WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Н. Я. Виленкин Рассказы о множествах 3-е издание МЦНМО 2005 УДК 510.2 ББК 22.12 В44 Виленкин Н. Я.

В44 Рассказы о множествах. 3-е издание. — М.: МЦНМО, 2005. — 150 с.

ISBN 5-94057-036-4 В 70-х годах XIX века немецкий математик Г. Кантор создал новую область математики — теорию бесконечных множеств. Че рез несколько десятилетий почти вся математика была перестрое на на теоретико-множественной основе. Понятия теории множеств отражают наиболее общие свойства математических объектов.

Обычно теорию множеств излагают в учебниках для универ ситетов. В настоящей книге в популярной форме описываются основные понятия и результаты теории множеств.

Книга предназначена для учащихся старших классов средней школы, интересующихся математикой, а также для широких кру гов читателей, желающих узнать, что такое теория множеств.

ББК 22.12 Виленкин Наум Яковлевич РАССКАЗЫ О МНОЖЕСТВАХ Дизайн обложки Соповой У. В.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования.

119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11.

Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г. Подписано к печати 03.11.2003 г.

Формат 60 88/16. Печать офсетная. Объем 9.5 печ. л. Доп. тираж 2000 экз.

Заказ №.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Полиграфические ресурсы».

© Виленкин А. Н., 2005.

ISBN 5-94057-036-4 © МЦНМО, 2005.

Предисловие ко второму изданию О теории множеств мне довелось услышать, когда я учился в восьмом классе. Однажды я попал на лекцию, которую прочел для московских школьников И. М. Гельфанд — тогда начинающий доцент, а ныне член-корреспондент АН СССР1. В течение двух часов он рассказывал нам о совершенно невероятных вещах: что натуральных чисел столько же, сколько и четных, рациональных столько же, сколько и натуральных, а точек на отрезке столько же, сколько и в квадрате.

Знакомство с теорией множеств было продолжено в годы обуче ния на механико-математическом факультете МГУ. Наряду с лекци ями и семинарами там существовал своеобразный метод обучения, о котором, возможно, и не подозревали профессора и доценты. После занятий (а иногда — что уж греха таить — и во время не слиш ком интересных лекций) студенты бродили по коридорам старого здания на Моховой и обсуждали друг с другом интересные зада чи, неожиданные примеры и остроумные доказательства. Именно в этих разговорах студенты-первокурсники узнавали от своих стар ших товарищей, как строить кривую, проходящую через все точки квадрата, или функцию, не имеющую нигде производной, и т. д.

Разумеется, объяснения давались, как говорится, «на пальцах», и идти сдавать экзамен, прослушав эти объяснения, было бы непро стительным легкомыслием. Но ведь об экзамене не было и речи — по учебному плану курс теории функций действительного перемен ного надо было сдавать еще через два года. Но как же потом, при слушании лекций и сдаче экзаменов, помогала «коридорная» подго товка! По поводу каждой теоремы вспоминались интересные задачи, которые приходилось решать раньше, остроумные сравнения, на глядные образы.

Мне захотелось рассказать читателю о теории множеств пример но в том же стиле, в каком я сам изучал ее, проходя «коридор ный» курс обучения. Поэтому основное внимание будет обращено на то, чтобы сделать ясной постановку задач, рассказать о неожи данных и удивительных примерах, сплошь и рядом противоречащих В настоящее время — академик РАН. — Прим. ред.

4 Предисловие ко второму изданию наивному представлению, которыми так богата теория функций дей ствительного переменного. И если, прочтя эту книгу, школьник стар ших классов или студент первых курсов университета или пединсти тута почувствует желание более глубоко изучить теорию множеств, теорию функций действительного переменного, автор будет считать, что его цель достигнута.

Из серьезных курсов можно было бы рекомендовать следующие: 1. Александров П. С. Введение в теорию множеств и функций, Гостехиздат, 1948.

2. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, Изд-во МГУ, ч. 1, 1954, ч. 2, 1960;

Наука, 1981.

3. Лузин Н. Н. Теория функций действительного переменного, Учпедгиз, 1948.

4. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной, Гостехиздат, 1950;

Наука, 1974.

5. Хаусдорф Ф. Теория множеств, ОНТИ, 1937.

6. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств, «Мир», 1970.

Много интересных задач по теории множеств собрано в книге Ю. С. Очана «Сборник задач и теорем по теории функций действи тельного переменного» («Просвещение», 1965).

По некоторым вопросам, затронутым здесь, много интересных сведений содержится в книге А. С. Пархоменко «Что такое линия» (ГИТТЛ, 1954). В конце книги приведен ряд задач по теории функ ций действительного переменного, решение которых будет полезно читателю. Отметим еще, что некоторые более трудные места можно при первом чтении пропустить без ущерба для понимания дальней шего. Эти места мы отметили звездочками.

Список литературы обновлён. — Прим. ред.

Глава I. Множества и действия над ними Что такое множество В этой главе будет рассказано о том, что такое множества и ка кие действия можно выполнять над ними. К сожалению, основно му понятию теории — понятию множества — нельзя дать строго го определения. Разумеется, можно сказать, что множество — это «совокупность», «собрание», «ансамбль», «коллекция», «семейство», «система», «класс» и т. д. Однако все это было бы не математиче ским определением, а скорее злоупотреблением словарным богат ством русского языка.

Для того чтобы определить какое-либо понятие, нужно прежде всего указать, частным случаем какого более общего понятия оно является. Для понятия множества сделать это невозможно, потому что более общего понятия, чем множество, в математике нет.

Поэтому вместо того, чтобы дать определение понятию множе ства, мы проиллюстрируем его на примерах.

Часто приходится говорить о нескольких вещах, объединенных некоторым общим признаком. Так, можно говорить о множестве всех стульев в комнате, о множестве всех атомов на Юпитере, о множе стве всех клеток человеческого тела, о множестве всех картофелин в данном мешке, о множестве всех рыб в океане, о множестве всех квадратов на плоскости, о множестве всех точек на данной окруж ности и т. д.

Предметы, составляющие данное множество, называются его эле ментами. Для того чтобы указать, что данное множество A состоит из элементов x, y,..., z, обычно пишут A = {x, y,..., z}.

Например, множество дней недели состоит из элементов {понедель ник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}, множе ство месяцев — из элементов {январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь}, множество 6 Глава I. Множества и действия над ними арифметических действий — из элементов {сложение, вычитание, умножение, деление}, а множество корней квадратного уравнения x2 - 2x - 24 = 0 — из двух чисел:

-4 и 6, то есть имеет вид {-4, 6}.

Фигурные скобки в обозначении множества показывают, что эле менты объединены в одно целое — множество A. Тот факт, что эле мент x принадлежит множеству A, записывают с помощью знака так: x A. Если же данный элемент x не принадлежит множеству A, то пишут x A. Например, если A означает множество всех четных натуральных чисел, то 6 A, а 3 A. Если A — множество всех ме сяцев в году, то май A, а среда A.

Таким образом, когда мы говорим о множестве, то объединяем некоторые предметы в одно целое, а именно в множество, элемен тами которого они являются. Основатель теории множеств Георг Кантор подчеркнул это следующими словами: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». Собственно говоря, элемен ты множества могут и не быть реально существующими предмета ми — в богословских трактатах всерьез изучаются взаимоотношения в множествах архангелов, злых духов и т. д.

Для того чтобы наглядно представить себе понятие множества, академик Н. Н. Лузин предложил следующий образ. Представим прозрачную непроницаемую оболочку, нечто вроде плотно закры того прозрачного мешка. Предположим, что внутри этой оболочки заключены все элементы данного множества A, и что кроме них внутри оболочки никаких других предметов не находится. Эта обо лочка с предметами x, находящимися внутри нее, и может служить образом множества A, составленного из элементов x. Сама же эта прозрачная оболочка, охватывающая все элементы (и ничего дру гого кроме них), довольно хорошо изображает тот акт объединения элементов x, в результате которого создается множество A.

Если множество содержит конечное число элементов, то его на зывают конечным, а если в нем бесконечно много элементов, то бес конечным. Так, множество деревьев в лесу конечно, а множество точек на окружности бесконечно.

Как задают множества Возможны различные способы задания множества. Один из них состоит в том, что дается полный список элементов, входящих в множество. Например, множество учеников данного класса Как задают множества определяется их списком в классном журнале, множество всех стран на земном шаре — их списком в географическом атласе, мно жество всех костей в человеческом скелете — их списком в учебнике анатомии.

Великая перепись рыб Но этот способ применим только к конечным множествам, да и то далеко не ко всем. Например, хотя множество всех рыб в океане и конечно, вряд ли его можно задать списком. А уж бесконечные множества никак нельзя определять с помощью списка;

попробуй те, например, составить список всех натуральных чисел или список всех точек окружности — ясно, что составление этого списка никогда не закончится.

В тех случаях, когда множество нельзя задать при помощи спис ка, его задают путем указания некоторого характеристического свой ства — такого свойства, что элементы множества им обладают, а все остальное на свете не обладает. Например, мы можем говорить о мно жестве всех натуральных чисел. Тогда ясно, что число 73 принад лежит этому множеству, а число или крокодил не принадлежат.

Точно так же 2 и планета Сатурн не принадлежат множеству всех рациональных чисел, а принадлежит этому множеству.

8 Глава I. Множества и действия над ними В геометрии часто приходится иметь дело с множествами то чек, заданными теми или иными характеристическими свойствами.

Обычно, следуя древним традициям, множество точек с данным характеристическим свойством в геометрии называют геометри ческим местом точек. Например, говорят так: «Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки этой плоскости». Это означает, что множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки этой плоскости, совпадает с множеством точек некоторой окружности.

Крокодил не входит в множество натуральных чисел Задание множеств их характеристическими свойствами иногда приводит к осложнениям. Может случиться, что два различных ха рактеристических свойства задают одно и то же множество, то есть всякий элемент, обладающий одним свойством, обладает и другим, и обратно. Например, множество толстокожих сухопутных живот ных, имеющих два бивня, совпадает с множеством толстокожих жи вотных, имеющих хобот, — это множество слонов.

В геометрии свойство «точка M равноудалена от сторон угла AOB» задает то же точечное множество, что и свойство «угол AOM равен углу MOB» (здесь рассматриваются точки плоскости, лежа щие внутри угла AOB, см. рис. 1). А в арифметике свойство «целое число делится на 2» задает то же множество, что и свойство «по следняя цифра целого числа делится на 2».

Иногда бывает трудно доказать равносильность двух характери стических свойств. Попробуйте, например, доказать, что следующие свойства задают одно и то же множество точек, лежащих в одной плоскости с треугольником ABC:

Как задают множества а) основания перпендикуляров, опущенных из точки M на сто роны треугольника ABC, лежат на одной прямой;

б) точка M лежит на окружности, описанной вокруг треуголь ника ABC (рис. 2).

(Совпадение этих множеств составляет содержание так называе мой теоремы Симсона и теоремы, обратной ей.) Рис. 1 Рис. Вообще, во многих математических теоремах речь идет о совпаде нии двух множеств, например множества равносторонних треуголь ников с множеством равноугольных треугольников, множества опи санных четырехугольников с множеством четырехугольников, сум мы противоположных сторон которых равны, и т. д. В некоторых случаях проблема совпадения или различия двух множеств, задан ных своими характеристическими свойствами, не решена до сих пор.

Так, до сих пор неизвестно, совпадает ли множество {1093, 3511} с множеством простых чисел n, для которых 2n - 2 делится на n2.

Еще большие трудности при задании множеств их характеристи ческими свойствами возникают из-за недостаточной четкости обы денного языка, неоднозначности человеческой речи. Большое число промежуточных форм затрудняет разграничение объектов на при надлежащие и не принадлежащие данному множеству. Пусть, напри мер, речь идет о множестве всех деревьев на земном шаре. В первую очередь здесь надо определить, идет ли речь обо всех деревьях, кото рые существовали и будут существовать на Земле, или о деревьях, существовавших в течение некоторого фиксированного промежут ка времени (например, с 1 мая по 1 сентября 1965 года). Но тогда возникает вопрос, как быть с деревьями, спиленными за этот проме жуток времени? Кроме того, существует целый ряд промежуточных форм между деревьями и другими растениями, и надо решить, какие из них относятся к множеству деревьев, а какие нет.

Даже множество планет Солнечной системы определено не впол не однозначно. Наряду с большими планетами (Меркурием, Венерой, 10 Глава I. Множества и действия над ними Землей, Марсом, Юпитером, Сатурном, Ураном, Нептуном и Плу тоном) вокруг Солнца обращается около 1600 малых планет, так называемых астероидов. Поперечники некоторых таких планет (Це реры, Паллады, Юноны и других) измеряются сотнями километров, но есть и астероиды, поперечник которых не превышает 1 км. По ме ре улучшения методов наблюдения астрономы будут открывать все более и более мелкие планеты, и наконец возникнет вопрос, где же кончаются планеты и начинаются метеориты и космическая пыль.

Аналогичное затруднение было у одного героя Бабеля, вопившего после налета банды Бени Крика: «Где начинается полиция и где кон чается Беня?» Как известно, мудрые одесситы отвечали ему, что по лиция кончается именно там, где начинается Беня Крик. Но вряд ли фраза «Планеты кончаются именно там, где начинаются метеори ты» устроит кого-либо в качестве точного определения множества планет Солнечной системы.

Впрочем, разница между планетами и метеоритами интересует в основном астрономов. А вот разница между домом и хибаркой существенна для обитателя любого жилища. Но легко представить себе, что одно и то же здание получит от одного человека уважитель ное название «дом», а от другого — пренебрежительное прозвище «хибарка». Разумеется, и отнесение того или иного здания к множе ству дворцов существенно зависит от того, кому поручено составить список этого множества.

Точно так же рассмотрение множества всех стихотворений, опуб ликованных в России, осложняется наличием многочисленных про межуточных форм между стихами и прозой (ритмическая проза, белые стихи и т. д.). Не слишком точно определено и множество лиц, пользующихся правом бесплатного проезда по железным дорогам страны. К этому множеству относятся, в частности, дети до 5 лет.

Но может случиться, что малолетнему пассажиру исполнится 5 лет в пути, и тогда неясно, относится ли он к этому множеству (расска зывают, что один пунктуальный отец включил стоп-кран в момент, когда его сыну исполнилось пять лет, чтобы точно определить остав шийся отрезок пути, за который ему следовало уплатить).

Тонкости возникают и в более простых случаях и связаны с неточностью и несовершенством обычного языка. Пусть, на пример, A есть множество, состоящее из первых n натуральных чисел, A = {1, 2,..., n}, где n — число букв первой строки основного текста «Евгения Онегина». Такое определение можно понимать дво яко. С одной стороны, под числом n можно понимать совокупное Брить или не брить? количество всех вхождений букв в первую строку (так сказать, общее количество типографских знаков в строке). Выпишем эту строку и отметим различные вхождения одной и той же буквы соответствующими порядковыми номерами:

М1, О1, Й1, Д1, Я1, Д2, Я2, С1, А1, М2, Ы1, Х1, Ч1, Е1, С2, Т1, Н1, Ы2, Х2, П1, Р1, А2, В1, И1, Л1.

Получается, что n = 25 и A = {1, 2,..., 25}.

С другой стороны, под числом n можно понимать общее число различных букв русского алфавита, встречающихся в первой строке.

Вот эти буквы:

М, О, Й, Д, Я, С, А, Ы, Х, Ч, Е, Т, Н, П, Р, В, И, Л.

