WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

«С.В. БУЛАШЕВ СТАТИСТИКА ДЛЯ ТРЕЙДЕРОВ ББК 60.6 Б 91 Булашев С.В. ...»

-- [ Страница 2 ] --

+ px (x) = pxy (x, y)dy + py (y) = pxy (x, y)dx Случайные величины Х и Y находятся в корреляционной зависимости, если:

- каждому значению переменной Х соответствует определенное математическое ожидание переменной Y, - каждому значению переменной Y соответствует определенное математическое ожидание переменной Х.

Рассмотрим условное распределение вероятности переменной Y при фиксированном значении переменной Х. Оно описывается условной плотностью распределения:

py|x (x, y) = pxy (x, y) / px (x) Используя условную плотность распределения можно найти математическое ожидание случайной величины Y, при условии того, что случайная величина Х равна фиксированному значению х (условное математическое ожидание):

+ M (x) = y py|x(x, y)dy y|x Условное математическое ожидание M (x) называют еще y|x функцией регрессии Y на Х. Функция регрессии обладает важнейшим свойством: среднеквадратичное отклонение случайной величины Y от функции регрессии Y на Х меньше, чем ее средне квадратичное отклонение от любой другой функции от х.

Если функцию регрессии можно удовлетворительным образом аппроксимировать линейной зависимостью, то такая регрессия С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 7. Корреляция случайных величин называется линейной. Линейная регрессия обладает тем свойством, что если регрессия Y на Х линейна, то регрессия X на Y также ли нейна.

Заметим, что функции регрессии X на Y и Y на Х не являют ся взаимно обратными и соответствующие линии регрессии совпадают только в случае, когда величины Y и Х связаны функционально. Если эти величины связаны корреляционно, то линии регрессии X на Y и Y на Х различны.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только тех случаев, когда функция регрессии является линейной.

7.3. Линейная корреляция.

Корреляционная зависимость между случайными величи нами X и Y называется линейной корреляцией, если обе функции регрессии X на Y и Y на Х являются линейными.

Пусть математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х равны µx,, а математическое ожидание и x дисперсия случайной величины Y равны µ,.

y y Выведем уравнение регрессии Y на Х, то есть найдем коэф фициенты линейной функции y = ax + b.

1) Выразим коэффициент b через математические ожидания X и Y µ M ( y) = M (ax + b) = aM (x) + b = aµ + b y x b = µ - aµx y 2) Тогда уравнение регрессии можно переписать в виде y = ax + µy - aµx y - µy = a (x - µx ) 3) Найдем коэффициент регрессии а через математическое ожидание произведения случайных величин X и Y M (xy) = M[x(ax + µy - aµx)] M (xy) = aM (x2) + M (x)µy - aM (x)µx M (xy) = aM (x2) + µxµy - aµx С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 7. Корреляция случайных величин M (xy) = a[M (x2) - µx ] + µxµy M (xy) = a + µxµy x M (xy) - µxµy a = x 4) Назовем коэффициентом корреляции между X и Y следующую безразмерную и симметричную относительно X и Y величину (y - µy ) M[(x - µx )(y - µy )] (x - µx ) = M = x y x y 5) Тогда математическое ожидание произведения случайных величин X и Y можно выразить через коэффициент корреляции M (xy) M[(x - µx + µx )( y - µy + µy )] M (xy) = M[(x - µx )(y - µy )]+ µxM ( y - µy ) + + µyM (x - µx ) + µxµy M (xy) = M[(x - µx )(y - µy )]+ µxµy M (xy) = + µxµy x y 6) Окончательно для коэффициента регрессии Y на Х получаем a = ( / ) y x 7) В итоге уравнение регрессии Y на Х приобретает вид y - µy = ( / ) (x - µx) y x Тангенс угла наклона, под которым эта прямая пересекает ось х равен ( / ).

y x 8) Аналогично можно получить уравнение регрессии Х на Y x - µx = ( / ) (y - µy ) x y Тангенс угла наклона, под которым эта прямая пересекает ось х равен (1/ ) ( / ).

y x Заметим, что прямые регрессии Y на Х и Х на Y пересекают ось х под разными углами. Эти прямые совпадают только тогда, когда модуль коэффициента корреляции | |= 1. Обе прямые регрес С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 7. Корреляция случайных величин сии проходят через центр двумерного распределения вероятностей величин Х и Y - точку с координатами (µx, µ ).

y 7.4. Коэффициент корреляции. Ковариация.

Рассмотрим подробнее введенный в предыдущем параграфе коэффициент корреляции. Было выяснено, что он равен ( y - µy ) M (xy) - µxµy (x - µx ) xy = yx = M = x y x y Следовательно, коэффициент корреляции характеризует относительное отклонение математического ожидания произведения двух случайных величин от произведения математических ожиданий этих величин. Так как отклонение имеет место только для зависимых величин, то коэффициент корреляции характеризует степень этой зависимости.

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

1) Линейные преобразования случайных величин Х и Y не изменяют коэффициента корреляции между ними (x, y) = (a0 + a1x,b0 + b1 y) для любых констант a0, a1 > 0, b0, b1 > 0.

2) Коэффициент корреляции случайных величин Х и Y заключен в пределах между -1 и +1, достигая этих крайних значений толь ко в случае линейной функциональной зависимости между Х и Y.

3) Коэффициент корреляции между независимыми случайными величинами равен нулю.

Обратное утверждение вообще говоря неверно, то есть если коэффициент корреляции равен нулю, то это не означает независимости соответствующих величин. В этом случае говорят, что величины некоррелированы.

Как уже говорилось выше, коэффициент корреляции является безразмерной величиной. Произведение коэффициента корреляции на среднеквадратичные отклонения случайных величин Х и Y имеет размерность дисперсии и называется кова риацией случайных величин Х и Y:

cov(x, y) = = M[(x - µx )(y - µ )] = M (xy) - µxµ xy yx y y С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 7. Корреляция случайных величин 7.5. Математическое ожидание и дисперсия линейной ком бинации случайных величин.

В этом параграфе мы рассмотрим правила вычисления математического ожидания и дисперсии многомерной случайной величины, являющейся линейной комбинацией коррелированных случайных величин:

N N M a0 + xk и Da0 + xk ak ak k =1 k = Математическое ожидание Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания M (ax) = aM (x) aµx 2) Математическое ожидание суммы случайной величины и константы равно сумме математического ожидания этой величины и константы M (x + a) = M (x) + a µx + a 3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий M (x + y) = M (x) + M (y) µx + µ y Следовательно, для линейной комбинации произвольного коли чества случайных величин получаем N N N M a0 + xk = a0 + M (xk ) a0 + µk ak ak ak k =1 k =1 k = Дисперсия Аналогичные свойства для дисперсии следующие:

1) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат D(ax) = a2D(x) a x 2) Дисперсия суммы случайной величины и константы равна дисперсии случайной величины D(x + a) = D(x) x С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 7. Корреляция случайных величин 3) Дисперсия суммы случайных величин равно сумме их дисперсий плюс удвоенное произведение их коэффициента корреляции на среднеквадратичные отклонения D(x + y) = M[(x + y) - (µx + µy )]2 = = M (x - µx )2 + M ( y - µy )2 + 2M[(x - µx )(y - µy )] = 2 = + + 2xy x y x y Следовательно, для линейной комбинации произвольного количе ства случайных величин получаем N N N N 2 Da0 + xk = + 2 ak iki ak ak k ai k k =1 k =1 k =1 i=k + Если все случайные величины независимы, то так как коэффициенты корреляции для различных случайных величин равны 0, а коэффициент корреляции случайной величины с самой собой равен 1, формула упрощается N N 2 Da0 + xk = ak ak k k =1 k = Полученные выражения для математического ожидания и дисперсии линейной комбинации произвольного количества коррелированных случайных величин позволяют сделать следующие выводы:

- математическое ожидание линейной комбинации случай ных величин - это взвешенная сумма математических ожида ний отдельных случайных величин, - дисперсия линейной комбинации случайных величин - это взвешенная сумма ковариаций всех пар случайных величин, при этом вес каждой ковариации равен произведению весов соответствующей пары случайных величин, а ковариация случайной величины с самой собой является дисперсией данной величины.

7.6. Оценка ковариации и коэффициента корреляции по вы борке случайных величин.

Для оценки ковариации и коэффициента корреляции между случайными величинами Х и Y мы должны располагать двумя соответствующими друг другу выборками этих величин:

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 7. Корреляция случайных величин {xk},{yk} k = 1,..., N Оценка ковариации В качестве оценки математического ожидания случайных величин Х и Y используем средние арифметические значения по соответствующим выборкам:

N N 1 X = Y = yk xk N N k =1 k = Тогда выборочная ковариация случайных величин Х и Y за дается формулой:

N = - X )(yk - Y ) xy (xk N - k = Оценка коэффициента корреляции Для оценки коэффициента корреляции между случайными величинами Х и Y нам понадобятся выборочные среднеквадратичные отклонения этих величин:

N N 1 = - X )2 = x (xk y ( yk - Y ) N -1 N - k =1 k = Тогда выборочный коэффициент корреляции случайных величин Х и Y задается формулой:

N - X )(yk -Y ) (xk xy k = xy = = N N x y - X )2 - Y ) (xk (yk k =1 k = Дисперсию и с.к.о. выборочного коэффициента корреляции можно оценить как 2 (1- xy )2 1- xy = = N - N - С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 7. Корреляция случайных величин 7.7. Оценка коэффициентов линейной регрессии по выборке случайных величин.

В параграфе 7.3 было получено, что в случае, когда величины Х и Y представлены своими генеральными совокупно стями, уравнение регрессии Y на Х имеет вид:

y - µy = ( / ) (x - µx) y x Следовательно, так как ( / ) /, то коэффициен y x xy x ты (a,b) линейной регрессии y = ax + b можно представить в виде:

a = / b = µy - aµx xy x Переходя к выборочным оценкам получаем:

N N - X )(yk -Y ) yk - N X Y (xk xk xy k =1 k = a = = = 2 N N x - X )2 - N X (xk xk k =1 k = b = Y - a X Аналогичным образом можно получить оценку коэффициентов линейной регрессии Х на Y.

7.8. Линейная регрессия как наилучшая оценка по методу наименьших квадратов.

Докажем, что полученные в предыдущем параграфе оценки коэффициентов линейной регрессии Y на Х определяют такую прямую линию, что сумма квадратов отклонений величины Y от этой прямой имеет минимальное значение, по сравнению с суммой квадратов отклонений величины Y от любой другой прямой.

Пусть величины Х и Y представлены своими выборками:

{xk},{yk} k = 1,..., N Предположим, что зависимость величины Y от величины Х можно аппроксимировать прямой линией y = x +. Найдем коэффициенты и, которые минимизируют сумму квадратов отклонений величины Y от этой прямой:

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 7. Корреляция случайных величин N S = -xk - ) (yk k = Возьмем частные производные S по и по, и приравняем их к нулю:

N S = -2 -xk - ) = (yk k = N S = -2 (yk -xk - ) = xk k = Следовательно:

N N yk - - N = xk k =1 k = N N N yk - - = xk xk xk k =1 k =1 k = Из первого уравнения этой системы следует, что N N 1 = yk - = Y - X xk N N k =1 k = Подставив это выражение во второе уравнение системы после несложных преобразований получим:

N yk - N X Y xk k = = N - N X xk k = Использованный метод поиска коэффициентов и назы вается методом наименьших квадратов. Сравнивая коэффициенты и с полученными в предыдущем параграфе выборочными коэффициентами линейной регрессии видим, что они совпадают. Следовательно, утверждение о том, что коэффициенты линейной регрессии Y на Х определяют такую прямую линию, что сумма квадратов отклонений величины Y от этой прямой имеет минимальное значение, по сравнению с суммой квадратов отклонений величины Y от любой другой прямой, доказано.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ 8. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 8.1. Введение.

Различные экономические и финансовые переменные связаны между собой. Если не принимать во внимание случайный характер этих переменных, то для описания связей между ними можно при менить функциональный подход, то есть предположить, что связь одной из переменных Y с некоторым количеством других перемен ных (X1,..., X ) можно выразить некоторой функцией (матема M тической моделью):

Y = f (a1,...,aL, X1,..., X ), где M - (X1,..., X ) - это набор независимых переменных, которые M будем называть факторами, - Y - это зависимая переменная, которую будем называть откликом, - (a1,...,aL ) - это набор констант, которые будем называть параметрами математической модели.

В случае, когда отклик Y зависит только от единственного фактора Х, модель называется однофакторной. Если отклик Y зависит от нескольких факторов (X1,..., X ), модель называется M многофакторной.

Математическая модель, связывающая факторы и отклик, может быть найдена только на основе реальных выборок этих величин. Определение модели включает в себя два этапа:

- выбор вида модели, то есть вида функции f, - расчет параметров выбранной модели (a1,...,aL ).

Первый этап, то есть выбор вида математической модели, является не формализуемой задачей. Это решение принимается с учетом простоты и удобства использования модели, содержательности мо дели и других соображений. Второй этап, то есть расчет парамет ров выбранной математической модели, является задачей, которая решается с помощью регрессионного анализа реальных выборок факторов и отклика.

8.2. Выбор вида математической модели.

Рассмотрим однофакторную зависимость. Этот случай наи более прост и может быть изучен графически. Предположим, С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ что имеется массив значений фактора Х и соответствующий ему массив значений отклика Y. Нанесем соответствующие точки (xk, yk ),k = 1,..., N на график. Если фактор и отклик - это ре альные статистические данные, то указанные точки никогда не лягут на простую линию (прямую, параболу, гиперболу, экспо ненту, синусоиду и т.д.). Всегда будут присутствовать отклоне ния, связанные со случайным характером рассматриваемых пе ременных и/или с влиянием неучтенных факторов.

Кроме того часто оказывается, что один и тот же набор то чек можно с примерно одинаковой точностью описать различ ными аналитическими функциями. Следовательно, выбор вида математической модели - это не формализуемая задача. Рацио нальный выбор той или иной модели может быть обоснован лишь с учетом определенных требований, а именно:

- простоты модели, - содержательности модели.

Простота модели Наиболее распространенной ошибкой при описании фактиче ской зависимости является попытка детерминированного описания этой зависимости, то есть включение в математическую модель всех наблюдающихся особенностей конкретной выборки, в том числе и тех, которые в действительности носят случайный харак тер.

Например, любой набор точек (xk, yk ), k = 1,..., N можно описать абсолютно точно полиномом (N-1)-й степени, зависящим от N параметров (a0, a1,..., aN -1) :

N - y = xk ak k = Но на практике получается, что появляющаяся новая (N+1)-я точка уже не будет удовлетворять полученной формуле. То же самое можно сказать обо всех появляющихся далее новых точках. При этом расхождение между реальными данными и моделью будет на растать с увеличением количества новых данных.

В то же время может оказаться, что исходный набор значений (xk, yk ) можно приближенно описать какой-либо простой функцией (прямой, параболой, гиперболой, экспонен С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ той, синусоидой и т.д.), и эта модель, зависящая от небольшого числа параметров, будет устойчива к появлению новых данных.

Следовательно, необходимым требованием к математической модели является ее простота.

Содержательность модели Под содержательностью математической модели будем по нимать разумную интерпретируемость результатов, которые мо гут быть получены при вычислении по этой модели.

