WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

«Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права Балюкевич Э.Л. ...»

-- [ Страница 2 ] --

5.2. Проверить, что векторы системы ортогональны, и дополнить их до ортогонального базиса.

(1, - 2, 2, - 3), (2, - 3, 2, 4).

5.3. Найти векторы, дополняющие систему векторов до ортонормированного базиса 1 1 1 1 1 1 1,.

,,,,, -, 2 2 2 2 2 2 2 5.4. Построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов (1, 1, -1, - 2), (5, 8, - 2, - 3), (3, 9, 3, 8).

5.5. Найти расстояние между двумя плоскостями x = a1t1 + a2t2 + x1 и x = a3t1 + a4t2 + x где a1 = (1, 2, 2, 2), a2 = (2, - 2, 1, 2), x1 = 4(1, 5, 3, 2), a3 = (2, 0, 2, 1), a4 = (1, - 2, 0, -1), x1 = (1, - 2, 1, - 3).

5.6. Пользуясь неравенством Коши-Буняковского, доказать неравенство n n n 2 a bi a b i i i i =1 i=1 i = для любых вещественных чисел ai,bi, i = 1, n.

5.7. Найти длины сторон и внутренние углы треугольника, вершины которого заданы своими координатами A(2, 4, 2, 4, 2), B(6, 4, 4, 4, 6), C(5, 7, 5, 7, 2).

5.8. Определителем Грама векторов a1, a2,..., ak евклидова пространства En называется определитель (a1, a1) (a1, a2)... (a1, ak ) (a2, a1) (a2, a2)... (a2, ak ) g(a1, a2,..., ak )=............

(ak, a1) (ak, a2)... (ak, ak ) Доказать, что определитель Грама не изменяется при применении к векторам a1, a2,..., ak процесса ортогонализации, т.е. если в процессе ортогонализации векторы a1, a2,..., ak перейдут в векторы b1,b2,...,bk, то g(a1, a2,..., ak )= g(b1,b2,...,bk )= (b1,b1)(b2,b2)...(bk,bk ).

Пользуясь этим, выяснить геометрический смысл g(a1, a2) и g(a1, a2, a3), предполагая векторы линейно независимыми.

5.9. Доказать, что существует единственное преобразование трехмерного пространства, переводящего векторы a1, a2, a соответственно в b1,b2,b3, и наитии матрицу этого преобразования в том же базисе, в котором даны координаты всех векторов.

a1 = (2, 3, 5), a2 = (0, 1, 2), a3 = (1, 0, 0), b1 = (1, 1, 1), b2 = (1, 1, -1), b3 = (2, 1, 2).

5.10. Доказать, что существует единственное преобразование трехмерного пространства, переводящего векторы a1, a2, a соответственно в b1,b2,b3, и наитии матрицу этого преобразования в том же базисе, в котором даны координаты всех векторов.

a1 = (2, 0, 3), a2 = (4, 1, 5), a3 = (3, 1, 2), b1 = (1, 2, -1), b2 = (4, 5, - 2), b3 = (1, -1, 1).

5.11. Линейное преобразование в базисе e1,e2,e3,e4 имеет матрицу 1 2 0 3 0 -1 2 5 3 1 2 1 Найти матрицу этого же преобразования в базисе:

e1, e1 + e2, e1 + e2 + e3, e1 + e2 + e3 + e4.

5.12. Линейное преобразование в базисе a1 = (8, - 6, 7), a2 = (-16, 7, -13), a1 = (9, - 3, 7) имеет матрицу -18 -1 - 22 1 - 25 Найти его матрицу в базисе b1 = (1, - 2, 1), b2 = (3, -1, 2), b1 = (2, 1, 2).

5.13. Найти канонический вид B ортогональной матрицы A и ортогональную матрицу Q такую, что B = Q-1AQ 2 1 3 3 2 2 - 3 3 1 2 - - 3 3 5.14. Доказать, что для выполнения равенства x + y = x +y, где, - числа и x, y векторы, необходимо и достаточно, чтобы было или =, или x = y.

5.15. Доказать теорему: для того чтобы две линейно независимые системы с одинаковым числом векторов x1, x2,..., xk, y1, y2,..., yk n мерного пространства Rn были эквивалентны (или порождали одно и то же подпространство), необходимо и достаточно, чтобы в любом базисе соответствующие друг другу миноры матриц А и В из координатных строк векторов этих систем были пропорциональны.

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 6.1. Определение линейного оператора ~ Определение. Оператором А, отображающим векторное пространство Rn в векторное пространство Rm, называется функция, которая каждому вектору х Rn ставит в соответствие единственный ~ вектор y Rm, что символически записывается в виде y = A(х). Вектор ~ y называется образом вектора x при отображении А, а вектор x - прообразом вектора y.

~ Оператор А называется линейным, если:

~ ~ ~ 1) А(x1 + x2 ) = А(x1) + А(x2 ) для любых x1, x2 из Rn (условие аддитивности);

~ ~ 2) А(x) = А(x) для любого х Rn, где - произвольное число (условие однородности);

~ При =0 имеем А(0) = 0, т.е. линейный оператор преобразует нулевой вектор в нулевой. Рассмотрим связь между координатами вектора х Rn и координатами вектора y Rm. Для этого выразим векторы х и y соответственно через базис е1, е2,..., еn пространства Rn и базис g1, g2,..., gm пространства Rm :

x = x1е1 + x2е2 +... + xnеn (6.1.1) y = y1g1 + y2g2 +... + ymgm (6.1.2) Тогда имеем ~ ~ ~ ~ ~ y = A(x) = A(x1е1 + x2е2 +... + xnеn ) = x1A(е1) + x2 A(е2 ) +... + xn A(еn ) (6.1.3) ~ Из выражения (6.1.3) следует, что для задания оператора А ~ достаточно задать образы базисных векторов А(ei ),i =1,n.

~ Разложим каждый вектор А(ei ),i =1,n по базису g1, g2,..., gm пространства Rm :

~ А(e1) = a11g1 + a21g2 +... + am1gm, ~ А(e2 ) = a12g1 + a22g2 +... + am2gm, (6.1.4).....................................................

~ А(en ) = a1ng1 + a2ng2 +... + amngm.

Матрица A' из коэффициентов разложений имеет вид:

a11 a21... am a a22... am A'= (6.1.5)............

a a2n... amn 1n Из равенства (6.1.3) и (6.1.5) получаем:

y1g1 + y2g2 +...+ ymgm = (a11x1 + a12x2 +... + a1nxn)g1 + + a21x1 + a22x2 +... + a2nxn)g2 +...+ (amx1 + am2x2 +...+ amnxn)gm откуда в силу единственности разложения вектора y по базису g1, g2,..., gm следует, что y1 = a11x1 + a12x2 +...+ a1n xn, y2 = a21x1 + a22x2 +...+ a2nxn, (6.1.6)..........................................

ym = amx1 + am2x2 +...+ amnxn или в матричном виде Y=АХ (6.1.7) где y1 a11 a12... a1n x y2 a21 a22... a2n, x, A = Y = X = M............ M a am2... amn xn ym m1 ~ Матрица А называется матрицей линейного оператора А.

~ Рассмотрим случай, когда оператор А задается в пространстве Rn и отображает это пространство на себя.

Тогда уравнения (6.1.4) принимают вид:

~ А(e1) = a11g1 + a21g2 +... + an1gn, ~ А(e2 ) = a12g1 + a22g2 +... + an2gn,.....................................................

~ А(en ) = a1ng1 + a2ng2 +... + anngn.

~ и матрицей оператора А является квадратная матрица A = (aij )n,n.

Формулы (6.1.6) принимают вид:

y1 = a11x1 + a12x2 +... + a1nxn, y2 = a21x1 + a22x2 +... + a2nxn,..............................................

yn = anx1 + an2x2 +... + annxn ~ Отсюда следует, что всякому линейному оператору А в пространстве Rn при выбранном базисе соответствует некоторая квадратная матрица A = (aij )n,n.

Справедливо и обратное утверждение: всякой матрице A = (aij )n,n ~ при заданном базисе соответствует некоторый линейный оператор А.

Таким образом, можно установить взаимно однозначное ~ соответствие между линейными операторами А в пространстве Rn и матрицами А порядка n.

~ Если | A | 0, то А - невырожденный оператор.

~ ~ Оператор А-1 называется обратным по отношению к оператору А, если:

~ ~ ~ ~ ~ А А-1 = А-1 А = E ~ где E - тождественный оператор, матрицей которого является единичная матрица порядка n.

~ Рассмотрим, как изменяется матрица линейного оператора А при переходе к новому базису в пространстве Rn.

Пусть в пространстве Rn заданы два базиса е1, е2,..., еn и е1*,е2*,...,еn *, связь между которыми задается невырожденной матрицей перехода T = (tij )n,n. Тогда связь между координатами векторов х и y в новом и старом базисах можно выразить в виде следующих матричных уравнений:

Х=ТХ*, Y=ТY*.

Учитывая, что Y=АХ, получим ТY*=АТХ, откуда Y*=Т-1АТХ*.

Обозначив матрицу оператора А в новом базисе через А*=Т-1АТ, получим Y*=А*Х*.

Матрица А* называется преобразующей матрицей.

Отметим, что матрица А и А* описывают действие одного и того ~ же оператора А в разных базисах.

Покажем, что матрицы А и А* подобны, то есть |А*|=|А|.

Действительно, |A*|=|Т-1АТ|=|Т-1||A||T|=|A|.

Из выведенного соотношения следует, что определитель матрицы ~ А линейного преобразования А не зависит от выбора базиса в Rn.

Примеры линейных операторов.

~ ~ 1. Если для каждого вектора х Rn А(x) = 0, то оператор А ~ является линейным и называется нулевым оператором 0. Так как для ~ любого базиса е1, е2,..., еn А(ei ) = 0,i =1,m, то матрицей нулевого ~ оператора 0 является нулевая матрица.

~ ~ 2. Если для каждого вектора х Rn А(x) = x, то оператор А ~ является линейным и называется тождественным оператором E.

Очевидно, что матрицей тождественного оператора является единичная матрица Е.

~ ~ 3. Если для каждого вектора х Rn А(x) = x, то оператор А является линейным и называется оператором подобия. Так как для ~ любого базиса е1, е2,..., еn А(ei ) = ei,i =1,n, то матрица оператора подобия равна E.

6.2. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение Рассмотрим квадратную матрицу a11 a12... a1n a a22... a2n A =............

an1 an2... ann Как было показано(6.1.), все матрицы, подобные матрице А, т.е.

все матрицы вида А*= Т-1АТ, где Т – любая невырожденная матрица (квадратная), обладают одним и тем же определителем |A|=|A*|.

Подобные матрицы обладают еще одной общей для всех них характеристикой.

Наряду с матрицей А рассмотрим матрицу a - a12... a1n a21 a22 -... a2n A - E =,............

an1 an2... ann - которая образована из А заменой диагональных элементов aii элементами aii -, где - произвольное число. Определитель этой матрицы a - a12... a1n a21 a22 -... a2n () =| A - E |=............

an1 an2... ann - представляет собой многочлен степени n относительно (коэффициент при n равен (-1)n). Многочлен () =| A - E | называется характеристическим многочленом матрицы А.

Покажем, что все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен, т.е. что | A * -E |=| A - E |= (), где А*=Т-1АТ.

