WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |

«СЕРИЯ «СОВРЕМЕННЫЕ НЕФТЕГАЗОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ» Редакционный совет: ...»

-- [ Страница 3 ] --

z Таким образом, в рассматриваемом случае dv v v v v v u = + vx + vy + vz = = k, dt t x y z t t и уравнение движения может быть записано в виде u k = F - p + kµu. (9.3) t Необходимо особо отметить, что из-за отсутствия конвективных чле нов уравнение (9.3) является линейным, что существенно упрощает про блему его интегрирования. Проектируя уравнение (9.3) на оси координат, имеем p p u p Fx =, Fy =, = Fz - + µu. (9.4) x y t z Полагая F = g = const, получаем, что первые два уравнения (9.4) сов падают с уравнениями (6.2). Следовательно, в плоскости xOy, перпендику лярной оси трубы, имеет место гидростатический закон распределения давления.

Так как u = u(x, y, t), то из последнего уравнения (9.4) следует, что p = f(x, y, t).

z ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО ТРУБАМ Из первых двух равенств (9.4) и последней формулы видно, что в ка ждый данный момент времени давление линейно зависит от координат, то есть p p = Fxx + Fyy + C(t)z + D(t), = C(t). (9.5) z Граничное условие для уравнения движения (9.4) имеет вид u(x1, y1, t) = V, (9.6) где x1, y1 – координаты точек контура тру бы S (рис. 9.2), а V – скорость ее движе ния вдоль оси Oz. Если труба неподвижна, то V = 0.

Введем функцию t Рис. 9. 1 p u = u - Fz - dt. (9.7) ~ z p Так как Fz = const, а = C(t), то, подставив соотношение (9.7) в урав z нение (9.4) и используя граничное условие (9.6), получим u µ 2u 2u ~ ~ ~ = +, (9.8) t x2 y t 1 p p u(x1,y1,t) = V - Fz - dt, = C(t). (9.9) ~ z z Следовательно, задача о неустановившемся движении вязкой несжи маемой жидкости по призматической трубе может быть сведена к решению уравнения (9.8), имеющему вид уравнения теплопроводности при граничных p условиях (9.9). В случае установившегося движения = const, и уравне z ние (9.4) принимает вид 1 p u = - Fz = const, (9.10) µ z то есть уравнение движения сводится к уравнению Пуассона.

Введем функцию с помощью соотношения 1 p u = + - Fz (x2 + y2).

4µ z 176 ГЛАВА IX Подставив это выражение в уравнение (9.10) и граничное условие (9.6), имеем 2 2 1 p 2 + = 0, (x1,y1) = V - - Fz (x1 + y1 ). (9.11) 4µ z x2 y Таким образом, задача об установившемся течении вязкой несжимае мой жидкости по призматической трубе может быть сведена к решению уравнения Лапласа, когда на границе области задано значение искомой функции, то есть к задаче Дирихле.

Рассмотрим плоскопараллельное безвихревое движение идеальной не сжимаемой жидкости внутри контура S (рис. 9.2), ограничивающего попе речное сечение призматической трубы. Пусть этот контур вращается с угловой скоростью вокруг оси 0z. Проекции скорости точек контура S равны vx = -y1, vy = x1. (9.12) С другой стороны, в соответствии с формулами (8.2) и (8.7) 2 + = 0, (9.13) x2 y vx =, vy = -, (9.14) y x где – функция тока. Из формул (9.12) и (9.14) имеем, что в точках кон тура S d = -vydx + vxdy = -(x1dx + y1dy), откуда 2 1 = - (x1 + y1 )+ C. (9.15) 1 p Равенства (9.13) и (9.15) при C = V и = - Fz совпада 2µ z ют с соотношениями (9.11). Следовательно, изучение установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости по призматическим трубам может быть заменено рассмотрением плоскопараллельного потенци ального течения идеальной несжимаемой жидкости внутри вращающе гося контура S и наоборот. Заметим также, что уравнения вида (9.13) с граничными условиями (9.15) описывают кручение призматических стержней.

ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО ТРУБАМ §2. Прямолинейное течение между двумя параллельными стенками Течение в узких щелях (зазорах) можно моделировать как течение между параллель ными стенками.

Рассмотрим установившееся течение ме жду двумя неподвижными параллельными плоскостями, расположенными на расстоянии 2h друг от друга (рис. 9.3). Скорость течения, как и раньше, принимаем равной u = ku. Гра ничные условия имеют вид:

Рис. 9. при x = h u = 0, при x = -h u = 0. (9.16) Благодаря симметрии движение в плоскостях, параллельных плоско сти xOz, одинаково, и, следовательно, u = u(x). Тогда уравнение движения (9.10) принимает вид d2u 1 p = - Fz = const, µ z dx откуда 1 p u = (9.17) - Fz x2 + C1x + C2.

2µ z Подставив решение (9.17) в граничные условия (9.16), получим 1 p C1 = 0, C2 = - - Fz h 2µ z и 1 p h2 p x u = (9.18) - Fz (x2 - h2) = - - Fz 1 - 2µ z 2µ z h2.

Из формулы (9.18) следует, что максимальная скорость течения umax равна h2 p umax = - - Fz (9.19) 2µ z и x u = umax1 -, (9.20) h 178 ГЛАВА IX то есть в зазоре между рассматриваемыми плоскостями возникает парабо u x лическое распределение скоростей. В безразмерных координатах, umax h это распределение имеет универсальный характер (рис. 9.4) и не зависит ни от перепада давления, ни от свойств жидкости. Расход жидкости Q на единицу ширины канала равен h 2h3 p 4h Q = u dx = - - Fz = umax. (9.21) 3µ z -h Средняя скорость течения uср равна Q h2 p ucр = = - - Fz = umax. (9.22) 2h 3µ z Напряжения трения для несжимаемой жидкости в соответствии с фор мулами (4.28) и (3.5) даются формулами 1 vi vk ik = 2µik, ik = +. (9.23) 2 xk xi В рассматриваемом случае вектор скорости имеет единственную от личную от нуля компоненту v3 = vz = u, и из формулы (9.18) имеем 1 u p x zx = = - Fz, (9.24) 2 x z µ а все остальные компоненты тензора скоростей деформаций равны нулю.

Обозначив через h напряжение трения на стенке, из формул (9.23) и (9.24) получаем p h = - Fz h. (9.25) z Подставив соотношение (9.25) в формулы (9.18), (9.19), (9.21) и (9.22), имеем h x2 h u = - - h 1 h2, umax = - 2µ h, 2µ (9.26) 2h2 h Q = -, uср = -.

h h 3µ 3µ Заметим, что положительное направление оси Oz выбрано так, чтобы было u > 0. Поэтому из формул (9.26) следует, что h < 0.

ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО ТРУБАМ §3. Прямолинейное течение в осесимметричных трубах Рассмотрим установившееся незакрученное осесимметричное течение несжимаемой вязкой жидкости. Выберем цилиндрическую систему коор динат Orz так, чтобы ось Oz совпадала с осью симметрии потока, и пусть положительное направление на оси Oz совпадает с направлением скорости течения. Тогда u = ku(r) и оператор Лапласа имеет вид 1 u r u =. (9.27) r r r Подставив равенство (9.27) в уравнение движения (9.10), имеем µ u p r = - Fz = const.

r r r z Интегрируя это соотношение, получаем p r u = - Fz + C1 ln r + C2. (9.28) z 4µ Решение (9.28), очевидно, справедливо для любого незакрученного осе симметричного потока в цилиндрических трубах. Для определения кон стант интегрирования C1 и C2 необходимо задать соответствующие крае вые условия.

Рассмотрим течение в круглой цилиндрической трубе радиуса R.

При r = 0 величина скорости имеет конечное значение. Отсюда следует, что C1 = 0. В соответствии с гипотезой прилипания при r = R u = 0. То гда p R C2 = - - Fz z 4µ и 1 p R2 p r u = - - Fz (R2 - r2) = - - Fz 1 - (9.29) 4µ z 4µ z R2.

Из формулы (9.29) видно, что максимальное значение скорости umax достигается на оси трубы и равно R2 p umax = - - Fz. (9.30) 4µ z В соответствии с этим формула (9.29) может быть представлена в виде r u = umax1 -, R 180 ГЛАВА IX то есть, как и в случае течения между параллельными плоскостями (см.

формулу (9.20)), имеет место параболический закон распределения скоро u r стей, который в безразмерных координатах, также имеет универ umax R сальный характер.

Для определения расхода жидкости рассмотрим в поперечном сече нии трубы кольцо площадью dS = 2rdr. Тогда расход Q в соответствии с формулами (9.29) и (9.30) будет равен R R4 p R Q = u dS = 2 ur dr = - - Fz = umax. (9.31) 8µ z S Средняя скорость течения uср равна Q R2 p umax uср = = - - Fz =. (9.32) 8µ z R Формула (9.31) представляет собой известную формулу Пуазейля* для ламинарного режима течения в круглых трубах.

При u = u(r) тензор скоростей деформаций имеет единственную от личную от нуля компоненту (см. приложение) 1 u rz =, 2 r и в соответствии с формулой (9.23) для напряжения трения получаем u rz = µ. (9.33) r Подставив в (9.33) выражение (9.29), получаем r r rz = - Fz. (9.34) 2 z Из формулы (9.34) видно, что напряжение трения линейно зависит от радиуса. Полагая в формуле (9.34) r = R, получим напряжение трения на стенке трубы R p R = - Fz. (9.35) 2 z * Жан Луи Мари Пуазейль (1799–1869), французский врач и физик.

ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО ТРУБАМ Подставив соотношение (9.35) в формулы (9.29)–(9.32), получаем R R r R R u = - -, umax = -, 1 R 2µ 2µ R3 R R Q = -, uср = -.

R 4µ 4µ В случае горизонтальной трубы Fz = 0, и из формулы (9.32) имеем R2 p u = -. (9.36) 8µ z p Рассмотрим участок трубы длиной l. Так как = const, то z p p2 - p1 p1 - p2 p = = - = -, (9.37) z l l l где p1, p2 – давления в начале и в конце рассматриваемого участка тру бы. Подставив соотношения (9.36) и (9.37) в формулу Дарси–Вейсбаха (5.30), получаем для коэффициента гидравлического сопротивления формулу 64µ = =, d = 2R.

uсрd Re Заметим, что с помощью теории размерностей и подобия было получено 2C =, C = const, Re т.е. точное решение задачи дает значение C = 64.

Перейдем к рассмотрению течения в канале, об разованном двумя круглыми соосными цилиндрами.

Обозначим радиус внешнего цилиндра через R1, Рис. 9. внутреннего – через R2 (рис. 9.5).

Краевые условия в рассматриваемом случае, очевидно, имеют вид:

при r = R1 u = 0, при r = R2 u = 0. (9.38) Подставив эти условия в решение (9.28), получим 2 2 2 1 p R1 - R2 1 p R2 ln R1- R1 ln R C1 = - - Fz, C2 = - - Fz 4µ z ln R1 R2 4µ z ln R1 R 182 ГЛАВА IX и 2 2 2 1 p R1 - R2 R2 ln R1 - R1 ln R u = ln r - = - Fz r 2 4µ z ln R1 R2 ln R1 R (9.39) 1 p ln r 2 2 = - Fz r 2 - R2 - (R1 - R2 )ln R1 R2.

4µ z R Расход Q через сечение кольцевой трубы равен R 2 p 2 2 2 Q = 2 ur dr = - Fz (R1 - R2 ) R1R1 R2 - (R1 + R2 ). (9.40) ln R 8µ z R Рассмотрим течение в узком кольцевом зазоре, когда R2 R1. Поло жим h r = R2 + y, R1 = R2 + h, << 1.

R Ограничиваясь членами не выше второго порядка малости, имеем r y y 1 y R1 h h 1 h ln = ln1 + - ln = ln1 + - R2 R2 R2 1 2 R2, R2 R2 R2 1 2 R2.

Далее ln r 2y(y - h) 1 h 2 2 r2 - R2 - (R1 - R2)ln R1 R2 = 2y(y - h)1 + 2y(y - h).

R2 1 - 1 h 2 R 2 R Подставив последнее выражение в формулу (9.39), получаем 1 p u = (9.41) - Fz (y2 - hy).

2µ z Заметим, что если граничные условия (9.16) задать в виде:

при x = 0 u = 0, при x = 2h = h1 u = 0, то формула (9.18) примет вид 1 p u = (9.42) - Fz (x2 - h1x).

2µ z Формула (9.42) с точностью до обозначений совпадает с выражени ем (9.41). Следовательно, решение (9.41) представляет собой также реше ние о движении вязкой жидкости между двумя неподвижными параллель ными плоскостями, расположенными на расстоянии h1 = 2h друг от друга.

ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО ТРУБАМ §4. Уравнение установившегося кругового движения вязкой несжимаемой жидкости Уравнения установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрических координатах 0rz имеют вид (см. приложение) vr v vr vr v vr + + vz - = r r z r v 1 p µ 2vr 1 2vr 2vr 1 vr 2 vr = Fr - + + + + - -, r r2 r2 z2 r r r2 r v v v v vrv vr + + vz + = r r z r (9.43) 2v 1 2v 2v 1 v 2 vr v 1 p µ = F - + + + + + -, r r r r2 r2 z2 r2 r vz v vz vz vr + + vz = r r z 1 p µ 2vz 1 2vz 2vz 1 vz = Fz - + + + +, z r2 r2 z2 r r v vz vr vr + + + = 0. (9.44) r r z r Будем считать, что ось 0z направлена вертикально вверх и что из массовых сил действует только сила тяжести. Тогда Fr = F = 0, Fz = -g = const. (9.45) Примем также, что vr 0, vz 0, (9.46) то есть рассмотрим течение, при котором траектории всех частиц пред ставляют собой концентрические окружности с центрами на оси 0z.

Из уравнения неразрывности (9.44) и условий (9.46) следует, что v 0, (9.47) то есть модуль скорости вдоль круговой траектории сохраняет свое значе ние.

184 ГЛАВА IX Уравнения движения (9.43) с учетом равенств (9.45), (9.46) и (9.47) принимают вид v 1 p =, r r 2 v v 1 v v 1 p µ + + - =, (9.48) 2 r r r r z2 r p 0 = g +.

z Из первого и третьего равенств (9.48) имеем v v 1 2 p 1 g 2 = = - = 0, r z zr z откуда следует, что v = 0. (9.49) z Таким образом, рассматриваемое круговое движение является плоско параллельным, и в соответствии с формулами (9.47) и (9.49) имеем v = v(r). (9.50) Из формул (9.45) и (9.47) следует, что течение обладает осевой сим метрией, благодаря чему p = 0. (9.51) На основании равенств (9.50) и (9.51) второе уравнение (9.48) можно представить в виде 2v 1 v v d dv v d 1 d + - = + = (rv) = 0. (9.52) r dr dr r dr dr r2 r r r Интегрируя уравнение (9.52) получаем r C v = C1 +, C1, C2 = const. (9.53) 2 r Из первого уравнения (9.48) для давления имеем v p = dr + C3, C3 = const. (9.54) r ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО ТРУБАМ §5. Течение между двумя вращающимися цилиндрами Рассмотрим установившееся течение вяз кой несжимаемой жидкости между двумя неограниченными в направлении вертикаль ной оси Oz круговыми соосными цилиндра ми.

Пусть внутренний цилиндр имеет радиус R2 и вращается с угловой скоростью 2, а внешний имеет радиус R1 и вращается с уг ловой скоростью 1 (рис. 9.6). Граничные ус Рис. 9. ловия, очевидно, имеют вид:

при r = R1 v = R11 при r = R2 v = R22. (9.55) Подставив граничные условия (9.55) в равенство (9.53), получаем 2 2 2 R1 1 - R22 R1 R2 (2 - 1).

C1 = 2, C2 = 2 2 2 R1 - R2 R1 - R Следовательно, выражение (9.53) для скорости v имеет вид RR2 R121 - R22 12 2 ( - ) v = r + = 2 R1 - R2 R1 ( - R2 r ) (9.56) R121 2 2 ( ) ( - R22 r2 + R1 R2 2 - ) =.

R1 ( - R2 r ) Подставив равенство (9.56) в формулу (9.54), после элементарных вы числений получаем p = 2 (R1 - R2 ) 4 r2 2 2 2 2 R1 R2 (2-1)2 + C3.

2 (R11-R22) + 2R1 R2(R11-R22)(2-1)ln r 2 2r При vr = vz = 0, v = v (r) тензор скоростей деформаций имеет един ственную отличную от нуля компоненту (см. приложение) v v r = -, 2 r r 186 ГЛАВА IX и в соответствии с формулой (9.23) напряжение трения r равно v v r = µ -. (9.57) r r Подставив в формулу (9.57) выражение (9.56), получаем 2 RR2 2 - ( ) r = -2µ. (9.58) R1 ( - R2 r ) Из формулы (9.58) видно, что с ростом радиуса напряжение трения const убывает как.

r Сила трения на поверхности цилиндра радиуса r и высотой H равна, очевидно, 2rHr, а ее момент относительно оси 0z равен 2 R1 R M = 2r2Hr = -4µH (2 - 1). (9.59) 2 R1 - R Таким образом, момент сил трения не зависит от радиуса цилиндра.

Так как при вычислении компонент тензора напряжений нормаль счи тается внешней по отношению к рассматриваемому объему, то формулы (9.58) и (9.59) дают значение напряжения и момента сил трения на поверх ности радиуса r при ее трении о поверхность радиуса r + dr. При рас смотрении трения поверхности радиуса r о поверхность радиуса r - dr внешняя нормаль имеет направление –r и знак в формулах (9.58) и (9.59) должен быть изменен на противоположный.

