WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
-- [ Страница 1 ] --

СЕРИЯ «СОВРЕМЕННЫЕ НЕФТЕГАЗОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ» Редакционный совет:

Главный редактор К. С. Басниев Ответственный редактор А. В. Борисов А. И. Владимиров (РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина) В. И. Грайфер (РИТЭК) В. А. Журавлев (Удмуртский государственный университет) В. И. Кудинов (УдГУ) О. Л. Кузнецов (РАЕН) Н. Н. Лисовский (Министерство промышленности и природных ресурсов) И. С. Мамаев (Институт компьютерных исследований) Р. М. Тер-Саркисов (ВНИИГИЗ) С. Холдич (США) М. М. Хасанов (ЮКОС) С. С. Григорян (МГУ) СЕРИЯ «СОВРЕМЕННЫЕ НЕФТЕГАЗОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ» Вышли в свет:

Р. Д. Каневская Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов Б. Б. Лапук Теоретические основы разработки месторождений природных газов М. М. Хасанов, Г. Т. Булгакова Нелинейные и неравновесные эффекты в реологически сложных средах К. С. Басниев, Н. М. Дмитриев, Г. Д. Розенберг Нефтегазовая гидромеханика Г. И. Фукс Вязкость и пластичность нефтепродуктов А. Х. Мирзаджанзаде, М. М. Хасанов, Р. Н. Бахтизин Моделирование процессов нефтегазодобычи Я. И. Хургин Проблемы неопределенности в задачах нефти и газа Х. Азиз, Э. Сеттари Математическое моделирование пластовых систем М. Маскет Течение однородных жидкостей в пористой среде М. Маскет Физические основы технологии добычи нефти В. А. Байков, А. Х. Мирзаджанзаде Парадоксы нефтяной физики Готовятся к публикации:

К. С. Басниев, Н. М. Дмитриев, Р. Д. Каневская, В. М. Максимов Подземная гидромеханика Л. П. Дейк Практическая разработка месторождений Р. Эрлагер Испытания скважин: достижения К 75-летию Российского Государственного университета нефти и газа им. И. М. Губкина К. С. БАСНИЕВ Н. М. ДМИТРИЕВ Г. Д. РОЗЕНБЕРГ НЕФТЕГАЗОВАЯ ГИДРОМЕХАНИКА Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Нефтегазовое дело» Издание второе, дополненное Под редакцией академика С. С. Григоряна Москва Ижевск УДК Интернет-магазин • ф и з и к а • м а т е м а т и к а • б и о л о г и я • н е ф т е г а з о в ы е т е х н о л о г и и http://shop.rcd.ru Басниев К. С., Дмитриев Н. М., Розенберг Г. Д.

Нефтегазовая гидромеханика: Учебное пособие для вузов. — М.-Ижевск:

Институт компьютерных исследований, 2005. 544 с.

На базе основных представлений механики сплошной среды излагаются осно вы механики жидкости, газа и многофазных сред. Дан вывод законов сохранения в интегральном и дифференциальном виде, изложены элементы гидростатики, рас смотрены различные виды течения идеальных и вязких жидкостей, основные поня тия теории турбулентности, теории размерностей и подобия. Рассмотрены вопросы установившегося и неустановившегося течения однофазных и многофазных сред в трубах, основы газовой динамики, теории движения неньютоновских жидкостей.

Дана гидродинамическая теория фильтрации жидкостей и газов в однородных и неоднородных, изотропных и анизотропных средах.

Для студентов, обучающихся по направлению «Нефтегазовое дело», аспиран тов и преподавателей нефтяных вузов и факультетов, широкого круга научных ра ботников и инженеров, работающих в нефтегазовой отрасли.

ISBN 5-93972-405- © К. С. Басниев, Н. М. Дмитриев, Г. Д. Розенберг, © Институт компьютерных исследований, http://rcd.ru http://ics.org.ru Оглавление Предисловие.............................. Введение................................ Часть I. Основы механики сплошной среды Глава I. Основные понятия механики сплошной среды...... Введение................................. § 1. Гипотеза сплошности........................ § 2. Методы описания движения сплошной среды.......... § 3. Локальная и субстанциональная производная.......... § 4. Скалярные и векторные поля.................... § 5. Силы и напряжения в сплошной среде. Тензор напряжений.. Глава II. Законы сохранения. Интегральные и дифференциальные уравнения сплошной среды.................... § 1. Интегральные характеристики сплошной среды и законы со хранения.............................. § 2. Дифференцирование по времени интеграла, взятого по подвиж ному объему............................ § 3. Уравнение неразрывности (закон сохранения массы)...... § 4. Уравнения движения в напряжениях (закон сохранения коли чества движения)......................... § 5. Закон сохранения момента количества движения. Закон парно сти касательных напряжений................... § 6. Закон сохранения энергии..................... § 7. Теорема об изменении кинетической энергии.......... § 8. Уравнение притока тепла...................... § 9. Система уравнений движения сплошной среды......... 6 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава III. Скорость деформации сплошной среды......... § 1. Скорость деформации малой частицы. Теорема Гельмгольца.. § 2. Тензор скоростей деформаций................... § 3. Физический смысл компонент тензора скоростей деформаций. § 4. Тензорная поверхность симметричного тензора второго ранга. § 5. Циркуляция скорости. Потенциальное движение жидкости... Глава IV. Жидкости.......................... § 1. Математическая модель идеальной жидкости.......... § 2. Математическая модель идеальной несжимаемой жидкости.. § 3. Вязкая жидкость. Тензор напряжений в вязкой жидкости.... § 4. Уравнения движения вязкой жидкости.............. § 5. Математическая модель вязкой несжимаемой жидкости.... § 6. Работа внутренних сил. Уравнение притока тепла........ Глава V. Основы теории размерностей и подобия......... § 1. Системы единиц измерения. Размерность............ § 2. О формуле размерности....................... § 3. Величины с независимыми размерностями............ § 4. П-теорема.............................. § 5. Подобие физических явлений, моделирование.......... § 6. Параметры, определяющие класс явлений............ § 7. Примеры на применение П-теоремы............... § 8. Приведение уравнений к безразмерному виду.......... Часть II. Гидромеханика Глава VI. Гидростатика........................ § 1. Уравнения равновесия жидкости и газа.............. § 2. Равновесие жидкости в поле силы тяжести............ § 3. Относительный покой жидкости.................. § 4. Статическое давление жидкости на твердые поверхности... § 5. Элементы теории плавания..................... Глава VII. Течение идеальной жидкости............... § 1. Уравнения Эйлера в форме Громеко – Ламба........... § 2. Интеграл Бернулли......................... § 3. Частные виды интеграла Бернулли................ § 4. Простейшие примеры приложения интеграла Бернулли..... § 5. Интеграл Коши – Лагранжа..................... ОГЛАВЛЕНИЕ § 6. Теорема Томсона.......................... § 7. Уравнение Гельмгольца....................... § 8. Потенциальное течение несжимаемой жидкости......... § 9. Обтекание сферы.......................... § 10. Некоторые примеры применения закона сохранения количе ства движения........................... Глава VIII. Плоскопараллельное течение идеальной несжимаемой жидкости.............................. § 1. Комплексный потенциал течения................. § 2. Примеры плоскопараллельных потенциальных течений.... § 3. Конформное отображение потоков................. § 4. Преобразование Жуковского.................... § 5. Обтекание профиля произвольной формы............ § 6. Силы, действующие на профиль при стационарном обтекании Глава IX. Течение вязкой несжимаемой жидкости по призматичес ким трубам............................. § 1. Уравнения прямолинейного движения вязкой несжимаемой жидкости по призматическим трубам.............. § 2. Прямолинейное течение между двумя параллельными стенками § 3. Прямолинейное течение в осесимметричных трубах...... § 4. Уравнение установившегося кругового движения вязкой несжи маемой жидкости......................... § 5. Течение между двумя вращающимися цилиндрами....... Глава X. Турбулентное течение жидкости в трубах......... § 1. Опыты О. Рейнольдса........................ § 2. Осреднение характеристик турбулентного течения....... § 3. Уравнение Рейнольдса....................... § 4. Полуэмпирическая теория турбулентности Л. Прандтля..... § 5. Применение соображений теории размерностей к построению полуэмпирических теорий турбулентности........... § 6. Логарифмический закон распределения скоростей........ § 7. Экспериментальные исследования коэффициента гидравличес кого сопротивления........................ Глава XI. Гидравлический расчет трубопроводов......... § 1. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости........ § 2. Виды потерь напора......................... § 3. Расчет простых трубопроводов.................. 8 ОГЛАВЛЕНИЕ § 4. Расчет сложных трубопроводов.................. § 5. Трубопроводы, работающие под вакуумом............ Глава XII. Истечение жидкости из отверстий и насадков..... § 1. Истечение из малого отверстия.................. § 2. Истечение через насадки...................... § 3. Истечение жидкости при переменном уровне.......... Глава XIII. Неустановившееся движение вязкой жидкости в трубах § 1. Уравнения неустановившегося движения жидкости по трубам. § 2. Уравнения неустановившегося движения слабосжимаемой жидкости по трубам........................ § 3. Уравнения неустановившегося движения газа по трубам с ма лыми дозвуковыми скоростями.................. § 4. Интегрирование уравнений неустановившегося движения жидкости и газа методом характеристик............ § 5. Интегрирование линеаризованных уравнений неустановивше гося движения с помощью преобразования Лапласа...... § 6. Примеры расчета нестационарных процессов в трубах..... § 7. Гидравлический удар........................ § 8. Влияние нестационарности течения на силу трения....... Глава XIV. Ламинарный пограничный слой............ § 1. Уравнения пограничного слоя................... § 2. Задача Блазиуса........................... § 3. Отрыв пограничного слоя..................... Глава XV. Одномерные течения газа................. § 1. Скорость звука............................ § 2. Закон сохранения энергии..................... § 3. Число Маха. Коэффициент скорости............... § 4. Связь между площадью живого сечения трубки тока и скоро стью течения............................ § 5. Истечение газа через сходящийся насадок............ § 6. Сопло Лаваля............................ § 7 Газодинамические функции..................... § 8. Ударные волны............................ § 9. Расчет газового эжектора...................... § 10. Установившееся движение газа в трубах............ § 11. Формула Шухова.......................... ОГЛАВЛЕНИЕ Глава XVI. Ламинарное течение неньютоновских жидкостей... § 1. Простой сдвиг............................ § 2. Классификация неньютоновских жидкостей........... § 3. Вискозиметрия............................ § 4. Течение жидкости по бесконечно длинной круглой трубе.... § 5. Вращательное течение жидкости в кольцевом зазоре...... § 6. Интегральный метод в вискозиметрии.............. § 7. Коэффициент гидравлического сопротивления.......... § 8. Дополнительные замечания о расчете течения неньютоновских жидкостей по трубам....................... Глава XVII. Двухфазное течение в трубах.............. § 1. Уравнения законов сохранения................... § 2. Уравнения движения двухфазной смеси в трубах........ § 3. Преобразование уравнений движения двухфазной смеси в трубах § 4. Режимы течения........................... § 5. Свободный дебит газоконденсатной скважины.......... Часть III. Нефтегазовая подземная гидромеханика Глава XVIII. Основные определения и понятия фильтрации жидкос тей и газов. Опыт и закон Дарси................. § 1. Особенности движения флюидов в природных пластах..... § 2. Исходные модельные представления подземной гидромехани ки жидкости и газа........................ § 3. Фильтрационно-емкостные свойства пористых сред. Коэффи циенты пористости и просветности. Удельная поверхность.. § 4. Опыт и закон Дарси. Проницаемость. Понятие «истинной» средней скорости и скорости фильтрации............ § 5. Границы применимости закона Дарси. Анализ и интерпретация экспериментальных данных................... § 6. Нелинейные законы фильтрации.................. § 7. Структурные модели пористых сред............... § 8. Закон Дарси для анизотропных сред............... Глава XIX. Математические модели однофазной фильтрации... § 1. Вводные замечания. Понятие о математической модели физи ческого процесса.......................... § 2. Закон сохранения массы в пористой среде............ 10 ОГЛАВЛЕНИЕ § 3. Дифференциальное уравнение движения флюида........ § 4. Замыкающие уравнения. Математические модели изотермичес кой фильтрации.......................... § 5. Модель фильтрации несжимаемой вязкой жидкости по закону Дарси в недеформируемом пласте................ § 6. Модель фильтрации газа по закону Дарси. Функция Л. С. Лей бензона............................... § 7. Модели однофазной фильтрации в недеформируемом пласте при нелинейных законах фильтрации.............. § 8. Зависимость параметров флюидов и пористой среды от давления Глава XX. Одномерная установившаяся фильтрация несжимаемой жидкости и газа в однородной пористой среде......... § 1. Схемы одномерных фильтрационных потоков.......... § 2. Прямолинейно-параллельная фильтрация несжимаемой жид кости................................ § 3. Плоскорадиальная фильтрация несжимаемой жидкости..... § 4. Радиально-сферическая фильтрация несжимаемой жидкости.. § 5. Аналогия между фильтрацией несжимаемой жидкости и газа. § 6. Фильтрационное одномерное течение совершенного газа.... § 7. Фильтрационное плоскорадиальное течение реального газа по закону Дарси............................ § 8. Плоскорадиальный фильтрационный поток несжимаемой жид кости и газа по двухчленному закону фильтрации....... § 9. Плоскорадиальный фильтрационный поток несжимаемой жид кости и газа по степенному закону фильтрации........ Глава XXI. Одномерные фильтрационные потоки по закону Дарси несжимаемой жидкости и газа в неоднородных пластах.... § 1. Основные типы неоднородности пластов............. § 2. Прямолинейно-параллельный поток в слоисто-неоднородном пласте................................ § 3. Прямолинейно-параллельный поток в зонально-неоднородном пласте................................ § 4. О расчете пластов с непрерывной неоднородностью...... § 5. Плоскорадиальный поток в слоисто-неоднородном пласте... § 6. Плоскорадиальный поток в зонально-неоднородном пласте.. Глава XXII. Плоские установившиеся фильтрационные потоки. § 1. Основные определения и понятия................. ОГЛАВЛЕНИЕ § 2. Потенциал точечного источника и стока на изотропной плос кости. Метод суперпозиции.................... § 3. Приток жидкости к группе скважин в пласте с удаленным контуром питания......................... § 4. Приток жидкости к скважине в пласте с прямолинейным кон туром питания........................... § 5. Приток жидкости к скважине в пласте вблизи прямолинейной непроницаемой границы..................... § 6. Приток жидкости к скважине, эксцентрично расположенной в круговом пласте.......................... § 7. Об использовании метода суперпозиции при фильтрации газа. Глава XXIII. Неустановившееся движение упругой жидкости в упру гом пласте............................. § 1. Упругий режим пласта и его характерные особенности..... § 2. Подсчет упругого запаса жидкости в пласте........... § 3. Математическая модель неустановившейся фильтрации упру гой жидкости в упругой пористой среде............ § 4. Вывод дифференциального уравнения фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде по закону Дарси..... § 5. Одномерные фильтрационные потоки упругой жидкости. Точ ные решения уравнения пьезопроводности. Основная фор мула теории упругого режима.................. Глава XXIV. Приближенные методы решения задач теории упругого режима............................... § 1. Метод последовательной смены стационарных состояний... § 2. Метод А. М. Пирвердяна...................... § 3. Метод интегральных соотношений................ § 4. Метод «усреднения»........................ Приложение.............................. Литература............................... Предисловие Это – хорошая книга. В ней представлены основные разделы гидроме ханики и газовой динамики, имеющие прямое – непосредственное отно шение к главным технологическим областям современной нефтегазовой отрасли экономики, имеющим дело с разработкой нефтяных и газовых ме сторождений, извлечением из недр земли и транспортировкой на большие расстояния нефти и газа.

