WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 14 |

«ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ФИНАНСОВОГО РИСК-МЕНЕДЖМЕНТА Под ред. А. А. Лобанова и А. В. Чугунова а л ь п и н а /ржа б л и ш е р Москва 2003 УДК 336.7(031) ББК 65.262Я2 Э68 Книга издана при содействии ...»

-- [ Страница 2 ] --

Однако эти характеристики не всегда дают возможность сделать правиль­ ный вывод.

Пример 1.44 [5]. Рассмотрим портфели А и В из предыдущего примера 1.43.

Основные характеристики этих портфелей приведены в таблице:

-9 -4 -2 -1 р 0,08 0,26 0,05 0,25 0, 0, SO Энциклопедия финансового риск-менеджмента Для сравнения портфеля А и В воспользуемся показателем, называемым годовой реализуемой доходностью за 6 месяцев.

В данном случае годовая реализуемая доходность за 6 месяцев портфе­ лей А и В может быть найдена по формуле:

R = fV + g-42, *0 J где V0 —- начальная стоимость портфеля, V — стоимость портфеля через 6 месяцев, Q — проценты, выплаченные за 6 месяцев.

В нижеприведенной таблице показаны разности годовых реализованных доходностей портфелей А и В (fiB- KA) при различных сдвигах кривой до ходностей:

Параллельный Непараллельный Непараллельный сдвиг, % сдвиг (I), % сдвиг 01), % Изменение Дгх = Ду Дг, = Ду + 25 б. п. Агх = Ду - 25 б. п.

доходности Ду, б. п.* Дг* = Ду Дгу = Ду - 25 б. п. Дгу = Ду + 25 б. п.

Дг, = Ду Дг, = Ду Дг, = Ду -300 -1,88 -4,26 0, -250 -3,30 0, -1, -150 -0, -1,97 1, -100 0, -1,54 1, -50 0,21 -1,24 1, -25 0,24 -1,14 1, 0 0,25 -1,06 1, 25 0,24 -1, 1, 50 0,21 -0,98 1, 100 -0,98 1, 0, 150 -0,08 -1,05 0, 250 -0,58 -1,36 0, 300 -0,88 -1,58 -0, 350 -1,21 -1,84 -0, * б. п. — базисный пункт.

Таким образом, инвестиционная эффективность не определяется основ­ ными характеристиками портфелей А и В, а зависит от того, какие измене­ ния требуемых доходностей происходят на рынке.

1.18. Множества. Операции над множествами Множество (set) — это совокупность некоторых объектов. Объекты, из кото­ рых состоит множество А, называют элементами этого множества.

Если а является элементом множества А, то пишут aGA.

I. Количественный анализ Задать множество можно, либо перечислив все его элементы, либо ука­ зав характеристическое свойство, которому должны удовлетворять все эле­ менты этого множества.

Например, запись А = {av a2, a3, aj означает, что множество А состоит из элементов а,, а,, а, а.

Г 2' 3 Множество В всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству х2 - 2х + 3 ^ 0, можно записать следующим образом:

В = {х е К | х2 - 2х + 3 < 0}, где R — множество всех действительных чисел.

Множество А называют подмножеством (subset) множества В, если каж­ дый элемент множества А является элементом и множества В (рис. 1.13).

Рис. 1.13- Подмножество Если множество А является подмножеством множества В, то пишут:

А С В.

Например, множество А = {1, 2, 3} является подмножеством множества В = {I, 2, 3, 4, 5}. Множество Z всех целых чисел является подмножеством множества R всех действительных чисел.

Разностью А\В двух множеств А и В называют множество всех элементов А, не попавших в множество В (рис. 1.14).

Рис. 1.14. Разность множеств Если В с А, то разность А\В называют дополнением множества В до мно­ жества А.

Например, если А = {1, 2, 3, 4}, а В = {3, 4, 5, 6}, то А\В = {1, 2}.

52 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Пересечением двух множеств А и В называют множество, обозначаемое АПВ, все элементы которого принадлежат как множеству А, так и множе­ ству В (рис. 1.15).

С^ГЗ Рис. 1.15. Пересечение множеств Например, если Л = {1, 2, 3}, а В = {I, 3, 4, 5}, то Л ПВ = {1, 3}.

Если множества А и В не содержат общих элементов, то говорят, что они не пересекаются, и пишут А П В = 0 (0 — символ пустого множества).

Аналогично можно определить пересечение трех, четырех и более мно­ жеств. В частности, множество Появляется совокупностью всех элементов, i=i принадлежащих каждому из множеств А,, А2 А Объединением двух множеств А и В называют множество, обозначае­ мое A U В, все элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А и В (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Объединение множеств Например, если А = {1, 2, 3, 4}, а В = {3, 4, 5, 6}, то A U В = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Точно так же определяется объединение трех, четырех и более множеств.

В частности, множество. U^ — это совокупность всех элементов, принадле м жащих хотя бы одному из множеств А,, А2 At,...

I. Количественный анализ $ 1.19. Вероятностное пространство Пусть 1 — некоторое множество. В дальнейшем элементы множества О бу­ дем называть элементарными событиями, а само множество Q — простран­ ством элементарных событий.

Набор /3 подмножеств множества П называется <х-алгеброй случайных со­ бытий при выполнении следующих трех условий:

1. Ле/3.

2. Если А е /?, то и А е /J (А — дополнение множества А до всего про­ странства П).

3. Если множества А,А,..., А.,... принадлежат /3, то ПД^ииДе/3.

' i =l i =l Если пространство элементарных событий конечно, т. е. состоит из ко­ нечного числа элементарных событий, то в качестве о--алгебры случайных со­ бытий обычно рассматривают набор всех подмножеств этого пространства.

Пример 1.45. Бросается игральная кость. Пространство элементарных собы­ тий состоит из 6 событий: выпадение любого целого числа от 1 до 6. Выпа­ дение четного числа является случайным событием, так как состоит из трех элементарных событий: выпадение чисел 2, 4 или 6. Выпадение числа, мень­ шего 3, также является случайным событием.

Говорят, что на сг-алгебре случайных событий р определена вероятност­ ная мера Р, если каждому случайному событию Ае/3 поставлено в соответ­ ствие неотрицательное число Р(А) так, что выполняются следующие условия:

1. Р(П) = I.

2. Если Av А2,...,АГ... последовательность попарно непересекающихся г случайных событий, то Р 0д1 = 1Р(Д).

Если пространство элементарных событий конечно, т.е. О = {&>,,<и2,...,wn}, то на сг-алгебре случайных событий вероятностную меру можно задать сле­ дующим образом:

1. Элементарному событию &>, поставить в соответствие неотрицатель п ное число pr i = 1, 2,... п, так, чтобы Х,Р> = *• i=l 2. Для случайного события А положить Р(А) = ^ R (суммирование ПрО изводится по тем номерам г, для которых а>. е А).

Пример 1.46. Бросаются две одинаковые игральные кости.

В данном случае элементарное событие характеризуется следующей парой чисел: числом, выпавшим на первой кости, и числом, выпавшим на второй кости, а пространство элементарных событий состоит из 36 событий:

S4 Энциклопедия финансового риск-менеджмента (1, 1), (1, 2),.... (I, 6) (2, 1), (2, 2),..., (2, 6) (6, 1), (6, 2),..., (6, 6).

Естественно считать, что вероятность каждого элементарного события равна —-. Тогда вероятность того, что на двух костях в сумме окажется 10, Зо 1 1 ^ равна 3 х — = —, так как это событие состоит из трех элементарных собы­ тий: (4, 6), (5, 5), (6, 4).

Основные свойства вероятностной меры 1. Для любого случайного события А 0*sP(A)=s I.

2. Если А и В случайные события и А С В, то Р(А) « Р(В).

3. Если А — случайное событие, то РТА) = 1 - Р(А).

4. Для любых двух случайных событий А и В имеет место равенство:

Р(А и В) = Р(А) + Р(В) - Р(А п В).

5. Если события А и В несовместны, т. е. An В = 0, то Р(А и В) = Р(А) + Р(В).

Случайные события А и В называются независимыми, если:

Р(А П В) = Р(А) • Р(В).

Если события А и В независимы, то события А и В также независимы.

Вероятностное пространство определяется тройкой: пространством эле­ ментарных событий О, er-алгеброй случайных событий /3 и вероятностной ме­ рой Р на а--алгебре случайных событий.

Функция = (ы), определенная на пространстве элементарных событий Д называется случайной величиной (random variable), если для любого дей­ ствительного числа х множество {<*} = {о>П\(<о) < х} является случай­ ным событием.

I. Количественный анализ 5$ Если = f(«) является случайной величиной, то F(x) = Р{ < х}, х R, называется функцией распределения [вероятностей] (probability function) слу­ чайной величины Основные свойства функции распределения случайной величины 1. Р{>х} = 1-F^(x)-P{ = x}.

2. P{xx<

3. F?(x) — неубывающая функция, причем 0 < F?(x) < 1, х е К 4. lim R(x) = 1, lim R(x) = 0.

5. lim R(x) = R(t), te R.

x-»t-0 » Пример 1.47. Функция R(x) является функцией распределения вероятностей случайной величины Найдем функцию распределения случайной величины 7} = а, + Ъ, где а и b — некоторые числа, аФО.

Если а > 0, то F,(x) = Р{?7 < х} = ?{а, + Ъ < х} = Р{а < х - Ь} = = Р { < ^ } = ЕД — ).

?

a a Если же a < 0, то F„(x) = Р{?7 < х} = ?{аЕ, + Ъ < х} = Р{а < х - Ь} = Р{ > ^ ^ } = a = l - F ( ^ ) -Р{ = — }.

a a 1.20. Дискретные случайные величины Случайная величина называется дискретной случайной величиной, если она принимает лишь конечное или счетное число различных значений.

Чтобы задать дискретную случайную величину, достаточно указать закон распределения вероятностей этой случайной величины в следующем виде:

X, X,... X, (Х,<Х2<...<Х,<...), т. е. для каждого возможного значения случайной величины f задать вероят­ ность этого значения.

56 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Ъ (*) 2 ^ ( - Pl+P Рг J у 3 X - 1 К....

*1 < Рис. 1.17- Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины $ показана на рис. 1.17.

Основные числовые характеристики дискретной случайной величины f определяются следующим образом:

1. Математическое ожидание (mean, expected value) Щ) = ±ХГР, 2. Дисперсия (variance) D(4) = i(Xi-E(i)f.P, 3. Стандартное (среднее квадратическое) отклонение (standard deviation) <тв) = Щ).

Свойства математического ожидания и дисперсии 1. E(af + b) = аЩ) + Ъ, где а и Ь - некоторые числа.

2. E(+7j) = E() + E(77).

Ъ.Щ=Щг)-(Щ)Г.

4. D(c^ + b) = a2D(|), где а и b - некоторые числа.

Пример 1.48. Дана 10%-ная облигация с полугодовыми купонами, продающа­ яся по номиналу, когда до ее погашения остается 20,5 лет. Инвестор счита­ ет, что доходность к погашению этой облигации через 6 месяцев может при­ нять лишь следующие значения:

Доходность к погашению 11,0 10,5 10,0 9,5 9,0 8, через 6 месяцев (), % 0,23 0,16 0,22 0,16 0,10 0, Вероятность I. Количественный анализ $ Законы распределения вероятностей цены облигации (17) и годовой реа­ лизуемой доходности за 6 месяцев (т) указаны в таблице:

Доходность к Цена облигации (rj), Реализуемая Вероятность погашению ($, % долл.

' доходность (т), % 0,23 11,0 91,98 -6, 0,16 1, 10,5 95, 0,22 10,0 100,00 10, 0,16 18, 9,5 104, 0,10 9,0 109,20 28, 38, 0,13 8,5 114, Например, если = 11,0%, то 5-2 1-- = 91,98;

40, 0, (1,055)' (1,055)' 91.98 + 5-Ю0.

т = т е Математическое ожидание цены облигации через 6 месяцев и ее диспер­ сия могут быть найдены следующим образом:

Е(т)) = 91,98 0,23 + 95,85 0,16 + 100 • 0,22 + 104,44 0,16 + + 109,20 0,10 + 114,31-0,13 = 100,9821 ДОЛЛ.;

D(TJ) = (91,98 - 100.98)2 • 0,23 + (95,85 - 100.98)2 • 0,16 + + (100 - 100.98)2 • 0,22 + (104,44 - 100.98)2 -0,16 + + (109,20 - 100,98)20,10 + (114,31 - 100.98)2 • 0,13 = 54,82.

„ TJ + 5-100 „ Так как г = - • • 2, то = Е( н) - 95. 100, 98- 95.

Е( т ) 2 = 100 Р(Т) = Ш^=54,82. v ' (100)2 (100) о (т) = ^/D(T) = 0,1481, т. е. 14,81%.

Таким образом, ожидаемое значение реализуемой доходности облига­ ции за 6 месяцев равно 11,96%, а ее стандартное отклонение составляет 14,81%.

Закон совместного распределения вероятностей двух случайных величин и 17 может быть задан следующим образом:

6 — 58 Энциклопедия финансового риск-менеджмента N. Л у, У.

v Р р„ Р X, п р2, Р. р2, К р, Р, X, р II R — это вероятность того, что случайная величина принимает зна­ чение Xt, а случайная величина ri — значение Yjt i = 1,2, 3.-., j = 1- 2, 3--, причем IIPI=L i=l j=l Зная закон совместного распределения вероятностей двух случайных ве­ личин, можно найти закон распределения вероятностей каждой из этих слу­ чайных величин, так как P(l =*i ) = X V = 1.2,3..., J=I Р( ^7=^) = 1 Р. ] = 1,2,3 Й i=i Дискретные случайные величины и -ц называются независимыми, если Р,= Р{| = X) • Р{т, = Y), i = 1, 2, 3..., j = 1, 2, 3...

Для независимых случайных величин справедливы следующие два равенства:

Е(-т,) = ЕШ • E(TJ), D«+n) = D(0 + D(i,).

Ковариация (couariance) между двумя дискретными случайными величинами и т? определяется равенством COV&TJ) = Х Х № -Е(^))(У, -Е(т,)).

i=i И Свойства ковариации 1. Cov(n) = E(-TJ)-E(0-E(TJ).

2. D( + 7)) = D() + D(TJ) + 2Cov( т,).

3. D(a| + Ъ-п) = a2D + b2Dij + 2abCov( TJ).

I. Количественный анализ Корреляция (correlation) между двумя случайными величинами и rj оп­ ределяется следующим образом:

,е Cov(|,rj) (T(l)-ff(fj) Случайные величины называются некоррелированными, если корреляция между ними равна 0.

Свойства корреляции 1. -1«р(ч)*и.

2. p(|,7j)=l ФФ 77 = а 0.

3. p(,Tj)= -1<=>77 = а+Ь, гдеаиЬ — числа, причем а < 0.

4. Из независимости случайных величин всегда следует их некоррелиро­ ванность, но не наоборот.

Пример 1.49. Совместное распределение вероятностей случайных величин и г) приведено в таблице:

-2 -1 1 0,10 0,05 0, 2 0,08 0,16 0, 0,20 0, -3 0, Распределение вероятностей случайных величин g, TJ И г) имеет следую­ щий вид:

1 2 -3 -2 - V € р 0,30 0,36 р 0, 0,34 0,31 0, -9 -4 -2 -1 j Р 0,04 0,08 0,26 0,05 0,25 0, Тогда Е(# = 1 • 0,30 + 2 • 0,36 + (-3) • 0,34 = 0;

Е(т)) = (-2) • 0,38 + (-1) • 0,31 + 3 • 0,31 = -0,14;

Щф = (-9) • 0,04 + (-4) • 0,08 + (-2) • 0,26 + (-1)0,05 + 3 • 0,25 + 6 • 0,32 = 1,42;

D(> = I2 • 0,30 + 22 • 0,36 + (-3)2 • 0,34 = 4,8;

D(TJ) = (-2 + 0,14)2 • 0,38 + (-1 + 0.14)2 0,31 + (3 + 0.14)2 - 0,31 = 4,60;

o(Q = 2,19;

O-(TJ) = 2,14.

бо Энциклопедия финансового риск-менеджмента Ковариация и корреляция между случайными величинами f и т? находят­ ся следующим образом:

Cov(|,77) = Е(f 77) - Щ) • Е(77) = 1,42 - 0 = 1,42;

jCov^Tl = _J 42_ ^ ' " о-(^)а(г7) 2,19-2, 1.21. Непрерывные случайные величины Случайная величина f называется абсолютно непрерывной, если существует неотрицательная функция р?(х) такая, что W = j[P:(0

Функция р{(х), удовлетворяющая условию (1.50), называется плотностью распределения вероятностей (probability density function — PDF) случайной ве­ личины Равенство (1.50) означает, что заштрихованная площадь на рис. 1.18 под графиком плотности распределения равна вероятности того, что случайная величина принимает значение меньше х.

i /><(*) Рис. 1.18. Плотность распределения вероятностей Свойства непрерывных случайных величин 1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает значение между х: и х2 (х, < х2), совпадает с заштрихованной площа­ дью на рис. 1.19.

