 16. Подставив соотношение (16.42) в фор мулу (16.24), получим a a3 2 - 0 a3a 4 0 1 Q = d = (16.47) 3 1 - + a µa 4 3 a 324 ГЛАВА XVI или, с учетом формул (16.20) и (16.46), a4p 4 r0 1 r - +.

Q = (16.48) 8l 3 a 3 a Выражения (16.47) и (16.48) представляют собой различную форму записи формулы Букингама. При 0 = r0 = 0 формула переходит в форму лу Пуазейля (16.40). Из формул (16.47) и (16.48) видно, что для определе ния констант 0 и необходимо измерить две пары значений p, Q.

Рассмотрим теперь течение жидкости Бингама–Шведова в кольцевом зазоре ротационного вискозиметра. Так как Ri < Re, то в соответствии с формулой (16.30) всегда e < i. Поэтому до тех пор, пока i 0, то есть в соответствии с формулой (16.30) M 2Ri20 = M0, сдвига не про исходит, = 0 и жидкость между цилиндрами неподвижна. Пусть теперь i > 0 > e. Так как вдоль радиуса M = const, то из формулы (16.30) сле дует, что Ri2i = r020 = Ree, где r0 – радиус, на котором = 0. Тогда очевидно, что при Ri < r < r имеем > 0, а при r0 < r < Re – < 0. Следовательно, в интервале Ri < r < r0 будет происходить сдвиговое течение, а при r0 < r < Re жид кость будет вести себя как твердое тело, то есть вращаться с постоянной угловой скоростью. Подставив выражение (16.42) в формулу (16.34), с уче том равенства (16.30) получим i v 1 - 0 M 1 1 2 Ri - - ln при Ri < r < r0, = d = r 2 4 Ri2 r2 r r v M 1 1 2 Ri - - ln = const при r0 < r < Re.

= = r 4 r Ri2 r02 r M В соответствии с формулой (16.30) r0 =, то есть с ростом М ве личина r0 и, следовательно, область, охваченная сдвиговым течением, воз растают. При 0 > e сдвиговым течением охвачен весь интервал Ri < r < Re, и в соответствии с формулами (16.30) и (16.35) угловая скорость вращения внешнего цилиндра равна i 1 - 0 d M 1 1 0 Ri - - ln. (16.49) = = 2 4 Ri2 Re Re e ЛАМИНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ Из формулы (16.49) видно, что для определения констант и 0 не обходимо измерить две пары значений M,.

III. Степенная жидкость. Для степенной жидкости в соответствии с фор мулой (16.17) n = f( ) =, s(a) = 0. (16.50) k Подставив выражение (16.50) в формулы (16.23) и (16.24), с учетом равенства (16.20), получим, соответственно, 1+n 1 1 n+ n+ n n a 1 n p r n - n = a n n 1 - v(r) = a n + 1 2kl, n + 1 k a a 1 3n+ n a n p n n Q = a3 n = a, (16.51) 3n + 1 k 3n + 1 2kl то есть получим формулы для распределения скоростей и расхода при те чении по круглой трубе.

Для ротационного вискозиметра в соответствии с формулами (16.30), (16.34), (16.35) имеем 1 1 v n i 1 n M n - n n n 1 Ri = = 2 2kRi2 -, r 2 k r i 1 1 n i 1 e n M Ri n - n n 1 n - = =.

2 k i 2 2kRi2 Re IV. Ряд Рейнера. Предполагается, что для жидкости с начальным на пряжением сдвига 0 функция f( - 0) может быть разложена в степен ной ряд. Так как эта функция нечетная, то ряд может содержать только не четные степени - 0. Следовательно, 0,, n = f( - ) = (16.52) 0 2k + bk( - ),, s( ) = 0, 0 0 a k = где bk, 0 – реологические параметры жидкости. Подставив выраже ние (16.52) в формулу (16.23), после рассуждений, совершенно аналогич 326 ГЛАВА XVI ных приведенным при рассмотрении жидкости Бингама–Шведова, получа ем n n 2k+ a bk a bk 2 r 2k+ v(r) = (a -0) = ak+11- = const, 0 r r0, 2a k=0 k + 1 2 k +1 a k= n a bk 2k+2 2k+ v(r) = [(a - 0) - ( - 0) ]= 2a k=0 k + n 2k+ 2k+2 2k+ a bk 2 r0 r0 r = ak+1 1 - - -, r0 r a.

2 k + 1 a a r k= Из полученных формул видно, что картина распределения скоростей по радиусу качественно аналогична представленной на рис. 16.10, то есть и в этом случае существует ядро течения радиуса r0.

Подставив выражение (16.52) в формулу (16.24), получим n a3 (a 2k+2 - 0) 20(a - 0) Q = bk(a - 0)2k + 4 2k + 3 2k + 2. (16.53) + + a k= При течении в кольцевом зазоре так же, как в случае жидкости Бинга ма–Шведова, при i < 0 течения не происходит. При M > M0 = 2Ri сдвиговое течение происходит в зазоре M Ri < r < r0 =, а при r0 < r < Re жидкость вращается с постоянной угловой скоростью, то есть как твердое тело. При M 2Re0 сдвиговое течение охватывает всю область Ri < r < Re. В соответствии с формулами (16.34) и (16.49) при i > > e i n 2k+ v 1 - 0) = bk d, Ri < r < r0, ( r k= i 2k + n v 1 ( - 0 ) = = bk d = const, r0 < r < Re. (16.54) r k = При e > 0 распределение скоростей во всем зазоре (Ri < r < Re) будет определяться формулой (16.54), где интеграл необходимо брать в пре делах 0,i, а угловая скорость вращения внешнего цилиндра будет ЛАМИНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ равна i n 2k+ 1 - 0) = bk d. (16.55) ( k= e Реологическое уравнение (16.52) содержит n + 2 реологических па раметра:, b0, b1,..., bn. Из формул (16.53) и (16.55) видно, что для их определения необходимо сделать n + 2 измерения пар значений p, Q или M,.

§7. Коэффициент гидравлического сопротивления Рассмотрим жидкость с реологическим уравнением = f(,1,2,...,n ), (16.56) где, как и раньше, 1,2,...,n – реологические параметры. По аналогии с соображениями, приведенными при выводе формулы Дарси–Вейсбаха (5.30), можно утверждать, что перепад давления p на длине l в трубе диаметром d представляется соотношением вида p = (l, d,,w,1,2,...,n ). (16.57) Приняв величины d,, w в качестве параметров с независимыми размерностями, после рассуждений, тождественных использованным при получении формулы (5.30), из формулы (16.57) получаем l w p =, d где = (1, 2,..., n ), (16.58) причем величины i i = d w представляют собой критерии подобия. Из формул (16.56) и (16.58) следу ет, что число критериев подобия равно числу реологических параметров жидкости.

Рассмотрим в качестве примера жидкость Бингама–Шведова. В этом случае формула (16.57) принимает вид p = (l, d,,,0,w), а выражение (16.58) – = (1, 2), (16.59) 328 ГЛАВА XVI где wd 1 =, 2 =. (16.60) w Для получения аналитического вида зависимости (16.59) рассмотрим формулу (16.47). С помощью равенства (16.20) ее можно представить в виде a4p 4 2l 0 1 2l Q = a2w = 1 - + (16.61) 8l 3 a p 3 a p или d2p 4 4l 0 1 4l w = 1 - +. (16.62) 32l 3 d p 3 d p Очевидно, что для получения соотношения вида (16.37) необходимо соотношение (16.62) разрешить относительно p. Положим 4l p = z (16.63) d и подставим это выражение в формулу (16.62). Тогда после элементарных преобразований получим 4 z4 - z3 + = 0, (16.64) 3 где 6 0d = 1 +, A =. (16.65) A w Используя стандартную методику решения уравнений четвертой сте пени, получаем выражение для корней уравнения (16.64) c 3b z1,2 = ± 1 - (16.66) 1 c(c - ), c - 3b z3,4 = - (16.67) 1 ± 1 - - )(c - 2), 3 (c где 3 2 4 3 2 b = + - 1 + - - 1 = 2 2 (16.68) 3 -4 3 - 3 = 1 + 1 - + 1 - 1 - =, c = + b +. (16.69) ЛАМИНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ Рассмотрим подкоренное выражение в формуле (16.67). В соответст вии с равенством (16.69) 3b = 2(c - ) - 2, то после элементарных преобразований имеем 3b c + 1 - = -.