Для научно-инженерного «обслуживания» этих действий, в частности и их оптимизации, требуется привлечение количественных методов под земной гидромеханики, исследующей процессы фильтрации жидкостей и газов в пористых средах (в природных коллекторах углеводородного сы рья), трубной гидро-газодинамики и гидравлики, исследующих процессы транспорта реальных жидкостей и газов по протяженным трубопроводным сооружениям, а также методов гидростатики – для количественных оценок условий и состояний в хранилищах нефти и газа. Конечно, имеется значи тельная учебная и научная литература, в которой детально рассматривают ся все эти вопросы и представлены соответствующие инженерные расчет ные методики. Однако в них внимание учащихся и практических работни ков преимущественно сосредоточивается на «рецептурной» стороне дела, т.е. на умении проводить конкретные расчеты и оценки по готовым прави лам и алгоритмам. Существенным недостатком и следствием такой мето дики обучения специалистов (не только в нефтегазовой отрасли) является «жесткость» получающейся квалификации – неумение специалиста пра вильно ориентироваться при «встрече» с нестандартной или новой задачей, для решения которых он оказывается вовсе не готовым.

Главное отличие этой книги – ее направленность на обучение фундамен тальным вещам – научным началам, на обучение не умению применять ре цептуру инженерных расчетов, а пониманию первичной природы изучаемых явлений и процессов и правильному выбору методов их исследований. Од ним словом, основу идеологии этой учебной книги составляет университет ский подход к обучению специалистов, и в этом – ее несомненное и очень значительное преимущество по сравнению со «стандартными» учебными по собиями. Ее издание и включение в практику преподавания в институтах нефтегазового профиля внесет существенное – качественное улучшение в про цесс подготовки современных специалистов – нефтяников и газовиков.

Академик С. С. Григорян 27.08. Введение Одной из основных научных дисциплин, объясняющих многие явле ния и факты природы, деятельности человека, техники и технологий, явля ется гидромеханика – раздел механики, изучающий законы равновесия и движения жидкости. Гидромеханика находит свои приложения во мно гих областях: в авиации и кораблестроении, атомной энергетике и гидро энергетике, гидрогеологии и водоснабжении, теплотехнике, метеорологии и химической технологии. Особое значение имеет применение гидромеха ники в разнообразных технологических процессах нефтяной и газовой промышленности, включая фильтрацию жидкостей и газов в природных пластах, их движение в трубопроводах и аппаратах. Для этих применений она является базовой научной дисциплиной.

Гидродинамическое описание процессов в различных областях техни ки и технологий определяется специфическим для каждой области классом гидромеханических задач. В связи с этим получили развитие такие дисци плины, как теоретическая гидромеханика, техническая гидромеханика, аэро механика, гидравлика, подземная гидромеханика и др. Каждой из этих дисциплин соответствует не только свой круг гидромеханических задач, но и свои специфические методы математического описания моделей и реше ния конкретных задач. В то же время, все дисциплины объединяет единый подход, основанный на гипотезе сплошности и законах сохранения, кото рые составляют основу механики сплошных сред.

В предлагаемом учебном пособии «Нефтегазовая гидромеханика» ав торы впервые делают попытку изложить гидромеханические основы раз личных технологий нефтяной и газовой промышленности с позиций ос новных положений механики сплошной среды, обобщив при этом содер жание ныне читающихся дисциплин гидромеханического цикла, (техниче ская и подземная гидромеханика), а также специальных курсов (приклад ная газовая динамика гидродинамических задач нефтегазовой экологии и др.). Следует отметить, что преподавание гидромеханического цикла дисциплин в нефтегазовых вузах имеет прочные основы и разнообразные приложения. Начало преподавания гидромеханики при подготовке инже неров-нефтяников было заложено выдающимся механиком академиком Л.С. Лейбензоном в Московском нефтяном институте им. И.М. Губкина (ныне Российский государственный университет нефти и газа им.

И.М. Губкина) со времени его основания в 1930 году.

14 ВВЕДЕНИЕ Известен выдающийся вклад Л.С. Лейбензона в создание теоретичес ких основ нефтегазовой гидромеханики и теории фильтрации нефти и газа.

Созданная им научная школа дала гидродинамическое обоснование новых технологий разработки нефтяных и газовых месторождений, что позволило вывести отечественную нефтедобычу на ведущие позиции в мире.

Ученики Л.С. Лейбензона: профессор И.А. Чарный, В.Н. Щелкачев, Б.Б. Лапук – создали первые учебники и организовали чтение курса под земной гидравлики, охватывающего основы теории фильтрации нефти и газа в пластах. Одновременно читался курс технической гидромеханики, в прикладном отношении направлений на изучение движения жидкости в трубопроводах и аппаратах. Преподавание гидромеханических дисцип лин сосредоточено на кафедре нефтегазовой и подземной гидромеханики, созданной выпускником МГУ им. М.В. Ломоносова И.А. Чарным в 1946 г.

Отличительной особенностью организации работы этой кафедры было со четание в составе преподавателей выпускников МГУ и РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, что позволяло поддерживать на высоком уровне фунда ментальность гидромеханического образования инженеров и тесную связь с развитием нефтегазовой науки.

Большое значение при этом имело тесное сотрудничество с кафедрой гидромеханики МГУ под руководством академика Л.И. Седова. Выпуск ники этой кафедры и МГУ профессора И.М. Астрахан, В.М. Максимов, В.И. Марон, М.В. Лурье, Я.И. Хургин, А.В. Колесниченко, доценты И.Н. Кочина, В.И. Исаев, М.Н. Кравченко, ст. преп. Е.Г. Разбегина внесли существенный вклад в создание научно-методических основ преподавания гидромеханических дисциплин в нефтегазовых вузах. Неоценимое вклад в развитие гидромеханических исследований и нефтегазового образования вносит постоянное сотрудничество с академиком РАН С.С. Григоряном.

Выпускники РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина — профессора Б.Б. Ла пук, А.П. Юфин, А.К. Курбанов, М.В. Филинов, В.Н. Николаевский, до центы А.Е. Евгеньев, А.М. Власов, В.Г. Иванников успешно решали фун даментальные и прикладные задачи нефтегазовой гидромеханики, а также создавали оригинальную учебно-лабораторную базу.

Авторами данного учебного пособия также являются выпускник РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина К.С. Басниев и выпускники МГУ им. М.В. Ломоносова Н.М. Дмитриев, Г.Д. Розенберг.

Работа над рукописью была завершена после кончины профессора Г.Д. Розенберга. Будучи одним из ближайших учеников И.А. Чарного, он посвятил свою деятельность развитию идей своего учителя в задачах тру бопроводного транспорта нефти и газа, в подготовке инженеров-исследо вателей с углубленными знаниями гидромеханики.

ВВЕДЕНИЕ Предлагаемое изложение курса «Нефтегазовой гидромеханики» осно вано на комплексном подходе к изучению гидромеханики в нефтегазовых вузах. В трех частях книги излагаются основы механики сплошной среды, гидромеханика и нефтегазовая подземная гидромеханика.

Актуальность подобного кypca возрастает в связи с необходимостью «фундаментализации» нефтегазового образования и созданием нефтегазо вых университетов, введением в новые учебные планы ряда специальнос тей курса механики сплошной среды.

Учебное пособие «Нефтегазовая гидромеханика» написано в основ ном на материале курсов лекций, прочитанных авторами в РГУ нефти и га за им. И.М. Губкина, и может быть использовано студентами, магистран тами, аспирантами, научными сотрудниками и специалистами нефтегазо вой отрасли при изучении цикла гидромеханических дисциплин – механики сплошной среды, теоретической и технической гидромеханики, подземной гидромеханики, газовой динамики. В учебном пособии наряду с классическим материалом излагаются и некоторые новые результаты, полученные совместно с профессором И.М. Астрахан, доцентами В.И. Исаевым и М.Н. Кравченко. Содержание отдельных глав и парагра фов обсуждалось на научно-методических семинарах кафедры нефтегазовой и подземной гидромеханики и кафедры разработки и эксплуатации газовых и газоконденсатных месторождений РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина.

Авторы благодарны коллективам этих кафедр, с которыми их связывает многолетняя научно-педагогическая работа. Авторы признательны заве дующему кафедрой нефтегазовой и подземной гидромеханики профессору В.В. Кадету за поддержку и внимание к работе.

Глубокую благодарность и признательность авторы приносят акаде мику РАН С.С. Григоряну, внимательно прочитавшему рукопись и отре дактировавшему ее.

Часть I ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Глава I ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Введение Теоретическая механика представляет собой науку об общих законах равновесия, движения и взаимодействия материальных тел. При этом рас сматриваются не реальные физические тела, а их модели: материальные точки, системы материальных точек, абсолютно твердые (недеформируе мые) тела. Использование этих моделей позволяет существенно упростить описание тех или иных явлений, сохраняя при этом их важнейшие особен ности. Однако при рассмотрении многих вопросов существенными явля ются не только движения тех или иных тел, но и их деформации, то есть изменения их формы и объема. В этих случаях модели, используемые в теоретической механике, оказываются непригодными.

Естественным продолжением и развитием теоретической механики является наука, изучающая поведение деформируемых сред. Эта наука – механика сплошных сред – рассматривает физические тела как сплошные деформируемые среды, то есть так же, как и теоретическая механика, опе рирует моделями.

В ряде случаев, например, при движении газов, процессы, происте кающие в деформируемых средах, тесно связаны с термодинамическими явлениями в этих средах. Поэтому в основе механики сплошных сред ле жат как законы теоретической механики, так и законы термодинамики.

Механика сплошных сред является теоретической базой таких дисциплин как гидромеханика ньютоновских и неньютоновских жидкостей, газовая ди намика, подземная гидромеханика, теория упругости, теория пластичности.

§1. Гипотеза сплошности Явления, рассматриваемые в механике сплошных сред, в частности, в механике жидкости и газа, носят макроскопический характер. Это позво ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ ляет абстрагироваться от молекулярного строения вещества и рассматри вать физические тела как сплошные среды.

Сплошная среда представляет собой материальный континуум, то есть непрерывное множество материальных точек с непрерывным (в об щем случае – кусочно-непрерывным) распределением по нему кинемати ческих, динамических, термодинамических и иных физико-химических характеристик рассматриваемой среды.

С физической точки зрения принятие модели сплошной среды означает, что при макроскопическом описании всякий «бесконечно малый» объем со держит достаточно большое число молекул. Например, кубик воздуха с реб ром 10–3 мм содержит 27106 молекул. Отсюда видно, что предлагаемая идеа лизация не будет применимой лишь при очень больших разрежениях.

Отметим еще раз, что понятие «сплошная среда» представляет собой модель реальных сред. Использование такой модели в механике жидкости и газа и ряде других областей оправдывается тем, что полученные на ее основе результаты подтверждаются экспериментально и всесторонней ап робацией на практике. В качестве примеров можно указать на расчеты те чений в трубопроводах различного назначения, истечения жидкостей и га зов через сопла, фильтрации через пористые среды и т.д.

§2. Методы описания движения сплошной среды При количественном изучении движения всегда подразумевается, что фиксирована не которая система координат, относительно ко торой это движение рассматривается. Пусть в пространстве фиксирована система коорди нат Ox1x2x3 с ортонормированным базисом* e1,e2,e3 (рис.1.1). Закон движения индиви дуализированной материальной точки задает ся, как известно, в виде функций ее коорди нат от времени t в виде xi = xi(t), (1.1) или, в векторной форме**, Рис. 1. R = eixi(t). (1.2) * ‚‡ ·‡ - ‚ ‚‡ ‰fl ‰ ‚ ‚.

** ‰ ‰‡, ‡ „‚, ·‚ ‰ ‡ ‡fl 1, 2, 3 ‚ flfl ‰‡ ‚‰fl ‚‡,.. ei xi = xi.

ei i = 18 ГЛАВА I Величины xi называются пространственными координатами точки.

Описание движения сплошной среды означает, по определению, зада ние движения всех материальных точек, образующих рассматриваемый континуум. В качестве «меток», позволяющих отличать одну материаль ную точку от другой, можно использовать пространственные координаты этих точек в какой-либо момент времени t = t0.

Обозначим пространственные координаты материальных точек сплошной среды при t = t0 через Xi. Тогда закон движения сплошной сре ды можно представить в виде* xi = xi(X1, X2, X3,t) = xi(Xj,t), (1.3) или, в векторной форме, R = eixi(Xj,t). (1.4) Из правила задания «меток» следует, что соотношения (1.3) и (1.4) удовлетворяют равенствам Xi = xi(Xj,t0), R0 = eixi(Xj,t0).

Координаты Xi называются материальными координатами.

Замечание: в качестве «меток» могут быть использованы любые вза имно однозначные функции материальных координат qi = qi(Xj).

Функции (1.3) считаются непрерывными и имеющими непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Из физических сообра жений ясно, что в любой момент времени каждой материальной точке сплошной среды соответствует одна и только одна точка пространства и обратно – каждой точке пространства соответствует только одна матери альная точка. Следовательно, при t t0 функции (1.3) задают взаимно од нозначное соответствие между материальными Xi и пространственны ми xi координатами. Последнее означает, что якобиан x1 x1 x X1 X2 X D(x1, x2, x3) x2 x2 x J = = 0, D(X1, X2, X3) X1 X2 X x3 x3 x X1 X2 X и соотношения (1.3) могут быть разрешены относительно материальных координат Xj = Xj(xi,t). (1.5) * ‰ ‚ ‡ a = a(bj,t) ‚ ‰‡ ‚‰ ‰ ‡‚‡fl, a = a(b1,b2,b3,t ).

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ При описании движения сплошной среды могут быть использованы два разных метода.

В первом методе, методе Лагранжа**, для описания движения ис пользуются в качестве независимых переменных материальные координа ты Xi – переменные Лагранжа и время t. Пусть физическая величина A (векторная или скалярная) задана как функция переменных Лагранжа и времени A = A(Xj,t). (1.6) При фиксированных значениях материальных координат Xj зависи мость (1.6) описывает изменение во времени величины A в фиксирован ной материальной точке сплошной среды. При фиксированном значении t соотношение (1.6) описывает распределение величины A в материальном объеме в фиксированный момент времени. Таким образом, физический смысл метода Лагранжа заключается в описании движения сплошной сре ды посредством описания движения индивидуализированных материаль ных точек.

Во втором методе, методе Эйлера*, для описания движения исполь зуются пространственные координаты xi – переменные Эйлера и время t.

В этом случае различные характеристики сплошной среды (например, ско рость, температура, давление и т.д.) должны быть заданы как функции Эй леровых переменных. Пусть величина A (векторная или скалярная) задана как функция переменных Эйлера:

A = A(xj,t). (1.7) При фиксированных пространственных координатах xj зависи мость (1.7) описывает изменение во времени величины A в заданной точ ке пространства. При фиксировании значения времени t соотноше ние (1.7) описывает распределение величины A в пространстве в этот мо мент времени. Таким образом, физический смысл метода Эйлера состоит в описании поведения сплошной среды в фиксированных точках простран ства, а не в точках движущейся сплошной среды.

Использование того или иного метода зависит от постановки задачи.

При выводе основных законов движения необходимо пользоваться мето дом Лагранжа, так как эти законы формулируются для фиксированных ма териальных объектов. В то же время при решении конкретных задач гид ромеханики предпочтительным является метод Эйлера, так как в этом слу ** ‡„ ‡ (1736-1813), ‡ ‡‡ ‡, ‡ · „ ‡‰ ‡.

* ‡ ‰ (1707-1783), ‡‡, ‡, ‡. ‰ ‚‡.

‰ ‚‚ „‰ ‡. ‚, ‡ ‡ ‡ · „ ‡‰ ‡.

20 ГЛАВА I чае, как правило, важно знать распределение характеристик среды в про странстве.

Методы Лагранжа и Эйлера эквивалентны в том смысле, что если за дано описание движения по одному из них, то всегда возможен переход к описанию движения по другому методу.

Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера в случае, ко гда величина A задана как функция лагранжевых координат, то есть зада но соотношение (1.6) и известен закон движения (1.3), сводится к разреше нию уравнений (1.3) относительно величин Xj, то есть к нахождению уравнений (1.5) и замене Xj на Xj(xi,t). Тогда из соотношений (1.5) и (1.6) имеем A(Xj,t) = A(Xj(xi,t),t) = A(xi,t). (1.8) Если известен закон движения (1.3), а величина A задана как функ ция эйлеровых координат, то есть задано соотношение (1.7), то, проделы вая преобразования в равенстве (1.8) в обратном порядке, имеем A(xi,t) = A(xi(Xj,t),t) = A(Xj,t). (1.9) Если закон движения не задан, но известно распределение вектора скорости* v = eivi(xj,t), то из равенств (1.3) или (1.4) следует, что xi vi(xj,t) =. (1.10) t Интегрируя уравнения (1.10) получим, что xi = xi(C1,C2,C3,t), где Cj – константы интегрирования, которые представляют значения xi в некото рый момент времени t0 и могут быть приняты за «метки», индивидуализи рующие материальные точки сплошной среды. Следовательно, в результа те интегрирования уравнений (1.10) определяется закон движения сплош ной среды (1.3) и переход от метода Эйлера к методу Лагранжа выполня ется в соответствии с равенством (1.9).

