WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

«ФОНДОВАЯ БИРЖА РТС А.Н. Балабушкин ОПЦИОНЫ и ФЬЮЧЕРСЫ Методическое пособие ПРЕДИСЛОВИЕ Данная книга содержит базовые сведения по фьючерсам и опционам, которые иллюстрируются конкретными примерами. ...»

-- [ Страница 2 ] --

6.3. МОДИФИКАЦИИ ФОРМУЛЫ БЛЭКА-ШОУЛСА Европейский опцион колл на дивидендную акцию В предположениях относительно дивидендов по акции, при которых получена формула (4.2), в формуле Блэка-Шоулса необходимо заменить S на Sдив.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Европейский опцион колл на валюту Формула для Cвес - европейского опциона колл на валюту - получается из (6.1) заменой выражения rT ( r - rв )T Se на Se (см. (4.3)).

Европейский опцион колл на фьючерс с уплатой премии rT Формула Блэка для Cфес отличается от (6.1) заменой выражения Se на F - текущую фьючерсную котировку. Если при этом сроки истечения действия фьючерсного контракта и опциона не совпадают, то в формулу, как обычно, следует подставлять оставшееся время существования опциона.

Европейский опцион колл на фьючерс без уплаты премии В соответствии с предыдущим пунктом и соотношением (4.4) формула для Cфеб имеет вид:

феб C = FN (d1 ) - EN (d ), (6.2) где E - страйк, F - текущая фьючерсная котировка, F F 2 ln + 0.5 T ln - 0.5 T E E.

d1 =, d2 = T T Таким образом, Cфеб отличается от Cфес отсутствием дисконтирующего множителя e-rT перед всем выражением.

6.4. ЕВРОПЕЙСКИЙ ОПЦИОН ПУТ В разделе 5.1 получена однозначная связь (5.6) стоимостей европейских опционов колл и пут на бездивидендную акцию на одном страйке, причем это соотношение не зависит от модели движения цены.

Это выражение легко переносится на все остальные варианты европейских опционов с уплатой премии заменой SerT на соответствующие выражения аналогично тому, как это было сделано для опциона колл в предыдущем разделе.

Для опциона на фьючерс это тождество можно интерпретировать как невозможность получения арбитражной прибыли за счет конверсии или реверсии (см. раздел 2.7, а также главу 11). Действительно, в случае реверсии сумма, получаемая в день экспирации, равна F - E, следовательно, в момент t = 0 эта позиция должна стоить e-rT[F - E].

Для европейского опциона на фьючерс без уплаты премии ситуация, как всегда, упрощается:

Cфеб - Pфеб = F - E. (6.3) А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» ГЛАВА 7. ГРАФИКИ СТОИМОСТИ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ 7.1. ЕВРОПЕЙСКИЕ ОПЦИОНЫ НА ФЬЮЧЕРС БЕЗ УПЛАТЫ ПРЕМИИ На рис. 7.1, 7.2 приведены кривые стоимости европейских опционов колл и пут на фьючерс без уплаты премии, построенные по формулам (6.2), (6.3). Указанные на этом и следующих рисунках даты означают текущую дату, для которой построена кривая теоретической стоимости опциона, и дату экспирации опциона.

Рис. 7.1. Стоимость европейского опциона колл на фьючерс Рис. 7.2. Стоимость европейского опциона пут на фьючерс без уплаты премии без уплаты премии В главе 2 отрезок XY был назван внутренней стоимостью опциона (intrinsic value). Отрезок YZ называется внешней или временнй стоимостью (extrinsic или time value). Для опциона на деньгах или вне денег внутренняя стоимость равна нулю, а вся его стоимость является внешней или временной. По мере приближения срока экспирации временная стоимость убывает до нуля, то есть график стоимости опциона постепенно приближается к ломаной, изображающей внутреннюю стоимость. Дополнительные тонкие линии изображают стоимость опциона в моменты, которые равномерно делят весь период действия опциона. Видно, что по мере приближения срока экспирации стоимость опциона на деньгах убывает быстрее за один и тот же промежуток времени.

Рис. 7.3 качественно поясняет происхождение временной составляющей премии по опциону. В предположении, что фьючерсная котировка равна 5000 и ожидается рост котировки, рассмотрим следующие варианты:

• покупку фьючерсного контракта;

• покупку опциона колл на страйке 4000.

Прямая, пересекающая горизонтальную ось в точке 5000, изображает прибыли/убытки по длинной фьючерсной позиции. Предположим, опцион может быть куплен за 1000, тогда прибыли/убытки по опциону изображаются ломаной XYZ. При цене базисного актива ST, большей 4000, прибыли/убытки по опциону совпадают с прибылями/убытками по фьючерсной позиции, а при ST < 4000 убыток по опциону ограничен уровнем 1000 и меньше убытка по фьючерсной позиции. Очевидно, что с точки зрения покупателя такой опцион выгоднее фьючерсной позиции. Однако продавать опцион с премией 1000 не имеет смысла, поскольку это означает одинаковые убытки и ограничение потенциальной прибыли по сравнению с фьючерсной позицией. Тем самым этот опцион будет продаваться дороже его внутренней стоимости, скажем, за 1100, а покупатель будет готов пожертвовать частью своих потенциальных прибылей ради «подстраховки» - ограничения возможных убытков размером уплаченной премии. Таким образом, реально ломаная прибылей/убытков может выглядеть как линия, помеченная на рисунке «4000 call». Точка B1 (breakeven point – точка безубыточности или, проще, «при своих») - лежит правее точки F.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Рис. 7.3. Прибыли/убытки по опционам колл на фьючерс на дату экспирации Подобное же сравнение опциона на страйке 4000 и опциона на страйке 4500 показывает, что точка «при своих» B2 второго из них должна располагаться правее B1. Для опционов пут картина противоположная (рис. 7.4): чем меньше страйк, тем левее находится точка безубыточности.

Рис. 7.4. Прибыли/убытки по опционам пут на фьючерс на дату экспирации Используя понятие временнй стоимости, соотношение (6.4) можно сформулировать следующим образом: временные стоимости европейских опционов колл и пут на одном страйке равны, в частности, полные стоимости европейских опционов колл и пут строго на деньгах равны.

График стоимости опциона лежит тем выше, чем больше величина T, то есть чем больше волатильность и срок действия опциона. Этот вывод подкрепляется следующими упрощенными соображениями качественного характера. Предположим, что фьючерсная котировка равна 5000, и продавец определяет цену, по которой он готов продать опцион колл на страйке 6000. Чем больше вероятность того, что цена базисного актива на день экспирации превысит 6000, тем выше будет предложение на продажу. И наоборот, чем спокойнее рынок и чем меньше шансов у покупателя опциона на рост котировки выше 6000, тем ниже будет его предложение на покупку опциона.

Наконец, стоит отметить, что стоимость опциона колл не может быть выше фьючерсной цены, так как подстраховка на таком уровне не имеет смысла. Для опциона пут стоимость не превышает страйковой цены.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» 7.2. ЕВРОПЕЙСКИЕ ОПЦИОНЫ С УПЛАТОЙ ПРЕМИИ Эти графики (рис. 7.5, 7.6) отличаются от графиков рис. 7.1, 7.2 тем, что учитывают дисконтирующий множитель e-rT и расположены пропорционально ниже.

Рис. 7.5. Стоимость европейского опциона колл на фьючерс Рис. 7.6. Стоимость европейского опциона пут на фьючерс с уплатой премии с уплатой премии Отрезок XY называется издержками удержания позиции (carrying cost) и показывает:

• для покупателя - упущенную прибыль, которая могла бы быть получена от размещения уплаченной премии под безрисковый процент r;

• для продавца - реально возможную прибыль от размещения полученной премии.

Для опционов глубоко в деньгах времення стоимость отрицательна.

7.3. ЕВРОПЕЙСКИЕ ОПЦИОНЫ НА БЕЗДИВИДЕНДНУЮ АКЦИЮ Рис. 7.7. Стоимость европейского опциона колл на Рис. 7.8. Стоимость европейского опциона пут на бездивидендную акцию бездивидендную акцию Данные графики (рис. 7.7, 7.8) ближе к графикам рис. 7.1, 7.2, однако сдвинуты влево так, что асимптоты выходят не из страйковой цены E, а из точки Ee-rT. При этом стоимость опциона колл всегда выше внутренней стоимости опциона, что окажется существенным при рассмотрении американских опционов.

7.4. ЕВРОПЕЙСКИE ОПЦИОНЫ НА ДИВИДЕНДНУЮ АКЦИЮ Этот случай отличается от предыдущего тем, что вместо S в формуле стоит меньшая величина Sдив, то есть графики сдвигаются вправо на S - Sдив (при той же текущей стоимости акции S опцион колл стоит дешевле, а опцион пут дороже, чем в случае бездивидендной акции).

7.5. ЕВРОПЕЙСКИЕ ОПЦИОНЫ НА ВАЛЮТУ Эти графики объединяют в себе черты графиков 7.3, 7.4 и 7.5, 7.6: точка пересечения асимптот сдвинута и асимптоты расположены не под 45°, а более полого. Сдвиг точки пересечения асимптот происходит влево, если процентная ставка по рублевым вложениям больше, чем по валютным, и вправо в противном случае.

Рисунки соответствуют второму варианту, когда ставка по 3-месячным рублевым вложениям R=100% меньше валютной ставки Rвалюты =200%.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Рис. 7.9. Стоимость европейского опциона колл на валюту Рис. 7.10. Стоимость европейского опциона пут на валюту А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» ГЛАВА 8. АМЕРИКАНСКИЕ ОПЦИОНЫ 8.1. БИНОМИАЛЬНЫЙ МЕТОД Американский опцион предоставляет владельцу дополнительные права по сравнению с европейским, и это должно отразится в увеличении премии. Очевидно, что стоимость американского опциона не может быть меньше его внутренней стоимости (см. замечание к рис. 2.1, 2.2). В тех случаях, когда график теоретической стоимости европейского опциона целиком лежит выше ломаной, изображающей внутреннюю стоимость опциона, дополнительные права по американскому опциону являются как бы излишними - раннее исполнение опциона приводит к потере временной стоимости. Тем самым стоимости американских опционов колл и пут на фьючерсы без уплаты премии, а также стоимость американского опциона колл на бездивидендную акцию совпадают со стоимостями соответствующих европейских опционов. В остальных случаях американские опционы требуют отдельного рассмотрения.

Биномиальный метод позволяет рассчитывать стоимость не только европейских, но и американских опционов. Продолжая пример 5.1 (раздел 5.2), предположим, что r=360%. Для стоимости европейского - r опциона в узле 5000 за день до экспирации было получено значение 50 e 49.5. Это значение необходимо сравнить с внутренней стоимостью опциона и в качестве стоимости американского опциона взять наибольшее из двух. Поскольку внутренняя стоимость опциона в узле 5000 равна нулю, то стоимость американского опциона совпадает со стоимостью европейского: 49.5. Однако в следующем узле - r ситуация меняется: стоимость европейского опциона равна 200 e 198, а внутренняя стоимость 200, следовательно, американский опцион должен стоить 200. Продолжая расчеты, в исходной точке для стоимости американского опциона получаем 219, тогда как европейский опцион при тех же условиях стоил 214.

Графики стоимости американских опционов на фьючерс с уплатой премии Cфес, Pфес изображены на рис. 8.1, 8.2. Результаты получены биномиальным методом при количестве шагов в решетке n=50. На каждом из графиков выделяется критическая точка U, которая делит график на две части. Для опциона колл правая, а для опциона пут левая часть графика прямолинейны и совпадают с графиком внутренней стоимости. Для сравнения в том же масштабе изображены также кривые стоимости европейских опционов с уплатой и без уплаты премии.

Рис. 8.1. Стоимость американского опциона колл на фьючерс Рис. 8.2. Стоимость американского опциона пут на фьючерс с уплатой премии с уплатой премии 8.2. КВАДРАТИЧНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ Наряду с биномиальным методом для определения стоимости американских опционов используется так называемая квадратичная аппроксимация (предложенная в работах Macmillan/ Barone-Adesi и Whaley). Это приближенные аналитические соотношения, которые получаются при некотором упрощении исходной задачи. Соответствующие формулы приведены в приложении Б.

Кривые, полученные этим методом, показаны на тех же рис. 8.1, 8.2. При этом для опциона колл результаты биномиального метода и квадратичной аппроксимации практически совпадают. Для опциона пут аппроксимация на некотором участке значительно отклоняется вниз от точного графика и лежит даже ниже внутренней стоимости опциона. Очевидно, что для улучшения результата на этом участке следует вместо аппроксимации брать внутреннюю стоимость.

Пример 8.1. Рассмотрим более подробно европейский и американский опционы колл на фьючерс с уплатой премии на страйке 5000 с экспирацией через 3 месяца в одной точке - при фьючерсной цене (по-прежнему 3-х месячная ставка R=100%, волатильность =20%).

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Формула Блэка в этом случае дает для европейского опциона Cфес = 168.3. Для стоимости американского опциона квадратичная аппроксимация равна Cфас = 179.86, а критическая точка U = 5570.

В таблице 8.1 приведены стоимости европейского и американского опционов, полученные биномиальным методом. Параметр n обозначает количество шагов, на которое разбивается срок действия опциона при построении решетки.

n 10 20 30 40 50 100 Cфес 173.3 170.6 169.8 169.4 169.2 168.7 168. Cфас 181.7 179.5 178.7 178.4 178.2 177.8 177. Таблица 8.1. Стоимости опционов, рассчитанные биномиальным методом Строка таблицы для Cфес в сопоставлении с точным значением Cфес подтверждает, что биномиальный метод в пределе дает такой же результат, как и соответствующая модификация формулы Блэка-Шоулса. Последняя строка показывает, что точное предельное значение стоимости американского опциона находится в районе 177.4, то есть ошибка квадратичной аппроксимации составляет 1.5%.

Рассчитанное биномиальным методом при n=200 значение Cфас в критической точке квадратичной аппроксимации 5570 равно 575 (вместо 570 - ошибка около 1%), а точная критическая точка 5650.

Практически, однако, погрешностями порядка нескольких процентов можно пренебречь, поскольку такой или большей является разность цен спроса и предложения. Считается, что в биномиальном методе достаточно разбить срок действия оцениваемого опциона на 20 - 30 шагов для получения удовлетворительного результата.

8.3. АМЕРИКАНСКИЙ ОПЦИОН НА ДИВИДЕНДНУЮ АКЦИЮ Отдельно следует остановиться на особенностях американских опционов на дивидендную акцию.

Биномиальный метод позволяет рассчитывать стоимость опционов и в этом случае. Простейший вариант исходных условий состоит в том, что заранее известен день выплаты дивидендов, после которого цена акции скачкообразно уменьшается на заранее известную величину. При этом возникает сложность формального характера, связанная с тем, что в отличие от упрощенного примера 5.1 в точном методе узлы решетки расположены неравномерно по цене (см. (5.7)), и одинаковый сдвиг в определенный момент во всех узлах приводит к рассогласованию решетки и резкому нарастанию количества узлов в последующем.

Один из путей возможного решения проблемы состоит в том, чтобы несколько модифицировать решетку и с этой целью представить цену акции в любой момент существования опциона как сумму двух компонентов:

регулярной составляющей, отражающей приведенные к текущему моменту будущие дивиденды за время существования опциона, и остальной части цены акции (ср. с (4.2)). Предполагается, что изменение только этой остальной части носит случайный характер и описывается биномиальной моделью. Так, если до экспирации опциона остается T = m ( - шаг решетки по времени) и за этот период предполагается выплата одного дивиденда размера d в момент t, причем k < t < (k +1), то значения цены акции в узлах решетки определяются по правилу:

-r (t -i) [S0 -r (t -i) j • в моменты i < t :

- de ]v wi - j + de ;

j i - j - [ S где • в моменты i > t :

- d ]v w, j = 0,1,..., i;

v = e, w = e.

Для приближенного аналитического расчета стоимости опциона колл применяются также следующие рассуждения: предполагается, что если и целесообразно проводить досрочное исполнение опциона, то только непосредственно перед выплатой дивидендов. Исходя из этого достаточно сравнить стоимость европейского опциона с исполнением в дату экспирации со стоимостями европейских опционов колл, сроки действия которых истекают непосредственно перед датами выплаты дивидендов, и выбрать наибольшую из получившихся величин в качестве стоимости американского опциона.

Еще один вариант анализа стоимости опциона состоит в том, чтобы изменить исходную посылку:

считать, что вместо величины дивидендов заданы ставки дивидендов, то есть отношения размера дивиденда к цене акции на момент выплаты дивиденда. В этом случае после выплаты дивиденда узлы пропорционально смещаются вниз без нарушения решетки в последующем.

