WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 7 |

«СЕРИЯ «СОВРЕМЕННЫЕ НЕФТЕГАЗОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ» Редакционный совет: ...»

-- [ Страница 2 ] --

Уменьшим единицу измерения массы в раз, а единицу измерения длины – в раз. Тогда число, выражающее величину массы, увеличится в раз, а длины – в раз. Следовательно, число, выражающее величину плотности, как это вытекает из ее размерности в классе MLT, изменится в -3 раз. Аналогично можно рассмотреть масштабы пересчета числен ных значений и для других физических величин.

Таким образом, размерность физической величины представляет собой функцию, которая определяет, во сколько раз изменится численное значение этой величины при переходе от исходной системы единиц измерения к дру гой системе внутри данного класса.

§2. О формуле размерности Исходным пунктом для вывода формулы размерности является утвер ждение, что внутри заданного класса все системы единиц измерения равно правны. Отсюда следует, что отношение двух численных значений какой либо производной величины не зависит от выбора масштабов основных * ·‡ · ‚‚‰ ‡‚.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ единиц измерения внутри данного класса систем единиц измерения. На пример, S1м2 S1см2 1кг/м3 1г/см =, =, S2м2 S2см2 2кг/м3 2г/см где S1, S2 – площади каких-либо фигур;

1, 2 – плотности двух различных сред.

Пусть – u = f(x,y, z) некоторая производная размерная величина, а x, y, z – численные значения основных единиц измерения, например, длины, массы и времени. Пусть u – значение величины u, соответст вующее значениям аргументов x, y, z. Уменьшим основные единицы измерения, соответственно, в,, раз. Тогда на основании исходно го утверждения u f(x,y, z) f(x, y,z) = = u f(x,y, z ) f(x, y,z ), откуда f(x, y,z) f(x, y,z ) = = (,, ). (5.1) f(x,y, z) f(x,y, z ) Таким образом, отношение численных значений производной вели чины, полученных в разных масштабах основных единиц, зависит толь ко от отношения этих масштабов. В соответствии с приведенным выше определением функция (,,) представляет собой размерность вели чины u.

Из формулы (5.1) следует, что f(1x, 1y,1z), (2, 2, ) = f(2x, 2y, z) (1, 1,1) = f(x,y, z) f(x,y, z) или (1, 1,1) f(1x, 1y,1z) = (5.2) (2, 2, ) f(2x, 2y, z).

2 Положим 2x = x, 2y = y, z = z. Тогда из формул (5.1) и (5.2) имеем 1 1 f x, y, z (1, 1,1) 2 2 = 1, 1, 1. (5.3) = (2, 2, ) f(x,y, z ) 2 2 84 ГЛАВА V Дифференцируя равенство (5.3) по 1, получаем 1,, 1 (1, 1,1) 2 =.

(2, 2, ) 1 2 Пусть теперь 1 = 2 =, 1 = 2 =, 1 = 2 =. Тогда 1 (,, ) m =, (5.4) (,, ) где 1, 2, 2 m = = const.

1 = = = 2 Интегрируя равенство (5.4) по, находим ln = m ln + ln C1(, ), откуда = mC1(, ). (5.5) Подставив соотношение (5.5) в равенство (5.3), имеем m m 1 C1(1,1) 1 1 = C1,, (5.6) C1(2, ) 2 2 2 т.е. имеем уравнение того же вида, что и соотношение (5.3). Продолжая ана логичные рассуждения, т.е. дифференцируя выражение (5.6) по 1 и т.д., по лучаем:

n l = Cm.

Из формулы (5.1) следует, что при = = = 1 = 1. Таким обра зом, С=1, и формула размерности приобретает вид n l = m. (5.7) Таким образом, доказано, что формула размерности физической вели чины имеет вид степенного одночлена.

Из формулы (5.7) следует, что для безразмерных величин m = n = l = =1.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ §3. Величины с независимыми размерностями Рассмотрим две совокупности размерных величин: скорость v, давле ние p, плотность и вязкость µ, расход Q, длина l. Их размерности в клас се L M T таковы L M M M L [v] =, [p] =, [] = ;

[µ] =, [Q] =, [l] = L.

T LT2 L3 LT T Запишем равенство M M L [p] = [] [v] или =. (5.8) LT2 L3 T Так как единицы длины, массы и времени взаимно независимы, то приравнивая показатели степеней при L, M, T, из равенства (5.8) получим = 1, - 3 + = -1, - = -2, откуда = 1, = 2 и [p] = [][v ]2.

Запишем теперь аналогично для µ, Q, l M L [µ] = [Q] [l], или = L.

LT T Очевидно, что последнее равенство не может соблюдаться ни при ка ких и.

Таким образом, размерность давления может быть выражена через раз мерности плотности и скорости, а размерность вязкости не может быть вы ражена через размерности расхода и длины.

Введем следующее определение. Пусть дана совокупность k размер ных физических величин а1, а2,..., ак. Если размерность ни одной из этих величин не может быть выражена через размерности остальных k – 1 вели чин, то совокупность величин а1, а2,..., ак называется совокупностью па раметров с независимыми размерностями.

Из приведенного определения следует, что µ, Q, l образуют совокуп ность параметров с независимыми размерностями, а p,, v – совокупность параметров с зависимыми размерностями.

Пусть дана система единиц измерения из m основных единиц. Пока жем, что в этой системе число k единиц с независимыми размерностями не превосходит m, т.е. k m.

Примем для простоты рассуждений, что m = 3 и основными единица ми являются L, M, T. Пусть а1, а2,а3,а4 – размерные величины. Положим [a4] = [a1]x[a2]y[a3]z. (5.9) 86 ГЛАВА V i i i В соответствии с формулой размерности (5.7) [ai] = [M]m [L]n [T]l, и равенство (5.9) можно представить в виде x y z 4 4 4 1 1 1 2 2 2 3 3 Mm Ln Tl = (Mm Ln Tl ) (Mm Ln Tl ) (Mm Ln Tl ), откуда, приравнивая показатели степеней при L, M, T, имеем m1x + m2y + m3z = m4, n1x + n2y + n3z = n4, (5.10) l1x + l2y + l3z = l4.

По условию 4, 4, 4 не равны нулю одновременно ([а4] 1). Поэтому равенства (5.10) представляют собой неоднородную систему трех линей ных уравнений относительно неизвестных x, y, z.

Рассмотрим определитель этой системы m1 m2 m = n1 n2 n3.

l1 l2 l Если 0, то система (5.10) имеет единственное решение, и значит справедливо равенство (5.9). Следовательно, величина а4 является размер но-зависимой, и k = 3.

Если =0, то между столбцами детерминанта существует линейная за висимость, например, m1 = m2 + m3, n1 = n2 + n3, l1 = l2 + l.

[a1] = [a2]µ [a3] При этом случаи µ = = 0, µ = = 0, = = 0 исключаются, так как, по условию, а1, а2, а3 – размерные величины. Таким образом, при =0 ве личины а1, а2, а3 размерно-зависимы, и k < 3.

Очевидно, что изложенные рассуждения могут быть без труда обоб щены на случай m >3.

Из приведенного доказательства следует, что если а1, а2,..., аk при k=m обладают независимыми размерностями, то размерность любой раз мерной величины аk+1 может быть выражена в виде 1 2 k [ak+1] = [a1]m [a2]m... [ak]m. (5.11) Из формулы (5.11) следует также, что при k = m величины а1, а2,..., аk могут быть приняты за новую систему единиц измерения.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ §4. П-теорема* П-теорема представляет собой основную теорему теории размернос тей. Для ее доказательства рассмотрим предварительно одно вспомога тельное утверждение.

Пусть в системе единиц измерения данного класса имеется совокуп ность физических величин а1, а2,..., аk, обладающая независимыми раз мерностями. Покажем, что внутри данного класса можно перейти к такой системе единиц измерения, в которой численное значение любой из вели чин а1, а2,..., аk, например, для определенности а1, изменится в произволь ное число А раз, а численные значения всех остальных величин останутся неизменными.

Пусть в выбранном классе систем единиц измерения имеется m ос новных единиц измерения P, Q,.… Тогда, по ранее доказанному, 1 1 2 2 k k [a1] = P Q..., [a2] = P Q..., [ak] = P Q..., где хотя бы одна из величин i, i (i =1, 2,..., m) отлична от нуля.

Изменим масштабы основных единиц измерения в P, Q,... раз так, чтобы численное значение остальных сохранилось бы без изменения. То гда 1 1 2 2 k k P Q … = A, P Q … = 1, …, P Q … = 1. (5.12) Логарифмируя равенства (5.12), получим 1 ln P + 1 ln Q +... = ln A, 2 ln P + 2 ln Q +... = 0, (5.13)......................

k ln P + k ln Q +... = 0, то есть получим систему k линейных алгебраических уравнений для неиз вестных переходных множителей P, Q,....

Выше было доказано, что число параметров с независимыми размер ностями k меньше или равно числу основных единиц измерения, то есть k m. Пусть k = m. Детерминант системы (5.13) заведомо отличен от нуля, так как в противном случае существовала бы линейная зависимость между его столбцами и величины а1, а2,..., аk обладали бы зависимыми размерностями, что противоречит исходному предположению. Следова тельно, при k = m система (5.13) обладает единственным решением.

В случае k < m число уравнений меньше числа неизвестных и систе ма (5.13) имеет бесконечное множество решений.

* В основу изложения настоящего параграфа положены идеи, предложенные Г.И.Баренблаттом.

88 ГЛАВА V Таким образом, сделанное утверждение доказано.

Перейдем к доказательству П-теоремы.

Пусть функция a = f(a1, a2, …, ak, ak +1, …, an ), (5.14) у которой аргументы а1, а2,..., аk обладают независимыми размерностями, представляет собой какую-либо физическую зависимость*.

Выбирая различные системы единиц измерения, можно, очевидно, произвольным образом менять численные значения аргументов функции f.

Однако ясно, что физическая закономерность, т.е. вид функции f, не может зависеть от применяемой системы единиц измерения. Иначе говоря, физи ческие закономерности должны быть инвариантны по отношению к при меняемым системам единиц измерения.

Как было показано в §3, размерности величин а, аk+1,..., аn могут быть выражены через размерности величин с независимыми размерностями, то есть k+1 k+1 k+ [a] = [a1] [a2] … [ak], [ak+1] = [a1] [a2] … [ak], (5.15) n n n [an] = [a1] [a2] … [ak].

Введем параметры a ak+i =, i =, i = 1, 2,…,n - k. (5.16) k+i k+i k+i a1 a2 … ak a1 a2 … ak Из формул (5.15) следует, что величины (5.16) являются безразмер ными.

Подставив значения (5.16) в соотношение (5.14), получаем n 1 1 1 n n a1 a2 … ak = f(a1, a2, …, ak, 1a1 a2 … ak, …, n-ka1 a2 … ak ) или = (a1, a2, …, ak, 1, 2, …, n-k). (5.17) Как было доказано, путем изменения масштабов основных единиц из мерения можно численное значение величины a1 изменить в произвольное число раз, причем так, чтобы численные значения величин a2,a3, …, ak остались без изменения. Так как параметры, 1, 2, …, n-k являются безразмерными, то их численные значения тоже не изменяются. Это озна чает, что функция от аргумента a1 не зависит и = a2,a3, …, ak,1, 2, …, n-k.

() * ‡‡ ‚‰ ‡‚ ‰ ‡fl.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ Применяя эти же рассуждения последовательно к параметрам а2, а3,..., аk, из формулы (5.17) получим, что = (1, 2, …, n-k). (5.18) Полученный результат представляет собой содержание -теоремы, или теоремы Букингама. Пусть существует физическая закономерность, выраженная в виде зависимости некоторой, размерной величины от раз мерных же определяющих параметров. Эта зависимость всегда может быть представлена в виде зависимости некоторой безразмерной величины от безразмерных комбинаций определяющих параметров. Количество этих безразмерных комбинаций меньше общего числа определяющих парамет ров на число размерных определяющих параметров с независимыми раз мерностями.

Иначе говоря, пусть дана физическая зависимость (5.14) и пусть вели чины а1, а2,..., аk обладают независимыми размерностями. Тогда зависи мость (5.14) может быть приведена к виду (5.18), где безразмерные пара метры, 1, 2, …, n-k вычисляются по формулам (5.16).

Из формул (5.14) и (5.18) следует, что при переходе от зависимо сти (5.14) между размерными величинами к безразмерной зависимости (5.18) число аргументов уменьшается на число k параметров с независи мыми размерностями, и соотношение (5.18) является инвариантным отно сительно применяемых систем единиц измерения.

Особый интерес представляет случай k = n. Из формул (5.16) и (5.18) следует, что в этом случае a = = C = const, или a = Ca1 a2 … ak. (5.19) a1 a2 … ak Заметим, что из общего числа параметров а1, а2,..., аn в формуле (5.14) совокупность параметров с независимыми размерностями а1, а2,..., аk мо жет быть выбрана разными способами. Поэтому, как это видно из формул (5.16), безразмерные параметры, 1, 2, …, n-k могут иметь различ ный вид при одном и том же виде зависимости (5.14).

Заметим также, что смысл П-теоремы сводится по существу к перехо ду к новой системе единиц измерения а1, а2,..., аk.

§5. Подобие физических явлений, моделирование Рассмотрим описание какого-либо физического явления в заданной сис теме единиц измерения, которую обозначим индексом (1). Изменим масшта 90 ГЛАВА V бы основных единиц измерения и новую систему обозначим индексом (2).

Тогда, очевидно, (1) = (2), (1) = (2).

i i По определению немецкого физика Р. Поля, «физическая величина – произведение числового значения на единицу этой величины». Иначе го воря, Y = y[y], где Y – физическая величина, y – ее числовое значение в единице измерения [y]. Очевидно, что изменение параметра Y по тем же правилам, по которым изменяется единица измерения [y], приводит к оди наковому изменению численного значения y. Действительно, например, плотность среды определяется как отношение ее массы m к занимаемому объему V, то есть m M =, [] =.

V L Уменьшим единицу массы в 10 раз, а единицу измерения длины увели чим в 10 раз. Тогда численное значение плотности увеличится в 10/(10 –1)3 = = 104 раз. Увеличим теперь массу среды в 10 раз, а линейные размеры за нимаемого ею объема уменьшим в 10 раз. Численное значение плотности изменится также в 104 раз.

Рассмотрим теперь два аналогичных физических явления (например, течение жидкостей в трубах), одно из которых обозначим (н) – натура, другое (м) – модель. Подберем физические параметры модели таким обра зом, чтобы выполнялись условия (м) = (н). (5.20) i i Тогда, как это следует из П-теоремы, то есть из формулы (5.18), (м) = (н). (5.21) При выполнении условий (5.20) модельное и натурное явления назы ваются подобными, а величины i – критериями подобия.

«Два явления подобны, если по заданным характеристикам одного мож но получить характеристики другого простым пересчетом, который аналоги чен переходу от одной системы единиц измерения к другой системе еди ниц измерения». Л.И.Седов.

Из формул (5.16) и (5.21) для подобных явлений имеем (м) (н) a a =, aa … ak aa … ak 1 2 откуда ( ( ( a1н) a2н) akн) a(н) = a(м) ( ( … (5.22) ( a1м) a2м) akм) ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ Таким образом, при соблюдении подобия экспериментальное иссле дование какого-либо физического явления может быть заменено исследо ванием его модели, что в ряде случаев является весьма целесообразным или даже единственно возможным.

Требование выполнения условий (5.20) показывает, какие значения па раметров процесса должны быть подобраны при модельных исследованиях, то есть определяют характеристики модели, обеспечивающие соблюдение подобия.

Формула (5.22) дает правило пересчета результата модельных иссле дований а(м) на натуру – а(н).

§6. Параметры, определяющие класс явлений Так как математическая зависимость величины а от величин а1, а2,..., аn в формуле (5.14) может иметь разный вид, то есть описывать различ ные физические процессы, то величины а1, а2,..., аn называются пара метрами, определяющими класс явлений. Параметр а называется опре деляемым.

В тех случаях, когда известна математическая модель физическо го процесса, таблица параметров, определяющих класс явлений, выпи сывается из уравнений, начальных и граничных условий, его опреде ляющих, то есть выписывается совокупность размерных и безразмер ных величин, задание которых необходимо и достаточно для решения задачи. Размерные константы также входят в число определяющих па раметров.

Если математическая модель явления отсутствует, то таблица оп ределяющих параметров может быть составлена на основании общих качественных соображений и данных эксперимента (если таковые име ются).

Система параметров, определяющих класс явлений, должна обладать свойством полноты. Это значит, что она должна содержать параметры, че рез размерности которых могут быть выражены размерности определяе мых параметров.

Так, нельзя утверждать, что сила F, действующая на какое-либо тело со стороны жидкости, есть функция только ее плотности и скорости те чения v, то есть, что F = f(,v). В самом деле, равенство ML M L [F] = =, T2 L3 T 92 ГЛАВА V как легко видеть, не может иметь места ни при каких значениях и. Од нако можно утверждать, что F = f(l,,v), где l – какая-либо величина, имеющая размерность длины. Действительно, в этом случае ML M L [F] = = L, T2 L3 T и отсюда сразу получаем = 1, = 2, = 2 и F = v2l2.