Таким образом, при переходе от метода Лагранжа к методу Эйлера и наоборот могут возникнуть лишь технические трудности при разреше нии уравнений (1.1), или интегрировании соотношений (1.8), так как тео ретически такой переход возможен всегда.

§3. Локальная и субстанциональная производная Скорость изменения со временем любого свойства A, например, скорости, плотности, температуры фиксированной материальной точки * ‡ ‰ ‡ ‚, ‚ ‡ ‰,.. ‚ vi (x,t ).

j ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ движущейся сплошной среды называется субстанциональной (материаль ной, индивидуальной или полной) производной по времени и обознача dA ется символом.

dt Величина A может быть скаляром или вектором и задана как функ ция лагранжевых или эйлеровых координат, т.е. A = A(Xi,t) или A = A(xi,t). Так как материальная точка движется по своей траектории, то величина A может быть задана также в виде A = A(s,t), где s – длина дуги, отсчитываемая вдоль траектории.

При движении фиксированной точки ее материальные координаты не изменяются. Поэтому d A(Xi,t) A(Xi,t) =. (1.11) dt t Наоборот, ее пространственные координаты являются функциями времени и, следовательно, xj d A(xi,t) A(xi,t) A(xi,t) = +, (1.12) dt t xj t или d A(s,t) A ds A(s,t) = +. (1.13) dt t s dt ds xi Очевидно, что = v – модуль вектора скорости, а – компонен dt t ты вектора скорости рассматриваемой точки. Тогда с учетом уравнений (1.10) формулы (1.12) и (1.13) могут быть представлены в виде d A(xi,t) A(xi,t) A(xi,t) = + vj, (1.14) dt t xj d A(s,t) A(s,t) A(s,t) = + v. (1.15) dt t s Если A – скалярная величина, то очевидно, что A(xi,t) vj = vgradA = vA, (1.16) xj а производная по направлению s равна A(s,t) o A o = s A и v = vs A = vA, (1.17) s s 22 ГЛАВА I где so – единичный вектор касательной к траектории, v = eivi – вектор скорости.

С учетом выражений (1.16) и (1.17) формулы (1.14) и (1.15) могут быть представлены в виде dA A = + vA. (1.18) dt t Если A – вектор, т.е. A = eiAi, то в соответствии с равенством (1.14) dAi Ai Ai = + vj, dt t xj откуда dAi deiAi dA Ai eiAi A ei = =, ei = = dt dt dt t t t Ai eiAi A eivj = vj = vj = (v )A xj xj xj и dA A = + (v )A, (1.19) dt t где (v ) – символический оператор, равный (v ) = vj.

xj Первое слагаемое в формулах (1.12)-(1.15) и (1.18), (1.19) характери зует скорость изменения свойства A в фиксированной точке пространства и называется локальной производной. Второе слагаемое в этих формулах называется конвективной производной и характеризует изменение A за счет перемещения материальной точки в пространстве. Величина конвек тивной производной определяется как движением материальной точки (v 0 ), так и неоднородностью распределения величины A в пространст A ве ( 0 ).

xi §4. Скалярные и векторные поля Если в каждой точке области пространства D и каждому моменту времени t поставлено в соответствие значение скалярной (векторной) ве личины, то говорят, что в области D задано скалярное (векторное) поле.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Таким образом, под полем какой-либо величины понимается совокупность ее значений, заданных в каждой точке области D и в заданном интервале времени. Например, если заданы функции скалярных величин = (xi,t), T = T(xi,t), (1.20) где – плотность, T – температура, то функции (1.20) определяют ска лярные поля плотности и температуры. Если же дана векторная функция, например, vk = vk (xi,t) или v = v(xi,t), (1.21) то функции (1.21) задают векторное поле скоростей.

Очевидно, что понятие поля физической величины применимо при описании движения только с помощью метода Эйлера.

Скалярное (векторное) поле называется непрерывным, если функция, его представляющая, непрерывна по xi и t. Если функция, представляю щая поле, не зависит от времени t, то поле называется стационарным.

Если все поля, описывающие движение сплошной среды, стационар ны, то такое движение называется установившимся или стационарным.

Если же эти поля (или хотя бы одно из них) зависят от времени, то движе ние называется неустановившимся или нестационарным. При установив шемся движении все локальные производные (частные производные по времени) равны нулю, т.е.

T vi = 0, = 0, = 0, … t t t Понятия установившегося или неустановившегося движения примени мы только при описании движения методом Эйлера и являются относитель ными. Одно и то же движение может быть установившимся относительно одной системы координат и неустановившимся относительно другой. На пример, при движении с постоянной скоро стью твердого тела в жидкости движение жидкости будет установившимся в системе координат, связанной с телом, и неустано вившимся в неподвижной системе координат.

Для любого векторного поля можно ввести понятие векторной линии. Векторной линией называется линия, касательная в ка ждой точке которой в данный момент вре Рис. 1. мени совпадает с направлением вектора по ля в этой точке. Из этого определения следует, что если задано векторное поле A(xi,t), то в точках векторной линии в данный момент времени вы полняется условие A ds, где ds – бесконечно малый вектор касательной, или ds = Ad, где d – скалярный параметр (рис. 1.2).

24 ГЛАВА I Векторные линии поля скоростей называются линиями тока. Так как для них, по определению, ds = eidxi = vd = eivid, то уравнения линий тока имеют вид dxi = vi(xj,t). (1.22) d Заметим, что вдоль траектории движения материальной точки имеет место равенство dxi = vi(xj,t). (1.23) dt В соотношении (1.22) время является параметром, а в (1.23) – незави симой переменной.

Решение системы уравнений (1.22) имеет вид xi = xi(cj,,t), где cj – константы интегрирования, и линии тока (векторные линии) в разные моменты времени могут иметь разный вид.

При установившемся движении уравнения (1.22) и (1.23) принимают, соответственно, вид dxi dxi = vi(xj), = vi(xj), d dt и отличие сводится к разному обозначению параметра, по которому ведет ся дифференцирование. Следовательно, при установившемся движении линии тока и траектории материальных точек совпадают.

Если решение системы уравнений (1.22) существует и единственно, то через каждую точку пространства проходит единственная линия тока. Од нако в некоторых точках поля скоростей условия существования и единст венности могут нарушаться. В частности, условия единственности реше ния могут нарушаться в точках, в которых компоненты вектора скорости обращаются в нуль или в бесконечность.

Рис. 1.3 Рис. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Точки, в которых скорость обращается в нуль или в бесконечность, называются особыми. На рис.1.3 приведен пример поля скоростей, обра зующегося при обтекании жидкостью твердого тела. В точке А скорость равна нулю, и линия тока разветвляется.

Рассмотрим некоторую область поля скоростей, полагая, что в ней от сутствуют особые точки. Проведем в этой области кривую АВ, не являю щуюся линией тока. В этом случае через каждую точку кривой АВ можно провести единственную линию тока. Совокупность этих линий тока обра зует поверхность, в каждой точке которой вектор скорости лежит в каса тельной плоскости к этой поверхности. Такая поверхность называется по верхностью тока. Так как через каждую точку поверхности тока проходит единственная линия тока, то эта поверхность непроницаема для частиц жидкости. Если линия АВ замкнута (рис.1.4), то поверхность называется трубкой тока.

Пусть f(x1, x2, x3) = 0 – уравнение поверхности тока. Так как f f = ei xi есть вектор нормали к этой поверхности, а вектор скорости v = eivi лежит в касательной плоскости к поверхности тока, то f vf = vi = 0 (1.24) xi представляет собой условие, обязательно выполняющееся на поверхности тока.

Рассечем трубку тока какой-либо поверхностью. Если в каждой точке этой поверхности вектор скорости направлен по нормали, то такая поверх ность называется живым сечением. Пусть (x1, x2, x3) = 0 – уравнение по верхности живого сечения. Так как вектор скорости v параллелен нормали к этому сечению, то v, или v = 0.

Если длина линии АВ бесконечно мала, то трубка тока называется эле ментарной. Понятно, что параметры течения (скорость, плотность и т.д.) в элементарной трубке тока равномерно распределены по живому сечению.

§5. Силы и напряжения в сплошной среде. Тензор напряжений Движение сплошной среды, как и абсолютно твердого тела, происхо дит под действием сил. Но если в теоретической механике, как правило, рассматриваются сосредоточенные силы, то в механике сплошной среды главным образом имеют дело с распределенными силами.

По характеру действия, вне зависимости от конкретной физической природы, в механике сплошной среды различают два класса сил: массовые 26 ГЛАВА I и поверхностные. Массовыми силами называют силы, величина которых пропорциональна массе среды, на которую они действуют. Примерами массовых сил могут служить гравитационные и электромагнитные силы, силы инерции. Поверхностными силами называют силы, величина кото рых пропорциональна площади поверхности, на которую они действуют.

Примерами поверхностных сил могут служить силы давления и трения.

Однако в механике сплошных сред рассматриваются не собственно массовые и поверхностные силы, а их напряжения (плотности распределе ния).

Напряжение массовых сил в точ ке M определяется как предел отношения R lim = F(M), m m где R – главный вектор массовых Рис. 1. сил, действующих на массу m, за ключенную в элементарном объеме V, содержащем точку M (рис. 1.5).

Напряжение массовой силы имеет размерность ускорения. Для силы тяже сти напряжение F = g, где g – вектор ускорения силы тяжести.

Для определения напряжения поверхностных сил рассмотрим на по верхности S, проведенной в сплошной среде, элементарную площад ку S, содержащую точку M (рис.1.6). Напряжение поверхностной силы в точке M определяется как предел отношения P lim = p(M).

S S Рис. 1.6 Рис. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Очевидно, что через точку M можно провести бесконечно много по верхностей S, и в общем случае напряжение в точке M для разных по верхностей может быть различным (рис. 1.7). Следовательно, напряжение поверхностной силы является не только функцией точки пространства, но и ориентации элементарной площадки S. Это означает, что в отличие от напряжения массовых сил, являющегося функцией только точки простран ства и, следовательно, образующего векторное поле, напряжение поверх ностных сил векторного поля не образует.

Ориентация в пространстве площадки S может быть задана единичным вектором нормали n к поверхности в точке M. По S этому p = p(n, M) или, как это обычно принято, зависимость p от n обозначают в виде индек са: p = pn(M).

Однако поверхность S явля ется двусторонней и в точке M можно провести две нормали: n Рис. 1. и –n (рис. 1.8). Поэтому необхо димо принять соглашение о положительном направлении нормали. Будем считать, что положительное направление указывает на ту часть сплош ной среды, со стороны которой на площадку S воздействуют поверхно стные силы. Из этого соглашения следует, что при совпадении направле ний n и pn поверхностные силы являются растягивающими, а если их на правления противоположны – сжимающими.

Разделим объем сплошной среды V поверхностью S на части V1 и V (рис. 1.8) и рассмотрим поверхность S как границу объема V1. Сила, дей ствующая на площадку S со стороны объема V2, в соответствии с при нятым соглашением о положительном направлении нормали, равна pn(M)S, а на всю поверхность S действует сила pn(M)dS.

S Если же рассматривать поверхность как границу объема V2, то си S ла, действующая на площадку S равна p-n(M)S, а на всю поверхность S действует сила p-n(M)dS.

S В соответствии с третьим законом Ньютона n [p (M) + p-n(M)]dS = 0, S 28 ГЛАВА I а так как поверхность S произвольна, то pn(M) = - p-n(M). (1.25) Напряжение pn можно разложить на нормальную pnn и тангенциаль ную p составляющие:

pn = npn + p, (1.26) где – единичный вектор и n = 0.

Возьмем какую-либо точку M сплош ной среды, проведем из этой точки коор динатные оси x1, x2,x3 и построим на них бесконечно малый тетраэдр АВСМ (рис. 1.9) с ребрами dx1, dx2, dx3. Так как, по по строению, грани тетраэдра ВСМ, АВМ, САМ перпендикулярны соответствующим ор там базиса, то n1 = -e1, n2 = -e2, n3 = -e3.

Ориентировка грани АВС произвольна и задается вектором нормали n = eini, где ni = n ei – направляющие косинусы Рис. 1. нормали. Тогда напряжения на соответст вующих гранях будут p-i и pn.

Обозначим площадь грани АВС через dS. Площади остальных граней можно вычислить как площади проекций грани АВС на соответствующие координатные плоскости: dS1 = n1dS для грани ВСМ, dS2 = n2dS – для АВМ, dS3 = n3dS – для АСМ, или dSi = (n ei)dS = nidS. (1.27) На тетраэдр АВСМ будут действовать поверхностные силы p-idSi и pndS, а также массовая сила dR = Fdm = FdV = F hdS, где dm – масса в объеме тетраэдра dV, h – высота тетраэдра. В соответствии со вторым законом Ньютона сумма сил, действующих на тетраэдр АВСМ, равна произведению его массы на ускорение, т.е. с учетом равенства (1.27) 1 dv 1 dv hFdS + p-inidS + pndS = dm = h dS. (1.28) 3 dt 3 dt Сокращая все члены равенства (1.28) на dS и стягивая тетраэдр в точку (то есть полагая h 0 ), получим p-ini + pn = 0, или, с учетом формулы (1.25), pn = pini. (1.29) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Векторы pi можно представить в виде pi = ej pji, (1.30) где через pji обозначена j-я компонента вектора pi.

Векторное равенство (1.30) эквивалентно следующим соотношениям в компонентах pn1 = p11n1 + p21n2 + p31n3, pn2 = p12n1 + p22n2 + p32n3, (1.31) pn3 = p13n1 + p23n2 + p33n3.

Таким образом, напряженное состояние в точке определяется совокупностью трех векторов напряжения pi, или их девятью компонен тами pij, определенными на трех взаимно перпендикулярных площадках.

Соотношение (1.29) является определением тензора (сам термин «тензор» происходит от французского слова tension, означающего напряжение).

Компоненты pij образуют тензор второго ранга, которому можно по ставить в соответствие матрицу p11 p12 p pij = p21 p22 p23. (1.32) p31 p32 p Первый индекс компоненты pij тензора напряжений указывает на на правление координатной оси, параллельно которой направлен вектор нор мали n, второй – направление координатной оси, на которую спроектирован вектор напря жения (рис. 1.10). Так, p21 представляет собой проекцию вектора p2, приложенного к пло щадке, перпендикулярной оси x2, на ось x1.

Компоненты с одинаковыми индексами pii называются нормальными напряжениями, а компоненты pik(i k) – касательными напряжениями, или напряжениями сдвига.

Тензор напряжений pij зависит от коор Рис динат xi и времени t и образует тензорное поле.

Заметим, что помимо изложенной классической теории напряженного состояния, в которой считается, что моменты поверхностных и массовых сил в точке M равны нулю, существуют и более сложные теории, в кото рых рассматриваются сплошные среды с распределенными моментами по верхностных и массовых сил. Они рассматриваются в специальных разде лах механики сплошной среды, например, при изучении жидких и упругих сред с микроструктурой.

Глава II ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ §1. Интегральные характеристики сплошной среды и законы сохранения Основные уравнения для сплошной среды выводятся из законов со хранения, представляющих собой фундаментальные законы природы.

В механике сплошных сред основными законами сохранения являются за коны сохранения массы, изменения количества движения, изменения мо мента количества движения, энергии и баланса энтропии. Для математичес кой формулировки законов сохранения рассматривают или материальный (подвижный), или контрольный объем.

Под материальным (подвижным) объемом понимается объем, со стоящий во все моменты времени из одних и тех же материальных точек.

Область пространства, через границы которой могут проходить веще ство, энергия, количество движения и т.д., называется контрольным объе мом, а поверхность, ограничивающая эту область – контрольной поверх ностью. Контрольная поверхность может перемещаться в пространстве, но обычно считается неподвижной.