Для стоимости американского опциона колл на акцию, по которой за время существования опциона предполагается выплата одного дивиденда, в [10] приведено точное, хотя и довольно громоздкое, аналитическое выражение.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Американский опцион пут с точки зрения досрочного исполнения обладает свойством, которое не присуще опциону колл. Предположим, что имеется длинная позиция по опциону пут на акцию с экспирацией через 6 месяцев, страйк равен 5000, процентная ставка r=24%. Если к этому моменту цена акции упала, скажем, до 500, то исполнить такой опцион досрочно заведомо выгоднее, чем ожидать дня экспирации. Купив акцию по 500, потребовав исполнения опциона и поставив ее по цене 5000, можно разместить полученную прибыль под проценты с результатом ко дню экспирации 4500erT = 4500e0.12 5074, что больше максимально возможных 5000 на день экспирации.

Естественно, не обязательно исполнять опцион, если есть основания предполагать, что цена акции снизится rT еще сильнее, - необходимо выбрать момент, когда выражение ( E - S ) e окажется максимальным (T – время, оставшееся до экспирации).

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» ГЛАВА 9. СТОИМОСТЬ ПОРТФЕЛЯ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ 9.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ В этой и последующих главах для определенности речь идет об опционах на фьючерс без уплаты премии. Считается, что фьючерс является расчетным, а дата экспирации опционов совпадает с датой исполнения фьючерсов. Остальные варианты по существу аналогичны.

Далее под портфелем будем понимать открытые фьючерсные позиции c определенной датой исполнения и опционы на данный фьючерсный контракт, а также возникшие в результате выплат вариационной маржи рублевые средства (отрицательные означают задолженность). Рассмотрим следующий портфель с исполнением 15 июня, в котором позиции открыты 30 апреля:

• 3 коротких фьючерсных позиции по цене 5050;

• 100 длинных позиций по опциону колл на страйке 5100 по цене 47;

• 100 длинных позиций по опциону пут на страйке 5000 по цене 47.

Для того чтобы получить эти цены опционов по формулам (6.2), (6.3), в них необходимо подставить =10%, то есть опционная волатильность в данном случае равна 10%.

Пусть прогноз волатильности фьючерсной цены на оставшийся период действия опциона равен 20%, тогда теоретическая стоимость опциона колл равна 116, а опциона пут 115. Суммарная стоимость опционов превышает их суммарную цену на 100(116+115)-100(47+47)=13700.

Эта величина показывает потенциальную прибыль, «содержащуюся» в позиции при условиях:

1) правильности прогноза волатильности;

2) применения динамического хеджа. Будем называть эту величину потенциальной прибыльностью/убыточностью позиции (сокращенно ППУ позиции).

Определим стоимость портфеля как сумму стоимости позиции и рублевых средств, возникших в результате ежедневной корректировки позиций по рынку, а также, возможно, начисления процентов на остатки.

Пусть на конец торгового дня расчетные цены оказались равны: по фьючерсам 5000, по опционам колл 30, по опционам пут 70. Опционная волатильность, соответствующая этим ценам, та же - 10%.

Вариационная маржа по итогам дня положительна:

(-35000+10030+10070)-(-35050+10047+10047)=750.

В результате портфель состоит из этой денежной суммы и скорректированных по рынку позиций по фьючерсам и опционам. Стоимости опционов, соответствующие =20%, при этом равны 95 для опциона колл и 137 для опциона пут, а ППУ позиции составляет 100(95+137)-100(30+70)=13200.

С учетом вариационной маржи ППУ портфеля на конец дня равна 13200+750=13950. Заметим на будущее, что ППУ портфеля возросла на 250 по сравнению с первоначальной 13700.

Игнорируя разбиение на денежную составляющую и ППУ открытых позиций, ППУ портфеля можно получить проще, отталкиваясь от исходных цен открытия позиций:

(-35000+10095+100137) - (-35050+10047+10047)=13950.

На рис. 9.1 изображен график позиции на конец дня. Ломаная XX показывает суммарные прибыли/убытки, которые будут получены на день экспирации (в дополнение к уже начисленной вариационной марже) при условии сохранения позиции неизменной. Эта ломаная является суммой графиков вида 1.2, 2.5, 2.6, если считать, что фьючерсные позиции открыты по цене 5000, опционы колл куплены по цене 30, опционы пут - по цене 70.

Линия YY построена в расчете на опционную волатильность =10%. На текущей фьючерсной котировке 5000 эта линия проходит через ноль, как и должно быть для опционной волатильности (при этой волатильности теоретическая стоимость опционов совпадает с реальной ценой). В случае немедленного закрытия всех позиций по расчетным ценам дня никаких дополнительных прибылей или затрат не будет.

Для других фьючерсных цен линия YY показывает прибыли/убытки при условии «замораживания» остальных ценообразующих параметров - времени и волатильности. Вопросы, связанные с опционной волатильностью, рассматриваются подробнее в следующей главе.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Рис. 9.1. Суммарный график открытой позиции Линия ZZ изображает ППУ позиции при прогнозируемой волатильности =20%. В частности, значение графика ZZ на текущей фьючерсной котировке равно 13200.

Наряду с приведенным графиком открытой позиции часто используют график портфеля, в котором фьючерсы и опционы изображают исходя из первоначальных цен открытия позиций - 5050 для фьючерсов и 47 для опционов, в этом случае ломаная ХХ является статичной и не меняется. Для такого графика портфеля в любой из дней линия YY, построенная в соответствии с текущей опционной волатильностью, на расчетной цене фьючерса показывает накопленную к этому моменту суммарную вариационную маржу - что удобно. Введенное выше разделение стоимости портфеля на денежную составляющую и стоимость позиции целесообразно только в том случае, когда на остатки на счете начисляется процент и денежная составляющая портфеля не является простой суммой ежедневных прибылей/убытков.

Проверить, что для получения графика портфеля на рис. 9.1 достаточно сдвинуть линии XX, YY, ZZ вверх на 750, то есть учесть полученную вариационную маржу.

Построим к линии ZZ в точке 5000 касательную. Касательная в некоторой окрестности 5000 достаточно точно описывает изменение стоимости позиции и, следовательно, стоимости портфеля, вызванное смещением фьючерсной котировки. Представим себе второй портфель, состоящий только из фьючерсных позиций в таком количестве, что график прибылей/убытков по этому портфелю имеет тот же наклон, что и касательная. Количество фьючерсных позиций во втором портфеле является важной характеристикой первого портфеля и носит название коэффициента дельта или коэффициента хеджа. Если > 0, то позиция называется длинной рыночной позицией, если < 0, то короткой рыночной позицией, и при = 0 - дельта-нейтральной или безрисковой позицией.

Коэффициент хеджа равен тангенсу угла наклона касательной. Если портфель состоит из одной длинной фьючерсной позиции, то = 1, если из одной короткой, то = -1. Для одной длинной позиции по опциону колл меняется от 0 для опциона глубоко вне денег (то есть когда цена базисного актива мала по сравнению со страйком) до 1 для опциона глубоко в деньгах. На деньгах значение приблизительно равняется 0.5. Для одной длинной позиции по опциону пут принимает отрицательные значения, меняясь от -1 для опциона глубоко в деньгах до 0 для опциона вне денег. Если открыта опционная позиция на большее число контрактов, то пропорционально увеличивается.

Таким образом, изменения стоимости сложного составного портфеля при колебаниях цены базисного актива приблизительно такие же, как если бы просто занимать позицию по базисному активу. Если цена базисного актива переместится из F0 в точку F1, то стоимость портфеля приблизительно будет равна 1 = 0 + 0(F1 - F0).

Коэффициент является одним из так называемых коэффициентов чувствительности стоимости портфеля (sensitivities) по отношению к ценообразующим параметрам. Эти коэффициенты показывают, на сколько меняется стоимость портфеля при малом отклонении того или иного параметра от опорного значения, при котором рассчитана стоимость портфеля. Термин «коэффициенты хеджа» обобщенно А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» применяют и ко всем этим коэффициентам, поскольку они позволяют строить портфели, инвариантные к локальным изменениям того или иного параметра или одновременно нескольких из них.

Как следует из формул главы 6, стоимость портфеля зависит от таких переменных, как текущая фьючерсная котировка, время до экспирации опционов, волатильность, а в ряде случаев также и от процентной ставки:

= ( F, t,, r ), где t - переменная, означающая текущее время. В этом выражении опущены страйки и даты экспирации опционов, поскольку они фиксированы.

Параметр дельта показывает, на сколько меняется стоимость портфеля при изменении цены базисного актива на единицу (1 рубль) при фиксированных остальных параметрах. Математически определяется как частная производная стоимости портфеля по цене базисного актива:

=.

F В дополнение к коэффициенту вводится коэффициент гамма :

= =, F F который позволяет оценить, на сколько меняется при изменении цены базисного актива. Для портфеля, состоящего только из фьючерсных позиций, = 0. В общем случае при сдвиге цены базисного актива в точку F1 коэффициент хеджа будет равен 1 = 0 + 0 (F1 - F0), где оба коэффициента - 0 и 0 - рассчитаны в точке F0. Более точно стоимость портфеля в точке F дается соотношением 1 = 0 + 0 ( F1 - F0 ) + 0.50 ( F1 - F0 )2. (9.1) Коэффициент 0 характеризует кривизну графика стоимости портфеля в окрестности точки F0.

Аналогично определяются коэффициенты чувствительности стоимости портфеля по отношению к остальным ценообразующим параметрам - тета, вега, ро:

=, Vega =, =. (9.2) t r Удобнее нормировать коэффициенты следующим образом:

1 1 =, Vega =, =, 252 t 100 100 r тогда тета, вега, ро измеряются соответственно в руб/день, руб/процент, руб/процент и показывают изменение теоретической стоимости портфеля • на следующий торговый день;

• при увеличении волатильности на один процент;

• при увеличении процентной ставки r на один процент.

Формулы для расчета коэффициентов чувствительности приведены в приложении А. Во избежание недоразумений обратим внимание на то, что в определении коэффициента используется текущее время t, тогда как все формулы даются в терминах срока действия опциона T = T - t, где T фиксированная дата экспирации. Очевидно, что для получения следует дифференцировать стоимость по T, но результат брать с обратным знаком.

В рассматриваемом примере коэффициенты в момент открытия позиций имели значения, указанные в таблице 9.1 ( F0 = 5050, = 20%, коэффициент здесь равняется 0). Первоначально позиция была практически -нейтральной: остаточный коэффициент = -0.2 по модулю меньше 1 и не может быть устранен покупкой или продажей фьючерсов. Приблизительно первоначальную стоимость позиции можно оценить как произведение коэффициента вега на запас по волатильности, определяемый как разность прогнозируемой и опционной волатильностей: 1373(20-10)=13730.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Коэффициент Vega -3 фьючерса -3.0 0.0 0 100 длинных 5100 колл 45.7 0.114 -223 100 длинных 5000 пут -42.9 0.113 -220 Итого по портфелю -0.2 0.227 -443 Таблица 9.1. Коэффициенты чувствительности портфеля, F0 = 5050.

При смещении фьючерсной котировки в точку F1 = 5000 таблица приобретает следующий вид:

Коэффициент Vega -3 фьючерса -3.0 0.0 0 100 длинных 5100 колл 40.0 0.112 -215 100 длинных 5000 пут -48.6 0.116 -222 Итого по портфелю -11.6 0.228 -437 Таблица 9.2. Коэффициенты чувствительности портфеля, F1 = 5000.

При этом возникает короткая рыночная позиция. Новый коэффициент = -11.6 мог бы быть получен на основании данных таблицы 9.1 как сумма остаточного коэффициента и произведения коэффициента на смещение фьючерсной котировки:

-0.2+0.227(-50)=-11.55.

Рассчитанное выше приращение стоимости портфеля (250) в соответствии с (9.1) можно оценить как -0.2(5000-5050)+0.50.2275050=288.

Если необходимо оценить стоимость портфеля при изменении всех факторов, то следует использовать формулу 1 = 0 + 0(F1 - F0) + 0.50(F1 - F0)2 + 0 (t1 - t0 ) +Vega0 (1 - ) + 0 (r1 - r0), где • F1 - F0 - сдвиг цены базисного актива, • t1 - t0 - интервал времени в днях, • 1 - - сдвиг волатильности в процентах, • r1 - r0 - изменение процентной ставки в процентах.

9.2. ПРИМЕР ДИНАМИЧЕСКОГО ХЕДЖА I Коэффициент имеет прямое отношение к динамическому хеджу. Продолжим пример 3.1 раздела 3.4.

Последняя точка графика исторической волатильности на рис. 3.3 дает истинную волатильность фьючерсной котировки за предшествующий 60-дневный период, равную приблизительно 40%.

Предположим, что в течение всего этого периода рынок котирует опционы исходя из 40%-ной волатильности. Так, 27 марта при котировке F0 = 5000 июньские опционы колл со страйком 5000 стоят 360 рублей. Предположим, что трейдер покупает 100 опционов и в дальнейшем применяет динамический хедж. Считается, что на остатки на счете процент не начисляется.

Первый шаг состоит в расчете коэффициента дельта купленных опционов: 0 = 53.6, и продаже фьючерсных контрактов по текущей цене F0 = 5000 для получения -нейтральной позиции. После ~ коррекции портфель имеет остаточный коэффициент 0 = -0.4. Изменение графика портфеля в результате продажи фьючерсов иллюстрируется рис. 9.2, где пунктирная линия показывает позицию по опциону колл до фьючерсной коррекции.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Рис. 9.2. Суммарный график открытой позиции Куда бы ни двинулась фьючерсная цена после открытия -нейтральной позиции, стоимость портфеля (в соответствии с гладкой параболообразной кривой) будет увеличиваться. Однако с течением времени происходит уменьшение временнй стоимости опциона, что иллюстрируется рис. 9.3.

Рис. 9.3. Двухдневное изменение стоимости портфеля Коэффициенты чувствительности позиции 27.03.02 равны -349 руб., 0 0. Предположим, что фьючерсные коррекции проводятся через день. К 29.03.02 из-за временного убывания стоимости опциона график смещается вниз на 700 руб. Как следует из рис. 9.3, для точной компенсации временного убывания дневное колебание фьючерсной котировки должно быть равно 177 рублям, независимо от направления. Эту величину можно оценить из соотношения - 2 = 0.50 ( F2 - F0 ), (9.3) откуда F2 - F0 = 2 * 349 /( 0.5 * 0.044 ) 177.

Формула Блэка-Шоулса «устроена» таким образом, что среднеквадратическое двухдневное изменение котировки, определяемое по формуле (3.6) при t = 2 / 252, F(t) F0 = 5000, = 40%, совпадает с этой величиной:

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» = 5000 * 0.4 * 252 / 2 177.

F ( t ) Реально фьючерсная цена 29.03.02 была равна 5172, то есть приращение цены фьючерса было приблизительно таким, чтобы скомпенсировать временное убывание стоимости опциона. Более точно, изменение стоимости портфеля составило –110 рублей, при этом коэффициент дельта портфеля возрос с – 0.4 до 7. Эти величины можно приближенно оценить с помощью коэффициентов чувствительности:

~ + 0 ( F2 - F0 ) = -0.4 + 0.044 *172 = 7. 1 ~ 2 - 0 = 20 + 0(F2 - F0) + 0.50(F2 - F0)2 = - 2 * 349 - 0.4 *172 + 0.5 * 0.044 *1722 -117.

Для устранения возникшего наклона позиции (ненулевого коэффициента дельта) короткая фьючерсная позиция наращивается до 54+7=61, после чего общая позиция становится горизонтальной в окрестности новой фьючерсной цены 5172. Если этого не делать, то сохраняется вероятность возврата котировки в исходную точку с потерей приращения стоимости позиции, вызванного движением фьючерсной цены.

В дальнейшем коррекция числа открытых фьючерсных позиций (динамический хедж) проводится по той же схеме. В таблице 9.3 приведены результаты динамического хеджа вплоть до даты исполнения фьючерсов и опционов. Столбцы таблицы имеют следующий смысл:

• даты, в которые проводятся коррекции (через один рабочий день, для сокращения размеров таблицы);

• номер рабочего дня с начала операции;

• расчетные цены июньского фьючерсного контракта, причем в последней строке указана цена исполнения июньского фьючерса (цена спот-рынка);

• теоретические стоимости опциона колл на страйке 5000 при 40%-ной волатильности;

эти же величины в данном примере принимаются в качестве реальных расчетных цен опциона;

• суммарная вариационная маржа, накопленная к данному моменту (или изменение стоимости портфеля по отношению к начальной);

• коэффициент дельта портфеля до проведения очередной фьючерсной коррекции;

• текущее количество открытых фьючерсных позиций после проведения коррекции;

• в последних трех колонках - остальные коэффициенты чувствительности портфеля.

Для лучшей читаемости таблицы все колонки, начиная с четвертой, приведены к стоимости одного I опциона (значения поделены на 100), кроме колонок и, относящихся к 100 опционам.

Если двухдневное изменение фьючерсной цены меньше 177, то стоимость портфеля уменьшается (ср. 0 > 2, 4 -> 6 -> 8 ), если больше – то увеличивается ( 2 -> 4, 8 -> 10, и особенно 40 -> 42 ). Если бы коррекции проводились ежедневно, то таким пороговым значением было бы 177 / 2 = 125 рублей. Данные значения – 177 и 125 – относятся к уровню фьючерсной цены порядка 5000 рублей, по мере движения фьючерса они пропорционально меняются.