Тогда получается, что n = 18 и A = {1, 2,..., 18}.

Приведенный пример показывает, с какой тщательностью нужно формулировать определение множества, чтобы избежать неясности и двусмысленности, свойственных обычному нашему языку.

Брить или не брить?

Не всегда затруднения с определением состава множества зави сят только от недостатков языка. Иногда причина лежит гораздо глубже. Приведем следующий пример. Как правило, сами множе ства не являются своими собственными элементами (например, мно жество всех натуральных чисел не является натуральным числом, множество всех треугольников не является треугольником и т. д.).

Однако бывают и такие множества, которые содержат себя в ка честве одного из своих элементов. Скажем, множество абстрактных понятий само является абстрактным понятием (не правда ли?). Так как такие множества рассматриваются редко, назовем их экстраор динарными, а все остальные множества — ординарными.

Образуем теперь множество A, элементами которого являются все ординарные множества. На первый взгляд кажется, что в этом определении нет ничего плохого;

не видно, почему фраза «множе ство всех ординарных множеств» хуже, чем фраза «множество всех треугольников». Но на самом деле здесь возникает серьезное логи ческое противоречие. Попробуем выяснить, каким же является само полученное множество A — ординарным или экстраординарным. Ес ли оно ординарно, то оно входит в себя как один из элементов (мы 12 Глава I. Множества и действия над ними ведь собрали вместе все ординарные множества). Но тогда по опре делению оно является экстраординарным. Если же множество A экс траординарно, то по определению экстраординарности оно должно быть своим собственным элементом, а среди элементов множества A есть лишь ординарные множества, экстраординарных множеств мы не брали!

Получилось логическое противоречие — множество A не может быть ни ординарным, ни экстраординарным. Впрочем, такие логи ческие противоречия возникают и в гораздо более простых случаях.

Например, одному солдату приказали брить тех и только тех сол дат его взвода, которые не бреются сами. Возник вопрос, как ему поступать с самим собой. Если он будет брить себя, то его следует отнести к числу солдат, которые бреются сами, а брить таких солдат он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то его придется отнести к числу солдат, которые сами не бреются, а тогда по приказу он должен себя брить.

Брить или не брить?

Брить или не брить? Известны и другие примеры, когда множество, на первый взгляд вполне определенное, оказывается определенным очень плохо, а луч ше сказать — совсем неопределенным. Например, пусть множество A состоит из всех рациональных чисел, которые можно определить при помощи не более чем двухсот русских слов (включая сюда и слова «нуль», «один», «два» и т. д.).

Так как множество всех русских слов конечно (для простоты будем считать, что берутся лишь слова из словаря Ожегова и их грамматические формы), то и множество таких чисел конечно.

Пусть это будут числа r1, r2,..., rN. Определим теперь рациональ ное число r следующим образом:

r = 0,n1n2...nN, где ni (i-й десятичный знак числа r) равен 1, если i-й десятич ный знак числа ri отличен от единицы, в противном же слу чае ni = 2.

Число r не совпадает с r1, так как отличается от него первым десятичным знаком, не совпадает с r2, так как отличается от него вторым десятичным знаком, и т. д. Поэтому число r не входит в множество A. Между тем это число определено нами при помощи не более чем двухсот слов.

С этим парадоксом тесно связан следующий:

Каково то наименьшее целое число, которое нельзя определить при помощи фразы, имеющей менее ста русских слов?

Такое число существует, поскольку число слов в русском языке конечно, а значит, есть числа, которые нельзя определить фразой, имеющей менее ста слов. Но тогда среди этих чисел есть наименьшее.

С другой стороны, такого числа не существует, ибо оно опреде ляется фразой из менее чем ста слов, напечатанной выше курсивом, а по смыслу этой фразы оно не может быть определено подобным образом.

А вот более сложный пример конечного множества, относи тельно которого оказывается невозможным сказать, содержит ли оно данный элемент. Разделим все прилагательные в русском язы ке на два класса. К первому классу отнесем все прилагательные, для которых выражающее их слово само обладает свойством, опи сываемым этим прилагательным, а ко второму — прилагательные, не обладающие описываемым им свойством. Например, прилагатель ное «русское» отнесем к первому классу, так как слово «русское» принадлежит к словарному запасу русского языка. К тому же классу 14 Глава I. Множества и действия над ними отнесем и прилагательное «пятисложное», так как в слове «пяти сложное» именно пять слогов. А прилагательное «немецкое» отнесем во второй класс, так как слово «немецкое» входит в словарный со став русского, а не немецкого языка. Во второй класс попадет и слово «односложное», так как в этом слове не один, а пять слогов. Туда же попадет и слово «синее», так как это слово само цветом не обладает, а только выражает некоторый цвет.

Казалось бы, все в полном порядке и каждое прилагательное на шло свое место. Но для того, чтобы отличить полученные два класса друг от друга, введем еще два прилагательных. Назовем все при лагательные первого класса «автологичными» (от греческих слов «авто» — сам и «логос» — смысл, закон), а прилагательные второго класса «гетерологичными» («гетерос» — другой). Слова «автологич ный» и «гетерологичный» являются прилагательными, и их надо разместить по нашим классам. Слово «автологичный» можно от править в первый класс, и тогда оно будет обладать именно тем свойством, которое само выражает, — ведь в первом классе собра ны именно автологичные слова. Но и во втором классе оно будет смотреться неплохо (не обладая «гетерологичностью»). А вот сло во «гетерологичный», напротив, относить некуда — оно доставляет те же трудности, что и взводный цирюльник.

Его нельзя отнести в класс автологичных слов, так как тогда слово «гетерологичный» должно было бы само обладать свойством, выражаемым этим словом, а это свойство заключается в том, что ему надо быть не в первом, а во втором классе. Нельзя его отнести и во второй класс, так как тогда оно должно было бы не обладать выражаемым им свойством гетерологичности, а потому быть авто логичным, второй же класс автологичных слов не содержит.

В теории множеств накопилось много таких случаев, когда опре деление множества было внутренне противоречивым. Изучение во проса, при каких условиях это может иметь место, привело к глубо ким исследованиям в области логики, совершенно изменившим лицо этой науки. Многие из этих исследований впоследствии были исполь зованы для построения теории быстродействующих вычислительных машин, теории автоматов и т. д. Но эти исследования относятся уже к математической логике, и мы оставим их в стороне.

Мы будем в дальнейшем рассматривать лишь множества, кото рые определены точно и без противоречий и состав которых не вызы вает сомнений (такие, как множество всех натуральных чисел, всех квадратов на плоскости и т. д.).

Пустое множество Пустое множество Само название «множество» наводит на мысль, что каждое мно жество должно содержать много (по крайней мере два) элементов.

Но это не так. В математике приходится рассматривать и множества, содержащие только один элемент, и даже множество, не имеющее ни одного элемента. Это множество называют пустым и обозна чают.

Примерами пустых множеств могут служить множество лоша дей, пасущихся на Луне, множество десятиногих млекопитающих, множество трехлетних гроссмейстеров, множество действительных корней уравнения x4 + 16 = 0, множество решений системы урав нений 2x - 5y = 1, 4x - 10y = 6.

Зачем же вводят пустое множество? Во-первых, отметим, что когда множество задано своим характеристическим свойством, то не все гда заранее известно, существует ли хоть один элемент с таким свойством. Например, пусть множество A состоит из всех четырех угольников таких, что а) все их углы прямые, б) диагонали имеют различную длину.

Для человека, не знающего геометрии, ничего противоречивого в этих требованиях нет. Однако из теоремы о равенстве диагоналей прямоугольника следует, что множество таких четырехугольников пусто. Пусто и множество треугольников, сумма углов которых от лична от 180. Множество квадратных трехчленов, имеющих более двух корней, тоже пусто. Вообще многие математические утвержде ния можно сформулировать как утверждения о пустоте некоторого множества (попробуйте сформулировать так теорему Пифагора).

Не решая уравнения x4 - 7x2 - 6x + 26 = 0, было бы трудно установить, пусто или нет множество его действительных корней.

Впрочем, если переписать это уравнение в виде (x2 - 4)2 + (x - 3)2 + 1 = 0, то станет ясно, что оно не имеет действительных корней.

Иногда бывает трудно сказать, пусты ли те или иные множества нематематической природы. Если кто-нибудь плохо знает зоологию, 16 Глава I. Множества и действия над ними он не сможет ответить на вопрос, пусто ли множество акул, живущих в Байкале, или множество тигров, живущих на свободе в Австралии.

Долго было неизвестно, пусто ли множество всех натуральных чисел n таких, что n > 2, а уравнение xn + yn = zn имеет поло жительные целочисленные решения (в этом состояла знаменитая проблема Ферма). Лишь в 1995 г. Э. Уайлс установил, что это мно жество пусто. До сих пор неизвестно, пусто ли множество цифр, входящих лишь конечное число раз в десятичное разложение чис ла (хотя это число и вычислено с точностью до многих тысяч десятичных знаков, неизвестно, все ли цифры входят в его деся тичное разложение бесконечно много раз или какая-нибудь цифра встречается лишь конечное число раз).

До сих пор не выяснено, пусто ли множество целых решений уравнения x3 + y3 + z3 = 30 (при этом допускаются как положитель ные, так и отрицательные целые решения;

то, что множество ре шений этого уравнения в натуральных числах пусто, совершенно очевидно).

Неизвестно и то, пусто ли множество всех живых плезиозавров на земном шаре, — если чудовище озера Лох-Несс действительно окажется плезиозавром, то это множество не пусто.

Теория множеств и школьная математика Множества могут состоять из самых различных элементов — рыб, домов, квадратов, чисел, точек и т. д. Именно этим объясняется чрез вычайная широта теории множеств и ее приложимость к самым разным областям знания (математике, механике, физике, биологии, лингвистике и т. д.). Для математики особо важную роль играют множества, составленные из «математических» объектов — геомет рических фигур, чисел, алгебраических выражений, функций и т. д.

С некоторыми такими множествами имеют дело в школьной мате матике, но там обычно избегают самого слова «множество» (за ис ключением школ и классов с углублённым изучением математики).

На самом же деле школьная математика имеет дело с множества ми на каждом шагу. Особенно часто встречаются числовые множе ства, то есть множества, составленные из чисел. Примерами таких множеств могут служить:

а) множество всех натуральных чисел, б) множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля), Теория множеств и школьная математика в) множество всех рациональных чисел, г) множество всех действительных чисел, д) множество всех комплексных чисел, е) множество площадей правильных многоугольников, вписан ных в данный круг, и т. д.

С каждым уравнением связаны два числовых множества. Пер вым из них является множество чисел, при которых выражения, входящие в уравнение, имеют смысл. Это числовое множество на зывается областью допустимых значений неизвестного. Например, для уравнения x x - 1 + = x2 - 4 x2 - 9 область допустимых значений состоит из всех чисел x, для кото рых x2 - 4 = 0 и x2 - 9 = 0, то есть из всех чисел, кроме чисел мно жества {2, -2, 3, -3}. А для уравнения -x2 + x + 12 + x = 2 + область допустимых значений состоит из чисел, для которых -x2 + x + 12 0. Это неравенство выполняется, если -3 x 4.

Вторым множеством, связанным с данными уравнением или неравенством, является множество его решений. Например, для уравнения x2 - 7x + 12 = 0 множество корней состоит из двух чисел {3, 4}, а для уравнения sin x = 0 — из бесчисленного множества чисел, а именно из всех целых чисел. Когда уравнение задано, мно жество M его корней определено характеристическим свойством — тем, что числа x, входящие в M, удовлетворяют данному урав нению. После того, как уравнение решено, множество M задано списком (если оно конечно) или более простым характеристическим свойством (если оно бесконечно), например, свойством, что все его элементы — целые числа.

В то время как множество решений уравнения состоит обычно из нескольких чисел или (для большинства тригонометрических уравнений) из нескольких последовательностей чисел, множество решений неравенства, как правило, сплошь заполняет некоторые участки множества действительных чисел. Например, неравенство 4 - x2 0 выполняется на отрезке -2 x 2, обозначаемом [-2;

2], а неравенство (4 - x2)(x - 3)(x - 5) 18 Глава I. Множества и действия над ними — на отрезках -2 x 2 и 3 x 5. Если вместо нестрогих взять строгие неравенства, то получатся отрезки с отброшенными конца ми, так называемые числовые промежутки. Например, множество решений неравенства (4 - x2)(x - 3)(x - 5) > состоит из промежутков -2 < x < 2 и 3 < x < 5, обозначаемых (-2;

2) и (3;

5). Концы -2, 2, 3, 5 этих промежутков не удовлетворяют нера венству. Встречаются в качестве решений неравенства и более слож x - ные множества. Например, решением неравенства 0 является 4 - x множество чисел x таких, что 1 x < 4, обозначаемое [1;

4). Здесь один конец отрезка (а именно 1) принадлежит множеству решений, а другой — число 4 — не принадлежит ему.

Так как каждое действительное число изображается точкой на числовой оси, числовые множества можно изображать как неко торые множества точек на прямой. Например, на рис. 3 а изображено множество чисел x таких, что -4 x 1, а на рис. 3 б изображено множество таких чисел x, что -2 < x < 3.

а) б ) Рис. Особенно удобно геометрическое изображение множеств, состо ящих из пар или троек чисел. Например, уравнение x2 + y2 = задает множество M пар чисел (x;

y), при подстановке которых урав нение обращается в тождество. Пары чисел (-5;

0), (3;

-4) принадлежат множеству M, так как (-5)2 + 02 = 25, 32 + (-4)2 = 25, а па ра чисел (1;

6) не принадлежит множеству M, так как 12 + 62 = 37 = 25. Однако такое описа ние множества M не очень наглядно. Чтобы описать это множество нагляднее, воспользу емся методом координат. Выберем на плос кости систему декартовых координат (это те Рис. самые координаты, которые изучаются в шко ле). Тогда каждой паре чисел (x;

y) соответ ствует точка A на плоскости с координатами x и y, а каждой точке плоскости — пара x и y ее координат (рис. 4).

Теория множеств и школьная математика Если изобразить на плоскости все пары чисел (x;

y), для которых x2 + y2 = 25, то легко заметить, что они ложатся на одну и ту же линию, а именно на окружность радиуса 5 с центром в начале коор динат (рис. 5). Если вспомнить теорему Пифагора, то сразу станет ясно, что множество всех точек A(x;

y), для которых x2 + y2 = 25, совпадает с множеством точек этой окружности (рис. 6).

Рис. 5 Рис. Неравенства, содержащие два неизвестных, обычно задают не линии, а целые области на плоскости. Например, неравенство x2 + y2 25 задает на плоскости множество точек, расстояние которых от начала координат не превосходит 5, то есть множе ство точек круга радиуса 5 с центром в начале координат. При этом сама окружность входит в указанное множество. А неравен ство x2 + y2 < 25 задает тот же круг, но без граничной окруж ности.

В геометрии мы сталкиваемся с двумя типами множеств. Во первых, теоремы геометрии обычно говорят о свойствах некоторого множества геометрических фигур. Например, теорема о том, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, касается множества всех параллелограммов. Во-вторых, сами геометриче ские фигуры являются множествами, состоящими из входящих в них точек. Мы можем поэтому говорить о множестве всех точек данного круга, о множестве всех точек данного конуса и т. д.

В алгебре мы встречаемся с такими множествами, как множество всех многочленов от двух переменных, множество всех квадратных уравнений, множество всех алгебраических уравнений и т. д. Одним словом, почти каждый раздел школьной математики так или иначе связан с теорией множеств.