Аналогично, нельзя сказать, что касательное напряжение есть функ ция плотности жидкости и градиента скорости, так как M 1 M M [ ] =, [v] = и.

2 LT T LT L T В то же время можно утверждать, что = f(, l, v), так как M [ ] = = [][l]2[v].

LT §7. Примеры на применение П-теоремы 1. Колебания математического маятника. Математичес кий маятник представляет собой материальную точку мас сой m, которая подвешена на невесомой и нерастяжимой нити длиной l, неподвижно закрепленной в точке O (рис. 5.1).

Уравнения плоских колебаний такого маятника при отсут ствии сопротивления, как известно, имеют вид d2 g d = - sin, m l = N - mg cos (5.23) dt2 l dt с начальными условиями Рис. 5. d = o, = 0 при t = to, (5.24) dt где – угол между нитью и вертикалью, N – натяжение нити, g – ускоре ние силы тяжести. Из уравнения (5.23) и начальных условий (5.24) следует, что система параметров, определяющих класс явлений, такова o, m, l, g, t и, следовательно, = (o,m,l, g,t), N = N(o,m,l, g,t).

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ Примем в качестве параметров с независимыми размерностями вели чины m, g, l. Тогда в соответствии с П-теоремой, то есть равенствами (5.16) и (5.18), будем иметь = (1, 2 ), = N(1, 2 ), где t N =, 1 = o, 2 =, =, … 1 = 1, 2 = 2, (5.25) 1 1 mlg m l g так как и о – безразмерные величины, а аргументы у функций и N одинаковые.

Из формул (5.25) имеем 1 1 [t] = [m] [l] [g], [N] = [m] [l] [g], или L ML L 1 T = M L, = M L, T T2 T откуда, приравнивая показатели степеней при M, L, T, получаем = 0, + = 0, - 2 = 1, 1 = 1, 1 + 1 = 1, - 21 = -2, 1 или = 0, =, = -, 1 = 1, 1 = 0, 1 = 1, 2 и g N 2 = t, =.

l mg Следовательно, g N g = o,t, = fo,t.

l mg l Из опыта известно, что колебания математического маятника имеют период. Тогда = (o,m,l, g), или, после перехода к безразмерным величинам, g = (o) l Так как из-за симметрии колебаний (o) = (- o), то функция (o) – четная, и, разлагая ее в ряд, имеем 2 (o ) = C1 + C2o + C3o + … 94 ГЛАВА V Пренебрегая для малых колебаний (0<< 1) членами порядка о2 и выше, имеем l = C1.

g Из теории, то есть из решения уравнений (5.23) при0<< 1, известно, что С1 = 2.

2. Уравнение Клапейрона*. Примем в качестве гипотезы, что давление p в газе полностью определяется его плотностью, теплоемкостью с (или v сp) и абсолютной температурой. Тогда p = f(, cv, ).

Величины,cv, обладают размерностями M L [] =, [cv] =, [] = °K, L3 T2°K то есть образуют систему параметров с независимыми размерностями. То гда в соответствии с формулой (5.19), можем записать p = Ccv, C = const.

Легко видеть, что = = = 1, и p = Ccv = R, R = Ccv.

Таким образом, уравнение Клапейрона основано на приведенной ги потезе.

Рассмотренные примеры хорошо иллюстрируют возможности и сла бости теории размерностей. Действительно, путем анализа размерностей получена структура формул для и p, однако численное значение кон стант С1 и С с помощью этого анализа определить нельзя.

3. Закон фильтрации Дарси**. Предположим, что модуль скорости фильтрации w в горизонтальном однородном пласте зависит только от модуля градиента давления p, вязкости µ, пористости m и характерного размера d. Тогда*** v = f(p, µ,m,d). (5.26) * Бенуа Поль Эмиль Клапейрон (1799–1864), французский физик и инженер, член-корреспондент Петер бургской Академии Наук.

** Анри Дарси (1803–1858), французский гидравлик и инженер.

*** Плотность жидкости входит в уравнения движения только в виде множителя при ускорении. Ускоре ния же при фильтрации обычно пренебрежимо малы. Поэтому возможной зависимостью от плотности в соотношении (5.26) можно пренебречь.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ Величины p, µ, m, d обладают размерностями M M [p] =, [µ] =, [m] = 1, [d] = L.

L2T LT Следовательно, p, µ, d образуют систему параметров с независимы ми размерностями, и w = f(m).

(p) µ d Выполняя анализ размерностей аналогично тому, как это было сдела но в примере 1, получим L M M = L, + = 0, - 2 - + = 1, 2 + = 1, T L2T2 LT откуда = 1, = -1, = 2, и d w = - f(m)p µ или в векторной форме d w = - f(m)p. (5.27) µ Знак «минус» введен в уравнение (5.27), так как v и p имеют проти воположные направления.

4. Формула Дарси-Вейсбаха. Предположим, что при течении жидко сти по горизонтальной круглой цилиндрической трубе перепад давления на единицу длины p/l зависит от средней скорости течения v, вязкости жидкости µ, ее плотности, диаметра трубы d и шероховатости ее сте нок.

Тогда p = f(d,,, µ,v). (5.28) l Величины, v, d представляют собой систему параметров с незави симыми размерностями. Следовательно, на основании П-теоремы соотно шение (5.28) может быть переписано в виде = (1,2 ), (5.29) где p µ = v- d-, 1 =, 2 =.

1 1 l d v d 96 ГЛАВА V Выполняя анализ размерностей, получим = 1, = 2, = -1 и, следо вательно, p d µ =, 2 =.

lv2 vd Подставляя эти соотношения в равенство (5.29), имеем l µ l vd p = v2, = w21,.

d d vd d d µ Обозначив, как это обычно принято, vd vd (, Re), =, = Re, 1, = d µ d µ где – относительная шероховатость стенок трубы, Re – число Рейнольд са, – коэффициент гидравлического сопротивления, получим формулу Дарси-Вейсбаха в виде l v p =. (5.30) d В рассмотренном случае коэффициенты и Re являются, очевидно, критериями подобия. Следовательно, определив величину (, Re) при те чении какой-либо жидкости, получим, что при течении другой жидкости по другой трубе, коэффициент гидравлического сопротивления будет при условии (1)=(2), Re(1) =Re(2) иметь то же самое значение.

При ламинарном режиме движения ускорение равно нулю, и величи на несущественна. Из опыта известно, что величина при этом режиме также несущественна. Поэтому при ламинарном режиме соотношение (5.28) принимает вид p = f(d, µ,v).

l Так как параметры d, µ,v обладают независимыми размерностями, то в соответствии с формулой (5.19) получаем p = Cd µ v.

l Легко видеть, что = -2, = = 1, и l p = C µv. (5.31) d ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ Приравнивая правые части соотношений (5.30) и (5.31), получим, что коэффициент гидравлического сопротивления при ламинарном режиме равен 2Cµ 2C = =, C = const.

vd Re Теоретический анализ дает значение С = 32.

5. Вытеснение из пласта жидкости га зом. Рассмотрим однородный горизонталь ный пласт, из которого жидкость вытесня ется газом (рис. 5.2). Обозначим через коэффициент вытеснения, равный Рис. 5. Vг =, где Vг – объем пор в области I, V занятых газом, V – объем всех пор в этой области.

На основании качественных соображений и результатов эксперимента можно написать = () k,m,,, p,l, µг, µж,h,, p, c, Mt, (5.32), где k, m – проницаемость и пористость пласта, – поверхностное натяже ние жидкости, – угол смачивания, p = (p1–p2) – разность давлений по концам пласта длиной l, µг, µж – вязкость газа и жидкости, h – толщина пласта, = г –ж – разность удельных весов жидкости и газа, p – абсо лютное давление в каком-либо сечении пласта, с – концентрация поверх ностно-активного вещества (ПАВ), M – минерализация пластовой воды, t – время.

Величины, входящие в формулу (5.32), имеют размерности M M [k] = L2, [ ] =, [p] = [p] =, [l] = [h] = L, 2 T LT M M [µ‹] = [µж ] =, [ ] =.

LT L2T Примем величины l, p, µг за параметры с независимыми размернос тями. На основании П-теоремы выражение (5.32) может быть представлено в виде k µж h l p tp =,m,,,,,,, c, M,. (5.33) l2 lp µг l p p µг При моделировании процесса вытеснения на натурных флюидах и по ристых средах (физико-химическое подобие) имеем ( ( (н) (м) (н) (м) µгн) = µгм), =, =. (5.34) 98 ГЛАВА V Для соблюдения подобия должны, в частности, как это видно из фор мулы (5.33), выполнятся равенства (н) (м) (н) (м) l l =, =, p p lp lp откуда, при соблюдении условий (5.34) следует, что одновременно должны выполняться равенства p(м) l(м) p(м) l(н) =, =.

p(н) l(н) p(н) l(м) Это возможно только при l(м)=l(н). Поэтому при работе с натурными средами соблюдение полного подобия модели и натуры невозможно, и приходится прибегать к частичному моделированию.

Под частичным моделированием понимается моделирование, при кото ром соблюдается равенство только какой-либо части критериев подобия.

Влияние несоблюдения равенства остальных критериев подобия оценивается различными способами, зависящими от рассматриваемого явления. С пробле мами, связанными с частичным моделированием, приходится сталкиваться также при исследовании задач авиации, судостроения и в ряде других областей.

При рассмотрении задач вытеснения в литературе встречаются крите рии подобия вида l 1 =, 2 =, 3 =, 4 = cos.

kp kk ph mm Обозначим критерии подобия в формуле (5.33), соответственно, через k h l 1 =, 2 = m, 3 =, 4 =, 5 =, 6 =.

l2 l p l p Легко видеть, что 2 3 3 1 = 3, 2 =, 3 =, 4 = cos 4.

1 1 56 Этот пример может служить иллюстрацией к замечанию в §4 о том, что выбор безразмерных параметров при использовании П-теоремы не яв ляется однозначным.

§8. Приведение уравнений к безразмерному виду При выполнении численных расчетов соответствующие уравнения или их аналитические решения обычно приводятся к безразмерному виду.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ Как следует из П-теоремы, это позволяет, с одной стороны, уменьшить число аргументов у определяемых функций, а с другой, путем выбора соот ветствующих характерных величин процесса подобрать наиболее удобные области изменения численных значений безразмерных параметров.

Действительно, пусть рассматриваемая задача содержит n определяю щих параметров. Для ее полного численного исследования необходимо каждый из параметров проварьировать независимо от остальных m раз.

Следовательно, необходимо выполнить mn вычислений. После приведе ния к безразмерному виду число параметров будет равно n - k, где k – число параметров с независимыми размерностями. Поэтому число необхо димых вычислений будет равно mn-k.

Рассмотрим другой пример. В задаче о гидравлическом ударе одним из параметров является длина трубы l. Продольная координата x лежит в пределах 0 x l. Полагая x = l, получим, что независимо от длины трубы безразмерная координата меняется в пределах 0 1.

Рассмотрим задачу о приведении уравнений к безразмерному виду на примере системы уравнений движения однородной вязкой несжимаемой жидкости (4.42). Уравнения движения и граничные условия имеют в этом случае вид dv div v = 0, = F - p + µv, v = V на S. (5.35) dt Положим xi =Lxi, где L – характерный линейный размер в задаче, и подразумевается геометрическое подобие в задачах рассматриваемого класса. Пусть далее v = Vov, p = p, t = t, где Vo,, – характер ные скорость, давление, время в задаче. При течении жидкости по трубе в качестве L можно, например, взять ее диаметр, в качестве Vo – среднюю скорость в какой-либо момент времени, в качестве – разность давлений по ее концам, в качестве – время переходного процесса (при неустано вившемся движении). Аналогичным образом можно ввести характерные параметры L, Vo,, при рассмотрении любого течения. Примем далее для определенности, что F = g. Подставляя значения xi, v, p, t в соот dv ношения (5.35) и развертывая производную, получим dt vi Vo v Vo2 v p µVo 2vk = 0, + vi = g - ek + ek 2, v = V. (5.36) xi t L xi L x L2 xk 100 ГЛАВА V Из соотношений (5.36) видно, что уравнение неразрывности и гранич ное условие при переходе к безразмерным величинам сохраняют свой вид.

Разделив все члены уравнения Навье–Стокса на Vo2 L, имеем L v v gL p µ vi + vi = go - ei + ei, Vo t xi Vo2 Vo2 xi VoL xi о где g – орт вектора g.

Введем следующие обозначения:

L Vo = Sh – число Струхаля, = Fr – число Фруда*, Vo gL VoL = Eu – число Эйлера, = Re – число Рейнольдса**.

Vo2 µ С использованием этих обозначений уравнение Навье–Стокса может быть переписано в виде p 1 vi v v go Sh + vi = - Eu ei + ei.

t xi Fr xi Re xi Очевидно, что если при рассмотрении двух течений выполняются ус ловия геометрического подобия областей течения и соотношения Sh1 = Sh2, Fr1 = Fr2, Re1 = Re2, то эти течения являются подобными (числа Sh, Fr, Re, как отмечалось вы ше, называются критериями подобия). Число Eu при течении несжимае мой жидкости часто является несущественным. Это объясняется тем, что в уравнение Навье–Стокса для несжимаемой жидкости входит не давление, а его градиент. Поэтому изменение давления во всей области течения на постоянную величину, или, что то же самое, изменение характерного дав ления на постоянную величину, не сказывается на характере течения. По этому числу Эйлера можно придать любое значение. В частности, поло жив = Vo2, получим Eu = 1.

Для выяснения физического смысла критериев подобия рассмотрим в жидкости параллелепипед с ребрами dxi и массой m. На него будут дей ствовать:

сила тяжести Fg = mg = gdx1dx2dx3 ~ gL3, v Vo сила локальной инерции Fлок = m ~ L3, t V * В литературе под числом Фруда часто понимают величину.

2gL Вильям Фруд (1810–1879), английский гидромеханик и корабельный инженер.

** Осборн Рейнольдс (1842–1912), английский физик и инженер.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ v Vo сила конвективной инерции Fкон = mv ~ L3, x L 2v Vo сила трения Fтр = dxdS = µ dxdS ~ µ L3.

x x2 L Тогда Fлок L Fкон Vo2 Fкон VoL = = Sh, = = Fr, = = Re.

Fкон Vo Fg gL Fтр µ Часть II ГИДРОМЕХАНИКА Глава VI ГИДРОСТАТИКА §1. Уравнения равновесия жидкости и газа В гидростатике рассматриваются законы равновесия жидкости (газа).

Если жидкость (газ) находится в состоянии покоя относительно стенок со суда, в котором она заключена, а сосуд покоится или движется с постоян ной скоростью относительно Земли, то покой называется абсолютным. Ес ли жидкость покоится относительно стенок сосуда, а сосуд движется отно сительно Земли с ускорением, то покой называется относительным. Дви жение жидкости в случае относительного покоя можно рассматривать как переносное. Из приведенных определений следует, что в случае абсолют ного покоя на жидкость действует сила тяжести, а в случае относительного покоя – сила тяжести и сила инерции переносного движения.

Так как в покоящейся жидкости скорость деформации ik = 0, то из рео логического уравнения для вязкой жидкости (4.29) имеем pik = - pik, (6.1) то есть в покоящейся жидкости действуют только нормальные сжимающие напряжения*. Величина этих напряжений не зависит от направления и на зывается давлением. Это давление называется гидростатическим.

Подставив соотношения (6.1) в уравнения движения сплошной среды dvj в напряжениях (2.42), получаем = dt p = Fj, или p = F. (6.2) xj Уравнения (6.2) называются уравнениями Эйлера в гидростатике.

* По Л.Прандтлю «жидкостью называется такое тело, в котором в состоянии равновесия всякое сопро тивление деформации равно нулю». Из этого определения следует, что pik = 0, (i k) и, в соответст вии с (4.29), ik = 0.

Людвиг Прандтль (1875–1953), немецкий ученый, один из основателей современной аэродинамики и прикладной гидромеханики.

ГИДРОСТАТИКА Умножив скалярно векторное уравнение (6.2) на единичный вектор so, имеем p o = Fs = Fs, (6.3) S то есть изменение давления в каком-либо направлении s определяется про екцией напряжения массовой силы Fs на это направление.

Умножим скалярные уравнения (6.2) на dxj. Так как при равнове сии p = p(xj), то p dxj = dp = Fjdxj, или dp = F dr. (6.4) xj Поверхности, вдоль которых p = const, называются изобарами.

Из равенств (6.4) следует, что уравнение изобары имеет вид Fjdxj = 0, или F dr = 0, (6.5) где вектор dr лежит в плоскости, касательной к изобаре. Из формул (6.5) вытекает, что напряжение массовой силы направлено по нормали к изоба ре. Этот же вывод следует непосредственно из равенств (6.2).

Очевидно, что соотношения (6.2)–(6.5) в равной мере справедливы как для сжимаемых, так и для несжимаемых жидкостей.

