WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

«Челябинский государственный университет В.Е. Неуважаев МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕМЕШИВАНИЯ (учебное пособие для студентов старших курсов ЧГУ) Челябинск 2000 Вместо введения Что ...»

-- [ Страница 2 ] --

Анализируя поведение коэффициента при втором члене в уравнении (10.3), видим, что он в зоне перемешивания меняет знак и обращается в нуль при 1 + 2 1 + 2 - =. Изменение коэффициента происходит в ( - ) 1 - 2 1 - интервале. При малом числе Атвуда есть все - 1, основания этим членом пренебречь, но мы делаем это и в общем случае для любого A. Как легко видеть, при таком допущении уравнение (10.3) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение для масштаба длины Lt и легко интегрируется. В этом разделе, если масштаб длины зависит только от времени, будем метить его индексом t внизу. Значение Lt зависит только от времени, поэтому уравнение (10.2) для плотности смеси интегрируется.

Итак, при постоянном ускорении имеем ( - 2 g ) Lt = L0 + t (10.7) 1 + 2 2c () В уравнении (10.2) перейдем к автомодельной переменной x =. (10.8) Lt После несложных преобразований получим () () ( )( ) d - 1 1 + 2 2 2 - 1 - 2 - - 2 - 1 = d 2 1 - 2 ( ). (10.9) Чтобы удовлетворить краевым условиям (10.4), достаточно приравнять нулю выражение в фигурных скобках.

Заметим, что устойчивое разрывное решение (10.4) имеет место при g0 < 0. Это следует из поведения характеристик исходного уравнения (10.3). В этом случае они будут пересекаться по оси x = 0, и первоначально заданное разрывное решение будет сохраняться во времени.

Если g0 > 0 и согласно (10.4) легкое вещество находится слева от начала координат, то разрывное решение неустойчиво. В этом случае решением будет функция 1 1 + 2 2 2 - 1 - 2 - ( - 2 - () () )( ) = 2 1 - 2 ( ) (10.10) Определим три характерные точки профиля : 1 и 2, соответствующие фронтам перемешивания, и 0 в точке = 0.

1 + 2 = 1 + 1 =- (10.11) 1 0 = = 0 = 1 + 2 + 1 + 2 + ( ) () () Если использовать (10.7) и (10.8), то получим 1 + 2 1 - 2 g0t h1 = 1Lt =.

21 1 + 2 2c Сравнение с (10.6) дает искомое выражение для c1 :

1 + 2 c1 =.

21 2m Рассмотрим решение при условии смены знака ускорения. Легко заметить, что при t t0 оно будет определяться выше полученными формулами (10.8), (10.10), (10.11). После смены знака ускорения, согласно (10.8), будем иметь g0 g Lt = A t0 + A t0 - t.

( ) 2c1 2c g Очевидно, разрыв восстановится при tcc = -. Здесь, как и в 1+ t g1 [6], использовано одно и то же значение постоянной c1 независимо от знака ускорения, хотя, как показано выше, этоне так.

4. Модификация модели Янгса Для того, чтобы оценить свойства полученного решения, необходимо обратиться к результатам экспериментов Кучеренко–Пылаева [9] и Янгса– Рида [6]. Лучше всего сравнивать профили для смеси. Выберем две характеристики профиля: значение плотности смеси в точке начального h положения границы x = 0 и меру несимметрии. Совокупный анализ ( ) h экспериментальных профилей вместе с теоретическим изучением приводит к выводу [2]: если ширины области перемешивания h1 и h2 определять эффективно, отходя от фронта перемешивания внутрь области h перемешивания, то несимметрия изменяется в ограниченных пределах.

h Несимметрия решения предыдущего пункта значительно отклоняется h2 L2 от допустимой: = = - = n. Это видно из рис. 7.4. Так для h1 L1 h2 h n = 3 в экспериментах = 1.19 1.27, в теории по Янгсу = 1.73.