20 Глава I. Множества и действия над ними Подмножества Введение понятия множества в математику оказалось очень по лезным. Из-за того, что элементами множеств могут быть вещи са мой различной природы, одни и те же утверждения, касающиеся множеств, можно истолковать и как утверждения о точках геомет рических фигур, и как утверждения о натуральных числах, и как утверждения о животных или растениях, и как утверждения об ато мах или молекулах. Понятия и теоремы теории множеств облада ют очень большой общностью. Мы расскажем сейчас о некоторых из них.

В первую очередь познакомимся с понятием подмножества. Оно возникает каждый раз, когда приходится рассматривать некоторое множество не самостоятельно, а как часть другого, более широкого множества. Именно, говорят, что множество B является подмноже ством другого множества A, если каждый элемент x из B является вместе с тем и элементом множества A. В этом случае пишут B A.

Например, если взять какую-нибудь среднюю школу, то множе ство учеников десятых классов этой школы является подмножеством в множестве всех учеников данной школы.

В свою очередь множество учеников этой шко лы является подмножеством в множестве всех школьников.

Множество всех лис является подмноже ством в множестве всех хищных зверей, множе Рис. ство хищных зверей — подмножеством в мно жестве млекопитающих, а множество млекопи тающих — подмножеством в множестве позвоночных. Если геомет рическая фигура X является частью геометрической фигуры Y, то множество точек фигуры X есть подмножество множества точек фигуры Y (рис. 7).

В геометрии также часто приходится иметь дело с подмножества ми некоторых множеств геометрических фигур. Возьмем, например, следующие множества: множество A состоит из всех четырехуголь ников;

множество B состоит из всех трапеций;

множество C состоит из всех параллелограммов;

множество D состоит из всех прямоуголь ников;

множество E состоит из всех квадратов. В этом списке фи гура каждого следующего типа является частным случаем фигуры предыдущего типа (трапеция — частный случай четырехугольника, Подмножества параллелограмм — частный случай трапеции1 и т. д.). Но это и озна чает, что каждое следующее множество является подмножеством предыдущего:

A B C D E.

Точно так же в следующем списке каждое следующее множество является подмножеством предыдущего: множество всех комплекс ных чисел;

множество всех действительных чисел;

множество всех рациональных чисел;

множество всех целых чисел;

множество всех натуральных чисел. Во многих случаях, чтобы выделить в данном множестве некоторое подмножество, добавляют к характеристиче скому признаку множества то или иное дополнительное условие. На пример, подмножество натуральных чисел выделяется в множестве целых чисел добавлением условия n > 0, а подмножество равносто ронних треугольников в множестве всех треугольников — добавле нием условия a = b = c.

Мы уже говорили, что многие теоремы формулируются как теоремы о совпадении двух множеств. Наряду с ними встречают ся и теоремы, в которых речь идет лишь о том, что одно множество является частью другого. Например, в теореме «Диагонали четырех угольника с равными сторонами (ромба) взаимно перпендикулярны» речь идет о двух множествах: A — множество всех ромбов, B — множество всех четырехугольников с взаимно перпендикулярными диагоналями. И теорема состоит в том, что A B.

Если множество A является подмножеством множества B, A B, то принадлежность множеству A является достаточным условием принадлежности к множеству B, а принадлежность к множе ству B — необходимым условием принадлежности множеству A.

Например, пусть B — множество всех четных положительных чисел, а A — множество натуральных чисел, последней цифрой которых является 4. Ясно, что A B. Поэтому для того, чтобы целое число n было четным, достаточно, чтобы его последней цифрой было 4.

С другой стороны, для того чтобы последней цифрой целого числа было 4, необходимо, чтобы это число было четным.

В случае, когда множества A и B совпадают, принадлеж ность к A необходима и достаточна для принадлежности к B.

Иными словами, теоремы о том, что некоторое условие является Хотя в некоторых курсах геометрии параллелограмм не считается трапе цией.

22 Глава I. Множества и действия над ними необходимым и достаточным, — это теоремы о совпадении двух множеств.

Так, для того чтобы целое число n делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы его последней цифрой был 0. Иными словами, множество A чисел, кратных 10, совпадает с множеством B целых чисел, последней цифрой которых является 0.

Точно так же множество всех ромбов совпадает с множеством па раллелограммов, имеющих взаимно перпендикулярные диагонали.

Поэтому для того, чтобы параллелограмм был ромбом, необходи мо и достаточно, чтобы его диагонали были взаимно перпендику лярны.

Теория множеств и комбинаторика Подсчитаем, сколько подмножеств имеет конечное множество (в число подмножеств мы включаем и пустое множество, и само множество). Множество, состоящее из одного элемента a, имеет два подмножества: и {a}. Множество, состоящее из двух элементов a и b, имеет уже четыре подмножества: те же подмножества и {a} и еще {b} и {a, b}. Если прибавить к множеству третий элемент c, то кроме уже найденных четырех подмножеств, {a}, {b} и {a, b} появятся еще четыре подмножества: {c}, {a, c}, {b, c} и {a, b, c}, получаемые добавлением элемента c к каждому из имевшихся ранее подмножеств. Ясно, что каждый раз добавление нового элемента удваивает число подмножеств. Поэтому множество, содержащее n элементов, имеет 2n подмножеств.

Подмножества конечного множества можно расклассифициро вать по числу входящих в них элементов. Если множество содер жит n элементов, то его подмножества, состоящие из k элементов, k называются сочетаниями из n по k. Их число обозначается Cn. Так как общее число подмножеств равно 2n, то справедливо равенство 0 1 k n Cn + Cn +... + Cn +... + Cn = 2n.

k Для чисел Cn существует немало любопытных соотношений, многие из которых удается вывести, рассматривая некоторые подмножества с определенными свойствами. Докажем, например, соотношение k k-1 k Cn = Cn-1 + Cn-1 (1) в предположении 1 k < n. С этой целью среди всех сочетаний из n элементов a1,..., an по k выберем сочетания, содержащие Теория множеств и комбинаторика элемент an. Остальные k - 1 мест в сочетании могут занимать любые из n - 1 элементов a1,..., an-1. Поэтому число выбран k- ных сочетаний равно Cn-1. Теперь подсчитаем, сколько сочетаний из элементов a1,..., an по k не содержат элемента an. Эти соче тания составлены из элементов a1,..., an-1. Так как в сочетание k входят k элементов, то число таких сочетаний равно Cn-1. Посколь k ку в каждое из Cn сочетаний либо входит, либо не входит элемент an, то должно выполняться равенство (1).

Отметим еще, что Cn = 1 при любом n 0, так как каждое множе ство имеет лишь одно пустое подмножество. Точно так же очевидно, n что Cn = 1.

Пользуясь сделанными замечаниями, можно последовательно k подсчитывать числа Cn сначала при n = 0, потом при n = 1, потом k при n = 2 и т. д. Таблица чисел Cn записывается обычно в виде C 0 C1 C 0 1 C2 C2 C 0 1 2 C3 C3 C3 C........................

(так называемый треугольник Паскаля).

0 n Так как Cn = Cn = 1, то на сторонах треугольника Паскаля стоят единицы. А остальные числа последовательно вычисляем, учитывая, что в силу соотношения (1) каждое число равно сумме чисел, сто ящих в предыдущей строке слева и справа от него. В результате получаем следующую таблицу:

1 1 2 1 3 3 1 4 6 4 1 5 10 10 5.........................

Существует формула для непосредственного вычисления чи k сел Cn. Она имеет вид n!

k Cn =, k!(n - k)!

24 Глава I. Множества и действия над ними где k! = 1 · 2 ·... · k и 0! = 1. Предоставляем читателю проверить, что определяемые этой формулой числа действительно удовлетворяют 0 n соотношению (1) и равенствам Cn = Cn = 1.

Универсальное множество Крайне редко может встретиться случай, когда в одном и том же рассуждении пойдет речь и о множестве всех комплексных чисел и о множестве всех китов в океане (хотя, конечно, не исключено, что методы теории функций комплексного переменного будут при лагаться к изучению движения кита в воде). Обычно все множества, с которыми имеют дело в том или ином рассуждении, являются под множествами некоторого фиксированного множества I. Мы будем называть в этом случае множество I универсальным множеством.

Например, все числовые множества являются подмножествами множества действительных чисел, множество точек любой геометри ческой фигуры — подмножеством в множестве всех точек геометри ческого пространства, множество сторон плоского многоугольника — подмножеством в множестве всех отрезков на плоскости и т. д.

Пересечение множеств В сентябре 1887 года знаменитому сыщику Шерлоку Холмсу по надобилось выяснить название одного парусного судна1. Он знал об этом корабле не слишком много: в январе или феврале 1883 го да оно было в Пондишери, в январе 1885 года — в Данди, а сейчас стояло в Лондонском порту. Пользуясь этими данными, он все-таки установил название корабля. Для этого достаточно было сравнить три множества: множество парусников, бывших в указанное вре мя в Пондишери, множество парусников, находившихся в январе 1885 года в Данди, и множество парусников, находившихся сейчас в Лондоне. Оказалось, что только одно судно входило во все три множества — американский корабль «Одинокая звезда». А так как Шерлок Холмс полагал к тому же, что преступники родом из Аме рики, то круг замкнулся и преступление было раскрыто.

Искать общие элементы множеств приходится не только сыщи кам. Ученый-бактериолог, ищущий возбудителя болезни, наблюдает Отсылаем читателя за подробностями к рассказу Конан Дойля «Пять апель синовых зернышек».

Пересечение множеств В какую секцию пойти?

у одного больного этой болезнью одних микробов, у другого — дру гих, у третьего — третьих. Множества микробов, наблюдаемых у раз ных больных, различны, но обычно два или три микроба наблюда ются у всех больных этой болезнью. На них и падает подозрение как на возбудителей болезни. И дальнейшее исследование показывает, кто же истинный виновник заболевания.

Множество, состоящее из общих элементов нескольких мно жеств A, B, C,..., называется пересечением этих множеств или их произведением. Пересечение двух множеств A и B обозначается AB или A B. Итак, пересечением нескольких множеств A, B, C,...

называют новое множество, содержащее те и только те элементы, которые входят в каждое из множеств A, B, C,...

Например, пусть ученики данной школы участвуют в четырех спортивных секциях: футбольной, плавания, шахматной и бокса. Пе ресечение множеств участников каждой секции состоит из спортс менов-универсалов, которые могут и забить пенальти, и переплыть широкую реку, и создать грозную атаку на короля противника, и от разить нападение хулигана.

Разумеется, и в самой математике понятие пересечения мно жеств находит многочисленные приложения. Одним из основных ме тодов решения задач на построение является метод геометрических 26 Глава I. Множества и действия над ними мест. Если надо построить точку, удовлетворяющую каким-нибудь двум условиям, то сначала сохраняют только одно из этих усло вий и опускают второе. Множество точек, удовлетворяющих пер вому условию, заполняет некоторую линию (геометрическое место точек). Точно так же множество точек, удовлетворяющих только второму условию, заполняет другую линию. А тогда искомая точ ка является пересечением этих двух линий (геометрических мест).

Может, конечно, оказаться, что эти линии пересекаются не в од ной, а в нескольких точках. Тогда задача имеет несколько решений.

А если эти линии совсем не пересекаются, то задача не имеет реше ния. Например, пусть надо найти точку C, удаленную на расстояние a от точки O и равноудаленную от точек A и B. Искомая точка должна, во-первых, лежать на окружности радиуса a с центром в O, а во-вторых, на перпендикуляре к отрезку AB, проходящему через середину этого отрезка. Значит, чтобы найти точки, удовлетворяю щие поставленным условиям, достаточно взять точки пересечения прямой и окружности (здесь могут получиться две, одна или ни од ной точки пересечения, см. рис. 8).

Рис. Иногда приходится пересекать множества геометрических фигур или чисел. Например, множество всех квадратов является пересече нием множества всех прямоугольников с множеством всех ромбов.

Множество правильных треугольников является пересечением мно жества всех треугольников с множеством правильных многоугольни ков. Пересечением множества натуральных чисел, делящихся на 2, и множества натуральных чисел, делящихся на 3, является множе ство натуральных чисел, делящихся на 6.

Решение систем уравнений и неравенств, по сути дела, сводит ся к отысканию пересечения некоторых множеств (впрочем, можно сказать и наоборот: пересечение некоторых множеств ищется путем решения систем уравнений или неравенств). Пусть, например, надо Пересечение множеств решить систему уравнений x2 + y2 = 25, (1) x + y = 7.

С точки зрения алгебры перед нами задача найти все пары чисел (x;

y), при подстановке которых в оба уравнения системы получают ся тождества. Но уравнения системы можно рассматривать по от дельности. Обозначим через M множество всех пар чисел (x;

y), удовлетворяющих первому из наших уравнений, а через N — мно жество всех пар чисел (x;

y), удовлетворяющих второму уравнению.

Тогда решениями системы будут все пары чисел, принадлежащие как множеству M, так и множеству N.

Иными словами, множеством решений системы (1) является пересечение мно жеств M и N.

Это замечание лежит в основе гео метрического метода решения систем — строят линии, выражаемые каждым из уравнений системы, и находят их пересечение. Например, мы уже знаем, что точки A(x;

y), координаты которых удовлетворяют уравнению x2 + y2 = 25, лежат на окружности радиуса 5 с цен Рис. тром в начале координат. А уравнение x + y = 7 — это уравнение прямой, отсе кающей на обеих координатных осях отрезки длины 7. Если начер тить эти линии, то окажется, что они пересекаются в двух точках:

A(4;

3) и B(3;

4). Значит, наша система имеет два решения: x1 = 3, y1 = 4 и x2 = 4, y2 = 3 (рис. 9). Рассмотрим теперь систему неравенств y x2, (2) y 8 - x2.

Множество M решений неравенства y x2 состоит из точек A(x;

y), лежащих на параболе y = x2 и выше этой параболы. А множе ство N решений неравенства y 8 - x2 состоит из точек плоскости, лежащих на параболе y = 8 - x2 и ниже этой параболы (рис. 10).

На рис. 10 множество M заштриховано горизонтальными линиями, а множество N — вертикальными линиями. Решением системы нера венств (2) является пересечение P множеств M и N. На рис. 28 Глава I. Множества и действия над ними оно отмечено двойной штриховкой. При этом точки границы множе ства P принадлежат этому множеству.

Точно так же устанавливаем, что решением системы y > x2, (3) y = 2x + является часть прямой y = 2x + 3, лежащая выше параболы y = x2.

Прямая пересекается с параболой в точках A(-1;

1) и B(3;

9), и выше параболы лежит часть прямой, заключенная между точками A и B (сами точки A и B не принадлежат множеству решений системы, см. рис. 11).

Рис. 10 Рис. А теперь путем изучения пересечения множеств покажем, что иррациональное уравнение 2 + x - x2 + 8x - x2 - 15 = 7 (4) не имеет решений. Конечно, можно было бы начать решать это урав нение, уединив радикал и возведя обе части уравнения в квадрат, и лишь в самом конце, после проверки получившихся корней, убе диться, что уравнение не имеет решений. Но мы сделаем по-другому.

Сначала выясним, при каких значениях x имеют смысл радикалы, входящие в это уравнение. Радикал 2 + x - x2 имеет смысл, если 2 + x - x2 0. Решая это неравенство, получим, что -1 x 2. Точ но так же обнаруживаем, что радикал 8x - x2 - 15 имеет смысл, лишь если 3 x 5. Но отрезки -1 x 2 и 3 x 5 не имеют Сложение множеств общих точек, их пересечение пусто. Поэтому ни одно значение x не может удовлетворять уравнению (4).