Из уравнений (6.4) имеем p M dp = F dr, (6.6) po Mo где M0, M – точки, в которых гидростатическое давление равно, соответ ственно, p0 и p. Если напряжение массовой силы обладает потенциалом, то есть F = -, то соотношение (6.6) принимает вид p M dp = d = (M) - (M0). (6.7) po Mo §2. Равновесие жидкости в поле силы тяжести При рассмотрении равновесия жидкости в поле силы тяжести введем систему координат 0xyz, в которой ось 0z направлена против ускорения силы тяжести g (рис. 6.1). В этом случае = -gz, Fx = Fy = 0, Fz = -g, и соотношение (6.4) принимает вид dp = -g dz. (6.8) 104 ГЛАВА VI В случае однородной несжимаемой жидкости = const из соотношения (6.8) получаем p = -gz + C, C = const. (6.9) Соотношение (6.9) справедливо для любой точки в объеме жидкости.

Уравнение изобары имеет в рассматриваемом случае вид dz = 0, или z = C1 = const. (6.10) Таким образом, при равновесии жид кости, находящейся в поле силы тяжести, изобара представляет собой горизон тальную плоскость.

Для определения константы C в соот ношении (6.9) необходимо задать гранич ные условия. Пусть при z = zo p = po (рис. 6.1). Тогда p - po = g(zo - z), (6.11) или p po Рис. 6. + z = + zo. (6.12) g g Обозначив z0 - z = h, соотношение (6.11) можно представить в виде p = po + gh, (6.13) где gh – давление, создаваемое столбом жидкости высотой h.

Соотношения (6.8), (6.12) обычно называются основными уравнения ми гидростатики. Из формулы (6.13) следует, что сила давления жидкости на дно сосуда с площадью основания S не зависит от его формы (рис. 6.2) и равна (po + gh)S. Данный результат обычно называется парадоксом Паскаля*.

Рис. 6. * Блез Паскаль (1623–1662), французский физик и математик.

ГИДРОСТАТИКА Превышение абсолютного давления pабс над атмосферным pат, то есть разность pи = pабс - pат, называется избыточным давлением. Величина pв = pат - pабс при pат > pабс называется вакуумом.

Рассмотрим некоторые примеры на применение уравнений гидроста тики.

1. Сообщающиеся сосуды (рис. 6.3). Давление на свободных поверх ностях с координатами z1 и z2 одинаково. Следовательно, они представ ляют собой участки одной изобарической поверхности и в соответствии с соотношением (6.9) z1 = z2. Этот же вывод следует из уравнения изоба ры (6.10).

2. Равновесие разнородных жидкостей. Пусть две несмешивающиеся жидкости с плотностями 1 и 2 находятся в состоянии равновесия. Давле ние при переходе через поверхность раздела остается непрерывным. На по верхности раздела из соотношения (6.8) имеем dp = -1g dz, dp = -2g dz или 1g dz = 2g dz. Следовательно, dz = 0, и граница раздела представ ляет собой горизонтальную плоскость z =const.

3. Двухжидкостный манометр (рис. 6.4). Для определения разности давлений в системе, заполненной жидкостью плотности 1, используется манометр с рабочей жидкостью плотностью 2. В точках 4 и 5, лежащих на горизонтальной плоскости в одной и той же жидкости, p4 = p5. В со ответствии с соотношением (6.13) p5 = p1 + 1gH, p4 = p3 + 2gh, p3 = p2 + 1g(H - h), откуда сразу следует, что p1 - p2 = gh(2 - 1).

Рис. 6.3 Рис. 6. 106 ГЛАВА VI 4. Пьезометрическая высота (рис. 6.5).

Давление в несжимаемой жидкости можно измерять высотой столба этой же жидко сти Hп с помощью трубки А. Такая трубка называется пьезометрической. Для точек и 2 имеем p1‡· = p0, p2‡· = p‡ + gH, p1абс = p2абс. Тогда po - pат Hп =. (6.14) g Давление в любой точке сосуда равно Рис. 6. p = po + gh = pат + g(Hп + h).

Высота Hп называется пьезометрической, а поверхность, проходящая через уровень в пьезометре – пьезометрической плоскостью. Если po > p‡, то пьезометрическая плоскость лежит выше свободной поверх ности в сосуде, если po < p‡, то ниже.

5. Равновесие тяжелого газа. Для газа, находящегося в равновесии в поле силы тяжести, из формулы (6.7) имеем p dp = g(zo - z). (6.15) po Для вычисления интеграла в равенстве (6.15) необходимо задать зависи мость p = p().

Ограничимся рассмотрением изотермического равновесия идеального газа при температуре T0. Тогда p =, RTo и из соотношения (6.15) получаем p g(z - zo), ln = po RTo или - zo) g(z p = po exp-.

RTo Разлагая это выражение в ряд, имеем g(z - zo ) - zo ) 1 g(z p = po 1 - + -....

RTo 2 RTo ГИДРОСТАТИКА 1 g(z - zo) Если << 1, то 2 RTo - zo) po g(z p po 1 - = po - g(z - zo) = po - og(z - zo), (6.16) RTo RTo где 0 – плотность газа при давлении p0 и температуре T0. Из формулы (6.16) следует, что если z - z0 мало, то распределение давления в газе бу дет практически таким же, как в несжимаемой жидкости.

Дж Для воздуха газовая постоянная R = 287. Пусть T0 = 293°К. То кг оК гда при z - z0 85 м погрешность, даваемая формулой (6.16), будет мень ше 1%.

§3. Относительный покой жидкости Как уже указывалось, при рассмотрении относительного покоя жидкости под напря жением массовой силы в уравнениях (6.2) сле дует понимать равнодействующую напряже ний силы тяжести и силы инерции перенос ного движения.

Рассмотрим задачу о вращении с посто янной угловой скоростью сосуда с жидко стью вокруг вертикальной оси Oz (рис. 6.6).

На элемент жидкости с массой m дейст вуют сила тяжести и центробежная сила, на пряжения которых равны Fg = g, Fц = r, где r – вектор, направленный по кратчай шему расстоянию от оси вращения к рассмат риваемому элементу. Проекции этих напря жений на выбранные оси координат Oxyz Рис. 6. равны 2 2 2 Fx = r cos = x, Fy = r sin = y, Fz = -g.

Подставив эти значения в соотношения (6.4) и (6.5), имеем 2 dp = ( x dx + y dy - g dz), 2 x dx + y dy - g dz = 0.

108 ГЛАВА VI Интегрируя эти соотношения, получаем x2 + y2 r p = - gz + C = - gz + C, (6.17) 2 x2 + y2 r - gz = - gz + C1. (6.18) 2 Соотношение (6.17) дает закон распределения давления в жидкости, а соотношение (6.18) представляет собой уравнение семейства изобар, яв ляющихся параболоидами вращения.

Для определения константы C в формуле (6.17) и уравнении свобод ной поверхности (6.18) рассмотрим точку А пересечения свободной поверх ности с осью 0z. Точка А имеет координаты (0, 0, z0 ), а давление в этой точ ке равно p0. Тогда из (6.17) и (6.18) имеем C = po + gzo, C1 = gzo и, зна чит, r p = po + - g(z - zo ), (6.19) r = g(z - zo ). (6.20) Для определения высоты H параболоида положим в уравнении (6.20) r = R, где R – радиус сосуда. Тогда для H получится выражение R H =.

2g Уравнение (6.20) можно записать в виде r = g(z1 - zo ), где z1 – координата точки пересечения вертикальной прямой r = r1 = const со свободной поверхностью. Подставив это соотношение в (6.19), получим p = po + g(z1 - z). (6.21) Таким образом, если отсчитывать координату z от свободной поверх ности, то распределение давления по вертикали во вращающемся сосуде будет таким же, как и в покоящейся жидкости. Это объясняется тем, что проекция силы инерции на ось 0z равна нулю.

Полученный результат следует также непосредственно из формулы (6.3).

Действительно, в рассматриваемом случае p = -g, z откуда после интегрирования сразу получается формула (6.21).

ГИДРОСТАТИКА Рассмотрим теперь движение замкнутого сосуда, заполненного жид костью, по наклонной плоскости с постоянным ускорением a (рис. 6.7).

Рис. 6. Проекции напряжения массовых сил на координатные оси равны Fx = j cos, Fy = 0, Fz = j sin - g, где – угол наклона плоскости к горизонту, j = -a. Подставив эти выраже ния в (6.4) и (6.5), имеем dp = [j cos dx + (j sin - g)dz], (6.22) j cos dx + (j sin - g)dz = 0. (6.23) Из соотношения (6.23), представляющего собой уравнение для семейст ва изобар, получаем dz j cos = tg = = const, (6.24) dx g - j sin то есть изобары представляют собой плоскости, наклоненные под углом к горизонту.

Интегрируя уравнение (6.22), получаем закон распределения давления p = [xj cos + z(j sin - g)]+ C, C = const.

Для определения константы интегрирования C положим, что в неко торой точке H(xo,0, zo) известно давление p = po. Тогда p - po = [(x - xo )j cos + (z - zo )(j sin - g)]. (6.25) Рассмотрим частные случаи.

110 ГЛАВА VI а) Спуск по вертикальной стене, то есть случай = /2. Из форму лы (6.24) следует, что = 0, z = const. Изобары представляют собой гори зонтальные плоскости. Из формулы (6.25) имеем p - po = (j - g)(z - zo ).

При свободном падении j = g и p = po, то есть давление во всех точ ках жидкости одинаково.

б) Скольжение сосуда по плоскости без трения. В этом случае система движется («падает») с ускорением j = g sin, и из формулы (6.24) получа ем, что tg = tg, то есть эквипотенциали параллельны плоскости скольже ния. Из формулы (6.25) имеем p - po = g [(x - xo)sin - (z - zo)cos]cos.

§4. Статическое давление жидкости на твердые поверхности Рассмотрим в жидкости какую либо поверхность АВ площадью S (рис. 6.8). Равнодействующая R сил дав ления, действующих на эту поверхность, и их момент L равны R = - npdS, (6.26) S L = - r npdS, (6.27) S где n – внешняя к поверхности нор маль, направленная внутрь жидкости, Рис. 6. r – радиус-вектор точки на АВ.

В случае несжимаемой жидкости, находящейся в поле сил тяжести, давление в точках поверхности АВ в соответствии с формулой (6.13) равно p = po + gh, (6.28) где po – давление на поверхности жидкости. С учетом формулы (6.14) ра венство (6.28) может быть представлено в виде p = pат + g(h + Hп). (6.29) Пусть поверхность АВ представляет собой плоскость, наклоненную к горизонту под углом (рис. 6.9). Все векторы n параллельны друг дру ГИДРОСТАТИКА гу, и из равенств (6.26), (6.28) и (6.29) имеем R = -n po + gh)dS = -n pат + g(h + Hп )]dS. (6.30) ( [ S S Так как hdS = hцтS, S где hцт – расстояние от поверхности жидкости до центра тяжести плоско сти АВ, то из формулы (6.30) следует, что R = -n(po + ghцт)S = -n[pат + g(hцт + Hп)]S = -npцтS, R = pцтS, (6.31) где pцт = po + ghцт = pат + g(hцт + Hп ) – давление в центре тяжести АВ.

Если сила R рассчитывается не по абсолютному давлению, а по из быточному, то очевидно, что R = -n(pцт - pат )S, R = (pцт - pат )S. (6.32) Определим положение центра давления, то есть точки приложения рав нодействующей R. Момент Mx этой силы относительно оси Ox, проходя щей через центр тяжести плоскости АВ (рис. 6.9), равен Mx = дR = lp dS = l (po + gh)dS, (6.33) S S где д – расстояние от центра тяжести АВ до центра давления, l – расстоя ние от центра тяжести до элемента dS.

Рис. 6. 112 ГЛАВА VI Из рис. 6.9 видно, что h = (lцт + l)sin. Подставив это выражение в формулу (6.33), получим д R = (po + glцт sin) l dS + g sin l2dS. (6.34) S S Имея в виду, что статический момент площади S относительно оси, проходящей через ее центр тяжести, равен нулю, то есть l dS = S и l2 dS = J, S где J – момент инерции площади S относительно той же оси, из форму лы (6.34) получаем с учетом равенства (6.31) gJ gJ д = sin = sin.

R pцтS Если расчет силы R ведется по избыточному давлению, то в соответствии с формулой (6.32) gJ д = sin.

(pцт - pат )S Если pцт > pат, то д > 0 и центр давления лежит ниже центра тяжести.

Рассмотрим случай криволинейной поверхности АВ. Проектируя ра венство (6.26) на вертикальную ось 0z и какую-либо из горизонтальных осей, например, 0x, получим Rв = - p cos(n, z)dS = - p dSг, (6.35) S Sг Rг = - p cos(n, x)dS = - p dSв, (6.36) S S‰ где dSг, dSв – проекции dS, соответственно, на горизонтальную плоскость, перпендикулярную 0z, и вертикальную плоскость, перпендикулярную 0x.

Подставив в равенства (6.35) и (6.36) значение p из формулы (6.29), имеем Rв = - pат + g(h + Hп )]dSг = - pатSг - g h + Hп )dSг, (6.37) [ ( Sг Sг Rг = - pат + g(h + Hп )]dSв = - pатSв - g h + Hп )dSв.(6.38) [ ( Sв Sв ГИДРОСТАТИКА Интеграл h + Hп)dSг = Vтд ( Sг представляет собой объем тела давления Vтд, образованный поверхно стью АВ, ее проекцией на пьезометрическую плоскость и вертикальными образующими. Формулу (6.37) можно представить в виде Rв = -(pатSг + gVтд ). (6.39) Интеграл h + Hп = + Hп ( )dSв (hцт )Sв Sв представляет собой статический момент вертикальной проекции Sв отно сительно пьезометрической плоскости. Поэтому из формулы (6.38) имеем Rг = -[pат + g(hцт + Hп)]Sв = -pцтSв, (6.40) где pцт – давление в центре тяжести площади Sв.

Для сил, рассчитанных по избыточному давлению, вместо формул (6.39) и (6.40) имеем Rв = -gVтд, Rг = g(hцт + Hп )Sв.

Заметим, что формула (6.31) совпадает с формулой (6.40), если в ней заме нить S на Sв.

Примеры построения тел давления приведены на рис. 6.10. На рис.

6.10а объем тела давления, построенный на поверхности АВ, находится в жидкости. На рис. 6.10б объем тела давления лежит вне жидкости. Такое тело давления называется фиктивным и ему присваивается знак «–». На рис. 6.10в представлен случай, когда вертикальные образующие пересека ют поверхность АВС более, чем в одной точке. Поэтому тела давления строятся отдельно для участков АВ (тело ABED) и ВС (тело CBED). Верти кальная составляющая сил давления на АВС определяется как разность вер тикальных составляющих сил, действующих на АВ и ВС.

Если поверхность S замкнутая и целиком погруженная в жидкость, то в соответствии с формулой (6.26) и теоремой Гаусса–Остроградского R = - np dS = - p dV, (6.41) S V где V – объем жидкости, ограниченный поверхностью S. В поле силы тяжести в соответствии с уравнением Эйлера (6.2) p = g, и из форму лы (6.41) получаем R = -g dV = -G, (6.42) V 114 ГЛАВА VI Рис. 6. где G – вес жидкости в объеме V. Формула (6.42) выражает закон Архи меда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила R, равная весу жидкости в объеме погруженного тела. Сила R называется также гидростатической подъемной силой.

Из формулы (6.27) и теоремы Гаусса-Остроградского имеем L = - r np dS = - rot(rp)dV. (6.43) S V Радиус-вектор r = i x + jy + kz и, следовательно, rot(rp) = -r p.

Подставив это соотношение в формулу (6.43) и учитывая, чтоp = g, G а g = g, получаем G G G L = - r gdV = - r gdV = rgdV. (6.44) G G V V V Радиус-вектор центра тяжести объема V равен rцт = rg dV, G V и формулу (6.44) с учетом равенства (6.42) можно представить в виде L = G rцт = rцт R, (6.45) откуда следует, что линия действия гидростатической подъемной силы R проходит через центр тяжести объема V.

ГИДРОСТАТИКА §5. Элементы теории плавания Рассмотрим какое-либо тело (судно), плавающее в жидкости.

Объем жидкости, вытесненный телом, называется его объемным во доизмещением. Равнодействующая сил давления, действующих на это те ло, как было показано в §4, сводится к направленной вертикально вверх силе Архимеда, называемой также поддерживающей силой. Линия дейст вия поддерживающей силы, как это следует из формулы (6.45), проходит через центр тяжести вытесненного объема жидкости, который называется центром водоизмещения D. Принято считать, что поддерживающая сила приложена в центре водоизмещения.

В общем случае центр тяжести Т плавающего тела не совпадает с цен тром давления D, однако очевидно, что в статическом положении эти точки находятся на одной вертикальной прямой, которая называется осью плава ния. Очевидно также, что в статическом положении вес тела G равен по величине поддерживающей силе R и что G = -R.

Плоскость свободной поверхности жидкости, пересекающая плаваю щее тело, называется плоскостью плавания. Периметр сечения плавающего тела плоскостью плавания называется ватерлинией. Площадь, ограничен ная ватерлинией, называется площадью ватерлинии.

Плавучестью тела называется его способность плавать при заданном весе G. Мерой плавучести является водоизмещение. Запасом плавучести называется допустимая перегрузка, при которой тело еще не будет тонуть.

