WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

«Санкт-Петербургский Государственный Институт Точной Механики и Оптики (Технический Университет) Факультет Информационных Технологий и Программирования Кафедра Компьютерных технологий М. А. Коротков Е. О. ...»

-- [ Страница 2 ] --

Пусть (A, <) – частичный порядок. Очевидно, что любое B A также частично упорядоченно отношением <. Элемент x B называется минимальным элемен том множества B, если не существует никакого меньшего его элемента этого множества. Элемент x B называется наименьшим элементом множества B, если он меньше всех элементов этого множества. Заметим, что наименьший эле мент множества автоматически является и его минимальным элементом, однако обратное, вообще говоря, неверно. Например, во множестве коробок определим отношение порядка таким образом, что коробка A меньше коробки B, если ее можно поместить внутрь коробки B. Ясно, что при таком определении необя зательно все коробки являются соизмеримыми, то есть полученный порядок не обязательно является линейным, (например, если в рассматриваемом множестве коробок найдутся такие две, что ни одна из них не помещается внутрь другой).

66 Формальная теория множеств При этом наименьшей коробкой является та, которая помещается во все осталь ные, а минимальной та, в которую не помещается ни одна коробка.

Определение 9.3 Порядок (A, <) называется фундированным, если любое под множество B A содержит минимальный элемент. В этом случае говорят также, что частично упорядоченное множество A является фундированным.

Фундированный линейный порядок называется полным. В этом случае говорят также, что множество A вполне упорядочено отношением <.

Вот некоторые примеры частичных порядков:

Пример 9. (A) Множество натуральных чисел N со стандартным отношением < – пол ный порядок.

(B) Множество Z (целых чисел), также со стандартным отношением < – не является полным порядком, хотя и является линейным порядком.

(C) Множество комплексных чисел C со следующим отношением порядка (z1 < z2 Re(z1) < Re(z2)) является частичным, но не является даже линейным порядком.

(D) Множество целых положительных чисел Z+ с отношением <, введен ным следующим образом: x < y если x делит y. Такой порядок является частичным, но не является линейным порядком.

(E) Для некоторого множества X, рассмотрим множество всех его подмно жеств 2X, упорядочим его отношением включения, а именно x < y если x y и x = y. Такой порядок в общем случае не является линейным.

(F) Над множеством A слов над алфавитом A, где алфавит частично упоря дочен отношением

9.2 Отношение порядка Справедливо следующее утверждение:

Теорема 9.1 В любой модели системы аксиом Цермело-Френкеля следующие три свойства частичных порядков (A, <) эквивалентны:

(i) Порядок (A, <) является фундированным.

(ii) Не существует бесконечной строго убывающей последовательности x0 > x1 > x2 >... > xk >... элементов множества A.

(iii) Для множества X верен принцип математической индукции в следующей форме: если (при каждом x X) из истинности для всех y < x следует истинность P(x), то свойство P верно при всех x.

Доказательство: Теорему будем доказывать по частям. Перейдем к доказа тельству эквивалентности первых двух свойств. Рассмотрим бесконечную убы вающую последовательность x0 > x1 > x2 >.... Очевидно, что множество ее значений не имеет минимального элемента (следующий элемент найдется для любого элемента, так как последовательность бесконечная, и он еще меньше, так как она убывающая). Поэтому (i) влечет (ii). И обратно, если X непустое мно жество, не имеющее минимального элемента, то бесконечную убывающую после довательность можно строить следующим образом. Зафиксируем некий элемент x X, он не минимальный по предположению, тогда берем меньший элемент x1 < x, x1 X, таким образом получаем бесконечную убывающую последова тельность {xi}.

i= Теперь выведем принцип математической индукции из существования минималь ного элемента в любом подмножестве. Пусть P(x) – свойство элементов множе ства X, верное не для всех элементов x X. Рассмотрим множество тех элемен тов, для которых свойство P неверно. Множество B непусто по предположению.

Пусть x0 - минимальный элемент множества B. Тогда для всех x < x0 свойство P(x) выполнено, так как элементов меньших x0 в множестве B нет. Но тогда по предположению должно быть выполнено и P(x0), таким образом мы пришли к противоречию.

И последнее: из принципа математической индукции следует существование ми нимального элемента в любом непустом множестве. Пусть B - множество, в кото ром нет минимальных элементов. Докажем что B пусто: в качестве P(x) возьмем свойство x B. Тогда, если P(x) верно для всех x < x0, то никакой элемент, меньший x0, не лежит в B. Значит, если бы x0 лежал в B, то он был бы там минимальным, таким образом, мы пришли к противоречию.

