WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

ФОНДОВАЯ БИРЖА РТС А.Н. Балабушкин ОПЦИОНЫ и ФЬЮЧЕРСЫ Методическое пособие ПРЕДИСЛОВИЕ Данная книга содержит базовые сведения по фьючерсам и опционам, которые иллюстрируются конкретными примерами.

Актуальность темы определяется наличием ликвидного и динамично растущего срочного рынка Фондовой биржи РТС (FORTS), на котором наряду с фьючерсами торгуются и опционы – инструменты, до этого практически отсутствовавшие на российском финансовом рынке. Однако содержание пособия не «привязано» исключительно к FORTS, более того, конкретные вопросы организации торговли в FORTS здесь не рассматриваются (им посвящена брошюра [1], а также материалы на сайте www.forts.ru).

Фьючерсы и опционы являются одновременно простыми и сложными финансовыми инструментами. С одной стороны, вполне успешные спекулятивные операции с ними можно проводить на основе тех же умений и навыков, которые применяются на рынках базисных активов (акций, валюты и т.п.). С другой стороны, диапазон применений данных инструментов гораздо шире. В книге рассматриваются такие вопросы, как ценообразование фьючерсов и опционов, арбитраж, хедж, опционные стратегии, особенности срочных инструментов на фондовые индексы и другие.

Опционы - в значительной степени «объект графический», что обусловило включение в книгу большого количества рисунков (около 50). Русскоязычная терминология в данной области еще окончательно не утвердилась, поэтому появление в тексте специфических терминов сопровождается указанием на английские эквиваленты.

Александр Балабушкин Май 2004 года А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» ГЛАВА 1. ФОРВАРДНЫЕ И ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ 1.1. ПРОИЗВОДНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ Опционы, форвардные и фьючерсные контракты относятся к так называемым производным финансовым инструментам (derivatives). Финансовый инструмент называется производным, если его стоимость зависит от цены некоторого базисного актива (товара, валюты, акции, облигации), процентной ставки, фондового индекса, температуры или иного количественного показателя, в общем случае называемого основой (underlying, underlying variable). В дальнейшем более привычный термин базисный актив используется в расширительном смысле как синоним основы.

Обычно стоимость производного инструмента не определяется ценой базисного актива однозначно, а зависит также и от множества других факторов, однако влияние цены базисного актива наибольшее. Кроме того, наряду с ценовой всегда присутствует очевидная функциональная взаимосвязь базисного актива и производного инструмента. В частности, если по каким-либо причинам базисный актив перестает существовать, то это автоматически делает невозможным и обращение производного инструмента. У сложных производных инструментов базисных активов может быть несколько. Производный инструмент, в свою очередь, может выступать в роли базисного актива для другого производного инструмента.

Большинство производных инструментов относятся к срочным инструментам. Простейшим примером срочного инструмента является форвардный контракт – соглашение, по которому одна из сторон обязуется в установленный будущий день поставить, а другая сторона - оплатить определенное количество товара или финансового актива по заранее оговоренной цене. От сделки с немедленной поставкой и оплатой форвард отличается отсроченностью даты исполнения, отсюда название всего класса. Очевидно, что при достижении договоренности относительно будущей фиксированной цены каждая из сторон в значительной степени опирается на текущую цену предмета сделки, и в этом смысле форвард является производным инструментом, а объект сделки - его базисным активом.

Форвардные контракты не обязательно заключаются с целью приобретения или продажи базисного актива. Распространенной операцией является последовательное заключение форвардных контрактов сначала со стороны покупателя, а затем со стороны продавца (или наоборот). При этом контрагенты могут быть разными, но условия контракта, за исключением цены, – одинаковыми. Целью таких операций является получение прибыли на разности цен. При этом форвардные контракты как бы отрываются от предмета сделки, становясь самостоятельным финансовым инструментом. Таким образом возникли и закрепились выражения «купить форвардный контракт» и «продать форвардный контракт». В качестве цены форварда принимается цена базисного актива, по которой он должен быть поставлен и оплачен в будущем.

Минимальный интервал между датой заключения сделки и датой исполнения, при котором инструмент квалифицируется как срочный, варьируется в зависимости от базисного актива. Как правило, к срочным относятся операции, расчеты по которым отстоят от текущей даты более чем на два дня. Сделка с исполнением на второй рабочий день считается заключенной на условиях «спот». Обобщенно, для любого базисного актива спот (или наличным, кассовым) рынком называют рынок инструментов с практически немедленным исполнением.

Вне б ирже вой рынок Бирже вой рынок Вне бирже вой рынок Бирже вой рынок OTC, o v e r -th e-counter, global market OT C, over-th e -counter, global m arket форв а р д (forw ard) фь юч е рс (futures) фо рва рд (forw ard) фь юче рс ( futures) FRA (forw ard rate agreem ent) FRA (forw ard rate agreem ent) валю тны й (currency) валю тны й (currency) своп (sw a p ) процентный (in te re st ra te ) своп (sw a p) процентный (interest rate) индексный (e q uity) индексны й (e q u ity) товарны й (commodity) товарны й (commodity) обы чный ( vanilla) обычный (vanilla) экзотический (ex o tic) опцион обы чный экзотический (ex o tic ) опцион обычный мультипериодный (o p tio n ) (ordinary, vanilla) мультипериодный (o p tio n ) (ordinary, vanilla) (c a p, flo o r, c o lla r ) (cap, floor, collar) свопцион ( swaption) свопцион ( swaption) кредитные производные кредитные производные структурированные продукты ( structured products) структурированные продукты ( structured products) Рис. 1.1. Основные типы производных инструментов А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Наряду с характеристикой, приведенной выше, даются также другие определения производных инструментов. В соответствии с одним из них, производный инструмент – это соглашение, фиксирующее права и обязанности сторон в связи с некоторым базисным активом (понимаемым расширительно, как основа). Это соглашение само по себе не означает перехода прав на базисный актив, и если такой переход прав предусмотрен, то он наступает не в момент заключения сделки по производному инструменту, а при его исполнении.

Рынок производных инструментов сегодня является важной и бурно развивающейся частью мирового финансового рынка. В этой области происходит наибольшее число инноваций, к которым применимо понятие финансовой инженерии. На рисунке 1.1 схематично изображены основные типы производных инструментов и взаимосвязи между ними. Биржевой рынок в основном представлен фьючерсами и обычными опционами, хотя в условиях усиливающейся конкуренции со стороны внебиржевого рынка биржи вводят менее традиционные для них контракты (например, структурированные продукты).

Форварды, фьючерсы и обычные опционы являются как бы элементарными «кирпичиками», из которых формируются более сложные производные инструменты. Далее рассматриваются только эти простейшие производные инструменты, с другими можно ознакомиться по литературе, указанной в конце книги.

‡· 1.1 ‚‰ ‚‰ · ·‚ ‡ ‡ ‡ 2003/2002 „„. ‡·‚ ·‡ ‡‚‡. ·‡‡ ‚‡ ‡, ·„fl ‡ ‡· · ‡, ‡ ‡ ‡.

2002 2003 Изменение Фьючерсы 2,324.91 2,970.51 27.77% Опционы 3,892.37 5,142.22 32.11% Фондовые индексы 2,791.18 3,960.87 41.91% Процентные ставки 1,478.44 1,881.27 27.25% Отдельные акции 1,354.70 1,558.52 15.05% С/х товары 199.39 261.15 30.98% Энергоносители 209.37 217.56 3.91% Металлы 71.57 90.39 26.29% Валюта 60.56 77.85 28.53% Драгоценные металлы 51.26 64.46 25.75% Другие 0.8 0.66 -17.14% Всего 6,217.28 8,112.73 30.49% Таблица 1.1. Обороты по биржевым срочным инструментам (млн. контрактов) На рис. 1.2 показана динамика объемов торгов и открытых позиций на торгах в FORTS – срочном рынке Фондовой биржи РТС (Futures and Options on RTS2).

Рис. 1.2. Динамика торгов в FORTS Основную долю оборота и открытых позиций составляют фьючерсы на отдельные акции, однако с мая 2003 года торги опционами заметно активизировались. Интересно, что фьючерсы на отдельные акции стали торговаться на биржах во всем мире сравнительно недавно (так, в США они были фактически По данным Futures Industry Association «Исторически» сложилось, что в сводках торгов FORTS открытые позиции удваиваются, то есть учитываются длинные и короткие позиции, однако на рис. 1.2 даны односторонние позиции. Понятия фьючерсного, опционного контракта и открытой позиции даются в следующих разделах.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» запрещены в силу действовавших правил регулирования рынка производных). По-видимому, первой такие контракты ввела в обращение Российская биржа осенью 1996 года, а Лондонская Международная биржа финансовых фьючерсов и опционов LIFFE первой из западных бирж запустила рынок на индивидуальные акции Universal Stock Futures в начале 2001 года.

1.2. ФЬЮЧЕРСНЫЙ КОНТРАКТ Фьючерсный контракт подобен форвардному, но торгуется на бирже по установленным биржей правилам. Суть отличий биржевой торговли от внебиржевой сводится главным образом к двум пунктам:

• условия контрактов стандартизованы по количеству и качеству подлежащего поставке базисного актива, срокам исполнения и месту поставки, а цена исполнения определяется в процессе публичных биржевых торгов. В настоящее время это чаще всего электронные торги, когда трейдеры получают информацию о ходе торгов, вводят заявки и заключают сделки либо с рабочих мест торговой системы, располагаемых непосредственно в офисах участников торгов, либо через так называемые Интернет шлюзы;

• торговля носит «обезличенный», анонимный характер, в частности, отсутствует необходимость оценки риска невыполнения контрагентом по сделке своих обязательств. Эти функции берет на себя Клиринговая палата - подразделение биржи или самостоятельная организация, в обязанности которой входят учет заключенных сделок, денежные расчеты, о которых речь пойдет ниже, и обеспечение гарантий по исполнению контрактов. После регистрации сделки Клиринговая палата размыкает стороны в том смысле, что выступает в роли продавца для каждого покупателя контракта и в роли покупателя для каждого продавца.

Следствиями отмеченных условий торговли являются концентрация торговой активности на ограниченном количестве контрактов;

большие объемы торговли;

высокая ликвидность, то есть возможность быстро купить или продать большое количество контрактов без существенного влияния на рыночную цену;

небольшая разность между ценами спроса и предложения.

Про покупателя фьючерсных контрактов говорят, что он открыл и имеет длинную позицию, про продавца - что он имеет короткую позицию (long, short position). В электронной торговой системе участник видит заявки других участников без указания того, кем подана та или иная заявка. Сделка заключается автоматически, если цены встречных заявок (на покупку и продажу) совпадают. Если у некоторого участника торгов открыта длинная позиция в 50 контрактов и он покупает дополнительно 30 контрактов, то открытая позиция становится равна 80, а если затем он продает 100 контрактов, то получает короткую позицию в 20 контрактов. При этом безразлично, с кем именно заключаются сделки. Если число открытых позиций становится равно 0, то говорят, что участник торгов закрыл позиции. В этом случае он «выходит из игры» и не несет никаких обязательств по исполнению фьючерсных контрактов. При наступлении дня исполнения контракта Клиринговая палата вновь сводит вместе покупателей и продавцов, у которых на этот момент остались открытые позиции, для организации поставки и оплаты базисного актива (общее число длинных позиций всегда равно общему количеству коротких).

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» В дальнейшем используется следующее соглашение: фраза «участник торгов заключил сделку объемом n контрактов» означает, что он купил n контрактов, если n положительно, и продал n контрактов, если n отрицательно;

число открытых позиций OI (open interest) будет положительным для длинных и отрицательным для коротких позиций.

Отмеченная выше стандартизация по датам поставки означает, что одновременно на бирже торгуются контракты с вполне фиксированными датами исполнения, скажем, в период 15 января - 14 февраля это могут быть контракты с исполнением 15 февраля, 15 марта, 15 апреля. По окончании этого периода, февраля, наступает дата исполнения февральского контракта и открываются торги на контракт с новой датой исполнения, в данном примере 15 мая. Месяц, а также квартал - типичные интервалы между датами исполнения контрактов, поэтому контракты часто обозначают названием соответствующего месяца. В данном примере фьючерсные контракты охватывали трехмесячный будущий период, однако характерными временными горизонтами являются год и более.

Стандартизация по датам исполнения позволяет проследить изменение цены определенного, например, июньского, контракта от сделки к сделке в течение всего срока обращения этого фьючерса. Биржа ежедневно на основании данных о заключенных в этот день сделках определяет для каждого фьючерсного контракта его расчетную цену или цену закрытия (settlement price или closing price). Процедура выведения расчетной цены варьируется от биржи к бирже. Например, может использоваться цена последней сделки или вычисляться средневзвешенная цена за определенный период. Далее учитываются цены спроса и предложения на момент окончания торговой сессии. Если последняя цена спроса больше F, то в качестве расчетной цены принимается цена спроса;

если последняя цена предложения меньше F, то берется цена предложения. Если F располагается между ценами покупателя и продавца, то оказывается расчетной ценой.

Ежедневная биржевая сводка содержит расчетные цены контрактов с различными сроками исполнения, объем торгов и число открытых позиций. Объем торгов подсчитывается как сумма контрактов во всех сделках данного торгового дня с разбивкой по месяцам поставки, а число открытых позиций определяется как сумма открытых позиций на конец дня всех участников торгов, имеющих длинные открытые позиции по данному месяцу исполнения (или короткие, что одно и то же). Подобная информация за определенный период, отображенная в графическом виде, является исходной при принятии решений на основе методов технического анализа.

В таблице 1.2 в качестве примера приведены основные параметры спецификации фьючерсного контракта на обыкновенные акции ОАО «Газпром», торгуемого в FORTS.

Базисный актив Обыкновенные именные бездокументарные акции ОАО «Газпром» Объем контракта 100 акций Месяцы исполнения Последний месяц каждого квартала Последний день обращения Последний рабочий день, предшествующий 15 числу месяца исполнения Цена контракта Цена (курс) контракта в процессе торгов указывается в рублях за 100 акций Шаг цены 1 руб. за 100 акций День исполнения Биржевой день, следующий за последним днем обращения контракта Способ исполнения Поставка / оплата через биржевой рынок акций РТС Таблица 1.2. Пример спецификации поставочного фьючерсного контракта 1.3. СПОСОБЫ РАСЧЕТА ПО ФОРВАРДНЫМ И ФЬЮЧЕРСНЫМ КОНТРАКТАМ Сопоставим сделки на спот-рынке с форвардными и фьючерсными сделками с точки зрения движения денежных средств. В качестве предмета сделки на спот-рынке возьмем акцию. При покупке акции необходимо сразу заплатить контрагенту ее цену, а в момент покупки фьючерсного, как и форвардного, контрактов ничего платить не нужно. Если котировка акции растет, то владелец акции может продать акцию и немедленно получить в итоге разницу между ценой продажи и ценой покупки. Пока акция не продана, потенциальные прибыли владельца акции от роста ее курсовой стоимости могут быть оценены, но остаются нереализованными (при падении курсовой стоимости речь идет о нереализованных убытках).

Если предположить, что форвардный контракт ликвиден и покупатель контракта может в любой момент продать такой же контракт, закрыв позицию и зафиксировав тем самым свои прибыли/убытки, то форвардный контракт аналогичен акции. Однако все расчеты откладываются до дня исполнения контракта.

Как отмечалось, фьючерсный контракт в сущности представляет собой тот же форвардный контракт.