Для этого воспользуемся тождеством Е*= Т-1ЕТ. Тогда, заменяя в матрице A*-E матрицы А* и Е соответственно на Т-1АТ и Т-1ЕТ, получаем:

-1 -1 -1 - | A * -E |=|T AT - T ET |=|T (A - E)T |=|T | | A - E | |T |=| A - E | Таким образом, все подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен () =| A - E |.

Алгебраическое уравнение n-й степени () = 0 называется характеристическим уравнением матрицы А, а его корни – характеристическими числами.

Характеристическое уравнение имеет вид n - 1n-1 + 2n-2 +... + (-1)n-1n-1 + (-1)nn = где k – след k-го порядка матрицы А.

n!

Следом k-го порядка k называется сумма возможных k!(n - k)!

главных миноров k-ого порядка:

1 = a11 + a22 +...+ ann = tr(A), a11 a12 a11 a 2 = + +..., a21 a22 a31 a.............................

....................

n =| A|.

Характеристическое уравнение имеет n не обязательно различных корней 1,2,...,n. Каждому характеристическому корню соответствует собственный вектор с точностью до постоянного множителя.

Сумма характеристических корней равна следу матрицы А:

1 + 2 +... + n = tr(A), а произведение характеристических корней равно определителю матрицы А:

1 2... n =| A | Число ненулевых корней совпадает с рангом матрицы линейного оператора.

Одним из методов для нахождения коэффициентов i (i =1,n) характеристического уравнения является методом Фаддеева. Пусть ~ линейный оператор А задан матрицей А. Тогда коэффициенты i вычисляются по следующей схеме:

A1 = A,1 = tr(A1),B1 = A1 -1E, A2 = AB1,2 = tr(A2),B2 = A2 -2E,....................................

..............................

An-1 = ABn-2,n-1 = tr(An-1),Bn-1 = An-1 -n-1E, n - An = ABn-1,n = tr(An),Bn = An -nE.

n ~ Пример. Найти собственные значения линейного оператора А, заданного матрицей - 4 А = 4 12 - 4.

0 - 4 Решение. Характеристическое уравнение имеет вид 3 - 12 - 2 - 3 = где 1 =tr(A) =14+12+10= 36, 14 - 4 0 - 22 - 4 A1 = A= 4 12 - 4;

B1 = A1 -1E = - 4 - 24 - -, 0 - 4 10 0 - 4 - - 292 40 A2 = AB1 = 40 - 256, 16 56 - 2 = (-292- 256- 244) = -396, 14 - 4 3 =| A|= - 4 12 - 4 =1296.

0 - 4 В итоге получаем следующее характеристическое уравнение:

3 - 362 - 336 -1296 = или ( - 36)( -12)( - 6) = 0, откуда 1 = 18, 2 = 12, 3 = 6 ~ собственные значения линейного оператора А.

Теорема Гамильтона-Кэли. Каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена.

Доказательство. Рассмотрим многочлен () =| A - E |= n + nn-1 +... + n. (6.2.1) Пусть матрица В является присоединенной к матрице A - E.

Тогда имеем (A - E)В =| A - E | Е.

(6.2.2) Элементами матрицы В являются многочлены от степени не выше (n-1). Поэтому матрицу В можно представить в следующем виде:

В = В0 + В1 + 2В2 +... + n-1Вn-1 (6.2.3) Подставляя выражения матрицы В из (6.2.3) и многочлена | A - E | из (6.2.1) в равенство (6.2.2), получим (А - Е)(В0 + В1 + 2В2 +... + n-1Вn-1) = (n + 1n-1 + 2n-2 +... + n )Е или (АВ0 + (АВ1 - В0 ) + 2 (АВ2 - В1) +... + n-1(АВn-1 - Вn-2) - nВn-1 = (6.2.4) = nE + n-11E + n-22E +... + nЕ Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства (6.2.4), получим - Вn-1 = E, AВn-1 - Вn-2 = 1E,.................................

AВ1 - В0 = n-1E, AВ0 = nE.

Умножим равенства (6.2.5) соответственно на An, An-1,..., A, E и сложим полученные результаты:

- AnВn-1 + An-1Вn-1 - An-2Вn-2 +... + A2В1 - AВ0 + AВ0 = = An + 1An-1 +... + n-1A + n или An + 1An-1 +... + n-1A + n = 0, откуда следует, что () = 0. Теорема доказана.

~ Пример. Линейный оператор А задан матрицей 1 А =.

5 Найти () и показать, что () = 0.

Решение. Составим матрицу - А - Е = 5 4 - Многочлен () =| A - E | имеет вид 1 - = 2 - 5 - 6.

5 4 - Тогда 1 2 1 2 1 0 0 () = A2 - 5A - 6E = - 5 - 6 =.

5 4 5 4 0 1 0 6.3. Собственный вектор и собственное число линейного оператора ~ Пусть в пространстве Rn задан линейный оператор А.

Определение. Ненулевой вектор х Rn, удовлетворяющий ~ соотношению А(x) = x, называется собственным вектором, а ~ соответствующее число - собственным значением оператора А.

Из данного определения следует, что образом собственного вектора x является коллинеарный ему вектор x.

~ Отметим некоторые свойства собственных векторов оператора А.

1. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное число. Предположим обратное: пусть собственному вектору ~ x оператора А соответствуют два собственных числа 1 и 2. Это значит, что ~ А(x) = 1x, ~ А(x) = 2x.

Но отсюда следует, что 1x - 2x = (1 - 2)x = Так как по условию x - ненулевой вектор, то 1 = 2.

~ 2. Если x1 и x2 - собственные векторы оператора А с одним и тем же собственным числом, то их сумма x1 + x2 также является ~ собственным вектором оператора А с собственным числом.

~ ~ Действительно, так как А(x1) = x1 и А(x2 ) = x2, то ~ ~ ~ А(x1 + x2 ) = А(x1) + А(x2 ) = x1 + x2 = (x1 + x2 ).

~ 3. Если x - собственный вектор оператора А с собственным числом, то любой вектор x, коллинеарный вектору x, также ~ является собственным вектором оператора А с тем же самым собственным числом.

Действительно, ~ ~ А(x) = (Аx) = (x) = (x).

Таким образом, каждому собственному числу соответствует бесчисленное множество коллинеарных собственных векторов. Из свойств 2 и 3 следует, что множество собственных векторов оператора ~ А, соответствующих одному и тому же собственному числу, образует пространство, которое является подпространством пространства Rn.

Докажем теорему о существовании собственного вектора.

Теорема. В комплексном линейном пространстве Rn каждый ~ линейный оператор А имеет, по крайней мере, один собственный вектор.

~ Доказательство. Пусть А - линейный оператор, заданный в пространстве Rn, а x - собственный вектор этого оператора с ~ собственным числом, т.е. А(x) = x. Выберем произвольный базис е1, е2,..., еn и обозначим координаты вектора x в этом базисе через ~ х1, х2,..., хn. Тогда, если A = (aij )n,n - матрица оператора в базисе А е1, е2,..., еn, то, записывая соотношение в матричной форме, получим AX = EX или (A - E)X = (6.3.1) где X = {x1, x2,..., xn}T.

В координатной форме матричное уравнение (6.3.1) имеет вид (a11 - )x1 + a12x2 +... + a1n xn = 0, a21x1 + (a22 - )x2 +... + a2nxn = 0, (6.3.2)......................................................

an1x1 + an2x2 +... + (ann - )xn = 0.

Для отыскания собственного вектора необходимо найти ненулевые решения системы (6.3.2), которые существуют тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю, т.е. когда | A - E |= 0.

~ Отсюда следует, что собственное число линейного оператора А является его характеристическим числом, которое всегда существует.

Подставляя это число в систему (6.3.2), найдет ненулевое решение этой системы, которое определяет искомый собственный вектор. Теорема доказана.

Из данной теоремы следует, что нахождение собственного числа ~ линейного оператора и соответствующего ему собственного вектора А x сводится к решению характеристического уравнения | A - E |= 0.

Пусть 1,2,...,m (m n) - различные корни характеристического уравнения. Подставив какой-нибудь корень i в систему (6.3.2), найдем все ее линейно независимые решения, которые и определяют собственные векторы, соответствующие собственному числу i. Если ранг матрицы A - iE равен r и r

~ Пример. Найти собственные векторы линейного оператора, А заданного матрицей 2 1 A = 2 1.

1 1 Решение. Составим характеристическое уравнение 2 - 1 1 2 - 1 = 0, 1 1 2 - или ( -1)2 (4 - ) = 0, откуда 1 = 2 = 1, 3 = 4.

Подставляем корни 1 = 2 = 1, 3 = 4 в систему (6.3.1). Найдем ~ собственные векторы оператора.

А При 1 = 2 = 1 имеем (A - E)X = 1 1 1 x1 x2 = 1 1 1 0.

1 1 1 x Получим однородную систему трех линейных уравнений, из которых только одно (любое) является линейно независимым. Общее решение системы имеет вид x1 = -x2 - x3. Найдем два линейно независимых решения:

x1(1) = (-1,1,0)T, x1(2) = (-1,0,1)T.

Тогда собственные векторы, соответствующие собственным значениям 1 = 2 = 1, имеют вид - - x(1) = с 1 x(2) = с 0,, 0 где с – произвольное действительное число, отличное от нуля.

При 3 = 4 имеем - 2 1 1 x1 1 - 2 1 x2 = 0.

1 1 - 2 x3 Общее решение данной системы имеет вид х1 = х3, х2 = х3, х1 = х Собственный вектор, соответствующий собственному значению 3 = 4, равен x(3) = с1.

Теорема. Пусть собственные значения 1,2,...p ( p n) оператора ~ A попарно различны. Тогда отвечающие им собственные векторы х1, х2,..., хp линейно независимы.

Доказательство. Используем метод индукции по числу переменных. Так как х1 - ненулевой вектор, то при p=1 утверждение теоремы справедливо.

Пусть утверждение теоремы справедливо для m

m+ k хk = (6.3.5) k k= Умножим (6.3.3) на m+1 и вычтем из (6.3.5), получим m+ (6.3.6) (k - m+1)хk = k k = По условию все k,k =1, p, различны, поэтому k - m+1 0.

Система векторов х1, х2,..., хm - линейно независимая. Поэтому из (6.3.6) следует, что 1 = 0,2 = 0,...,m = 0. Тогда из (6.3.3) и из условия, что хm+1 - собственный вектор ( хm+1 0), получаем m+1 = 0. Это означает, что х1, х2,..., хm+1 - система линейно независимых векторов. Индукция проведена. Теорема доказана.

Следствие: если все собственные значения 1,2,...n попарно различны, то отвечающие им собственные векторы х1, х2,..., хn образуют базис пространства Rn.

Теорема. Если в качестве базиса пространства Rn принять n ~ линейно независимых собственных векторов, то оператору A в этом базисе соответствует диагональная матрица 1 0... 0 2....

............

0 0... n Доказательство. Рассмотрим произвольный вектор х Rn и базис, (1) (2) (n) составленный из собственных векторов х, х,..., х этого (1) (2) (n) пространства. Тогда x = x1 х + x2 х +... + xn х, где x1, x2,..., xn - (1) (2) (n) координаты вектора х в базисе х, х,..., х.

~ ~ Применяя к вектору х оператор A, получим y = A(x) или n n ( j) j ~ ~ y = A x x = x A(x ).

j j j=1 j= ( j) j ( j) ~ Так как х, j =1,n, - собственный вектор, то A(х ) = x.

j Тогда n ( j) y = x x (6.3.7) j j j= Из (6.3.7) имеем y1 = 1x1, y2 = 2x2, (6.3.8) ………… yn = nxn.