Поясним это утверждение на простом примере. Пусть наша задача состоит в том, чтобы описать кривую зависимости цены бескупонной облигации от срока до погашения облигации. В данном случае фактором X является срок до погашения, откли ком Y является цена. На эту математическую модель можно на ложить очевидные ограничения:

1) функция y = f (x) должна быть неотрицательной, 2) функция y = f (x) должна быть монотонно убывающей, 3) значение функции y = f (x) при x = 0 должно быть равно константе (номиналу облигации), 4) значение функции y = f (x) при x должно стремиться к нулю.

Приведем примеры функций, которые не удовлетворяют хотя бы одному из ограничений и поэтому не могут быть использо ваны для построения рассматриваемой модели из соображений содержательности:

- линейная функция y = b - ax не удовлетворяет первому и четвертому условию, так как при x величина y -, - гипербола y = b + a / x не соответствует третьему условию, так как при x 0 величина y.

При этом данные функции могут удовлетворительным образом описывать набор исходных данных (xk, yk ).

8.3. Расчет параметров математической модели.

Если выбор вида математической модели - это не формали зуемая задача, то расчет параметров уже выбранной математи ческой модели является чисто формальным процессом. В общем С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ случае он состоит в решении системы вообще говоря нелиней ных уравнений.

Рассмотрим произвольную однофакторную зависимость, то есть модель, в которой связь фактора Х и отклика Y выражается функцией Y = f (a1,..., aL, X ). Вид функции предполагается известным. Наша задача состоит в том, чтобы по имеющейся выборке данных, то есть по набору точек (xk, yk ), k = 1,..., N вычислить неизвестные параметры модели (a1,...,aL ). Для это го нам нужно решить систему уравнений:

y1 = f (a1,..., aL, x1)...............................

y = f (a1,..., aL, xk ) k...............................

= f (a1,..., aL, xN ) yN Эта система состоит из N уравнений с L неизвестными па раметрами модели (a1,...,aL ). Возможны три варианта соотно шения между количеством уравнений N и количеством неизвестных L:

1) N < L В этом случае объем выборки является недостаточным для определения параметров модели. Необходимо увеличить количество фактических данных и/или упростить модель, уменьшив количество ее параметров.

2) N = L Если объем выборки совпадает с количеством неизвестных параметров, то решение системы единственно. Но так как предполагается, что исходные данные (xk, yk ) могут иметь случайный характер, то и решение (a1,...,aL ) также случайно, так как оно в точности соответствует случайным исходным данным.

3) N > L При объеме выборки, превышающем количество неизвестных параметров, система уравнений является избыточной. Из исходной системы уравнений в различных комбинациях можно составить несколько систем по L уравнений в каждой. Каждая С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ из систем даст свое решение, и все эти решения будут вообще говоря разными. Если их нанести на график, то получится целый пучок аппроксимирующих кривых. Если эти кривые каким-либо образом усреднить, то полученное усредненное решение будет гораздо достовернее описывать истинную зависимость между Х и Y, так как оно в значительной степени будет защищено от случайности выборки. Этот эффект усред нения тем больше, чем больше объем выборки N.

Наиболее эффективным методом усреднения решений избыточ ной системы уравнений является регрессионный анализ или ме тод наименьших квадратов (МНК).

8.4. Сущность метода наименьших квадратов.

Пусть после предварительного анализа принято решение о том, что связь фактора Х и отклика Y выражается функцией Y = f (a1,..., aL, X ). Наша задача состоит в том, чтобы по имеющейся выборке, то есть по набору точек (xk, yk ),k =1,..., N вычислить наилучшие оценки неизвестных параметров модели (a1,..., aL ). Заметим, что все значения (xk, yk ) - это не переменные, а конкретные числа.

Между рассчитанными по модели значениями отклика fk и реальными значениями из выборки yk будут присутствовать расхождения, которые обозначим как ek = yk - fk = yk - f (a1,..., aL, xk ) Метод наименьших квадратов позволяет найти такой набор параметров модели, при котором сумма квадратов всех расхож дений между значениями по выборке и вычисленными по моде ли значениями будет минимальной, то есть N S = min ek k = N S = yk - f (a1,...,aL, xk )]2 min [ k = Величина S является функцией от L переменных (a1,..., aL ).

Минимум этой функции можно найти, приравняв к нулю все ее С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ частные производные по каждому из неизвестных параметров и решив полученную таким образом систему из L уравнений:

N S f (a1,...,aL, xk ) [ a = -2 yk - f (a1,...,aL, xk )] a1 = k =....................................................................................

N S f (a1,...,aL, xk ) -2 yk - f (a1,...,aL, xk )] = = [ aL k =1 aL Решение такой системы уравнений в случае нелинейной за висимости между Х и Y может быть сопряжено со значительны ми трудностями. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся рас смотрением линейной зависимости между Х и Y, то есть линей ной регрессии. К тому же, во многих случаях нелинейная зави симость может быть сведена к линейной достаточно простыми преобразованиями данных.

8.5. Свойства ошибок метода наименьших квадратов.

Рассмотрим подробнее ошибки, возникающие при примене нии МНК, то есть расхождения между рассчитанными по моде ли значениями отклика fk и реальными значениями из выборки yk, которые мы обозначили как ek = yk - fk = yk - f (a1,..., aL, xk ) Для того, чтобы мы могли сказать, что модель адекватна эмпирическим данным, эти ошибки должны обладать опреде ленными свойствами:

1) Ошибки должны являться реализацией нормально распреде ленной случайной переменной.

Это означает, что хотя существует только один главный фактор Х, определяющий поведение отклика Y, но присутствует также большое количество малосущественных факторов, совокупное воздействие которых на отклик Y согласно центральной предельной теореме имеет нормальное распределение.

2) Математическое ожидание ошибки должно быть равно нулю: M (ek ) = 0.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ Это означает, что отсутствует систематическая ошибка в определении линии регрессии, следовательно оценки параметров регрессии являются несмещенными, то есть математическое ожидание оценки каждого параметра равно его истинному значению.

3) Дисперсия ошибки должна быть постоянна: D(ek ) =.

Это означает, что при увеличении объема выборки дисперсия оценок параметров регрессии стремится к нулю, то есть оценки параметров регрессии являются состоятельными.

4) Ошибки должны быть независимыми, то есть 0 k j cov(ek,ej ) = k = j Это означает, что ошибка в одной из величин отклика Y не приводит автоматически к ошибкам в последующих величинах.

Кроме того, в МНК предполагается что факторы (независимые переменные) не являются случайными величинами.

8.6. Оценка параметров однофакторной линейной регрессии.

Допустим, что принята гипотеза о том, что связь фактора Х и отклика Y выражается линейной функцией f (x) = ax + b. На личие отклонений, связанных со случайным характером рас сматриваемых переменных и/или с влиянием неучтенных фак торов приведет к тому, что связь между рассчитанными по мо дели значениями отклика fk и реальными значениями из вы борки yk будет выражаться в виде:

yk = fk + ek = axk + b + ek где ek - это расхождения между моделью и выборкой.

Оценка параметров линейной регрессии Вычислим такой набор параметров модели, при котором сумма квадратов всех расхождений между значениями по вы борке и вычисленными по модели значениями будет минималь ной, то есть С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ N S = min ek k = N S = - axk - b]2 min [yk k = Величина S является функцией от 2-х переменных (a,b). Ми нимум этой функции можно найти, приравняв к нулю ее част ные производные по каждому из неизвестных параметров и ре шив полученную таким образом систему из 2-х уравнений. Так как вычисление параметров мы будем проводить по конечной выборке, то в результате мы получим лишь оценку этих пара метров (a,b) :

N S [yk b = -2 - axk - b] = k = N S = -2 - axk - b]xk = [yk a k = Из 1-го уравнения системы получаем:

N N yk - a - bN = 0 b = Y - a X xk k =1 k = Из 2-го уравнения системы получаем:

N N N N N 2 yk xk - a - b = 0 yk xk - a - bN X = xk xk xk k =1 k =1 k =1 k =1 k = Подставив в это уравнение выражение для оценки параметра b найдем оценку параметра a :

N N yk - N X Y - X )(yk - Y ) xk (xk k =1 k = a = N N - N X - X ) xk (xk k =1 k = Из последнего равенства следует, что оценку параметра a мож но выразить через ковариацию или коэффициент корреляции переменных Х и Y:

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ xy y a = = x x Параметр a, который еще называют коэффициентом регрессии, численно равен тангенсу угла наклона прямой регрессии к оси х.

Дисперсия оценок параметров линейной регрессии Так как оценки параметров линейной регрессии получены по случайной выборке, то сами эти оценки являются случайны ми величинами. Оценка дисперсии параметра a выражается формулой:

e = a N - X ) (xk k = где величина - это оценка дисперсии случайных отклоне e ний отклика Y от линии регрессии:

N = e ek N - m - k = где m - число факторов (независимых переменных).

В случае парной линейной регрессии N N 1 = = - axk - b) e ek (yk N - 2 N - k =1 k = Так как b = Y - a X и так как фактор Х предполагается нестохастическим, то для оценки дисперсии параметра b справедливо:

2 2 2 = Y + X b a где величина Y - это оценка дисперсии среднего значения от клика Y:

2 Y = e N После несложных преобразований для оценки дисперсии параметра b получаем формулу:

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ N xk e k = = b N - X )2 N (xk k = Величину называют еще необъясненной дисперсией.

e Чем меньше необъясненная дисперсия (то есть чем меньше от клонения величины Y от линии регрессии), тем меньше ошибки в определении параметров регрессии, и, следовательно, тем точ нее модель объясняет фактические данные.

Кроме того, из формул для дисперсии параметров следует, что чем на более широком диапазоне изменения фактора Х оце нивается регрессия, тем больше величина - X )2, а зна (xk чит меньше дисперсия параметров.

Из тех же самых соображений следует, что чем больше объ ем выборки N, тем меньше дисперсия параметров.

8.7. Коэффициент детерминации.

Из того, что связь фактора Х и отклика Y выражается в виде yk = fk + ek = axk + b + ek следует, что разброс отклика Y может быть объяснен разбросом фактора Х и случайной ошибкой е. Необходимо определить ин дикатор, который бы показывал, насколько разброс Y определяется разбросом Х и насколько случайными причинами, то есть насколько хорошо фактические данные описываются функцией регрессии.

В качестве общей меры разброса переменной Y естественно использовать сумму квадратов отклонений этой величины от ее среднего значения. Тогда в качестве объясняемой регрессией меры разброса переменной Y будем использовать сумму квадратов отклонений прогнозируемых линией регрессии значений от среднего значения величины Y.

Индикатором качества линии регрессии является коэффи циент детерминации:

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ N N + b - Y ) ( fk - Y )2 (axk k =1 k = R2 = = N N - Y )2 - Y ) (yk (yk k =1 k = или N ek k = R2 =1 N - Y ) (yk k = В случае однофакторной линейной регрессии коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции величин Х и Y.

Иногда при расчете коэффициента детерминации для получения несмещенных оценок дисперсии в числителе и знаменателе делается поправка на число степеней свободы, то есть скорректированный коэффициент детерминации вычисляется по формуле:

N ek N - m - k = R2 =1 N - Y ) (yk N - k = где m - число факторов (независимых переменных).

При добавлении в уравнение регрессии дополнительных объясняющих переменных (факторов) нескорректированный R всегда растет. При этом скорректированный R2 может умень шиться за счет увеличения числа m, если новый фактор приво дит к небольшому уменьшению необъясненной дисперсии.

В случае парной линейной регрессии скорректированный R2 вычисляется как:

N ek N - k = R2 =1 N - Y ) (yk N - k = С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ Коэффициент детерминации может принимать значения от нуля (когда Y не зависит от Х) до единицы (когда Х полностью определяет Y, то есть между ними существует строгая функциональная зависимость). Чем больше этот коэффициент, тем выше качество линии регрессии.

Запишем формулу для R2 в компактном виде e R2 =1 y Отношение ширины полосы рассеяния данных относитель но их среднего значения к ширине полосы рассеяния данных относительно линии регрессии называется числом различимых градаций отклика. Если в качестве меры рассеяния принять со ответствующие среднеквадратичные отклонения, то формула для числа различимых градаций отклика будет иметь вид:

NGRAD = y e Как и коэффициент детерминации, число различимых градаций является позитивной оценкой корреляционной связи, то есть чем больше NGRAD, тем выше качество уравнения регрессии.

R2 =1-1 (NGRAD) Негативной оценкой корреляционной связи является отно сительная приведенная погрешность, которая является отноше нием половины ширины полосы рассеяния данных относитель но линии регрессии к ширине полосы рассеяния данных относи тельно их среднего значения и вычисляется по формуле e = 0.5, то есть R2 = 1- (2 ).

y Связь между и NGRAD задается формулами 1 = NGRAD = 2 NGRAD Приведем таблицу, показывающую связь между коэффициентом детерминации, числом различимых градаций отклика и относи тельной приведенной погрешностью.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ R NGRAD R 1 50.0% 0.00 0. 1.41 35.4% 0.50 0. 2 25.0% 0.75 0. 3 16.7% 0.89 0. 4 12.5% 0.94 0. 5 10.0% 0.96 0. 6 8.3% 0.972 0. 7 7.1% 0.980 0. 8 6.3% 0.984 0. 9 5.6% 0.988 0. 10 5.0% 0.990 0. Отметим следующие важные случаи:

- Коэффициент детерминации R2 = 0.5 (R 0.71), то есть только половина разброса отклика Y объясняется уравнением регрессии. В этой ситуации говорят, что влияние сигнала (фактора Х) равно влиянию помехи (слу чайной ошибки е). Поэтому при коэффициенте детерминации меньше чем 0.5, помехи начинают вносить основной вклад в вариацию переменной Y, и такая модель регрессии должна быть отвергнута.

- Если с.к.о. ошибки е ровно в два раза меньше, чем с.к.о. от клика Y, то есть число различимых градаций отклика равно 2, то R2 = 0.75 (R 0.87). Именно это значение рекомендуется принять в качестве минимально приемлемого значения коэффициента детерминации.

ПРИМЕЧАНИЕ. При оценке величин и NGRAD мы предполага ли, что мерой ширины полосы рассеяния данных относительно их среднего значения и мерой ширины полосы рассеяния данных от носительно линии регрессии являются соответствующие средне квадратичные отклонения. Если в качестве меры принять довери тельные интервалы, то формулы для и NGRAD изменятся, так как отклик Y и ошибка уравнения регрессии е - это случайные вели чины с вообще говоря различными законами распределения. Рас С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ пределение величины Y, особенно при ярко выраженной линейной зависимости, близко к равномерному. Распределение величины е в большинстве случаев близко к нормальному.

8.8. Необратимость решений МНК.

Если отвлечься от причинно-следственной связи и рассматри вать переменные Х и Y как равноправные, то по методу наименьших квадратов можно найти линейную регрессию как Y по X так и Х по Y.

Пусть линейная регрессия Y по X выражается функцией Y = a1X + b1, а линейная регрессия Х по Y функцией X = a2Y + b2. Оценки параметров a1 и a2 выражаются через ко эффициент корреляции между переменными Х и Y как:

N - X )(yk - Y ) (xk y k = a1 = = N x - X ) (xk k = N - X )(yk - Y ) (xk k =1 x a2 = = N y - Y ) (yk k = Тангенс угла наклона функции Y = a1X + b1 к оси х равен a1 = ( / ), а тангенс угла наклона функции X = a2Y + b y x к оси х равен 1/ a2 = (1/ ) ( / ). Это разные величины, сле y x довательно линии регрессии Y на Х и Х на Y - это разные прямые.