68 Формальная теория множеств 9.3 Аксиома регулярности Теперь мы можем сформулировать еще одну, весьма важную аксиому системы аксиом Цермело-Френкеля, называемую аксиомой регулярности, или фундиро вания (the foundation axiom). Эта аксиома записывается следующим образом:

x ¬x = y y x y x =, (ZF7) где y x = – сокращенное написание формулы z y = := r r = z y r =.

Эта аксиома является несколько искусственной и никогда явным образном не используется в привычной нам математике. Она утверждает, что каждое непу стое множество X содержит элементы, минимальные по отношению к отношению принадлежности (а не включения ). С интуитивной точки зрения мы бы хо тели, чтобы все наши множества строились из пустого множества. Поэтому мы хотим избавиться от бесконечных последовательностей множеств, убывающих по отношению к порядку, определенному отношением принадлежности. Аксиома регулярности (ZF7) утверждает таким образом, что никакое множество, в этом смысле, не может иметь бесконечной “глубины”. В привычной нам математике мы имеем дело с натуральными, рациональными, действительными числами, функ циями и т.п. В дальнейшем мы покажем, что все эти объекты явным образом строятся из пустого множества.

Условие, налагаемое аксиомой регулярности на отношение принадлежности, очень похоже на понятие фундированного порядка. Правда, стоит иметь в виду, что отношение принадлежности не упорядочивает все множество, например, хотя бы потому, что из x = y не следует, что x y либо y x.

/ / Требование справедливости данной аксиомы является весьма сильным, и, в част ности, исключает из возможных моделей аксиоматики Цермело-Френкеля все возможные экзотические объекты, такие как множество всех множеств или мно жество всех множеств не содержащих себя в качестве элемента. Действительно, если бы существовало множество A всех множеств, не содержащих самого се бя, то есть x A, если и только если x x, то оно содержало бы бесконечную / (“бездонную”) последовательность множеств, включающихся друг в друга. Вот строгая формулировка и доказательство этого утверждения.

9.4 Аксиома бесконечности Предложение 9.1. ZF x(¬x x) Доказательство: Докажем теперь, что никакое множество не принадлежит самому себе. Воспользуемся аксиомой регулярности и уже доказанным фактом существования одноэлементного множества {x}, а также тем, что ZF x(x {x}), где x {x} := y(x y y = {x}) (докажите этот факт самостоятельно). Дерево доказательства формулы x(¬x x) выглядит следующим образом.

[y {x} z(z {x} ¬z x)]1(e) z(z {x} ¬z x)(e) z {x} ¬z x z=x x {x} x {x} ¬x x(e) v(y(y v) y(y v z(z v ¬z y)))e,v={x} ¬x xi y(y {x}) y(y {x}) y(y {x} z(z {x} ¬z y))(e) x(¬x x) (y)(y {x} z(z {x} ¬z y))1,(e) x(¬x x) Упражнение 9.4 Докажите, что в модели аксиоматики Цермело-Френкеля не существует множества всех множеств. Иначе говоря, ZF ¬xy(y x).

Указание: Если бы такое множество существовало, то оно содержало бы себя, что противоречит предложению 9.1.

9.4 Аксиома бесконечности Рассмотренные до сих пор аксиомы системы аксиом Цермело-Френкеля позво ляли конструировать различные математические объекты, например, конечные вектора, отношения, отображения как некоторые специальные множества. Од нако, легко заметить, что все множества, которые мы таким образом констру ировали, были конечными. Так, например, мы доказали существование пустого множества в любой модели системы аксиом Цермело-Френкеля. Следовательно, хотя бы в силу аксиомы множества подмножеств (ZF4), существует и одоэле ментное множество 2, а также трех (четырех, пяти) элементные множества, и 70 Формальная теория множеств вообще множества с любым конечным числом элементов. Действительно, среди аксиом, которые позволяли формировать новые множества, лишь аксиома пары (ZF2), аксиома множества подмножеств (ZF4) и аксиома суммы (ZF5) позво ляли формировать множества, имеющие больше элементов, чем было в исход ных множествах, остальные же (например, аксиома выделения (ZF3)) позволяли лишь уменьшать число элементов в формируемых множествах. Таким образом, пользуясь сформулированными до сих пор аксиомами, мы не сможем вырваться из мира конечных множеств, а, значит, мы не можем утверждать, опираясь на эти аксиомы, существование многих привычных математических объектов, таких как, например, множество натуральных (вещественных, комплексных) чисел и, вообще, любые другие бесконечные множества. Вообще говоря, это не является принципиальным ограничением для построения математики, а именно, можно построить “конечную” математику, то есть оперирующую исключительно с ко нечными объектами. Однако надо сказать, что такая конечная математика будет существенно беднее общепринятой, так что отказ от последней ради исключения из нее бесконечных множеств создает весьма значительные сложности. Иначе го воря, хотя без бесконечных множеств “прожить” и можно, но это существенно ме нее удобно: представьте себе, например, как определить вещественную функцию, не используя понятия бесконечных множеств. Впрочем, в этих рассуждениях мы оставили в стороне философский вопрос о том, существуют ли на самом деле бес конечные множества: в окружающей нас природе мы, очевидно не можем указать ни на какой конкретный пример бесконечного множества, а лишь на сколь угодно большие, но все же конечные множества. Иначе говоря, в житейских ситуациях мы вряд ли когда либо можем встретиться с действительной (актуальной) беско нечностью (то есть с действительно бесконечным множеством). И в то же время встречаемся со сколь угодно большими множествами, то есть с потенциальной бесконечностью.