При рассмотрении материального объема считается, что он представ ляет собой единое физическое тело, обладающее массой M = dV, (2.1) V (t) количеством движения J = v dV, (2.2) V (t) моментом количества движения M = (r v) dV, (2.3) V (t) v энергией E = u + dV, (2.4) V (t) ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ которая представляет собой сумму v кинетической энергии K = dV (2.5) V (t) и внутренней энергии U = u dV, (2.6) V (t) энтропией S = s dV, (2.7) V (t) где = (xj,t) – плотность, v = v(xj,t) – скорость, u = u(xj,t) – удель ная (отнесенная к единице массы) внутренняя энергия, s = s(xj,t) – удель ная (отнесенная к единице массы) энтропия, r – радиус-вектор материаль ной частицы, отсчитываемый от точки, относительно которой определя ется момент количества движения, V(t) – материальный (подвижный) объем.

Закон сохранения массы утверждает, что масса материального объе ма (2.1) остается постоянной. Следовательно, полная производная от вы ражения (2.1) равна нулю, то есть dM d = dV = 0. (2.8) dt dt V (t) Согласно второму закону Ньютона, скорость изменения количества движения жидкого объема равна сумме всех внешних сил, действующих на этот объем. Поэтому материальная производная от величины (2.2) равна dJ d = v dV = F(e), (2.9) dt dt V(t) где F(e) – сумма всех внешних массовых и поверхностных сил, приложен ных к объему V(t).

Сумма внешних массовых сил может быть представлена в виде (рис. 2.1) F dV.

V (t) Сумма внешних поверхностных сил, очевидно, равна (рис. 2.1) pndS, S(t) где S(t) – замкнутая поверхность, огра Рис. 2. ничивающая материальный объем V(t).

32 ГЛАВА II С учетом этих замечаний закон изменения количества движения (2.9) можно представить в виде dJ d = v dV = F dV + pndS. (2.10) dt dt V (t) V (t) S(t) Закон изменения момента количества движения утверждает, что ско рость изменения момента количества движения материального объема от носительно любой точки равна главному моменту всех внешних массовых и поверхностных сил относительно той же точки. Так как эти моменты, по определению, равны (r F)dV, r pn dS, V (t) S(t) то закон изменения момента количества движения для материального объ ема представляется соотношением dM d = (r v)dV = (r F)dV + r pndS. (2.11) dt dt V (t) V (t) S(t) Закон сохранения энергии состоит в утверждении, что скорость изме нения энергии материального объема V(t) равна сумме механической ра боты внешних массовых и поверхностных сил W, совершенных в единицу времени (мощность внешних сил), и притока в единицу времени прочих видов энергии Q. Следовательно, материальная производная от выраже ния (2.4) будет связана с величинами W и Q соотношением dE d v = + dV = W + Q. (2.12) u dt dt V (t) В дальнейшем будем считать, что Q представляет собой только ско рость притока тепла. Закон сохранения энергии иначе называется первым началом термодинамики.

Мощность внешних объемных сил W1 равна, очевидно, W1 = F v dV, V (t) а для мощности поверхностных сил W2 имеем W2 = pn v dS.

S(t) Приток тепла в единицу времени Q можно представить как Q = qedV, V (t) ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ где qe – удельное по массе количество тепла, подводимое к жидкому объ ему V(t) в единицу времени.

Тогда закон сохранения энергии (2.12) принимает вид dE d v = + dV = Fv dV + pnv dS + qedV. (2.13) u 2 dt dt V (t) V (t) S(t) V (t) Наряду с законами сохранения массы, изменения количества движе ния, момента количества движения и с законом сохранения энергии можно сформулировать теорему (закон) об изменении кинетической энергии (тео рему живых сил)*. Эта теорема утверждает, что изменение кинетической энергии жидкого объема во времени равна сумме работ (мощностей) внеш них и внутренних сил, действующих на этот объем. Поэтому материальная производная от выражения (2.5) представляется в виде dK d v2 = dV = Fv dV + pnv dS + N(i) dV, (2.14) dt dt V (t) V (t) S(t) V (t) где N(i) – удельная по массе мощность внутренних сил, то есть мощность, приходящаяся на единицу массы среды.

Подчеркнем особо, что в соотношение (2.14), в отличие от закона со хранения энергии (2.13), входят мощности как внешних, так и внутренних сил.

Закон баланса энтропии представляет собой второй закон термодина мики и формулируется следующим образом: скорость изменения энтропии жидкого объема V(t) никогда не может быть меньше, чем сумма притока энтропии через его границу S(t) и энтропии, производимой внутри объема внешними источниками. Математическая запись закона баланса энтропии в интегральной форме выражается неравенством d q n s dV e dV - dS, (2.15) dt T V (t) V (t) S(t) которое носит название неравенства Клаузиуса-Дюгема. В неравенстве (2.15) приняты следующие обозначения: s – удельная по массе энтропия, e – мощность локальных внешних источников энтропии, отнесенная к единице массы, q – вектор потока тепла через единицу площади в еди ницу времени. Равенство в формуле (2.15) осуществляется для обратимых процессов, а неравенство – для необратимых.

* В отличие от приведенных выше законов теорема об изменении кинетической энергии не является не зависимым законом. Как известно из теоретической механики, эта теорема выводится из теоремы (зако на) об изменении количества движения.

34 ГЛАВА II Левые части соотношений (2.8), (2.10), (2.11), (2.13) и (2.14) можно записать в общем виде как d (xj,t) dV =, dt V (t) где (xj,t) может принимать одно из значений, v, r v, (u + v2 2), v2 2, а представляет собой правые части указанных выше равенств.

Поэтому для придания соотношениям (2.8), (2.10), (2.11), (2.13), (2.14) со ответствующей математической формулировки, необходимо вычислить полную (материальную) производную по времени от интеграла, взятого по материальному (подвижному) объему.

§2. Дифференцирование по времени интеграла, взятого по подвижному объему Для вывода формулы дифференцирования по времени интеграла, взя того по подвижному материальному объему, рассмотрим положение этого объема V(t) в моменты времени t и t + t (рис. 2.2). По определению полной производной, d (xj,t) dV = lim t (xj,t + t) dV - (xj,t) dV, (2.16) t dt V (t) V (t) V (t + t) где V(t + t) – положение, занимаемое жидким объемом V(t) в момент времени t + t.

Так как j j j (x,t + t) dV = (x,t + t) dV + (x,t + t) dV, V (t+t) V (t) V (t+t)-V (t) то равенство (2.16) можно представить в виде (xj,t + t) - (xj,t) d dV + (xj,t)dV = lim t dt t V (t) V (t) (2.17) + lim (xj,t + t)dV.

t t V (t + t)-V (t) Первое слагаемое в соотношении (2.17), очевидно, равно (xj,t + t) - (xj,t) (xj,t) lim dV = dV. (2.18) t t t V (t) V(t) ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Для вычисления второго сла гаемого заметим, что, как это вид но из рис. 2.2, V(t + t) –V(t) = = V2 + V3 - V3 - V1 = V2 - V1, где V1 и V2 – объемы пространства, соответственно, освобожденные и вновь занятые за время t при движении материального объема, V3 – общая часть объемов V(t) и V(t + t).

Рис. 2. Для объема V2 элемент объема dV может быть вычислен как объем цилиндра (рис. 2.2) с основанием dS и высотой vnt = v nt, где vn – проекция скорости на внешнюю нормаль n к поверхности S2, разделяю щей объемы V2 и V3.

Тогда j j (x,t + t)dV = (x,t + t)vntdS.

V2 S Проведя аналогичные рассуждения для объема V получим, что высо та элементарного цилиндра равна v nt = -vnt и (xj,t + t) dV = - (xj,t + t)vnt dS, V1 S где S1 – поверхность, разделяющая объемы V1 и V2.

Из приведенных рассуждений следует, что второе слагаемое в правой части (2.17) имеет вид 1 lim j j j (x,t + t)dV = limt (x,t + t)dV - (x,t + t)dV = t0 t t V(t+t)-V(t) V V (2.19) = lim,t + t)vndS+,t + t)vndS =,t)vndS, j j j (x (x (x t S1 S(t) S где S(t) – замкнутая поверхность, ограничивающая объем V(t).

Подставив выражения (2.18) и (2.19) в (2.17), получим окончательно (xj,t) d j j (x,t)dV = t dV + (x,t)vndS. (2.20) dt V (t) V (t) S(t) Подчеркнем еще раз, что в соотношении (2.20) нормаль n считается внешней по отношению к замкнутой поверхности S(t).

36 ГЛАВА II Для дальнейшего преобразования соотношения (2.20) воспользуемся теоремой Гаусса–Остроградского* в виде ai andS = a n dS = aini dS = dV = div a dV, (2.21) xi V S S S V где a = ejaj, ni – направляющие косинусы нормали n, а дивергенция вектора a равна ai div a =.

xi Полагая в соотношении (2.21) a = v, из (2.20) получим d + div v dV, (2.22) j (x,t)dV = dt t V (t) V (t) где для краткости записи опущены аргументы функции (xj,t).

Так как div v = div v + vi, xi а d + vi =, t xi dt то соотношение (2.22) можно переписать в виде d d + div vdV. (2.23) dV = dt dt V (t) V (t) Легко видеть, что соотношения (2.20) и (2.23) сохраняют свой вид и в том случае, когда (xj,t) представляет собой векторную функцию сво их аргументов**.

Полученное выражение для дифференцирования интеграла по време ни позволяет вывести единообразным способом математические выраже ния законов сохранения массы, изменения количества движения, измене ния момента количества движения, энергии и изменения кинетической энергии.

* Карл Фридрих Гаусс (1777–1855), немецкий математик, иностранный почетный член Петербургской Академии Наук.

Михаил Васильевич Остроградский (1801–1861), русский математик и механик, действительный член Петербургской Академии Наук.

** Более строгий вывод соотношения (2.23) приведен в приложении.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ §3. Уравнение неразрывности (закон сохранения массы) Уравнение неразрывности представляет собой дифференциальную форму закона сохранения массы сплошной среды. Полагая в равенст ве (2.23) = и используя условие постоянства массы жидкого объема (2.8), получим d + div v dV = 0. (2.24) dt V (t) Так как это равенство справедливо для произвольного жидкого объема, то подынтегральное выражение в соотношении (2.24) равно нулю, то есть d + div v = 0. (2.25) dt Уравнение (2.25) называется уравнением неразрывности. Очевидно, что если вместо (2.23) использовать (2.22), то уравнение неразрывности можно представить в виде + div v = 0. (2.26) t Для получения уравнения неразрывности для трубки тока воспользуемся соотношениями (2.8) и (2.20), положив в последнем =. При этом получим dV + vn dS = 0. (2.27) t V (t) S(t) Соотношение (2.27) называется уравнением неразрывности в инте гральной форме.

Применим соотношение (2.27) к течению жидкости по трубке тока.

Проведем живые сечения S1 и S (рис. 2.3). Контрольная поверхность S будет состоять из трех частей: жи вых сечений S1 и S2, через которые жидкость втекает и вытекает из рас сматриваемого участка трубки тока, и ее боковой поверхности S3.

В точках боковой поверхности S3, по определению трубки тока, Рис. 2. vn = 0, и соотношение (2.27) принима- ет вид dV + vndS + vndS = 0. (2.28) t V S1 S 38 ГЛАВА II Так как в (2.28) берется внешняя нормаль, то в сечении S2, по опреде лению живого сечения, vn = v, а в сечении S1 vn = -v, и соотношение (2.28) принимает вид dV = vdS - vdS. (2.29) t V S1 S При установившемся движении = 0, и из уравнения (2.29) имеем t vdS = vdS = Qm = const. (2.30) S1 S Величина Qm = vdS представляет собой массу жидкости, прохо S дящей через живое сечение в единицу времени, и называется массовым расходом. Таким образом, соотношение (2.30) показывает, что при устано вившемся течении массовый расход вдоль трубки тока постоянен.

Для элементарной трубки тока соотношение (2.30) принимает вид 1v1S1 = 2v2S2 = const. (2.31) Жидкость называется несжимаемой, если плотность любой ее частицы d есть величина постоянная, то есть если = 0. Из уравнения (2.25) для dt * несжимаемой жидкости получается div v = 0. Тогда в соответствии с теоремой Гаусса–Остроградского div v dV = vndS = 0. (2.32) V S Повторяя рассуждения, аналогичные предыдущим, из (2.32) получим, что для трубки тока несжимаемой жидкости vdS = vdS = Q (t). (2.33) S1 S Величина Q = v dS представляет собой объем жидкости, проходя S щей через живое сечение в единицу времени, и называется расходом. Сле довательно, соотношение (2.33) показывает, что при течении несжимаемой жидкости по трубке тока расход во всех ее живых сечениях будет в данный vi * Если divv = 0, то так как divv =, то это условие будет равно справедливо как в слу xi чае v = v(x ), так и в случае v = v(x,t ).

j j ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ момент времени одним и тем же вне зависимости от того, является течение установившимся или нет.

В случае элементарной трубки тока соотношение (2.33) принимает вид v1S1 = v2S2, (2.34) откуда видно, что чем меньше площадь живого сечения, тем больше ско рость течения и наоборот.

§4. Уравнения движения в напряжениях В формулировку закона изменения количества движения (2.10) входят величина v, представляющая собой количество движения единицы объ ема, и напряжение поверхностных сил pn. Поэтому для вывода уравнений движения в напряжениях положим в соотношении (2.23) = v и полу чим d(v) d vdV =+ v div v dV = dt dt VV (2.35) d dv dv = + v + div v dV = dV, dt dt dt VV так как в соответствии с уравнением неразрывности (2.25) выражение в круглых скобках равно нулю. Подставив соотношение (2.35) в уравнение закона изменения количества движения (2.10), получим dv dV = FdV + pndS, (2.36) dt V V S где по формуле (1.29) pn = pi ni. (2.37) Положим в теореме Гаусса–Остроградского (2.21) a2 = a3 = 0. Тогда a a1n1 dS = dV. (2.38) x S V Проводя аналогичные рассуждения для компонент a2 и a3, получим a an1 dS = dV. (2.39) x S V Из формул (2.37) и (2.39) следует, что pi pndS = pi ni dS = dV. (2.40) xi S S V 40 ГЛАВА II Подставив соотношение (2.40) в (2.36), получим dv pi - F - dV = 0, (2.41) dt xi V а так как это соотношение справедливо для произвольного материального объема, то подынтегральное выражение в нем равно нулю, то есть dv pi = F +, (2.42) dt xi или в координатной форме dvj pij = Fj +. (2.43) dt xi Уравнения (2.42) и (2.43) называются уравнениями движения сплош ной среды в напряжениях и выражают собой закон изменения количества движения.

Закон изменения количества движения для трубки тока можно полу чить с помощью соотношений (2.10) и (2.20), положив в последнем = v. Из них следует, что (v) dV + vvndS = FdV + pndS. (2.44) t V S V S Соотношение (2.44) представляет собой уравнение закона изменения количества движения в интегральной форме.

В качестве поверхности S возьмем замкнутую поверхность, состоя щую из живых сечений трубки тока S1, S2 и ее боковой поверхности S (рис. 2.4). Повторяя рассуждения, приведенные при выводе соотношений (2.28) и (2.29), из уравнения (2.44) получим (v) dV - vv dS + vv dS = F dV + pn dS. (2.45) t V S1 S2 V S Массовую силу, действующую на выделенный объем V трубки тока, обозначим через G :

F dV = G, (2.46) V а равнодействующую поверхностных сил, действующих со стороны жид кости в сечениях S1 и S2, через P :

pndS = P. (2.47) S1+S Для определения сил, действующих на поверхность S3 (в частности, поверхность S3 может быть твердой стенкой), воспользуемся разложени ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ем (1.26). Обозначим N = npnndS, T = dS, (2.48) n p S3 S где N – равнодействующая нормальных, а T – тангенциальных сил, при ложенных к поверхности S3.

Подставив выражения (2.46), (2.47) и (2.48) в уравнение (2.45), полу чим математическое выражение закона изменения количества движения для трубки тока в виде (v) dV + vvdS - vv dS = G + P + N + T. (2.49) t V S2 S (v) При установившемся движении = 0, и формула (2.49) прини t мает вид vv dS - vv dS = G + P + N + T. (2.50) S2 S Используя теорему о среднем значении в интегральном исчислении, имеем vv dS = v(cp) v dS = v(cp)Qm, S S где v(cp) – среднее интегральное значение вектора скорости в сечении S.