Чем меньше случайные колебания стоимости портфеля, тем совершеннее хедж. Сам факт случайных колебаний стоимости портфеля объясняется тем, что реальный хедж осуществляется дискретно как по времени, так и по, к тому же волатильность цены базисного актива не является постоянной. Чем меньше дискретность, тем стабильнее стоимость портфеля, и в пределе непрерывной коррекции она является постоянной - нулевой. Дискретность проявляется тем сильнее, чем ближе дата экспирации опционов, поскольку для опционов вблизи денег коэффициенты и возрастают по мере приближения даты экспирации. Особенно наглядно это проявляется 29.05.02, когда в результате резкого падения цены вариационная маржа оказывается в районе 40 рублей на один опцион. С другой стороны, если бы колебания цены были бы меньше прогнозируемых, то портфель столь же быстро терял бы стоимость.

При хедже короткой опционной позиции на деньгах, напротив, значительные колебания фьючерсной цены имели бы отрицательный эффект, а неподвижность цены приводила бы к росту стоимости портфеля.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» 12 3 4 5 6789 Vega i Дата F С - 0 i I 27.03.02 0 5000 360 0.0 53.6 -54 0.00044 -3.49 29.03.02 2 5172 451 -1.1 7.0 -61 0.00042 -3.56 02.04.02 4 4985 338 -0.6 -8.2 -53 0.00046 -3.63 04.04.02 6 4882 279 -4.9 -5.2 -48 0.00048 -3.63 08.04.02 8 4840 252 -11.4 -2.5 -46 0.00049 -3.66 10.04.02 10 5185 431 8.3 16.0 -62 0.00045 -3.85 12.04.02 12 5041 339 5.5 -6.8 -55 0.00049 -3.99 16.04.02 14 5250 457 8.8 10.3 -65 0.00045 -3.97 18.04.02 16 5350 517 3.7 5.0 -70 0.00043 -3.91 22.04.02 18 5052 321 16.1 -14.3 -56 0.00053 -4.31 24.04.02 20 5115 348 8.6 3.1 -59 0.00053 -4.43 26.04.02 22 5015 283 2.4 -5.4 -54 0.00057 -4.58 29.04.02 24 4955 243 -5.3 -4.0 -50 0.00060 -4.70 06.05.02 26 4730 138 1.8 -14.3 -36 0.00061 -4.35 08.05.02 28 4683 113 -5.6 -3.9 -32 0.00062 -4.29 14.05.02 30 4810 150 -9.8 7.5 -40 0.00067 -4.94 16.05.02 32 4936 195 -15.5 7.7 -48 0.00071 -5.49 18.05.02 34 5235 358 4.1 20.4 -68 0.00063 -5.47 21.05.02 36 5001 204 10.0 -15.9 -52 0.00078 -6.18 23.05.02 38 4780 98 18.0 -18.3 -34 0.00080 -5.77 27.05.02 40 4810 96 6.4 0.9 -35 0.00086 -6.32 29.05.02 42 4498 18 37.7 -24.3 -11 0.00050 -3.19 31.05.02 44 4289 2 44.9 -8.9 -2 0.00016 -0.94 04.06.02 46 4200 0 44.6 -1.6 0 0.00005 -0.26 06.06.02 48 4264 0 44.4 0.2 0 0.00003 -0.17 10.06.02 50 4257 0 44.2 0.0 0 0.00000 -0.01 13.06.02 52 4285 0 44.2 0.0 0 0.00000 0.00 14.06.02 53 4135 0 44.2 0.0 0 0.00000 -3.49 Таблица 9.3. Пример динамического хеджа I Выше предполагалось, что непрерывно начисляемый процент r равен нулю. Однако поскольку движения денег на счете в данном случае не происходит (реально - практически не происходит), то процент r мог бы быть любым. Именно этим можно объяснить независимость стоимости опционов на фьючерс без уплаты премии от процентных ставок (см. раздел 4.3).

Естественно, в том виде, как это представлено в таблице 9.3, процедуру динамического хеджа проводить нет смысла, поскольку при начальной цене опционов, равной теоретической стоимости, прибыль не ожидается (то, что в таблице 9.3 в конце образуется прибыль в размере 44.2 рубля на один опцион, является случайной флуктуацией). Смысл появляется, если реальная цена опционов на момент начала операции меньше теоретической стоимости: если при покупке опционов по цене 360 можно остаться «при своих», то при покупке, например, за 300 должна остаться прибыль в размере 60 рублей на каждый опцион.

Эта прибыль появляется не в один момент, а постепенно по мере уменьшения разности между ценой опционов и теоретической стоимостью, что неизбежно происходит с течением времени. Важно, что при этом расчет необходимого для коррекций числа фьючерсных позиций осуществляется исходя не из реальной цены опциона и опционной волатильности, а исходя из прогноза волатильности. Если вернуться к рис. 9.1, то ориентиром при проведении такого рода операций является «воображаемая» кривая ZZ.

Практически желательно не доводить динамический хедж до даты экспирации опционов ввиду отмеченного выше влияния дискретности, а фиксировать прибыль раньше. Так, в рассматриваемом примере к 31.05.02 падение фьючерсной цены приводит к тому, что опционы оказываются глубоко вне денег. Можно закрыть фьючерсные позиции и продать опционы или просто «забыть» о них, так как максимально возможные с этого момента потери в любом случае не превысят остаточной цены опционов (при этом сохранится вероятность обратного движения фьючерсных котировок и роста цены опционов).

Как обычно, при попытке получения спекулятивной прибыли проблема состоит в том, чтобы превзойти в точности среднерыночную оценку будущего развития событий. Если для чисто фьючерсного спекулянта объектом прогноза является направление тренда фьючерсной цены, то для трейдера, применяющего динамический хедж, необходимо прогнозировать волатильность фьючерса.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Важным вопросом при проведении динамического хеджа является выбор частоты коррекций и конкретных моментов их проведения. Одним из вариантов является коррекция через определенные одинаковые временные интервалы, например, раз в день или раз в неделю. Как отмечается в [15], этот вариант наиболее часто используется профессиональными трейдерами. Второй вариант предполагает проведение коррекций, когда достигает определенного порогового значения. Как в первом, так и во втором вариантах желательно оптимально выбрать временной интервал или пороговое значение. Чем больше эти параметры, тем сильнее случайные колебания стоимости портфеля, но чем чаще проводятся коррекции, тем больше комиссионные расходы. Для нахождения компромисса применяется многократное моделирование процесса динамического хеджа при конкретных значениях комиссионных, предполагаемых объемах позиции и всех остальных необходимых параметрах с целью получения статистических данных, на основании которых определяется оптимальная процедура.

Одно простое соображение касается позиций с положительным коэффициентом, типичных, в частности, для важной категории участников рынка - хеджеров (гл. 12). Предположим, что расходы по покупке или продаже n контрактов равны a + b n, где a,b - заданные константы. Если при значении фьючерсной котировки Fi позиция была -нейтральной, то при смещении котировки в точку Fi+1 для сохранения -нейтральности необходимо купить или продать i Fi+1 - Fi фьючерсных контрактов (точнее - это число, округленное до ближайшего целого). В противном случае остается риск возврата котировки в исходную точку, при котором предшествующие накопления в размере 0.5i (Fi+1 - Fi )2 будут утрачены. Если расходы по коррекции позиции превышают эту величину, то проводить коррекцию заведомо не имеет смысла. Таким образом, необходимым условием для коррекции является a + bi Fi+1 - Fi < 0.5i ( Fi+1 - Fi )2.

При a = 0 соотношение упрощается до 2b < Fi +1 - Fi. Скажем, если комиссия по контракту на нефть объемом 1000 баррелей составляет 25 долларов, то вопрос о целесообразности коррекции стоит рассматривать только при смещении котировки более чем на 5 центов за баррель. Необходимо также принимать во внимание следующее уточнение: обычно комиссия берется только при открытии новых позиций, при закрытии уже имевшихся позиций комиссия не начисляется.

Третий вариант коррекции включает в себя элемент спекуляции на правильном прогнозе фьючерсной котировки. Если после установления -нейтральной позиции с положительным коэффициентом (то есть типа той, что рассмотрена в примере динамического хеджа I) котировка смещается и есть основания предполагать, что следующее смещение произойдет в том же направлении, то коррекцию лучше не проводить. В соответствии со степенью уверенности в этом прогнозе можно нарастить или, наоборот, несколько уменьшить коэффициент, сохраняя знак позиции. Для исходных позиций с отрицательным коэффициентом, например, при проданных переоцененных опционах, коррекцию проводить не обязательно, если ожидается обратный отскок фьючерсной котировки.

Вообще говоря, использование опционов добавляет как бы еще одну степень свободы по сравнению с торговлей только фьючерсными контрактами: возникает возможность получать прибыль на правильном прогнозе волатильности, при этом остаются все возможности, связанные с правильным прогнозом тренда цены базисного актива. В ситуациях, когда тренда не наблюдается, а цена лишь колеблется в определенном диапазоне (в техническом анализе это обозначается терминами торговый диапазон или область застоя trading range или congestion area) получение спекулятивной прибыли на фьючерсах достигается скальпированием - частыми, возможно, по нескольку раз за торговую сессию, сменами короткой и длинной позиции в соответствии с направлением движения цены фьючерса. Как правило, такие изменения трудно прогнозируемы, требуют непрерывного слежения за динамикой торгов, поэтому многие трейдеры строят свои стратегии, исходя из более долговременных прогнозов. Опционы позволяют получать спекулятивную прибыль и в подобных ситуациях на удачном прогнозе волатильности и чисто механической ребалансировке позиции. Если при этом удается «цепляться» за края графика фьючерсной цены, то есть проводить коррекции фьючерсной позиции в моменты разворота краткосрочных трендов, то это эквивалентно увеличению волатильности цены базисного актива (по сравнению с взятием равномерных по времени отсчетов) и дополнительно увеличивает прибыль.

В приведенном примере при начальной фьючерсной котировке 5000 опцион колл имел такую же страйковую цену. В стратегиях, основанных на волатильности, обычно выбираются опционы на деньгах или слегка вне денег, поскольку коэффициент вега для них максимален.

-нейтральная позиция может быть получена не только добавлением к опционам длинных или коротких фьючерсных позиций в соответствующем количестве, но и покупкой или продажей других опционов. Так, в таблице 9.1 из опционов 5100 колл и 5000 пут -нейтральная позиция образуется без использования фьючерсов, если взять опционы в пропорции 1 к А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» 45.7/42.9=1.065, то есть на 100 опционов колл купить 107 опционов пут. По мере движения фьючерсной котировки достаточно менять в портфеле соотношение между количествами этих опционов, либо добавлять другие опционы для сохранения -нейтральности. Например, при падении фьючерсной цены отрицательный коэффициент может быть устранен наращиванием позиции по опциону колл либо частичным сбросом позиции по опциону пут. Если оба опциона недооценены, то первый вариант коррекции предпочтительнее, поскольку увеличивает ожидаемую прибыль. Однако при этом необходимо иметь в виду, что вместе с увеличением потенциальной прибыли возрастает и риск, связанный с ошибкой прогноза волатильности.

Естественно, в процессе реализации той или иной стратегии прогноз волатильности на оставшийся срок действия опционов может меняться, и в этом случае при проведении расчетов каждый раз используется новая оценка.

9.3. ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ ОПЦИОНОВ Приблизительно нулевая вариационная маржа по портфелю в таблице 9.3 означает, что вариационная маржа по фьючерсным позициям достаточно точно воспроизводит уменьшение или увеличение стоимости 100 проданных опционов. Из этого следует, что покупку или продажу опционов можно имитировать, постоянно поддерживая открытую фьючерсную позицию равной опционов. Эта процедура называется воспроизведением опционов (option replication technique). Динамический хедж в рассмотренном выше примере по существу представляет собой единовременную покупку «настоящих» опционов и имитацию продажи тех же опционов с помощью фьючерсов.

Метод воспроизведения опционов с помощью фьючерсов может использоваться не только для получения спекулятивной прибыли путем имитации опционной позиции, противоположной позиции по «настоящим» опционам, но и просто как замена покупки или продажи опционов. Поменяем во всей колонке I таблицы 9.3 знаки, тогда фьючерсная позиция будет воспроизводить 100 купленных опционов колл на страйке 5000. По мере того как фьючерсная цена растет и опцион оказывается все глубже в деньгах, открытая фьючерсная позиция увеличивается, при падении фьючерсной цены позиция сбрасывается. Этим достигается получение прибыли при росте цены и ограничение потерь при падении. Заметим, что при кратковременном движении цены вверх и последующем возврате сначала происходит наращивание позиции, а затем продажа докупленных перед этим фьючерсов. Таким образом, следуя формальной процедуре поддержания требуемой фьючерсной позиции, приходится при случайных флуктуациях цены «покупать дорого, продавать дешево». Возникающие при этом потери в сумме и составляют премию по опциону. Чем сильнее флуктуации, тем больше потери в полном соответствии с возрастанием стоимости имитируемого опциона при увеличении волатильности.

В рассматриваемом примере начальная стоимость опциона была равна 360 рублей, к концу операции опцион оказался вне денег и премия была потеряна в результате ежедневных перечислений вариационной маржи. Эта величина была практически скомпенсирована положительной вариационной маржей по фьючерсам. В общем случае, при имитации купленного опциона суммарная вариационная маржа по фьючерсам равна стоимости имитируемого опциона на конец операции за вычетом его начальной теоретической стоимости. Если бы спот-курс 14 июня оказался выше 5000, скажем, 5400, то стоимость имитируемого опциона была бы равна 400 и суммарные потери по фьючерсам оказались бы равны 400 360=40 рублям.

Для учета процентной ставки r в предыдущие рассуждения необходимо внести поправку. Дело в том, что при имитации опциона посредством фьючерсов компенсации денежных потоков по опционным и фьючерсным позициям, как это наблюдалось в процедуре динамического хеджа, не происходит. На накопления или потери по маржевым выплатам ежедневно начисляется процент. Эта ситуация близка к рассмотренной в разделе 5.2, где речь шла об опционе с уплатой премии, только в данном случае рассматривается как бы одна часть портфеля, связанная с маржевыми выплатами. Для того чтобы окончательный результат операции не зависел от траектории движения фьючерсной цены, а только от конечного значения, необходимо определять коэффициент по формулам, относящимся к опционам с уплатой премии.

Пусть в момент t = 0 продается опцион колл с уплатой премии по цене, равной стоимости, и одновременно покупаются фьючерсных контрактов. Стоимость портфеля при этом равна:

0 = C0 - C0 = 0, где первое положительное слагаемое справа является полученной за опцион премией, а второе отрицательное - стоимостью короткой позиции по опциону. На следующий день на рублевую составляющую портфеля начисляются проценты, кроме того, появляется вариационная маржа V1 по фьючерсам. Как было показано в разделе 5.2, в условиях биномиальной модели стоимость портфеля при этом не меняется:

1 = (Cer +V1) - C1 = 0, А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» где - однодневный интервал. Аналогично на второй день 2 = (Ce2r +Ver +V2 ) - C2 = 0, и так 0 далее. В итоге на момент экспирации t = T = m суммарные выплаты по вариационной марже с учетом процентов составят V1er(m-1) +V2er(m-2) +...+Vm = CT - C0erT.

Метод воспроизведения опционов при имитации длинных позиций хорошо работает до тех пор, пока цена фьючерсов меняется без резких скачков. Если, например, при имитации опционов колл цена фьючерсов резко падает, то убытки по соответствующей длинной фьючерсной позиции оказываются пропорциональны падению котировки и могут превысить премию по «настоящим» опционам. При скачке вверх фьючерсные позиции принесут меньшую прибыль, чем опционы. С другой стороны, если имитируются проданные опционы, то при резких скачках фьючерсные позиции оказываются, напротив, выгоднее.

9.4. ДЕЛЬТА-ГАММА-НЕЙТРАЛЬНЫЕ ПОЗИЦИИ Еще одним видом стратегий является построение не только -нейтральных, но одновременно и -нейтральных позиций. Рассмотрим следующий пример. Пусть при фьючерсной котировке 4500 опционы колл на страйке 4500 и пут на страйке 4600 с датой экспирации через 1 месяц имеют цены, указанные в колонке «цена» таблицы 9.4. Там же даны расчетные характеристики для прогнозируемой волатильности =10%.

Цена Стоимость Vega 4500 колл 60.0 53.29 0.506 0.00299 -1.16 5. 4600 пут 102.0 118.01 0.766 0.00230 -0.89 4. Таблица 9. Из этих данных следует, что опцион колл переоценен, а опцион пут недооценен. Предположим, что трейдер на основании этих данных решает продать 100 опционов колл, купить 130 опционов пут и купить 150 фьючерсов. Тогда общий портфель имеет параметры, перечисленные в таблице 9.5. Коэффициенты и портфеля здесь приблизительно равны 0. Это достигается следующей последовательностью расчетов:

приняв за исходное, что продается 100 опционов колл, подбирается количество покупаемых опционов пут, при котором портфеля обнулится;

затем подсчитывается получившийся коэффициент и соответствующее количество фьючерсных позиций компенсирует этот коэффициент.