Одно из существенных различий между ними заключается в способах расчета прибылей/убытков. Поясним это на примере.

Пример 1.1. Пусть 7 июня 2002 года были заключены форвардный и фьючерсный контракты на поставку 100 акций Газпрома со сроком исполнения 17 июня 2002 года по цене 3350 рублей за 100 акций.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Курс, по которому акции продавались в конце каждой торговой сессии, и расчетная цена фьючерсного контракта изменялись по дням так, как указано в таблице 1.3 (здесь и далее символ @ означает «по цене»).

Дата, июнь 2002 г. 7 10 11 13 14 Цена закрытия акций 3301 3392 3401 3444 Расчетная цена фьючерса 3360 3339 3386 3435 Прибыли - форвард @ 3350 - фьючерс за день 10 -21 47 49 -95 - убытки итого 10 -11 36 85 -10 - @ Таблица 1.3. Сопоставление расчетов по форварду и фьючерсу Пусть условия форвардного контракта предусматривают завершение расчетов по поставке и оплате акций утром 17 июня, до начала торговой сессии. Если считать, что существенного скачка в цене акций между закрытием торговой сессии 14 июня и открытием 17 июня не происходит, то для оценки выгодности форвардного контракта его цену можно сопоставлять с ценой пакета акций на конец торговой сессии июня, которая оказалась равна 3330. Для покупателя форвардный контракт оказался невыгодным, поскольку на дату исполнения контракта приобрести акции можно было по лучшему курсу. Если покупатель продаст полученный в результате исполнения форвардного контракта пакет акций в тот же день – 17 июня, то его убыток составит 3350-3330=20 рублей. С другой стороны, если продавец контракта приобретет 100 акций 14 августа непосредственно перед поставкой и затем осуществит поставку по оговоренной в контракте цене, то получит прибыль в 20 рублей.

Рис. 1.2. Расчеты по фьючерсу с поставкой базисного актива Для покупателя фьючерсного контракта ситуация отличается тем, что в день заключения сделки или предварительно он обязан перечислить на свой счет, который открывает ему биржа (Клиринговая палата), определенную сумму, как минимум равную так называемой начальной марже – гарантийному обеспечению (подробнее об этом в главе 13). По итогам дня биржа в ходе клиринговой сессии определяет расчетную цену фьючерса и немедленно начисляет на счет покупателя разность между расчетной ценой и ценой, по которой был куплен фьючерс, а в последующие дни - разность между текущей расчетной ценой и расчетной ценой предыдущего торгового дня. Отрицательная величина означает текущие убытки, которые списываются со счета. После начисления/списания средств цена исполнения фьючерсного контракта для каждого участника торгов, имеющего открытые позиции по данному контракту, становится равна текущей расчетной цене. Эта процедура называется корректировкой позиций по рынку (mark-to-market).

Как следует из таблицы 1.3, покупатель получит 7 июня 10 рублей, так как расчетная цена фьючерса в этот день оказалась выше цены заключения сделки, на следующий день выплатит 21 рубль в связи с падением фьючерсной цены и т.д. К 14 апреля в результате ежедневных выплат покупатель окажется в убытке на 10 рублей. На следующий день за поставленный пакет акций он будет платить 3340 рублей.

Поскольку это дороже рыночной цены пакета на 10 рублей, окончательный убыток окажется равен тем же 20 рублям, что и в случае форвардного контракта. Рассматривая операцию по покупке и исполнению А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» фьючерсного контракта в целом, видим, что пакет акций обошелся покупателю в те же 3350 рублей, на которые он рассчитывал в момент заключения контракта.

Если сравнивать фьючерсный контракт и акции, то покупатель акций немедленно оплачивает их цену, а при открытии фьючерсной позиции цена лишь фиксируется без уплаты или получения денег. При изменении курсовой стоимости акций владелец имеет потенциальные прибыли/убытки, не выражающиеся в виде каких-либо платежей до момента продажи акций, а открытая фьючерсная позиция влечет за собой ежедневные начисления/ списания средств по мере изменения расчетной цены. Окончательный же результат как в случае продажи акций, так и в случае закрытия фьючерсной позиции равен разности между ценой продажи и ценой покупки - если временно отвлечься от вопросов, связанных с процентными ставками.

В общем случае, когда в течение торговой сессии один участник торгов совершает последовательно ряд сделок по определенному фьючерсному контракту по ценам F1, F2,..., Fm объемами n1, n2,..., nm, причем на конец предыдущего дня его открытая позиция равнялась OI-1, а расчетные цены предыдущего и этого дня равны F-1, F соответственно, то прибыли/убытки V по итогам текущего дня составляют:

V = OI-1(F1-F-1)+(OI-1+n1)(F2-F1)+...+(OI-1+n1+n2+...+nm)(F -Fm )= = OI-1(F -F-1)+n1(F -F1)+...+nm(F -Fm ) = OI F -(OI-1F-1+n1 F1+...+nmFm ), (1.1) где OI = OI-1 + n1 + n2 +... + nm - новая открытая позиция на конец дня. Первая из этих формул представляет собой сумму членов, каждый из которых является произведением текущей открытой позиции на интервал изменения цены, в котором сохранялась эта открытая позиция. Вторая формула показывает, что сделки можно рассматривать раздельно, причем открытая позиция предыдущего дня OI-1 аналогична вновь проведенным сделкам, если считать ее совершенной по цене F-1. При этом порядок заключения сделок несущественен. Последнюю строку проще было бы интерпретировать, если бы речь шла о сделках с акциями: эта строка показывает увеличение или уменьшение общей стоимости портфеля по отношению к цене его приобретения. Во фьючерсной торговле цена приобретения является лишь условной точкой отсчета, относительно которой определяется реальная прибыль (убыток), то есть расчеты ведутся в дифференциалах.

В приведенном примере цена фьючерса указывалась за 100 акций. Более распространен вариант котирования фьючерсного контракта не за весь объем поставляемого по контракту базисного актива, а за единицу – за один доллар США для 1000-долларового контракта, за один баррель для контракта на нефть объемом 1000 баррелей, и т.п. В этом случае результат формулы (1.1) необходимо умножать на объем контракта, то есть на 1000 в приведенных примерах.

1.4. ВАРИАЦИОННАЯ МАРЖА Прибыли/убытки текущего дня по фьючерсной позиции, определяемые формулой (1.1), называются вариационной маржей (variational margin или settlement variation). Введение процедуры ежедневной корректировки по рынку фьючерсных позиций одновременно решает несколько задач.

Во-первых, так технически проще организовать учет позиций. Вместо многообразия пар покупатель продавец и цен индивидуальных сделок после корректировки позиций по рынку остаются лишь два показателя, определяющие будущие права и обязанности сторон (покупателей, продавцов и «размыкающей» их Клиринговой палаты): последняя расчетная цена фьючерсного контракта и число открытых позиций каждого участника.

Во-вторых, при открытии фьючерсных позиций и их последующем закрытии разность цен покупки и продажи немедленно оказывается начисленной на счет/ списанной со счета участника торгов, после чего он не несет никаких обязательств по этим сделкам.

В-третьих, и это самое важное, вариационная маржа является составной частью системы гарантий, применяемой биржей (Клиринговой палатой) для обеспечения исполнения всеми участниками торгов своих обязательств. Необходимость в таких мерах вызвана тем, что сделки по срочным контрактам несут повышенный риск неисполнения контракта одной из сторон по сравнению со сделками на спот-рынке, когда поставка и оплата базисного актива происходят практически в тех же рыночных условиях, при которых был заключен контракт.

Для сравнения вернемся вновь к форвардному контракту. При оценке потенциальных прибылей/убытков по форвардному контракту естественно использовать его текущую цену, которая - в первом приближении - является рыночным прогнозом цены базисного актива на день исполнения.

Очевидным свойством форвардной цены является ее сближение с ценой базисного актива на наличном рынке по мере уменьшения оставшегося до даты исполнения контракта времени («конвергенция»). Если бы этого не происходило, то были бы возможны так называемые арбитражные сделки, то есть безрисковые прибыльные сделки, использующие дисбаланс цен и процентных ставок. Например, если накануне дня исполнения форвардная цена занижена относительно спот-цены настолько, что падение спот-цены на А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» следующий день до этого уровня крайне маловероятно, то можно купить форвардный контракт накануне, оплатить базисный актив в день исполнения по цене контракта и немедленно продать по спот-цене, получив прибыль (подробнее о такого рода операциях речь идет в главе 4). Таким образом, разность F - E, где F текущая форвардная цена, E - цена заключенного ранее форвардного контракта, может служить оценкой потенциальной прибыльности или убыточности форвардного контракта. По мере приближения даты исполнения F сходится к ST, где ST - спот-цена базисного актива в день исполнения контракта. Разность же ST - E и является реальной прибылью (убытком) по форвардному контракту.

Один из способов уменьшить риск неисполнения форвардного контракта либо смягчить последствия этого состоит в том, чтобы обязать сторону, имеющую потенциальные убытки в период между заключением и исполнением контракта, внести другой стороне или некоторому посреднику залог на сумму текущих убытков и увеличивать залог по мере роста убытков. В случае отказа от исполнения форвардного контракта стороной, имеющей потенциальные убытки, залоговые средства переходят в собственность другой стороны.

В биржевой фьючерсной торговле эта процедура модифицирована таким образом, что вместо увеличения или уменьшения залоговой суммы происходит ежедневный перевод денег непосредственно со счета на счет с одновременным изменением цены исполнения контракта. Если участник торгов в какой-то день не выполняет обязательств по вариационной марже, то на следующий день его позиции принудительно закрываются во избежание дальнейшего накопления убытков.

Процедура принудительного закрытия обычно включает несколько этапов. Вначале неплательщику предоставляется возможность участвовать в торгах, выставляя заявки исключительно на закрытие позиций.

Если в течение оговоренного правилами времени закрытыми оказываются не все позиции, то данный участник отстраняется от торгов, а заявка автоматически формируется торговой системой. Потери по позиции, которые могут возникнуть из-за неблагоприятного движения цены в процессе закрытия, покрываются начальной маржей, которая является еще одной составной частью биржевой системы гарантий по срочным сделкам (подробнее об этом в главе 13).

1.5. РАСЧЕТНЫЕ КОНТРАКТЫ По договоренности сторон вместо поставки базисного актива исполнение срочного контракта может быть сведено к простому перечислению между сторонами некоторой суммы, если обе стороны сочтут это более удобным и согласуют размер суммы. В том случае, когда спот-рынок данного базисного актива достаточно ликвиден и существует механизм, позволяющий определить единую для всех участников торгов «объективную» цену базисного актива, возникает возможность использовать эту цену в день поставки для проведения окончательных расчетов прибылей/убытков между всеми участниками форвардных или фьючерсных сделок, заранее оговорив это в условиях контракта. Такая цена называется ценой исполнения или окончательной расчетной ценой фьючерсного контракта, а контракт называется расчетным (беспоставочным).

Примером расчетного фьючерса является контракт на курс доллара США, торгуемый в РТС.

Базисный актив Доллар США Объем контракта 1000 долларов Месяцы исполнения Последний месяц каждого квартала Последний день обращения Последний рабочий день, предшествующий 15 числу месяца исполнения Цена контракта Цена (курс) контракта указывается в рублях за 1000 долларов Шаг цены 1 руб. за 1000 долларов День исполнения Биржевой день, следующий за последним днем обращения контракта Окончательная расчетная Средневзвешенный курс USD/RUB_UTS_TOD3, сложившийся в день цена исполнения контракта на торгах долларом США по итогам единой торговой сессии (ЕТС) межбанковских валютных бирж Способ исполнения Перечисление вариационной маржи по окончательной расчетной цене Таблица 1.4. Пример спецификации расчетного фьючерсного контракта Для фьючерса на курс доллара США аналог примера 1.1 выглядел бы следующим образом.

Пример 1.2. Пусть 4 декабря 2003 года были заключены беспоставочные форвардный и фьючерсный контракты на 1000 долларов США со сроком исполнения 15 декабря 2003 года по цене 29733 рубля за долларов. Расчетная цена фьючерсного контракта и курс доллара (округленный с точностью до копеек и умноженный на 1000) изменялись по дням так, как указано в таблице 1.5.

То есть средневзвешенный курс на торгах доллар/рубль с расчетами в день торгов (today) А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Дата 58910 11 Курс USD/RUB_UTS_TOD 29640 29550 29560 29540 29450 Расчетная цена фьючерса 29685 29550 29582 29546 Прибыли - форвард @ 29733 - фьючерс за день -48 -135 32 -36 -76 - убытки итого -48 -183 -151 -187 -263 - @ Таблица 1.5. Сопоставление расчетов по форварду и фьючерсу без поставки Рис. 1.3. Расчеты по фьючерсу без поставки базисного актива Так как цена, по которой происходит окончательный расчет по форвардному контракту (29390), меньше контрактной цены (29733), то покупатель форварда выплатит 15 декабря продавцу 29733-29390=343 рубля, и на этом контракт будет считаться исполненным. Для сторон фьючерсного контракта до 11 декабря включительно ежедневные расчеты будут осуществляться по расчетным ценам фьючерса, а последний расчет 15 декабря будет проведен по окончательной расчетной цене, которая берется уже не из фьючерсного рынка, а из спотового. Последняя вариационная маржа равна 29390-29470=-80, после чего контракты считаются исполненными. Общий итог по длинной фьючерсной позиции равен тем же – рублям, что и по длинной форвардной позиции.

В общем случае графически прибыли/убытки покупателя форвардного или фьючерсного контракта в зависимости от цены базисного актива на день исполнения контракта ST изображаются прямой (рис. 1.4, где сокращенная запись +1 F @5000 обозначает один форвардный контракт на покупку по цене 5000).

Прибыли/убытки продавца контракта равны и противоположны по знаку (рис. 1.5).

Рис. 1.4. Прибыли/убытки по длинной форвардной позиции Рис. 1.5. Прибыли/убытки по короткой форвардной позиции А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Очевидно, что в случае, когда в качестве базисного актива выступает некоторый индекс (фондовый индекс, процентная ставка, температура и т.п.), срочный инструмент может быть только беспоставочным.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» ГЛАВА 2. ОПЦИОНЫ - ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 2.1. ОПЦИОНЫ КОЛЛ И ПУТ Различают два типа опционов. Опцион колл (call) предоставляет одной из сторон контракта, именуемой держателем опциона (holder), право купить базисный актив в указанный срок в будущем по фиксированной цене - цене исполнения опциона, которая носит также название страйковой цены или просто страйка (strike).

Опцион пут (put) дает право держателю опциона продать базисный актив в указанный срок в будущем по страйковой цене. Опцион колл называют также опционом на покупку, а опцион пут - опционом на продажу.

Для держателя опциона право на покупку или продажу не является обязательством, то есть он может не использовать это право (option в переводе с английского означает выбор, право выбора). Очевидно, что держателю опциона колл будет невыгодно использовать свое право, если к наступлению указанного срока рыночная спот-цена базисного актива окажется ниже страйка;

в случае опциона пут ситуация противоположная. Возможность отказа не распространяется на другую сторону опционного контракта, которая обязана совершить покупку или продажу базисного актива по страйковой цене, если держатель опциона решает реализовать свое право.