[] h1 h Плотность 0 в модели Янгса согласно (10.11) есть ( ) lim 0 = 0.331, тогда как из [6] и [9] следует, что в опытах.

( ) lim 0 = 0.451. Таким образом, профиль с симметричным ( ) перемешиванием в обе стороны будет меньше отклоняться от экспериментального, т.к. тогда lim 0 = 0.51.

( ) Модель с такими свойствами легко получается, если в формуле (10.2) 1 + плотность заменить ее средним значением. Уравнение для ширины L берется в форме (10.3). Уравнение для плотности смеси примет вид 2g0L = ( - - 2. (10.13) )( ) t t 1 - 2 1 + 2 c ( )() Если, как и раньше, пренебречь переносным членом в (10.3) (второй член в левой части), то решение получим в виде линейной функции от :

1 + 2 1 - =+. (10.14) 1 + Очевидно, 1 =-2 = 1 и 0 =. Постоянная c1 связана с m равенством c1 =.

m 5. Учет сепарации в k –модели на основании уравнения переноса (ks – модель) Выше было показано, что диффузионные k и k модели вполне удовлетворительно описывают широкий класс задач с переменным ускорением, в том числе задачи с выключенным ускорением и с тонким слоем. Сепарация может быть описана путем введения переносных членов по схеме предыдущего пункта, однако подключение ее требует особого исследования.

Для написания исходных уравнений модели используем уравнение (10.13). Запишем его вместе с диффузионным членом:

2 g L = D ± s ( - - 2, )( ) t x x ( - 2 1 + )() (10.16) где D = 0LV ;

если g > 0, то берется знак “+”, если g < 0, то берется знак “–“.

Здесь учтены оба процесса: диффузии и переноса. Переносной член играет основную роль в определении решения. Это уравнение при некоторых ограничениях сводится к известному обобщенному уравнению Бюргерса [13], свойства решений которого хорошо изучены. Переносной член с коэффициентом s является главным в определении интенсивности турбулентного перемешивания, диффузионный член становится добавкой, размывающей основное решение. Причем в нашем случае это размытие происходит на фронтах перемешивания.

Поэтому наиболее естественный способ учета сепарации раздельный.

На неустойчивой стадии g > 0 следует применять только x диффузионную модель = 0, на устойчивой g < 0 – только (s ) x сепарационную D = 0. Как осуществлять переход с одних уравнений на ( ) другие?

Для этого нужно привлечь уравнение баланса кинетической энергии турбулентности (5.5). Отметим, что теперь генерационный член Dg следует учитывать при любом знаке.

x Переход к сепарационной модели D = 0, s 0 увяжем со () значением турбулентной скорости. После смены неустойчивой стадии на устойчивую скорость V начнет падать, стремясь к нулю. Сепарация, как показывают эксперименты, наступает не сразу после смены знака ускорения, а через некоторый промежуток времени. Этот промежуток определяется из уравнения (5.5), когда скорость на устойчивой стадии обратится в нуль. Конечно, обращение турбулентной скорости в нуль скорее всего является недостатком модели. Поэтому в п.6 рассматривается случай, когда эта скорость принимает некоторое постоянное значение.

Точные количественные соотношения будут получены после осреднения уравнения (5.5).

Осредненное уравнение для V и уравнение для ширины удобно записать в следующем виде: (7.12) и (7.13) 2 1, dV V ( ) (10.17) + 4k = gA dL L dL, (10.18) = 81mV dt где m =.

Полученная система уравнений (10.17), (10.18) интегрируется при любом законе ускорения g. Рассмотрим ступенчатое ускорение согласно (10.5). Для простоты будем полагать в начальный момент нулевые начальные данные V 0 = 0, L 0 = 0. (10.19) ( ) ( ) Тогда из (10.17) и (10.18) следует решение I этапа. Мы продолжаем его во второй этап до тех пор, пока скорость V не обратится в нуль. Этим самым определится переходное время tc, при котором происходит смена моделей.