I. Количественный анализ Рис. 1. 2. Если р? (х) — плотность распределения вероятностей случайной вели­ чины, то jp((x)dx = l.

3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает то или иное значение всегда равна нулю, т. е. Р{ = х} = 0.

4. Производная функции распределения вероятностей непрерывной слу­ чайной величины равна плотности распределения вероятностей этой случайной величины, т. е.

= Р4(х). (1.51) dx Из равенства (1.51) следует, что Р{х <, < х + Дх} = р? (х) • Дх, (1.52) где х — любое число;

Лх — достаточно малое положительное число.

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величи­ ны f могут быть найдены следующим образом:

Е($) = ]щ(х)±с;

D() = J(x-E())2pa*)dx, где р^ (х) — плотность распределения вероятностей случайной величины Стандартное отклонение случайной величины определяется обычно как:

62 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Если f(t) — некоторая непрерывная функция, а f — непрерывная случай­ ная величина, то E(f(§))=Jf(x)-p4(x)dx.

Пример 1.50. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [а, Ь], если 0, при х <. [а, Ь], Р«(*) = 1 1 г ил [Ь-а -, при х Ё [а, Ъ\.

Функцию распределения случайной величины можно найти следующим образом:

если х < а, то F4(x)= ]p,{t)dt= J 0dt = 0, если же a =s x =s Ъ, то Ft(*)= jft(i)*= ]pi(0* + Jpt(0<* =. J c d f U^ t - j J -. ' - ^.

J a ^ b- a b- a b-a a При x > b Ft{x) = j p,(t)dt = J p4(t)dt + jp,(t)dt + }P{(t)dt = ]j^-dt = 1.

a b au u Таким образом, 0, если х < a;

x a - г ui Ft M =, еслихе[а,Ь];

b-a 1, если x > b.

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины можно найти следующим образом:

x E() = 7xp,(x)dx = r_ _dx = - i - - — a I b2 - а2 а + Ь b a i a - b- a 2 b- a з E(

);

v J w ^ ' J b- a b-a 3 a 3V 3~ 3' D(0 = E(^)-(E(0)24(a2 + ab + b ) - ( ^ T ^ = I. Количественный анализ Пример 1.51. Случайная величина f распределена показательно, если ГО, при х < О 5 v V y ' [Яе"Лх, при х > О Функция распределения вероятностей случайной величины имеет вид:

_. ч f 0, если х < 0;

[1 - е, если х > 0.

Тогда при А = Р{1 < < 1,02} = F^ (1,02) - F. (1) = 1 - е102 - (1 - е1) = е"1 - е102 = 0,00728.

С другой стороны, из равенства (1.52) следует, что Р{1 < | < 1,02} « р? (1) • 0,02 = е-1 • 0,02 = 0,00736.

Для показательно распределенной случайной величины имеем E(«) = I,D(S) =.

Асимметрией (skewness) распределения вероятностей случайной величи­ ны называется число J(x-E())3P|(x)dx а(« где р (х) — плотность распределения вероятностей случайной величины, <*б ее стандартное отклонение.

Если а($ = 0, то плотность распределения вероятностей случайной ве­ личины симметрична относительно математического ожидания этой случай­ ной величины (рис. 1.20).

Рис. 1. 64 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Рис. 1.21. Распределение с правосторонней асимметрией Рис. 1.22. Распределение с левосторонней асимметрией При положительной (отрицательной) асимметрии распределения правая ветвь (tail) плотности распределения вероятностей случайной величины «длин­ нее» левой ветви. Соответственно, при отрицательной (левосторонней) асим­ метрии левая ветвь плотности распределения вероятностей случайной вели­ чины будет «короче» правой ветви (рис. 1.21 и 1.22).

Эксцессом (kurtosis) распределения вероятностей случайной величины называется число J(x-E())4pjx)dx *(«) I. Количественный анализ При одном и том же стандартном отклонении, чем больше эксцесс, тем «тяжелее» ветви плотности распределения вероятностей случайной величины (рис. 1.23).

' тГш "*" Рис. 1.23- Распределения с различным эксцессом Распределение вероятностей с большим эксцессом называют распреде­ лением с «тяжелыми» ветвями Qeptokurticlfat-tailed distribution).

Если даны две случайные величины, и 2, то можно рассмотреть дву­ мерную случайную величину | = (, 2).

Двумерная случайная величина \ = (, 2) называется абсолютно непре рывной, если существует неотрицательная функция р^ (xv x2) такая, что при любых числах х, и х2 справедливо равенство Pfe < *,.& < *2} = J J Pf (ti.t2)dt,dt2.

( 153) Функция Р|(*1.*г)> удовлетворяющая равенству (1.53), называется плот­ ностью совместного распределения случайных величин и 2.

Если двумерная случайная величина | = (, §2) является абсолютно не­ прерывной, то ковариацией между случайными величинами и 2 является число Gov ($„,) = J J (х, -Е())(х2 -Ei^2))pl(xvx2)dxidx2, а корреляция между ними определяется следующим образом:

p ( j ^ a(5,)^(&)" 66 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Если p^(xvx2) — плотность совместного распределения случайных вели­ чин, и 2, то случайные величины и 2 независимы тогда и только тогда, когда ^(х„х2) = рй(х1)-рй(х2).

Все основные свойства числовых характеристик, рассмотренные нами для дискретных случайных величин, сохраняются и в непрерывном случае.

1.22. Важнейшие виды распределений случайных величин 1.22.1. Нормальное распределение Говорят, что случайная величина f распределена нормально, если ее плот­ ность распределения вероятностей имеет вид:

p ( *w = 7iheV' -54) где 77 «3,14;

а — некоторое действительное число;

S — положительное число.

График плотности нормального распределения приведен на рис. 1.24.

РЛХ) Рис. 1.24- График плотности нормального распределения I. Количественный анализ Основные свойства нормального распределения 1. Если случайная величина распределена нормально с плотностью (x-af 2S Р«(*) = j2nS то Е(ф = а-МО = S.

2. Плотность нормально распределенной случайной величины симмет­ рична относительно математического ожидания этой случайной ве­ личины, т. е. асимметрия а(ф = 0.

В частности, Р{^Е(&} = Р{^Е(ф} = 0,5.

Эксцесс нормального распределения всегда равен 3.

3. Вероятность того, что нормально распределенная случайная величи­ на будет отличаться от своего ожидаемого значения на величину, не превышающую одного, двух или трех ее стандартных отклонений, рав­ на 68,3, 95,5 и 99,75% соответственно.

Пример 1.52. Инвестор считает, что реализуемая доходность его портфеля облигаций за 6 месяцев имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 7% и стандартным отклонением 4%.

Вероятность того, что реализуемая доходность окажется. между 7% — 4% = 3% и 7% + 4% = 11% равна 68,3%, между 7% — 2 • 4% = -1% и 7% + 2 • 4% = 15% равна 95,5%.

4. Если случайная величина распределена нормально с параметрами (a, S), то случайная величина,7 = ^ ( a = E(S),S = <7(S)) распределена нормально с параметрами (0, 1), т. е. имеет стандарт­ ное нормальное распределение.

хх- а х2 - а При этом если х1 < х2, z: = —-—, z2 = —-—, то Р{Х, < < Х2} = P{Zl < 77 < 22} = Ф^ - Ф^ ), если z,>0;

(1.55) = • 1-Ф(г2)-Ф(-г,), если гх < 0, а z2 > 0;

Ф(-г2)-Ф(-г1), если z2 < 0.

68 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Таблица 1. ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Ф(Я) = P{T)>Z} Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0, 0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0, 0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0, 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0, 0,2 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0, 0,4207 0,4013 0,3974 0,3897 0, 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0, 0,3 0,3594 0,3557 0, 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0, 0, 0,2981 0,2946 0,2912 0,2810 0, 0,5 0,3085 0,305 0,3015 0,2877 0, 0, 0,2743 0,2709 0,2676 0,2611 0,2578 0, 0,2643 0,2514 0,2483 0, 0, 0,2389 0,2358 0,2327 0,2297 0,2266 0,2236 0,2206 0, 0,7 0, 0,8 0,2061 0,2033 0,1922 0, 0,2119 0,209 0,2005 0,1977 0,1949 0, 0,1788 0,1762 0,1736 0,1660 0, 0,9 0,1841 0,1814 0,1711 0,1685 0, 0,1492 0,1469 0,1445 0,1423 0,1401 0, 1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0, 0,1292 0,1230 0,1210 0,1190 0, 0,1357 0,1335 0,1314 0,1271 0, 1. 1,2 0,1112 0,1056 0,1038 0, 0,1151 0,1131 0,1093 0,1075 0,1003 0, 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0, 0, 0,0968 0,0951 0, 1, 0,0808 0,0778 0,0721 0,0708 0, 0,0793 0,0764 0,0749 0,0735 0, ы 0,0668 0,0630 0,0618 0,0606 0, 1,5 0,0655 0,0643 0,0594 0,0571 0, 1,6 0,0548 0,0526 0, 0,0537 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0, 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0, 1, 0,0322 0, 0,0336 0,0329 0,0314 0,0307 0, 1,8 0,0359 0,0351 0, 0,0281 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0, 1,9 0,0287 0, 2,0 0,0228 0,0222 0,0212 0,0202 0,0192 0, 0,0217 0,0207 0,0197 0, 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0150 0, 0,0179 0, 2,1 0,0154 0, 0, 2,2 0,0136 0,0132 0,0129 0, 0,0139 0,0122 0,0119 0,0113 0, 0, 2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0, 0,0068 0, 2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0, 0,0062 0,0060 0,0052 0, 2,5 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0051 0, 2,6 0,0040 0,0038 0, 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0039 0, 0,0028 0, 0,0030 0,0029 0, 2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0, 2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0, 2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0016 0, 0,0017 0,0015 0,0015 0,0014 0, 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0, 3,0 0,0013 0,0013 0, I. Количественный анализ Ь Следовательно, соотношение (1.55) позволяет находить различные вероят­ ности вида P{x,«f*x2} для произвольных нормально распределенных случайных величин.

Пример 1.53. Менеджер считает, что стоимость, управляемого им портфеля облигаций распределена нормально с математическим ожиданием 10 млн.

долл. и стандартным отклонением 2 млн. долл. Его интересует, какова веро­ ятность, что стоимость портфеля окажется между 6 млн. и 11 млн. долл.

В данном случае 6 млн. долл. - 10 млн. долл.

2 млн. долл.

11 млн. долл. -10 млн. долл.

= 0,5;

2 млн. долл.

O(-Zi) = 0,0228;

Ф(г2) = 0,3085 (см. табл. 1.1).

Тогда Р{6 млн. долл. < < 11 млн. долл.} = 1 - Ф (-z,) - Ф (z2) = = 1-0,0228 - 0,3085 = 0,6687, или 66,87%.

Пример 1.54- Предположим, что в условиях примера 1.53 менеджер хочет найти доверительный интервал для стоимости управляемого им портфеля с надежностью 95%. Иными словами, требуется найти интервал так, чтобы Р{«§ G и} = 0,95.

Имеем следующее равенство:

0.95 = Р{е и} = 1-2Ф(г), у.

mez = Тогда Ф(г) = 0,025. С помощью табл. 1.1 найдем значение z = 1,96. Зна­ чит, у = z • S = 1,96-2 млн. долл. = 3,92 млн. долл.

Искомый доверительный интервал: (6,08 млн. долл.;

13,92 млн. долл.).

5. Линейная комбинация нормально распределенных случайных величин также распределена нормально. В частности, если случайные вели­ чины f и г) независимы и распределены нормально с параметрами (a,, S,) и (а2, S2) соответственно, то их сумма f + TJ распределена нор­ мально с параметрами № + a2,^S* + Sly 7Q Энциклопедия финансового риск-менеджмента 6. Некоррелированные нормально распределенные случайные величины всегда независимы.

7. Последовательность случайных величин сходится к нормально распределенной случайной величине, если слу­ чайные величины (*,, 2)...,,,... взаимно независимы и одинаково рас­ пределены (центральная предельная теорема).

Это означает, что при взаимно независимых одинаково распределен­ ных случайных величинах, %2,...,,,... с математическим ожидани­ ем, равным а, и дисперсией а2 случайная величина „ = 6 + & + - +, '" п Г ст распределена асимптотически нормально с параметрами Q-i= • V V " J 1.22.2. Логарифмически нормальное (логнормальное) распределение Говорят, что положительная случайная величина распределена логнормаль но, если In имеет нормальное распределение вероятностей. Таким образом, плотность логнормального распределения имеет вид:

(1пх-а) где а = Е(1п), S =

График плотности логнормального распределения показан на рис. 1.25.

Свойства логнормального распределения 1. Логнормальное распределение обладает правосторонней асимметри­ ей (positively skewed), а при малых значениях S = с(1п) близко к нор­ мальному распределению.

2. Если случайная величина имеет логнормальное распределение с па­ раметрами а и S, то s а+— E() = ea4D() = e2a+s2(eS2-l), I. Количественный анализ S = 0, Рис. 1.25. График плотности логнормального распределения а при 0 < xt < х Ф(г,)-Ф(г2), если Zj > 0, Р{х,<<х2} = 1-Ф(г2)-Ф(-г,), если Z;

< 0, z2 > О, Ф(-г2)-Ф(-г,), если z2 < О, lnx, - a где zx = ' S lnx2-- a Ф(г) — вероятность, что случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение, принимает значение, большее z.

Пример 1.55. Будем считать, что доходность 10-летних облигаций с нулевы­ ми купонами имеет логнормальное распределение с параметрами а = -2,70;

S = 0,30.

Чтобы найти вероятность Р{ < 0,05}, т.е. вероятность того, что доход­ ность окажется меньше 5%, положим z, = -о°, z, = '• '— = -0,99.

0, Тогда Р{ < 0,05} = Ф(-22) - 0(-z,) = Ф(0,99) - 0 = 0,1611, т.е. 16,11%.

Если нас интересует вероятность Р {0,06 < Е, < 0,08}, то In 0,06 + 2,7 = -0,38, z 1п0,08 + 2,7 = 0,58.

0,3 0, 7* Энциклопедия финансового риск-менеджмента Значит, Р{0,06<,< 0,08} = 1-Ф(г2)-Ф(-г,) = = 1 - Ф(0,58) - Ф(0,38) = 0,3670, т.е. 36,7%.

3. Если две случайные величины распределены логнормально, то их про­ изведение также имеет логнормальное распределение.

1.22.3- Распределение X2 (хи-квадрат) Говорят, что случайная величина z имеет распределение х2 с п степенями свободы, если она представима в виде суммы п квадратов взаимно независи­ мых величин со стандартными нормальными распределениями.

Свойства распределения X 1. Если случайная величина z имеет распределение х2 с п степенями сво­ боды, то E(z) = n.D(z) = 2n, асимметрия распределения х2 положительна.

2. При возрастании числа степеней свободы распределение х2 стремит­ ся к нормальному. Таким образом, случайная величина, имеющая рас­ пределение ^ с п степенями свободы, распределена асимптотически нормально с параметрами (n,V2nj.

3. Критическим значением распределения ^ с п степенями свободы на­ зывают число xl (п) > удовлетворяющее условию P{z>x2a(n)} = a, где а— заданная вероятность.

Критические значения распределения х2 указаны в табл. 1.2.

4. Если случайные величины |,, |2,..., п взаимно независимы и распре­ делены нормально с параметрами (а, а), то случайная величина (п-1)& де &2 = -р-г2(& - of, a = 1&, Г имеет распределение ^ с п - 1 степенями свободы.

I. Количественный анализ Таблица 1. КРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ X \. Вероятность а 0,99 0,98 0,02 0, 0,95 0, Число ^\ степеней свободы п\^ 9,488 11, 4 0,297 0,429 0,711 13, 5 0,554 0,752 1,145 11,070 13,388 15, 6 0,872 1,134 1,635 15, 12,592 16, 7 1,239 1,564 2,167 14,067 16, 18, 8 1,646 2,032 18,168 20, 2,733 15, 9 2,068 2,532 21, 3,325 16,919 19, 10 2,558 3,059 3,940 18,307 21, 23, Это, в частности, означает, что оценка дисперсии а2 распределена асим­ птотически нормально с параметрами о2,о\Р^.

Vn- Пример 1.56. Даны 10 дневных наблюдений доходности 30-летних казначейс­ ких облигаций с нулевым купоном:

t 1 2 6 3 4 5 7 9 6, 6,694 6,699 6,675 6,555 6,583 6,569 6,583 6,555 6,,.% Если допустить, что доходность распределена нормально, то оценки матема­ тического ожидания и дисперсии доходности можно найти следующим образом.

t H-af t 1 0, 6, 2 0, 6, 3 6,710 0, 0, 4 6, 0, 5 6, 6 6,583 0, 7 6,569 0, 8 0, 6, 0, 9 6, 10 0, 6, 66,216 0, I 7 — 74 Энциклопедия финансового риск-менеджмента „ 66,2 6,, „,, „2 0,037337 „ „ „,, „ „ а = — = 6,6216;

а =- = 0,004149.