2.2. ПРЕМИЯ ПО ОПЦИОНУ Ясно, что стороны опционного контракта, в отличие от сторон форвардного и фьючерсного контрактов, находятся в несимметричном положении. Это обстоятельство компенсируется тем, что держатель опциона в момент заключения контракта платит другой стороне определенную сумму - цену опциона, которую принято называть также премией по опциону. Величина премии является предметом торга в процессе заключения сделки. Термины «держатель опциона» и «покупатель опциона» используются как взаимозаменяемые. Про продавца опциона говорят также, что он выписал или подписал опцион (writer).

Заметим, что функции сторон в случае исполнения опциона пут меняются на противоположные:

покупатель опциона становится продавцом базисного актива, а продавец опциона - покупателем базисного актива. В этой связи во избежание разночтений иногда уточняется, что в том или ином контексте понимается под длинной позицией по опциону пут. Здесь во всех без исключения случаях считается, что длинная позиция - это позиция покупателя контракта (форвардного, фьючерсного, опциона колл, пут).

Используют также следующую терминологию: различают позицию по срочному контракту и возникающую при этом рыночную позицию. Последняя является длинной, если при увеличении цены базисного актива стоимость позиции возрастает, и короткой в противном случае. Забегая вперед, можно сказать, что рыночная позиция определяется знаком коэффициента дельта (глава 9). Как будет видно из дальнейшего, для опциона пут позиция по контракту и рыночная позиция противоположны, то есть длинная позиция по опциону пут является в то же время короткой рыночной позицией.

2.3. ЕВРОПЕЙСКИЕ И АМЕРИКАНСКИЕ ОПЦИОНЫ Данные выше определения относятся к европейским опционам (European-style). Американские опционы (American-style) отличаются тем, что держатель может реализовать свое право на покупку/продажу базисного актива в любой момент, не дожидаясь наступления даты истечения срока действия опциона (даты экспирации – expiry date). Данная терминология не имеет отношения к географическому месту совершения сделки. Биржевые опционы чаще являются американскими, внебиржевые - европейскими.

Продавец американского опциона колл должен в любой момент быть готов поставить базисный актив, а продавец опциона пут - оплатить базисный актив. Если продавец опциона колл - и европейского, и американского - имеет в наличии базисный актив, на который продан опцион, то такая позиция называется опционом колл с покрытием (covered call), в противном случае - без покрытия (naked call).

2.4. КЛАССЫ И СЕРИИ ОПЦИОНОВ Классом опционов называются все опционы с одним базисным активом, причем опционы колл и пут образуют различные классы. Серией опционов называются опционы определенного класса с одной датой экспирации и одним страйком.

Страйки, по которым ведется торговля, для биржевых опционов устанавливаются биржей в соответствии с правилами торговли. Обычно выбирается некоторый фиксированный шаг страйка. В день открытия торгов опционами с новой датой экспирации определяется центральный страйк - страйк, наиболее близкий к текущей цене базисного актива. Затем от центрального страйка отсчитываются равные количества страйков вверх и вниз, скажем, по 5, и полученные 211=22 серии выставляются на торги.

Впоследствии по мере движения цены базисного актива центральный страйк смещается, и тогда А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» добавляются новые серии опционов так, чтобы сверху и снизу от центрального страйка всегда было не менее оговоренного в правилах числа страйков (5 в данном примере).

2.5. ГРАФИКИ ПРИБЫЛЕЙ/УБЫТКОВ ПО ОПЦИОНАМ НА ДАТУ ЭКСПИРАЦИИ Как и форвардные или фьючерсные контракты, опционы могут не предусматривать поставку реального базисного актива, а быть расчетными. Сумма, которую продавец опциона должен выплатить покупателю в случае исполнения европейского опциона, равняется ST - E в случае опциона колл и E - ST в случае опциона пут, где ST - спот-цена базисного актива, по которой осуществляется расчет, E - страйк. Предполагается, что эти разности положительны, так как иначе держателю нет смысла исполнять опцион. Объединяя случаи исполнения и неисполнения опциона, получаем, что держателю европейского расчетного опциона колл в день экспирации продавец выплатит C = max ( S - E, 0 ), (2.1) TT а держателю опциона пут PT = max ( E - S, 0 ). (2.2) T Эти функции в зависимости от ST называются функциями выплат, а соответствующие графики – линиями выплат. Их можно интерпретировать также как стоимости опционов на дату экспирации. Ясно, что и стоимости опционов с поставкой базисного актива определяются теми же соотношениями.

Рис. 2.1. Стоимость опциона колл на дату экспирации Рис. 2.2. Стоимость опциона пут на дату экспирации Американские опционы к моменту истечения срока действия не отличаются от европейских, поэтому выражения (2.1), (2.2) к ним также применимы. Однако для американских опционов рис. 2.1, 2.2 содержат дополнительную информацию: они показывают минимальную границу для цены опциона в любой из предыдущих моментов, если по горизонтальной оси вместо ST откладывать текущую цену базисного актива S. Действительно, если в какой-то момент цена американского опциона оказывается ниже графика, то возможен арбитраж: покупка опциона и его немедленное исполнение.

Чему равна прибыль от этой операции?

Величина, изображаемая графиками рис. 2.1, 2.2, но в зависимости от текущей стоимости базисного актива S, для европейского и американского опционов называется внутренней стоимостью (intrinsic value).

Тем самым выше речь шла о том, что в условиях, когда цена американского опциона оказывается ниже его внутренней стоимости, возникает возможность для арбитража.

Если текущая цена базисного актива опциона колл больше страйка, то говорят, что опцион «в деньгах» (in-the-money), если меньше, то «вне денег» (out-of-the-money), и если равна страйку - то «на деньгах» (at-the money). Для опциона пут слова больше и меньше в предыдущем определении следует поменять местами.

Можно также сказать, что опцион в деньгах, если его внутренняя стоимость положительна. Выражение «опцион на деньгах» часто употребляют в расширительном смысле, понимая под этим опцион на центральном страйке, то есть ближайшем к цене базисного актива (иногда говорят «вблизи денег» – near-the-money). В дальнейшем будут также употребляться выражения «глубоко в деньгах», «глубоко вне денег» (deep in-the-money, deep out-of-the-money), которые относятся к ситуации значительного отличия цены базисного актива от страйка в ту или иную сторону.

Ясно, что смысл этих специфических выражений скорее геометрический, чем «денежный». К ним легко привыкнуть, воспринимая как удобные обозначения соотношений цены базисного актива и страйка, от чего, как будет видно из дальнейшего, существенно зависят качественные свойства опционов. Обычно данные термины просто оставляются без перевода в языках, использующих латинский алфавит.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Рис. 2.3, 2.4 - зеркальные отображения рис. 2.1, 2.2 - показывают суммы, которые платит продавец расчетного опциона при его исполнении.

Рис. 2.3. Стоимость короткой позиции по опциону колл на дату Рис. 2.4. Стоимость короткой позиции по опциону пут на дату экспирации экспирации Для того чтобы оценить прибыльность или убыточность всей операции по покупке и возможному исполнению опциона, необходимо учесть предварительно уплаченную покупателем премию C или P, понизив весь график на эту величину (рис. 2.5, 2.6). Сокращение «+1 5000 call @ 100» означает один купленный за 100 опцион колл на страйке 5000. Прибыли/убытки продавца опциона равны и противоположны.

Рис. 2.5. Прибыли/убытки покупателя опциона колл на дату Рис. 2.6. Прибыли/убытки покупателя опциона пут на дату экспирации экспирации Длинные позиции в данных примерах оказываются выигрышными правее точки 5100 для опциона колл и левее точки 4900 для опциона пут. Эти точки называются точками безубыточности (breakeven points).

Важным свойством длинных позиций по опционам является ограниченность возможных потерь размером уплаченной премии. При операциях только с фьючерсными контрактами возможность ограничения убытков прямо связана с ликвидностью контракта и плавностью движения цены, однако всегда остается риск резкого скачкообразного изменения цены в неблагоприятную сторону. Опционы позволяют строить позиции с ограниченными потерями при любом исходе.

Если трейдер имеет в своем портфеле купленные и проданные опционы в различных количествах и на различных страйках, но с одной датой экспирации, то прибыли/убытки на день экспирации изображаются графиком, который получается простым поточечным суммированием указанных элементарных графиков.

Первый этап знакомства с опционами обычно состоит в том, чтобы научиться суммировать графики и уметь до совершения сделки представить себе, к какому изменению графика это приведет (естественно, с этой задачей хорошо справляется компьютер). Полезным на стадии начального обучения оказывается анализ реальных котировок опционов с целью перебора различных вариантов сделок и выявления свойств возникающих при этом позиций.

Выделяют несколько стандартных спрэдов и комбинаций опционов, имеющих специальные названия, которые дают представление о разнообразии возможных графиков прибылей/ убытков. Реальные позиции часто более сложны и не подпадают под эту классификацию. Существенно, однако, что стратегии, основанные на графиках такого типа, сводятся к прогнозированию цены базисного актива на дату экспирации и построению позиции, которая лежит в положительной области для ожидаемых на эту дату значений цены базисного актива. Дополнительным соображением является соотнесение потенциальной прибыли и риска потерь в случае ошибочного прогноза. Недостатком подобных стратегий является их привязка к дате экспирации и, как следствие, некоторая статичность: график ничего не говорит о текущей стоимости портфеля и тенденциях ее изменения. Для учета этих факторов и применяется количественная А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» теория стоимости опционов, которой в основном посвящена данная книга. Упомянутые выше стандартные спрэды и комбинации опционов перечислены в главе 11.

В действительности переход от рисунков 2.1, 2.2 к рисункам 2.5, 2.6 простым вычитанием премии неявно содержит некоторое упрощение, поскольку моменты уплаты премии и получения той или иной суммы не совпадают и необходимо учитывать процентную ставку для пересчета предварительно уплаченной премии к дате экспирации. Упрощенный способ представления ожидаемых прибылей/убытков достаточно распространен в тех случаях, когда процентные ставки и/или сроки малы.

2.6. ОПЦИОН НА ФЬЮЧЕРСНЫЙ КОНТРАКТ Практически все фьючерсные контракты, торгуемые на западных биржах, а также наиболее ликвидные фьючерсы в FORTS снабжены еще одной «производной надстройкой» - опционами, в которых базисным активом является данный фьючерсный контракт. Это означает, что если покупатель решает исполнить опцион, ему открывается фьючерсная позиция с ценой исполнения, равной страйку. По опциону колл открывается длинная фьючерсная позиция, по опциону пут - короткая. Для продавца опциона открывается противоположная фьючерсная позиция. Более точно, процедура обработки уведомлений об исполнении биржевых опционов (exercise notice) заключается в следующем:

• Клиринговая палата по завершении торговой сессии проверяет наличие длинных открытых позиций в данной серии опционов у подателя уведомления об исполнении опционов;

• открытые позиции по опционам заменяются на соответствующие фьючерсные позиции;

• среди позиционных счетов (портфелей), содержащих на данный момент короткие позиции в той же серии опционов, в соответствии с некоторым алгоритмом (например, методом случайного поиска) выбирается один или несколько, в которых вместо опционных открываются фьючерсные позиции, противоположные позициям покупателя, в сумме на то же количество контрактов;

• как для подателя уведомления об исполнении опционов, так и для выбранных контрагентов по открытым фьючерсным позициям начисляется (списывается) вариационная маржа.

Пример 2.1. Пусть участник торгов 29 мая 2002 года купил июньский 4500 put @ 100, когда цена базисного фьючерса была равна 4550. Если 4 июня он решает исполнить опцион и подает соответствующее уведомление в Клиринговую палату, то Клиринговая палата подбирает контрагента с короткой позицией в той же серии опционов. Расчетная цена июньского фьючерса 4 июня оказалась равной 4200. Держателю опциона открывается короткая фьючерсная позиция с ценой исполнения 4500, затем ему на счет начисляется 300 рублей в качестве вариационной маржи и позиция считается скорректированной по рынку, то есть имеющей цену исполнения 4200. Для контрагента открывается длинная фьючерсная позиция и с его счета списывается 300 рублей. При этом опционные позиции, естественно, ликвидируются.

Встречаются несколько вариантов сочетаний опционов и фьючерсов.

1) Расчетные фьючерсы и расчетные европейские опционы на один базисный актив с одним сроком исполнения. В этом случае фьючерсы и опционы торгуются параллельно, однако ввиду окончательного расчета по одному и тому же значению индекса эти позиции составляют единый портфель и должны рассматриваться совместно. Опционы, которые на дату экспирации оказываются в деньгах, при этом исполняются автоматически.

2) Расчетные фьючерсы и опционы на эти фьючерсы.

a. Если опционы европейские, то это по сути предыдущий вариант, поскольку в день экспирации по опционам в деньгах вначале будут открыты фьючерсные позиции по страйковым ценам, а затем по фьючерсам будет осуществлен окончательный расчет и позиции будут ликвидированы. Результат равен внутренней стоимости опциона, то есть тому же, что было бы получено по опциону непосредственно на базисный актив. Хотя вариант 1 выглядит проще, встречаются примеры опционных спецификаций именно в варианте 2а.

b. В случае американских опционов для держателей длинных позиций добавляется дополнительная возможность исполнения опциона в течение срока его действия.

Соответственно, продавцы опционов должны быть готовы к тому, что их опционные позиции будут заменены на фьючерсные. Случаи, когда целесообразно исполнять опцион, достаточно редки: досрочное исполнение опциона держателем по сути приводит к тому, что вместо права выбора он получает твердое обязательство покупки или продажи в будущем базисного актива по той же страйковой цене, чем сужает свои возможности. При этом теряется так называемая времення стоимость опциона (об этом ниже).

3) Поставочные фьючерсы и опционы на эти фьючерсы. Дата экспирации таких опционов предшествует дате исполнения фьючерсов по крайней мере на несколько дней. Это необходимо для того, чтобы за несколько дней до поставки снять неопределенность относительно исполнения или неисполнения А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» опционов. После даты экспирации опционов каждый участник точно знает, сколько открытых фьючерсных позиций он имеет и у него остается время скорректировать позиции в зависимости от того, собирается ли он «выходить на поставку» и в каком объеме. Автоматического исполнения опционов в деньгах не происходит, то есть держатели, которые хотят исполнить опционы, всегда должны подавать соответствующие уведомления. Иногда предусматривается автоматическое исполнение опционов, которые в деньгах на определенную величину. Например, если эта величина составляет 50 рублей, расчетная цена фьючерса в день экспирации опционов 4560, то опцион колл на страйке 4500 в деньгах на 60 и будет автоматически исполнен, если от держателя не поступил отказ от автоматического исполнения.

По схеме организованы фьючерсные контракты на акции ОАО «Газпром» (см. таблицу 2.1) и опционы на эти фьючерсы в FORTS. Краткая спецификация опциона имеет вид:

Базисный актив Фьючерс на обыкновенные именные бездокументарные акции ОАО «Газпром» Тип Колл и пут Вид Американский Объем контракта 1 фьючерсный контракт Месяцы исполнения Последний день обращения Те же, что и по базисному фьючерсу Цена контракта Шаг цены Шаг страйка 500 рублей (на 100 акций) Истечение срока действия Закрытие торговой сессии, после которой остается два торговых дня по базисному фьючерсу Исполнение Покупатели могут исполнить опционы в любой день, подав заявление о востребовании прав по опционам. Автоматическое исполнение в дату экспирации не предусмотрено.