Поскольку при увеличении погружения тела в жидкость его водоизмеще ние растет, то запас плавучести определяется высотой непроницаемой час ти надводного борта над плоскостью плавания.

Под статической устойчивостью плавающего тела подразумевается его способность плавать в нормальном положении и в случае статиче ского нарушения нормального положения из-за крена возвращаться в прежнее положение, как только силы, вызвавшие крен, прекратят свое действие.

Так как при статическом крене вес тела не изменяется, то его водоиз мещение и, следовательно, поддерживающая сила R не изменяются. Од нако, центр водоизмещения смещается относительно тела в точку D1, так как меняется форма его погруженной части (рис. 6.11). Центр тяжести са мого тела при этом сохраняет свое положение на оси плавания*. Поэтому при возникновении крена вес тела и поддерживающая сила образуют пару сил. В зависимости от взаимного положения центра тяжести тела T и центра водоизмещения D1 эта пара сил может быть как восстанавливающей, так и опрокидывающей.

* Случай незакрепленных грузов, или жидких незапрессованных грузов, здесь не рассматривается.

116 ГЛАВА VI Линия DD1, по которой при кре не перемещается центр водоизмеще ния, называется линией центров во доизмещения.

Точка М пересечения поддер живающей силы R1 с осью плавания при малых углах крена называется начальным метацентром. Под углом крена понимается угол между осью плавания и вертикалью.

Величина HM – расстояние ме жду центром тяжести T и началь ным метацентром М называется на чальной метацентрической высо Рис. 6. той. Момент, создаваемый парой сил G и R1, то есть восстанавливающий момент MM, равен MM = R1HM sin = RHM sin, (6.46) так как при статическом крене поддерживающая сила не изменяется и рав на весу плавающего тела G.

Из рис. 6.11 видно, что если точка М лежит выше точки T, то мо мент MM стремится вернуть тело в начальное положение. Поэтому, если точка М лежит выше точки T, то начальная метацентрическая высота HM считается положительной. При HM < 0 момент MM будет, очевидно, опрокидывающим. Иначе говоря, для статической остойчивости плавающего тела необходимо, чтобы начальная метацентрическая высота была положительной.

Расстояние HM + h от начального метацентра до начального центра водоизмещения, то есть длина отрезка MD, называется начальным мета центрическим радиусом.

Рассмотрим плавающее тело, накрененное на малый угол относи тельно своего нормального положения. Величина погрузившегося при этом объема Оав равна V1 = x dS, (6.47) S где S1 – часть площади новой ватерлинии, x – расстояние от линии пере сечения площадей ватерлиний до элемента dS. Так как вес тела G и вели ГИДРОСТАТИКА чина поддерживающей силы R не изменились, то величина всплывшего объема равна V2 = - x dS = -V1, S2 = S - S1, (6.48) S где S – новая площадь ватерлинии.

Величина поддерживающей силы возрастает на величину R1 = gV и уменьшается на R2 = -gV2 = -R1.

Моменты, создаваемые этими силами, равны M1 = g x2 dS, M2 = g x2 dS. (6.49) S1 S В соответствии с формулами (6.47) и (6.48) x dS + x dS = 0, S1 S то есть статический момент площади новой ватерлинии относительно оси пересечения смежных площадей ватерлиний равен нулю, и эта ось прохо дит через центр тяжести новой площади ватерлинии (теорема Эйлера).

Из формул (6.49) имеем, что восстанавливающий момент MM равен MM = M1 + M2 = g x2 dS = gJ, (6.50) S где J – момент инерции новой площади ватерлинии относительно оси, проходящей через ее центр тяжести ( M1 и M2, как видно из рис. 6.11, на правлены в одну сторону).

Восстанавливающую силу R1 можно представить в виде R1 = R + R1 + R2.

Ее момент относительно центра давления D равен сумме моментов сил R1, R2, то есть равен М, так как линия действия силы R проходит через D. С другой стороны, момент силы R1 равен MM = (HM + h)R sin (HM + h)R, (6.51) так как R1= R и при малых углах sin =.

Приравнивая выражения (6.50) и (6.51), получим J HM = - h, (6.52) W R где W = – объемное водоизмещение.

g 118 ГЛАВА VI Если центр тяжести тела T лежит ниже центра водоизмещения D, то h < 0, а начальная метацентрическая высота HM всегда больше нуля.

Подставив соотношение (6.52) в формулу (6.46), получим выражение для восстанавливающего момента MM в виде J MM = R - h sin. (6.53) W Формула (6.53) называется метацентрической формулой остойчивости.

Заметим, что формула (6.53) была получена для малых углов крена (для высокобортных судов 15–20°). При больших углах крена зависи мость MM от становится более сложной, так как метацентр смещается относительно своего первоначального положения.

Под динамической остойчивостью понимается способность плаваю щего тела совершать колебания под действием сил, создающих кренящие моменты, в пределах заданных углов крена. Чем больше начальная мета центрическая высота, тем короче период этих колебаний.

Как показывают соответствующие исследования, размах динамичес кого крена под действием внезапно приложенной силы равен удвоенному статическому крену, возникающему под действием такой же по величине силы.

Вопросы статической остойчивости при больших углах крена и динами ческой остойчивости рассматриваются подробно в курсах теории корабля.

Глава VII ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ §1. Уравнения Эйлера в форме Громеко–Ламба Система уравнений для идеальной жидкости имеет вид d + div v = 0, (7.1) dt dv = F - p, (7.2) dt d v2 + = Fv - div pv + qe. (7.3) u dt Уравнение притока тепла для идеальной жидкости записывается в виде du p p d = qe - div v = qe +. (7.4) dt 2 dt Для преобразования уравнения Эйлера (7.2) рассмотрим полную про dv изводную. В соответствии с (1.19) имеем dt dv v v v = + (v )v = + vj. (7.5) dt t t xj v Проектируя вектор (v )v = vj на координатную ось 0x1, получим xj v1 v1 v1 v v vx = vj = v1 + v2 + v3. (7.6) ( ) 1 xj x1 x2 x Выражение (7.6) можно переписать в виде v1 v1 v2 v2 v3 v3 v1 v vj = v1 + v2 - v2 + v3 - v3 + v2 + v3 = xj x1 x1 x1 x1 x1 x2 x (7.7) 1 v1 v2 v1 v 2 2 + v = (v1 + v2 + v3 )+ v2 - - 2 x1 x2 x1 x3 x1.

120 ГЛАВА VII В соответствии с формулой (3.9) e1 e2 e 2 = rotv =, (7.8) x1 x2 x v1 v2 v и равенство (7.7) можно представить в виде v1 v - 2v23 + 2v32.

vj = (7.9) xj x1 Благодаря изотропности среды все координатные оси равноправны, поэто му после циклической перестановки индексов имеем v2 v - 2v31 + 2v13, vj = (7.10) xj x2 v3 v - 2v12 + 2v21, vj = (7.11) xj x3 где i проекция вектора на ось 0xi. Умножив соотношения (7.9), (7.10) и (7.11), соответственно, на e1, e2, e3 и складывая с учетом формулы (7.8) получим v v2 vj = + 2 v. (7.12) xj Подставив соотношения (7.5) и (7.12) в уравнение Эйлера (7.2), имеем окончательно v v2 + - 2v = F - p. (7.13) t Уравнение (7.13) представляет собой уравнение Эйлера в форме Громеко Ламба*.

§2. Интеграл Бернулли Уравнения движения сплошной среды в напряжениях (2.42) были по лучены из второго закона Ньютона. Поэтому уравнения Эйлера, являю щиеся частным случаем уравнений (2.42), представляют собой математи ческое выражение второго закона Ньютона для идеальной жидкости. Из * Ипполит Степанович Громека (1851–1889), русский гидромеханик Горацио Ламб (1849–1934), английский гидромеханик.

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ теоретической механики известно, что уравнения движения при опреде ленных условиях имеют первый интеграл, представляющий собой закон сохранения механической энергии. Из сказанного следует, что уравнения Эйлера при соответствующих условиях также должны иметь первый инте грал. Этот интеграл называется интегралом Бернулли*.

Для вывода интеграла Бернулли, представляющего собой одно из важ нейших соотношений гидромеханики, введем следующие предположе ния:

v а) течение установившееся, = 0 ;

t б) напряжение массовых сил обладает потенциалом, F =.

В этих предположениях уравнение (7.13) принимает вид v2 1 - + + p = v rot v. (7.14) При установившемся движении линии тока и линии вихря неподвижны в пространстве, причем линии тока совпадают с траекториями частиц жид кости. Вдоль линии тока v = vs10, а вдоль линии вихря rot v = rot v s2, где s10, s2 – орты касательных к линии тока и к линии вихря. Поэтому, умножая уравнение (7.14) последовательно на s10 и s2, или, что то же самое, проектируя это уравнение на линию тока и линию вихря, получим** v2 1 p - + + = 0, (7.15) s1 2 s v2 1 p - + + = 0.

(7.16) s2 2 s При установившемся движении все характеристики движения (p,,T, v) суть, функции координаты s1, отсчитываемой вдоль неподвижной в про странстве линии тока. Поэтому p = p (s1, L1), = (s1, L1), где L1 – метка рассматриваемой линии тока. Исключая из этих соотношений s1, по лучим p = f1(, L1). Аналогично для линии вихря получим p = f2(, L2 ), где L2 – метка соответствующей линии вихря.

* Даниил Бернулли (1700–1782), швейцарец по национальности, математик и механик. Действительный, а затем почетный член Петербургской Академии Наук.

** Смешанное произведение (a b)c при c | или c | равно нулю.

|b |a 122 ГЛАВА VII Наличие соотношений вида p = f(, L) позволяет ввести функцию давления dp dp d =, или =, (7.17) где интеграл берется вдоль линии тока (вихря). Функция давления опре делена с точностью до аддитивной постоянной и в общем случае есть функ ция L, то есть функция выбранной линии тока (вихря). Из равенства (7.17) следует, что 1 p =, = p. (7.18) xi xi Подставив соотношение (7.18) в равенства (7.15) и (7.16), получим v - + + = 0, (7.19) s1 v - + + = 0, (7.20) s2 откуда, после интегрирования вдоль линии тока (вихря) имеем v - + + = C1(L1), (7.21) v - + + = C2(L2). (7.22) Интеграл Бернулли утверждает, что при установившемся движении и наличии потенциала напряжения массовых сил трехчлен v - + + (7.23) сохраняет постоянное значение вдоль линии тока (вихря). Константа C1(C2) на разных линиях тока (вихря) может иметь разные значения.

Соотношения (7.21) и (7.22), справедливые, соответственно, вдоль всякой линии тока и линии вихря, называются интегралом Бернулли.

Рассмотрим какую-либо линию вихря и проведем через ее точки ли нии тока. Эти линии образуют поверхность тока. Так как вдоль фиксиро ванной линии вихря C2(L2 ) = const, то вдоль всех линий тока, ее пересе кающих, C1(L1) = C2(L2 ) = const. Таким образом, на построенной поверх ности тока выполняется условие C1 = const.

Аналогично, если через какую-либо линию тока провести линии вих ря, то на образованной таким способом вихревой поверхности будет вы полняться условие C2 = const. В случае потенциального течения, то есть ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ при v =, из формулы (7.8) следует, что rot v = 0, и уравнение (7.14) принимает вид v2 - + + p = 0. (7.25) Отметим особо, что при v = равенство (7.25) справедливо во всей области течения. Поэтому p =, (7.26) причем функция давления будет, очевидно, одной и той же во всей об ласти течения. Следовательно, как это видно из ее определения (7.18), дав ление зависит только от плотности. Процесс, при котором давление зави сит только от плотности, называется баротропным.

Примерами баротропных процессов могут служить течение несжимае мой жидкости, изотермические процессы. Ниже будут рассмотрены и дру гие примеры баротропных процессов.

Подставив соотношение (7.26) в уравнение (7.25), получим v - + + = 0, или v - + + = C, (7.27) причем равенство (7.27) справедливо вдоль любой линии, проведенной в жидкости, а константа C имеет одно и то же значение во всей области, занятой жидкостью.

Итак, если течение установившееся и потенциальное, а напряжение массовых сил имеет потенциал, то процесс будет баротропным.

Обратно, из уравнения (7.13) и соотношения (7.26) следует, что если течение установившееся, потенциальное и баротропное, то v + = F, то есть такое течение может существовать только при наличии потенциала напряжения массовых сил.

§3. Частные виды интеграла Бернулли Рассмотрим установившееся течение идеальной несжимаемой жидко сти в поле сил тяжести. В этом случае = const, F = g, = -gz, где z – вертикальная координата.

124 ГЛАВА VII p Из формулы (7.17) имеем для функции давления = + const, и инте грал Бернулли (7.21) (или (7.22)) принимает вид p v gz + + = const, (7.28) или p v z + + = H = const. (7.29) g 2g Члены равенства (7.29) имеют размерность длины и называются: z – p геометрическая (нивеллирная) высота или геометрический напор, – g v пьезометрическая высота или пьезометрический напор;

– скоростная 2g высота или скоростной напор;

их сумма H – полный напор.

Из равенства (7.29) следует, что при установившемся движении иде альной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести полный напор сохраня ет постоянное значение вдоль любой линии тока или вихря.

В живом сечении элементарной трубки тока все характеристики течения, по определению, постоянны. Поэтому можно считать, что равен-ство (7.29) справедливо для элементарной трубки тока. Рассмотрим горизонтальную трубку тока z = const. Тогда из уравнения (7.29) следует, что с ростом скорости давление падает.

При увеличении скорости течения давление может стать достаточно малым и равным давлению насыщенного пара py. При этом жидкость на чинает кипеть, и в ней образуются каверны, заполненные парами жидко сти. Это явление называется кавитацией.

Из равенства (7.28) имеем py v* p0 v gz0 + + = gz + +, 2 или g (z0 - z) + p0 - py v v* 2 = 2 +, где v* – скорость, при которой начинается кавитация.

С кавитацией приходится сталкиваться при расчете насосов, всасы вающих линий трубопроводов, сифонов, гребных винтов и т.п. Возникно вение кавитации приводит к нарушению нормальной работы перечислен ных устройств и в крайних случаях к их разрушению.

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ При установившемся движении расход вдоль трубки тока в соответст вии с равенством (2.41) постоянен (v1S1 = v2S2 ), и, следовательно, при су жении трубки скорость растет, а давление падает. По этому принципу дей ствуют водоструйный насос, пульверизатор и другие устройства.

Перейдем к рассмотрению установившегося движения идеального не вязкого газа. Его уравнение состояния – уравнение Клапейрона – имеет вид p = RT, (7.30) где R – газовая постоянная, T – абсолютная температура.

Из формул (7.17) и (7.30) видно, что для вычисления функции давле ния необходимо задать термодинамический процесс.

Из уравнения притока тепла (7.4) имеем p qedt = du - d = du + pd = du + p dV, (7.31) где V = – удельный объем. Таким образом, для невязкого газа уравне ние притока тепла совпадает с первым началом термодинамики.

При = const V = const, и qedt = CVdT = du, (7.32) где CV – теплоемкость при постоянном объеме. При p = const из фор мул (7.30) и (7.32) имеем p qedt = CPdT = du + d = CV dT + R dT, откуда следует формула Майера* R = CP - CV, (7.33) где Cp – теплоемкость при постоянном давлении.

Подставив в уравнение (7.31) уравнение состояния (7.30) и учитывая равенства (7.32) и (7.33), получим 1 CV p 1 1 1 dp qedt = CVdT + pd = d + pd = kpd + = CP - CV k - (7.34) k-1 k p 1 dp k-1 p = d + = d, k - 1 k k-1 k - k CP где k = – показатель адиабаты.

CV * Юлиус Роберт Майер (1814–1878), немецкий естествоиспытатель и врач. Показал эквивалентность ме ханической работы и теплоты.

126 ГЛАВА VII При адиабатическом процессе, то есть при отсутствии притока тепла извне, qe = 0, и k p p = или =. (7.35) k p0 Заметим, что при выводе соотношения (7.35), называющегося адиа батой Пуассона*, использовалось уравнение притока тепла (7.31) для иде альной жидкости. Следовательно, адиабата Пуассона справедлива при адиа батическом процессе без трения.

Покажем, что адиабатический процесс без трения является изэнтро пическим, то есть что при этом процессе энтропия сохраняет постоянное значение.

Энтропия s, как известно, определяется соотношением dq ds =. (7.36) T Пусть в рассматриваемом объеме жидкости тепло поступает только извне, то есть dq = qedt. Тогда в соответствии с уравнением состояния (7.30) и формулами (7.33), (7.34) и (7.36) имеем qedt dT p 1 dT ds = = CV + d = CV + (CP - CV )d = T T T T 1 T = CV d lnT + (k - 1)d ln = CV d ln.

k - Тогда k T 1 k- p2 s2 - s1 = CV ln = CV ln. (7.37) p1 T 2 1 При изэнтропическом процессе s2 = s1 и из равенства (7.37) имеем k k p2 1 p2 ln = 0, или =. (7.38) p1 2 p1 Из формул (7.35) и (7.38) следует, что адиабатический процесс без трения, действительно, является изэнтропическим.