10 Доверительный интервал для дисперсии доходности с надежностью 96% можно найти из условия Р{*О,98(9)<^<ЖО,О2 (9)1 = 0,96, т. е.

2,532 <9-<Г 19, ^ < Р< = 0,96.

а Таким образом, с надежностью 96% д. л2 д. л 0,0147 = >а2> = 0,0019.

2,532 19, 1.22.4. Распределение Стъюдента Распределение вероятностей случайной величины называется распределением Стъюдента с п степенями свободы, если случай­ ные величины и у) независимы, имеет стандартное нормальное распреде­ ление, а у) — распределение х2 с п степенями свободы.

Свойства распределения Стъюдента 1. Если случайная величина t имеет распределение Стьюдента с п сте­ пенями свободы, то E(0 = 0,D(?) = и-2.

^ Асимметрия распределения Стьюдента равна О.

2. При возрастании числа степеней свободы распределение Стьюдента стремится к стандартному нормальному распределению. При этом рас­ пределение Стьюдента имеет более тяжелые ветви, чем стандартное нормальное распределение. На рис. 1.26 изображены плотности стан­ дартного нормального распределения и распределения Стьюдента с тремя степенями свободы.

I. Количественный анализ Рис. 1.26. Графики плотности нормального распределения и распределения Стьюдента 3. Критическим значением распределения Стьюдента с п степенями сво­ боды называют число ta{n), удовлетворяющее условию:

?{t > ta (n)} = а, где а — заданная вероятность.

Критические значения распределения Стьюдента указаны в табл. 1.3.

4. Если случайные величины ^,Е,2,...,Е,п взаимно независимы и распреде­ лены нормально с параметрами (а, &), то случайная величина sfn(a - a) 1 л 1 " rf где e = -X&;

=—rZ(&-«)' «i = l Я —1 *=| имеет распределение Стьюдента с п - 1 степенями свободы.

Пример. 1.57. В условиях примера 1.56 найдем доверительный интервал для ожидаемой доходности с надежностью 95%.

Так как а= 6,6216, а = 0,0644, то искомый доверительный интервал можно найти на основе равенства гЛ ^ VlO (6,6216-а).. 1г Р 25 (9) < < to025 (9) р° ^644 | = °'95 7* 76 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Таблица 1. КРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮДЕНТА ^•v. Вероятность а 0,10 0,05 0,025 0, 0, Число ^ ч степеней свободы п ^ \ 3,747 4, 4 1,533 2,132 2, 5 1,476 2,571 3,365 4, 2, 6 1, 1,943 2,447 3,143 3, 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3, 8 1,860 2,306 2,896 3, 1, 9 1,383 1, 2,262 2,821 3, Ю 1,372 1,812 2,228 2,764 3, Согласно табл. 1.3, t002S{9) = 2,262.

Следовательно, 0 0644 0 6,6216 - 2,262 • '"ГГ <а< 6,6216 + 2,262 • ' ;

ГГ\ л/10 VlO Таким образом, с надежностью 95% ожидаемая доходность казначейских облигаций находится между 6,57 и 6,67%.

1.23. Расчет волатильности финансовых показателей на основе исторических данных Волатилъностъ, или изменчивость (volatility), финансовых показателей иг­ рает очень важную роль в управлении финансовыми рисками.

Пусть У( — некоторый финансовый показатель (например, цена или до­ ходность некоторого финансового инструмента), наблюдаемый в день t, t = 0, 1, 2,..., Т. Положим у X, = 100 In —Ч t = 1,2,..., Т.

Ч-i Случайная величина ^представляет собой натуральный логарифм отно­ сительного изменения этого показателя за один день, выраженный в процен­ тах. Тогда дневную волатильность данного показателя можно оценить следу­ ющим образом:

|i(*t-*)2 _ i* '* У Г- 1 Г Иными словами, дневная волатильность принимается равной стандартно­ му отклонению логарифма относительного изменения финансового показате­ ля за один день.

I. Количественный анализ Пример 1.58. В течение 11 последовательных рабочих дней биржи определя­ лась доходность 30-летних казначейских облигаций с нулевыми купонами. Рас­ чет дневной волатильности доходности на основе этой информации приве­ ден ниже.

t Xt = 100l ni У,, % ( *- *) ' 0 6,694 — — 6,699 0,07467 0, 2 6,710 0,16407 0, 3 6,675 -0,52297 0, 4 6,555 -1,81411 2, S 6,583 0,42624 0, 6 6,569 -0, 0, 7 6,583 0, 0, 8 6,555 -0,42625 0, 9 6,593 0,57804 0, 10 6,620 0,40869 0, I — -1,11162 4, х = М _о.ш16;

^.^Ш.^.

= Таким образом, дневная волатильность доходности 30-летних облигаций с нулевыми купонами оценивается в 0,70%.

Если случайные величины Xt не коррелируют между собой, то, зная днев­ ную волатильность доходности финансового инструмента, можно оценить во­ латильность доходности этого инструмента за данный период времени:

где о- — волатильность доходности за рассматриваемый период времени;

<тдн — дневная волатильность;

тпер — число дней в периоде.

В частности, для того чтобы определить годовую волатильность, необ­ ходимо для каждого конкретного случая правильно определить число рабо­ чих дней в году. Число рабочих дней в году может быть равным 250, или 365.

Пример 1.59. В примере 1.58 была найдена дневная волатильность доходнос­ ти 30-летних казначейских облигаций с нулевыми купонами: <тдн= 0,70147%.

В таблице, приведенной ниже, указана годовая волатильность доходности при разных оценках числа дней в году.

78 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Число дней Годовая в году волатильность, % 250 11, 11, 13, 365 13, Предположим, что в данный момент времени доходность финансового ин­ струмента равна г. Можно считать, что доходности за один день распределены логнормально с параметрами 0 и а^. Если логарифмы относительных измене­ ний доходности не коррелируют между собой, то отношение доходности че­ рез год к доходности г будет распределено также логнормально, но с парамет­ рами (0, о-гоа). Следовательно, сама доходность финансового инструмента через год должна иметь логнормальное распределение с параметрами On г, агЫ).

Если годовая волатильность доходности достаточно мала, то можно счи­ тать, что доходность финансового инструмента через год распределена при­ близительно нормально с параметрами г и гсггод.

Пример 1.60. Текущая доходность 10-летних казначейских облигаций с нуле­ вым купоном равна 8%, а годовая волатильность этой доходности равна 15%.

Тогда можно предположить, что доходность 10-летних облигаций с нуле­ выми купонами через год будет приблизительно распределена нормально с ожидаемым значением 0,08 и стандартным отклонением 0,08 0,15 = 0,012.

Отсюда, в частности, следует, что с вероятностью 95,5% доходность через год окажется между 0,08-2 • 0,012 = 0,056 и 0,08 + 2 • 0,012 = 0,104, т.е. будет принимать значение между 5,60 и 10,40%.

1.24. Элементы регрессионного анализа Во многих случаях требуется установить зависимость между двумя случайны­ ми величинами. Чаще всего предполагается линейная зависимость. Например, при обмене облигаций использовалась линейная зависимость между измене­ ниями доходностей двух облигаций.

Рассмотрим две случайные величины f и i) и предположим, что, когда случайная величина принимает значения Xv X2 Хп, то случайная величи­ на т) принимает соответственно значения У,, У2,..., Уп.

Линейной регрессионной моделью называют уравнение следующего вида:

?7 = а + Ь + е, (1.56) где а и b — некоторые числа (коэффициенты регрессии), е — случайная погрешность.

При построении линейной регрессионной модели коэффициенты а и b необходимо подобрать так, чтобы влияние случайной погрешности е на слу­ чайную величину г/ было как можно меньше.

I. Количественный анализ Из уравнения (1.56) следует, в частности, что Yk= а+ ЬХк+ ек, к = 1, 2,..., п.

Коэффициенты регрессии а и Ъ чаще всего подбираются методом наи­ меньших квадратов. Метод наименьших квадратов сводится к отысканию зна­ чений а и b так, чтобы достигалось наименьшее значение функции ^(Yk-a-bXkf.

(1.57) Нетрудно проверить, что наименьшее значение функции (1.57) достига­ ется при а = а, Ъ = Ь, П 1 ( П \ ( П \. Iw-iSJUXr» ы где П 1 / П ( п \ п Ы \ Ы п 1 Т л п а = ^ - ^ Ь Х ^.

При выборе коэффициентов регрессии указанным выше способом будут выполняться следующие соотношения:

Х>, = 0,]ГХ,-* = 0 & = Ук-а-ЬХк), k=l fc=l Е** _ Еу> fc—X fc=l (1.58) У = а + ЪХ х Пример 1.61. Построение линейной регрессионной зависимости доходности среднесрочных облигаций промышленных корпораций одного и того же кре­ дитного рейтинга (TJ) от доходности 10-летних казначейских облигаций (ф. Ис­ ходная информация и предварительные расчеты приведены ниже в таблице.

Коэффициенты регрессии находятся следующим образом:

846,5312 - — (87,555) (96,400) Ъ = = 0,9696, 769,1671 - \ (87,555) 10 v a = — • 96,400 - — • 0,9696 • 87,555 = 1,1507.

10 во Энциклопедия финансового риск-менеджмента Доходность облигаций, % ft ft *Л *> Л *Л *> Л (№ наблюдения) (№ наблюдения) казначейских Хк промышленных Y, 1 9,057 9,900 89,6643 82,0292 98, 2 9,140 10,000 91,4000 83,5396 100, 3 8,983 9,800 88,0334 80,6943 96, 9,298 10,250 86, 4 95,3045 105, 5 9,279 10,100 93,7179 86,0998 102, 6 9,950 90,1172 82, 9,057 99, 7 8,598 9,550 82,1109 73, 91, 8 8,079 9,000 72,7110 65,2702 81, 9 7,808 8,700 67,9296 60,9649 75, 10 8,256 9,150 75,5424 68,1615 83, 96,400 846, 87,555 769,1671 931, I Таким образом, уравнение регрессии в данном случае имеет следующий вид:

77 = 1,1507 + 0,9696+ е.

Из соотношения (1.58) следует, что a + 6х I (у* - Y)2 = l f * + «* - (а + ьх4' k=l Ы. 7 П ?

= (Ь(Хк-Х) + ек)2 =&±(Хк-Х)2 +1< ±е + Ы fc=X Ы Таким образом, полная сумма квадратов отклонений зависимой величины - 2 п, —. от своего среднего значения состоит из двух частей: Ъ У\[Хк - X), НаЗЫВае ' г мой суммой квадратов, объясняемой регрессией, и ^еь, называемой сум ы мой квадратов, не объясненной регрессией.

Отношение суммы квадратов, объясняемой регрессией, к полной сумме квадратов называют коэффициентом детерминации и обозначают R2. Таким образом, U=i к2 = 8 ^ п т ( п Л in2 4 Хп Коэффициент детерминации всегда находится между 0 и 1, причем, чем ближе коэффициент детерминации к единице, тем выше качество регресси­ онной модели.

I. Количественный анализ Пример 1.62. Оценим качество регрессионной модели, построенной в при­ мере 1.61.

В данном случае коэффициент детерминации может быть найден следу­ ющим образом:

846,5312 - — (87,400) (96,400) R2 = 0,9696 1^—j = 0,9963.

931,7300-—(96,400) Так как коэффициент детерминации очень близок к единице, то качество регрессионной модели достаточно высокое.

Оценка коэффициентов регрессии получена нами в зависимости от вы­ борки значений X,, Х2,..., Хп независимой случайной величины f и соответству­ ющих им значений зависимой случайной величины ту. ДЛЯ другой выборки зна­ чений случайной величины будут получены, вообще говоря, другие оценки коэффициентов регрессии и другая случайная погрешность. В связи с этим возникает задача построения доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.

Если предположить, что случайные погрешности не коррелируют меж­ ду собой (т.е. отсутствует автокорреляция), то доверительные интерва­ лы для коэффициентов регрессии с надежностью 95% строятся следую­ щим образом:

n b- t ( - 2) - - ^=

IX,2 f IX k=l \ k=l где to,025 (п ~ 2) — критическое значение для распределения Стыодента с п - 2 степенями свободы (табл. 1.3);

2 \ h-R2 ( п стандартная оценка ошибки.

Vcm = in-г in-г- Чп-2 n[k=1 j Ы Если случайная величина f принимает значение X, то, согласно линейной регрессионной модели:

?} = а + Щ + е, ожидаемое значение случайной величины ту равно уож = а+ьх.

8а Энциклопедия финансового риск-менеджмента При отсутствии автокорреляции и гетероскедастичности* доверительный интервал для значения случайной величины т/ при заданном уровне надежно­ сти может быть найден в виде:

(У^-дУ.У^ + дУ), (Х-Щ — п — -. + -.

л. л (JL f П ( где ДУ = t0,025 (n - 2) • На Пример 1.63. Инвестор считает, что через месяц доходность 10-летних каз­ начейских облигаций окажется равной 8%. Тогда, согласно регрессивной мо­ дели, построенной в примере 1.61, ожидаемое значение доходности облига­ ции промышленных корпораций будет равно 1,1507 + 0,9696-8% = 8,91%.

Для определения доверительного интервала для доходности промышлен­ ных облигаций с надежностью 95% найдем:

t0i025(n-2) = 2,31 (n-2 = 8);

1-0, 931,7300-^ (96,400)2 = 0,0336;

Мст = %-8,7555%) (х-х)' + — = 0,5668;

• + — = i%--J±X.) " Нб7.->,555)> Ю n ^ i j ДУ = 2,31 • 0,0336 • 0,5668 = 0,044.

Следовательно, искомый доверительный интервал: (8,87%;

8,95%).

1.25. Метод имитационного моделирования Монте-Карло Случайная величина у, принимающая 10 значений: 0, 1, 2, 3 9 с одинако­ вой вероятностью, называется случайной цифрой.

Предположим, что мы произвели N независимых опытов, в результате которых получили N случайных цифр. Записав эти цифры (в порядке их по­ явления) в таблицу, получим то, что называется таблицей случайных цифр.

Гетероскедастичность (heteroscedasticity) — отсутствие гомоскедастичности, т. е.

неоднородность дисперсии, подсчитанной по разным группам (в данном случае — неоднородность дисперсии во времени).

I. Количественный анализ Например, таблица из 150 случайных цифр может иметь следующий вид (циф­ ры разбиты на группы для удобства чтения таблицы):

86515 90795 66155 66434 56558 69186 03393 42502 99224 88955 41686 42163 85181 38967 33181 86522 47171 88059 89342 67248 72587 93000 89688 78416 27589 Случайным числом (random number) называется случайная величина Ъ, + _Ь_ +... + Ъ- +..., s = 10 100 10s где ft, у2..... ys,...— независимые случайные цифры. Иными словами, случай­ ное число — это случайная величина, равномерно распределенная на про­ межутке [0, I).

Если задана таблица случайных цифр, то можно строить различные слу­ чайные числа, как, например:

0,86;

0,51;

0,59;

0,07;

0,95;

0,66;

0,15;

0,56;

0,64;

0,34;

,. с9\ 0,45;

0,65;

0,58;

0,12;

0,33;

0,26;

0,91;

0,86;

0,03;

0,39.

В настоящее время существуют специальные компьютерные программы для построения случайных чисел в любом количестве. Такие программы на­ зывают генераторами случайных чисел.

Рассмотрим теперь дискретную случайную величину распределение ко­ торой имеет вид:

X, X,... X Для моделирования случайной величины промежуток [0, 1) разделим на участки At так, чтобы длина промежутка А.[ равнялась Р., = 1, 2,.... п. Новая случайная величина |t определяемая равенством:

\ = Х„ если 8 е A;

, i = 1, 2 n, (1.60) где 5 — случайное число, имеет такое же распределение, что и случайная величина.

Равенство (1.60) позволяет каждому случайному числу приписать определен­ ное значение случайной величине Такой процесс приписывания значений слу­ чайной величине часто называют разыгрыванием этой случайной величины.

Пример 1.64. Случайная величина принимает два значения: 1 и 2 с вероят­ ностью 0,6 и 0,4 соответственно. В данном случае А1 = [0;

0,6), Д2 = [0,6;

1).

84 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Значения этой случайной величины, приписываемые случайным числом из последовательности (1.59), приведены ниже:

0,86 0,51 0,59 0,07 0,95 0,15 0,64 0, 0,66 0, i 2 1 1 1 2 2 1 1 2 { 0,45 0,65 0,58 0,12 0,26 0,91 0,86 0,03 0, 0, i 1 2 1 1 1 1 2 2 1 i Частоты появления 1 и 2 соответственно равны — = 0,65;

— = 0,35 и 20 близки к их вероятностям. Чтобы получить лучшую модель, необходимо рас­ смотреть большее количество случайных чисел.