Для того, чтобы ввести в формируемую нами теорию бесконечные множества, предназначена специальная аксиома системы аксиом Цермело-Френкеля, назы ваемая аксиомой бесконечности и записываемая следующим образом:

x( x v(v x {v} v x)) (ZF8) Данная аксиома утверждает существование множества, содержащего по крайней мере все элементы вида 0 :=, 1 := {}... 2 := {} {{}} то есть все элементы вида k = k - 1 {k - 1}, k N.

Такое множество, очевидно, является бесконечным (по крайней мере счетным).

Стоит отметить, что мы не можем сказать ничего более определенного о мощно сти данного множества. В частности, мы не можем утверждать, что это множе 9.5 Ординалы и стандартная модель арифметики ство счетно, так как аксиома бесконечности не гарантирует, что в нем содержатся только элементы вида k.

С использованием аксиомы бесконечности мы получаем множество новых объек тов, и жизнь сразу делается более “приятной”. В частности можно сравнительно легко доказать существование самых разных привычных объектов современной математики. Для примера мы построим в следующем параграфе множество на туральных чисел и, вместе с ним, фактически стандартную модель арифметики.

Натуральные числа мы будем отождествлять с только что введенными элемен тами вида k, где k N, а “множество натуральных чисел” со множеством, со держащим все “натуральные числа”, то есть множества k, k N, и только их.

Такое множество очевидно содержится в бесконечном множестве, существование которого гарантируется аксиомой бесконечности (ZF8). Таким образом, множе ство “натуральных чисел” можно получить, применяя к последнему множеству аксиому выделения (ZF3).

Этой конструкции посвящен следующий параграф, в котором попутно вводятся более общие весьма важные объекты, обобщающие как понятие чисел, так и мно жества натуральных чисел, называемые порядковыми числами или ординалами.

9.5 Ординалы и стандартная модель арифметики Понятие ординала или порядкового числа – является естественным обобщением понятия натурального числа, точнее, является “мерой величины” всевозможных, в том числе бесконечных, порядков в той же мере, в какой натуральные числа могут использоваться для измерения величины конечных порядков. Это понятие чрезвычайно важно в теории множеств и математике вообще. Поскольку кон струкция ординалов естественным образом связана с возможностью сравнения между собой разных порядков, то нам необходимо для начала определить, что мы понимаем под одинаковыми (точнее, будем говорить изоморфными) порядками.

Определение 9.4 Порядки (X,

Мы будем писать (X,

В этом же случае мы будем писать просто X Y, позволяя себе некоторую воль ность отождествления порядка с соответствующим упорядоченным множеством, если ясно, какое отношение порядка имеется в виду. Рассмотрим некоторые при меры.

72 Формальная теория множеств Пример 9. (A) Рассмотрим множество натуральных чисел N со стандартным порядком и множество четных чисел Even с тем же самым порядком. Очевидно, что соответствующие порядки изоморфны: изоморфизм осуществляется биекцией f : N Even, определяемой формулой f(x) = 2x.

(B) Рассмотрим множества натуральных чисел N со стандартным порядком и множество X := N {} = {0, 1, 2, 3, 4..., }. В последнем множестве порядок определяется следующим образом: x

Докажем это от противного. Пусть f : X N – биекция, сохраняющая порядок. Тогда f(x) < f() для любого x N, что противоречит сюрьек тивности f.