В общем случае неадиабатического процесса уравнение притока те пла (7.31) можно с учетом равенств (7.30), (7.32) и (7.33) представить в виде qedt = CdT = CV dT + pd, * Симон Дени Пуассон (1781–1840), французский математик и физик. Иностранный почетный член Пе тербургской Академии Наук.

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ или C - CV p d - pd = 0, (7.39) CP - CV где C – теплоемкость при рассматриваемом термодинамическом процессе.

Обозначив C - CV =, n 1, CP - CV n - из соотношения (7.39) получим 1 dp np 1 dp p n -1 n - npd + = d + = d = 0, n -1 n n откуда n p = A. (7.40) Соотношение (7.40) представляет собой уравнение политропического процесса. В общем случае величины A и n (через теплоемкость C ) могут меняться от частицы к частице, что определяется характером подвода теп ла и свойствами частиц (при неоднородной жидкости). Следовательно, A и n являются функциями лагранжевых координат частицы Xj и t. При установившемся движении линия тока совпадает с траекторией, и если бы A и n зависели от Xj, то давление в фиксированной точке линии тока (пространства) менялось бы со временем, то есть движение было бы неус тановившимся. Следовательно, A и n при установившемся движении мо гут зависеть только от L.

Если параметры A и n имеют одни и те же значения во всей облас ти, занятой жидкостью, то политропический процесс будет баротроп ным.

Воспользовавшись для вычисления функции давления формула ми (7.17), (7.30), (7.33), (7.35) и (7.40), получим для адиабатического про цесса с точностью до постоянных интегрирования выражения 1 k- k k k p k = k-1 = k p = = CPT, (7.41) k - 1 k - 1 k - а для политропического процесса – выражения 1 n- n n n p n = An-1 = An p =. (7.42) n - 1 n - 1 n - Для изотермического процесса p p = = RT0 = const, (7.43) 128 ГЛАВА VII где p0, 0 – давление и плотность при температуре T0, и из равенств (7.17) и (7.43) имеем p0 p p = ln = ln. (7.44) 0 p0 0 Подставив соотношение (7.41) в равенство (7.21) и полагая = -gz, получим следующие виды интеграла Бернулли для адиабатического процесса:

k p v gz + + = C = const, (7.45) k - 1 1 k - k v k gz + k p + = C = const, (7.46) k - 1 k v k - gz + + = C = const, (7.47) k - 1 v gz + CpT + = C = const. (7.48) Для политропического процесса из формул (7.21) и (7.42) имеем n p v gz + + = C = const, n 1, (7.49) n - 1 1 n - n v n n gz + A p + = C = const, n 1, (7.50) n - 1 n v n - gz + A + = C = const, n 1, (7.51) n - 1 Для изотермического процесса из равенств (7.21) и (7.44) получаем p0 p v gz + ln + = const, (7.52) 0 p0 p0 v gz + ln + = const. (7.53) 0 0 Из формул (7.45)–(7.51) видно, что при адиабатическом и политропи p ческом процессах величины, p, с ростом скорости уменьшаются. При адиабатическом процессе с ростом скорости уменьшается также абсолют ная температура T. При изотермическом процессе, как это следует из фор мул (7.43), (7.52) и (7.53), с ростом скорости величины p и уменьшают p ся, а отношение остается постоянным.

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ §4. Простейшие примеры приложения интеграла Бернулли Рассмотрим некоторые простейшие примеры приложения интеграла Бернулли к течениям идеальной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести.

1. Истечение жидкости из ма лого отверстия в сосуде. Будем счи тать, что S0 >> S, где S0 – площадь свободной поверхности жидкости, S – площадь отверстия в сосуде (рис. 7.1). Тогда скоростью измене ния уровня в сосуде можно пренеб Рис. 7. речь и считать, что z0 = const.

Из формулы (7.28) имеем p0 p v gz0 + = gz + +, (7.54) где p0 – давление на свободной поверхности, z, p, v – параметры струи на выходе из отверстия. Из формулы (7.54) следует, что скорость истече ния из отверстия равна p0 - p v = 2gh + 2, (7.55) где h = z0 - z. Если p0 = p, то из формулы (7.55) имеем известную фор мулу Торричелли v = 2gh, то есть скорость истечения равна скорости падения тяжелого тела с высоты h.

Так как на поверхности вытекающей струи p = const, то из интегра ла Бернулли следует, что с опусканием струи ее скорость растет.

2. Скоростная трубка (трубка Пито). Пусть в жидкости находится осесимметричное тело, направление оси которого совпадает с направ лением скорости течения (рис. 7.2).

В точке A, расположенной на доста точном расстоянии от носика тела В, скорость равна vA, а давление – pA.

В точке В скорость vB = 0, линии Рис. 7. тока разветвляются. Таким образом, точка В является особой. Можно считать, что в точке С, также достаточно удаленной от точки В, возмущения потока, вызванные носиком трубки, исчезли, так что vC = vA, pC = pA (для простоты предполагается, что по ток направлен горизонтально).

130 ГЛАВА VII Записав уравнение (7.28) для линии тока АВ, имеем pA vA pB + =, откуда pB - pA pB - pC vA = vC = 2 = 2. (7.56) Таким образом, измерив разность давлений pB - pC, можно определить скорость vA.

На практике в формулу (7.56) вводится поправочный коэффициент скорости, учитывающий искажение потока и наличие сил трения. Ко эффициент определяется путем градуировки, и для хороших трубок = 0,99–1,02.

3. Водомер Вентури. Выберем в труб ке (рис. 7.3) сечения I – I и II – II и бу дем считать, что скорости в этих сече ниях распределены равномерно, то есть, vj что там = 0. Тогда из уравнения xi Эйлера (7.2) следует, что при устано вившемся течении в каждом из этих се чений p = g, то есть давления рас пределены по гидростатическому зако ну* Рис. 7.3 gz + p = const. (7.57) Будем обозначать все величины, относящиеся к сечению I – I, индек сом 1, а к сечению II – II – индексом 2. Запишем для линии тока, проходя щей по оси трубы, интеграл Бернулли (7.28) 2 p1 v1 p2 v gz1 + + = gz2 + +. (7.58) 2 Так как скорости распределены по сечениям равномерно, то в соответст вии с уравнением неразрывности (2.41) v1S1 = v2S2 = Q. (7.59) * Этот же вывод следует из уравнения Навье–Стокса (4.42).

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Из равенств (7.58) и (7.59) следует, что Q2 1 1 p1 - p - - z2) +. (7.60) = g(z 2 2 S2 S С другой стороны, из формулы (7.57) имеем gzA + pA = gz1 + p1, gzB + pB = gz2 + p2, (7.61) где индексы А и В относятся к отверстиям А и В.

Подставив соотношения (7.61) в формулу (7.60), получим 2 pA - pB Q = S1S2 (zA - zB ) +. (7.62) S12 - S2 g Из формулы (7.62) видно, что, измерив разность давлений pA - pB, можно определить расход Q. При практическом использовании формулы (7.62) в нее вводится поправочный коэффициент расхода µ, учитывающий неравномерность поля скоростей в сечениях и наличие сил трения.

§5. Интеграл Коши–Лагранжа Для вывода интеграла Коши-Лагранжа, представляющего собой ана лог интеграла Бернулли для случая неустановившегося движения, примем следующие предположения:

а) течение потенциальное, v = ;

б) напряжение массовых сил обладает потенциалом, F = ;

в) процесс баротропный, p = p().

Последнее требование обусловлено тем, что при неустановившемся движении линии тока не совпадают с траекториями. Следовательно, нельзя считать, что p = p(L, s), = (L, s) и исключать s, как это было сделано при выводе интеграла Бернулли. Поэтому для небаротропного движения в общем случае не представляется возможным вычислить функцию давления.

При сделанных предположениях rot v = 0, и уравнение Эйлера в форме Громеко–Ламба (7.13) принимает вид v v + = -, (7.63) t где функция давления вычисляется по формулам (7.18).

Так как v = () =, t t t то уравнение (7.63) может быть переписано в виде v - + + = 0. (7.64) t Поскольку оператор Гамильтона содержит только пространствен ные производные, а функции, входящие в равенство (7.64), в общем случае 132 ГЛАВА VII зависят от времени, то из равенства (7.64) имеем v - + + = f(t). (7.65) t Равенство (7.65) называется интегралом Коши-Лагранжа. Из его вы вода следует, что функция f(t) имеет один и тот же вид во всей области, занятой жидкостью. При установившемся движении интеграл Коши–Лагран жа переходит в интеграл Бернулли (7.27) для случая баротропного потен циального движения.

Для определения функции f(t) необходимо знать движение в какой либо одной точке жидкости, например, на границе области.

Введем вместо потенциала функцию 1, определенную равенством 1 = + f(t)dt.

Тогда = + f(t), 1 =, t t и интеграл Коши–Лагранжа можно переписать в виде 1 v - + + = 0.

t Для несжимаемой жидкости в поле сил тяжести интеграл Коши–Ла гранжа имеет вид 1 p v + gz + + = 0. (7.66) t Для идеальных газов при изэнтропическом процессе в соответствии с формулой (7.37) имеем 1 k p v + gz + + = 0.

t k - 1 В ряде случаев рассматриваемое движе ние в неподвижной системе координат удоб нее описывать в подвижной системе коорди нат. Пусть, кроме неподвижной системы ко ординат Ox1x2x3, имеется подвижная систе ма Ox1x2x3 (рис. 7.4). Фиксирование значе ний xj означает фиксирование положения точки М относительно подвижной системы.

Если известен закон движения точки М относительно неподвижной системы коор динат, то* Рис. 7. xi = xi(xj,t). (7.67) * j Напомним, что сокращенная запись xi (x,t) означает xi = xi (x1, x, x3,t), j = 1, 2, 3.

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Тогда при фиксированных значениях xj xi xi(xj,t) = = vi пер, (7.68) t t где vi пер – проекции скорости переносного движения vпер. По формуле Эйлера v = v0 + r, где v0 – скорость начала координат O, – мгновенная угловая скорость вращения координатной системы Ox1x2x3, r – радиус-вектор точки М в этой системе.

В неподвижной системе Ox1x2x3 потенциал скоростей зависит от xi, t – = (xi,t). Подставив в это выражение закон движения (7.76), получим потенциал I = [xi(xj,t)], выраженный через координаты подвижной системы. Тогда I xi = +, t t xi t или, с учетом формул (7.68), I = + vпер = + vперv.

t t t Теперь интеграл Коши–Лагранжа (7.65) может быть представлен в виде I v - vперv - + + = f(t). (7.69) t Положим что система 0 x1x2x3 движется относительно неподвижной системы 0x1x2x3 со скоростью vпер = e1V(t). Тогда равенство (7.69) при нимает вид I v2 I - e1Vv - + + = - V - + + () = f(t).

t 2 t x §6. Теорема Томсона Возьмем в жидкости некоторую линию АВ и будем считать, что все ее точки движутся вместе с жидкостью, то есть что АВ – жидкая линия. Ее уравнение можно представить в виде r = r(s, t), где s – некоторый пара метр, изменяющийся вдоль линии, например, длина дуги. При s = const r = r(t) – закон движения какой-либо точки жидкой линии АВ.

134 ГЛАВА VII Рассмотрим циркуляцию скорости = v dr, (7.70) AB d взятую вдоль АВ и вычислим производную. При этом необходимо учи dt тывать, что с течением времени меняется на только скорость точек, обра зующих линию АВ, но и вид самой линии АВ.

Вычислим предварительно производную по времени от интеграла, взя того вдоль жидкой линии. С учетом определения интеграла имеем d d di dri dr = lim ri = lim ri + i.

i r 0 r dt dt dt dt i = AB Так как ri = s0s, где s0 – единичный вектор касательной к АВ (рис. 7.5), то dri v = vB - vA = ds (7.71) i i dt s и d d v dr = dr + ds. (7.72) dt dt s AB AB AB Рис. 7. Полагая в формуле (7.72) = v, из формулы (7.70) имеем d dv v dv 1 v = dr + v ds = dr + ds = dt dt s dt 2 s AB AB AB AB (7.73) dv 2 dr + (vB - vA).

dr AB ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Заметим, что формула (7.73) чисто кинематическая, то есть справед лива при любых движениях любой жидкости.

Если АВ – замкнутый контур, то второй член в формуле (7.73) пропа дает.

Подставив в формулу (7.73) уравнение Эйлера (7.3), получаем d 1 2 = F dr - p dr + (vB - vA). (7.74) dt AB AB При наличии потенциала напряжения массовых сил, когда F =, фор мула (7.74) приобретает вид d 1 2 = d - dp + (vB - vA), (7.75) dt AB AB где d, dp – дифференциалы, взятые вдоль дуги кривой АВ.

Если кривая АВ замкнутая, а потенциал – однозначная функция, то из равенства (7.75) получается d = - dp. (7.76) dt В случае баротропного процесса dp = d, d = 0, и из формулы (7.76) имеем d = 0. (7.77) dt Равенство (7.77) выражает собой теорему Томсона*: если жидкость идеальная, напряжение массовых сил обладает однозначным потенциалом и процесс баротропный, то циркуляция по любому замкнутому жидкому контуру не зависит от времени.

Натянем на замкнутый контур С произвольную поверхность S. По теореме Стокса (3.35) будем иметь = vdr = 2 ndS. (7.78) CS Из формул (7.77) и (7.78) следует, что при выполнении условий тео ремы Томсона поток вихря не зависит от времени, или 2 ndS = rot v) dS = const, (7.79) n ( S S * Уильям Томсон, лорд Кельвин (1824–1907), английский физик. Иностранный почетный член Петер бургской Академии Наук.

136 ГЛАВА VII причем равенства (7.78) и (7.79) справедливы для любого контура С, кото рый может быть непрерывным образом стянут в точку, и любой поверхно сти S, натянутой на этот контур.

Пусть в начальный момент времени t = 0 во всей области, занятой жидкостью, нет вихрей – = 0. Тогда в соответствии с равенством (7.79) rot v) dS = 0, n ( S а так как поверхность S произвольная, то во всей области, занятой жидко стью (rot v) = 0. (7.80) n Произвольность выбора поверхности S означает также произвольность выбора направления нормали n. Поэтому из формулы (7.80) получаем rot v = 2 = 0. (7.81) Из равенства (7.81) следует теорема Лагранжа: если жидкость идеаль ная, процесс баротропный, напряжение массовых сил обладает потенциа лом и в некоторый момент времени вихрь скорости во всей области тече ния был равен нулю, то движение останется безвихревым и в любой по следующий момент времени.

Условие (7.81) является условием потенциальности течения (гл. III, §5). Поэтому в жидкости, отвечающей условиям теоремы Томсона, потен циальное движение остается таковым всегда, если оно было потенциаль ным в какой-либо момент времени. Совершенно аналогичным образом мож но показать, что если движение было вихревым, то оно останется вихревым и в дальнейшем.

Из теоремы Лагранжа следует, что движение, возникшее непрерыв ным образом из состояния покоя, будет потенциальным. Подчеркнем еще раз, что этот вывод справедлив лишь при выполнении условий теоремы Томсона. В частности, это справедливо для однородной идеальной несжи маемой жидкости в поле сил тяжести. В вязкой жидкости, а также при на рушении баротропности, вихри могут возникать и исчезать.

§7. Уравнение Гельмгольца Уравнение движения идеальной жидкости в форме Громеко–Ламба (7.13) в предположении, что напряжение массовых сил обладает потен циалом, а процесс баротропный, имеет вид v v2 + - + + - 2v = 0, (7.82) t dp где = F, а P – функция давления: =.

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Применяя к уравнению (7.82) операцию rot и имея в виду, что rot() = 0, rot v = 2, получаем + rot( v) = 0. (7.83) t Проектируя равенство (7.83) на ось 0x1, имеем 1 + ( v) - ( v) = t x2 3 x3 = + (1v2 - 2v1) - (3v1 - 1v3) = t x2 x 1 v2 1 v1 2 v1 = + 1 + v2 - 2 - v1 - 3 - v1 + t x2 x2 x2 x2 x3 x v3 1 v1 v1 1 + 1 + v3 + 1 - 1 + v1 - v1 = (7.84) x3 x3 x1 x1 x1 x 1 1 1 1 v1 v2 v = + v1 + v2 + v3 + 1 + + t x1 x2 x3 x1 x2 x 1 2 3 v1 v1 v - v1 + + - 1 - 2 - 3 = x1 x2 x3 x1 x2 x d1 = + 1 div v - v1 div - v1 = 0.

dt Легко проверить прямой подстановкой, что div = 0. Кроме того, из 1 d уравнения неразрывности (7.1) следует, что div v = -. Поэтому урав dt нение (7.84) можно представить в виде d1 1 d - = v1, dt dt или 1 d1 1 d - = v1, dt dt откуда d = v1. (7.85) dt Соотношение (7.85) представляет собой уравнение Гельмгольца в проек ции на ось Ox1. Очевидно, что в векторной форме оно имеет вид d = v. (7.86) dt 138 ГЛАВА VII Уравнение Гельмгольца (7.85) или (7.86) позволяет найти изменение поля вихрей во времени.