Предположим, что даны две случайные величины ^ и ту, совместное рас­ пределение которых имеет вид:

Y У Y, !

п р,„ Р„ X, Рп ра Р, р,„ х, р р Р К „ М тп Для моделирования пары случайных величин ( т?) промежуток [0, 1) раз­ делим на части 4S так, чтобы длина полуинтервала 4. равнялась Pir i = 1, 2,..., т.) = 1, 2 п.

В этом случае пара случайных величин 11. Л I, где | =Х„ п = X при 8е А^ (1.61) имеет такое же распределение, что и пара (, TJ).

Равенство (1.61) позволяет каждому случайному числу приписать опреде­ ленную пару значений случайных величин f и т). Такой процесс приписыва­ ния значений паре случайных величин ( т?) называют разыгрыванием этой пары.

Если случайные величины и -q независимы, то для разыгрывания пары (, TJ) достаточно разыграть каждую случайную величину в отдельности. Для разыгрывания непрерывной случайной величины можно вначале найти диск­ ретную случайную величину, близкую к данной случайной величине, а затем разыграть эту дискретную случайную величину.

Метод Монте-Карло позволяет численно находить различные вероятност­ ные характеристики случайной величины TJ, зависящей от большого числа I. Количественный анализ 9S других случайных величин E,v 2,...,,. Этот метод сводится к следующему:

разыгрывается последовательность случайных величин (^, 2,..., 4), для каж­ дого розыгрыша определяется соответствующее значение случайной величи­ ны 7j, а по найденным значениям строится эмпирическое распределение ве­ роятностей этой случайной величины.

Пример 1.65 [5]. Инвестор владеет портфелем, состоящим из одной казна­ чейской облигации и двух корпоративных облигаций одного и того же кре­ дитного рейтинга. Основные параметры портфеля указаны в таблице:

Срок до Купонная ставка, Номинал, Доходность к Облигация погашения, лет млн. долл. погашению, % % Казначейская 6,0 6, 5, Корпоративная 9,0 9, 15, Корпоративная 6 10, 25,5 10, Инвестора интересует реализуемая доходность портфеля облигаций за 6 месяцев. По его мнению, реализуемая доходность портфеля будет опреде­ ляться следующими двумя факторами: кривой доходностей казначейских об­ лигаций через 6 месяцев и спредом между доходностями корпоративных и казначейской облигаций. Предположим, что инвестор располагает еще и сле­ дующей информацией:

Разбиение Разбиение Доходности казначейских облигаций, % Вероятность промежутка [0, I) Вероятность промежутка [0, I) 5 лет 15 лет 25 лет 4 6 0,20 [0;

0,20) 5 8 9 0,15 [0,20;

0,35) 6 7 7 0, [0,35;

0,45) 7 8 0,10 [0,45;

0,55) 9 9 9 0,20 [0,55;

0,75) 10 8 8 0,25 [0,75;

1,00) Величина спреда Разбиение промежутка между Вероятность [0,1) доходностями, б. п.* 75 0,10 [0;

0,10) 100 0,20 [0,10;

0,30) 125 0,25 [0,30;

0,55) 150 0,25 [0,55;

0,80) 175 0,15 [0,80;

0,95) 200 0,05 [0,95;

1,00) * б. п. — базисный пункт.

М Энциклопедия финансового риск-менеджмента Для определения реализуемой доходности портфеля облигаций можно использовать метод Монте-Карло.

Первая итерация (случайные числа: 0,91 для кривой доходностей и 0, для спреда между доходностями). В этом случае доходности казначейских об­ лигаций со сроком до погашения 5, 15 и 25 лет составят соответственно 10, 8 и 8%, а доходности корпоративных облигаций со сроком до погашения и 25 лет — 9 и 9%.

Тогда цены облигаций (на номинал в 100 долл.) через 6 месяцев опреде­ ляются следующим образом:

1 Р = = 84,55653, 0, (1 + 0,05) (1 + 0.05) Р2 = 100 (купонная ставка совпадает с доходностью), 10, 1 Р, = 114,82151.

I 0, (l,045f (1,045)* Значит, реализуемая доходность портфеля облигаций составит:

Pt 50 000 + Р2 • 40 000 + Р3 60 000 + 150 000 + 180 000 + 315 000 - 15 000 15 000 0,1016, т.е. 10,16%.

Предположим, что было проведено 100 итераций. При этом оказалось, что наименьшая реализуемая доходность портфеля равна -3,905%, а наиболь­ шая реализуемая доходность составляет 24,97%.

Разделив отрезок [-3,905%;

24,97%] на достаточно большое число частей, подсчитаем для каждой части число итераций, дающих реализуемую доход­ ность из этой части.

Таким образом, будет построено эмпирическое распределение вероятно­ стей реализуемой доходности портфеля облигаций. После чего можно полу­ чить различные числовые характеристики этой реализуемой доходности: сред­ нее значение, стандартное отклонение и т. д.

1.26. Случайные процессы и их основные характеристики Дано основное вероятное пространство (П./9.Р).

где О — пространство элементарных событий, /3 —ст-алгебраслучайных событий, Р — вероятностная мера.

Рассмотрим некоторое числовое множество V, элементы которого в даль­ нейшем будем считать моментами времени.

I. Количественный анализ в Функция (w, г) двух переменных ы € fl и t V называется случайным про­ цессом, определенном на множестве V, если для любых t 6 V и х е Я (R — множество всех действительных чисел) множество {,t)

Из условия (1.62) следует, что если на множестве V определен случай­ ный процесс (ш, г), то каждому моменту времени t V поставлена в соот­ ветствие случайная величина ft(w) = (&>, 0- Случайная величина t() называ­ ется сечением случайного процесса в момент времени t.

Таким образом, чтобы на множестве V задать некоторый случайный про­ цесс, достаточно каждому моменту времени t e V поставить в соответствие ту или иную случайную величину ^(ш), сечение этого случайного процесса. В силу этого случайный процесс можно обозначить ((ю) или просто j.

Если на множестве V задан случайный процесс |(», г), то при каждом фиксированном элементарном событии ы О мы имеем функцию одного пе­ ременного t. Эту функцию, определенную на множестве V, называют траек­ торией, или реализацией случайного процесса f(w, г).

Пример 1.66. Рассмотрим случайный процесс (fi>,t) = t-7j(fi)) + l, где ГЕ [0,+°°), 1 с вероятностью 0,4, г) (со) =, [-1с вероятностью 0,6.

Сечением данного случайного процесса в момент времени f = 2 являет­ ся случайная величина 2тг)(ш)+1. Траектории случайного процесса (&>, t) изоб­ ражены на рис. 1.27.

Пример 1.67. Случайный процесс на [0, +°°) определен следующим образом:

1, если t < 77(a));

2, если t> 77(a)), где TJ(W) — некоторая положительная случайная величина.

Сечением случайного процесса &ш, t) в момент времени t является случай­ ная величина, принимающая значение 1 с вероятностью, равной Р{г](ш) > г}, и значение 2 с вероятностью, равной Р{г)(ш) =s t}.

Траектория случайного процесса §(а», г) имеет вид, изображенный на рис. 1.28.

Важнейшими характеристиками случайных процессов являются математи­ ческое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием случайного процесса К«, г), t e V, называ­ ется функция m{(r), равная математическому ожиданию сечения (w), т. е.

rrk(t) = E{$t(a>)),teV.

88 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Дисперсией случайного процесса gto, r), t e V, является функция De(t), равная дисперсии сечения (ы) этого случайного процесса, т. е.

D4(t) = D(6H),teV.

Пример 1.68. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайного про­ цесса из примера 1.66.

По определению т. (Г) = Е((а>)) = Е(», И + I) = tE(7j) + 1.

если т)(со)= если T) ( U>) =- Рис. 1. #« Т)(<«) Рис. 1.28. Траектория случайного процесса I, Количественный анализ Так как E(TJ)= 1 • 0,4 + (-1) • 0,6 = -0,2,то rr^(t) = -0,2t+ 1.

С другой стороны, D, (t) = D(|, (»)) = D(ft7 (о>) + 1) = t2D(r,), D(rj)= (l + 0, 2) 0,4+(-l + 0,2)20,6 = 0,96.

Значит, D?(t) = 0,96-t2.

Пример 1.69. Рассмотрим случайный процесс из примера 1.67, считая, что случайная величина TJ(W) распределена показательно с плотностью Р(х) = 1°' е с лих < °:

4 х V, если х > 0.

Так как P{TJ (СО) < t} = 1 - е', Р{г/ (а) > г} = e_t, то Е( (ft))) = 1 • е-' + 2 • (1 - е"') = 2 - е"1;

D& (©)) = (1 - (2 - е'))2 е- + (2 - (2 - e")f (l - е"') = е" (1 - г ' ).

Следовательно, me(0 = 2-e-',D4(t) = e-(l -e-).

Говорят, что случайный процесс (e>,t), t e V, обладает независимыми приращениями, если при любых г,, t2,..., tn e V, t, < t2 <... < tn, случайные величины 2 -,, 3 - 2,.-., „ - 4„_! независимы.

Случайные процессы с независимыми приращениями играют важную роль при моделировании эволюции финансовых показателей. Это объясняется тем, что финансовый рынок принято считать эффективным (efficient), если цены активов на этом рынке полностью отражают всю имеющуюся информацию об этих активах. На эффективном финансовом рынке изменения цен активов могут происходить только из-за появления новой информации (которая, во­ обще говоря, непредсказуема). Это означает, что изменения цены активов на таком рынке должны быть в некотором смысле независимы.

1.27. Важнейшие виды случайных процессов 1.27Л. Случайное блуждание Случайный процесс a (a, t), определенный на множестве V = {t0, t0 + h, t0 + 2h t0 +feh,...},h>0, 8 — 90 Энциклопедия финансового риск-менеджмента называется случайным блужданием (random walk), если [а,о (со) = х (х - некоторое число), K H = «l o+(MhH + ^ H, Ь = Х 2, 3,..., + № где случайные величины цх, ц2,..., цк,... независимы, Д с вероятностью 0,5, Mfe = i " (А > О).

A [-Д с вероятностью 0, Сечением случайного блуждания в момент времени t0 + kh является дис­ кретная случайная величина, закон распределения вероятностей которой име­ ет вид:

X x-feA х - (ft - 2)Д х - (ft - 2i)A x + (ft - 2|')Д x + (ft - 2)Д x + kA р (0,5)к Cf-2 • (0,5)" Cf* • (0,5)k C/-2i • (0,5)" с;

-г • (o,5)" (0,5)* fe!

C' = fe! = l-2-3-...-fe M(fe-l)!

Траектории случайного блуждания изображены на рис. 1.29 (точками вы­ делена одна из траекторий).

Рис. 1.29. Траектории случайного блуждания I. Количественный анализ Случайное блуждание а (со, t) обладает независимыми приращениями, причем та (t0 +feh)= x, Da (r0 +feh)=fe• Д2, k = 0, 1, 2, 3,...

1.27.2. Биномиальная модель Случайный процесс /}(<«, г), определенный на множестве V = {t0,t0 + h,t0 + 2h t0 + feh,...}, h > 0, называется биномиальной моделью, если fp,a (a>) - х (х — некоторое число), [Ры* И = A0+(*-,>h И •»(©). fe = 1- 2, где случайные величины eve2,...,ek,... независимы, [и с вероятностью р к = Ь Г (u>l, 0

[d с вероятностью 1 - р Сечением биномиальной модели в момент времени r0 + feh является дискрет­ ная случайная величина, закон распределения вероятностей которой имеет вид:

X xd* xudk' МсР- ш"' • d хи" р d-\pt-4l-p) О-Р)" с'ьР|-(1-р)ы с' р(1-Р)ы р* к Траектории биноминальной модели изображены на рис. 1.30.

Если случайный процесс P(co,t) является биномиальной моделью с пара­ метрами и, d, р, то т и (fo +feh)= x[up + d(l - p)]*, D, (t0 +feh)= x2 {[u2p + d2 (1 - p)] * - [up + d(l - p) f }, fe = 0, 1, 2, Приращения биномиальной модели, вообще говоря, не являются независи­ мыми. Однако случайный процесс In/}(и,г) имеет независимые приращения.

Случайное блуждание и биноминальная модель относятся к случай­ ным процессам с дискретным временем (discrete time process). Важнейшим примером случайного процесса с непрерывным временем (continuous time process) является винеровский случайный процесс.

8* 9» Энциклопедия финансового риск-менеджмента h 1,+h t,+2h t0+3h h+4h Рис. 1.30. Траектории биномиальной модели 1.27-3. Винеровский случайный процесс Случайный процесс w(co, r), определенный на промежутке [t0,+<*>), называет­ ся винеровским случайным процессом (Wiener process), если выполняются сле­ дующие условия:

1. ш,о (со) = х (х — некоторое число).

2. Приращения случайного процесса w(co,t) независимы.

3. Приращение ш, (со) - ws( s, распределено нормально с парамет­ рами 4. Все траектории случайного процесса w(co,t) непрерывны на проме­ жутке [t0,+°°).

Основные утверждения о винеровском случайней процессе 1. Винеровский случайный процесс может быть построен из случайных блужданий с помощью некоторого предельного перехода.

2. Сечение ш, (со) винеровского случайного процесса распределено нор­ мально с параметрами (х,,/г - t0 J, т. е.

гМО = Е(ш,И) = х, ЦДг) = 0 ( ш» ) = t-t0.

3. Если wt (со) и ш5 (й)) — два сечения винеровского случайного процес­ са, то Cov (ш„ш5) = min{t,s}-t0.

I. Количественный анализ 4. Плотность совместного распределения вероятностей системы сечений винеровского случайного процесса wti(co),wt2(a)) ш,п(ш), где г0 < г, < г2 <... < tn, имеет вид 4ht2 tn \ *1 ' X2' •"' Х"' ~ (Ч-xf, (>2-"l)2,, (*n-*n-l) 1 " ti-to '2-I е (2л f2 ^- Г ) ( Г - 0... ( 1„- и 0 Для моделирования траекторий винеровского случайного процесса ш(й>, г) на заданном промежутке времени [г0, Т] можно применить метод Монте-Карло.

Сам винеровский случайный процесс редко используется для моделиро­ вания финансовых показателей, так как имеет постоянное математическое ожидание. Однако на основе винеровского процесса строятся почти все слу­ чайные процессы, используемые в настоящее время для моделирования раз­ личных финансовых показателей.

1.28. Понятие о стохастических дифференциальных уравнениях Стохастическим дифференциальным уравнением (stochastic differential equation) называется уравнение вида дх - a(x,r)dr + a(x,r)dwl, (1-63) где а (х, т), а (х, т) — функции двух переменных хит, wx{co) = w(w,z) — винеровский случайный процесс.

Решением стохастического дифференциального уравнения (1.63) на про­ межутке [t, T] называется случайный процесс х (со, т), удовлетворяющий сле­ дующим условиям:

1) все траектории случайного процесса х(а>, т) непрерывны на проме­ жутке [t, Г);

2) для любого т е [t, T] при достаточно малом Лт хг+дг И - хг (й)) = а (хт (со), т) Дт + о (хг (со), т) (шг+Л1 (a)-wT (a)) (1.64) (объяснение точного смысла приближенного равенства (1.64) выходит за рамки книги).

Любое решение стохастического дифференциального уравнения (1.63), удовлетворяющее некоторому начальному условию xt(co) = x(x - число), (1.65) называют случайным процессом Ито (ho process).

94 Энциклопедия финансового риск-менеджмента В частности, геометрическим броуновским движением (geometric Brow nian motion) является случайный процесс, удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению:

dS = (aS)dr + (oS)dwT (а, о- — числа, а > 0) (1.66) и начальному условию St(at) = S. (1.67) Геометрическое броуновское движение, определяемое условиями (1.66) и (1.67), можно найти в явном виде:

а-— (т-t) S=Se^2> • ео(ш<-щ).

Свойства геометрического броуновского движения стМ (г-t), ms(T) = S.ea<->.

Eln а v В силу второго соотношения параметр а называют коэффициентом смещения (drift) геометрического броуновского движения.

Dlnf|-) =

2.

Это означает, что а является годовой волатильностью показателя, опи­ сываемого геометрическим броуновским движением (см. разд. 1.23).

1nfS m распределена нормально с 3. При любом т случайная величина а2> (t -t);

CTVT - t [. Тогда Sr имеет логнормаль параметрами \ \ а ное распределение.

Во многих случаях можно считать, что эволюция цены финансовых активов описывается геометрическим броуновским движением. Достаточно аккуратным такое моделирование оказывается, например, в случае обыкновенных акций.

Пример 1.70. Инвестор считает, что цена бездивидендной акции описывается геометрическим броуновским движением с коэффициентом смещения 0,1 и годовой волатильностью 40%. В данный момент времени цена акции равна 100 долл. Инвестора интересует цена этой акции через месяц.

В данном случае а = 0,1;

о- = 0,4;

r-t = —•;

S = 100 долл.