Они совпадают только тогда, когда модуль коэффициента корреляции | |= 1, то есть когда между переменными Х и Y существует строгая функциональная зависимость.

В несовпадении линий регрессии Y на Х и Х на Y и состоит необратимость решений МНК, то есть нельзя использовать величины (a2,b2 ) для вычисления величин (a1,b1) и наоборот:

1 b2 1 b a1 b1 - a2 b2 a2 a2 a1 a С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ 8.9. Статистические выводы о величине параметров одно факторной линейной регрессии.

Полученные в этой главе формулы для выборочных коэффициентов однофакторной линейной регрессии дают лишь оценки истинных значений этих коэффициентов.

Введем обозначения:

- истинные значения параметров линейной регрессии (a,b), - выборочные значения параметров линейной регрессии (a,b), 2 - выборочные дисперсии параметров (, ).

a b Выборочное распределение параметров линейной регрессии При анализе коэффициентов регрессии считают, что a - a b - b случайные величины ta = и tb = подчиняются a b распределению Стьюдента с = (N - 2) степенями свободы, где N - объем выборки. В этих формулах:

N - X )(yk - Y ) (xk N N 1 k = a = b = yk - a xk N N N k =1 k = - X ) (xk k = 2 N 2 e e = = a b xk N N - X )2 - X )2 N k = (xk (xk k =1 k = N = - axk - b) e (yk N - k = Доверительный интервал для параметров линейной регрес сии Доверительный интервал возможных значений величины t, характеризующийся доверительной вероятностью P или уровнем значимости q = 1- P, это такой интерквантильный С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ промежуток tq / 2, t t1-q / 2,, внутри которого лежат 100P процентов всех значений случайной величины t, а 100q процентов лежат вне этого промежутка. При этом 100q / процентов лежит слева от tq / 2, и 100q / 2 процентов лежит справа от t1-q / 2,.

Величины tq / 2, и t1-q / 2, - это квантили распределения Стьюдента с = N - 2 степенями свободы, причем, так как это распределение симметрично и имеет нулевое математическое ожидание, то tq / 2, = -t1-q / 2,.

Подставив значения ta = (a - a) / и tb = (b - b) / в a b двойное неравенство - t1-q / 2, t t1-q / 2, получим доверительные интервалы для истинных значений параметров линейной регрессии (a,b) :

a - t1-q / 2, a a + t1-q / 2, a a b - t1-q / 2, b b + t1-q / 2, b b Гипотезы о величине параметров линейной регрессии Когда речь идет о линейной регрессии, необходимо знать, насколько значимо отличаются от нуля величины параметров регрессии. Для проверки этого выдвигаются гипотезы:

H0 : a = 0 H0 : b = или H1 : a 0 H1 : b Проверка данных гипотез осуществляется в отдельности для каждого из параметров по следующей схеме:

1) Априорные предположения Истинные значения параметров регрессии равны нулю a = b = 2) Результаты испытания Выборочные коэффициенты регрессии и их выборочные с.к.о.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ a, a b, b при объеме выборки N.

3) Гипотеза H0 : a = 0 H0 : b = или H1 : a 0 H1 : b 4) Принятая величина уровня значимости q = 0.05 или q = 0. 5) Критерий проверки a - a a ta = = a a b - b b tb = = b b 6) Правило принятия решения Принять Н0, если - t1-q / 2, t t1-q / 2, В противном случае принять Н1, то есть Н1 принимается, когда критерий проверки t попадает в критическую область | t | > t1-q / 2,.

Граница критической области вычисляется как t1-q / 2, = СТЬЮДРАСПОБР(q, N - 2) В качестве критерия проверки t используются ta и tb.

7) Проверка гипотезы - Если - t1-q / 2, t t1-q / 2, то критерий проверки t не попа дает в критическую область и мы принимаем гипотезу Н0.

Это означает, что при заданном уровне значимости соответ ствующий параметр регрессии статистически незначимо от личается от нуля.

- В противном случае мы принимаем гипотезу Н1. Это озна чает, что при заданном уровне значимости соответствующий параметр регрессии статистически значимо отличается от нуля.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ 8.10. Статистические выводы о величине коэффициента де терминации.

Коэффициент детерминации является индикатором того, насколько хорошо изменения фактора X объясняют изменения отклика Y. Чем он ближе к единице, тем выше качество урав нения регрессии.

Так как коэффициент детерминации вычисляется по конечной случайной выборке, то он сам является случайной величиной. Проверка значимости коэффициента детерминации это проверка гипотезы о том, что он значимо отличается от нуля.

H0 : R2 = H1 : R2 > Критерий проверки рассчитывается по формуле:

R2 / m F = (1- R2) /(N - m -1) где N - объем выборки, m - количество независимых переменных (факторов). Критерий проверки подчиняется F распределению с m степенями свободы для числителя и (N - m -1) степенями свободы для знаменателя.

В случае однофакторной линейной регрессии критерий проверки принимает вид:

R F = (1- R2 ) /(N - 2) Количество степеней свободы для числителя равно 1, количество степеней свободы для знаменателя равно (N - 2).

Если в действительности переменная Y не зависит от переменной X, то коэффициент детерминации R2 и критерий проверки F равны нулю. При этом их оценки по случайной выборке могут отличаться от нуля, но чем больше это отличие, тем менее оно вероятно.

Если же критерий проверки F больше некоторого критического значения при заданном уровне доверительной вероятности, то это событие считается слишком маловероятным С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ и мы отвергаем гипотезу H0 и принимаем гипотезу H1. Это значит, что переменная Y зависит от переменной X.

Проверка гипотезы для однофакторной линейной регрессии проводится по следующей схеме:

1) Гипотеза H0 : R2 = H1 : R2 > 2) Принятая величина уровня значимости q = 0.05 или q = 0. 3) Критерий проверки R F = (N - 2) 1- R 4) Правило принятия решения Принять Н0, если F F1-q,1, 2.

В противном случае принять Н1, то есть Н1 принимается, когда критерий проверки F попадает в критическую область F > F1-q, 1, 2.

Здесь F1-q,1, 2 - это квантиль F -распределения, соответствующая уровню значимости q с 1 = 1 степенями свободы для числителя и = N - 2 степенями свободы для знаменателя.

Величину F1-q,1, 2 можно вычислить с помощью электронных таблиц Microsoft Excel:

F1-q, 1, 2 = FРАСПОБР(q,1, ) 5) Проверка гипотезы - Если F F1-q, 1, 2, то критерий проверки F не попадает в критическую область и мы принимаем гипотезу Н0. Это озна чает, что при заданном уровне значимости изменения фактора X не объясняют изменения отклика Y и регрессионная мо дель должна быть отвергнута.

- В противном случае мы принимаем гипотезу Н1. Это означает, что при заданном уровне значимости переменная Y зависит от переменной X.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ 8.11. Полоса неопределенности однофакторной линейной регрессии.

Так как параметры линейной регрессии зависимы между собой (b = Y - a X ), то уравнение регрессии можно переписать в виде f = ax + b = a (x - X ) + Y. Каждая точка на линии регрессии выражается через выборочные значения (a,Y ), 2 имеющие выборочные дисперсии (, ), и потому a Y является случайной величиной.

Дисперсия линии регрессии Так как в МНК предполагается, что фактор Х нестохастичен, то дисперсию точки на линии регрессии можно выразить следующим образом:

2 2 = (x - X )2 + Y f a Из этой формулы следует, что:

- дисперсия величины Y влияет на дисперсию точки на линии регрессии аддитивным образом, то есть ее вклад постоянен и не зависит от величины фактора Х, - дисперсия величины a влияет на дисперсию точки на линии регрессии мультипликативным образом, то есть ее вклад тем больше, чем больше абсолютное отклонение фактора Х от X.

С учетом того, что 2 2 e = Y = a e N N - X ) (xk k = для дисперсии точки на линии регрессии получим:

2 1 (x - X ) = + f e N N - X ) (xk k = С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ Доверительный интервал линии регрессии Аналогично тому, как мы нашли доверительные интервалы для истинных параметров линейной регрессии, мы можем записать доверительный интервал для линии регрессии в виде:

f - t1-q / 2, f f + t1-q / 2, f f Ширина доверительного интервала линии регрессии равна 2t1-q / 2,. Эту величину называют еще шириной полосы f неопределенности линии регрессии.

8.12. Прогнозирование на основе однофакторной линейной регрессии.

При прогнозировании, то есть при экстраполяции линии регрессии за пределы поля точек, по которым была получена эта линия, мы должны учитывать не только неопределенность положения самой линии регрессии (о чем говорилось в предыдущем параграфе), но и дисперсию случайных отклонений от нее (ошибок МНК).

Дисперсия прогноза Дисперсию случайной величины y = f + e в произвольной точке х можно выразить следующим образом:

2 2 = + f +e f e Используя полученную в предыдущем параграфе формулу для дисперсии линии регрессии получаем:

2 1 (x - X ) = 1+ + f +e e N N - X ) (xk k = Доверительный интервал прогноза Так как математическое ожидание ошибки МНК е равно нулю, то доверительный интервал для прогнозного значения отклика Y в точке х определяется неравенствами:

f - t1-q / 2, y f + t1-q / 2,.

f +e f +e С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ Назовем величину y = 2t1-q / 2, шириной полосы f +e неопределенности прогноза.

Горизонт прогнозирования Ширина полосы неопределенности прогноза минимальна при x = X и возрастает при увеличении абсолютной величины отклонения переменной х от X. Точность прогноза определяется шириной полосы неопределенности.

Пусть мы априорно задаем максимально возможную ширину неопределенности прогноза ymax и считаем, что точность прогноза является удовлетворительной, если в точке прогноза y ymax. При удалении от поля точек, по которым была получена линия регрессии, y обязательно достигнет ymax.

Соответствующее удаление называется горизонтом прогнозирования. Дальнейшее удаление приведет к тому, что y превысит ymax. Интервал значений х, в пределах которого точность прогноза является удовлетворительной, выражается неравенством:

| x - X | xmax ymax 2 N где xmax = -1- - X ) (xk 2t1-q / 2, e N k = 8.13. Проверка допущений МНК.

Изучая уравнение линейной регрессии мы предполагали, что реальная взаимосвязь фактора Х и отклика Y линейна, а отклонения от прямой регрессии случайны, независимы между собой, имеют нулевое математическое ожидание и постоянную дисперсию. Если это не так, то статистический анализ параметров регрессии некорректен и оценки этих параметров не обладают свойствами несмещенности и состоятельности.

Например, это может быть, если в действительности связь между переменными нелинейна. Поэтому после получения уравнения регрессии необходимо исследовать его ошибки.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ Ошибки метода наименьших квадратов, то есть величины ek = yk - fk должны обладать следующими свойствами:

1) Ошибки должны являться реализацией нормально распреде ленной случайной переменной.

2) Математическое ожидание ошибки должно быть равно ну лю: M (ek ) = 0.

3) Дисперсия ошибки должна быть постоянна: D(ek ) =.

4) Ошибки должны быть независимыми, то есть 0 k j cov(ek,ej ) = k = j После того, как получено уравнение регрессии y = ax + b + e, каждое из этих допущений должно быть проверено.

Проверка гипотезы о том, что ошибки нормально распреде лены Идентификация закона распределения случайной величины изучена в главе 6, поэтому здесь мы не будем подробно рассматривать этот вопрос. Кратко можно сказать, что проверка гипотезы о том, что ошибки МНК нормально распределены, проводится в два этапа:

1) По выборке (e1,e2,...,eN ) строится гистограмма распределения случайной величины е.

2) Полученная гистограмма проверяется на соответствие нормальному распределению с помощью критерия согласия Пирсона.

Проверка гипотезы о том, что математическое ожидание ошибки равно нулю Пусть ошибка МНК е имеет математическое ожидание µe и генеральную дисперсию. Состоятельными и несмещенными e оценками математического ожидания и дисперсии ошибки будут выборочная средняя и выборочная дисперсия:

N e = - axk - b) (yk N k = С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ N = - axk - b) e (yk N - k = Мы должны проверить гипотезу H0 : e = H1 : e Проверка этой гипотезы осуществляется по следующей схеме:

1) Априорные предположения Математическое ожидание ошибки равно нулю µe = 2) Результаты испытания Выборочная средняя ошибки и выборочное с.к.о. ошибки e, e при объеме выборки N.

3) Гипотеза H0 : e = H1 : e 4) Принятая величина уровня значимости q = 0.05 или q = 0. 5) Критерий проверки e - µe e t = = e e 6) Правило принятия решения Принять Н0, если - t1-q / 2, t t1-q / 2, В противном случае принять Н1, то есть Н1 принимается, когда критерий проверки t попадает в критическую область | t | > t1-q / 2,.

7) Проверка гипотезы - Если - t1-q / 2, t t1-q / 2, то критерий проверки t не попада ет в критическую область и мы принимаем гипотезу Н0. Это означает, что при заданном уровне значимости выборочная средняя ошибки e статистически незначимо отличается от ну ля.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ - В противном случае мы принимаем гипотезу Н1. Это означает, что при заданном уровне значимости в уравнении регрессии присутствует систематическая ошибка, и это уравнение должно быть уточнено.

Проверка гипотезы о том, что дисперсия ошибки постоянна Упорядочим исходную выборку (xk, yk ), k = 1,..., N по воз растанию величины x. Обозначим как N1/ 2 половину от объема выборки, то есть N1/ 2 = ЦЕЛОЕ(N / 2). Выберем число M N1/ 2. После этого по упорядоченной по возрастанию величи ны x выборке рассчитаем отклонения от линии регрессии, первое для k = 1,..., M (для меньших значений x ), второе для k = N - M +1,..., N (для больших значений x ). Для лучшего разграничения между двумя группами наблюдений число М можно выбрать таким образом, чтобы исключить до 20% серединных точек.

В случае постоянства дисперсии ошибок МНК необъясненная дисперсия для меньших значений x должна быть приблизительно равна необъясненной дисперсии для больших значений x, то есть должно быть справедливым следующее равенство:

M N 2 ek ek k =1 k =N -M + Обозначим большую из этих сумм как S12, а меньшую как S2.

Чем ближе к единице отношение S12 / S2, тем больше оснований рассчитывать на то, что дисперсия ошибок МНК постоянна. Слу чайная величина F = S12 / S2 подчиняется F -распределению Фишера с 1 = M - 2, = M - 2 степенями свободы. Проверка гипотезы о постоянстве дисперсии ошибок осуществляется по сле дующей схеме:

1) Гипотеза H0 : S12 = S H1 : S12 > S 2) Принятая величина уровня значимости С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ q = 0.05 или q = 0. 3) Критерий проверки S F = S 4) Правило принятия решения Принять Н0, если F F1-q, 1, В противном случае принять Н1, то есть Н1 принимается, когда критерий проверки F попадает в критическую об ласть F > F1-q,1, 2.

5) Проверка гипотезы - Если F F1-q, 1, 2, то критерий проверки F не попадает в критическую область и мы принимаем гипотезу Н0. Это оз начает, что при заданном уровне значимости дисперсия ошибок уравнения регрессии постоянна.

- В противном случае мы принимаем гипотезу Н1. Это озна чает, что при заданном уровне значимости уравнении рег рессии не является наилучшим приближением исходных данных.

Непостоянство дисперсии ошибок МНК возникает как правило в том случае, если неправильно выбран вид математической модели зависимости фактора Х и отклика Y. Например, если нелинейную зависимость пытаются аппроксимировать линейной функцией.