Так как при установившемся движении Qm = const, то равенство (2.50) можно представить в виде ( (cp) Qm(v2cp) - v1 ) = G + P + N + T, (2.51) ( где v1(ср), v2ср) – средние значения скорости течения в сечениях S1 и S2, со ответственно. Подчеркнем особо, что соотношения (2.44), (2.45), (2.49), (2.50), (2.51) представляют собой векторные уравнения. Поэтому измене ние количества движения может происходить не только при изменении ве личины скорости, но и при изменении ее направления.

Соотношение (2.51) оказывается удобным для решения ряда практи ческих задач. Соответствующие примеры приведены в главе VII.

§5. Закон изменения момента количества движения.

Закон парности касательных напряжений Соотношение (2.11), представляющее собой закон изменения момента количества движения, содержит величину r v. Подставив в соотноше 42 ГЛАВА II ние (2.23) выражение = r v, получим d d (r v)dV = (r v) + (r v)div v dV = dt dt V V dr dv d = v + r v + r + (r v)div v dV = (2.52) dt dt dt V dr dv = v + (r v) d + div v + r dV.

dt dt dt V dr Используя уравнение неразрывности (2.25) и учитывая, что = v и, dt dr следовательно, v = 0, соотношение (2.52) можно привести к виду dt d dv (r v)dV = r dV. (2.53) dt dt V V Из формул (2.37) и (2.39) следует, что (r pi )dV.

r pndS = (r pini )dS = (2.54) xi S S V Подставив соотношения (2.53) и (2.54) в уравнение (2.11), имеем dv (r pi ) dV = 0, (2.55) r dt - r F - xi V а так как соотношение (2.53) справедливо для произвольного объема, то подынтегральное выражение должно быть равным нулю, то есть dv (r pi).

r = r F + (2.56) dt xi Соотношение (2.56) представляет собой уравнение изменения момен та количества движения.

Из этого уравнения вытекает одно весьма важное следствие. Действи тельно, умножим уравнение движения (2.42) векторно на радиус-вектор r и получим dv pi r = r F + r. (2.57) dt xi Вычитая (2.57) из (2.56), имеем (r pi) pi r - r = pi = 0. (2.58) xi xi xi ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ r Так как r = eixi, то = ei, и соотношение (2.58) можно предста xi вить в виде ei pi = 0. (2.59) Используя известную формулу векторного исчисления e1 e2 e a b = a1 a2 a3, b1 b2 b где ai, bi – проекции векторов a и b на координатные оси, получим из ра венства (2.59) e1 e2 e3 e1 e2 e3 e1 e2 e ei pi = 1 0 0 + 0 1 0 + 0 0 1 = p11 p12 p13 p21 p22 p23 p31 p32 p = e1(p23 - p32 ) + e2(p31 - p13) + e3(p12 - p21) = 0, откуда p12 = p21, p31 = p13, p23 = p32 или pik = pki. (2.60) Соотношения (2.60) представляют собой закон парности или взаимно сти касательных напряжений. Из этого закона следует, что тензор напря жений (1.33) является симметричным. Последнее означает, что тензор на пряжений (1.33) содержит только шесть различных компонент. В соответ ствии с этим уменьшается число неизвестных в уравнениях движе ния (2.43).

§6. Закон сохранения энергии Закон сохранения энергии, как было показано выше, имеет вид (2.13).

Для преобразования этого соотношения положим в равенстве (2.23) v = u + и получим dv2 d v2 v + dV = + dV + + div v dV = u u u dt 2 VV dt 2 (2.61) d v2 v2 d = + + + + div v dV.

u u dt 2 2 dt V 44 ГЛАВА II С учетом уравнения неразрывности (2.25) соотношение (2.61) приве дем к виду d d v v + dV = +. (2.62) u 2 u dV dt dt V V Из формулы (2.37) и теоремы Гаусса-Остроградского (2.39) следует, что (piv) pnv dS = pivni dS = dV. (2.63) xi S S V Подставив соотношения (2.62) и (2.63) в уравнение (2.13), получаем d v2 (piv) dV = 0, (2.64) dt + 2 - Fv - xi - qe u V а так как это соотношение справедливо для произвольного объема, то подынтегральное выражение должно быть равным нулю, d v2 ( pv) i + = Fv + + qe. (2.65) u dt 2 xi Соотношение (2.65) представляет собой математическую формулировку закона сохранения энергии для термомеханического континуума. Из этого уравнения видно, что скорость изменения полной энергии равна сумме мощ ностей всех внешних сил и количества тепла, подводимого в единицу време ни. При этом необходимо иметь в виду, что в уравнение (2.65) входят удель ные по объему, то есть рассчитанные на единицу объема величины.

Для того, чтобы получить закон сохранения энергии для трубки тока, v положим в соотношении (2.20) = u + и подставим полученное таким образом выражение в уравнение (2.13). Тогда v v2.(2.66) + dV + + vn dS = Fv dV + pnv dS + qe dV u u 2 t V S V S V Будем считать, что напряжение массовой силы обладает потенциалом, то есть что F =. Тогда с учетом уравнения неразрывности (2.26) полу чим Fv = v = divv - divv = divv +, t а на основании теоремы Гаусса–Остроградского (2.21) divv + FvdV = dV = dV + vn dS. (2.67) t t V VV S ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В качестве поверхности S возьмем замкнутую поверхность, состоя щую из живых сечений трубки тока S1, S2 и ее боковой поверхности S (рис.2.4). В живом сечении S1 v = -nv, в S2 v = nv, на боковой поверх ности S3 v = 1v, где 1 – единичный вектор, лежащий в касательной плоскости к трубке тока. Тогда с учетом соотношения (1.26) получим pnvdS = - pnnvdS + pnnvdS + pn vdS. (2.68) SS1 S2 S Подставив выражения (2.67) и (2.68) в уравнение (2.66) и повторяя рас суждения, приведенные при выводе соотношений (2.26) и (2.27), получим v2 v v2 dV + + dS - + dS = t + 2 - t u u 2 v u 2 v V S2 S (2.69) = ( + pnn)v dS - ( + pnn)v dS + pn1v dS + qe dV.

S2 S1 S3 V Соотношение (2.69) представляет собой выражение закона сохранения энергии для трубки тока при наличии потенциала напряжения массовых сил. При установившемся движении оно принимает вид v2 v - u + 2 v dS u + 2 v dS = S2 S (2.70) pnn pnn = + v dS - + v dS + pn1v dS + qe dV.

S2 S1 S3 V Воспользовавшись теоремой о среднем значении в интегральном ис числении, имеем v2 v2 v v dS = + v dS = + Qm, u + u u 22 SS cp cp pnn pnn pnn vdS = vdS = Qm, + + + SS а так как при установившемся движении вдоль трубки тока Qm = const, то уравнение (2.70) можно представить в виде cp cp v2 v - = u + 2 u + 2 (2.71) cp cp pnn pnn 1 = + - + + pn1v dS + qe dV, Qm S3 Qm V 2 где индексы «1», «2» означают номера соответствующих сечений.

46 ГЛАВА II §7. Теорема об изменении кинетической энергии Для получения математического выражения теоремы об изменении ки v нетической энергии положим в соотношении (2.23) =. Тогда с учетом уравнения неразрывности (2.25) получим d v2 d v2 v dV = + div vdV = dt 2 dt V V (2.72) d v2 v2 d d v = dt 2 + 2 dt + div vdV = dt V dV.

V Подставив в уравнение (2.14) соотношения (2.63) и (2.72), получим d v2 (piv) (i) dV = 0, (2.73) dt 2 - Fv - xi - N V а так как это соотношение справедливо для произвольного объема, то d v2 (piv) (i) = Fv + + N. (2.74) dt 2 xi Из уравнения (2.74), то есть из теоремы живых сил для сплошной сре ды, следует, что скорость изменения кинетической энергии равна мощно сти всех внешних и внутренних сил. При этом в уравнение (2.74) так же, как и в уравнение (2.75), входят удельные по объему величины.

Для того, чтобы получить теорему живых сил для трубки тока, положим v в соотношении (2.20) = и, воспользовавшись уравнением (2.14), по лучим соотношение v2 v2 (i) dV + vndS = Fv dV + pnv dS + N dV, (2.75) t 2 V S V S V представляющее собой интегральную форму теоремы об изменении кине тической энергии.

Выберем в качестве замкнутой поверхности S поверхность, ограни ченную живыми сечениями трубки тока S1, S2 и ее боковой поверхно стью S3 (рис. 2.3), и примем, что напряжение массовых сил обладает по ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ тенциалом, то есть что F =. Используя соотношения (2.67) и (2.68), после рассуждений, аналогичных проведенным при выводе (2.69), из ра венства (2.75) получим соотношение v2 v2 v - dV + v dS - v dS = 2 V t 2 t S2 S (2.76) pnn pnn = + v dS - + v dS + pn1v dS + N(i) dV, S2 S3 V S представляющее собой выражение теоремы об изменении кинетической энергии для трубки тока при наличии потенциала для напряжения массовых сил.

При установившемся движении соотношение (2.76) принимает вид pnn v2 pnn v - - + dS - - - + dS = v v 2 S2 S (2.77) 1 (i) = pn1v dS + N dV Qm S3 Qm V или cp cp pnn v2 pnn v - - + - - - + = 2 2 1, (2.78) 1 (i) = pn1vdS + N dV Qm S3 Qm V где осреднение по сечениям S1 и S2 имеет тот же смысл, что и в (2.71).

Для вычисления удельной мощности внутренних сил N(i) вернемся к рассмотрению соотношения (2.68).

Умножив уравнения движения в напряжениях (2.42) скалярно на век тор скорости v, получим dv d v2 pi v = = Fv + v. (2.79) dt dt 2 xi Вычитая почленно соотношение (2.79) из соотношения (2.78), име ем piv pi v + N(i) - v = pi + N(i) = xi xi xi 48 ГЛАВА II или, так как pi = ej pij, v = ekvk, v ekvk vk (i) N = - pi = -ej pij = - pik. (2.80) xi xi xi Из равенства (2.80) следует, что если все точки рассматриваемого объе ма сплошной среды движутся с одинаковыми скоростями, то есть ес ли vk = vk(xj,t) = vk(t), то N(i) =0. Следовательно, работа внутренних сил может быть отличной от нуля только в пространственно неоднородном по vk ле скоростей, в котором 0.

xi §8. Уравнение притока тепла Для получения уравнения, описывающего изменение внутренней энергии, рассмотрим закон сохранения полной энергии (2.65) и вычтем из этого уравнения почленно уравнение (2.74). Тогда получим du = qe - N(i). (2.81) dt Соотношение (2.81) содержит удельные (по массе) внутреннюю энер гию u, тепловую мощность qe, мощность внутренних сил N(i) и называ ется уравнением притока тепла. Из этого уравнения видно, что при адиа батическом процессе, то есть при qe = 0, изменение внутренней энергии может происходить только за счет работы внутренних сил.

С помощью соотношения (2.80) уравнению притока тепла можно при дать вид du pik vi = qe +. (2.82) dt xk Из уравнения (2.82) следует, что в однородном поле скоростей, т.е. при vi = vi(t), изменение внутренней энергии определяется только внешним подводом тепла.

Заметим, что уравнение притока тепла, как и теорема об изменении кинетической энергии, не является независимым уравнением – оно есть следствие основных законов сохранения.

Примеры использования уравнения притока тепла приведены в гл. IV.

§9. Система уравнений движения сплошной среды Из всего вышеизложенного следует, что движения сплошной среды, определяемые фундаментальными физическими законами сохранения мас сы, изменения количества движения, сохранения энергии, описываются ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ системой уравнений, состоящей из (2.25), (2.42), (2.65) и имеющей вид d + div v = 0, dt dv pi = F +, (2.83) dt xi d v2 (piv) + = Fv + + qe.

u dt 2 xi Таким образом, система уравнений движения любой сплошной среды состоит из одного векторного и двух скалярных уравнений или пяти ска лярных уравнений. В общем случае система уравнений (2.83) содержит скалярных неизвестных*: vi, pij,, u. Следовательно, она является незамк нутой. Это обстоятельство отражает тот факт, что в законах сохранения не содержится никаких параметров, характеризующих свойства конкретных сплошных сред. Поэтому к полученным уравнениям необходимо добавить соответствующие соотношения (связи), задающие физические свойства той или иной сплошной среды. Очевидно, что для разных сплошных сред (таких, например, как жидкость, упругое тело, пластическое тело и т.д.) эти связи будут иметь различный вид, и полученные, уже замкнутые системы уравне ний для разных сплошных сред также будут иметь различный вид.

Установление необходимых для конкретных сред связей требует предва рительного изучения деформаций или скоростей деформаций сплошной среды.

Связи между напряжениями и деформациями или между напряжения ми и скоростями деформаций называются реологическими уравнениями**.

Таким образом, различным сплошным средам соответствуют различные реологические уравнения.

В заключение заметим, что во всех рассуждениях настоящей главы предполагалось, что в классической механике сплошной среды принят по стулат, согласно которому основные законы сохранения считаются спра ведливыми не только для всего рассматриваемого тела (в нашем случае – для материального объема), но и для каждой его части, сколь бы мала она ни была. Этот постулат носит название принципа локальности, а диффе ренциальные уравнения, являющиеся следствиями интегральных законов сохранения, называют локальными формулировками законов сохранения.

Заметим также, что если система координат, в которой рассматривается движение сплошной среды, подвижна, то все уравнения движения в этой сис теме координат сохраняют свой вид, только массовые силы будут включать в себя также и силы инерции, появляющиеся в относительном движении.

* Напряжение массовых сил F и тепловая мощность qe представляют собой внешние воздействия и считаются заданными.

** Реология (от греческого слова «течение») – наука о деформации материалов.

Глава III СКОРОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ §1. Скорость деформации малой частицы.

Теорема Гельмгольца Рассмотрим малую частицу сплош ной среды, изображенную на рис. 3.1, где точка O – центр частицы с пространст венными координатами xj, точка O – любая точка внутри частицы, век тор R j = OO целиком лежит внут ( ) ри рассматриваемой частицы.

Распределение скоростей внутри частицы в фиксированный момент времени t1 определяется полем скоро стей, т.е. величинами скоростей точек O и O, соответственно, vo = v(xi,t1) и v = v(xj + j,t1), или voi = vi(xj,t1), Рис. 3. vi = vi(xj + j,t1). Движение в пределах частицы предполагается непрерывным и дифференцируемым.

Разлагая vi в ряд Тейлора, получаем vi vi = voi + j +... = vi + Rvi +..., (3.1) xj где все производные берутся в точке 0. Так как частица предполагается малой, т.е. предполагаются малыми в сравнении с характерным линей ным размером в рассматриваемой задаче, то, ограничиваясь в формулах (3.1) членами первого порядка малости, имеем vi vi = voi + j = voi + Rvi (3.2) xj СКОРОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ или v = vo + (R )v = vo + R. (3.3) Из равенств (3.2) и (3.3) видно, что разность скоростей v - vo опреде ляется матрицей v1 v1 v x1 x2 x v2 v2 v =, (3.4) x1 x2 x v3 v3 v x1 x2 x элементы которой представляют собой коэффициенты при членах первого порядка малости в разложении vi в ряд Тейлора.

Матрица всегда может быть представлена в виде суммы двух мат риц, из которых одна симметрична, а другая антисимметрична. Действи тельно, введем обозначения 1 vi vk 1 v3 v ik = +, 1 = -, 2 xk xi 2 x2 x (3.5) 1 v1 v3 1 v2 v 2 = -, 3 = -.

2 x3 x2 2 x1 x Матрицу (3.4) представим в виде 11 12 13 0 - 3 = 22 23 + 3 0 - 1 = D +. (3.6) 31 32 33 - 2 1 Из формул (3.5) видно, что ik = ki.

Подставив соотношение (3.6) в формулу (3.3), получаем v = vo + DR + Ro. (3.7) Переписывая равенство (3.7) в координатном виде, имеем v1 = vo1 + 111 + 122 + 133 - 32 + 23, v2 = vo2 + 211 + 222 + 233 + 31 - 13, (3.8) v3 = vo3 + 311 + 322 + 333 - 21 + 12.

Из формул (3.5) следует, что величины k представляют собой ком поненты вектора = ekk, который может быть символически записан 52 ГЛАВА III как e1 e2 e 1 = = rot v. (3.9) 2 x1 x2 x3 v1 v2 v Вектор называется вихрем скорости*.