Из сказанного следует, что момент сил трения на цилиндрах радиу сов R1 и R2 будет одинаковым по величине, но противоположным по знаку.

Особый интерес представляет случай, когда внутренний цилиндр по коится, то есть 2 = 0. При этом из формулы (9.59) имеем R12R M = 4µH 1. (9.60) 2 R1 - R Формула (9.60) используется для определения вязкости с помощью ротационных вискозиметров с соосными цилиндрами. Действительно, из мерив угловую скорость 1 вращения внешнего цилиндра и момент M на внутреннем цилиндре, с помощью формулы (9.60) можно вычислить ди намический коэффициент вязкости µ.

Глава X ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ Теория турбулентных течений представляет собой самостоятельный раздел гидромеханики. Исследованию турбулентных течений посвящена весьма обширная литература. Поэтому в настоящей главе рассматриваются лишь наиболее простые и в то же время весьма важные вопросы турбу лентных течений в трубах.

§1. Опыты О. Рейнольдса Классические исследования течения жидкости в круглых трубах были прове дены в 1876–1883 годах английским фи зиком Осборном Рейнольдсом. Схема его экспериментальной установки приведена на рис. 10.1. В поток жидкости, выте кающей из большого бака А по длинной стеклянной трубе В, через сопло подава лась из бачка С тонкая струйка краски.

Наблюдения за окрашенной струй кой показали, что при малых скоростях Рис. 10. течения она вытягивается вдоль оси тру- бы, то есть течение происходит без поперечного перемешивания. Слои жидкости движутся параллельно друг другу. Выше указывалось, что такое течение называется ламинарным.

При больших скоростях течения окрашенная струйка размывалась в поперечном направлении по всему сечению трубы, то есть наблюдалось интенсивное перемешивание потока, имевшее ярко выраженный неустано вившийся характер. Такое течение называется турбулентным. Характерной особенностью турбулентного течения является наличие беспорядочных поперечных составляющих вектора скорости. Таким образом, турбулент ное течение является по своей сути неустановившимся.

Проведенные эксперименты показали, что переход от ламинарного режима течения к турбулентному определяется не диаметром трубы d, 188 ГЛАВА X средней скоростью течения w, вязкостью µ и плотностью, взятыми по отдельности, а безразмерной комбинацией wd Re =, µ получившей название числа Рейнольдса. С точки зрения теории размернос тей и подобия этот вывод представляется очевидным.

Значение числа Re, при котором происходит переход от ламинар ного режима течения к турбулентному, называется критическим – Reкр.

При Re < Reкр течение ламинарное, а при Re > Reкр – турбулентное.

Рейнольдс предполагал, что и подтвердилось в дальнейшем, что зна чение Reкр тем больше, чем меньше возмущение в потоке. Для труб с хо рошо закругленным входом при течении воды им были получены значе ния Reкр порядка 12000–13000. В более поздних исследованиях других ав торов в результате ряда мер, принятых с целью уменьшения начальных возмущений, было достигнуто значение Reкр порядка 50000. Однако соз дание даже небольших возмущений приводило к немедленной турбулиза ции таких потоков.

В то же время различные опыты показали, что при числах Рейнольдса порядка 2200 имеющиеся в потоке (или создаваемые искусственно) воз мущения затухают, и течение становится ламинарным.

В технических устройствах всегда имеются те или иные возмущения.

Поэтому при расчете течений в круглых цилиндрических трубах принято считать, что Reкр = 2320.

§2. Осреднение характеристик турбулентного течения При измерениях в какой-либо точ ке турбулентного потока безинерцион ным датчиком получается зависимость скорости от времени, представленная на рис. 10.2, где vx, vy, vz – составляющие вектора скорости. Из этих данных видно, что величина скорости хаотично пульси рует около некоторого среднего значе ния.

Рейнольдсом было предложено Рис. 10.2 рассматривать мгновенное значение ско- ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ рости и всех остальных характеристик турбулентного потока в виде суммы осредненных во времени значений и пульсационных состав ляющих.

Пусть (x, y, z, t) – какая-либо характеристика турбулентного потока (скорость, давление и т.д.). Тогда ее мгновенное значение записывается в ви де = +, (10.1) где – значение, осредненное во времени, – пульсация.

Осредненное значение вычисляется как T t + (x, y, z, t) = (x, y, z, )d, (10.2) T T t где период осреднения Т много больше характерного периода пульсаций, но много меньше характерного времени процесса.

Если величина, вычисленная для раз личных значений t, имеет одинаковое значе ние, то турбулентное течение называется квазистационарным (или стационарным). Ес ли зависит от времени (рис. 10.3), то про цесс нестационарный.

В случае стационарного течения при повторном осреднении параметра на основании формулы (10.2) имеем T t + Рис. 10. = (x, y, z)d =. (10.3) T T t Для нестационарных процессов соотношение (10.3) постулируется.

Из формулы (10.2) непосредственно следует, что + = +. (10.4) В соответствии с формулами (10.1), (10.3) и (10.4) имеем = + = + = +, = 0, (10.5) то есть осредненное значение пульсации равно нулю.

190 ГЛАВА X В случае квазистационарного течения, как это следует из определения осреднения (10.2), T t+ = (x,y, z)(x,y, z, )d =. (10.6) T T t Для нестационарных процессов соотношение (10.6) постулируется.

Из формул (10.5) и (10.6) следует, что = = 0. (10.7) В соответствии с правилом дифференцирования интеграла с перемен ными пределами имеем T t+ 1 1 T T = (x,y,z,)d = x,y,z,t + 2 - x,y,z,t - 2 = t T t T T t (10.8) T t+ = d =, T t T t то есть производная по времени осредненного значения равна осредненно му значению производной.

Равенство = (10.9) xi xi очевидно.

§3. Уравнение Рейнольдса Уравнения Рейнольдса представляют собой уравнения движения вяз кой несжимаемой жидкости, записанные для осредненных параметров по тока.

Рассмотрим уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (4.42), или vi dvi p = 0, = Fi - + µvi. (10.10) xi dt xi ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ Положим в соответствии с гипотезой Рейнольдса, что p = p + p, vi = vi + vi. (10.11) Для удобства дальнейших преобразований заметим, что в случае не сжимаемой жидкости можно записать dvi dvi vj dvi vi vi vj vi (vivj).

= + vi = = + vj + vi = + (10.12) dt dt xj dt t xj xj t xj Подставив в равенство (10.12) соотношение (10.11) для скорости, на осно вании правил осреднения (10.3)–(10.9) с учетом уравнения неразрывности получим dvi vi (vivj) vivj dvi vivj = + + = +. (10.13) dt t xj xj dt xj Далее очевидно, что на основании правил осреднения vi vi p p =, vi = vi, =. (10.14) xj xj xi xi Из равенств (10.13), (10.14) и уравнений (10.10) имеем окончательно (vivj), (10.15) vi dvi p = 0, = Fi - + µvi - xi dt xi xj или в векторном виде (v vj). (10.16) dv div v = 0, = F - p + µv - dt xj Таким образом, в результате проведенного осреднения уравнение не разрывности сохранило свой вид, а в уравнениях движения появились до полнительные члены вида vivj.

Для понимания полученного результата воспользуемся уравнениями движения сплошной среды в напряжениях (2.49) dv pi = F + (10.17) dt xi или dvj pij = Fj +. (10.18) dt xi 192 ГЛАВА X Осредняя уравнения (10.17) и (10.18) по времени, с учетом равенства (10.13) получим dv = F + (pi - v vi), (10.19) dt xi dvj = Fj + (pij - vjvi). (10.20) dt xi Уравнения (10.15), (10.16), (10.19), (10.20) представляют собой раз личные формы записи уравнений Рейнольдса.

Из уравнений Рейнольдса следует, что при временном осреднении тур булентного течения дополнительно к тензору осредненных вязких напряже ний pji = - pji + 2µji возникает симметричный тензор турбулентных напряжений - v1v1 - v1v2 - v1v - v2v1 - v2v2 - v2v3. (10.21) - v3v1 - v3v2 - v3v Таким образом, уравнения Рейнольдса содержат 6 дополнительных неизвестных – компонент тензора турбулентных напряжений (10.21) и, следовательно, являются незамкнутыми. Вопрос об их замыкании, то есть вопрос об отыскании связи между тензором турбулентных напряже ний и осредненными характеристиками потока, представляет собой до на стоящего времени одну из основных проблем теории турбулентности.

§4. Полуэмпирическая теория турбулентности Л.Прандтля Полуэмпирические теории турбулентности основываются на каких-либо гипотезах, связывающих турбулентные напряжения с полем осредненных скоростей. Основой для формулирования этих гипотез является обобщение экспериментального материала и введение в получающиеся таким образом соотношения эмпирических констант.

При построении полуэмпирических теорий используется изложенная выше идея О.Рейнольдса о представлении поля скоростей турбулентного потока в виде суммы поля осредненных скоростей v и поля пульсацион ных составляющих v. При этом вводятся линии тока осредненного дви жения, непроницаемые для осредненных скоростей, но проницаемые для ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ пульсационных составляющих, благодаря которым происходит поперечное перемешивание в турбулентном потоке.

Пульсационные составляющие скорости переносят сквозь линии тока осредненного течения некоторое количество движения, что приводит в соот ветствии со вторым законом Ньютона к возникновению дополнительных – турбулентных – напряжений.

Рассмотрим плоское квазистационарное турбулентное течение между неподвижными плоскостями y = 0 и y = h (рис. 10.4). Очевидно, что в этом случае vy = 0 из-за непроницаемости стенок, а vz = vz = 0 – по оп ределению плоского течения. Линии тока осредненного течения – прямые, параллельные оси Ox. Ясно, что отличными от нуля компонентами тензо ра турбулентных напряжений будут - vxvx, - vyvy, - vxvy = -vyvx.

Как показывают эксперименты, величинами vxvx и vyvy можно пре небречь.

Рис. 10. Введем обозначения vx = u, vy = v, - vxvy = и будем считать, что трение приложено от верхнего слоя к нижнему, то есть будем рассматривать нижний слой жидкости (рис. 10.4). При этом, очевидно, перенос количества движения сверху вниз необходимо учиты вать со знаком «+», а снизу вверх – со знаком «–». Из-за наличия пульса ционной составляющей v частица жидкости, находящаяся в точке А с ко l ординатой y +, будет перенесена через площадку d, нормальную l к оси Ox1 в точку В с координатой y -.

194 ГЛАВА X В точке А рассматриваемая частица имела осредненную ско l.

рость u = uy + В соответствии с гипотезой Л.Прандтля*, скорость частицы на пути l не меняется, а в точке В становится равной l u = uy -. Так как поток массы через площадку d равен v d, то изменение осредненного по времени количества движения нижнего слоя равно** l l y y v + - u - u 2 2 d.

Следовательно, осредненная во времени сила турбулентного трения d равна l l d = v + - uy - (10.22) uy 2 2 d.

Величина l называется длиной пути перемешивания.

Так как величина l предполагается малой, то с точностью до членов более высокого порядка малости l l du y u ± = u(y) ±. (10.23) 2 2 dy Подставив разложение (10.23) в равенство (10.22), получим du du = v l = A, (10.24) dy dy где A = v l – динамический коэффициент турбулентной вязкости.

Выражение для дополнительного турбулентного напряжения в ви du де = A было предложено, по аналогии с законом трения Ньютона dy для ламинарного течения, французским ученым Ж.Буссинеском*** в 1887 г.

Однако необходимо особо подчеркнуть, что коэффициент турбулентной вяз кости А, в отличие от динамического коэффициента вязкости µ, не есть константа, характеризующая жидкость, а зависит от координаты y и пара метров потока.

* Людвиг Прандтль (1875–1953), немецкий ученый, один из основателей аэромеханики.

** В соответствии с законом сохранения массы переход частицы из точки А в точку В сопровождается переходом другой частицы из В в А.

*** Жозеф Валантен Буссинеск (1842–1929), французский ученый в области механики.

ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ В тонком пристенном слое A << µ. Этот слой называется вязким подслоем, и толщина его имеет порядок 1% от поперечного размера кана ла. Вне этого подслоя, в так называемом турбулентном ядре, A >> µ.

Полное, осредненное во времени касательное напряжение pxy имеет, очевидно, вид pxy = (µ + A)du. (10.25) dy Для определения длины пути перемешивания Л.Прандтлем была пред ложена гипотеза, в соответствии с которой du v ~ l. (10.26) dy Подставив соотношение (10.26) в равенство (10.24), получим du du du A = l2, = l2, (10.27) dy dy dy где знак модуля использован для того, чтобы подчеркнуть, что A > 0, а – знакопеременная величина. Коэффициент пропорциональности, ко торый должен присутствовать в формуле (10.26), включен в величину l, которая также называется длиной пути перемешивания.

Теория, построенная на идее существования пути перемешивания, называется полуэмпирической теорией Л.Прандтля.

§5. Применение соображений теории размерностей к построению полуэмпирических теорий турбулентности Л.Прандтль при построении своей теории исходил из естественного предположения, что турбулентная вязкость должна зависеть от плотности жидкости и закона распределения осредненной скорости u по сечению канала. Так как это распределение в первом приближении определяется du производной, то dy du A = f,. (10.28) dy Поскольку размерности величин, входящих в выражение (10.28), имеют вид M M du [A] =, [] =, =, LT dy T L 196 ГЛАВА X du то система параметров, определяющих класс явлений, то есть и, не dy обладает свойством полноты. Поэтому зависимость вида (10.28) физически невозможна. Добавив в число определяющих параметров некоторый ли нейный размер l, положим du A = f,, l. (10.29) dy du Легко видеть, что параметры,, l обладают независимыми раз dy мерностями. Тогда в соответствии с -теоремой теории размерностей из функциональной зависимости (10.29) имеем du A = C l, C = const.

dy Выполняя необходимые вычисления, ход которых подробно изложен в гл. V, получаем du du du 2 du du A = Cl = l2, = A = l2, (10.30) dy dy dy dy dy что в точности совпадает с формулами (10.27).

Так как форма кривой u = u(y) определяется не только первой про изводной, но и производными более высокого порядка, то предположим, что du d2u A = f,,.

dy dy du d2u Параметры,, обладают независимыми размерностями. Поэто dy dy му на основании -теоремы можем записать du d2u A =.

dy dy После соответствующих вычислений имеем 3 du du dy dy du 2 A =, =, (10.31) 2 dy d2u d2u dy2 dy где = const – некоторая эмпирическая константа.

ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ Формулы (10.31) были получены иным, более сложным путем, немец ким гидромехаником Т. фон Карманом в 1930 г.

Как было выше показано, формулы Прандтля (10.30) получены из рассмотрения двух точек в турбулентном потоке. Формулы Кармана (10.31) не содержат линейного размера и, следовательно, свободны от этого усло вия.

Соотношения (10.30) и (10.31) представляют собой различные реоло гические модели для турбулентного течения вязкой жидкости.

Заметим, что формулы (10.30) и (10.31) получены, исходя из предпо ложения, что поле осредненных скоростей зависит только от одной, попе речной по отношению к направлению потока, координаты. Поэтому они равно справедливы как для плоской, так и для круглой трубы (в предполо жении осесимметричности течения).

§6. Логарифмический закон распределения скоростей Рассмотрим, используя схему Прандтля, квазистационарное турбулент ное течение по круглой цилиндрической трубе радиуса а. В этом случае du du = - dy dr (y отсчитывается от стенки трубы к ее оси), и в соответствии с формулами (10.25) и (10.27) полное касательное напряжение pxy равно du du du pxy = -(µ + A) = - µ + l2.

dr dr dr Так как в ядре потока A >> µ, то примем, что du du pxy = -l2. (10.32) dr dr Будем для простоты считать тру бу горизонтальной и рассмотрим в ней элемент радиуса r и длиной L (рис. 10.5). Так как движение устано вившееся, то сумма сил, действующих Рис. 10. на выделенный элемент, равна нулю, то есть r2(p1 - p2) - 2rL = 0, 198 ГЛАВА X откуда p1 - p2 p = r = r. (10.33) 2L 2L Тогда напряжение трения на стенке трубы a равно p a = a, (10.34) 2L или, в соответствии с формулой Дарси–Вейсбаха (5.30), w a = - w. (10.35) Из равенств (10.33) и (10.34) имеем r = a, a и формула (10.32) может быть представлена в виде a r du du = -l2. (10.36) a dr dr Соотношение (10.36) представляет собой дифференциальное уравне ние для определения осредненной скорости u.

Очевидно, что длина пути перемешивания l у стенки трубы и на оси потока (из соображений осевой симметрии) должна обращаться в нуль.

А.А. Саткевичем для ее определения была предложена формула r l = (a - r), (10.37) a где – эмпирическая константа.

Подставив равенство (10.37) в уравнение (10.36), получим a 2 du du = - (a - r). (10.38) dr dr a Величина v = имеет размерность скорости и называется динами du ческой скоростью. Так как v > 0, < 0, то из формулы (10.38) имеем dr a = v = -(a - r)du. (10.39) dr ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ Интегрируя соотношение (10.39) и учитывая при этом, что скорость u достигает максимума на оси трубы, то есть при r = 0, получим u umax 1 a - r = + ln. (10.40) v v a Из формулы (10.40) видно, что при сделанных предположениях в тру бе имеет место логарифмический закон распределения скоростей. Вблизи стенки при r a u -, что физически лишено смысла. Этот резуль тат объясняется тем, что при выводе формулы (10.40) мы пренебрегли ве личиной молекулярной вязкости µ по сравнению с А, что для пристенного слоя неправомерно.

