WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

«Н. Я. Виленкин Рассказы о множествах 3-е издание МЦНМО 2005 УДК 510.2 ББК 22.12 В44 Виленкин Н. Я. ...»

-- [ Страница 3 ] --

11. Установите взаимно однозначное соответствие между проме жутком 0 < x < 1 и всей числовой прямой.

12. Установите взаимно однозначное соответствие между число выми множествами 0 x < 1 и 0 x <.

13*. Установите взаимно однозначное соответствие между отрез ком 0 x 1 и промежутком 0 < x < 1.

146 Примеры и упражнения 14. Постройте взаимно однозначное отображение отрезка 0 x на всю числовую прямую.

15*. Постройте взаимно однозначное соответствие между мно жеством всех чисел отрезка 0 x 1 и множеством иррациональных чисел того же отрезка.

16*. Отобразите взаимно однозначно луч 0 x < на всю чис ловую прямую.

17. Установите взаимно однозначное соответствие между точка ми плоскости и точками сферы, из которой выброшена одна точка.

18*. Установите взаимно однозначное соответствие между точ ками плоскости и точками сферы.

19. Установите взаимно однозначное соответствие между точка ми открытого квадрата 0 < x < 1, 0 < y < 1 и точками плоскости.

20. Установите взаимно однозначное соответствие между множе ством всех рациональных чисел отрезка 0 x 1 и множеством всех точек плоскости, обе координаты которых рациональны.

21. Установите взаимно однозначное соответствие между множе ством всех целых чисел и множеством всех квадратных трехчленов с целочисленными коэффициентами.

22*. Установите взаимно однозначное соответствие между мно жеством всех действительных чисел и множеством всех точек плос кости.

23. Установите взаимно однозначное соответствие между мно жеством всех действительных чисел и множеством всех квадратных трехчленов с действительными коэффициентами.

24. Какова мощность множества всех четырехугольников на плоскости, координаты всех вершин которых рациональны?

25. Какова мощность множества всех многоугольников на плос кости, координаты всех вершин которых рациональны?

26. Какова мощность множества всех выпуклых многогранни ков, координаты всех вершин которых рациональны?

27. Какова мощность множества всех рациональных функций с целочисленными коэффициентами в числителе и знаменателе?

28. Какова мощность множества всех многочленов, коэффици ентами которых служат рациональные числа?

29. Какова мощность множества всех последовательностей нату ральных чисел?

30. Какова мощность множества всех конечных последователь ностей натуральных чисел?

Примеры и упражнения 31. Какова мощность множества всех возрастающих последова тельностей натуральных чисел?

32. Какова мощность множества всех многочленов третьей сте пени с действительными коэффициентами?

33. Какова мощность множества всех многочленов с действи тельными коэффициентами?

34. Можно ли построить на плоскости континуум попарно непе ресекающихся окружностей?

35. Можно ли построить на плоскости континуум попарно непе ресекающихся букв Г? Букв N?

36. Можно ли построить на плоскости континуум попарно непе ресекающихся букв А? Букв Б?

37. Какова мощность множества всех действительных чисел, в десятичном разложении которых встречается цифра 7?

38. Какова мощность множества всех действительных чисел, в десятичном разложении которых не встречается цифра 5?

39. Какова мощность множества действительных чисел, заклю ченных между 0 и 1, в десятичном разложении которых на втором месте стоит цифра 6 и больше эта цифра не встречается?

40. Докажите, что если A - B B - A, то A B (напомним, что A B означает, что A и B имеют одинаковую мощность).

41. Докажите, что если A B и A A + C, то B B + C.

42. Верно ли утверждение: «Если A C, B D, причем A B, C D, то A - B C - D»?

43. Верно ли утверждение: «Если A B, C A и C B, то C - A C - B»?

44. Перенумеруем все рациональные точки отрезка [0;

1]. Мы по лучим последовательность точек r1, r2,..., rn,.... Построим окрест ность точки r1, имеющую радиус 1/10, окрестность точки r2, име ющую радиус 1/20, окрестность точки r3, имеющую радиус 1/40, и т. д. Сложим все построенные окрестности. Содержит ли получен ное множество M весь отрезок?

45. Оцените длину множества M из задачи 44.