Заметим, что уравнения (7.83) и (7.86) представляют собой чисто ки нематические соотношения. Для уравнения (7.83) это очевидно. Уравнение же (7.86) является прямым следствием уравнения (7.84), которое, с учетом равенства div = 0, в векторной форме принимает вид d + div v = ( )v.

dt Возьмем в жидкости какую-либо вихревую линию. Рассмотрим ее эле мент ds = (по определению вихревой линии, ds || ), где – малая константа. Концы вектора ds обозначим через А и В (рис. 7.5). Частицы жидкости (материальные точки), образовавшие в момент t элемент ds, образуют в момент t + dt элемент ds.

Очевидно, что ds = ds + vBdt - vAdt. (7.87) Заметим, что формула (7.87) по своему смыслу совпадает с равенст вом (7.71).

В соответствии с формулой (3.3) и определением вектора ds vB - vA = (ds )v = v, и формула (7.87) принимает вид ds = + v dt. (7.88) Рассмотрим теперь вектор вихря ds =. В момент времени t + t он равен ds d ds = = ds + dt = + dt. (7.89) dt dt Так как в формуле (7.89) берется полная производная, то второй член в этой формуле (с точностью до членов более высокого порядка малости) представляет собой приращение жидкого вихревого элемента ds = за время dt.

Воспользовавшись уравнением Гельмгольца (7.86), формулу (7.89) мож но представить в виде ds = + v dt. (7.90) ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Вектор ds – элемент жидкой линии, в который перейдет элемент ds за время dt. Вектор ds – элемент вихревой линии в момент времени t + dt.

Из формул (7.88) и (7.90) видно, что ds = ds. Следовательно, элементы вихревой линии все время совпадают с элементами жидкой линии, из ко торых эта вихревая линия составлена. Таким образом, если напряжение массовых сил обладает потенциалом, жидкость идеальная и процесс баро тропный (условия справедливости уравнения Гельмгольца), то вихри дви жутся вместе с частицами жидкости (вторая теорема Гельмгольца).

Возьмем элементарную вихревую трубку сечением d. Ее напряже ние равно d. За время dt она перейдет в вихревую трубку сечением d. Так как, по доказанному, она состоит все время из одних и тех же частиц, то из закона сохранения массы имеем d ds = d ds.

Заменяя ds на и ds на, получим d = d, или, что напряжение вихревой трубки сохраняется во времени.

Из уравнения Гельмгольца (7.86) следует, что если в какой-либо мо d мент времени = 0, то = 0, то есть если вихрей не было, то они dt не могут возникнуть.

Для вязкой жидкости это утверждение неверно.

Уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости при µ = const имеет вид (4.42). При наличии потенциала массовых сил это уравнение мож но представить в виде dv v v2 µ = + - 2v = - p + v. (7.91) dt t Проделывая с уравнением (7.91) те же операции, что с уравнением (7.82), и учитывая, что rot(a) = rot a, получаем d µ = ( )v +. (7.92) dt µ Благодаря наличию добавочного члена вихревые линии не бу дут жидкими линиями и вихри могут распространяться от частицы к час тице.

140 ГЛАВА VII При малых возмущениях нелинейные члены vi и ( )v в урав xi нении (7.92) будут величинами второго порядка малости, и это уравнение можно переписать в виде µ =, t которое в точности имеет вид уравнения теплопроводности. Следователь но, при малых возмущениях завихреность в вязкой жидкости ведет себя, также как температура неравномерно нагретого тела. Она имеет тенденцию распределяться по всему нагретому телу. Происходит диффузия вихря.

§8. Потенциальное течение несжимаемой жидкости При потенциальном течении однородной несжимаемой жидкости ин теграл Коши–Лагранжа (7.66) может быть представлен в виде p 1 -+ + = 0, (7.93) ( ) t а из уравнения неразрывности и условия потенциальности течения имеем div v = div() = = 0, (7.94) где – оператор Лапласа.

Из уравнения (7.94) следует, что – гармоническая функция, а уравне ние (7.93) при известном позволяет найти распределение давления. Огра ничений на решение уравнения Лапласа уравнение (7.93) не накладывает.

Поэтому всякому потенциальному течению несжимаемой жидкости соответ ствует своя гармоническая функция, а всякой гармонической функции со ответствует свое потенциальное течение несжимаемой жидкости.

Таким образом, изучение потенциальных движений однородной не сжимаемой жидкости сводится к изучению решений уравнения Лапласа, то есть к поиску его решений при заданных краевых условиях.

Рассмотрим область пространства, в которой задана любая гармони ческая функция. На основании теоремы Гаусса–Остроградского и форму лы (7.94) имеем div v dV = div()dV = n dS = dS = 0. (7.95) n V V S S Пусть гармоническая функция достигает максимума во внутренней точке М области D. Окружим точку М бесконечно малой поверхностью S.

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Так как достигает максимума в точке М, то в точках поверхности S должно быть < 0, а равенство (7.95) не может иметь места. Следова n тельно, функция не может иметь максимума во внутренней точке облас ти D. Аналогичным образом доказывается, что не может иметь миниму ма во внутренней точке области. Таким образом, гармоническая функция может достигать максимума или минимума только на границе области D.

Пусть скорость течения достигает максимума во внутренней точке М области и равна vM. Выберем в этой точке оси координат так, чтобы vM =. Так как – гармоническая функция, то также гармониче x1 x ская функция, а поэтому она не может иметь максимума в точке М. Тогда в малой окрестности точки М найдется такая точка N, в которой, > x1 x N откуда 2 2 vN = = vM. (7.96) + + > > x1 x2 x3 x1 x N N N N M Из неравенства (7.96) видно, что скорость течения не может достигать максимума во внутренней точке области. Аналогично доказывается, что она не может достигать и минимума во внутренней точке области. Следо вательно, скорость потенциального течения несжимаемой жидкости может достигать максимума или минимума только на границах области D.

Рассмотрим некоторые примеры потенциальных течений несжимае мой жидкости.

1. Пусть Q(t), r = (x1 - x10 ) + (x2 - x20 ) + (x3 - x30 ). (7.97) 2 2 = 4r Тогда Q(t) xi - xi0 2 Q(t) r2 - 3(xi - xi0 ) =, =, xi 4 r3 xi2 r откуда сразу следует, что 2 2 = + + = 0.

2 2 x1 x2 x Следовательно, – гармоническая функция, которая описывает тече ние несжимаемой жидкости.

142 ГЛАВА VII Эквипотенциальные поверхности = const представляют собой сфе ры с центром в точке (x10, x20, x30 ). Скорость течения v = направлена по нормалям к этим сферам, то есть по радиусам, которые являются ли ниями тока. При этом Q(t) vr = =, (7.98) r 4r и при r = const vr = const.

При r 0 vr, то есть центр сферы является особой точкой, в которой пересекается бесконечное множество линий тока.

Расход через поверхность S сферы произвольного радиуса равен vrd = vr dS = 4r2vr = Q(t).

S S Если Q(t) > 0, то скорости течения направлены от центра сферы, в цент ре имеется источник жидкости с интенсивностью Q(t);

если Q(t) < 0, то там имеется сток.

Из формулы (7.98) видно, что если интенсивность источника (стока) меняется во времени, то одновременно меняются скорости во всей облас ти, занятой жидкостью, то есть возмущения в несжимаемой жидкости пе редаются с бесконечно большой скоростью (мгновенно).

Итак, формула (7.97) определяет потенциал скорости от источника (сто ка) в пространстве.

Благодаря линейности уравнения Лапласа функция n 1 Qk(t), rk = (x1 - x1k ) + (x2 - x2k ) + (x3 - x3k ) 2 2 = 4 rk k = также является его решением и описывает течение, возникающее при на личии n источников (стоков).

Возьмем некоторый объем V0 вне области D, занятой движущейся жидкостью. Пусть xi0 соответствуют точкам объема V0. Тогда функция 1 q(xi0,t)dV, r = (x1 - x10 ) + (x2 - x20 ) + (x3 - x30 ), 2 2 = 4 r V как легко видеть, является гармонической и описывает течение в области D от непрерывно распределенных в объеме V0 источников с плотностью q.

Аналогично можно определить для поверхности S0, линии l0, не принад лежащих D, потенциалы 1 m(xi0,t) 1 n(xi0,t)dl, = - dS0, = 4 r 4 r S0 l где m, n – плотности распределения поверхностных и линейных источников.

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 2. Рассмотрим в точке N(xi0) сток, а в точке N1(xi0 + dxi) источник.

При этом будем считать, что интенсивности источника и стока Q по ве личине одинаковы. Потенциал в точке M(xj), которую считаем неподвиж ной (рис. 7.6), от совокупности источника и стока равен Q Q Qs 1 2 2 =- + =- - r = (x1-x10) +(x2-x20) +(x3-x30). (7.99) r, 4r1 4r 4s r Пусть теперь точка N1 неограниченно приближается к точке N, а про изведение Qs = m остается постоянным. Тогда из формулы (7.99) полу чим o m 1 1 1 m 1 m = = = - lim - - - s, s 4 s r1 r 4 s r 4 r где so – единичный вектор прямой, соединяющей точки N и N1. Величи на вычисляется в точке N(xi0), r причем, так как точка M неподвижна, то дифференцирование производится по ко ординатам xi0, и 1 1 xk - xk0 r = ek = ek =.

r xk0 r r3 r Рис. 7. Тогда m r so m cos = - = -. (7.100) 4 r3 4 r Такая комбинация источника и стока называется диполем, величина m – моментом диполя, а ось, проходящая через точки N и N1 – осью диполя.

Совместив ось диполя с одной из координатных осей, легко показать, что и функция, определяемая равенством (7.100), является гармоничес кой.

§9. Обтекание сферы Рассмотрим движение сферы в бесконечной несжимаемой идеальной жидкости. Предположим, что в бесконечности жидкость покоится. Вблизи сферы будет существовать некоторая возмущенная область. Если движе 144 ГЛАВА VII ния сферы и жидкости возникли непрерывным образом из состояния по коя, то, как это следует из теоремы Томсона, движение жидкости будет по тенциальным.

Составим условия для определения потенциала этого движения. В со ответствии с равенством (7.94) внутри жидкости = 0. Так как жидкость на бесконечности покоится, там = 0. На поверхности сферы из усло вия непротекания жидкости (4.20) имеем vn = un, где un – нормальная со ставляющая скорости сферы u в точках ее поверхности. Так как v =, то это условие приобретает вид = un.

u Таким образом, задача об отыскании по тенциала скоростей при обтекании сферы свелась к решению уравнения Лапласа, ко гда на границе задана нормальная произ водная. Эта задача представляет собой клас сическую задачу Неймана.

Пусть сфера радиуса а движется по ступательно со скоростью U. Введем сис тему координат Ox1y1z1, жестко связанную со сферой, и направим ось Ox параллель но скорости U (рис. 7.7).

Возьмем диполь с осью, параллельной Рис. 7. оси Ox1, и поместим его в начало координат.

Из формулы (7.100) имеем* m cos = -. (7.101) 4 r В любой точке пространства M m cos =, r 2 r и при = 0 (рис. 7.7) в точке А сферы m = U =, r 2a * Формула (7.101) имеет место и в неподвижной системе координат в момент времени, когда центр сфе ры находится в ее начале. В любой другой момент времени t0 в неподвижной системе координат m cos = -, 4 - r0) (r где r0 – координата центра сферы при t = t0.

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ откуда Ua3 cos Ua3x = - = -. (7.102) 2r2 2r Легко проверить, что потенциал, определяемый формулой (7.102), отвечает всем поставленным условиям.

Придадим всей системе скорость, противоположную скорости сферы, то есть скорость - U. Это движение имеет потенциал - Ux1. Потенциал относительного движения (сфера покоится, а жидкость на нее набегает со скоростью - U ) получим, сложив потенциалы абсолютного и переносного движений. Тогда Ua3x1 a3 a отн = - - Ux1 = - -Ur + cos. (7.103) 1 + 2r3 Ux1 = 2r 2r Из формулы (7.103) следует, что нормальная составляющая скорости жидкости vn на поверхности сферы равна* отн vn = - = 0, r r =a то есть неподвижная сфера является поверхностью тока. Поэтому скорость жидкости vs, направленная по касательной к ней, есть полная величина скорости, и отн отн v = vs = = = U sin. (7.104) s r r=a r=a Как видно из формулы (7.104), в точках А и В (рис. 7.7) v = 0, а при = (на экваторе) v = U. Следовательно, на экваторе скорость обте 2 кания сферы на 50% больше скорости набегающего потока.

При установившемся движении, пренебрегая массовыми силами, из интеграла Бернулли (7.28) имеем U2 - v p = p0 +, (7.105) где p0,U – давление и скорость на бесконечности. Подставив в форму лу (7.105) значение скорости на экваторе, получим p = p0 - U2.

* На поверхности сферы внешняя нормаль к жидкости и радиус сферы направлены в противоположные стороны.

146 ГЛАВА VII Так как скорости распределены симметрично относительно экватора, следовательно, и давления также распределены симметрично, то сопротив ление движению сферы и подъемная сила равны нулю. Этот результат представляет собой частный случай парадокса Даламбера (см. ниже).

Хотя теория потенциальных непрерывных движений идеальной жид кости и приводит к парадоксу Даламбера, благодаря ей можно вычислять распределения скоростей для хорошо обтекаемых тел, близкие к действи тельности, что позволяет вычислять и силы трения с использованием тео рии пограничного слоя, в котором проявляются силы вязкого трения (см. гл. XIV).

Прейдем к рассмотрению неустановившегося движения сферы. Пусть сфера радиуса а движется поступательно со скоростью U = U(t) парал Ox лельно оси. В подвижной системе координат, связанной со сферой, потенциал течения имеет вид (7.102). Интеграл Коши–Лагранжа (7.69) в предположении, что жидкость несжимаема и что массовыми силами можно пренебречь, в рассматриваемом случае имеет вид 1 p v2 p - U + + = = const, (7.106) t x так как на бесконечности жидкость покоится, давление равно p0 (1 – по тенциал в подвижной системе координат).

Из формулы (7.102) имеем r2 Ua3 - 3x1 3 Ua3 3 Ua = -, = x1y1, = x1z1.

x1 2 y1 2 z1 r5 r5 r Следовательно, в точках М и М1, симметрично расположенных отно сительно плоскости y10z1 (рис. 7.8), - -, (7.107) =, =, = x1 x1 y1 y1 z1 z M M M M M M 1 1 поэтому 2 vM = vM, (7.108) U 1 U x1 = x1.

M M На сферу при ее движении будет действовать гидродинамическая сила R = - pn d, (7.109) ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ где – поверхность сферы. Площадь элементарного шарового пояса d = 2a2 sin d, (7.110) p0 cos d = 2a2 p0 cossin d = 0. (7.111) Проектируя равенство (7.109) на ось 0x, с учетом формул (7.109) и (7.111) получим Rx = -2a2 p - p0 )cos sin d. (7.112) ( Подставив в соотношение (7.108) разность (p - p0) из интеграла Ко ши–Лагранжа (7.106), с учетом равенств (7.107) и (7.108) имеем Rx = -2a2 - cos sin d, (7.113) t где при вычислении интеграла необходимо принять r = a, так как p – давление в точках сферы.

Из формулы для потенциала в подвижной системе координат (7.98) при r = a, x1 = r cos имеем 1 a dU = - cos.

t 2 dt Подставив это соотношение в формулу (7.109), получаем dU 3 dU Rx = -a3 cos2 sin d = - a3.

dt 2 dt dU Если > 0, то сила сопротивления Rx отрицательна, то есть пре dt dU пятствует увеличению скорости U. При < 0 сила Rx мешает тормо dt жению. Идеальная жидкость как бы повышает инертность тела.

Действительно, в идеальной жидкости уравнение движения шара мо жет быть записано в виде dU 2 dU 2 dU m m = F(e) - a3, или + a3 = F(e), dt 3 dt 3 dt а в пустоте dU m = F(e).

dt 148 ГЛАВА VII Величина a3 называется присоединенной массой и для шара равна половине массы жидкости в его объеме.

При движении тела в вязкой жидкости задачу в общем случае уже нельзя свести к расчету присоединенных масс. Однако при движении хо рошо обтекаемых тел с большими скоростями свойством вязкости можно пренебречь, и эффект действия переменной скорости будет в первом при ближении таким же, как и в идеальной жидкости.

§9. Некоторые примеры применения закона об изменении количества движения 1. Рассмотрим плоскую неподвижную стенку, на которую направлена струя (рис. 7.9). Будем считать, что движение установившееся и массовы ми силами можно пренебречь. В этих предположениях закон об изменении количества движения (2.51) имеет вид vvnd = pnd, (7.114) где – замкнутая поверхность, огра ниченная сечениями S1, S2, S3, по верхностью струи S4 и поверхно стью стенки.

Примем также, что давление на поверхности струи S3 постоянно:

p = p0 = const, и что скорость в се чениях S1, S2, S3 распределена рав номерно. Из этих соображений в со ответствии с интегралом Бернулли следует, что скорость на поверхности Рис. 7. струи постоянна, а из уравнений Эй- лера – что давление в сечениях S1, S2, S3 тоже постоянно и равно p = p0.