Обозначив a - r = y, представим равенство (10.40) в виде u umax 1 yv umax 1 av 1 yv 1 yv = + ln = - ln + ln = B + ln, (10.41) v v av v µ где = – кинематический коэффициент вязкости, а B = const для рас сматриваемого течения, то есть для течения по трубе заданного радиуса r p и с заданным градиентом давления.

L Учитывая малую толщину пристенного слоя, а также то, что при x 0 величина x ln x 0, из формулы (10.41) получим a a w Q 1 2 1 yv = = 2ru(r)dr = r B + ln dr = v a2v a2v a (10.42) 0 1 av = B + ln -.

где w – средняя скорость течения, Q – расход.

Из определения динамической скорости v, равенства (10.34) и фор мулы Дарси–Вейсбаха (5.30) или непосредственно из формулы (10.35) имеем a v = = w. (10.43) Подставив соотношение (10.43) в формулу (10.42), получим 8 3 1 = B - + ln Re, (10.44) 2 2 где число Рейнольдса определяется по формуле 2aw wd Re = =, d – диаметр трубы.

200 ГЛАВА X Из приведенного вывода следует, что закон распределения скорос тей (10.41) позволяет получить формулу для определения коэффициента гидравлического сопротивления. По экспериментальным данным Нику радзе B 5,5;

0,4.

Подставляя эти значения в формулу (10.44) и переходя к десятичным логарифмам, получим = 2,035 lg Re - 0,913.

Более точно результаты эксперимента описываются формулой 1 Re = 2 lg(Re )- 0,8 = 2 lg.

2, Заметим особо, что при выводе формулы (10.44) не учитывалось влия ние шероховатости стенок трубы. Таким образом, эта формула справедли ва только для гладких труб.

Необходимо также заметить, что в настоящее время при выполнении технических расчетов для вычисления предпочтение отдается эмпири ческим формулам, то есть формулам, полученным при обработке результа тов экспериментов.

§7. Экспериментальные исследования коэффициента гидравлического сопротивления Экспериментальным определением зависимости падения давления от расхода жидкости в трубах и каналах начали заниматься более 200 лет то му назад. Почти каждый исследователь получал свой, отличный от других, закон сопротивления. Это было связано с тем, что в опытах различных ав торов не соблюдался закон подобия, установленный О.Рейнольдсом в кон це XIX века. Кроме того, не учитывалось, что в разных опытах стенки имели различную шероховатость.

Первые систематические опыты для выяснения зависимости коэффи циента гидравлического сопротивления от Re и шероховатости стенок труб были проделаны Никурадзе в конце 20-х – начале 30-х годов XX века в Геттингенском университете. Опыты производились на гладких латун ных трубах и трубах с искусственной равномерной шероховатостью. Такая шероховатость получалась путем наклейки на стенки трубы песчинок оп ределенного размера, для чего песок предварительно просеивался через специальные сита. Размер зерен песка принимался за размер зерен шеро ховатости.

ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ Результаты опытов Никурадзе в координатах lg Re- lg100 представ лены на рис. 10.6, где = d. Из этих опытов, проведенных в широком диапазоне значений числа Рейнольдса, следует, что существует 5 областей для коэффициента гидравлического сопротивления.

Рис. 10. В первой области (прямая I) при Re<2300 режим течения ламинар ный и зависит от Re, но не зависит от.

Во второй области имеет место переходный режим от ламинарного к турбулентному. Коэффициент возрастает и зависит только от Re.

Третья область (прямая II) – так называемая область гидравлически гладких труб. Трубы с различной шероховатостью ведут себя как гладкие, то есть зависит только от Re. При этом границы области зависят от.

Чем больше, тем уже эта область. При достаточно больших третья об ласть исчезает.

Четвертая область – область смешанного трения. Коэффициент за висит как от Re, так и от.

Пятая область – область квадратичного трения. Коэффициент зави сит только от.

В конце 40-х годов XX века в Москве Г.А.Муриным были проведены опыты, аналогичные опытам Никурадзе. Однако их существенным отличи ем было использование стальных труб не с искусственной, а с естествен ной шероховатостью, определяемой технологией их изготовления и рядом других факторов.

Результаты опытов Г.А.Мурина представлены на рис. 10.7. Из этих опытов следует, что для труб с естественной шероховатостью также име ется 5 областей изменения коэффициента гидравлического сопротивления.

Однако, в отличие от труб с искусственной шероховатостью, коэффициент гидравлического сопротивления в турбулентной области с ростом числа Рейнольдса монотонно убывает.

202 ГЛАВА X Рис. 10. Для определения коэффициента гидравлического сопротивления в круглых трубах существует большое число эмпирических и полуэмпири ческих формул. Рассмотрим наиболее употребительные из них.

Ламинарный режим течения:

=, Re < 2300.

Re Формула получена теоретически и подтверждена экспериментально.

Турбулентный режим течения, область гидравлически гладких труб:

=, Re < 105, формула Блазиуса;

100 Re =, формула Конакова.

(1,8 lg Re- 1,5) Обе формулы получены при обработке результатов экспериментов. Фор мула Конакова не имеет ограничений по числу Рейнольдса.

Область смешанного трения:

0, 68 d d = 0,11 +, 10 < Re < 500, формула Альтшуля.

d Re Формула Альтшуля получена путем видоизменения эмпирической форму лы Колбрука.

ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ Область квадратичного трения:

0, d = 0,11, Re > 500, формула Шифринсона.

d Заметим, что при малых формула Альтшуля переходит в формулу d Блазиуса, а при больших Re – в формулу Шифринсона.

При выполнении вычислений на ЭВМ удобно использовать формулу Черчилля, справедливую во всем диапазоне чисел Рейнольдса, включая ла минарный режим течения:

12 8 + = 8, Re (A + B) 2,457 1 A = ln 0,9, B =.

Re (7 Re) + 0,27( d) Глава XI ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ §1. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости представляет собой одно из основных соотношений, используемых для гидравлического рас чета трубопроводов. Для его вывода введем следующие предположения:

а) движение установившееся;

б) жидкость несжимаемая, = сonst ;

в) из массовых сил действует только сила тяжести, F = g.

В этих предположениях закон изменения кинетической энергии (2.82) имеет вид v2 vndS = gv dV + pnv dS + N(i)dV, (11.1) S V S V где для несжимаемой жидкости в соответствии с формулой (4.50) N(i) = -2µikik. (11.2) Так как движение установившееся, то div v = 0 и gv = -gvz - gz div v = - div gzv.

Тогда на основании теоремы Гаусса–Остроградского получаем gv dV = - div gzv dV = - gzvndS. (11.3) V V S Далее, для несжимаемой жидкости в соответствии с формулами (1.31), (4.21), (4.28) имеем pn = ek pikni = ek(- pik + ik )ni = - pn + ekikni, ik = 2µik, и pnv dS = - pnv dS + ekvikni dS = - pvndS + 2µvkiknidS. (11.4) S S S S S ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ Из формул (11.2) и (11.4) следует, что сумма членов 2µvkiknidS + N(i)dV = -Nтр (11.5) S V представляет собой мощность сил трения, а так как эта мощность всегда отрицательна, то Nтр > 0.

Подставив соотношения (11.3) и (11.4) в уравнение (11.1), с учетом равенства (11.5) получим p v (11.6) z + g + 2g gv dS = -Nтр.

S Рассмотрим поток в трубе, ограниченный поперечными сечениями S1, S2 и стенкой трубы S3. Очевидно, что vn = -v на S1, vn = v на S2, vn = 0 на S3. Тогда для рассматриваемого участка трубы уравнение (11.6) принимает вид p v2 p v z + g + 2g gv dS = + g + 2g gv dS + Nтр. (11.7) z S1 S Будем считать, что в сечениях S1 и S2 имеется гидростатическое рас пределение давления p z + = const. (11.8) g В § 9.1 показано, что такое распределение давления имеет место при ламинарном режиме течения в призматических трубах. Однако прибли женно этот закон может быть распространен также на осредненное прямо линейное турбулентное течение и на плавно изменяющиеся течения, то есть на течения, при которых площадь и форма поперечного сечения мало меняются по длине трубы.

В соответствии с равенством (11.8) имеем p p p z + gv dS = z + g v dS = z + gQm. (11.9) g g g S S Произведение ускорения силы тяжести на массовый расход Qm пред ставляет собой весовое количество жидкости, протекающей через попе речное сечение в единицу времени, и называется весовым расходом.

Для вычисления интеграла v2 v gv dS = g v dS 2g S S 206 ГЛАВА XI рассмотрим фиктивный поток с тем же массовым расходом Qm, но с рав номерным распределением скорости по поперечному сечению трубы. Ско рость течения такого потока, очевидно, равна средней скорости течения w, то есть Qm w =.

S Кинетическая энергия K такого потока, переносимая в единицу вре мени через сечение трубы (поток кинетической энергии), равна w2 w2 w K = w dS = wS = Qm.

2 2 S Поток кинетической энергии реального течения равен v2 w v dS = K = Qm, (11.10) 2 S где – поправочный коэффициент, возникающий за счет неравномерно сти распределения скоростей по поперечному сечению – так называемый коэффициент Кориолиса.

Подставив соотношения (11.9) и (11.10) в уравнение (11.7) и учиты вая, что при установившемся движении Qm = const, получаем 2 p1 w1 p2 w z1 + + 1 = z2 + + 2 + h1-2, (11.11) g 2g g 2g где Nтр h1-2 = gQm – удельная по весу работа сил трения, совершаемая в единицу времени – удельная мощность этих сил, затрачиваемая на участке трубы между се чениями S1 и S2.

Уравнение (11.11) представляет собой уравнение Бернулли для потока вязкой несжимаемой жидкости.

Из равенства (11.8) следует, что p1, p2 – давления в произвольно взя тых точках сечений S1 и S2 с координатами z1 и z2, соответственно. Ина че говоря, значения p и z должны соответствовать одной и той же точке сечения S.

Для ламинарного режима течения в круглой трубе радиуса R в соответ ствии с формулами (9.29), (9.30) и (9.32) имеем r v = 2w -.

1 R ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ Тогда R R v2 v2 r v dS = 2 v r dr = 8w3 1 - r dr = R2w3, 2 2 R S 0 и из формулы (11.10) следует, что 2R2w3 2R2w = = = 2.

w2Qm w2wR Для турбулентного режима течения = 1,1 1,2.

Так как в технических трубопроводах различного назначения режим w2 p течения, как правило, турбулентный, а <<, то при выполнении 2g g расчетов обычно принимают 1.

Члены уравнения Бернулли так же, как и члены интеграла Бернул ли (7.29), имеют размерность длины и называются:

z – геометрический напор, или геометрическая высота;

p – пьезометрический напор, или пьезометрическая высота;

g w – скоростной напор, или скоростная высота;

2g h1-2 – потери напора на участке 1–2;

p w H = z + + – полный напор.

g Уравнение Бернулли допускает простую графическую интерпретацию.

Будем откладывать вдоль оси абсцисс расстояние, отсчитываемое вдоль оси потока, а вдоль оси ординат – напоры.

Линия А на рис. 11.1 характеризует положение оси потока относительно плоскости отсчета z = 0. Расстояние от линии В до оси абсцисс равно p z +, а от линии С до оси – полно g му напору Н.

Рис. 11. 208 ГЛАВА XI В зависимости от геометрии потока и его расположения в пространст p ве сумма z + может как убывать, так и возрастать в направлении дви g жения жидкости. Полный напор из-за наличия трения всегда убывает.

Из уравнения (11.11) следует, что если зафиксировать сечение потока 1–1, а расстояние l до сечения 2–2 считать переменным, то H1 = H + h = const, откуда dh dH i = = -. (11.12) dl dl Величина i, определяемая по формуле (11.12), называется гидравлическим уклоном.

§2. Виды потерь напора При движении жидкости по трубопроводу различают два вида потерь:

потери по длине h и потери в местных сопротивлениях hм.

Местными сопротивлениями называются различные устройства малой длины (по сравнению с длиной трубы), в которых происходит резкое из менение скорости по величине или направлению, или по величине и на правлению. К местным сопротивлениям относятся различные запорные устройства, повороты, клапаны и т.д.

Потери по длине, или, как их называют, потери на трение, возникают благодаря трению в потоке и линейно зависят от длины трубы. Потери в местных сопротивлениях обусловлены усиленным перемешиванием жид кости, сопровождаемым вихреобразованием и большими градиентами ско рости.

Рассмотрим горизонтальный участок цилиндрической трубы диамет ром d и длиной l, расположенный между сечениями 1–1 и 2–2. Так как сечения одинаковы, то скоростные напоры также одинаковы, и из уравне ния Бернулли (11.11) имеем p = p1 - p2 = gh.

Тогда в соответствии с формулой (5.30) можно написать l w h =. (11.13) d 2g Формула (11.13) представляет собой одну из форм записи формулы Дарси– Вейсбаха. Так как длина местных сопротивлений мала, то перепад давле ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ ния на них не зависит от длины и шероховатости. Поэтому можно напи сать p = f(d, µ,,w). (11.14) Применяя к соотношению (11.14) -теорему, после элементарных вычислений получим w2 p w p = (Re), hм = =. (11.15) 2 g 2g Формула (11.15) называется формулой Вейсбаха, а (Re) – коэффициен том местного сопротивления.

Суммарные потери в трубопроводе между сечениями 1–1 и 2–2 при нято определять на основании принципа наложения потерь, или принципа суперпозиции, то есть n m h1-2 = hi + hмj, (11.16) i=1 j где n – число прямолинейных участков труб, m – число местных сопротив лений. Однако при использовании принципа суперпозиции необходимо иметь в виду, что величина потерь в местных сопротивлениях зависит от расп ределения скоростей перед ними.

Вихреобразование и отрывные течения за местным сопротивлением деформируют эпюру скоростей. Ее восстановление до вида, характерного для прямого участка длинной трубы, происходит на участке стабилизации, длина которого lст по опытным данным равна 30–40 диаметрам подводяще го трубопровода (при турбулентном режиме течения). Если расстояние между соседними местными сопротивлениями меньше lст, то между ними возникает интерференция. При этом коэффициенты местных сопротивле ний и коэффициенты гидравлических сопротивлений соединяющих их труб будут отличаться от значений, полученных при местных сопро тивлениях, расположенных на значительном расстоянии друг от друга.

Из сказанного следует, что если расстояние между местными сопротивле ниями меньше lст, то использование принципа суперпозиции (11.16) может приводить к погрешностям.

§3. Расчет простых трубопроводов Простым называется трубопровод постоянного диаметра без разветвле ний и местных сопротивлений. Все остальные трубопроводы называются сложными. Рассмотрим три основных схемы расчета простых трубопроводов.

210 ГЛАВА XI 1. Определение давления p1 при задан ных расходе жидкости Q и давлении p (рис. 11.2).

2. Определение расхода Q при задан ных давлениях p1 и p2.

3. Определение диаметра трубопрово да d при заданных расходе Q и давлени ях p1 и p2.

Во всех трех случаях считается, что гео метрические отметки z1 и z2, длина l, шерохо Рис. 11. ватость труб, плотность и вязкость жид- кости µ известны. Составим уравнение Бернулли для участка между сече ниями 1–1 и 2–2. Так как d = const, то w1 = w2, и уравнение (11.11) с уче том формулы (11.13) принимает вид (местных сопротивлений нет) l w p1 = p2 + g(z2 - z1) + gh = p2 + g(z2 - z1) + g. (11.17) d 2g Перейдем к рассмотрению первой схемы расчета.

Величина средней скорости w равна 4Q w =.

d Число Рейнольдса Re и относительная шероховатость равны wd Re =, =.

µ d Вычислив значения числа Рейнольдса и относительной шероховато сти, определим режим течения, область течения и выберем соответствую щую формулу для вычисления коэффициента гидравлического сопротив ления. После этого по формуле Дарси–Вейсбаха (11.13) находим потери h и из уравнения (11.17) – давление p1. Таким образом, расчетная схема сводится к цепочке вычислений, схема которой символически может быть представлена в виде Q w Re область течения h p1. (11.18) Вторая схема расчета связана с необходимостью разрешения урав нения (11.17) относительно скорости w. Так как вид зависимости = (, Re) заранее неизвестен, то это может быть сделано либо мето дом последовательных приближений, либо графоаналитическим мето дом.

ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ Для решения поставленной задачи графоаналитическим методом за дадимся серией значений расхода Q1, Q2,..., Qn и для каждого из них, ис пользуя схему (11.18), подсчитаем потери напора h1, h 2,..., hn и постро им расходную характеристику трубопровода (рис. 11.3). Так как значе ния p1, p2, z1, z2 известны, то из уравнения (11.17) можно определить по тери h. Отложив эту величину на оси ординат (рис. 11.3), найдем соот ветствующее ей значение искомого расхода жидкости.

В третьей схеме расчета искомой величиной является диаметр трубо провода d. Так как этот диаметр неизвестен, то невозможно вычислить ни среднюю скорость w, ни число Re, ни коэффициент. Решение уравне ния (11.17) может быть получено либо методом последовательных при ближений, либо графоаналитическим способом, аналогичным использо ванному при рассмотрении второй схемы расчета. Зададимся рядом значе ний диаметров трубопровода d1, d2,..., dn и для каждого из них по извест ному расходу Q подсчитаем значения скоростей w1, w2,..., wn. После этого, пользуясь расчетной схемой (11.18), для каждого di найдем поте ри напора hi и построим зависимость h = h (d) (рис. 11.4). Так как зна чения p1, p2, z1, z2 известны, то из уравнения (11.17) можно найти значе ние h. Отложив эту величину на графике рис. 11.4, определим искомый диаметр трубопровода d.