Решение уравнений (10.17) и (10.18) при условии (10.19) и (10.5) есть 1 g0AL ( ), 0 t t0, 21 1+ 4k ( ) V = 1+4k 1 g1AL ( ) L V + 1-, t0 t tc, 21 1+ 4k L ( ) 2 8m1 1 g0At ( ), 0 t t0, L = 1+ 4k L0 L Lc, t0 t tc.

Зависимость ширины от времени на интервале t0 t tc определится после интегрирования уравнения (10.18). Значение ширины Lc вычисляется как решение уравнения 4k Lc L0 g -= -. (10.20) L0 Lc g При значении ширины L2 скорость V обращается в нуль:

V Lc = 0, (10.21) ( ) поэтому согласно (10.18) при t = tc ширина достигает своего максимального значения.

Lc tc Заметим, что экспериментально измеренные отношения и дают L0 t возможность дополнительного контроля правильности выбора степени 4k, которая на I этапе при A = 0 есть 5.

Время tc получается интегрированием (10.18):

Lc 1 tc = t0 + dL.

81m L0 V Подынтегральную функцию на интервале L0 L Lc можно приближенно заменить следующей:

21 1+ 4k - L 1 ( ) Lc -.

V 1 g1AL0 L - L ( ) Тогда интеграл легко берется, и для tc имеем 2 1+ 4k 1 ( ) tc = t0 + - Lc ( - L0.

) 4m 1 g1AL ( ) Время tc служит для переключения на сепарационное уравнение -2g1L =- s 1 + 2 - 2. (10.22) () t 1 x ( - 2 1 + )() Начальными данными для этого уравнения будет распределение плотности из (7.4) на момент t = tc :

1 + 2 1 - 2 2x x,tc =+.

( ) Lc Уравнение для ширины определится из характеристического уравнения d L =- s -2g1A 1 (10.23) ( ) dt при условии t = tc, L = Lc.

Очевидно, что на втором этапе при t tc ширина после интегрирования (10.23) примет вид L = Lc - s -2g1A 1 t - tc. (10.24) ( )( ) Последнее уравнение дает выражение для следующей критической точки, когда L = 0 :

Lc tcc = tc +.

s -2g1A ( ) В нашем случае при t = t1, если ускорение снова меняет знак, наступит неустойчивая стадия, на которой будут действовать уравнения диффузионной модели (10.17) и (10.18) при условии, что V t1 = 0;

L1 = L t1 = Lc - s -2g1A 1 t1 - tc, ( ) ( ) ( )( ) где ширина L1 заведомо не равна нулю.

Решением на этом этапе будет 1 g2A 1 + 2 1 - 2 2x ( ) =+ ( ) L, L = L1 + 41 1+ 4k t - t.

6. Учет сепарации в k –модели на основании уравнения (10.16) Построенная теория п.5 базируется на переключении диффузионной модели на сепарационную, причем момент переключения определяется по обращению в нуль кинетической энергии области турбулентного перемешивания. В таком приближении полная сепарация наступит через конечный промежуток времени.

Однако от этого, видимо, неестественного свойства можно легко избавиться, если в рамках рассматриваемых моделей предположить, что переключение определяется по некоторому ненулевому значению кинетической энергии области турбулентного перемешивания. Для этого следует определить это значение, например, как часть N от кинетической энергии в момент переключения ускорения:

Vc2 = NV02, N 1, и это значение может быть подсказано экспериментом.

Если дальнейшее поведение кинетической энергии области турбулентного перемешивания предположить известным и постоянным, то естественно на сепарационном этапе, в отличие от проведенного выше рассмотрения, учесть диффузионный член (уравнение (10.16)), где D = 0LVc, т. е. турбулентная скорость на всем интервале сепарации полагается постоянной.