~ Равенства (6.3.8) означают, что матрица линейного оператора A в (1) (2) (n) базисе х, х,..., х имеет вид 1 0... 0 2....

............

0 0... n Теорема доказана.

~ Определение. Линейный оператор A в пространстве Rn называется оператором простой структуры, если он имеет n линейно независимых собственных векторов.

Очевидно, что операторы простой структуры, и только они, имеют диагональные матрицы в некотором базисе. Этот базис может быть ~ составлен лишь из собственных векторов оператора A. Действие любого оператора простой структуры всегда сводится к «растяжению» координат вектора в данном базисе.

6.4. Задания для самостоятельной работы по главе 6.1. – 6.10. Найти собственные значения и собственные векторы линейных преобразований, заданных в некотором базисе матрицами:

-1 2 0 1 0 - 5 6.1. 5 - 3 3 6.2. 4 4 0 6.3. - 7 - 6 - 9 -1 0 - 2 - 2 1 - 3 3 1 - 3 -12 6.4. - 2 - 6 13 6.5. - 7 8 6.6.

4 10 -19 6 - 7 7 12 - 24 -1 - 4 1 0 0 0 1 0 0 - 5 7 0 0 0 0 0 0 6.7. 1 - 4 9 6.8. 6.9.

0 0 0 0 1 0 0 - 4 0 1 0 0 1 0 0 0 -1 0 1 1 0 6.10.

3 0 5 - 4 -1 3 - 6.11. Доказать, что собственные векторы линейного преобразования, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

6.12. Пусть x - собственный вектор линейного преобразования, принадлежащий собственному значению, и f (t) - функция, для которой преобразование f () имеет смысл (если в некотором базисе имеет матрицу А, то f () определяется в том же базисе матрицей f (A), причем можно доказать, что f () не зависит от выбора базиса).

Доказать, что тот же вектор x будет собственным вектором преобразования f (), принадлежащим собственному значению f ().

6.13. Пусть x - собственный вектор линейного преобразования, принадлежащий собственному значению, и f (t) - многочлен.

Доказать, что тот же вектор x будет собственным вектором преобразования f (), принадлежащим собственному значению f ().

Иными словами, доказать, что из x = x следует f ()x = f ()x.

6.14. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, являющегося дифференцированием многочленов степени n с вещественными коэффициентами.

6.15. Даны векторы p1 = (1, 1, 1), p2 = (1, 2, 1), p3 = (3, 2, 1), p4 = (0, 2, 2), где p1, p2, p3 образуют новый базис, в базисе e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1).

Найти связь между новым и старым базисом. Найти координаты вектора p4 в новом базисе.

ГЛАВА 7. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 7.1. Определение квадратичной формы Определение. Квадратичной формой от n неизвестных х1, х2,..., хn называется алгебраическая сумма, каждый член которой является либо квадратом одного из неизвестных, либо произведением двух различных неизвестных.

В общем виде квадратичная сумма может быть записана следующим образом:

2 2 f (х1, х2,..., хn ) = a11x1 + a12x1 x2 +... + a1nx1xn + a22x2 +... + a2n x2xn +... + ann xn Коэффициенты aij в этой записи образуют треугольную матрицу.

Однако эта форма записи неудобна.

Запишем f (x) в следующем виде:

f (х1, х2,..., хn) = с11x1 + с12x1 x2 +... + с1nx1xn + + с21x2x1 + с22x2 + +... + c2nx2xn + +................................................ + + cn1xnx1 + cn2xnx2 +... + cnnxn где сij = с. Такую запись квадратичной формы назовем ji правильной. Матрица С = (сij )n,n называется матрицей квадратичной формы. Очевидно, что С – симметрическая матрица.

Квадратичная форма может быть записана более компактно, если использовать матричные обозначения. Вынося х1 из первой строки записи, х2 - из второй, …, хn - из последней, получим f (х1, х2,..

x1(с11x1 + с12x2 +... + с1nxn ) + + x2(с21x1 + с22x2 +... + c2nxn ) + +............................................. + + xn (cn1x1 + cn2x2 +... + cnnxn ) = c11c12...c1n x c21c22...c2n x2 T = (x1, x2,..., xn) = X CX.

................. :

c cn2...cnn xn n1 Таким образом, квадратичная форма в матричной записи имеет вид T f (х1, х2,..., хn ) = X CX, T где X = (х1, х2,..., хn ), С - симметрическая квадратная матрица порядка n, коэффициент сii,i = 1, n которой равен коэффициенту при xi2, а коэффициент сij = с,i j;

i, j =1,n, половине коэффициента при ji произведении хi х.

j Квадратичную форму f (х1, х2,..., хn ) можно представить и в виде скалярного произведения векторов. Для этого введем x = (х1, х2,..., хn ).

Тогда f (x) = (x,Cx).

Пример. Представить квадратичную форму 2 2 f (x) = 2x1 + 3x2 - 4x3 + 2x1x2 - x1x3 + 4x2x3 в виде скалярного произведения векторов.

Решение. Очевидно, что x 2 1 x,C = 1 3 22.

x = M - 1 2 - xn Тогда 2 1 - f (x) = x, 1 3 2 x.

- 1 2 - 7.2. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме T Пусть в квадратичной форме f (x) = X CX делается линейное преобразование переменных х1, х2,..., хn :

n хi = y,i =1,n, b ij j j=1.

с матрицей B = (bij )n,n В результате данного преобразования будет получена квадратичная форма, зависящая от новых переменных y1, y2,..., yn :

T T f ( y1, y2,..., yn ) = (Y BT )C(BY ) = Y (BTCB)Y.

Покажем, что квадратичная форма f ( y1, y2,..., yn ) автоматически получается правильно записанной. Для этого достаточно убедиться в том, что матрица BTCB симметрична. Действительно, (BTCB)T = BT (BTC)T = BTCT (BT )T = BTCB.

Откуда следует симметричность матрицы BTCB.

Пример. Осуществить над квадратичной формой 2 f (x) = 2x1 - 4x1x2 + 3x2 линейное преобразование, заданное матрицей 1 B =.

3 Решение. Переменные х1, х2 матрицей В преобразуются в переменные y1, y2. Связь между переменными выражается матричным уравнением x1 1 2 y =, 3 4 y x откуда х1 = y1 + 2y2, х2 = 3y1 + 4y2.

В квадратичную форму f (x) вместо переменных х1 и х подставим их выражения через переменные y1 и y2. Получим квадратичную форму f (y1, y2) = 2( y1 + 2y2)2 - 4( y1 + 2y2)(3y1 + 4y2) + 3(3y1 + 4y2) = 2 =17 y1 + 40y1y2 + 24y2.

Определение. Квадратичная форма имеет канонический вид, если матрица С диагональна.

Из данного определения следует, что квадратичная форма в каноническом виде содержит только квадраты переменных и имеет вид 2 2 f (x) = c11x1 + c22x2 +... + cnnxn.

Нормальным видом квадратичной формы называется сумма квадратов переменных с коэффициентами ±1. Если 2 2 f (y1, y2,..., yn ) = ±d1y1 ± d2 y2 ±... ± dn yn, то положив zi = ± | di |yi, если di 0, zi = yi, если di = 0, 2 2 получим f = ±z1 ± z2 ±... ± zn.

Теорема. Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду.

Доказательство. Обратимся к методу математической индукции по числу переменных. При n=1 квадратичная форма имеет канонический вид: f (x1) = a11x1. Допустим, что для квадратичной формы от числа переменных, меньше чем n, теорема доказана.

Пусть 2 f (х1, х2,..., хn ) = с11x1 + с12x1 x2 +... + с1nx1xn + с21x2x1 + с22x2 + +... + c2nx2xn +.... + cn1xnx1 + cn2xnx2 +... + cnnxn и пусть хотя бы один из коэффициентов сii 0, например с11 0.

сгруппируем все слагаемые, содержащие х1, и вынесем коэффициент с за скобку. Получим 2с12 2с1n 2 f (х1, х2,..., хn ) = с11(x1 + x1 x2 +... + x1xn ) + с22x2 +... + c2nx2xn +.... + с11 с + cn2xn x2 +... + cnnxn Выделим теперь в первой скобке квадрат линейной формы:

с12 с1n с12 с1n f (х1, х2,..., хn ) = с11(x1 + x2 +... + xn )2 - с11( x2 +... + xn )2 + с11 с11 с11 с с12 с1n 2 + с22x2 +... + cnnxn = с11(x1 + x2 +... + xn )2 + (х2,..., хn ) с11 с где (х2,..., хn ) - квадратичная форма от n-1 неизвестных х2,..., хn.

Осуществим следующее преобразование:

с12 с1n x1 + x2 +... + xn = у1, с11 с x2 = y2,.............

xn = yn.

или с12 с1n x1 = у1 - y2 -... - yn, x2 = y2,...., xn = yn.

с11 с Данное преобразование задается матрицей с12 с1n -... - с11 с 0 1... В =.

............

0 0... Так как | B | 0, то преобразование является невырожденным.

Форма (y2,..., yn ) зависит от n-1 переменных. В силу индуктивного предположения существует невырожденное линейное преобразование D такое, что y2 = d22z2 +... + d2nzn,.....................................

yn = dn2z2 +... + dnnzn после которого квадратная форма (y2,..., yn ) преобразуется в квадратичную форму (z2,..., zn ). Добавляя к преобразованию еще одну строчку, получим y1 = z1, y2 = d22z2 +... + d2nzn,.....................................

yn = dn2z2 +... + dnnzn / Так как | D | 0, то преобразование Y=DZ невырожденное. В результате получим 2 2 f = d1z1 + d2z2 +... + dnzn.

T Если в квадратичной форме f (х) = X CX с11 = с22 =... = сnn = 0, то в этом случае осуществим линейное преобразование:

х1 = y1,..., хi = yi + y, х = y..., хn = yn.

j j j После данного преобразования член 2сij xi x преобразуется j следующим образом:

2сij xi x = 2сij (yi + y )y = 2сij yi y + 2сij y2.

j j j j j Коэффициент при y2 отличен от нуля: 2сij 0. Теорема доказана.

j Пример. Преобразовать квадратичную форму 2 2 2 f (x) = x1 + 2x1x2 - 2x1x3 + 4x2x3 + x2 + 6x2x4 + x3 - 4x3x4 + 4x к каноническому виду.

Решение. Матрица С квадратичной формы имеет вид 1 1 -1 1 1 0.

С = -1 0 1 - 2 3 - 2 Сгруппируем все члены, содержащие переменные x1 и «выделим полный квадрат»:

2 2 f (x) = (x1 + x2 - x3 + 2x4 )2 - (x2 - x3 + 2x4)2 + x2 + 6x2x4 + x3 - 4x3x4 + 4x4 = = (x1 + x2 - x3 + 2x4)2 + 2x2x3 + 2x2x Осуществим линейное преобразование переменных:

x1 + x2 - x3 + 2x4 = y1, x2 = y2, x3 = y3, x4 = y Выразим неизвестные x1, x2, x3, x4 через y1, y2, y3, y4 :

x1 = y1 - y2 + y3 + 2y4, x2 = y2, x3 = y3, x4 = y4, полученные выражения подставим в квадратичную форму.

Придем к форме f (y1, y2, y3, y4) = y1 + 2y2 y3 + 2y2 y4.