Рис. 11.3 Рис. 11. §4. Расчет сложных трубопроводов Трубопроводы, в которых имеются местные сопротивления, либо со стоящие из труб разного диаметра, либо имеющие разветвления, называ ются сложными.

Рассмотрим схемы расчета наиболее типичных сложных трубопрово дов. Начнем с рассмотрения последовательного соединения. Это сложный 212 ГЛАВА XI трубопровод, состоящий из последовательного соединения труб, между ко торыми находятся местные сопротивления. При этом трубы могут быть как одного, так и разных диаметров (рис. 11.5).

Трубопровод рассчитывают как систему из простых трубопроводов с местными сопротивлениями. Расход жидкости на всех участках одина ков. Потери на участке рассчитываются так же, как для простого трубо провода, а суммарные потери на участке между сечениями 1–1 и 2–2 – по формуле (11.16). При этом предполагается, что все геометрические эле менты трубопровода и свойства жидкости известны.

Для последовательного соединения можно построить расходную харак теристику, используя схему вычислений для простого трубопровода. Расход ная характеристика позволяет, как и в случае простого трубопровода, найти расход жидкости, если заданы давления в начале и конце трубопровода.

При решении ряда технических задач (увеличение пропускной спо собности, повышение надежности перехода через реку и т.д.) используют ся параллельные соединения. Параллельное соединение представляет со бой трубопровод, состоящий из нескольких труб, имеющих общее начало и конец (рис. 11.6).

Рис. 11.5 Рис. 11. Рассмотрим параллельное соединение, состоящее из двух труб, и для каждой из них запишем уравнение Бернулли (11.11) между сечениями 1– и 1а–2а, соответственно. Тогда* 2 ( ( p1(1) (w1(1)) p21) (w21)) ( z1(1) + + = z21) + + + h(1), g 2g g 2g (11.19) 2 ( ( p1(2) (w1(2)) p22) (w22)) ( z1(2) + + = z22) + + + h(2), g 2g g 2g где верхние индексы означают номер трубы.

* Как уже указывалось, при выполнении технических расчетов обычно принимают = 1.

ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ Так как сечения 1 и 1а, а также сечения 2 и 2а расположены в непо средственной близости друг от друга, то можно считать, что ( ( ( ( z1(1) = z1(2), z21) = z22), p1(1) = p1(2), p21) = p22). (11.20) Кроме того, так как диаметры труб постоянны, можно написать ( ( w1(1) = w21), w1(2) = w22). (11.21) Из соотношений (11.19), (11.20) и (11.21) следует, что h(1) = h(2) = h. (11.22) Перейдем к определению потерь напора на участке А–В (рис. 11.6).

Применять для этого уравнение Бернулли нельзя, так как на рассматривае мом участке имеются разветвления. Однако, можно утверждать, что поте ри энергии на участке А–В равны (-) = (-1) + (1) + (2) + (2-), (11.23) где индексы означают соответствующие участки трубопровода.

Так как h – удельные по весу потери, то = h gQ dt, и равенство (11.23) можно переписать в виде h(A-B)gQ0dt=h(A-1)gQ0dt+ h(1)gQ1dt+ h(2)gQ2dt+ h(2-B)gQ0dt. (11.24) Расход жидкости до разветвления Q0 равен сумме расходов в ветвях, то есть Q0 = Q1 + Q2.

После подстановки этого соотношения в равенство (11.24) с учетом формулы (11.22) получим h(A-B) = h(A-1) + h + h(2-B).

Совершенно аналогичные выводы получаются для разветвлений с любым числом параллельных ветвей.

Таким образом, расчет параллельных соединений из n ветвей сводит ся к решению системы уравнений n Q0 = Qi, h = h(1) = h(2) =... = h(n). (11.25) i= Решение системы (11.25) удобнее всего выполнять графоаналитичес ким методом. Рассмотрим в качестве примера случай n = 2. Зададимся 214 ГЛАВА XI ( ( серией значений расхода Q1(1), Q21),..., Qn1) в ветви 1, пользуясь расчетной схемой (11.18) для каждого из этих значений посчитаем потери h(1), h(2),..., h(n). По результатам расчетов построим расход ную характеристику (на рис. 11.7, кри вая 1). Аналогичным образом рассчита ем расходную характеристику для ветви (рис. 11.7, кривая 2). Суммируя абсцис сы кривых 1 и 2, построим суммарную характеристику (кривая 1+2). Отложив Рис. 11. на оси абсцисс полный расход Q0, на пересечении с кривой 1+2 найдем потери напора. Из приведенного по строения ясно, что h(1) = h(2), Q1 + Q2 = Q0, то есть система уравне ний (11.25) решена.

Подчеркнем еще раз, что при определении напора на участке А–В фактически учитываются потери только в какой-либо одной из труб, обра зующей параллельное соединение.

§5. Трубопроводы, работающие под вакуумом Трубопроводы, работающие под вакуумом, то есть такие, в которых давление ниже атмосферного, в технике встречаются часто. К ним отно сятся всасывающие линии насосов, сифонные трубопроводы и т.п.

Если в каком-либо сечении такого трубопровода давление становится равным давлению насыщенного пара перекачиваемой жидкости, то она на чинает кипеть. В результате образуются полости (каверны), заполненные паром. Такое явление, как уже отмечалось, называется кавитацией.

Заметим, что из уравнения Бернулли следует, что при увеличении ско рости в каком-либо сечении потока давление в этом сечении падает. Таким образом, кавитация может возникнуть в любом сужении потока, например, в местных сопротивлениях или в проточных частях гидромашин.

Образование кавитационных каверн приводит к росту потерь напора и, следовательно, к уменьшению расхода. Снижение расхода, в свою оче редь, приводит к уменьшению потерь напора, то есть к росту давления в месте возникновения кавитации, конденсации пара и схлопыванию ка верны. Схлопывание каверны сопровождается ударами (давление в центре каверны при ее схлопывании может достигать 50 МПа), вызывающими вибрацию трубопровода. Режим течения восстанавливается, давление сно ва падает, и вновь возникают кавитационные области.

ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДОВ Таким образом, понижение давления в каком-либо сечении трубопро вода до значения давления насыщенного пара py приводит к неустойчи вому режиму течения, вибрациям и, в конечном счете, к разрушению тру бопровода. Аналогичные явления могут происходить и в гидромашинах.

Из сказанного следует, что основным принципом расчета трубопроводов, работающих под вакуумом, является соблюдение требования pmin > py, (11.26) где pmin – минимальное абсолютное давление в трубопроводе.

Рассмотрим в качестве примера применения этого принципа расчет сифона постоянного диаметра, схема которого представлена на рис. 11.8.

Очевидно, что наименьшее давление будет в сечении k - k. Примем за плоскость отсчета z = 0 плоскость се чения 0 – 0, совпадающую со свобод ной поверхностью жидкости в баке слева. Тогда уравнение Бернулли для Рис. 11. участка между сечениями 0 – 0 и k - k примет вид 2 2 pат w0 pk wk l wk + = zk + + + h0 -k, h0 -k = +, (11.27) g 2g g 2g d 2g где pат – атмосферное давление, а под подразумевается сумма всех ко эффициентов местных сопротивлений на участке 0 - k. Так как площадь свободной поверхности в баке много больше площади поперечного сече ния трубы, то 2 w0 wk <<, 2g 2g и уравнение (11.27) можно переписать в виде* pат pk wk l = zk + + + +. (11.28) g g 2g d Длину трубопровода l от его начала до сечения k - k можно представить как l = L + zk, 2 2 D d w0 d * Пусть диаметр бака D = 10d. Так как w0 = wk, то = = 10-4.

2 4 4 wk D 216 ГЛАВА XI где L не изменяется при изменении zk. Тогда из уравнения (11.28) с уче том неравенства (11.26) имеем 2 pk pат l wk L wk py 1 + + = - + zk - >, 1 d 2g g g d 2g g откуда pат - py 1 L wk - + + gd 2g zk <. (11.29) l wk 1 + d 2g Таким образом, допустимая высота zk подъема жидкости в сифоне pат заведомо меньше.

g Допустимая высота всасывания для насоса рассчитывается точно та ким же образом.

Запишем уравнение Бернулли для участка между свободными поверх ностями жидкости в баках 0 – 0 и 1 – 1. Пренебрегая скоростными напора 2 w0 w ми, и учитывая, что на свободных поверхностях p0 = p1 = pат, 2g 2g получим - H + h1-2 = 0. (11.30) Таким образом, потери напора в сифоне равны разности геометричес ких отметок Н свободных поверхностей в баках.

Формула (11.30) позволяет рассчитать расход, используя вторую схе му расчета простого трубопровода.

Глава XII ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ И НАСАДКОВ При рассмотрении многих технических вопросов, таких, например, как истечение жидкости из резервуаров различного назначения, утечки че рез свищи в трубопроводах, распыление жидкости через форсунки котель ных агрегатов и двигателей внутреннего сгорания, приходится сталкивать ся с истечением жидкости через отверстия и насадки различной формы.

§1. Истечение из малого отверстия Рассмотрим резервуар (рис. 12.1), в днище которого имеется круглое отверстие диаметра d. Как известно из теоретической механики, матери альные частицы при отсутствии ударных сил не могут двигаться по траек ториям, имеющим угловые точки*. Благодаря этому поверхность струи, вытекающей из отверстия, примыкает к краю отверстия под нулевым уг лом к поверхности дна резервуара, далее струя сжимается и на некотором расстоянии l приобретает площадь сечения c, меньшую, чем площадь отверстия (рис. 12.2).

Рис. 12.1 Рис. 12. * Предполагается, что в этих точках скорость частицы отлична от нуля.

218 ГЛАВА XII Величина c = < 1 (12.1) называется коэффициентом сжатия струи.

Если стенки резервуара не влияют на формирование струи, то сжатие называется совершенным. В противном случае сжатие будет несовершен ным. Из эксперимента известно, что для того, чтобы сжатие было совер шенным, необходимо, чтобы расстояние от стенки C было больше, чем 3d, то есть должно выполняться условие C > 3d (рис. 12.1). Если по части периметра отверстия имеются направляющие козырьки (рис. 12.2), то сжа тие называется неполным. При отсутствии козырьков сжатие называется полным.

Для определения скорости истечения из отверстия проведем сече ния O - O через свободную поверхность жидкости в резервуаре и C - C – в том месте, где заканчивается сжатие струи (рис. 12.1). Запишем теперь уравнение Бернулли для участка между этими сечениями, приняв сече ние C - C за плоскость отсчета. Тогда 2 po wo pc wc l + H + + o = + c + ho-c. (12.2) g 2g g 2g Кроме того, из уравнения неразрывности следует, что owo = cwc = wc, где 0 – площадь резервуара в сечении O - O.

Из эксперимента известно, что расстояние l, на котором завершается сжатие струи, примерно равно диаметру отверстия d, то есть l d. По этому в подавляющем большинстве случаев можно принять l << H и пре небречь величиной l в уравнении (12.2).

Так как скорость течения в отверстии много больше скорости течения в резервуаре, то можно принять, что все потери напора сосредоточены в отверстии, которое является местным сопротивлением. Поэтому в соответ ствии с формулой (11.15) wc ho-c = hм =. (12.4) 2g Исключая с помощью равенства (12.3) скорость wo из уравнения Бер нулли (12.2), пренебрегая величиной l и учитывая формулу (12.4), полу чим 2 2 po wc pc wc wc H + + o = + c +, g o 2g g 2g 2g ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ И НАСАДКОВ или po - pc wc c H + = + - o. (12.5) g o 2g Из формулы (12.5) следует, что скорость истечения wc равна 1 po - pc wc = 2g H +. (12.6) g c + - o o Величина Hист, равная po - pc Hист = H +, (12.7) g называется напором истечения.

Величина, равная, (12.8) = c + - o o называется коэффициентом скорости.

В приведенных с помощью равенств (12.7) и (12.8) обозначениях фор мула (12.6) может быть представлена в виде wc = 2gHист. (12.9) Величины o и c отличны от единицы, а величина больше нуля благодаря вязкости жидкости. Величина < 1 из-за наличия инерции. По этому можно сказать, что коэффициент скорости учитывает вязкостные и инерционные свойства жидкости.

Известно (см. §11.1), что c >1, o >1. Кроме того, очевидно, что > 0.

Если отношение площади отверстия к площади свободной поверх ности в резервуаре o мало, то есть если << 1, то отверстие называ o ется малым.

Для малого отверстия формула (12.9) сохраняет свой вид, но, в отли чие от формулы (12.8), коэффициент скорости равен =, c + и так как c > 1, > 0, то < 1.

220 ГЛАВА XII Для идеальной жидкости из-за отсутствия трения c = 1, = 0. То гда = 1 и формула (12.9) принимает вид wT = 2gHист. (12.10) Скорость, определяемая формулой (12.10), называется теоретиче ской скоростью истечения. Следовательно, как это видно из формул (12.9) и (12.10), коэффициент скорости представляет собой отношение действи тельной скорости истечения и теоретической.

Расход жидкости Q через отверстие равен, очевидно, произведению скорости струи на площадь ее сечения, то есть Q = wcc = wc, или, с учетом формулы (12.9), Q = 2gHист (12.11) или Q = µ 2gHист. (12.12) Величина µ = называется коэффициентом расхода.

Таким образом, коэффициенты сжатия, скорости, расхода µ не являются независимыми, а связаны между собой равенством (12.12). Сле довательно, для расчета истечения из отверстия достаточно знать два лю бых коэффициента из трех.

Назовем теоретическим расходом величину Qт = wт = 2gHист. (12.13) Из формул (12.11) и (12.13) следует, что коэффициент расхода пред ставляет собой отношение действительного расхода к теоретическому.

Коэффициенты,, µ определяются экспериментально и являются функциями числа Рейнольдса. Примерный вид этих зависимостей приве ден на рис. 12.3.

С помощью уравнения Бернулли легко показать, что для малого от верстия формулы (12.9) и (12.12) будут справедливы и в том случае, если отверстие находится в боковой стенке резервуара. При этом под H следу ет понимать расстояние от оси отверстия до свободной поверхности.

§2. Истечение через насадки Короткая трубка, присоединенная к отверстию, называется насадком.

Длина насадка составляет 3–5 диаметров отверстия. Характер истечения ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ И НАСАДКОВ Рис. 12. жидкости через насадок существенно зависит от формы насадка. Из выво да формул (12.9) и (12.12) видно, что они будут справедливы и для истече ния через насадки. Однако коэффициенты и µ будут иметь для различ ных насадков разные значения.

На рис. 12.4 показаны различные типы насадков: 1 – внешний цилин дрический, 2 – внутренний цилиндрический, 3 – конический сходящийся, – конический расходящийся, 5 – коноидальный.

Значения коэффициентов скорости и расхода µ при квадратичном* законе истечения приведены в таблице Таблица µ Тип насадка Круглое отверстие 0,62 0, Внешний цилиндрический 0,82 0, Внутренний цилиндрический 0,71 0, Конический сходящийся (угол конусности 13о24') 0,95 0, Конический расходящийся (угол конусности 5о) 0,48 0, Коноидальный 0,98 0, Из приведенной таблицы видно, что для некоторых насадков = µ, то есть = 1. Это объясняется тем, что сжатие струи происходит внутри этих насадков, а значения коэффициентов и µ приведены для выходных сечений. Из этой таблицы также видно, что при прочих равных условиях * ‚ ‡‡‰‚ ‡, ‡ и ·‡, ‚ ‚‡‰ ‡,, µ ‡‚fl ‡ ‰‡.

222 ГЛАВА XII расход через внешний цилиндрический насадок на 30% больше, чем че рез круглое отверстие того же диаметра. В связи с этим рассмотрим бо лее подробно истечение жидкости через внешний цилиндрический наса док.

Рис. 12. Для того, чтобы струя после расширения могла полностью заполнить сечение насадка, его длина, как показывают соответствующие эксперименты, должна составлять не менее трех диаметров. Схема струи внутри насадка представлена на рис. 12.5. Из этой схемы видно, что струя при входе в асадок сжимается, а затем расширяется. При этом в облас ти сжатия образуется застойная зона, Рис. 12. заполненная вихрями.

Проведем внутри насадка сечения 1–1 и 2–2 (рис. 12.5) и запишем уравнение Бернулли для участка между этими сечениями, считая для про стоты ось насадка горизонтальной. Тогда 2 p1 w1 p2 w + = + + h1-2. (12.14) g 2g g 2g Ввиду малости расстояния между выбранными сечениями потерями по длине можно пренебречь. Следовательно, потери на участке 1–2 опре деляются потерями на внезапное расширение струи. Для определения по терь напора на такое расширение струи рассмотрим закон изменения коли чества движения (2.51), то есть рассмотрим уравнение ( Qm(v2ср) - v1(ср)) = G + + N + T. (12.15) Силы тяжести G, давления, нормальных реакций N, приложенных к боковой поверхности струи, и трения T определяются, соответственно, из соотношений (2.46), (2.47) и (2.48).

ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ И НАСАДКОВ Проектируя уравнение (12.15) на горизонтальную ось насадка Ox и пренебрегая ввиду малости ее длины силой трения T, получим Qm(w2 - w1) = x + Nx. (12.16) Принимая распределение давления в сечениях 1 – 1 и 2 – 2 гидроста тическим, имеем x = p11 - p22, Nx = p1(2 - 1), (12.17) где 1,2 – площади сечения струи в сечениях 1 – 1 и 2 – 2, соответственно.