Введем в рассмотрение квадратичную функцию F = ikik. (3.10) Благодаря тому, что ik = ki, из формулы (3.10) следует, что F = ikk. (3.11) i С помощью формул (3.9) и (3.11) равенства (3.8) можно переписать в виде F vi = voi + + ( R) i i или v = vo + R + F. (3.12) Если бы рассматриваемая малая частица была абсолютно твердой, то, как известно из теоретической механики, распределение скоростей в ней имело бы вид v = vo + R, (3.13) где vo – скорость поступательного движения, а – вектор мгновенной уг ловой скорости. Таким образом, из формул (3.12) и (3.13) следует, что F = v - v, то есть величина F представляет собой скорость деформации.

Замечание: совокупность точек O1, окружающих точку O, образует частицу жидкости. За время dt точка O получает перемещение, равное vodt, а точка O1 – равное v dt. Из рис. 3.1 видно, что R + v dt = R + vodt или, с учетом формулы (3.12), dR = R - R = (v - vo)dt = ( R + F)dt. (3.14) Полагая R = ekk, из формул (3.3) и (3.14) получаем R = ekk = R + (v - vo )dt = R + (R )v dt * Некоторые авторы под вихрем скорости понимают величину rotv = 2.

СКОРОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ или в координатном виде vi i = i + k dt. (3.15) xk На равенства (3.15) можно смотреть как на преобразование координат vi точек жидкой частицы за время dt. Так как величины, как указыва xk лось, вычисляются в точке 0 и, следовательно, от k не зависят, то преоб разование (3.15) линейно. Поэтому за время dt этим преобразованием по верхности второго порядка переводятся в поверхности второго порядка, плоскости – в плоскости, прямые линии – в прямые линии. Например, сфе ра переходит в эллипсоид.

Обозначим dR dR = R - R(dR dR), R =, (3.16) Rdt где R – относительное удлинение вектора R в единицу времени. Из фор мул (3.10), (3.11), (3.14) и (3.16) следует, что R R + F ( ) dR RdR RdR RF R = = = = = = 2 Rdt Rdt Rdt R2 R2 (3.17) ikik 2F = =.

R2 R i Так как = i – направляющие косинусы вектора R, то R ikik R = = ikik = 2F(j), (3.18) R и относительное удлинение R не зависит от длины вектора R, а зависит только от его направления.

Пусть R = 0. Тогда из равенства (3.17) следует, что R Ro R = F = F = 0, (3.19) R2 R R где Ro = = ekk – единичный вектор направления R. Так как соот R R ношение (3.19) справедливо при любом Ro, то с учетом формулы (3.11) получаем F F = ei = eiikk = 0, i 54 ГЛАВА III и, следовательно, ikk = 0, откуда, так как k произвольны, ik = 0. Об ратное утверждение: если все ik = 0, то = 0, и частица ведет себя как абсолютно твердая.

Из приведенных рассуждений следует, что v* = F действительно яв ляется скоростью деформации.

Формула (3.12) может быть теперь переписана в виде v = vm + v* = vo + R + F и представляет собой содержание первой теоремы Гельмгольца*: движение элементарного объема жидкости можно в каждый данный момент времени представить разложенным на квазитвердое движение со скоростью vm, рав ной сумме поступательной скорости vo и вращательной R, и дефор мационное движение со скоростью v* = F.

§2. Тензор скоростей деформаций Рассмотрим скалярное произведение RF. Из формулы (3.11) и оп ределения вектора R следует, что F RF = eiiek = ikik.

k Так как скалярное произведение по своему смыслу инвариантно отно сительно преобразования координат, то ~ ~ ikik = mnmn, (3.20) ~ ~ где i – координаты старой, а i – новой систем координат.

Вектор R в старой и новой системах координат имеет вид ~ ~ ~ R = ekk = ejj, где ej – орты новой системы координат. Умножив это со отношение на ek, получим формулы преобразования координат ~ ~ ~ k = ejekj = jjk = mmk = nnk, (3.21) где jk – косинусы углов между осями новой и старой систем координат.

Подставив соотношения (3.21) в формулу (3.20), имеем ~ ~ ~ ~ ikik = ikmminnk = mnmn, ~ ~ ~ а так как это равенство справедливо при любых m,n, то mn = ikmink. (3.22) ~ * Герман Людвиг Фердинанд Гельмгольц (1821–1894), немецкий ученый, иностранный член-корреспон дент Петербургской Академии Наук.

СКОРОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Выражение (3.22) представляет собой определение аффинного орто гонального тензора второго ранга. Таким образом, скорости деформаций представляют собой симметричный (ik = ki ) тензор второго ранга, ком поненты которого задаются матрицей 11 12 D = 22 23.

31 32 §3. Физический смысл компонент тензора скоростей деформаций Для выяснения физического смысла компонент тензора скоростей де формаций ik рассмотрим вектор R, параллельный оси Ox1. Для этого век тора направляющие косинусы равны 1 = 1, 2 = 3 = 0, и из формулы (3.18) в этом случае имеем R = 11. Следовательно, 11 представляет собой ско рость относительного удлинения вектора, параллельного оси Ox1.

Аналогично можно показать, что kk – скорости относительного удлине ния вдоль соответствующих координатных осей.

Положим, что поступательная и вращательная скорости жидкой час тицы отсутствуют. Рассмотрим век тор R, лежащий в плоскости x1Ox (рис. 3.2). За время dt этот вектор пре образуется в вектор R, который мо жет и не лежать в плоскости x1Ox2. То гда (рис. 3.2) OO1 v*dt Fdt.

Разложим вектор v*dt на векто ры OO2 OO1 так, чтобы вектор 1 OO2 был перпендикулярен R и ле Рис. 3. жал в плоскости x1Ox2. Очевидно, что * * OO2 =v1 dt, v1 – составляющая вектора v* в плоскости x1Ox2.

Так как O1O2 = R d = v1 dt, то * d v1 nF 1 F 1 F = = = =, dt R R R n R где n – единичный вектор, направленный по OO2.

56 ГЛАВА III В плоскости x1Ox2 координаты вектора R равны 1 = R cos, 2 = R sin, 3 = 0, и в соответствии с формулой (3.10) F = (1112 + 21212 + 222 ) = = R2(11 cos2 + 12 sin 2 + 22 sin2 ), откуда d = (22 - 11)sin 2 + 12 cos 2. (3.23) dt 2 Рассмотрим вектор R1 R и лежащий в плоскости x1Ox2. Тогда 1 = + и, как следует из формулы (3.23), d1 = -d. Следовательно, векторы R и R либо расходятся, либо сходятся, но всегда вращаются в противоположные стороны. Скорость изменения угла между вектора d ми R и R, очевидно, равна = 2. При = 0, как это следует из dt формул (3.23), = 212.

Итак, 12 представляет собой половину скорости скашивания коорди натного угла в плоскости x1Ox2. Аналогичное значение имеют в соответст вующих плоскостях компоненты ik(i k).

Рассмотрим в качестве примера течение с полем скоростей v1 = 0, v2 = kx3, v3 = 0. Оче видно, что в этом случае бесконечно малый квадрат ОАВС (рис. 3.3) за время t с точно стью до малых второго порядка превратится в ромб ОА1В1С. В соответствии с формулами (3.5) для заданного поля скоростей имеем k 11 = 22 = 33 = 12 = 13 = 0, 23 =.

Следовательно, скорость скашивания прямо Рис. 3. го угла АОС равна = 223 = k.

§4. Тензорная поверхность симметричного тензора второго ранга Рассмотрим поверхность второго порядка с центром в начале коорди нат. Ее уравнение, как известно из курса аналитической геометрии, имеет СКОРОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ вид aijxixj = 1, aij = aji, (3.24) где xi – декартовы координаты, aij – коэффициенты поверхности второго порядка. При переходе из одной системы координат в другую, декартовы координаты преобразуются по правилу xi = kixk, xj = ljxl, ~ ~ и в новой системе координат уравнение (3.24) запишется в виде aijkiljxkxl = amnxmxn = 1 (3.25) ~ ~ ~ ~ ~ где amn – коэффициенты поверхности второго порядка в новой системе ~ координат.

Из формулы (3.25) следует, что коэффициенты поверхности второго порядка в новой и старой системах координат связаны между собой равен ствами amn = aijminj, ~ то есть коэффициенты aij поверхности второго порядка (3.24) представ ляют собой симметричный тензор второго ранга.

Итак, каждому симметричному тензору второго ранга можно поста вить в соответствие поверхность второго порядка вида (3.24) и, наоборот, всякой поверхности второго порядка вида (3.24) можно поставить в соот ветствие симметричный тензор второго ранга. Поверхность aijxixj = 1 на зывается характеристической поверхностью тензора второго ранга или тензорной поверхностью.

В курсах аналитической геометрии доказывается, что у всякой поверх ности второго порядка вида (3.24) имеется по меньшей мере три таких вза имно-ортогональных направления, приняв которые за оси координат, квадратичную форму aijxixj приводят к каноническому виду. Эти направ ления называются главными или собственными направлениями, а коорди натные оси – главными осями тензорной поверхности.

Уравнение тензорной поверхности (3.24) в главных осях имеет вид 2 2 (a1x1 + a2x2 + a3x3 ) = 1, (3.26) матрица тензора aik – a1 0 0 a2.

0 0 a 58 ГЛАВА III Компоненты тензора aij, записанного в главных осях, называют глав ными компонентами и обозначаются одним индексом.

Главные оси тензорной поверхности в общем случае, как это следует из теоремы Гельмгольца, вращаются с мгновенной угловой скоростью.

Рассмотрим скорости деформаций бесконечно малой сферической частицы 2 12 + 2 + = 1. (3.27) R За время dt она преобразуется в эллипсоид вида* 1 22 + + = 1. (3.28) a2 b2 c В соответствии с ранее доказанным, полуоси эллипсоида равны a = R(1 + 1dt), b = R(1 + 2dt), c = R(1 + 3dt).

Скорость объемного расширения частицы равна 4 abc - R V - V vi 3 = lim = lim = 1 + 2 + 3 = = div v, t 0 t V R3 xi где V – объем эллипсоида (3.28), V – объем шара (3.27). Из определения скорости объемного расширения очевидно, что и div v являются инва риантами относительно преобразования координат.

§5. Циркуляция скорости. Потенциальное движение жидкости Рассмотрим в объеме, занятом движущейся жид костью, некоторую линию АВ и в каждой ее точке по строим вектор v (рис. 3.4). Скалярное произведение v ds, где ds – элемент линии АВ, не зависит, очевид но, от выбора координат. Величина = vds = vsds (3.29) AB AB называется линейным интегралом вектора v вдоль кри Рис. 3. вой АВ или циркуляцией скорости вдоль этой кривой.

При интегрировании от В до А или при изменении направления об хода при интегрировании по замкнутой кривой, знак циркуляции меня * Главные оси эллипсоида могут не совпадать с координатными осями Oxi за счет деформации поворота.

СКОРОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ ется на обратный. Из этого следует, что циркуляция по замкнутому кон туру (рис. 3.5) равна сумме циркуляций по контурам I и II, так как вдоль линии АВ интеграл (3.29) вычисляется дважды, причем в противополож ных направлениях.

В соответствии с теоремой Стокса* циркуляция скорости v по замкнутому контуру L равна удвоен ному потоку вихря сквозь поверхность S, натяну тую на этот контур, то есть = vds = 2 = 2 ds. (3.30) n ds L S S Если существует функция (xj,t), удовлетворяю щая условию vi =, v =, (3.31) Рис. 3. xi то течение называется потенциальным, а функция – потенциалом скоро стей. В курсах математического анализа доказывается, что для существо вания потенциала скоростей необходимо и достаточно, чтобы vi vj - = 0, i j. (3.32) xj xi Вихрь скорости, по определению, равен e1 e2 e 1 = rot v =, (3.33) 2 x1 x2 x v1 v2 v и из формул (3.36) и (3.37) следует, что если v =, то = 0, и наоборот, если = 0, то v =. Это значит, что условие = 0, то есть отсутствие вихрей, необходимо и достаточно для существования потенциального те чения.

Так как элемент кривой АВ ds = ekdxk, то при потенциальном тече нии в соответствии с формулами (3.31) и (3.32), имеем B B B = vds = ei ekdxk = dxi = d = (B) - (A). (3.34) xi xi A AB A A Следовательно, в этом случае циркуляция скорости зависит только от положения начальной и конечной точек кривой АВ и не зависит от пути интегрирования.

* Джордж Габриэль Стокс (1819–1903), английский физик, математик и гидромеханик.

60 ГЛАВА III Если потенциал неоднозначен, то циркуляция по замкнутому конту ру L отлична от нуля. Это может произойти, когда внутри области, ограни ченной контуром L, существуют вихри.

При потенциальном течении циркуляция по замкнутому контуру L не равна нулю только в том случае, если контур L не может быть стянут в точку непрерывным преобразованием, то есть в том случае, если область внутри L многосвязна (рис. 3.6). В многосвязной области потенциал может быть неоднозначным.

В качестве примера рассмотрим течение с потенциалом скоростей J J x = = arctg. (3.35) 2 2 x На контуре M функция однозначна, а на L – многозначна (рис. 3.7).

После обхода точки O потенциал получает приращение, равное 2m, где m – число обходов вокруг точки O. Точка O – начало координат – особая. По тенциал сохраняет в ней конечное значение, но это значение зависит от пу ти, по которому совершается подход к точке O.

Рис. 3.6 Рис. 3. Из формулы для потенциала скоростей имеем J x2 J x v1 = = -, v2 = =, v3 = 0, x1 2 r2 x2 2 r J 2 2 v = v1 + v2 =, r = x2 + x2.

2 r Вектор v = перпендикулярен линии = const и направлен в сто рону возрастания функции = ( ). Линии тока – окружности с центром в начале координат (рис. 3.8).

СКОРОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ При r 0 v, то есть начало координат – особая точка поля ско ростей. В этой точке производные терпят разрыв, и, следователь, x1 x но, нарушаются условия теоремы Стокса. Если же точку r = 0 исключить, то область становится многосвязной. Особую точку можно рассматривать как концентрированный вихрь.

Циркуляция по окружности С с центром в точке 0 равна = vdr = vrd = 2rv = J.

C Циркуляция по любой замкнутой кривой С1, охватывающей начало ко ординат, равна J. Действительно, C = BA + C + AB = C, где индексы указывают на линии, вдоль которых выполняется интегрирование (рис. 3.9).

Рис. 3.8 Рис. 3. Рассмотрим поле вихря. Для этого поля можно построить вектор ные линии* – линии вихря. Аналогично трубке тока можно построить вих ревые трубки и их живые сечения (рис. 3.10).

Из формулы (3.33) следует, что div = 0 и в соответствии с теоре мой Гаусса–Остроградского div dV = n ds = nds = 0, (3.36) V S S то есть поток вихря через замкнутую поверхность равен нулю.

Рассмотрим вихревую трубку, ограниченную поперечными сечения ми S1, S2 и боковой поверхностью S3 (рис. 3.10). По определению вихре вой трубки, n = 0 на S3, и из формулы (3.36) имеем n n n ds = ds + ds = 0. (3.37) S S1 S * См. гл.I, § 4.

62 ГЛАВА III Меняя на S1 направление нормали на проти воположное* и используя теорему Стокса (3.30), из формулы (3.37) получаем 1 vds =. (3.38) n n ds = ds = S1 S2 C Из формулы (3.38) следует, что циркуляция по любому замкнутому контуру С, охватываю щему вихревую трубку, есть величина постоян ная. Этот вывод представляет собой вторую тео Рис. 3. рему Гельмгольца.

Для элементарной вихревой трубки из равенства (3.38) имеем 21S1 = 22S2 =, (3.39) где S1, S2 – площади сечений вихревой трубки. Величина 2S называ ется напряжением вихревой трубки.

Из равенства (3.39) следует, что если величина во всей области жидкости конечна, то и S в этой области конечна. Следовательно, вихре вые трубки не могут кончаться внутри жидкости. Они либо замкнуты, либо оканчиваются на поверхности жидкости, либо уходят в бесконечность.

Очевидно, что этот вывод справедлив и для трубок тока.