Цена Стоимость Vega 150 фьюч 0 0 150.0 0.0 0 -100 колл -6000 -5330 -50.6 -0.299 116 - 130 пут 13260 15340 -99.6 0.299 -116 Итого 7260 10010 -0.2 0.0 0 Таблица 9. График получившейся позиции показан на рис. 9.4. Из графика видно, что за счет - -нейтральности достигается стабильность стоимости портфеля в значительном интервале фьючерсных котировок, и тем самым потребность в регулярных коррекциях уменьшается. Одновременно с обнуляется и коэффициент, который в свою очередь связан с вегой, поскольку время и волатильность входят в формулу для теоретической стоимости опционов на фьючерс с фьючерсным типом расчетов в комбинации T.

Если стоимость опционов зависит от процентной ставки r, например, речь идет об опционах на акцию, то комбинация трех различных опционов, а также позиций по базисному активу позволяет построить портфель со всеми нулевыми коэффициентами чувствительности, включая чувствительность к процентной ставке (ро).

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы». 9.4. --‡‡fl fl Как показывает рис. 9.4, нулевые коэффициенты чувствительности не означают стабильности стоимости портфеля и коэффициента в будущем: при достаточно больших изменениях котировки, а также с течением времени стоимость портфеля все-таки отклоняется от первоначальной, появляется и нескомпенсированный наклон графика, что требует проведения коррекций.

9.5. ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ Приведенные примеры могут создать излишне оптимистичное впечатление о полном соответствии теории и практики. В действительности теоретические модели отражают лишь основные черты реальных процессов, и даже сравнительно мелкие, но многочисленные отклонения от модели в совокупности способны привести к результатам, прямо противоположным ожидаемым. Для того чтобы продемонстрировать некоторые типичные проблемы, вернемся еще раз к таблице 9.3. Как отмечалось выше, одним из условий, при которых получена формула Блэка-Шоулса, является постоянство волатильности цены базисного актива за все время существования опциона. В реальности это не так, в том числе в рассматриваемом примере. Одним из следствий этого является то, что процедура динамического хеджа, примененная аналогичным образом к 100 опционам колл, но на других страйках, приводит к значительным отклонениям стоимости портфеля от начальной. В таблице 9.6 даны конечные стоимости портфеля 53 для некоторых страйков, а также коэффициенты Vega этих опционов на начало операции.

Страйк 4000 4500 5000 5500 53 -31 -4 44 27 Vega 3 6 8 7 Таблица 9. Для того чтобы в данном случае иметь шансы получить прибыль по окончании динамического хеджа, необходимо в начале операции иметь запас по волатильности в размере как минимум /Vega.

Например, апостериори ясно, что продавать опционы на страйке 4000 в расчете на их переоцененность имело бы смысл только в том случае, если опционная волатильность опционов как минимум была бы равна 40+31/350%, то есть значительно превышала бы прогнозируемую волатильность.

Можно дать следующее объяснение качественного характера приведенным в этой таблице данным. В условиях непостоянства волатильности цены базисного актива существенно, насколько далеко от страйка находится цена в периоды повышенной и пониженной волатильности. Если цена находится в районе страйка, то повышенная волатильность приводит к более быстрому росту стоимости портфеля по сравнению со случаем, когда цена удалена от страйка. И наоборот, если периоды, когда опцион оказывается на деньгах, совпадают с интервалами пониженной волатильности цены базисного актива, потери стоимости портфеля максимальны. Формально это связано с тем, что для опциона на деньгах коэффициенты и наибольшие.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Еще одним выводом из теоретической модели движения цены базисного актива является независимость стоимости опциона от скорости тренда базисного актива µ.

Однако если модифицировать реальную - фьючерсную котировку из таблицы 9.3 таким - образом, чтобы встроить в нее тренд с - некоторым постоянным коэффициентом µ, - и моделировать на полученном процессе - динамический хедж, то получаются -1500 -1000 -500 0 500 1000 результаты, приведенные на рис. 9.5. По отклонение окончательной расчетной цены горизонтальной оси отложено отклонение фьючерса последнего значения модифицированной ~ фьючерсной котировки F53 от исходного ~ F53 (точнее, от спот-курса, поскольку F53, F53. 9.5. fl ‰‡ ‡ ‡ ‡ ‰‡ означают спот-курс), по вертикальной – последнее значение стоимости портфеля в пересчете на один опцион.

Таким образом, наблюдается зависимость от тренда, которая имеет под собой ту же основу – дискретность хеджа и неравномерность волатильности фьючерсной котировки во времени.

Возвращаясь к началу данного раздела, отметим, что приведенные примеры не следует воспринимать как свидетельство полной несостоятельности теории стоимости опционов. Необходимо лишь представлять те рамки, в которых эти формулы получены, и, возможно, вносить такие поправки в расчеты, которые учитывали бы отклонения реальных условий от модельных. В следующей главе рассмотрена одна из возможных поправок.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» портфеля финальная стоимость ГЛАВА 10. ОПЦИОННАЯ ВОЛАТИЛЬНОСТЬ 10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если прямое назначение методов оценки опционов заключается в расчете теоретической стоимости опциона по исходным данным – цене и волатильности базисного актива;

страйку и времени до экспирации опциона;

процентной ставке, - то при определении опционной волатильности решается обратная задача.

Известными считаются все перечисленные исходные параметры, за исключением волатильности, вместо которой дается цена опциона. При увеличении волатильности от нуля стоимость опциона монотонно возрастает, поэтому существует единственное значение волатильности, при котором теоретическая стоимость сравнивается с заданной ценой (при условии, что цена лежит в диапазоне возможных стоимостей опциона). Найденное таким образом значение волатильности будем называть опционным5 (implied volatility).

По существу, опционная волатильность эквивалентна цене опциона и лишь выражает ее в других терминах. Для трейдеров, специализирующихся на опционах, типичными являются высказывания типа «Я купил (продал) 20%-ную волатильность» или просто «Я купил (продал) волатильность», что означает проведение сделки не в расчете на рост или падение фьючерсной котировки, а из соображений, основанных на расхождении опционной волатильности и прогнозируемой. Так, в разделе 9.1 приведен пример покупки опционов за 10% при 20%-ном прогнозе. Разность между этими величинами характеризует запас по волатильности и является не менее информативным показателем, чем собственно ожидаемая прибыль в денежном выражении.

Практически для расчета опционной волатильности может использоваться как описанный способ наращивания волатильности с некоторым шагом (скажем, 0.1%), так и более быстрые и точные численные методы решения уравнений.

10.2. КРИВАЯ ВОЛАТИЛЬНОСТИ С опционной волатильностью связано понятие кривой волатильности. Для построения кривой волатильности выбирается определенная дата экспирации опционов и страйки, по которым ведется торговля опционами с этой датой экспирации, откладываются по горизонтальной оси. По вертикальной оси откладываются значения опционной волатильности. Если в некоторой серии опционов проходит сделка, то по величине премии и цене базисного актива рассчитывается опционная волатильность и для соответствующего страйка на графике делается отметка (при этом желательно применять обозначения, различающие сделки по опционам колл и пут). В идеале все анализируемые сделки должны быть проведены за очень короткий отрезок времени для того, чтобы получить «моментальный снимок» рыночной ситуации.

На том же графике могут быть изображены интервалы между ценами спроса и предложения, выраженные в терминах волатильности. Как правило, точки, соответствующие сделкам по опционам колл и пут на одном страйке, оказываются близкими, а ворота между ценами спроса и предложения имеют общую часть, что объясняется пут-колл паритетом (5.6): временные составляющие премий опционов колл и пут на одном страйке для устранения арбитражных возможностей должны быть равны, следовательно, должны быть равны и опционные волатильности. Кривая волатильности получается соединением этих точек ломаной или более гладкой линией. Когда на отдельных страйках сделки отсутствуют, то применяются методы интерполяции и экстраполяции, причем во внимание принимается весь массив имеющихся данных о сделках и заявках по всем сериям опционов со всеми месяцами исполнения. Данные об имеющихся опционных волатильностях заносятся в таблицу, в которой столбцы соответствуют страйкам, а строки месяцам исполнения (так называемую матрицу волатильностей). Таким образом, учитывается и временная структура опционных волатильностей.

Если рынок действительно руководствуется теми соображениями, которые были положены в основу формул для теоретической стоимости опционов, то полученная кривая волатильностей для одного месяца исполнения должна быть горизонтальной прямой. Действительно, каждый участник торгов составляет для себя прогноз волатильности и при наличии запаса по волатильности, который представляется ему существенным, готов покупать недооцененные и продавать переоцененные опционы. Если опционы на Известны трудности с подбором эквивалента для термина implied volatility, встречаются варианты:

подразумеваемая, предполагаемая, ожидаемая, внутренняя, индуцированная волатильность. Здесь не делается попытки перевода этого термина, а просто предлагается новый термин, подчеркивающий происхождение этой волатильности (так же как выше implied repo rate заменена на «доходность спот фьючерс»). Еще одним соображением является аналогия с interest-rate swap yield curve (кривой доходностей, выводимой из процентных свопов) – термин прямо указывает на источник данных для построения кривой.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» разных страйках имеют различную опционную волатильность, то покупатели сосредоточат спрос на наиболее дешевых в терминах опционной волатильности, а продавцы - на наиболее дорогих (для увеличения запаса по волатильности и уменьшения риска ошибки прогноза), что приведет к выравниванию цен в терминах волатильности.

Анализ реальных премий показывает, что этот вывод подтверждается лишь отчасти: как правило, опционные волатильности на соседних страйках близки, а кривая волатильности представляет собой плавную линию без резких перепадов. Однако чем сильнее страйк удаляется от цены базисного актива, тем заметнее отклонение волатильности от основного значения, в качестве которого принимается значение в центральном страйке. Это означает, что рынок принимает во внимание дополнительные факторы, которых не учитывает упрощенная модель движения цены базисного актива, положенная в основу теории.

Типичный пример кривой волатильности приведен на рис. 10.1. В таблице 10.1 показаны расчетные цены по опционам на фьючерс, базисным активом которого является западнотехасская нефть (NYMEX).

Расчетная фьючерсная цена при этом была равна 2522 цента за баррель.

страйк 2150 2200 2250 2300 2350 2400 2450 2500 2550 2600 2650 2700 2800 2900 Колл 373 324 276 228 183 143 107 76 52 33 22 14 6 2 Пут 1 2 4 6 11 21 35 54 80 111 150 192 Таблица 10. На всех страйках, где даны цены опционов колл и пут, выполняется пут-колл паритет (5.6), поэтому опционные волатильности коллов и путов на одном страйке совпадают. На рисунке 10.1 наряду с кривой волатильности показаны графики цен опционов.

600 500 400 300 5.06. 200 25 22.05. 100 20 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 0 2000 2200 2400 2600 2800 страйк страйк Рис. 10.1. Цены опционов и кривая волатильности Рис. 10.2. Кривые волатильности на торгах в FORTS Еще один пример кривых волатильности дает рис. 10.2, где данные получены обработкой сделок, заключенных в FORTS по июньским 2002 г. опционам на фьючерс на акции РАО «ЕЭС России». Цена фьючерса 22.05.02 и 5.06.02 колебалась в окрестности 5200 и 4200 соответственно.

Кривая на рис. 10.1 и нижняя кривая на рис. 10.2 характеризуются приподнятостью обеих ветвей по отношению к значению в центральном страйке. Кривая волатильности такой формы имеет название улыбки волатильности (volatility smile) и имеет простое объяснение. Дело в том, что гипотеза логнормальности распределения цены базисного актива в будущие моменты времени предполагает умеренные колебания цены. Вероятность резких скачкообразных изменений цены в соответствии с этой моделью очень быстро убывает с величиной скачка (известное «правило 3» - см. раздел 3.2). Так, исторической волатильности цены акции в 40% соответствует дневная волатильность 2.5%, при которой дневные колебания цены акции более 7-8% должны иметь вероятность порядка 0.003, или происходить не чаще одного раза в год. Реально, как известно, такие и бльшие изменения цены случаются гораздо чаще. Продавцы опционов всегда должны иметь в виду возможность возникновения подобной ситуации, которая для них будет сопряжена со значительными и даже, может быть, катастрофическими потерями (при скачке цены вверх для продавцов опционов колл и при падении для продавцов опционов пут). Если сопоставлять риск таких потерь с премией, полученной от продажи опционов, то наиболее уязвимой оказывается позиция продавцов дешевых опционов - опционов глубоко вне денег. Для компенсации дополнительного риска стоимость этих опционов увеличивается по сравнению с теоретическим значением, которое соответствует значению опционной волатильности в центральном страйке, причем увеличение может быть в несколько раз как в терминах волатильности, так и в денежном выражении.

Фактическое распределение дневных изменений цены отличается от логнормального с тем же средним и волатильностью так, как показано на рис. 10.3: реальный процесс имеет тенденцию чаще оказываться вблизи среднего значения при спокойном развитии рыночной ситуации, но это компенсируется время от времени возникающими периодами «больших скачков» (про такое распределение говорят, что оно имеет А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» цены опционов волатильность, % Волатильность % тяжелые или жирные хвосты - fat tails). Отклонение от логнормальности приводит к тому, что теория занижает стоимость опционов глубоко вне денег по отношению к опционной волатильности на деньгах.

Рис. 10.3. Утяжеление «хвостов» реального распределения скачков цены Другим типичным отклонением от логнормальности является асимметрия распределения изменений цены базисного актива (skew), которая выражается в приподнятости одной ветви кривой волатильности по отношению к другой. Такая ситуация возникает тогда, когда рынок «чувствует», что в одном из направлений возможно более значительное изменение цены базисного актива, чем в другом.

Например, если ожидается более резкое падение цены, то опционы пут вне денег оказываются дороже соответствующих опционов колл вне денег, чьи страйки симметрично расположены по отношению к центральному страйку, а это приводит к приподнятости левой ветви кривой волатильности по отношению к правой. Такая ситуация, и даже в более сильном варианте – монотонно убывающая с ростом страйка кривая волатильности (volatility skew) – характерна для опционов на фондовые индексы, исторические данные о которых демонстрируют бльшую вероятность резкого падения, чем такого же резкого роста. Однако на рис. 10.2 верхняя кривая (для 5.06.02) демонстрирует положительный наклон, что можно интерпретировать как ожидания роста цены фьючерса после значительного падения.

‰‡‚ ‚‡ ‡ ‡ ‡‡ ‡‡, ‡ „‚ ‚‡‚ ‚ fl‚ fl‚ fl ‡ ‰ ‰‚fl, ‡fl fl ‚‚‰ ‡ ( „ ‰‡). таким образом ‚‡fl ‰‰ ‚ шуточное «‰»: «the wrong number to put into the wrong formula to obtain the correct price» (R. Rebonato, Volatility and Correlation, 1999). fl ‰‰, ‡ ‡·‰‡ ‡ ‚ ‰·‡ · ‡‰‚‡ ‰ ‰‚fl ·‡„ ‡‚‡. ‰‡ · ‡ ‡ ‚ ‰‡ ‚„fl‰ · ‡·‡, ‰‚ ‚ ‚‡ ( ‚ ‚‡, ‰‚ „fl ‡ ‰‡‡ fl). ‡ «‡‚» ·‚ ‡‡ ‚ ‚‡, ‰flfl ‰ „ ‚‚fl ‰ ‡ ‚fl.

Рассмотрим более детально пример торгов в FORTS фьючерсами на акции РАО «ЕЭС России» с исполнением 17 марта 2003 года и опционами на эти фьючерсы за период 15.12.02 – 14.02.03. Всего за указанный период было совершено около 5000 сделок с опционами.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Рис. 10.4. Распределение оборотов по страйкам Рис. 10.5. Распределение временных сдвигов ‡. 10.4 ‡‡ ‡‰ ·‚ ‰ fl. ‡‚ ‡‰ ‰ ‰, ‰‚ ‰‚ ‚ ‚. ‰‚„ ‰ ‡ ‰‡ ‡‡ ‡‚ „‚ ‡‚ ‚ ‚ (. 10.5), ‡ ‡ ‚ ‚ „ ‚ ‰ ‡.

Для расчета опционных волатильностей · ‚‡ ‰ ‡-‡ ·‡ ‡‚ r = 10%.

Рис. 10.6. Опционные волатильности, страйк 4500 Рис. 10.7. Кривые волатильности ‡. 10.6 ‰‡‚ ‡ ‡‡ ‚‡ ‰fl ‚ ‡ ‡ 4500. „‡ ‚fl ‡ ‚ ‡· ‰ ‰ ‰‡ ‡ ‚ (, „‚, ‚ ‰ „‚ ‚fl ‚‡‡fl ‰· ). ‰ ‡ „‡ ·‡ «·‡», ‰fl ‡‡‡ „ ‰fl ·„‡ ‰.