Учитывая, что массовый расход Qm можно представить в виде Qm = w22, после подстановки соотношений (12.17) в уравнение (12.16) получим w2(w2 - w1) = p1 - p2. (12.18) Исключая из соотношений (12.14) и (12.18) разность давлений p1 - p2, после элементарных преобразований имеем (w1 - w2) h1-2 =. (12.19) 2g Полученное выражение называется формулой Борда*.

Из уравнения неразрывности для струи имеем 2 w1 = w2 = w2, (12.20) 1 вх где вх = – коэффициент сжатия струи при входе в насадок.

Подставив соотношения (12.19) и (12.20) в уравнение Бернулли (12.14), получим p1 p2 1 - вх w = -. (12.21) g g вх 2g Так как вх < 1, то из формулы (12.21) видно, что p1 < p2, то есть в сечении 1–1 имеет место разрежение, что и приводит к увеличению расхо да по сравнению с круглым отверстием.

Воспользовавшись равенством (12.9), формулу (12.21) можно пред ставить в виде p1 p2 2 1 - вх = - 2 Hист. (12.22) g g вх * Жан Шарль Борда (1733–1799), французский физик.

224 ГЛАВА XII При истечении в атмосферу p2 = pат, и в сечении 1–1 образуется ва куум. Величина этого вакуума ( pв = pат - p1) равна pв pат - p1 2 1 - вх = = 2 Hист g g вх и тем больше, чем больше напор истечения Hист. Однако существует предельное зна чение Hист = Hкр, выше которого работа насадка нарушается, происходит отрыв струи от его стенок и расход резко умень шается (рис. 12.6). При этом истечение происходит так же, как через отверстие.

Явление отрыва струи от стенок называется срывом истечения. Для воды Hкр 14,5 м.

С увеличением длины насадка начи Рис. 12. нает сказываться увеличение потерь на трение по его длине. Так как потери на трение h в соответствии с форму лой Дарси–Вейсбаха равны l w h =, d 2g то из уравнения Бернулли (12.5) сразу следует, что для насадка =. (12.23) l c + + d l Из формулы (12.23) можно определить значение, при котором рас d ход через насадок равен расходу через отверстие.

§3. Истечение жидкости при переменном уровне Рассмотрим истечение жидкости через малое отверстие или насадок при переменном уровне в резервуаре. Тече ние будет при этом неустановившимся, так как напор и, следовательно, скорость истечения меняются во времени. Будем Рис. 12. считать, что площадь поперечного сече- ния резервуара зависит от высоты, то есть, что = (z) (рис. 12.7). За промежуток времени dt уровень жидкости в резервуаре опустится на ве ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ И НАСАДКОВ личину dz. Следовательно, объем вытекшей жидкости будет ра вен V = -dz. С другой стороны, за время dt через отверстие (насадок) вытечет объем V = Q dt. Приравнивая эти объемы, получим Q dt = -(z)dz. (12.24) Принимая, что формула (12.12) справедлива и при неустановившемся движении, равенство (12.24) можно представить в виде (z)dz dt = - (12.25) µ 2gHист или, так как в рассматриваемом случае po - pc Hист = z +, g в виде (z)dz dt = -. (12.26) po - pc µ 2gz + g Из равенства (12.26) следует, что время t опускания уровня в резер вуаре от отметки z1 до отметки z2 равно z2 z (z)dz (z)dz t = - =. (12.27) po - pc po - pc z1 z µ 2gz + µ 2gz + g g Примем, что коэффициент расхода µ при истечении с переменным уровнем имеет то же значение, что и при истечении с постоянным уров нем. Кроме того, будем считать, что µ = const. Опыт показывает, что все введенные допущения приводят к весьма незначительным погрешностям.

В соответствии со сказанным формулу (12.27) можно представить в виде z 1 (z)dz t =. (12.28) µ 2g po - pc z2 z + g Рассмотрим некоторые примеры, принимая для простоты, что po = pc.

1. Истечение из вертикального цилиндра (рис. 12.8). В этом слу чае = const, и из формулы (12.28) имеем 2( z1 - z2).

t = µ 2g 226 ГЛАВА XII Рис. 12. 2. Истечение из горизонтального кругового цилиндра (рис. 12.9) Из рис. 12.9 видно, что b = 2 R2 - (z - R) = 2 2Rz - z2, (12.29) а площадь свободной поверхности равна = bL = 2L 2Rz - z2.

Тогда из формулы (12.28) имеем при po = pc z1 z 2L 2Rz - z2 2L t = dz = 2R - z dz = µ 2g z µ 2g z2 z 4L = ( 2R - z2 - 2R - z1).

3µ 2g Рис. 12.9 Рис. 12. 3. Истечение из сферического резервуара (рис. 12.10). В этом случае b =, ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ И НАСАДКОВ где величина b определяется по формуле (12.29). Тогда = (2Rz - z2), и из формулы (12.28) имеем z 2Rz - z2 2 2 3 2 3 2 5 2 5 t = dz = )- (z1 ).

3 R(z1 - z2 5 - z µ 2g z µ 2g z Глава XIII НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ Обширный класс инженерных задач, таких как расчет трубопроводов различного назначения, связан с необходимостью изучения неустановив шегося движения жидкости по трубам. Однако методы, использующие мо дель несжимаемой жидкости и недеформируемого трубопровода, приводят к существенным расхождениям с результатами эксперимента, особенно при рассмотрении длинных линий или быстропротекающих процессов.

Действительно, из уравнения (2.41) следует, что указанная модель в прин ципе не может описывать волновые процессы, возникающие в трубах. Для их описания необходимо учитывать упругость жидкости и податливость стенок трубопровода. Это привело к выделению теории неустановившихся движений жидкости по трубам в более или менее самостоятельный раздел гидромеханики.

Законченная теория неустановившихся движений идеальной сжи маемой жидкости по трубам была построена Н.Е.Жуковским. В даль нейшем рядом авторов были разработаны различные приближенные ме тоды, позволившие учесть влияние сил трения в виде поправок, вводи мых в решение для идеальной жидкости. Используя гипотезу квазиста ционарности, предложенную С.А.Христиановичем, И.А.Чарный* впер вые осуществил учет сил трения непосредственно в уравнениях движе ния жидкости. В настоящее время теория, основанная на гипотезе квази стационарности, является общепринятой. Однако, как было показано в ряде экспериментальных и теоретических работ, гипотеза квазиста ционарности представляет собой лишь первое приближение и имеет ог раниченную область применений.

§1. Уравнения неустановившихся движений жидкости по трубам Для вывода уравнений неустановившихся движений жидкости по тру бам воспользуемся уравнением неразрывности (2.27) и законом изменения * Исаак Абрамович Чарный (1909–1967), ученый в области гидромеханики.

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ количества движения (2.44), то есть уравнениями dV + vndS = 0, (13.1) t V S (v) dV + vvndS = F dV + pndS. (13.2) t V S V S Полагая pn = - pn + n, где n – напряжение трения, и используя теорему Гаусса–Остроградского, уравнение (13.2) можно представить в виде (v) dV + vvndS = F - p)dV + ndS. (13.3) ( t V S V S Рассмотрим в качестве объема V участок трубы с прямолинейной осью Ox (гидравлическая ось), ограниченный сече ниями f и f1, расположенными на рас стоянии dx друг от друга (рис. 13.1). Бу дем считать, что f = f(x,t), то есть, что площадь поперечного сечения трубы за висит от координаты и времени. Так как в сечении f vn = -vx, а в сечении f Рис. 13. vn = vx, то для выделенного элемента V уравнение (13.1) может быть представле- но в виде dV - vxdf + vxdf + vnd = 0, (13.4) t V f f где – боковая поверхность элемента V.

Уравнение (13.3) в проекции на ось Oх принимает вид (vx )dV - vxdf + vxdf + vxvnd = 2 t V f f (13.5) p = Fx - - df + df + nxd.

dV xx xx x V f f Очевидно, что для рассматриваемого объема с точностью до членов более высокого порядка малости dV = df dx, df - df = df dx. (13.6) x V f f1 f f 230 ГЛАВА XIII Будем также считать, что площадь и форма поперечного сечения тру бы f изменяются достаточно плавно, то есть что (рис. 13.1) cos2(n, x) << 1.

Тогда lim d = d, (13.7) dx dx где – периметр сечения потока.

Используя соотношения (13.6) и (13.7) и переходя в уравнениях (13.4), (13.5) к пределу при dx 0, получим df + vxdf + vnd = 0, (13.8) t x f f (vx ) df + vxdf + vxvnd = t x f f (13.9) p Fx df + df + nxd.

- xx x x f f Для дальнейшего преобразова ния уравнений (13.8) и (13.9) вычис лим величину df, t f где (x, y, z, t) – некоторая диффе ренцируемая функция координат и времени.

Так как f = f(x, t), то df = = vndt, где vn – проекция скоро Рис. 13. сти v на внешнюю нормаль n к плоскому контуру (рис. 13.2). Тогда (x,y,z,t + t)df - (x,y, z,t)df = df = lim t t t f f(x,t) f(x,t + t) (t + t) - (t)df + lim (t + t)df = (13.10) lim t0 t t t f(x,t) f(x,t + t)-f(x,t) = df + vnd.

t f НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ При течении вязкой жидкости на боковой поверхности касательная со ставляющая скорости v = 0, а нормальная составляющая vn = ± v. Посколь ку нормаль n лежит в плоскости, перпендикулярной Oх, а cos2(n, x) << по условию, то vn = vn cos(v, n ) = vn 1 - cos2(n, x) vn, и формула (13.10) может быть представлена в виде df = + vnd. (13.11) t t f f Подставив выражение (13.11) в уравнения (13.8) и (13.9), имеем df + vxdf = 0, (13.12) t x f f p vxdf + vxdf = Fx - df + xxdf + nxd. (13.13) t x x x f f f f Примем далее, что единственной действующей массовой силой явля z ется сила тяжести, то есть Fx = -g, где z1 – координата точки жид x кости, отсчитываемая от произвольной горизонтальной плоскости верти кально вверх. Тогда p z1 p Fx df = g + df = - (p + gz1) - gz1 df.

- - x x x x x f f f Как для газа, так и для слабо сжимаемой жидкости величина gz x p мала по сравнению с. Поэтому x p Fx df - - (p + gz1)df = -f (p + gz1), (13.14) x x x f f поскольку для плавно изменяющегося потока (cos2(n, x) << 1), как это сле дует из уравнений Навье-Стокса, в поперечном сечении f p + gz1 const.

Далее, очевидно, можно написать nxd =, (13.15) где – среднее по периметру сечения потока значение nx. Величиной xxdf x f 232 ГЛАВА XIII принято при выполнении гидравлических расчетов пренебрегать*. Кроме того, будем считать, что плотность жидкости пренебрежимо мало меняется по сечению потока.

Подставляя выражения (13.14) и (13.15) в уравнение (13.13) и учиты вая последние замечания, из уравнений (13.12) и (13.13) получим (f) M + = 0, t x (13.16) M J + = -f (p + gz1) +, t x x где M = vxdf = wf – массовый расход жидкости, J = vxdf = f f = w2f = Mw – проекция на ось 0x количества движения массы M, w – средняя в сечении скорость жидкости, – поправка Кориолиса на неравномерное распределение плотности и скорости в выражении для ко личества движения потока**. При выводе уравнений (13.16) не делалось никаких предположений о виде закона трения. Поэтому эти уравнения яв ляются справедливыми для любого потока газа или жидкости (как ньюто новской, так и неньютоновской) при условии, что cos2(n, x) << 1. Уравне ния (13.16) содержат в качестве неизвестных пять величин: p,, w, f, ( считается известной функцией w, свойств жидкости, вида нестацио нарности и геометрии трубы). Для получения замкнутой системы к урав нениям (13.16) необходимо добавить зависимость от w, уравнение со стояния жидкости (газа) и связь между площадью сечения трубы и давле нием.

Стенки трубы будем считать упругими, площадь поперечного сечения зависящей от давления согласно закону Гука, то есть p - p f = f01 + e, (13.17) E где f0 = f0(x) – площадь поперечного сечения трубы при давлении p0, Е – модуль Юнга материала трубы, e – безразмерный коэффициент, зависящий от формы сечения и толщины стенок трубы. Влиянием продольных сил * Последнее вытекает из того, что в соответствии с формулами (4.21) и (4.28) для слабосжимаемой жид v v кости pxx = -p + = -p + µ, а в обычных условиях µ << p.

xx x x ** При турбулентном режиме движения 1,03 -1,1, при ламинарном – = 1,33.

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ упругости и сил инерции стенок трубы можно пренебречь. В случае слабо сжимаемой жидкости будем предполагать, что она также следует закону Гука, то есть - p p = 01 +, (13.18) Kж где 0 – плотность при давлении p0, Kж – модуль объемного сжатия жидкости.

Так как выражения (13.17) и (13.18) справедливы лишь при p - p0 p - p e << 1, << 1, (13.19) E Kж то 1 e p - p f = 0f0 1 + + (p - p0 ) = 0f0 1 +, (13.20) Kж E K где Kж K = Kж 1 + e E – приведенный модуль объемного сжатия, учитывающий упругость как жидкости, так и стенок трубы. Для тонкостенной круглой трубы d e =, h где d – внутренний диаметр, h – толщина стенки трубы. По определению, скорость звука* в системе «упругая жидкость», текущая по упругой трубе, равна K K c =. (13.21) Из формул (13.20) и (13.21) следует, что (f) 0f0 p f0 p = =. (13.22) t K t t c С другой стороны, в соответствии с законом Гука (13.18), имеем p p p gz10 p p = (p + gz1) = + gz1 = +, (13.23) t t x t t K t t где p = p + gz1 – приведенное давление.

* Под скоростью звука понимается скорость распространения малых возмущений, то есть таких, для ко торых выполняются условия (13.19).

234 ГЛАВА XIII Подставив соотношения (13.22) и (13.23) в уравнения (13.16), получаем f0 p M + = 0, t x c (13.24) M J p + = -f +.

t x x f Для случая течения газа в трубе можно принять = 0, то есть пре t небречь изменением площади сечения трубы. Тогда, воспользовавшись из dp вестной формулой = co, где co – скорость звука в газе, получим d 1 p (f) f p =, =, 2 t t t t co co (13.25) gz p p p p = (p + gz1) = + gz1 = +, t t t t t t t co откуда сразу следует, что уравнения (13.24) справедливы и для газа. В даль нейшем не будем пользоваться разными обозначениями c и co.

Для установления зависимости от свойств жидкости и параметров течения воспользуемся гипотезой квазистационарности, то есть предполо жением, что характеристики сопротивлений, установленные для стацио нарных течений, сохраняются и для нестационарных. Тогда, в соответст вии с формулой (10.35), будем иметь w = - w, и уравнения (13.24) примут окончательный вид f0 p M + = 0, t x c (13.26) w M J p + = -f - w.

t x x §2. Уравнения неустановившихся движений слабосжимаемой жидкости по трубам Интегрируя второе уравнение (13.26) по x, имеем x x w M dx + J(x) - J(0) = -fср[p(x) - p(0)]+ w dx1, t 0 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ где fср – среднее значение площади f на участке [0, x]. Из определения J следует, что величина J = w f представляет собой динамическое давление, соответствующее удвоен ному скоростному напору. Очевидно, что при движении слабосжимае мой жидкости можно пренебречь изменением этого давления по сравне нию с изменением приведенного давления p(x) - p(0). Последнее эквива J лентно пренебрежению членом в уравнениях (13.26). Далее, в соответ x ствии с формулами (13.20) и (13.21) имеем f0w M (fw) w (f) w p w = = f + w = f + f, x x x x x x x c (13.27) f0w M (fw) w (f) w p w = = f + w = f + f.

t t t t t t t c Подставив соотношения (13.27) в уравнения (13.26), пренебрегая чле J ном и полагая f f0, 0, получим уравнения движения вязкой, x слабосжимаемой жидкости в виде p w - = c2, t x (13.28) w p w - = + w, x t f где = – гидравлический радиус потока. Для оценки полученного результата рассмотрим уравнение Навье-Стокса (9.3), описывающее течение несжимаемой жидкости по призматической трубе. Полагая трубу круглой (поток осесиммет ричный) и F = g, из уравнения (9.3) в проекции на ось Oх имеем u µ u r = - (gz1 + p) +. (13.29) t x r r r Средняя скорость течения в этом случае равна R R 1 w = 2ru dr = ru dr, (13.30) R2 R 0 где R – радиус трубы. Умножив уравнение (13.29) на 2r dr и интегрируя по радиусу от 0 до R, с учетом равенства (13.30) получим p w 2µ u - = -, x t R r r=R 236 ГЛАВА XIII R u или, так как для круглой трубы =, = µ, 2 r r=R p w k - = -. (13.31) x t Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости имеет, очевид но, вид w = 0. (13.32) x Из сравнения уравнений (13.31) и (13.32) с системой уравнений (13.28) следует, что сжимаемость жидкости и упругость стенок трубы учтены в уравнениях (13.28) только в том, что в них, в отличие от несжимаемой жидкости, w = w(x, t), и скорость звука c имеет конечное значение. Од нако, указанные отличия имеют принципиальное значение. Действительно, система уравнений (13.28) является гиперболической, то есть допускает, в отличие от уравнений для несжимаемой жидкости, волновые решения.

Следовательно, уравнения (13.28) позволяют описывать волновые процес сы, возникающие в трубах при неустановившемся движении. Уравнения w (13.28) содержат в общем случае нелинейный член w, что сущест венно затрудняет их интегрирование. Различные способы линеаризации, заключающиеся в представлении нелинейного члена в виде w w w = 2aw, 2a = = const > 0, (13.33) 8 ср рассмотрены в монографиях, представленных в списке литературы. Там же приведены некоторые оценки погрешностей, возникающих в результате A линеаризации. При ламинарном режиме течения =, откуда Re w A w µ Aµ = = = 2a.