I. Количественный анализ 9S Следовательно, ожидаемое значение цены акции через месяц Sea(l"° = 100 • е ^ = 100,84 долл.

Если S, — цена акции через месяц, то In—- распределен нормально с f <х ^ a (т - t) = 0,0017;

ojz^i = 0,1155.

параметрами V Следовательно, с надежностью 95,5% 0,00117-2-0,1155 < 1п|-^- ]< 0,0017+2 0,1155.

Тогда 79,51 долл. < S: < 126,90 долл.

Кроме того, можно вычислить вероятность того, что через месяц цена акции, например, окажется ниже 90 долл.

Действительно, P{S, <90} = pjln^

Эволюцию цены Вг облигации с нулевым купоном можно описывать с помощью геометрического броуновского движения, лишь когда до погаше­ ния облигации остается достаточно много времени. Действительно, в момент погашения Т ее цена всегда равна номиналу, т. е. известна достоверно. Это означает, что Din № 0 и зависимость Din -~ | от времени должна иметь В W вид, изображенный на рис. 1.31.

Таким образом, при моделировании эволюции цены облигации с нулевым купоном необходимо учитывать эффект приближения к номиналу (pull to par), а геометрическое броуновское движение этот эффект не учитывает, так как Din — растет во времени линейно.

В общем случае найти решение стохастического дифференциального урав­ нения (1.63) в явном виде не удается. Поэтому для моделирования траекто­ рий случайного процесса Ито часто применяется метод Монте-Карло.

96 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Dlnll^ Рис. 1. t Т Чтобы смоделировать траекторию случайного процесса Ито на отрезке [t, Т ], этот отрезок разбивается на п равных частей (п должно быть боль­ шим), а затем разыгрывается случайная величина распределенная нормально T-t О, Тогда для последовательности случайных чисел с параметрами

(T-t х1 = х + а(х, г)- + о-(х, г)-!,;

T- t х2 = х1+а(х1,т1)- + a(xvxl)l T-t T-O хп = хп_1 + а(хп_1,тп_1) + o-(xn_1,v,)-4 k = t + b Указанным выше способом, можно построить сколь угодно много траек­ торий случайного процесса Ито.

Литература 1. Барбаумов В. Е., Гладких И. М, Чуйко А. С. Финансовые инвестиции.

Ч. 1. — М.: РЭА им. Г. В. Плеханова, 2000.

2. Доугерти К. Введение в эконометрику. — М.: ИНФРА-М, 2001.

3. Дуглас Л. Г. Анализ рисков операций с облигациями на рынке цен­ ных бумаг. — М.: Филинъ, 1998.

4. Количественные методы финансового анализа/Под ред. Брауна С. Дж., Крицмена М. П. — М.: Инфра-М, 1996.

5. Fabozzi F. J. Fixed income mathematics. 3rd ed. — N.Y.: McGraw-Hill, 1997 6. Fabozzi F. J. (ed.) Advances in fixed income valuation, modeling and risk management. — Pennsylvania: Associates New Hope, 1997.

II. Рынки производных финансовых инструментов в 2.1. Введение В настоящее время для идентификации и измерения рисков широко используется теория производных финансовых инст­ рументов. Изучение производных финансовых инструментов важно еще и потому, что сами эти инструменты являются ис­ точниками рисков как для различных финансовых институтов, так и для финансового рынка в целом. Кроме того, произ­ водные финансовые инструменты — это одно из важнейших средств хеджирования тех или иных рисков. Именно поэтому данная глава книги посвящена изучению производных финан­ совых инструментов.

В главе рассматриваются как простейшие производные финансовые инструменты — форвардные и фьючерсные кон­ тракты, свопы, так и более сложные — опционы различных видов и инструменты со встроенными опционами. Основное внимание уделяется методам оценки таких инструментов и основным направлениям их использования.

Важнейшими производными финансовыми инструмента­ ми являются классические европейские и американские оп­ ционы. Подробно рассматриваются методы оценки таких опционов в случае, когда стоимость исходных активов опре­ деляется геометрическим броуновским движением. В част­ ности, приводятся формулы Блэка-Шоулза для оценки евро­ пейских опционов и разбирается их использование. Приме­ нение классических опционов для хеджирования основных финансовых рисков также рассматривается в данной главе.

В заключительной части главы обосновьюается построе­ ние биномиальной модели процентной ставки и ее использо­ вание для оценки финансовых инструментов, производных от процентных ставок: кэпов, флоров, свопционов и облигаций со встроенными опционами. Кроме того, приводится обзор и других моделей временной структуры процентных ставок.

98 Энциклопедия финансового риск-менеджмента 2.2. Форвардные контракты и их основные характеристики В настоящее время на развитых финансовых рынках важную роль играют так называемые производные инструменты (derivatives). Простейшим из произ­ водных инструментов является форвардный контракт.

Форвардный контракт (forward) представляет собой соглашение купить или продать некоторые активы, называемые «базисными» (underlying), в определенный момент времени в будущем по заранее установленной цене.

Обычно форвардные контракты заключаются между финансовым институ­ том и одним из его корпоративных клиентов. Таким образом, в форвард­ ном контракте всегда присутствуют две стороны. При этом говорят, что сторона, согласившаяся в будущем купить активы, занимает длинную пози­ цию, а сторона, согласившаяся продать активы,— короткую.

Так как стороны форвардного контракта равноправны и подвержены од­ ному и тому же риску, то при заключении форвардного контракта никто ни­ кому ничего не платит. Это означает, что в момент заключения форвардного контракта стоимость его равна нулю.

Цену, по которой стороны согласились купить (и, соответственно, про­ дать) активы, называют ценой поставки активов. Цену поставки обозначим через К. Момент времени, когда происходит покупка и продажа активов, на­ зывают датой исполнения форвардного контракта или датой поставки. Мо­ мент исполнения форвардного контракта обозначим через Т.

В момент исполнения форвардного контракта доход (выигрыш) от той или иной позиции определяется в зависимости от цены поставки К и спот-цены активов Sr Доход от длинной позиции в момент Т равен ST- К, а от корот­ кой позиции K-ST (рис. 2.1 и 2.2).

В дальнейшем мы будем исходить из следующих предположений:

1. Рынки являются совершенными (efficient):

• отсутствуют транзакционные расходы и налоги;

• ни один инвестор, покупая или продавая активы, не может повли­ ять на цены;

• разрешены короткие продажи.

2. Участники рынка могут неограниченно кредитовать или занимать деньги под одну и ту же безрисковую ставку f (при непрерывном начислении).

3. По форвардным сделкам отсутствует кредитный риск.

4. Отсутствуют прибыльные арбитражные возможности, т. е. нельзя по­ лучить безрисковый доход за счет различия цен на активы.

При соблюдении этих условий все форвардные контракты на один и тот же вид активов с датой поставки Т будут в данный момент времени заклю­ чаться по одной и той же цене поставки.

Действительно, предположим, что в данный момент времени можно зак­ лючить форвардные контракты с ценами поставки К, и Ку где К1 > К2.

II. Рынки производных финансовых инструментов Доход Рис. 2.1. Длинная позиция по форвардному контракту Доход * ST Рис. 2.2. Короткая позиция по форвардному контракту Тогда можно занять короткую позицию по первому контракту и одновре­ менно занять длинную позицию по второму контракту, при этом начальные затраты будут нулевыми. В момент Т исполнения контрактов будет получен доход К, - К, на каждую единицу активов. Так как отсутствуют прибыльные арбитражные возможности, то этого быть не может. В силу этого закона од­ ной цены имеет смысл следующее определение:

Цена поставки, по которой в данный момент времени t заключаются фор­ вардные контракты на данный вид активов с датой исполнения Т, называется форвардной ценой активов на срок eT-t лет.

Итак, в начальный момент времени стоимость форвардного контракта равна нулю, так как в этот момент времени форвардная цена активов совпа­ дает с ценой поставки этих активов. Однако через некоторое время форвард­ ная цена активов может измениться, а цена поставки зафиксирована в кон IPO Энциклопедия финансового риск-менеджмента тракте. Значит, после заключения форвардного контракта та или иная пози­ ция по этому контракту может приобрести положительную или отрицатель­ ную стоимость. Эта величина показывает, что можно было бы получить, про­ дав форвардный контракт, если бы существовал вторичный рынок для таких контрактов.

Если бы существовал вторичный рынок для форвардных контрактов, то стоимости длинной и короткой позиций в форвардном контракте определя­ лись бы следующими равенствами:

fa,=(F-K).e-f(T-", (2.1) fmp = (K-F)-e~^\ (22) где t — текущий момент времени (после заключения форвардного контракта);

Т — дата поставки;

К — цена поставки;

F — форвардная цена на момент t.

Докажем, например, равенство (2.1). Если fa, < (F - К) • е-^-'К (2.3) то займем сумму f8j] под безрисковую ставку f на срок Т -1 лет, приобретем длинную позицию по форвардному контракту с ценой поставки К и займем короткую позицию по контракту с ценой поставки F. В момент времени Т будет получен безрисковый доход:

F - К - fa/"-<> = е ™ [(F - К) • е ™ - f j > 0.

При отсутствии прибыльных арбитражных возможностей этого быть не может. Предположим теперь, что fa, > (F - К) • е ^ \ (2.4) В этом случае произведем короткую продажу длинной позиции по фор­ вардному контракту с ценой поставки К, полученную денежную сумму fdji ин­ вестируем под ставку г на Т -1 лет и займем длинную позицию по форвард­ ному контракту с ценой поставки F. В момент времени Т доход составит:

fd/^ -F + K = e*--> [L - (F - К) • е-^""] > 0.

Так как этот доход, очевидно, является безрисковым, то и неравенство (2.4) выполняться не может. Значит, fan=(F-K)-e^T-'K II, Рынки производных финансовых инструментов 1QI 2.3. Форвардная цена финансовых активов Форвардная цена активов зависит от вида этих активов и от того, приносят ли эти активы доходы. В данном разделе мы рассмотрим, как оцениваются форвардные цены финансовых активов, т. е. таких, которые рассматриваются участниками рынка только как средство инвестирования, в отличие от това­ ров, которые участники рынка рассматривают как средство потребления.

В зависимости от того, приносят ли данные финансовые активы доходы, мы будем рассматривать три различных случая. В каждом из этих случаев предполагается, что соблюдаются предположения о рынке 1-4, изложенные в предыдущем разделе.

2.3.1. Форвардная цена активов, не приносящих доходов Такими активами, например, являются облигации с нулевыми купонами и ак­ ции, по которым не выплачиваются дивиденды.

Покажем, что форвардная цена F таких активов определяется равенством:

F = Sef{T'\ (2.5) где S — спот-цена активов в текущий момент времени t;

f — безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении по инвестициям на Т -1 лет;

Т — дата поставки активов.

Если F > Se^7"1', то возьмем кредит в размере S под безрисковую про­ центную ставку f на Т- t лет, купим единицу базисных активов и одновре­ менно займем короткую позицию по форвардному контракту на эти активы.

В момент поставки активов доход инвестора составит F - Sef(T,) > 0. (2.6) При рассматриваемой стратегии не требуется производить начальных зат­ рат, и эта стратегия не содержит риска.

По условию на рынке отсутствуют прибыльные арбитражные возможнос­ ти. Тогда F < Se4T-l\ Если же F < Ser{T~'\ то можно произвести короткую продажу базисных активов, полученную денежную сумму инвестировать под безрисковую ставку f на Т -1 лет и занять длинную позицию по форвардному контракту на эти активы.

Тогда в момент поставки активов будет получен безрисковый доход Sef (Т"'> - F > 0, что противоречит нашим предложениям о рынке. Следовательно:

(2.7) F = Sef(T-'>.

lOZ Энциклопедия финансового риск-менеджмента Стоимости длинной и короткой позиций по форвардному контракту на активы, не приносящие доходов, определяются равенствами:

fan=(F~K)e-f{T-t) = S-Ke-f(T-'\ fmp = (K-F)-e-f^ = Kef^-S, где S — спот-цена активов в текущий момент времени t;

К — цена поставки активов;

Т — дата поставки активов;

f — безрисковая процентная ставка по инвестициям на Т -1 лет.

Пример 2.1. Найдем форвардную цену акции, не приносящей дивидендов, с поставкой через 3 месяца, если текущая цена акции 40 долл., а безрисковая процентная ставка на 3 месяца равна 3%.

В данном случае S = 40, f = 0,03, Т - Г = — = 0,25 Тогда F = 40е0030'25 =40,30.

Если на рынке форвардная цена акции оказалась равной 42 долл., то воз­ можна следующая прибыльная арбитражная стратегия: занять 40 долл. на 3 ме­ сяца под безрисковую ставку 3%, купить на спот-рынке акцию и занять ко­ роткую позицию по форвардному контракту. В момент поставки акции будет получен доход:

42 - 40е003°'25 = 1,70 долл.

2.3.2. Форвардная цена активов, приносящих известные доходы Такими активами могут служить купонные облигации или акции с известны­ ми заранее дивидендами.

Форвардная цена F активов с известными доходами определяется ра­ венством:

F = (S-I)- ef{T~'\ где S — спот-цена активов в текущий момент времени t;

Г — приведенное значение доходов, поступающих от активов за время от t до Т;

Т — дата поставки активов.

В самом деле, если F > (S - I)- ег(Т~'\ то возможна следующая прибыль­ ная арбитражная стратегия: занять сумму S на Т - t лет под безрисковую II. Рынки производных финансовых инструментов ставку г, купить на спот-рынке активы и занять короткую позицию по фор­ вардному контракту. Тогда в момент поставки Т будет получен безрисковый доход, так как F + 1вг^ - Se^-" = F-(S-I)- е?(Т-'> > 0.

Так как по условию отсутствуют прибыльные арбитражные стратегии, то F<(S-1)- eftJ~l\ Если же F < (S - I) • ег(Т~'\ то прибыльная арбитражная стратегия может быть таковой: производится короткая продажа базисных активов на спот-рынке, полученные средства инвестируются на Т - г лет под безрисковую ставку г и занимается длинная позиция по форвардному контракту на данные активы.

Тогда 5. ef(Tt) -F-I- ef(T-'> = (S - /) • ef{T~l) - F > 0.

Следовательно, неравенство F < (S - I) • er(T_t) также выполняться не мо­ жет, и остается единственная возможность:

F = (S-I)- eHT-'].

Стоимости длинной и короткой позиций по форвардному контракту на активы с известными доходами можно найти следующим образом:

f a ^ S- I - K- e - ™.

Lp = K-e^T-t>-S + J, где К — цена поставки активов;

S — спот-цена активов в текущий момент времени Г;

1 — приведенное значение доходов за время существования форвардного контракта;

г — безрисковая процентная ставка на срок Т - г лет при непрерывном начислении процентов;

Т — дата поставки активов.

Пример 2.2. Найдем форвардную цену акции с поставкой через 8 месяцев, по которой дивиденды в размере 5 долл. ожидаются через 2 и 5 месяцев, если текущая цена акции равна 100 долл., а безрисковые процентные ставки на 2, 5 и 8 месяцев соответственно равны 5, 5,5 и 6% (при непрерывном на­ числении процентов).

В данном случае „ -0,05— -0,055 — 12 S = 100 долл.;

/ = 5 е + 5 е = 9,85Долл.

1Q4 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Тогда форвардная цена активов определяется равенством:

ч 0. 06 F = (100 - 9,85) в = 93,83 долл.

2.33. Форвардная цена активов, обладающих постоянной дивидендной доходностью Предположим, что доходы от активов выплачиваются в виде самих этих активов, причем так, что за время т единица активов с учетом накопленных доходов пре­ вращается в е*г единиц активов. В этом случае говорят, что активы обладают постоянной дивидендной доходностью q при непрерывном начислении.

Иностранную валюту можно рассматривать как актив с постоянной диви­ дендной доходностью. В самом деле, единицу иностранной валюты можно инвестировать под безрисковую ставку ff в той стране, где действует эта ва­ люта. Тогда через т лет единица иностранной валюты превратится в вг,Т еди­ ниц этой валюты. Таким образом, иностранная валюта обладает постоянной дивидендной доходностью, и эта дивидендная доходность совпадает с безрис­ ковой процентной ставкой ff.

Во многих случаях фондовые индексы также можно рассматривать как активы с постоянной дивидендной доходностью.

Форвардная цена F активов с постоянной дивидендной доходностью q при непрерывном начислении может быть найдена по формуле:

F = йР^Л (2.8) где S — спот-цена активов в текущий момент времени t;

Т — дата поставки активов;

f — безрисковая процентная ставка на срок в Т -1 лет при непрерывном начислении.

В этом случае для стоимости длинной и короткой позиций по форвард­ ному контракту имеем равенства:

fa, = S • е"^-" - К • е-*7-", fKop = K.e-f^-S-e^-'\ Пример 2.3. Найдем 8-месячную форвардную цену английского фунта стер­ лингов, если текущий обменный курс равен 1,8 долл. за фунт, а безрисковые процентные ставки в США и в Англии при непрерывном начислении процен­ тов равны 6 и 4% соответственно.