Такая постановка приводит к тому, что на сепарационном этапе полного разделения смеси не происходит, а при t устанавливается некоторый асимптотический профиль плотности, определяемый уравнением s -2g1L = ( - - 2.

)() x sLVc 1 - 2 1 + ()() При этом эффективная ширина L установившегося профиля будет связана с параметрами задачи следующим образом:

20 1 N ( ) () g L = L0.

31s g Очевидно, при N = 0 получается рассмотренное в п.5 решение.

Выбор параметра N остается свободным. На этапе сепарации уравнение для кинетической энергии турбулентности нуждается в уточнении.

Заключение Проведен анализ модели турбулентного перемешивания Янгса, основанной на использовании системы уравнений многокомпонентной многоскоростной жидкости.

Показано, что в случае несжимаемых жидкостей уравнения модели могут быть сведены к квазилинейному уравнению переноса, свойства которого хорошо изучены. Проанализирована несимметрия перемешивания и установлено, что при больших числах Атвуда она существенно отличается от экспериментальной. Сделано предложение по совершенствованию модели.

Изучена сепарация в условиях применения диффузионных k и k моделей. Задача сведена к известному уравнению Бюргерса. Показано, что сепарационную добавку следует учитывать только на устойчивом этапе действия ускорения, причем не сразу, а с некоторой затяжкой, определяемой из решения уравнения для кинетической энергии турбулентности.

Проанализированы опыты с сепарацией Янгса и Кучеренко–Пылаева.

В результате анализа определена постоянная сепарации s :

d h =- s A, s = 0. & d 2 s - sc - 2sc t - tc ( ) ( ) (10.25) На основании построенных точных решений возникают следующие вопросы и предложения:

1) Справедлива ли зависимость (10.25) для произвольного числа Атвуда?

Здесь постоянная s вычислена при значении A = 0.5.

2) Какое решение установится на устойчивом этапе при достаточно большом времени? Для этого в опытах Кучеренко–Пылаева следует продолжить интервал действия устойчивого этапа по сравнению с неустойчивым более чем в 2 раза.

3) Проверить вывод теории об автомодельном характере плотности: в безразмерных переменных он остается одним и тем же на всех этапах. В зависимости от знака ускорения профиль плотности самоподобно «расширяется» либо «сужается».

ПРИЛОЖЕНИЕ Рекомендации для самостоятельного изучения:

1. Условия на ударной волне и контактном разрыве.

2. Уравнения газовой динамики в Эйлеровых координатах.

3. Одномерный случай: независимые переменные x и t.

4. Разрывные решения. Понятия об ударной волне и контактном разрыве.

Задача о поршне.

5. Литература: А.А. Самарский, Ю.П.Попов, Разрывные схемы газовой динамики. Глава 1.

6. Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко, Системы квазилинейных уравнений и их применения к газовой динамике. Глава 2. § 4.

Условия на ударной волне Уравнения:

+ U = 0 - закон сохранения массы, ( ) t x u P + U + = 0 - закон сохранения импульса, ( ) t x x s s + u = 0, или t x UU P - = 0 - закон сохранения энергии.

+ + 2 + t (П.1.1) Здесь – плотность, U– скорость, Р – давление, – внутренняя энергия, =,T ;

P = P,T – уравнения состояния для идеального газа.

( ) ( ) cp P = cp - cv T;

= cvT;

= ;

( ) cv cp и cv – постоянные. s –энтропия s = s,T. Для идеального газа ( ) R P S = ln ;

R = cp - cv.(П.1.2) - В (П.1.2) опущена произвольная постоянная, с точностью до которой определяется энтропия каждой частицы газа.

Ударная волна – разрыв, перемещающийся со скоростью D по массе вещества. Все величинына фронте УВтерпят разрыв.