Так как для несжимаемой идеальной жидкости = const, pn = - pn, где n – нормаль к, то равенство (7.114) можно переписать в виде vvnd = - p - p0 )n d, (7.115) ( ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ поскольку для замкнутой поверхности в соответствии с теоремой Гаус са-Остроградского p0n d = 0.

Так как p p0 только в точках поверхности, то из равенства (7.115) имеем vvnd = - p - p0 )n d = -F = -Fn, (7.116) ( где F – сила, с которой струя действует на стенку. Благодаря тому, что жидкость идеальная, эта сила перпендикулярна стенке.

Спроектируем равенство (7.116) на ось 0x, перпендикулярную стен ке. При этом учтем, что на S4 и vn = 0, на S2 и S3 vx = 0, а на Svn = -v0 = const, vx = v0 sin, где – угол между стенкой и направ лением струи. Тогда 2 F = v0 sin dS = v0 S sin.

S Так как сила F возникает из-за изменения количества движения струи, то есть из-за поворота вектора скорости, то сечения S2, S3 надо выбирать там, где поверхность струи и, следовательно, ее скорость станут парал лельными стенке.

2. Рассмотрим расположенный горизонтально участок трубы, изогнутой под 90° (колено), по ко торому течет жидкость (газ) (рис. 7.10). Будем счи тать, что движение установившееся, и воспользу емся законом об изменении количества движе ния (2.58) в виде ( (cp) Qm(v2cp) - v1 ) = G + + R, (7.117) где R = N + T – сила, с которой колено действу ет на жидкость.

Полагая pn = - pn и проектируя равенст Рис. 7. во (7.117) на оси Ox и Oy, с учетом формулы (2.54) получим ( (cp) Qm(v2cp) - v1x ) = x + Rx = - p2S2 + Rx, x (7.118) ( (cp) Qm(v2cp) - v1y ) = y + Ry = - p1S1 + Ry.

y 150 ГЛАВА VII (cp) (cp) ( (cp) (cp) В сечении S1 v1x =0, v1y = -v1cp). В сечении S2 v2x = v2, (cp) v2y = 0, и соотношения (7.118) принимают вид ( Fx = -Rx = -Qmv2cp) - p2S2, ( Fy = -Ry = -Qmv1cp) - p1S1, где Fx, Fy – компоненты силы, с которой жидкость действует на колено.

Заметим, что из-за наличия члена T полученный вывод будет спра ведлив и для вязкой среды.

3. Рассмотрим бесконечно длин ную трубу, заполненную идеальной жидкостью, и пусть в ней движется какое-либо тело с постоянной ско ростью v0 (рис.7.11). Примем гипо тезу, что далеко впереди тела и дале ко за ним жидкость не возмущена, то Рис. 7. есть ее скорость равна нулю.

Обратим задачу, сообщив всей системе скорость - v0. Тогда тело ока жется неподвижным, скорость на бесконечности перед и за телом будет рав на - v0, а течение установившимся.

Из-за закона об изменении количества движения (2.44), пренебрегая массовыми силами, имеем vvndS = pndS. (7.119) S S Рассматриваемое тело находится внутри трубки тока, ограничен ной сечениями S1 и S2, причем S1 = S2, и боковой поверхности S3.

Поэтому замкнутая поверхность S, ограничивающая жидкость, такова:

S = S1 + S2 + S3 +, где – поверхность тела.

Рассмотрим распределение нормальной составляющей скорости vn по поверхности S. На S3 vn = 0, по определению трубки тока. На vn = из условия непроницаемости поверхности тела. В сечении S1 далеко перед телом vn = v0, в сечении S2 далеко за телом vn = -v0. Кроме того, в сече ниях S1 и S2 v = -v0.

Тогда vvndS = - v0v0dS + vv0dS. (7.120) S S1 S ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Так как жидкость, по условию, идеальная, то pn = - pn, и pndS = - pn dS - pn dS - pn dS - R, (7.121) S S1 S2 S где R = pn d – сила, с которой поток действует на тело.

Будем считать, что жидкость либо несжимаема, либо процесс адиаба тический. Так как скорости в сечениях S1 и S2 равны по величине, то из интеграла Бернулли (7.28), или (7.46) и (7.47), следует, что p1 = p2 = p0, 1 = 2 = 0, а p1, p2, 1, 2 – давления и плотности в сечениях S1 и S2.

При этих условиях из равенства (7.120) имеем vvndS = 0, S и из соотношений (7.119) и (7.121) получаем R = pn dS, (7.122) S так как S1 = S2, а нормали на этих поверхностях направлены в противоположные стороны.

Нормаль на поверхности S3 перпендикулярна направлению скоро сти v0. Поэтому, проектируя равенство (7.122) на направление скорости, получаем R = 0.

Итак, если в идеальной жидкости, не имеющей свободной поверхно сти, движется с постоянной скоростью тело произвольной формы, жид кость несжимаема или процесс адиабатический, а движение жидкости не прерывно, при этом на бесконечности перед и за телом жидкость не воз мущена, то сопротивление движению тела равно нулю. Это утверждение представляет собой парадокс Даламбера.

Этот парадокс возник благодаря предположению, что далеко перед те лом и далеко за ним жидкость покоится, жидкость идеальна и течение жидкости непрерывно. Реально эти условия не соблюдаются, и парадокс Даламбера не наблюдается.

Глава VIII ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ §1. Комплексный потенциал течения Течение, при котором все его характеристики одинаковы в параллель ных плоскостях, то есть зависят только от двух координат и времени, на зывается плоскопараллельным. Такое течение обычно рассматривается в плос кости xOy. Каждая линия, проведенная в этой плоскости, в действительно сти является направляющей цилиндрической поверхности с образующей, перпендикулярной к плоскости xOy. Все величины расходов жидкости, сил, приложенных к телам, относятся к единице высоты соответствующих ци линдрических поверхностей.

Рассмотрим плоскопараллельное течение несжимаемой жидкости.

Из уравнения неразрывности (2.25) имеем vx vy div v = + = 0. (8.1) x y Положим - vx =, vy =. (8.2) y x Функция = (x,y,t) удовлетворяет уравнению неразрывности (8.1), и* d = dx + dy = vxdy - vydx. (8.3) x y Функция = (x, y, t) называется функцией тока. Из равенства (8.3) при d = 0 имеем dx dy =. (8.4) vx vy Соотношение (8.4), как это видно из формул (1.22), представляет со бой уравнение линий тока, на которых = const.

* Время t рассматривается как параметр.

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Рассмотрим линии тока (x, y) = и (x, y) = 1 (рис. 8.1). Рас ход Q через линию S равен Q = v n dS = vx cos(n, x)dx + vy cos(n, y)]dS.

[ S S dy dx Так как cos(n, x) =, cos(n,y) = -, то в соответствии с форму dS dS лой (8.3) Q = vydx - vxdy = d = 1 - 0, (8.5) S S то есть разность 1 - 0 представляет собой расход жидкости между ли ниями тока 0 = const и 1 = const.

Рис. 8. При потенциальном течении vx =, vy =. (8.6) x y Из формул (8.2) и (8.6) следует, что при потенциальном течении =, = -. (8.7) x y y x Соотношения (8.7) представляют собой условия Коши–Римана, при вы полнении которых функция комплексного переменного z W(z) = (x, y) + i(x, y), z = x + iy (8.8) является аналитической. Функция W(z) называется комплексным потенциалом.

Из уравнения неразрывности (8.1), соотношений (8.6) и условий Ко ши–Римана (8.7) следует, что = 0, = 0, то есть и потенциал скоро стей, и функция тока являются гармоническими функциями.

154 ГЛАВА VIII Соотношения (x, y) = const, (x, y) = const представляют собой, соответственно, уравнения семейств эквипотенциалей и линий тока. Из формул (8.2) и (8.6) имеем = + = -vxvy + vyvx 0, x x y y то есть векторы и взаимно перпендикулярны. Следовательно, ли нии тока и эквипотенциали образуют семейство взаимно ортогональных линий.

Дифференцируя комплексный потенциал (8.7) и учитывая формулы (8.2) и (8.7), получим dW 2 = + i = vx - ivy = ve-i, v = vx + vy, (8.9) dz x x откуда dW dW = v, arg = -, (8.10) dz dz где – угол между направлением скорости и осью O.

Таким образом, модуль производной ком плексного потенциала равен величине скорости, а аргумент – аргументу скорости, взятому с об ратным знаком. Иначе говоря, производная ком плексного потенциала есть величина, комплекс но-сопряженная скорости течения (рис. 8.2).

Итак, для плоскопараллельного потенциаль ного течения можно построить комплексный по тенциал, представляющий собой аналитическую функцию. Обратно, всякой аналитической функ ции соответствует некоторое плоскопараллель Рис. 8. ное потенциальное течение идеальной несжима- емой жидкости. Поэтому для исследования таких течений может быть ис пользован весь аппарат теории аналитических функций.

§2. Примеры плоскопараллельных потенциальных течений Рассмотрим простейшие аналитические функции комплексного пере менного и соответствующие им течения.

1. W(z) = (a + ib)z = (a + ib)(x + iy) = + i, a > 0, b > 0.

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Из равенств (8.8), (8.9) и (8.10) имеем dW dW b = ax-by, = bx + ay, = a + ib = ve-i, arg = arctg = -, dz dz a v = a2 + b2.

Линии тока = const и эквипотенциали = const образуют семей ство взаимно ортогональных прямых. Комплексный потенциал W описы вает поступательное движение со скоростью, направленной под углом b = - arctg к оси 0x (рис. 8.3).

a 2. W(z) = z2 = (x + iy) = + i.

В этом случае dW = x2 - y2, = 2xy, = 2z = 2(x + iy) = ve- i, dz dW y arg = arctg = -, v = 2 x2 + y2.

dz x Линии тока = const – равносторонние гиперболы с асимптота ми x = 0, y = 0 ;

эквипотенциали – равносторонние гиперболы с асимпто тами y = x и y = -x. В начале координат пересекаются линии тока x = и y = 0, то есть начало координат – особая точка, в которой v = 0.

Так как при течении идеальной жидкости линии тока можно заменить твердыми стенками, то комплексный потенциал можно трактовать как об текание прямого угла (рис. 8.4).

Рис. 8.3 Рис. 8. 156 ГЛАВА VIII 3. W(z) = zn, где n – любое вещественное число. По формуле Муавра zn = rnein = rn(cos n + i sin n), откуда = rn cos n, = rn sin n, dW = zn -1.

dz Пусть = rn sin n = 0. Так как k r 0, то =, где k – целое n число, и линии тока представляют собой прямые, проходящие через начало координат, которое является особой точкой. При = const получим линии тока внутри угла.

Это течение (рис. 8.5) можно толко вать как обтекание угла =. Ри n Рис. 8. сунок 8.5 соответствует слу чаю n = 3.

Течение, соответствующее функции W(z) = zn можно рассматривать для любых n. Если рассматривается течение во всей плоскости, то, k очевидно, должно выполняться условие = 2. В противном случае n внутри жидкости окажутся точки, в которых скорость многозначна, чего физически быть не может. Такие точки могут существовать только на гра нице области.

Рассмотрим случай n =. Тогда -i dW 1 = 2, = = e, =.

n dz 2 z 2 r На оси Ox в точке P1 (рис. 8.6) = 0, = 0, v =, то есть ско 2 r рость направлена по оси Ox. При r 0 v, при r v 0.

В точке P2 = 2, = и скорость направлена вдоль оси Ox, но в про тивоположную сторону. Вдоль оси скорость терпит разрыв – ее модуль со ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ храняется, а направление меняется на противоположное. Течение пред ставляет собой обтекание бесконечно тонкой пластины (рис. 8.6).

Рис. 8.6 Рис. 8. 4. W(z) = ln z = ln(rei) = (ln r + i) = + i.

2 2 Значит, dW = ln r, =, = = e- i, v =, =.

2 2 dz 2 z 2 r 2 r Линии тока = const (рис. 8.7) – прямые, проходящие через нача ло координат, эквипотенциали = const – окружности с центром в на чале координат. Начало координат представляет собой особую точку.

При r 0 v, при r v 0. Расход через окружность ра диуса r = const (а также через любую замкнутую кривую, охватывающую начало координат) равен Q = 2 rv =. При > 0 в начале координат имеется источник, при < 0 – сток.

5. W(z) = ln z = ln rei = ( - i ln r) = + i.

2 i 2 i Имеем -i + dW =, = - ln r, = = e, 2 2 dz 2 iz 2 r v =, = +.

2 r Линии тока = const – окружности с центром в начале координат, эквипотенциали = const – прямые, проходящие через начало коорди 158 ГЛАВА VIII нат. По сравнению с рис. 8.7 линии тока и эквипотенциали поменялись местами*.

Циркуляция вдоль линии тока r = const равна v dr = vr d = 2 r =, 2 r то есть в начале координат имеется вихрь с интенсивностью.

- m2 - m2z - m2(x - iy) 6. W = = = = + i.

z zz x2 + y В этом случае имеем m2x m2y dW m2 m2 + ) =, = -, = - = + e-i(2, dz x2 + y2 x2 + y2 z2 r m v =, = 2 +.

r 1 Полагая =, =, получаем 2C 2C x2 + y2 + 2Cm2y = 0, x2 + y2 - 2C1m2x = 0.

Таким образом, линии тока – окружности с центрами на оси Oy и радиусами R = C m2, эквипотенциали – окружности с центрами на оси Ox и радиусами R1 = C1 m2 (рис. 8.8).

Ось Ox также является линией тока = 0, а ось Oy – эквипотенциалью = 0. В этом примере функция W = m2z-1 представляет со бой комплексный потенциал плоского диполя с осью Ox.

Комбинируя описанные простейшие случаи, можно получить более сложные те Рис. 8. чения.

-i * Так как W(z) = W(z)e, а линии тока и эквипотенциали взаимно ортогональны, то всегда линии i тока для течения W(z) переходят в эквипотенциали для течения W(z), а эквипотенциали – в линии i тока.

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Рассмотрим комбинацию поступательного движения параллельно оси Ox, диполя и вихря, то есть функцию R2 R W = -Vz + + ln z = -Vrei + e-i + (ln r + i). (8.11) z 2 i r 2 i Скорость поступательного движения, очевидно, равна - V, момент диполя равен m2 = -VR2, а циркуляция равна.

В соответствии с формулой (8.11) имеем R2 R = - r + r V cos + 2, = - - r sin - 2 ln r, (8.12) r V -i + dW R2 R = -V1 - + = -V1 - e- 2i + e.(8.13) dz 2 iz 2 r z2 r Из формулы (8.12) следует, что при r = R = - ln R = const, то есть окружность радиуса R с центром в начале координат является ли dW нией тока. Из формулы (8.13) имеем = -V. Итак, комплексный dz z= потенциал (8.11) описывает обтекание окружности (цилиндра с осью, пер пендикулярной плоскости xOy) потоком, имеющим на бесконечности ско рость, равную - V (рис. 8.9).

Рис. 8. В соответствии с формулой (8.13), квадрат скорости v в точках ок ружности r = R равен dW dW v2 = = 2V sin +.

dz dz 2 R r =R 160 ГЛАВА VIII Так как скорость, вызванная циркуляцией = +, направлена против часовой стрелки, то в верхней полуплоскости v = -2V sin -, ( < ), (8.14) 2 R а в нижней – v = 2V sin +, ( > ), (8.15) 2 R При безциркуляционном обтекании скорость в точках A( = 0) и B( = ) равна нулю, и эти точки – особые. При 0 скорость в этих точках отлична от нуля. Максимальное значение модуля скорости, как это видно из формул (8.14) и (8.15), достигается в точке D и равно v = 2V +.

2 R Положение критических точек M и N, как это следует из форму лы (8.14), определяется из условия 2V sin* = или sin* = -, sin* -1. (8.16) 2 R 4VR При = 4VR точки M и N сливаются с точкой C. При дальней шем росте критическая точка сходит с окружности.

Интеграл Коши–Лагранжа (7.65) при потенциальном течении несжи маемой жидкости имеет вид p v - + + = f(t). (8.17) t Если = (t), то, как это следует из формулы (8.12), в уравнение (8.17) d войдет член. Следовательно, при = (t) давление перестает быть 2 dt однозначной функцией координат (r, ), что физически невозможно. Поэто му потенциальное обтекание возможно только при = const.

При V = const = 0 и давление в потоке вычисляется через его t скорость и условия на бесконечности (или любые другие условия, позво ляющие определить константу в интеграле Бернулли). Из формул (8.14) и (8.15) видно, что скорости над цилиндром больше, чем под ним. Поэтому давление над цилиндром меньше, чем под ним. Благодаря этому при цир ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ куляционном обтекании цилиндра возникает подъемная сила. Сопротивле ние отсутствует, так как поток симметричен относительно оси Oy.

Таким образом, при циркуляционном обтекании цилиндра модель иде альной жидкости позволяет вычислить подъемную силу (и не только ци линдра), причем, как показывает эксперимент, с достаточно высокой сте пенью точности.