Осуществляя вспомогательное преобразование y1 = z1, y2 = z2, y3 = z2 + z3, y4 = z4, получим:

2 2 f (z1, z2, z3, z4 ) = z1 + 2z2(z2 + z3) + 2z2z4 = z1 + 2z2 + 2z2z3 + 2z2z4.

Выделим полный квадрат в квадратичной форме:

1 1 1 f (z1, z2, z3, z4) = 2(z2 + z3 + z4)2 + 2( z3 + z4)2 = 2 2 2 1 1 1 2 = 2(z2 + z3 + z4)2 - z3 - z3z4 - z 2 2 2 Осуществим линейное преобразование переменных:

1 u1 = z1,u2 = z2 + z3 + z4,u3 = z3,u4 = z 2 и выразим переменные z1, z2, z3, z4 через u1,u2,u3,u4 :

1 z1 = u1, z2 = u2 - u3 - u4, z3 = u3, z4 = u4.

2 После указанных преобразований получим квадратичную форму, зависящую от переменных u1,u2,u3,u4 :

1 1 2 2 2 2 2.

f (u1,u2,u3,u4 ) = u1 + 2u2 - u3 - u3u4 - u4 = u1 + 2u2 - (u3 - u4 ) 2 2 Полагая v1 = u1, v2 = u2, v3 = u3 + u4, v4 = u4 и выражая переменные u1,u2,u3,u4 через v1, v2, v3, v4 получим 2 2 f (v1,v2,v3) = v1 + 2v2 - v3.

Канонический вид квадратичной формы содержит три переменных, а не четыре. Это связано с рангом квадратичной формы.

Определение. Рангом квадратичной формы называется ранг матрицы С. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду означает, что для данной симметрической матрицы С существует такая невырожденная матрица В, что BTCB = D, где D – диагональная матрица.

Из доказательства теоремы следует, что приведение квадратичной формы к каноническому виду может осуществляться бесконечным множеством способов – например, можно сделать произвольную линейную подстановку, а затем приступить к «выделению квадратов».

Поэтому матрицы В и D определяются неоднозначно. Однако число ненулевых элементов матрицы D однозначно определено и равно рангу матрицы С.

7.3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду Теорема (о приведении действительной квадратичной формы к главным осям). Всякая действительная квадратичная форма f (x) некоторым ортогональным преобразованием неизвестных может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство. Применим метод индукции по числу n переменных. При n=1 утверждение очевидно. Допустим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы от n- переменных. Рассмотрим квадратичную форму от n переменных:

T f (х1, х2,..., хn ) = X CX. Пусть x1 = (t11,t21,...,tn1)T - нормированный собственный вектор матрицы С, соответствующий собственному значению 1. Примем x1 за первый столбец ортогональной матрицы t11 t12... t1n t t22... t2n T =.

............

t tn2... tnn n T Матрица преобразованной квадратичной формы есть T CT. Так как первый столбец матрицы Т есть собственный вектор x1, то Cx1 = x1.

Тогда c11t11 + c12t21 +... + c1ntn1 +... 1t11...

c t11 + c22t21 +... + c2ntn1 +... t21...

21 CT = =..........,.............................................

c t11 + cn2t21 +... + cnntn1 +... tn1...

n1 2 2 t11 t12... t1n 1t11... 1...

1(t11 + t21 +... + tn1)...

0...

1(t12t11 + t22t21 +... + tn2tn1)...

t t22... t2n t21...

21 T T CT = = =..........

.................

..........................................

t tn2... tnn tn1... (t1nt11 + t2nt21 +... + tnntn1)... 0...

n1 1 так как столбцы матрицы Т ортогональны и нормированы.

T Матрица T CT симметрична, поэтому имеет вид 1 0... 0 b22... b2n,............

0 bn2... bnn где B = (bij )n,n,i, j = 2,3,...,n - симметричная матрица.

Рассмотрим квадратичную форму с матрицей В. В силу индуктивного предположения найдется ортогональная матрица Q такая, что 2 0... 0 3... QT BQ =.

............

0 0... n Положим 1 Q1 =.

0 Q Матрица Q1 ортогональна, так как ее первый столбец нормирован и ортогонален остальным столбцам, а остальные столбцы попарно ортогональны и нормированы в силу ортогональности матрицы Q. Тогда 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Q1T = = = 0 B 0 QT 0 B0 Q 0 QT B0 Q 1 0... 0 1 0....

1 0 0 2... 0 0 2... и QTT TCTQ = = = 0 QT BQ........................

0 0... n 0 0... n Теорема доказана.

Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, определяется не однозначно. Однако из доказанной теоремы следует, что каково бы ни было ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму -, коэффициенты этого канонического вида равны собственным числам матрицы С, причем каждое собственное число повторяется столько раз, какова его кратность как корня характеристического уравнения.

Пример. Квадратичную форму f = 2x1x2 + 2x1x3 - 2x1x4 - 2x2 x3 + 2x2 x4 + 2x3x привести к каноническому виду.

Решение. Определяем собственные значения матрицы квадратичной формы 0 1 1 - 1 - -1 C =.

1 -1 0 -1 1 1 Характеристическое уравнение имеет вид - 1 1 - 1 - -1 = 0, 1 -1 - -1 1 1 - откуда 1 = 2 = 3 = 1, 4 = -3.

Таким образом, канонический вид квадратичной формы следующий:

2 2 2 f = y1 + y2 + y3 - 3y4.

Найдем ортогональное преобразование, осуществляющее приведение f (x) к каноническому виду.

(i) Решая уравнение (C - iE)X = 0,i =1,4, найдем собственные векторы 1 -1 1, 0,, x(4) = -1.

x(1) = x(2) = x(3) = 0 1 - 0 0 1 Преобразуя данную систему векторов в ортонормируемую систему, получим 2 -,t = 2 -,t3 = t1 = =.

2,t 1 - 2 2 Данная система векторов определяет ортогональную матрицу T = (t1,t2,t3,t4 ) преобразования переменных x, j =1,4, в переменные y, j =1,4. Действительно, Х=ТY, откуда j j - Y = T X = T ' X.

Поэтому y1 = (x1 + x2), y2 = (x1 - x2 + 2x3), y3 = (-x1 + x2 + x3 + x4), 2 y4 = (x1 - x2 - x3 + x4).

7.4. Положительно определенные квадратичные формы Определение. Квадратичная форма называется положительно определенной, если все ее значения при вещественных значениях переменных, не равных одновременно нулю, положительны. Очевидно, 2 2 что квадратичная форма f = x1 + x2 +... + xn положительно определена.

Определение. Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если все ее значения отрицательны, за исключением ненулевого значения при ненулевых значениях переменных.

Определение. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если она не принимает отрицательных (положительных) значений.

Квадратичные формы, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, называются неопределенными.

При n=1 квадратичная форма f = а11x1 либо положительно определена (при а11 > 0), либо отрицательно определена (при а11 < 0).

Неопределенные формы появляются при n 2.

Теорема (критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы). Для того, чтобы квадратичная форма 2 f (х1, х2,..., хn ) = с11x1 + с12x1 x2 +... + с1nx1xn + с21x2x1 + с22x2 +... + c2nx2xn +.... + cn1xnx1 + cn2xnx2 +... + cnnxn была положительно определена, необходимо и достаточно выполнение условий:

c11....c1k c11 c 1 = с11 > 0, 2 = > 0,..., k =............ > 0,..., n =| c |> 0.

c21 c ck1...ckk Доказательство. Используем индукцию по числу переменных, входящих в f (x). Для квадратичной формы, зависящей от одной переменной x1, f (x1) = а11x1 и утверждение теоремы очевидно.

Положим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы f (x), зависящей от n-1 переменных x1, x2,..., xn-1.

1. Доказательство необходимости. Пусть n-1n-1 n f (x) = c xi x + 2c xi xn - cnnxn ij j in i=1 j=1 i= положительно определена. Тогда квадратичная форма n-1 n- (x1, x2,..., xn-1) = c xi x ij j i=1 j= будет положительно определенной, так как если (x') 0 при x'= (x1, x2,..., xn-1), то при x = (x1, x2,..., xn-1,0) f (x) 0.

По предположению индукции все главные миноры формы (x') положительны, т.е.

c11....c1,n- c11 c 1 = с11 > 0,2 = > 0,...,n-1 =............ > 0.

c21 c cn-1,1...cn-1,n- Остается доказать, что n =| c |> 0.

Положительно определенная квадратичная форма f (x) невырожденным линейным преобразованием Х=ВY приводится к каноническому виду 2 2 f (y) = d1y1 + d2 y2 +... + dn yn,где d1 > 0,d2 > 0,...,dn > 0.

Квадратичной форме f (y) соответствует диагональная матрица d1 0... 0 d2... D =............

0 0... dn с определителем | D |> 0.

Линейное преобразование, заданное невырожденной матрицей В, преобразует матрицу С квадратичной формы в матрицу D = BTCB, откуда | D |=| BT | | C | | B |=| C | | B |2. Но так как | B | 0 и | D |> 0, то | c |= n > 0.

2. Доказательство достаточности. Предположим, что все главные миноры квадратичной формы положительны:

1 > 0,2 > 0,...,n-1 > 0,n =| c |> 0.

Докажем, что квадратичная форма f (x) положительно определена. Из предположения индукции вытекает положительная определенность квадратичной формы (x1, x2,..., xn-1). Поэтому (x1, x2,..., xn-1) невырожденным линейным преобразованием 2 2 приводится к нормальному виду ( y1, y2,..., yn-1) = y1 + y2 +... + yn-1.

Сделав соответствующую замену переменных x1, x2,..., xn-1 и положив xn = yn, получим n-1 n f ( y1, y2,..., yn ) = yi2 + 2 yi yn + cnn yn, b in i=1 i= где bin,i =1,2,...,n -1 - какие-то новые коэффициенты.

Осуществляя замену переменных zi = yi + bin yn,i =1,n -1, zn = yn, получим n- f (z1, z2,..., zn ) = zi2 + dn zn.

i= Определитель матрицы этой квадратичной формы равен dn, а так как знак его совпадает со знаком n, то dn > 0, и, значит, квадратичная форма f (x1, x2,..., xn ) - положительно определена. Теорема доказана.

Для того чтобы квадратичная форма f (x) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы n n - f (x) = (-c )xi x ij j i=1 j= была положительно определенной, а значит, чтобы все главные миноры матрицы - с11 - с12... - с1n - с21 - с22... - с2n............

- сn1 - сn2... - сnn были положительны. Но это означает, что c11 c12 c c11 c 1 = с11 < 0,2 = > 0,3 = c21 c22 c23 < 0,...

c21 c c31 c32 c т.е. что знаки главных миноров матрицы C чередуются, начиная со знака минус.

Пример. Вычислить, является ли квадратичная форма положительно (отрицательно) определенной или неопределенной.

2 2 а) f = 2x1 + x2 + 11x3 - 2x1 x2 + 4x1x3 - 6x2x3.

Решение. Матрица квадратичной формы f имеет вид:

-1 С = -1 1 - 3.

2 - 3 Вычислим главные миноры матрицы С:

2 -1 2 - 1 = 2 > 0,2 = =1 > 0,3 = -1 1 - 3 =1 > 0.

-1 2 - 3 Квадратичная форма положительно определена.

2 2 б) f = 3x1 + x2 + 5x3 + 4x1 x2 - 8x1x3 - 4x2x3.

Решение. Вычислим главные миноры матрицы 3 2 - С = 2 1 - - 4 - 2 3 2 - 3 1 = 3 > 0,2 = = -1< 0,3 = 2 1 - 2 = -1< 0.

