WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«Алгебра и теория чисел для математических школ Н. Б. Алфутова, А. В. Устинов September 3, 2003 УДК 51 ББК 21.1 А45 Алфутова Н. Б. Устинов А. В. ...»

-- [ Страница 2 ] --

Однажды он придумал способ, как определить для каждого выключа теля, какую именно лампочку он включает, сходив в подвал ровно один раз. Какой это способ?

б) Сколько лампочек и выключателей можно идентифицировать друг с другом, если разрешается 2 раза спуститься в подвал?

5.63. С числом разрешается производить две операции: «увеличить в два раза» и «увеличить на 1». За какое наименьшее число операций можно из числа 0 получить а) число 100;

б) число n? (См. также 6.77.) 5.64. Бинарный метод возведения в степень. Предположим, что необходимо возвести число x в степень n. Если, например, n = 16, 3. Двоичная и троичная системы счисления то это можно сделать выполнив 15 умножений x16 = x·x·...·x, а можно обойтись лишь четырьмя:

x1 = x·x = x2, x2 = x1 ·x1 = x4, x3 = x2 ·x2 = x8, x4 = x3 ·x3 = x16.

Пусть 1 2 r n = 2e + 2e +... + 2e (e1 > e2 >... > er 0).

Придумайте алгоритм, который позволял бы вычислять xn при помощи b(n) = e1 + (n) - умножений, где (n) = r — число единиц в двоичном представлении числа n. (См. также 11.88.) 5.65. Пусть l(n) — наименьшее число умножений, необходимое для нахождения xn. На примере чисел n = 15 и n = 63 покажите, что бинарный метод возведения в степень не всегда оптимален, то есть для некоторых n выполняется неравенство l(n) < b(n).

5.66. Коля Васин задумал число от 1 до 31 включительно и выбрал из 5 данных карточек 1 3 5 7 2 3 6 7 4 5 6 9 11 13 15 10 11 14 15 12 13 14 17 19 21 23 18 19 22 23 20 21 22 25 27 29 31 26 27 30 31 28 29 30 8 9 10 11 16 17 18 12 13 14 15 20 21 22 24 25 26 27 24 25 26 28 29 30 31 28 29 30 те, на которых это число присутствует. Как, зная эти карточки, уга дать задуманное число? Какими должны быть карточки, чтобы по ним можно было угадывать числа от 1 до 63?

5.67. Карточный фокус. а) Берется колода из 27 карт (без одной масти). Ваш друг загадывает одну из карт. После чего вы раскладыва ете все карты в три равные кучки, кладя каждый раз по одной карте (в первую кучку, затем во вторую, затем в третью, потом снова в первую и т. д.). Ваш друг указывает на ту кучку, в которой лежит его карта.

Далее вы складываете все три кучки вместе, вставляя при этом указан ную кучку между двумя другими. Эта процедура повторяется еще два раза. На каком месте в колоде окажется загаданная карта, после того, как вы сложите вместе три кучки в третий раз?

78 5. Числа, дроби, системы счисления б) На каком месте окажется загаданная карта, если с самого начала было 3n (n < 9) карт?

5.68. Коля Васин задумал число: 1, 2 или 3. Вы задаете ему только один вопрос, на который он может ответить «да», «нет» или «не знаю».

Сможете ли вы угадать число, задав всего лишь один вопрос?

5.69. Коля Васин задумал число от 1 до 200. За какое наименьшее число вопросов вы сможете его отгадать, если он отвечает на каждый вопрос а) «да» или «нет»;

б) «да», «нет» или «не знаю»?

5.70*. Как и раньше загадывается число от 1 до 200, а загадавший отвечает на вопросы «да» или «нет». При этом ровно один раз (за все ответы) он имеет право соврать. Сколько теперь понадобится вопросов, чтобы отгадать задуманное число?

5.71. Докажите, что каждое целое число A представимо в виде A = a0 + 2a1 + 22a2 +... + 2nan, где каждое из чисел ak = 0, 1 или -1 и akak+1 = 0 для всех 0 k n-1, причем такое представление единственно.

5.72. Множество Кантора. Отрезок числовой оси от 0 до покрашен в зеленый цвет. Затем его средняя часть — интервал (1/3;

2/3) перекрашивается в красный цвет, потом средняя часть каждого из оставшихся зелеными отрезков тоже перекрашивается в красный цвет, с оставшимися зелеными отрезками проделывается та же операция и так до бесконечности. Точки, оставшиеся зелеными, образуют множество Кантора.

а) Найдите сумму длин красных интервалов.

б) Докажите, что число 1/4 останется окрашенным в зеленый цвет.

в) Из суммы 2 2 2 + + + +...

3 9 27 произвольным образом вычеркнуты слагаемые. Докажите, что сумма оставшихся слагаемых — зеленое число.

г) Докажите, что всякое число x [0, 2] представимо в виде x = +, где и — элементы множества Кантора.

5.73. Последовательность Морса. Бесконечная последователь ность из нулей и единиц 01101001100101101001...

3. Двоичная и троичная системы счисления построена по следующему правилу. Сначала написан нуль. Затем де лается бесконечное количество шагов. На каждом шаге к уже напи санному куску последовательности приписывается новый кусок той же длины, получаемый из него заменой всех нулей единицами, а единиц — нулями.

а) Какая цифра стоит на 2001 месте?

б) Будет ли эта последовательность, начиная с некоторого места, периодической?

в) Докажите, что данная последовательность переходит в себя при замене каждого нуля на комбинацию 01, а каждой единицы — на ком бинацию 10.

г) Докажите, что ни одно конечно слово из нулей и единиц не встре чается в последовательности Морса три раза подряд.

д) Как, зная представление числа n в двоичной системе счисления, найти n-й элемент данной последовательности? (См. также 11.88.) 5.74. Ханойская башня и двоичная система счисления. Рас смотрим два процесса, каждый из которых состоит из 28 - 1 шагов.

Первый — это процесс решения головоломки «Ханойская башня» (см.

1.42) при помощи оптимального алгоритма. Второй — это процесс при бавления единицы, который начинается с 0 и заканчивается числом 28 - 1. Опишите связь между этими двумя процессами.

5.75. Задача Иосифа Флавия. n человек выстраиваются по кру гу и нумеруются числами от 1 до n. Затем из них исключается каждый второй до тех пор, пока не останется только один человек. Например, если n = 10, то порядок исключения таков: 2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9, так что остается номер 5. Для данного n будем обозначать через J(n) номер последнего оставшегося человека. Докажите, что а) J(2n) = 2J(n) - 1;

б) J(2n + 1) = 2J(n) + 1;

в) если n = (1bm-1bm-2... b1b0)2, то J(n) = (bm-1bm-2... b1b01)2.

5.76. Ним-сумма. Будем говорить, что число n является ним-сум мой чисел m и k (m k = n), если оно получается из чисел m и k после следующих преобразований.

1) m и k записываются в двоичной системе счисления m = (ms... m1m0)2, k = (ks... k1k0) (меньшее число дополняется спереди нулями).

2) Полученные наборы цифр как векторы складываются покомпо нентно по модулю 2:

(ms,..., m1, m0) + (ks,..., k1, k0) (ns,..., n1, n0) (mod 2).

80 5. Числа, дроби, системы счисления 3) Набор цифр (ns,..., n1, n0) переводится в число n:

(ns... n1n0)2 = n.

Например, 4 9 = 3, так как 4=(100)2, 9=(111)2, (1, 0, 0)+(1, 1, 1)(0, 1, 1) (mod 2), (011)2=3.

Докажите, что ним-сумма удовлетворяет следующим свойствам:

а) m m = 0;

б) m k = k m;

в) (m t) k = m (t k);

г) если n = 0 и m1 m2... ml = n, (5.1) то найдется такой номер j (1 j l), для которого mj n < mj.

5.77. Игра «Ним». Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять любое (ненулевое) количество камней, но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто взял последний камень.

Для анализа игры каждому набору кучек камней m1, m2,..., ml поставим в соответствие его ним сумму (5.1).

а) Докажите, что если игрок делает ход из позиции с нулевой ним-суммой, то в результате получается позиция с ним-суммой n = 0.

б) Докажите, что из позиции с ненулевой ним-суммой всегда можно сделать ход в позицию с ним-суммой n = 0.

в) Опишите выигрышную стратегию в игру «Ним».

г) Какой следует сделать ход, если перед вами три кучки: 3, 4 и камней?

5.78. Марсианские амебы II. При помощи ним-сумм можно ис следовать самые разные игры и процессы. Например, можно получить еще одно решение задачи 4.20.

Постройте на множестве марсианских амеб {A, B, C} функцию f, для которой выполнялись бы равенства f(A) f(B) = f(C), f(A) f(C) = f(B), f(B) f(C) = f(A).

Какие рассуждения остается провести, чтобы решить задачу про амеб?

5.79. Игра «Йога» II. Проанализируйте при помощи ним-сумм игру «Йога» из задачи 4.21.

5.80. Игра «Шоколадка». Имеется шоколадка, состоящая из 6 8 = 48 долек. Одна из долек отмечена:

3. Двоичная и троичная системы счисления Двое игроков по очереди разламывают ее по какой-нибудь прямой, делящей шоколадку на дольки, и съедают ту половину, которая не содержит отмеченной дольки. Проигрывает тот, кто не может сделать хода, то есть ему остается лишь одна отмеченная долька.

а) Опишите выигрышную стратегию в этой игре. Кто из игроков выиграет, если отмеченная долька располагается так, как показано на рисунке?

б) При каких размерах шоколадки начинающий игрок выигрывает при любом расположении отмеченной дольки?

в) При каких размерах шоколадки начинающий игрок проигрывает при любом расположении отмеченной дольки?

5.81. Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять из одной кучки от 1 до 5 камней.

Определите выигрышную стратегию в этой игре, если тот, кто взял последний камень а) выигрывает;

б) проигрывает. (См. также 4.59.) 5.82*. Пешечное противостояние. На доске 3 n расставлены n черных и n белых пешек так, как показано на рисунке:

Пешки ходят и бьют по шахматным правилам, к которым добавля ется одно: бить обязательно. Тот, кто не может сделать ход: а) выиг рывает;

б) проигрывает. Какой из игроков выигрывает в этой игре в зависимости от значения n?

5.83. 4 монеты. Из четырех монет одна фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но не известно, в какую сторону). Требуется за два взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти фальшивую монету.

5.84*. 12 монет. Из двенадцати монет одиннадцать настоящих, а одна фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но не известно, в какую сторону). Требуется за три взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти фальшивую монету и выяснить, легче она или тяжелее настоящей.

82 5. Числа, дроби, системы счисления 5.85*. 13 монет. Предположим теперь, что имеется 13 монет, из которых одна — фальшивая. Как за три взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти фальшивую монету, если не требуется выяснять, легче она или тяжелее настоящей?

Глава Многочлены 1. Квадратный трехчлен Теорема Виета для квадратного уравнения. Пусть x1, x2 — корни уравнения x2 + px + q = 0. Тогда справедливы равенства x1 + x2 = -p, x1x2 = q.

6.1. Пусть x1, x2 — корни уравнения x2 + px + q = 0. Выразите через p и q следующие величины 1 1 1 1 1 а) + ;

б) + ;

в) x3 + x3;

г) +.

x1 x2 x2 x2 1 2 (x1 + p)2 (x2 + p) 1 6.2. Для многочленов f(x) = x2 + ax + b и g(y) = y2 + py + q с корнями x1, x2 и y1, y2 соответственно, выразите через a, b, p, q их результант, который определяется равенством R(f, g) = (x1 - y1)(x1 - y2)(x2 - y1)(x2 - y2).

Вычисление результанта позволяет проверить многочлены f(x) и g(y) на наличие у них общих корней.

6.3. Уравнение x2 + px + q = 0 имеет корни x1 и x2. Напишите уравнение, корнями которого будут числа y1, y2 равные:

1 1 1 1 x2 x а) x3, x3;

б), ;

в) x1 +, x2 + ;

г),.

1 x2 x1 x1 x x2 x 1 6.4. Пусть x1, x2 — корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 и Sn = xn + xn (n 0). Докажите формулу 1 aSm + bSm-1 + cSm-2 = 0 (m 2).

6.5. При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения x2 + 2ax + 2a2 + 4a + 3 = является наибольшей? Чему равна эта сумма?

6.6. Какими должны быть p и q, чтобы выполнялось равенство Ax4 + Bx2 + C = A(x2 + px + q)(x2 - px + q)?

84 6. Многочлены 6.7. При каких значениях параметра a один из корней уравнения x2 - x + a3 = 0 является квадратом другого?

6.8. Пусть f(x) = x2+px+q. При каких p и q выполняются равенства f(p) = f(q) = 0?

6.9. При каких p и q уравнению x2 + px + q = 0 удовлетворяют два различных числа 2p и p + q?

6.10. При каких a уравнение а) ax2 + (a + 1)x - 2 = 0;

б) (1 - a)x2 + (a + 1)x - 2 = имеет два различных корня?

6.11. Нарисуйте множество всех таких точек координатной плоско сти, из которых к параболе y = 2x2 можно провести две перпендику лярные друг другу касательные.

6.12. Рассмотрим графики функций y = x2 + px + q, которые пе ресекают оси координат в трех различных точках. Докажите, что все окружности, описанные около треугольников с вершинами в этих точ ках, имеют общую точку.

6.13. Известно, что уравнение x2 + 5bx + c = 0 имеет корни x1 и x2, x1 = x2, а некоторое число является корнем уравнения y2+2x1y+2x2 = и корнем уравнения z2 + 2x2z + 2x1 = 0. Найти b.

6.14. Известно, что многочлены ax2 + bx + c и bx2 + cx + a (a = 0) имеют общий корень. Найдите его.

6.15. При каких a уравнения x2 + ax + 1 = 0 и x2 + x + a = 0 имеют хотя бы один общий корень?

6.16. Пусть — корень уравнения x2 + px + q = 0, а — уравнения x2 - px - q = 0. Докажите, что между и лежит корень уравнения x2 - 2px - 2q = 0.

6.17. Укажите все точки плоскости (x;

y), через которые не проходит ни одна из кривых семейства y = p2 + (4 - 2p)x - x2.

6.18. Укажите все точки плоскости (x;

y), через которые не проходит хотя бы одна кривая семейства y = p2 + (2p - 1)x + 2x2.

6.19. Изобразите ту часть плоскости (x;

y), которая накрывается всевозможными кругами вида (x - a)2 + (y - a)2 2 + a2.

1. Квадратный трехчлен 6.20. Докажите, что корни уравнения а) (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - a)(x - c) = 0;

б) c(x - a)(x - b) + a(x - b)(x - c) + b(x - a)(x - c) = — всегда вещественные.

Определение. Каждому квадратному трехчлену x2 + px + q бу дем ставить в соответствие на координатной плоскости Opq точку с координатами (p;

q). Эту плоскость назовем фазовой. Прямые вида a2 + ap + q = 0 будем называть корневыми, а параболу p2 - 4q = 0 — дискриминантной.

6.21. Каким точкам фазовой плоскости соответствуют квадратные трехчлены, не имеющие корней?

6.22. Для каждого действительного a построим на плоскости Opq корневую прямую a2+ap+q = 0. Докажите, что полученное множество прямых совпадает с множеством всех касательных к дискриминантной параболе p2 - 4q = 0. (См. также 9.20.) 6.23. Обозначим корни уравнения x2 + px + q = 0 через x1, x2. На рисуйте на фазовой плоскости Opq множества точек M(p;

q), которые задаются условиями:

а) x1 = 0, x2 = 1;

в) x1 = x2;

б) x1 0, x2 2;

г) -1 x1 0, 1 x2 2.

6.24. Найдите все значения параметра a, для каждого из которых уравнение 4x2 - 2x + a = 0 имеет два корня, причем x1 < 1, x2 > 1.

6.25. Найдите все такие q, что при любом p уравнение x2+px+q = имеет два действительных корня.

6.26. Фазовая плоскость Opq разбивается параболой p2 - 4q = 0 и прямыми p + q + 1 = 0, -2p + q + 4 = 0 на несколько областей. Для точек каждой области укажите, сколько корней имеет соответствующий им многочлен x2 + px + q = 0 на интервале (-2;

1).

6.27. На фазовой плоскости через точку (p;

q) проведены касатель ные к дискриминантной параболе p2 - 4q = 0. Найдите координаты точек касания.

6.28. При каких значениях параметра a один из корней уравнения (a2 + a + 1)x2 + (2a - 3)x + (a - 5) = больше 1, а другой — меньше 1?

6.29. Известно, что модули корней уравнений x2 + ax + b = 0 и x2 + cx + d = 0 меньше 1. Докажите, что модули корней уравнения a + c b + d x2 + x + = 2 86 6. Многочлены также меньше 1.

6.30. В квадратном уравнении x2 + px + q = 0 коэффициенты p и q независимо пробегают все значения от -1 до 1. Найдите множество значений, которые могут при этом принимать действительные корни этого уравнения.

6.31. При каких значениях параметра a оба корня уравнения (2 - a)x2 - 3ax + 2a = 0 больше ?

6.32. При каких значениях параметра a оба корня уравнения (1 + a)x2 - 3ax + 4a = 0 больше 1?

6.33. При каких значениях параметра a уравнение (a - 1)x2 - 2(a + 1)x + 2(a + 1) = 0 имеет только одно неотрицательное решение?

6.34. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения x2 - (m + 1)x + m - 1 = 0 является наименьшей?

6.35. Найдите все значения параметра r, при которых уравнение (r - 4)x2 - 2(r - 3)x + r = 0 имеет два корня, причем каждый из которых больше -1.

6.36. Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству (2 - a)x3 + (1 - 2a)x2 - 6x + 5 + 4a - a2 < хотя бы при одном значении a [-1;

2].

2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу 6.37. Деление многочленов с остатком. Пусть P(x) и Q(x) — многочлены, причем Q(x) не равен нулю тождественно. Докажите, что существуют многочлены T(x) и R(x) такие, что P(x) = Q(x)T(x) + R(x), и deg R(x) < deg Q(x);

и покажите, что при этом T(x) и R(x) определя ются однозначно.