В данном случае S = 1,8;

Г - t = —;

f = 0,06;

q = ff = 0,04.

II. Рынки производных финансовых инструментов 1Q Тогда форвардный обменный курс через 8 месяцев составит „ (0,06-0,04)— F = 1,8 • е = 1,8242 долл.

Если же рыночный форвардный обменный курс окажется равным 1,9 долл., то возможна следующая прибыльная арбитражная стратегия: взять -0,04-? и кредит в размере 1,8 • е = 1,7526 долл. и купить на валютном спот-рын -0,04— и ке в = 0,9737 фунта, инвестировать их в Англии под безрисковую про­ центную ставку 4% и занять короткую позицию по форвардному контракту на один фунт стерлингов.

Тогда через 8 месяцев будет получен положительный доход в размере:

-0,04— 0,06— (0,06-0,04)— и п 1,9 - 1,8 • е е = 1,9 - 1,8е = 1,9 - 1,8242 = 0,0758 долл.

2.4. Форвардная цена товаров Пусть F— форвардная цена некоторого товара в момент времени t с датой поставки Т.

Покажем, что при отсутствии прибыльных арбитражных возможностей справедливо неравенство:

F<(S + u)- e?(T-", (2.9) где S — спот-цена единицы активов в момент времени t, и — приведенные значения затрат на хранение единицы товара в течение Г - t лет, г — безрисковая процентная ставка на период от t до Г при непрерывном начислении процентов.

В самом деле, если F>(S + u)- ef{T-'\ то инвестор может поступить следующим образом: занять сумму S + и под безрисковую ставку f на Т - t лет, купить единицу товара, оплатить затраты на его хранение и занять короткую позицию по форвардному контракту. Тог­ да в момент Т будет получен доход:

F-{S + u)- ef(T-° > 0.

Так как данная стратегия не требует никаких начальных затрат и не со­ держит риска, то это прибыльная арбитражная стратегия. Следовательно:

F < (S + и) • е'(Т ".

9 — 106 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Выясним теперь, существует ли прибыльная арбитражная стратегия, если F <(S + u)- ef(T4).

Для получения безрискового дохода необходимо произвести короткую продажу единицы товара. Однако, если этот товар большинством инвесторов используется для потребления или в производстве, сделать это без дополни­ тельных затрат невозможно.

Если же товар в основном используется как средство инвестирования, то возможна следующая стратегия: произвести короткую продажу единицы то­ вара, экономя при этом затраты на хранение товара, полученные средства инвестировать под безрисковую процентную ставку f на T- t лет и занять длинную позицию по форвардному контракту.

В момент Т будет получен доход (S + u)- е^-1» - F > 0.

Таким образом, если товар используется в основном как средство инвес­ тирования, а не потребления, то F = (S + u)- ег{Т-'\ Отметим, что к товарам, являющимся средством инвестирования, отно­ сятся, например, драгоценные металлы: золото, серебро, платина. Если же товар в основном используется как средство потребления, то F <(S + u)- ef(T-°.

В этом случае существует такое положительное число й, что F • ей(Т-[) = (S + u)- ef(T-'\ которое можно интерпретировать как меру физической полезности данного товара.

Если мера физической полезности товара равна а, то форвардная цена этого товара может быть найдена следующим образом:

F = (S + u)- е(м)(Т-[), где S — спот-цена товара в текущий момент времени t;

и — приведенное значение затрат на хранение товара;

Г — дата поставки товара;

f — безрисковая процентная ставка на Т -1 лет.

Пример 2.4- Найдем 10-месячную форвардную цену унции серебра, если те­ кущая цена унции серебра равна 9 долл., затраты на хранение (охрану) со­ ставляют 0,24 долл. и выплачиваются поквартально вперед, а безрисковая процентная ставка для всех сроков при непрерывном начислении процентов составляет 10%.

II. Рынки производных финансовых инструментов Ю В данном случае 3 6 -0,10— -0,10— -0,10 — 12 12 S = 9, и = 0,24 + 0,24 • е + 0,24 • е + 0,24 • е = 0,93 долл.

Тогда F = (9 + 0,93) • е0'1" = 10,79 долл.

Пример 2.5. Оценим 9-месячную меру физической полезности одного барре­ ля сырой нефти, если текущая цена барреля нефти равна 20,00 долл., затра­ ты на хранение барреля нефти равны 0,5 долл. и оплачиваются в конце сро­ ка хранения, 9-месячная форвардная цена барреля нефти составляет 20,20 долл., а безрисковая процентная ставка на 9 месяцев при непрерывном начислении равна 8%.

В данном случае S = 20,00;

F = 20,20;

и = 0,5 • e^'™72 = 0,47 ДОЛЛ.

Значит, для определения физической полезности барреля нефти имеем уравнение:

9 Я '«•—, „ 0,08 — 20,20 • е 12 = (20,00 + 0,47) • е.

Откуда найдем, что а = 0,0977 Таким образом, 9-месячная мера физической полезности барреля сырой нефти составляет 9,77%.

2.5. Фьючерсные контракты Форвардные контракты, торговля которыми производится на специальных бир­ жах, называют фьючерсными контрактами (future contract), или просто фью­ черсами (futures). Естественно, что для организации торговли форвардными контактами по бирже эти контракты должны быть стандартизированы по сле­ дующим параметрам:

• объему и качеству поставляемых активов;

• времени, месту и условиям поставки активов.

Еще одним важным отличием фьючерсных контрактов от форвардных является то, что биржа гарантирует исполнение всех фьючерсов, покупаемых или продаваемых на бирже. Для этого каждый форвардный контракт разби­ вается на два контракта:

• контракт между биржей и стороной, занимающей длинную позицию, • контракт между биржей и стороной, занимающей короткую по­ зицию.

В каждый момент времени длинная позиция биржи по любому форвардно­ му контракту уравновешивается соответствующей короткой позицией. Таким об­ разом, чистая фьючерсная позиция биржи в каждый момент времени равна нулю.

9* IPS Энциклопедия финансового риск-менеджмента При такой организации торговли биржа берет на себя весь риск дефол­ та, так как, если одна из сторон не сможет выполнить свои обязательства по фьючерсному контракту, биржа все равно обязана исполнить другой контракт.

Для уменьшения риска дефолта биржа требует, чтобы при открытии той или иной позиции вносилось специальное обеспечение.

При каждой фьючерсной бирже существует клиринговая палата. Все уча­ стники фьючерсного рынка должны иметь специальные счета в фирмах, яв­ ляющихся членами клиринговой палаты. В момент открытия фьючерсной по­ зиции на этот счет вносится специальное обеспечение, называемое началь­ ной маржой (initial margin). Начальная маржа вносится либо наличными день­ гами, либо высоколиквидными ценными бумагами, либо обеспечивается бан­ ковской гарантией. При этом начальная маржа составляет лишь малую долю от объема всего фьючерсного контракта, а счет маржи ежедневно корректи­ руется. Эта процедура носит название переоценки фьючерсной позиции по рыночной стоимости (mark to marker).

Для описания процедуры приведения фьючерсной позиции по рыночной стоимости предположим, что фьючерсная цена закрытия оказалась равной F2, в то время как фьючерсная цена закрытия предыдущего дня была равна Fr Если F2< Fv то счет маржи стороны, занимающей длинную позицию, де­ бетуется на величину A(F2- Ft), где А— объем контракта, и кредитуется счет маржи стороны, занимающей короткую позицию. Если же F2> Fv то дебету­ ется счет маржи стороны с короткой позицией, а кредитуется счет маржи стороны с длинной позицией.

Если в конце дня сальдо счета маржи превысит размер начальной мар­ жи, то инвестор имеет право снять излишек с этого счета и использовать его по своему усмотрению. Если же это сальдо окажется меньше размера начальной маржи, то возможны следующие два случая:

• сальдо счета маржи больше некоторой определенной величины, на­ зываемой маржой поддержки;

• сальдо счета маржи меньше маржи поддержки.

В первом случае от инвестора не требуют дополнительного обеспече­ ния. А во втором инвестор получает требование о внесении дополнитель­ ного обеспечения для того, чтобы сальдо счета маржи сравнялось с началь­ ной маржой. Это дополнительное обеспечение называют вариационной мар­ жой (uariation margin). Обычно маржа поддержки составляет от 75 до 80% начальной маржи.

Важнейшей особенностью организации фьючерсной торговли является то, что любая открытая позиция может быть закрыта в любой момент времени.

Для этого достаточно занять противоположную позицию. При этом доход (убы­ ток) стороны, занимающей длинную позицию, если по счету маржи не на­ числяются проценты, составит А(^з-^агк).

где А — объем контракта;

FomK — фьючерсная цена при открытии позиции;

Рз — фьючерсная цена при закрытии позиции.

II. Рынки производных финансовых инструментов Аналогично доход (убыток) стороны, занимающей короткую позицию, бу­ дет равен Арж-Ъ) Предположим, что в понедельник 1 марта 1999 г. открыта длинная пози­ ция по казначейским облигациям США номиналом 100 000 долл. при фью­ черсной цене 98 —. Это означает, что при покупке казначейской облигации з~ номиналом 100 000 долл. инвестор должен будет уплатить сумму, равную 98 — 1000 = 98 156,25 долл.

Начальная маржа для данного контракта составляет 2500 долл., а маржа поддержки установлена в 2000 долл. Данная позиция сохраняется до пятни­ цы 5 марта, а затем закрывается при цене открытия биржи в понедельник 8 марта. Будем считать, что по счету маржи проценты не начисляются и из­ лишки не снимаются. В табл. 2.1 показано, как происходила переоценка фью­ черсной позиции по рыночной стоимости.

Таким образом, убыток инвестора составляет 1062,50 долл.

С другой стороны, доход инвестора можно вычислить следующим образом:

97- 98- 1000 = -1062,50.

32 Таблица 2. ПЕРЕОЦЕНКА ФЬЮЧЕРСНОЙ ПОЗИЦИИ ПО РЫНОЧНОЙ СТОИМОСТИ Приведение к Сальдо счета Фьючерсная цена Прочие Дата торгов рыночному маржи закрытия поступления состоянию 2593, 1.03 +93, * 2500, 96^ 2.03 -1562,50 1468, 2812, з.оз +312, 3406, 4.03 +593, 2750, 5.03 -656, * 8.03 + 156,25 -2.906, ч (цена открытия) 1062, 110 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Отметим еще несколько особенностей организации фьючерсной торгов­ ли на биржах.

1. Биржа устанавливает два вида ограничений:

• на размер чистой позиции инвестора по тем или иным активам. Цель СОСТОИТ в снижении влияния одного инвестора на фьючерсный рынок;

• на величину дневного изменения фьючерсной цены. Если фьючерсная цена в течение одного дня изменяется на величину, превышающую установленный предел, торги останавливаются на определенное вре­ мя. Цель установления таких пределов — ограничить размеры тре­ бований по марже.

2. В отличие от форвардных контрактов большая часть фьючерсных по­ зиций закрывается до момента исполнения контрактов. Лишь очень небольшая доля контрактов заканчивается поставкой актива. Более того, много фьючерсных контрактов вообще не предполагают поставку активов, а по определенной схеме происходят расчеты наличными.

Во многих случаях биржа требует специального уведомления, если ин­ вестор будет настаивать на поставке активов.

2.6. Фьючерсные и форвардные цены активов Биржевой фьючерсный рынок существует для большего числа активов. С дру­ гой стороны, банки и другие финансовые институты предлагают различные виды форвардных сделок, т. е. существует еще и внебиржевой (over the counter — OTQ рынок форвардных контрактов. Таким образом, для одного и того же вида активов могут одновременно существовать две цены: форвард­ ная и фьючерсная.

Однако если рынки удовлетворяют следующим условиям:

• отсутствуют транзакционные расходы и налоги;

• на форвардном и фьючерсном рынках инвесторы могут занимать длинные и короткие позиции на любые количества активов (хотя на биржевых рынках и существуют ограничения на чистые фьючерсные позиции);

• все инвесторы обладают достаточным капиталом (или кредитом), чтобы выполнить в случае необходимости все требования по марже;

• отсутствуют прибыльные арбитражные возможности;

• существует безрисковая процентная ставка, причем она одинакова для всех сроков и не меняется во времени, то форвардная и фьючерсная цены на один и тот же вид активов с одинако­ выми датами поставки должны совпадать.

Именно вследствие этого утверждения во многих случаях при исследова­ нии фьючерсных цен активов предполагается, что эти цены совпадают с со­ ответствующими форвардными ценами.

II. Рынки производных финансовых инструментов i l l Кроме того, при соблюдении вышеперечисленных условий имеет место следующее равенство:

Р = Я(5т)-е(М)(Т"°, (2.10) где F — фьючерсная цена активов на момент времени t, Т — дата поставки активов, E(ST) — ожидаемая спот-цена активов на дату поставки активов, k — ожидаемая доходность рассматриваемых активов за период от t до Т.

Равенство (2.10) показывает, что фьючерсные цены активов в ряде случа­ ев могут служить оценкой ожидаемой в будущем спот-цены этих активов.

В частности, если активы положительно (отрицательно) коррелируют с рын­ ком, то фьючерсная цена активов будет меньше (больше) ожидаемой спот цены этих активов.

2.7. Спекулятивные стратегии на фьючерсных рынках Всех участников фьючерсных рынков можно разделить на три категории: спе­ кулянты, арбитражеры и хеджеры.

Спекулянтами (speculator) называют участников рынка, основная цель ко­ торых сводится к получению прибыли на основе прогнозирования будущих цен на рынке.

Арбитражерами (arbitrageur) считают тех участников рынка, которые по­ лучают безрисковую прибыль за счет временных рассогласований цен на раз­ личные виды активов.

Наконец, к хеджерам (hedger) относят тех, кто занимает определенные позиции по базисным активам и стремится застраховать свои позиции от не­ благоприятных изменений цен на эти активы.

Обычно на биржах ведется торговля теми фьючерсными контрактами, к которым проявляют интерес все три категории участников рынка.

Рассмотрим вначале простейшие спекулятивные стратегии на фьючерс­ ных рынках.

Предположим, что инвестор убежден в том, что между моментами вре­ мени tt и tг фьючерсная цена некоторых активов будет расти. В этом случае он в момент времени t, занимает длинную позицию по фьючерсному контракту на эти активы. Закрыв свою позицию в момент времени t2, инвестор получит прибыль (убыток) в размере:

A[F(t2)-F(t,)], где А — объем одного фьючерсного контракта с датой поставки Т, Т > t2;

F(tj), F(t2) — фьючерсные цены на базисные активы в моменты времени t, и t2 соответственно.

112 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Таким образом, если оправдается прогноз инвестора о росте фьючерс­ ной цены активов, то он получит прибыль. Однако если его прогноз окажет­ ся неверным, то он может понести и большие убытки.

С другой стороны, если инвестор считает, что между моментами времени tj и t2 фьючерсная цена будет падать, то он может в момент времени t, занять короткую позицию по соответствующему фьючерсному контракту. Закрыв эту позицию в момент времени t2, инвестор получит прибыль (убыток) в размере:

A[F(t,)-F(t2)].

Следовательно, если оправдается прогноз инвестора о падении фьючер­ сной цены, то он получит прибыль, в противном случае инвестор может по­ нести большие убытки.

В целом простейшие спекулятивные стратегии на фьючерсных рынках ха­ рактеризуются высоким уровнем риска, но при благоприятных обстоятельствах могут обеспечить большую прибыль. По существу, эти стратегии эквивалентны аналогичным стратегиям на спот-рынках активов. Однако транзакционные рас­ ходы на фьючерсных рынках значительно ниже таких расходов на спот-рын­ ках. Поэтому спекулятивные стратегии на фьючерсных рынках более привле­ кательны для инвесторов, чем аналогичные стратегии на спот-рынках.

Вторая группа спекулятивных стратегий на фьючерсных рынках опирает­ ся на прогноз поведения спреда (разницы) между фьючерсными ценами од­ них и тех же активов с различными датами поставок.

Предположим, что в данный момент времени t фьючерсные цены неко­ торых активов с датами поставок Т1 и Т2, Т, < Т2, соответственно равны МО ИМ0 Если инвестор считает, что между моментами времени t, и г2 межвре­ менной спред будет возрастать, то он может в момент времени t, занять длин­ ную позицию по долгосрочному фьючерсному контракту и короткую— по краткосрочному контракту. Закрыв свои позиции в момент времени с2, инвес­ тор получит прибыль (убыток) в размере:

A[FT2(t2)-FT2(tl)] A[FTi(tl)-FTi(t2)] = + = A[(Fr2(t2)-Fri(r2))-(FT2(t1)-F7,(t1))].

Если же инвестор убежден, что между моментами времени t, и t2 меж­ временной спред будет уменьшаться, то в момент времени t: он может за­ нять короткую позицию по долгосрочному контракту и длинную — по крат­ косрочному фьючерсному контракту. Закрыв эти позиции в момент времени г2, инвестор получит прибыль (убыток) в размере:

A[FTi(t1)-Fh(t2)] + A[FTi{t2)-FTi{t1)] = = A[(FT2(t1)-FTi(t1))-(FT2(t2)-FT,(t2))].