‡· ·‚, ‚, ‚ ‡. ‰ ‰ „‡‰ ‚, ‡ ‡‡ ‡, ‚‡ ‚ ‡‚‡fl ‡‰ · ‚. ‰ ‚ ‰‡ ‚‡ ‡fl ‡ ‚ ‡ ‰ ‚‡ · ‡ ‡ 4500. fl ·fl „‡‚‡ ‰‡ ‚ ‰‡ ·fl ‡‡„ · „‡‚‡.

‚fl ‚ ‡ „‡‚‡ ‚‡ ·‰ ·‚‡fl ‚ ‚, ·‰ „‚ ‡ ‡.

‡. 10.7 ‡‡ ‚ ‚‡ ‰fl ‰‚ ‰, fl ‰‡ ‡ ‡ ‡‡ (‚ ‰‡fl ‡ ‰ ‚‚ „‚ ). ‚ · ‚‡ (volatility smile) – ‚‡fl ‡‚‡fl ‚‚ ‚ ‰fl. ‰‡ ‡ ·‡ ‰ ‰‡‚flfl ‡· ‰‰fl, ‰‡ ‡ ‡ ‚ ‡ r = 0 ‰‡ ‰‡ · ‡ fl ‡.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Рис. 10.8. Горизонтальные сдвиги кривой волатильности Рис. 10.9. Вертикальные сдвиги кривой волатильности ‡ fl ‚ ‚‡ ‰fl ‰.

‡‡ · ‡ fl ‚‡· „‚ ‡„, ‡ ‚. ‚ ‰, ‰‚ ·‡„ ‡‚‡ ‚‡fl ‚‡, ‚ ‚ ·, ‡‡ ‡fl ‚‡‚ ‚‚ ‚‰ ‡ (., o%*3C*=, C!%=›= "%=2,…%“2,, 2001). ‡.

10.8 ‡‡ „‡ ·‡„ ‡ „ „‡ ‚‡‡. „, ‰fl ‡‰„ ‡ ‚ ‰‡‡ ‡ u_min, ‚ ‚‡fl ‚‡ ‡ ·‡ ‡. 10.7 ‰„‡ ‡. ‰‚ ‚‰, ‚ u_min ‰ ‡ „‡ ·‡„ ‡ F_“=›.

‡fl‰ „‡ ‰‚„‡ flfl · ‚ ‚ ‚‡, ‡‡‚‡ ‚ Y_min (.

10.9). ‚ · ‚‡ ‚ ‡„ ‚ ‰‡‡ ‚‡ VES, fl‚fl„fl ‚‡ ‚ ‚· ‰„. ‰ „‚ ‰‡fl ‰‡ ‚‰ ‚ ‡ ‰‡‡, ‚ ‚fl:

• : Ei - Fi 1000 Fi - Ei 500, • : Ei - Fi 500 Fi - Ei 1000, „‰ Ei - ‡, Fi - ‡fl ‡ ‚ ‰. fl ‡ ‰ ‡‚‡fl ‡fl ‚‡ i ‡ ·‚flfl ‡ ‰‡‡:

VESi = vi / wi, „‰ Fi Fi - Ei 2 - Ei - - 500 vi = vi-1 + (1-)ie, wi = wi-1 + (1-)e, „‰ = 0.98, v0,w0 = 0.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Рис. 10.10. Параллельные сдвиги кривой волатильности ‡· ‡ ‰‚ fl ‚ ‚‡ ‰fl ‡ ‰fl„ ‰‡ · ‰ 45 30 ‰fl ‰ ‰‡ ‡. ‡. 10.10 ‰fl ‡ ‡‡ ‚:

• ‚‡fl ‚‡ ‰fl 38 ‰fl ‰ ‰‡ ‡ ();

• ‚‡fl ‚‡ ‰fl 37 ‰fl ‰ ‰‡ ‡;

• ‡ „‡„ ‚‡„ ‰‚„‚ ‚ ‡‡ ‚:

o „‡„ - ‡ ‚ fl ·‡„ ‡ (‚‚ ‡ 115);

o ‚‡„ - ‡ ‡ ‚, · ‰ ‡„ ‚‡‰fl ‚ 37-„ ‰fl ‚ ‚ ‡‡ (‚‚ ‡ 0.7).

‡„‰‡fl ‰‚ ‡‡ fl ‡fl ‚‡fl ‡‡„‡fl ‡ · ‚ ‚‡ 37 ‰fl, ‰‡fl ‚‡fl 38 ‰fl.

‡ ‚‡ ‰‚„ · · fl Y_min.

„‡ ‰‚„ ‚ ‚‡ «‚fl‡» ‰‚fl, ‚‡ ‚ „ ‡. ‡ 4500 ‡ 38 ‰ ‰ ‡, „‰‡ ‡fl ‡ ‡‚‡ 3940 (. 10.11). ‡fl ‚‡ ‡‚‡ 42.6%.

‡‡ ‡ fl ‚‡, ‡fl ‡fl ‚‡fl, ·‡‡fl «sigma_0=42.6». ‡ «sigma=sigma(F)» „, ‰‚ ‚‡fl ‚‡ ·‰ ‡‡ ‰‚„‡fl ‚‡‚-‚‚ -‡ „ ‡fl ‚‡ ‡ ‡ 4500 ·‰ flfl · ‚‰ ‡‡ `` ‡. 10.10.

‚‡fl ‚‡ ·‰ ‡fl ‚‚, ‡fl ‚‡ ‡ ‡ 4500 ·‰ ‚‡‡, ‡ ·‰ ·, ‰fl fl ‚‡ 42.6%. ‰‚ ‡ ‚‚ ·‰ ·‡.

Рис. 10.11. Уточнение коэффициента дельта Рис. 10.12. Уточнение коэффициента гамма „‡ ‡ ‰‡ „‡‡, ‡ ‡fl ‡‡ ‡‰‡ ‰ fl ‚‡. ‰‚ ‚‰. 10.11, 10.12, ‰ ‚ ‡‰„ „‡‚. 10.11 ` ‡ „, ‡‰‡‚‡ ‚‚ ‰‡, ‰fl fl ‰‡-‡.

. 10.11, 10.12 fl‚flfl ‡ ‰‡‚ ‚ ‰ ‡‡ ‡ ‡‡ ‡‡ ‚. 10.10.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» ‰‡ · ‚‡ · ·. fl „ ·‰ ‡‡:

• ‡‰‡ ‰‡ ‰fl fl ‚‡: = 0.24 ;

• ‚‚ ‡ ‚‡: Vega = 4.63;

• ‡‡ ‡‡ `` ‚ 4500, ‚‡ ‚‰ `` ‚ 4501: = 0.015.

‚‡ ‰‡ ‚flfl :

~ = -Vega * = 0.24 - 4.63* 0.015 = 0.17 (10.1) ‡ ‰ ‚‡fl ‚‡ ‚.

‰, ‡fl ‡ flfl ‚ ‚‚ „‡ ‚ ‡. 10.8, ‡ 38 ‰ ‰ ‰‡ ‡ ‚‡‡ ‰‡-‡‡fl fl:

100 ‚ 4500 ‰‡ 17 ‚. ‡ «sigma=sigma(F)» ‡.

10.11 ‡ ‡ ‡‚‡ ‚ ‡ ‡ ‰.

‰‡ ‡ ‰‚ ‰flfl ‚‡fl ‡fl ‚‡, (10.1) ‡‚‡fl ‚ ‰‡ ‡fl fl fl ‰fl ‰‰‡fl ‰‡-‡.

‡ ‡ ‚‰ ‚ ‡· 10.2.

12 3 4 5 6 7 89 10 11 12 h h h.

‰ ‡ ‡ ‡ ‡ „ ‡‡ ‡ „‡. 1. 2 ‡ 4500 fl ‚‡. % fl fl fl ‰‚„‡ ‡ ‡ ‡ ‡ 38 3940 83 42.6 -17 8300 0 0 0 0 0 3825 68 45.4 -12 8755 455 1.2 196 -252 575 519 3726 60 48.6 -10 9143 843 1.5 311 -492 1176 995 3665 53 50.2 -10 9053 753 0.4 341 -733 1306 914 3568 43 52.4 -8 9023 723 0.4 416 -969 1437 884 3573 43 52.8 -9 8983 683 0.5 416 -1181 1561 796 3635 48 52.4 -11 8925 625 0.7 445 -1400 1750 795 3695 53 51.7 -12 8765 465 0.0 482 -1638 1767 610 3711 52 51.6 -12 8473 173 0.1 486 -1897 1796 385 Таблица 10.2. Динамический хедж 6 ‰‡‡ fl ‡ ‚‡‡ ‡ ‡. ‡ 7 ‡‚‡ fl ‡‡. ‰‚ fl‚flfl ‰‡-‡, fl „ ‰ ‡‚ ‡‡‚fl ‰‚fl ‡, ‡ ‰flfl ‡ ‚fl ‰ ‡‚:

• «„‡‡-‡‡» 0.5(dF), „‰ - „‡‡, dF - ‡ ‰ ‰ ‰‚ fl ;

‚ „‡ 9 ‡ ‰‡ ‡‡‡ „ (‡‡„ ‚ „‡‡ 10 13);

• «‡-‡‡», fl ‡ ‚, ‰fl„ ‡ ‡ ‰fl ‡‰„ ‰ (‡ 10);

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» • «‚„‡-‡‡», fl ‚ ‡‚ ‚fl ‚‡. ‰‡ ‡‡ ‡ ‡‚ ‚‡ ‚‰ ``.

10.10. ‰‡ ‰ ‡ „ ‡ ‡·‰‡ ‚‡ ‚‡ ‡„‡‚‡, ‚‚‡ ‚ ‚‡, · ‚‡ ‰‚„‡, ‡ ‡ ‡ ·‡fl ‚ ‰ ‚fl ‡. ‡„‡‚‡ ‡ ‡ 4500, ‡‡ ‚ „‡ 8, ‰fl ‚ ‰ ‡‡, ‰‡ ‚‡‰ ‚ ‚ („‡‡ 11).

‰‡ ‚‡ „‡ ‡ ‡‡‡ ·‡ 30%, ‚‡ ‚ „‡ 4. „‡‡-‡ ‡-‡, ‰‡ ·‡„‰‡fl ‚ ·„ ‚fl ‚ ‚‡ ‡ „ ‚ ‡‚ ‡‚‡fl („‡‡ 12). ‰ „, ‡ ‚‚ ·, «‚ ‡», ‚‡ ·‡fl fl, ‡ ‚ ‡ 7 12 ‰‡ ·.

fl ‡‚fl ‚ ‰ „‡ ‰‡ ‚, ‡‡ ‡, ‡ ‚ „‡ 7, ‰‡ ‚‡ ‡‰‡„ ‡ ‰‡. ‚ ‡ ‡fl fl ‡ · (‡, ‚ ‚ ‰ ‡ 17, ‡ 24), ‚‡ ‚‚ ‡‡‚ ‰‚fl.

‰‡ ‡ ‡ ‡‰‡‡ ‡‡ ‡ fl. ‰‡ ‡ · ‚‡ ‰‡-‡, ·‚ ‡‡‚ ‰‚fl ‡, ‡ ·‡ ‰„‡. · ‡fl ‡ ‡, ‡ ‚ ‡„ – ‰‡ ‚ ‚, · · ‚.

10.3. ОПЦИОННЫЕ ИНДИКАТОРЫ Опционными индикаторами здесь названы показатели поведения рынка, рассчитанные на основе торгов опционами. Одним из них является так называемое отношение пут/колл (put/call ratio), равное объем торгов по опционам пут *100%, объем торгов по опционам колл где объемы торгов берутся за определенный день в контрактах. На рис. 10.13 отношение пут/колл рассчитано для опционов на фьючерсы на акции РАО «ЕЭС России», там же показана цена акции. Ввиду резких колебаний значений отношения пут/колл ото дня ко дню при построении графика осуществлено сглаживание данных методом экспоненциального скользящего среднего по формуле Ratiok+1 = * Ratiok + (1-) * ratiok+1, где ratiok, Ratiok - отношения пут/колл до и после сглаживания, k - номер дня, = 0.9 коэффициент.

В [15] отношение пут/колл отнесено к индикаторам «противоположного мнения»: отмечено, что при ожиданиях падения цены акции опционы пут начинают торговаться более активно, чем опционы колл. По мере того как падение рынка становится все более очевидным, широкая публика все активнее вовлекается в этот процесс, в результате рынок по инерции оказывается «перепродан», а отношение пут/колл достигает максимума в тот момент, когда уже пора покупать ввиду ожидаемой смены тренда. Тем самым максимум отношения пут/колл является сигналом к покупке. И наоборот, минимальное значение отношения пут/колл является сигналом к продаже.

Как показывает рис. 10.13, такие рассуждения не применимы пока к рынку опционов FORTS. Из графиков следует, что большое значение индикатора соответствует максимуму цены и тем самым скорее является сигналом к продаже, малое значение индикатора – сигналом к покупке. Эти сигналы следуют с А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» некоторым запаздыванием ввиду сильного сглаживания индикатора, однако даже с учетом запаздывания следование сигналам этого индикатора в основном давало бы положительный результат. Одним из объяснений инверсного поведения индикатора является то обстоятельство, что на рынке опционов в настоящее время работают в основном профессионалы. Ожидания падения цены акции немедленно приводят к возрастанию отношения пут/колл, тем более значительного, чем больше ожидаемое падение, и наоборот. По мере развития рынка можно рассчитывать на то, что сглаживание будет требоваться все в меньшей степени, отставание индикатора уменьшится, при этом смысл индикатора, по-видимому, также будет постепенно модифицироваться.

Рис. 10.13. Отношение пут/колл как технический индикатор Вопросы, связанные с опционной волатильностью как техническим индикатором, рассмотрим также на примере июньских 2002 г. фьючерсов на акции РАО «ЕЭС России» и опционов на эти фьючерсы.

Рис. 10.14. Цена июньского фьючерса на РАО «ЕЭС России» Рис. 10.15. Волатильности Непосредственно из графика цены фьючерса (рис. 10.14) видно, что с начала мая подвижность цены значительно выросла. На рисунке 10.15 изображены три типа волатильностей. Истинная волатильность для каждого момента времени рассчитана для временного отрезка, который остается до даты исполнения фьючерсов, по формулам (3.7), (3.8). Историческая волатильность определена по данным, которые известны на каждый текущий момент, методом EWMA с параметром = 0.90. Опционная волатильность рассчитана так же, как индикатор VES на рис 10.9. На основании приведенных данных можно сделать следующие выводы:

• опционная волатильность на рис. 10.15 в целом отслеживает динамику исторической волатильности, однако более консервативно реагирует на снижение исторической волатильности в марте – апреле, которое на фоне долговременных уровней волатильности (рис. 3.2, 3.3) выглядит как локальное;

этот консерватизм оправдывается, поскольку в мае - июне фактическая волатильность заметно возрастает;

• опционная волатильность, как правило, оказывается ближе к истинной волатильности, чем историческая, что не удивительно, поскольку опционная волатильность сама по себе является прогнозом, учитывающим всю имеющуюся на каждый момент времени информацию. Это усредненное мнение рынка относительно того, какой будет истинная волатильность базисного актива в оставшийся до истечения срока действия опционов период.

Дополнительная информация о настроениях рынка может быть получена из кривых волатильности. В таблице 10.3 для выборочных дней приведены опционные волатильности для различных серий июньских опционов, полученные обработкой и усреднением по всем сделкам в той или иной серии, совершенным в А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» течение дня. Хотя каждую строчку таблицы лишь условно можно назвать кривой волатильностей, она дает некоторое представление о характере торгов в указанный день. Выбранные даты отмечены на рис. 10. вертикальными линиями.

P C P C C P C P C P C C Дата 4000 4500 4500 4900 5000 5000 5100 5300 5500 5500 6000 3.04 42.6 37.4 37.6 39.4 36.9 38.1 33.7 35.7 34.6 45.0 46. 6.05 41.0 38.0 36.3 35.2 27. 16.05 36.1 39.2 37.0 35.0 43.4 48. Утро 38.2 34.9 50.6 45.8 58. 22. Вечер 46.2 45.4 41.2 39.6 45. 5.06 64.2 64.1 55.6 70.5 60.3 84.1 81.5 98. Таблица 10.3. Опционные волатильности Первая строка таблицы соответствует периоду, когда в динамике фьючерсной цены отсутствовал резко выраженный тренд, и, соответственно, кривая волатильности имела типичную форму «volatility smile».

Вторая строка относится ко дню, предшествовавшему резкому падению цены акции. Интересно, что хотя наблюдавшаяся до этого динамика фьючерсной цены не предвещала столь резкого движения, характер кривой волатильности показывает, что оно ожидалось. Это выражается и в отсутствии сделок по опционам с большими страйками, и в изменении формы кривой – левый край приподнят, правый опущен. Третья строка – это начало роста цены акции, и кривая волатильности демонстрирует ожидания дальнейшего роста:

больше торгуются опционы колл, правый край кривой волатильности приподнят. Дата 22 мая интересна тем, что изменение настроения трейдеров произошло в течение дня: резкое падение цены перед 14:00 (рис.