Проверка гипотезы о том, что ошибки независимы Одним из предполагаемых свойств уравнения регрессии y = ax + b + e является то, что ошибки е независимы между собой. На практике проверяется не независимость, а некоррелированность этих величин, которая является необходимым, но недостаточным признаком независимости.

При этом проверяется некоррелированность не любых, а соседних величин ошибок, которые можно получить, если ис ходная выборка (xk, yk ) k = 1,..., N упорядочена по возраста нию величины х.

Рассмотрим например корреляцию ошибок, сдвинутых друг относительно друга на один шаг.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ e1 e2 e3 K ek K eN e1 e2 K ek -1 K eN -1 eN Тогда значение выборочного коэффициента корреляции между вы боркой (e2,e3,...,eN ) и выборкой (e1,e2,...,eN -1) запишется в виде:

N - - e)(ek - e) (ek + k = k,k +1 = N -1 N - - e)2 - e) (ek (ek + k =1 k = Эту величину называют еще коэффициентом автокорреляции первого порядка. Так как согласно допущениям МНК математическое ожидание ошибки равно нулю, то формулу можно упростить:

N - ek ek + k = k,k +1 = N -1 N - 2 ek ek + k =1 k = Мы можем считать, что автокорреляция отсутствует, если выборочный коэффициент автокорреляции незначимо отличается от нуля, то есть в данном случае мы должны проверить гипотезу:

H0 : k,k +1 = H1 : k,k +1 В случае однофакторной линейной регрессии случайная k,k + величина t = N - 3 будет подчиняться 1- k,k + распределению Стьюдента с = (N -1) - 2 степенями свободы.

Поэтому гипотеза будет проверяться следующим образом:

1) Гипотеза H0 : k,k +1 = H1 : k,k +1 С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ 2) Принятая величина уровня значимости q = 0.05 или q = 0. 3) Критерий проверки k,k + t = N - 1- k,k + 4) Правило принятия решения Принять Н0, если - t1-q / 2, t t1-q / 2,.

В противном случае принять Н1, то есть Н1 принимается, когда критерий проверки t попадает в критическую область | t | > t1-q / 2,.

5) Проверка гипотезы - Если - t1-q / 2, t t1-q / 2,, то критерий проверки t не попа дает в критическую область и мы принимаем гипотезу Н0.

Это означает, что при заданном уровне значимости выбо рочный коэффициент автокорреляции первого порядка k,k +1 статистически незначимо отличается от нуля. Следо вательно, автокорреляция первого порядка ошибок МНК от сутствует.

- В противном случае мы принимаем гипотезу Н1. Это может означать, что нужно принять другую аналитическую модель зависимости между переменными Х и Y.

8.14. Сведение нелинейной функциональной зависимости к линейной путем преобразования данных.

До сих пор мы обсуждали линейную зависимость между фактором Х и откликом Y. Когда истинная взаимосвязь между ними носит нелинейный характер, в ряде случаев ее можно свести к линейной путем соответствующего преобразования данных. После этого к преобразованным данным может быть применена линейная регрессия. Преобразованные переменные и ) параметры мы будем отмечать символом (например x ).

В этом параграфе мы рассмотрим несколько наиболее употребительных видов нелинейной зависимости.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ 1) Экспоненциальная функция y = beax Экспоненциальная функция используется, когда при увели чении фактора Х отклик Y растет (a > 0) или снижается (a < 0) с постоянной относительной скоростью.

) ) )) Приведение к линейной зависимости y = ax + b осуществляется путем следующего преобразования данных:

) ) ) ) y = ln(y) x = x a = a b = ln(b) 2) Логарифмическая функция y = b + aln(x) Логарифмическая функция используется, когда при увели чении фактора Х отклик Y растет (a > 0) или снижается (a < 0) с уменьшающейся скоростью при отсутствии предельно возможного значения. Преобразование данных:

) ) ) ) y = y x = ln(x) a = a b = b 3) Степенная функция y = bxa Степенная функция используется когда при увеличении фактора Х отклик Y растет или снижается с разной мерой пропорциональности. Преобразование данных:

) ) ) ) y = ln(y) x = ln(x) a = a b = ln(b) 4) Логистическая функция y = 1+ e( x-b) / a Логистическая кривая имеет вид положенной на бок латин ской буквы S. Она описывает случай когда при увеличении фактора Х отклик Y изменяется (снижается при a > 0 или растет при a < 0 ) в пределах от 0 до 1. При этом изменения происходят при x < b с увеличивающейся скоростью и при x > b с уменьшающейся скоростью. Преобразование данных:

) ) ) ) y = ln(1/ y -1) x = x a = 1/ a b = -b / a a 5) Гиперболическая функция y = c + x + b С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ Во многих случаях для аппроксимации нелинейной зависи мости очень удобно использовать гиперболу, однако зачас тую об этом трудно догадаться. Дело в том, что мы легко узнаем только простую гиперболу, асимптотами которой являются оси координат, то есть y = a / x. Если эта гипер бола сдвинута вдоль одной из осей или вдоль обеих осей, то ее как правило не узнают.

Проверка того, является ли данная кривая гиперболой со сдвигом только вдоль оси х, то есть y = a /(x + b), прово дится путем следующего преобразования данных:

) ) ) ) y = 1/ y x = x a = 1/ a b = b / a Проверка того, является ли данная кривая гиперболой со сдвигом только вдоль оси у, то есть y = c + a / x, проводит ся путем преобразования данных:

) ) ) ) y = y x = 1/ x a = a b = c Особенно сложным является случай, когда гипербола сдви нута одновременно по обеим осям, то есть имеет вид a y = c +. В этом случае нужно двигаться методом по x + b следовательных приближений, то есть - задавать ряд значений параметра b, - вычислять значения 1/(x + b), - строить графики, где по оси абсцисс откладывать 1/(x + b), по оси ординат у, - выбрать то значение параметра b, при котором график наиболее близок к прямой линии.

8.15. Функция регрессии как комбинация нескольких функ ций.

На практике может оказаться, что функцию регрессии не возможно описать удовлетворительным образом ни линейной зависимостью, ни любой из перечисленных в предыдущем пара графе нелинейных функций. Тогда стоит попытаться аппрокси мировать ее комбинацией этих функций. Делается это следую щим образом:

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 8. Регрессионный анализ - В общем случае считаем, что зависимость между фактором Х и откликом Y нелинейна. Тогда, используя результаты из предыдущего параграфа, преобразуем исходную выборку (xk, yk ),k = 1,..., N таким образом, чтобы в первом при ближении можно было считать, что связь между преобразо ) ) ванными данными (xk, yk ), k = 1,..., N носит линейный ха рактер.

- Вычисляем параметры линейной регрессии.

- Вычисляем ошибки МНК ek, k = 1,..., N.

- Проверяем свойства ошибок МНК. Если ошибки не удовле творяют допущениям МНК, то полученная аппроксимация является слишком грубой.

- Дальнейшее уточнение модели можно сделать, если в каче стве зависимой переменной использовать полученные ошибки, то есть выборка приобретает вид ) (xk,ek ),k = 1,..., N. Эту выборку необходимо обработать по той же схеме. Процесс продолжается до тех пор, пока на оп ределенном шаге ошибки не станут удовлетворять допуще ниям МНК. При этом надо помнить, что нельзя излишне пе реусложнять модель, и что полученные по модели результа ты должны разумным образом интерпретироваться.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 9. Анализ Фурье 9. АНАЛИЗ ФУРЬЕ 9.1. Введение.

В этой главе излагается метод аппроксимации эмпириче ской зависимости тригонометрическим рядом Фурье. Даны формулы, позволяющие по реальной выборке вычислить коэф фициенты Фурье, амплитуду и фазу гармоник. Рассказано, как строится амплитудно-частотная характеристика разложения, и как она используется для выделения гармоник с максимальной амплитудой.

9.2. Численный анализ Фурье.

Пусть выборка значений фактора Х и отклика Y задана в ви де массива (xn, yn ),n = 0,..., N, содержащего N +1 точку, причем все значения фактора Х упорядочены по возрастанию и равноотстоят друг от друга. Будем считать, что величина Х из меняется в интервале (0, X ), следовательно выборка фактора max Х задается рядом xn = Xmax n / N.

Если принято решение о том, что связь переменных Х и Y носит периодический характер, то аппроксимировать зависи мость Y от Х на интервале (0, X ) необходимо тригонометри max ческим рядом, то есть функцией вида:

a0 M 2x 2x f (x) = + cosm + bm sinm am 2 X X m= max max Данная функция зависит от (2М+1) параметра (a0,a1,..., aM,b1,...,bM ). Так как количество неизвестных пара метров 2M +1 не должно превышать объем выборки N +1, то M N / 2.

Наилучшим приближением будет тригонометрический ряд с таким набором параметров, который минимизирует сумму квадра тов отклонений этого ряда от выборочных значений отклика Y, то есть N S = - f (xn )]2 min [yn n= С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 9. Анализ Фурье Без доказательства приведем формулы для определения искомых параметров:

N - 2 2n am = yn cosm 0 m M N N n= N - 2 2n bm = yn sinm 1 m M N N n= Определенные по этим формулам параметры называют коэффициентами Фурье, а тригонометрический ряд с такими коэффициентами является рядом Фурье. Тогда аппроксимация величины Y рядом Фурье в точке xn = X n / N будет равна:

max a0 M 2n 2n fn = + cosm + bm sinm am 2 N N m= При увеличении количества гармоник М эта аппроксимация все точнее описывает выборочные значения величины Y, и наконец при M = N / 2 для любого n становится справедливым равенство yn = fn.

Однако, наша задача состоит не в том, чтобы с абсолютной точностью аппроксимировать исходную выборку, то есть включить в математическую модель все наблюдающиеся осо бенности конкретной выборки, в том числе и те, которые в дей ствительности носят случайный характер. Нам нужно найти все го несколько наиболее значимых гармоник, то есть гармоник, имеющих максимальную амплитуду. Для этого необходимо по строить и проанализировать амплитудно-частотную характери стику разложения.

9.3. Амплитудно-частотная характеристика.

Введем параметры (Rm,m ), которые назовем амплитуда и фаза соответственно. Эти величины связаны с параметрами (am,bm ) следующими соотношениями:

bm 2 Rm = am + bm m = -arctg -

Глава 9. Анализ Фурье Тогда, заменив параметры (am,bm ), разложение Фурье можно переписать в виде a0 M 2n 2n fn = + cosm cosm - Rm sinm sinm Rm 2 N N m= a0 M 2n fn = + cosm +m Rm 2 N m= Назовем частотой колебаний величину m = m / N. Полный набор частот называется спектром разложения. Тогда оконча тельно получаем a0 M fn = + cos(2mn +m) Rm m= Смысл приведенных выше преобразований состоит в том, чтобы перейти от ряда из синусов и косинусов к ряду из одних косину сов. Если теперь построить график, где по оси абсцисс отложена частота, а по оси ординат отложена амплитуда, то есть график в координатах (m, Rm ), то наглядно будет видно, при каких зна чениях частоты наблюдаются максимумы амплитуды. Такой график называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). С помощью АЧХ мы получаем возможность выбрать из разложения Фурье только самые значимые гармоники и пренеб речь остальными. Заметим, что период колебания связан с частотой соотношением Tm = 1/m.

При необходимости аналогичным образом можно построить фазочастотную характеристику (ФЧХ), то есть график в коор динатах (m,m ).

9.4. Пример выделения основной гармоники с помощью анализа Фурье.

Рассмотрим выделение основной гармоники с помощью анализа Фурье на примере выборки, состоящей из 256-ти точек (xn, yn ),n = 0,...,255. График исходных данных приведен на рисунке.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 9. Анализ Фурье Исходные данные 0 50 100 150 200 250 - - - Этот график дает основания предположить, что связь перемен ных Х и Y носит периодический характер. По методике, изло женной в предыдущих 2-х параграфах, представим аппроксими рующую функцию рядом Фурье и построим амплитудно частотную характеристику.

АЧХ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0. частота Максимум амплитуды находится в начальной части спектра.

Рассмотрим подробнее этот участок.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

амплитуда Глава 9. Анализ Фурье АЧХ 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0. частота При ближайшем рассмотрении оказывается, что максимум амплитуды приходится на частоту 0.01 (период T 100 ).

Учитывая, что m = m / N, рассчитаем для этого значения час тоты коэффициенты разложения Фурье:

am = a(m ) = -0. bm = b(m ) = -2. Используя эти данные, вычисляем амплитуду и фазу основной гармоники:

Rm = 2. m = 1. Таким образом, Фурье-аппроксимация исходных данных и ошибки модели будут вычисляться по формулам fn = Rm cos(2mn +m ) = 2.8934 cos(2 0.01 n +1.607) en = yn - fn Приведем график исходных данных вместе с Фурье аппроксимацией и график остатков (ошибок модели).

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

амплитуда Глава 9. Анализ Фурье Исходные данные Фурье-аппроксимация 0 50 100 150 200 250 - - - Остатки 0 50 100 150 200 250 - - - Очевидно, что ошибки аппроксимации носят непериодиче ский характер. В противном случае нужно было бы повторить всю процедуру, используя в качестве исходной выборки эти ошибки, и повторять ее до тех пор, пока не будут выделены все значимые гармоники.

Па практике, при изучении динамики цен активов не реко мендуется использовать для аппроксимации этих рядов более трех гармоник Фурье.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов 10. ПРИМЕНЕНИЕ МНК ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДИНАМИ ЧЕСКИХ РЯДОВ 10.1. Введение.

Аналитическая аппроксимация динамического временного ряда, содержащего цены некоторого актива в последовательные моменты времени, представляет собой математическую модель развития во времени этого динамического ряда и описывает присущие ему статистические характеристики.

Аналитическая аппроксимация содержит в себе некоторую условность, связанную с тем, что цена актива рассматривается как функция времени. На самом деле цена зависит не от того, сколько времени прошло с начального момента, а от того, какие факторы на нее влияли, в каком направлении и с какой интен сивностью они действовали. Зависимость от времени можно рассматривать как внешнее выражение суммарного воздействия этих факторов. Удовлетворительным образом аппроксимировать динамический ряд с помощью метода наименьших квадратов возможно лишь тогда, когда воздействие всех влияющих факто ров однородно на всем рассматриваемом промежутке времени.

В случае, если динамический ряд цены актива удается ап проксимировать аналитической функцией времени с соблюде нием допущений МНК, становится возможной экстраполяция этой функции, то есть прогноз цены в будущие моменты време ни. Однако при этом стоит помнить, что при прогнозе неявным образом предполагается, что те же самые условия, в которых формировались цены в прошлом, будут существовать и в буду щем. Использование экстраполяции в изменившихся условиях будет приводить к ошибкам, выходящим за рамки обычных для МНК погрешностей, связанных с шириной полосы неопреде ленности линии регрессии. Долгосрочные прогнозы сопряжены с большими ошибками, чем краткосрочные. Во-первых, это свя зано с расширением полосы неопределенность линии регрессии при удалении от центра тяжести эмпирических данных, по кото рым эта линия была получена. Во-вторых, это связано с возрас танием влияния новых факторов при увеличении периода про гноза.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов Для того, чтобы динамический ряд можно было эффектив ным образом аппроксимировать с применением МНК, этот ряд должен удовлетворять следующим условиям:

- быть достаточно длинным, - быть как можно менее волатильным.