2 - 4 - 2 Квадратичная форма является неопределенной.

В заключение сформулируем следующую теорему.

Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма невырожденными линейными преобразованиями, не зависит от выбора этих преобразований.

7.5. Задания для самостоятельной работы по главе 7.1. Доказать, что если квадратичная форма с матрицей А положительно определена, то и квадратичная форма с обратной матрицей A-1 положительно определена.

7.2. Найти нормальный вид в области вещественных чисел 2 2 x1 + x2 + 3x3 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3.

7.3. Найти нормальный вид в области вещественных чисел 2 2 x1 - 2x2 + 3x3 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3.

7.4. Найти нормальный вид в области вещественных чисел 2 x1 - 3x3 - 2x1x2 + 2x1x3 - 6x2x3.

7.5. Найти нормальный вид в области вещественных чисел x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4.

7.6. Найти нормальный вид в области вещественных чисел 2 2 x1 + 2x2 + x4 + 4x1x2 + 4x1x3 + 2x1x4 + 2x2x3 + 2x2x4 + 2x3x4.

7.7. Привести квадратичную форму к каноническому виду с целыми коэффициентами 2 2 2x1 + 3x2 + 4x3 - 2x1x2 + 4x1x3 - 3x2x3.

7.8. Привести квадратичную форму к каноническому виду с целыми коэффициентами 2 2 3x1 - 2x2 + 2x3 + 4x1x2 - 3x1x3 - x2x3.

7.9. Привести квадратичную форму к каноническому виду с целыми коэффициентами 2 2 x1 + 2x2 + 3x3 - x1x2 + x1x3 - x2x3.

7.10. Доказать, что в положительно определенной форме все коэффициенты при квадратах неизвестных положительны и что это условие не является достаточным для положительной определенности формы.

7.11. Выяснить, какие из форм эквивалентны между собой в области вещественных чисел 2 2 f1 = x1 - x2x3;

f2 = y1y2 - y3 ;

f3 = z1z2 + z3.

7.12. Выяснить, какие из форм эквивалентны между собой в области вещественных чисел 2 2 f1 = x1 + 4x2 + x3 + 4x1x2 - 2x1x3;

2 2 f2 = y1 + 2y2 - y3 + 4y1y2 - 2y1y3 - 4y2 y3;

2 2 f3 = -4z1 - z2 - z3 - 4z1z2 + 4z1z3 +18z2z3.

7.13. Найти все значения параметра, при которых квадратичная форма положительно определена 2 2 5x1 + x2 + x3 + 4x1x2 - 2x1x3 - 2x2x 7.14. Найти все значения параметра, при которых квадратичная форма положительно определена 2 2 2x1 + x2 + 3x3 + 2x1x2 + 2x1x 7.15. Найти все значения параметра, при которых квадратичная форма положительно определена 2 2 x1 + x2 + 5x3 + 2x1x2 - 2x1x3 + 4x2x ГЛАВА 8. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ 8.1. Алгебраические операции Систематизируем понятие алгебраической операции, с которым мы уже встречались в различных разделах курса математики.

Пусть дано множество М. Говорят, что на М определена бинарная алгебраическая операция, если всякой упорядоченной паре элементов множества М по некоторому закону ставится в соответствие вполне определенный элемент этого же множества.

Примерами бинарных операций на множестве целых чисел являются сложение и умножение. Однако нашему определению не удовлетворяют, например, множество отрицательных целых чисел относительно умножения и множество действительных чисел относительно деления из-за невозможности деления на нуль.

Среди известных бинарных операций, производимых не над числами, отметим векторное умножение векторов пространства, умножение квадратных матриц порядка п, композицию отображений множества X в себя, теоретико-множественное объединение и пересечение множеств.

Как видим, фактическое задание алгебраической операции на множестве может быть произведено различными методами. Возможно также непосредственное перечисление всех результатов операции для конечных множеств. Его удобно описать с помощью так называемой таблицы Кэли. Слева и сверху квадратной таблицы выписывают все элементы множества. На пересечении строки, соответствующей элементу а, и столбца, соответствующего элементу b, записывают результат операции над а и b. Из двух приведенных таблиц Кэли (табл. 8.1. и 8.2.) вторая — таблица для операции конъюнкции на множестве {И, Л}.

Таблица 8.1.

X1 X2 X3 X X1 X1 X2 X3 X X2 X2 X3 X4 X X3 X3 X4 X1 X X4 X4 X1 X2 X Таблица 8.2.

И Л И И Л Л Л Л Будем употреблять следующую терминологию и символику:

операцию называть умножением, а результат применения операции к элементам а и b — произведением ab. Это мультипликативная терминология. Иногда естественнее и удобнее использовать аддитивную терминологию и символику: операцию называть сложением, а результат ее выполнения — суммой а +b элементов а и b.

Если для любых элементов а и b множества М справедливо равенство ab = ba, то операцию называют коммутативной.

Коммутативны, например, сложение и умножение чисел, сложение матриц одного порядка и т. д. Некоммутативными операциями являются векторное произведение векторов, произведение матриц порядка п при n 2 и др.

Если для любых элементов а, b, с множества М справедливо равенство а(bс) = (ab)c, то операцию называют ассоциативной.

Ассоциативны, например, сложение и умножение целых чисел, умножение матриц, композиция отображений, а также операции, определенные таблицами Кэли. Неассоциативной операцией является векторное умножение векторов пространства.

В ряде случаев множество М, на котором определена алгебраическая операция, обладает единичным элементом, т.е. таким элементом е, что ае = еа = а для всех а из М. Единичный элемент единственен, так как если существует еще один элемент е' с этим же свойством, то ее' = е и ее' = е', откуда е = е'. При аддитивной записи единичный элемент называется нулевым и обозначается 0.

На множестве квадратных матриц порядка n единичным элементом относительно операции умножения является единичная матрица, на множестве отображений множества X в себя единичным элементом относительно композиции отображений является тождественное отображение. Число 1 есть единичный элемент множества целых чисел относительно операции умножения, а множество четных чисел не имеет единичного элемента относительно этой операции.

Если операция ассоциативна, то можно однозначно говорить о произведении любого конечного числа элементов, взятых в определенном порядке. Пусть дана упорядоченная система из п элементов множества М: а1, а2,..., аn, в которой некоторым образом расставлены скобки, указывающие на порядок выполнения операции.

Теорема. Если операция, определенная на М, ассоциативна, то результат ее последовательного применения к п элементам множества не зависит от расстановки скобок.

Доказательство проведем индукцией по числу множителей п. Для п = 3 утверждение теоремы следует из закона ассоциативности. Докажем это для п множителей, предполагая, что для меньшего числа множителей утверждение верно. В этом случае достаточно доказать, что для любых k и l, где 1 k, l n-1, (a1...ak)(ak+1...an) = (a1...al)(al+1...an), так как внутри скобок расстановка их несущественна по индуктивному предположению. Для этого покажем, что обе части равенства совпадают с произведением элементов a1,...,an, взятых в следующем фиксированном порядке: (... ((a1a2)a3)... an-1)an (это произведение называется левонормированным произведением элементов a1,..., an). Действительно, при k = п-1 имеем (a1... an-1)an = (... (a1a2)... an-1)an, т.е. левонормиро ванное произведение. При k < п-1 ввиду ассоциативности получаем (а1... ak) (ak+1... an) = (a1... ak) ((аk+1 … an-1)an) = ((a1...ak)(ak+1...an-1)) an = (...((... (a1a2)...ak)ak+1)...an-1)an, т.е. снова имеем левонормированное произведение. К такому же виду приводится и правая часть доказываемого равенства.

В силу теоремы при записи и вычислении произведения а1…an скобки не ставят, а следят только за порядком множителей, и то лишь в случае, если операция некоммутативна. В частности, при a1 = a2 =... = =an = а произведение aa…a обозначают символом an и называют n-й степенью элемента. Если множество М обладает единичным элементом, то полагают а° = е.

Из теоремы вытекают соотношения aman = am+n;

(am)n = anm, m, nЄN.

В аддитивной символике степеням соответствуют кратные na = a + a+...+ а и выполняются соотношения та + па = (т+п)а;

п(та)= (пт)а, т, nЄN.

В следующих параграфах приведем краткое изложение основных понятий теории алгебраических структур (групп, колец и полей).

8.2. Полугруппы и моноиды Множество П с заданной в нем бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой. Полугруппа с единичным элементом называется моноидом (или просто полугруппой с единицей).

Примеры 1. Пусть X — произвольное множество, М(Х)—множество всех отображений X в себя. Тогда относительно операции композиции отображений М (X) — моноид, он некоммутативный. Обозначим его М(Х, О, ех).

2. Множество квадратных матриц порядка п относительно умножения матриц — некоммутативный моноид с единичным элементом — единичной матрицей, а относительно сложения матриц — коммутативный моноид с единичным элементом — нулевой матрицей.

Обозначим их соответственно (Mn(R),•,E), (Mn(R),+,0).

3. Множество целых чисел — коммутативный моноид как относительно сложения, так и умножения. Обозначим их соответственно (Z, +, 0), (Z, •, 1). Множество целых чисел, делящихся на n(n>1),— коммутативная полугруппа без единицы относительно умножения.

Обозначим ее (nZ, •).

4. Пусть A = {a1,..., аn}—конечное множество символов — алфавит.

Конечная последовательность символов называется словом в алфавите А.

На множестве П слов в алфавите А введем бинарную операцию— «приписывание», т.е. если a = ai...ai b = aj...aj, то ai...ai a...a. Тогда П — j1 je 1 k 1 e 1 k полугруппа. Она называется свободной полугруппой, порожденной множеством А.

5. Множество {X1, X2, Х3, Х4} относительно операции, заданной таблицей Кэли (см. табл. 8.1.),— коммутативный моноид, единичный элемент которого Х1.

Подмножество П' полугруппы П называется подполугруппой, если аbЄП' для всех а, bЄП'. В этом случае говорят также, что подмножество П' замкнуто относительно рассматриваемой операции. Очевидно, подполугруппа П' сама является полугруппой относительно операции в П.

Если М — моноид и подмножество М' не только замкнуто относительно операции, но и содержит единичный элемент, то М' называется подмоноидом М.

Например, множество чисел, кратных п, — подполугруппа в полугруппе целых чисел относительно умножения (Z, •, 1) и подмоноид в (Z, +,0). В полугруппе П слов в алфавите А подмножество слов в алфавите А А также подполугруппа.

Элемент а моноида М с единичным элементом е называется обратимым, если для некоторого элемента b выполняется равенство ab=ba=e. Элемент b называется обратным а и обозначается a-1. Обратный элемент единственен. Действительно, если еще и ab'=b'a=e, то b'=eb=(ba)b'=b(ab')=be=b.

Нетрудно видеть, что (а-1)-1=а. Кроме того, если а, b обратимы, то (аb)-1 = b-1a-1, так как (ab) (b-la-1)=a(bb-1)a-1 = аеа-1=аа-1=е, и аналогично (b l a-1) (ab)=e, т. е. элемент ab тоже обратим.

Множество всех обратимых элементов моноида образует подмоноид, так как содержит единичный элемент и замкнуто относительно операции:

если а и b обратимы, то b-la-1 — элемент, обратный ab.

Рассмотрим проблему тождества слов в полугруппах.