10.16) привело к смещению распределения торгуемых серий опционов по страйкам и изменению формы кривой. Наконец, локальный всплеск цены 5 июня был воспринят как начало восходящего тренда после значительного падения, однако резко возросшие опционные волатильности свидетельствовали также о повышенной неуверенности трейдеров в дальнейшем развитии событий.

Рис. 10.16. Цена июньского фьючерса в ходе торгов 22 мая Данный пример демонстрирует информационную ценность опционов: их премии, пересчитанные в кривую волатильности, более детально выявляют настроения рынка, чем цены базисного актива и фьючерсов. На западных рынках имеются многочисленные подтверждения того, что структура опционных премий предвещала крупные падения фондового рынка, например, в октябре 1987 года.

10.4. ПРИМЕР ДИНАМИЧЕСКОГО ХЕДЖА II В примере динамического хеджа I (раздел 9.2) теоретические стоимости опционов и коэффициенты чувствительности рассчитывались исходя из прогнозируемого значения волатильности. Более типичные стратегии опираются на реальные цены опционов и опционные волатильности.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий получение прибыли при падении опционной волатильности.

Этот пример относится к валютному рынку 1994 года, когда курс доллара был порядка 2000 рублей за доллар, и может показаться не актуальным. Но, во-первых, он иллюстрирует общие принципы, не зависящие от вида базисного актива и уровня его цены, во-вторых, хотелось бы упомянуть первую биржу в России, организовавшую торговлю опционами – ТМБ «Гермес».

На рис. 10.17 изображен график опционной волатильности на деньгах 0, полученный обработкой сделок на ТМБ «Гермес» в период 24.02.94 - 31.07.94.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Рис. 10.17. Опционная волатильность, опционы на курс доллара США Этому периоду предшествовала январско-февральская нестабильность, выразившаяся в скачках курса доллара. Как видно из рисунка, в последующем произошло почти четырехкратное (в терминах опционной волатильности) успокоение рынка.

‡‡ ‡ ‰fl ‡ 11 ‡‡ 1994 „‰‡, „‰‡ ‚ ‡ ‡ ‚‡ · ‰‡ 100 ‚ ‡ ‡ 100 ‚ ‡ ‡ 2000 ‰ ‰‡ ‡ - 15 ‡fl (‰‡‡fl ·‡fl ‡‚‡fl „). ‡ ·‡ ‡ 10.18.

Рис. 10.18. Пример динамического хеджа II В таблице 10.4 указаны следующие параметры:

• S - спот-курс доллара;

• F - котировка фьючерсного контракта с исполнением 15 апреля;

• C, P - реальные цены опционов колл, пут;

• C + P - суммарная цена опционов;

• - опционная волатильность;

• - коэффициент хеджа общего портфеля из опционов и фьючерсов, рассчитанный на основании опционной волатильности, до проведения очередной фьючерсной коррекции;

• I - открытая фьючерсная позиция после проведения очередной коррекции с целью получения нейтральной позиции относительно опционной волатильности;

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» • VM - денежная составляющая портфеля, равная суммарной вариационной марже (считаем, что опционы без уплаты премии).

Стоимости опционов и вариационная маржа приведены в расчете на один стрэнгл, а параметры и I относятся к 100 комбинациям.

i F C P C+P Vega VM I 0 1960 122 113 235 37.4 -8.2 8 -0.0034 3.51 -4.70 1 1942 107 119 226 36.4 6.4 2 -0.0036 3.47 -4.57 7. 2 1935 97 117 214 34.5 3.6 -2 -0.0039 3.33 -4.44 19. 3 1926 86 116 202 32.4 4.2 -6 -0.0042 3.15 -4.28 31. 4 1916 74 118 192 30.5 5.9 -12 -0.0045 2.98 -4.10 42. 5 1902 61 122 183 28.4 8.4 -20 -0.0049 2.73 -3.85 52. 6 1881 43 132 175 25.4 15.0 -35 -0.0052 2.28 -3.41 63. 7 1884 45 130 175 26.3 -1.8 -33 -0.0052 2.46 -3.36 62. 8 1892 47 123 170 26.4 -3.3 -30 -0.0054 2.59 -3.33 64. 9 1870 35 140 175 26.2 12.6 -43 -0.0052 2.39 -2.92 59. 10 1865 25 140 165 22.4 9.4 -52 -0.0055 1.85 -2.48 78. 11 1863 35 147 182 29.5 -7.7 -44 -0.0049 2.85 -2.70 62. 12 1883 33 124 157 19.1 16.5 -61 -0.0058 1.53 -2.00 78. 13 1865 15 136 151 18.1 3.0 -64 -0.0060 1.32 -1.76 95. 14 1847 13 154 167 21.3 5.8 -70 -0.0050 1.49 -1.54 90. 15 1832 11 169 180 22.8 4.3 -74 -0.0043 1.45 -1.40 88. 16 1830 8 170 178 22.2 5.7 -80 -0.0041 1.30 -1.05 91. 17 1825 7 175 182 23.5 1.7 -82 -0.0038 1.35 -0.92 91. 18 1810 4 190 194 24.1 6.1 -88 -0.0029 1.06 -0.62 92. 19 1805 3 195 198 25.2 2.3 -90 -0.0026 1.02 -0.49 92. 20 1800 1 200 201 22.7 5.5 -96 -0.0017 0.54 -0.24 94. 21 1809 1 191 192 23.4 -0.7 -95 -0.0019 0.64 -0.22 94. 22 1796 0 204 204 - 5.0 -100 - - - 94. 23 1795 0 205 205 - 0.0 -100 - - - 94. 24 1793 0 207 207 - 0.0 -100 - - - 94. Таблица 10. Опционная волатильность может определяться не только для отдельных опционов, но и для комбинаций опционов. В первой строке 0=37.4% - это волатильность, при которой общая теоретическая стоимость опционов колл и пут сравнивается с заданным значением 235. Нетипично высокие цены для опционов на доллар США в момент продажи опционов - порядка 40% в терминах волатильности объясняются скачками курса доллара в период, непосредственно предшествовавший операции, и сохранявшейся в это время повышенной неопределенностью на валютном рынке. Продавцы опционов колл назначали высокие премии из опасения повторения скачков, а покупатели соглашались на эти цены именно в расчете на возможное ускорение роста курса доллара. Премии же опционов пут связаны с премиями опционов колл.

Одновременно с падением опционной волатильности наблюдалось снижение фьючерсных котировок.

Рассмотрим в данной ситуации три возможных спекулятивных стратегии.

Первая заключается в пассивном ежедневном отслеживании цены стрэнгла с тем, чтобы определить момент его обратной покупки (закрытия позиций) по наименьшей цене. На рис. 10.18 линия «1-2-3-4-5» это траектория, по которой менялась цена комбинации по мере изменения всех ценообразующих факторов времени, фьючерсной котировки и опционной волатильности. Наилучший момент покупки, когда цена стрэнгла упала до минимального значения 151, помечен на рисунке цифрой 4, а в таблице выделен жирным шрифтом. Прибыль от всей операции на одну опционную комбинацию при этом составила 235-151=84 рубля.

Вторая стратегия является основной темой данного раздела. В этой стратегии не требуется точно прогнозировать истинную волатильность фьючерсной котировки на весь оставшийся срок существования опционов. Достаточно лишь правильно предвидеть, что истинная волатильность окажется ниже текущей А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» опционной волатильности (или выше - тогда занимается противоположная позиция). Рассчитав в день открытия опционных позиций опционную волатильность 0=37.4% и коэффициент 0 =-8.2, необходимо купить 8 фьючерсных контрактов и тем самым занять -нейтральную позицию. На следующий день опционная волатильность уменьшилась, что в сочетании с удешевлением стрэнгла из-за временного фактора привело к начислению положительной вариационной маржи по портфелю. Как всегда, вариационную маржу можно приблизительно оценить с помощью коэффициентов чувствительности:

~ 0 + (F1 - F0) + 0.50(F1 - F0)2 +Vega0(1 -0) = =3.51+(-0.002)(-18)+0.5(-0.0034)1818+(-4.70)(-1)=7.58.

~ Здесь - остаточный коэффициент после выравнивания опционной позиции (на одну комбинацию). Вклад второго слагаемого в общую сумму достаточно мал, кроме того, усредняется на ~ протяжении нескольких шагов, поскольку величина случайно колеблется в пределах -0.005 - 0.005.

Первое и третье слагаемые вместе в среднем оказываются положительными, поскольку по предположению реальная волатильность меньше опционной, а в этом случае отрицательный третий член не способен скомпенсировать положительный первый (см. (9.3)). Последний член также, как правило, положителен, поскольку опционная волатильность имеет тенденцию к уменьшению, подтягиваясь к реальной по мере успокоения рынка на фоне достаточно плавного движения курса и фьючерсных котировок.

Влияние этих двух факторов приводит к тому, что числа в последней колонке таблицы 10.4 возрастают, за исключением тех дней, когда тенденция к снижению опционной волатильности кратковременно нарушается. При этом окончательная прибыль составляет приблизительно 95 рублей на один стрэнгл.

Третья стратегия - это стратегия типа той, которая была описана в примере динамического хеджа I.

Истинная волатильность фьючерсной котировки, определенная апостериори, составляет здесь всего 9%.

Если 11 марта достаточно точно спрогнозировать будущую волатильность на уровне 10% (на рис. 10. линия «11.03.94, 10%»), исходя из этого прогноза рассчитывать коэффициент и проводить ежедневные коррекции фьючерсной позиции, то получаются данные, приведенные в таблице 10.5.

i F C P C+P VM (C + P) I 0 1960 122 113 235 114.40 -10.8 -11 1 1942 107 119 226 113.97 17.4 6 1. 2 1935 97 117 214 114.62 6.6 13 1. 3 1926 86 116 202 115.48 8.2 21 1. 4 1916 74 118 192 117.41 9.7 31 1. 5 1902 61 122 183 120.75 13.4 44 0. 6 1881 43 132 175 132.00 18.3 62 2. 7 1884 45 130 175 130.15 -2.1 60 2. 8 1892 47 123 170 125.00 -6.4 54 1. 9 1870 35 140 175 138.35 17.8 72 3. 10 1865 25 140 165 140.68 5.6 78 2. 11 1863 35 147 182 142 0.9 79 1. 12 1883 33 124 157 127 -15.4 64 2. 13 1865 15 136 151 140 14.4 78 4. 14 1847 13 154 167 155 11.6 90 5. 15 1832 11 169 180 169 6.8 97 5. 16 1830 8 170 178 170 0.2 97 4. 17 1825 7 175 182 175 1.0 98 4. 18 1810 4 190 194 190 2.0 100 5. 19 1805 3 195 198 195 0.0 100 5. 20 1800 1 200 201 200 0.0 100 5. 21 1809 1 191 192 191 0.0 100 5. 22 1796 0 204 204 204 0.0 100 5. 23 1795 0 205 205 205 0.0 100 5. 24 1793 0 207 207 207 0.0 100 5. Таблица 10. А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» В шестой колонке указана суммарная теоретическая стоимость опционов колл и пут, а в последней расчетная суммарная вариационная маржа при условии, что опционы проданы за 114 и ежедневные расчетные цены опционов равны теоретическим (то есть динамический хедж моделируется аналогично таблице 9.3). Поскольку реально опционы были проданы за 235, то нетрудно убедиться, что в действительности суммарная вариационная маржа будет нарастать и к концу операции составит 235-114.4+5.18126.

В той последовательности, в которой рассматривались эти три стратегии, каждая последующая давала большую прибыль, чем предыдущая, в полном соответствии со сложностью прогноза и реализации каждой из них. Это не является универсальным правилом, так как, например, при курсе на 15 апреля в диапазоне 1900-2000 первая «пассивная» стратегия закончилась бы с максимально возможной прибылью в 135 рублей на одну комбинацию.

Ко всем этим линиям поведения на рынке можно отнести следующее замечание. Лучшей стратегией считается не та, где ожидается наибольшая прибыль, а та, где лучше соотношение предполагаемой прибыли и риска потерь. В этом смысле рассмотренные стратегии высокорискованные. Количественно риск оценивается рядом локальных и глобальных параметров. К последним относятся предельные значения коэффициента дельта для очень малых и больших значений цены базисного актива. Если эти коэффициенты отрицательны, то чем они больше по абсолютной величине, тем значительнее риск потерь при резком движении цены базисного актива. Если предельное значение на краях позиции равно нулю (график имеет горизонтальные «хвосты»), то можно говорить о максимальных прибылях или убытках при движении цены базисного актива в этом направлении. Локальные параметры характеризуют запас по волатильности, запас по времени и положительные интервалы цены базисного актива, в которых позиция сохраняет потенциальную прибыль. Например, при реализации третьей стратегии запас по волатильности оценивается в 37-10=27%, а положительный интервал фьючерсной котировки на начало операции ограничен точками пересечения линии теоретической стоимости «11.03.94, 10%» с горизонтальной осью (точки А, В на рис.

10.10). Влияние фактора времени в данном примере благоприятно, и говорить о запасе по времени не имеет смысла. Если бы опционы были недооценены, то следовало бы проводить операции, начинающиеся с покупки стрэнгла и т.д., и в этом случае при неизменной фьючерсной цене ожидаемая прибыль исчезла бы приблизительно через (ожидаемая прибыль)/тета дней.

Рекомендуется при достижении позиции, имеющей потенциальную прибыль, потратить часть ее для уменьшения риска. Например, в условиях рассмотренного примера наряду с продажей опционов целесообразно было бы ограничить возможные убытки покупкой сравнительно дешевых опционов колл на далеком страйке и пут на малом страйке (то есть опционов глубоко вне денег).

Выше разобраны базовые подходы к «торговле волатильностью». Более тонкие методы приходится привлекать, если в среднем кривая волатильности располагается на том же уровне, что и прогноз, и тем самым в целом запаса по волатильности нет. Эти приемы опираются на анализ формы кривой волатильности, продажу относительно переоцененных и покупку недооцененных опционов на различных страйках. Дополнительные возможности связаны с различием кривых волатильности, полученных практически одновременно, но для различных месяцев экспирации. Эта информация используется при выборе оптимальных временных спрэдов. Некоторые свойства временных спрэдов рассмотрены в следующей главе.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» ГЛАВА 11. ОСНОВНЫЕ СПРЭДЫ И КОМБИНАЦИИ ОПЦИОНОВ В разделе 2.5 упоминалось, что среди многообразия позиций выделены некоторые стандартные комбинации. В этой главе имеется возможность перечислить данные комбинации и показать динамику их стоимости во времени, используя формулу Блэка-Шоулса.

Синтетическая длинная фьючерсная позиция - это покупка опциона колл на некотором страйке E и продажа опциона пут на том же страйке. Если даны текущие цены продажи опциона колл C и покупки опциона пут P, то цена, по которой может быть открыта синтетическая длинная фьючерсная позиция, равняется E + C - P.

Добавление к купленному синтетическому фьючерсу короткой позиции по «обычному» фьючерсу дает комбинацию, называемую реверсией (reversal). Противоположная ей - конверсия (conversion) - представляет собой длинную позицию по фьючерсу и короткую по синтетическому фьючерсу. Синтетический фьючерс продается по цене E + C - P. Конверсия и реверсия используются при нарушении пут-колл паритета (6.4) для получения арбитражной прибыли. Более точно, конверсия для опционов без уплаты премии оказывается прибыльной при условии C - P > F - E, а реверсия - при условии C - P < F - E. Для опционов с уплатой премии в правой части неравенств появляется дисконтирующий множитель e-rT.

В конверсии и реверсии фьючерсная позиция иногда заменяется позицией по опциону глубоко в деньгах, график которой мало отличается от графика фьючерса (например, 4000 колл и 6000 пут на рис. 7.3, 7.4).

Синтетический фьючерс, образованный из европейских опционов с уплатой премии, в определенных обстоятельствах обладает преимуществами по сравнению с «обычным» фьючерсом. При открытии фьючерсных позиций требуется предусмотреть определенные резервные средства в рублевых или иных высоколиквидных активах на возможное погашение отрицательной вариационной маржи. Это как минимум отвлекает часть средств от более эффективного размещения и вносит элемент неопределенности в расчет доходности операции (так как размещение резервных средств, например, в ГКО может потребовать досрочной продажи ГКО на неизвестную заранее сумму), а как максимум может привести к преждевременному принудительному закрытию позиций. По синтетическому фьючерсу вариационная маржа не начисляется и не списывается по мере движения фьючерсной котировки, вместо этого меняется размер начальной маржи, которую участник торгов обязан держать на бирже или в Клиринговой палате в качестве гарантийного обеспечения по открытым позициям (начальная маржа подробно обсуждается в главе 13). Начальная маржа может быть внесена доходными ценными бумагами, принимаемыми биржей, без необходимости превращения их в рублевые средства вплоть до момента окончательного расчета на дату экспирации.