Если (Y, <) – частичный порядок, то под начальным отрезком этого порядка, соответствующим элементу y Y, будем понимать множество = {x Y, x < y} с тем же самым отношением порядка <. Стоит отметить несколько простейших свойств начальных отрезков (поупражняйтесь в их доказательстве):

(i) начальный отрезок полного порядка является полным порядком;

(ii) если Y – частичный порядок, а – его начальный отрезок, то также можно рассматривать как порядок (отношение порядка унаследовано от Y ). Тогда любой начальный отрезок порядка является начальным отрезком порядка Y ;

(iii) объединение любого числа начальных отрезков одного и того же линейного порядка является начальным отрезком того же порядка;

(iv) из любых двух начальных отрезков полного порядка один обязательно яв ляется подмножеством другого.

Теперь введем следующее определение.

9.5 Ординалы и стандартная модель арифметики Определение 9.5 Будем говорить, что (i) порядки (X,

(ii) порядок (X,

(iii) порядок (X,

В последнем примере в пункте (A) оба порядка имеют одинаковый порядковый тип, а в пункте (B) порядковый тип N меньше порядкового типа X. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 9.2 (Бернштейна) В предположении непротиворечивости системы аксиом Цермело-Френкеля ZF для любых двух полных порядков верно ровно одно из следующих утверждений:

(i) X и Y имеют одинаковый порядковый тип;

(ii) X имеет строго больший порядковый тип, чем Y;

(iii) Y имеет строго больший порядковый тип, чем X.

Доказательство: Упражняйтесь, либо загляните в [4].

В “наивной”, то есть неаксиоматизированной теории множеств обычно вводят по нятие ординала как порядкового типа всех изоморфных между собой порядков.

Говоря более строгим языком, это означает, что таким образом определяемый ординал является классом эквивалентности всех изоморфных между собой по рядков. Например, ординал 1 должен быть классом всех порядков, изоморфных порядку {}, ординал 2 должен быть классом всех порядков, изоморфных поряд ку {, 1}, где 1 >. Однако, в строгой теории множеств, которую мы пытаемся строить, подобное “определение” понятия ординала не может быть реализовано.

А именно, для того чтобы доказать существование хоть какого-нибудь ордина ла как класса всех изоморфных порядков, необходимо выделить этот ординал с использованием аксиомы выделения (ZF3) из некоторого достаточно большого 74 Формальная теория множеств множества, которому принадлежат все порядки. Достаточно легко заключить, что само существование подобного чересчур “большого” множества весьма про блематично. Для того, чтобы обойти это затруднение, Дж. фон Нейман предло жил определить понятие ординала слегка по-другому, так что ординал, введен ный согласно новому определению, автоматически оказывался бы множеством.

Для описания этой конструкции введем следующие определения.

Определение 9.6 Множество x называется транзитивным, если для всех y, таких что y x, и z, таких что z y, выполнено z x.

Иначе говоря, на языке теории множеств формула T rans(x) := yz(z y y x z x) “говорит” о том, что x – транзитивное множество.

Определение 9.7 Ординалом будем называть транзитивное множество, вполне упорядоченное отношением принадлежности между своими элемен тами.

Стоит отметить, что на произвольном множестве отношение принадлежности, вообще говоря, не задает даже частичного порядка. Однако на транзитивном множестве это отношение является отношением частичного порядка.

На рассматриваемом нами языке теории множеств формула Linord(x, ) := yz(y x z x z y y z y = z) “говорит” о том, что множество x упорядочено отношением принадлежности, а формула F ound(x, ) := (v x w(w v q(q v (w q w = q)))), “говорит” о том, что отношение принадлежности превращает x в фундирован ное множество.

Тогда формула Ord(x) := T rans(x) Linord(x, ) F ound(x, ) “говорит” о том, что x – ординал.

9.5 Ординалы и стандартная модель арифметики Пример 9.4 Следующие множества является ординалами:

0 :=, 1 := {0}, 2 := 1 {1},..., k := k - 1 {k - 1},... k N.

Все такие ординалы называются конечными ординалами.

Определенные таким образом ординалы можно, в силу теоремы Бернштейна, сравнивать между собой, более того, в силу этой же теоремы, ординалами мож но пользоваться как естественной мерой величины полных порядков. А именно, справедливо следующее утверждение.

Теорема 9.3 Если система аксиом Цермело-Френкеля ZF не является проти воречивой, то любой полный порядок изоморфен единственному ординалу.