Определение. Если многочлен P(x) поделен на Q(x) с остатком P(x) = Q(x)T(x) + R(x), то T(x) называется неполным частным, а R(x) — остатком. Если мно гочлен R(x) тождественно равен нулю, то в этом случае T(x) — полное частное, и Q(x) называется делителем P(x) (Q(x) | P(x)).

2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу 6.38. Теорема Безу. Докажите, что остаток от деления многочлена P(x) на x - c равен P(c).

6.39. Докажите, что многочлен степени n имеет не более чем n корней.

6.40. Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена n-й степени больше, чем n касательных?

6.41. Пусть x1, x2,..., xn — корни уравнения anxn+...+a1x+a0 = 0.

Какие корни будут у уравнений а) a0xn +... + an-1x + an = 0;

б) anx2n +... + a1x2 + a0 = 0?

6.42. Пусть многочлен P(x) = xn + an-1xn-1 +... + a1x + a имеет корни x1, x2,..., xn, то есть P(x) = (x - x1)(x - x2)... (x - xn).

Рассмотрим многочлен Q(x) = P(x) P(-x). Докажите, что а) многочлен Q(x) имеет степень 2n и содержит только четные сте пени переменной x;

б) функция Q( x) является многочленом с корнями x2, x2,..., x2.

1 2 n (См. также 9.83.) 6.43. Разделите многочлены с остатком:

а) x4 - 4x3 + 6x2 - 3x + 1 на x2 - x + 1;

б) 2x3 + 2x2 + x + 6 на x2 + 2x + 1;

в) x4 + 1 на x5 + 1.

6.44. Найдите остаток от деления многочлена P(x) = x5 - 17x + 1 на x + 2.

6.45. При каком значении a многочлен P(x) = x1000 +ax2 +9 делится на x + 1?

6.46. Найдите остаток от деления многочлена P(x) = x81 + x27 + x9 + x3 + x на a) x - 1;

б) x2 - 1.

6.47. Докажите, что многочлен P(x) = (x + 1)6 - x6 - 2x - 1 делится на x(x + 1)(2x + 1).

6.48. Многочлен P(x) дает остаток 2 при делении на x-1, и остаток при делении на x-2. Какой остаток дает P(x) при делении на многочлен (x - 1)(x - 2)?

88 6. Многочлены 6.49. Найдите необходимое и достаточное условие для того, чтобы выражение x3 + y3 + z3 + k xyz делилось на x + y + z.

6.50. При каких n многочлен 1 + x2 + x4 +... + x2n-2 делится на 1 + x + x2 +... + xn-1?

Определение. Пусть m(x) — не равный тождественно нулю много член. Два многочлена a(x) и b(x) называются сравнимыми по модулю m(x), если их разность делится на m(x). Как и для чисел, соотношение сравнимости для двух многочленов записывается в виде a(x) b(x) (mod m(x)).

6.51. Китайская теорема об остатках для многочленов.

Пусть m1(x),..., mn(x) попарно взаимно простые многочлены, то есть (mi(x), mj(x)) = 1 при i = j, a1(x),..., an(x) — произвольные многочлены. Докажите, что тогда существует ровно один многочлен p(x) такой, что p(x) a1(x) (mod m1(x)),....................

p(x) an(x) (mod mn(x)) и deg p(x) < deg m1(x) +... + deg mn(x). (См. также 6.131 и 6.140.) 6.52. Пусть P(x) = (2x2 - 2x + 1)17(3x2 - 3x + 1)17. Найдите a) сумму коэффициентов этого многочлена;

б) суммы коэффициентов при четных и нечетных степенях x.

6.53. При каких a и b многочлен P(x) = (a + b)x5 + abx2 + 1 делится на x2 - 3x + 2?

6.54. Кубическое и квадратное уравнения с рациональными коэф фициентами имеют общее решение. Докажите, что у кубического урав нения есть рациональный корень.

6.55. Найдите остаток R(x) от деления многочлена xn + x + 2 на x2 - 1.

6.56. Один из корней уравнения x3 -6x2 +ax-6 = 0 равен 3. Решите уравнение.

6.57. При каких значениях параметра a многочлен P(x) = xn+axn- (n 2) делится на x - 2?

6.58. При каких действительных p и q двучлен x4 + 1 делится на x2 + px + q?

2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу 6.59. При каких a многочлен P(x) = a3x5 + (1 - a)x4 + (1 + a3)x2 + (1 - 3a)x - a делится на x - 1?

6.60. Найдите все многочлены, которые удовлетворяют тождеству x P(x - 1) = (x - 26) P(x).

6.61. Дано уравнение xn -an-1xn-1 -...-a1x-a0 = 0, где an-1,...

..., a1, a0 0. Докажите, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

6.62. Правило знаков Декарта. Докажите, что количество поло жительных корней многочлена f(x) = anxn +... + a1x + a не превосходит числа перемен знака в последовательности an,...

..., a1, a0.

6.63. Как правило знаков Декарта применить к оценке числа отри цательных корней многочлена f(x) = anxn +... + a1x + a0?

6.64. Докажите, что многочлен a3(b2 - c2) + b3(c2 - a2) + c3(a2 - b2) делится на (b - c)(c - a)(a - b).

Определение. Наибольшим общим делителем двух или несколь ких многочленов называется многочлен максимальной степени, на ко торый делится каждый из данных.

Как и для чисел, наибольший общий делитель многочленов P1(x),...

..., Pk(x) обозначается (P1(x),..., Pk(x)).

6.65. Докажите, что из равенства P(x) = Q(x) T(x) + R(x) следует соотношение (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x)).

6.66. Алгоритм Евклида для многочленов. Пусть P(x) и Q(x) — многочлены, причем Q(x) не равен нулю тождественно и Q(x) P(x).

Докажите, что при некотором s 1 существуют многочлены A0(x), 90 6. Многочлены A1(x),..., As(x) и R1(x),..., Rs(x) такие, что deg Q(x) > deg R1(x) > deg R2(x) >... > deg Rs(x) 0, P(x) = Q(x) · A0(x) + R1(x), Q(x) = R1(x) · A1(x) + R2(x), R1(x) = R2(x) · A2(x) + R3(x),.......................

Rs-2(x) = Rs-1(x) · As-1(x) + Rs(x), Rs-1(x) = Rs(x) · As(x), и (P(x), Q(x)) = Rs(x). (Сравните с задачей 3.36.) 6.67. Пусть (P(x), Q(x)) = D(x). Докажите, что существуют много члены U(x) и V(x) такие, что deg U(x)

(Сравните с задачей 3.37.) 6.68. Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), Q(x) и представьте его в виде P(x) U(x) + Q(x) V(x):

а) P(x) = x4 + x3 - 3x2 - 4x - 1, Q(x) = x3 + x2 - x - 1;

б) P(x) = 3x4 - 5x3 + 4x2 - 2x + 1, Q(x) = 3x3 - 2x2 + x - 1.

6.69. Найдите (xn - 1, xm - 1).

6.70. Последовательность a0, a1, a2,... задана условиями a0 = 0, an+1 = P(an) (n 0), где P(x) — многочлен с целыми коэффициентами, P(x) > 0 при x 0.

Докажите, что для любых натуральных m и k (am, ak) = a(m,k).

6.71. Решите систему x6 - x5 + x4 - x3 + 5x2 = 5, x6 - 2x5 + 3x4 - 4x3 + 2x = 0.

6.72. При каком положительном значении p уравнения 3x2-4px+9 = = 0 и x2 - 2px + 5 = 0 имеют общий корень?

6.73. Найдите многочлены P(x) и Q(x) такие, что (x + 1) P(x) + (x4 + 1) Q(x) = 1.

6.74. При помощи метода неопределенных коэффициентов (смотри те раздел 3, с. 92) найдите такие линейные функции P(x) и Q(x), чтобы выполнялось равенство P(x)(x2 - 3x + 2) + Q(x)(x2 + x + 1) = 21.

2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу 6.75. Найдите такие линейные функции P(x) и Q(x), чтобы выпол нялось равенство P(x)(2x3 - 7x2 + 7x - 2) + Q(x)(2x3 + x2 + x - 1) = 2x - 1.

2n + 6.76. Сколько представлений допускает дробь в виде суммы n(n + 1) двух положительных дробей со знаменателями n и n + 1?

6.77. Схема Горнера. Значение многочлена Pn(x) = anxn + an-1xn-1 +... + a1x + a0 (an = 0) в точке x = c можно вычислить, используя ровно n умножений. Для этого нужно представить многочлен Pn(x) в виде Pn(x) = (... (anx + an-1)x +... + a1)x + a0.

(См. также 5.63.) Пусть bn, bn-1,..., b0 — это значения выражений, которые получа ются в процессе вычисления Pn(c), то есть bn = an, bk = c · bk+1 + ak (k = n - 1,..., 0).

Докажите, что при делении многочлена Pn(x) на (x - c) с остат ком, у многочлена в частном коэффициенты будут совпадать с числами bn-1,..., b1, а остатком будет число b0. Таким образом, будет справед ливо равенство:

Pn(x) = (x - c)(bnxn-1 +... + b2x + b1) + b0.

6.78. Формулы сокращенного умножения. Докажите следую щие равенства:

an+1 - bn+1 = (a - b)(an + an-1b +... + bn);

a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n - a2n-1b + a2n-2b2 -... + b2n).

6.78. Докажите, что при n.

.

nn-1 - 1. (n - 1) 6.79. Формула Тейлора для многочлена. Докажите, что любой многочлен Pn(x) можно единственным образом разложить по степеням (x - c):

n Pn(x) = ck · (x - c)k, k= 92 6. Многочлены причем коэффициенты ck могут быть найдены по формуле P(k)(x) ck = (0 k n).

k!

x=c (См. также 11.21.) 6.80. Пользуясь схемой Горнера, разложите x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + по степеням x + 1.

6.81. Разложите P(x + 3) по степеням x, где P(x) = x4 - x3 + 1.

3. Разложение на множители Метод неопределенных коэффициентов. В задачах о раз ложении многочленов на множители часто оказывается полезным подход, который называется методом неопределенных коэффициентов.

Сначала записывается предполагаемое разложение с неизвестными (неопределенными) коэффициентами. После раскрытия скобок полу чается выражение, которое должно совпадать с исходным. Равенство коэффициентов при соответствующих одночленах дает систему урав нений, из которой находятся неопределенные коэффициенты, а, тем самым, и разложение на множители.

Соотношения на неопределенные коэффициенты можно также по лучать, подставляя в предполагаемое равенство конкретные значения переменных.

6.82. Разложите на множители с действительными коэффициента ми многочлены:

а) x4 + 4;

ж) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3;

б) 2x3 + x2 + x - 1;

з) (x - y)5 + (y - z)5 + (z - x)5;

в) x10 + x5 + 1;

и) a8 + a6b2 + a4b4 + a2b6 + b8;

г) a3 + b3 + c3 - 3abc;

к) (x2 + x + 1)2 + 3x(x2 + x + 1) + 2x2;

д) x3 + 3xy + y3 - 1;

л) a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2a2c2 - 2b2c2;

е) x2y2 - x2 + 4xy - y2 + 1;

м) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15.

(См. также 9.8.) 6.83. Можно ли разлложить на множители с целыми коэффициен тами многочлен x4 + x3 + x2 + x + 12?

6.84. Докажите, что многочлен x4 +px2 +q всегда можно разложить в произведение двух многочленов второй степени.

6.85. Упростите выражение:

(a + b + c)5 - a5 - b5 - c.

(a + b + c)3 - a3 - b3 - c 4. Многочлены с кратными корнями 6.86. Докажите, что при нечетном m выражение (x + y + z)m - xm - ym - zm делится на (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3.

6.87. Пусть a, b, c — попарно различные числа. Докажите, что вы ражение a2(c - b) + b2(a - c) + c2(b - a) не равно нулю.

6.88. Докажите, что если три действительных числа a, b, c связаны соотношением 1 1 1 + + =, a b c a + b + c то обязательно какие-либо два из этих чисел в сумме дают ноль.

6.89. Докажите, что если a + b + c = 0, то 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2).

6.90. Теорема о рациональных корнях многочлена. Докажи те, что если (p, q) = 1 и p/q — рациональный корень многочлена P(x) = anxn +... + a1x + a с целыми коэффициентами, то..

а) a0. p;

б) an. q.

..

Эти соотношения позволяют перечислить все рациональные числа, которые могут быть корнями данного многочлена. (См. также 7.41.) 6.91. Докажите при помощи предыдущей задачи, что 17 — ирра циональное число.

6.92. Докажите, что cos 20 — число иррациональное.

6.93. Найдите рациональные корни многочленов:

а) x5 - 2x4 - 4x3 + 4x2 - 5x + 6;

б) x5 + x4 - 6x3 - 14x2 - 11x - 3.

6.94. Решите уравнения:

а) x4 + x3 - 3a2x2 - 2a2x + 2a4 = 0;

б) x3 - 3x = a3 + a-3.

4. Многочлены с кратными корнями Определение. Пусть P(x) = (x - a)k Q(x), k 1 и Q(a) = 0. Тогда число a называется корнем многочлена P(x) кратности k. Если a — 94 6. Многочлены корень кратности 1, то он называется простым корнем, если кратность больше 1, то число a называется кратным корнем.

6.95. Докажите, что корень a имеет кратность больше 1 тогда и только тогда, когда P(a) = 0 и P (a) = 0.

6.96. Для данного многочлена P(x) опишем способ, который позво ляет построить многочлен R(x), имеющий те же корни, что и P(x), но все кратности 1.

Положим Q(x) = (P(x), P (x)) и R(x) = P(x) Q-1(x). Докажите, что а) все корни многочлена P(x) будут корнями R(x);

б) многочлен R(x) не имеет кратных корней.

6.97. Постройте многочлен R(x) из предыдущей задачи, если:

а) P(x) = x6 - 6x4 - 4x3 + 9x2 + 12x + 4;

б) P(x) = x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + x + 1.

6.98. Докажите, что многочлен x2 xn P(x) = 1 + x + +... + 2! n!

не имеет кратных корней.

6.99. При каких A и B многочлен Axn+1 + Bxn + 1 имеет число x = не менее чем двукратным корнем?

6.100. Докажите, что многочлен x2n - nxn+1 + nxn-1 - 1 при n > имеет трехкратный корень x = 1.

6.101. Докажите, что многочлен P(x) делится на свою производную тогда и только тогда, когда он имеет вид P(x) = an(x - x0)n.

6.102. Докажите, что при n > 0 многочлен nxn+1 - (n + 1)xn + делится на (x - 1)2.

6.103. Докажите, что при n > 0 многочлен n2xn+2 - (2n2 + 2n - 1)xn+1 + (n + 1)2xn - x - делится на (x - 1)3.

6.104. Докажите, что при n > 0 многочлен x2n+1 - (2n + 1)xn+1 + (2n + 1)xn - делится на (x - 1)3.

6.105. Докажите, что многочлен P(x) = a0 + a1x +... + anxn 5. Теорема Виета имеет число -1 корнем кратности m тогда и только тогда, когда вы полнены условия:

a0 - a1 + a2 - a3 +... + (-1)nan = 0, - a1 + 2a2 - 3a3 +... + (-1)nnan = 0,...........................

- a1 + 2ma2 - 3ma3 +... + (-1)nnman = 0.

(См. также 11.12.) 6.106. Докажите, что многочлен P(x) = (xn+1 - 1)(xn+2 - 1)... (xn+m - 1) без остатка делится на Q(x) = (x1 - 1)(x2 - 1)... (xm - 1).

(См. также 11.95.) 5. Теорема Виета Теорема Виета. Пусть x1, x2,..., xn — корни многочлена anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +... + a1x + a (an = 0). Тогда справедливы равенства x1 + x2 +... + xn = -an-1/an, x1x2 + x2x3 +... + xn-1xn = an-2/an,......................

x1x2... xn = (-1)na0/an.

Определение. Многочлен, не изменяющийся при любых переста новках своих переменных, называется симметрическим.

Многочлены 1(x1, x2,..., xn) = x1 + x2 +... + xn, 2(x1, x2,..., xn) = x1x2 + x2x3 +... + xn-1xn,.............................

n(x1, x2,..., xn) = x1x2... xn, называются элементарными симметрическими.

Теорема. Всякий симметрический многочлен F(x1,..., xn) пред ставим в виде многочлена от элементарных симметрических многочле нов: F(x1,..., xn) = G(1,..., n) и единственным образом (См. [23].) 96 6. Многочлены При этом коэффициенты G получаются из коэффициентов F только при помощи операций сложения, вычитания и умножения, то есть, если все коэффициенты F были целыми числами, то и коэффициенты G также будут целыми числами.

Задачи о выражении симметрических многочленов через элементар ные симметрические могут быть решены при помощи метода неопреде ленных коэффициентов (см. с. 92). Для нахождения искомого представ ления многочлена F(x1,..., xn) степени m достаточно рассмотреть сум n му с неопределенными коэффициентами одночленов вида a... a, 1 n суммарная степень (a1 + 2a2 +... + nan) каждого из которых равна m.

6.107. Выразите через элементарные симметрические многочлены следующие выражения:

а) (x + y)(y + z)(x + z);

г) (x2 + y2)(y2 + z2)(x2 + z2);

б) x3 + y3 + z3 - 3xyz;

д) x2 + x2 +... + x2 ;

1 2 n в) x3 + y3;

е) x4 + y4 + z4.

6.108. Известно, что a+b+c = 0, a2+b2+c2 = 1. Найдите a4+b4+c4.

6.109. Числа x, y, z удовлетворяют системе x + y + z = a, 1 1 1 + + =.

x y z a Докажите, что хотя бы одно из этих чисел равно a.

6.110. Решите систему:

x + y + z = a, x2 + y2 + z2 = a2, x3 + y3 + z3 = a3.

6.111. Найдите все значения параметра a, для каждого из которых корни x1, x2, x3 многочлена x3 - 6x2 + ax + a удовлетворяют равенству (x1 - 3)3 + (x2 - 3)3 + (x3 - 3)3 = 0.