Сложение множеств Еще чаще, чем пересекать множества, приходится объединять их.

Уже первоклассник, складывая три палочки и две палочки, объеди няет два множества. Вообще, действие сложения натуральных чисел связано с подсчетом числа элементов объединения двух множеств.

Но здесь надо иметь в виду одну тонкость. Пусть есть два сплава.

Один сплав содержит железо, углерод, ванадий и марганец, а вто рой — железо, углерод, хром и никель. В каждый сплав входят по химических элемента, но если мы сплавим их вместе, то в новый сплав войдут только 6 элементов: железо, углерод, ванадий, марга нец, хром и никель. Дело в том, что железо и углерод были в обоих сплавах, то есть объединяемые множества элементов имели непустое пересечение. Поэтому будет правильнее сказать, что сложение нату ральных чисел связано с объединением непересекающихся множеств.

Если же пересечение множеств не пусто, то в их объединении повто ряющиеся элементы считаются лишь по одному разу. Таким образом, сум мой нескольких множеств A, B,...

называют новое множество, состоя щее из тех и только тех элементов, которые входят хоть в одно из слага емых множеств. Сумму множеств A Рис. и B обычно обозначают A + B или A B. На рис. 12 изображено объ единение множества A точек круга 1 и множества B точек круга 2.

Если некоторые элементы входят не в одно, а в несколько слага емых множеств, в сумму они все равно входят только один раз.

Поэтому для конечных множеств число элементов суммы может оказаться меньше, чем сумма чисел элементов слагаемых. Например, пусть первое множество состоит из различных букв русского алфа вита, входящих в первую строку «Евгения Онегина», а второе — из различных букв, входящих во вторую строку этой поэмы. Первое множество мы уже выписывали. Оно состоит из 18 букв (см. с. 11):

М, О, Й, Д, Я, С, А, Ы, Х, Ч, Е, Т, Н, П, Р, В, И, Л.

30 Глава I. Множества и действия над ними Второе же множество состоит из 13 букв:

К, О, Г, Д, А, Н, Е, В, Ш, У, Т, З, М.

Суммой этих двух множеств является следующий набор 23 букв:

М, О, Й, Д, Я, С, А, Ы, Х, Ч, Е, Т, Н, П, Р, В, И, Л, К, Г, Ш, У, З.

Буквы О, Д, А, Н, Е, В, Т, М, входящие в пересечение наших множеств, вошли в сумму только один раз, и поэтому мы получили только 23 буквы, а не 18 + 13 = 31 букву. Вот еще один пример, когда складываемые множества имеют общие элементы. Множество всех учеников в классе является суммой следующих трех множеств:

а) множества успевающих учеников, б) множества девочек, в) множества неуспевающих мальчиков.

Ясно, что каждый учащийся этого класса принадлежит хотя бы од ному из указанных множеств. Однако эти множества могут иметь общие элементы: успевающие девочки входят и в первое, и во вто рое множество.

Иногда сумма состоит из бесконечного числа слагаемых мно жеств. Например, обозначим через An множество всех положитель ных дробей со знаменателем n:

m m m A1 =, A2 =,..., An =,...

1 2 n Суммой всех множеств A1, A2,..., An,... является множество всех m положительных дробей, то есть дробей вида, где m и n — нату n ральные числа.

Обозначим через A3 множество правильных треугольников, че рез A4 — множество правильных четырехугольников, через A5 — множество правильных пятиугольников и т. д. Тогда суммой всех этих множеств является множество A всех правильных многоуголь ников.

Поговорим теперь о сложении множеств в алгебре.

В одном из своих рассказов известный американский писатель Эдгар По пишет:

«Я никогда не встречал математика, который не держался бы как за Символ Веры за то, что x2 + px + q абсолютно и безусловно рав но нулю. Скажите одному из этих джентльменов, если вам угодно, в виде опыта, что, на ваш взгляд, могут существовать случаи, когда Сложение множеств x2 + px + q не целиком равно нулю, и, втолковав ему то, что вы ра зумеете, возможно скорее спасайтесь из пределов его досягаемости, так как, без сомнения, он попытается вас поколотить».

Разумеется, читатель понимает, что x2 + px + q может быть рав но нулю при одних значениях x и отличаться от нуля при других.

Но нас интересует иной вопрос: почему математики всегда стараются записать уравнение так, чтобы одна его часть была равна нулю? Что бы это стало яснее, рассмотрим такое уравнение: x2(x2 - 7) = -12.

Из того, что произведение двух выражений равно -12, трудно вы вести что-либо о величине каждого из этих выражений. Поэтому решать уравнение в таком виде весьма затруднительно. А если пе ренести -12 в левую часть уравнения и разложить получившееся выражение на множители, то получим уравнение (x2 - 4)(x2 - 3) = 0. (1) Теперь уже можно применить известное рассуждение: для того что бы произведение было равно нулю, надо, чтобы хоть один из мно жителей был равен нулю.

Поэтому решение уравнения (1) сводится к решению двух уравне ний: x2 - 4 = 0 и x2 - 3 = 0. Но в от личие от случая решения систе мы уравнений здесь надо искать не числа, которые удовлетворяют сразу обоим уравнениям, а числа, которые удовлетворяют хотя бы одному из двух уравнений. Ины ми словами, нам надо теперь ис кать не пересечение, а объедине ние множеств корней. Решая первое Рис. уравнение, получим корни x1 = 2, x2 = -2, а решая второе уравнение, находим еще два корня: x3 = 3, x4 = - 3. Объединяя множества {2, -2} и { 3, - 3}, получаем множество корней {2, -2, 3, - 3} заданного уравнения. Точно так же уравнение (x2 + y2 - 37)(y - x - 7) = 0 (2) задает множество, состоящее из окружности с уравнением x2 + + y2 - 37 = 0 и прямой, имеющей уравнение y - x - 7 = 0 (рис. 13).

32 Глава I. Множества и действия над ними Если бы вместо этого уравнения была задана система уравнений x2 + y2 - 37 = 0, y - x - 7 = 0, то она задавала бы не всю фигуру, изображенную на рис. 13, а лишь две точки A(-6;

1) и B(-1;

6), в которых прямая пересекает окруж ность.

Разбиение множеств Вообще говоря, слагаемые множества могут иметь общие элемен ты. Однако часто бывает, что некоторое множество является суммой своих подмножеств, никакие два из которых не имеют общих эле ментов (или, как обычно говорят, не пересекаются). В этом случае говорят, что множество A разбито на непересекающиеся подмноже ства.

Разбиение на подмножества часто используется для классифика ции объектов. Например, когда составляют каталог книг в библио теке, то все множество книг разбивают на книги беллетристическо го характера, книги по общественно-политическим наукам, по есте ственным наукам и т. д.

В биологии все множество животных разбивается на типы, ти пы — на классы, классы — на отряды, отряды — на семейства, семейства — на роды, а роды — на виды.

Конечно, одно и то же множество можно разными способами раз бивать на подмножества. Когда в той же библиотеке составляют ал фавитный каталог, то сначала книги разбиваются на подмножество книг, фамилии авторов которых начинаются на А, подмножество книг, фамилии авторов которых начинаются на Б, и т. д. После этого каждое полученное подмножество разбивают в соответствии со вто рой буквой фамилии авторов и т. д.

При разбиении множества на подмножества часто использу ют понятие эквивалентности элементов. Для этого определяют, что значит «элемент x эквивалентен элементу y», после чего объединя ют эквивалентные элементы в одно подмножество. Однако не всякое понятие эквивалентности годится для такого разбиения. Например, назовем двух людей эквивалентными, если они знакомы друг с дру гом. Такое определение эквивалентности окажется неудачным. Ведь может случиться, что человек X знаком с человеком Y, человек Y Арифметика остатков знаком с человеком Z, а люди X и Z друг с другом незнакомы. То гда нам придется сначала отнести в одно подмножество людей X и Y (они друг с другом знакомы), потом в то же подмножество включить и Z (он знаком с Y ), и у нас в одном подмножестве окажутся незна комые друг с другом X и Z. Чтобы не было таких неприятностей, нужно, чтобы для понятия эквивалентности выполнялись следую щие три условия:

а) каждый элемент сам себе эквивалентен;

б ) если элемент x эквивалентен элементу y, то элемент y эк вивалентен элементу x;

в) если элемент x эквивалентен элементу y, а элемент y экви валентен элементу z, то элемент x эквивалентен z.

Можно доказать, что выполнение этих условий необходимо и до статочно для того, чтобы множество A можно было разбить на под множества эквивалентных между собой элементов (и притом так, что разные подмножества не имеют общих элементов).

Например, назовем два целых числа x и y эквивалентными, если их разность — четное число. Легко проверить, что при этом выполня ются все три условия а)–в). Объединяя эквивалентные целые числа, мы разобьем множество всех целых чисел на два подмножества: мно жество четных чисел и множество нечетных чисел.

Арифметика остатков Если m — любое натуральное число, большее 1, то с его помощью множество натуральных чисел можно разбить следующим образом на классы. Назовем два числа сравнимыми по модулю m, если их разность делится на m. Например, числа 7 и 19 сравнимы по моду лю 4, но не сравнимы по модулю 5, так как 19 - 7 = 12 делится на 4, но не делится на 5. Легко проверить, что сравнимость чисел по дан ному модулю обладает всеми свойствами эквивалентности. Поэтому множество целых чисел разбивается на классы чисел, сравнимых между собой по модулю m. Число таких классов равно m, и все чис ла данного класса при делении на m дают один и тот же остаток.

Например, если m = 3, то получается 3 класса: класс чисел, крат ных 3, класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 1, и класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 2.

Составим теперь новое множество, элементами которого являют ся классы чисел, сравнимых по заданному модулю m. Множество M 34 Глава I. Множества и действия над ними состоит из m элементов. В этом множестве можно определить дей ствия сложения и умножения элементов. Например, пусть m = 5.

Возьмем класс A чисел, дающих при делении на 5 остаток 2, и класс B чисел, дающих при делении на 5 остаток 4. Если взять любое число класса A и прибавить к нему любое число класса B, то получится число, дающее при делении на 5 остаток 1 (в самом деле, (5a + 2) + (5b + 4) = 5(a + b + 1) + 1). Поэтому можно сказать, что суммой класса A и класса B является класс C чисел, дающих при делении на 5 остаток 1. Если умножить любое число класса A на любое число класса B, то получится число, дающее при делении на 5 остаток 3 (так как (5a + 2)(5b + 4) = 5(5ab + 4a + 2b + 1) + 3).

Мы получили любопытную арифметику, в которой имеют дело не с бесконечным множеством целых чисел, а всего с пятью эле ментами — пятью классами чисел. Будем обозначать класс чисел, дающих при делении на 5 остаток a, через a (например, класс чи сел {..., -4, 1, 6, 11, 16,...} обозначим просто 1). Для «чисел» 0, 1, 2, 3, 4 арифметика задается следующими таблицами сложения и умножения:

Таблица сложения Таблица умножения + 0 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 Особенно простой вид принимают эти таблицы для случая m = 2:

+ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 Первая таблица показывает, что сумма двух четных или нечетных чисел четна, а сумма четного и нечетного числа нечетна. Вторая же таблица показывает, что произведение двух целых чисел нечетно лишь в случае, когда нечетны оба сомножителя. Арифметика клас сов по данному модулю изучается в отделе математики, называемом теорией чисел.

Вычитание множеств Вычитание множеств Полицейский-инспектор Варнике осмотрел сейф, закурил свою трубку и сказал: «Электродрелью вскрывают сейфы только пять взломщиков: Алек Кунце, Фриц Шмидт, Густав Хойгер, Генрих Кунтцман и Томас Мюллер. Но Алек, Фриц и Густав сейчас нахо дятся в тюрьме Моабит. Придется спросить Генриха и Томаса, где они провели прошлую ночь...» Метод, которым воспользовался инспектор Варнике, основан на операции вычитания множеств. Он имел дело с двумя множества ми — множеством A взломщиков, пользовавшихся электродрелью, и множеством B всех обитателей тюрьмы Моабит. Удалив из множе ства A все элементы, принадлежащие множеству B, он сузил круг подозреваемых преступников.

Вообще, разностью двух множеств A и B называют новое множе ство, обозначаемое A - B или A \ B, в которое входят все элементы множества A, не принадлежащие B.

Мы видим, что для того, чтобы из множества A можно было вы честь множество B, совершенно не обязательно, чтобы множество B было частью множества A — вычитание B из A сводится к удалению из A общей части A и B:

A - B = A - AB.

Например, инспектору Варнике надо было из числа пяти взломщи ков отбросить трех — тех, что пользовались электродрелью и в то же время находились в данный момент в тюрьме. Если A — множество то чек первого круга на рис. 14, а B — множество точек второго круга, то их разностью является множество точек заштрихованной серповидной фигуры (без дуги MN). Если A — множе ство всех учеников данного класса ка кой-либо школы, а B — множество всех девочек, учащихся в этой школе, Рис. то A - B — множество всех мальчи ков, которые учатся в данном классе этой школы. В случае, ко гда B является частью множества A, A - B называют дополнением к множеству B в A и обозначают BA (разумеется, oдно и то же 36 Глава I. Множества и действия над ними множество B имеет разные дополнения в разных содержащих его множествах A). Например, дополнением множества четных чисел в множестве всех целых чисел является множество нечетных чисел.

Дополнением множества всех квадратов в множестве прямоуголь ников является множество всех прямоугольников с неравными сто ронами. А дополнением того же множества квадратов в множестве всех ромбов является множество ромбов с неравными диагоналями.

Если все множества рассматриваются как подмножества универ сального множества I, то обычно под дополнением множества B понимают его дополнение в I. В этом случае вместо BI пишут про сто B.

Алгебра множеств Мы познакомились с основными действиями над множествами — сложением, вычитанием и умножением (пересечением) множеств.

Эти действия обладают целым рядом свойств, напоминающих свой ства действий над числами. Как известно, вся алгебра многочленов построена на немногих законах действий над числами, которые выражаются следующими равенствами:

а) a + b = b + a (коммутативность сложения), б) (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения), в) a + 0 = a (свойство нуля), г) a + (-a) = a - a = 0 (свойство противоположного элемента), д) ab = ba (коммутативность умножения), е) (ab)c = a(bc) (ассоциативность умножения), ж) a(b + c) = ab + ac (дистрибутивность умножения относительно сложения), з) a · 1 = a (свойство единицы).

Большинство этих свойств действий над числами сохраняется и для действий над множествами. Например, ясно, что для любых двух множеств имеем A + B = B + A (A + B и B + A обозначают одно и то же множество, в которое входят все элементы из A и из B и не входят никакие другие элементы). Точно так же ясно, что (A + B) + C = A + (B + C) — оба множества составлены из всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств A, B и C. Так же доказывается, что AB = BA и (AB)C = A(BC) (множества AB и BA состоят из общих элементов Алгебра множеств множеств A и B, а множества (AB)C и A(BC) — из общих элементов множеств A, B и C).

Несколько сложнее доказать дистрибутивность умножения мно жеств относительно сложения, то есть выполнение равенства A(B + C) = AB + AC. (1) Строгое логическое доказательство этого равенства несложно, но несколько кропотливо. Мы ограничимся поэтому двумя ри сунками, поясняющими это равенство (рис. 15). На первом из этих рисунков заштриховано пересечение множества A с множеством B + C, а на втором — пересечения A с B и A с C.