(Y, <) (, ) В цели данной книги не входит подробное изложение теории множеств, будь то наивной или аксиоматической, а лишь иллюстрация применения математи ческой логики для описания различных математических теорий, в том числе теории множеств. Поэтому мы приведем здесь лишь немногие основные свойства ординалов без доказательства, предлагая читателям самим поупражняться в их доказательстве. В случае трудностей, а также при желании более углубленно изучить теорию множеств, мы рекомендуем обращаться к [4], [6].

В связи с этим для начала мы предлагаем читателю в качестве упражнения до казать теорему 9.3. Помочь в этом могут следующие свойства ординалов:

(i) любое ограниченное семейство ординалов имеет точную верхнюю грань;

(ii) класс всех ординалов вполне упорядочен отношением принадлежности между своими элементами;

(iii) начальный отрезок ординала также является ординалом;

(iv) изоморфные ординалы совпадают.

Обратите внимание, что мы говорим о классе, а не о множестве всех ординалов.

Действительно, не трудно показать (см. ниже), что множества всех ординалов не существует. Однако понятие частичной (линейной, полной) упорядоченности очевидно можно применять не только к множествам, но и к произвольным сово купностям объектов (классам).

76 Формальная теория множеств С использованием вышеприведенных свойств доказательство теоремы 9.3 можно провести по следующей схеме.

Доказательство теоремы 9.3:

Обозначим через - точную верхнюю грань множества тех ординалов, которые имеют строго меньший порядковый тип, чем Y, т.е.

- := sup { : Y }.

Из определения - следует -+1 Y, где формула означает, что либо, либо, поскольку иначе выполнялось бы - + 1 Y, что противоречило бы определению -. Но выражение Y - + означает, что Y изоморфен некоторому начальному отрезку - + 1 (который, по свойству (iii), является ординалом), или самому -+1. Единственность ординала следует из свойства (iv).

Упражнение 9.5 Докажите, что любое вполне упорядоченное множество изоморф но единственному начальному отрезку [0, ) в классе всех ординалов (образованному всеми ординалами, меньшими ).

Упражнение 9.6 Докажите, что в предположении непротиворечивости системы аксиом Цермело-Френкеля ZF не существует множества всех ординалов. Данное утверждение известно под названием парадокса Бурали-Форти.

Теперь введем следующее определение.

Определение 9.8 Ординал будем называть непосредственно следующим за ординалом и писать = + 1, если = {}. Предельным ординалом бу дем называть ординал, который не следует непосредственно ни за каким орди налом.

Формула Limord(x) := Ord(y) ¬y(Ord(x) x = y + 1), где x = y + 1 := x = y {y}, “говорит” о том, что x – предельный ординал. Оче видно, что 0 является предельным ординалом, а каждый конечный ординал k, где k N, отличный от 0, непосредственно следует за ординалом k - 1.

9.5 Ординалы и стандартная модель арифметики Определение 9.9 Минимальным бесконечным ординалом (или первым счет ным ординалом) называется предельный ординал 0, которому не предшеству ет никакой предельный ординал, кроме.

Таким образом, формула x = 0 := ¬x = 0 (Limord(x) y(y x ¬Limord(x))) “говорит” о том, что 0 является первым счетным ординалом.

С учетом введенных обозначений можно записать свойство конечности ординала следующей формулой:

F in(x) := y(y = 0 x y).

Данная формула истинна, если и только если множество, соответствующее в мо дели аксиом Цермело-Френкеля символу x, является конечным ординалом (это можно принять за формулировку определения конечного ординала). Ординалы, не являющиеся конечными, называются бесконечными.

Использую аксиоматику Цермело-Френкеля ZF, мы можем показать существо вание стандартной модели арифметики Пеано. Практически все для этого уже подготовлено. А именно, в качестве универсума рассмотрим N := 0 определим sN () = + 1, 0N :=.

Таким образом, натуральные числа оказываются просто конечными ординала ми. Осталось определить операции суммирования +N и умножения N и про верить выполнение аксиом Пеано. Читателю предоставляется возможность по упражняться в этом или прочитать об этом в любом стандартном курсе теории множеств ([4], [6]). Таким образом доказывается следующий фундаментальный результат:

Теорема 9.4 В предположении непротиворечивости аксиоматики Цермело-Френкеля ZF существует стандартная модель арифметики Пеано.

Кстати, интересно отметить, что ординал 0 + 1 представляет собой не что иное, как порядок (X,

Вслед за приведенными выше ординалами, очевидно, найдется следующий пре дельный ординал 1, являющийся первым предельным ординалом несчетной мощности (поупражняйтесь в доказательстве этого утверждения), также 1 на зывают первым несчетным ординалом. За ним следуют ординалы 1 + 1, 1 + 2, и далее в ряду ординалов найдется следующий предельный ординал 2, и так далее. Таким образом, ряд ординалов выглядит так:

0, 1, 2,..., 0, 0 + 1, 0 + 2,..., 1, 1 + 1, 1 + 2,..., 2,...