6.112. Постройте кубический многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена x3 + x2 - 2x - 1 = 0.

6.113. Известно, что x1, x2, x3 — корни уравнения x3 - 2x2 + x + 1 = 0.

Составьте кубической уравнение, корнями которого были бы числа y1 = x2x3, y2 = x1x3, y3 = x1x2.

5. Теорема Виета 6.114. Выразите свободный член c кубического уравнения x3 + ax2 + bx + c = через коэффициенты a и b, зная, что корни этого уравнения образуют арифметическую прогрессию.

6.115. Пусть известно, что все корни уравнения x3 + px2 + qx + r = положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетво рять его коэффициенты p, q и r для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник?

6.116. а) Известно, что x + y = u + v, x2 + y2 = u2 + v2.

Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство xn + yn = un + vn.

б) Известно, что x + y + z = u + v + t, x2 + y2 + z2 = u2 + v2 + t2, x3 + y3 + z3 = u3 + v3 + t3.

Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство xn + yn + zn = un + vn + yn.

6.117. Решите системы:

x + y + z = 6, x2 y2 + =, 1 1 1 11 y x а) г) + + =, x y z 6 1 1 + = ;

y x xy + yz + xz = 11;

x(y + z) = 2, x + y + z = 1, б) y(z + x) = 2, д) xy + xz + yz = -4, z(x + y) = 3;

x3 + y3 + z3 = 1;

x2 + y2 + x + y = 32, x2 + y2 = 12, в) е) 12(x + y) = 7xy;

x + y + xy = 9.

6.118. Числа a, b, c являются тремя из четырех корней многочлена x4 - ax3 - bx + c.

98 6. Многочлены Найдите все такие многочлены.

6.119. Известно, что целые числа a, b, c удовлетворяют равенству a + b + c = 0. Докажите, что 2a4 + 2b4 + 2c4 — квадрат целого числа.

6.120. Найдите зависимость между коэффициентами кубического уравнения ax3 + bx2 + cx + d = 0, если известно, что сумма двух его корней равна произведению этих корней.

6.121. При каких a и b уравнение x3 + ax + b = 0 имеет три различ ных решения, составляющих арифметическую прогрессию?

6.122. Путь a, b, c — стороны треугольника, p — его полупериметр, а r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно.

Составьте уравнение с коэффициентами, зависящими от p, r, R, корнями которого являются числа a, b, c. Докажите равенство 1 1 1 + + =.

ab bc ac 2rR 6.123. Решите в натуральных числах систему x + y = uv, u + v = xy.

6.124. В каком из двух уравнений сумма квадратов корней больше а) 4x3 - 18x2 + 24x = 8, 4x3 - 18x2 + 24x = 9;

б) 4x3 - 18x2 + 24x = 11, 4x3 - 18x2 + 24x = 12?

6. Интерполяционный многочлен Лагранжа 6.125. Решите уравнение (x - a)(x - b) (x - a)(x - c) (x - b)(x - c) c + b + a = x.

(c - a)(c - b) (b - a)(b - c) (a - b)(a - c) 6.126. Докажите тождество (x - a)(x - b) (x - a)(x - c) (x - b)(x - c) c2 + b2 + a2 = x2.

(c - a)(c - b) (b - a)(b - c) (a - b)(a - c) 6.127. Пусть x1 < x2 <... < xn — действительные числа. Постройте многочлены f1(x), f2(x),..., fn(x) степени n-1, которые удовлетворяют условиям fi(xi) = 1 и fi(xj) = 0 при i = j (i, j = 1, 2,..., n).

6.128. Опишите явный вид многочлена f(x) = f1(x) + f2(x) +... + fn(x), 6. Интерполяционный многочлен Лагранжа где fi(x) — многочлены из предыдущей задачи.

6.129. Пусть x1 < x2 <... < xn — действительные числа. Докажите, что для любых y1, y2,..., yn существует единственнный многочлен f(x) степени не выше n - 1 такой, что f(x1) = y1,..., f(xn) = yn.

6.130. Пусть A, B и C — остатки от деления многочлена P(x) на x - a, x - b и x - c. Найдите остаток от деления того же многочлена на произведение (x - a)(x - b)(x - c).

Определение. Многочлен степени не выше n-1, значения которого в данных точках x1,..., xn (узлах интерполяции) совпадают с задан ными числами y1,..., yn, называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

6.131. Какие остатки дает многочлен f(x) из предыдущей задачи на многочлены вида (x - xi)? Проинтерпретируйте этот факт при помощи китайской теоремы об остатках для многочленов (см. 6.51).

6.132. Постройте многочлены f(x) степени не выше 2, которые удо влетворяют условиям:

а) f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 3;

б) f(-1) = -1, f(0) = 2, f(1) = 5;

в) f(-1) = 1, f(0) = 0, f(2) = 4.

6.133. Корабль с постоянной скоростью проплывает мимо небольшо го острова. Капитан каждый час измеряет расстояние до острова. В 12, 14 и 15 часов расстояния равнялись 7, 5 и 11 километров соответственно.

Каким было расстояние до острова в 13 часов? Чему оно будет равно в 16 часов?

6.134. Два корабля двигаются с постоянными скоростями. Рассто яния между ними, измеренные в 12, 14 и 15 часов равнялись 5, 7 и километра соответственно. Каким было расстояние между кораблями в 13 часов?

6.135. На плоскости расположено 100 точек. Известно, что через каждые четыре из них проходит график некоторого квадратного трех члена. Докажите, что все 100 точек лежат на графике одного квадрат ного трехчлена.

6.136. Решите систему z + ay + a2x + a3 = 0, z + by + b2x + b3 = 0, z + cy + c2x + c3 = 0.

100 6. Многочлены 6.137. Пусть a, b и c — три различных числа. Докажите, что из системы x + ay + a2z = 0, x + by + b2z = 0, x + cy + c2z = 0, следуют равенства x = y = z = 0.

6.138. Про многочлен f(x) = x10 + a9x9 +... + a0 известно, что f(1) = f(-1),..., f(5) = f(-5).

Докажите, что f(x) = f(-x) для любого действительного x.

6.139. Пусть P(x) = anxn +... + a1x + a0 — многочлен с целыми коэффициентами. Докажите, что хотя бы одно из чисел |3n+1 - P(n + 1)|,..., |31 - P(1)|, |1 - P(0)| не меньше 1.

6.140. Докажите, что если f(x) есть многочлен, степень которого меньше n, то дробь f(x) (x - x1)(x - x2)... (x - xn) (x1, x2,..., xn — произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы n простейших дробей:

A1 A2 An + +... +, x - x1 x - x2 x - xn где A1, A2,..., An некоторые константы. (См. также 6.51.) 6.141. Решите систему x1 x2 xn + +... + = 1, a1 - b1 a1 - b2 a1 - bn x1 x2 xn + +... + = 1, a2 - b1 a2 - b2 a2 - bn......................

x1 x2 xn + +... + = 1.

an - b1 an - b2 an - bn Глава Комплексные числа 1. Комплексная плоскость Определение. Комплексными числами называются числа вида z = = x + iy, где x и y — действительные числа, а i — так называемая мни мая единица, то есть число, квадрат которого равен -1;

x называется действительной или вещественной частью z, а y — мнимой частью (обозначается x = Re z, y = Im z). Числа z с x = 0, y = 0 называются чи сто мнимыми. Число z = x - iy называется комплексно сопряженным к числу z = x + iy. Множество всех комплексных чисел обозначает ся C.

7.1. Пусть z = x + iy, z = x + iy. Найдите а) z + z ;

б) z · z ;

в) z/z.

7.2. Проверьте равенства:

а) z + z = z + z ;

в) z/z = z/z ;

б) z · z = z · z ;

г)(z)= z.

Определение. Каждому комплексному числу z = x + iy ставится в соответствие точка (x;

y) на координатной плоскости Oxy и вектор с те ми же координатами. Длина вектора r = x2 + y2 называется модулем числа z (r = |z|). Угол, отложенный на плоскости Oxy против часовой стрелки от оси Ox до вектора (x;

y), называется аргументом числа z (r = arg z). Обычно считается, что функция arg z принимает значения от - до.

Если |z| = r, arg z =, то комплексное число z может быть записано в виде z = r(cos + i sin ). Такая запись называется тригонометриче ской формой числа z. Представление z = x + iy называется алгебраиче ской формой числа z.

7.3. Докажите равенства:

а) z + z = 2 Re z;

б) z - z = 2i Im z;

в) z · z = |z|2.

7.4. Дайте геометрическую интерпретацию следующих неравенств:

|z1| а) |z1 + z2| |z1| + |z2|;

б) |z1 - z2| - |z2| ;

в) |z - 1| | arg z|, если |z| = 1.

102 7. Комплексные числа 7.5. Представьте в тригонометрической форме числа:

а) 1 + i;

г) sin + i sin ;

6 cos + i sin б) 2 + 3 + i;

д).

cos - i sin в) 1 + cos + i sin ;

7.6. Какие множества на комплексной плоскости описываются сле дующими условиями:

z - i а) |z| 1;

д) arg = ;

з) |z - i| + |z + i| = 2;

z + i 1 б) |z - i| 1;

е) Re(z2) 1;

и) Im < - ;

z в) |z| = z;

ж) |iz + 1| = 3;

к) < arg(z - i) < ?

6 z - г) < 1;

z + 7.7. Найдите min |3 + 2i - z| при |z| 1.

7.8. Запишите с помощью неравенств следующие множества точек на комплексной плоскости:

а) полуплоскость, расположенная строго левее мнимой оси;

б) первый квадрант, не включая координатных осей;

в) множество точек, отстоящих от мнимой оси на расстоянии, мень шем двух;

г) полукруг радиуса 1 (без полуокружности) с центром в точке O, расположенный не выше действительной оси.

7.9. Изобразите на комплексной плоскости множество точек z, удо влетворяющих условию |z - 1 - i| = 2|z + 1 - i|.

7.10. Окружность Аполлония. Докажите, что на комплексной плоскости равенством |z - a| = k|z - b| при k = 1 задается окружность (a и b — действительные числа).

7.11. Докажите, что для произвольных комплексных чисел z1 и z выполняется равенство |z1 + z2|2 + |z1 - z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2).

Какой геометрический смысл оно имеет?

7.12. Докажите, что при любых вещественных aj, bj (1 j n) выполняется неравенство (a1 + a2 +... + an)2 + (b1 + b2 +... + bn) a2 + b2 + a2 + b2 +... + a2 + b2.

1 1 2 2 n n 1. Комплексная плоскость 7.13. Докажите, что если x + iy = (s + it)n, то x2 + y2 = (s2 + t2)n.

7.14. Тождество Фибоначчи. Докажите равенство:

(a2 + b2)(u2 + v2) = (au + bv)2 + (av - bu)2.

(См. также 1.6.) 7.15. Докажите, что квадратные корни из комплексного числа z = = a + ib находятся среди чисел a2 + b2 + a a2 + b2 - a w = ± ± i.

2 Как нужно выбрать знак пред вторым слагаемым в скобке, чтобы получить два нужных корня, а не сопряженные к ним числа? (См.

также 5.24.) 7.16. Вычислите а) - 4i;

в) + 70i;

д) -7 - 24i;

3 б) 2 + i 2;

г) 1 + i 3;

е) 12 - 5i.

7.17. Решите в комплексных числах следующие квадратные урав нения:

а) z2 + z + 1 = 0;

г) z2 - (3 + 2i)z + 6i = 0;

б) z2 + 4z + 29 = 0;

д) z2 - (3 - 2i)z + 5 - 5i = 0;

в) z2 - (2 + i)z + 2i = 0;

е) z2 - (5 + 2i)z + 5 + 5i = 0.

7.18. Решите в комплексных числах уравнения:

а) z4 - 4z3 + 6z2 - 4z - 15 = 0;

в) z4 + (z - 4)4 = 32;

1 - ix б) z3 + 3z2 + 3z + 3 = 0;

г) = i.

1 + ix 7.19. Как выглядит формула для корней биквадратного уравнения x4 + px2 + q = 0, если p2 - 4q < 0?

7.20. Докажите, что если |z| = 1 (z = -1), то для некоторого дей ствительного t справедливо равенство z = (1 + it)(1 - it)-1.

7.21. Постройте график функции y(x) = |x + x2 - 1| (x — произ вольное действительное).

7.22. Пусть точка z движется по единичной окружности против часовой стрелки. Опишите движение следующих точек а) 2z2;

в) 3z + z2;

д) (z - i)-1;

ж) Rz + zn ( < R).

б) z + 3z2;

г) z-3;

е) (z - 2)-1;

7.23. Точка z против часовой стрелки обходит квадрат с вершинами -1 - i, 2 - i, 2 + 2i, -1 + 2i. Как при этом ведут себя точки 104 7. Комплексные числа a) z2;

б) z3;

в) z-1?

7.24. Формулы Муавра. Докажите две формулы Муавра. Первая из них описывает правило возведения в степень комплексного числа, представленного в тригонометрической форме z = r(cos + i sin ):

zn = rn (cos n + i sin n) (n 1).

Вторая позволяет вычислять все n корней n-й степени из данного числа:

+ 2k + 2k wk = r1/n cos + i sin (k = 0,..., n - 1).

n n (См. также 12.11.) 7.25. Найдите все значения корней:

4 3 a) i;

б) -1;

в) -8i;

г) 1 - i;

д) -1;

е) i 3 - 1.

7.26. Докажите, что числа wk (k = 0,..., n - 1), являющиеся кор нями уравнения wn = z при любом z располагаются в вершинах пра вильного n-угольника. (См. также 8.2.) 7.27. Докажите, что все корни уравнения zn = 1 могут быть запи саны в виде 1,, 2,..., n-1.

7.28. Решите уравнения:

а) z4 = z4;

г) z2 + |z|2 = 0;

б) z2 + |z| = 0;

д) (z + i)4 = (z - i)4;

в) z2 + z = 0;

е) z3 - z = 0.

7.29. Найдите сумму степеней порядка s всех корней уравнения zn = 1, где s — целое число.

7.30. Докажите равенства:

cos n а) = 1 - C2 tg2 + C4 tg2 -... ;

n n cosn sin n б) = C1 tg - C3 tg3 + C5 tg5 -....

n n n cosn 7.31. Вычислите a) (1 + i)n;

д) (1 + cos + i sin )n;

б) (1 + i 3)n;

е) ( 3 + i)n;

20 n 1 + i 3 cos + i sin в) ;

ж).

1 - i cos + i sin 3 - i г) 1 - ;

7.32. Решите уравнение x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0.

1. Комплексная плоскость 7.33. Докажите, что многочлен x44 + x33 + x22 + x11 + 1 = 0 делится на x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0.

7.34. Вычислите:

2 4 6 2 4 а) cos + cos + cos ;

б) cos · cos · cos.

7 7 7 7 7 7.35. а) Докажите, что многочлен P(x) = (cos + x sin )n - cos n - x sin n делится на x2 + 1.

б) Докажите, что многочлен Q(x) = xn sin - n-1x sin n + n sin(n - 1) делится на x2 - 2x cos + 2.

7.36. Докажите тождества n- k а) x2n - 1 = (x2 - 1) x2 - 2x cos + 1 ;

n k= n 2k б) x2n+1 - 1 = (x - 1) x2 - 2x cos + 1 ;

2n + k= n 2k в) x2n+1 + 1 = (x + 1) x2 + 2x cos + 1 ;

2n + k= n- (2k + 1) г) x2n + 1 = x2 - 2x cos + 1.

2n k= 7.37. Используя формулу Муавра, докажите, что cos nx = Tn(cos x), sin nx = sin x Un-1(cos x), где Tn(z) и Un(z) — многочлены степени n. Вычислите эти многочлены в явном виде для n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Определение. Многочлены Tn(z) и Un(z) называются многочлена ми Чебышёва первого и второго рода соответственно.

7.38. Проверьте, что многочлены Чебышёва Tn(x) и Un(x) удовле творяют начальным условиям T0(x) = 1, T1(x) = x;

U0(x) = 1, U1(x) = 2x, и рекуррентным формулам Tn+1(x) = 2xTn(x) - Tn-1(x), Un+1(x) = 2xUn(x) - Un-1(x).

(См. также 11.80.) 106 7. Комплексные числа 7.39. Докажите, что у многочлена 2Tn(x/2) старший коэффициент равен единице, а все остальные коэффициенты — целые числа.

7.40*. Известно, что cos = 1/3. Является ли рациональным числом?

7.41. Пользуясь теоремой о рациональных корнях многочлена (см. 6.90), докажите, что если p/q Q и cos(p/q) = 0, ± 1/2, ± 1, то cos(p/q) — число иррациональное.

7.42. Докажите, что n n- cosn x = ak cos kx, sinn x = sin x bk sin kx, k=0 k= где a0,..., an, b0,..., bn-1 — рациональные числа. Найдите эти пред ставления в явном виде для n = 2, 3, 4, 5. Выразите sinn x при четном n в n n виде sinn x = ck cos kx, а при нечетном — в виде sinn x = dk sin kx.

k=0 k= 7.43. Известно, что sin = 3/5. Докажите, что sin 25 имеет вид n, где n — целое, не делящееся на 5.

7.44. Последовательность многочленов P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = = x2 - 1,... задается условием Pn+1(x) = x Pn(x) - Pn-1(x).

Докажите, что уравнение P100(x) = 0 имеет 100 различных действи тельных корней на отрезке [-2;

2]. Что это за корни?

7.45. Докажите равенство:

n 1 + i tg 1 + i tg n =.

1 - i tg 1 - i tg n 7.46. Докажите, что если z + z-1 = 2 cos, то zn + z-n = 2 cos n.

Как выражается zn + z-n через y = z + z-1? (См. также 1.5.) 7.47. При подстановке в многочлены Чебышёва числа x = cos получаются значения sin n Tn(cos ) = cos n, Un-1(cos ) =.

sin Что будет, если в многочлены Чебышёва подставить число x = sin ?

7.48. Пусть a, b — натуральные числа и (a, b) = 1. Докажите, что величина ( a + i b)n не может быть действительным числом за ис ключением случаев (a;

b) = ( ± 1;

± 1), ( ± 1;

± 3), ( ± 3;

± 1).