8 w 4 8 d 32µ В случае круглых труб A = 64, = и 2a =, где d – диаметр 4 d трубы. Подставив соотношение (13.33) в уравнения (13.28), получим окончательно p w - = c2, t x (13.34) p w - = + 2aw.

x t Отметим еще раз, что в этих уравнениях принимается = const.

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ §3. Уравнения неустановившихся движений газа по трубам с малыми дозвуковыми скоростями При рассмотрении течения газа необходимо к уравнениям (13.26) до бавить уравнение состояния, например, p = ZRT, (13.35) где Z – коэффициент сверхсжимаемости, R – газовая постоянная, T – аб солютная температура.

Подставив равенство (13.35) в выражение p = p + gz1, имеем gz p = p + gz1 = p +, ZRT откуда видно, что даже при достаточно больших z1 (z1 < 200м) можно принимать p p. Как показывают соответствующие оценки, при движе нии газа в длинных газопроводах с малыми дозвуковыми скоростями мож но пренебрегать динамическим давлением, соответствующим удвоенному скоростному напору, и тем более – его изменением, то есть пренебречь J членом в уравнениях (13.24).

x Учитывая эти оценки, а также полагая f = f0, из уравнений (13.26) имеем p (w), - = c t x (13.36) w w p (w) (w) w - = + w = +.

x t 8 t Так как коэффициент гидравлического сопротивления зависит от чис ла Re, 4w = (Re) =, µ а коэффициент вязкости – от температуры, µ = µ(T), то система из трех уравнений (13.35) и (13.36) содержит четыре неизвестных: p,, w,T. При течении газа в длинных газопроводах обычно предполагают, что режим течения является изотермическим, то есть полагают T = T0 = const. В этом случае рассматриваемая система уравнений (13.35), (13.36) становится замкнутой.

238 ГЛАВА XIII Для линеаризации второго из уравнений (13.36) может быть использо вано соотношение (13.33). Тогда p (w), - = c t x (13.37) p (w) - = + 2aw, x t где при малых дозвуковых скоростях течения можно принимать c = const.

При этой линеаризации уравнения (13.37) совпадают с уравнениями (13.34) для жидкости, когда = const. Такая линеаризация является более гру бой, нежели для жидкости, так как в длинных газопроводах скорость по длине может заметно меняться, что не имеет места при течении жидкости.

Для того, чтобы указать другой способ линеаризации уравнений (13.36), воспользуемся следующим приемом. Учитывая (13.25), перепишем уравнения (13.36) в виде w w w p - = + w = +, t x x x x c (13.38) w p w - = + w + w.

x t t Исключая из второго уравнения (13.38), получим t w w2 p w w - - = - + w. (13.39) 1 c2 x t x 2 Выше мы условились рассматривать малые дозвуковые скорости и пренебрегать скоростным напором и его производными. Поэтому первое из уравнений (13.37) и уравнение (13.39) можно с учетом соотношений (13.25) и уравнения состояния (13.35) переписать в виде 1 p w p w - = =, t x ZRT x c w w p w p w - = + w = + w, x t 8 ZRT t или ln p c2 w - =, t ZRT x (13.40) w ln p 1 w - = + w.

x ZRT t Уравнения (13.40) совпадают с уравнениями (13.28) для жидкости, если в последние подставить вместо p ln p, а вместо – 1(ZRT). Линеаризация уравнений (13.40) может быть произведена с помощью соотношения (13.33).

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ §4. Интегрирование уравнений неустановившихся движений жидкости и газа методом характеристик Системы уравнений – нелинейная p w - = c2, t x (13.41) w p w - = + w x t и линеаризированная p w - = c2, t x (13.42) p w - = + 2aw x t относятся к гиперболическому типу. В дальнейшем при движении жидкос ти, как это следует из уравнений (13.28) и (13.34), под p будем понимать приведенное давление p = p + gz1. При движении газа в соответствии с уравнениями (13.40) под p будем понимать ln p, а под – = const.

ZRT Для численного интегрирования нелинейной системы (13.41) наибо лее удобным является метод характеристик. Используя стандартные мето ды, получим, что уравнения характеристик и соотношения на них имеют вид w x - ct = const, dp + c dw + w dx = 0, (13.43) w x + ct = const, dp - c dw + w dx = 0.

Заметим, что в рассматриваемом случае уравнения характеристик не зависят от решения. Поэтому их сетка может быть построена до начала решения, что суще ственно упрощает процедуру численного интегрирования. Характеристика, опи сываемая соотношением x - ct = const, называется прямой, а соотношением x + ct = const – обратной. Заменяя в диф ференциальных соотношениях (13.43) диф ференциалы конечными разностями, чим систему уравнений для определения Рис. 13. приближенных значений p и w в точке 240 ГЛАВА XIII (рис. 13.3), которые обозначим через p7,w7. Эта система имеет вид 1 w p7 - p1 + c w7 - w1 + w1 x7 - x1 = 0, ( ) ( ) (13.44) 2 w p7 - p2 - c w7 - w2 + w2 x7 - x2 = 0, ( ) ( ) где p1, p2, w1, w2, 1, 2 – значения p, w, в точках 1 и 2, соответственно.

Для того, чтобы эти значения были известны, необходимо, очевидно, за дать начальные условия w(x,0) = f1(x), p(x,0) = f2(x), 0 x l, где l – длина трубы. Аналогичным образом вычисляются значения p и w в точках 8, 9, 10 и 11. Найденные из уравнений (13.44) значения p7,w7 представляют собой первое приближение функций p и w в точке 7. Для их уточнения можно прибегнуть к обычным итерационным мето дам. Другой способ повышения точности заключается в уменьшении шага сетки характеристик. В граничную точку 12 приходит только об ратная характеристика. Поэтому из уравнений (11.43) имеем только одно соотношение 7 w p12 - p7 - c(w12 - w7 ) + w7(x12 - x7 ) = 0, содержащее две неизвестные p12 и w12. Для получения второго уравнения необходимо задать граничное условие при x = 0, то есть одно из соотно шений вида w = w(t), p = p(t), f(p,w) = 0 при x = 0, t > 0. (13.45) Решение в граничной точке 17 получается аналогичным образом. Для этого необходимо выписать конечно-разностное соотношение на характе ристике и задать граничное условие типа (13.45), но при x = l. Очевидно, что метод характеристик может быть использован и для численного интег рирования линеаризированной системы уравнений (13.42).

§5. Интегрирование линеаризированных уравнений неустановившегося движения с помощью преобразования Лапласа Изображение по Лапласу функции двух переменных u(x, t) и ее ча стных производных по координате и времени имеют, соответственно, НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ вид dU u(x, t) U(x, s) = u(x, t)e- stdt, = e- stdt, dx x 0 (13.46) u(x, t) sU(x, s) - u(x,0) = e- stdt, t где u(x,0) – начальное условие для функции u(x, t), s – комплексный па раметр, причем Re s > 0. При этом предполагается, что интегралы в фор мулах (13.46) существуют, операции интегрирования и дифференцирова ния по координате перестановочны и u(x,t) u(x, t) lim u(x, t)e- st = 0, lim e- st = 0, lim e- st = 0.

t t t t x Переход от изображения к оригиналу выполняется при помощи фор мулы обращения +i u(x,t) = estU(x, s)ds, (13.47) 2i -i причем прямая - i, + i проводится так, чтобы все особые точки изображения U(x, s) лежали слева от нее.

Рассмотрим применение интегрального преобразования Лапласа к ре шению системы линеаризированных уравнений (13.42). Предварительно сделаем следующее замечание. Пусть при t 0 движение является уста новившимся. Тогда из уравнений (13.42) следует, что w0 = w(x,0) = const, p0 = p(x,0) = p(0,0) - 2aw0x, где w0, p0 – скорость и давление при установившемся движении.

Положим w(x,t) = w0 + w*(x,t), p(x,t) = p0 + p*(x,t), где w*, p* – возмущения скорости и давления – их отклонения от стационарных значений. Легко видеть, что w*, p* удовлетворяют уравнениям (13.42). Так как всякое неустановившееся движение можно рассматривать как возникшее из установившегося, то начальные условия для возмущений имеют вид t 0, w*(x,0) = 0, p*(x,0) = 0, (0 x l). (13.48) Поэтому в дальнейшем будем рассматривать уравнения (13.42) при началь ных условиях (13.48) и, опуская индекс *, под w(x, t), p(x, t) будем пони 242 ГЛАВА XIII мать возмущения скорости и давления. Очевидно, что при этом краевые условия также должны быть сформулированы для возмущений.

Применив преобразование Лапласа по переменной t к уравнени ям (13.42), получим с учетом формул (13.46) и начальных условий (13.48) dV x,s ( ) s + xs = 0,, ( ) dx c (13.49) d x,s ( ) + s + 2a V x,s = 0, ( ) ( ) dx где (x, s) = p(x, t)e- stdt, V(x, s) = w(x, t)e- stdt 0 – изображения по Лапласу давления p(x, t) и скорости w(x, t). Общее реше ние системы обыкновенных дифференциальных уравнений (13.49) имеет вид (x, s) = Aex + Be- x, V(x, s) = - (Aex - Be- x), (13.50) Z(s) где s 2a 2a = 1 +, Z s = c 1 +. (13.51) ( ) c s s Полагая в формулах (13.50) последовательно x = 0 и x = l, получим (0, s) = A + B, V(0, s) = - (A - B), Z(s) (13.52) (l, s) = Ael + Be- l, V(l, s) = - (Ael - Be- l).

Z(s) Исключая из равенств (13.52) постоянные интегрирования A и B, имеем (0, s)ch l - (l, s) - V(0, s)Z(s)sh l = 0, (13.53) l (0, s)sh(s) + V(0, s)ch l - V(l, s) = 0.

Z Соотношения (13.53) представляют собой уравнения гидравлического четырехполюсника, связывающие между собой изображения давления и ско рости по концам трубопровода. Подчеркнем особо, что вид соотноше ний (13.53) не зависит от граничных условий рассматриваемой задачи.

Для получения решения уравнений (13.42) в изображениях, или, что то же самое, решения уравнений (13.49), при произвольных граничных усло виях необходимо определить константы А и В. Из соотношений (13.52) видно, что для этого достаточно знать любую пару величин (0, s), V(0, s), (l, s), V(l, s). Из равенств (13.53) следует, что достаточно иметь еще два независи мых соотношения относительно этих величин. Такие соотношения могут быть НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ получены из дополнительных условий, связывающих между собой значения давления, скорости и их производных по концам трубопровода.

Ограничимся в дальнейшем рассмотрением только линейных допол нительных условий. Так как, согласно уравнениям (13.42), производные по координате могут быть выражены через скорость и производные по време ни, то любые линейные дополнительные условия для этих уравнений мож но привести к виду p(0, t) w(0, t) 11 p(0, t) + 12 + 13w(0, t) + 14 + t t p(l, t) w(l, t) + 11 p(l, t) + 12 + 13w(l, t) + 14 = (t), t t (13.54) p(0, t) w(0, t) 21 p(0, t) + + 23w(0, t) + + 22 t t p(l, t) w(l, t) + 21 p(l, t) + 22 + w(l, t) + 24 = (t), t t где ij, ij,, – известные функции времени.

Полагая в условиях (13.54) 2j = 1j = 0, j = 1,2,3,4, получим общий вид линейной краевой задачи, а принимая 1j = 2j = 0 или 1j = = 0, j = 1, 2, 3, 4, 2j получим общий вид линейной задачи Коши при x = 0 или x = l, соответ ственно.

Далее будем рассматривать только стационарные дополнительные ус ловия, то есть будем считать коэффициенты ij, ij константами. Приме няя к условиям (13.54) преобразование Лапласа по времени, с учетом на чальных условий (13.48) получим 1(0, s) + 1(l, s) + 2V(0, s) + 2V(l, s) = (s), (13.55) 3(0, s) + 3(l, s) + 4V(0, s) + 4V(l, s) = (s), где 1 = 11 + 12s, 1 = 11 + 12s, 2 = 13 + 14s, 2 = 13 + 14s, 3 = 21 + 22s, 3 = 21 + 22s, (13.55) 4 = 23 + 24s, 4 = 23 + 24s, (s) = (t)e- stdt, (s) = (t)e- stdt.

0 244 ГЛАВА XIII Выражения (13.53) и (13.56) образуют замкнутую систему четырех ли нейных алгебраических уравнений, из которых имеем 1(s) 3(s) (0, s) =, V(0, s) =, (13.57) (s) (s) где ch l - 1 - Z(s)sh l - sh l 0 ch l - (s) = Z(s), 1 1 2 3 3 4 0 - 1 - Z(s)sh l 0 0 ch l - 1(s) =, (13.58) (s) 1 2 (s) 3 4 ch l - 1 0 - sh l 0 0 - Z(s) 3(s) =.

1 1 (s) 3 3 (s) Из первого равенства (13.52) с учетом формул (13.57) имеем 1(s) - Z(s)3(s), B = 1(s) + Z(s)3(s). (13.59) A = 2(s) 2(s) Подставляя формулы (13.59) в равенства (13.50), получим 1(s)ch x - 3(s)Z(s)sh x, (x, s) = (s) (s) (13.60) 1(s) 3(s)ch x.

sh x V(x, s) = - + (s) Z(s) (s) Переходя в соотношениях (13.60) от изображений (x, s), V(x, s) к их оригиналам p(x, t), w(x, t), получим искомое решение уравнений (13.42) при начальных (13.48) и дополнительных (13.54) условиях. Этот переход может быть выполнен либо с помощью таблиц соответствия, либо по фор муле обращения (13.47). Помимо таблиц соответствия для преобразования Лапласа имеются обширные таблицы для преобразования Лапласа–Кар сона.

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ Изображение по Лапласу функции f(t), то есть L[f(t)] и ее изобра жение по Лапласу–Карсону K[f(t)] связаны между собой соотношени ем K[f(t)] = sL[f(t)].

Эта формула позволяет находить оригинал f(t), если известно его изобра жение L[f(t)], с помощью таблиц обращения для преобразования Лапласа– Карсона. Рассмотрим некоторые примеры использования формулы обра щения (13.47).

§6. Примеры расчета нестационарных процессов в трубах Расчет нестационарных процессов в трубопроводах различного назна чения, в частности, расчет гидравлического удара, часто сводится к зада чам, когда по концам трубы заданы давление или скорость течения как функции времени.

Рассмотрим следующие случаи:

A. t 0, p 0,t = 1 t, w l,t =2 t, ( ) ( ) ( ) ( ) B. t 0, p 0,t = 1 t, p l,t = 2 t, ( ) ( ) ( ) ( ) (13.61) C. t 0, w 0,t =1 t, w l,t =2 t, ( ) ( ) ( ) ( ) D. t 0, w 0,t =1 t, p l,t = 2 t, ( ) ( ) ( ) ( ) Начальные условия во всех четырех случаях принимаются нулевыми, то есть определяются по формулам (13.48).

Очевидно, что случай D сводится к случаю А заменой y = l - x, 2(t) = 1(t), 1(t) = -2(t). В дальнейшем будем считать, что граничные функции i(t), i(t) могут иметь разрывы при t = +0. Из формул (13.54), (13.56), (13.61) следует, что в случае А 1 = 1, 4 = 1, в случае В 1 = 1, 3 = 1, в случае С 2 = 1, 4 = 1.

Остальные i, i во всех трех случаях равны нулю.

Вычислив с помощью этих соотношений определители (13.58) из фор мул (13.60), получим:

246 ГЛАВА XIII случай А x,s = s1 s -1 +0 +1 +0 F1 l - x,s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - c2 s2 s - +0 + +0 F2 x,s, ( ) ( ) ( ) ( ) 2 (13.62) V x,s = s1 s -1 +0 +1 +0 F3 l - x,s + ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) c + s2 s -2 +0 +2 +0 F1 x,s ;

( ) ( ) ( ) ( ) случай В x,s = s1 s -1 +0 +1 +0 F4 l - x,s + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + s2 s -2 +0 + 2 +0 F4 x,s, ( ) ( ) ( ) ( ) (13.63) V x,s = s1 s -1 +0 + 1 +0 F5 l - x,s ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) c - s2 s -2 +0 + 2 +0 F5 x,s ;

( ) ( ) ( ) ( ) случай C x,s = c2 s1 s - +0 + +0 F6 l - x,s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 - c2 s2 s - +0 + +0 F6 x,s, ( ) ( ) ( ) ( )(13.64) 2 V x,s = s1 s -1 +0 +1 +0 F4 l - x,s + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + s2 s -2 +0 +2 +0 F4 x,s, ( ) ( ) ( ) ( ) где i(s) = i(t)e- stdt, (s) = i(t)e- stdt, i = 1, 2, i 0 ch y sh y sh y F1(y, s) =, F2(y, s) =, F3(y, s) =, (13.65) s ch l ch l s2 ch l sh y ch y ch y F4(y, s) =, F5(y, s) =, F6(y, s) =.

s sh l sh l s2 sh l При выводе формул (13.65) было использовано вытекающее из фор мул (13.51) соотношение c Z(s) =.

s НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ Так как выражение s(s) - (+ 0) представляет собой изображение функции, то в соответствии с теоремой о свертке и формулами (13.62), t (13.63), (13.64) имеем:

случай А t p x,t = N1 l - x,t - - c22 N2 x,t - d + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +1 +0 N1 l - xt - c22 +0 N2 xt,,, ( ) ( ) ( ) ( ) t (13.66) w x,t = 1 N3 l - x,t - +2 N1 x,t - d + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c + 1 +0 N3 l - x,t +2 +0 N1 x,t ;

( ) ( ) ( ) ( ) c случай В t p x,t = 1 N4 l - x,t - + 2 N4 x,t - d + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +1 +0 N4 l - x,t + 2 +0 N4 x,t, ( ) ( ) ( ) ( ) t (13.67) w x,t = 1 N5 l - x,t - -2 N5 x,t - d + ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) c + 1 +0 N5 l - x,t -2 +0 N5 x,t ;

( ) ( ) ( ) ( ) c случай С t p(x,t) = c2 1( )N6(l - x,t - ) - 2( )N6(x,t - )]d + [ + 2[1(+ 0)N6(l - x,t) - 2(+ 0)N6(x,t)], (13.68) t w(x,t) = 1( )N4(l - x,t - ) + 2( )N4(x,t - )]d + [ + 1(+ 0)N4(l - x,t) + 2(+ 0)N4(x,t), где в соответствии с формулой обращения (13.47) + i Ni(y,t) = Fi(y, s)estds, i = 1, 2,..., 6. (13.69) 2i -i 248 ГЛАВА XIII Функции F1, F2, F3 обладают простыми полюсами sn, соответствую щими корням уравнения ch l = cos il = 0, (13.70) а функции F4, F5, F6 – простыми полюсами sm, соответствующими кор ням уравнения sh l = -i sin il = 0. (13.71) Кроме того, функции F1, F2, F4 обладают простым полюсом s0 = 0, ( функция F5 – простыми полюсами s0 = 0 и s01) = -2a, функция F6 – по люсом s0 = 0 второго порядка.