Мы, естественно, привели здесь лишь начальный отрезок этого ряда.

Понятие ординала, позволяющее легко сравнивать порядки, может быть адап тировано и для сравнения множеств по мощности. Введем для этого следующее определение.

Определение 9.10 Кардиналом называется ординал, не равномощный ни од ному из меньших (предыдущих) ординалов.

Иначе говоря, формула Card(x) := Ord(x) y(y x ¬(y x)) означает, что x является кардиналом. Формула y x означает, что множества y и x равномощны (выпишите “полную версию” этой формулы самостоятельно).

Так, 0, 1, 2 и все конечные ординалы являются кардиналами. Также являются кардиналами 0 и 1, однако, например, 0 + 1, 0 + 2, и вообще 0 + k, где k N, не являются кардиналами, так как все они имеют счетную мощность, и равномощны меньшему ординалу 0. Кардиналы являются естественной мерой мощности множеств в той же мере, в той же мере, в какой ординалы являются мерой “величины” порядков. Для обозначения кардиналов часто используются буквы древнееврейского алфавита. Так, 0 и 1, рассматриваемые как кардина лы, обычно обозначают 0 и 1, соответственно, и при этом о них говорят, что это, соответственно счетный и первый несчетный кардиналы (мощности).

9.6 Аксиома выбора 9.6 Аксиома выбора Сформулируем, наконец, последнюю, наиболее нетривиальную из аксиом Церме ло-Френкеля – аксиому выбора. Данная аксиома утверждает, что существует функция (называемая функцией выбора), которая каждому множеству из набо ра ставит в соответствие ровно один элемент этого множества. Это утверждение кажется весьма тривиальным, однако оно может быть выведено из других ак сиом Цермело-Френкеля лишь для конечных наборов множеств. Предположение же его справедливости для произвольного набора множеств (впрочем, не вполне произвольного: эти наборы должны быть множествами) ведет к целому ряду нетривиальных следствий, иногда, казалось бы, противоречащих здравому смыс лу. Поскольку в теории, которую мы строим, все объекты являются множествами (в том числе функции и “наборы” множеств, с которыми мы можем работать), то формальная запись данной аксиомы несколько менее интуитивна, чем ее сло весное описание.

Для упрощения записи введем формулу Disjoint(x) := uv (u x v x ¬u = v u v = ), которая “говорит” о том, что x состоит из попарно непересекающихся множеств.

С помощью этого сокращения аксиому выбора можно записать в следующем, сравнительно компактном виде:

x (¬ x Disjoint(x) y (w (w x ! z(z w y)))) (AC) Здесь утверждается существование множества y, имеющего ровно по одному об щему множеству с каждым из элементов исходного множества x, при условии, что x непусто и его элементы – попарно непересекающиеся множества.

В наши цели не входит подробное обсуждение аксиомы выбора. Интересующий ся читатель может обратится, например, к [6] или [5]. Здесь отметим только, что аксиома выбора является одним из краеугольных камней современной математи ки в том смысле, что многие фундаментальные утверждения последней (скажем, целый ряд важных результатов математического анализа) справедливы исклю чительно в предположении истинности аксиомы выбора. В то же время, интерес ным следствием данной аксиомы является парадокс Банаха-Тарского, который утверждает, что любое тело (например, шар) может быть разрезано на конечное число непересекающихся частей, из которых можно потом составить два тела, равных исходному. Это утверждение кажется противоречащим здравому смыс лу, так как если бы подобное разбиение было бы осуществимо, то легко можно 80 Формальная теория множеств было бы осуществить известное евангельское чудо, а именно “накормление верую щих двумя рыбами и пятью ячменными хлебами” (Евангелие от Иоанна 6:13-14).

Однако в доказательстве данного утверждения существенным образом исполь зуется аксиома выбора. Последняя является весьма неконструктивной, так как в ней утверждается существование “функции выбора”, но не приводится алгоритма построения этой функции. А значит, любые доказательства, которые существен ным образом используют аксиому выбора, в том числе и доказательство парадок са Банаха-Тарского, неконструктивны. Поэтому, например, невозможно привести никакого алгоритма деления тела на составные части, утверждаемого в форму лировке парадокса, хотя и можно утверждать существование соответствующего разбиения.