Синтетический фьючерс в такой трактовке скорее следует называть синтетическим форвардом, поскольку именно форвардный контракт предполагает исполнение или проведение единовременного денежного расчета в указанную в договоре будущую дату. Существует и отличие синтетического форварда от обычного: если покупатель форвардного контракта в период действия контракта продает такой же контракт, то он фиксирует свои прибыли или убытки как разность между ценами покупки и продажи, однако получение этой прибыли откладывается до момента исполнения контрактов всей образовавшейся цепочкой. Синтетический форвард обеспечивает механизм закрытия позиций путем совершения обратных операций по опционам колл и пут с немедленным расчетом по премиям.

В случае синтетического фьючерса, образованного американскими опционами с уплатой премии, отмеченные преимущества по составу гарантийного обеспечения ослабляются постоянно существующей возможностью досрочного исполнения опционов держателями, что повлечет за собой необходимость выплаты продавцами опционов отрицательной вариационной маржи в рублях. Если же синтетический фьючерс образован опционами без уплаты премии, то его свойства мало отличаются от обычного фьючерса.

Возможна ситуация, когда выгодным оказывается купить синтетический фьючерс, образованный опционами на одном страйке, и продать синтетический же фьючерс, образованный опционами на другом страйке. Такая комбинация называется бокс (box - ящик, коробка). Для опционов без уплаты премии стоимость такой позиции теоретически равна разности страйков, для опционов с уплатой премии дисконтированной разности страйков, то есть уменьшенной на стоимость удержания позиции.

Близкой к боксу является комбинация длинной позиции по синтетическому фьючерсу с одним месяцем исполнения и короткой позиции по синтетическому фьючерсу с другим месяцем исполнения (jelly roll). Эта позиция напоминает обычный спрэд на фьючерсах с различными сроками исполнения. Стоимость позиции равна разности фьючерсных цен на эти месяцы поставки с учетом или без учета издержек удержания позиции в зависимости от способа расчетов по опционам.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Синтетическая длинная позиция по опциону пут образуется в результате покупки опциона колл и продажи фьючерса. Другие аналогичные комбинации получаются перестановкой членов в символическом соотношении P=C-F.

Позиция колл-спрэд быка (bull call spread) образуется при покупке опциона колл и продаже другого опциона колл на большем страйке (рис. 11.1). Такой же в общих чертах график соответствует пут-спрэду быка - продаже опциона пут и покупке опциона пут на меньшем страйке. Эти позиции являются длинными рыночными позициями ( > 0 ) и оказываются прибыльными при росте фьючерсной котировки - отсюда их название. Если опционы с уплатой премии, то между двумя способами формирования позиции (на коллах или на путах) имеется существенное различие. В первом случае покупаемый колл будет дороже продаваемого, поэтому занятие такой позиции потребует уплаты разности премий – дебитный спрэд (debit spread). Во втором случае продаваемый пут будет дороже покупаемого, то есть на счет поступят средства – кредитный спрэд (credit spread).

Рис. 11.1. Спрэд быка Рис. 11.2. Спрэд медведя Если поменять в предыдущих определениях слова покупка и продажа, то соответствующие позиции будут называться колл-спрэд и пут-спрэд медведя (bear call/put spread, рис. 11.2).

В отличие от длинных или коротких фьючерсных позиций эти спрэды характеризуются ограниченными убытками, что достигается ценой ограничения потенциальных прибылей. Выбор между прямой фьючерсной позицией и спрэдом зависит от большей или меньшей склонности трейдера к риску, а также от рыночной ситуации.

Рис. 11.3. Колл-бэкспрэд Рис. 11.4. Пут-бэкспрэд Если модифицировать колл-спрэд медведя таким образом, что количество купленных опционов станет больше количества проданных, то такая позиция называется колл-бэкспрэд (call backspread, рис. 11.3).

Пут-бэкспрэд изображен на рис. 11.4. Для противоположных позиций применяются специальные названия:

вертикальный колл-спрэд с коэффициентом и вертикальный пут-спрэд с коэффициентом (call vertical ratio и put vertical ratio). Часто соотношение позиций обеспечивает -нейтральность портфеля.

Длинный стрэдл (straddle) состоит из купленных в одинаковом количестве опционов колл и пут на одном страйке (рис. 11.5).

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Рис. 11.5. Длинный стрэдл Рис. 11.6. Длинный стрэнгл Перевернутая позиция (проданные опционы) называется короткий стрэдл.

Если куплены опционы на разных страйках, то получается стрэнгл (strangle, рис. 11.6). В стрэнгле, рассмотренном выше в примере динамического хеджа II, опцион колл имел меньший страйк, чем опцион пут. Такая комбинация носит специальное название guts.

Короткие стрэдлы и стрэнглы потенциально несут риск неограниченных убытков. На рис. 11. изображена длинная бабочка на опционах колл (butterfly), которая характеризуется ограниченными убытками. Хотя эта позиция в средней части близка по виду к короткому стрэдлу, она является именно длинной, то есть ее открытие потребует затрат (в случае опционов с уплатой премии). Дело в том, что при фиксированной фьючерсной цене стоимости опционов в зависимости от страйка описываются выпуклой кривой - см. рис. 7.3, 7.4, и два опциона на некотором страйке стоят меньше, чем два опциона, чьи страйки расположены симметрично справа и слева. Еще одно объяснение сводится к тому, чтобы изобразить графики прибылей/убытков без сдвигов на величины премий - то есть использовать функции выплат типа изображенных на рис. 2.1 - 2.4. В этом случае суммарный график покажет ожидаемые выплаты владельцу позиции на дату экспирации опционов. Так как график целиком лежит в неотрицательной области, то за такую позицию в момент открытия необходимо платить.

Рис. 11.7. Бабочка Рис. 11.8. Кондор Контур бабочка может быть получен еще 3 способами:

1 длинный 4800 пут 1 длинный 4800 пут 1 длинный 4800 колл 2 коротких 5000 пут 1 короткий 5000 колл 1 короткий 5000 колл 1 длинный 5200 пут 1 короткий 5000 пут 1 короткий 5000 пут 1 длинный 5200 колл 1 длинный 5200 пут Определить, являются ли приведенные позиции дебитными или кредитными в случае опционов с уплатой премии.

На рисунке 11.8 изображен график позиции кондор. Она также может быть составлена как минимум способами.

Рассмотренные выше колл и пут спрэды быка и медведя относятся к вертикальным спрэдам.

Горизонтальным, временным или календарным спрэдом называется комбинация купленного и проданного опционов одного класса с одним страйком, но с разными датами экспирации. Данная терминология связана с тем, что стандартная биржевая сводка перечисляет страйки по вертикали, а месяцы экспирации - по горизонтали. Если опцион с более удаленной датой экспирации покупается, а с ближней продается, то горизонтальный спрэд является дебитным, поскольку опцион с дальней датой экспирации при прочих одинаковых параметрах - фьючерсных котировках и волатильности - стоит дороже.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Эволюция этой позиции со временем в предположении синхронного движения фьючерсных цен изображена на рис. 11.9.

Возрастание стоимости спрэда в окрестности страйка объясняется тем, что проданный опцион с более коротким сроком существования быстрее теряет со временем свою стоимость. Опцион с дальним страйком сильнее реагирует на возрастание опционной волатильности, поэтому коэффициент вега этой позиции положителен и совпадает со знаком коэффициента тета. В этом состоит особенность горизонтальных спрэдов, поскольку для позиций с одной датой экспирации знаки этих Рис. 11.9. Календарный спрэд коэффициентов противоположны.

Использованное здесь предположение о постоянном совпадении цен фьючерсных контрактов с разными месяцами поставки как бы автоматически выполняется, если речь идет об опционах на акцию или валюту. В случае опционов на фьючерсы ситуация усложняется необходимостью учета различной динамики цен фьючерсов с разными месяцами поставки. Если в горизонтальном спрэде страйки опционов различны, то такой спрэд называется диагональным.

Перечисленные выше позиции можно строить “поэлементно”, последовательно заключая сделки по отдельным опционам. Однако распространена также торговля целыми комбинациями. Скажем, можно подать заявку на покупку 100 бабочек на страйках 4800, 5000, 5200 по цене 30.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» ГЛАВА 12. ХЕДЖИРОВАНИЕ 12.1. ХЕДЖ С ИСПОЛНЕНИЕМ СРОЧНОГО КОНТРАКТА Рассмотрим операции хеджирования на примере валютных срочных контрактов. Вернемся к рассуждениям, которые в разделе 4.1 были обоснованием формулы форвардного валютного курса.

Предположим, что заимствованы доллары в количестве D на срок T под процент r, возврату подлежит B сумма Der T. Пусть курс доллара на момент получения займа равен S, доллары переводятся в рубли по этому курсу, а полученная сумма размещается под процент r на срок T. По истечении этого срока имеется рублевая сумма DSerT. Если курс доллара на этот момент равен ST, то для возврата долга требуется B рублевая сумма DSTer T. Обозначим R количество рублей, которое остается в результате всей операции после возврата долга (отрицательная величина означает нехватку средств):

rT rB T B B R = DSe - DS er T = De ( F - ST ), T B ( r - rB ) T где F = Se - форвардный курс (см. (4.3)). Графически зависимость R от ST изображается B прямой XX на рис. 12.1. Ясно, что операция сопряжена с риском потерь, если ST окажется выше F.

Для устранения данного риска применяются срочные контракты. Предположим, что одновременно с rB T получением валютного займа заключается форвардный или фьючерсный контракт на покупку De долларов по цене F. На рис. 12.1 изображена линия прибылей/убытков YY этого контракта в B rB T предположении, что F меньше F, а De = $1. При этом суммарная позиция оказывается горизонтальной прямой ZZ в положительной области, то есть результатом операции является фиксированная прибыль, не зависящая от ST. Этот вывод очевиден и без приведенного графического анализа, поскольку форвардные или фьючерсные контракты дают право конвертировать рубли по цене F.

Однако разложение линии ZZ на сумму двух наклонных показывает, что операция по займу валюты и т.д.

эквивалентна занятию короткой форвардной позиции со сроком исполнения T.

Рис. 12.1. Позиция на спот-рынке XX и противоположная фьючерсная YY Применение срочных контрактов для устранения или уменьшения риска, связанного с неопределенностью будущих цен, а также процентных ставок, называется хеджированием. Хеджирование это занятие на срочном рынке позиции YY, противоположной позиции на спот-рынке XX. Если бы хеджер проводил обратную операцию - заимствование рублей, конвертацию их в доллары и т.д., - то его позиция на наличном рынке была бы длинной, а для устранения риска следовало бы продавать форварды или фьючерсы.

Использование фьючерсов в данном примере действительно защищает от нежелательного роста курса доллара, однако подобно некоторым лекарствам имеет отрицательный «побочный эффект». Этот эффект проявляется при падении фьючерсной котировки и выражается в необходимости выплаты неизвестной заранее вариационной маржи. Если в некоторый момент средств на выплату маржи не окажется, то хеджерские позиции будут принудительно закрыты. Самым неблагоприятным сценарием развития событий после этого будет резкий взлет курса доллара.

Хеджирование форвардными или фьючерсными контрактами является частным случаем более сложных позиций, включающих опционы. При этом все изложенное в предыдущих главах остается в силе с тем А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» замечанием, что в суммарные позиции необходимо включать линию прибылей/убытков на наличном рынке XX.

Рис. 12.2. Хеджирование опционами колл B Так, в рассмотренном примере покупка опциона колл на Der T долларов дает синтетический пут (рис.

rB T 12.2, где De = $100 ). Хотя эта позиция не является -нейтральной ( < 0 ), низший горизонтальный уровень графика на дату экспирации при этом фиксирован. В данном примере конкретные параметры произвольно выбраны такими, что этот уровень нулевой. Если для хеджа использовать опцион колл на меньшем страйке, то горизонтальный уровень окажется положительным и будет приближается к линии ZZ по мере снижения страйка, однако и точка излома линии выплат синтетического пута, ниже которой прибыли возрастают по отношению к минимальному уровню, будет смещаться влево. Стоит заметить, что в позициях такого рода приведенные выше методы оценки стоимости опционов, основанные на прогнозе волатильности цены базисного актива, могут дополняться или заменяться другими соображениями - а именно, приемлемости цены опциона с точки зрения доходности всей операции при реализации наихудшего сценария.

Хеджирование опционами снимает проблему риска принудительного закрытия позиций, характерную для страхования фьючерсами, поскольку средства на поддержание опционных позиций заранее известны и ограничены размером премии. Платой за это является некоторое снижение гарантированной прибыли по отношению к уровню ZZ (но появляется возможность и более благоприятного исхода).

Особо следует остановиться на стратегиях, которые выше были названы динамическим хеджем. В ситуации, изображенной на рис. 12.2, -нейтральная позиция может быть получена покупкой соответствующего дополнительного количества фьючерсов, и тогда последующая коррекция фьючерсной позиции будет поддерживать стоимость портфеля на уровне ZZ. Возможен также вариант, когда опционы B колл покупаются не на количество долларов Der T, а на такое большее количество, при котором позиция сразу оказывается -нейтральной. Если в первом или втором случаях удается купить недооцененные опционы, то такая стратегия позволяет совместить хедж и спекуляцию на волатильности и получить результат, превышающий чисто «фьючерсный».

Существует понятие «управление хеджем», которое в простейшем варианте является ничем иным как спекуляцией. Этот вариант сводится к тому, чтобы при ожидании роста или падения фьючерсной котировки отходить от -нейтральности и занимать соответственно длинную или короткую суммарную позицию, тем большую, чем выше уверенность в правильности прогноза. Например, если на рис. 12.1 уменьшить количество фьючерсных позиций, возможно, до нуля, в расчете на падение фьючерсной котировки, то возникнет короткая позиция. Когда после некоторого периода движения котировки вниз наступает момент неопределенности, можно вновь купить фьючерсные контракты. Поскольку это произойдет по меньшей цене, суммарная горизонтальная позиция окажется выше первоначальной. Необходимость управления хеджем возникает также в связи с использованием опционов, так как поддержание -нейтральной позиции требует коррекций позиции.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Рис. 12.3. Продажа путов против короткой спот-позиции Следует упомянуть еще об одной распространенной стратегии при короткой позиции на наличном рынке, хотя эта стратегия и не является хеджевой - продаже опционов пут. Суммарная позиция выглядит как проданный колл (рис. 12.3). Такая позиция характерна для участников торгов, которые не ожидают B существенного отклонения курса ST от F и, с одной стороны, продажей опционов пут отодвигают точку безубыточности B вправо, с другой, стремятся увеличить прибыль от операции. Чем меньше страйк продаваемого опциона пут, тем более агрессивной считается стратегия, поскольку это увеличивает максимальную потенциальную прибыль от позиции, но уменьшает защиту от роста курса. Такая позиция покупкой фьючерсных контрактов или увеличением количества проданных путов может быть сделана -нейтральной, но с отрицательной и риском неограниченных убытков, что не позволяет считать ее полноценным хеджем.

Выше речь шла о комбинациях с короткой позицией на спот-рынке. Соответствующие сочетания с длинной позицией на наличном рынке получаются продажей фьючерсов, покупкой опционов пут или продажей опционов колл.

Реально хеджирование не устраняет риск полностью, а лишь уменьшает его. Например, если в данном примере используется фьючерсный контракт, то при падении фьючерсных котировок существует вероятность невозможности выплаты отрицательной вариационной маржи с принудительной ликвидацией позиций. Не исключен до конца вариант неисполнения контрактов, особенно форвардных, когда хеджер не получает того, на что рассчитывал. Если при резком скачке курса доллара вверх контрагент лишь частично оплачивает свои потери, то для спекулянта это означает недополучение выигрыша, тогда как хеджер несет убытки. Еще одна, и самая существенная, причина сохранения неопределенности относительно результата хеджирования заключается в наличии базиса.

12.2. БАЗИС Понятие базиса было введено в разделе 4.4. Здесь оно рассматривается более подробно.

В приведенных выше примерах хеджирования фьючерсными контрактами считалось, что можно подобрать контракт, срок исполнения которого совпадает с датой возврата заимствованных средств, то есть точно соответствует потребностям хеджера. Это не всегда возможно. Более того, условия товарных фьючерсных контрактов, например, на поставку нефти, обычно оговаривают не точную дату исполнения, а некоторый интервал порядка месяца, в течение которого должна произойти поставка, причем право выбора даты поставки предоставляется продавцу. В товарных фьючерсных контрактах часто указывается вполне определенное место поставки/приема товара, которое может быть неудобным для хеджера. Может также оказаться, сорт или марка товара, с которым имеет дело хеджер, отличаются от оговоренных в спецификации биржевого фьючерсного контракта.

По этим причинам фьючерсные контракты обычно не доводятся до исполнения. Типичная схема хеджирования фьючерсами выглядит следующим образом. Предположим, что 1 сентября нефтедобывающее предприятие планирует продажу нефти 1 декабря. Для страхования от понижения цен к этому сроку сентября продаются фьючерсные контракты с датой исполнения 15 декабря по цене 20 долларов за баррель.