(c - )(c - 2) c - Так как в соответствии с формулой (16.65) > 1, то из равенств (16.68) и (16.69) следует, что b и с величины вещественные, причем b > 0, c >.

Таким образом, 3b c + 1 - = - < 0, (c - )(c - 2) c - и корни z3,4 – комплексные.

Перейдем к рассмотрению корней z1,2. Непосредственной проверкой, используя равенство (16.68), можно убедиться, что b3 - 3b - 2 = 0, и из формулы (16.69) имеем b = +. (16.70) Подставив это выражение в формулу (16.66), получаем c z1,2 = ± 1 -. (16.71) 1 c 2b Из формул (16.68) и (16.69) следует, что при = 1 b = 2, c = 3 и db 3 2 4 3 2 = + - 1 - - - 1, d 3 - db откуда > 0 при > 1. Таким образом, функции b() и c() монотон d но возрастают с ростом и < 1.

c 2b Итак, корни z1,2 – вещественные. Для их дальнейшего анализа пере пишем, используя формулы (16.63), (16.65), (16.68) и (16.70), соотноше ние (16.71) в виде pd 1 6w 1 + - = + 1 ± 1 c 2b. (16.72) 4l 3 d 330 ГЛАВА XVI Переходя в равенстве (16.72) к пределу при 0 0, получим pd w = 4 (1 ± 1).

4l d Из выражения (16.61) видно, что этот предельный переход должен привести к формуле Пуазейля. Следовательно, в формулах (16.71) и (16.72) необходимо выбрать знак «+» и окончательно c z = + 1 -, 1 c 2b или, с учетом равенства (16.63), 4 l p = 0c + 1 -. (16.73) 1 c 2b 3 d Как следует из формул (16.65), (16.68) и (16.69), b = b(A), c = c(A).

Сравнивая выражение (16.73) с формулой Дарси–Вейсбаха, получаем = B(A), где B = – безразмерный параметр, w (A) = c + 1 - 1 c 2b.

Таким образом, коэффициент гидравлического сопротивления при течении жидкости Бингама–Шведова есть функция двух независимых критериев подобия А и В, причем В совпадает с 2 в формуле (16.60), а A = 12.

Численные значения функции (A) приведены в таблице. Можно по 1 w казать, что при = 0,1 функция (A) может быть аппроксимиро A 0d вана с погрешностью менее 2% выражением (A) = 41 +.

A ЛАМИНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ Таблица 1/А (A) 1/А (A) 1/А (A) 1/А (A) 0,0000 3,00 0,0060 3,53 0,0250 4,25 0,0700 5, 0,0005 3,14 0,0080 3,63 0,0300 4,40 0,0800 5, 0,0010 3,20 0,0100 3,71 0,0350 4,55 0,1000 6, 0,0020 3,29 0,0120 3,79 0,0400 4.70 0,1500 7, 0,0030 3,36 0,0140 3,87 0,0450 4,84 0,2000 8, 0,0040 3,42 0,0160 3,94 0,0500 4,98 0,2500 9, 0,0050 3,48 0,0200 4,08 0,0600 5,25 0,3000 11, В качестве следующего примера рассмотрим степенную жидкость. Для такой жидкости формула (16.54) принимает вид p = (l, d,,k,n,w).

Приняв в качестве параметров с независимыми размерностями вели чины d,,w, используя -теорему и учитывая, что в соответствии с фор мулой (16.17) [k] = MTn-2L-1, получаем dnw2-n l p = fn, w2, k d откуда dnw2-n = 2fn,.

k Безразмерными критериями подобия являются величины dnw2-n n, = Re, k где Re – аналог числа Рейнольдса для линейно-вязкой жидкости. Для вы яснения вида зависимости (n, Re ) рассмотрим выражение (16.51) или n+1 n n d p n.

w = (16.74) 3n + 1 2 2kl Разрешив соотношение (16.74) относительно p, получим n n+ 3n + 1 p = 2klwn.

n d 332 ГЛАВА XVI Сравнивая это выражение с формулой Дарси–Вейсбаха, получаем n 3n + 1 k = 2n+3.

n w2-nd §8. Дополнительные замечания к расчету течения неньютоновских жидкостей по трубам Основными соотношениями, описывающими установившееся движе ние вязкой жидкости по трубам являются:

уравнение неразрывности Q = wS = const, (16.75) уравнение Бернулли 2 p1 w1 p2 w z1 + + 1 = z2 + + 2 + h1-2, (16.76) g 2g g 2g формулы Дарси–Вейсбаха и Вейсбаха l w2 w h =, hm =. (16.77) d 2g 2g Так как уравнение неразрывности не содержит вязкостных характерис тик жидкости, то оно имеет одинаковый вид как для линейно-вязкой, так и для любой неньютоновской жидкости. Уравнение Бернулли, представ ляющее собой закон сохранения механической энергии, также, очевидно, сохраняет свой вид, однако коэффициенты Кориолиса и величины по терь h1-2 будут иными, чем в случае линейно-вязкой жидкости. Действи тельно, значение величины определяется законом распределения скорос тей по сечению трубы, а величина потерь h1-2 зависит от вязкостных ха рактеристик среды. Формулы Дарси–Вейсбаха и Вейсбаха получены из общих соображений теории размерностей. Поэтому их структура сохраняет ся и для неньютоновских жидкостей, однако зависимости коэффициента гидравлического сопротивления и коэффициента местных сопротивле ний от критериев подобия будут иметь свой вид для каждого типа неньютоновской жидкости. Из изложенного следует, что все схемы расче та трубопроводов, опирающиеся на соотношения (16.75) – (16.77), с уче том приведенных выше оговорок могут быть использованы для расчета течения неньютоновских вязких жидкостей.

Глава XVII ДВУХФАЗНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ С течением двухфазных (многофазных) сред в трубах приходится сталкиваться почти во всех отраслях нефтегазового производства. При бу рении скважин – это течение аэрированных промывочных и тампонажных жидкостей и вынос шлама. При эксплуатации нефтяных и газовых место рождений – эрлифтная добыча нефти, течение газоконденсатных, водо нефтяных и газоводонефтяных смесей в стволе скважины. В сборных сетях месторождений также могут иметь место многофазные течения. Этот спи сок может быть существенно продолжен.

Под фазой подразумевается отдельная часть однородной системы, ог раниченная поверхностью раздела. Так, смесь нефти и воды представляет собой двухфазную систему жидкость-жидкость. Смесь газа и конденсата, или газа и нефти – двухфазная система газ–жидкость. Смесь воды, нефти и газа – трехфазная система.

Фаза может состоять из одного вещества, например, воды. Такая фаза называется однокомпонентной. Если фаза состоит из нескольких химиче ских веществ, например, смеси углеводородных газов, то она называется многокомпонентной.

Истинные растворы (соли в воде, смеси газов и т.д.) представляют со бой однофазные многокомпонентные системы.

При описании движения многофазных сред обычно вводятся следую щие предположения.

1. Размеры включений или неоднородностей в смеси (отдельных час тей неоднородной системы) много больше расстояний между молекулами, длин свободного пробега молекул и т.д. Иначе говоря, размеры включений таковы, что к каждой отдельной части неоднородной системы приложимы методы механики сплошной среды.

2. Размеры указанных включений много меньше расстояний, на кото рых макроскопические параметры смеси или фаз меняются существенным образом, то есть эти размеры много меньше характерных размеров рас сматриваемой системы.