Условия на разрыве – условия Гюгонио:

1) условие сохранения массы:

1 U1 - D = 0 U0 - D ( ) ( ) 2) условие сохранения импульса:

1 U1 - D + P1 = 0 U0 - D + P ( ) ( ) 3) условие сохранения энергии:

U1 U ) P0 ( - D ) P1 ( - D 1 U1 - D 1 + + = 0 U ( ) ( - D 0 + + ) 1 2 0 ПРИЛОЖЕНИЕ Вывод дисперсионного уравнения (3.6) В § 3 после подстановки (3.5) в (3.6) получена система шести уравнений относительно шести неизвестных функций UI x1, i = 123, x1, P x1, s x1 :

,, b g b g b g b g F I i + ik3U3 + ik2U2 + U1 = 0,(П.2.1) H K x 1 P iU1 =- - g0,(П.2.2) x P iU2 =-ik2,(П.2.3) P iU3 =-ik3,(П.2.4) s is =-U1,(П.2.5) x F I =+ s + P.(П.2.6) G J H K s P Ps С учетом введенных ранее обозначений 1 P 1 ln g0 =- ;

c0 = ;

a0 = ;

x1 x P s 0 =-g0 g0 + c0a0.

c h из (П.2.5) и (П.2.6) следует:

1 0 P = U1 +.(П.2.7) 2 i g0c0 c При выводе (П.2.7) использовано равенство s P =+ x1 s x1 P x Ps или s g0 = a0 + = -.

2 s x1 c0 g0c P Из (П.2.1), (П.2.3), (П.2.4) следует:

P F I i - ik12 + U1 = 0 (П.2.8) H K x В (П.2.8) подставим из (П.2.7) и получим F 1 k12 I F I - iP + U1 + U1 = 0.(П.2.9) G J H K c2 c H K x1 g0c Последнее уравнение преобразуется в (П.2.10):

F 1 k12 I U1 g - iP + - U1 = 0 (П.2.10) G J c2 H K x1 c Уравнение (П.2.10) продифференцируем по x1 и получим (П.2.11):

F I F 1 k12 P g0 U I F I - i = U1 -. (П.2.11) G J G J H K G J c2 2 x c0 x H K x1 x H K Подставим из (П.2.7) в (П.2.2) и получим:

F I 0 P g i + U1 =- - P (П.2.12) G J 2 H ic0 K x1 c P Наконец, находим из (П.2.10) и (П.2.11) P и и подставляем в x (П.2.12). Темсамымполучаемуравнение (3.6).

ПРИЛОЖЕНИЕ Покажем, что искомое решение должно выходить из точки (6.4) и входить в точку (6.5). Для этого нужно установить, что y1 = y 1 = 1.

b g Рассмотрим все допустимые значения y1: y1 = 0;

y1 = ;

y1 > 0 и конечно.

4) y1 = 0. Система уравнений (6.2)–(6.3) в окрестности точки 1,0, b g примет вид 3 1 y F I = 1 - y2, y =-.

G J H K 2 3 Можно показать, что среди решений, выходящих из точки 1,0,0 нет b g искомого, удовлетворяющего очевидным условиям > 0, y > 0.

Действительно, разделив одно уравнение на другое, получим d 3y2 - =.

dy y Видно, что среди кривых, лежащих в квадранте > 0, y > 0, нет решения, проходящего через начало координат.

5) y1 =. В этом случае уравнения (6.2)–(6.3) эквивалентны урезанной системе 2 1 U F I F I 1 + y2 + 1- y2 y2 = G J G J | H K H K 3 | (П.3.1) V I 2 F 2 y F I | -G J 1 + = y2 + G J H K 3 H y K | W Безразмерная комбинация y2 в точке = 1 равна нулю.

Действительно, если вернуться к исходным величинам, то y2 D, x т.е. выражение y2 есть поток смеси и поэтому на фронте перемешивания равно нулю.

Система (П.3.1) после сделанного замечания заметно упрощается:

2 3 y =- y2, y =.