При этом следует сказать, что применение МНК при изучении временных рядов имеет следующие особенности:

- для адаптирования регрессионной модели к изменяющимся условиям необходимо периодически пересчитывать пара метры модели с учетом новых данных, а иногда возможно пересматривать саму модель, - при расчете параметров регрессии все эмпирические данные входят с одинаковым весом, хотя интуитивно понятно, что более поздние данные имеют большую ценность.

10.2. Модель динамики цен активов.

Биржевые цены активов формируются как результат совме стных действий большого количества участников рынка и, как следствие этого, в них присутствует случайная составляющая.

Рассмотрим временной ряд, состоящий из последователь ных значений цены некоторого актива P1, P2,..., Pt. Цена не мо жет быть отрицательной, но может принимать сколь угодно большие положительные значения. Следовательно, и отношение цен в последовательные моменты времени Pk / Pk -1 также не может оказаться ниже нуля, но может быть сколь угодно боль шим. Значит плотность вероятности цен активов и плотность вероятности отношения цен должны иметь положительную асимметрию.

Ситуация меняется при переходе к логарифмам отношения цен, то есть к величине yk = ln(Pk / Pk -1). Распределение лога рифмов уже может быть симметрично и возможна его аппрок симация одним из аналитических законов распределения, кото рые были рассмотрены во второй главе (как правило обобщен ным экспоненциальным распределением). При этом логарифм цены в произвольный момент времени складывается из лога рифма цены в начальный момент времени (эта величина пред С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов полагается нестохастической) и суммы логарифмов отношения цен:

t ln(Pt ) = ln(P0) + ) ln(P / Pk - k k = Если величины yk = ln(Pk / Pk -1) независимы и имеют конеч ную дисперсию, то согласно центральной предельной теореме величина yt = ln(Pt ) будет нормально распределена при любом законе распределения yk. Так как логарифм цены распределен нормально, то цена подчиняется логнормальному распределе нию.

Итак, если все случайные величины yk независимы и под чиняются одному и тому же закону распределения с математи ческим ожиданием µ и дисперсией, то случайная величина ln(Pt ) будет иметь нормальное распределение с математиче ским ожиданием µ t и дисперсией t. Следовательно, лога рифм цены в произвольный момент времени можно записать как ln(Pt ) = ln(P0 ) + µ t + t z где случайная величина z подчиняется стандартному нормаль ному распределению.

Рисковые активы имеют положительное математическое ожидание дохода, следовательно µ > 0. Величина µ определя ет тренд актива, то есть воздействие на цену постоянно дейст вующих систематических факторов.

Величина определяет волатильность актива, то есть воз действие на цену множества случайных факторов.

Отношение ожидаемого дохода к ожидаемому риску за еди ницу времени µ / характеризует степень устойчивости роста цены актива. Чем выше это отношение, тем привлекательнее при прочих равных условиях инвестиции в данный актив.

Наряду с влиянием постоянно действующих факторов и случайных колебаний, цена актива может испытывать воздейст вие причин, характеризующихся циклическими колебаниями.

Возникновение циклов связано с изменением оценки инвесто С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов рами ожидаемого дохода актива. С учетом периодических ком понент модель динамики цены можно представить в виде M ln(Pt ) = ln(P0) + µ t + cos(2t /Tm +m ) + t z Rm m= где Tm - период колебания, Rm - амплитуда колебания, m - на чальная фаза. Существует эмпирическое правило, которое назы вают принципом пропорциональности, согласно которому ам плитуды колебаний прямо пропорциональны их периодам. Для выделения отдельных гармоник из временного ряда цены актива используют анализ Фурье.

С учетом вышесказанного, исследование динамики цены актива должно включать в себя следующие этапы:

- определение тренда, - определение циклических компонент, - составление прогноза цены актива.

10.3. Определение тренда.

В качестве исходных данных рассмотрим цены закрытия по индексу Доу Джонса на последний торговый день месяца за пе риод с 1932 по 1999 год.

Индекс Доу Джонса Рассмотрим тот же график в полулогарифмическом масштабе.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

сен. дек. апр. янв. ноя. янв. мар. май. мар. июн. июл. Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов Индекс Доу Джонса Полулогарифмический график дает основания полагать, что тренд логарифма цены закрытия можно в первом приближении описать линейной функцией времени.

Для построения регрессионной модели в качестве фактора (не зависимой переменной) будем использовать номер месяца. При этом первый месяц в выборке (январь 1932 года) получает номер 0, последний месяц в выборке (декабрь 1999 года) получает номер 815, то есть tk = 0,...,815. Объем выборки N = 816 точек.

Откликом (зависимой переменной) является логарифм цены закрытия yk = ln(Pk ). Эмпирическая зависимость отклика от фак тора приведена на рисунке:

Эмпирическая зависимость 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

дек. апр. ноя. сен. янв. янв. июн. мар. июл. май. мар. Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов Оценка параметров линейной регрессии Примем гипотезу о том, что связь фактора и отклика выражает ся линейной функцией f (t) = at + b. Оценки параметров линейной регрессии проводятся по формулам:

N yk - N T Y tk k = a = b = Y - a T N - N T tk k = где N N 1 T = Y = yk tk N N k =1 k = Вычисленные значения параметров составляют:

a = 0.005, b = 4. Эмпирическая зависимость и линейная аппроксимация изобра жены на рисунке:

Эмпирическая зависимость и линейная аппроксимация 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. При этом график ошибок аппроксимации ek = yk - atk - b = yk - 0.005tk - 4. имеет вид:

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов Ошибки линейной аппроксимации 1. 0. 0. 0. 0. 0. -0. -0. -0. -0. -1. Дисперсия оценок параметров линейной регрессии Оценка дисперсии случайных отклонений отклика Y от линии регрессии (необъясненная дисперсия) вычисляется по формуле:

N N 1 2 = = - atk - b) e ek (yk N - 2 N - k =1 k = Вычисленные значения необъясненной дисперсии и соответст вующее с.к.о. равны:

= 0.098 = 0. e e Оценка дисперсии параметров a и b выражаются формулами:

N 2 2 xk 2 e e k = = = a b N N - X )2 - X )2 N (xk (xk k =1 k = Расчетные значения этих величин по выборке составляют:

= 2.2 10-9 = 4.7 10- a a = 4.8 10-4 = 2.2 10- b b Коэффициент детерминации Качество линии регрессии характеризуется коэффициентом де терминации:

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов N ek k = R2 =1 N - Y ) (yk k = В рассматриваемом случае эта величина равна R2 = 0.9348. Так как среднеквадратичные отклонения отклика Y и ошибок аппрок симации e связаны соотношением = 1- R2, то получаем, e y что с.к.о. ошибок приблизительно в четыре раза меньше с.к.о. от клика: = 0.255.

e y 10.4. Статистические выводы о величине параметров рег рессии.

Необходимо убедиться, что значения параметров регрессии значимо отличаются от нуля. Для проверки этого выдвигаются гипотезы:

H0 : a = 0 H0 : b = H1 : a 0 H1 : b 1) Примем величину уровня значимости q = 0. 2) Рассчитаем критерии проверки a 0. ta = = =106. 4.7 10- a b 4. tb = = = 2.2 10- b 3) Правило принятия решения Принять Н0, если - t1-q / 2, t t1-q / 2, В противном случае принять Н1, то есть Н1 принимается, когда критерий проверки t попадает в критическую область | t | > t1-q / 2,.

4) Расчет границ критической области С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов t1-q / 2, = СТЬЮДРАСПОБР(q, N - 2) = = СТЬЮДРАСПОБР(0.05, 814) = 1. 5) Проверка гипотезы Так как критерии проверки для обоих параметров регрессии находятся в критической области, мы принимаем гипотезу Н1.

Это означает, что при заданном уровне значимости параметры регрессии статистически значимо отличаются от нуля.

Статистические выводы о величине коэффициента детерми нации Убедимся в том, что коэффициент детерминации значимо отличается от нуля. Для проверки этого выдвигается гипотеза:

H0 : R2 = H1 : R2 > 1) Примем величину уровня значимости q = 0. 2) Рассчитаем критерий проверки R2 0. F = = = (1- R2) /(N - 2) (1- 0.9348) / 3) Правило принятия решения Принять Н0, если F F1-q, 1, 2.

В противном случае принять Н1, то есть Н1 принимается, когда критерий проверки F попадает в критическую область F > F1-q, 1, 2.

F1-q, 1, 2 - это квантиль F -распределения, соответствующая уровню значимости q с 1 = 1 степенями свободы для числителя и = N - 2 степенями свободы для знаменателя.

4) Расчет границ критической области F1-q, 1, 2 = FРАСПОБР(q,1, ) = = FРАСПОБР(0.05, 1, 814) = 3. 5) Проверка гипотезы Так как критерий проверки для коэффициента детерминации находится в критической области, мы принимаем гипотезу Н1.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов Это означает, что при заданном уровне значимости изменения отклика y объясняются изменением фактора t.

10.5. Полоса неопределенности рассеяния эмпирических данных относительно линии регрессии.

Дисперсия случайной величины y = f + e в произвольной точке t вычисляется по формуле:

1 (t - T ) 2 = 1+ + f +e e N N - T ) (tk k = где = 0.313 N = 816 T = 407. e N - T )2 = 45 (tk k = В данном случае на большом диапазоне изменения t без существенной потери точности вторым и третьим слагаемым в 2 скобках можно пренебречь, то есть.

f +e e Величина y = 2t1-q / 2, называется шириной полосы f +e неопределенности. Зададимся доверительной вероятностью P = 0.95 ( q = 0.05). Тогда квантиль распределения Стьюдента равна t1-q / 2, = СТЬЮДРАСПОБР(q, ) = = СТЬЮДРАСПОБР(0.05, 814) = 1. Ширина полосы неопределенности составит y = 2 1.96 0.313 = 1. Следовательно, с вероятностью P = 0.95 случайная величина y = f + e будет лежать в пределах:

f - y / 2 y f + y / (0.005 t + 4.402) - 0.613 y (0.005 t + 4.402) + 0. Эмпирическая зависимость и ее полоса неопределенности изобра жены на рисунке:

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов Эмпирическая зависимость и полоса неопределенности 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. Приведем также график ошибок МНК и его полосу неопреде ленности:

Ошибки лине йной апп рок симации и полоса неопределенности 1. 0. 0. 0. 0. 0. -0. -0. -0. -0. -1. Количество точек, находящееся внутри полосы неопределенно сти, равно 774, что составляет (774 / 816) 100% = 94.85% от объема выборки. Это соответствует доверительной вероятности P = 0.95.

10.6. Проверка допущений МНК.

Для того, чтобы мы могли сказать, что модель адекватна эмпирическим данным, ошибки е должны обладать следующи ми свойствами:

1) Ошибки должны являться реализацией нормально распреде ленной случайной переменной.

2) Математическое ожидание ошибки должно быть равно ну лю: M (ek ) = 0.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов 3) Дисперсия ошибки должна быть постоянна: D(ek ) =.

4) Ошибки должны быть независимыми, то есть 0 k j cov(ek,ej ) = k = j Проверка гипотезы о том, что ошибки нормально распреде лены Оценки основных параметров распределения величины е приведены в таблице:

Наименование оценки Величина 0. Центр распределения e 0. Среднеквадратичное отклонение e Коэффициент асимметрии 0. 0. С.к.о. коэффициента асимметрии Для проверки гипотезы о том, что ошибки нормально распределены, нам необходимо построить гистограмму выборочного распределения величины е.

Оптимальное число столбцов гистограммы можно найти, округлив вниз до ближайшего большего или равного пяти нечетного целого величину, определенную по формуле:

+1. 0. L = N Вычисленное значение L = 9. Таким образом, область изменения величины е разбивается на 9 интервалов, в каждом из которых необходимо рассчитать эмпирические частоты попадания в соответствующий интервал.

При использовании критерия согласия Пирсона необходимо вычислить величину:

L (Ti - si ) = Ti i= где L - количество столбцов гистограммы, С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов si - эмпирическая частота попадания в i-й столбец, Ti - теоретическая частота попадания в i-й столбец.

Приведем таблицу эмпирических частот.

Номер ин- Левая Правая Эмпирическая тервала граница граница частота si 1 -0.8732 -0.6791 2 -0.6791 -0.4851 3 -0.4851 -0.2911 4 -0.2911 -0.0970 5 -0.0970 0.0970 6 0.0970 0.2911 7 0.2911 0.4851 8 0.4851 0.6791 9 0.6791 0.8732 Так как отношение коэффициента асимметрии к его среднеквадратичному отклонению меньше трех / = 0.063/ 0.085 = 0.738 < то несимметричность носит случайный характер и распределение частот можно расчетным образом симметрировать относительно центрального пятого столбца:

Номер ин- Левая Правая Эмпирическая тервала граница граница частота si 1 -0.8732 -0.6791 13. 2 -0.6791 -0.4851 34. 3 -0.4851 -0.2911 105. 4 -0.2911 -0.0970 152. 5 -0.0970 0.0970 206. 6 0.0970 0.2911 152. 7 0.2911 0.4851 105. 8 0.4851 0.6791 34. 9 0.6791 0.8732 13. Вычислим теоретические частоты попадания в соответствующий интервал для нормального распределения с (µ = 0.01, = 0.313) и рассчитаем величину :

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов Номер ин- Левая Правая Эмпирическая Теоретическая (Ti - si ) тервала граница граница частота si частота Ti Ti 1 -0.8732 -0.6791 13.00 10.03 0. 2 -0.6791 -0.4851 34.00 37.08 0. 3 -0.4851 -0.2911 105.50 94.29 1. 4 -0.2911 -0.0970 152.50 165.03 0. 5 -0.0970 0.0970 206.00 198.88 0. 6 0.0970 0.2911 152.50 165.03 0. 7 0.2911 0.4851 105.50 94.29 1. 8 0.4851 0.6791 34.00 37.08 0. 9 0.6791 0.8732 13.00 10.03 0. ИТОГО = 7. Зададимся уровнем значимости q = 0.05. Тогда с учетом того, что количество степеней свободы равно = L -1- r = 9 -1- 2 = граница критической области вычисляется как:

1-q, = ХИ 2ОБР(0.05, 6) = 12. 2 Так как 1-q,, то распределение отклонений от линии регрессии можно аппроксимировать нормальным распределением при заданном уровне значимости.

Проверка гипотезы о том, что математическое ожидание ошибки равно нулю Проверка гипотезы осуществляется по схеме:

1) Априорные предположения Математическое ожидание ошибки равно нулю µe = 2) Результаты испытания Выборочная средняя ошибки и выборочное с.к.о. ошибки e = 0. = 0. e при объеме выборки N = 816.

3) Гипотеза С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов H0 : e = H1 : e 4) Принятая величина уровня значимости q = 0. 5) Расчет критерия проверки e - µe 0. t = = = 0. 0. e 6) Правило принятия решения Принять Н0, если - t1-q / 2, t t1-q / 2, В противном случае принять Н1.

7) Расчет границ критической области t1-q / 2, = СТЬЮДРАСПОБР(q, N - 2) = = СТЬЮДРАСПОБР(0.05, 814) = 1. 8) Проверка гипотезы Так как - t1-q / 2, t t1-q / 2, то мы принимаем гипотезу Н0, то есть при заданном уровне значимости выборочная средняя ошибки e статистически незначимо отличается от нуля.