Указанные ограничения позволяют использовать для описания дви жения многофазных сред модель многоскоростного континуума. Много 334 ГЛАВА XVII скоростной континуум представляет собой совокупность N континуумов, каждый из которых относится к своей составляющей (фазе или компонен те) и заполняет один и тот же объем, занятый смесью. Таким образом, в каждой точке многоскоростного континуума имеется N плотностей, N скоростей и т.д.

§1. Уравнения законов сохранения Исходя из общих принципов, использованных в главе II для получе ния уравнений законов сохранения для однофазной среды, и модели мно госкоростного континуума, можно выписать уравнения законов сохране ния массы, изменения количества движения и энергии для каждой состав ляющей смеси.

В интегральном представлении эти законы имеют вид:

закон сохранения массы N (i i )dV + i ivindS = Jji dV, i = 1,2,..., N ;

(17.1) t j = V S V закон изменения количества движения N (iivi ) dV + iivivindS = iiFidV + pnidS + PjidV, (17.2) t j= VS V V S i = 1, 2,...,N;

закон сохранения энергии (i iEi ) dV + i iEivindS = i iFividV + pnivi dS + t V S V S N + Eji dV - qi(n)dS, i = 1,2,..., N, (17.3) j = V S vi Ei = ui +.

В уравнениях (17.1) – (17.3) i – номер фазы (компоненты), i 0 – доля объема смеси, занимаемая фазой в данной точке, остальные обозна чения имеют тот же смысл, что в гл. II. При этом, очевидно, N i = 1. (17.4) i= ДВУХФАЗНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ Величина Jji представляет собой (благодаря возможности фазовых превращений) интенсивность перехода массы из j -й в i-ю составляющую в единице объема смеси и в единицу времени.

Pji – интенсивность обмена импульсами между j -й и i-й составляю щими смеси. Eji – интенсивность обмена энергией между j -й и i-й состав ляющими смеси.

Из законов сохранения следует, что Jji = -Jij, Jii 0;

Pji = -Pij, Pii 0;

Eji = -Eij, Eii 0. (17.5) Заметим особо, что i – номер фазы, поэтому суммирование по индексу i не производится.

Суммируя по i уравнения (17.1)–(17.3), с учетом соотношений (17.5) получаем N N ii dV + iivin dS = 0, (17.6) t i=1 i= V S N N N N iivi dV + iivivin dS = iiFi dV + pni dS, (17.7) t i=1 i=1 i=1 i= V S V S NN N iiEdV + iiEvindS = iiFivdV + i i i t i=1 i=1 i= VSV (17.8) NN + pnividS - qi(n)dS.

i=1 i= SS Плотность m смеси определяется как N m = ii, (17.9) i= а среднемассовая скорость – из соотношения N v = iivi. (17.10) m i= §2. Уравнения движения двухфазной смеси в трубах Для вывода уравнений движения двухфазной смеси в трубах введем следующие допущения:

336 ГЛАВА XVII а) движение установившееся;

б) давление и температура в обоих фазах одинаковы и постоянны по сечению трубы;

в) относительным движением компонент внутри фазы можно пренеб речь;

г) в каждом сечении выполняются условия локального термодинами ческого равновесия для объема смеси, проходящего через сечение в единицу времени;

д) из массовых сил действует только сила тяжести.

В этих предположениях уравнения (17.6) – (17.8) с учетом равенств (17.9) и (17.10) принимают вид N iivin dS = 0, (17.11) i= S N N iivivin dS = g dV + pni dS, (17.12) i=1 i= S V S N N N iiEivin dS = mvg dV + pnivi dS - qi(n) dS. (17.13) i=1 i=1 i= S V S S Рассмотрим в качестве поверхности S участок трубы, наклоненный к вертикали под углом и ограниченный сечениями S1, S2 и боковой по верхностью S3 (рис. 17.1). Для общности вывода будем считать, что по верхность S3 проницаема и через нее в трубу поступает непрерывно рас пределенная газожидкостная смесь. В сечениях S1, S2 и S3 в соответствии с рис. 17.1 имеем:

на S1 vi = -nvi, n = -e3, n1 = n2 = 0, n3 = -1, i = 1, 2 ;

на S2 vi = nvi, n = e3, n1 = n2 = 0, n3 = 1, i = 1, 2 ;

(17.14) на S3 vi = -nvi, n = e1n1 + e2n2, n3 = 0, i = 3, 4.

Здесь и далее индексы «3», «4» относятся, соответственно, к газовой и жидкой фазам смеси, поступающей в трубу через поверхность S3, em – орты координатных осей, nm = n em – косинусы углов между коорди натными осями и нормалью.

Подставив соотношения (17.14) в уравнение (17.11), получим 11v1 + 22v2)dS - 11v1 + 22v2)dS = 33v3 + 44v4)dS. (17.15) ( ( ( S2 S1 S ДВУХФАЗНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ Рис. 17. Для преобразования уравнения (17.12) рассмотрим тензор поверхност ных напряжений. Примем, что pikl = -i pkl + ikl, ikl = ilk, ikk = 0. (17.16) С учетом равенства (1.31) из формул (17.16) имеем pni = -i pn + ni, ni = emikmnk, (17.17) где ikm – компоненты тензора добавочных напряжений, приложенных к i-й фазе.

Так как по принятому выше условию давление в фазах одинаково, то из соотношений (17.17) с учетом равенства (17.4) имеем N km pn = pni = - pn + n, n = em nk, i= (17.18) N km km mk kk = ikm, =, = 0.

i= В формулах (17.18) подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу.

Из формул (17.14) и (17.18) имеем:

31 на S1 pn = e3 p - e1 - e2 ;

31 на S2 pn = -e3 p + e1 + e2 ;

(17.19) 21 на S3 pn = -(e1n1 + e2n2) p + e1 n2 + e212n1 + e3(13n1 + n2).

338 ГЛАВА XVII Спроектировав уравнение (17.12) на ось трубы Oz, с учетом соотно шений (17.14) и (17.19) получим 2 2 2 11v1 + 22v2)dS - 11v1 + 22v2)dS = ( ( S2 S (17.20) = mge3 dV + p dS - p dS + dS, V S1 S2 S где = 13n1 + n – проекция добавочных напряжений на ось Oz.

Для преобразования уравнения (17.13) рассмотрим выражения ви да pni vi. Из формул (17.14) и (17.17) имеем:

на S1 pni vi = i pvi, i = 1, 2 ;

на S2 pni vi = -i pvi, i = 1, 2 ;

(17.21) 12 2 на S3 pni vi = i pvi - 2n1n2i vi, n1 + n2 = 1, i = 3, 4.

Подставив соотношения (17.14) и (17.21) в уравнение (17.13) и счи тая, что притоком тепла через сечения S1, S2 можно пренебречь, получа ем 11E1v1 + 22E2v2)dS - 11E1v1 + 22E2v2)dS ( ( S2 S - 33E3v3 + 44E4v4)dS = mvg dV + p(1v1 + 2v2)dS ( S3 V S (17.22) - p(1v1 + 2v2)dS + 3v3 + 4v4)p - 2n1n2(3 v3 + 12v4)]dS [( S2 S N - qi(n)dS.

S3 i= Уравнения (17.15), (17.20), (17.22) содержат интегралы вида f1dS, f1dS, f2dS, f3dV.

S1 S2 S3 V ДВУХФАЗНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ Устремляя к нулю расстояние между сечениями S1 = S(z) и S = = S z + dz, получим ( ) d lim f1dS - f1dS = f1dS dz, dz S S S (17.23) lim f2dS = f2d dz, lim f3dV = f3dS dz, S3 V S где – смоченный периметр сечения трубы S.