1 декабря эти контракты закрываются по цене 16 долларов за баррель, и одновременно продается нефть на спот-рынке по цене 15 долларов за баррель. С учетом полученных на фьючерсном рынке 20-16=4 долларов за баррель фактически нефть продана по цене 15+4=19 долларов за баррель.

К этому числу можно прийти иным способом. Разность между ценой фьючерсного контракта, который предполагается использовать для проведения хеджа, и спот-ценой товара называется базисом (часто под базисом понимают противоположную величину – рекомендуется уточнять, что условлено считать базисом в А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» том или ином случае). 1 декабря базис составил 16-15=1 доллар за баррель. Если бы еще 1 сентября удалось точно спрогнозировать базис на 1 декабря, то в начале операции можно было бы определенно утверждать, что окончательная цена нефти будет равна разности между фьючерсной ценой 1 сентября и базисом: 20 1=19.

В действительности базис заранее неизвестен, и возникающая из-за этого неопределенность в конечном результате называется риском базиса. Смысл данной схемы хеджирования заключается в том, что колебания базиса обычно существенно меньше колебаний собственно цены базисного актива, поэтому неопределенность снижается.

В первом приближении можно считать, что колебания базиса просто вносят неуправляемую составляющую в окончательный результат. На рис. 12.1 по горизонтальной оси одновременно были отложены ST и текущая фьючерсная котировка, поскольку предполагалось, что к моменту поставки эти величины совпадут. В данной схеме хеджирования на момент окончания операции между ними остается неизвестный заранее «зазор» - базис. Если считать, что по оси отложена фьючерсная котировка, то сдвиг ST приводит к понижению или повышению линии, изображающей короткую спот-позицию. При этом коэффициент этой позиции не меняется, поэтому с точки зрения динамического хеджа стратегия остается той же.

Более сложные стратегии получаются при учете статистических взаимосвязей между ценой хеджируемого товара и фьючерсными котировками. Следующий пример демонстрирует проблемы, которые возникают при отсутствии фьючерсного контракта на актив, с которым имеет дело хеджер. В этом случае приходится использовать срочный контракт на родственный базисный актив, цена которого по возможности максимально коррелированна с ценой хеджируемого актива. Хедж, в котором базисный актив срочного инструмента отличается от реального хеджируемого актива, называется перекрестным (кросс-хеджем).

Предположим, что в конце сентября принимается решение о закупке бензина 30 ноября того же года.

На рис. 12.4 изображены цены на бензин и фьючерсный контракт на нефть сорта WTI с окончанием торговли в конце декабря (по месяцу поставки называемый январским). Из графиков видно, что к концу сентября наметилась благоприятная тенденция падения цены на бензин, которая, однако, в первой декаде октября была нарушена. Для того, чтобы воспользоваться все еще сравнительно низкими ценами на бензин в этот период и застраховаться от возможного повышения цен в дальнейшем до уровня, при котором закупка бензина становится нерентабельной, хеджер предпринимает операции на срочном рынке, используя ближайший январский фьючерс на нефть (контракты с более отдаленными сроками обычно менее ликвидны и слабее связаны с ценами-спот).

Ясно, что на спот-рынке хеджер занимает короткую позицию, которую графически можно изобразить аналогично B линии «F = 5100» на рис. 12.1.

Для определения количества покупаемых фьючерсных контрактов необходимо проанализировать, как связаны изменения цен бензина и фьючерса. Простейший способ состоит в том, чтобы по данным за предшествующий период построить так называемую линию регрессии (рис. 12.5). Каждая точка здесь соответствует паре цен Рис. 12.4. Хеджирование операций с бензином фьючерсами на нефть {фьючерс на нефть, бензин}, а линия подбирается так, чтобы наилучшим образом «вписаться» в массив точек. Наклон этой линии приблизительно равен 2, то есть изменению цены фьючерса на нефть соответствует двукратное изменение цены бензина.

На рисунке 12.4 наряду с указанными выше реальными ценами изображена также расчетная линия “2Нефть-Const”, получающаяся двукратным увеличением цены фьючерса на нефть («растягиванием» колебаний цены) и смещением вниз на некоторую константу, не имеющую в данном случае значения.

Непосредственно из графиков видно, что покупка фьючерсных контрактов в удвоенном по отношению к объему планируемой бензиновой сделки количестве действительно компенсирует, хотя и с определенными погрешностями, последующий рост цены на бензин. Тем самым цель хеджирования достигается.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» В рассмотренном примере важное значение имеет анализ динамики двумерного случайного процесса и прогнозирование в каждый текущий момент направления вектора его наиболее вероятного изменения. Для этого могут применяться и более сложные статистические методы по сравнению с описанным выше.

Коэффициент хеджа подбирается так, чтобы вдоль линии наиболее вероятного изменения цен стоимость общей позиции не менялась. В любом случае найденный выше коэффициент пропорциональности между объемами позиций может пересматриваться, а это также влечет за собой необходимость Рис. 12.5. Определение коэффициента хеджа управления хеджем.

12.3. EFP - СДЕЛКИ EFP является сокращением для exchange of futures for physicals и означает «обмен фьючерсов на физический товар» (употребляются также выражения against actuals и versus cash). Такие биржевые сделки получили большое распространение. Их смысл состоит в объединении положительных сторон форвардной сделки (выбор контрагента, даты и места поставки, сорта базисного актива и т.п., отсутствие базиса) с преимуществами биржевой системы гарантий, устраняющей риск контрагента.

Предположим, что поставщик и потребитель нефти 1 января договариваются о сделке на 1 июля, причем в качестве цены нефти соглашаются принять официальную расчетную цену биржи на 1 июля по фьючерсному контракту на нефть, торговля которым заканчивается 20 июля. При этом может быть дополнительно согласован фиксированный дифференциал, учитывающий отличие условий данной конкретной сделки от тех, которые указаны в спецификации биржевого фьючерсного контракта (отличие времени, места поставки, сорта нефти и другие факторы). Обычная практика сторон далее состоит в том, что в течение оставшегося срока покупатель выбирает момент, когда, по его мнению, цена данного фьючерсного контракта наименьшая, и покупает фьючерсные контракты в количестве, соответствующем объему сделки (возможно, частями и с использованием опционов колл, имея в виду их последующее досрочное исполнение). Продавец поступает аналогично, но стремится при продаже фьючерсных контрактов выбрать момент наивысших цен. Как обычно, не имеет значения, с кем именно заключаются эти сделки на бирже, и каждой из рассматриваемых сторон безразлично, в какой момент и по какой цене провела биржевую сделку другая сторона. 1 июля стороны подают на биржу уведомление о намерении провести поставку товара по EFP-схеме и документы, удостоверяющие их готовность к поставке и оплате (а впоследствии и документы, подтверждающие факт поставки и оплаты). При этом биржа взаимно закрывает фьючерсные позиции сторон по расчетной цене фьючерсного контракта на 1 июля.

Пример 12.1. Рассмотрим условия EFP - сделки, представленные в таблице 12.1.

Дифференциал:

-1 $/баррель Покупатель Продавец Покупает фьючерсные контракты Продает фьючерсные контракты 1 марта по цене 17 $/баррель 1 мая по цене 20 $/баррель Цена закрытия фьючерсного контракта 1 июля: 18 $/баррель Поставка и оплата нефти по цене 18-1=17 $/баррель Прибыли по Прибыли по фьючерсному контракту: фьючерсному контракту:

18-17=1 $/баррель 20-18=2 $/баррель Итог: покупка нефти по цене Итог: продажа нефти по цене 17-1=16 $/баррель 17+2=19 $/баррель Таблица 12.1. Условия EFP-сделки А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Легко убедиться, что цены, по которым фактически покупатель оплатил, а продавец поставил нефть, не зависят от цены фьючерса 1 июля и могли быть определены еще 1 марта и 1 мая соответственно как разность цен фьючерсных контрактов и дифференциала. По этой причине сделки, проведенные 1 марта и мая, называют фиксацией цены.

В общем случае действия Клиринговой палаты 1 июля в связи получением уведомления о регистрации EFP-сделки заключаются в открытии следующих позиций: для покупателя нефти - коротких, для продавца длинных - по расчетной цене дня на одинаковое количество контрактов. В рассмотренном примере ввиду наличия у них предварительно открытых позиций это привело к ликвидации позиций. Однако может оказаться, что цены росли в продолжение всего полугодичного периода, тогда продавцу не имело смысла продавать фьючерсные контракты. После регистрации сделки он получает длинные позиции и по желанию может закрыть их на следующий день противоположной биржевой сделкой или спекулировать на росте цены.

Выше рассматривались варианты, когда оба контрагента выполняют свои обязательства. Если в примере 12.1 один из контрагентов 1 июля срывает исполнение контракта, то второй остается в такой же ситуации, как если бы он с самого начала проводил «самостоятельный» хедж с использованием фьючерсных контрактов. Он закрывает 1 июля фьючерсные позиции противоположной сделкой и проводит требуемую операцию на спот-рынке с некоторым другим контрагентом. При этом его риск состоит в том, что разность между ценой закрытия фьючерсных позиций и ценой сделки на спот-рынке может отличаться от 1 доллара за баррель, то есть остается риск базиса.

12.4. ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ НА ФОНДОВЫЕ ИНДЕКСЫ Спецификация контракта Для расчета большинства фондовых индексов используется формула:

N Pi Qi i= I =, (12.1) D где • N - количество видов акций в базе расчета индекса;

• Pi – текущая цена акции i-го вида (цена последней сделки);

• Qi – весовой коэффициент для акции i-го вида;

• D - постоянный коэффициент.

В основном, используются два варианта выбора весовых коэффициентов Qi.

• Если под Qi понимается количество акций, выпущенных i-ой компанией, то произведение QiPi является капитализацией данной компании, а индекс отслеживает динамику суммарной капитализации всех компаний, входящих в базу расчета индекса. Таким образом рассчитывается большинство фондовых индексов, включая инвестиционный индекс S&P/RUIX агентства РТС-Интерфакс (методика расчета согласована со Standard & Poor’s, отсюда такое название индекса). Модификацией данного способа является учет не всего выпуска акций компании, а меньшего количества, реально находящегося в обращении (free float).

• В некоторых индексах, в частности, в известных Dow Jones Industrial Average и Nikkei 225, принимается Qi = 1/ N, то есть индекс пропорционален среднему арифметическому цен акций.

Поправочный коэффициент D обычно представляется в виде произведения двух величин. Первая из них совпадает с числителем на момент начала расчета индекса, вторая является собственно поправочным коэффициентом. Его начальное значение часто подбирается так, чтобы стартовое значение индекса было круглым числом, например 100 или 1000. В дальнейшем корректировка коэффициента обеспечивает отсутствие скачков в индексе при изменении базы расчета индекса. Поскольку принципиально такое разделение коэффициента D на две составляющих ничего не меняет, будем в дальнейшем пользоваться сокращенной формулой (12.1).

В случае принятия решения об изменении базы расчета, начиная с некоторого дня t, в предыдущий день t -1 рассчитываются индекс It -1 и вспомогательная величина It', для определения которой - используется та же формула (12.1), однако числитель берется по новой базе расчета. После этого коэффициент D корректируется умножением на отношение It-1 / It-1. В день t индекс вычисляется с новым значением поправочного коэффициента D и по новой базе расчета индекса. В последующие дни это значение коэффициента остается постоянным до следующего изменения базы расчета. Нетрудно проверить, А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» что если цены акций в новой базе расчета в день t -1 и в день t одинаковы, то благодаря коррекции коэффициента D индекс в день t сохранит то же значение, что и в день t -1, то есть само по себе изменение базы расчета не приведет к скачку индекса.

Фьючерс на индекс котируется в терминах индекса, то есть «покупаются» и «продаются» значения индекса. Так как индекс является безразмерной величиной, то возникает вопрос: каким образом пересчитывать изменения фьючерсной цены в вариационную маржу? С этой целью задается величина минимального изменения цены фьючерса («тик») и стоимостная оценка этого тика. Например, во фьючерсе на индекс S&P/RUIX тик равен 0.05, а его стоимостная оценка составляет рублевый эквивалент 0.1 доллара США (реально расчеты осуществляются в рублях по текущему курсу ЦБ). Иначе это же можно сформулировать следующим образом: чтобы определить вариационную маржу по одной фьючерсной позиции, необходимо изменение фьючерсной цены умножить на 2 доллара. Можно также сказать, что номинальная стоимость фьючерсного контракта равна FL, где F - цена фьючерса, L = 2 доллара (в данном примере). Еще одна интерпретация связана с фьючерсами на индивидуальные акции определенного эмитента: фьючерс на индекс имеет базисным активом условную «акцию», цена которой в долларах численно совпадает со значением индекса, при этом стандартное количество условных акций в контракте равно величине L.

Фьючерсы на индексы являются беспоставочными. Окончательный расчет производится по значению индекса, зафиксированному в указанное в спецификации время в день исполнения (часто для определения цены исполнения усредняются значения индекса за некоторый период порядка 10 мин.).

Формирование синтетической облигации Рассмотрим вопрос о количестве фьючерсных контрактов, которое необходимо продать в целях хеджирования пакета акций (см. раздел 4.4). Начнем с частного случая, когда пакет акций включает акции всех эмитентов, входящих в базу расчета индекса, причем количества акций различных видов в пакете пропорциональны их весам Qi в базе расчета. Будем называть такой пакет пропорциональным. Будем также предполагать, что за время существования фьючерсного контракта база индекса не меняется и по акциям не выплачиваются дивиденды.

Стоимость такого пакета повторяет динамику индекса, то есть если индекс вырос на 10%, то и стоимость пакета выросла на 10%. Обозначим • V0 - начальную сумму, инвестируемую в пакет акций;

• I0 - значение индекса в день покупки пакета акций;

• IT - значение индекса в день T, тогда стоимость пакета акций в день T будет равна IT VT = V0.

I Для образования пропорционального пакета распределение инвестируемой суммы V0 по акциям из базы расчета осуществляется в соответствии с формулой V mi = Qi, N QPi i i= где mi - количество акций i – того вида в пакете.

Рассмотрим процедуру формирования синтетической облигации, дата условного «погашения» которой совпадает с датой исполнения фьючерсов на индекс. Вначале необходимо купить пропорциональный пакет акций на сумму V0 и одновременно с этим продать фьючерсы в количестве V n =. (12.2) I0L В день исполнения фьючерсов T окончательный расчет происходит по значению индекса в этот день Ffinal = IT.

Суммарная вариационная маржа по n коротким позициям составит А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» V0 F0 IT n(F0 - Ffinal )L = (F0 - IT ) = V0 -V0.

I0 I0 I Последний член здесь есть не что иное, как стоимость пакета акций к этому моменту. Следовательно, сумма вариационной маржи и стоимости пакета не зависит от значения индекса IT и всегда равняется F VT = V0.

I Тем самым хедж действительно обеспечивает фиксированную доходность размещения средств, определяемую соотношением между значением индекса и фьючерсной ценой.

Из полученной формулы следует, что теоретическая цена фьючерса на индекс определяется выражением F0 = I0(1+ RT ) = I0erT, (12.3) где R, r - простая и непрерывно начисляемая безрисковые процентные ставки для периода T.

Пример 12.2. Значение индекса S&P/RUIX 16.01.02 было равно 210.37, в этот же день фьючерс на индекс с исполнением 15.03.02 торговался по 214.36. Доходность спот-фьючерс, определяемая по этим значениям, равна 214.36.

RF = -1* *100% =11.94% 210.27 Пусть предполагается разместить в акции $100000. В таблице 12.2 приведен состав индекса на рассматриваемый момент. Количество покупаемых акций для формирования пакета, пропорционального базе расчета, указано в последнем столбце. На практике в силу того, что акции торгуются лотами по акций, полученные значения будут округлены. После приобретения пакета акций продаем фьючерсы в количестве $ n = 238.

$2 * 210. N Эмитент Количество Цена Покупаемые акций в базе акции акции, расчета 16.01.02, ni индекса $ 1 РАО «ЕЭС России» 41041753984 0.16842 2 Лукойл 850563255 13.7605 3 Мосэнерго 28267726000 0.04564 4 Ростелеком 728696320 1.00064 5 Сургутнефтегаз 35725994705 0.33002 6 Татнефть 2178690700 0.562 7 Юкос 2236991750 5.95051 Таблица 12.2. Формирование пропорционального пакета Окончательное исполнение фьючерса осуществляется по значению индекса на 14.03.02, 18:00, равному 235.67. Соответственно, вариационная маржа по коротким позициям составит 238*(214.36 - 235.67) *$2 = -$10143. Цена пакета акций к этому времени вырастет до 235. $100000* = $112026. 210. C учетом вариационной маржи общая сумма составит 101882.87, что по отношению к инвестированным средствам дает доходность 12.06%. Эта величина лишь незначительно отличается от доходности, рассчитанной вначале.

Чем вызвано отличие фактической доходности от планируемой?

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Данный пример показателен также в том смысле, что демонстрирует обратную сторону хеджирования:

страхуя от падения стоимости портфеля акций, эта операция одновременно устраняет и возможности получения большей доходности в случае благоприятной динамики цен.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.