Следует отметить, что аксиома выбора является еще одной аксиомой создания множеств, наряду с аксиомами выделения (ZF3), пары (ZF2), суммы (ZF5), мно жества подмножеств (ZF1) и замены (ZF6). Аксиоматику Цермело-Френкеля с аксиомой выбора обозначают ZFC. Отметим, что (AC) не зависит от остальных аксиом ZF.

9.7 Теория множеств и основания математики Материала предыдущего параграфа должно быть вполне достаточно, чтобы убе диться в том, что рассматриваемого нами “примитивного” языка теории мно жеств (мы называем его “примитивным”, поскольку это язык логики первого порядка, в котором сигнатура состоит всего из двух предикатных символов – равенства = и принадлежности ) и системы аксиом Цермело-Френкеля вполне достаточно, чтобы описать и построить практически всю современную математи ку. Так, этих инструментов было достаточно для построения натуральных чисел и основных действий над ними. Отталкиваясь от этих понятий, можно построить целые числа (целое число можно определить, например, как пару натуральных чисел), рациональные числа (как пары целых чисел) и, наконец, действитель ные числа, вектора, комплексные числа, геометрические фигуры (как множе ства векторов), функциональные пространства и так далее. Соответствующие построения проводятся “по нарастающей” (целые числа строятся на основе нату ральных, рациональные на основе целых, вещественные на основе рациональных и т.д.). Несколько неожиданным и, возможно, даже не вполне соответствующим интуитивному представлению о математических объектах оказывается то, что в любой модели построенной таким образом математики все объекты (числа, вектора, функции, геометрические фигуры, и т.д.) оказываются множествами, и даже, более того, все без исключения построены на основе одного объекта – 9.7 Теория множеств и основания математики пустого множества. То, что построенные таким образом математические объ екты оказываются, на первый взгляд, не имеющими отношения к реальной жизни (например, натуральные числа, построенные как конечные ординалы, не имеют отношения к практическому подсчету предметов) можно считать платой за стро гость обоснования факта существования всех математических объектов. Кому-то такая плата, приводящая к формализации математики и её кажущемуся “отры ву от реальной жизни”, может показаться чрезмерной. В то же время, на наш взгляд, требование формализованности и строгости рассуждений никогда не мо жет чрезмерным, а опасность работы с плохо определенными “интуитивными” понятиями проявляется в многочисленных парадоксах, некоторые примеры ко торых были приведены в данной главе.

Поскольку, как мы уже убедились, математика может быть построена на теорети ко-множественных основаниях, возникает естественный вопрос о том, насколько прочными могут быть такого рода основания. А именно, является ли аксиоматика теории множеств (например, аксиоматика Цермело-Френкеля ZFC) непротиво речивой? Из непротиворечивости последней следовала бы непротиворечивость и всей математики. К сожалению, однако, до настоящего времени непротиворечи вость аксиоматики Цермело-Френкеля не была ни доказана, ни опровергнута. Не лучшим образом обстоит дело и с другими популярными аксиоматическими тео риями множеств, которые также предлагались для построения оснований мате матики. Поэтому вопрос “строгого обоснования” математики, как ни странно, на сегодняшний день в известной мере является вопросом веры или доверия к мно готысячелетнему опыту математиков и “пользователей” математического аппа рата (за все известное в истории время использования математического аппарата противоречия получить не удалось, поэтому есть шанс, что математика являет ся непротиворечивой). К сожалению, дело обстоит в известной мере еще хуже, ибо даже в предположении непротиворечивости математики ни системы аксиом Цермело-Френкеля, ни какой-либо другой системы аксиом, достаточно богатой, чтобы построить современную математику, и, в то же время, достаточно “обозри мой” (такой, которую можно описать конструктивным образом, как например, мы описали ZFC) не хватит, чтобы доказать непротиворечивость этой систе мы аксиом. Иначе говоря, в предположении непротиворечивости ZFC, пользу ясь только аксиомами ZFC, нельзя доказать непротиворечивость ZFC. Данный результат является следствием второй теоремы Геделя о неполноте формальных теорий (кстати, выводимой из системы аксиом ZFC, как и вся та математическая логика, которую мы строим).