Рис. Роль нуля и единицы в действиях над множествами играют мно жества (пустое множество) и I (универсальное множество). Имен но, справедливы равенства A + = A, A · =, A · I = A, соответствующие равенствам a + 0 = a, a · 0 = 0, a · 1 = a для чисел.

Таким образом, сложение и умножение множеств обладают теми же свойствами, что и сложение и умножение чисел.

Поэтому все формулы алгебры многочленов, в которые входят лишь действия сложения и умножения, остаются справедливыми и для множеств. Например, тождеству (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab соответствует тождество (A + B)2 = A2 + B2 + 2AB, (2) где положено A2 = A · A и 2AB = AB + AB.

38 Глава I. Множества и действия над ними Но алгебра множеств имеет и своеобразные черты. Ее основ ное своеобразие состоит в том, что если одно из множеств A и B является подмножеством другого, то фор мулы для суммы и произведения мно жеств упрощаются, а именно: если A B, то A + B = B и AB = A. Это сразу становит ся ясно из рис. 16.

В частности, так как A A, то A + A = = AA = A, а так как A I, то A + I = I.

Рис. Это позволяет упростить формулы ал гебры множеств. Например, так как A2 = A, B2 = B, AB A, то A2 + 2AB = A + 2AB = A и формула (2) прини мает вид (A + B)2 = A + B. Вообще, в алгебре множеств не имеет смысла говорить о степенях, так как для любого n имеем An = A.

Покажем теперь, что для множеств есть и второй «распредели тельный закон», которого нет для чисел. Он выражается формулой A + BC = (A + B)(A + C).

Чтобы доказать его, достаточно раскрыть справа скобки по прави лу (1) и заметить, что множества AB и AC являются подмножества ми в A: AC A и AB A. Кроме того, AA = A, а поэтому AA + AC + BA + BC = A + BC.

Отметим, далее, что операция вычитания множеств уже не похожа по своим свойствам на операцию вычитания чисел. Для любых трех чисел a, b, c верно равенство a + (b - c) = (a + b) - c. А для трех мно жеств A, B, C, вообще говоря, A + (B - C) = (A + B) - C.

Дело в том, что при сложении множеств повторяющиеся элементы берутся только один раз, а вычитать можно и множество, не со держащееся в уменьшаемом. Поэтому, если, например, все три множества A, B, C совпадают, A = B = C, то A + B = A и пото му (A + B) - C = A - A = — пустое множество, а A + (B - C) = = A + = A.

В теории множеств есть еще операция, отсутствующая в обыч ной алгебре. Это операция перехода от данного множества A к его дополнению A = I - A. Ясно, что множества A и A не пересека ются, а в сумме составляют все универсальное множество I. Таким Алгебра множеств образом, AA = и A + A = I. Кроме того, ясно, что = I (допол нение пустого множества совпадает с универсальным множеством) и I =. Далее, имеет место равенство (A ) = A (рис. 17).

Покажем теперь, что если A B, то A B. В самом деле, чем больше само множество, тем меньше элементов останется в его дополнении. На рис. универсальное множество I изображено в виде прямоугольника, а множества A и B — в виде кругов. Дополнение к мно Рис. жеству A состоит из точек прямоуголь ника, лежащих вне меньшего круга, а дополнение к множеству B — из точек прямоугольника, лежащих вне большого круга. Ясно, что A B.

Рис. 18 Рис. Несколько сложнее доказываются следующие формулы:

(A + B) = A B и (AB) = A + B.

На рис. 19 дополнение к множеству A заштриховано горизонтальны ми линиями, а дополнение к множеству B — вертикальными линия ми. Дополнение к множеству A + B состоит из точек прямоугольни ка, не попавших ни в один из кругов. Это как раз точки, лежащие в области, покрытой обеими штриховками, то есть точки из A B.

Поэтому ясно, что (A + B) = A B. Точно так же этот рисунок ил люстрирует и формулу (AB) = A + B.

Мы установили ряд свойств действий над множествами. Ра ди удобства приведем список этих свойств (как обычно, через 40 Глава I. Множества и действия над ними мы обозначаем пустое множество, через I — универсальное мно жество, через A — дополнение множества A в универсальном множестве).

1) A A.

2) Если A B и B A, то A = B.

3) Если A B и B C, то A C.

4) A.

5) A I.

6) A + B = B + A.

7) AB = BA.

8) A + (B + C) = (A + B) + C.

9) A(BC) = (AB)C.

10) A + A = A.

11) AA = A.

12) A(B + C) = AB + AC.

13) A + BC = (A + B)(A + C).

14) A + = A.

15) AI = A.

16) A + I = I.

17) A =.

18) Соотношение A B эквивалентно каждому из соотношений A + B = B, AB = A.

19) A + A = I.

20) AA =.

21) = I.

22) I =.

23) (A ) = A.

24) Соотношение A B эквивалентно B A.

25) (A + B) = A B.

26) (AB) = A + B.

Отметим следующее замечательное «соотношение двойственно сти». Если в каждом из свойств 1)–26) заменить друг на друга сим волы «» и «», «» и «I», «+» и «·», то в результате получится снова одно из этих свойств. Например, таким путем из свойства 6) получается свойство 7), из свойства 12) — свойство 13) и т. д.

Отсюда вытекает, что каждой теореме, которая может быть вы ведена из свойств 1)–26), соответствует другая «двойственная» ей теорема, получающаяся из первой посредством указанных переста новок символов.

Планета мифов Разумеется, запомнить все свойства 1)–26) не слишком легко.

Но это и не нужно. Дело в том, что можно ограничиться двумя основными операциями: сложением множеств и образованием допол нения, потребовав, чтобы выполнялись следующие три соотношения:

а) A + B = B + A, б) (A + B) + C = A + (B + C), в) (A + B ) + (A + B) = A.

Определим теперь действие умножения AB, соотношение вклю чения A B и множества I, формулами г) AB по определению равно (A + B ) ;

д) A B по определению означает, что A + B = B;

е) I = A + A, = I.

Тогда все свойства 1)–26) вытекают из формул а)–е).

Планета мифов Однажды во время беседы за чашкой кофе в клубе Межгалакти ческих путешественников знаменитый член этого клуба, Мюнхгаузен космической эры, Йон Тихий1 рассказал:

«Высадка на планету Гесиод была очень трудна. Но когда я ока зался на поверхности, то пожалел, что решил опуститься: на ней жили чудовища, более страшные, чем описанные в древних мифах греков. Навстречу мне вышла делегация из 1000 жителей планеты.

У 811 из них был один глаз, как у циклопа Полифема, у 752 — вместо волос были змеи, как у Медузы Горгоны, а 418 имели рыбий хвост, как нереиды. При этом 570 чудовищ были одноглазы и змееволосы, 356 — одноглазы и имели рыбий хвост, 348 — змееволосы и с ры бьим хвостом, а 297 — одноглазы, змееволосы и с рыбьим хвостом.

Старший из них обратился ко мне и сказал...» Но члены клуба так и не узнали, что услышал Йон Тихий на пла нете чудовищ. Слушавший рассказ путешественника профессор Та рантога мгновенно произвел в уме какие-то выкладки и воскликнул:

«Дорогой Йон! Я готов поверить, что на этой планете жили суще ства с одним глазом, со змеями вместо волос и с рыбьими хвостами.

Путешествия Йона Тихого описаны известным польским писателем-фанта стом Станиславом Лемом в «Звездных дневниках Иона Тихого». Автор «Рас сказов о множествах» надеется, что С. Лем простит ему неумелую попытку подражания, а читатели не будут обвинять С. Лема в литературных недочетах изложения автора.

42 Глава I. Множества и действия над ними Тебе приходилось встречать еще более страшных чудовищ — вспом ни о курдлях. Но я надеюсь, что законы математики на этой планете не превратились в мифы».

И Тарантога взял со стола бумажную салфетку и нарисовал на ней следующую схему (рис. 20). Он сказал:

«Обозначим через I множество всех членов делегации, через A — множество одноглазых, через B — множество змееволосых делега тов, а через C — имеющих рыбьи хвосты. Эти множества изображены на рис. 20 в виде кругов. Три круга де лят прямоугольник на 8 частей. Подсчи таем, сколько элементов входит в каж дую часть. По условию в множество AB (то есть одноглазых и змееволосых) вхо дило 570 существ, а в множество ABC (одноглазых, змееволосых и с рыбьими хвостами) — 297. Значит, в множество AB - ABC входит 273 существа. Это то самое множество, которое на рис. Рис. заштриховано горизонтальными линия ми. Точно так же находим, что множе ство AC - ABC состоит из 59 существ (это множество на рис. заштриховано вертикальными линиями), а множество BC - ABC — из 51 существа (это множество заштриховано косыми линиями).

Теперь уже легко найти численность части множества A, не при надлежащей B + C. Для этого из 811 надо вычесть 570 (численность множества AB) и еще 59 (численность множества AC - ABC). Оста нется 182 существа, которые одноглазы, но не имеют ни змей на голо ве, ни рыбьих хвостов. Точно так же устанавливаем, что численность множества B - (A + C) равна 131, а множества C - (A + B) равна 11.

Результаты подсчетов изображены на рис. 21.

Подсчитаем теперь, сколько же членов делегации не были ни од ноглазыми, ни змееволосыми и не имели рыбьих хвостов, то есть сколько элементов содержит множество I - A - B - C. Так как от дельные множества на рис. 21 не пересекаются, то для этого на до просто отнять от 1000 сумму 297 + 273 + 59 + 51 + 182 + 131 + 11.

Но эта сумма равна 1004, и потому множество I - A - B - C насчи тывает -4 существа. Но согласись сам, дорогой Йон, даже на планете мифов ни одно множество не может иметь отрицательной численно сти. Даже для тебя такие выдумки слишком невероятны».

Планета мифов Рис. 21 Рис. Оставим Йона Тихого объясняться с профессором Таран тогой (скоро мы снова встретимся с нашим героем) и сделаем несколько замечаний. Мы разложили все множество I на 8 подмно жеств и нашли их численность. Смысл этого разложения состоял в том, что полученные подмножества попарно не пересекались.

Но это же разложение можно было бы получить иначе. Мы знаем, что I = A + A = B + B = C + C и потому I = (A + A )(B + B )(C + C ) = ABC + ABC + AB C + + AB C + A BC + A BC + A B C + A B C.

Получилось разложение множества I на 8 подмножеств. Это те же самые подмножества, которые получил ранее профессор Тарантога (рис. 22).

Из предыдущей формулы сразу вытекает, что N(A B C ) = N(I) - N(ABC) - N(ABC ) - N(AB C) - N(AB C ) - N(A BC) - N(A BC ) - N(A B C), где через N(D) обозначена численность множества D. Эту формулу можно преобразовать так, чтобы в нее не входили дополнения A, B, C множеств A, B, C. С этой целью заменим C на I - C. Мы получим, что ABC = AB(I - C) = AB - ABC и потому N(ABC ) = N(AB) - N(ABC), N(AB C ) = N(AB ) - N(AB C) и т. д.

44 Глава I. Множества и действия над ними Заменим потом B на I - B и, наконец, A на I - A, получим в конце концов равенство N(A B C ) = N(I) - N(A) - N(B) - N(C) + + N(AB) + N(AC) + N(BC) - N(ABC).

Эта формула называется формулой включений и исключений и по зволяет решать многие задачи, аналогичные рассмотренной выше.

Например, Тарантога мог сразу подсчитать по этой формуле, что N(A B C ) = 1000 - 811 - 752 - 418 + 570 + 356 + 348 - 297 = -4.

Вот еще одна задача, связанная с подсчетом численности ко нечных множеств. Она принадлежит известному детскому писателю Льюису Кэрроллу, автору «Алисы в стране чудес». Любопытно, что под псевдонимом Льюис Кэрролл писал математик Доджсон.

В одной из повестей Кэрролла есть следующая задача:

«В ожесточенном бою 70 из 100 пиратов потеряли один глаз, 75 — одно ухо, 80 — одну руку и 85 — одну ногу. Каково минимальное число потерявших одновременно глаз, ухо, руку и ногу?» Обозначим через A множество одноглазых, через B — множество одноухих, через C — множество одноруких и через D — множе ство одноногих. В задаче требуется оценить численность множества ABCD. Ясно, что все универсальное множество I можно предста вить как сумму этого множества ABCD и множества пиратов, со хранивших либо оба глаза, либо оба уха, либо обе руки, либо обе ноги. Поэтому I = A + B + C + D + ABCD.

Отсюда следует, что численность множества I не больше суммы чис ленностей множеств A, B, C, D и ABCD (она была бы равна этой сумме, если бы множества A, B, C и D попарно не пересе кались). Но численность множества A равна 30, множества B — 25, множества C — 20 и множества D — 15. Так как численность универсального множества равна 100, то имеем 100 30 + 25 + 20 + 15 + N(ABCD).

Отсюда N(ABCD) 100 - 30 - 25 - 20 - 15 = 10.

Итак, не менее 10 пиратов лишились и глаза, и уха, и руки, и ноги.

Булевы алгебры Булевы алгебры В математике встречаются и другие объекты, кроме множеств, для которых определены действия сложения и умножения, удо влетворяющие условиям 1)–26). Такие системы объектов изучил в 1847 году английский математик Буль (отец писательницы Этель Лилиан Войнич — автора знаменитой книги «Овод»). Поэтому та кие системы назвали булевыми алгебрами. Но когда это название уже укоренилось, выяснилось, что Буль имел предшественников — в 1685 году братья Бернулли изучали «алгебру» с теми же законами.

Совпадение интересов братьев Бернулли и Буля вполне понятно:

все они интересовались алгеброй логики, возможностью представить в алгебраической форме рассуждения, высказывания. А булевы ал гебры специально приспособлены к этой цели. Высказыванием в ма тематической логике называют предложение, которое может быть верно или ложно. При этом в логике не интересуются вопросом, вер но или ложно данное высказывание на самом деле. Там обсуждают лишь проблему, по каким правилам можно из данных высказываний получать более сложные и как из знания истинности или ложности исходных высказываний выводить истинность или ложность слож ных высказываний.

Над высказываниями можно делать следующие операции:

1) Отрицание — замена данного высказывания X противополож ным высказыванием X, которое истинно, если данное выска зывание ложно, и ложно, если высказывание X истинно.

2) Конъюнкция — образование из данных двух высказываний X и Y третьего высказывания X Y, истинного лишь в случае, если истинны оба высказывания X и Y.

3) Дизъюнкция — образование из данных двух высказываний X и Y третьего высказывания X Y, истинного в случае, когда истинно хоть одно из данных высказываний.

4) Импликация — образование из высказываний X и Y третьего высказывания X Y, ложного лишь в случае, когда X ис тинно и Y ложно.

Во многих случаях высказывание состоит в том, что некоторый элемент x принадлежит подмножеству A некоторого универсально го множества I. В этом случае операции 1)–4) над высказываниями соответствуют известным нам операциям над множествами. Напри мер, отрицание высказывания «x A» есть высказывание «x A ».

46 Глава I. Множества и действия над ними Таким образом, взятию дополнения A соответствует отрицание вы сказывания «x A». Точно так же операции пересечения множеств A и B соответствует конъюнкция высказываний «x A» и «x B», операции сложения множеств — дизъюнкция высказываний и соот ношению A B — импликация высказываний «x A» и «x B». При этом высказывание «x I» всегда истинно, а высказывание «x » всегда ложно.