* При использовании теоремы Стокса направление обхода на контурах, ограничивающих сечения S и S2, должно быть одинаковым. Поэтому если на S2 берется нормаль внешняя, то на S1 необходимо взять внутреннюю.

Глава IV ЖИДКОСТИ §1. Математическая модель идеальной жидкости Как уже указывалось в §2.9, система уравнений сплошной среды (2.90) является незамкнутой. Для ее замыкания необходимо добавить реологиче ское уравнение рассматриваемой сплошной среды или, иначе говоря, за дать свойства этой среды. Простейшей моделью сплошной среды является идеальная жидкость.

Идеальной жидкостью (газом) называется изотропная сплошная среда, в которой отсутствуют касательные напряжения, то есть pik = 0 (i k). При этом нормальные напряжения являются сжимаю щими и их величина зависит только от точки сплошной среды и не зави сит от направления. Касательные напряжения в жидкости возникают бла годаря трению. Поэтому можно сказать, что идеальная жидкость – это жидкость, лишенная внутреннего трения.

Пренебрежение внутренним трением существенно упрощает матема тическую постановку задач гидромеханики. Это в ряде случаев помогает разобраться в физике рассматриваемых процессов. Кроме того, модель идеальной жидкости позволяет достаточно хорошо описать такие важные с точки зрения практики, явления как гидравлический удар, возникновение ударных волн в газах, возникновение подъемной силы крыла, обтекание хорошо обтекаемых тел и многое другое.

Согласно определению идеальной жидкости имеем pnn = p1 = p2 = p3 = - p. (4.1) Положительная скалярная величина p называется давлением*. Знак «ми нус» перед p указывает, что в жидкости допускаются только сжимающие нормальные напряжения. Напряжения в идеальной жидкости имеют вид:

в векторной форме pnn = - pn, (4.2) * Обычно молчаливо предполагается, что введенная таким образом величина p тождественна давлению, используемому в термодинамике. Однако это обстоятельство нуждается в дополнительном обосновании.

64 ГЛАВА IV в тензорной форме pij = - pij, (4.3) в матричной форме - p 0 0 - p 0, 0 0 - p где ij – дельта Кронекера. Тензор напряжений в идеальной жидкости час то называют шаровым или изотропным, так как соответствующая ему тен зорная поверхность, как легко видеть, представляет собой сферу, а физиче ские свойства, задаваемые подобными тензорами, изотропны.

В уравнения (2.83) входят величины pi xi, (piv) xi. На основа нии равенств (4.1) и (4.3) имеем pi ei p p = = -ei = -p, (4.4) xi xi xi (piv) (ei pekvk ) (pvk ) = - = - = - div pv = - p div v - vp. (4.5) xi xi xk Подставив соотношения (4.4), (4.5) в уравнения (2.83), получаем мо дель идеальной жидкости d + div v = 0, dt dv = F - p, (4.6) dt d v + = Fv - div pv + qe, u dt где первое уравнение – уравнение неразрывности, второе – уравнение движения Эйлера, а третье представляет собой закон сохранения энергии.

Система (4.6) содержит пять скалярных уравнений и шесть неизвест ных (,vi, p,u). Для ее замыкания необходимо задать уравнение состояния p = p (,T), (4.7) связывающее между собой давление, температуру и плотность, и калори ческое уравнение состояния u = u (,T). (4.8) Система (4.6), (4.7) и (4.8) содержит семь уравнений и семь неизвест ных и представляет собой замкнутую систему уравнений, описывающих движения идеальной сжимаемой жидкости (газа).

ЖИДКОСТИ Для получения теоремы об изменении кинетической энергии в идеаль ной жидкости подставим равенство (4.5) в соотношение (2.74). Тогда имеем d v (i) - div pv + N, (4.9) = Fv dt где в соответствии с определением идеальной жидкости и формулой (2.87) (i) для мощности внутренних сил N имеем vk vi (i) N = - pik = p = p div v (4.10) xi xi или, с учетом уравнения неразрывности (2.32), p d (i) N = p div v = -. (4.11) dt С учетом соотношений (4.10) и (4.11) уравнение притока тепла (2.88) может быть представлено в виде du p d = qe +, (4.12) dt 2 dt или du p = qe - div v. (4.13) dt Таким образом, как это видно из формул (4.12), (4.13), изменение внут ренней энергии идеальной жидкости может происходить только за счет внешнего подвода тепла qe и изменения ее плотности (объема).

§2. Математическая модель идеальной несжимаемой жидкости При установившемся течении жидкости и при неустановившихся дви жениях с нерезкими изменениями скоростей изменение ее плотности на столько мало, что им можно пренебречь. Это же относится к установивше муся течению газа с малыми скоростями или его течению с плавными из менениями скоростей. В этих случаях обычно используется модель не сжимаемой жидкости.

Жидкость называется несжимаемой, если для фиксированной мате риальной частицы = const или, в соответствии с определением матери альной производной (1.14), если d = + vi = 0. (4.14) dt t xi 66 ГЛАВА IV Жидкость называется несжимаемой и однородной, если значение плотности постоянно и одинаково для всех материальных точек рассмат риваемого объема жидкости. В этом случае, очевидно, d = 0, = 0, = 0, (4.15) dt t xi и плотность является не искомой функцией, а известной величиной, зада ваемой при постановке задачи.

Соотношение (4.14) (или (4.15)) представляет собой уравнение со стояния несжимаемой жидкости.

Вне зависимости от того, является ли несжимаемая жидкость однород ной или неоднородной, для нее, как это следует из равенств (4.6), (4.14), (4.15), система уравнений движения имеет вид div v = 0, (4.16) dv = F - p.

dt В случае однородной несжимаемой жидкости система из четырех уравнений (4.16) содержит четыре неизвестных функции координат и вре мени ( p,vi) и, следовательно, является замкнутой. В случае неоднородной несжимаемой жидкости система (4.16) содержит пять неизвестных и для ее замыкания необходимо использовать уравнение (4.14).

Замкнутая система уравнений, описывающих движение несжимаемой жидкости, является чисто механической, то есть не содержит никаких тер модинамических характеристик.

Закон изменения кинетической энергии (4.9) для несжимаемой жид кости имеет вид d v - vp, (4.17) = Fv dt так как в соответствии с равенством (4.10) или (4.11) в рассматриваемом случае N(i) = 0.

Уравнение притока тепла (4.12) или (4.13) принимает вид du = qe. (4.18) dt Умножив второе уравнение (4.6) скалярно на v и вычитая полученное выражение из третьего уравнения (4.6), получим для идеальной несжимае мой жидкости du = qe, dt ЖИДКОСТИ что совпадает с уравнением притока тепла (4.18). Таким образом, исполь зование закона сохранения энергии или уравнения притока тепла, позволя ет судить лишь об изменении внутренней энергии, то есть об изменении ее температуры.

Подчеркнем еще раз, что изменение температуры никак не может по влиять на течение несжимаемой идеальной жидкости.

Граничное условие на твердых стенках для уравнения Эйлера получает ся из условия непротекания жидкости через твердую поверхность, то есть в точках твердой поверхности должно выполняться условие v n = V n, (4.19) где V – скорость движения точек твердой поверхности, n – нормаль к этой поверхности. Если твердая поверхность неподвижна, то vn = v n = 0. (4.20) Необходимо отметить, что благодаря наличию нелинейных членов вида dA A A = + vi, div v, div pv dt t xi уравнения (4.6) и (4.16) представляют собой системы нелинейных диффе ренциальных уравнений в частных производных. Наличие нелинейностей существенно затрудняет получение точных решений уравнений гидроме ханики даже для модели идеальной жидкости.

§3. Вязкая жидкость. Тензор напряжений в вязкой жидкости Вязкой жидкостью называется сплошная среда, обладающая сле дующими свойствами: 1. жидкость есть изотропная сплошная среда, то есть все направления в ней физически равноправны (свойства не за висят от направления);

2. тензор напряжений в вязкой жидкости име ет вид p11 p12 p13 p 0 0 11 12 p21 p22 p23 = 0 - p 0 + 22 23, или pik = -pik + ik,(4.21) p31 p32 p33 0 0 - p 31 32 где ik вязкие напряжения, которые зависят от ik, ik – дельта Кронекера.

Если дополнительно положить, что зависимость между тензорами ik и ik линейна, то вязкая жидкость называется ньютоновской вязкой жидко стью. Последнее означает, что каждая из девяти компонент тензора вязких напряжений должна линейным образом зависеть от всех девяти компонент 68 ГЛАВА IV тензора скоростей деформаций. Указанная линейная связь в самом общем случае имеет вид 11 = a1111 11 + a1122 22 + a1133 33 + … + a1121 21, = a2211 11 + a2222 22 + a2233 33 + … + a2221 21,...............................

= a1211 11 + a2122 22 + a2133 33 + … + a2121 21, или в матричной форме a a1122 a1133 a1123 a1113a1112 a1132 a1131 a 11 a1111 a2222 a2233a2223a2213a2212 a2232 a2231a2221 22 2211 a3322 a3333a3323a3313a3312 a3332 a3331a3321 33 a a2311a2322 a2333a2323a2313a2312 a2332 a2331a2321 13 a1311 a1322 a1333 a1323 a1313a1312 a1332 a1331 a1321 =, 12 a1211 a1222 a1233 a1223 a1213a1212 a1232 a1231 a1221 32 a3211a3222 a3233a3223a3213a3212 a3232 a3231a3221 31 a3111a3122 a3133a3123a3113a3112 a3132 a3131a3121 a a2122 a2133a2123a2113a2112 a2132 a2131a 21 2111 или, используя соглашение о суммировании, ij = aijklkl.

Для изотропной сплошной среды совокупность компонент aijkl, ко торые образуют тензор четвертого ранга, должна быть такой, чтобы на лю бом ортогональном преобразовании системы координат матрица aijkl не изменяла свой вид. Это ограничение позволяет установить явный вид тен aijkl зора и определить связь между тензорами ik и ik.

aijkl Коэффициенты должны удовлетворять условиям симметрии, ко торые следуют из симметрии тензоров напряжений и скоростей дефор маций. Поэтому коэффициенты aijkl должны удовлетворять условиям aijkl = ajikl = ajilk = aijlk. Кроме этого, для aijkl выполняется условие пере становочности пар индексов ij и kl. Поэтому имеем симметрию индек сов aijkl = ajikl = ajilk = aijlk = aklij = alkij = alkji = aklji. (4.22) ЖИДКОСТИ Условия симметрии (4.22) уменьшают число независимых компонент тензора aijkl :

11 a1111a1122a1133a1123a1113a1112a1123a1113a1112 22 a a2222a2233a2223a2213a2212a2223a2213a2212 33 a1133a2233a3333a3323a3313a3312a3323a3313a3312 a1123a2223a3323a2323a2313a2312a2323a2313a2312 a a2213a3313a1323a1313a1312a1323a1313a =.

13 1113 12 a1112a2212a3312a1223a1213a1212a1223a1213a1212 32 a1123a2223a3323a2323a2313a2312a2323a2313a 31 a1113a2213a3313a1323a1313a1312a1323a1313a1312 21 1112 a a2212a3312a1223a1213a1212a1223a1213a Нетрудно видеть, что три последних строки и столбца в матрице совпа дают с тремя предыдущими, и матричное представление можно упростить 11 a1111a1122a1133a1123a1113a1112 a2222a2233a2223a2213a2212 22 a 33 a1133a2233a3333a3323a3313a3312 =. (4.23) 23 a1123a2223a3323a2323a2313a2312 a a2213a3313a1323a1313a 13 1113 a a2212a3312a1223a1213a 12 1112 Таким образом, при выполнении условий симметрии (4.22) в общем слу чае линейная связь между симметрич ными тензорами второго ранга содер жит 21 независимый коэффициент (константу) aijkl. Пусть матричное ра венство (4.23) записано в «старой сис теме координат» Ox1x2x3 (рис. 4.1).

Сделаем преобразование координат x1 = x1, x2 = -x2, x3 = x3 (зеркальное отражение в плоскости Ox1x3 ), которое Рис. 4. задается матрицей преобразования 1 0 ij = - 1 0. (4.24) 0 0 70 ГЛАВА IV Согласно требованию, накладываемому на матрицу коэффициентов aijkl, компоненты матрицы не должны изменяться на любом ортогональном преобразовании. Поэтому должно выполняться равенство aijkl = injmktlranmtr = aijkl (4.25) компонент в новой и старой системах координат. Рассмотрим, какое усло вие накладывает на компоненты матрицы aijkl равенство (4.25) на преоб разовании (4.24). Для примера рассмотрим компоненту a1222. Имеем a1222 = 1i 2j 2k 2l aijkl.

После подстановки в последнее равенство компонент матрицы преобразо вания (4.24) получим a1222 = -a1222.

Поэтому условие (4.25) выполняется только при a1222 = 0. Аналогично мож но показать, что для выполнения условия (4.25) на преобразовании (4.24) должны быть равны нулю все компоненты матрицы aijkl, которые содер жат нечетное число индексов 2. Рассмотрев преобразования - 1 0 0 1 0 ij = 0 1 0 и ij = 1 0, 0 0 - 0 0 получим новые ограничения на компоненты матрицы aijkl, которые сведутся к тому, что должны быть равны нулю все компоненты, содержащие нечетное число индексов 1 и 3. Следовательно, равенство (4.23) примет вид 11 a1111 a1122 a1133 0 0 0 a2222 a2233 0 0 22 a1122 33 a1133 a2233 a3333 0 0 0 =.

0 0 0 a2323 0 0 0 0 0 0 a1313 13 0 0 0 0 0 a1212 12 Новые ограничения на компоненты матрицы можно получить, рассмот рев матрицы преобразования 0 1 0 0 1 0 0 0 ij = 0 1, ij = 0 0, ij = 0 0.

0 1 1 0 0 0 0 - 1 0 1 ЖИДКОСТИ Выполнение условия (4.25) на этих преобразованиях приведет к тому, что должны выполняться равенства a1111 = a2222 = a3333, a1122 = a1133 = a2233, a2323 = a1313 = a1212, и матричное равенство принимает вид 11 a1111 a1122 a1122 0 0 0 22 a a1111 a1122 0 0 0 33 a1122 a1122 a1111 0 0 0.

= (4.26) 0 0 0 a1212 0 0 0 0 0 0 a1212 13 0 0 0 0 0 a1212 12 Наконец, рассмотрев преобразование, представляющее поворот на угол 120о относительно оси z - 1 2 3 2 ij = - 3 2 - 1 2 0, 0 0 получим, что должно выполняться равенство a1212 = (a1111 - a1122).

Полагая a = + 2µ, a =, получим, что a1212 = µ (коэффи 1111 циенты и µ называются константами Ламе).

Матрица коэффициентов в равенстве (4.26) в индексной форме записи представляется в виде aijkl = ijkl + µ(ikjl + iljk). (4.27) Подстановка тензора (4.27) в равенство (4.21) даст явный вид связи между тензорами ik и ik для изотропной вязкой жидкости. Представле ние тензора вязких напряжений в матричной форме имеет вид 11 12 13 1 0 0 11 12 = div v 1 0 + 2µ 22 23, (4.28) 21 22 23 0 31 32 33 0 0 1 31 32 а в индексной форме задается равенством ij = div vij + 2µij, kk = div v. (4.29) Подставив равенство (4.29) в формулу (4.21), получим окончательно pij = -pij + [ijkl + µ(ikjl + iljk)]ij = -pij + ijkk + 2µij. (4.30) 72 ГЛАВА IV Из формулы (4.29) видно, что вязкие свойства жидкости определяют ся двумя коэффициентами и µ. Если жидкость несжимаема, то div v = 0, и для несжимаемой жидкости имеется только один коэффициент µ. Как следует из формулы (4.29), коэффициент µ влияет не только на касатель ные, но и на нормальные напряжения.

Просуммировав выражения (4.30) для нормальных напряжений pkk, получим p11 + p22 + p33 2 = - p + + µ div v = - p + div v. (4.31) 3 Величина = + µ называется коэффициен том второй, или объемной, вязкости. В кинетической теории газов доказывается, что для одноатомных га зов = 0, но вообще 0.

Из формулы (4.31) следует, что для несжимае мой жидкости давление есть среднее арифметичес кое нормальных напряжений.