Другим важным вопросом является вопрос о том, достаточно ли системы аксиом Цермело-Френкеля для описания всей современной математики. Иначе говоря, все ли интересные математические объекты и теории могут быть описаны в рам 82 Формальная теория множеств ках теории множеств, построенной на базе аксиом ZFC? Ответ на этот вопрос также отрицательный, хотя ситуация здесь не настолько трагична, в том смыс ле, что для построения весьма значительной части современной математики до статочно системы аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора. Есть однако, весьма интересные и важные, в том числе в приложениях, утверждения, кото рые не выводятся из ZFC. К числу таких утверждений относится, например, континуум-гипотеза, заключающаяся в том, что множество вещественных чи сел R равномощно 1, то есть #R = 1 (CH) Заметим, что из аксиоматики ZFC можно вывести, что #R 1, однако в от ношении континуум-гипотезы (CH) справедливо следующее утверждение, дока занное К. Геделем и П. Коэном.

Теорема 9.5 Если ZFC непротиворечива, то ZFC CH и ZFC ¬CH.

Иначе говоря, в этом случае континуум-гипотеза является независимым от носительно аксиоматики Цермело-Френкеля утверждением.

В cвязи с возможностью построения математики на теоретико-множественных основаниях возникает естественный вопрос о том, как устроены модели матема тики, содержащие все мыслимые математические объекты. Очевидно, что, мо дель математики, построенной на системе аксиом Цермело-Френкеля, существу ет, если и только если ZF непротиворечива (нетривиальная часть этого утвер ждения следует из теоремы о модели 6.5). Однако, в этом случае все модели математики будут бесконечными (так как они должны содержать хотя бы все ординалы, число которых бесконечно), поэтому, в силу теоремы Левенгейма Скулема о повышении мощности модели 7.4, в этом случае математика будет иметь сколь угодно много неизоморфных между собой моделей (с универсума ми сколь угодно большой мощности). Но наиболее интересные и нетривиальные результаты дает теорема Левенгейма-Скулема о понижении мощности модели 7.2: в предположении непротиворечивости аксиоматики ZFС построенная с её помощью математика будет иметь модель A со счетным универсумом. Данное утверждение кажется абсурдным: каким образом в счетном универсуме может уместиться принципиально несчетное число объектов, например, хотя бы несчет ное множество вещественных чисел? Тем не менее данный парадокс, называемый парадоксом Скулема, является кажущимся. На самом деле счетность или несчет ность множества определяется наличием биекции между данным множеством и 9.7 Теория множеств и основания математики 0 (напомним, последнее можно считать просто множеством натуральных чи сел). Множество вещественных чисел в любой модели математики, в том числе и в модели со счетным универсумом, является несчетным (данный факт, доказан ный еще Кантором, сравнительно легко выводится из аксиоматики ZFC). Иначе говоря, это означает, что в данной модели нет объекта, соответствующего биек ции между RA и 0A. В то же время, поскольку универсум A счетен, то можно рассматривать его в качестве подмножества некоторой большей модели матема тики B, универсум которой несчетен. В этой большей модели RA и 0A являются равномощными (поскольку оба они являются счетными множествами), то есть в ней имеется объект (множество), соответствующий биекции между RA и 0A, од нако этот объект отсутствует в меньшей модели A. То есть понятия конечности, счетности, несчетности на самом деле зависят от модели.

Данная ситуация проиллюстрирована на рисунке, где модель A изображена в ви де “плоского мира”, а B в виде “объем B ного мира”. Биекция между RA и 0A изображена в виде мостика между RA и 0A, который существует только в “объ емном мире” (из “плоского мира” он недо A A A ступен).

R Литература [1] Дж. Шенфилд, Математическая логика, “Наука”,Москва, 1975.

[2] Математическая теория логического вывода, под редакцией А. В. Иделсона и Г.Е. Минца, “Наука”,Москва, 1967.

[3] И. А. Лавров, Л. Л. Максимова, Задачи по математической логике и теории алгоритмов, “Наука”,Москва, 1984.

[4] Н. К. Верещагин и А. Шень, Начала теории множеств, МЦНМО, Москва, 1999.

[5] K. Hrbacek and T. Jech, Introduction to Set Theory, Marcel Dekker, Inc., New York, 1999.

[6] Пол Дж. Коэн, Теория множеств и континуум-гипотеза, “Мир”, Москва, 1969.

Максим Алексеевич Коротков Евгений Олегович Степанов Основы формальных логических языков Учебное пособие В авторской редакции Компьютерная верстка К. А. Ворошилов М. А. Коротков Дизайн обложки Я. А. Иванов Редакционно-издательский отдел СПб ГИТМО (ТУ) Зав. РИО Н. Ф. Гусарова Лицензия ИД №00408 от 05.11. Подписано к печати 15.01. Тиражирование на ризографе.

Тираж 100 экз.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.