Отмеченная связь делает естественным предположение, что зако ны 1)–26) верны не только для множеств, но и для высказываний, ес ли только понимать A B как конъюнкцию высказываний, A B — как их дизъюнкцию, A — как отрицание высказывания A, A B — как импликацию высказываний, I — как всегда истинное, а — как всегда ложное высказывание. Оказалось, что это предположение верно — высказывания образуют булеву алгебру относительно опе раций 1)–4).

Но булевы алгебры можно строить не только из высказываний.

Рассмотрим, например, множество всевозможных последовательно стей, содержащих n цифр, причем каждая цифра равна нулю или единице. Определим сложение и умножение двух таких последова тельностей «покоординатно», причем таблицы сложения и умноже ния зададим так:

+ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 логическое сложение логическое умножение Например, (1, 0, 0, 1) + (1, 1, 0, 1) = (1, 1, 0, 1);

(1, 0, 0, 1)(1, 1, 0, 1) = (1, 0, 0, 1).

Положим, далее, x y, где x = (x1,..., xn), y = (y1,..., yn), если для каждой координаты имеем xk yk. Заменяя в последователь ности 0 на 1, а 1 на 0, получим новую последовательность, кото рую обозначим x. Наконец, через обозначим последовательность (0, 0,..., 0), а через I — последовательность (1, 1,..., 1). Предостав ляем читателю проверить выполнение законов 1)–26) для введенных операций над последовательностями.

Интересный пример булевой алгебры получается, если рассмот реть все натуральные делители натурального числа N, которое Булевы алгебры является произведением нескольких различных простых чисел.

В качестве операции сложения делителей выберем образование наи меньшего общего кратного этих делителей, а в качестве операции умножения — образование их наибольшего общего делителя. До N полнением делителя n назовем число n =. Наконец, скажем, что n n m, если m делится на n. Нетрудно проверить, что введенные операции удовлетворяют условиям 1)–26) из пункта «Алгебра мно жеств», причем роль пустого множества играет число 1, а роль универсального множества I — число N.

Если, например, взять N = 30, то булева алгебра будет состоять из чисел {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. «Сумма» делителей 2 и 5 равна 10, а их «произведение» равно 1. Делителем, «обратным» делителю 3, является 10, 3 = 10. Наконец, 5 15, так как 15 делится на 5.

Глава II. В мире чудес бесконечного Тайны бесконечности Не будет преувеличением сказать, что всю математику пронизы вает идея бесконечности. Как правило, в математике интересуются не отдельными объектами (числами, геометрическими фигурами), а целыми классами таких объектов: совокупностями всех натураль ных чисел, всех треугольников и т. д. А такие совокупности состоят из бесчисленного множества отдельных элементов.

Поэтому математики и философы всегда интересовались поняти ем бесконечности. Этот интерес возник с того самого момента, когда стало ясно, что за каждым натуральным числом идет следующее, то есть что числовой ряд бесконечен. Но уже первые попытки изу чения бесконечности привели к многочисленным парадоксам.

Например, греческий философ Зенон, используя понятие беско нечности, доказывал невозможность движения. В самом деле, го ворил он, для того чтобы стрела пролетела какой-то путь, сначала она должна сделать половину пути. Но прежде чем сделать полпу ти, надо пролететь четверть пути, восьмую часть пути и т. д. Так как процесс деления пополам никогда не кончится (вот она, беско нечность!), то стрела никогда не сможет сдвинуться с места. Точно так же он доказывал, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит медлительную черепаху.

Из-за таких парадоксов и софизмов древнегреческие математики отказывались иметь дело с бесконечностью, изгоняли ее из матема тических рассуждений. Некоторые философы считали, что все гео метрические фигуры состоят из конечного числа мельчайших неде лимых частиц (атомов). Атомистическая теория легко устраняет па радоксы Зенона, поскольку в ней не допускается бесконечное деле ние — делить можно лишь до атомов, далее не делимых. Однако тут возникли новые трудности. Нельзя разделить пополам отрезок, ес ли он состоит из нечетного числа неделимых (рис. 23). Круг тоже нельзя разделить на две равные части: центр будет принадлежать только одной из частей, а это противоречит их равенству.

Тайны бесконечности Ахиллес и черепаха Надо сказать, споры о бесконечности протекали порою довольно остро. Так, известный греческий философ Платон с такой неприми римостью относился к атомистической теории Демокрита, что по всюду разыскивал рукописи сочинений этого автора и уничтожал их — до изобретения книгопечатания такой метод идейной борьбы был весьма эффективен.

Методы, в которых использовалось понятие бесконечности, поз волили греческим ученым получить ряд важных результатов, осо бенно в геометрии. Однако парадоксы Зено на приучили их к осторожности. Например, Евклид, формулируя свою знаменитую тео рему о бесконечности множества простых чисел, выражается так: «Простых чисел существует больше всякого предложенного Рис. количества простых чисел». Итак, больше всякого предложенного количества, а бес конечно много или нет — об этом Евклид умалчивает. Вообще, древние греки с такой тщательностью маскировали применение ме тодов, в которых существенную роль играло понятие бесконечности, что в XVI–XVII веках европейским математикам пришлось эти ме тоды переоткрывать.

В средние века проблемой бесконечного интересовались главным образом в связи с рассуждениями о том, конечно или нет множество ангелов, которое может поместиться на кончике иглы. Широкое ис пользование бесконечности в математике началось с XVII века, когда 50 Глава II. В мире чудес бесконечного был создан математический анализ. Такие понятия, как «бесконечно большая величина», «бесконечно малая величина», использовались в математических рассуждениях на каждом шаге. Однако в это вре мя изучали не множества, содержащие бесконечно много элементов, а величины, которые в процессе своего изменения становятся все больше и больше, так что в конце концов они превосходят любое фиксированное значение. Такие величины называли «потенциально бесконечно большими» в том смысле, что они могут стать как угодно большими (potentia — возможность).

Сколько ангелов помещается на конце иглы?

И лишь в середине XIX века началось изучение множеств, со стоящих из бесконечно большого количества элементов, приступили к анализу понятия бесконечности. Творцами математической тео рии бесконечных множеств были чешский ученый Бернард Больцано Необыкновенная гостиница (основной труд которого был опубликован лишь много лет спустя после его смерти) и немецкий математик Георг Кантор. Этим за мечательным ученым удалось преодолеть схоластику и превратить теорию множеств в важную часть математики.

Основным достижением Больцано и Кантора было изучение свойств бесконечных множеств, свойства конечных множеств были известны ученым и до них. Оказалось, что свойства конечных и бес конечных множеств совершенно непохожи друг на друга: многие вещи, невозможные для конечных множеств, легко выполняются для бесконечных. Попробуйте, например, поместить в гостиницу, каждый номер которой занят одним постояльцем, еще одного жиль ца, да так, чтобы в каждом номере снова жил лишь один человек.

Не получается? Так это только потому, что число номеров в гости нице конечно! А если бы в ней было бесконечно много номеров...

Но такие гостиницы могут встретиться разве что в рассказах наше го старого знакомого, межзвездного путешественника Йона Тихого.

Итак, предоставим ему слово.

Необыкновенная гостиница, или тысяча первое путешествие Йона Тихого Домой я вернулся довольно поздно — вечер воспоминаний в клубе «Туманность Андромеды» затянулся далеко за полночь. Всю ночь меня мучили кошмары. То мне снилось, что меня проглотил огром ный курдль, то грезилось, что я снова лечу на планету Дурдиотов и не знаю, как избежать тамошней страшной машины, превраща ющей людей в шестиугольники, то... В общем, никому не советую мешать старку с выдержанным медом. Неожиданный телефонный звонок вернул меня в мир реальности. Звонил старый друг и колле га по межзвездным странствиям профессор Тарантога.

«Срочное задание, дорогой Йон, — услышал я. — Астрономы обнаружили в космосе какой-то странный объект — от одной галак тики до другой тянется таинственная черная линия. Никто не по нимает, в чем дело. Самые лучшие радиотелескопы, нейтриноскопы и гравитоскопы не могут помочь в раскрытии тайны. Осталась на дежда лишь на тебя. Срочно вылетай в направлении туманности АЦД-1587».

На другой день я получил из ремонта свою старую фотонную ракету, установил на нее ускоритель времени и электронного робота, 52 Глава II. В мире чудес бесконечного знавшего все языки космоса и все рассказы о звездопроходцах (это гарантировало от скуки), и вылетел по заданию.

Когда робот исчерпал весь свой запас рассказов и начал повто ряться (нет ничего хуже, чем электронный робот, десятый раз по вторяющий старую историю), вдали показалась цель моего путе шествия. Туманности, застилавшие таинственную линию, оказались позади, и предо мною предстала... гостиница «Космос».

Выяснилось, что межзвездные скитальцы выгонты, которым я когда-то соорудил небольшую планету, растащили и ее на мелкие части и вновь остались без пристанища. Тогда, чтобы больше не ски таться по чужим галактикам, они решили построить грандиозное сооружение — гостиницу для всех путешествующих по космосу. Эта гостиница протянулась через почти все галактики. Говорю «почти все», потому что выгонты демонтировали некоторые необитаемые галактики, а из каждой оставшейся утащили по нескольку плохо ле жавших созвездий.

Но гостиницу они отстроили на славу. В каждом номере были краны, из которых текла холодная и горячая плазма. При желании можно было на ночь распылиться, а утром портье собирал постояль цев по их атомным схемам.

А самое главное, в гостинице было бесконечно много номеров.

Выгонты надеялись, что теперь никому больше не придется слы шать порядком надоевшую им за время скитаний фразу «свободных номеров нет».

Тем не менее мне не повезло. Когда я вошел в вестибюль гости ницы, первое, что бросилось в глаза, был плакат: «Делегаты съезда космозоологов регистрируются на 127-м этаже».

Так как космозоологи приехали из всех галактик, а их — беско нечное множество, то все номера оказались занятыми участниками съезда. Для меня места уже не хватило.

Администратор пытался, правда, поселить меня с кем-нибудь из космозоологов. Но когда я выяснил, что один предполагаемый сосед дышит фтором, а другой считает нормальной для себя тем пературой окружающей среды 860, то вежливо отказался от столь «приятного» соседства.

К счастью, директором гостиницы был выгонт, хорошо помнив ший услуги, которые я когда-то оказал этому племени. Он поста рался устроить меня в гостинице, — ведь, ночуя в межзвездном пространстве, можно было схватить воспаление легких. После неко торых размышлений он обратился к администратору и сказал:

Необыкновенная гостиница Строительство гостиницы «Космос» 54 Глава II. В мире чудес бесконечного — Поселите его в № 1.

— Куда же я дену жильца этого номера? — удивленно спросил администратор.

— А его переселите в № 2. Жильца же из № 2 отправьте в № 3, из № 3— в № 4 и т. д.

Тут только я оценил необыкновенные свойства гостиницы. Ес ли бы в ней было лишь конечное число номеров, то жителю послед него номера пришлось бы перебраться в межзвездное пространство.

А из-за того, что гостиница имела бесконечно много номеров, всем хватило места, и мне удалось вселиться, не лишив места никого из космозоологов.

Я не удивился, когда на другое утро мне предложили переселить ся в № 1 000 000. Просто в гостиницу прибыли запоздавшие космо зоологи из галактики ВСК-3472, и надо было разместить еще 999 жильцов. Но когда на третий день пребывания в гостинице я зашел к администратору заплатить за номер, у меня потемнело в глазах.

К окошку тянулась очередь, конец которой терялся где-то около Магеллановых облаков. В очереди слышались голоса: «Меняю две марки туманности Андромеды на марку Сириуса!» «У кого есть мар ка Кита 57-го года космической эры?» В недоумении я обратился к администратору и спросил:

— А это кто такие?

— Межгалактический съезд филателистов.

— И много их?

— Бесконечное множество — по одному представителю от каждой галактики.

— Но как же их разместят, ведь космозоологи выедут только завтра?

— Не знаю, об этом сейчас будут говорить на пятиминутке у ди ректора.

Однако задача оказалась весьма сложной, и пятиминутка (как это часто бывает и на Земле) затянулась на целый час. Наконец администратор вышел от директора и приступил к расселению.

В первую очередь он приказал переселить жильца из № 1 в № 2.

Мне это показалось странным, так как по имевшемуся опыту я знал, что такое переселение освобождало лишь один номер, а раз местить надо было ни много ни мало, а бесконечное множество филателистов. Но администратор продолжал командовать:

— А жильца из № 2 переселите в № 4, из № 3 — в № 6, вообще из номера n — в номер 2n.

Необыкновенная гостиница Теперь стал ясен его план: таким путем он освободил бес конечное множество нечетных номеров и мог расселять в них филателистов. В результате четные номера оказались занятыми космозоологами, а нечетные — филателистами (о себе не го ворю — за три дня знакомства я так подружился с космозоо логами, что был выбран почетным председателем их съезда;

вместе со всеми космозоологами мне пришлось покинуть обжи тый номер и переехать из № 1 000 000 в № 2 000 000). А мой знакомый филателист, стоявший в очереди 574-м, занял № 1147.

Вообще филателисты, стоявшие в очереди n-ми, занимали номер 2n - 1.

На другой день положение с номерами стало легче — съезд кос мозоологов окончился, и они разъехались по домам. Я же пере ехал к директору гостиницы, в квартире которого освободилась одна комната. Но то, что хорошо для постояльцев, не всегда устраивает администрацию. Через несколько дней мой гостеприимный хозяин загрустил.

— В чем дело? — спросил я его.

— Половина номеров пустует. Финансовый план не выполняется.

Я, правда, не совсем понял, о каком финансовом плане шла речь, ведь плата поступала с бесконечного множества номеров, но тем не менее дал совет:

— А вы уплотните постояльцев, переселите их так, чтобы все но мера оказались занятыми.

Это оказалось совсем просто сделать. Филателисты занимали лишь нечетные номера: 1, 3, 5, 7, 9 и т. д. Жильца из № 1 оставили в покое. Из № 3 переселили в № 2, из № 5 — в № 3, из № 7 — в № и т. д. В результате все номера вновь оказались заполненными, хотя ни один новый жилец не въехал.

Но неприятности директора на этом не кончились. Выяснилось, что выгонты не ограничились возведением гостиницы «Космос».

Неугомонные строители соорудили еще бесконечное множество гостиниц, каждая из которых имела бесконечно много номеров.

При этом они демонтировали так много галактик, что нарушилось межгалактическое равновесие, а это могло повлечь за собой весь ма тяжкие последствия. Поэтому им было предложено закрыть все гостиницы, кроме нашей, и вернуть использованный материал на место. Но выполнение этого приказа было затруднено, поскольку все гостиницы (в том числе и наша) были заполнены. Предстояло переселить жильцов из бесконечного множества гостиниц, каждая 56 Глава II. В мире чудес бесконечного из которых имела бесконечно много постояльцев, в одну гостиницу, да и та была уже заполнена.

— С меня хватит! — воскликнул директор, — Сначала я в пол ную гостиницу поместил одного постояльца, потом еще 999 999, по том еще бесконечно много жильцов;

а теперь от меня хотят, чтобы в нее вместилось еще бесконечное множество бесконечных множеств жильцов. Нет, гостиница не резиновая, пусть где хотят, там и поме щают!

Но приказ есть приказ, и через пять дней надо было все под готовить к встрече новых постояльцев. Эти дни в гостинице никто не работал — все думали, как решить задачу. Был объявлен кон курс с премией — туристическим путешествием по одной из галак тик. Но все предлагавшиеся решения отвергались, как неудачные.