3 Поделив одно уравнение на другое и проинтегрировав, получим:

dy y - =-, y = c.

d 6) y1 > 0. y1 – постоянная. Урезанная система примет вид F I 2 2 2 y F I 2 1 +, y1 + =- y1, -G J = 1 G J H K 3 3 H y1 K откуда неминуемо следует, что 2 y1 = 1, 1 =- 1.

b g 3 Аналогично исследуется другая точка и показывает, что 2 y2 = 2, 2 =- 2.

b g 3 ПРИЛОЖЕНИЕ 4.

Усреднение уравнения (9.7) по области -Lm x L0.

Проинтегрируем левую и правую части уравнения (9.7) в указанных пределах. Предварительно оценим ряд интегралов:

L0 L 2 a) V dx = V m, где m = x.

z z - Lm - Lm Lm При больших временах >> 1:

L F 1 - 0 L F IJ m 0 + Lm 1 Lm, G JI G H K H 2 2 K L g 1 - 0 L c h в) g dx = 1- e- ;

c h z x - Lm L0 V c) dx 0 ;

z x x - Lm 2 L0 1 c - h ln V F I d ) V dx ;

G J z H K x 1 - Lm L Le e) dx 1 - 0 0.

c h z - Lm Пренебрегая членами более высокого порядка малости, получим уравнение:

Vm g 1 - 0 L0 1- e c h c h c h vV m + =.

2 2L m Если в это уравнение подставить вместо массы m ее значение 1 Lm, а вместо ширины Lm 2m, то получим уравнение (9.8).

Приложение Исследование поведения интегральных кривых системы уравнений (8.8) в окрестности точки L = k = t = 0.

В уравнении (8.8) перейдем от L к. Получим:

dk k t2 P - P0 + = ;

d cµk ;

(П.5.1) d t c 2t3 c1P1 t - P2 + =.

d cµk3 k а) Пусть в окрестности нуля t2 k P < P0 +.

cµk Тогда систему уравнений (П.5.1) можно заменить следующей dk k P = P0 + d.

dt t t P = P2 + c k Полученные уравнения имеют семейство интегральных кривых, выходящее из нуля.

2P k = 1- 2P0 ;

(П.5.2) c 1 0.5-P0 +P ( ) t = const б) пусть в окрестности нуля t2 k P > P0 +.

2 cµk Тогда от (П.5.1) перейдем к урезанной системе уравнений.

dk t =- ;

d cµk dt c 2 t =-.

d cµ k Решения полученной системы уравнений приводят к отрицательным значениям k, поэтому не рассматриваются.

в) Наконец, остается случай, когда имеет место равенство, т.е.

t2 k = c0P0, cµk где c0 – постоянная. Найдем ее. Из первого уравнения системы (П.5.1) следует kk k P =-c0P0 + P0 +.

Решением, выходящим из нуля, будет 2P k =.

1- 2P0 1- c ( ) Из второго уравнения системы (П.5.1) получаем выражение для c 0.25 - P2 + c1 P0 - 0. () c0 =.

P0 c1 - c () Таким образом, в случае «в» получается единственное нетривиальное решение, имеющее вид P1 c 2 - c () k = c 2 0/5 - P0 - 0.25 + P () 0.25 - P2 + c1 P0 - 0. 2 () t2 = cµ c 2 - c1 P () 0.25 - P2 + c 2 P0 - 0. () (П.5.3) К этому следует добавить, что помимо решения (П.5.3), будет также существовать бесчисленное множество решений, имеющих разложение (П.5.2).Естественно, возникает вопрос о выборе нужного решения.

Квадратичный закон развития ширины области перемешивания от времени получится, если принять единственное решение (П.5.3). В этом случае получим 0.25cµ c1 - c 2 P1t () = 0.5 + c1 2P0 -1 - 2P2 0.5 + c1 2P0 -1 - 2P ( ) ( ) (П.5.4) Другой класс решений, определяемый формулами (П.5.2) также существует. Это однопараметрическое семейство интегральных кривых, выходящих из нулевой точки = 0;

k = 0;

t = 0, приводит к некоторому степенному закону L t2c -1.