1. Комплексная плоскость Основная теорема алгебры. Всякий многочлен степени n (n 1), с действительными или комплексными коэффициентами имеет ровно n (с учетом кратности) комплексных корней. (См. [20], [217].) 7.49. Пусть многочлен с действительными коэффициентами f(x) имеет корень a+ib. Докажите, что число a-ib также будет корнем f(x).

(См. также 7.82.) 7.50. Докажите, что произвольный многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение многочленов первой и второй степени, которые также будут иметь действительные коэффи циенты.

7.51. Формула Эйлера. Пусть a и b — действительные числа.

Определим показательную функцию на множестве комплексных чисел равенством n a + ib ea+ib = lim 1 +.

n n Докажите формулу Эйлера:

ea+ib = ea(cos b + i sin b).

Докажите также, что функции sin x и cos x допускают следующие пред ставления через комплексную экспоненту:

eix + e-ix eix - e-ix cos x =, sin x =.

2 2i (См. также 5.35, 11.73 и 12.12.) 7.52. Докажите, что для любых комплексных чисел z1, z2 справед 1 2 ливо равенство ez ez = ez +z2. (См. также 11.73.) 7.53. Перепишите формулы Муавра, используя вместо тригономет рических функций комплексную экспоненту.

7.54. Как определить функцию ln z для комплексного аргумента z?

7.55. Как на комплексной плоскости определить показательную функцию az? (См. также 12.12.) i 7.56. Придайте смысл равенству -1 = (-1)1/i 23.

2 7.57. Пусть z = e2i/n = cos + i sin. Для произвольного целого n n a вычислите суммы а) 1 + za + z2a +... + z(n-1)a;

б) 1 + 2za + 3z2a +... + nz(n-1)a.

7.58. а) Докажите равенство:

sin(n/2) cos((n + 1)/2) cos +... + cos n = ;

sin(/2) 108 7. Комплексные числа б) Вычислите сумму:

sin +... + sin n.

(См. также 8.11.) 7.59. Докажите равенство:

sin + sin 3 +... + sin(2n - 1) = tg n.

cos + cos 3 +... + cos(2n - 1) 7.60. Вычислите суммы:

а) cos2 x + cos2 2x +... + cos2 2nx;

б) sin2 x + sin2 2x +... + sin2 2nx.

7.61. Используя разложение (1 + i)n по формуле бинома Ньютона, найдите суммы:

а) C0 - C2 + C4 -... + C100;

б) C1 - C3 + C5 -... - C99.

100 100 100 100 99 99 99 7.62. а) Докажите равенство:

n C0 - C2 + C4 -... = 2n/2 cos.

n n n б) Вычислите сумму:

C1 - C3 + C5 -...

n n n 7.63. а) Докажите равенство:

1 n 1 + C3 + C6 +... = 2n + 2 cos.

n n 3 б) Вычислите суммы:

C1 + C4 + C7 +... ;

C2 + C5 + C8 +...

n n n n n n 7.64. Докажите равенство:

1 1 2n n C1 - C3 + C5 -... = sin.

n n n 3 3(n-1)/2 7.65. Вычислите суммы:

а) 1 + a cos +... + ak cos k +... (|a| < 1);

б) a sin +... + ak sin k +... (|a| < 1);

в) cos + C1 cos 2 +... + Cn cos(n + 1);

n n г) sin + C1 sin 2 +... + Cn sin(n + 1).

n n 7.66. Найдите предел 1 lim 1 + cos x +... + cos kx.

k 2k 7.67. Пусть z1,..., zn — отличные от нуля комплексные числа, ле жащие в полуплоскости < arg z < +. Докажите, что 1. Комплексная плоскость а) z1 +... + zn = 0;

б) z-1 +... + z-1 = 0.

1 n 7.68. Пусть z1, z2,..., zn — вершины выпуклого многоугольника.

Найдите геометрическое место точек z = 1z1 + 2z2 +... + nzn, где 1, 2,..., n — действительные положительные числа такие, что 1 + 2 +... + n = 1.

7.69. Докажите, что корни уравнения 1 1 + + = 0, z - a z - b z - c где a, b, c — попарно различные комплексные числа, лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c, или на его сторонах (в случае вырожденного треугольника).

7.70. Пусть f(x) = (x-a)(x-b)(x-c) — многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.

7.71. Теорема Гаусса – Люка. Пусть f(x) — многочлен степени n с корнями 1,..., n. Определим многоугольник M как выпуклую оболочку точек 1,..., n на комплексной плоскости. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри многоугольника M.

7.72. При каких n а) многочлен x2n + xn + 1 делится на x2 + x + 1?

б) многочлен x2n - xn + 1 делится на x2 - x + 1?

7.73. Докажите, что при любых целых a и натуральном n выраже ние (a + 1)2n+1 + an + 2 делится на a2 + a + 1.

7.74. При каких n многочлен (x + 1)n + xn + 1 делится на:

а) x2 + x + 1;

б) (x2 + x + 1)2;

в) (x2 + x + 1)3?

7.75. При каких n многочлен (x + 1)n - xn - 1 делится на:

а) x2 + x + 1;

б) (x2 + x + 1)2;

в) (x2 + x + 1)3?

7.76. Пусть (x - 1) | P(xn). Докажите, что (xn - 1) | P(xn).

7.77. Найдите остаток от деления многочлена P(x) = x6n + x5n + x4n + x3n + x2n + xn + на Q(x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1, если известно, что n кратно 7.

110 7. Комплексные числа 7.78. Найдите все корни уравнения (z - 1)n = (z + 1)n. Чему равна сумма квадратов корней этого уравнения?

7.79. Докажите, что все корни уравнения a(z - b)n = c(z - d)n, где a, b, c, d — заданные комплексные числа, расположены на одной окружности или прямой. (См. также 7.10.) 7.80. Докажите, что при нечетном n > 1 справедливо равенство n- 1 n2 - =.

sin2(m/n) m= 7.81*. Ряд обратных квадратов. а) Докажите, что при нечетном n > 1 справедливо равенство (n-1)/ 1 2 = - (0 < < 1).

m2 6 2n m= б) Докажите тождество:

1 =.

m2 m= 7.82*. Положительные многочлены. Многочлен P(x) при всех действительных x принимает только положительные значения. Дока жите, что найдутся такие многочлены a(x) и b(x), для которых P(x) = = a2(x) + b2(x).

2. Преобразования комплексной плоскости Будем пользоваться обозначениями:

Ta — параллельный перенос на вектор a;

Sl — симметрия относительно прямой l (осевая симметрия с осью l);

R — поворот вокруг точки A на угол против часовой стрелки;

A Hk — гомотетия с центром в точке A и коэффициентом k.

A 7.83. Во что перейдет треугольник с вершинами в точках: 0, 1 - i, 1 + i в результате преобразования 1 i w = + z?

2 7.84. Во что перейдет угол с вершиной в начале координат в результате преобразования w = z3?

2. Преобразования комплексной плоскости 7.85. Каким геометрическим преобразованиям плоскости соответ ствуют следующие отображения:

а) w = z + a;

б) w = 2z;

в) w = z(cos + i sin );

г) w = z?

7.86. Как представить в виде w = f(z) симметрию относительно прямой l проходящей через начало координат под углом к оси Ox?

7.87. Выразите в виде w = f(z) следующие геометрические преоб разования:

а) H2 T3+4i;

в) R/4;

д) H2 H1/2;

O i 1 - б) T3+4i H2 ;

г) Hk ;

е) R/4 R/4 R/4 R/4.

O A i -1 -i Здесь точка O = (0;

0) — начало координат. Композиция преобразо ваний делается справа налево: (f g)(z) = f(g(z)).

7.88. Представьте гомотетию H2 в виде композиции параллельного i переноса и гомотетии с центром в точке O.

7.89. Теорема о трех центрах подобия. Докажите при помощи комплексных чисел, что композицией двух гомотетий является гомоте тия или параллельный перенос:

Ta, k1k2 = 1, 2 Hk Hk = A2 A Hk, k1k2 = 1, A причем в первом случае вектор a параллелен прямой A1A2, а во втором случае центр результирующей гомотетии A лежит на прямой A1A2 и k = k1 · k2.

7.90. Постройте образ квадрата с вершинами A(0;

0), B(0;

2), C(2;

2), D(2;

0) при следующих преобразованиях:

а) w = iz;

б) w = 2iz - 1;

в) w = z2;

г) w = z-1.

7.91. Куда переходит полоса 2 < Re z < 3 при отображениях:

а) w = z-1;

б) w = (z - 2)-1;

в) w = (z - 5/2)-1?

7.92. Найдите а) образ окружности |z-a-bi| = a2 + b2 при отображении w = 1/z;

2aR б) образ окружности |z - a| = R при отображении w =.

z2 - a2 + R 7.93*. Правильный n-угольник вписан в единичную окружность.

Докажите, что а) сумма квадратов всех сторон и всех диагоналей равна n2;

б) сумма всех сторон и всех диагоналей равна n ctg ;

2n в) произведение всех сторон и всех диагоналей равно nn/2.

112 7. Комплексные числа Определение. Дробно-линейными отображениями комплексной плоскости называются преобразования, записываемые формулами az + b w =, (7.1) cz + d az + b w =, (7.2) cz + d где = ad - bc = 0.

7.94. Как действуют отображения (7.1) и (7.2) в случае, когда = = ad - bc = 0?

Определение. Расширенной комплексной плоскостью C называет ся комплексная плоскость C, к которой добавлена бесконечно удаленная точка =, то есть C = C {}.

7.95. Докажите, что дробно-линейные отображения являются вза имно однозначными отображениями расширенной комплексной плоско сти.

7.96. Докажите, что произвольное дробно-линейное отображение вида (7.1) может быть получено композицией параллельных переносов и отображения вида w = R/z.

Глава Алгебра + геометрия 1. Геометрия помогает алгебре 8.1. Докажите, что сумма векторов, направленных из центра пра вильного n-угольника в его вершины, равна нулю.

8.2. Докажите равенства:

2 a) cos - cos = ;

5 5 1 1 б) = + ;

sin(/7) sin(2/7) sin(3/7) в) sin 9 + sin 49 + sin 89 +... + sin 329 = 0.

(См. также 7.26.) 8.3. Вычислите 4 7 3 а) cos cos cos ;

б) cos + cos + cos.

9 9 9 7 7 8.4. Найдите cos 36 и cos 72.

8.5. а) Используя геометрические соображения, докажите, что осно вание и боковая сторона равнобедренного треугольника с углом 36 при вершине несоизмеримы (т. е. их отношение иррационально).

б) Придумайте геометрическое доказательство иррационально сти 2.

8.6. Решите уравнения при 0 < x < 90:

a) 13 - 12 cos x + 7 - 4 3 sin x = 2 3;

б) 2 - 2 cos x + 10 - 6 cos x = 10 - 6 cos 2x;

в) 5 - 4 cos x + 13 - 12 sin x = 10.

8.7. Докажите равенство:

1 arctg 1 + arctg + arctg =.

2 3 8.8. Докажите равенство:

ctg 30 + ctg 75 = 2.

114 8. Алгебра + геометрия 8.9. Пусть x, y, z — положительные числа и xyz(x + y + z) = 1.

Найдите наименьшее значение выражения (x + y)(x + z).

8.10. Неотрицательные числа x, y, z удовлетворяют неравенствам 5 x, y, z 8. Какое наибольшее и наименьшее значение может при нимать величина S = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2 - x4 - y4 - z4 ?

8.11. Найдите все корни xk уравнения cos x + cos 2x + cos 3x + = 0.

Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют числа 2 cos xk? (См.

также 7.58, 8.88.) 8.12. Решите систему ay + bx = c, cx + az = b, bz + cy = a.

Какой геометрический смысл она имеет? (См. также 8.83.) 8.13. Положительные числа a, b, c, x, y, z таковы, что x2 + xy + y2 = a2, y2 + yz + z2 = b2, x2 + xz + z2 = c2.

Выразите величину xy + yz + xz через a, b и c. (См. также 9.16.) 2. Комплексные числа и геометрия В задачах этого пункта точки на комплексной плоскости отождеств ляются с числами. Поэтому с точками можно будет проделывать раз личные арифметические операции. Например, под суммой двух точек z и z2 будем понимать точку плоскости, соответствующую числу z1 + z2.

8.14. Пусть z1 и z2 — фиксированные точки комплексной плоскости.

Дайте геометрическое описание множеств всех точек z, удовлетворяю щих соотношениям:

z - z1 z1 - z а) arg = 0;

б) arg = 0.

z - z2 z - z Определение. Комплексное число z2 - z V(z2, z1, z0) = z1 - z 2. Комплексные числа и геометрия называется отношением трех точек (трех комплексных чисел) z2, z1, z0.

8.15. Докажите, что угол между прямыми, пересекающимися в точ ке z0 и проходящими через точки z1 и z2, равен аргументу отношения V(z2, z1, z0) точек z2, z1, z0.

8.16. Докажите, что три точки z2, z1, z0 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда V(z2, z1, z0) — вещественное число, или z0 - z2 z0 - z =.

z1 - z2 z1 - z 8.17. Докажите, что прямая, проходящая через точки z1 и z2 — это геометрическое место точек z, для которых z - z2 z - z =.

z1 - z2 z1 - z 8.18. Докажите, что уравнение прямой на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде Bz - Bz + C = 0, где C — чисто мнимое число.

8.19. Докажите, что условием того, что четыре точки z0, z1, z2, z3 лежат на одной окружности (или прямой) является вещественность числа V(z0, z1, z2) - z2 z0 - z z = :.

V(z0, z1, z3) z1 - z2 z1 - z Определение. Комплексное число V(z0, z1, z2) W(z0, z1, z2, z3) = V(z0, z1, z3) называется двойным отношением четырех точек (четырех комплекс ных чисел) z0, z1, z2, z3.

8.20. Инвариантность двойного отношения. Пусть z1, z2, z3, z4 — четыре точки плоскости, в которые дробно-линейное отображе ние (7.1) переводит данные четыре точки z1, z2, z3, z4. Докажите, что W(z1, z2, z3, z4) = W(z1, z2, z3, z4).

8.21. Как изменяется двойное отношение W(z1, z2, z3, z4) при дей ствии отображения (7.2)?

116 8. Алгебра + геометрия 8.22. Круговое свойство дробно-линейных отображений.

Докажите, что дробно-линейное отображение переводит каждую пря мую линию или окружность снова в прямую линию или окружность.

8.23. Докажите, что уравнение окружности (или прямой) на ком плексной плоскости всегда может быть записано в виде Azz + Bz - Bz + C = 0, (8.1) где A и C — чисто мнимые числа.

8.24. Докажите, что уравнение (8.1) при отображениях w = z + u и w = R/z переходит в уравнение такого же вида. Получите из этого круговое свойство дробно-линейных отображений.

Определение. Инверсией относительно окружности S с цен тром O и радиусом R называется преобразование плоскости, перево дящее произвольную точку A, отличную от O, в точку A, лежащую на луче OA на расстоянии OA = R2/OA. Образом точки O считается бесконечно удаленная точка, а образом бесконечно удаленной точки, соответственно, точка O.

Инверсией относительно окружности S будем также называть инвер сией с центром O и коэффициентом R2, а окружность S — окружностью инверсии.

8.25. Докажите, что отображение w = 1/z является инверсией отно сительно единичной окружности.

8.26. Представьте в виде композиции дробно-линейного отображе az + b ния w = и комплексного сопряжения w = z инверсию относи cz + d тельно окружности а) с центром i и радиусом R = 1;

б) с центром Rei и радиусом R;

в) с центром z0 и радиусом R.

8.27. Круговое свойство инверсии. Докажите, что инверсия пе реводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.

8.28. Пусть уравнение некоторой прямой или окружности имеет вид (8.1). Пусть образ этой линии при отображении (7.1) задается урав нением A zz + B z - B z + C = 0, где A и C также чисто мнимые числа. Выразите A, B и C через A, B и C.

2. Комплексные числа и геометрия Определение. Степенью точки A относительно окружности ра диуса R с центром в точке O называется величина |OA|2 - R2.

8.29. Докажите, что степень точки w относительно окружности Azz + Bz - Bz + C = равна B B C ww + w - w +.

A A A 8.30. Радикальная ось двух окружностей. Докажите, что геометрическое место точек w, степень которых относительно двух неконцентрических окружностей S1 и S2 одинакова, является прямой.

Такая прямая называется радикальной осью окружностей S1 и S2.

8.31. Радикальный центр трех окружностей. На плоскости даны три окружности S1, S2 и S3. Докажите, что если две радикальных оси этих окружностей пересекаются в точке Q, то третья радикальная ось также проходит через эту точку.

Точка Q называется радикальным центром окружностей S1, S2 и S3.

8.32. Ортоцентр треугольника. Точки a1, a2 и a3 расположены на единичной окружности zz = 1. Докажите, что точка h = a1 + a2 + a является ортоцентром треугольника с вершинами в точках a1, a2 и a3.

8.33. Окружность Эйлера. Точки a1, a2 и a3 расположены на единичной окружности zz = 1. Докажите, что окружность с центром в точке e = h/2 и радиусом 1/2 проходит через середины сторон тре угольника a1a2a3, основания высот и середины отрезков, соединяющих вершины a1, a2, a3 с ортоцентром h.

8.34. Цертр масс треугольника. Докажите, что точка m = (a1 + + a2 + a3)/3 является точкой пересечения медиан треугольника a1a2a3.

8.35. Прямая Эйлера. Докажите, что в произвольном треугольни ке точка пересечения медиан, ортоцентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой.

8.36. Прямая Симпсона. Пусть u — точка на единичной окруж ности zz = 1 и u1, u2, u3 — основания перпендикуляров, опущенных из u на стороны a2a3, a1a3, a1a2 треугольника a1a2a3.

а) Докажите, что числа u1, u2, u3 вычисляются по формулам u1 = (a2 + a3 + u - a2a3/u)/2, u2 = (a1 + a3 + u - a1a3/u)/2, u3 = (a1 + a2 + u - a1a2/u)/2.