46*. Назовем счетномерным кубом множество всех последо вательностей действительных чисел (x1,..., xn,...) таких, что 0 xn 1. Докажите, что множество точек счетномерного куба имеет мощность континуума.

47*. Постройте непрерывную функцию, имеющую на каждом отрезке бесконечно много максимумов и минимумов.

148 Примеры и упражнения 48*. Множество M состоит из точек отрезка [0;

1], которые мож но представить в виде десятичных дробей, ни один десятичный знак которых не равен 3 и 8. Опишите, как получить это множество, по следовательно выбрасывая из отрезка промежутки.

49*. Сделайте то же самое для точек, в десятичном разложении которых не встречается комбинация 38 (в указанном здесь порядке).

50*. Точка a называется предельной точкой для множества M, если в любой ее окрестности есть бесконечно много точек этого мно жества. Докажите, что все предельные точки канторова множества (см. с. 107) принадлежат этому множеству. Докажите, что и обратно, каждая точка канторова множества является для него предельной.

То же самое сделайте для множеств из задач 48 и 49.

51. Докажите, что каждая точка отрезка [0;

1] является предель ной для множества всех рациональных чисел таких, что 0 r 1.

52. Существуют ли предельные точки у множества целых чисел?

53. Докажите, что дополнение к любому открытому множеству на плоскости содержит все свои предельные точки.

54. Докажите, что если множество содержит все свои предель ные точки, то его дополнение — открытое множество.

55. Приведите примеры таких множеств на плоскости, которые а) не имеют граничных точек;

б) имеют граничные точки, причем ни одна из них не при надлежит множеству;

в) содержат все свои граничные точки;

г) целиком состоят из граничных точек;

д) содержат только часть своих граничных точек.

56. Приведите примеры множеств в пространстве со свойства ми а)–д) из задачи 55.

Оглавление Предисловие ко второму изданию...................... Глава I. Множества и действия над ними........... Что такое множество.................................. Как задают множества................................ Брить или не брить?.................................. Пустое множество..................................... Теория множеств и школьная математика............... Подмножества........................................ Теория множеств и комбинаторика..................... Универсальное множество............................. Пересечение множеств................................. Сложение множеств................................... Разбиение множеств................................... Арифметика остатков................................. Вычитание множеств.................................. Алгебра множеств..................................... Планета мифов....................................... Булевы алгебры....................................... Глава II. В мире чудес бесконечного................. Тайны бесконечности.................................. Необыкновенная гостиница, или тысяча первое путеше ствие Йона Тихого.................................... Как сравнивать множества............................. На танцплощадке..................................... На каждый прилив — по отливу........................ Равна ли часть целому?............................... Счетные множества................................... Алгебраические числа................................. Восьмерки на плоскости............................... Неравные множества.................................. Счетное множество — самое маленькое из бесконечных... Несчетные множества................................. Несостоявшаяся перепись.............................. Несчетность континуума............................... Существование трансцендентных чисел................. На длинном и коротком отрезках поровну точек......... Отрезок и квадрат.................................... 150 Оглавление Одна задача почему-то не выходит..................... Существует ли множество самой большой мощности?.... Арифметика бесконечного............................. Возведение в бесконечную степень...................... По порядку номеров.................................... Вполне упорядоченные множества...................... Непонятная аксиома................................... Из одного яблока — два............................... Конечные разбиения.................................. Глава III. Удивительные функции и линии, или про гулки по математической кунсткамере..... Как развивалось понятие функции..................... Джинн выходит из бутылки............................ Мокрые точки........................................ Чертова лестница..................................... Колючая линия....................................... Замкнутая линия бесконечной длины................... Математический ковер................................ Евклид отказывает в помощи.......................... Нужны ли строгие определения?....................... Линия — след движущейся точки...................... Теорема очевидна, доказательство — нет................ Кривая проходит через все точки квадрата.............. Все лежало в развалинах.............................. Как делают статуи.................................... Континуумы.......................................... Канторовы линии..................................... Всегда ли площадь линии равна нулю?................. Области без площади.................................. Неожиданные примеры................................ Области и границы.................................... Большие ирригационные работы....................... «Недиссертабельная» тема............................. Индуктивное определение размерности................. Работу надо не рецензировать, а печатать!.............. Заключение............................................. Примеры и упражнения................................

Pages:     | 1 | 2 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.