Таблица 2.1. Пример спецификации опциона на поставочный фьючерс 2.7. СПОСОБЫ РАСЧЕТА ПО ОПЦИОНАМ Опционы, по которым покупатель выплачивает продавцу премию непосредственно в момент заключения сделки, в дальнейшем будут именоваться опционами с уплатой премии. В английском варианте такой способ расчета называется stock-type settlement, что дословно можно перевести как «акционный» тип расчетов;

употребляется также выражение up front premium method. При этом опцион торгуется аналогично любой другой ценной бумаге. Если на некоторый базисный актив торгуются только опционы (нет параллельно торгуемых фьючерсов), то такой способ расчетов выглядит вполне естественным. Проблемы возникают при использовании этого типа расчетов в случае, когда опционы торгуются вместе с фьючерсами в любом из вариантов, перечисленных в предыдущем разделе. В качестве иллюстрации выберем одну из комбинаций опционов - синтетический фьючерс.

Рассмотрим для определенности опционы в варианте 2а предыдущего раздела. Синтетический фьючерс представляет собой длинную позицию по опциону колл и короткую позицию по опциону пут на том же страйке E, скажем, E = 4900. Из графика видно, что линия выплат по данной позиции представляет собой прямую, проходящую через 4900 (эта линия не учитывает премии по опционам, иначе ее надо сместить на величину разности премий P-C). Точнее эту позицию следовало бы назвать синтетический форвард, поскольку при сохранении этой позиции до даты экспирации расчеты происходят один раз – при исполнении опционов. Предположим, что одновременно с занятием длинной синтетической фьючерсной позиции продается «обычный» фьючерс по цене F = 5100. Суммарная линия выплат представляет собой горизонтальную линию на уровне F - E = 200, то есть окончательный результат данной операции не зависит от цены исполнения контрактов – цены базисного актива на дату исполнения. Данная комбинация, называемая реверсией, а также противоположная - конверсия, могут использоваться для получения арбитражной прибыли, если премии по опционам на одном страйке и фьючерсная цена разбалансированы, в данном примере при условии C - P F - E = 200.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Рис. 2.7. Стоимость реверсии на дату экспирации опционов Упомянутая выше проблема заключается в том, что несмотря на горизонтальный график портфеля на момент экспирации и, казалось бы, вполне определенный окончательный результат, при значительном росте фьючерсной котировки в период между открытием позиций и датой экспирации по «настоящему» фьючерсу необходимо выплачивать вариационную маржу, а по синтетическому фьючерсу прибыли будут лишь потенциальными (нереализованными). Если в какой-то момент средств на выплату вариационной маржи не хватит, то придется закрывать позиции. Принудительные операции редко бывают прибыльными, тем более что разбалансированность, на которой основана эта арбитражная стратегия, обычно мала.

Аналогичная ситуация имеет место в так называемых синтетических опционах, например, при синтетическом опционе колл - сумме длинной позиции по опциону пут и длинной фьючерсной позиции неожиданные с точки зрения суммарного графика неприятности могут возникнуть при падении фьючерсной котировки. Кроме того, одной из часто применяемых опционных стратегий является динамический хедж, подробно рассматриваемый ниже, при котором рыночные позиции по опционам и фьючерсам оказываются противоположными. Если при этом потери по фьючерсам не компенсируются немедленно эквивалентными приобретениями по опционам и наоборот, то средства, необходимые для поддержания таких позиций, существенно возрастают, что уменьшает доходность операций.

Примеры можно продолжить, но суть их сводится к тому, что имеет место нестыковка способов расчета по опционам и фьючерсам. Для того чтобы преодолеть эту трудность, были введены опционы без уплаты премии, или опционы с фьючерсной системой расчетов - futures-type settlement или variation margining.

Первой такую систему применила Лондонская Международная биржа финансовых фьючерсов и опционов LIFFE (the London International Financial Futures and Options Exchange), и эту систему называют также системой LIFFE. Такой способ расчета для опционов на фьючерсы в настоящее время принят на большинстве фьючерсных бирж.

Суть расчетов без уплаты премии состоит в том, что расчеты ведутся «в дифференциалах», как и по фьючерсам. Величина премии при заключении сделки только фиксируется, однако перечисления этой суммы от покупателя к продавцу не происходит. Биржа по итогам дня аналогично расчетной цене фьючерса определяет и расчетные цены для каждой серии опционов. Расчетные цены выводятся не только для тех серий, где были сделки, но и для остальных серий, по которым есть открытые позиции. Процедура меняется от биржи к бирже, некоторые возможные подходы к этой проблеме будут ясны из главы (например, использование так называемой матрицы волатильностей). Расчеты по открытым опционным позициям проводятся так же, как и по фьючерсам, то есть в процессе клиринга происходит сравнение зафиксированной премии с расчетной ценой этого дня для данной серии и корректировка позиции по рынку;

в дальнейшем корректировка по рынку проводится ежедневно по расчетным ценам опциона.

Пример 2.2. Пусть 13 числа месяца исполнения фьючерсного контракта на акции РАО «ЕЭС России», за два дня до даты экспирации опционов, участник торговли покупает опцион колл с ценой исполнения рублей по цене 25 рублей. Если расчетная цена данной серии опционов по итогам этого торгового дня равняется 35 рублям, то вариационная маржа составит 35-25=10 рублей (рис. 2.8, где F13 обозначает расчетную цену по фьючерсу этого дня). Если на следующий день расчетная цена по той же серии опционов равна 42, то вариационная маржа этого дня составит 42-35=7 рублей, а суммарная вариационная маржа за два дня достигнет 17 рублей.

Пусть 15 числа - в дату экспирации опционов - цена исполнения базисного фьючерса равна 5650. Тогда опцион в деньгах на 5650-5600=50 рублей, и окончательный расчет по опциону сводится к начислению вариационной маржи в размере 50-42=8 рублей. Суммарная вариационная маржа с момента покупки опциона составляет 25 рублей. Это соответствует значению графика прибылей/убытков по длинной позиции по опциону колл в точке 5650. Если бы расчеты происходили обычным способом, с уплатой премии, то в А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» момент заключения сделки покупатель заплатил бы 25 рублей в качестве премии, а при исполнении получил бы 50 рублей. Итоговый результат при этом тот же, что и в способе без уплаты премии, но во времени платежи распределяются по-разному.

Рис. 2.8. Вариационная маржа по опциону без уплаты премии Если бы окончательная расчетная цена по базисному фьючерсу оказалась меньше цены исполнения опциона 5600, то последняя вариационная маржа составила бы 0-42=-42 рубля. Соответственно, суммарные убытки с момента покупки опциона были бы равны 25 рублям, то есть равны премии, с которой была заключена сделка по опциону. Как и при расчетах с уплатой премии, убытки покупателя опциона никогда не могут превысить величины премии, при этом потенциальные прибыли не ограничены.

Рассмотренная в примере 2.1 процедура досрочного исполнения американского опциона на фьючерс с уплатой премии может, в частности, преследовать цель немедленного получения покупателем внутренней стоимости опциона в виде денежных средств - вариационной маржи по открытому взамен опциона фьючерсному контракту. Обратной стороной этого положительного эффекта является потеря «страховки» (ограничения возможных потерь), так как график прибылей/убытков из ломаной типа изображенных на рис.

2.1, 2.2 превращается в прямую линию. Для опционов на фьючерс без уплаты премии подобный стимул досрочного исполнения опциона отсутствует, поскольку рост стоимости опциона немедленно реализуется в денежных выплатах, а досрочное исполнение, как будет показано ниже, лишь приводит к потере так называемой временнй составляющей премии. Тем не менее ситуации, когда такая операция имеет смысл, не исключаются. В частности, может оказаться, что с целью закрытия позиций удобнее исполнить опционы глубоко в деньгах и закрыть более ликвидные фьючерсные позиции.

Если держатель опциона без уплаты премии решает исполнить опцион и подает соответствующее уведомление в Клиринговую палату, то обработка этого уведомления отличается от описанной в разделе 2. процедуры дополнительной операцией: со счета держателя списывается сумма, равная текущей расчетной цене опциона. Это связано с тем, что при исключении из портфеля опциона портфель дешевеет на эту величину. Можно также не вводить эту дополнительную операцию, но считать, что фьючерсная позиция открывается следующим образом: в случае опциона колл по цене E +C, в случае опциона пут с ценой исполнения E - P, где E - страйк, C, P - расчетные цены опционов того дня, в который происходит исполнение опционов. Далее эти фьючерсные позиции обычным образом корректируются по рынку.

Пример 2.3. Пусть накануне дня экспирации опцион колл на страйке 5000 был куплен за 100, расчетная цена фьючерса оказалась равна 5105, а расчетная цена в данной серии опционов 110. Если опцион исполняется в этот день, то последовательность операций следующая:

• начисляется вариационная маржа по опциону 110-100=10;

• ликвидируется позиция по опциону и со счета списывается 110 рублей;

• открывается длинная фьючерсная позиция по цене 5000;

• по открытой фьючерсной позиции начисляется вариационная маржа в размере 5105-5000=105 рублей.

Итого общие прибыли/убытки по итогам дня составляют 10-110+105=5 рублей. Эта величина является значением графика вида 2.5 для прибылей/убытков по опциону 5000 колл @ 100 в точке 5105 - текущей фьючерсной расчетной цене.

Проверим, что и в общем случае, если пренебречь разновременностью платежей, оба способа расчетов – с уплатой премии и без уплаты премии - приводят к одному результату. Пусть опцион колл с уплатой премии на страйке E был куплен с премией C. Если опцион не исполняется вплоть до дня экспирации, то прибыли/убытки по опциону составят -C;

если он исполняется в один из дней до дня экспирации включительно, то держатель в результате коррекции фьючерсных позиций по рынку получает F -E А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» (первоначально фьючерсные позиции открываются по страйковой цене E ), а суммарные прибыли/убытки на этот день оказываются равны F -E -C, то есть изображаются рис. 2.5.

В случае опциона без уплаты премии предположим, что расчетные цены опциона в день заключения контракта и в последующие дни, вплоть до последнего дня торговли опционом, равны C1, C2,..., Cm. Если опцион не исполняется, то Cm = 0 и суммарная вариационная маржа равна (C1 - C) + (C2 - C1)+...(Cm - Cm-1) = Cm - C = -C, то есть тому же, что и ранее. Если опцион исполняется в некоторый k -тый день, k m, то результат на этот день равен (C1 - C) + (C2 - C1)+...+(Ck - Ck -1) + (F - E - Ck ) = F - E - C, что опять-таки совпадает с приведенным выше выражением для опционов с уплатой премии. В случае опциона пут выкладки аналогичны.

Опционы без уплаты премии на первый взгляд могут показаться более сложными, чем более традиционные - с уплатой премии, однако в действительности такой способ расчетов не только снимает указанные выше нестыковки в денежных расчетах, но, как будет видно из дальнейшего, и упрощает формулы для теоретической стоимости опционов.

В таблице 2.1 приведена типичная ежедневная биржевая сводка по итогам торгов опционами на фьючерсы. В ней указаны расчетные цены для опционов с ближайшими тремя месяцами поставки. Кроме того, под таблицей обычно даются объемы торгов и количество открытых позиций отдельно по опционам колл и пут.

колл пут страйк октябрь ноябрь декабрь октябрь ноябрь декабрь 4300 223.......... 23..........

4350 184 226..... 34 76.....

4400 149 195 227 49 95 4450 118 166 200 68 116 4500 91 140 175 91 140 4550 69 117 152 119 167 4600 51 98 131 151 198 Таблица 2.9. Расчетные цены опционов Можно ли сделать какие-либо выводы относительно фьючерсной цены при таких ценах опционов? (Указание: см. рассуждения в связи с рис. 2.7).

2.8. КЛАССИФИКАЦИЯ ОПЦИОНОВ Подводя итоги данной главы, классифицируем опционы следующим образом:

• по типу опциона – колл или пут;

• по виду опциона – европейский или американский;

• по базисному активу – акции, валюта, фьючерсы;

• по типу расчетов – с уплатой премии или без уплаты премии.

Акция как базисный актив будет рассматриваться в двух вариантах - как бездивидендная и дивидендная. Первое означает, что за время действия опциона выплата дивидендов не ожидается, во втором случае будет предполагаться, что заранее точно известны даты выплаты и величины дивидендов.

Результаты для акций допускают также следующее расширительное толкование. Бездивидендная акция выступает как представитель класса базисных активов, обладающих свойствами: владение этим активом, с одной стороны, не дает никаких денежных поступлений за время действия опциона, а с другой, не требует расходов по хранению, страховке и т.п. Дивидендный случай описывает класс базисных активов, владение которыми сопровождается дискретными поступлениями денежных средств.

Валюта обобщает класс активов, владение которыми сопровождается увеличением количества единиц этого базисного актива пропорционально временному промежутку и известной скорости прироста (ставке процента по валюте). Форварды, фьючерсы и опционы на валюту допускают двоякую интерпретацию в силу специфики базисного актива. Например, опцион колл на поставку долларов за рубли можно интерпретировать как опцион пут на продажу рублей за доллары.

Наконец, существуют классы базисных активов, владение которыми связано с необходимостью денежных выплат, например, за хранение товара, либо с уменьшением единиц актива со временем.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Результаты для этих случаев формально получаются простой заменой соответствующих знаков в выражениях, полученных для дивидендной акции или валюты, поэтому отдельно эти классы рассматриваться не будут.

Поскольку опционы без уплаты премии существуют только для опционов на фьючерсы, всего имеется возможных комбинаций. Принципиальный подход к оценке стоимости опциона одинаков во всех этих случаях, однако конкретные выражения получаются разными. Примем следующие соглашения: Cаес будет обозначать стоимость опциона колл на акции, европейского, с уплатой премии;

Pфаб - стоимость опциона пут на фьючерс, американского, без уплаты премии, и т.д.

Известная формула Блэка-Шоулса была первоначально получена для Cаес, Pаес (Fischer Black, Myron Scholes, 1973). В следующей главе описывается рыночная модель, использованная при выводе этой формулы. Следует отметить, что несмотря на обилие работ по этой теме классическая формула Блэка Шоулса в силу ее простоты и эффективности остается широко применяемой на практике профессиональными трейдерами.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» ГЛАВА 3. МОДЕЛЬ РЫНОЧНЫХ УСЛОВИЙ 3.1. НЕПРЕРЫВНО НАЧИСЛЯЕМАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА При выводе формулы для теоретической стоимости опционов необходимо задаться какой-то количественной моделью тех условий, в которых совершаются операции с опционами. При этом неизбежно приходится делать ряд упрощающих предположений. Одно из ключевых связано с процентными ставками и состоит в следующем. Вводится понятие безрисковой процентной ставки, единой для всех участников торгов и одинаковой как для привлечения, так и для размещения средств. Кроме того, считается, что временная структура процентных ставок удовлетворяет условию: если Ri = R(Ti ) - годовые процентные ставки для некоторого набора периодов Ti < 1 (время в долях года), выраженные в виде простого процента, то существует единая величина r такая, что rTi e = 1 + Ri Ti (3.1) для всех i. Из этого следует, в частности, что если для некоторого периода T задана процентная ставка R= R ( T ), то для любого кратного периода Tn = nT процентная ставка Rn = R ( Tn ) однозначно определяется по правилу сложных процентов:

n enrT = (erT )n = (1 + RT )n = 1 + RnTn = erT.

Можно также сказать, что при расчете эффективной годовой процентной ставки Reff по формуле сложных процентов на основании заданных простых процентных ставок Ri = R(Ti ) всегда получается одинаковый результат: Reff =er -1. Это предположение, с одной стороны, не лишено оснований и по крайней мере приближенно часто выполняется;

с другой, позволяет отвлечься от вопросов, связанных с «короткими» и «длинными» деньгами, поскольку специфические вопросы, связанные с опционами, сами по себе достаточно сложны.