Рассмотрим в качестве примера установив шееся течение, для которого поле скоростей имеет Рис. 4.2 вид (рис. 4.2) v1 = kx2, v2 = v3 = 0. (4.32) Из равенств (4.32) следует, что vi 1 v div v = = 0, 12 =, 11 = 22 = 33 = 13 = 23 = 0, xi 2 x откуда, в соответствии с формулами (4.29), имеем v p12 = µ, p11 = p22 = p33 = - p, p13 = p23 = 0.

x Таким образом, в рассматриваемом течении происходит только ска шивание углов, и это течение называется простым сдвигом. Величина v 212 =, как было ранее доказано, представляет собой скорость скаши x вания координатного угла и называется скоростью сдвига.

Из формул (4.32) следует, что линии тока – прямые x2 = const.

В соответствии с формулой (3.38) имеем e1 e2 e 1 = rotv = = -e3k, 2 x1 x2 x kx2 0 ЖИДКОСТИ то есть рассматриваемое течение, несмотря на наличие прямолинейных линий тока, является вихревым.

v Выражение p12 = µ представляет собой известный закон трения x Ньютона, где µ – динамический коэффициент вязкости.

T Для газов коэффициент µ часто определяется формулой µ = µo, To где Т – абсолютная температура. Более точная формула (формула Сатер ленда) имеет вид 1 + C To T µ = µ, 1 + C T To где С – константа, различная для разных газов.

Из приведенных формул видно, что с ростом температуры вязкость газа возрастает. Для жидкостей, наоборот, с ростом температуры вязкость уменьшается.

Так как при течении жидкостей (газов) температура зависит от коор динат и времени, то коэффициенты вязкости также являются функциями координат и времени.

§4. Уравнения движения вязкой жидкости Для вывода уравнений движения вязкой жидкости воспользуемся урав нениями движения сплошной среды (2.43).

Учитывая, что = - µ, из формул (4.29) имеем pij 2 = = - p + - µ div v + 2µij ij xi xi (4.33) (µij ).

= p + - µ div v ij + xi - 3 xi В соответствии с формулами (3.5) имеем (µij ) µ vi vj vi vj 2 = + + µ + = xi xi xj xi xi xj xi (4.34) v = µvj + µ + µ div v + µvj, xj xj где – оператор Лапласа*.

* Пьер Симон Лаплас (1749–1827), французский физик, астроном и математик. Иностранный почетный член Петербургской Академии Наук.

74 ГЛАВА IV Подставив соотношения (4.33) и (4.34) в уравнения (2.43), получим dvj p 2 = Fj - + µvj + - µ div v + µ div v + dt xj xj 3 xj (4.35) v + µvj + µ.

xj Уравнения (4.35) называются уравнениями Навье–Стокса* для вязкой сжимаемой жидкости. При µ = = 0 они обращаются в уравнения Эйле ра (4.6). Уравнения Навье–Стокса, в отличие от уравнений Эйлера, пред ставляют собой нелинейные уравнения второго порядка.

Для вывода уравнения для закона сохранения энергии для вязкой сжи маемой жидкости вычислим предварительно величину (pijvj ) vj pij (piv) = = pij + vj. (4.36) xi xi xi xi Из формул (3.5) и (4.29) следует, что vj 2 vj pij = p + - µ div vij + 2µij = - xi i x vj vj = p + - µ div v + 2µij = (4.37) - 3 xj xi 2 = p + - µ div v div v + 2µijij.

- На основании формул (4.33) и (4.34) имеем pij v vj = v- p + - µ div v + vjµvj + vjµ + xi 3 xj (4.38) + µv(div v) + µvv.

Подставив выражения (4.37) и (4.38) в уравнение (2.65) и используя известную форму векторного анализа div v = div v + v, получим d v2 + = Fv + div- p + - µ divv v + vjµvj + u dt 2 (4.39) v + vjµ + µv(divv) + µvv + 2µijij + qe.

xj * Анри Навье (1785–1836), французский инженер и ученый.

ЖИДКОСТИ Уравнение (4.39) представляет собой закон сохранения энергии для вязкой сжимаемой жидкости. При µ = = 0 оно обращается в уравнение для идеальной жидкости (4.6).

Система уравнений для вязкой сжимаемой жидкости содержит 9 неиз вестных (, µ,, u, p, vi, T) и семь уравнений: уравнение неразрывнос ти (2.32), уравнения состояния (4.7) и (4.8), уравнения движения (4.35), за кон сохранения энергии (4.39). Для ее замыкания необходимо добавить за висимости µ = µ(T), = (T). (4.40) §5. Математическая модель вязкой несжимаемой жидкости Система уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости, как это следует из равенств (2.25), (4.8), (4.14), (4.35), (4.39) и (4.40), имеет вид d = + vi = 0, dt t xi div v = 0, dvi p v (4.41) = Fi - + µvi + µvi + µ, dt xi xi d v2 v + = Fv - v p + viµvi + viµ + µv v + 2µijij + qe, u dt 2 xi u = u,T, µ = µ T, ( ) ( ) Эта система из восьми уравнений содержит восемь неизвестных (, µ, u, T, p, vi) и является замкнутой.

Для однородной несжимаемой жидкости первое из уравнений (4.41) обращается в тождество, а плотность, как уже указывалось, является из вестной константой.

В отличие от несжимаемой идеальной жидкости, система уравнений (4.41) не является чисто механической. Действительно, так как вязкость есть функция температуры, то последняя влияет на характер течения.

При изотермическом режиме течения вязкой несжимаемой жидкости система уравнений (4.41) существенно упрощается и принимает вид div v = 0, dvi p (4.42) = Fi - + µvi.

dt xi 76 ГЛАВА IV Эта система из четырех уравнений содержит четыре неизвестных и яв ляется замкнутой*. Таким образом, задача об изотермическом течении не сжимаемой жидкости, также как и задача о течении идеальной несжимае мой жидкости, является чисто механической.

Для теоремы об изменении кинетической энергии при изотермичес ком движении вязкой несжимаемой жидкости из формул (2.74), (2.80) и (4.38) имеем d v2 pik = Fv + vk = Fv - vp + µvv. (4.43) dt 2 xi Так как уравнения Навье-Стокса, в отличие от уравнений Эйлера, представляют собой уравнения второго порядка, то к граничным условиям (4.19) или (4.20) необходимо добавить еще одно условие. В качестве тако вого принимается гипотеза прилипания, которая заключается в том, что на твердой стенке полагается выполненным условие v = V, (4.44) где v, V – касательные составляющие скорости жидкости и стенки.

Следовательно, граничные условия для уравнений Навье–Стокса имеют вид vn = Vn, v = V (4.45) или, если стенка неподвижна, vn = v = 0. (4.46) Различие граничных условий (4.19) и (4.45) для идеальной и вязкой жидкостей приводит к весьма важным последствиям. Действительно, при вязкости, стремящейся к нулю, уравнения Навье-Стокса в пределе пере ходят в уравнения Эйлера. Однако решения уравнений Навье–Стокса при µ = 0, = 0 не переходят в решения уравнений Эйлера, так как они получены при разных граничных условиях, а граничные условия (4.45) от вязкости не зависят.

Более подробный анализ указанных обстоятельств показывает, что вязкость существенно влияет на характер течения лишь в достаточно тон ком слое жидкости, прилегающем к твердой поверхности. Этот слой полу чил название пограничного слоя. Вне пограничного слоя вязкостью можно пренебречь и рассматривать жидкость как идеальную.

Данные выше факты привели к созданию целого раздела гидромеха ники – теории пограничного слоя.

* В случае неоднородной несжимаемой жидкости к уравнениям (4.42) добавляется первое из уравнений (4.41).

ЖИДКОСТИ §6. Работа внутренних сил. Уравнение притока тепла Как было показано в §2.7, в уравнение для изменения кинетической энергии (2.74) входит удельная по массе мощность внутренних сил N(i), для которой была получена формула (2.80), справедливая для любой сплош ной среды. Подставив в нее выражение (4.37), для сжимаемой вязкой жид кости получим 2 (i) N = -- p + - µ div v div v - 2µijij = p div v - W,(4.47) где - W = - - µ (div v) - 2µijij (4.48) – мощность (удельная по объему) внутренних сил, обусловленных вязко стью, или мощность диссипативных сил.

Используя преобразование 2 2 2 2 2 2 2 2µijij - µ (divv) = 2µ(11+ 22+ 33)+ 4µ(12+ 23+ 31)- µ (divv) = 3 1 2 1 2 1 2 2 = 2µ 11- divv + - divv + - divv + 4µ(12+ 23+ 31), 22 3 3 перепишем равенство (4.48) в виде 1 2 1 2 1 W = (divv) + 2µ 11- divv + - divv + - divv + 22 (4.49) 3 3 2 2 + 4µ(12 + 23 + 31).

Так как > 0, µ > 0, то из формул (4.47) и (4.49) следует, что W > и работа диссипативных сил всегда отрицательна. Если жидкость движется как твердое тело, то есть ik = 0, то W = 0.

Подставив в общее уравнение притока тепла (2.88) соотношение (4.47), получим уравнение притока тепла для вязкой сжимаемой жидкости в виде du p W = qe - div v + (4.50) dt Из закона об изменении кинетической энергии (2.14) и формулы (4.47) следует, что при отсутствии внешних сил dK d v (i) = dV = N dV = (p div v - W)dV, (4.51) dt dt V V V 78 ГЛАВА IV то есть кинетическая энергия в этом случае изменяется только за счет ра боты внутренних сил.

Для вязкой несжимаемой жидкости формула (4.51) на основании ра венства (4.49) принимает вид dK = - dV = - 2µijij dV.

W dt VV Так как W > 0, то за счет работы внутренних сил кинетическая энергия убывает. Предельное значение W = 0 осуществляется при ik = 0. Следова тельно, при отсутствии внешних сил предельным движением вязкой не dK сжимаемой жидкости будет движение твердого тела, при котором = 0.

dt Рассмотрим некоторые частные виды уравнения притока тепла и ра боты диссипативных сил.

1. Жидкость идеальная и несжимаемая, то есть µ = 0, = 0, div v = 0.

Из формул (4.47), (4.48) и (4.50) имеем du N(i) = 0, W = 0, = qe.

dt Следовательно, работа внутренних сил, в том числе диссипативных, равна нулю. Внутренняя энергия может изменяться только за счет подвода тепла.

2. Жидкость идеальная, сжимаемая. В соответствии с формулами (4.47), (4.48) и (4.50) имеем p du p N(i) = div v, W = 0, = qe - div v.

dt d Из уравнения неразрывности следует, что = -div v. Тогда dt p d du p d N(i) = -, = qe +.

2 dt dt 2 dt d d При расширении < 0 и N(i) > 0. При сжатии > 0 и N(i) < 0.

dt dt Если процесс адиабатический, то есть протекает без подвода тепла, то qe = 0.

du При сжатии > 0 и происходит нагрев жидкости, при расширении – ох dt лаждение.

ЖИДКОСТИ 3. Жидкость вязкая несжимаемая. Из формул (4.47), (4.48) и (4.50) получаем W (i) 2 2 2 2 2 N = -, W = 2µikik = 2µ(11+ 22 + 33)+ 4µ(12 + 21+ 13) > 0, (4.50) du W = qe +.

dt Работа внутренних сил обусловлена только диссипацией. При qe = работа диссипативных сил идет на увеличение внутренней энергии, то есть на нагревание жидкости.

Из рассмотренных примеров видно, что анализ работы внутренних сил приводит к важным результатам. Так, работа (мощность) равна нулю толь ко при движении идеальной несжимаемой жидкости. В случае идеальной сжимаемой жидкости эта работа может приводить как к увеличению, так и к уменьшению внутренней энергии. При движении вязкой несжимаемой жидкости работа внутренних сил сводится к работе сил трения и всегда от рицательна. Наличие трения приводит к нагреванию жидкости.

Глава V ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ «В теории размерностей и подобия устанавливаются условия, которые затем соблюдаются в опытах с моделями, и выделяются характеристики и удобные параметры, определяющие основные эффекты и режимы про цессов. Вместе с тем, сочетание соображений теории размерностей и подо бия с общим качественным анализом механизма физических явлений в ря де случаев может служить плодотворным теоретическим методом иссле дования». Л.И.Седов*.

§1. Системы единиц измерения. Размерность Для количественного описания какого-либо физического явления не обходимо выразить его характеристики при помощи чисел. Эти числа по лучаются путем измерения, т.е. сравнения (прямого или косвенного) изме ряемой физической величины с соответствующим эталоном, принятым за единицу измерения. При этом, очевидно, численное значение измеряемой величины зависит от единицы измерения, т.е. от величины принятого эта лона. Так, продолжительность суток может быть выражена числами: 1 (сут ки), 24 (часа), 1440 (минут), 86400 (секунд).

Если численное значение физической величины зависит от единиц из мерения (величин эталонов), то такая величина называется размерной. При мерами размерных величин могут служить скорость, время, длина и т.п.

Величины, численное значение которых не зависит от единиц измере ния, называются безразмерными. Примерами безразмерных величин могут служить отношение длины окружности к ее радиусу, отношение плотности какого-либо вещества к плотности воды и т.п. Если выбрать независимо друг от друга эталоны единиц измерения достаточного количества физичес * Леонид Иванович Седов (1907–1999) – крупнейший российский гидромеханик, действительный член Российской академии наук. Труды по механике сплошных сред, гидроаэродинамике, газовой динамике, теории размерностей и подобия.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ И ПОДОБИЯ ких величин, описывающих, например, механические явления, то на их ос нове с помощью физических законов и определений можно установить единицы измерения всех величин, входящих в описание рассматриваемых явлений. Например, в соответствии со вторым законом Ньютона, сила равна произведению массы на ускорение, следовательно, единица силы не нужда ется во введении своего эталона, а может быть определена через единицы длины, массы и времени.

Единицы измерения, вводимые с помощью эталонов, которым, по оп ределению, присваивается числовое значение, равное единице, называются основными единицами измерения.

Единицы измерения величин, которые получаются из основных еди ниц измерения с помощью соответствующих физических законов или из определений этих величин, называются производными единицами измере ния.

Совокупность основных единиц измерения, достаточная для изме рения всех физических величин, используемых для описания некото рого класса физических явлений, называется системой единиц измере ния.

Выбор как основных единиц измерения, так и систем единиц измере ния достаточно произволен. Например, в механике и ее приложениях ис пользуются системы см, г, сек (СГС), м, кг, сек (СИ), м, кгс, сек (МКСС).

Немецким физиком Г.Герцем была предложена система единиц измерения, в основу которой были положены единицы длины, массы и энергии. Мож но построить для механики системы единиц, содержащие как больше, так и меньше трех основных единиц измерения. Поэтому критерием выбора основных единиц измерения и их количества в системе единиц измерения является удобство их применения на практике.

В приведенных примерах системы СИ и СГС в качестве основных еди ниц измерения содержат эталоны одной физической природы – длины, массы, времени, которые отличаются друг от друга только величиной эта лонов. Системы МКСС и Г.Герца имеют другой набор эталонов – длины, силы, времени или длины, массы, энергии.

Совокупность систем единиц измерения, отличающихся между собой только величиной эталонов, но не их физической природой, называется классом систем единиц измерения. В соответствии с данным определением системы СИ и СГС принадлежат к одному классу, а системы СИ и МКСС – к разным классам систем единиц измерения.

Введем для обозначения длины символ L, массы – M, времени – T, си лы – F. Тогда класс систем единиц измерения, к которому принадлежат системы СИ и СГС, обозначим как LMT, класс, к которому принадлежит система МКСС – как LFT.

82 ГЛАВА V Размерность физической величины обычно обозначается симво лом []* и представляет собой выражение производной единицы измерения через основные.

В соответствии со вторым законом Ньютона в классе МКСС размер [F] FT ность массы m равна [m]= =, где F – сила, а – ускорение, а в клас [a] L се MLT – [m] = M.

Плотность вещества, по определению, представляет собой отноше ние массы m к объему V. Поэтому в классах MLT и МКСС имеем, соответ ственно, [m] M [m] FT [] = =, [] = =.

[V] L3 [V] L Из приведенных примеров видно, что в классе MLT единица массы является основной, а в классе МКСС – производной. Размерность плотно сти в классах MLT и МКСС имеет разный вид. Отсюда следует, что гово рить о том, является ли какая-либо единица измерения основной или про изводной, а также говорить о ее размерности можно только применитель но к рассматриваемому классу единиц измерения.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.