Пусть S={s1,...., sn} — подмножество элементов полугруппы П такое, что любой элемент из П может быть представлен как произведение элементов из S. Тогда множество S называется системой образующих полугруппы П. Например, для свободной полугруппы П, порожденной алфавитом A ={a1,..., аn}, само множество А является системой образующих;

для полугруппы целых чисел относительно сложения (Z, +, 0) системой образующих является множество {-1, 1, 0}, а для полугруппы целых чисел относительно умножения (Z, •, 1) образующими являются все простые числа и единица.

Следует заметить, что далеко не все произведения элементов множества S будут различными элементами полугруппы П. В общем случае вопрос о равенстве таких произведений довольно сложен.

Будем рассматривать полугруппы, порожденные конечным множеством своих элементов. Они называются конечно-порожденными.

Можно указать некоторый способ задания полугрупп без использования индивидуальных свойств элементов множества, в котором определена полугрупповая операция, а именно задание полугруппы образующими и определяющими соотношениями.

Каждая полугруппа П может быть задана образующими a1, a2,…, an (8.2.1.) (алфавит полугруппы) и определяющими соотношениями Ai=Bi (i=1, 2,…) (8.2.2.) где Ai и Bi — слова в алфавите (8.2.1.).

Элемент полугруппы, т.е., слово в алфавите (8.2.1), называют словом полугруппы П.

Элементарным преобразованием полугруппы П называется переход от слова вида XAiY к слову XBiY (или обратно), где X,Y, - произвольные слова полугруппы П, а Ai=Bi;

— одно из определяющих соотношений (8.2.2).

Элементарные преобразования представляются в виде схем X Ai YX Bi Y;

X Bi YX Ai Y.

К схемам элементарных преобразований относятся также тавтологические переходы вида ХХ. Графическое совпадение двух слов X и Y обозначают ХY.

Соотношения (8.2.2.) определяют равенство слов в полугруппе П, которое связано с элементарными преобразованиями полугруппы П следующим образом. Два слова X и Y полугруппы П равны в П тогда и только тогда, когда можно указать последовательность элементарных преобразований полугруппы П XX0X1...XiXi+1…XkY, переводящую слово X в слово У.

Для свободной полугруппы с алфавитом (8.2.1.) множество определяющих соотношений пусто;

два слова равны тогда и только тогда, когда они графически совпадают.

Полугруппу (Z, +, 0) целых чисел относительно сложения можно задать образующими {—1, 1, 0} и определяющими (в аддитивной записи) соотношениями:

1+(-1)=0;

(-1) + 1=0.

Проблема тождества слов в полугруппе заключается в следующем:

указать алгоритм, который по любым двум словам устанавливал бы, равны они в полугруппе П или нет. Доказано, что эта проблема алгоритмически неразрешима. Простым примером полугруппы с неразрешимой проблемой тождества слов является полугруппа с образующими а, b, с, d, e и определяющими соотношениями ас=са, ad=da, bс=сb, bd=db, еса=cе, edb=de, сса=ссае.

8.3. Группы: определение и примеры Непустое множество G с одной бинарной алгебраической опера цией называется группой, если выполняются следующие условия:

1) операция в G ассоциативна;

2) в G существует единичный элемент е: еа=ае=а для всех aG;

3) для каждого элемента a существует обратный ему элемент а-1:

aa-1=a-1a=e.

Иными словами, моноид G, все элементы которого обратимы, называется группой.

Если операция в G коммутативна, то группа называется коммутативной или абелевой.

Подмножество HG называется подгруппой в G, если ему принадлежит единичный элемент е, для любых элементов h1, h2H выполняется h1h2H, т. е. Н замкнуто относительно операции, и для любого hH выполняется h-1H Подгруппа HG называется собственной, если Не и HG.

Примеры.

1. Множество целых чисел образует группу целых чисел относительно операции сложения (Z, +, 0). Эта группа коммутативна.

Аналогично множество рациональных и действительных чисел образует соответственно группы относительно сложения (Q, +, 0) и (R;

+, 0).

Подмножество четных чисел образует подгруппу. Подмножество нечетных чисел не образует подгруппу, так как операция сложения выводит из этого множества.

2. Множество целых чисел не образует группу относительно умножения, так как может не существовать обратного элемента. Все отличные от нуля рациональные числа и действительные числа образуют группы относительно умножения, причем коммутативные.

Положительные рациональные и положительные действительные числа образуют подгруппы этих групп.

3. Пусть X—произвольное множество, S(X) — множество всех биективных отображений X в себя. Тогда S(X) — группа относительно операции композиции О. Она называется группой преобразований.

4. Рассмотрим множество Мп квадратных матриц порядка п с определителем, отличным от нуля. Это некоммутативная группа (Mn, •, Е) относительно операции умножения матриц, поскольку каждый элемент имеет обратный — обратную матрицу. Подмножество матриц с определителем, равным 1, образует подгруппу, так как det E=l;

det A = l;

det B=1det AB = l;

det A = ldet A-1=l.

5. Множество элементов {x1, x2, х3, х4} относительно операции, определенной таблицей Кэли (см. табл. 8.1.),— группа. Для элемента х2, например, обратным является элемент x4.

8.4. Циклические группы. Группы подстановок Пусть G —группа, H и F — ее подгруппы. Тогда пересечение D=HF непустое, поскольку оно содержит единичный элемент. D также является подгруппой группы G. Действительно, если элементы а и b принадлежат D, то их произведение и обратные им элементы содержатся как в H, так и в F, и поэтому также принадлежат D. Аналогично доказывается и следующее утверждение.

Теорема. Пересечение любого множества подгрупп группы G само является подгруппой этой группы.

Пусть S — произвольное непустое подмножество группы G.

Рассмотрим всевозможные подгруппы G, которые содержат S в качестве подмножества. Одной из них будет, в частности, сама группа G. В силу теоремы пересечение всех таких подгрупп будет подгруппой G, которая называется подгруппой, порожденной множеством S, и обозначается .

Если множество S состоит из одного элемента а, то порожденная им подгруппа называется циклической подгруппой, порожденной элементом а.

Обозначим (a-1)k=a-k.

Теорема. Циклическая подгруппа <а>, порожденная элементом а, состоит из всех степеней элемента а.

Заметим, что все степени элемента а принадлежат подгруппе <а> и для любого целого k (a-1)-k=ak. С другой стороны, эти степени сами составляют подгруппу, так как aman=am+n, a°=e, а обратным элементу ап является элемент а-n. Действительно, нетрудно доказать, что для любых целых m и п aman=am+n ;

(ат)п=атп.

Для натуральных т и п это следует из свойств операций. Если m<0, n<0, то aman =(a–1) –m(a–1)-n=(a–1)-(m+n)= am+n Если m<0, n>0, то aman =(a–1)-man=(a-1…a-1)(a…a)= -m раз n раз an-(-m), если n-m = =am+n (a-1)-m-n, если n<-m Случай m>0, n>0 аналогичен предыдущему. Доказательство второго равенства предлагается провести самостоятельно.

Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп (т. е. состоящая из степеней одного из своих элементов), называется циклической, а элемент, из степеней которого состоит циклическая группа,— ее образующим. Всякая циклическая группа коммутативна.

Пример.

1. Группа (Z, +, 0) — циклическая. Ее образующий элемент — число 1. Это бесконечная группа. В качестве ее образующего можно взять число 1.

2. Рассмотрим множество квадратных матриц второго порядка с целыми элементами и определителем, равным 1. Это группа относительно операции умножения матриц (покажите сами). Тогда 1 матрица А = порождает бесконечную циклическую подгруппу, при 0 1 n этом An=.

0 Теорема. Всякая подгруппа циклической группы сама циклическая.

Действительно, пусть G = —циклическая группа с образующим элементом а и Н — подгруппа G, отличная от единичной.

Предположим, что положительная наименьшая степень элемента а, содержащаяся в H, есть ak. Тогда < ak > H. Допустим, что в Н содержится элемент аl, где l0 и l не делится на k. Тогда, если d — наибольший общий делитель чисел k и l, существуют такие целые числа и и v, что ku+lv=d, и, следовательно, в H должен содержаться элемент (ak)u(al)v=ad. Но так как d<.k, то приходим к противоречию относительно выбора элемента ak. Следовательно, H=.

Пусть G — произвольная группа, a — некоторый ее элемент. Если все степени элемента а различны, то говорят, что элемент а имеет бесконечный порядок. Если для некоторых т и п, где тп, ат=ап, то a\m-n\=е, т. е. существуют положительные степени элемента а, равные единичному элементу. Пусть q — наименьшее положительное число, для которого аq=е. Тогда говорят, что a — элемент конечного порядка q.

Рассмотрим еще один важный класс групп.

Пусть X—-конечное множество из n элементов. Группа всех биекций множества X в себя называется симметрической группой степени п. Без ограничения общности можно считать, что множество X состоит из элементов {1, 2,..., n}. Каждая биекция :ХХ называется 1 2...n подстановкой и записывается символом, где под элементом k, i i2...in 1kn, записан его образ (k) = ik. Произведением подстановок является композиция отображений ( )(k) = ( (k)).. Например, для подстановок 1234 1234 = и = имеем =. В то же время 4321 2341 =, так что. Единичную (тождественную) подстановку 12...n обозначаем е=. Симметрическая группа степени п обозначается Sn 12...n и содержит n! элементов.

Пример. Группа S3 состоит из следующих шести элементов:

123 123 123 123 123 a1=e=, a2=, a3=, a4=, a5=, a6= 231 132 123 312 Для подстановки = имеем 12345 2 =, =e.

15324 = Тогда (2) =4, (2) =5, (2) =2.

В подстановке элементы 1 и 3 остаются на месте, элемент переходит в 4, элемент 4 — в 5, а элемент 5 — снова в 2. Такая подстановка называется циклом (245) длины 3. Этот же цикл можно записать и так: (452), (524).

В общем случае подстановка, перемещающая элементы j1, j2,…,jk k так, что ( j1) = j2,..., ( jk -1) = jk, ( jk ) = j1(т. е. ( j1) = j1, где k — наименьшее число, обладающее этим свойством), и оставляющая на месте остальные элементы, называется циклом длины k и обозначается (j1,…,jk). Циклы называются независимыми, если любые два из них не имеют общих переставляемых элементов.

Теорема. Каждая подстановка в Sn является произведением независимых циклов. Разложение подстановки в произведение циклов длины 2 определено однозначно с точностью до порядка циклов.

Два элемента i и j множества X называются эквивалентными s относительно подстановки, если j= (i) для некоторого целого числа s. Введенное отношение есть отношение эквивалентности на множестве X. Оно разбивает множество X на классы эквивалентности по этому отношению: X = X1 X... X. Каждый элемент i X принадлежит одному и только одному классу Xl, причем множество Xl состоит из образов элемента i при действии степеней подстановки 2 kl - : X = {i, (i), (i),..., (i)}, где kl – количество элементов в Xl.

l Множество Xl часто называют - орбитами. В каждом классе эквивалентности Xr выберем по одному представителю ir и подставим kr - ему в соответствие цикл = (ir, (ir ),..., (ir )) соответствующей длины r kr. Любой элемент, не принадлежащий Xr, остается на месте при действии степеней. Тогда подстановка есть произведение циклов r = 1... (8.4.1.) Замечание. Если цикл = (ir ) имеет длину 1, то он действует как r тождественная подстановка, Такие циклы в записи можно опускать, например:

=(156)(38)(47)(2)=(156)(38)(47).