118 8. Алгебра + геометрия б) Докажите, что точки u1, u2, u3 лежат на одной прямой.

8.37. На плоскости расположены 4 прямые общего положения. Каж дым трем прямым поставим в соответствие окружность, проходящую через точки их пересечения. Докажите, что 4 полученных окружности проходят через одну точку.

3. Тригонометрия 8.38. Вычислите следующие произведения:

а) sin 20 sin 40 sin 60 sin 80;

б) cos 20 cos 40 cos 60 cos 80.

8.39. Докажите равенство:

2 3 4 5 6 7 cos cos cos cos cos cos cos =.

15 15 15 15 15 15 15 8.40. Упростите выражение:

cos a · cos 2a · cos 4a ·... · cos 2n-1a.

8.41. Упростите выражения:

2 3 n а) sin sin sin ·... · sin ;

2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 2 3 (n - 1) б) sin sin sin ·... · sin ;

2n 2n 2n 2n 2 3 n в) cos cos cos ·... · cos ;

2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 2 3 (n - 1) г) cos cos cos ·... · cos.

2n 2n 2n 2n 8.42. Докажите равенство:

tg 20 · tg 40 · tg 80 = 3.

8.43. Решите уравнение:

x x x x x cos cos 2 cos 4 cos 8 cos 16 =.

31 31 31 31 31 8.44. Известно, что sin = 1/5 sin(2 + ). Докажите равенство:

tg( + ) = 3/2 tg.

8.45. Пусть и — острые и положительные углы, удовлетворяю щие равенствам 3 sin2 + 2 sin2 = 1, 3 sin 2 - 2 sin 2 = 0.

3. Тригонометрия Докажите, что + 2 = /2.

8.46. Докажите равенства:

6 - 2 6 + а) sin 15 =, cos 15 = ;

4 -1 + 5 10 + 2 б) sin 18 =, cos 18 =.

4 8.47. Докажите равенства:

30 - 6 5 - 6 + 2 5 18 + 6 5 + 10 - 2 sin 6 =, cos 6 =.

8 8.48. Докажите тождества:

+ + + а) sin + sin + sin - sin( + + ) = 4 sin sin sin ;

2 2 + + + б) cos +cos +cos +cos(++) = 4 cos cos cos.

2 2 8.49. Докажите тождество:

sin( + + ) tg + tg + tg - = tg tg tg.

cos cos cos 8.50. Найдите алгебраическую связь между углами, и, если известно, что tg + tg + tg = tg · tg · tg.

8.51. Докажите, что если + + =, то sin + sin + sin = 4 cos cos cos.

2 2 8.52. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций а) f1(x) = a cos x + b sin x;

б) f2(x) = a cos2 x + b cos x sin x + c sin2 x.

8.53. Пусть cos x + cos y = a, sin x + sin y = b. Вычислите cos(x + y) и sin(x + y).

8.54. Докажите, что функция cos x не является периодической.

8.55. При каких целых значениях n функция y = cos nx · sin x n имеет период 3?

8.56. Рассмотрим функцию f(x) = A cos x + B sin x, где A и B — некоторые постоянные. Докажите, что если f(x) обращается в ноль при двух значениях аргумента x1 и x2 таких, что x1 - x2 = k (k — целое), то функция f(x) равна нулю тождественно.

120 8. Алгебра + геометрия 8.57. Докажите, что если сумма a1 cos(1 + x) + a2 cos(2 + x) +... + an cos(n + x) при x = 0 и x = x1 = k (k — целое) обращается в ноль, то она равна нулю при всех x.

8.58. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = = sin6 x + cos6 x.

8.59. Решите уравнение sin4 x + cos4 x = a.

8.60. Решите уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

8.61. Решите уравнение tg x + tg 2x + tg 3x + tg 4x = 0.

8.62. Пусть и — различные корни уравнения a cos x + b sin x = c.

Докажите, что - c cos2 =.

a2 + b 8.63. Решите систему:

x sin + y sin 2 + z sin 3 = sin 4, x sin + y sin 2 + z sin 3 = sin 4, x sin + y sin 2 + z sin 3 = sin 4.

8.64. Вычислите:

а) arccos sin - ;

б) arcsin cos.

7 8.65. Докажите, что имеют место следующие соотношения:

а) cos arcsin x = 1 - x2;

д) sin arccos x = 1 - x2;

1 б) tg arcctg x = ;

е) ctg arctg x = ;

x x 1 x в) cos arctg x = ;

ж) sin arctg x = ;

1 + x2 1 + x x г) cos arcctg x = ;

з) sin arcctg x =.

1 + x2 1 + x 8.66. Докажите равенства:

а) arctg x + arcctg x = ;

б) arcsin x + arccos x =.

2 8.67. Докажите формулы:

а) arcsin(-x) = - arcsin x, б) arccos(-x) = - arccos x.

8.68. Чему равна сумма arctg x + arctg ?

x 8.69. Докажите равенство:

x + y arctg x + arctg y = arctg +, 1 - xy 3. Тригонометрия где = 0, если xy < 1, = -1, если xy > 1 и x < 0, = +1, если xy > и x > 0.

8.70. Докажите равенство:

1 4 arctg - arctg =.

5 239 8.71. Докажите равенство:

1 1 1 arctg + arctg + arctg + arctg =.

3 5 7 8 8.72. Найдите сумму:

x x x arctg + arctg +... + arctg (x > 0).

1 + 1 · 2x2 1 + 2 · 3x2 1 + n · (n + 1)x 8.73. Найдите сумму:

r r r arctg + arctg +... + arctg, 1 + a1 · a2 1 + a2 · a3 1 + an · an+ если числа a1, a2,..., an+1 образуют арифметическую прогрессию с разностью r (a1 > 0, r > 0).

8.74. Докажите, что числа Фибоначчи {Fn} удовлетворяют соотно шению arcctg F2n - arcctg F2n+2 = arcctg F2n+1. (8.2) Получите отсюда равенство arcctg 2 + arcctg 5 + arcctg 13 +... + arcctg F2n+1 +... =.

8.75. Докажите, что при x > 1 выполняется равенство:

2x 2 arctg x + arcsin =.

1 + x 8.76. Решите уравнение x2 - 8 x arcsin = 2 arcsin -.

8 4 8.77. Докажите формулу:

arcsin 1 - x2, если 0 x 1;

arccos x = - arcsin 1 - x2, если - 1 x 0.

8.78. Докажите равенство:

arcsin x + arcsin y = arcsin(x 1 - y2 + y 1 - x2) +, 122 8. Алгебра + геометрия где = 1, = 0, если xy < 0 или x2 + y2 1;

= -1, = -1, если x2 + y2 > 1, x < 0, y < 0;

= -1, = 1, если x2 + y2 > 1, x > 0, y > 0.

8.79. Докажите, что если 0 < x < 1 и 1 + x 1 - x = 2 arctg, = arctg, 1 - x 1 + x то + =.

8.80. Найдите соотношение между функциями arcsin cos arcsin x и arccos sin arccos x.

8.81. Докажите, что при 0 выполняется неравенство cos sin > sin cos.

8.82. Вычислите 1 sin 2 arctg - arctg.

5 8.83. Теорема синусов. Докажите, что из равенств a b c = =, + + = (8.3) sin sin sin следует:

a = b cos + c cos, b = c cos + a cos, (8.4) c = a cos + b cos.

(См. также 8.12.) 8.84. Покажите, что из соотношений (8.4) и дополнительных усло вий 0 < <, 0 < <, 0 < <, a > 0, b > 0, c > 0 следуют равенства (8.3).

8.85. Теорема косинусов. Докажите, что соотношения (8.4) рав носильны системе a2 = b2 + c2 - 2bc cos, b2 = a2 + c2 - 2ac cos, (8.5) c2 = a2 + b2 - 2ab cos, то есть из равенств (8.4) вытекают равенства (8.5) и наоборот.

8.86. Теорема синусов и первая теорема косинусов для трех гранного угла. Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами,, и противолежащими им двугранными углами A, B, C. Для 3. Тригонометрия него справедлива теорема синусов (8.7) и две теоремы косинусов (8.6), (8.8) (смотрите ниже). После того, как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены путем алгебраических преобразований.

Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что просто даны равенства cos = cos cos + sin sin cos A, cos = cos cos + sin sin cos B, (8.6) cos = cos cos + sin sin cos C, и, кроме того, величины,, и A, B, C заключены между 0 и.

Докажите, что sin A sin B sin C = =. (8.7) sin sin sin 8.87. Вторая теорема косинусов для трехгранного угла и аналог формулы Герона. Докажите, что из системы (8.6) следуют равенства cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos, cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos, (8.8) cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos, A + B + C - p p - p - p - tg = tg tg tg tg, 4 2 2 2 где 2p = + +.

8.88. Формулы Рамануджана. Докажите следующие тождества:

2 4 8 5 - 3 3 3 а) cos + cos + cos = ;

7 7 7 2 4 8 3 9 - 3 3 б) cos + cos + cos =.

9 9 9 (См. также 8.11.) 8.89. Пусть sin 2nx · sin(2n - 1)x ·... · sin(2n - k + 1)x uk =.

sin kx · sin(k - 1)x ·... · sin x Докажите, что числа uk можно представить в виде многочлена от cos x.

(См. также 3.142.) 8.90. Пусть числа uk определены как и в предыдущей задаче. До кажите тождества:

а) 1-u1 +u2 -...+u2n = 2n(1-cos x)(1-cos 3x)·...·(1-cos(2n-1)x);

sin(2n + 2)x · sin(2n + 4)x ·... · sin 4nx б) 1 - u2 + u2 -... + u2 = (-1)n.

1 2 2n sin 2nx · sin 2(n - 1)x ·... · sin 2x Глава Уравнения и системы 1. Уравнения третьей степени 9.1. Докажите, что а) при p 0 график многочлена x3 + px + q = 0 пересекает каждую горизонтальную прямую ровно в одной точке;

б) при p < 0 график пересекает некоторые горизонтальные прямые в трех точках;

в) при p < 0 график имеет один минимум и один максимум при этом абсциссы точек минимума и максимума противоположны.

9.2. Докажите, что произвольное уравнение третьей степени z3 + Az2 + Bz + C = при помощи линейной замены переменной z = x + можно привести к виду x3 + px + q = 0. (9.1) 9.3. Докажите, что график многочлена а) x3 + px;

б) x3 + px + q;

в) ax3 + bx2 + cx + d имеет центр симметрии.

3 9.4. Докажите равенство 2 + 5 + 2 - 5 = 1.

9.5. Решите уравнение x3 + x2 + x = -.

9.6. Докажите, что уравнение x3 + ax2 - b = 0, где a и b вещественные и b > 0, имеет один и только один положитель ный корень.

9.7. Какими должны быть числа a и b, чтобы выполнялось равен ство x3 + px + q = x3 - a3 - b3 - 3abx?

1. Уравнения третьей степени 9.8. Разложите многочлен a3 + b3 + c3 - 3abc на три линейных множителя. (См. также 11.74.) 9.9. Выразите через a и b действительный корень уравнения x3 - a3 - b3 - 3abx = 0.

Найдите представления для двух комплексных корней этого уравнения.

9.10. Докажите, что (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz) = = X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ, если X = ax + cy + bz, Y = cx + by + az, Z = bx + ay + cz.

9.11. Формула Кардано. Получите формулу для корня уравнения x3 + px + q = 0:

q q2 p3 3 q q2 p x = - + + + - - +.

2 4 27 2 4 9.12. Решите уравнение x3 + x - 2 = 0 подбором и по формуле Кардано.

9.13. Выпишите уравнение, корнем которого будет число 3 = 5 2 + 7 - 5 2 - 7.

Запишите число без помощи радикалов.

9.14. При всех значениях параметра a найдите число действитель ных корней уравнения x3 - x - a = 0.

9.15. Решите уравнение x3 - x - = 0. Сколько действительных 3 корней оно имеет?

9.16. Докажите, что если x1, x2, x3 — корни уравнения x3+px+q = 0, то x2 + x2x3 + x2 = x2 + x1x3 + x2 = x2 + x1x2 + x2 = -p.

2 3 1 3 1 (См. также 8.13.) 126 9. Уравнения и системы Определение. Пусть f(x) — некоторый многочлен степени n 2, и пусть f(x) = an(x - 1)... (x - n) — разложение f(x) на линейные множители. Тогда дискриминант D(f) многочлена f(x) определяется так:

D(f) = a2n-2 (j - l)2.

n 1 j

9.17. Дискриминант кубического уравнения. Пусть уравнение x3 + px + q = 0 имеет корни x1, x2 и x3. Выразите через p и q дискри минант этого уравнения D = (x1 - x2)2(x2 - x3)2(x3 - x1)2.

9.18. Докажите, что равенство 4p3 + 27q2 = является необходимым и достаточным условием для совпадения по крайней мере двух корней уравнения x3 + px + q = 0.

9.19. Найдите все действительные значения a и b, при которых уравнения x3 + ax2 + 18 = 0, x3 + bx + 12 = имеют два общих корня, и определите эти корни.

Определение. Кривая 4p3 + 27q2 = 0 на фазовой плоскости Opq называется дискриминантной кривой уравнения x3 + px + q = 0.

Прямые ap + q + a3 = 0, соответствующие трехчленам, имеющим корень a, называются корневыми.

9.20. Каково взаимное расположение на фазовой плоскости Opq дискриминантной кривой и корневых прямых? Имеют ли они общие точки, и, если имеют, то сколько? (См. также 6.22.) 9.21. Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек (p;

q), для которых уравнение x3 + px + q = 0 имеет а) один корень;

б) два корня;

в) три различных корня;

г) три совпадающих корня.

9.22. Изобразите на фазовой плоскости Opq множества точек (p;

q), для которых все корни уравнения x3 + px + q = 0 не превосходят по модулю 1.

9.23. Изобразите на фазовой плоскости Opq множество точек (p;

q), для которых уравнение x3 + px + q = 0 имеет три различных корня, 1. Уравнения третьей степени принадлежащих заданному интервалу (a;

b). Рассмотрите, например, случай, когда a = -2, b = 4.

9.24. Метод Виета. Когда 4p3 +27q2 < 0, уравнение x3 +px+q = имеет три действительных корня (неприводимый кубического уравне ния), но для того, чтобы их найти по формуле Кардано, необходимо использование комплексных чисел. Однако можно указать все три кор ня в явном виде через тригонометрические функции.

а) Докажите, что при p < 0 уравнение 9.1 заменой x = kt сводится к уравнению 4t3 - 3t - r = 0 (9.2) от переменной t.

б) Докажите, что при 4p3 + 27q2 0 решениями уравнения (9.2) будут числа + 2 + t1 = cos, t2 = cos, t3 = cos, 3 3 где = arccos r.

9.25. Решите уравнения а) x3 - 3x - 1 = 0;

б) x3 - 3x - 3 = 0.

Укажите в явном виде все корни этих уравнений.

9.26. Докажите, что если корни многочлена f(x) = x3 + ax2 + bx + c образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то мно гочлен f (x) = 3x2 + 2ax + b имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.

9.27. Докажите, что если уравнения x3 + px + q = 0, x3 + p x + q = имеют общий корень, то (pq - qp )(p - p )2 = (q - q )3.

9.28. а) Докажите, что при 4p3 + 27q2 0 уравнение 9.1 заменой x = y + сводится к уравнению ay3 - 3by2 - 3ay + b = 0 (9.3) от переменной y.

б) Докажите, что при решениями уравнения (9.3) будут числа + 2 + y1 = tg, y2 = tg, y1 = tg, 3 3 128 9. Уравнения и системы где определяется из условий:

b a sin =, cos =.

a2 + b2 a2 + b 9.29. Метод Феррари. Этот метод позволяет решать произвольное уравнение 4-й степени путем сведения его к решению вспомогательного кубического уравнения и двух квадратных уравнений.

а) Докажите, что любое уравнение 4 степени можно привести к виду x4 = Ax2 + Bx + C. (9.4) б) Введем действительный параметр и перепишем уравнение (9.4) в виде x4 + 2x2 + 2 = (A + 2)x2 + Bx + (C + 2). (9.5) Докажите, что для некоторого -A/2 правая часть равенства (9.5) превращается в полный квадрат (по переменной x). Пользуясь равен ством (9.5), опишите метод нахождения корней уравнения (9.4).

2. Тригонометрические замены 9.30. Решите систему x2 + y2 = 1, 4xy(2y2 - 1) = 1.

9.31. Решите систему y = 2x2 - 1, z = 2y2 - 1, x = 2z2 - 1.

9.32. Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x и y так, чтобы выполнялось неравенство x - y 0 < <.

1 + xy 9.33. Среди всех решений системы x2 + y2 = 4, z2 + t2 = 9, xt + yz = 6, выберете те, для которых величина x + z принимает наибольшее значе ние.

2. Тригонометрические замены 9.34. Решите уравнения а) 1 - x2 = 4x3 - 3x;

в) 1 - x = 2x2 - 1 + 2x 1 - x2;

x 35 1 - |x| б) x + = ;

г) = 2x2 - 1.

12 x2 - 9.35. Последовательность чисел {hn} задана условиями:

1 1 - 1 - h n h1 =, hn+1 = (n 1).

2 Докажите неравенство hk < 1,03.

k= 9.36. Сколько корней на отрезке [0;

1] имеет уравнение 8x(1 - 2x2)(8x4 - 8x2 + 1) = 1?

9.37. Пусть |x1| 1 и |x2| 1. Докажите неравенство x1 + x 1 - x2 + 1 - x2 2 1 -.

1 9.38. Решите уравнение |2x - 1 - 4x2| = 2(8x2 - 1).

9.39*. Числа x, y и z удовлетворяют соотношению xy + yz + xz = 1.

Докажите, что существуют числа,, такие, что + + = и выполняются равенства x = tg(/2), y = tg(/2), z = tg(/2).

9.40. Решите системы:

x + 3y = 4y3, 1 1 3 x + = 4 y + = 5 z +, x y z a) y + 3z = 4z3, в) xy + yz + xz = 1;

z + 3x = 4x3;

2x + x2y = y, - x2 2y 1 - z = ·, б) 2y + y2z = z, г) 1 + x2 1 + y2 1 + z xy + yz + xz = 1.