Здесь степень вычислена для малых чисел Атвуда. И, вообще говоря, не ясно, какое решение следует выбрать.

Приложение Исследование поведения интегральных кривых в окрестности особой точки = 0 ;

k = t = 0 системы уравнений (8.8).

t а) Пусть 0. Тогда урезанная система имеет вид k k P = ;

t Pc = ;

k а ее решениембудет P c t = const k ;

k = -0.

( ) Из точки = 0 ;

k = t = 0 выходит однопараметрическое семейство интегральных кривых.

t б) пусть. Тогда систему (П.5.1) приближенно можно заменить k следующей:

k t =- ;

cµk t c =- ;

cµ k c Ее решение t = const k противоречит нашему предположению «б».

t в) пусть const. В этом случае из нуля выходит единственное k решение Pcµ c 2 - ( ) t = k ;

0 c 2 - ( ) P1 c 2 - c k = ( -0.

) c 0 2 - Таким образом, поведение интегральных кривых в окрестности изучаемой точки на плоскости k,t будет иметь вид, изображенный на ( ) рис.2. Действительно, это следует из уравнения:

- t2 + P1 0k cµ dk k =, dt - c 0 t2 + Pc1 0k cµ которое получается из (8.8), (П.5.1), если первое уравнение разделить на второе и отбросить в окрестности =0 члены более высокого порядка малости.

Приложение 7.

Усреднение уравнения (9.7) по области -Lm x L0.

Проинтегрируем левую и правую части уравнения (9.7) в указанных пределах. Предварительно оценим ряд интегралов:

L0 L 2 a) V dx = V m, где m = x.

z z - Lm - Lm Lm При больших временах >> 1:

L 0 1 - 2 L m 2 + Lm 2 Lm, L g 1 - 0 L c h в) g dx = 1- e- ;

c h z x - Lm L0 V c) dx 0 ;

z x x - Lm 2 L0 1 c - h ln V F I d ) V dx ;

G J z H K x 1 - Lm L Le e) dx 1 - 0 0.

c h z - Lm Пренебрегая членами более высокого порядка малости, получим уравнение:

0 g 1 - 2 L0 1- e d Vm () ( ) ( ) vV m + =.

2d L m Если в это уравнение подставить вместо массы m ее значение 2 Lm, а вместо ширины Lm 2m, то получим уравнение (9.8).

Приложение 8.

Построим приближенное решение системы (9.18), (9.19). Для этого в (9.18) пренебрежем членом, а функцию заменим постоянной 0, которую определим путем приближенного интегрирования уравнения (2.5).

В результате B - y = y3 + 2 y ;

(П8.1) B +1 ( ) 1-1.5B 1+ B 0 =.(П8.2) ( ) y + 2 4 0. Последнее соотношение получено следующим образом. Уравнение (9.19) умножено на и от обеих частей его взят интеграл по области [-0.1, 0.1, при этом использованы приближенные равенства ] 0. BB + 1+ 2 y2 d - 0.10, ( ) B +1 B + -0. 0. B 2 y2 + y2 d 2 y4 0 00.1.

( ) B + -0. Дифференциальное уравнение (П8.1) для функции y есть уравнение Бернулли. Оно интегрируется, и решение представляется в виде 0. 1 1+ B B0. = + 0.

0. y2 0 2B ( ) 2 B +1 ( ) () Удовлетворяя граничным условиям (9.20), имеем 0.5 - n y0 = 2n n +1, 2 1+ B 0 =. (П8.3) ( ) ( ) n Из условия 0.1 = 0.1 находим ( ) 0 n - ( ) 0.1 =.(П8.4) 0. n Из (П8.2)–(П8.4) можно определить показатель автомодельности B.

Выражение для него тождественно совпадает с формулой (9.29).

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.