Так, младший повар предложил оставить жильца из первого номе ра нашей гостиницы в том же № 1, из второго номера переселить в № 1001, из третьего номера — в № 2001 и т. д. После этого посе лить жильцов второй гостиницы в №№ 2, 1002, 2002 и т. д. нашей гостиницы, жильцов третьей гостиницы — в №№ 3, 1003, 2003 и т. д.

Проект был отвергнут, так как уже жители первых 1000 гостиниц займут все номера и некуда будет поселить жителей 1001-й гости ницы.

Мне вспомнилось по этому поводу, что, когда раболепные рим ские сенаторы предложили императору Тиберию переименовать в его честь месяц сентябрь в «тиберий» (предыдущие месяцы уже получили имена императоров Юлия и Августа), он язвительно спросил их: «А что же вы предложите тринадцатому цезарю?» Неплохой вариант предложил бухгалтер гостиницы. Он посове товал воспользоваться свойствами геометрической прогрессии и рас селить постояльцев так: жителей первой гостиницы — в №№ 2, 4, 8, 16, 32 и т. д. (эти числа образуют геометрическую прогрессию со зна менателем 2). Жителей второй гостиницы — в №№ 3, 9, 27, 81 и т. д.

(а это члены геометрической прогрессии со знаменателем 3). Так же предложил он расселять и жителей остальных гостиниц. Но дирек тор спросил его:

— А для третьей гостиницы надо использовать прогрессию со знаменателем 4?

— Конечно, — ответил бухгалтер.

— Тогда ничего не получится, ведь в четвертом номере уже живет обитатель первой гостиницы, а теперь туда же надо вселить и жите ля третьей гостиницы.

Необыкновенная гостиница Настала моя очередь показать, что не зря в Звездной академии пять лет изучают математику.

— Воспользуйтесь простыми числами! Поселите жителей первой гостиницы в №№ 2, 4, 8, 16,..., второй — в №№ 3, 9, 27, 81,..., третьей — в №№ 5, 25, 125, 625,..., четвертой — в №№ 7, 49, 343,....

— А не получится ли опять, что в один номер придется помещать двух постояльцев? — спросил директор.

— Нет! Ведь если взять два простых числа, то никакие их степени с натуральными показателями не могут оказаться равными. Если p и q — простые числа, причем p = q, а m и n — натуральные числа, то pm = qn.

Директор согласился со мной и тут же нашел усовершенство вание предложенного способа, при котором использовались лишь два простых числа: 2 и 3. Именно, он предложил поселить жильца из m-го номера n-й гостиницы в номер 2m3n. Дело в том, что ес ли m = p или n = q, то 2m3n = 2p3q. Поэтому в один и тот же номер не поселятся двое.

Это предложение привело всех в восторг. Была решена задача, всем казавшаяся неразрешимой. Но премии не получили ни я, ни ди ректор, — при наших решениях слишком много номеров оставались пустыми (у меня — такие номера, как 6, 10, 12 и вообще все но мера, которые не были степенями простых чисел, а у директора — номера, которые нельзя записать в виде 2m3n). Самое лучшее реше ние предложил один из филателистов — президент Математической академии галактики Лебедя.

Он посоветовал сначала составить таблицу, занумеровав ее стро ки номерами гостиниц, а столбцы — номерами комнат. Например, на пересечении четвертой строки и шестого столбца записывается шестая комната четвертой гостиницы. Вот эта таблица (вернее, ее левая верхняя часть, так как для записи всей таблицы надо беско нечно много строк и столбцов):

(1;

1) (1;

2) (1;

3) (1;

4) (1;

5)... (1;

n)...

(2;

1) (2;

2) (2;

3) (2;

4) (2;

5)... (2;

n)...

(3;

1) (3;

2) (3;

3) (3;

4) (3;

5)... (3;

n)...

(4;

1) (4;

2) (4;

3) (4;

4) (4;

5)... (4;

n)...

(5;

1) (5;

2) (5;

3) (5;

4) (5;

5)... (5;

n)...

..........................................................

(m;

1) (m;

2) (m;

3) (m;

4) (m;

5)... (m;

n)...

..........................................................

58 Глава II. В мире чудес бесконечного — А теперь расселяйте обитателей по квадратам, — сказал мате матик-филателист.

— Как? — не понял директор.

— По квадратам! В № 1 поселяется жилец из (1;

1), то есть из пер вого номера первой гостиницы;

в № 2 — из (1;

2), то есть из второго номера первой гостиницы;

в № 3 — из (2;

2) — второго номера второй гостиницы и в № 4 — из (2;

1) — первого номера второй гостиницы.

Тем самым будут расселены жильцы из верхнего левого квадрата со стороной 2. После этого в № 5 поселяем жильца из (1;

3), в № 6 — из (2;

3), в № 7 — из (3;

3), в № 8 — из (3;

2), в № 9 — из (3;

1). (Эти номера образуют квадрат со стороной 3.) И, взяв листок бумаги, он набросал на нем следующую схему расселения:

(1;

1) (1;

2) (1;

3) (1;

4) (1;

5)... (1;

n)...

(2;

1)(2;

2) (2;

3) (2;

4) (2;

5)... (2;

n)...

(3;

1)(3;

2)(3;

3) (3;

4) (3;

5)... (3;

n)...

(4;

1)(4;

2)(4;

3)(4;

4) (4;

5)... (4;

n)...

(5;

1)(5;

2)(5;

3)(5;

4)(5;

5)... (5;

n)...

......................................................

(n;

1)(n;

2)(n;

3)(n;

4)(n;

5)... (n;

n)...

......................................................

— Неужели для всех хватит места? — усомнился директор.

— Конечно. Ведь в первые n2 номеров мы поселяем при этой схе ме жильцов из первых n номеров первых n гостиниц. Поэтому рано или поздно каждый жилец получит номер. Например, если это жи лец из № 136 гостиницы № 217, то он получит номер на 217-м шаге.

Легко даже сосчитать этот номер. Он равен 2172 - 136 + 1. Вообще, если жилец занимает номер n в m-й гостинице, то при n m он зай мет номер (n - 1)2 + m, а при n < m — номер m2 - n + 1.

Предложенный проект и был признан наилучшим — все жители из всех гостиниц были поселены в нашей гостинице, и ни один ее номер не пустовал. Математику-филателисту досталась премия — туристическая путевка в галактику ЛЦР-287.

Как сравнивать множества В честь столь удачного размещения директор гостиницы устро ил прием, на который пригласил всех ее жильцов. Этот прием также не обошелся без осложнений. Обитатели комнат с четными номера ми задержались на полчаса, и, когда они появились, оказалось, что все стулья заняты, хотя гостеприимный хозяин поставил по стулу на каждого гостя. Пришлось подождать, пока все пересели на новые места и освободили необходимое количество стульев (разумеется, ни одного нового стула в зал не внесли). Зато когда стали подавать мороженое, то каждый гость получил по две порции, хотя повар за готовил в точности по одной порции на гостя. Надеюсь, что теперь читатель сам поймет, как все это случилось.

После конца приема я сел в свою фотонную ракету и полетел на Землю. Мне нужно было рассказать всем земным космонавтам о новом пристанище в космосе. Кроме того, я хотел проконсультиро ваться с виднейшими математиками Земли и моим другом профес сором Тарантогой о свойствах бесконечных множеств.

От автора. На этом мы временно расстанемся с нашим героем.

Многое в его рассказе вызывает сомнения — ведь по законам тео рии относительности невозможно передавать сигналы со скоростью, большей чем 300 000 км/с. Поэтому даже самая первая команда ад министратора потребовала бы для своего выполнения бесконечно большого промежутка времени. Но не будем требовать слишком мно гого от Йона Тихого — в его путешествиях бывали куда более неве роятные приключения.

Дальнейшая часть книги посвящается рассказу о теории беско нечных множеств. И хотя события будут развертываться не в меж звездном пространстве, а на отрезке [0;

1] или квадрате со сторо ной 1, многие из них окажутся не менее необычайными.

Как сравнивать множества В главе 1 мы занимались свойствами, общими как для конечных, так и для бесконечных множеств. Теперь мы займемся свойствами, характерными только для бесконечных множеств. Из рассказа Йона Тихого уже известно, что эти свойства сильно отличаются от свойств конечных множеств, — вещи, невозможные для конечных множеств, оказываются возможными для бесконечных.

Первый вопрос, который мы сейчас разберем, это вопрос о срав нении друг с другом бесконечных множеств. Для конечных множеств 60 Глава II. В мире чудес бесконечного самой разной природы всегда можно сказать, какое из них содержит больше элементов, а какое меньше. Для бесконечных же множеств этот вопрос становится гораздо более сложным. Например, чего больше, натуральных чисел или рациональных, рациональных или действительных? Где больше точек, на отрезке или на всей прямой, на прямой или в квадрате?

На первый взгляд кажется, что ответить на эти вопросы совсем просто. Ведь множество натуральных чисел является частью множе ства рациональных чисел, а отрезок — частью прямой. Не ясно ли, что поэтому натуральных чисел меньше, чем рациональных, а то чек на отрезке меньше, чем точек на всей прямой? Оказывается, не ясно. Ведь ниоткуда не следует, что при переходе к бесконечным множествам сохранятся законы, выведенные из рассмотрения конеч ных множеств, например, закон о том, что «часть меньше целого».

А самое главное, попытка сравнения бесконечных множеств по тому признаку, что одно является частью другого, заранее обре чена на неудачу. Например, где больше точек, в квадрате или на всей бесконечной прямой? Ведь ни квадрат нельзя вложить в прямую линию, ни прямую линию нельзя, не ломая ее, поместить в квадрат.

Разумеется, можно разломать прямую линию на отрезки, длина которых равна стороне квадрата, и после этого каждый отрезок поместить в квадрат так, чтобы они не пересекались друг с другом.

Но вдруг и квадрат можно как-то разбить на части, а потом эти части положить на прямую, чтобы они не задевали друг друга?

А сколько есть бесконечных множеств, не являющихся частями друг друга! Множество квадратов на плоскости и множество кругов на той же плоскости не имеют ни одного общего элемента. Как же сравнить их? Как узнать, чего больше во вселенной — атомов азота или кислорода?

Итак, задача поставлена. В первую очередь мы выясним, в ка ком случае надо говорить, что одно множество содержит столько же элементов, сколько и второе. Иными словами, выясним, в каких случаях два бесконечных множества имеют «поровну» элементов.

На танцплощадке Для конечных множеств задача сравнения решается просто. Что бы узнать, одинаково ли число элементов в двух множествах, доста точно пересчитать их. Если получатся одинаковые числа, то, значит, На каждый прилив — по отливу в обоих множествах поровну элементов. Но для бесконечных мно жеств такой способ не годится, ибо, начав пересчитывать элементы бесконечного множества, мы рискуем посвятить этому делу всю свою жизнь и все же не закончить начатого предприятия.

Но и для конечных множеств метод пересчета не всегда удо бен. Пойдем, например, на танцплощадку. Как узнать, поровну ли здесь юношей и девушек? Конечно, можно попросить юношей отой ти в одну сторону, а девушек в другую, и заняться подсчетом как тех, так и других. Но, во-первых, мы получим при этом избыточную информацию, нас не интересует, сколько здесь юношей и девушек, а интересует лишь, поровну ли их. Во-вторых, не для того собралась молодежь на танцплощадке, чтобы стоять и ждать конца пересчета, а для того, чтобы потанцевать.

Ну что же. Удовлетворим их желание и попросим оркестр сыг рать какой-нибудь танец, который все умеют танцевать. Тогда юно ши пригласят девушек к танцу и... наша задача будет решена. Ведь если окажется, что все юноши и все девушки танцуют, то есть если вся молодежь разбилась на танцующие пары, то ясно, что на пло щадке ровно столько же юношей, сколько и девушек.

Совершенно тем же способом можно узнать, что число зрителей в театре равно числу театральных кресел. Если во время спектакля все места заняты, причем никто из зрителей не стоит в проходах и на каждом месте сидит один зритель, то можно быть уверенным, что зрителей ровно столько же, сколько и театральных кресел.

Когда в дождливую погоду по улице пробегают люди, то число людей такое же, как и число их зонтов;

у каждого человека — один и только один зонт, и никто не рискнул выбежать на улицу без зонта.

На каждый прилив — по отливу Мы познакомились с тем, как узнать, что два конечных множе ства имеют поровну элементов, не прибегая к пересчету этих мно жеств. Этот способ можно применить и для бесконечных множеств.

Только здесь уж не удастся прибегнуть к помощи оркестра, а при дется самим располагать элементы двух сравниваемых множеств в «танцующие пары».

Итак, пусть у нас даны два множества A и B. Говорят, что между ними установлено взаимно однозначное соответствие, если элемен ты этих множеств объединены в пары (a;

b) так, что:

62 Глава II. В мире чудес бесконечного 1) элемент a принадлежит множеству A, а элемент b — множе ству B;

2) каждый элемент обоих множеств попал в одну и только од ну пару.

Например, если множество A состоит из юношей на танцплощад ке, а множество B — из девушек на той же площадке, то пары (a;

b) образуются из танцующих друг с другом юноши и девушки. Если множество A состоит из зрителей, а множество B — из театральных кресел, то пара (a;

b) образуется из зрителя и кресла, на котором он сидит. Наконец, если A — множество людей на улице, а B — множе ство их зонтов, то пара (a;

b) образуется из человека и его зонта.

Разумеется, не всякое соответствие между множествами является взаимно однозначным. Если множество A состоит из всех деревьев на Земле, а множество B — из растущих на них плодов, то между этими множествами можно установить соответствие: каждому плоду сопоставить дерево, на котором он растет. Но это соответствие не бу дет взаимно однозначным: на некоторых деревьях растет помногу плодов, а другие сейчас не плодоносят. Поэтому одни элементы a (деревья) будут участвовать во многих парах, а другие элементы a не войдут ни в одну пару.

Существование взаимно однозначного соответствия для конеч ных множеств равносильно тому, что у них поровну элементов. Важ нейшим поворотным пунктом в теории множества был момент, когда Кантор решил применить идею взаимно однозначного соответствия для сравнения бесконечных множеств.

Иными словами, по Кантору два (быть может и бесконечных) множества A и B имеют поровну элементов, если между этими мно жествами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Обычно математики не говорят, что «множества A и B имеют поровну элементов», а говорят, что «A и B имеют одинаковую мощ ность» или «множества A и B эквивалентны» и обозначают как A B.

Таким образом, для бесконечных множеств слово «мощность» значит то же самое, что для конечных множеств «число элементов».

Еще до Кантора к понятию взаимно однозначного соответствия пришел чешский ученый Б. Больцано. Но он отступил перед труд ностями, к которым вело это понятие. Как мы вскоре увидим, после принятия принципа сравнения бесконечных множеств с помощью взаимно однозначного соответствия пришлось расстаться со многи ми догмами.

Равна ли часть целому? Равна ли часть целому?

Основной догмой, которую пришлось отбросить, было положе ние, установленное на самой заре развития математики: «часть меньше целого». Это положение безусловно верно для конечных множеств, но для бесконечных множеств оно уже теряет силу.

Вспомните, как расселил директор необыкновенной гостиницы космозоологов по четным номерам. При этом расселении жилец из номера n переезжал в номер 2n. Иными словами, расселение шло по следующей схеме:

1 2 3... n...

2 4 6...2n...

Но эта схема устанавливает взаимно однозначное соответствие меж ду множеством натуральных чисел 1, 2, 3,..., n,...