2z + z2x = x;

9.41. Пусть xy + yz + xz = 1. Докажите равенство:

x y z 4xyz + + =.

1 - x2 1 - y2 1 - z2 (1 - x2)(1 - y2)(1 - z2) 9.42. Решите систему:

130 9. Уравнения и системы tg x · tg z = 3, tg y · tg z = 6, x + y + z =.

9.43. Решите систему:

y = x(4 - x), z = y(4 - y), x = z(4 - z).

9.44. Решите уравнение:

1 + 2x 1 - x + 2x2 = 1.

3. Итерации Определение. Итерацией называется результат повторного при менения какой-либо математической опреации. Так, если y = f(x) = = f1(x) есть некоторая функция от x, то функции f2(x) = f(f1(x)), f3(x) = f(f2(x)),..., fn(x) = f(fn-1(x)) называются соответственно вто рой, третьей,..., n-й итерациями функции f(x). При отыскании предела последовательности xn = fn(x0) часто оказывается полезной следующая теорема.

Теорема Вейерштрасса. Всякая возрастающая последователь ность, ограниченная сверху, имеет предел. Аналогично, всякая убыва ющая последовательность, ограниченная снизу, также имеет предел.

(См. [7].) 9.45. Имеются два сосуда. В них разлили 1 л. воды. Из первого сосу да переливают половину воды во второй, затем из второго переливают половину оказавшейся в нем воды в первый, затем из первого сосуда переливают половину оказавшейся в нем воды во второй и т. д. Дока жите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в них будет 2/3 л. и 1/3 л. с точностью до 1 миллилитра.

9.46. Вавилонский алгоритм вычисления 2. Последователь ность чисел {xn} задана условиями:

1 x0 = 1, xn+1 = xn + (n 0).

2 xn Докажите, что lim xn = 2. (См. также 9.65.) n 3. Итерации 9.47. К чему будет стремиться последовательность из предыдущей задачи, если в качестве начального условия выбрать x0 = -1?

9.48. Итерационная формула Герона. Докажите, что последо вательность чисел {xn}, заданная условиями 1 k x0 = 1, xn+1 = xn +, (n 0), 2 xn сходится. Найдите предел этой последовательности.

9.49. Пусть a и k > 0 произвольные числа. Определим последова тельность {an} равенствами 1 k a0 = a, an+1 = an + (n 0).

2 an Докажите, что при любом неотрицательном n выполняется равенство n an - k a - k =.

an + k a + k 9.50. Зафиксируем числа a0 и a1. Построим последовательность {an} в которой an + an- an+1 = (n 1).

Выразите an через a0, a1 и n.

9.51. Старый калькулятор I. а) Предположим, что мы хотим найти x (x > 0) на калькуляторе, который кроме четырех обычных арифметических действий умеет находить x. Рассмотрим следующий алгоритм. Строится последовательность чисел {yn}, в которой y0 — про извольное положительное число, например, y0 = x, а остальные элементы определяются соотношением yn+1 = xyn (n 0).

Докажите, что lim yn = x.

n б) Постройте аналогичный алгоритм для вычисления корня пятой степени.

9.52. Старый калькулятор II. Производная функции ln x при x = 1 равна 1. Отсюда ln(1 + x) ln(1 + x) - ln lim = lim = 1.

x0 x x0 (1 + x) - 132 9. Уравнения и системы Воспользуйтесь этим фактом для приближенного вычисления нату рального логарифма числа N. Как и в задаче 9.51, разрешается исполь зовать стандартные арифметические действия и операцию извлечения квадратного корня.

9.53. Метод итераций. Для того, чтобы приближенно решить уравнение, допускающее запись f(x) = x, применяется метод итераций.

Сначала выбирается некоторое число x0, а затем строится последова тельность {xn} по правилу xn+1 = f(xn) (n 0). Докажите, что если эта последовательность имеет предел x = lim xn, и функция f(x) непре n рывна, то этот предел является корнем исходного уравнения: f(x) = x.

Определение. Геометрической интерпретацией итерационного про цесса служит итерационная ломаная. Для ее построения на плос кости Oxy рисуется график функции f(x) и проводится биссектриса координатного угла — прямая y = x. Затем на графике функции отмечаются точки A0(x0, f(x0)), A1(x1, f(x1)),..., An(xn, f(xn)),..., а на биссектрисе координатного угла — точки B0(x0, x0), B1(x1, x1),...

..., Bn(xn, xn),... Ломаная B0A0B1A1... BnAn... называется итера ционной.

9.54. Постройте итерационные ломаные для следующих данных:

x а) f(x) = 1 +, x0 = 0, x0 = 8;

б) f(x) =, x0 = 2;

x в) f(x) = 2x - 1, x0 = 0, x0 = 1,125;

3x г) f(x) = - + 6, x0 = ;

2 д) f(x) = x2 + 3x - 3, x0 = 1, x0 = 0,99, x0 = 1,01;

е) f(x) = 1 + x, x0 = 0, x0 = 8;

x3 5x2 25x ж) f(x) = - + + 3, x0 = 3.

3 2 9.55. Последовательность чисел {an} задана условиями a1 = 1, an+1 = an + (n 1).

a n Верно ли, что эта последовательность ограничена?

9.56. Для последовательности {an} an lim an+1 - = 0.

n Докажите, что lim an = 0.

n 3. Итерации 9.57. Числа a1, a2,..., ak таковы, что равенство lim (xn + a1xn-1 +... + akxn-k) = n возможно только для тех последовательностей {xn}, для которых lim xn = 0. Докажите, что все корни многочлена n P() = k + a1k-1 + a2k-2 +... + ak по модулю меньше 1.

9.58. Исследуйте последовательности на сходимость:

а) xn+1 =, x0 = 1;

1 + xn б) xn+1 = sin xn, x0 = a (0;

);

в) xn+1 = a + x, a > 0, x0 = 0.

9.59. Что останется от прямоугольника? Золотой прямоуголь ник — это такой прямоугольник, стороны a и b которого находят ся в пропорции золотого сечения, то есть удовлетворяют равенству a : b = b : (a - b). Представим, что такой прямоугольник вырезан из бумаги и лежит на столе, обращенный к нам своей более длинной стороной. Отсечем по левую сторону прямоугольника наибольший квадрат, который можно из него вырезать;

остаток будет снова золотым прямоугольником. Далее становимся по левую сторону стола так, чтобы снова иметь перед собой более длинную сторону и поступаем с новым прямоугольником так же, как и с предыдущим. Таким образом обходим стол вокруг по направлению хода часовой стрелки и по очереди отсекаем квадраты. Каждая точка прямоугольника за исключением одной, будет раньше или позже отсечена. Определите положение этой исключительной точки.

9.60. Алгоритм приближенного вычисления a. Последова тельность {an} определяется условиями:

1 a a0 = a > 0, an+1 = 2an + (n 0).

a n Докажите, что lim an = a.

n 9.61. Укажите способ приближенного нахождения положительного корня уравнения x3 - x - 1 = 0.

9.62. Последовательность чисел {an} задана условиями 3an a1 = 1, an+1 = + (n 1).

4 an 134 9. Уравнения и системы Докажите, что а) последовательность {an} ограничена;

б) |a1000 - 2| < (3/4)1000.

9.63. Найдите предел последовательности, которая задана условия ми an a n a1 = 2, an+1 = + (n 1).

2 9.64. Сходимость итерационного процесса. Предположим, что функция f(x) отображает отрезок [a;

b] в себя, и на этом отрезке |f (x)| q < 1. Докажите, что уравнение f(x) = x имеет на отрезке [a;

b] единственный корень x. Докажите, что при решении этого уравнения методом итераций будут выполняться неравенства:

qn |xn+1 - xn| |x1 - x0| · qn, |x - xn| |x1 - x0| · (n 0).

1 - q 9.65. Докажите, что для чисел {xn} из задачи 9.46 можно в явном виде указать разложения в цепные дроби:

xn = [1;

2,..., 2 ] (n 0).

2n- Оцените разность |xn - 2|. (См. также 9.81) 9.66. С какой гарантированной точностью вычисляется k при по мощи алгоритма задачи 9.48 после пяти шагов?

9.67. Решите систему уравнений 2x = x2, 1 + x 2x = x3, 1 + x 2x = x1.

1 + x 9.68. Решите систему:

y2 = 4x3 + x - 4, z2 = 4y3 + y - 4, x2 = 4z3 + z - 4.

9.69. Последовательность чисел {xn} задана условиями:

x1 -a, xn+1 = a + xn.

3. Итерации Докажите, что последовательность {xn} монотонна и ограничена. Най дите ее предел.

9.70. Игра на монотонности. Докажите, что для монотонно воз растающей функции f(x) уравнения x = f(f(x)) и x = f(x) равносильны.

9.71. Решите уравнение a + a + a + x = x.

9.72. Арифметико-геометрическое среднее. Пусть a и b — два положительных числа, причем a > b. Построим по этим числам две последовательности {an} и {bn} по правилам:

an + bn a0 = a, b0 = b, an+1 =, bn+1 = anbn (n 0).

Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.

Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чи сел a, b и обозначается µ(a, b).

9.73. Арифметико-гармоническое среднее. Пусть a и b — два положительных числа, и a < b. Определим две последовательности чисел {an} и {bn} формулами:

2anbn an + bn a0 = a, b0 = b, an+1 =, bn+1 = (n 0).

an + bn а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел.

Этот предел называется арифметико-гармоническим средним чисел a и b.

б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел a и b.

в) Пусть a = 1, b = k. Как последовательность {bn} будет связана с последовательностью {xn} из задачи 9.48?

9.74. Геометрико-гармоническое среднее. Назовем геометри ко-гармоническим средним чисел a и b общий предел последовательно стей {an} и {bn}, построенных по правилу 2anbn a0 = a, b0 = b, an+1 =, bn+1 = anbn (n 0).

an + bn Обозначим его через (a, b). Докажите, что величина (a, b) связана с µ(a, b) (см. задачу 9.72) равенством 1 1 = µ,.

(a, b) b a 136 9. Уравнения и системы 9.75. Найдите все действительные решения системы - x2 = x2, - x2 = x3,..........

- x2 = xn, n- 1 - x2 = x1.

n 9.76. Найдите с точностью до 0,01 сотый член x100 последователь ности {xn}, если а) x1 [0;

1], xn+1 = xn(1 - xn), (n > 1);

б) x1 [0,1;

0,9], xn+1 = 2xn(1 - xn), (n > 1).

9.77. Докажите, что касательная к графику функции f(x), постро енная в точке с координатами (x0;

f(x0)) пересекает ось Ox в точке с координатой f(x0) x0 -.

f (x0) 9.78. Метод Ньютона. Для приближенного нахождения корней уравнения f(x) = 0 Ньютон предложил искать последовательные при ближения по формуле f(xn) xn+1 = xn -, f (xn) (начальное условие x0 следует выбирать поближе к искомому корню).

Докажите, что для функции f(x) = x2 - k и начального условия x0 > 0 итерационный процесс всегда будет сходиться к k, то есть lim xn = k.

n Как будет выражаться xn+1 через xn? Сравните результат с форму лой из задачи 9.48.

9.79. Метод Ньютона и числа Фибоначчи. Применим метод Ньютона для приближенного нахождения корней многочлена f(x) = x2 - x - 1.

Какие последовательности чисел получатся, если а) x0 = 1;

б) x0 = 0?

К каким числам будут сходиться эти последовательности? Опишите разложения чисел xn в цепные дроби.

9.80. Пусть p и q — отличные от нуля действительные числа и p2 - 4q > 0. Докажите, что следующие последовательности сходятся:

3. Итерации q а) y0 = 0, yn+1 = (n 0);

p - yn q б) z0 = 0, zn+1 = p - (n 0).

zn Установите связь между предельными значениями этих последова тельностей y, z и корнями уравнения x2 - px + q = 0.

9.81. Метод Ньютона и цепные дроби. Предположим, что цеп ные дроби q q = p - и = q q p - p q q p - p......

сходятся. Согласно задаче 9.80, они будут сходиться к корням многочле на x2 - px + q = 0. С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона:

x2 - pxn + q x2 - q n n xn+1 = xn - =.

2xn - p 2xn - p Докажите, что если x0 совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби или, то числа x1, x2,... также будут совпадать с подходя щими дробями к или. (См. также 9.65.) 9.82. Метод Ньютона не всегда позволяет приблизиться к корню уравнения f(x) = 0. Для многочлена f(x) = x(x - 1)(x + 1) найдите начальное условие x0 такое, что f(x0) = x0 и x2 = x0.

9.83. Метод Лобачевского. Пусть многочлен P(x) = xn + an-1xn-1 +... + a1x + a имеет корни x1, x2,..., xn, причем |x1| > |x2| >... > |xn|. В задаче 6. был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа x2, x2,..., x2. На основе этого рассужде 1 2 n ния Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится последова тельность многочленов P0(x), P1(x), P2(x),... такая, что P0(x) = P(x) и k k многочлен Pk(x) имеет корни x2,..., x2. Пусть 1 n Pk(x) = xn + a(k) xn-1 +... + a(k)x + a(k).

n-1 1 Докажите, что k 1/ a(k) k n-l а) lim (-a(k) )1/2 = x1;

б) lim - = xl (1 l n).

n- k k a(k) n-l+ 138 9. Уравнения и системы 9.84. Метод Лобачевского и числа Люка. Постройте последо вательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского применить для приближенного нахождения корней многочлена x2-x-1.

Какие последовательности будут сходиться к корням x1 и x2, если |x1| > |x2|?

9.85. Метод Архимеда. Для приближенного нахождения числа рассмотрим окружность радиуса 1/2. Опишем около нее и впишем в нее правильные n-угольники. Обозначим их периметры через Pn (для описанного) и pn (для вписанного).

а) Найдите P4, p4, P6 и p6.

б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотноше ния:

2Pnpn P2n =, p2n = pnP2n (n 3).

Pn + pn в) Найдите P96 и p96. Докажите неравенства 10 3 < < 3.

71 9.86. Формула Ферма. Докажите равенство 2 1 1 1 1 1 1 1 1 = · + · + +...

2 2 2 2 2 2 2 2 9.87. Последовательность чисел x0, x1, x2,... задается условиями n x0 = 1, xn+1 = ax (n 0).

Найдите наибольшее число a, для которого эта последовательность име ет предел. Чему равен этот предел для такого a?

9.88. Последовательность чисел a1, a2, a3,... задается условиями a1 = 1, an+1 = an + (n 0).

a n Докажите, что а) эта последовательность неограничена;

б) a9000 > 30;

a n в) найдите предел lim.

n n 9.89*. Тройки чисел (xn, yn, zn) (n 1) строятся по правилу:

x1 = 2, y1 = 4, z1 =, 2xn 2yn 2zn xn+1 =, yn+1 =, zn+1 = (n 1).

x2 - 1 y2 - 1 z2 - n n n 4. Системы линейных уравнений а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неограниченно продолжен.

б) Может ли на некотором шаге получится тройка чисел (xn, yn, zn), для которой xn + yn + zn = 0?

4. Системы линейных уравнений 9.90. Коля Васин гулял после школы пять часов. Сначала он шел по горизонтальной дороге, затем поднялся в гору и, наконец, по старо му маршруту возвратился назад в исходный пункт. Его скорость бы ла 4 км/ч на горизонтальном участке пути, 3 км/ч при подъеме в гору и 6 км/ч — при спуске с горы. Какое расстояние прошел Коля Васин?

Метод Гаусса. Предположим, что имеется система из n линейных уравнений от переменных x1,..., xn. Одним из возможных методов ре шения такой системы является метод Гаусса. Он заключается в том, что с помощью первого уравнения переменная x1 исключается из остальных уравнений. Затем с помощью нового второго уравнения переменная x2 исключается из всех следующих уравнений. И так далее, пока из последнего уравнения не получится значение последней переменной.

После чего остальные переменные находятся в обратном порядке.

9.91. Решите системы x - 3y + 2z - t = 3, x + 2y + 3z = 2, 2x + 4y - 3z + t = 5, x - y + z = 0, а) в) 4x - 2y + z + t = 3, x + 3y - z = -2, 3x + y + z - 2t = 10;

3x + 4y + 3z = 0;

x + 2y + 3z - t = 0, x + 2y + 3z - t = 0, x - y + z + 2t = 4, x - y + z + 2t = 4, б) г) x + 5y + 5z - 4t = -4, x + 5y + 5z - 4t = -4, x + 8y + 7z - 7t = -8;

x + 8y + 7z - 7t = 6.

9.92. На рисунках изображены разбиения прямоугольников на квад раты. Найдите стороны этих квадратов, если в первом случае сторона наименьшего квадрата равна 1, а во втором — 2.

а) б) 140 9. Уравнения и системы 9.93. За круглым столом сидят 4 гнома. Перед каждым стоит круж ка с молоком. Один из гномов переливает 1/4 своего молока соседу справа. Затем сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и, наконец, четвертый гном 1/4 ока завшегося у него молока наливает первому. Во всех кружках вместе молока 2л. Сколько молока было первоначально в кружках, если а) в конце у всех гномов молока оказалось поровну? б) в конце у всех гномов оказалось молока столько, сколько было в начале?

9.94. Решите системы уравнений. Для каждой из них выясните, при каких значениях параметров система не имеет решений, а при каких имеет бесконечно много решений.

ax + y = a2, ax + y = a3, а) д) x + ay = 1;

x + ay = 1;

ax + ay = a2, ax - ay = ab, б) е) x + ay = 2;

2ax - y = a;

(a + 1)x + 8y = 4a, ax + by = a, в) ж) ax + (a + 3)y = 3a - 1;

bx + ay = b;

a2x + (2 - a)y = 4 + a2, |a|x - y = 1, г) з) ax + (2a - 1)y = a5 - 2;

x + |a|y = a.

9.95. Может ли система линейных уравнений с действительными коэффициентами иметь в точности два различных решения?