В обоих случаях, если оправдается прогноз инвестора о поведении меж­ временного спреда фьючерсных цен, он получит прибыль. Если же прогноз инвестора окажется неверным, то он понесет убытки.

II. Рынки производных финансовых инструментов ИЗ В целом стратегии, опирающиеся на межвременные спреды фьючерсных цен, являются менее рискованными, чем простейшие спекулятивные страте­ гии, и в то же время менее доходными.

Спекулятивные стратегии могут строиться и на основе прогнозирования отношения фьючерсных цен на различные виды активов.

Пусть F(t) и Ф(0 — фьючерсные цены в момент времени t на активы двух разных видов (и, вообще говоря, с разными датами поставок).

Если инвестор считает, что за время от момента t, до момента г2 отно F (0 * шение фьючерсных цен будет расти, то он может в момент времени t, занять длинную позицию по фьючерсным контрактам на активы первого вида и короткую позицию по фьючерсным контрактам на активы второго вида. При этом количества фьючерсных контрактов Nt и N2 инвестор должен выбрать так, чтобы соблюдалось следующее равенство:

NAF^-N^M.

Закрыв свои позиции в момент времени г2, инвестор получит прибыль (убы­ ток) в размере:

NA [F(t2) - F(tl)] + NA [Ф (Г,) - Ф (У] = F(t2) NA = N1AF(t2)-N2A2*(t2) = NA#(t2) 0(t2) NA >( 0 F(t.) NA*(t2) 0(t2) 0(1,) Аналогичным образом инвестор может применить спекулятивную страте­ гию, если он прогнозирует убывание отношения фьючерсных цен активов.

В обоих случаях, если оправдается прогноз инвестора, он получит соответ­ ствующую прибыль.

Пример 2.6. Текущие фьючерсные цены американского доллара и немецкой марки 30 и 16 руб. соответственно. Объемы имеющихся на рынке фьючерс­ ных контрактов: 1000 долл. и 2000 марок. Инвестор, считающий, что отно­ шение фьючерсных цен доллара и марки будет снижаться, занимает корот­ кую позицию по 32 фьючерсам на доллары и длинную позицию по 30 фью­ черсам на марки (в этом случае 32 • 1000 -30 = 30 • 2000 16).

Если через месяц фьючерсные цены доллара и марки окажутся равны­ ми 29 и 15,50 руб. соответственно, то инвестор должен получить прибыль, так как !Mi(I,875>1,87I).

Действительно, прибыль инвестора составит:

32 • 1000 • (30 - 29) + 30 • 2000 • (15,5 - 16) = 2000 руб.

114 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Если же через месяц фьючерсные цены доллара и марки будут равны: и 16,4 руб., то инвестор должен понести убытки, так как ^ <-^-(1,875 < 1,890).

;

16 16,4v Действительно, 32 • 1000 (30-31) + 30 • 2000 • (16,4-16,0) = -8,000 руб.

2.8. Фьючерсы на казначейские векселя.

Процентный арбитраж Рассмотрим Т-летний фьючерсный контракт на казначейский вексель номи­ налом А, погашаемый через тлет после момента его поставки. Фьючерсную цену казначейского векселя в данный (нулевой) момент времени обозначим через FT (т).

Если данный фьючерсный контракт можно рассматривать как форвард­ ный, то имеет место следующее равенство:

FT(T) = Ae-f(T'T+r)r, (2.11).,. г(Т + т)-(Т + т)-г(Т)-Т к где f (T, T + т) = -i '—± >- —1—;

т ?(Т), г (Г + т) — безрисковые процентные ставки по инвестициям на Т и Т + т лет соответственно (при непрерывном начислении процентов).

В самом деле, рассмотрим следующую стратегию:

1. Взять кредит в размере FT (т) • е Г<Г)Т на срок Т + тлет под безриско­ вую ставку г(Т + т).

2. Занять длинную позицию по фьючерсному контракту на казначейс­ кий вексель.

3. Инвестировать имеющуюся денежную сумму FT (т) • е"г(Т)Т на Т лет под безрисковую ставку г(Т).

Тогда в момент Т будет получена сумма FT (т) • е'г(Г)Т • ег(Т)Г = FT (т), за счет которой будет приобретен казначейский вексель согласно фьючерсному контракту. На момент времени Т + т лет доход инвестора от данной страте­ гии составит A-Fr (т) • e"f(T)T • ef(T+r)(r+r) = A - FT (т) • ef(T'T+r)r.

II. Рынки производных финансовых инструментов Так как стратегия, очевидно, является безрисковой, то при отсутствии при­ быльных арбитражных возможностей доход от стратегии должен быть нуле­ вым, т. е.

A-FT(T)-ef(T'r+l)r = и FT(T) = A-e-f(r'T+l)T.

Пример 2.7. Определим фьючерсную цену 90-дневного казначейского вексе­ ля номиналом 1 млн. долл., когда до момента передачи остается 140 дней, а безрисковые процентные ставки (при непрерывном начислении) на 140 и 230 дней равны 8 и 8,25% соответственно.

В данном случае Т = ^ = 0,383562;

г = - ^ = 0,246575;

Г + т = ^ = 0,630137;

365 365 0,0825 0,630137-0.08.0, = = 0, Тогда фьючерсная цена казначейского векселя, определяемая равенством (2.11), составит FT (т) = 1000 000 • e-°.<*«89°,246s75 = 9 у 8 9 2 4 д о л л Предположим теперь, что рыночная фьючерсная цена казначейского век­ селя номиналом А, погашаемого через тлет после его передачи, равна FTpw(r) и F^d) * FT(r).

Тогда F/"" (т) * А • ef(T>T-f(T+r«T+r), где г(Т), г(Т + т)—безрисковые процентные ставки при непрерывном начислении на сроки вТиТ+т лет соответственно.

Число R(T), удовлетворяющее равенству FT(J) = A • е*Т)Т-~«т+^\ (2.12) называется неявной (предполагаемой) ставкой репо (implied repo rate).

Замечание. Корпоративные клиенты финансовых институтов, владеющие ры­ ночными ценными бумагами, могут получать краткосрочные кредиты под льгот­ ную процентную ставку, называемую ставкой репо (reporate). Для этого кор­ порация продает ценные бумаги финансовому институту и одновременно зак­ лючает соглашение с ним о выкупе этих ценных бумаг. Так как такой кредит имеет хорошее обеспечение, то ставка по нему может быть снижена. Неяв 116 Энциклопедия финансового риск-менеджмента ная же ставка репо — это, в сущности, такая ставка, под которую можно брать краткосрочный кредит с помощью фьючерсного рынка.

Неявная ставка репо позволяет выявить наличие прибыльных арбитраж­ ных возможностей и выбрать соответствующую стратегию.

Действительно, если R(T) Ф Г(Т), где ?{Т) — безрисковая процентная став­ ка на Т лет, a Я (Т) — неявная ставка репо, то на рынке должна быть при­ быльная арбитражная возможность.

Если Я (Т) < f (Т), то прибыльной будет следующая арбитражная стратегия:

1. Занять сумму Р/ын(т)е^(Г)Т на Т + тлет под ставку г(Т + т).

2. Инвестировать полученную сумму на Т лет под ставку г(Т).

3. Занять длинную позицию по фьючерсному контракту на казначейс­ кий вексель.

Если же Я (Т) > f (Т), то прибыльной является арбитражная стратегия:

1. Занять сумму Ае~г(Т+т)<т+т) на Т лет под безрисковую процентную став­ ку г(Г).

2. Купить казначейский вексель номиналом А, погашаемый через Т + т лет.

3- Занять короткую позицию по фьючерсному контракту на казначейс­ кий вексель, погашаемый через тлет после передачи.

Пример 2.8. Рыночная фьючерсная цена 90-дневного казначейского векселя номиналом 1 млн. долл. с передачей через 56 дней равна 969 500 долл. Оп­ ределим неявную ставку репо по кредитам на 56 дней, если безрисковая про­ центная ставка на 146 дней равна 12,27%.

В данном случае FfXr) = 969 500 долл.;

f(J + т) = 0,1227;

Т + т = ^ = 0,4;

Т = -^- = 0,153425.

365 Неявная ставка репо является решением уравнения 969 500 = 1 000 оооей(Г)0153425-0122704, значит, Я(Г) = 0,1180, т.е. 11,80%.

Предположим, что безрисковая процентная ставка на 56 дней равна 11%.

Тогда можно поступить следующим образом: занять 1 000 000 • е~01227 °4 = =952 105 долл. на 56 дней под ставку 11% и купить казначейский вексель номиналом 1 млн. долл., погашаемый через 146 дней (его цена в точности равна 952 105 долл.), одновременно заняв короткую позицию по 56-дневному П. Рынки производных финансовых инструментов ЖЖ фьючерсному контракту на данный казначейский вексель. Через 56 дней бу­ дет получен арбитражный доход в размере:

од 1-15.

969 500 долл. - 952 105 долл. • е 365 = 1190,24 долл.

2.9. Фьючерсные контракты на краткосрочные процентные ставки Рассмотрим фьючерсный контракт на 3-месячную ставку LIBOR, который явля­ ется одним из наиболее популярных фьючерсных контрактов на процентные став­ ки. Такой контракт можно интерпретировать следующим образом: сторона, за­ нимающая длинную позицию, обязана в определенный будущий момент време­ ни Т (дату поставки) разместить 1 млн. долл. на евродолларовом депозите под установленную заранее 3-месячную ставку f (играющую роль цены поставки).

Рассмотренная выше ситуация эквивалентна тому, что сторона, занимаю­ щая длинную позицию, размещает в момент времени Т сумму в 1 млн. долл.' под 3-месячную ставку LIBOR г, действующую в этот момент времени, а че­ рез 3 месяца после расчетной даты Т получает еще и компенсацию в разме­ f ре 1 000 000 Действительно, имеет место равенство:

f - 0 f 1 000 000 1 + + 1 000 000- = 1 000 000 1 + 4J Поэтому во фьючерсном контракте на 3-месячную ставку LIBOR не пред­ полагается размещение средств на евродолларовых депозитах, а все расчеты производятся в наличной форме:

Через 3 месяца после расчетной даты Т сторона, занимающая длинную f - r позицию, получает денежную сумму в размере 1 000 I 4 J, а сторона, занимающая короткую позицию, ее платит.

Стандартные арбитражные рассуждения показывают, что форвардная трех­ месячная ставка LIBOR должна удовлетворять следующему равенству:

1 + Ьа nfi (2.13) \п 1 + L V где f, — форвардная 3-месячная ставка LIBOR через п трехмесячных n периодов;

гп(гп+1) — процентная ставка при начислении процентов 4 раза в год, под которую можно в данный момент времени размещать средства на евродолларовом рынке на п (соответственно, на п + 1) трехмесячных периодов.

118 Энциклопедия финансового риск-менеджмента 2.10. Фьючерсные контракты на казначейские облигации Фьючерсные контракты на казначейские облигации рассмотрим на примере фьючерсных контрактов на долгосрочные казначейские облигации США, тор­ говля которыми ведется на Chicago Board of Trade (CBOT).

По условиям такого контракта производится передача любой казначейс­ кой облигации номиналом 100 000 долл., не погашаемой и не отзываемой в течение 15 лет после даты передачи.

После передачи облигации сторона, занимающая короткую позицию по фьючерсному контракту, получает денежную сумму в размере:

1000 • KF • k' + AI, (2.14) где KF — котировка фьючерсной цены, рассчитанная на номинал облигации в 100 долл.;

k" — специальный поправочный коэффициент (conversion factor), AI — накопленные проценты с момента последнего купонного платежа.

Поправочный коэффициент к* находится в виде отношения стоимости передаваемой облигации к ее номиналу, когда стоимость облигации опреде­ ляется исходя из следующих условий: срок до погашения снижен так, чтобы оставалось целое число 3-месячных периодов, а все безрисковые процентные ставки одинаковы и равны 8% (при начислении процентов дважды в год).

Если до погашения передаваемой облигации остается п полугодовых пе­ риодов, то поправочный коэффициент находится по формуле:

1 100 fe* = т + i= 100 000 (2.15) 1+ 11 + °-08 ' 0Д) где q — полугодовой купонный платеж.

Если же до погашения передаваемой облигации остается п полугодовых периодов и 3 месяца, то 1 100 к' 100 000 (2.16) 0,08 0, 1 + 1 + Пример 2.9. Определим поправочный коэффициент для 14%-ной купонной облигации, до погашения которой остается 20 лет и 2 месяца.

Для расчета поправочного коэффициента срок до погашения облигации считается равным 20 годам. Значит, в данном случае п = 40, q = 7000.

II. Рынки производных финансовых инструментов Тогда / / 7000- 1 100 к* = 1,5938.

I 0, 100 000 (1,04) (1.04Г Пример 2.10. Определим поправочный коэффициент для 14%-ной купонной облигации, когда до ее погашения остается 18 лет 4 месяца.

Для расчета поправочного коэффициента мы должны считать, что до по­ гашения облигации остается 18 лет и 3 месяца. Значит, в данном случае п = 36, q = 7000, а поправочный коэффициент находится по формуле (2.16):

1 Я 7000 100 000 fe* 11 ~т~ 100 000 ы (1,04) (1,04) ) 1 7000- 100 (1,04)2 = 1,50705.

0, (1,04) (1,04)37 Обычно на рынке имеется несколько долгосрочных казначейских облига­ ций, которые можно использовать для передачи в рамках данного фьючерс­ ного контракта. Естественно, что сторона, занимающая короткую позицию по такому контракту, выберет для передачи самую «дешевую для передачи» об­ лигацию. Самая «дешевая для передачи» облигация может быть найдена при сравнении разности между рыночной ценой той или иной облигации и сум­ мой, выплачиваемой стороной, занимающей длинную позицию по фьючерс­ ному контракту. Эта разность определяется следующим образом:

1000К, + (Щ - (1000XF • к* + (А1\) = 1000(К, - KFfe*), где К — котировка цены i-й облигации;

KF — котировка фьючерсной цены;

к* — поправочный коэффициент для i-й облигации.

Таким образом, самую «дешевую для передачи» облигацию следует выби­ рать так, чтобы разность К—KF • к' была наименьшей.

Котировку фьючерсной цены долгосрочной казначейской облигации можно оценить с помощью формулы:

of(T-t) (2.17) F 1000v ;

где KF — котировка фьючерсной цены долгосрочной казначейской облигации с датой передачи Т;

S — цена облигации на текущий момент времени t самой «дешевой для передачи»;

1 — приведенное значение купонных платежей за время действия фьючерсного контракта;

f — безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении процентов по инвестициям на Т - t лет.

ХЖО Энциклопедия финансового риск-менеджмента Применение формулы (2.17) для оценки котировки фьючерсной цены об­ лигации затруднено тем, что заранее необходимо угадать облигацию, самую «дешевую для передачи».

2.11. Хеджирование позиций по базисным активам с помощью фьючерсных контрактов Предположим, что в данный момент времени t инвестор владеет некоторыми активами и собирается их продать в момент времени Т. В этом случае гово­ рят, что инвестор на временном отрезке [t, Т] занимает короткую позицию по данным активам.

Если же в момент времени t инвестор узнает, что ему в момент времени Т придется купить некоторые активы, то говорят, что на временном отрезке [t,T] инвестор занимает длинную позицию по базисным активам.

Обе позиции инвестора по базисным активам являются рискованными, так как при неблагоприятных изменениях цен базисных активов он будет нести убытки. В данном случае под убытками следует понимать упущенную выгоду.

Чтобы исключить или по крайней мере уменьшить риск позиций инвестора по базисным активам, используется хеджирование.

В некоторых случаях возможны следующие простейшие стратегии хеджи­ рования.

1. Короткий хедж (short hedge). Если инвестор на временном отрезке [t, T] занимает короткую позицию по базисным активам, то в момент времени t он может занять короткую позицию по фьючерсному контракту на данные активы с датой поставки Т. Если Фт(0— контрактная фьючерсная цена ба­ зисных активов на момент времени t, то инвестор в момент Г сможет про­ дать свои активы за Фт(0.

2. Длинный хедж (long hedge). Инвестор, занимающий длинную позицию по базисным активам на отрезке времени [г, Т], может в момент времени t занять длинную позицию по соответствующему фьючерсному контракту. В этом случае инвестор в момент времени Т сможет купить необходимые ему акти­ вы по известной заранее цене Фт(0.

Простейшие стратегии хеджирования являются безрисковыми, но имеют существенные недостатки. Во-первых, эти стратегии исключают возможность получения прибыли при благоприятных изменениях цен на спот-рынке. Во вторых, чтобы применить простейшие стратегии хеджирования, необходимо существование фьючерсного контракта на данный вид активов, который со­ гласован с позицией инвестора как по срокам, так и по объемам. Такой фью­ черсный контракт существует далеко не всегда.