Проверка гипотезы о том, что дисперсия ошибки постоянна Для проверки этой гипотезы разделим эмпирические данные на две группы по 350 точек: с 1-й по 350-ю и с 467-й по 816-ю точки. Серединные точки с 351-й по 466-ю (14.2% от объема выборки) исключаем для лучшего разграничения между группами. Рассчитаем суммы квадратов ошибок для каждой из этих групп:

816 2 S1 = = 50.37 S2 = = 19. e e k k k =467 k = Проверка гипотезы о постоянстве дисперсии осуществляется по схеме:

1) Гипотеза H0 : S12 = S H1 : S12 > S 2) Принятая величина уровня значимости С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов q = 0. 3) Расчет критерия проверки S12 50. F = = = 2. S2 19. 4) Правило принятия решения Принять Н0, если F F1-q, 1, В противном случае принять Н1, то есть Н1 принимается, когда критерий проверки F попадает в критическую об ласть F > F1-q,1, 2.

5) Расчет границ критической области F1-q, 1, 2 = FРАСПОБР(q,1, ) = = FРАСПОБР(0.01, 350 - 2, 350 - 2) = 1. 6) Проверка гипотезы Даже при уровне значимости q = 0.01 критерий проверки F попадает в критическую область F > F1-q,1, 2, то есть мы отклоняем гипотезу Н0 и принимаем гипотезу Н1. Сле довательно дисперсия ошибок регрессии не постоянна.

Проверка гипотезы о том, что ошибки независимы На практике проверяется не независимость, а некоррелированность ошибок, которая является необходимым, но недостаточным условием независимости. Для этого нужно рассчитать коэффициент автокорреляции первого порядка N - ek ek + k = k,k +1 = N -1 N - 2 ek ek + k =1 k = Для рассматриваемого здесь случая эта величина равна k, k +1 = 0.987. Очевидно, что коэффициент автокорреляции значимо отличается от нуля и ошибки уравнения высококорре лированы.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 10. Применение МНК при изучении динамических рядов Выводы Следует признать, что аппроксимация линейной функцией логарифма цены актива является неудовлетворительной, так как не соблюдаются два из четырех допущений МНК.

Не приводя доказательств скажем, что попытка уточнить модель путем введения циклических компонент не приводит к улучшению качества ошибок регрессии.

На практике при изучении динамических рядов цен активов используют методы адаптивного моделирования, о которых будет рассказано в следующих главах.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 11. Сглаживание динамических рядов 11. СГЛАЖИВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РЯДОВ 11.1. Введение.

Целью сглаживания динамического ряда является фильтра ция случайных колебаний уровней этого ряда и выявление наи более устойчивой тенденции движения. Мы будем рассматри вать методы сглаживания, базирующиеся на вычислении сколь зящих средних. Любое скользящее среднее - это метод опреде ления среднего уровня динамического ряда за некоторый пери од времени. Термин "скользящее" подразумевает, что среднее значение каждый раз заново вычисляется в последовательные моменты времени. В этой главе под динамическим рядом мы, как правило, будем понимать ряд, состоящий из цен активов.

11.2. Типы скользящих средних.

В общем виде формула для вычисления любой скользящей средней (moving average) имеет вид:

MA = yk wk k где {yk } - массив цен актива, {wk } - массив весов, с которыми цены входят в формулу.

При этом для набора весов должно соблюдаться правило нор мирования:

= wk k Скользящая средняя характеризуется:

- объектом вычисления, то есть тем динамическим рядом, кото рый необходимо сгладить, - периодом скользящей средней, - типом скользящей средней, который определяет алгоритм вы числения набора весов {wk }.

Различают три основных типа скользящих средних:

- простая скользящая средняя (SMA - simple moving average), - взвешенная скользящая средняя (WMA - weighted moving aver age), - экспоненциальная скользящая средняя (EMA - exponential moving average).

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 11. Сглаживание динамических рядов 11.3. Простая скользящая средняя.

Простая скользящая средняя порядка T - это средняя арифметическая цен за период времени [t - T +1, t], то есть t SMAt = yk T k =t-T + Внутри интервала t - T +1 k t все веса, с которыми входят цены при расчете скользящей средней одинаковы и равны wk = 1/T. За пределами этого интервала, то есть при k < t - T +1 веса равны нулю.

Первым недостатком SMA является равенство весов в пределах интервала расчета, так как интуитивно понятно, что последние данные должны иметь большую ценность, то есть входить в формулу для расчета с большим весом.

Второй недостаток SMA становится понятным при рассмотрении рекуррентной формулы для ее вычисления:

1 SMAt = SMAt -1 + yt - yt -T T T Очевидно, что SMA на каждую цену реагирует дважды: первый раз, когда цена входит в интервал расчета, и второй раз, когда цена выбывает из него. Вторая реакция никак не связана с текущей динамикой и, следовательно, нежелательна.

Традиционно, скользящую среднюю соотносят с последней точкой интервала расчета, то есть с моментом времени t, хотя, строго говоря, это некорректно. Вычисленное значение SMA нужно ставить в соответствие с точкой на оси времени, имеющей координату t t = k = t - (T -1) T k =t -T + то есть с точкой, сдвинутой влево по оси времени от момента t на величину t = (T -1) / 2.

11.4. Взвешенная скользящая средняя.

Взвешенная скользящая средняя придает больший вес по следним данным. Она рассчитывается путем умножения каждой С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 11. Сглаживание динамических рядов цены в пределах периода времени [t - T +1, t] на соответствующий вес. В простейшем случае при линейно убывающих весах от момента t до момента t - T +1 формула имеет вид:

t WMAt = [k - (t - T )] yk T (T +1) k =t-T + Цена в момент времени k = t входит в формулу для расчета с максимальным весом w = 2 /(T +1), а цена в момент времени k = t - T +1 входит в формулу для расчета с минимальным весом w = 2 /(T (T +1)).

При отсутствии специализированных программ технического анализа, для расчета линейно взвешенной скользящей средней может быть полезна рекуррентная формула 2 2 WMAt = WMAt-1 + yt - yt -T - SMAt T T (T +1) (T +1) Из этой формулы следует, что реакция WMA на выбытие цены из интервала расчета менее выражена, чем у SMA, и эта реакция тем меньше, чем больше период скользящей средней.

11.5. Экспоненциальная скользящая средняя.

Как и в случае взвешенной средней, экспоненциальная скользящая средняя придает больший вес последним данным, однако при расчете используется вся история цен. Рекуррентная формула для ее вычисления имеет вид:

EMAt = yt + (1-) EMAt- 0 < Показательный процент определяет степень сглаживания. Чем больше, тем меньше степень сглаживания. При = 1 экспо ненциальная скользящая средняя равна цене.

EMA лишена недостатка, присущего SMA и WMA, связанного с фиксированным интервалом расчета скользящей средней.

Формулу для вычисления EMA можно записать в явном виде, если предположить, что в нулевой момент времени скользящая средняя совпадает с ценой ( EMA0 = y0 ):

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 11. Сглаживание динамических рядов EMAt = yt + (1-) EMAt-1 = = yt + (1-) yt-1 + (1-)2 EMAt -2 = = yt + (1-) yt-1 + (1-)2 yt -2 + (1-)3 EMAt-3 = = yt + (1-) yt-1 + (1-)2 yt -2 +K+ (1-)t y Следовательно t- i EMAt = (1-) yt-i + (1-)t y i= или (эквивалентная форма записи) t t-k EMAt = (1-) yk + (1-)t y k = Вычисленное значение ЕMA нужно ставить в соответствие с точкой на оси времени, имеющей координату t-1 t -1 t - i i i t = (1-) (t - i) = t(1-) -(1-) i i=0 i=0 i= Суммы в последней формуле вычисляются как t - i (1-) = 1- (1-)t i= t - i (1-) i = (1-) - (1+t -)(1-)t i= После несложных преобразований получаем, что (1-) (1-)t + t = t - + При достаточно большом t, т.к. (1- ) < 1, то (1-)t+1 0, значит можно пренебречь последним слагаемым и написать приближенное выражение t t - (1-) /.

Период ЕМА Момент времени t сдвинут влево по оси времени от момента t на величину t = (1-) /. Если по аналогии с простой скользящей средней обозначить эту величину как С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 11. Сглаживание динамических рядов t = (T -1) / 2, где T является периодом, то связь периода и показательного процента задается выражением:

(1-) (T -1) = Отсюда следуют формулы для конвертирования показательного процента в период и наоборот:

2 T = -1 = T + С учетом этих соотношений можно переписать рекуррентную формулу для ЕМА:

2 T - EMAt = yt + EMAt - T +1 T + ЕМА произвольного порядка До сих пор мы рассматривали экспоненциальную скользящую среднюю первого порядка, то есть сглаживанию подвергался непосредственно исходный динамический ряд:

EMAt(1) = yt + (1-) EMAt(1) - При обозначении ЕМА первого порядка верхний индекс обычно опускается.

Экспоненциальная скользящая средняя произвольного n -го порядка задается формулой:

EMAt(n) = EMAt(n-1) + (1-) EMAt(n) - DEMA Рассмотрим ошибку ЕМА, то есть величину et = yt - EMAt.

Если прибавить к значению экспоненциальной скользящей средней цены значение экспоненциальной скользящей средней ошибки, то такая величина называется двойной экспоненциальной скользящей средней:

DEMAt = EMAt + EMA(et ) = EMAt + EMA( yt - EMAt ) = = 2 EMAt - EMA(EMAt ) 2 EMAt(1) - EMAt(2) С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 11. Сглаживание динамических рядов TEMA Рассмотрим ошибку DЕМА, то есть величину et = yt - DEMAt. Тогда тройная экспоненциальная скользящая средняя вычисляется по формуле:

TEMAt = DEMAt + EMA(et ) = DEMAt + EMA(yt - DEMAt ) После преобразований получим, что TEMAt = 3 EMAt - 3 EMA(EMAt ) + EMA(EMA(EMAt )) 3 EMAt(1) - 3 EMAt(2) + EMAt(3) 11.6. Точки пересечения экспоненциально сглаженных кри вых.

Часто в момент времени t ("сегодня") необходимо знать, какая цена должна быть в момент времени t +1 ("завтра"), что бы произошло пересечение цены y с какой-либо экспоненци ально сглаженной кривой или пересечение двух различных экс поненциально сглаженных кривых. Приведем соответствующие формулы для некоторых наиболее важных случаев.

1) Пересечение цены y и ЕМА 1-го порядка yt+1 = EMAt(1) 2) Пересечение цены y и ЕМА 2-го порядка EMAt(2) + EMAt(1) yt +1 = 1+ 3) Пересечение цены y и DЕМА (1-) ((2 -) EMAt(1) - EMAt(2)) yt +1 = 1- (2 -) или (1-) (DEMAt - EMAt(1)) yt+1 = 1- (2 -) 4) Пересечение двух ЕМА 1-го порядка различных периодов ( ( (1-2 ) EMA2t1) - (1-1) EMA1t1) yt+1 = 1 - С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 11. Сглаживание динамических рядов ( EMA1t1) характеризуется показательным процентом 1, ( EMA2t1) характеризуется показательным процентом 2.

5) Пересечение двух ЕМА 2-го порядка различных периодов ( (2) yt+1 = [2 (1-2) EMA2t1) + (1-2) EMA2t ( (2) 2 -1 (1-1) EMA1t1) - (1-1) EMA1t ]/[1 -2 ] ( (2) EMA1t1) и EMA1t характеризуются показательным про центом 1, ( (2) EMA2t1) и EMA2t характеризуются показательным про центом 2.

6) Пересечение ЕМА 1-го порядка (показательный процент 1 ) и ЕМА 2-го порядка (показательный процент 2 ) ( (2) yt+1 = [2 (1-2) EMA2t1) + (1-2) EMA2t ( - (1-1) EMA1t1)]/[1 -2 ] 11.7. Выбор величины показательного процента для экспо ненциальной скользящей средней.

Для того, чтобы оценить, насколько хорошо подобрана ве личина показательного процента, необходимо рассмотреть ошибки, возникающие при прогнозировании уровня цены в мо мент времени t +1 ("завтра") значением ЕМА в момент времени t ("сегодня"). Введем обозначения:

- yt - цена в момент времени t, - - показательный процент сглаживания ряда цен, - Yt - ЕМА для ряда цен, т.е. Yt = yt + (1-) Yt-1, - ft - прогноз цены, причем ft+1 = Yt, - et - ошибка прогноза, т.е. et = yt - ft, - - показательный процент сглаживания ряда квадратов ошибок прогноза, - Qt - ЕМА для ряда квадратов ошибок прогноза, т.е.

Qt = et2 + (1- ) Qt-1.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 11. Сглаживание динамических рядов Оптимизация величины показательного процента - это под бор такого его значения, чтобы при фиксированном добиться того, чтобы Qt min. Обычно величину выбирают в пре делах от 0.1 до 0.2, что приблизительно соответствует периоду сглаживания в пределах от 10 до 20.

11.8. Экспоненциальная скользящая средняя с переменным показательным процентом.

На нестабильных рынках имеет смысл использовать ЕМА с переменным показательным процентом, который по мере полу чения новых данных постоянно подстраивается к текущей ры ночной ситуации. Введем обозначения:

- yt - цена в момент времени t, - t - переменный показательный процент сглаживания ряда цен, - Yt - ЕМА для ряда цен, т.е. Yt = t yt + (1-t ) Yt-1, - ft - прогноз цены, причем ft+1 = Yt, - et - ошибка прогноза: et = yt - ft, - - показательный процент сглаживания ошибок прогноза и модулей ошибок прогноза, - Et - ЕМА ошибок прогноза: Et = et + (1- ) Et -1, - At - ЕМА модулей ошибок : At = | et | +(1- ) At-1.

Значение переменного показательного процента в каждый мо мент времени вычисляют по формуле t =| Et / At |. Величину выбирают в пределах от 0.1 до 0.2.

11.9. Дисперсия скользящих средних.

Рассмотрим на качественном уровне вопрос о том, как со относится дисперсия значений исходного динамического ряда с дисперсией скользящей средней этого ряда. Для простоты будем предполагать, что исходный динамический ряд состоит из слу чайных величин, имеющих одинаковую дисперсию, причем в пределах интервала сглаживания средняя величина коэффици С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 11. Сглаживание динамических рядов ента корреляции между значениями исходного ряда в различные моменты времени равна.

В общем виде формула для вычисления любой скользящей средней имеет вид:

Y = yk wk k Дисперсия случайной величины, являющейся линейной комбинацией коррелированных случайных величин равна:

2 2 = + 2 wk ik Y wk k wi i k k k i>k Используя допущения о постоянстве дисперсий и коэффициен тов корреляций, эту формулу можно упростить:

2 2 2 + 2 wk = Y wk wi k k i>k Следовательно Y = + 2 wk wk wi k k i>k Согласно правилу нормирования весов справедливо равенство + 2 wk = wk wi k k i>k 2 Отсюда можно сделать вывод, что так как 1, то.

Y Дисперсия простой скользящей средней Формула для простой скользящей средней имеет вид:

t Y = yk T k =t-T + Найдем суммы весов, входящие формулу для вычисления отношения дисперсии скользящей средней к дисперсии исходного ряда:

t t = wk (1/T )2 = T k =t -T +1 k =t-T + t t t t 2 wk = wi (1/T )2 = T - T k =t -T +1 i=k +1 k =t -T +1 i=k + С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 11. Сглаживание динамических рядов Y 1 T - В итоге получаем: = + T T Дисперсия экспоненциальной скользящей средней Формула для экспоненциальной скользящей средней имеет вид:

t- i Y = (1-) yt-i + (1-)t y i= Приведем выражения для сумм весов, входящие в формулу для вычисления отношения дисперсии скользящей средней к дисперсии исходного ряда:

t t 2 2 2k = (1-)2t + + wk (1-) = 2 - 2 (1-)2t 2 - 2 k =0 k = t t 2 - 2 2 - 2 wiwk = - (1-)2t 2 - 2 k =0 i=k + При достаточно большом t, так как (1- ) < 1, то (1-)2t 0.