9.96. Составьте систему, состоящую из двух линейных уравнений, для которой строки (1, 1, 1, 1) и (1, 2, 2, 1) служат решениями.

9.97. Имеется система уравнений x + y + z = 0, x + y + z = 0, x + y + z = 0.

Два человека вписывают по очереди вместо звездочек числа. Докажите, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.

9.98. Исследуйте системы уравнений:

4. Системы линейных уравнений 2x + 3y = 5, x + ay + a2z = a3, а) x - y = 2, г) x + by + b2z = b3, x + 4y = a;

x + cy + c2z = c3;

x + ay = 1, x + y + z = 1, б) 2x + 4y = 2, д) ax + by + cz = d, bx + 4y = 2;

a2x + b2y + c2z = d2;

ax + by = a, ax + by + cz = a + b + c, в) (a - 2)x + y = 3, е) bx + cy + az = a + b + c, x + y = 1;

cx + ay + bz = a + b + c.

9.99. Решите системы уравнений:

x1 + x2 + x3 = 0, x1 + x2 + x3 + x4 = 2a1, x2 + x3 + x4 = 0, x1 + x2 - x3 - x4 = 2a2,.............

а) в) x1 - x2 + x3 - x4 = 2a3, x99 + x100 + x1 = 0, x1 - x2 - x3 + x4 = 2a4;

x100 + x1 + x2 = 0;

x + y + z = a, x1 + 2x2 + 3x3 +... + nxn = a1, x + y + t = b, nx1 + x2 + 2x3 +... + (n - 1)xn = a2, б) г)........................

x + z + t = c, 2x1 + 3x2 + 4x3 +... + xn = an.

y + z + t = d;

9.100. Имеются 13 гирь. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть на каждую, что наступит равновесие. Докажите, что все гири имеют одну и ту же массу, если из вестно, что: а) масса каждой гири равна целому числу граммов;

б) масса каждой гири равна рациональному числу граммов;

в) масса каждой гири может быть равна любому действительному (неотрицательному) числу.

9.101. Известно, что a1 - 4a2 + 3a3 0, a2 - 4a3 + 3a4 0,..............

- 4a100 + 3a1 0, a a100 - 4a1 + 3a2 0.

Пусть a1 = 1;

чему равны тогда числа a2,..., a100?

Глава Неравенства В этой главе все величины, входящие в неравенства (за исключением специально оговоренных случаев), будут считаться положительными.

1. Различные неравенства В задачах 10.1 – 10.37 докажите неравенства.

10.1. x + 1/x 2.

10.2. Неравенство между средним квадратическим и сред ним арифметическим.

a2 + b2 a + b.

2 10.3. (a + b + c + d)2 4(a2 + b2 + c2 + d2).

10.4. (a + c)(b + d) ab + cd.

a + 3b 10.5. ab3.

a + 2b + 3c + 4d 10.6. ab2c3d4.

10.7. x2 + y2 + z2 xy + yz + xz.

10.8. x2 + y2 + 1 xy + x + y.

10.9. x2 + x2 + x2 + x2 + x2 x1(x2 + x3 + x4 + x5).

1 2 3 4 10.10. x4 + y4 + 8 8xy.

3 a + b + c 10.11..

1/a + 1/b + 1/c 10.12. (ab + bc + ac)2 3abc(a + b + c).

1 4 x x x 10.13. 2 + 2 2 · 2.

10.14. ab + bc + ac 0 при a + b + c = 0.

x + y 10.15. < 1, при |x|, |y| < 1.

1 + xy 1. Различные неравенства 10.16. xy x + y, при условии, что + = 1 (, > 0).

10.17. a2b2 + b2c2 + a2c2 abc(a + b + c).

10.18. (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) 16abc.

10.19. (a + b + c + d + 1)2 4(a2 + b2 + c2 + d2), при a, b, c, d [0;

1].

10.20. x4 + y4 + z2 + 1 2x(xy2 - x + z + 1).

10.21. ( x + y)8 64xy(x + y)2 (x, y 0).

10.22. (a + b)(b + c)(a + c) 8abc.

10.23. (a + b + c)(a2 + b2 + c2) 9abc.

10.24. a2(1 + b4) + b2(1 + a4) (1 + a4)(1 + b4).

10.25. a4 + b4 + c4 abc(a + b + c).

10.26. a3b + b3c + c3a abc(a + b + c).

10.27. 2(a3 + b3 + c3) ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c).

ak a1 +... + an ak 10.28. min max.

1 k n bk b1 +... + bn 1 k n bk x y z 10.29. 1 + 1 + 1 + 8.

y z x a b c 10.30. + + 3.

b c a a b c 10.31. + +.

b + c a + c a + b 1 1 1 10.32. + +.

b + c a + c a + b 2(a + b + c) 10.33. 3(a1b1 + a2b2 + a3b3) (a1 + a2 + a3)(b1 + b2 + b3) при a1 a2 a3, b1 b2 b3.

10.34. Докажите, что если a1 a2... an, b1 b2... bn, то наибольшая из сумм вида a1bk + a2bk +... + anbk 1 2 n (k1, k2,..., kn — перестановка чисел 1, 2,..., n), это сумма a1b1 + a2b2 +... + anbn, а наименьшая — сумма a1bn + a2bn-1 +... + anb1.

144 10. Неравенства 10.35. Неравенство Чебышёва. Докажите, что a1b1 + a2b2 +... + anbn a1 + a2 +... + an b1 + b2 +... + bn ·.

n n n 10.36. Докажите неравенства:

a2 + b2 a2 + c2 b2 + c2 a3 b3 c a + b + c + + + +.

2c 2b 2a bc ac ab 10.37. Неравенство Коробова. Докажите, что при a1 a2... an выполняется неравенство a1 a2 an a2 + a2 +... + a2 +... +.

+ 1 2 n 1 + 0 2 + 1 n + n - 10.38. Докажите неравенство (1+x1)... (1+xn) 2n, где x1... xn = 1.

10.39. Докажите, что для любого натурального n справедливо нера венство 1 1 + +... + > 1.

n + 1 n + 2 3n + 10.40. Докажите, что для любого натурального n сумма 1 1 + +... + n + 1 n + 2 2n лежит в пределах от 1/2 до 3/4.

1 10.41*. Даны рациональные положительные p, q, причем + = 1.

p q Докажите, что для положительных a и b выполняется неравенство ap bq ab +.

p q 10.42. Найдите наименьшую величину выражения x2 + (1 - x2)2 + x2 + (1 - x3)2 +... + x2 + (1 - x1)2.

1 2 2n 10.43. Для натурального n докажите неравенства:

n + n а) n n! ;

n n n n б) < n! < ;

3 n n n n в) < n! < n.

e e 2. Суммы и минимумы 10.44. Докажите, что при x 0;

выполняется неравенство 1 0 < - < 1.

sin2 x x (См. также 7.81.) 10.45. Докажите, что для любых натуральных m и n хотя бы одно m n из чисел n, m не больше 3.

...

10.46. Как расставить скобки в выражении 22, чтобы оно было максимальным?

10.47. Докажите справедливость оценок:

1 1 1 а) + +... + (n 1);

n + 1 n + 2 2n n 1 б) 1 + +... + n (n 1);

2 2 2n - 1 1 3 99 в) < · ·... · < ;

15 2 4 100 1 3 99 г) · ·... · <.

2 4 100 x y z 10.48. Докажите, что уравнение + + = 1 неразрешимо в y z x натуральных числах.

2. Суммы и минимумы 10.49. Сумма минимумов и минимум суммы. Предположим, что имеется набор функций f1(x),..., fn(x), определенных на отрезке [a;

b]. Докажите неравенство:

min f1(x) +... + min fn(x) min (f1(x) +... + fn(x)).

x[a;

b] x[a;

b] x[a;

b] 10.50. Докажите неравенство:

b2 b2 (b1 +... + bn) 1 n +... +.

a1 an a1 +... + an 10.51. Выведите из неравенства предыдущей задачи а) неравенство Коши – Буняковского:

(c1d1 +... + cndn)2 (c2 +... + c2 )(d2 +... + d2 );

1 n 1 n б) неравенство между средним арифметическим и средним квадра тическим:

a1 +... + an a2 +... + a 1 n ;

n n 146 10. Неравенства в) неравенство между средним арифметическим и средним гармо ническим:

n b1 +... + bn.

1/b1 +... + 1/bn n 10.52. Докажите неравенство:

b b b b1 +... + bn 1+...+bn b1 1 bn n....

a1 +... + an a1 an 10.53. Используя результат предыдущей задачи, докажите неравен ства:

a1 +... + an n а) a1... an ;

b n b1 +... + bn 1+...+bn n б) bb... bb ;

1 n n n в) cb... cb c1b1 +... + cnbn, где b1 +... + bn = 1.

1 n 10.54. Спортпрогноз. Предположим, что ожидается баскетболь ный матч между двумя командами A и B, в котором возможно только два исхода: одна из команд выигрывает. Две букмекерские конторы принимают ставки с разными коэффициентами k(1), k(1), k(2), k(2). На A B A B пример, если игрок сделал ставку N в первой конторе на команду A, и эта команда выиграла, то игрок получает сумму k(1) · N. Пусть A 3 k(1) = 2, k(1) =, k(2) =, k(2) = 3.

A B A B 2 Как, имея капитал N, распорядиться им оптимальным образом, то есть как сделать ставки в двух конторах, чтобы получить максимальный гарантированный выигрыш?

Проанализируйте случай произвольных коэффициентов k(1), k(1), A B k(2), k(2) и найдите связь между максимальным гарантированным вы A B игрышем и средним гармоническим наибольших коэффициентов.

3. Выпуклость Определение. Пусть — график дифференцируемой функции f(x), заданной на отрезке [a;

b]:

= {(x, y): x [a;

b], y = f(x)}.

Функция f(x) называется выпуклой вверх, если для любой точки T кривая лежит ниже касательной к, проведенной в точке T. Анало гично определяется выпуклость вниз.

Достаточным условием выпуклости функции вниз (вверх) является положительность (отрицательность) второй производной.

3. Выпуклость 10.55. Докажите, что если функция f(x) выпукла вверх на отрезке [a;

b], то для любых различных точек x1, x2 из [a;

b] и любых положи тельных 1, 2 таких, что 1 + 2 = 1 выполняется неравенство:

f (1x1 + 2x2) > 1f(x1) + 2f(x2).

10.56. Неравенство Иенсена. Докажите, что если функция f(x) выпукла вверх на отрезке [a;

b], то для любых различных точек x1, x2,..., xn (n 2) из [a;

b] и любых положительных 1, 2,..., n таких, что 1 + 2 +... + n = 1, выполняется неравенство:

f(1x1 +... + nxn) > 1f(x1) +... + nf(xn).

10.57. Докажите, что для любых x1,..., xn [0;

] справедливо неравенство:

x1 +... + xn sin x1 +... + sin xn sin.

n n 10.58. Докажите неравенства:

а) n(x1 +... + xn) ( x1 +... + xn)2;

n3 1 б) +... + ;

(x1 +... + xn)2 x2 x 1 n в) nx1... xn xn +... + xn;

1 n г) Неравенство Минковского.

1 (x1 +... + xn) +... + n2.

x1 xn 10.59. Докажите, что если x + y + z = 6, то x2 + y2 + z2 12.

10.60. Неравенство Гёльдера. Пусть p и q — положительные чис ла, причем 1/p + 1/q = 1. Докажите, что a1b1 + a2b2 +... + anbn (ap + ap +... + ap)1/p(aq + aq +... + aq)1/q.

1 2 n 1 2 n Определение. Для любого действительного = 0 средним степен ным чисел x1,..., xn порядка называется число 1/ x +... + x 1 n S(x) =.

n Частными случаями средних степенных являются: среднее гармониче ское ( = -1), среднее арифметическое ( = 1), среднее квадратическое ( = 2). Средним степенным порядка 0 будем считать среднее геомет n рическое S0(x) = x1... xn.

148 10. Неравенства 10.61. Докажите, что выполняются классические неравенства меж ду средними степенными:

S-1(x) S0(x) S1(x) S2(x).

10.62. Докажите, что если < и = 0, то S(x) S(x).

10.63*. Докажите, что если < 0 <, то S(x) S0(x) S(x), причем lim S(x) = lim S(x) = S0(x).

-0 + 10.64. Докажите, что если <, то S S, причем равенство возможно только когда x1 = x2 =... = xn.

4. Симметрические неравенства 10.65. Докажите неравенства:

а) x4 + y4 + z4 x2yz + xy2z + xyz2;

б) x3 + y3 + z3 3xyz;

в) x4 + y4 + z4 + t4 4xyzt;

г) x5 + y5 x3y2 + x2y3.

Определение. Пусть имеется несколько неотрицательных перемен ных — для определенности, три переменные x, y и z. Наборы из такого же количества целых неотрицательных чисел, = (k, j, i), где k j i, будем называть показателями. Через T(x, y, z) = T(k,j,i)(x, y, z) будем обозначать симметрический многочлен T(x, y, z) = xaybzc {a,b,c}={k,j,i} (суммирование ведется по всем наборам {a, b, c} в количестве 3! явля ющимися перестановками чисел {k, j, i}).

Например неравенства из задачи 10.65 можно переписать в виде:

а) T(4,0,0)(x, y, z) T(2,1,1)(x, y, z);

б) T(3,0,0)(x, y, z) T(1,1,1)(x, y, z);

в) T(4,0,0,0)(x, y, z, t) T(1,1,1,1)(x, y, z, t);

г) T(5,0)(x, y) T(3,2)(x, y).

10.66. Запишите через многочлены вида T неравенства а) x4y + y4x x3y2 + x2y3;

б) x3yz + y3xz + z3xy x2y2z + y2z2x + z2x2y.

4. Симметрические неравенства Определение. Диаграммой Юнга, соответствующей показате лям = (1,..., n) называется «лестница» из n ступенек, у которой высота k-й ступеньки равна k, а ширина — единице. Например Число s = 1 + 2 +... + n называется весом диаграммы Юнга.

10.67. Напишите многочлены T и нарисуйте соответствующие им диаграммы Юнга для следующих наборов :

а) (3, 2);

б) (3, 2, 1);

в) (3, 3, 0, 0);

г) (4, 1, 1, 0).

10.68. Найдите число всех диаграмм Юнга с весом s, если а) s = 4;

б) s = 5;

в) s = 6;

г) s = 7.

Определение. Пусть = (1,..., n) и = (1,..., n) — два набора показателей с равной суммой s = 1 +... + n = 1 +... + n.

Будем говорить, что мажорирует ( ), если справедлива си стема неравенств:

1 1, 1 + 2 1 + 2,.....................

1 +... + n-1 1 +... + n-1, 1 +... + n = 1 +... + n.

В этом случае будем также говорить, что диаграмма Юнга, соответ ствующая набору, мажорирует диаграмму Юнга, соответствующую набору.

Например, (4, 2, 1) (3, 2, 2), так как 4 3, 4 + 2 3 + 2, 4 + 2 + 1 = = 3 + 2 + 2.

10.69. Докажите, что = (1, 2, 3) = (1, 2, 3) тогда и только тогда, когда можно получить из проделав несколько (может быть один раз или ни одного) операцию (k - 1, j + 1, i) (k, j, i) - (k - 1, j, i + 1) (k, j - 1, i + 1) Эту операцию можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга.

150 10. Неравенства 10.70. Нарисуйте все лестницы из s = 4 кирпичей в порядке убы вания, начиная с самой крутой (4, 0, 0, 0), и заканчивая самой пологой (1, 1, 1, 1).

10.71. а) Проверьте, что диаграммы Юнга (4, 1, 1) и (3, 3, 0) не сравнимы, — ни одна из них не мажорирует другую. Есть ли еще такие несравнимые наборы с суммой 6?

б) Найдите все несравнимые пары наборов для s = 7.

10.72. Пусть T(x, y, z) T(x, y, z) для всех неотрицательных x, y, z. Докажите, что.

10.73*. Неравенство Мюрхеда. Пусть = (1,..., n) и = (1,..., n) — два набора показателей с равной суммой. Докажите, что, если, то при всех неотрицательных x1,..., xn выполняется неравенство T(x1,..., xn) T(x1,..., xn).

10.74. Выведите из неравенства Мюрхеда неравенство между сред ним арифметическим и средним геометрическим.

Сколько «кирпичей» нужно свалить, чтобы от набора (n, 0,..., 0) из n чисел перейти к набору (1, 1,..., 1)?

10.75. Докажите следующие неравенства непосредственно и при по мощи неравенства Мюрхеда:

а) x4y2z + y4x2z + y4z2x + z4y2x + x4z2y + z4x2y 2(x3y2z2 + x2y3z2 + + x2y2z3);

б) x5 + y5 + z5 x2y2z + x2yz2 + xy2z2;

в) x3 + y3 + z3 + t3 xyz + xyt + xzt + yxt.

10.76. Докажите неравенства из задачи 10.36 при помощи неравен ства Мюрхеда. Как будут выглядеть диаграммы Юнга для соответству ющих функций?

Глава Последовательности и ряды 1. Конечные разности Определение. Пусть задана последовательность чисел {bn} = b1, b2,..., bn,...

Будем обозначать {bn} последовательность, состоящую из разностей соседних членов последовательности {bn}:

bn = bn+1 - bn (n = 1, 2,... ).

(Считается, что b0 = 0.) называется разностным оператором) или оператором конечной разности.

11.1. Найдите а) n2;

б) n(n - 1);

в) nk;

г) Ck.

n 11.2. Пусть даны последовательности чисел {an} и {bn}, связанные соотношением bn = an, (n = 1, 2,... ). Как связаны частичные сум мы Sn последовательности {an} Sn = a1 + a2 +... + an с последовательностью {bn}?

11.3. Найдите последовательность {an} такую, что an = n2. Ис пользуя результат предыдущей задачи, получите формулу для суммы 12 + 22 + 32 +... + n2.

11.4. Выведите формулу для суммы 13 + 23 + 33 +... + n3.

11.5. Докажите тождество n n 1 F2 - = 3 - (n 1).

n F2 F k k= ) Оператор — это отображение, действующее на множестве функций, последова тельностей или других отображений.