Докажем единственность. Пусть = 12...r (8.4.2.) есть разложение, отличное от 8.4.1;

i символ, не остающийся на месте при действии подстановки. Тогда для одного и только одного цикла из разложения (8.4.1) (i) i и для одного и только одного s s цикла t из разложения (8.4.2) t (i) i. Для каждого k =0, 1, 2,... имеем k k k (i) = (i) = t (i). Поскольку цикл однозначно определяется действием s подстановки на символ i, не остающийся на месте, то = t.

s Аналогично доказываются совпадения и остальных циклов разложений (8.4.1) и (8.4.2).

Цикл длины 2 называется транспозицией. Любой цикл можно записать в виде произведения транспозиций, например:

(1 2...t-1 t)=(1 t)(1 t-1)...(1 3)(1 2).

Тогда из теоремы вытекает Следствие. Каждая подстановка в Sn является произведением транспозиций.

Пример. В группе S4 (123)=(13) (12)=(23) (13)=(13) (24) (12) (14).

Разложение в произведение транспозиций не является единственным.

Можно доказать, что если = 1... — разложение в k произведение транспозиций, то число.=(-1)K, называемое четностью подстановки, не зависит от способа разложения и = (8.4.3) для любых двух подстановок и.

Подстановка Sn называется четной, если = 1, и нечетной, если = -1. Все транспозиции – нечетные подстановки.

Множество четных подстановок степени n образуют подгруппу An, которая называется знакопеременной. Действительно, согласно (8.4.3), = 1, если = = 1, и =, поскольку e = 1. Множество нечетных - подстановок не образует группу, так как произведение двух нечетных подстановок есть четная подстановка.

8.5. Кольца: определение, свойства, примеры Непустое множество К, на котором заданы две бинарные операции—сложение (+) и умножение (•), удовлетворяющие условиям:

1) относительно операции сложения К — коммутативнаятруппа;

2) относительно операции умножения К — полугруппа;

3) операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности, т. е. (a+b)с=ас+bс, с(a+b) =ca+cb для всех а, b, cK, называется кольцом (К,+,•).

Структура (К, +) называется аддитивной группой кольца. Если операция умножения коммутативна, т. е. ab=ba. для всех а, b K, то кольцо называется коммутативным.

Если относительно операции умножения существует единичный элемент, который в кольце принято обозначать единицей 1,. то говорят, что К есть кольцо с единицей.

Подмножество L кольца называется подкольцом, если L— подгруппа аддитивной группы кольца и L замкнуто относительно операции умножения, т. е. для всех a, bL выполняется а+bL и abL.

Пересечение подколец будет подкольцом. Тогда, как и в случае групп, подкольцом, порожденным множеством S K, называется пересечение всех подколец К, содержащих S.

Примеры.

1. Множество целых чисел относительно операций умножения и сложения (Z, +, •)—коммутативное кольцо. Множества nZ целых чисел, делящихся на п, будет подкольцом без единицы при п>1.

Аналогично множество рациональных и действительных чисел — коммутативные кольца с единицей.

2. Множество квадратных матриц порядка п относительно операций сложения и умножения матриц есть кольцо с единицей Е — единичной матрицей. При п>1 оно некоммутативное.

3. Пусть K—произвольное коммутативное кольцо. Рассмотрим всевозможные многочлены a0 + a1x + a2 x2 +... + an xn, n 0, с переменной х и коэффициентами а0, а1, а2,..., аn, из К.

Относительно алгебраических операций сложения и умножения многочленов— это коммутативное кольцо. Оно называется кольцом многочленов К[x] от переменной х над кольцом К (например, над кольцом целых, рациональных, действительных чисел). Аналогично определяется кольцо многочленов K[x1,...,хm] от т переменных как кольцо многочленов от одной переменной хт над кольцом K[x1,..., хm-1].

4. Пусть X — произвольное множество, К—произвольное кольцо.

Рассмотрим множество всех функций f: ХК, определенных на множестве X со значениями в К Определим сумму и произведение функций, как обычно, равенствами (f+g)(x)=f(x)+g(x);

(fg)(x)=f(x)g(x), где + и • — операции в кольце К.

Нетрудно проверить, что все условия, входящие в определение кольца, выполняются, и построенное кольцо будет коммутативным, если коммутативно исходное кольцо K. Оно называется кольцом функций на множестве X со значениями в кольце К.

Многие свойства колец — это переформулированные соответствующие свойства групп и полугрупп, например: aman=am+n, (ат)п=атп для всех m, n N и всех a K.

Другие специфические свойства колец моделируют свойства чисел:

1) для всех a K a• 0=0• a=0;

2).(-а)b=а(-b)=-(ab);

3) - a=(-1)a.

Действительно:

1) a + 0 = a a(a + 0) = aa a2 + a • 0 = a2 a2 + a • 0 = a2 + 0 a • 0 = (аналогично 0 • a = 0);

2) 0=a• 0 = a(b - b) = ab + a(-b) a(-b) = -(ab) (аналогично (-a)b=-(ab));

3) используя второе свойство, имеем-a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a.

8.6. Поле В кольцах целых, рациональных и действительных чисел из того, что произведение ab=0, следует, что либо а=0, либо b=0. Но в кольце квадратных матриц порядка n>1 это свойство уже не выполняется, так 0 1 1 0 0 как, например, =.

0 0 0 0 0 Если в кольце К ab=0 при а 0, b 0, то а называется левым, а b — правым делителем нуля. Если в К нет делителей нуля (кроме элемента 0, который является тривиальным делителем нуля), то K называется кольцом без делителей нуля.

Пример.

1. В кольце функции f: RR на множестве действительных чисел R рассмотрим функции f1(x)=|x|+x;

f2(x) =|x|-x. Для них f1(x)=0 при x и f2(x)=0 при x 0, а поэтому произведение f1(x) f2(x) — нулевая функция, хотя f1(x) 0 и f2(x) 0. Следовательно, в этом кольце есть делители нуля.

2. Рассмотрим множество пар целых чисел (а, b), в котором заданы операции сложения и умножения:

(a1, b1)+(a2, b2)=(a1+a2, b1+b2);

(a1, b1)(a2, b2)= (a1a2, b1b2).

Это множество образует коммутативное кольцо с единицей (1,1) и делителями нуля, так как (1,0)(0,1)=(0,0).

Если в кольце нет делителей нуля, то в нем выполняется закон сокращения, т. е. ab=ac, а 0 b =с. Действительно, ab-ac=0 a(b-c)= (b-c)=0 b=c.

Пусть К — кольцо, с единицей. Элемент а называется обратимым, если существует такой элемент а-1, для которого aa-1=a-1a=1.

Обратимый элемент не может быть делителем нуля, так как. если ab=0, то a-1(ab) =0 (a-1a)b=0 1b=0 b=0 (аналогично ba=0 b = 0 ).

Теорема. Все обратимые элементы кольца К с единицей образуют группу относительно умножения.

Действительно, умножение в К ассоциативно, единица содержится во множестве обратимых элементов и произведение не выводит из множества обратимых элементов, так как если а и b обратимы, то (аb)-1=b-1a-1.

Важную алгебраическую структуру образуют коммутативные кольца К, в которых каждый ненулевой элемент обратим,, т. е.

относительно операции умножения множество K\{0} образует группу. В таких кольцах определены три операции: сложение, умножение и деление.

Коммутативное кольцо Р с единицей 1 0, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется полем.

Относительно умножения все отличные от нуля элементы поля образуют группу, которая называется мультипликативной группой поля.

a Произведение аb-1 записывается в виде дроби и имеет смысл b a лишь при b 0. Элемент является единственным решением уравнения b bx=a. Действия с дробями подчиняются привычным для нас правилам:

a c a c ad + bc = ad = bc, b, d 0;

+ =, b, d 0;

b d b d bd a - a a a c ac - = =, b 0;

=, b, d 0;

b b - b b d bd - a b =, a, b 0.

b a a c Докажем, например, второе из них. Пусть х= и у= - решения b d уравнений bx=a, dy=c. Из этих уравнений следует dbx=da, da + bc bdy=bc bd(x+y)=da+bc t= - единственное решение уравнения bd bdt=da+bc.

Пример.

1. Кольцо целых чисел не образует поля. Полем является множество рациональных и множество действительных чисел.

8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8.1. Определить, является ли операция нахождения скалярного произведения векторов n-мерного евклидового пространства коммутативной и ассоциативной. Обосновать ответ.

8.2. Определить, является ли множество квадратных матриц порядка n относительно операции умножения матриц, группой или моноидом.

8.3. Указать, какие из следующих множеств образуют группу относительно операции умножения:

а) множество целых чисел;

б) множество рациональных чисел;

в) множество действительных чисел, отличных от нуля.

8.4. Определить, какие из следующих структур образует множество квадратных матриц порядка n с определителем, равным единице: относительно обычных операций сложения и умножения матриц:

а) группу;

б) кольцо;

в) поле.

8.5. Указать, какую структуру образует множество целых чисел относительно операции умножения и сложения:

а) некоммутативное кольцо;

б) коммутативное кольцо;

в) поле.

8.6. Какую из перечисленных ниже структур образует множество a b матриц вида с действительными a и b относительно обычных 2b a операций сложения и умножения матриц:

а) кольцо;

б) поле.

8.7. Какое число нужно исключить из множества действительных чисел, чтобы оставшиеся числа образовывали группу относительно обычной операции умножения:

а) –1;

б) 1;

в) 0.

8.8. Выяснить, какую из следующих структур образует множество, состоящее из двух элементов a и e, с бинарной операцией, определенной следующим образом:

ee=e, ea=a, ae=a, aa=e.

а) группу;

б) абелеву группу.

8.9. Являются ли кольцом четные числа относительно обычных операций сложения и умножения? Обосновать ответ.

8.10. Является ли кольцом совокупность чисел вида a+b 2, где a и b – любые рациональные числа, относительно операций сложения и умножения? Ответ обосновать.

ГЛАВА 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Теория чисел занимается, в основном, изучением свойств целых чисел. Целыми числами называются числа Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}.

Для любых a, в Є Z, a + в – сумма, разность а – в и произведение a aв являются целыми числами. Но частное от деления а на в (если в не в равно нулю) может быть как целым, так и не целым. В случае, когда a частное являются целым, то обозначают а = вq, где q – целое число, а b в тогда называют делителем числа а и записывают так: в\а. В общем случае единственным является представление а = вq + r, о r < в, где r называют остатком от деления.

9.1. Наибольший общий делитель В дальнейшем будем рассматривать лишь положительные делители чисел. Всякое целое, делящее одновременно целые а, в,..., с называется их общим делителем. Наибольший из общих делителей называется наибольшим общим делителем (НОД) и обозначается (а, в...

с). Если (а, в... с) = 1, то а, в,... с называются взаимно простыми.

Например, (10, 15) = 5, (8, 21) = 1.

Свойства наибольшего общего делителя 1. Если а= вq, то (а, в) = в.

2. Если а =вq + r, тогда общие делители чисел a и в суть те же, что и общие делители чисел в и r, в частности, (а, в) = (в, r).

3. Для определения наибольшего общего делителя применяется алгоритм Евклида. Он состоит в следующем. Пусть а и в – положительные целые числа и а > в. Составим ряд равенств:

a = вq1+ r2 o < r2 < в в = r2q2+ r3 o < r3 < r2 (9.1.1) r2 = r3q3+ r4 o < r4 < r ……………………………………… rn-2 = rn-1 qn-1 + rn o < rn < rn- rn-1 = rnqn, заканчивающийся, когда получается некоторое rn+1 = 0. Последнее неизбежно случится, так как ряд в, r2, r3, убывающих целых чисел не может содержать более в положительных.