Y 2 - 2 1 T - Следовательно = + = + 2 - 2 - T T С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов 12. АДАПТИВНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕС КИХ РЯДОВ 12.1. Введение.

Аналитическая аппроксимация динамического ряда какой либо моделью с помощью МНК имеет ряд особенностей, кото рые накладывают ограничения на ее применение:

- динамический ряд, к которому применяется аппроксимация, должен быть достаточно длинным, - применение аналитической аппроксимации эффективно только в случае, если уровни динамического ряда меняются достаточно плавно и медленно, то есть ряд должен быть не волатильным, - аналитическая аппроксимация не адаптируется к появлению новых данных, то есть при появлении новых данных необ ходимо пересчитать параметры модели, а иногда возможно пересмотреть саму модель, - при расчете параметров модели все эмпирические данные входят с одинаковым весом, хотя понятно, что более позд ние данные имеют большую ценность.

Однако ряды цен активов как правило подвержены значитель ным колебаниям, которые аппроксимация не может предвидеть.

Поэтому на практике применительно к таким рядам используют методы адаптивного моделирования, которые базируются на экспоненциальном сглаживании динамического ряда (экспонен циальной скользящей средней).

Основным преимуществом методов, основанных на экспо ненциальном сглаживании, является учет временной ценности данных и, следовательно, постоянное адаптирование к изме няющимся уровням динамического ряда, что имеет решающее значение при моделировании и прогнозировании волатильных рядов.

12.2. Адаптивное моделирование линейного тренда с помо щью экспоненциальных скользящих средних.

Пусть есть основания полагать, что исходный динамиче ский ряд {yt} можно описать линейной функцией С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов f (t) = a(0) + a(1) t. Наличие случайных отклонений приведет к тому, что связь между рассчитанными по модели значениями ft и реальными уровнями динамического ряда yt будет выражать ся в виде:

yt = ft + et = a(0) + a(1) t + et где et - это расхождения между моделью и реальными уровнями. Используя экспоненциальные скользящие средние вычислим неизвестные параметры (a(0),a(1) ).

Обозначения Введем следующие обозначения:

- Yt(1) - ЕМА 1-го порядка исходного динамического ряда, - Yt(2) - ЕМА 2-го порядка исходного динамического ряда, - Et(1) - ЕМА 1-го порядка ошибок модели, - Et(2) - ЕМА 2-го порядка ошибок модели, - - показательный процент ЕМА.

Вычисление Yt(1) t- i Yt(1) = (1-) yt-i + (1-)t y0 = i= t- i = (a(0) (1-) + a(1)(t - i) + et-i)+ (1-)t (a(0) + e0) = i= t-1 t- i i = (a(0) + a(1)t) (1-) -a(1)(1-) i + (1-)t a(0) + i=0 i= t- i + (1-) et-i + (1-)t e i= Суммы в последней формуле вычисляются как t - (1- )i = 1- (1-)t i= С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов t - (1- )i i = (1- ) - (1+t -)(1- )t i= При достаточно большом t, так как (1-) < 1, то (1-)t 0 и можно написать приближенные выражения:

t - i (1-) i= t - i (1-) i (1-) i= Выражение в квадратных скобках равно Et(1).

С учетом всего вышесказанного формула для Yt(1) примет вид:

(1-) Yt(1) = a(0) + a(1)t - a(1) + Et(1) или (1-) Yt(1) = ft - a(1) + Et(1) Очевидно, что между ЕМА 1-го порядка Yt(1) и моделью ft суще ствует постоянный сдвиг, равный - a(1) (1-) /. Величина это го сдвига пока неизвестна, так как она выражается через неизвест ный параметр a(1).

Вычисление Yt(2) t - i Yt(2) = (1-) Yt(1) + (1-)tY0(1) = -i i= t - i = (1-) a(0) + a(1) (t - i) - a(1) (1-) + Et(1) + -i i= (1-) ( + (1-)t a(0) - a(1) + E01) Дальнейшие выкладки полностью аналогичны тем, которые были сделаны при вычислении Yt(1). Приведем сразу конечный резуль тат:

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов (1-) Yt(2) = a(0) + a(1)t - 2a(1) + Et(2) или (1-) Yt(2) = ft - 2a(1) + Et(2) Вычисление параметров линейного тренда Имеем систему уравнений с двумя неизвестными (a(0),a(1) ) :

(1-) Y (1) = a(0) + a(1)t - a(1) + Et(1) t Yt(2) = a(0) + a(1)t - 2a(1) (1-) + Et(2) Решая эту систему находим неизвестные параметры (a(0),a(1) ) a(0) = Yt(1) +[(Yt(1) - Yt(2))-(Et(1) - Et(2))]1- t - Et(1) 1 a(1) = [(Yt(1) - Yt(2))-(Et(1) - Et(2))] 1 При переносе начала отсчета в точку t получим at(0) = (2Yt(1) - Yt(2))-(2Et(1) - Et(2)) at(1) = [(Yt(1) - Yt(2))-(Et(1) - Et(2))] 1 В разные моменты времени t значения коэффициентов будут различны. Поэтому в формулах они отмечены соответствующими моменту времени индексами.

Прогноз уровней динамического ряда Прогнозное значение динамического ряда в момент времени t + равно ft+ = at(0) + at(1).

Замечание В формулах для вычисления параметров линейной регрессии (at(0), at(1) ) присутствуют величины Et(1) и Et(2), которые являют С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов ся ЕМА от ошибок уравнения регрессии et = yt - ft, то есть при вычислении (at(0), at(1) ) возникает перекрестная ссылка. Поэтому на первом этапе нужно использовать упрощенные формулы, не учитывающие скользящих средних ошибок.

Алгоритм вычисления параметров линейного тренда 1) Рассчитать ЕМА 1-го и 2-го порядка исходного ряда:

Yt(1) и Yt(2) 2) Вычислить в первом приближении параметры линейного трен да:

at(0) = 2Yt(1) - Yt(2) at(1) = (Yt(1) - Yt(2)) 1 3) Для каждого момента времени t найти прогнозное значение на шагов вперед ( 1) согласно уравнению регрессии:

ft+ = at(0) + at(1) 4) Рассчитать ошибки прогноза:

et = yt - ft 5) Вычислить ЕМА 1-го и 2-го порядка ошибок прогноза:

Et(1) и Et(2) 6) Определить окончательные значения параметров линейного тренда:

at(0) = (2Yt(1) - Yt(2))-(2Et(1) - Et(2)) at(1) = [(Yt(1) - Yt(2))-(Et(1) - Et(2))] 1 ЕМА ошибок могут ухудшить качество прогноза. В этом слу чае при расчете параметров линейного тренда нужно остано виться на шаге 2 этого алгоритма.

12.3. Адаптивное моделирование параболического тренда с помощью экспоненциальных скользящих средних.

Пусть исходный динамический ряд {yt} можно описать пара болой f (t) = a(0) + a(1)t + a(2)t. Наличие случайных отклонений С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов приведет к тому, что связь между рассчитанными по модели значе ниями ft и реальными уровнями динамического ряда yt будет выражаться в виде:

yt = ft + et = a(0) + a(1)t + a(2)t + et где et - это расхождения между моделью и реальными уровнями.

Используя экспоненциальные скользящие средние вычислим неиз вестные параметры (a(0), a(1), a(2) ).

Обозначения Введем обозначения:

- Yt(1) - ЕМА 1-го порядка исходного динамического ряда, - Yt(2) - ЕМА 2-го порядка исходного динамического ряда, - Yt(3) - ЕМА 3-го порядка исходного динамического ряда, - Et(1) - ЕМА 1-го порядка ошибок модели, - Et(2) - ЕМА 2-го порядка ошибок модели, - Et(3) - ЕМА 3-го порядка ошибок модели, - - показательный процент ЕМА.

Вычисление Yt(1), Yt(2) и Yt(3) t- i Yt(1) = (1-) yt-i + (1-)t y0 = i= t- = (1- )i(a(0) + a(1)(t - i) + a(2)(t - i)2 + et-i)+ i= + (1-)t (a(0) + e0) t -1 t - i i Yt(1) = (a(0) + a(1)t + a(2)t2 ) (1-) -(a(1) + 2a(2)t)(1-) i + i=0 i= t -1 t - i + a(2) + (1- )t e (1- )i i2 + (1- )t a(0) + (1-) et -i i=0 i= При достаточно большом t, так как (1-) < 1, то (1-)t 0.

Следовательно:

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов t - (1- )i i= t - (1- )i i (1- ) i= t - (1- )i i2 (1-)(2 - ) i= Выражение в квадратных скобках равно Et(1).

С учетом всего вышесказанного формула для Yt(1) примет вид:

Yt(1) = b(0) + b(1)t + a(2)t + Et(1) где 1- (1-)(2 -) b(0) = a(0) - a(1) + a(2) 1 b(1) = a(1) - 2a(2) Расчет Yt(2) и Yt(3) проводятся по той же схеме. Приведем сразу конечный результат.

Yt(2) = c(0) + c(1)t + a(2)t + Et(2) где 1- (1-)(2 -) c(0) = b(0) - b(1) + a(2) 1 c(1) = b(1) - 2a(2) (0) (1) Yt(3) = d + d t + a(2)t + Et(3) где 1- (1-)(2 -) (0) d = c(0) - c(1) + a(2) 1 (1) d = c(1) - 2a(2) С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов Вычисление параметров параболического тренда Используя эти результаты найдем неизвестные параметры параболического тренда (a(0), a(1), a(2) ). Перенеся начало сис темы отсчета в точку t после довольно громоздких преобразований можно получить:

at(0) = (3Yt(1) - 3Yt(2) + Yt(3))-(3Et(1) - 3Et(2) + Et(3)) at(1) = (Yt(1) (6 - 5 ) - Yt(2) (10 - 8 ) + Yt(3) (4 - 3 )) 2(1-) - (Et(1) (6 - 5 ) - Et(2) (10 - 8 ) + Et(3) (4 - 3)) 2(1- ) at(2) = (Yt(1) - 2Yt(2) + Yt(3)) 2(1-) - (Et(1) - 2Et(2) + Et(3)) 2(1-) Прогноз уровней динамического ряда Прогнозное значение динамического ряда в момент времени t + равно ft+ = at(0) + at(1) + at(2).

Замечание В формулах для вычисления параметров параболической регрессии (at(0), at(1), at(2) ) присутствуют величины Et(1), Et(2) и Et(3), которые являются ЕМА от ошибок уравнения регрессии et = yt - ft, то есть при вычислении (at(0), at(1), at(2) ) возникает перекрестная ссылка. Поэтому на первом этапе нужно использо вать упрощенные формулы, не учитывающие скользящих сред них ошибок.

Алгоритм вычисления параметров параболического тренда 1) Рассчитать ЕМА 1-го, 2-го и 3-го порядков исходного ряда:

Yt(1), Yt(2) и Yt(3) С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов 2) Вычислить в первом приближении параметры параболического тренда:

at(0) = 3Yt(1) - 3Yt(2) + Yt(3) at(1) = (Yt(1)(6 - 5) -Yt(2)(10 - 8) + Yt(3)(4 - 3)) 2(1-) at(2) = (Yt(1) - 2Yt(2) + Yt(3)) 2(1-) 3) Для каждого момента времени t найти прогнозное значение на шагов вперед ( 1) согласно уравнению регрессии:

ft+ = at(0) + at(1) + at(2) 4) Рассчитать ошибки прогноза:

et = yt - ft 5) Вычислить ЕМА 1-го, 2-го и 3-го порядков ошибок прогноза:

Et(1), Et(2) и Et(3) 6) Определить окончательные значения параметров параболиче ского тренда:

at(0) = (3Yt(1) - 3Yt(2) + Yt(3))-(3Et(1) - 3Et(2) + Et(3)) at(1) = (Yt(1) (6 - 5 ) - Yt(2) (10 - 8 ) + Yt(3) (4 - 3 )) 2(1-) - (Et(1) (6 - 5 ) - Et(2) (10 - 8 ) + Et(3) (4 - 3)) 2(1- ) 2 at(2) = (Yt(1) - 2Yt(2) +Yt(3))- (Et(1) - 2Et(2) + Et(3)) 2(1-)2 2(1-) ЕМА ошибок могут ухудшить качество прогноза. В этом случае при расчете параметров параболического тренда нужно остано виться на шаге 2 этого алгоритма.

12.4. Выбор величины показательного процента при адап тивном моделировании.

Для того, чтобы оценить, насколько хорошо подобрана ве личина показательного процента, необходимо рассмотреть С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов ошибки, возникающие при прогнозировании уровня цены в мо мент времени t + моделью:

ft+ = at(0) + at(1) или ft+ = at(0) + at(1) + at(2) Введем обозначения:

- t - ошибка прогноза (t = yt - ft ):

для линейной модели t = yt - (at(0) + at(1) ), - для параболы t = yt - (at(0) + at(1) + at(2) ).

- - Заметим, что ошибки прогноза зависят не только от, но и от интервала прогнозирования.

- - показательный процент сглаживания ряда квадратов ошибок прогноза, - Qt - ЕМА для ряда квадратов ошибок прогноза:

Qt = t2 + (1- ) Qt-1.

Оптимизация величины показательного процента - это под бор такого его значения, чтобы при фиксированном добиться того, чтобы Qt min. Обычно величину выбирают в пре делах от 0.1 до 0.2, что приблизительно соответствует периоду сглаживания в пределах от 10 до 20.

12.5. Адаптивное моделирование с переменным показатель ным процентом.

На нестабильных рынках имеет смысл использовать адап тивное моделирование с переменным показательным процентом t, который по мере получения новых данных постоянно под страивается к текущей рыночной ситуации.

Введем обозначения:

- t - ошибка прогноза (t = yt - ft ):

для линейной модели t = yt - (at(0) + at(1) ), - для параболы t = yt - (at(0) + at(1) + at(2) ).

- - - - показательный процент сглаживания ошибок прогноза и модулей ошибок прогноза, - t - ЕМА ошибок прогноза:

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 12. Адаптивное моделирование динамических рядов t = t + (1- ) t-1, - At - ЕМА модулей ошибок прогноза, At = | t | +(1- ) At-1.

Значение переменного показательного процента в каждый мо мент времени вычисляют по формуле t =| t / At |. Величину выбирают в пределах от 0.1 до 0.2.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 13. Механические торговые системы 13. МЕХАНИЧЕСКИЕ ТОРГОВЫЕ СИСТЕМЫ 13.1. Введение.

Определим инвестирование как вложение свободных де нежных средств в различные виды финансовых активов с целью получения прибыли. При формировании инвестиционного портфеля выбирается такой набор активов и такой способ управления ими, которые бы обеспечивали ожидаемый доход не ниже заранее заданного минимального значения при риске по лучения дохода не выше заранее заданного максимального зна чения. Существуют два основных способа управления портфе лем ценных бумаг: активный и пассивный.

Суть пассивного управления состоит в создании хорошо ди версифицированного, состоящего из большого количества акти вов портфеля, и продолжительного удерживания его в неизмен ном состоянии. Пассивный портфель характеризуется низким оборотом и малым уровнем накладных расходов.