и его частью — множеством четных чисел 2, 4, 6,..., 2n,...

А мы договорились считать, что множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, содержат по ровну элементов. Значит, множество натуральных чисел содержит столько же элементов, сколько и его часть — множество четных чисел.

Точно так же можно установить взаимно однозначное соот ветствие между множеством натуральных чисел и множеством чисел вида 10, 100, 1000, 10 000,...

Для этого надо сопоставить каждому натуральному числу n чис ло 10n:

n 10n.

Этим желаемое взаимно однозначное соответствие и устанавливает ся. Точно так же устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством всех квадра тов натуральных чисел:

n n 64 Глава II. В мире чудес бесконечного или множеством всех кубов натуральных чисел:

n n и т. д.

Вообще, между множеством всех натуральных чисел и любой его бесконечной частью всегда можно установить взаимно однозначное соответствие. Для этого достаточно перенумеровать по порядку чис ла из этой части.

Впрочем, не зря говорят, что ничто не ново под Луной, а но вое — это только хорошо забытое старое. Еще в начале XVII века Га лилей размышлял о противоречиях бесконечного и обнаружил воз можность взаимно однозначного соответствия между множеством натуральных чисел и множеством их квадратов. В его книге «Беседы и математические доказательства, относящиеся к механике по мест ному движению» (1638 год) приведен диалог, в котором Сальвиати, выражающий мысли самого Галилея, говорит:

«Сказанное нами относится к числу затруднений, происходящих вследствие того, что, рассуждая нашим ограниченным разумом о бесконечном, мы приписываем последнему свойства, известные нам по вещам конечным и ограниченным. Между тем это непра вильно, так как такие свойства, как б и меньшая величина ольшая и равенство, неприменимы к бесконечному, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность больше или меньше другой или равна ей».

В подтверждение своей мысли Сальвиати отмечает, что, с од ной стороны, «квадратов столько же, сколько существует корней, так как каждый квадрат имеет свой корень, и каждый корень — свой квадрат;

ни один квадрат не может иметь более одного корня, и ни один корень — более одного квадрата...1 При этом число корней равно количеству всех чисел вообще, потому что нет ни одного числа, которое не могло бы быть корнем какого-нибудь квадрата;

установив это, приходится сказать, что число квадратов равно общему коли честву всех чисел...». С другой стороны, Сальвиати отмечает, что «количество всех чисел вместе — квадратов и неквадратов — больше, нежели одних только квадратов», причем «числа квадратов непре рывно и в весьма большой пропорции убывают по мере того, как мы переходим к большим числам». В качестве единственного выхода из обнаруженного противоречия Сальвиати предлагает следующее:

Здесь имеются в виду только натуральные числа.

Счетные множества «Я не вижу возможности никакого другого решения, как при знать, что бесконечно количество чисел вообще, бесконечно число квадратов, бесконечно и число корней. Нельзя сказать, что чис ло квадратов меньше количества всех чисел, а последнее больше:

в конечном выводе свойства равенства, а также большей и меньшей величины не имеют места там, где дело идет о бесконечности, и при менимы только к конечным количествам».

Мы видим, что Галилей, по сути дела, владел идеей взаимно однозначного соответствия и видел, что такое соответствие можно установить между множеством всех натуральных чисел и множе ством квадратов, а потому эти множества можно считать имеющими одинаковое количество элементов. Понимал он и то, что для беско нечных множеств часть может быть равной целому. Но отсюда он сделал неверный вывод, что все бесконечности одинаковы: он имел дело лишь с бесконечными подмножествами натурального ряда, а их можно перенумеровать.

Галилей не мог себе представить, что множество всех точек отрез ка перенумеровать нельзя (это у нас вскоре будет показано). Подобно атомистам древности он полагал, что отрезок складывается из под дающейся пересчету бесконечной совокупности атомов.

Счетные множества Все множества, которые имеют столько же элементов, сколь ко имеет множество натуральных чисел, называют счетными.

Иными словами, множество называется счетным, если оно бес конечно, но его элементы можно перенумеровать натуральными номерами. Например, множество четных чисел, множество нечетных чисел, множество простых чисел, да и вообще любая бесконечная часть множества натуральных чисел являются счетными множе ствами.

Иногда для того, чтобы установить счетность того или иного множества, надо проявить изобретательность. Возьмем, например, множество всех целых чисел (как положительных, так и отрица тельных):

..., -n,..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..., n,...

Если мы попробуем нумеровать его по порядку, начиная с какого нибудь места, то никогда эту нумерацию не закончим. Поэтому все числа до выбранного места останутся незанумерованными. Чтобы 66 Глава II. В мире чудес бесконечного не пропустить при нумерации ни одного числа, надо записать это множество в виде двух строк:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...

-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7,...

и нумеровать по столбцам. При этом 0 получит № 1, -1 — № 2, 1 — № 3, -2 — № 4 и т. д. Иными словами, все положительные числа и нуль нумеруются нечетными числами, а все отрицательные целые числа — четными. Это похоже на то, как директор гостиницы поме стил всех филателистов в гостиницу, заполненную космозоологами.

Но если в то, что множество всех целых чисел счетно, легко поверить, то в счетность множества рациональных чисел поверить труднее. Ведь рациональные числа расположены очень густо — меж ду любыми двумя рациональными числами найдется еще бесконечно много рациональных чисел. Поэтому совершенно непонятно, как их нумеровать;

кажется, что между любыми двумя числами надо пе ренумеровать еще бесконечно много чисел, и этот процесс никогда не закончится. И действительно, занумеровать рациональные числа в порядке возрастания их величины невозможно. Однако если отка заться от расположения рациональных чисел в порядке возрастания, то занумеровать их все же удается. Сделаем так: выпишем сначала все положительные дроби со знаменателем 1, потом все положитель ные дроби со знаменателем 2, потом со знаменателем 3 и т. д. У нас получится таблица следующего вида:

1 2 3,,,,...

1 1 1 1 2 3,,,,...

2 2 2 1 2 3,,,,...

3 3 3 1 2 3,,,,...

4 4 4..............

Ясно, что в этой таблице мы встретим любое положительное рациональное число, и притом не один раз. Например, число 3 встре 3 6 тится и в виде дроби, и в виде дроби, и в виде дроби.

1 2 Теперь приступим к нумерации. Для этого вспомним последний подвиг директора необыкновенной гостиницы, который расселил Алгебраические числа в ней жителей из бесконечного множества таких же гостиниц. Он тогда воспользовался нумерацией по квадратам. Точно так же по ступим и мы, только с тем осложнением, что некоторые дроби будем 1 пропускать (например, так как получила уже № 1, то дроби, 1 и т. д. пропустим: они выражают то же самое число). Получится следующая нумерация положительных рациональных чисел:

1 3 2 1 4 3 1, 2,, 3,,,, 4,,,,...

2 2 3 3 3 4 Мы занумеровали, таким образом, все положительные рацио нальные числа. А теперь уже легко понять, как нумеруются все (то есть положительные и отрицательные) рациональные числа.

Для этого надо записать их отдельно в виде двух таблиц и числа од ной таблицы нумеровать четными номерами, а второй — нечетными (и еще оставить один номер для нуля).

Вообще, складывая счетное множество счетных множеств, мы снова получим счетное множество. Это доказывается тем же самым приемом нумерации по квадратам.

Алгебраические числа Нам удалось занумеровать все рациональные числа. Но рацио нальные числа получаются из натуральных чисел с помощью лишь одной операции — деления (и еще, быть может, изменения знака).

А теперь мы добавим еще операцию извлечения корня и будем рас сматривать все числа, которые можно получить из натуральных чисел с помощью этой операции и арифметических действий. Среди этих чисел будут такие, как 2 + 1, 3 - 5 и даже такие «мон стры», как 15 147 + 3 - 6 +.

289 - 4 + 2 + Возникает вопрос: можно ли занумеровать и множество всех та ких чисел? Это кажется еще более трудным, чем занумеровать множество рациональных чисел. В самом деле, какому числу надо приписать меньший номер, 2 или 3? Но оказывается, что и это множество счетно, то есть его элементы можно перенумеровать.

Чтобы доказать это утверждение, отметим сначала, что каждое число рассматриваемого вида является корнем алгебраического 68 Глава II. В мире чудес бесконечного уравнения вида a0xn + a1xn-1 +... + an = 0, (1) где a0 = 0 и a0,..., an — целые числа. Например, — корень уравне 3 ния 7x - 3 = 0, 5 — корень уравнения x3 - 5 = 0, а 2 + 3 — ко рень уравнения x6 - 6x4 + 12x2 - 11 = 0. Иногда бывает очень трудно написать уравнение, которому удовлетворяло бы число описанного выше вида, но тем не менее это всегда возможно. Попробуйте сами составить уравнение, которому удовлетворяло бы число 2 + 3.

Заметим, что далеко не все корни уравнений вида (1), где a0,..., an — целые числа, выражаются через натуральные числа с помощью арифметических действий и операции извлечения корня.

Например, корни уравнения x5 - 3x + 3 = 0 нельзя выразить в таком виде, оно, как говорят, не решается в радикалах. Все числа, явля ющиеся корнями уравнений вида (1) с целыми коэффициентами, называют алгебраическими числами. Таким образом, множество алгебраических чисел содержит в себе множество всех чисел, выра жаемых через натуральные с помощью арифметических действий и извлечений корней. Поэтому, если нам удастся перенумеровать все алгебраические числа, то тем более мы решим задачу, поставленную в начале этого пункта.

Но прежде чем нумеровать алгебраические числа, надо перену меровать сами алгебраические уравнения вида (1). А тогда задача будет уже решена. Ведь каждое алгебраическое уравнение n-й степе ни имеет не более n корней. Поэтому после того, как все уравнения с целыми коэффициентами будут перенумерованы, мы составим таб лицу, в первой строке которой будут все различные корни первого уравнения, во второй — все различные корни второго уравнения, не попавшие в первую строку, в третьей — все различные корни тре тьего уравнения, не попавшие в первую или вторую строку, и т. д.

Таблица получится такая:

a1 a2... ak b1 b2... bi........................

c1 c2... cm........................

Здесь же показано, как можно перенумеровать все числа этой таб лицы (стрелки показывают порядок нумерации).

Алгебраические числа Итак, займемся нумерацией множества алгебраических уравне ний с целыми коэффициентами. Это можно сделать двумя способа ми. Первый способ состоит в том, что каждому уравнению a0xn + a1xn-1 +... + an = ставится в соответствие его «высота», а именно число h = n + |a0| + |a1| +... + |an|.

Например, высота уравнения 2x4 - 3x + 5 = 0 равна 4 + 2 + 3 + 5 = 14.

Ясно, что число уравнений заданной высоты конечно. Например, высоту 2 имеют два уравнения: x = 0 и -x = 0, а высоту 3 име ют шесть уравнений: x2 = 0, -x2 = 0, x + 1 = 0, x - 1 = 0, -x + 1 = и -x - 1 = 0. А теперь будем нумеровать уравнения так: сначала перенумеруем все уравнения высоты 2 (уравнений высоты 1 нет во обще), потом все уравнения высоты 3, затем все уравнения высоты и т. д. Начало этой нумерации имеет следующий вид:

1 2 3 4 x = 0 -x = 0 x2 = 0 -x2 = 0 x + 1 = 6 7 8 9 x - 1 = 0 -x + 1 = 0 -x - 1 = 0 x3 = 0 -x3 = В результате все уравнения окажутся занумерованнми, а тогда, как уже говорилось, нетрудно занумеровать и все алгебраические числа. Описанный способ нумерации уравнений имеет тот недоста ток, что трудно сказать, какой именно номер получит данное урав нение (хотя, конечно, эта задача и разрешима). Другой способ нуме рации основан на той же идее, с помощью которой пробовал решить свою самую трудную задачу директор гостиницы. Напомним, что он предложил воспользоваться числами вида 2n3m. Чтобы решить нашу задачу, придется использовать все простые числа. Читатель, конечно, помнит, что любое натуральное число единственным обра зом разлагается на простые множители.

Поступим следующим образом. Сначала перенумеруем все целые числа, как это было сделано на с. 66. Номер целого числа a обозначим через a. Каждому уравнению вида a0xn +... + an = 70 Глава II. В мире чудес бесконечного (где, напомним, a0,..., an — целые числа) поставим в соответствие число n n-1 2a 3a...pa n+ (через pn+1 здесь обозначено (n + 1)-е простое число). Например, уравнению 3x2 - 2 = 0 ставим в соответствие номер 243155 = 150 (потому что целое число -2 имеет номер 4, нуль — номер 1, а целое число 3 — номер 5). Теперь каждое уравнение получило свой номер, причем разным уравнениям соответствуют разные номера (каждый номер N единственным образом разлагается на простые множители, то есть единственным образом задает числа an, an-1,..., a0;

этим же числам соответствуют определенные целые числа an, an-1,..., a0, а тем самым и определенное уравнение a0xn +... + an = 0).

Восьмерки на плоскости Методы, с помощью которых мы перенумеровали все алгебра ические числа, применимы и в других случаях. Общая ситуация здесь такова. Пусть дано счетное множество счетных множеств A1,..., An,... Составим всевозможные конечные «наборы» из эле ментов этих множеств, причем в каждый набор входит не более одного элемента из каждого множества Ak. Иными словами, каж дый набор имеет вид (am,..., at), где am Am,..., at At (число элементов в наборе может быть разным в разных наборах, важно лишь, чтобы каждый набор состоял из конечного числа элементов).

Тогда множество всех таких наборов счетно.

Для доказательства этого утверждения достаточно поставить в соответствие каждому набору (am,..., at) число m t N = pa... pa, m t где pm есть m-е по порядку простое число и т. д., am — номер эле мента am в множестве Am и т. д. (при наших обозначениях значок m у элемента am показывает, какому из множеств принадлежит этот элемент, а не номер этого элемента в множестве Am). Те же рассуж дения, что и в случае алгебраических уравнений, показывают, что при этом разным наборам будут соответствовать разные числа N, т. е. что все наборы окажутся занумерованными. А при желании можно сделать и иначе: поставить каждому набору (am,..., at) в со ответствие его «высоту» h = n + am +... + at и нумеровать сначала наборы высоты 2, потом наборы высоты 3 и т. д.

Восьмерки на плоскости Из доказанного утверждения вытекает, что если элементы неко торого множества можно задать наборами вида (a1,..., an), где эле менты a1 принадлежат счетному множеству A1, элементы a2 — счет ному множеству A2 и т. д., то само множество A или счетно, или конечно. В частности, счетно множество всех точек плоскости, обе координаты которых рациональны: такие точки задаются набором из двух рациональных чисел (r1;

r2), а множество рациональных чи сел счетно.

Приведем более сложный пример доказательства счетности неко торого множества. Пусть на плоскости изображены буквы T, причем никакие две буквы не имеют общих точек (размеры букв могут быть произвольными — рис. 24).

Покажем, что это множество букв или счетно, или конечно.

Для этого выберем на плоскости систему координат и поставим в соответствие каждой букве T треугольник, имеющий вершины с рациональными координатами и такой, что одна сторона тре угольника пересекает «ножку» буквы T, а две другие — «боковые ветви» этой буквы (рис. 25). Геометрически очевидно, что если две буквы T соответствуют одному и тому же треугольнику, то они должны пересекаться — см. рис. 26 (впрочем, как это часто бывает в математике, строгое доказательство этого факта совсем не так просто). Поскольку по условию наши буквы попарно не имеют об щих точек, то разным буквам соответствуют разные треугольники.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.