Переходя в уравнениях (17.15), (17.20), (17.22) к пределу при dz 0, с учетом соотношений (17.23) имеем d 11v1 + 22v2)dS = 33v3 + 44v4)d, (17.24) ( ( dz S d d 2 11v1 + 22v2)dS = mge3dS - p dS + d, (17.25) ( dz dz S S S d 11E1v1 + 22E2v2)dS - 33E3v3 + 44E4v4)d = ( ( dz S d = mvg dS - 1v1 + 2v2)p dS + 3v3 + 4v4)p d - (17.26) ( ( dz S S - 2 3 v3 + 12v4)n1n2 d - q(n) d, ( где* N q(n) = q1(n).

i= Рассмотрим интегралы, входящие в уравнения (17.24)–(17.26). Оче видно, что iivi dS = Gi, i = 1, 2, iivi d = Ji, i = 3, 4, (17.27) S где Gi – массовый расход i -й фазы, Ji – массовый приток i -й фазы через поверхность S3, рассчитанный на единицу длины.

* При вычислении q(n)d и d считается, что – периметр сечения трубы.

340 ГЛАВА XVII Далее iivi2dS = vi iividS = viGi, i = 1, 2, (17.28) S S где vi – некоторое среднее значение скорости vi.

Из допущения б) следует, что давление, плотность и внутренняя энер гия фазы распределены равномерно по сечению трубы. Поэтому с учетом равенств (17.9) и (17.27) получим mge3dS = gzmS, mS = 1 1dS + 2 2dS, p dS = pS, (17.29) S S S S vi ui vi2ср iiEividS = iiui + vidS = + Gi, i = 1, 2, (17.30) 2 S S p p ivi p dS = iivi dS = Gi, i = 1, 2, (17.31) i i S S где gz – проекция ускорения силы тяжести на ось трубы, vi ср – некоторое отличное от vi осредненное значение скорости vi.

В соответствии с формулами (17.10) и (17.27) имеем mvg dS = ge3 11v1 + 22v2)dS = gz(G1 + G2). (17.32) ( S S Приток через поверхность S3 будем считать осесимметричным. Тогда с учетом равенства (17.27) получим vi iiEivi d = Ei iivi d = + Ji, i = 3, 4, (17.33) ui p p p ii p d = iivi d = iivi d = Ji, i = 3, 4, (17.34) i i i 12 12 i vin1n2d =i vi n1n2d =i vi sin cos Rd = 0, i = 3,4, (17.35) где R – радиус трубы, – угол между нормалью n к поверхности S3 и ор том e1 (рис. 17.2).

ДВУХФАЗНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ Очевидно также, что (n) d =, q(n) d = qср, (17.36) ср (n) где, qср – средние по периметру значения ср и q(n).

Часть площади сечения трубы S, занятую i-й фазой, обозначим через Si. Тогда Рис. 17. Si = i dS, i = 1, 2, (17.37) S и массовый расход Gi можно представить в виде Gi = iivi dS = iwi i dS = iwiSi = iQi, i = 1, 2, (17.38) S S где wi, Qi – средние по сечению скорость и объемный расход i-й фазы.

Будем считать, что скорость фазы мало меняется по сечению трубы, поэтому можно принять vi2 = vi2ср = wi2, i = 1, 2. (17.39) В соответствии с условием б) давление и температура постоянны по сечению трубы. Поэтому 1 = 3 = g, 2 = 4 = l, u1 = u3 = ug, u2 = u4 = ul, (17.40) где индекс «g» относится к газовой фазе, индекс «l» – к жидкой. Кроме то го, обозначим G1 = Gg, G2 = Gl, J4 = Jl, w1 = wg, w2 = wl. (17.41) Из формулы (17.37) имеем S1 = Sg = 1dS = S. (17.42) S Величина называется истинным газосодержанием.

Так как в соответствии с формулой (17.4) 2 = 1 - 1, то S2 = Sl 2dS = (1 - )S. (17.43) S На основании формул (17.38) и (17.40) – (17.43) средние скорости фаз можно представить в виде Gg Gl wg =, wl =. (17.44) gS (1 - )lS 342 ГЛАВА XVII Из формул (17.29), (17.40), (17.42) и (17.43) следует, что m = g + (1 - )l. (17.45) Касательное напряжение на стенке трубы задается в виде* Gg m 2 m 2 Gl ср = - [gwg + (1 - )lwl2]= - +, (17.46) ( 8 8S2 g - )l а приток тепла (n) qср = k(T - Tн), (17.47) где m – коэффициент гидравлического сопротивления смеси, k – коэффи циент теплопередачи через стенку трубы, T – температура смеси в трубе, Tн – наружная температура. Подставив интегралы (17.27) – (17.36) и соотноше ния (17.46), (17.47) в уравнения (17.24) – (17.26), учитывая выражения (17.39) – (17.41), (17.45), после элементарных преобразований получаем dGm = Jm, dz Gg Gg dp 1 d Gl2 m 2 Gl = mgz - + - +, dz S2 g - )l g (1 - )l, (17.48) dz (1 8S 2 wg d wl2 v3 v hg + Gg + + Gl = + + + + hl 2 hg 2 Jg hl Jl dz 2 + gzGm - k(T - Tн), где Gm = Gg + Gl, Jm = Jg + Jl – суммарные массовые расход и приток, p p hg = ug +, hl = ul + (17.49) g l – энтальпии газовой и жидкой фаз.

Наряду с истинным газосодержанием, равным в соответствии с фор мулой (17.42) Sg Sl = =, (17.50) S S * Вид формулы (17.46) определяется тем, что такое соотношение обычно используется при эксперимен тальном определении.

m ДВУХФАЗНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ в теории двухфазных течений по трубам используется расходное газосо держание, равное, по определению, Qg =, (17.51) Qg + Ql где Qg, Ql – объемные расходы газовой и жидкой фаз. На основании фор мул (17.44) имеем Gg Gl Qg = = wgS, Ql = = (1 - )wlS. (17.52) g l Из формул (17.51) и (17.52) следует, что wg 1 - 1 - =.

wl Подставив в равенство (17.51) выражения (17.52), получаем - Gg Gg Gl = +.

g g l Так как через боковую поверхность S3 поступает такой же состав смеси, что течет по трубе, то из условия локального термодинамического равновесия г) следует, что -1 - Jg Jg Gg Gg Jl Gl + = = +. (17.53) g g l g g l Учитывая, что Gm = Gg + Gl, Jm = Jg + Jl, из формулы (17.53) по сле элементарных преобразований имеем gGm (1 - )lGm Gg =, Gl =, g + (1 - )l g + (1 - )l (17.54) gJm (1 - )lJm Jg =, Jl =, g + (1 - )l g + (1 - )l а из формул (17.44) и (17.54) – Gm (1 - )Gm wg = S[g + (1 - )l], wl = S(1 - )[g + (1 - )l]. (17.55) Плотности газовой и жидкой фаз определяются с помощью уравнений состояния g = g(p,T), l = l(p,T). (17.56) 344 ГЛАВА XVII Истинное газосодержание и коэффициент гидравлического сопротивления m находятся из эмпирических соотношений. Примем, что = (, Rem, Frm, Wem,, µ ), (17.57) m = m(, Rem, Frm, Wem,, µ,), (17.58) где Rem,Frm, Wem – числа Рейнольдса, Фруда и Вебера смеси, вычисляе мые по формулам gwg + (1 - )lwl Rem = D, µg + (1 - )µl [wg + (1 - )wl] Frm =, gD l - g Wem = 2D[wg + (1 - )wl].

Выше принятые обозначения: отношение плотностей фаз = g l, µg, µl – динамические коэффициенты вязкости газовой и жидкой фаз, при веденная вязкость жидкой фазы µ = µl µв, µв – вязкость воды, – коэф фициент поверхностного натяжения, D – диаметр трубы, – относитель ная шероховатость стенок трубы.

Для определения притока Jm необходимо задать соотношение вида Jm = Jm(p, pн), (17.59) где pн – наружное давление.

Система из 15 уравнений (17.45), (17.48), (17.54) – (17.59), в дальнейшем именуемая системой А, содержит 23 неизвестных: Gm, Gm,Gg,Gl, Jm, Jg, Jl, p,T, m, g, l,wg,wl,v3, v4, m,,,hg,hl, µg, µl,.