§3. Конформное отображение потоков Рассмотрим функцию комплексного переменного = F(z). С помо щью этой функции каждой точке в комплексной плоскости z ставится в со ответствие точка в комплексной плоскости. Поэтому функцию = F(z) можно рассматривать как отображение некоторой области D в плоско сти z на некоторую область D1 в плоскости (рис. 8.10).

Рис. 8. Отображение, при котором сохраняются углы между кривыми в точ ках их пересечения и бесконечно малые элементы преобразуются подоб ным образом, называется конформным. Для того, чтобы функция F(z) реализовала конформное отображение области D, необходимо и доста точно, чтобы она была взаимно однозначной, аналитической и чтобы в об ласти D производная F (z) была отличной от нуля и бесконечности. Важ ное значение конформных отображений в гидромеханике определяется тем, что если известны комплексные потенциалы каких-либо простейших течений, то можно с помощью этих отображений строить комплексные по тенциалы более сложных течений.

Пусть в плоскости z задано течение с комплексным потенциалом W = = W z Так как при конформном отображении функция = + i = F(z) ( ) должна быть взаимно однозначной, то всегда можно найти функцию 162 ГЛАВА VIII z = f( ). Тогда * W(z) = (x, y) + i (x, y) = W(f( )) = W ( ) = (,) + i(,). (8.18) Из равенства (8.18) сразу следует, что при (x, y) = const име ем = (,) = const и при (x, y) = const (,) = const. Таким обра зом, эквипотенциали и линии тока в плоскости z переходят, соответствен но, в эквипотенциали и линии тока в плоскости (рис. 8.10).

Рассмотрим выражение dW W(z)= dz = vx-ivy)(dx+idy) = vxdx+ vydy+ i vxdy-vydx. (8.19) ( dz В соответствии с формулами (3.39), (8.3), (8.5) и (8.6) имеем vxdx + vydy = d =, vxdy - vydx = Q, то есть действительная часть интеграла (8.19) представляет собой цирку ляцию скорости вдоль кривой, а мнимая – расход жидкости через эту кри вую и dW W(z) = dz = + iQ. (8.20) dz Выполняя в формуле (8.19) замену переменных z = f( ), имеем dW d dW W(z) = W[f( )] = dz = d = + iQ. (8.21) d dz d Из формул (8.20) и (8.21) видно, что циркуляция скорости вдоль ка кой-либо линии в плоскости z и вдоль соответствующей линии в плоско сти совпадают. Это же справедливо и для расхода жидкости через соответствующие линии.

Установим связь между скоростями потоков в соответствующих точ ках плоскостей z и.

Воспользовавшись формулой (8.9), имеем dW dW d dW z = vze-i = = F (z), (8.22) dz d dz d где vz,z – модуль и аргумент скорости в плоскости z. Так как dW = v e-i, d то vz = v F (z), z = - arg F (z). (8.23) ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Формула (8.23) дает связь между скоростями потока в плоскостях z и. Так как, по условию, F (z) 0 и F (z), то из этого следует, что при конформном преобразовании критические точки переходят в критические точки и никаких новых критических точек возникнуть не может.

Зависимость W = W(z) можно рассматривать как отображение об ласти D в плоскости z на область D * в плоскости W (рис. 8.11). Так как dW dW функция W(z) аналитическая, то всюду, где 0 и, это dz dz отображение будет конформным. В плоскости W линии тока = const суть прямые, параллельные оси O, а эквипотенциали = const – пря мые, параллельные оси O. Следовательно, W = W(z) представляет со бой отображение потока в плоскости z на прямолинейное поступательное движение в плоскости W.

Рис. 8. Пусть в плоскости z имеется ли ния тока = const с угловыми точ ками А и В (рис. 8.12) и пусть W(z) – комплексный потенциал это го течения. В плоскости W все ли нии тока перейдут в прямые линии, то есть в точках А и В конформность нарушается.

Рис. 8. В примере 3 настоящего пара графа было показано, что комплекс ный потенциал вида n W - W0 = (z - z0) (8.24) 164 ГЛАВА VIII описывает обтекание угла = с вершиной в точке z = z0. В точке А n <, n > 1, а в точке В >, n < 1. Тогда из формулы (8.24) следует, dW dW что = 0 при z = zA, = при z = zB, то есть при обтекании dz dz вдающегося угла v = 0, а при обтекании острия v =.

Из интеграла Коши–Лагранжа вытекает, что при v = p = - и, следовательно, потенциальное обтекание острия физически невозможно.

§4. Преобразование Жуковского Рассмотрим комплексный потенциал R W = k + = + i, (8.25) z z описывающий симметричное обтекание цилиндра радиуса R (рис. 8.13).

Область течения – вся плоскость z, внешняя по отношению к цилиндру.

Найдем соответствующую ей область в плоскости W.

Линии тока = const в плоскости W суть прямые. Из формулы (8.25) имеем R2 R = k + cos, = k - sin.

r r r r Линии тока = 0 в плоскости z соответствуют окружность радиу са R с центром в начале координат и полусегменты [R x < ) и (- < x -R].

Точкам А и В с координатами zA = -R, zB = R (рис. 8.13) в плос кости W соответствуют точки A1, B1 на оси = 0 с координатами A = -2kR, B = 2kR. Для точки C с координатами zC = Rei на 1 плоскости W имеем = 0, = 2kR cos, то есть точка С отображается на плоскости W во внутренность сегмен та [- 2kR, 2kR].

Итак, функция (8.25) представляет собой отображение плоскости z на плоскость W, при котором внешность цилиндра отображается на внеш ность отрезка A1B1, а обтекание цилиндра преобразуется в обтекание от резка A1B1.

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Рис. 8. При z = ±R производная dW R = k - 1 z dz обращается в нуль, то есть в точках А и В конформность отображения на рушается. Бесконечно удаленная точка плоскости z переходит в беско нечно удаленную точку плоскости W. Направление скорости в бесконеч dW ности сохраняется, так как = k, а k > 0 – действительное число.

dz Преобразование вида (8.25) называется преобразованием Жуковского*.

Возьмем в плоскости z окружность с центом в начале координат и ра диусом r > R. Тогда z = rei и в соответствии с формулой (8.25) r r R2 R = k + cos, = k - sin, (8.26) rr то есть преобразование Жуковского отображает внешность окружности в плоскости z на внешность эллипса в плоскости W, причем точки A и B1 суть фокусы этого эллипса.* Можно показать, что окружности с центром в точке (x, 0) соответст вует в плоскости W симметричный крылообразный профиль С – руль Жу ковского, окружности с центром в точке O, y – дуга окружности, ок ( ) ружности с центром в точке (x, y) – несимметричный крылообразный профиль G – профиль Жуковского (рис. 8.14). Угол у задней кромки про филей Жуковского равен 2, что и является их отличительной особенно стью.

* Николай Егорович Жуковский (1847–1921), один из основоположников современной аэромеханики.

* Формулы (8.26) представляют собой параметрические уравнения эллипса с полуосями R2 R a = k r +, b = k r - и фокусами в точках = ±2kR.

( ) ( ) rr 166 ГЛАВА VIII §5. Обтекание профиля произвольной формы Пусть в комплексной плоскости задан контур С. Требуется постро ить его потенциальное обтекание так, чтобы в бесконечности движение было поступательным со скоростью V, направленной под углом к оси O. Угол называется углом атаки (рис. 8.15).

Рис. 8.14 Рис. 8. Для решения поставленной задачи необходимо найти комплексный потенциал W( ) = (,) + i(,). Рассмотрим наряду с плоскостью плоскость комплексного переменного z и возьмем в плоскости z окруж ность радиуса R (рис. 8.16). Определим функцию = F(z), дающую отображение внешности окружности S на внешность профиля С так, чтобы точке z = соответствовала точка = и чтобы производная ds = k была вещественной и положительной. При этих условиях dz функция = F(z) существует для всякого контура С и определяется един ственным образом.

Будем считать, что функция = F(z) известна. Так как контур С представляет собой линию тока, то окружность S – также линия тока.

В соответствии с формулами (8.20) и (8.21) циркуляция в плоскостях z и имеет одно и то же значение.

Из формул (8.22) и (8.23) имеем dW dW d dW = = k, Vz = kV, dz d dz d ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ а так как k, по условию, вещественно и k > 0, то dW dW arg = arg.

dz d Следовательно, на бесконечности скорость Vz составляет с осью Ox тот же угол.

Рис. 8. Выберем систему координат xOy таким образом, чтобы ее начало совпадало с центром окружности S, а ось Ox была параллельна скоро сти Vz. Тогда в соответствии с формулой (8.11) для циркуляционного об текания окружности S имеем R W(z ) = -Vzz + + ln z.

z 2 i Функция W(z ) описывает обтекание в системе координат x 0y. Пе реходя от z к z путем поворота системы координат на угол, получим комплексный потенциал W(z).

Так как функция = F(z) взаимно однозначная, то можно найти функ цию z = f( ) и W(z) = W(f(z)) = W*( ), то есть, зная комплексный потенциал W(z) и функцию = F(z), можно построить комплексный потенциал обтекания контура C.

Предположим, что обтекаемый контур С имеет угловую точку К (рис. 8.15). Этой точке на окружности S соответствует точка К1 (рис. 8.16).

Так как угол в точке К1 равен, а в точке К больше, то конформность отображения в точке К нарушается, и в этой точке = F (z) = 0.

168 ГЛАВА VIII Модуль скорости в любой точке профиля С в соответствии с форму лой (8.22) равен dW dW =, d dz F (z) dW откуда видно, что при 0 скорость в точке К обращается в беско dz нечность. Выше было показано, что это характерно для обтекания выступа и что это физически невозможно. Следовательно, в точке К1 должно вы dW полняться условие = 0, то есть точка К1 должна быть критической.

dz Выбором величины циркуляции можно добиться того, чтобы любая точка окружности S была критической, а также, чтобы в ней выполнялось dW условие = 0. Тогда скорость в точке К будет иметь конечное значе dz ние. Это требование было сформулировано в постулате Чаплыгина–Жуков ского: циркуляция должна быть определена таким образом, чтобы в уг ловой точке К скорость имела конечное значение.

Из формулы (8.16) видно, что при циркуляционном обтекании окруж ности критические точки расположены так, что их стягивающая хорда параллельна Vz (рис. 8.17) и = 4RVz sin* = 4RVk(sin( + )). (8.27) Величины k, R, представляют собой константы, определяемые вы бранной окружностью и конформным отображением. Угол атаки и ско рость на бесконечности V могут задаваться произвольным образом*, а циркуляция определяется по формуле (8.27).

§6. Силы, действующие на профиль при стационарном обтекании Пусть в плоскости z имеется некоторый контур С (рис. 8.18), обтекае мый потоком жидкости, причем комплексный потенциал тече ния W(z) = + i известен, действующее на контур С давление в соответ ствии с интегралом Бернулли (7.28) равно (массовыми силами пренебрегаем) v p = p0 -, где p0 – давление при v = 0.

* Для каждого профиля имеется предельное значение угла атаки, при превышении которого происходит срыв обтекания. Поэтому угол атаки можно задавать непревышающим этот предел.

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ Рис. 8.17 Рис. 8. Так как dW dW v2 = (vx - ivy)(vx + ivy) =, dz dz то dW dW p = p0 -. (8.28) 2 dz dz На элемент контура dz действует элементарная сила с проекциями d = - p dy, d = p dx (обход контура С происходит против часовой стрелки, а давление направ лено внутрь контура). Тогда с учетом формулы (8.28) будем иметь dW dW dX - idY = -ip (dx - idy) = -ipdz = -i po - dz. (8.29) 2 dz dz Интегрируя соотношение (8.29) по замкнутому контуру С, получим i dW dW - i = dz. (8.30) 2 dz dz C Для преобразования формулы (8.30) заметим, что dW dz = vxdx + vydy + i(vydx - vxdy), dz dW dz = vxdx + vydy - i(vydx - vxdy).

dz Обтекаемый контур С представляет собой линию тока, а вдоль линии тока, как известно, vxdy - vydx = 0. Поэтому вдоль контура С dW dW dz = dz, (8.31) dz dz 170 ГЛАВА VIII и формулу (8.30) можно представить в виде dW - i = i dz. (8.32) 2 dz C Выражение (8.32) представляет собой первую формулу Чаплыгина*.

Элементарный момент силы относительно начала координат (рис. 8.18) дается выражением dM = x d - y d = Re iz (d - id), откуда с учетом равенства (8.29) и (8.31) после интегрирования по замкну тому контуру С получаем вторую формулу Чаплыгина dW M = - Re z dz. (8.33) 2 dz C Для вычисления интегралов в формулах (8.32) и (8.33) заметим, что dW функция вблизи бесконечно удаленной точки представляет собой од dz нозначную аналитическую функцию. Поэтому она может быть разложена в ряд Лорана, а так как при z = она имеет конечное значение, то это раз ложение имеет вид dW C1 C = C0 + + +.... (8.34) dz z z Полагая в формуле (8.34) z =, получим dW = C0.

dz z= С другой стороны, в соответствии с формулой (8.9) dW = Vze-i, dz z= где Vz – модуль скорости потока в бесконечности, следовательно, C0 = Vze-i. (8.35) Так как в соответствии с теоремой о вычетах интегралы по замкнуто му контуру равны dz dz = 2i, = 0, n > 1, z zn C C * Сергей Алексеевич Чаплыгин (1869–1942), один из основоположников аэромеханики. Действительный член АН СССР.

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ то из формул (8.34) и (8.20) имеем dW dz = 2iC1 = + iQ.

dz C Расход несжимаемой жидкости через замкнутый контур при отсутст вии источников равен нулю, и, следовательно, C1 =. (8.36) 2i Возводя равенство (8.34) в квадрат, получим dW C0C1 2 = C0 + 2 + (C1 + 2C0C2)z +..., dz z или, учитывая формулы (8.35) и (8.36), dW 2 = Vz2e- 2i + Vze-i + - + VzC2e-i +.... (8.37) dz iz 4 z Подставив выражение (8.37) в формулу (8.32), после интегрирования по замкнутому контуру С имеем - i = iVze-i, или i + + i = -iVzei = -Vze. (8.38) Равенство (8.38) выражает собой теорему Жуковского: равнодейст вующая сил давления равна произведению плотности, циркуляции и скорости набегающего потока Vz и направлена под прямым углом к этой скорости. Поэтому величина = + i = Vz (8.39) называется подъемной силой.

При безотрывном обтекании циркуляция в формулах (8.38) и (8.39) определяется из соотношения (8.27).

Подставив ряд (8.37) в формулу (8.33), после соответствующих пре образований получаем M = 2 Re(iC2Vze-i ), (8.40) то есть получаем формулу для определения момента подъемной силы от носительно начала координат.

172 ГЛАВА VIII Из формул (8.38) и (8.40) видно, что для вычисления подъемной силы и ее момента достаточно знать Vz, и C2, то есть достаточно знать пер вые три члена разложения (8.34).

Заметим, что при циркуляционном обтекании контура, то есть при 0, модель идеальной жидкости позволяет вычислить величину подъемной силы, и результаты расчета достаточно хорошо согласуются с экспериментом. При = 0 = 0 – имеет место парадокс Даламбера.

Глава IX ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО ПРИЗМАТИЧЕСКИМ ТРУБАМ Давно известно, что существуют две формы (два режима) течения жидкости. Первые фундаментальные исследования в этой области были опубликованы немецким ученым Г. Гагеном в 1839 и 1854 гг. Им было показано, что при течении воды в трубах существует режим, при кото ром частицы жидкости движутся параллельно стенкам трубы, то есть жидкость движется несмешивающимися слоями. Для другого режима характерно перемешивание частиц жидкости в направлении, попереч ном по отношению к оси трубы. Впоследствии указанные режимы те чения были названы, соответственно, ламинарным и турбулентным.

Ламинарным течением называется течение, при котором траектории частиц жидкости представляют собой плавные кривые. Вид этих кривых определяется геометрией области течения. В частности, при течении по призматическим трубам траектории представляют собой прямые линии, параллельные образующим трубы. Из сказанного следует, что при лами нарном течении жидкости по призматическим трубам вектор скорости должен быть направлен параллельно оси трубы.

Условие существования ламинарного режима течения было установ лено Осборном Рейнольдсом в 1883 г. Ламинарный режим имеет место, если число Рейнольдса Re удовлетворяет условию wl Re = < Reкр, µ где w – характерная скорость течения, l – характерный размер, µ – дина мический коэффициент вязкости жидкости, Reкр – критическое число Рей нольдса. Численное значение Reкр существенно зависит от геометрии об ласти течения.

174 ГЛАВА IX §1. Уравнения прямолинейного движения вязкой несжимаемой жидкости по призматическим трубам Уравнения изотермического движения вязкой несжимаемой жидкости в общем случае имеют вид (4.42), или dv = F - p + µv, div v = 0. (9.1) dt Введем систему координат Oxyz и направим ось Oz по оси рассматриваемой призматической трубы (рис. 9.1). Будем считать, что вектор скоро сти течения направлен параллельно оси трубы, то есть, что vx = vy = 0, vz = u, v = ku, (9.2) где k – единичный вектор оси Oz. Из уравнения не разрывности (9.1) и равенств (9.2) следует, что Рис. 9. u = 0, u = u(x, y, t).

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.