Геометрический смысл параметра r, который называется непрерывно начисляемой процентной ставкой (continuously compounded interest rate), показан на рис. 3.1. Здесь для наглядности параметр r рассчитывается для 6-месячной процентной ставки R = 200% и оказывается равен r = 140%.

Экспонента ert подобрана так, чтобы пройти через точку A на прямой 1+ Rt, а прямая 1+ rt - касательная к этой экспоненте в нуле. Смысл непрерывно начисляемой процентной ставки сводится к тому, что для малых T (на практике для одного дня, а в пределе для бесконечно малых T ) величина r дает простой годовой процент, а для больших периодов по предположению рост денежных средств удовлетворяет формуле сложных процентов, то есть происходит непрерывная капитализация дохода.

Экспоненциальная форма представления сложных процентов удобна с математической точки зрения и широко используется в теоретических выкладках при определении стоимости опциона. Также записываются и окончательные результаты. Интересно, однако, что эти выражения (по крайней мере те из них, которые будут встречаться ниже) всегда содержат параметр r в готовых комбинациях erT и e-rT, которые при расчетах можно просто заменить соответственно на правую часть (3.1) и e- rT =. (3.2) 1 + RT Рис. 3.1. Непрерывно начисляемый процент для 6-месячной ставки R=200% А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Еще одно предположение, используемое при выводе формулы стоимости опциона, состоит в том, что за время существования опциона процентная ставка r будет постоянной. Принципиально рассуждения не меняются, если считать, что будущая динамика процентной ставки r в этот период заранее известна.

Вообще говоря, непрерывно начисляемый процент применяется и в тех случаях, когда предположение (3.1) о временной структуре процентных ставок не выполняется. Тогда необходимо указывать, для какого периода T задан процент r, представляющий собой просто другую форму записи процента R. Процентные ставки r для различных периодов T легко сравнивать, поскольку большему r соответствует бльшая годовая эффективная процентная ставка.

3.2. МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНЫ БАЗИСНОГО АКТИВА Для определенности будем говорить об опционах на фьючерсы и обозначать текущую фьючерсную цену символом F, однако под F можно понимать текущую цену любого базисного актива.

Предполагается, что динамика цены базисного актива в течение торговой сессии описывается некоторым непрерывным случайным процессом, причем и между сессиями скачков цены не происходит. Не вдаваясь в математические подробности, связанные с корректным представлением непрерывных случайных процессов, примем более простое и наглядное описание цены как дискретного процесса с некоторым временным шагом : F0 = F, F1, F2,..., Fm. Шагом может быть один день, одна неделя, один час, 15 мин и т.д. Шаг будет выражаться в долях года, причем поскольку процесс «существует» только в течение торговых сессий, то 1 год считается равным в среднем 252 рабочим дням, и если, например, шаг по времени равен одному дню (типичный случай), то =.

Дискретная модель движения цены описывается уравнением Fk - Fk - = µ + k, (3.3) Fk - где слева стоит относительное изменение цены, а справа:

• µ - средняя скорость тренда цены, выраженная как простой годовой процент;

• - волатильность (volatility);

•,,..., - последовательность гауссовских независимых случайных величин с нулевым 1 2 m средним и единичной дисперсией.

Первое слагаемое справа при отсутствии второго и достаточно малом интервале задает экспоненциальный рост или снижение цены по формуле µt k F (tk ) = Fk = Fe, (3.4) где tk = k, что имеет аналогию с выражениями предыдущего раздела при замене r на µ. Второе слагаемое описывает случайные колебания цены относительно траектории ее среднего роста или снижения.

Разброс случайных возмущений i стандартизован и определяется единичной дисперсией, а влияние их на цену регулируется параметром. Таким образом, модель (3.3) содержит как прогнозируемую составляющую изменения цены, так и ее непредсказуемые колебания, а волатильность является характеристикой размаха этих колебаний. Волатильность обычно указывается в процентах. Типичными значениями на товарных и фондовых рынках являются 15 - 30% и более.

Модель (3.3) при 0 переходит в модель непрерывного изменения цены, которая в некотором отношении проще, так как дает более компактные результаты. Если использовать эту модель для прогноза цены в определенный будущий момент t, то F(t) имеет так называемое логнормальное распределение со средним µ t F ( t ) = Fe, (3.5) а разброс цены относительно среднего F(t) - F(t) характеризуется среднеквадратическим отклонением (СКО) t = F ( t ) e - 1 F ( t ) t. (3.6) F ( t ) Последняя аппроксимация тем точнее, чем меньше t по сравнению с F(t). Логнормальное распределение, в отличие от нормального, несимметрично и целиком лежит в положительной области. Чем меньше t по сравнению с F(t), тем ближе логнормальное распределение к нормальному со средним А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» F(t) F(t) и СКО. Поэтому в первом приближении вероятность того, что F(t) окажется в определенном интервале с центром F(t), может быть определена на основании хорошо известных свойств гауссовского распределения.

Вероятность Интервал относительно F(t) 70% ± F (T ) 95% ± F (T ) 99.7%.

± F (T ) Более точно эти интервалы могут быть определены на основании следующего свойства F(t): случайная величина ln F(t) имеет нормальное распределение со средним ln F(t) - 0.5 t и СКО t.

Если в (3.6) взять t = 1 - один год, то F(t). Тем самым в первом приближении F (t ) волатильность можно интерпретировать как СКО цены через один год, выраженное как процент от ожидаемого среднего значения. Если t = 1/ 252 - один день, то F. При цене базисного актива F (t ) F = 5000 и волатильности = 40% распределение цены на следующий день имеет относительное СКО 40/16=2.5%, а в терминах цены 5000*2.5%=125 рублей.

В разделе 3.1 и в данном временные интервалы T измеряются по-разному. В предыдущем разделе, где речь шла о процентных ставках, для определения T необходимо было взять полное количество дней и отнести его к 365, а в данной необходимо количество рабочих дней делить на 252. Небольшое различие, которое при этом возникает, часто игнорируется, однако для уточнения приводимых в дальнейшем формул теоретической стоимости опционов рекомендуется использовать первый способ в выражениях rT и второй способ в выражениях µT, T.

3.3. ТИПЫ ВОЛАТИЛЬНОСТИ В главе 5 будет показано, что парадоксальным на первый взгляд образом теоретическая стоимость опциона не зависит от скорости тренда µ цены базисного актива. Для оценки стоимости опциона важно спрогнозировать волатильность цены базисного актива в будущий период до момента экспирации опциона. Различают 4 типа волатильности:

• истинную будущую волатильность;

• историческую волатильность (historical volatility);

• прогноз на определенный будущий период;

• опционную волатильность4 (implied volatility).

Истинная будущая волатильность - это то, что хотелось бы знать сегодня, но что станет известно только по прошествии данного периода.

Историческая волатильность определяется по ценам базисного актива в некоторый предшествующий период времени. Для того чтобы получить оценку параметров µ, по дискретному набору цен базисного актива F0 = F, F1, F2,..., Fm, необходимо определить относительные изменения цены за период F1 - F0 F2 - F1 Fm - Fm - u1 =, u =,..., u =, 2 m F0 F1 Fm - рассчитать среднюю скорость тренда u + u +... + u 1 2 m u =, m а затем вычислить оценку волатильности для периода (u1 - u )2 + (u2 - u )2 +... + (um - u ) =. (3.7) m - А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Используя обычную терминологию, можно сказать, что волатильность - это СКО случайных величин u, u,..., u. Оценки коэффициентов µ, получаются нормированием:

1 2 m u µ =, =. (3.8) Для прогнозирования волатильности часто используется следующий прием. Задавшись некоторой шириной окна w, например, в 20 точек (20 рабочих дней или 1 месяц), «скользят» этим окном по имеющейся записи цены базисного актива. Для попадающих в окно точек определяются µ и, которые отображаются на графике для даты, являющейся правым краем окна (то есть процедура построения этих графиков аналогична построению графика скользящего среднего, применяемого в техническом анализе).

Эти данные могут быть использованы в качестве ориентира для прогнозирования волатильности на будущий период. При этом рекомендуется сначала выбрать ширину окна w порядка длины прогнозируемого периода, а затем проанализировать графики для других значений этого параметра. Как и при прогнозе динамики цены базисного актива, для предсказания волатильности привлекается разнообразный арсенал методов фундаментального и технического анализа, а также то, что можно назвать «чувством рынка».

Одним из наблюдений о поведении волатильности базисных активов на относительно стабильных западных рынках является возврат к среднему (reversion to the mean). Различные базисные активы характеризуются средними значениями волатильности, которые являются весьма устойчивыми в том смысле, что графики исторической волатильности на длительном временном интервале испытывают колебания вверх и вниз относительно этих средних значений.

О последнем виде волатильности речь подробно пойдет в главе 10, однако здесь определить ее можно как расчетный параметр, который необходимо подставить в формулу для теоретической стоимости опциона, чтобы при фиксированных остальных параметрах (цене базисного актива, страйке, времени до экспирации, процентной ставке) получить заданное значение премии. Иными словами, если прямое назначение теоретических формул - давать стоимость опциона в зависимости от различных ценообразующих факторов, то для определения опционной волатильности необходимо решить обратную задачу - по заданной премии, с которой была совершена реальная сделка, рассчитать соответствующую волатильность. По графикам опционной волатильности также строятся прогнозы, причем возврат к среднему здесь тоже имеет место.

3.4. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ВОЛАТИЛЬНОСТИ EWMA, GARCH Если в (3.7) положить u = 0 и использовать упрощенный вариант этой формулы:

2 u12 + u2 +... + um =, (3.9) m то отличие результатов, как правило, пренебрежимо мало. Отдельные наблюдения u в (3.9) i суммируются с одинаковыми весами. Обобщением этого выражения является m = V + ui2, (3.10) i i = где m + = 1, (3.11) i i = а величина V имеет смысл долговременного среднего для величины и вводится для учета тенденции возврата волатильности к среднему. Для того чтобы точнее отслеживать динамику волатильности, недавним наблюдениям u обычно придается больший вес, чем отстоящим дальше по времени от текущего i момента.

Одним из наиболее часто упоминаемых и используемых в настоящее время способов оценки волатильности является GARCH (generalized autoregressive conditional heteroscedasticity), в котором используется рекуррентный вариант соотношения (3.10). Предположим, что с течением времени в каждый дискретный момент tk вычисляется своя оценка волатильности. В наиболее распространенном методе k 2 2 GARCH(1,1) по оценке и последнему наблюдению u новая оценка вычисляется следующим k -1 k k образом 2 2 = V + + u, (3.12) k k - 1 k По поводу данного термина см. сноску на стр. 61.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» где,, - постоянные положительные коэффициенты, < 1. Если предположить, что имеется бесконечная предыстория наблюдений u, то эта рекуррентная формула может быть последовательно i преобразована в выражение:

2 2 2 2 2 = V (1 + + +...) + ( u + u + u +...).

k k k - 1 k - Нетрудно видеть, что (3.11) в данном случае эквивалентно тому, что + + = 1.

Обобщением GARCH(1,1), называемым GARCH(p,q), является выражение вида (3.12), куда входят 2 2,,..., и u, u,..., u, однако такие выражения используются реже.

k -1 k - 2 k - p k k - 1 k + 1 - q Частным случаем GARCH(1,1) является метод EWMA (exponentially weighted moving average), в котором = 0, то есть не учитывается возврат к среднему. В системе оценки рыночного риска RiskMetrics, разработанной J.P.Morgan, волатильности вычисляются методом EWMA с = 0.94, = 0.06. Эти параметры были выбраны как наилучшие в среднем для всех рынков.

До сих пор речь шла о вычислении оценки волатильности для текущего момента. Для того чтобы сделать прогноз волатильности на l шагов вперед, в модели GARCH(1,1) следует использовать выражение 2 l = V + ( + ) ( - V ).

k + l k Так как + < 1, то по мере увеличения глубины прогноза оценка сходится к V. В EWMA + = 1, поэтому наилучший прогноз просто совпадает с текущей оценкой волатильности.

Пример 3.1. Проиллюстрируем метод EWMA на примере цены акции РАО «ЕЭС России» на торгах в РТС в «послекризисный» период 01.10.98 - 20.06.02 (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Динамика цены акции РАО «ЕЭС России» на торгах в РТС Рис. 3.3. Историческая волатильность и прогноз методом EWMA c = 0. На рис. 3.3 каждая точка графика «волатильность» означает историческую волатильность, рассчитанную по предшествующему 60-дневному периоду. График «EWMA 0.99» построен методом EWMA с = 0.99, при этом каждая точка графика отнесена не к тому моменту, в который она могла бы быть реально рассчитана, а сдвинута вправо (в будущее) на 60 точек. Тем самым для каждого момента изображена истинная волатильность в предшествующий 60-дневный период и ее прогноз методом EWMA.

Если построить график, подобный рис. 3.3, для = 0.94, то окажется, что в этом случае EWMA чрезмерно сильно реагирует на последние по времени движения цены и ошибочно прогнозирует их вперед.

При = 0.99 прогноз оказывается лучше, например, по критерию среднего квадрата отклонений прогноза от исторической волатильности.

Относительно скорости тренда µ на основании рис. 3.2 можно сделать лишь тот вывод, что после начального периода роста цены наступил период бокового тренда, то есть в первом приближении можно считать, что µ = 0. Если бы рассматривался курс рубля к доллару, то долговременный тренд прослеживался бы более четко.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» ГЛАВА 4. СТОИМОСТЬ ФОРВАРДНЫХ И ФЬЮЧЕРСНЫХ КОНТРАКТОВ Прежде чем перейти к вопросу о теоретической стоимости опционов, целесообразно рассмотреть более простые форвардные и фьючерсные контракты. Это позволит наглядно продемонстрировать арбитражный подход к определению стоимости производных финансовых инструментов.

Термины цена и стоимость срочного контракта используются в дальнейшем в различных смыслах. Цена - это вполне определенная величина, сложившаяся под влиянием рыночного спроса и предложения, по которой в действительности заключен или может быть заключен контракт. Стоимость - это абстрактная величина, показывающая цену, по которой теоретически должен был бы быть заключен контракт для того, чтобы ни одна из сторон сделки не имела возможности получения арбитражной прибыли. Таким образом, если цена контракта отличается от его стоимости, появляется возможность для арбитража.

Необходимо иметь в виду, что теоретические рассуждения, применяемые при определении стоимости, обычно идеализированы и упрощают реальную ситуацию. На практике для проверки возможности арбитража следует просчитать всю цепочку предполагаемых операций, детально учитывая конкретные обстоятельства: разницу ставок привлечения и размещения, начальную маржу (см. главу 13), резервные средства для выплаты вариационной маржи в случае фьючерсных контрактов и опционов без уплаты премии, порядок налогообложения, комиссионные, налоги и т.п.