Величины hg,hl,, µg, µl, могут быть вычислены как функции р, Т и состава двухфазной смеси с помощью соответствующих термодинамичес ких расчетов. Квадраты скоростей v3 и v4 обычно много меньше соответ ствующих энтальпий и ими можно пренебречь. Поэтому система А являет ся замкнутой и содержит 15 уравнений с 15 неизвестными.

С помощью соотношений (17.45), (17.54)–(17.59) 12 неизвестных Gg,Gl, Jm, Jg, Jl, m, g, l,wg,wl, m,, входящих как явным, так и не явным образом в уравнения (17.48), могут быть исключены из этих урав ДВУХФАЗНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ нений. Следовательно, система А может быть сведена к системе уравнений (17.48), содержащей в качестве неизвестных величины p,T,Gm.

§3. Преобразование уравнений движения двухфазной смеси в трубах Для преобразования системы уравнений (17.48) введем функции G G, g lm = +, = g - = D, S = D 12 m z S 2D ( ) gl 1- w w g l = + + +, = h J + hJ, (17.60) h 2 G 3 g g l l 4 g g l l h 2 G = gG -Dk T -T.

( ) 5 z m н На основании равенств (17.54) – (17.57) формулы (17.60) можно пред ставить в виде (1 - )2g + (1 - ) l 1 = Gm1(p,T,Gm), 1 =, S2[g + (1 - )l](17.61) wg 1 wl2.

3=Gm3(p,T,Gm), 3= ghg+ + (1-)lhl+ g+(1-)l 2 Подставив формулы (17.60) и (17.61) в уравнения (17.48), имеем 2 (v3 << hg, v4 << hl) dp d1 d = 2 - = 2 - (Gm1), dz dz dz d3 d = (Gm3) = 4 + 5, dz dz dGm откуда после дифференцирования и подстановки = Jm получаем dz 1 dp 1 dT 2 1 + Gm + Gm = 2 - GmJm21 + Gm, p dz T dz Gm (17.62) 3 dp 3 dT Gm + Gm = 4 + 5 - Jm3 + Gm.

p dz T dz Gm 346 ГЛАВА XVII dp dT Решая систему уравнений (17.62) относительно, и учитывая dz dz первое уравнение (17.48), имеем окончательно dGm = Jm, dz dp 1 - GmJm21 + Gm 1 = dz Gm T 3 - + 5 - Jm 3 + Gm Gm (17.63), Gm T dT 1 + 5 - Jm3 + Gm 1 + Gm 3 = dz Gm Gm p 1 - - GmJm21 + Gm Gm, Gm p где 1 3 2 1 = 1 + Gm - Gm. (17.64) p T T p В рамках принятых допущений уравнения (17.63) описывают течение двухфазных смесей по перфорированным трубам. Угол наклона трубы учитывается в этих уравнениях величиной gz и видом зависимостей (17.57) и (17.58). Если стенка трубы непроницаема, то Jm = 0, и система уравнений (17.63) существенно упрощается. При Gl = Jl = 0 уравнения (17.63) описывают однофазное движение жидкости, а при Gg = Jg = 0 – однофазное движение газа.

§4. Режимы течения Как уже указывалось, отличительной особенностью двухфазных (мно гофазных) течений является наличие межфазовых границ раздела. Эти границы могут иметь самую разнообразную форму. Степень дисперсности фазы также может быть весьма различной. Поэтому для классификации двухфазных потоков «газ-жидкость» вводится понятие режимов течения.

При экспериментальном исследовании таких потоков было обнаружено множество режимов, для которых были предложены различные названия и классификации. Наиболее широкое распространение для вертикальных потоков получила следующая классификация.

ДВУХФАЗНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ Пузырьковое течение. Пузырьки газа более или менее равномерно распределены в жидкости (рис. 17.3, 1).

Снарядное течение. При высокой концентрации пузырьков происхо дит их слияние, диаметр пузырьков приближается к диаметру канала, а са ми пузырьки приобретают снарядообразную форму (рис. 17.3, 2).

Вспененное течение. С ростом скорости течения газовой фазы снаряд ное течение становится неустойчивым. На стенках канала образуется жид кая пленка, а газожидкостное ядро представляет собой пену (рис. 17.3, 3).

Кольцевой режим. Жидкость течет по стенке трубы в виде непрерыв ной пленки, а газовая фаза движется в центре. Обычно газовое ядро содер жит некоторое количество капель жидкости (рис. 17.3, 4).

Клочковато-кольцевой режим. Газовый поток несет с собой капли жид кости (рис. 17.3, 5).

Рис. 17. Рис.17. Несколько иная классификация используется для горизонтальных по токов.

Пузырьковое течение. Пузырьки газа движутся у верхней образующей трубы (рис. 17.4, 1).

Пробковое течение. У верхней образующей трубы движутся газовые пузыри снарядообразной формы (рис. 17.4, 2).

348 ГЛАВА XVII Расслоенное течение. Имеет место гравитационное расслоение потока.

По дну канала движется жидкость, а над ней – газ (рис. 17.4, 3).

Волновое течение. С ростом скорости течения газа на свободной по верхности жидкости образуются волны (рис. 17.4, 4).

Снарядное течение. Волны на поверхности жидкости становятся на столько велики, что достигают верхней образующей трубы. Газовая фаза движется у верхней образующей в виде отдельных включений (рис. 17.4, 5).

Кольцевое течение. Наблюдается при больших расходах газа. Некото рое количество жидкости в виде отдельных капель движется в газовой фа зе (рис. 17.4, 6).

Вид зависимостей (17.57), (17.58), то есть истинное газосодержание и коэффициент гидравлического сопротивления m, существенно зависит от режима течения.

§5. Свободный дебит газоконденсатной скважины Для глушения аварийного фонтана необходимо знать свободный (ава рийный) дебит скважины. При этом весьма важной представляется воз можность прогнозирования аварийных дебитов на конкретном месторож дении. Наличие таких прогнозных расчетов позволяет заранее разработать технологические мероприятия для глушения аварийных фонтанов в случае их возникновения. Прогнозный расчет дебита фонтанирующей газокон денсатной скважины может быть выполнен с помощью системы уравнений (17.63).

Примем, что вскрытая толщина пласта много меньше глубины сква жины, поэтому приток можно считать сосредоточенным. Тогда Jm = 0, и уравнения (17.63) для вертикальной скважины принимают вид Gm = const, 3 dp = 2 - 5Gm, (17.65) dz T T dT 1 1 = 1 + Gm - 2Gm, dz Gm p p где определяется по формуле (17.64).

Для учета взаимодействия скважины и пласта вместо соотноше ния (17.59) используем двучленное уравнение притока флюида к скважине в виде 2 2 pпл - p3 = AQm + BQm, (17.66) ДВУХФАЗНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ где pпл – пластовое давление, pз – давление на забое скважины, А и В – коэффициенты фильтрационного сопротивления, определяемые по данным исследования газоконденсатных скважин, Qm – суммарный объемный рас ход, приведенный к стандартным условиям.

Система уравнений (17.65) совместно с соотношениями (17.45) и (17.54) – (17.58) позволяет рассчитывать распределения давления, темпе ратуры и других характерных параметров течения по стволу скважины при эксплуатационных режимах, то есть в случаях, когда величина массового расхода Gm известна. Так как эта система содержит два дифференциаль ных уравнения первого порядка, то для ее решения необходимо задать два краевых условия. Этими условиями могут быть давление и температура на забое, то есть p(0) = pз, T(0) = Tз, либо давление и температура на устье – p(H) = pу, T(H) = Tу, где H – глубина скважины. Могут быть также за даны условия вида p(0) = pз, T(H) = Tу или p(H) = pу, T(0) = Tз.

В случае аварийного фонтанирования величина Gm неизвестна, и к со отношениям (17.45), (17.54)–(17.58) и уравнениям (17.65) необходимо до бавить соотношение (17.66), выражающее связь между пластом и скважи ной.