Из уравнений (13.70) и (13.71) и первой формулы (13.51) следует, что простые полюса sn и sm определяются по формулам sn = -a ± in, sm = -a ± i, n = 1, 2, 3,..., m = 1, 2, 3,..., m 2 (13.72) n - 1 c mc n = - a2, = - a2, m 2 l l то есть каждому n и каждому m соответствуют два полюса.

Все корни sn и sm отвечают условиям Re sn < 0, Re sm < 0 и, следо вательно, в формуле (13.69) можно положить = 0.

Для замыкания контура интегрирования в формуле (13.69) рассмот рим при вычислении функций N1, N2, N3 последовательность дуг радиуса c Rn = n, l а при вычислении N4, N5, N6 – радиуса c 2m - Rm = l с центрами в начале координат и лежащих слева от мнимой оси комплекс ной плоскости s. Из формул (13.72) видно, что ни один из полюсов sn не лежит на дугах радиуса Rn и ни один из полюсов sm не лежит на дугах ра диуса Rm. Покажем, что на дуге радиуса Rn при n величина ch x A = ch l ограничена. На дуге радиуса Rn s = Rnei,.

2 Тогда, в соответствии с формулой (13.51), значение n на этой дуге будет равно Rn 2a n = n + in = ei ei +, c Rn НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ откуда после элементарных преобразований имеем Rn a2 a a n = 1 + 4 + 4 cos + 2 cos2 - 1 + 2 cos, 2c2 Rn Rn Rn (13.73) Rn a2 a a n = 1 + 4 + 4 cos - 2 cos2 + 1 - 2 cos.

2c2 Rn Rn Rn Из первой формулы (13.73) видно, что при n и, следователь но, Rn имеем - < n < +.

Так как n n n n ch nx e- (l-x) + e- (l+x) e (l+x) + e (l-x) = = = n n ch nl 1 + e-2 l 1 + e2 l sh2 nx + cos2 nx = = A, sh2 nl + cos2 nl то при x < l Re n =n ± A 0. При x = l A =1. При n конечном A – конечная величина. Условие n = 0 выполняется, как это видно a Rn из формулы (13.73), только при cos = -. При этом n = ± Rn c и cos2 nl = cos2 n = 1, то есть A и в этом случае – конечная величина.

Аналогично можно показать, что на дугах радиуса Rn при n величина sh x, ch l а на дугах радиуса Rm при m величины sh x ch x, sh l sh l ограничены. Из доказанного следует, как это видно из формул (13.65), что при Rn величины F1, F2, F3 равномерно стремятся к нулю, а при Rm равномерно стремятся к нулю величины F4, F5, F6. Теперь, в соответствии с леммой Жордана, для t > 0 интеграл (13.69) на основа нии интегральной теоремы Коши можно представить в виде Ni y,t = Fj y, s estds = Re s y, s est s=s, ( )2 i ( ) ( ) Fj n n= k 250 ГЛАВА XIII где k (k = n,m) – замкнутый контур, образованный дугой радиуса Rk и мнимой осью комплексной плоскости s. Применяя стандартную про цедуру нахождения вычетов, после соответствующих вычислений полу чим n 4 - 1) a 2n-1 y N1(y,t) = 1 + e-at ( ch int + in sh int cos 2 l, 2n- n= n 2ay 8l - 1) a2-n 2n-1 y N2(y,t) = + e-at sh int + 2a ch int sin, (( c2 c2 n=1 2 in 2 l 2n-1) n c2 - 1) 2n - 1 y N3(y,t) = -2 e-at sh int sin, ( l in 2 l n= (13.74) m y 2 - 1) a y N4(y,t) = + e-at ( ch i mt + i sh i mt sin m l, l m m m= m c2 2c2 - 1)sh i t cos m, y N5(y,t) = (1 - e-2at)+ e-at m ( 2al l i l m m= m t al ay2 2l -1) a2- y m N6(y,t)= - + - sh i t + 2a ch i t cos m.

m m ( l 3c2 c2l c2 m=1 m2 i l m Формулы (13.66)–(13.68) и (13.74) дают решение задач (13.61). Заметим, что при больших длинах трубопровода может иметь место случай, когда для малых значений n 2n - 1 c < a.

2 l Тогда величина n будет мнимой, и 2n - 1 c * * * in = -n = a2 -, sh int = - shnt, ch int = chnt.

2 l При 2n - 1 c > a 2 l n – вещественная величина, и sh int = i sinnt, ch int = cosnt.

Аналогичные замечания будут справедливы и для случаев mc mc < a и > a.

l l НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ §7. Гидравлический удар Резкое изменение скорости в трубопроводе, например, при закры тии задвижки, сопровождается соответствующим изменением давле ния. Это явление называется гидравлическим ударом. Впервые гидрав лический удар в идеальной жидкости был подробно исследован в 1898 г.

Н.Е. Жуковским. Рассмотрим применение формул, полученных в преды дущем параграфе, к классической задаче о гидравлическом ударе.

При x = 0 расположен резервуар большой емкости, давление в котором считается постоянным. При x = l происходит изменение скорости по за данному закону. При мгновенной остановке потока граничные условия для возмущений имеют, очевидно, вид t 0, p(0,t) = 1(t) = 0, w(l,t) = 2(t) = -w0, где w0 – скорость стационарного течения.

Подставив граничные условия в формулы (13.65), получим p(x,t) = c2w0N2(x,t), (13.75) w(x,t) = -w0N1(x,t).

Из формул (13.74) и (13.75) следует, что решение рассматриваемой задачи имеет вид медленно сходящихся рядов.

При a = 0, то есть для идеальной жидкости, 2n - 1 c n =, sh int = i sinnt 2 l и при x = l в соответствии с формулами (13.74) 4 1 2n - 1 c 1 2l N2(l,t) = sin t =, 0 < t <, (13.76) c 2n - 1 2 l c c n = откуда 2l p(l,t) = cw0, 0 < t <. (13.77) c Соотношение (13.77) представляет собой классическую формулу Н.Е. Жуковского для гидравлического удара в идеальной жидкости. Гра p(l,t) ct фик зависимости = от =, то есть в безразмерных координа cw0 l p(l,t) тах, представлен на рис. 13.4. Графики зависимостей = от cw 252 ГЛАВА XIII ct c c c = при a = 0,125, a = 0,25, a = 0,5 представлены на рис. 13.5, l l l l 2aw0l 13.6 и 13.7. Заметим, что величина представляет собой отношение wc потерь давления на длине l к ударному давлению, по Н.Е.Жуковскому.

Из приведенных графиков видно, что при наличии трения давление в сече 2l нии x = l продолжает возрастать до момента времени t =, то есть до c момента прихода волны, отраженной от сечения x = 0. Этот факт был ус тановлен И.А. Чарным. При a c l волновые явления практически исче зают.

Рассмотрим гидравлический удар при граничных условиях - w0t, 0 t T, t 0, p(0,t) = 1(t) = 0, w(l,t) = (t) = (13.78) T - w0, t T, где T – время торможения потока.

Из формул (13.66) и (13.78) имеем при 0 t T tt p l,t = N2 l,t - d = N2 l, d, ( )c2w0 ( ) ( )c2w TT при t > T T t c2w0 c2w p(l,t) = N2(l,t - )d = N2(l, )d.

T T 0 t-T Рис. 13.4 Рис. 13. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ Рис. 13.6 Рис. 13. Для простоты положим в дальнейших вычислениях a = 0. Тогда, с уче том формулы (13.76), получим t 8w0l 1 2n - 1 c p(l,t) = - cos t, (13.79) 2 ( T 2 l 2n - 1) t n= где при t T t1 = 0, а при t T t1 = t - T.

Сумма ряда (13.79) известна и равна 1 2n - 1 c ct ct cos t = -, -.(13.80) ( 2 l 4 2 2l 2l 2n - 1) n = С учетом периодичности формула (13.80) может быть представлена в более удобном виде 1 2n - 1 c cos t = F(t), ( 2 l 2n - 1) n= где 1 - ct ct + 4k, 4k 4k + 2, l l F(t) = k = 1, 2, 3,.... (13.81) 1 + ct - 4k - 4, 4k + 2 ct 4k + 4, l l Теперь формула (13.79) может быть представлена в виде w0l p(l,t) = - [F(t) - F(t1)]. (13.82) T 254 ГЛАВА XIII Для иллюстрации применения формул (13.81) и (13.82) рассмотрим случай T = l / c.

ct ct t При t T 0 1, k = 0, F(t)=1-, F(t1)= F(0)=1 и p =cw0.

l l T ct ct1 c ct При t T область изменения величин и = (t - T) = - l l l l разобьем на отрезки и получим ct ct ct1 ct 1 2, k = 0, F t = 1 - ;

0 1, k = 0, F t1 = 2 -, ( ) ( ) ll ll p = cw0;

ct ct ct1 ct 2 3, k = 0, F t = 1 + - 4;

1 2, k = 0, F t1 = 2 -, ( ) ( ) ll l l ct p =- cw0 2 - 5;

l ct ct ct1 ct 3 4, k = 0, F t = 1 + - 4;

2 3, k = 0, F t1 = - 4 +, ( ) ( ) ll l l p = -cw0;

ct ct ct1 ct 4 5, k =1, F t = 5 - ;

3 4, k = 0, F t1 = - 4 +, ( ) ( ) ll l l ct p = -cw0 9 - l p и т.д. График зависимости = от = (ct) l приведен на рис. 13.8.

cw 2l 3l Зависимости от при T = и T = представлены на рис. 13. c c и рис. 13.10, соответственно.

Рис. 13.8 Рис. 13. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ Рис. 13.10 Рис. 13. 4l ct Особый интерес представляет случай T =. При 0 c l ct t ct ct F(t)=1-, F t1 = F 0 =1, p = cw0. При 2 4 F(t)=1+ - 4, ( ) ( ) l T l l cw0 ct ct.

F(t1)= F(0)= -1, p = 4 - При t > T t1 = - 4, на отрезке 4 l l ct ct ct 4 6, k = 1, F(t) = 5 - ;

на отрезке 0 2, k = 0 и F t1 = ( ) l l l ct = 5 -, откуда следует, что p(l,t) = 0.

l ct Легко видеть, что и при 6 p(l,t) = 0. Зависимость l p ct 4l = от = при T = представлена на рис. 13.11. Можно пока cw0 l c l зать, что если T = 4n, то при t T p(l,t) = 0. Заметим, что величи c l на представляет собой время пробега волны гидравлического удара по c трубе длиной l.

§8. Влияние нестационарности течения на силу трения Выведенные в §1 настоящей главы уравнения неустановившегося дви жения по трубам, например (13.24), связывают между собой средние в се чении скорость w, плотность, давление p и среднее по периметру тру бы касательное напряжение. Для замыкания этой системы уравнений 256 ГЛАВА XIII обычно используется гипотеза квазистационарности. Расчеты, выполнен ные на базе этой гипотезы, как правило, хорошо подтверждаются экспери ментом. Тем не менее, в ряде случаев, особенно при наличии крутых фрон тов давления (скорости), а также при течении неньютоновских жидкостей, были обнаружены заметные расхождения между экспериментальными и теоретическими результатами. Это обстоятельство заставляет обратить особое внимание на правомерность гипотезы квазистационарности. Дейст вительно,, как известно, есть функция реологических характеристик жидкости и распределения местных скоростей по сечению потока. В то же время распределение скоростей при нестационарном течении существенно отличается от такового при стационарном. Для случая ламинарного неус тановившегося течения несжимаемой жидкости этот факт был теоретиче ски установлен в работах И.С.Громеки, П.Лямбосси и ряда других авторов и экспериментально исследован Е.Ричардсоном и Е. Тайлером. Очевидно, что уравнения для осредненных величин в принципе не позволяют оценить влияние нестационарности на величину силы трения. Поэтому для уточне ния связи с осредненными параметрами течения необходимо обратить ся к рассмотрению соответствующих дифференциальных уравнений для местных величин, то есть к уравнениям Навье–Стокса.

Оставаясь в рамках тех же допущений, что и при выводе уравне ний (13.28), то есть пренебрегая сжимаемостью жидкости и упругостью трубы в уравнении движения, запишем уравнение Навье–Стокса в виде dv = F - p + µv. (13.83) dt Рассмотрим осесимметричное течение по круглой цилиндрической тру бе, считая, что из массовых сил действует только сила тяжести. В этом случае уравнение (13.83) в проекции на ось трубы Oх имеет вид (13.29), или u µ u r = - (gz1 + p) +, u = vx. (13.84) t x r r r Полагая p(x,t)= p0(x)+ p*(x,t), u(x,r,t)= u0(x,r)+ u*(x,r,t), где u0, p0 – стационарные значения скорости и давления, а u*, p* – их возму щения, перепишем уравнение (13.84) в виде u* p* µ u* = - +. (13.85) r t x r r r Начальные условия для возмущений имеют, очевидно, вид t 0, u*(x,r,0) = 0, p*(x,t) = 0. (13.86) НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ В дальнейшем индекс * будем опускать и под p,u понимать возму щения давления и скорости.

Применяя к уравнению (13.85) и начальным условиям (13.86) преоб разование Лапласа по времени, получим 2U(x,r, s) 1 U(x,r, s) s 1 d(x, s) + - (x,r, s) + = 0, (13.87) U r2 r r s dx где µ U(x,r, s) = u(x,r,t)e- stdt, (x, s) = p(x,t)e- stdt, =. (13.88) 0 Вводя функцию 1 d(x, s) (x,r, s) = U(x,r, s) +, (13.89) s dx из уравнения (13.87) после умножения на r2 и замены переменной s z = r, (13.90) получим z2 + z - z2 = 0. (13.91) z2 z Уравнение (13.91) представляет собой однородное уравнение Бесселя нулевого порядка. Его решение, ограниченное при r = z = 0, имеет вид (x, z,s) = C(x, s)I0(z), (13.92) где I0(z) – функция Бесселя от мнимого аргумента нулевого порядка.

Подставив решение (13.92) в соотношение (13.89), с учетом равенст ва (13.90) получаем 1 d(x, s).

U(x,r, s) = C(x, s)I0 sr - (13.93) s dx Функция U(x,r, s) должна удовлетворять условию прилипания жид кости на стенке трубы, то есть при r = R U(x, R, s) = 0, откуда в соответствии с равенством (13.93) получаем 1 d(x, s) = C(x, s)I0 s R, (13.94) s dx 258 ГЛАВА XIII Исключая из формул (13.93) и (13.94) C(x, s), получаем I0 sr 1 d(x, s).

U(x,r, s) = - 1 (13.95) s I s R dx 2rdr Умножая равенство (13.95) на и интегрируя полученное R выражение от 0 до R, то есть осредняя решение по радиусу, получаем* I0 s R I0 2 s d(x, s) a = -sV(x, s) = -sV(x, s), (13.96) dx s I2 s R I a где I2 – функция Бесселя от мнимого аргумента второго порядка, R 2 V(x,s) = rU(x,r, s)dr, a =. (13.97) R2 R Из формул (13.30), (13.88) и (13.97) следует, что R V x,s = r u x,r,t e-stdtdr = ( )R2 ( ) 0 R = ru x,r,t e-stdrdt = w x,t e-stdt, ( ) ( ) R 0 0 то есть V(x, s) представляет собой изображение по Лапласу средней ско рости w(x,t).

Применяя преобразование Лапласа к первому из уравнений (13.41), то есть к уравнению неразрывности, с учетом начальных условий (13.86) по лучаем dV(x, s) s = - (x, s). (13.98) dx c Уравнения (13.96) и (13.98) представляют собой записанные в изображе ниях по Лапласу уравнения ламинарного неустановившегося движения вязкой слабосжимаемой жидкости по круглой цилиндрической трубе для средних в сечении величин скорости и давления при начальных условиях (13.86).