4.1. ФОРВАРДНЫЕ КОНТРАКТЫ Бездивидендная акция Обозначим текущую цену акции через S, стоимость форвардного контракта на поставку акции со a сроком исполнения T - через F. Если цена акции удовлетворяет уравнению (3.3) с заменой F на S, то, на первый взгляд, «естественной» ценой форвардного контракта является ожидаемое среднее значение цены a µT F = S (T ) = Se акции в момент T, то есть (см. (3.5)). В действительности за теоретическую стоимость форварда принимается a rT F = Se. (4.1) Если реальная форвардная цена не равна стоимости, то существует арбитражная стратегия, a позволяющая получать прибыль не в среднем, а гарантированно. Пусть, например, F > SerT. Тогда в момент t = 0 необходимо занять сумму S под процент r, купить акцию и продать форвардный контракт, а a в момент t=T получить по форвардному контракту за акцию цену F, что по предположению больше возвращаемой в погашение кредита суммы. Данная арбитражная стратегия называется прямым арбитражем (cash and carry arbitrage).

a При F < SerT используется так называемая короткая продажа акции (short sale), или, иначе, продажа без покрытия. В момент t=0 акция берется в долг, продается по цене S, полученная сумма размещается под безрисковый процент r и одновременно покупается форвардный контракт. В момент t = T акция a выкупается по цене F и возвращается владельцу, при этом остается прибыль. Этот тип операций называется обратным арбитражем (reverse cash and carry arbitrage). Из-за отсутствия в настоящее время нормативных процедур, допускающих продажу акций без покрытия, схема обратного арбитража реально не применима, однако несколько изменив последовательность рассуждений, к соотношению (4.1) можно прийти на основании понятия квазиарбитража, в котором продажа акции без покрытия не требуется (см.

раздел 4.4).

Будем называть доходность операции по покупке базисного актива и одновременной продаже форвардного контракта, при которой фиксируется будущая цена продажи базисного актива, доходностью a «спот-форвард» (implied repo rate). В данном случае, если S, F - реальные рыночные цены, то простая доходность спот-форвард RF и соответствующая непрерывно начисляемая процентная ставка rF определяются из соотношения a F rF T 1 + R T = e =.

F S Выше речь шла о том, что при rF r возникают условия для арбитража. Поскольку арбитражная стратегия дает прибыль без всякого риска и тем большую, чем значительнее объемы сделок, при нарушении соотношения (4.1) такие операции должны проводиться очень активно и в силу рыночных механизмов А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» приводить к устранению ценового дисбаланса. Реально в силу различия цен покупки и продажи, ставок привлечения и размещения, а также других факторов в ценах форвардных контрактов возникает «зазор», в котором получение прибыли описанным способом невозможно либо сопряжено с риском.

Дивидендная акция Пусть по акции в заранее известные моменты T1, T2,..., Tm < T будут выплачены известные же дивиденды d, d,..., d соответственно. Тогда форвардный курс дается выражением 1 2 m див див rT F = S e, (4.2) див - rT1 - rT2 - rTm где S = S - d1e - d e -... - d e 2 m приведенная текущая стоимость акции с учетом будущих дивидендов, которые будут выплачены до - rT - rT - rT 1 2 m момента T. Выражения d e d e, …, d e представляют собой текущие стоимости, 1 2 m будущих дивидендов. Если d, d,..., d не известны, то не остается ничего лучшего, как использовать 1 2 m прогнозируемые значения.

див див rT Рассуждения в данном случае аналогичны. Если F > S e, то в момент t = 0 необходимо занять сумму S, купить акцию и продать форвардный контракт, а в момент t = T получить по див форвардному контракту за акцию F. Кроме того, обладание акцией позволит получить дивиденды, которые по мере поступления будут размещаться под процент r. В итоге окончательная сумма на момент T будет равна див r ( T - T1 ) r ( T - T ) r ( T - T ) 2 m F + d e + d e +... + d e, 1 2 m что, как нетрудно проверить, больше возвращаемой в погашение кредита суммы.

див rT При F < S, как и в случае бездивидендной акции, в момент t = 0 акция берется в долг, продается по цене S, полученная сумма размещается под безрисковый процент r и одновременно покупается форвардный контракт. При этом по мере выплаты дивидендов по акции заемщик акции, проводящий данную операцию, обязан выплачивать кредитору акции дивиденды. Это осуществляется за rT счет суммы S с начисленными по ней процентами. Так, в момент T1 из суммы Se будет выплачено d1, (SerT в момент T2 из суммы - d1)er(T -T1) будет выплачено d2 и т. д. В момент t = T акция выкупается див по цене F и возвращается кредитору акции, при этом также остается прибыль.

Аналогично определяется форвардный курс купонной облигации, если под d, d,..., d понимать 1 2 m будущие выплаты по купонам, приходящиеся на период действия форвардного контракта. Особенность купонной облигации заключается в способе ее котировки: объявляемые спот-цены покупки и продажи, а также цены сделок не включают накопленный доход по купону с ближайшей датой погашения. В соответствии с этим расчет форвардного курса начинается с определения полной текущей цены облигации (прибавлением накопленного купонного дохода). Далее применяется формула (4.2), а результат уменьшается на купонный доход, который будет накоплен к моменту исполнения форвардного контракта от момента погашения предыдущего купона.

Валюта в Форвардный курс иностранной валюты F определяется аналогично:

в ( r - rв )T F = Se, (4.3) в ( r - rB )T где S - текущий спот-курс валюты, rв - безрисковая процентная ставка по валюте. При F < Se арбитражная прибыль возникает в результате заимствования валюты, конвертации ее в рубли по текущему курсу, размещения рублей под проценты и покупке форвардного контракта. В момент t = T на полученные рубли покупается валюта по форвардному курсу и погашается валютный кредит, при этом остается в ( r - rB )T прибыль. Если F > Se, то в описанной процедуре рубли и валюта меняются местами.

Таким образом, во всех рассмотренных случаях форвардный курс не зависит от случайных факторов, влияющих на курс акции или валюты в будущем, а полностью определяется известными на текущий момент параметрами. Независимость от будущих значений курса достигается за счет определенных операций, А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» сопровождающих собственно покупку или продажу контракта. Если этих операций не предполагается, например, форвардный контракт покупается или продается в спекулятивных целях, то для оценки его прибыльности необходимо строить прогнозы, в частности, привлекая вероятностные модели типа (3.3).

4.2. ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ Открытие позиций по фьючерсным контрактам влечет за собой ежедневные начисления/списания средств из-за изменения расчетной цены. В разделе 1.3 было показано, что результирующие прибыли/убытки по форвардному и фьючерсному контрактам совпадают, однако при этом не учитывались проценты, которые могут начисляться по текущим остаткам на счетах. Будем считать, что на остаток на счете, образовавшийся к концу дня после корректировки фьючерсных позиций по рынку, к следующему дню начисляется процент. Соответствующая ставка непрерывно начисляемого процента r определяется исходя из однодневного процента. Пусть цена покупки фьючерсного контракта равна Fф, последовательные котировки вплоть до последнего дня торговли контрактом равны F1,..., F, а цена m базисного актива на следующий день - день исполнения контракта - равна ST. Предположим, что контракт расчетный. Тогда суммы, которые ежедневно начисляются/ списываются по открытой позиции, составляют F1 - Fф, F2 - F1,..., ST - Fm. Обозначим однодневный период, тогда T = m. Результирующая сумма по фьючерсной позиции, полученная с учетом ежедневных начислений процентов на остатки на счетах, равна ф {[( F1 - F )er + F2 - F1]er +...}er + ST - Fm = ф [F1 - F ]emr + [F2 - F1]e(m -1)r +... + ST - Fm.

Это выражение зависит от всей неизвестной заранее траектории изменения фьючерсных расчетных цен, поэтому описанные выше арбитражные стратегии для форвардных контрактов не приводят к такому же гарантированному результату в случае фьючерсных контрактов. Графики прибылей/убытков по форвардному контракту в зависимости от ST (рис. 1.1, 1.2) для фьючерсных контрактов, строго говоря, теряют смысл. В случае фьючерсного контракта можно говорить лишь о локальных однодневных ожидаемых прибылях/убытках в зависимости от расчетной цены следующего дня, при этом график каждый день должен пересекать горизонтальную ось в новой точке - последней расчетной цене контракта.

Тем не менее арбитражные стратегии, на которых может быть основана оценка теоретической стоимости фьючерсных контрактов, существуют. Остановимся на этом вопросе подробно, поскольку аналогичные рассуждения применяются и для опционов без уплаты премии. Пусть вначале открывается длинная фьючерсная позиция на M контрактов, в конце дня позиция наращивается до Mer (по расчетной цене этого дня), в конце следующего дня - до Me2r и т.д. Тогда результирующая сумма оказывается равна ф ф M{[(F1 - F )er + (F2 - F1)exp(r )]er +...}er + M (ST - Fm )exp(mr ) = M (ST - F )erT.

В первой строке умножение на er обозначает увеличение остатка на счете из-за процентов, а умножение на ту же величину, но записанную в форме exp(r), соответствует увеличению количества контрактов.

Результат же зависит только от цены покупки первых M контрактов и цены базисного актива на день исполнения. Предположим, что одновременно с покупкой фьючерсных контрактов покупаются форвардные фор контракты в количестве MerT по цене F и с той же датой исполнения. Тогда в день исполнения фор контрактов прибыли/убытки по форвардным контрактам составят M[ST - F ]erT. Сравнение с результатом операции по фьючерсам показывает, что если цены форвардного и фьючерсного контрактов в начальный момент не совпадают, то возможно получение арбитражной прибыли. Например, если фьючерсный контракт дешевле форвардного, то необходимо продать MerT форвардных контрактов и одновременно купить М фьючерсных контрактов, наращивая впоследствии позицию до MerT. Результат фор ф этой операции будет равен M[F - F ]erT >0.

Таким образом, теоретические стоимости фьючерсных контрактов должны определяться теми же выражениями, что и стоимости форвардных контрактов. Еще одним выводом из приведенных рассуждений является то, что для получения одинакового результата количество фьючерсных контрактов в начале операции должно быть меньше, чем форвардных, в erT раз.

4.3. СОПОСТАВЛЕНИЕ СТОИМОСТИ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ С УПЛАТОЙ И БЕЗ УПЛАТЫ ПРЕМИИ А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Хотя обозначенная в заголовке данного раздела тема не относится непосредственно к теме главы, целесообразно рассмотреть ее в связи с предыдущим разделом. Предположим, что одновременно торгуются два опциона на фьючерс, отличающихся лишь способом расчетов. Текущие цены опционов с уплатой и без уплаты премии обозначим Cфес, Cфеб, их финальную стоимость - CT (она одинакова у обоих опционов).

Предполагая, что первоначально покупается Me-rT опционов без уплаты премии, а затем повторяется процедура ежедневного наращивания позиции аналогично тому, как это делалось для фьючерсного контракта, получаем, что прибыли/убытки по опциону без уплаты премии также не будут зависеть от траектории котировки и по итогам дня экспирации составят M[CT - Cфеб ].

Предположим, что цена опциона с уплатой премии Cфес превышает e-rTCфеб. Продав M опционов с уплатой премии и немедленно получив MCфес, к дню экспирации с учетом процентов на эту сумму имеем MerTCфес, а выплаты по короткой опционной позиции составят MCT. Складывая прибыли/убытки по опциону с уплатой премии с прибылями/убытками по опциону без уплаты премии, получаем в итоге rT фес феб rT фес феб Me C - MC + M [CT - C ] = Me [C - e- rT C ] > 0.

T Таким образом, в этом случае возможно получение арбитражной прибыли. Если Cфес < e-rTCфеб, то арбитражная операция заключается в продаже опционов без уплаты премии (и последующем наращивании позиции) и одновременной покупке опционов с уплатой премии на привлеченные под процент r средства.

Окончательный результат сводится к тому, что для устранения возможностей арбитража должно выполняться соотношение феб rT фес C = e C. (4.4) Далее будет показано, что формула для Cфес содержит перед всем выражением дисконтирующий множитель e-rT. Наличие в правой части (4.4) компенсирующего множителя приводит к тому, что Cфеб не зависит от процентной ставки. Еще одно объяснение этому, менее строгое и формальное по сравнению с данными алгебраическими выкладками, будет приведено в разделе 9.2.

4.4. ПРИМЕРЫ Рассмотрим примеры арбитражных стратегий, описанных в разделе 4.1.

Пример 4.1. На рисунке 4.1 показаны графики цены последней сделки по акции РАО «ЕЭС России» на торгах ММВБ и расчетной цены июньского фьючерса на эти акции в FORTS за период 17.12.01-17.06.02.

Будем считать, что непосредственно перед окончанием торговой сессии можно одновременно провести сделки по акциям и фьючерсам по указанным ценам. В качестве цены акции в последний день торгов фьючерсом (14.06.02) возьмем средневзвешенную цену, то есть цену, по которой происходит исполнение фьючерсного контракта. Рассмотрим следующую операцию:

• 17.12.01 – покупка 1000 акций по цене 4485 за пакет и продажа одного фьючерса по цене 4695;

• 14.06.02 – продажа акций по средневзвешенной цене 4135 с потерями в размере 4485-4135=350 рублей;

• 17.06.02 - исполнение фьючерсного контракта по цене 4135 с получением суммарной вариационной маржи 4695-4135=560 рублей.

Таким образом, вначале инвестировано 4485 рубля – стоимость пакета акций, а результат составил 4135+560=4695 рублей – цену фьючерса. Поскольку начальная и конечная стоимости портфеля фиксированы, то операция эквивалентна покупке бескупонной облигации с исполнением 17.06.02.

Полученной комбинации можно дать условное название синтетической облигации (СО).

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Рис. 4.1. Формирование синтетической облигации На рисунке схематично показано также, как меняется стоимость СО в промежуточные моменты (пунктирная линия). Разность между фьючерсной ценой и ценой базисного актива на спот-рынке называется базисом. По мере уменьшения базиса цена синтетической облигации, то есть цена СО = текущая цена пакета акций + суммарная вар. маржа, приближается к начальной цене фьючерса (target price).

Показать, что цена синтетической облигации, сформированной в некоторый начальный день, в любой из последующих дней равна начальной цене фьючерса за вычетом текущего базиса.

Для того чтобы спланировать досрочное завершение операции, то есть продажу пакета акций и закрытие фьючерсной позиции в один из дней до 14.06.02, необходимо спрогнозировать базис на этот день.

В первом приближении базис убывает линейно с течением времени, однако поскольку заранее эта величина точно не известна, возникает неопределенность – остаточный риск, который называется риском базиса.

Обычно этот риск существенно меньше риска изменения стоимости пакета акций как такового, без фьючерсов, что наглядно демонстрирует рис. 4.2, построенный по ценам акции РАО «ЕЭС России» и фьючерса с исполнением 17.06.02. Использование производных инструментов для уменьшения риска называется хеджированием – об этом подробнее в гл. 12.

Рис. 4.2. Формирование синтетической облигации Рис. 4.3. Доходности спот-фьючерс и ГКО Доходность операции при сохранении позиций до исполнения фьючерсов, названная выше доходность спот-фьючерс, равна 4695 RF = -1* *100% = 9.5%.

4485 Реально доходность будет ниже, поскольку под продажу фьючерсных позиций необходимо внести гарантийное обеспечение, а также предусмотреть средства на возможную выплату отрицательной вариационной маржи в случае роста фьючерсной цены.

На рис. 4.3 показана доходность RF в случае, если бы операция начиналась в другие дни, в сопоставлении с доходностью ГКО со сроком погашения, близким к дате исполнения фьючерса. Хотя на приведенном графике доходность RF всего лишь в один из дней превышает доходность ГКО, подобные А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» ситуации не редкость (особенно в периоды подъема на рынке акций). В общем случае при таком соотношении доходностей:

• если можно заимствовать средства по ставке не выше RF, то формирование СО позволит получить арбитражную прибыль;

• если уже имеются денежные средства и планируется их размещение в безрисковые инструменты, то СО будет более выгодным вложением, чем ГКО;

• если есть пакет акций и ожидается относительно кратковременное падение цены акции, то вместо продажи пакета и покупки ГКО на этот срок достаточно продать фьючерсы;

это выгодно и с точки зрения минимизации комиссионных расходов.