Аварийный режим истечения может быть как критическим (скорость потока на устье скважины равна местной скорости звука), так и докритичес ким. Это зависит от суммарного сопротивления пласта и скважины.

При докритическом истечении давление на устье равно атмосферно му, то есть pу = pат. Кроме того, необходимо задать либо Tу, либо Tз.

При критическом истечении на устье возникает разрыв давления dp и температуры. Математически это означает, что при z H dz dT и. Из уравнений (17.63) и формулы (17.64) следует, что для этого dz необходимо, чтобы было 1 3 2 1 = 1 + Gm - Gm = 0 при z = H. (17.67) p T T T Кроме условия (17.67), необходимо задать T(0) = Ty.

Дебит, определяемый выполнением условия (17.67), называется кри тическим.

При различных режимах течения двухфазной смеси эмпирические соотношения (17.57) и (17.58) имеют различный вид.

Для расчета истинного газосодержания и коэффициента гидравли ческого сопротивления m можно использовать результаты эксперимен 350 ГЛАВА XVII тальных исследований ВНИИГаза. В соответствии с этими исследования ми в зависимости от среднеобъемной скорости движения смеси wm, рав ной Qg + Ql wm = = wg + (1 - )wl, S выделяются четыре режима движения смеси: 1 – пузырьковый и снаряд ный (wm < wa), 2 – кольцевой (wa wm < wr), 3 – дисперсно-кольцевой (wr wm < wcr ), 4 – дисперсный (wcr < wm). Значения wa и wcp вычис ляются по формулам 0,86 exp[9(1 - )]wr wa = 3,3(1 + 0,0027(µ - 1)), 0, l g wr = 3,3.

g l - g Величина wcr принимается равной 5 м/с. Истинное газосодержание для ука занных режимов рассчитывается по следующим зависимостям:

Af1(Frm) при wm < wa, Af + f2( при wa wm < wr, (Frm) ) = (Frm) ) Af - f3( при wr wm < wcr, при wcr wm, где A = 0,5 + 0,3 exp[0,067 (1 - µ )], f1(Frm) = 1 - exp(- 4,4 Frm Fr*), * - A)(wm - wa) ( f2( ) = - 2(1 - ) exp(- 7,5 1 - ), * wr - wa f3( ) = (1 + A - 2 )exp(- 7,5 1 - ), 0, 0,86 l g * wa =, 1 + 0,00275(µ - 1) g l - g Fr* = 4[1 - exp(0,1µ )]- 3[1 - exp(1 - 0,05µ )].

Коэффициент гидравлического сопротивления m находится по фор муле m = (Rem,), ДВУХФАЗНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБАХ где (Rem,) – коэффициент гидравлического сопротивления, рассчитан ный для однофазного потока, – поправочный коэффициент на двухфаз ность, определяемый соотношениями f4( ) при wm < wa, E = [f4( ) - f5( )] при wa wm < wcr, при wcr wm, где E = 1 + 0,03µ, 1 - 0,78f1(Frm) - 0,22[1 - exp(- 15)], f4( ) = 1 - + 0,03 exp[- 1350(1 - ) ] 0, l - g f5( ) = wm.

g Плотности фаз g, l рассчитываются по уравнениям состояния, на пример, уравнению Пенга–Робинсона. Энтальпии, вязкости фаз, расходное газосодержание, поверхностное натяжение, то есть величины hg,hl, µg, µl,,, вычисляются с помощью соответствующих термодинамических соотношений.

Рис. 17.5 Рис. 17. Для расчета вязкости газовой фазы использовались корреляции Дина и Стила. Вязкость жидкой фазы находилась с помощью метода Литтл и Кеннеди. Идеально-газовые энтальпии для чистых компонент определя 352 ГЛАВА XVII лись с помощью корреляций Пассата и Даннера, а для фракций – Кесслера и Ли. Приращение энтальпии в зависимости от p и T находилось с помо щью известных методов. Для расчета коэффициента межфазного натяже ния использовалась корреляция Маклеода–Сагдена. Типичные кривые распределения давления и температуры по стволу скважины при критичес ком истечении представлены на рис. 17.5, 17.6.

Часть III НЕФТЕГАЗОВАЯ ПОДЗЕМНАЯ ГИДРОМЕХАНИКА Глава XVIII ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ.

ОПЫТ И ЗАКОН ДАРСИ §1. Особенности движения флюидов в природных пластах Нефть и природные газы заключены в недрах Земли. Их скопления связаны с вмещающими горными породами – пористыми и проницаемыми образованиями, имеющими непроницаемые кровлю и подошву. Горные по роды, которые могут служить вместилищами нефти и газа и отдавать их при разработке, называются коллекторами. В свою очередь, коллекторы называ ют пористыми или трещиноватыми в зависимости от геометрии пустот.

Природные жидкости: нефть, газ, подземные воды и их смеси – нахо дятся в пустотах, т.е. порах и трещинах коллекторов. Часто находящиеся в пустотном пространстве коллектора природные жидкости, газы и их сме си обозначают общим термином «флюид», подразумевая под этим любой из компонентов. Флюид, находящийся в коллекторе, может пребывать в со стоянии покоя или двигаться. Движение флюидов через твердые (дефор мируемые или недеформируемые) тела по связанным между собой порам и/или трещинам называется фильтрацией. Фильтрация может быть обу словлена воздействием различных сил: градиентами давления, концентра ции, температуры, а также гравитационными, капиллярными, электромо лекулярными и другими силами. Например, движение (фильтрация) рас плавленного воска в фитиле свечи, или керосина в фитиле керосиновой лам пы, обусловлено капиллярными силами. Однако в дальнейшем будут рас смотрены течения, вызываемые действием градиента давления и/или силы тяжести.

Теория фильтрации получила большое развитие в связи с потребнос тями гидротехники, гидромелиорации, гидрогеологии, горного и нефтега 354 ГЛАВА XVIII зового дела, химической технологии, аэрокосмической техники и т.п.

В нефтегазовом деле теория фильтрации является теоретической основой разработки месторождений углеводородного сырья и в силу своей специ фики носит название «подземная гидромеханика». Подземная гидромеха ника является специальным разделом гидромеханики, в котором рассмат ривается равновесие и/или движение флюидов в специфической области – в твердом скелете, сложенном из частиц (сцементированных или несце ментированных) разнообразной формы и различных размеров. Таким обра зом, нефтегазовая подземная гидромеханика изучает законы равновесия и движения флюидов в нефтегазоносных пластах применительно к техно логическим процессам их извлечения из недр.

Характерные особенности движения флюидов в природных пластах обусловлены как спецификой строения коллекторов, так и методами раз работки месторождений углеводородного сырья.

Поровое пространство осадочных гор ных пород – сложная система сообщающихся и не сообщающихся межзернистых пустот, в которой трудно выделить отдельные поро вые каналы (рис. 18.1). Размеры пор в песча ных породах составляют обычно единицы или десятки микрометров (мкм).

Так как движение флюидов в пласте происходит с очень малыми скоростями, по рядка микрометров в секунду (в гидромеха нике движения со столь малыми скоростями Рис. 18.1. Шлиф нефтяного называются ползущими), и при наличии теп песчаника лоотводящих поверхностей большого разме- ра, процесс фильтрации с высокой степенью точности в большинстве слу чаев можно считать изотермическим. В то же время при фильтрации в гор ных породах возникает значительная сила трения. При движении флюидов в пустотном пространстве коллектора соприкосновение между твердым скелетом и жидкостью происходит по огромной поверхности. Например, в 1 м3 пористой среды (песчаника) площадь поверхности пустотного про странства может достигать порядка 104 м2. Поэтому основным свойством флюида, которое влияет на фильтрацию, является его вязкость. В связи с этим вязкость учитывается даже при фильтрации газа, а так как сила тре ния распределена по всему объему коллектора, то Н.Е.Жуковским было предложено при описании фильтрации силу трения считать массовой силой.