152 11. Последовательности и ряды Определение. Для функции f(x) выражение f(x + 1) - f(x) будем обозначать f(x) и называть конечной разностью первого порядка. Ко нечные разности более высокого порядка определяются индуктивно:

nf(x) = (n-1f(x)) (n > 1) (считается, что 0f(x) = f(x)).

11.6. Докажите, что если Q(x) — многочлен степени m + 1, то P(x) = Q(x) — многочлен степени m.

11.7. Докажите, что для любого многочлена P(n) степени m суще ствует единственный многочлен Q(n) степени m + 1 такой, что выпол нены два условия: Q(n) = P(n) и Q(0) = 0.

11.8. Докажите формулу n nf(x) = Ck (-1)n-kf(x + k).

n k= 11.9. Докажите равенство n f(x + n) = Ck kf(x).

n k= 11.10. Пусть f(x) — многочлен степени m. Докажите, что если m < n, то nf(x) = 0. Чему равна величина mf(x) = 0?

11.11. Вычислите сумму n n k Ck (-1)k 1 -.

n n k= 11.12. Докажите, что для всех m в промежутке 1 m < n выпол няется равенство:

n (-1)kkmCk = 0.

n k= (См. также 6.105.) 11.13*. Пусть числа y0, y1,..., yn таковы, что для любого много члена f(x) степени m < n справедливо равенство:

n f(k)yk = 0. (11.1) k= Докажите, что yk = (-1)kCk, где — некоторое фиксированное число.

n 1. Конечные разности 11.14. Докажите следующие свойства оператора конечной разности, подобные свойствам оператора дифференцирования:

1 bn an bnan - anbn а) = - ;

б) =.

bn bnbn+1 bn bnbn+ 11.15. Найдите представление для (an·bn) через an и bn. Срав ните полученную формулу с формулой для производной произведения двух функций.

11.15. Разностный аналог формулы Лейбница. Для n-ой про изводной произведения двух функций существует формула Лейбница n (n) f(x)g(x) = Ck f(k)(x)g(n-k)(x).

n k= Докажите её разностный аналог n n f(x)g(x) = Ck kf(x)(n-k)g(x). () n k= 11.16. Экспонентой y = ex называется такая функция, для которой выполнены условия y (x) = y(x) и y(0) = 1. Какая последователь ность {an} будет обладать аналогичными свойствами, если производную заменить на разностный оператор ?

11.17. Преобразование Абеля. Для подсчета интегралов исполь зуется формула интегрирования по частям. Докажите следующие две формулы, которые являются дискретным аналогом интегрирования по частям и называются преобразованием Абеля:

n-1 n-1 n-1 x f(x)g(x) = f(n) g(x) - f(x) g(z), x=0 x=0 x=0 z= n-1 n- f(x)g(x) = f(n)g(n) - f(0)g(0) - g(x + 1)f(x).

x=0 x= 11.18. Найдите последовательность {an} такую, что an = n2n.

(Вспомните как вычисляют xex dx.) 11.19. Найдите:

154 11. Последовательности и ряды n n 1 4k + а) ;

д) ;

k(k + 1) k(k + 1)(4k2 - 1) k=1 k= n n 1 k - б) ;

е) ;

k!

k2 - k=2 k= n n в) ;

ж) k! k.

k(k + 1)(k + 2) k=1 k= n (k - 1) 2k г) ;

k(k + 1) k= 11.20. При помощи преобразования Абеля вычислите следующие суммы:

n n n а) k2qk-1;

б) k sin kx;

в) k2 cos kx.

k=1 k=1 k= Определение. В дальнейшем под символом Cn будем понимать x многочлен x(x - 1)... (x - n + 1) Cn =, x n!

определенный для всех действительных x. При целых x n его значе ния будут совпадать с обычными биномиальными коэффициентами.

11.21. Интерполяционная формула Ньютона. а) Докажите, что для любого многочлена f(x) степени n существует единственное представление его в виде f(x) = d0C0 + d1C1 +... + dnCn.

x x x Здесь и далее биномиальный коэффициент Ck интерпретируется как x многочлен от переменной x. В частности, нижний индекс у биномиаль ного коэффициента может быть любым действительным числом. (См.

также 6.79.) б) Докажите, что коэффициенты d0, d1,..., dn в этом представле нии вычисляются по формуле dk = kf(0) (0 k n).

11.22. Целозначные многочлены. Пусть многочлен f(x) степени n принимает целые значения в точках x = 0, 1,..., n. Докажите, что f(x) = d0C0 + d1C1 +... + dnCn, x x x где d0, d1,..., dn — некоторые целые числа.

11.23. Для многочлена f(x) = x3 - x найдите 2f(x). Объясните, не.

.

применяя соображения делимости, почему f(x). 6 при всех целых x.

11.24. Докажите, что многочлен f(x) степени n принимает целые значения в точках x = 0, 1,..., n, то он принимает целые значения для любого целого x.

2. Рекуррентные последовательности 11.25. а) Пусть q — натуральное число и функция f(x) = cqx + anxn +... + a1x + a принимает целые значения при x = 0, 1, 2,..., n + 1. Докажите, что при любом целом x 0 число f(x) также будет целым.

б) Пусть выполняются условия пункта а) и f(x) делится на некоторое m 1 при x = 0, 1, 2,..., n + 1. Докажите, что f(x) делится на m при всех целых x 0.

11.26. Докажите, что при всех натуральных n число f(n) = 22n-1 - 9n2 + 21n - 14 делится на 27.

11.27*. Для каких натуральных n в выражении ±12 ± 22 ± 32 ±... ± n можно так расставить знаки + и -, что в результате получится 0?

Определение. Пусть функция f(x, y) задана во всех точках плоско сти с целыми координатами. Назовем функцию f(x, y) гармонической, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть f(x, y) = (f(x + 1, y) + f(x - 1, y) + f(x, y + 1) + f(x, y - 1)).

11.28. Пусть f(x, y) и g(x, y) — гармонические функции. Докажите, что для любых a и b функция af(x, y) + bg(x, y) также будет гармони ческой.

11.29. Пусть f(x, y) — гармоническая функция. Докажите, что функции xf(x, y) = f(x+1, y)-f(x, y) и yf(x, y) = f(x, y+1)-f(x, y) также будут гармоническими.

11.30*. Дискретная теорема Лиувилля. Пусть f(x, y) — огра ниченная гармоническая функция, то есть существует положительная константа M такая, что (x, y) Z2 |f(x, y)| M.

Докажите, что функция f(x, y) равна константе.

2. Рекуррентные последовательности Определение. Последовательность чисел a0, a1,..., an,..., кото рая удовлетворяет с заданными p и q соотношению an+2 = pan+1 + qan (n = 0, 1, 2,... ) (11.2) 156 11. Последовательности и ряды называется линейной рекуррентной (возвратной) последовательно стью второго порядка.

Уравнение x2 - px - q = 0 (11.3) называется характеристическим уравнением последовательности {an}.

11.31. Докажите, что если числа a0, a1 фиксированы, то все осталь ные члены последовательности {an} определяются однозначно.

11.32. Докажите, что геометрическая прогрессия {an} = bxn удо влетворяет соотношению (11.2) тогда и только тогда, когда x0 — корень характеристического уравнения (11.3) последовательности {an}.

11.33. Пусть характеристическое уравнение (11.3) последователь ности {an} имеет два различных корня x1 и x2. Докажите, что при фиксированных a0, a1 существует ровно одна пара чисел c1, c2 такая, что an = c1xn + c2xn (n 0).

1 11.34. Пусть характеристическое уравнение (11.3) последовательно сти {an} имеет корень x0 кратности 2. Докажите, что при фиксирован ных a0, a1 существует ровно одна пара чисел c1, c2 такая, что an = (c1 + c2n)xn (n 0).

11.35. Найдите формулу n-го члена для последовательностей, за данных условиями (n 0):

a) a0 = 0, a1 = 1, an+2 = 5an+1 - 6an;

б) a0 = 1, a1 = 1, an+2 = 3an+1 - 2an;

в) a0 = 1, a1 = 1, an+2 = an+1 + an;

г) a0 = 1, a1 = 2, an+2 = 2an+1 - an;

д) a0 = 0, a1 = 1, an+2 = 2an+1 + an.

11.36. При возведении числа 1 + 2 в различные степени, можно обнаружить некоторые закономерности:

(1 + 2)1 = 1 + 2 = 2 + 1, (1 + 2)2 = 3 + 2 2 = 9 + 8, (1 + 2)3 = 7 + 5 2 = 50 + 49, (1 + 2)4 = 17 + 12 2 = 289 + 288.

Для их изучения определим числа an и bn при помощи равенства (1 + 2)n = an + bn 2, (n 0). (См. также 11.59.) 2. Рекуррентные последовательности а) Выразите через an и bn число (1 - 2)n.

б) Докажите равенство a2 - 2b2 = 1.

n n в) Каким рекуррентным уравнениям удовлетворяют последователь ности {an} и {bn}?

г) Пользуясь пунктом а), найдите формулы n-го члена для последо вательностей {an} и {bn}.

д) Найдите связь между числами an, bn и подходящими дробями к числу 2.

11.37. Рассмотрим равенства:

2 + 3 = 4 + 3, (2 + 3)2 = 49 + 48, (2 + 3)3 = 676 + 675, (2 + 3)4 = 9409 + 9408.

Обобщите результат наблюдения и докажите возникшие у вас догадки.

11.38. Докажите, что уравнение (x + y 5)4 + (z + t 5)4 = 2 + не имеет решений в рациональных числах x, y, z, t.

11.39. Найдите все целочисленные решения уравнения a2 -3b2 = 1.

n n 11.40. Докажите, что произвольная последовательность Qn, задан ная условиями Q0 =, Q1 =, Qn+2 = Qn+1 + Qn (n 0), может быть выражена через числа Фибоначчи Fn и числа Люка Ln.

Определение. Многочлены Фибоначчи Fn(x) (n 0) задаются при помощи начальных условий F0(x) = 0, F1(x) = 1 и рекуррентного соот ношения Fn+1(x) = x Fn(x) + Fn-1(x) (n 1).

Аналогично, многочлены Люка Ln(x) определяются равенствами L0(x) = 2, L1(x) = x, Ln+1(x) = x Ln(x) + Ln-1(x) (n 1).

11.41. Многочлены Фибоначчи и Люка. Вычислите несколько первых многочленов Фибоначчи и Люка. Какие значения эти многочле ны принимают при x = 1?

Докажите, что многочлены Люка связаны с многочлены Фибоначчи соотношениями (см. также 3.133):

158 11. Последовательности и ряды а) Ln(x) = Fn-1(x) + Fn+1(x) (n 1);

б) Fn(x) (x2 + 4) = Ln-1(x) + Ln+1(x) (n 1);

в) F2n(x) = Ln(x) · Fn(x) (n 0);

г) Ln(x)2 + Ln+1(x)2 = F2n+1(x)(x2 + 4) (n 0);

д) Fn+2(x) + Fn-2(x) = (x2 + 2)Fn(x) (n 2).

11.42. Разложите функции Fn+1(x)/Fn(x) и Ln+1(x)/Ln(x) (n 1) в цепные дроби, (См. также 3.144.) 11.43. Получите формулу для многочленов Фибоначчи и Люка ана логичную формуле Бине. (См. также 3.126 и 11.75.) 11.44. Докажите, что многочлены Фибоначчи и Люка связаны с многочленами Чебышёва равенствами x Fn+1(ix) x Ln(ix) Un =, 2Tn =.

2 in 2 in 11.45. Укажите явный вид коэффициентов в многочленах Fn(x) и Ln(x). Решите задачи 3.129 и 3.130 используя многочлены Фибоначчи.

11.46. Лягушка-путешественница. Лягушка прыгает по верши нам треугольника ABC, перемещаясь каждый раз в одну из соседних вершин. Сколькими способами она может попасть из A в A за n прыж ков?

11.47. Лягушка прыгает по вершинам шестиугольника ABCDEF, каждый раз перемещаясь в одну из соседних вершин.

а) Сколькими способами она может попасть из A в C за n прыжков?

б) Тот же вопрос, но при условии, что ей нельзя прыгать в D?

в) Лягушка-сапер. Пусть путь лягушки начинается в вершине A, а в вершине D находится мина. Каждую секунду она делает очередной прыжок. Какова вероятность того, что она еще будет прыгать через n секунд? Какова средняя продолжительность жизни таких лягушек?

11.48. Докажите, что для любого числа p>2 найдется такое число, что n n 2 + 2 +... + 2 + 2 + p = 2 - -2.

n радикалов 11.49. Садовник, привив черенок редкого растения, оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него по 6 черенков. С каждым новым черенком он поступает аналогично. Сколько будет растений и черенков на n-м году роста первоначального растения?

11.50. Найдите у чисел 2. Рекуррентные последовательности а) (6 + 35)1999;

б) (6 + 37)1999;

в) (6 + 37) первые 1000 знаков после запятой.

11.51. Докажите, что при всех натуральных n выполняется сравне ние [(1 + 2)n] n (mod 2).

11.52. Докажите, что последовательность an = 1 + 17n2 (n 0) содержит бесконечно много квадратов целых чисел.

11.53. Определим последовательности {xn} и {yn} при помощи усло вий:

xn = xn-1 + 2yn-1 sin2, yn = yn-1 + 2xn-1 cos2, x0 = 0, y0 = cos.

Найдите выражение для xn и yn через n и.

11.54. Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно 1/5 часть, после чего лег спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки;

при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось.

Каким могло быть наименьшее число орехов в собранной куче?

Определение. Последовательность чисел a0, a1,..., an,..., кото рая при заданных b0,..., bk-1 удовлетворяет соотношениям an+k = bk-1an+k-1 +... + b0an (n = 0, 1, 2,... ), (11.4) называется линейной рекуррентной (возвратной) последовательно стью k-го порядка.

Уравнение xk - bk-1xk-1 -... - b0 = называется характеристическим уравнением последовательности {an}.

11.55*. Как будет выглядеть формула n-го члена для рекуррентной последовательности k-го порядка, если a) характеристическое уравнение имеет простые корни x1,..., xk;

б) характеристическое уравнение имеет корни x1,..., xm с кратно стями 1,..., m соответственно?

11.56. Пусть характеристическое уравнение (11.3) последовательно сти (11.2) имеет комплексные корни x1,2 = a ± ib = re±i. Докажите, что для некоторой пары чисел c1, c2 будет выполняться равенство an = rn(c1 cos n + c2 sin n).

160 11. Последовательности и ряды 11.57. Найдите формулу n-го члена для последовательностей, за данных условиями (n 0):

a) a0 = 0, a1 = 1, an+2 = 4an+1 - 5an;

б) a0 = 1, a1 = 2, an+2 = 2an+1 - 2an;

в) a0 = 1, a1 = 2, an+2 + an+1 + an = 0;

г) a0 = 1, a1 = 8, an+2 = 6an+1 + 25an.

11.58. Каким рекуррентным соотношениям вида (11.4) удовлетво ряют последовательности a) an = n2;

б) an = n3?

11.59. Пусть (1 + 2 + 3)n = pn + qn 2 + rn 3 + sn 6 (n 0).

Найдите:

pn pn pn а) lim ;

б) lim ;

в) lim. (См. также 11.36.) n qn n rn n sn 3. Производящие функции Определение. Выражения вида F(x) = a0 + a1x + a2x2 +... + anxn +... (11.5) называются формальными степенными рядами.

Формальные степенные ряды можно складывать, вычитать, умно жать, делить, дифференцировать и устраивать их композицию, не бес покоясь о сходимости.

Определение. Производной формального степенного ряда (11.5) называется ряд F (x) = a1 + 2a2x... + nanxn-1 +...

11.60. Найдите произведения следующих формальных степенных рядов:

а) (1 + x + x2 + x3 +... )(1 - x + x2 - x3 +... );

б) (1 + x + x2 + x3 +... )2;

x2 xn x2 (-x)n в) 1 + x + +... + +... 1 - x + -... + +....

2! n! 2! n!

11.61. Обращение степенного ряда. Докажите, что если a0 = 0, то для ряда F(x) существует ряд F-1(x) = b0 + b1x +... + bnxn +...

такой, что F(x)F-1(x) = 1.

11.62. Вычислите:

а) (1 + x)-1;

б) (1 - x)-1;

в) (1 - x)-2.

Определение. Пусть {an} = a0, a1,... — произвольная числовая последовательность. Формальный степенной ряд F(x) = a0 + a1x +... + anxn +...

3. Производящие функции будем называть производящей функцией этой последовательности.

11.63. Пусть F(x) — производящая функция последовательности {an}.

F(n)(x) Докажите равенство an =.

n!

x= 11.63. Докажите, что для нечётных p выполняется равенство 5 Fnp Fn(Up-1( )) =, 2 Fp например, F3n Fn(4) = (p = 3);

F F5n Fn(11) = (p = 5);

F F7n Fn(29) = (p = 7).

F 11.64. Вычислите производящие функции следующих последова тельностей:

а) an = n;

б) an = n2;

в) an = Cn.

m 11.65. Вычислите суммы:

а) C1 + 2C2 + 3C3 +... + nCn;

б) C1 + 22C2 + 32C3 +... + n2Cn.

n n n n n n n n 11.66. Пусть an — число решений уравнения x1 +... + xk = n (11.6) в целых неотрицательных числах и F(x) — производящая функция по следовательности an. Докажите равенства:

а) F(x) = (1 + x + x2 +... )k;

б) F(x) = (1 - x)-k.

11.67. Пусть, как и раньше, an — число решений уравнения (11.6) в целых неотрицательных числах. Найдите формулу для an, пользуясь задачей 11.63. (См. также 2.70.) 11.68. Докажите тождество:

(1 + x + x2 +... + x9)(1 + x10 + x20 +... + x90) (1 + x100 + x200 +... + x900)... =.

1 - x (См. также 1.2.) 11.69. Бином Ньютона для отрицательных показателей.

Докажите, что для всех неотрицательных n выполняются равенства а) Ck = (-1)kCk ;

б) (1 + x)-n = Ck xk.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.