Реально доходность СО в рассматриваемый период была ниже доходности ГКО. Рассмотрим, как фьючерсы могут быть использованы в такой ситуации для повышения эффективности размещения средств.

Изложенную выше процедуру формирования СО символически можно записать как «синтетическая облигация» = «акция» - «фьючерс».

В определенном смысле справедливо и другое соотношение:

«синтетическая акция» = «ГКО» + «фьючерс».

Предположим, что исходной позицией является пакет ГКО. Пусть ввиду прогноза роста цен акций принимается решение об инвестировании этих средств в акции РАО «ЕЭС России». Прямой вариант действий состоит в продаже ГКО и покупке акции. В синтетическом способе ГКО сохраняются в портфеле и к ним добавляются длинные фьючерсные позиции.

Рис. 4.4. Синтетическая покупка акций Результат иллюстрируется рисунком 4.4. Так как по предположению F < S(1+ RT ), то сумма вариационной маржи по фьючерсу ST - F и результата размещения начальной суммы под фиксированный процент S(1+ RT) превысит доход от акции ST - S.

Рассмотренные операции как для случая переоцененности, так и недооценности фьючерса называются квазиарбитражем. В них благодаря синтетическим схемам достигается бльшая доходность по сравнению с альтернативными вариантами, в которых фьючерсы не используются. Теоретически, на эффективном рынке такие дисбалансы цен и процентных ставок должны быстро устраняться. Реально, однако, цены фьючерсов в значительной степени формируются со спекулятивной точки зрения - как прогноз будущей цены базисного актива. Именно поэтому недо- или переоцененность фьючерсов может иметь столь сильно выраженный и длительный по времени характер, как на последней диаграмме.

Пример 4.2. Следующий пример демонстрирует краткосрочные арбитражные операции между рынком спот и фьючерсным. На рис. 4.5 показаны графики цены акции РАО «ЕЭС России» и фьючерса с исполнением 15.03.02, взятые с 10-минутным интервалом. Непосредственно видно, что, как и на рис. 4.2, цены движутся практически параллельно, а значит, спекулятивные операции только на фьючерсах или только на акциях будут давать приблизительно одинаковые результаты. Отличие состоит в том, что спекуляции на фьючерсах технически проще и выгоднее по следующим причинам:

• в то время как занятие короткой позиции по акциям (продажа без покрытия, short selling) требует заимствования акций, покупка и продажа фьючерса – симметричные и одинаково простые операции;

• маржинальная торговля акциями сопряжена для клиента брокерской фирмы с выплатой процентов по суммам, на которые брокер кредитует клиента, тогда как при покупке или продаже фьючерса А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» клиенту достаточно внести начальную маржу порядка 15% от стоимости контракта, и никаких дополнительных средств не требуется.

Кроме того, с течением времени цены фьючерса и акции имеют тенденцию сближаться, то есть базис – превышение цены фьючерса над ценой спот рынка – уменьшается. По этой причине на падающем рынке движение цены фьючерса, как правило, будет несколько большим, чем цены акции.

Рис. 4.5. Цена пакета 1000 акций РАО «ЕЭС России» и мартовского фьючерса ~ Как было показано выше, теоретическая стоимость фьючерсного контракта равна F0 = S0(1+ RT ), ~ соответственно, теоретическое значение базиса на момент начала операции равно F0 - S0 = S0RT.

Рис. 4.6. Возможности краткосрочных арбитражных операций Рис. 4.7. Доходность «спот-фьючерс» «спот-фьючерс» Из рис. 4.6 следует, что колебания фактического базиса являются достаточно существенными для того, чтобы представлять интерес для арбитражеров, поскольку спрэды в ценах покупки и продажи акций и фьючерсов, а также комиссионные сборы в сумме не превышают нескольких рублей. При этом теоретический базис действительно может служить ориентиром для оценки того, является ли реальный базис завышенным или заниженным. В случае завышенного базиса следует занимать короткую позицию по фьючерсу и длинную по акциям, а в случае заниженного - противоположные позиции.

Пример 4.3. Рассмотрим доходность операции конвертации рублей в доллары США по курсу S, покупки валютной облигации с простой годовой доходностью доходностью Rв и сроком погашения T, и одновременно продажи фьючерсов на доллар США по цене F с тем же сроком исполнения. Если начальная рублевая сумма равна V, то количество рублей в результате операции равно V (1+ RвT )F = V (1+ RвT )(1+ RFT ), S где RF - доходность спот-фьючерс. Рублевая доходность всей цепочки составляет R = Rв + RF + RвRFT. (4.5) В терминах непрерывно начисляемых процентных ставок это соотношение записывается особенно просто:

r = rв + rF.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Теоретически, эта доходность должна быть равна доходности рублевой облигации с тем же сроком погашения.

В качестве примера сопоставим указанные доходности для каждого из дней в период 3.08.98 – 14.08.98, непосредственно предшествовавший замораживанию ГКО-ОФЗ и девальвации рубля. На рисунке 4. показаны следующие величины:

• ВВЗ - простая годовая доходность облигации внутреннего валютного займа третьего транша с датой погашения 14.05.99;

• «спот-фьючерс» – доходность, рассчитанная по соотношению курса доллара и цены фьючерса с исполнением 17.05.99;

• ГКО – полусумма простых годовых доходностей выпусков ГКО 21116 и 21117 с датами погашения 12.05.99 и 19.05.99 соответственно;

• «спот-ВВЗ-фьючерс» – простая годовая доходность цепочки операций, описанных выше.

4 спот-ВВЗ-фьючерс 3 ГКО 2 спот-фьючерс 1 ВВЗ Рис. 4.7. Доходности «спот-фьючерс» и ГКО Рассматриваемый период характеризовался активным и порою лихорадочным сбросом российских облигаций, как рублевых, так и валютных, поэтому в данной динамичной и неравновесной ситуации трудно ожидать точного выполнения соотношения (4.5). Тем не менее кривые 3 и 4 достаточно близки и изменяются синхронно.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» % годовых авг авг авг авг авг авг авг авг авг авг авг авг ГЛАВА 5. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ 5.1. «ВЕРОЯТНОСТНЫЙ» ПОДХОД В разделе 4.1 было упомянуто, что если фьючерс на бездивидендную акцию покупается или продается в спекулятивных целях с намерением сохранять позицию до дня исполнения, то следует ориентироваться на µT Se ожидаемое среднее цены акции в день исполнения. Тем не менее, как было показано, теоретическое значение фьючерсной цены определяется не из вероятностных, а из арбитражных соображений и rT Se оказывается равно. Рассмотрим первый - «вероятностный» - подход применительно к опционам. Как и ранее, будем считать, что модель движения цены базисного актива описывается уравнением (3.3) с известными параметрами.

Рассмотрим европейский опцион колл на акцию. Предположим, что купив опцион и уплатив премию, покупатель не собирается предпринимать никаких других операций с опционами или базисным активом вплоть до даты экспирации опциона, а затем исполнить или не исполнять опцион в зависимости от цены акции. Пусть текущая цена акции равна S0 = S и ожидаемая динамика цены акции описывается уравнением (3.3) с заменой F на S. Если параметры µ и модели известны, то можно определить ожидаемое вероятностное распределение цены акции в любой будущий момент, в том числе в день экспирации, а значит, и распределение финальной стоимости опциона CT (см. (2.1)).

Предположим, что сделка по опциону заключается многократно, затем случайным образом реализуется одна из траекторий цены акции и в результате становится известной величина CT. Если усреднить эти величины и допустить, что по условиям контракта покупатель обязан уплатить продавцу фиксированную премию не в день заключения контракта, а в день экспирации, то рассчитанное вероятностным способом среднее является «естественной» справедливой ценой опциона, поскольку шансы покупателя и продавца получить прибыль или понести убытки в этом случае равны.

Обозначим эту среднюю величину Cаес(T ), где T - момент экспирации опциона. Усреднение указанных сумм приводит к следующему результату:

аес C (T ) = S (T )N (d1) - EN (d2 ), (5.1) µ T где E - страйк, S (T ) = Se, S (t) S (T ) 2 ln + 0.5 T ln - 0.5 T E E d1 =, d2 =, T T N(x) - функция стандартного нормального распределения:

x y N ( x ) = e dy. (5.2) - Формула для Pаес(T ) получается аналогично усреднением возможных исходов. При этом оказывается, что Pаес(T ) и Cаес(T ) связаны следующим соотношением:

Cаес(T ) - Pаес(T ) = S (T ) - E.

Для того чтобы пересчитать Cаес(T ), Pаес(T ) к моменту заключения контракта, необходимо использовать дисконтирующий множитель (3.2). Например, для опциона колл окончательный результат имеет вид:

Cаес = e-rTCаес(T ) = e-rT [S(T )N(d1) - EN(d2)] (5.3).

Как следствие получаем, что стоимости опционов колл и пут на одном страйке удовлетворяют тождеству:

Cаес - Pаес = e-rT[SeµT - E] (5.4).

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Связь между стоимостями этих же опционов можно получить другим, более простым способом.

Предположим, что в момент t = 0 имеются два портфеля. Первый содержит длинную позицию по опциону колл на страйке E и сумму денег Ee-rT, второй - длинную позицию по опциону пут на том же страйке E и акцию. В момент экспирации опциона стоимость первого портфеля равна max[E, ST ], где ST стоимость акции при t = T. Действительно, первоначальная сумма денег с учетом процентов оказывается равна E, а опцион дает CT = max[ST - E,0], что в сумме составляет указанное выражение. Стоимость второго портфеля к этому моменту также оказывается равна этой величине, поскольку если ST E, то портфель состоит из акции, а если ST < E, то опцион пут исполняется и акция продается за E.

Так как на момент экспирации стоимости порфелей одинаковы, то и в начальный момент они должны быть равны, иначе возможен арбитраж. Например, если первый портфель дороже второго, то необходимо (начиная с «нуля») продать опцион колл и занять сумму Ee-rT. По предположению, полученной премии и занятой суммы будет с избытком хватать на покупку второго портфеля.

Рассмотреть возможные исходы и убедиться, что на дату экспирации опционов итогом операции оказывается прибыль в размере разности начальных стоимостей портфелей.

К выводу о равенстве начальной стоимости портфелей можно прийти и другим путем: если из двух портфелей, стоимость которых в будущем обязательно сравняется, один дешевле, то спрос будет сосредоточен на этом портфеле, пока их стоимости не выровняются.

Таким образом, в момент t = 0 стоимости портфелей должны совпадать, то есть аес - rT аес C + Ee = P + S. (5.5) Это соотношение называется пут-колл паритетом (put-call parity).

Перепишем пут-колл паритет в виде Cаес - Pаес = e-rT[SerT - E].

(5.6) Расхождение между (5.4) и (5.6) показывает, что одна из формул неверна. Так как вторая из них основана на простых арбитражных рассуждениях и не вызывает сомнений, то первый способ получения формулы стоимости опционов следует признать ошибочным.

Метод Блэка-Шоулса, рассматриваемый ниже, исходя из той же модели движения цены (3.3), дает результаты для стоимости опционов, совместимые с пут-колл паритетом. В отличие от «статичной» стратегии покупки (продажи) опциона и пассивного ожидания даты экспирациии, подход Блэка-Шоулса предполагает проведение операций с базисным активом на протяжении всего периода существования опциона и как бы заменяет один «большой» спор непрерывной серией «маленьких» - относительно величины локального, скажем, однодневного изменения цены базисного актива. При этом окончательный результат оказывается инвариантным к конкретной траектории цены базисного актива и зависит лишь от одной обобщенной характеристики траектории - волатильности. Можно сказать, что подход Блэка-Шоулса уменьшает неопределенность, насколько это возможно, и максимально приближает «вероятностную» стратегию к «арбитражной».

Тем не менее статичные опционные стратегии также применяются, и для них соотношения (5.1), (5.3), (5.4) имеют смысл с тем замечанием, что использование в (5.3) для дисконтирования безрисковой процентной ставки r неправильно, поскольку результат операции носит неопределенный характер.

Распределение случайной величины CT является дискретно-непрерывным (рис. 5.1): имеется некоторая вероятность P1 того, что CT будет равно нулю (если ST окажется меньше или равно страйку E ), а для положительных CT распределение «размыто». Чем больше возможное отклонение CT от среднего Cаес(T ), то есть чем выше неопределенность в исходе, тем выше для покупателя должна быть ожидаемая средняя доходность операции - на уровне других инвестиций с тем же риском. Исходя из этой доходности в (5.3) и должен выбираться дисконтирующий множитель. Продажу опциона можно интерпретировать как получение кредита под процент, который становится известен только в момент T. Соответственно, для компенсации этого риска цена продажи должна быть выше (5.3). Расхождение цен покупки и продажи не исключает возможностей для сделок, поскольку индивидуальные оценки параметров µ,, а также ставки привлечения и размещения различны.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Функция N(x) (5.2) будет постоянно встречаться в дальнейшем. Она является одной из встроенных функций Excel.

Для тех, кто пользуется другими программными средствами, ниже приведена одна из ее возможных аппроксимаций в виде функции языка C, определяющей N(x) с точностью до 7 знака после запятой.

double N(double x) { double ax, t, d, p;

if (x>10) return(1);

if(x<-10) return(0);

Рис. 5.1. Распределение ST и финальная стоимость опциона CT ax=fabs(x);

t=1/(1+0.2316419ax);

d=0.3989423exp(-0.5xx);

p=dt((((1.330274t-1.821256)t+1.781478)t--0.3565638)t+0.3193815);

p=(x>0) ? 1-p : p;

return(p);

} 5.2. БИНОМИАЛЬНЫЙ МЕТОД Биномиальный метод, называемый также по имени его авторов методом Кокса-Росса-Рубинштейна (Cox-Ross-Rubinstein), был предложен в 1979 году и является более поздним по отношению к методу Блэка Шоулса (1973). Однако начинать знакомство с подходами к оценке опционов лучше именно с более простого биномиального метода. В определенном смысле он аналогичен численным методам решения дифференциальных уравнений. Первоначально данный подход применялся для расчета стоимостей американских опционов, для которых отсутствует точное аналитическое решение, а впоследствии был распространен на многие более сложные производные инструменты. В настоящее время численные методы наряду с методами статистических испытаний (Монте-Карло) чаще всего используются в моделях обсчета производных инструментов, так как позволяют максимально учесть реальные условия операций с ними.

Модель движения цены Отправной точкой для биномиального метода является слегка модифицированное уравнение (3.3).

Выше уравнение (3.3) использовалось как приближенное описание непрерывного случайного процесса. В биномиальном методе от непрерывного процесса преднамеренно делается шаг назад к уравнению (3.3), в котором под k понимаются величины, принимающие только два значения: 1 и -1 (отсюда название метода). Возможные траектории такого процесса схематически изображены на рис. 5.2. При уменьшении шага по времени сетка все более измельчается (раствор сетки - угол наклона крайних лучей - при этом также возрастает из-за множителя в последнем слагаемом (3.3)) и в пределе содержит практически любую непрерывную траекторию, так что биномиальная модель не сужает класс рассматриваемых процессов. В то же время она позволяет выявить «микроструктуру» процесса и выработать определенную стратегию покупателя или продавца опциона.