Строение нефтяных и газовых залежей осложняется значительной не однородностью и анизотропией свойств пород, слагающих продуктивный пласт коллектора, их слоистостью, наличием так называемых тектоничес ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ких и стратиграфических нарушений (разрывов сплошности горной поро ды). Разведка месторождений, исследование пластов, извлечение нефти и газа осуществляются через отдельные скважины диаметром 10–20 см и более, отстоящие друг от друга на сотни, а иногда и тысячи метров.

Кроме перечисленных особенностей фильтрации нефти и газа в при родных пластах, можно еще отметить следующее:

– невозможность изучать движение флюидов в пластах прямым при менением классических методов гидродинамики, т.е. решением уравнений движения вязкой жидкости для области, представляющей собой совокуп ность всех пор;

– сочетание значительно различающихся масштабов фильтрационных процессов, определяемых характерными размерами, отличающимися по величине на многие порядки: размер пор (единицы и десятки микромет ров), диаметр скважин (десятки сантиметров), протяженность месторожде ний (десятки километров);

масштаб неоднородности пластов вдоль и попе рек простирания может иметь практически любые значения;

– ограниченность и неточность сведений о строении и свойствах пла ста и пластовых флюидов, что часто не позволяет построить однозначную модель флюидонасыщенной пластовой залежи.

Перечисленные особенности нефтегазовой подземной гидромеханики приводят к формулировке основных модельных представлений и разработ ке методов, направленных прежде всего на установление качественных за кономерностей процессов и на создание расчетных схем, мало чувстви тельных к точности исходных данных. При этом познавательная и практи ческая ценность результатов в значительной степени определяется четко стью постановки расчетной задачи и глубиной предварительного анализа имеющихся данных.

§2. Исходные модельные представления подземной гидромеханики жидкости и газа Нефтегазовая подземная гидромеханика, как уже отмечалось, является специальным разделом гидромеханики. Это означает, что при определении физических величин, характеризующих процесс фильтрации, и написании законов сохранения будет использоваться гипотеза сплошности, согласно которой изучаемые объекты (например, движущийся флюид) считаются заполняющими всю область (пространство, в котором ставится и решается задача) непрерывно. Но под пористой средой понимается множество твер дых частиц, тесно прилегающих друг к другу, сцементированных или не сцементированных, пространство между которыми (поры, трещины) запол- 356 ГЛАВА XVIII нено жидкостью и/или газом. Таким образом, фильтрационное течение плас товых флюидов представляет собой совокупность множества отдельных микродвижений в неупорядоченной системе поровых каналов (рис. 18.2).

Следовательно, истинное фильтрационное течение не является «сплош ным», и при определении физических характеристик вводятся эффектив ные (фиктивные) величины, которые «размазываются» по всему объему непрерывным образом (рис. 18.3). Реальные скорости, давления и т.д., за меняются на эффективные, которые представлены на рисунке в виде рав номерной сетки из квадратов.

Рис 18.2. Схематическое представле- Рис. 18.3. Схематическое представле ние пористой среды. 1 – поровые ка- ние эффективного описания налы, 2 – твердый скелет Из статистической физики известно, что системы типа пористых сред могут быть описаны как сплошные среды, эффективные свойства которых выражаются не через свойства отдельных составляющих элементов, а яв ляются усредненными характеристиками достаточно больших объемов этих сред.

Переход к макроскопическому описанию процессов в подземной гид ромеханике означает, что все вводимые характеристики и параметры, ис пользуемые в постановке и решении задач, являются в общем случае функ циями точек пористой среды. Выделение курсивом данного термина свя зано с тем, что далее понятия пористой среды и точек пористой среды бу дут употребляться в модельном смысле, то есть в смысле математической модели и характеристики математической модели, используемой для опи сания физического процесса (в данном случае – фильтрации).

Понятия точки в математическом и физическом смыслах представля ются совершенно разными объектами. Если вырезать объем пористой сре ды и ввести систему координат, связанную с образцом, то каждому беско нечно малому элементу объема можно приписать упорядоченную тройку ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ чисел, которые и будут задавать «математическую точку» пористой среды.

Однако, объем «математической точки» настолько мал, что она всегда бу дет полностью находиться или в поре (тогда, например, скорость флюида отлична от нуля), или в твердом скелете (тогда скорость флюида будет равна нулю). Поэтому при вычислении физических модельных характерис тик в подземной гидромеханике используется «физическая точка». Под «физической точкой» подразумевается такой объем пористой среды, кото рый является достаточно большим для того, чтобы вводимая физическая характеристика не зависела от объема образца, но достаточно малым по сравнению со всей областью, в которой вводится эта характеристика. По следнее обстоятельство – малость объема образца по сравнению со всей рассматриваемой областью – позволяет говорить о том, что рассматривает ся физически бесконечно малый объем – «физическая точка». Объем по ристой среды, который можно принять за физическую точку, называется элементарным или представительным объемом. Все вводимые далее ха рактеристики будут определяться на элементарных объемах и для элемен тарных объемов. Рассмотренная ситуация с введением физических и мате риальных характеристик в подземной гидромеханике представляется обыч ной для всех моделей механики сплошных сред. Например, газ так же, как и жидкость, состоит из отдельных молекул и атомов. Поэтому при введе нии в гидромеханике и газовой динамике физических характеристик также рассматриваются физические точки, но величины элементарных объемов много меньше, чем в подземной гидромеханике. В самом деле, в кубике воздуха с ребром 10-3 мм при нормальных условиях содержится 27·106 мо лекул, и элементарный объем составляет доли миллиметра. В подземной гидромеханике вместо молекул, например, в песчанике, выступают пес чинки, и элементарный объем может составлять уже кубические сантимет ры, а для других типов коллекторов десятки кубических сантиметров и даже метров. Однако по сравнению с объемом залежи элементарный объем все равно очень мал. Подобное введение характеристик практически все гда возможно.

§3. Фильтрационно-емкостные свойства пористых сред.

Коэффициенты пористости и просветности. Удельная поверхность Понятно, что фильтрация определяется свойствами флюида и пустотно го пространства (типа грунта или коллектора), в котором она происходит.

Поэтому перейдем к определению емкостных и фильтрационных характерис тик пористой среды. Одной из важнейших характеристик пористой среды яв ляется пористость, которую в дальнейшем будем обозначать через m.

358 ГЛАВА XVIII Под пористостью однородного пустотного пространства понимают от ношение объема пустот Vп образца пористой среды ко всему объему об разца V :

Vп m =. (18.1) V Таким образом, определенная пористость постоянна для всех точек однородной пористой среды. В случае неоднородной пористой среды со отношение (18.1) определяет среднее значение пористости в образце. Зна чение пористости в физической точке М для неоднородной пористой сре ды будет определяться выражением Vп dVп. (18.2) m (M ) = lim = V V dV Следовательно, в общем случае пористость является скалярной функ цией точки (физической точки).

В физике нефтегазового пласта различают полную и эффективную пористость. При определении эффективной пористости учитываются лишь соединенные между собой поры, которые могут быть заполнены жидкос тью извне. При изучении процессов фильтрации важна именно эффектив ная пористость. Поэтому в дальнейшем под пористостью будем понимать активную или эффективную пористость.

Другой важной характеристикой пористой среды является просвет ность или поверхностная пористость, которую в дальнейшем будем обо значать через s. Под просветностью плоского сечения однородной порис той среды понимают отношение площади просветов в сечении к площа ди S всего сечения:

Sп s(n) = (18.3) S В случае неоднородной пористой среды со отношение (18.3) определяет среднее значение просветности в сечении, а значение просветно сти в физической точке М будет определяться выражением:

Sп dSп s(M, n) = lim =. (18.4) S S dS Понятно, что значения пористости и про светности могут изменяться в пределах от еди ницы до нуля. Крайние значения этого интерва Рис. 18.4. Изменение ори ла, очевидно, являются чисто модельными.