Перейдем к определению связи между средней скоростью w и каса тельным напряжением. Осреднив уравнение (13.85) по сечению трубы, * При выводе формулы (13.96) были использованы известные соотношения для функций Бесселя 2I1(z).

zI0(z)dz = I1(z), I2(z) = I0(z) z НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ получим w p 2µ u p = - + = - +. (13.99) t x R r x R r=R Применив к уравнению (13.99) преобразование Лапласа, с учетом на чальных условий (13.86) имеем 2T d(x, s) = + sV(x, s), (13.100) R dx где T = (x,t)e-stdt.

( ) из уравне d x, s Подставив в соотношение (13.100) значение dx ния (13.96), получаем s I0(2 ), R a T = SV(x, s) 1 - (13.101) s I2(2 ) a то есть получаем связь между изображениями касательного напряжения T и средней скорости V(x, s). Так как w sV(x, s) = e-stdt, t то в соответствии с теоремой о свертке из равенства (13.101) имеем t R w(x, )(t - )d, = (13.102) где + i I0 2 s 1 a estds, (t) = 1 2i s I2 -i a или, так как I0(z) = J0(iz), I2(z) = J2(iz), + i J0 2i s 1 a estds.

(t) = 1 2i J2 2i s -i a 260 ГЛАВА XIII В результате получено, что azk (t) = -2a - a exp - t, (13.103) k= s где zk (k 0) – корни уравнения J2(z) = J2 2i = 0. Подставив соот a ношения (13.102) и (13.103) в уравнение (13.99) и используя уравнение не разрывности из (13.41), или (13.42), которое, очевидно, остается без изме нений, имеем p w - = c2, t x t p w w(x, )W(t - )d, (13.104) - = + 2aw + a x t где azk W(t ) = exp- t, t = at.

k= График функции W(t) представлен на рис. 13.12. Коэффициент 2a, как это видно из формулы (13.33), при ламинарном режиме течения по круглой трубе равен w 64 w 2a = = = = const, 8 Re R что совпадает с формулой (13.97). Таким образом, при ламинарном режиме течения нет необходимости в линеаризации уравнений (13.41), то есть име- Рис. 13. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ ют место уравнения (13.42). Отказ от гипотезы квазистационарности при водит к появлению в уравнении движения интегрального члена t w(x, )W(t - )d, a учитывающего с определенным весом всю предысторию нестационарного процесса. Анализ решений уравнений (13.104) показал, что при периодиче ских процессах коэффициент затухания высокочастотных гармоник пропор ционален корню квадратному из частоты. Это приводит к сглаживанию импульсов давления (скорости) и «размазыванию» крутых фронтов. Дан ные факты имеют экспериментальное подтверждение. В то же время из решения уравнений (13.42) следует, что коэффициент затухания высоко частотных гармоник практически не зависит от частоты. Таким образом, использование гипотезы квазистационарности не позволяет учесть указан ные выше явления. Позади фронта гидравлического удара кривые повы шения давления, рассчитанные по уравнениям (13.42) и (13.104), посте пенно сближаются. Поэтому расчет давления позади фронта, в том числе и расчет максимального повышения давления, может быть выполнен с достаточно высокой точностью по формулам, полученным в предполо жении справедливости гипотезы квазистационарности.

Глава XIV ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ Рассмотрим обтекание потоком жидкости неподвижной стенки С. В слу чае идеальной жидкости оно описывается уравнениями Эйлера dvi p = Fi - (14.1) dt xi и граничным условием vn C = 0. (14.2) В случае несжимаемой вязкой жидкости необходимо использовать урав нения Навье–Стокса dvi p = Fi - + µvi (14.3) dt xi и граничные условия v C = 0, vn C = 0. (14.4) Очевидно, что при µ 0 уравнения Навье–Стокса (14.3) в пределе совпадают с уравнениями Эйлера (14.1). Однако решение уравнений Навье–Стокса не стремится при этом к решению уравнений Эйлера, так как граничные условия (14.4), при которых оно было получено, не за висят от величины вязкости и не могут стремиться к граничному усло вию (14.2).

Эти соображения, а также некоторые экспериментальные данные при вели Л.Прандтля к мысли, что при малой вязкости, или, что то же самое, при больших числах Рейнольдса, ее действие проявляется лишь в доста точно тонком слое у стенки, получившем название пограничного слоя. Вне пограничного слоя вязкость сказывается весьма незначительно, и жидкость можно рассматривать как идеальную.

Уравнения Навье–Стокса для течения в пограничном слое, учитывая малую толщину последнего, могут быть существенно упрощены. Теории пограничного слоя посвящена весьма обширная литература.

ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ §1. Уравнения пограничного слоя Для вывода уравнений погранично го слоя рассмотрим, пренебрегая массо выми силами, плоскопараллельное обтекание вязкой несжимаемой жидкостью тонкого цилиндрического тела (рис. 14.1). При этом будем считать, что обтекаемая стенка плоская, и напра Рис. 14. вим ось Oх вдоль стенки, а ось Oу – по нормали к ней.

Из формул (4.42) следует, что уравнения течения в рассматриваемом случае имеют вид vx vx vx p 2vx 2vx + vx + vy = - + µ + t x y x x2 y2, vy vy vy p 2vy 2vy, + vx + vy = - + µ + (14.5) t x y y x2 y vx vy + = 0.

x y Для приведения уравнений (14.5) к безразмерному виду положим L x = L, y = L, vx = Vu, vy = Vv, p = V p, t = t, V где L – характерная длина обтекаемого тела, V – характерная скорость по тока. Подставив эти соотношения в уравнения (14.5) и опуская для сокраще ния записи черточки над безразмерными временем и давлением, получим u u u p 1 2u 1 2u + u + v = - + +, t Re Re (14.6) 1 1 1 v v v p 1 2v 1 2v + u + v = - + +, t Re Re (14.7) 1 u v + = 0, (14.8) 1 264 ГЛАВА XIV где VL =, Re =, L µ – толщина пограничного слоя, а под членами этих уравнений приведены их оценки внутри пограничного слоя по величине.

Перейдем к рассмотрению справедливости этих оценок. Примем, что на длине L скорость vx изменяется на величину порядка V. Тогда u ~ 1 и vx V u V u = ~, ~ 1.

x L L 2u Аналогичным образом можно показать, что ~ 1.

Из уравнения неразрывности (14.8) имеем v u = - ~ 1.

Далее, очевидно, u v = - d ~, так как внутри пограничного слоя 0 < <. Из этого неравенства также следует, что 2v 1 u 1 2u ~, ~, ~.

2 Так как v ~, то v 2v ~, ~.

u Примем также, что ~ 1. Это означает, что внезапные ускорения t типа гидравлического удара исключаются из рассмотрения. Тогда v ~.

t Таким образом, подтверждена справедливость выписанных выше оце нок отдельных членов в уравнениях (14.6), (14.7), (14.8).

Из этих оценок следует, что при учете влияния вязкости определяю 1 2u щим в уравнении (14.6) является член. Поэтому отношение сил Re ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ инерции к силам трения можно представить в виде u 1 2u u :.

Re Л. Прандтль предположил, что в пограничном слое отношение сил инер ции к силам трения есть величина порядка 1, то есть Re ~. (14.9) Соотношение (14.9) позволяет дать оценку толщины пограничного слоя в виде ~. (14.10) Re Рассмотрим следующий пример. Пусть характерный размер обтекае мого тела L = 1м, характерная скорость потока V = 1м/с, а динамический кг кг коэффициент вязкости µ = 10-3 (вода, 20С), плотность = 103.

м с м Тогда VL Re = = 106, µ и в соответствии с формулой (14.10) ~ = 10-3, Re или ~ 1мм. В этом тонком слое и происходит изменение скорости vx от нуля до ее значения во внешнем течении.

Возникает вопрос о характере течения в пограничном слое при таких значениях числа Re. Как показывают наблюдения, течение вдоль пласти VL ны остается ламинарным при Re = < (5 105 106).

µ Пренебрегая в уравнениях (14.6), (14.7), (14.8) малыми членами и учи тывая при этом формулу (14.9), получаем u u u p 1 2u + u + v = - +, t Re (14.11) p u v = 0, + = 0.

Уравнения (14.11) представляют собой уравнения Л.Прандтля для по граничного слоя, записанные в безразмерном виде. Возвращаясь в уравне 266 ГЛАВА XIV ниях (14.11) к размерным величинам, имеем vx vx vx 1 p µ 2vx + vx + vy = - +, t x y x y (14.12) p vx vy = 0, + = 0.

y x y Из этих уравнений видно, что давление в поперечном направлении по граничного слоя можно считать постоянным и равным тому давлению, ко торое существует на его внешней границе. Течение, внешнее по отноше нию к пограничному слою, как уже указывалось, может быть описано с помощью модели идеальной жидкости.

Как было показано, на внешней границе пограничного слоя v ~ vx V или vy ~. Производная из-за пренебрежения вязкостью во L y внешнем сечении на этой границе также мала, и продольная скорость vx переходит в скорость внешнего течения U(x,t). Поэтому на границе по граничного слоя уравнение движения можно записать в виде U U 1 p + U = -. (14.13) t x x В случае установившегося движения из уравнения (14.13) имеем p + U = const. (14.14) Граничные условия для внешнего течения благодаря малости толщи V ны пограничного слоя и тому, что vy ~, можно принять такими же, L как при непосредственном обтекании тела идеальной жидкостью. Иначе говоря, для расчета внешнего потока можно рассматривать обтекание тела идеальной жидкостью, пренебрегая при этом толщиной погранич ного слоя.

Итак, система уравнений (14.12) сводится к vx vx vx 1 p µ 2vx + vx + vy = - +, t x y x y (14.15) vx vy + = 0, x y где p = p(x,t) следует рассматривать как известную функцию. В случае установившегося движения оно может быть определено из равенства (14.14).

Уравнения (14.15) называются уравнениями Прандтля для пограничного слоя.

ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ Граничные условия для системы уравнений (14.15) имеют вид vx = vy = 0 при y = 0, vx = U(x,t) при y.

Последнее условие надо понимать в том смысле, что vx асимптотичес ки стремится к функции U(x,t), которая считается наперед заданной.

С помощью формулы (14.10) можно получить лишь оценку порядка величины толщины пограничного слоя. Так как в действительности грани ца между пограничным слоем и внешним течением достаточно условна, то для ее уточнения используются различные критерии. Наиболее простым из них является условие того, что скорость на внешней границе пограничного слоя равна 99% от скорости внешнего течения.

§2. Задача Блазиуса Для иллюстрации применения уравне ний пограничного слоя (14.15) рассмотрим обтекание тонкой неподвижной пластинки (рис. 14.2). Начало координат совместим с началом пластинки, а ось Oх направим вдоль нее параллельно скорости набегаю щего потока. Длину пластинки будем счи тать бесконечной, а течение – стационар ным. Скорость набегающего потока при мем равной U0. Сформулированная таким Рис. 14. образом задача называется задачей Блазиу са.

dp Так как скорость внешнего течения по условию постоянна, то = 0, dx и уравнения (14.15) принимают вид u u 2u u + v =, x y y (14.16) u v + = 0, x y где µ u vx, v vy, =.

Граничные условия для уравнений (14.16) имеют вид u = v = 0 при y = 0, u = U0 при y. (14.17) 268 ГЛАВА XIV Обратимся к построению решения задачи Блазиуса. Уравнения (14.16) и граничные условия (14.17) содержат систему определяющих параметров x,y,,U0, из которых только два обладают независимыми размерностями. Следова тельно, из этой системы можно составить две безразмерных комбинации, например, y U, y.

x x Тогда искомые функции u(x,y), v(x,y) можно представить через безраз мерные функции f и как y U0 U0 y U u = U0f,y, v = x x,y x. (14.18) x x Сделаем в уравнениях (14.16) и граничных условиях (14.17) замену переменных l U x = lx1, y = y1, u = U0u1, v = v1, (14.19) U0 l где l – некоторый линейный размер.

Подставив соотношения (14.19) в уравнения (14.16) и граничные ус ловия (14.17), получим u1 u1 2u u1 + v1 =, (14.20) x1 y1 y u1 v + = 0, (14.21) x1 y u1 = v1 = 0 при y1 = 0, u1 = 1 при y1. (14.22) Из формул (14.19) следует, что y y1 U0 l y1 x x =, y = y1 =, v = v1 = v1 x1, x lU0 x1 x x x1 U0 l и равенства (14.18) могут быть представлены в виде y1 y, v1 = 1 y1, y u1 = f,.

lU0 x1 x1 lU0 x x1 x В то же время уравнения (14.20), (14.21) и граничные условия (14.22) не содержат в себе длины l. Следовательно, решение этих уравнений не ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ может зависеть от l, то есть от аргумента, поэтому lU y1 1 y u1 = f, v1 =, x1 x1 x или 1 y1 U u1 = f( ), v1 = ( ), = = y. (14.23) x1 x1 x Из уравнения неразрывности (14.21) следует, что существует функция тока (x1,y1), так что u1 =, v1 = -.

y1 x Положим y u1 = = f( ) = ( ) =. (14.24) y1 x Тогда = u1dy1 = ( )dy1 = x1 ( )d = x1( ), (14.25) 1 d d v1 = - = - () - x1 = [ ( ) - ( )].

x1 2 x1 d dx1 2 x Подставив соотношения (14.24) и (14.25) в уравнение (14.20), получим d 1 d d + ( - )d y1 =, d x1 2 x1 d d d y1 y или, после дифференцирования и приведения подобных членов, 2 - = 0. (14.26) Из граничных условий (14.22) и формул (14.24), (14.25) следует, что граничные условия для уравнения (14.26) имеют вид (0) = 0, (0) = 0, () = 1. (14.27) Таким образом, уравнения в частных производных (14.16) с гранич ными условиями (14.17) свелись к обыкновенному нелинейному диффе ренциальному уравнению (14.26) с краевыми условиями (14.27). Решение этой задачи может быть построено численно с высокой точностью, что и было сделано давно.

270 ГЛАВА XIV Из формул (14.19), (14.23), (14.24) и (14.25) следует, что u U0 U0 U y U0, = y y.(14.28) v 1 y - = U0 x U0 2 U0x x x x Графики распределения продольной и поперечной составляющих ско рости в пограничном слое представлены на рис. 14.3 и 14.4, соответствен но.

Рис. 14.3 Рис. 14. u Принимая, что на внешней границе пограничного слоя = 0,99 из U первой формулы (14.28) имеем U 0,99 = y.

x Тогда из таблицы функции ( ) следует, что x y = 5.

U Подставляя это значение во вторую формулу (14.28) и используя таблицы функций ( ), (), получим на внешней границе погранично го слоя v = [5 (5) - (5)] 0,837.

U0 2 U0x U0x ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ Полученное решение для распределения скоростей в пограничном слое позволяет вычислить напряжение трения 0 на пластине.

Действительно, при ламинарном течении u 0 = µ.

y y= Подставив в это соотношение первую из формул (14.28), получаем U0 U 0 = µU0 y = µU0 (0).

x y x y= Обращаясь к таблице численных значений функции (), име ем (0) = 0,332, и U 0 = 0,332. (14.29) x Из формулы (14.29) следует, что сила трения W на одной стороне пластины, приходящаяся на единицу ее ширины, равна x W = 0dx = 0,664 U0x.

§3. Отрыв пограничного слоя В §8.2 было показано, что при стационарном обтекании окружности идеальной жидкостью скорость течения вдоль ее дуги сначала возрастает, а затем убывает. В соответствии с интегралом Бернулли давление при этом также сначала возрастает, а затем убывает. Аналогичное явление имеет ме сто при обтекании любого выпуклого контура. Течение жидкости в диффу зоре также происходит при положительном градиенте давления.

При течении идеальной жидкости ее кинетической энергии доста точно для преодоления положительного градиента давления. В погра ничном слое благодаря вязкости происходит замедление течения. По этому кинетической энергии жидкости оказывается недостаточно для того, чтобы частицы продвинулись далеко в область повышенного дав ления. В результате возникает возвратное течение и связанное с ним вихреобразование. Толщина пограничного слоя при этом резко возраста ет, и условия, при которых были введены уравнения Прандтля, переста ют выполняться.

272 ГЛАВА XIV Рассмотрим обтекание криволинейно го контура С и будем вдоль него отсчиты вать координату х (рис. 14.5). В соответст вии со сказанным существует точка М с ко ординатой xM, такая, что при x < xM p p < 0, а при x > xM > 0.

x x Так как в точках контура С, то есть при y = 0, vx = vy = 0, то в соответствии Рис. 14. с уравнениями (14.15) 2vx p µ = < 0 при x < xM, y2 x (14.30) 2vx p µ = > 0 при x > xM, y2 x и в точке М 2vx = 0. (14.31) y Так как кривизна k кривой y = l(x) равна d2l dl k = 1 +, dx2 dx то из неравенств (14.30) и формулы (14.31) следует, что в точке М кривизна эпюры скоростей vx = vx(x) меняет свой знак (рис. 14.5).

Поэтому при x > xM возникает возвратное течение и, как следствие, – отрыв пограничного слоя.

p Из приведенных рассуждений ясно, что если всюду в потоке 0, x то отрыва пограничного слоя не происходит.

Глава XV ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Рассмотрение одномерных течений позволяет изучить основные зако номерности, присущие движению газов с большими скоростями. Одно мерными течениями газа (жидкости) называются такие течения, характе ристика которых (скорость v, плотность, давление p, абсолютная тем пература T ) зависят только от одной координаты и времени. Примером одномерного течения может служить течение по трубке тока, если ско рость, плотность, давление и температура распределены равномерно по ее сечению. В этом случае v = v(l,t), = (l,t), p = p(l,t), T = T(l,t), где l – координата, отсчитываемая вдоль оси трубки.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.