Рисунок 5.2 именно схематический, так как траектории St должны изображаться экспонентами.

Прямолинейные траектории получаются, когда вместо St сетка строится для ln St, что позволяет получать более эффективные с вычислительной точки зрения алгоритмы.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Идея метода Проиллюстрируем этот метод на примере европейского опциона колл на фьючерс с уплатой премии, предполагая пока, что непрерывно начисляемый процент r равен нулю.

Пример 5.1. Пусть необходимо оценить стоимость опциона колл на страйке 5000 за пять дней до экспирации опциона при текущей фьючерсной котировке 5200.

Предположим, что на следующий день возможны только Рис. 5.2. Траектории движения цены базисного актива два сценария: котировка может измениться на 100 вниз или на 100 вверх. Возможные траектории показаны на рис. 5.3. Идея биномиального метода состоит в том, чтобы двигаться от дня экспирации опциона в обратном направлении к текущему дню.

Предположим, что день экспирации наступил и фьючерсная котировка приняла одно из значений 4700, 4900, 5100, 5300, 5500, 5700. В этом случае сумма, которую получает держатель по одной открытой позиции, точно известна и изображается ломаной. Можно сказать, что в день экспирации цена обязательно совпадает со стоимостью и обе они равны указанной сумме, задаваемой выражением (2.1).

Рассмотрим ситуацию за день до экспирации, когда возможными значениями котировки являются 4800, 5000, 5200, 5400, 5600. Если котировка равна 4800, то при любом из двух сценариев следующего дня сумма, полученная по опциону, будет равна 0, поэтому и в узле 4800 необходимо поставить нулевую стоимость опциона. Более интересен узел 5000. Предположим, что в этой ситуации, то есть за день до экспирации и при сложившейся к этому моменту фьючерсной котировке 5000, куплено M опционов. Если котировка фьючерса уменьшится до 4900, то держатель опционов получит 0, а если котировка возрастет до 5100, то полученная сумма окажется равна 100 по каждой открытой позиции. Имеется способ устранить эту неоднозначность, продав одновременно с покупкой опционов фьючерсные контракты в количестве =0.5M.

Тогда, как нетрудно проверить, независимо от сценария следующего дня сумма, полученная держателем опционов, будет равна 50M. Действительно, при падении котировки до 4900 по коротким фьючерсным позициям будет получено 100, а при росте котировки по опционам будет получено 100M, но одновременно потеряно 100 по фьючерсам. При указанном выше выборе коэффициента оба исхода приводят к одинаковому результату 50М. Это означает, что стоимость одного опциона составляет 50. Комбинация, состоящая из купленных M опционов и проданных фьючерсов, или противоположная ей - проданные M опционов и купленные фьючерсов - являются частными случаями так называемого безрискового или дельта-нейтрального портфеля.

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Рис. 5.3. Расчет стоимости опциона 5000 колл биномиальным методом Если цена опциона меньше 50, например, 45, то существует прибыльная арбитражная стратегия:

необходимо купить M опционных контрактов за 45M на заимствованные средства, продать фьючерсных контрактов и получить на следующий день гарантированную прибыль в размере (50-45)M=5M. Если цена опциона больше 50, например, 60, то необходимо продать M контрактов за 60M и купить фьючерсных контрактов. Тогда на следующий день при любом сценарии необходимо будет выплатить 50M, получив на этой операции (60-50)M=10M.

Аналогичные рассуждения могут быть проведены для остальных узлов этого уровня, затем узлов более низкого уровня и т. д. В каждом узле помимо стоимости опциона указано также значение в расчете на один контракт. В результате стоимость опциона в начальной точке оказывается равна 225. Если цена опциона отличается от 225, то применимы те же арбитражные рассуждения, что и выше, но в «многоходовом» варианте. Если, например, цена опциона меньше 225, то возможно получение арбитражной прибыли путем покупки M опционов и продажи фьючерсов, где =0.81M для этого узла. В дальнейшем по мере течения времени и в зависимости от того, по какой именно траектории движется фьючерсная котировка, необходимо корректировать объем открытой фьючерсной позиции. При этом, как нетрудно убедиться, теоретическая стоимость портфеля - сумма стоимости опционов и реализованных прибылей/ убытков по открытым фьючерсным позициям - остается на одном уровне 225M. Если, например, фьючерсная котировка движется влево и стоимость опциона падает, то ровно настолько же в портфеле появляется денежных средств за счет вариационной маржи по фьючерсам. Если фьючерсная котировка растет, то растет стоимость опциона, однако именно такую же сумму приходится выплачивать в качестве вариационной маржи. Цена опциона может быть меньше стоимости вплоть до дня, предшествующего экспирации, однако в день экспирации она обязана сравняться со стоимостью, что гарантирует прибыль, размер которой мог быть определен еще в начале операции. Если цена раньше сравнивается с теоретической стоимостью опциона или превышает ее, то в этот день можно закрыть опционные и фьючерсные позиции и получить ту же или большую прибыль.

Описанная стратегия - открытие опционных и противоположных им фьючерсных позиций и последующая коррекция соотношения их объемов в соответствии с текущим коэффициентом (поддержание безрискового портфеля) называется динамическим хеджем, а параметр - коэффициентом хеджа или просто дельтой. Термин хедж (hedge - ограждение от возможных потерь, страховка) используется здесь потому, что независимо от траектории движения фьючерсной котировки стоимость портфеля остается неизменной.

Учет процентных ставок Выше предполагалось, что непрерывно начисляемый процент r равен нулю. Вернемся к расчету стоимости опциона за день до экспирации в узле 5000, считая для примера, что r=360% (такое утрированно большое значение выбрано из соображений «выпуклости» расчетов). В этом случае стоимость опциона в данном узле должна быть равна 50e-r=49.5, где =1/365 - однодневный интервал. Если стоимость опциона А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» отличается от указанной, то также применимы арбитражные соображения с учетом того, что деньги на покупку опциона заимствуются, а деньги от продажи размещаются под процент r.

После того как определены стоимости в узлах за день до экспирации, рассчитываются стоимости за два дня до экспирации. Например, в узле 5100 стоимость опциона равна - r - r 50 e + 200 e - r -2 r e = 125 e 122.5, то есть равняется стоимости опциона без учета процентных ставок, дисконтированной исходя из оставшегося времени существования опциона. Изменяется и коэффициент :

- r - r 50 e + 200 e = = 0..

В исходном узле за 5 дней до экспирации стоимость опциона оказывается равна 225e-5r = 225e-rT 214, пропорционально уменьшается и коэффициент = 0.81e-rT 0.77.

При реализации арбитражной стратегии в случае отклонения цены опциона от рассчитанной стоимости для получения «запланированного» результата необходимо, чтобы процентная ставка была постоянной за время существования опциона (либо известной функцией времени - тогда в описанной пошаговой процедуре обсчет каждого слоя ведется по той ставке, которая сложится в соответствующий будущий момент). Возможность ошибки в прогнозе процентных ставок на будущее вносит свой вклад в неопределенность результатов операций с опционами.

Более детальный анализ требует учета различия ставок привлечения и размещения. Пусть трейдер имеет возможность привлекать средства под процент r = 360% и размещать под процент r = 180%.

p Этим ставкам соответствуют начальные стоимости 225e-r T = 214 и 225e-r T = 220. Предположим, что опцион продается по цене 220. Тогда наилучшим исходом для продавца будет нулевой результат, то есть отсутствие как прибылей, так и убытков. Действительно, если траектория движения фьючерсной цены такова, что даже при возникновении отрицательной вариационной маржи остаток на счете всегда положителен, то на остатки на счете ежедневно будет начисляться процент, исходя из ставки размещения.

Поскольку и начальная цена соответствует этой ставке, то стоимость портфеля будет поддерживаться на нулевом уровне. Если, однако, в какие-то моменты будут возникать отрицательные остатки на счетах, то заимствование будет осуществляться под больший процент, и результатом операции будут убытки. Тем самым продажа опциона по цене 220 в лучшем случае позволит остаться «при своих». Аналогичная ситуация возникает при покупке опциона по цене 214. Таким образом, при условии r < r в ценах опциона возникает зазор, в котором невозможно получение арбитражной прибыли. В реальной ситуации, кроме того, необходимо учитывать другие факторы, не включенные в этот упрощенный анализ: налоги, комиссионные, начальную маржу и т. п.

Алгоритм расчетов Для практического применения биномиального метода необходимо более точно, чем это изображено на рис. 5.2, 5.3, формировать сетку движения цены. В соответствии с биномиальным вариантом уравнения (3.3) из начальной точки F0 = F скачок цены через интервал времени может быть осуществлен в два положения:

µ + µ - F1 = F0 e, F1 = F0 e. (5.7) В дальнейшем каждый новый узел становится начальным и процедура расчета узлов повторяется. При движении в обратном по времени направлении теоретическая стоимость опциона в каждом узле и коэффициент дельта для европейского опциона на фьючерс с уплатой премии определяются по формулам фес фес фес Ck = e-r [ pCk +1 + (1- p)Ck +1 ], фес фес Ck +1 - Ck + фес =, k Fk - Fk +1 + фес фес где Ck +1,Ck +1 - стоимость опциона в узлах Fk, Fk соответственно, + 1 + µ - F - F 1 - e k k + p = =.

µ + µ - F - F e - e k + 1 k + А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» Эти соотношения являются следствием простых геометрических пропорций (рис. 5.4). Количество необходимых фьючерсных позиций - фес подбирается из k тех соображений, чтобы вариационная маржа скомпенсировала различие стоимостей опциона в двух следующих узлах. В результате происходит уравнивание столбиков справа и слева, и «равновесное» значение с учетом дисконтирования дает стоимость фес опциона Ck.

Случай опциона на акцию отличается тем, что фьючерсная Рис. 5.4. Построение -нейтрального портфеля позиция заменяется на покупку или продажу без покрытия определенного количества акций. При этом различие методов расчета по фьючерсам и акциям вносит определенные коррективы в способ расчета стоимости опциона и коэффициента в каждом узле. Аналогичное замечание относится к опционам на валюту. Результаты имеют следующий вид:

аес Ck аес • для бездивидендной акции, определяются аналогично вышеприведенным выражениям с k S заменой фьючерсной котировки F на цену акции и параметра p на r µ - e - e p = ;

µ + µ - e - e • для валюты вес вес ( r - rв ) µ - C - C e - e - rв k +1 k + вес = e p =,, k µ + µ - S - S e - e k +1 k + S где обозначает курс валюты.

Для того чтобы биномиальным методом получить стоимость опциона пут, необходимо лишь изменить граничное значение на дату экспирации: вместо стоимости опциона колл CT использовать стоимость опциона пут PT.

Во всех трех рассмотренных случаях оказывается, что результирующие выражения для теоретической стоимости опционов колл и пут в начальном узле допускают аналитическую, хотя и довольно громоздкую, запись. При этом выявляется принципиально важное обстоятельство: если измельчать сетку, то есть уменьшать, то в предельных выражениях коэффициент сноса µ отсутствует. Тем самым теоретическая стоимость опциона не зависит от µ, о чем было упомянуто выше. Механизм «выпадения» µ из окончательных формул далеко не столь очевиден, как, например, причины отсутствия µ в выражении для стоимости форвардного контракта (4.1). Не прибегая к формальным доказательствам, можно лишь отметить, что это является следствием -нейтральности (безрисковости) портфеля, в силу которой направление изменения цены базисного актива оказывается безразличным.

Поскольку биномиальная модель движения цены тем точнее описывает непрерывное изменение цены, чем меньше, то в действительности интерес представляет именно предельное выражение. При этом коэффициент µ с самого начала не учитывают при расчетах, а здесь его присутствие обусловлено лишь логикой получения результата - таким образом, в выражениях данного раздела необходимо положить µ=0.

Практически биномиальный метод, конечно, не имеет смысла применять в рассмотренных трех случаях, так как имеются компактные аналитические результаты. Смысл появляется, например, при расчете цен американских опционов. Соответствующие поправки к алгоритму расчетов будут даны ниже.

Интересно, что идея биномиального метода может быть применена в ситуациях, далеких от торговли опционами.

Две команды играют серию матчей до 4 побед одной из команд. Ничьи отсутствуют, так что может быть сыграно не более 7 матчей. Два болельщика перед каждой игрой заключают пари, которое выигрывает тот, чья команда победила в А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» данной игре. Ставка в каждом из пари подбирается таким образом, чтобы независимо от того, сколько матчей будет сыграно, болельщик победившей во всей серии команды суммарно выиграл 100 рублей. Чему равна ставка в первой игре?

А.Н. Балабушкин «Опционы и фьючерсы» ГЛАВА 6. ФОРМУЛА БЛЭКА-ШОУЛСА И ЕЕ МОДИФИКАЦИИ 6.1. ЕВРОПЕЙСКИЙ ОПЦИОН КОЛЛ НА БЕЗДИВИДЕНДНУЮ АКЦИЮ Предельное выражение для Cаес, о котором шла речь в предыдущей главе, является ничем иным как знаменитой формулой Блэка-Шоулса. Авторы получили ее методом, основанным на теории случайных процессов. Эта формула для стоимости европейского опциона колл на бездивидендную акцию с уплатой премии имеет вид:

аес - rT C = e- rT [SerT N (d1) - EN (d2 )] = SN (d1) - Ee N (d2 ), (6.1) где E - страйк, S - текущая цена акции, SerT SerT 2 ln + 0.5 T ln - 0.5 T E E d1 =, d2 =, T T N(x) - функция стандартного нормального распределения. Выражения для d, d допускают очевидное 1 упрощение вынесением экспоненты из-под знака логарифма, однако приведенное представление позволяет, во-первых, заменить непрерывно начисляемый процент обычным (см. главу 3), во-вторых, в дальнейшем легко модифицировать эту базовую формулу применительно к остальным вариантам опционов.

µ T rT Сравнение (6.1) с (5.3) показывает, что здесь Se заменено на Se. Так же, как и в главе 4, это является следствием определенной активности покупателя или продавца опциона. Однако имеется и существенное различие: если формулы главы 4 основаны на арбитражных стратегиях, по крайней мере теоретически гарантирующих результат, то описанные в предыдущей главе стратегии зависят от точности прогноза будущей истинной волатильности. Если волатильность оценена неверно, то неправильными будут расчетные стоимости опциона и коэффициенты, вследствие чего результат операции не совпадет с ожидаемым и будет зависеть от случайных факторов.

6.2. ИСХОДНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ Перечислим все условия, при которых справедлива формула (6.1):

• выполнены предположения о процентных ставках главы 3;

• динамика цены базисного актива в течение срока действия опциона описывается уравнением (3.3) с постоянными µ и ;

• рынок базисного актива абсолютно ликвиден - в любой момент имеется возможность купить или продать без покрытия любое, в том числе дробное, количество акций;

• средства, полученные от продажи акций без покрытия, могут быть использованы в полном объеме;

• спрэд между рыночными ценами покупки и продажи акций пренебрежимо мал;

• комиссионные и налоги равны нулю;

• по акции не выплачиваются дивиденды за время существования опциона;

• на рынке отсутствуют безрисковые арбитражные возможности;

• торговля осуществляется непрерывно.

Очевидно, что эти предположения являются идеализацией реальной рыночной ситуации. В дальнейшем будут сделаны некоторые замечания, связанные с возможными отклонениями принятой модели от действительности.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.