4. Из формул (9.1.1) алгоритма Евклида следует, что (а, в) = (в, r2) = (r2, r3) = … = (r n-1, rn) = rn.

Наибольший общий делитель равен последнему не равному нулю остатку алгоритма Евклида.

5. Из формул алгоритма Евклида следует также, что существуют целые t1 и t2, что t1 a1 + t2 в = rn.

В частности, если (а,в)=1, то t1 а + t2в=1.

Пример найдем (525, 231).

525 = 231·2 + 231 = 63·3 + 63 = 42·1 + 42 = 21· Последний остаток есть 21, значит, НОД = (525, 231,) = 9.2. Наибольшее общее кратное Всякое целое, кратное всех данных чисел, называется их общим кратным. Наименьшее положительное общее кратное называется наименьшим общим кратным (НОК). Наименьшее общее кратное двух чисел а и в равно их произведению деленному на их общий делитель, ab т.е.

(a,b) 9.3. Простые числа 1. Число 1 имеет только один положительный делитель, именно 1.

В этом отношении число 1 в ряде натуральных чисел стоит совершенно особо. Всякое целое, больше 1, имеет не менее двух делителей, именно и самого себя;

если других делителей нет, то число называется простым. Целое, больше 1, имеющее кроме 1 и самого себя другие положительные делители, называют составным.

2. Наименьший, отличный от единицы, делитель целого большего единицы, есть число простое. В противном случае, можно было бы выбрать делитель еще меньше.

3. Наименьший отличный от единицы делитель (он будет простым) составного числа а не превосходит a. Действительно, пусть q – именно этот делитель, тогда а= qв и в q (q – наименьший делитель), откуда a q или q a.

4. Простых чисел бесконечно много. Это следует из того, что каковы бы ни были различные простые числа р1, р2, р3 ….. рк, можно получить новое простое, среди них не находящееся. Таковым будет простой делитель суммы p1 p2 ….. pk+1, который, деля всю сумму, не может совпадать ни с одним из простых р1, р2, …, рк.

5. Решето Эрастофена для составления таблицы простых чисел.

Данный способ состоит в следующем.

Выписываем числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ….., N Первое, большее 1, число этого ряда есть 2. Оно делится только на себя и на 1 и, следовательно, оно простое. Вычеркиваем из ряда (как составные) все числа, кратные 2, кроме самого себя.

Первое, следующее за 2 не вычеркнутое число есть 3 – оно также будет простым. С ним, как и с числом 2, проделываем ту же процедуру и т.д. Если указанным способом уже вычеркнуты все числа, кратные простым, меньшим p ( a < p), то все не вычеркнутые, меньшие p, будут простые.

Составление таблицы простых чисел, не превосходящих N, закончено, как только вычеркнуты все составные, кратные простых, не превосходящих N.

9.4. Сравнения и классы вычетов Два целых числа а и в называются сравнимыми по модулю n (n – натуральное), если а-в делится на n без остатка. Это записывается так а в (mod n) (9.4.1) n – называется модулем сравнения (2.4.1). Например, 35= (mod 11), 25-11 (mod 9).

Запись а0 (mod n), означает, что само а делится на n, т.е. а=kn.

Зафиксировав некоторый модуль сравнения n, можно всякое натуральное с представить в виде:

с=kn + r, (9.4.2.) где k – частное от деления n, а r – остаток, совпадающий с одним из чисел 0, 1, 2,…, n-1 (9.4.3) Остаток r называют вычетом числа с по модулю n. Заметим, что запись вида (9.4.2.), где 0 r n-1 допускает не только натуральные, но и любые числа.

Очевидно, из равенства (9.4.2) следует, что с r (mod n), т.е.

всякое число сравнимо со своим остатком (вычетом) по модулю n. Пусть а и в два произвольных числа, записанных в виде (9.4.2):

а=к1 n+r1 в = к2n+ r Каждый из остатков r1 и r2 – это одно из чисел (9.4.3), поэтому их разность может делиться на n лишь в одном случае, когда r1=r2. Но тогда и разность a-в = (к1 – к2)n + r1 – r2 может делиться на n тогда и только тогда, когда r1=r2. Отсюда следует, что а в имеют одинаковые остатки при делении на n.

В теории чисел доказывается ряд свойств сравнений, во многом аналогичных свойствам обычным равенств.

Подобно тому, как мы это делаем с равенствами, сравнения по одинаковому модулю можно складывать и перемножить и т.д. (Так, перемножив сравнения 17 5 (mod 4) и 7 3 (mod 4), получим, как нетрудно убедиться верное сравнения 119=15 (mod 4). Вообще, если ав1, а2 в2, то а1+ а2 в1+в2, а1а2 в1+в2.

Значение этих свойств заключается в том, что при рассмотрении вопросов делимости чисел и различных числовых арифметических выражений мы можем входящие в эти выражения числа заменять на другие, сравнимые с ним по данному модулю n;

в частности, каждое число может быть заменено своим вычетом. Проиллюстрируем сказанное следующей задачей.

Доказать, что число (2002)k + (2003)k при любом нечетном натуральном к делится на 3.

Замечаем, что 2002 1 (mod 3), 2003 2 (mod 3). Заменяя в исходном выражении числа 2002 и 2003 их вычетами по модулю 3, получаем (2002)k + (2003)k 1k + 2k (mod 3).

Следовательно, левая часть сравнения делится на 3 тогда и только тогда, когда на 3 делится сумма 1+2k. Для степеней двойки имеет:

22 1, 23 2, 24 1, 25 2, и т.д.

Вообще, применяя индукцию по к, убеждаемся, что 2k 1 при к четном и 2k 2 при к нечетном. Таким образом при нечетном к 1+2k 1+20 (mod 3) т.е., если к нечетно, то исходное выражение делится на 3.

В разобранной задаче числа 2002 и 2003 могли бы быть заменены любыми числами а и в, дающим при делении на 3 остатки соответственно 1 и 2.

Ни утверждение задачи, ни способ его доказательства от этого не изменились бы. Таким образом, в некоторых вопросах все числа, имеющие один и тот же вычет r по модулю n, и, следовательно, сравнимые между собой по этому модулю, оказывается взаимозаменяемыми. Объединим все их в один класс, обозначаемый r :

r = {с | с r (mod n) } Иными словами, класс состоит из всех тех целых числе, которые записываются в виде (9.4.2.). Класс, определяемый равенством (9.4.4) называется классом вычетов.

Каждому вычету 0, 1, 2,..., n-1, отвечает свой класс вычетов, так что имеется ровно n различных классов вычетов.

0,1,2,..., n -1, (9.4.5) Ясно, что эти классы попарно не пересекаются и каждое целое число попадает ровно в один класс.

Мы обнаруживаем, далее, что используя операции сложения и умножения чисел, можно производить аналогичные операции и над классами вычетов.

В самом деле, пусть - r и r два класса вычетов. Выберем любые 1 два числа из этих классов: a1 r и a2 r. Пусть оказалось, что сума а1 + 1 а2 имеет вычет r, а произведение а1 а2 – вычет s:

а + а2 r1 и а1 + а2 s.

Тогда будем считать, что «сумма» классов r и r равна r, а их 1 «произведение» равно s :

Законность этого определения обосновывается тем, что класс, которому принадлежит сумма а1+а2 (соответственно произведение а1а2) не r1 + r2 = r, r1 r2 = s.

зависит от выборки элементов а1 и а2 в классах r и r.

1 Поясним данное определение на примере, взяв за модуль сравнения n=2. В этом случае имеем два класса вычетов - 0 и 1 и операции над ними выглядят так:

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 0 = 0 0 1 = 1 0 = 0 1 1 = Часто, когда это не вызывает путаницы в обозначениях классов вычетов, опускают черту.

Выпишем, например, таблицы умножения и сложения классов по модулю 4 в этих упрощенных обозначениях:

+ 0 1 2 * 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1 2 3 1 0 1 2 2 2 3 0 2 0 2 0 3 3 0 1 3 0 3 2 Эти таблицы можно понимать и буквально, считая, что они определяют две операции на множестве {0, 1, 2, 3} – сложение и умножение по модулю 4.

9.5. Функция Эйлера Определение: Функция Эйлера (m) определяется для всех целых положительных m и равна количеству чисел ряда 1, 2,..., m-1, взаимно простых с m, где число 1 полагается взаимно простым с любым из чисел и (1)=1.

Примеры: (1)=1, (2)=1, (3)=2, (4)=2, (5)=4, (6)=2.

Функция Эйлера обладает рядом свойств, позволяющих получать важные результаты в исследованиях по теории чисел.

9.6. Функция Мебиуса Определение. Функция Мебиуса µ(n) определяется для всех целых положительных n и равна 1, если n=1, µ(n)= 0, если n= p1a 1p2a 2 …pka k и > 1, i (-1)k, если n=p1p2…pk, где 1 2 k p1 p2...p k разложение на простые множители, pi – простые числа, i – кратность pi в разложении.

Примеры.

µ (1) = 1, µ (2) = -1, µ (3) = -1, µ (4) = 0, µ (5) = -1, µ (6) = 1, µ (7) = -1.

Функция Мебиуса применяется в исследованиях по теории чисел.

9.7. Задания для самостоятельной работы по главе 1. Найти (343;

667) алгоритмом Евклида.

2. Найти (285;

437) алгоритмом Евклида.

3. Найти (255;

391) алгоритмом Евклида.

4. Проиллюстрировать решето Эрастофена для составления таблицы простых числе ряда: 1, 2,....50.

5. Проиллюстрировать решето Эрастофена для составления таблицы простых чисел ряда:

1, 2,.......100.

6. Доказать следующие свойства сравнений:

аа (mod m) – свойство рефлексивности, ав (mod m) > ва (mod m) – свойство симметричности, ав (mod m), вс (mod m) > ac (mod m) – свойство транзитивности.

7. Доказать свойство сравнений:

ав (mod m) > (a, m)=(в, т).

8. Доказать свойство сравнений:

ав (mod m), cd (mod m) > a+cв+d (mod m).

9. Используя свойства вычетов и сравнений, доказать что (2003)2к + (2004)2к при делении на 3 дает в остатке 1,а (2003)2к+1 + (2004)2к+1 при делении на 3 дает в остатке 2.

10. Используя свойства вычетов и сравнений, доказать, что 2003)2к + (2004)2к при делении на 4 дает в остатке 3,а (2003)2к+1 + (2004)2к+1 при делении на 4 дает в остатке 1.

11. Найти значения функции Эйлера:

(7), (8), (9), (10).

12. Найти значения функции Мебиуса:

µ(8), µ(9), µ(10), µ(11) Список литературы 1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968.

2. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1971.

3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. – М.: Наука, 1984.

4. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1975.

5. Блох Э.Л, Лошинский Л.И., Турин В.Я. Основы линейной алгебры и некоторые ее приложения. – М.: Высшая школа, 1971.

6. Воеводин В.В. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.

7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М., 1974.

8. Демидович Б.П. и Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966.

9. Проскуряков И.В., Сборник задач по линейной алгебре. – М.:

Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

10. Алферова З.В., Матричная алгебра. – М.: МЭСИ, 1997.

11. Линейная алгебра: учебное пособие / Балюкевич Э.Л., Горбовцов Г.Я., Громенко Т.С., Ковалева Л.Ф., Мокеева И.К.;

Моск.

эконом.-стат. ин-т. – М., 1988.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.