Если простейшие стратегии хеджирования невозможны или не устраива­ ют по тем или иным причинам инвестора, то он может применить более слож­ ные стратегии, в которых:

1) используются фьючерсные контракты на активы, отличные от базисных;

2) хеджируется не вся позиция инвестора по базисным активам, а лишь некоторая ее часть.

II. Рынки производных финансовых инструментов 1Z Предположим, что на временном отрезке [t, T] инвестор занимает опре­ деленную позицию по базисным активам и для хеджирования единицы базис­ ных активов решает использовать фьючерсный контракт на единицу каких-то других активов с датой поставки Т, где Т > Т.

При коротком хедже чистый доход (убыток) от хеджируемой позиции можно оценить следующим образом:

Rsh = S(T)-S(0 + [F(t)-F(T)], 2Л8) ( где S(t), S(T) — цены базисных активов на спот-рынке в моменты времени t и Т соответственно, F(t), F(T) — фьючерсные цены хеджирующих активов в эти же моменты времени t и Т.

Чистый доход (убыток) от нехеджируемой позиции при коротком хедже определяется следующим образом:

Rs = S(T) - S(t). (2.19) При длинном хедже чистый доход (убыток) от хеджируемой позиции со­ ставит R,h = S(t) - S(T) + [F(T) - F(t)], (2.20) а от нехеджируемой позиции К, = S(t) - S(T). (2.21) На основе равенств (2.18)-(2.21) легко найти ожидаемые доходы и дис­ персии дохода от хеджируемых и нехеджируемых позиций:

R^=W)-S(f) + [F(t) - W)}, К = W) - S(t);

\ = S(t) - W) + [W) - F(t)];

Д = S(t) - W>, o\R*) = (72(Д„) = as2m - 2Cov(S(T), F(T)) + a2F(T};

a2(Rs) = o-2(R,) = <7S2(T).

Определение. Отношение количества хеджируемых позиций к объему всей позиции инвестора по базисным активам называется показателем хед­ жирования (hedge/hedging ratio).

Если известен показатель хеджирования к, то можно определить количе­ ство фьючерсных контрактов, необходимых для хеджирования:

N = Q.fc А где Q — объем позиции инвестора по базисным активам, А — объем одного фьючерсного контракта.

10 — 122 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Оптимальный показатель хеджирования находится так, чтобы риск стра­ тегии хеджирования был минимальным.

Если минимизируется дисперсия совокупного дохода при хеджирующей стратегии на отрезке времени [г, T], то оптимальным будет показатель хеджи­ рования k ' = PZT> (2.22) °AF где aUS — стандартное отклонение приращения спот-цены активов за время Т - г;

aAF — стандартное отклонение приращения фьючерсной цены хеджирующих активов за время Т - г;

р — коэффициент корреляции между указанными выше приращениями.

Пример 2.11. Компания узнает, что через 3 месяца ей придется закупить 1 млн. галлонов дизельного топлива. Для хеджирования своей позиции реша­ ет использовать фьючерсы на сырую нефть. Объем одного фьючерсного кон­ тракта на сырую нефть 42 000 галлонов. Стандартные отклонения прираще­ ний цены на дизельное топливо и фьючерсной цены сырой нефти за 3 меся­ ца равны соответственно 0,032 и 0,040, а коэффициент корреляции между этими приращениями равен 0,8.

В данном случае аА$ = 0,032;

о^ = 0,040;

р = 0,8.

Оптимальный показатель хеджирования находится следующим образом:

к* = 0, 8 - ^ = 0,64.

0, Тогда количество фьючерсных контрактов, необходимых для хеджирова­ ния, равно -0, 64 = 15.2.

42 Таким образом, для хеджирования необходимо занять длинную позицию по 15 фьючерсным контрактам на сырую нефть.

2.12. Хеджирование портфелей облигаций против процентного риска Предположим, что инвестор владеет портфелем облигаций и решает его хед­ жировать против процентного риска с помощью фьючерсов на казначейские облигации (или казначейские вексели) с датой передачи Т.

Можно показать, что относительное изменение фьючерсной цены обли­ гации, лежащей в основе фьючерсного контракта, при изменении безриско II. Рынки производных-'финансовых инструментов ХХЪ вых процентных ставок на величину Af (при непрерывном начислении про­ центов) удовлетворяет следующему приближенному равенству:

[Ds - (Т - г)] Af, (2-23) F Др где -=- — относительное изменение фьючерсной цены облигации, соответствующее изменению безрисковых процентных ставок на величину АГ\ t — текущий момент времени;

Т — дата передачи облигации;

Ds — дюрация потока платежей, поступающих от облигации после даты ее передачи (при непрерывном начислении).

Для облигации с нулевым купоном Ds - (Т - г) = Т* - Т, где Т — дата погашения облигации, а для долгосрочных облигаций можно считать, что Ds - (Т - 0 совпадает с обычной дюрацией этой облигации при непрерывном начислении процентов.

Если инвестор для хеджирования своего портфеля облигаций займет ко­ роткую позицию по N фьючерсным контрактам на казначейские облигации, а безрисковые процентные ставки изменятся на величину Af, то его доход составит величину:

ДР- N-AF, где АР — изменение стоимости портфеля облигаций;

AF — изменение фьючерсной цены облигации.

Так как где Р — текущая стоимость портфеля облигаций, D — его дюрация (при непрерывном начислении процентов), то АР - NAF = -Dp • Р • Аг + N • F • [Ds - (Т - t)] 4? = = {N-F[Ds-(T-t)]-Dp-P}-Af.

ю* 1X4 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Следовательно, риск позиции инвестора с учетом хеджирования будет наименьшим, если N---^-^E.

(22А) { F Ds-(T-t) -24) Равенство (2.24) позволяет находить количество фьючерсных контрактов, необходимых для хеджирования портфеля облигаций против процентного рис­ ка. Однако следует отметить, что такая стратегия хеджирования обеспечива­ ет защиту от процентного риска лишь в течение небольшого периода време­ ни. Для защиты процентного риска на продолжительном отрезке времени стратегию хеджирования необходимо периодически пересматривать.

Пример 2.12. Инвестор владеет портфелем казначейских облигаций, поток платежей от которого указан в таблице:

Срок платежа, лет 1,0 1, 2, 0, Платеж, долл. 10 000 10 000 10 000 400 Для хеджирования портфеля облигаций против процентного риска инвес­ тор решает использовать фьючерсные контракты на 3-месячные казначейские вексели. Определим, сколько потребуется таких контрактов в начальный мо­ мент времени для хеджирования, если все безрисковые процентные ставки одинаковы и равны 8%.

Текущую стоимость портфеля облигаций и его дюрацию можно найти следующим образом:

Р = 10 000 • е"0'50'08 + 10 000 • е'10008 + 10 000 • е"150'08 + 400 000 • е'20008 = = 368 565,78 долл.;

Dp = I(10 000 • 0,5 • е-0-50-08 + 10 000 • 1,0 • е"10008 + 10 000-1,5- е"15008 + 5 3 9 + 400 000 • 2,0 • е-20008) = 7 0 9 ° ' = 1,92.

;

368 565, Текущую фьючерсную цену казначейского векселя найдем по формуле (2.11):

F = 1 000 ОООе'0080'25 = 980 198,67.

Количество фьючерсных контрактов, необходимых для хеджирования, оп­ ределим по формуле (2.24):

_P DP _ 368 565,78 1, N FD - ( T- t ) 980198,67 0, s II. Рынки производных финансовых инструментов 1X Таким образом, в начальный момент времени для хеджирования портфе­ ля облигаций следует занять короткую позицию по трем фьючерсным кон­ трактам на казначейские вексели.

2.13. Фондовые индексы. Фьючерсные контракты на фондовые индексы Для отслеживания конъюнктуры цен акций используется много различных рыночных индексов. Эти индексы различаются как по составу учитываемых акций, так и по методам их расчета.

Например, фондовый индекс S&P 500 рассчитывается на основе акций крупнейших американских компаний, среди которых 400 промышленных кор­ пораций, 40 коммунальных предприятий, 20 транспортных компаний и финансовых институтов.

Этот индекс, как и многие другие, рассчитывается на основе метода взве­ шивания по стоимости, который сводится к следующему. В каждый момент времени t можно определить суммарную рыночную стоимость всех акций рас­ сматриваемых корпораций по формуле:

V(0 = S4(t)-$(t> (2.25) где S(t) — рыночная цена одной акции i-й корпорации в момент времени t, u.(t) — количество акций i-й корпорации, находящихся в обращении на момент времени t.

В некоторый момент времени t0 индексу приписывается определенное значение, скажем А. Тогда значение индекса в момент t определяется следу­ ющим образом:

КО = Ш:-А- (2-26> *Ч'о-' Нетрудно заметить, что имеет место равенство:

,(t 'ь>- т ')' Таким образом, для определения значения индекса в момент времени г не обязательно знать, какое значение было приписано индексу в начальный момент времени. Достаточно иметь информацию для некоторого предыдуще­ го момента времени t, Главной особенностью фьючерсных контрактов на фондовые индексы яв­ ляется то, что никакие активы не меняют своих владельцев, а все расчеты производятся в денежной форме.

126 Энциклопедия финансового риск-менеджмента По условиям фьючерсного контракта на фондовый индекс сторона, зани­ мающая длинную позицию, в момент окончания действия контракта получает денежную сумму в размере L[l(T)-FT(t)], где 1(Т) — значение фондового индекса в момент Т окончания действия контракта;

FT(t) — фьючерсное значение фондового индекса в момент времени t;

L — денежная сумма, определенная биржей для данного вида контрактов.

Аналогично, сторона, занявшая в момент времени t короткую пози­ цию по фьючерсу на фондовый индекс, получает в момент Т денежную сумму L[FT(t)-I(T)}.

Для фьючерсных контрактов на фондовый индекс S&P 500 денежная сум­ ма L определена в 500 долл.

Фьючерсные контракты на фондовые индексы широко используются для хеджирования портфелей акций. Оптимальное количество фьючерсных кон­ трактов на фондовый индекс, необходимых для хеджирования данного порт­ феля акций, можно найти по формуле:

N (227) 'iW)"'' где N — количество фьючерсных контрактов;

FT(r) — текущее фьючерсное значение фондового индекса с датой передачи Т;

/Зр — коэффициент бета данного портфеля акций относительно рассматриваемого фондового индекса.

Коэффициент бета портфеля акций определяется следующим образом:

Соу(гр,г;

) = Рр of ' где г —доходность портфеля акций;

г, — доходность фондового индекса;

При этом коэффициент бета портфеля акций является средневзвешен­ ной суммой коэффициентов бета акций, составляющих этот портфель. Ве­ совыми коэффициентами являются доли средств, инвестированных в тот или иной вид акций.

II. Рынки производных финансовых инструментов 1X Пример 2.13. Инвестор собирается хеджировать имеющийся у него портфель акций с помощью фьючерсов на фондовый индекс S&P 500. Исходная инфор­ мация приведена в таблице:

Начальное Количество акций Коэффициент Начальная цена фьючерсное Акции в портфеле бета акции акции, долл. значение индекса S&P 1 1,25 8,75 225, 2 700 0,80 21, 3 0,75 14, 4 0,95 33, 5 1,05 68, Начальная стоимость портфеля акций находится следующим образом:

Р = 8,75 • 900+21,25 • 700+14,75 • 1400+33,50 • 2000+68,25 • 1600 = 219 600 долл.

Найдем коэффициент бета портфеля акций:

РР -8:219 600 1.25+2219 600 0 • о. so+14219 ;

Л°° \21;

I0 >21 А4ГО. о, 75 + 33,50 2000 68,25- 0,95 + 1,05 = 0,9815.

219 600 219 Количество фьючерсных контрактов, необходимых для хеджирования порт­ феля акций, определим с помощью формулы (2.27):

219 N 0,9815 = 2.

500 225, Если через месяц, когда инвестор закрывает свою позицию, цены акций окажутся равными 8,25, 20,75, 15,50, 32,50 и 65,25 долл. соответственно, а фьючерсное значение индекса S&P 500— 221,50, то доход инвестора соста­ вил бы без хеджирования:

(8,25- 8,75) 900 + (20,75- 21,25) 700 + (15,50- 14,75) • 1400 + + (32,50- 33,50) • 2000 + (65,25- 68,25) • 1600 = -6550 долл., а при хеджировании:

-6550 +2 -500 (225,75- 221,50) = -2300 долл.

128 Энциклопедия финансового риск-менеджмента 2.14. Процентные свопы Свопом, или своповым контрактом (swap), называется соглашение об обме­ не потока будущих платежей от одних активов на поток будущих платежей от других активов. В зависимости от того, какие активы положены в основу свопового контракта, выделяют различные виды свопов.

В частности, в процентном свопе (interest rate swap) производится обмен процентных платежей от условной основной суммы займа с фиксированной процентной ставкой на процентные платежи от той же условной основной суммы займа с плавающей процентной ставкой.

Во многих процентных свопах плавающая процентная ставка привязана к ставке предложения на лондонском межбанковском рынке 6-месячных евро­ долларовых депозитов. Эту процентную ставку будем называть ставкой LIBOR (London Interbank Offered Rate). Например, в своповом контракте плавающая про­ центная ставка может быть установлена в размере LIBOR+0,5%.

Тогда, если на начало 6-месячного периода ставка LIBOR равна 8%, то при условной основной сумме в 1000 долл. плательщик плавающей ставки в конце рассматриваемого периода должен уплатить 1000 • ** —2- = 42,5 долл.

Выясним теперь, при каких обстоятельствах своповый контракт может быть выгодным обеим сторонам.

Предположим, что компаниям А и В необходимы займы на определен­ ный срок в размере Q, причем компании А необходим займ с плавающей процентной ставкой (а такие займы удобны для финансирования оборотного капитала), а компании В— займ с фиксированной ставкой (например, для финансирования крупной инвестиции).

На рынках ссудного капитала компаниям А и В предлагаются следую­ щие ставки:

Фиксированная ставка Плавающая ставка Компания А LIBOR + rnA 'ф Компания В LIBOR + гпв Ф Будем считать, что соблюдаются следующие условия.

i°- 4 < ГФВ;

гпЛ < гпв Это условие можно интерпретировать следующим образом: кредит­ ный рейтинг компании А значительно выше кредитного рейтинга ком­ пании В. Поэтому компания А обладает абсолютным преимуществом на обоих рынках.

II. Рынки производных финансовых инструментов -В „А 2°. Г Г > Г" -Г" Ф Ф Это означает, что у компании А относительное преимущество на рын­ ке с фиксированными ставками, а у компании В относительное пре­ имущество на рынке с плавающими ставками.

Например, если А— крупная компания, то она может привлекать сред­ ства за счет эмиссии облигаций с фиксированной процентной ставкой, а ком­ пания В этого не может. С другой стороны, компания В может быть лучше известна местному банку, который выдает кредиты с плавающей ставкой.

Покажем, что при соблюдении условий 1° и 2° можно построить процент­ ный своп, выгодный обеим компаниям.

Компания А берет займ с фиксированной процентной ставкой, т. е. там, где у нее есть относительное преимущество, а компания В берет займ с пла­ вающей процентной ставкой, т. е. там, где у нее относительное преимуще­ ство, и они договариваются об обмене.

Предположим, что компания А платит компании В плавающую ставку уп, а получает от нее фиксированную ставку хф.

Чтобы такой обмен был выгоден обеим компаниям, чистый процентный платеж компании А: гф + уп - хф должен быть меньше LIBOR + гпА, а чистый процентный платеж компании В: хф + LIBOR + rns -.уп должен быть меньше г$ (рис. 2.3).

Если числа 5, и 82 удовлетворяют условию:

*1 + 52 = (гфв-гфЛ)-(гпв-гпЛ), то система линейных уравнении кА + Уп - хф = LIBOR+ ^ - 5, (2.28) [хф + LIBOR + гв - уп = гфв - всегда имеет решение. Это означает, что при соблюдении условий 1° и 2° можно организовать обмен платежами, выгодный обеим компаниям А и В.

В реальных условиях компаниям, желающим заключить своповый контракт, трудно найти друг друга. Поэтому им приходится прибегать к услугам посред­ ника, в качестве которого может выступать, например, банк. При этом по­ средник берет на себя обязательство по гарантированию соблюдения усло­ вий контракта.

** А в А в А в А в LIBOR + Гп уп Рис. 2.3. Процентный своп 130 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Обмен платежами при наличии посредника можно организовать так, как показано на рис. 2.4.

Если положительные числа 8,, 82 и р удовлетворяют условию 51 + 52 + р = гфв-гфА-(гпв-гпА), то процентные платежи хд и ув можно подобрать так, чтобы компания А име­ ла выигрыш, равный 5,, компания В— выигрыш, равный <52, а маржа банка составила бы р.

Пример 2.14. Компаниям А и В предлагаются следующие фиксированные и плавающие процентные ставки на рынках ссудного капитала:

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 14 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.