Мы сконцентрируем внимание на рассмотрении активного управления портфелем, которое нацелено на получение дохода выше среднерыночного уровня. Активное управление подразу мевает:

- выбор небольшого количества высоколиквидных активов для формирования портфеля, - определение правил открытия и закрытия позиций по каж дому из активов, - определение объема открываемых позиций, - оптимизацию портфеля, то есть методы снижения рисков.

Определим некоторые понятия, которые будем использовать в дальнейшем.

Механическая торговая система (MTС) - набор правил, од нозначно определяющих моменты открытия и закрытия пози ций, то есть MTС задает правила входа в позицию, правила выхода из выигрывающей позиции, правила выхода из проигрывающей позиции.

Управление капиталом - набор правил, определяющих объем открываемых позиций в момент поступления соответствующих сигналов от MTС.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 13. Механические торговые системы Оптимизация портфеля - методы, позволяющие выбрать такой состав портфеля активов и торгующих эти активы механических систем, которые бы в наибольшей степени соответствовали инвестиционным предпочтениям конкретного трейдера.

13.2. Механический и интуитивный подход к торговле.

Динамику биржевых цен активов можно представить как стохастический и нестационарный процесс. Однако, это не ис ключает возможность нахождения такого набора эмпирических правил, что проведение в соответствии с ними торговых опера ций позволяет увеличить доходность и/или уменьшить риск вложения в данный актив по сравнению с пассивной стратегией "купил и держи".

Создание механической торговой системы - это полная формализация таких правил. При этом нужно понимать, что так как правила открытия и закрытия позиций разрабатываются на основе прошлой истории цен, то не существует гарантии того, что МТС на их основе будет успешно работать и в будущем. Но чем более качественно проведено тестирование МТС, тем боль ше оснований надеяться на то, что ее результаты при реальной торговле будут находиться в приемлемых для трейдера преде лах.

У механического подхода есть два преимущества по сравне нию с часто практикуемым интуитивным подходом к торговле:

- при принятии торговых решений исключается эмоциональный фактор, - принятые торговые решения не являются субъективными, сле довательно оправдано формальное статистическое исследова ние результатов работы МТС, позволяющее найти и скорректи ровать ее слабые места.

Следует еще раз подчеркнуть, что для любой механической систе мы существует вероятность того, что по истечении любого интер вала времени в результате проведения торговых операций по ее сигналам будет получен убыток. Однако, для достаточно хорошей системы эта вероятность тем меньше, чем больше время торговли.

Поэтому считается, что для того, чтобы МТС смогла реализовать свое статистическое преимущество, необходимо не менее 2-3 лет.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 13. Механические торговые системы 13.3. Свойства MTС.

Показатели механической торговой системы характеризуют результаты ее работы. Величина, разброс и устойчивость пока зателей определяют качество системы. Подробно показатели МТС и методы их статистического исследования будут рас смотрены ниже.

Параметрами механической торговой системы называются переменные, присутствующие в правилах открытия и закрытия позиций. В результате тестирования и оптимизации МТС опре деляется такой набор параметров, при котором величина, раз брос и устойчивость важнейших показателей системы находятся в оптимальных для конкретного трейдера пределах. Хорошая МТС должна обладать следующими свойствами:

- иметь небольшое количество оптимизируемых параметров, - иметь удовлетворительные показатели работы при реальных рыночных комиссиях, - обладать устойчивостью показателей работы в области оп тимальности параметров, - должно существовать по крайней мере несколько активов, на которых система имеет приемлемые результаты без по вторной оптимизации.

Число оптимизируемых параметров Чем больше оптимизируемых параметров имеет МТС, тем меньше вероятность того, что она будет удовлетворительно ра ботать при реальной торговле. Это связано с тем, что при боль шом числе параметров система подгоняется под исторический ряд цен, на котором происходило тестирование. Но ряды цен ак тивов в большой степени носят случайный характер. Задачей же хорошей системы является не учет всех особенностей конкрет ной случайной выборки, а выявление более или менее постоян но действующих на рынке закономерностей. Здесь уместна ана логия с регрессионным анализом, где также нужно с осторожно стью относиться к излишнему переусложнению модели.

Величина комиссии Важным моментом при тестировании МТС является вели чина комиссии, которая должна соответствовать реальным на С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 13. Механические торговые системы кладным расходам при совершении сделки, то есть она должна учитывать следующие величины:

- комиссию с оборота (брокерскую и биржевую), - спрэд (разницу между котировками на покупку и продажу), - проскальзывание (разницу между величиной сигнала МТС и реальной ценой исполнения сделки).

Если биржевая и брокерская комиссии не зависят от вида акти ва, то на величины спрэдов и проскальзываний существенное влияние оказывает ликвидность конкретного актива. В целом можно сказать, что при тестировании МТС суммарную комис сию следует выбирать не менее чем 0.5% от суммы сделки даже для наиболее ликвидных активов.

Устойчивость показателей в области оптимальности Устойчивость показателей МТС в области оптимальности параметров проще всего проиллюстрировать графически для системы, зависящей от единственного параметра. Рассмотрим график зависимости одного из показателей системы (доходно сти в % годовых) от величины оптимизируемого параметра.

А 100% 90% 80% 70% 60% 50% В 40% 30% 20% 10% 0% 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Параметр В данном случае выбор в качестве оптимальной величины па раметра значение, соответствующее точке А (параметр=6, доход ность95%год.), не является правильным, так как в районе этой точки величина доходности является неустойчивой и столь резкий пик вероятнее всего объясняется особенностями конкретной слу чайной выборки, на которой происходило тестирование.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Доходность Глава 13. Механические торговые системы Более разумным представляется выбор в качестве оптимальной величины параметра значение, соответствующее точке В (пара метр=13, доходность35%год.), так как в области этой точки до ходность устойчива к изменению параметра в достаточно широких пределах.

На устойчивость следует проверять все важные для трейдера показатели работы системы. У разных показателей области устой чивости будут вообще говоря разными. В качестве оптимального следует выбрать такое значение параметра, которое находится в области устойчивости большинства наиболее важных для трейдера показателей системы.

Удовлетворительные результаты на различных активах Механическая система как правило создается, тестируется и оптимизируется на историческом ряде цен одного актива. Одной из главных задач создания хорошей МТС является предотвращение ее подгонки под конкретные исторические данные, которые наверняка не повторятся в будущем. Эффективным способом проверки МТС на излишнюю подгонку является переход на другие активы без из менения параметров системы. Если при переходе на исторические ряды цен других активов без повторной оптимизации параметров система продолжает показывать удовлетворительные результаты, то это повышает вероятность того, что она окажется прибыльной в реальной торговле. При этом надо иметь в виду, что если активы высококоррелированы, то это существенно снижает ценность такой проверки. Если же при переходе с ряда цен исходного актива (на котором МТС создавалась и оптимизировалась) на ряд цен высоко коррелированного с ним актива система разваливается, то это слу жит веским основанием для отказа от нее.

13.4. Минимальное число сделок.

Для достоверной оценки величины и разброса показателей ме ханической торговой системы количество сделок на периоде тести рования не должно быть меньше некоторого минимального значе ния. Считая, что результат отдельной сделки (например размер прибыли) является случайной величиной, оценим минимальный объем выборки для идентификации закона распределения этой ве личины. Для идентификации закона распределения необходимо по строить гистограмму эмпирических частот и провести сравнение эмпирических и теоретических частот по критерию хи-квадрат.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 13. Механические торговые системы Напомним, что минимальное количество столбцов гистограммы должно равняться пяти.

Так как приводимые ниже выкладки будут носить оценочный характер, предположим заранее, что исследуемая случайная вели чина подчиняется нормальному закону распределения.

Примем в качестве интервала возможных значений этой вели чины промежуток (µ - 2, µ + 2 ). Вероятность оказаться внут ри этого интервала 95.45%. Ширину столбца гистограммы можно найти, разделив ширину интервала возможных значений, то есть 4, на минимальное количество столбцов гистограммы, то есть число 5. В итоге получим, что ширина столбца равна 0.8. В таб лице приведены значения нормированных теоретических частот попадания в соответствующие столбцы гистограммы для стандарт ной нормальной величины (µ = 0, = 1).

Номер интервала Левая граница Правая граница Нормированная частота 1 -2.0 -1.2 0. 2 -1.2 -0.4 0. 3 -0.4 0.4 0. 4 0.4 1.2 0. 5 1.2 2.0 0. ИТОГО 0. Для проверки закона распределения по критерию хи-квадрат в таблице должны присутствовать ненормированные частоты, при чем минимальное значение частоты не должно быть меньше пяти.

Следовательно, переход к ненормированной частоте можно сделать путем умножения на коэффициент 5 / 0.0923 = 54.16 и округлив результат до целого. В итоге таблица частот примет вид:

Номер интервала Левая граница Правая граница Частота 1 -2.0 -1.2 2 -1.2 -0.4 3 -0.4 0.4 4 0.4 1.2 5 1.2 2.0 ИТОГО С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 13. Механические торговые системы Таким образом мы получили, что для оценки показателей механи ческой торговой системы объем выборки (количество сделок на пе риоде тестирования) не должен быть меньше 51. Заметим, что при вычислении этого значения мы использовали минимально возмож ное число столбцов гистограммы (5 столбцов) и не очень широкий доверительный интервал (95%). С увеличением количества столб цов (уменьшением ширины столбца) и увеличением доверительно го интервала минимально необходимый объем выборки может су щественно вырасти.

13.5. Тестирование МТС.

Целью тестирования механической торговой системы является проверка ее работы на историческом ряде цен. Тестирование как правило проводят, используя пакеты технического анализа. По ре зультатам тестирования программа формирует отчеты, на основа нии которых делаются выводы о качестве МТС.

При оптимизации системы, в правилах, описывающих откры тие и закрытие позиций, постоянные параметры заменяются на оп тимизируемые переменные (ОРТ-переменные), для которых зада ются диапазон и шаг изменения. Затем программа проводит ряд тестов для всех возможных сочетаний ОРТ-переменных и форми рует соответствующие отчеты. По результатам анализа этих отче тов выбирается такой набор параметров, при котором величина, разброс и устойчивость показателей системы являются оптималь ными для трейдера.

Тестирование и оптимизацию системы рекомендуется прово дить раздельно для длинных и коротких сделок.

Мы будем рассматривать следующие отчеты о тестировании системы: отчет о величине торгового счета (equity report), сгруппи рованный отчет о величине торгового счета, отчет о сделках (trades report), сводный отчет (results report).

ПРИМЕЧАНИЕ: далее в тексте содержание отчетов, а также обозначения показателей МТС и формулы для их вычисления мо гут отличаться от принятых в пакетах технического анализа.

13.6. Отчет о величине торгового счета.

Отчет о величине торгового счета показывает изменение стоимости портфеля на каждом ценовом баре. Отчет содержит следующие поля:

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 13. Механические торговые системы bar number Порядковый номер текущего временного периода (бара).

date Дата/время текущего бара.

position Торговая позиция на конец текущего бара. Возможны следующие типы позиций:

"OUT" - вне рынка, "LONG" - длинная позиция, "SHORT" - короткая позиция.

price Текущая цена актива.

net change price Изменение цены актива за текущий период.

% change price Процентное изменение цены актива за текущий период.

equity Текущая величина торгового счета.

net change equity Изменение величины торгового счета за текущий период.

% change equity Процентное изменение величины торгового счета за текущий период.

13.7. Сгруппированный отчет о величине торгового счета.

Сгруппированный отчет о величине торгового счета формиру ется на основе отчета о торговом счете и показывает изменение стоимости портфеля по укрупненным периодам времени. Отчет со держит следующие поля:

period grp Период группировки:

"D" - день, "W" - неделя, "M" - месяц, "Q" - квартал, "Y" - год.

period number Порядковый номер текущего временного периода.

first date Первая дата/время текущего периода.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 13. Механические торговые системы last date Последняя дата/время текущего периода.

price Цена актива на конец текущего периода.

net change price Изменение цены актива за текущий период.

% change price Процентное изменение цены актива за текущий период.

equity Величина торгового счета на конец текущего периода.

net change equity Изменение величины торгового счета за текущий период.

% change equity Процентное изменение величины торгового счета за текущий период.

13.8. Отчет о сделках.

Отчет о сделках формируется на основе отчета о торговом сче те и описывает каждую торговую операцию, сгенерированную сис темой. Приведем список полей отчета о сделках и некоторые фор мулы для вычисления показателей системы:

Общая информация о сделке trade number Порядковый номер сгенерированной при тестировании сделки.

trade type Тип сделки:

"LONG" - длинная сделка, "SHORT" - короткая сделка.

bars in trade Количество баров, в течение которых была открыта данная позиция.

days in trade Число календарных дней, в течение кото рых была открыта данная позиция.

max price in trade Максимальная цена актива от момента от крытия позиции до момента ее закрытия.

min price in trade Минимальная цена актива от момента от крытия позиции до момента ее закрытия.

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 13. Механические торговые системы Показатели, характеризующие вход в позицию enter bar Номер бара, на котором была открыта по зиция.

enter date Дата входа в позицию.

enter price Цена актива, по которой была открыта по зиция.

enter equity Величина торгового счета до входа в пози цию.

enter comission Сумма уплаченной комиссии за открытие позиции.

enter efficiency Эффективность входа в позицию.

Показатели, характеризующие выход из позиции exit bar Номер бара, на котором была закрыта по зиция.

exit date Дата выхода из позиции.

exit price Цена актива, по которой была закрыта по зиция.

exit equity Величина торгового счета после выхода из позиции.

exit comission Сумма уплаченной комиссии за закрытие позиции.

exit efficiency Эффективность выхода из позиции.

Показатели, характеризующие сделку net profit Величина дохода по данной сделке (в день гах).

% profit Величина дохода по данной сделке (в %).

net drawdown Наибольшее снижение торгового счета в течение данной операции относительно входа в позицию (в деньгах).

% drawdown Наибольшее снижение торгового счета в течение данной операции относительно входа в позицию (в %).

С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 13. Механические торговые системы comission in trade Сумма уплаченной комиссии за открытие и закрытие позиции.

trade efficiency Эффективность сделки.

Эффективность входа в позицию показывает, насколько хо рошо МТС в ходе конкретной сделки реализует потенциальную прибыль относительно цены входа в позицию и вычисляется по формулам:

- для длинных позиций maх price in trade - enter price enter efficiency = maх price in trade - miп price in trade - для коротких позиций enter price - miп price in trade enter efficiency = maх price in trade - miп price in trade Эффективность входа может принимать значения от 0 до 1.

Эффективность выхода из позиции показывает, насколько хо рошо МТС в ходе конкретной сделки реализует потенциальную прибыль относительно цены выхода из позиции и вычисляется по формулам:

- для длинных позиций exit price - miп price in trade exit efficiency = maх price in trade - miп price in trade - для коротких позиций maх price in trade - exit price exit efficiency = maх price in trade - miп price in trade Эффективность выхода может принимать значения от 0 до 1.

Эффективность сделки показывает, насколько хорошо МТС в ходе конкретной сделки реализует общую потенциальную прибыль и вычисляется по формулам:

- для длинных позиций exit price - enter price trade efficiency = maх price in trade - miп price in trade - для коротких позиций enter price - exit price trade efficiency = maх price in trade - miп price in trade С.В. Булашев. Статистика для трейдеров (электронная версия).

Глава 13. Механические торговые системы - общая формула trade efficiency = enter efficiency + exit efficiency - Эффективность сделки может принимать значения от -1 до 1.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.