ентации сечения и вектора В соотношениях (18.3) и (18.4) n – вектор нормали нормали к плоскости сечения. Из приведенных ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ определений и соотношений следует, что просветность в точке пористой среды зависит не только от точки, но и от ориентации сечения. Сле довательно, просветность, в приведенном определении, является скаляр ной функцией векторного аргумента. Уже одно это показывает, что порис тость и просветность являются различными математическими объектами, хотя между ними, очевидно, существует связь, но обычное отождествление этих понятий является ошибочным. Понятие просветности является более сложным, чем обычно оно трактуется в ряде учебных пособий и монографий.

В самом деле, обычно после введения с помощью равенства (18.3) по нятия просветности следует утверждение о том, что среднее по всем на правлениям значение просветности равно пористости, но из этого верного утверждения делается неверный вывод: «поэтому в дальнейшем между двумя этими понятиями не будет делаться никаких различий». Однако данное выше определение просветности имеет более сложный физический смысл, чем тот, который обычно вкладывается в это понятие, а то обстоя тельство, что среднее по всем направлениям значение просветности равно пористости, не является достаточным для отождествления этих понятий.

Развитие понятия просветности и доказательство невозможности отождест вления его с пористостью будет дано далее, при рассмотрении результатов опыта Дарси и определении скорости фильтрации.

Еще одной часто используемой и важной характеристикой пористой среды является удельная поверхность пор, приходящаяся на единицу объ ема пористой среды. Под удельной поверхностью пор, рассчитанной на единицу объема пористой среды, понимают отношение площади поверх ности пустотного пространства пористой среды Sп ко всему объему по ристой среды V :

Sп =. (18.5) V Как следует из определения (18.5), удельная поверхность пор в отли чие от пористости и просветности, которые, по определению, безразмерны, является размерной характеристикой с размерностью м–1.

§4. Опыт и закон Дарси. Проницаемость. Понятие «истинной» средней скорости и скорости фильтрации Обратимся теперь к описанию движения жидкости в пористой среде.

Первые экспериментальные наблюдения за движением воды в трубах, за полненных песком, произвели А.Дарси (1856 г.) и Ж.Дюпюи (1848–1863 гг.).

Этими работами было положено начало теории фильтрации. Именем Дар си назван линейный закон фильтрации, который он установил будучи мэ 360 ГЛАВА XVIII ром города и создавая первую совершенную систему водоснабжения в г. Дижоне (Франция).

Анри Дарси исследовал течение воды через вертикальные песчаные фильтры (см.

рис. 18.5). В результате тщательно прове денных экспериментов был установлен по лучивший широкую известность закон H1 - H2 H Q = kФ S = k S, (18.6) L L где Q – объемный расход жидкости через песчаный фильтр, длина которого L, а пло щадь сечения S, H = H1 - H2 – разность гидравлических напоров воды над фильт ром и у его основания, kФ – коэффициент пропорциональности. Коэффициент про порциональности в формуле (18.6) перво Рис. 18.5. Установка Анри Дар- начально был назван коэффициентом водо си для исследования течения во- проницаемости, а затем коэффициентом ды через вертикальные песча- фильтрации, который зависит как от при ные фильтры роды пористой среды, так и от свойств фильтрующейся жидкости. Как уже отмеча- лось, скорости фильтрации очень малы (порядка 10–4–10–5 м/с и менее), по этому скоростными напорами при вычислении гидравлических напоров в равенстве (18.6) пренебрегают:

v2 p p H = + + z + z. (18.7) 2g g g В равенстве (18.7) используются общепринятые в технической гидро механике обозначения: v – средние скорости в капилляре, i – коэффи циенты Кориолиса (в нашем случае 1 = 2 = 2 ), p – давление, z – гео метрический напор, – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения.

Коэффициент фильтрации, как следует из равенства (18.6), имеет раз мерность скорости и характеризует скорость потока через единицу площа ди сечения, перпендикулярного к потоку, под действием единичного гра диента напора.

Коэффициент фильтрации k используется обычно в гидротехничес ких расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью – водой. При исследовании фильтрации газа, нефти и их смесей необходимо разделить ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ влияние свойств пористой среды и флюида. Поэтому для разделения свойств флюида и пористой среды равенство (18.6) представляют в ином виде k H Q = g S (18.8) µ L или * * k p1 - p Q = S, (18.9) µ L * где µ – коэффициент динамической вязкости флюида, p = gH = = p + gz – приведенное давление, k – коэффициент проницаемости, ко торый не зависит от свойств жидкости и является динамической характе ристикой только пористой среды. Размерность коэффициента проницаемос ти определяется из формулы [Q][µ][L] M3C-1ПаCM [k] = = = M [p*][] ПаM и равна размерности площади, то есть в системе единиц измерения СИ – метр в квадрате. Проницаемость большинства горных пород выражается весьма малыми числами. Так, проницаемость крупнозернистых песчаников составляет 10–12 –10–13 м2 (1 – 0,1 мкм2), проницаемость плотных песчани ков – 10–14 м2 (0,01мкм2). В виду этого в нефтепромысловой практике по лучила распространение единица измерения проницаемости 1 Д (Дарси) = = 1,02 10–12 м2.

Из сравнения равенств (18.6) и (18.8) следует, что коэффициент фильт рации и коэффициент проницаемости связаны между собой соотношением g kФ = k. (18.10) µ Коэффициент фильтрации kФ или коэффициент проницаемости k определяют экспериментально на специальном приборе – пермеаметре, содержащем образец исследуемого грунта (рис. 18.6). Общий расход Q фильтрационного потока поддерживается постоянным, напоры H1 и H измеряются двумя пьезометрами, соединенными с пористой средой в сече ниях 1 и 2. Превышение центров сечений над плоскостью сравнения равны z1 и z2, а давления – p1 и p2 ;

расстояние между сечениями по оси цилинд ра составляет L.

В соответствии с формулами (18.6) или (18.8) имеем Q µQ k =, S(H L) или k = Sg(H L) 362 ГЛАВА XVIII Рис. 18.6. Схема пермеаметра где перепад напора, приходящийся на единицу длины (модуль градиента давления), можно представить в виде H z1 - z2 p1 - p2 p1 - p = + =.

L L gL gL В промысловых условиях коэффициент проницаемости определяется в результате специального исследования скважин, в котором также исполь зуется устанавливаемая в опыте связь между изменением давления в сква жинах и их дебитом.

Обычно соотношения (18.6) или (18.9) называют законом Дарси. Од нако, эти соотношения представляют собой следствие из закона Дарси – решение одной из простейших задач одномерного течения, реализуемого в пермеаметре или установке типа установки А.Дарси. Сам же закон Дарси связывает между собой вектор скорости фильтрации и градиент фильтра ционного давления и будет рассмотрен далее, после введения понятия ско рости фильтрации.

Разделим обе части равенства (18.9) на пло щадь сечения S и получим Q k p w = =. (18.11) S µ L Выражение w = Q S имеет размерность скорости и определяет модуль вектора скорости фильтрации. При определении расхода считает Рис. 18.7. Схема к опреде ся, что вектор скорости фильтрации направлен лению скорости фильтра перпендикулярно плоскости (галерее), через ко ции торую фильтруется флюид (рис. 18.7). Поэтому если через n обозначить единичный вектор, перпендикулярный этой по верхности (или параллельный скорости), то будем иметь w = wn. Отличие ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ вектора w от обычной скорости состоит в том, что скорость фильтрации – фиктивная скорость, так как она, по своему смыслу, определена в любой точке сечения пористой среды – и в порах, и в твердом скелете, в то время как на самом деле течение происходит только по поровым каналам с неко торой «истинной средней скоростью» v. Понятно, что между скоростя ми w и v существует связь, которая следует из равенства расхода, проте кающего с истинной средней скоростью через площадь просветов и все се чение в целом со скоростью фильтрации wS = vSпор = Q.

Эта связь, следующая из последнего равенства, такова w = wn = sv = svn. (18.12) Таким образом, скорость фильтрации равна истинной средней скоро сти умноженной на просветность. Но заменять просветность на пористость в равенстве (18.12) нельзя.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.