WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

«И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л. Тоом ТРИГОНОМЕТРИЯ Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия по тригонометрии для учащихся 10 классов общеобразовательных ...»

-- [ Страница 2 ] --

1 - ab б) Что нужно подставить вместо многоточия в правую часть равенства arcsin a + arcsin b = arcsin(...), чтобы получилось тождество, верное при всех достаточно малых положительных a и b?

§ 20. Формула вспомогательного угла, или сложение колебаний равной частоты Повторить: § 13: Чему равно sin x + cos x?

В предыдущем параграфе мы с помощью формул сложения перешли от записи колебаний в виде u = A sin(t+) к записи u = = P cos t + Q sin t. Давайте теперь научимся переходить от второй записи к первой.

Если вместо t написать, то задача будет такова: дано выра жение P sin + Q cos ;

требуется найти такие числа A и, чтобы выполнялось тождество P sin +Q cos = A sin(+) (мы можем, очевидно, считать, что P и Q не равны одновременно нулю).

Предположим сначала, что нам удалось найти такое, что P = cos, Q = sin. Тогда наша задача решалась бы просто:

P sin + Q cos = cos sin + sin cos = sin( + ).

Однако в общем случае такого числа может и не существовать:

ведь если P = cos, Q = sin, то P + Q2 = cos2 + sin2 = 1, а сумма квадратов двух произвольных чисел P и Q равняться единице не обязана. Поэтому применим небольшой трюк, а именно умножим и поделим наше выражение на P + Q2:

P Q P sin +Q cos = P + Q2 sin + cos.

2 P + Q2 P + Q Заметим, что 2 P Q +.

2 P + Q2 P + Q Q P Стало быть, точка с координатами ;

лежит на 2 P +Q2 P +Q тригонометрической окружности;

пусть — какое-нибудь из соот ветствующих ей чисел. Тогда выполнены равенства P cos =, P + Q Q sin =, P + Q и наше выражение запишется так:

P sin + Q cos = P + Q2(cos sin + sin cos ) = = P + Q2 sin( + ).

Итак, наша цель достигнута.

Если числа P и Q не равны 0, то P sin + Q cos = P + Q2 sin( + ), Q P где cos =, sin =.

2 P +Q2 P +Q Эта формула называется формулой вспомогательного угла (вспо могательный угол — это ).

Если поделить друг на друга выражения для sin и cos, то получится равенство tg = Q/P, так что возникает искушение написать попросту = arctg(Q/P ). К сожалению, так писать можно только если P > 0:

в этом случае точка, соответствующая, лежит правее оси ординат, и поэтому ей соответствует число из интервала (-/2;

/2), в котором лежат арктангенсы всех углов. Если P < 0, то это уже не так (тогда в качестве годится число arctg((Q/P ) + )).

Теперь мы можем довести до конца исследование функции y = sin x + cos x, начатое в § 13. Если преобразовать выражение sin x + cos x по нашему рецепту, то получится вот что:

1 sin x + cos x = 2 sin x + cos x = 2 = 2(sin x · cos(/4) + sin(/4) cos x) = 2 sin(x + /4).

а) б) Рис. 20.1.

Стало быть, график нашей функции — действительно синусоида;

заодно мы еще раз убеждаемся, что наибольшее значение выра жения sin x + cos x равно 2, а наименьшее значение равно - 2.

Задача 20.1. Постройте графики функций:

а) y = sin x + cos x;

б) y = sin x - cos x;

в) y = sin x - 3 cos x.

Задача 20.2. Найдите множество значений функции y = sin x - 2 cos x.

Задача 20.3. Решите уравнения:

а) 6 cos x - 5 sin x = 8;

б) sin x + cos x = 1.

Нашу формулу вспомогательного угла можно получить и гео метрически. Напомним для начала, что вектор длины r, образу ющий с осью абсцисс угол, имеет координаты (r cos ;

r sin ) (рис. 20.1а).

Теперь рассмотрим вектор OA, имеющий длину P и образую щий с осью абсцисс угол, и перпендикулярный ему вектор OB, имеющий длину Q и образующий с осью абсцисс угол + / (рис. 20.1б). Тогда OA = (P cos ;

P sin ), OB = (-Q sin ;

Q cos ) (второе равенство вытекает из формул приведения sin( + /2) = = cos, cos( + /2) = - sin ), откуда OA + OB = (P cos - Q sin ;

P sin + Q cos ).

Однако сумму можно найти и по правилу параллелограмма: OA+ + OB = OC, где точка C — вершина прямоугольника OACB. По теореме Пифагора имеем OC = OA2 + OB2 = P + Q2;

если обозначить AOC через, то вектор OC образует с осью абсцисс угол +, откуда OC = P + Q2 cos( + );

P + Q2 sin( + ).

Приравнивая ординаты векторов OC и OA + OB, получаем, что P sin + Q cos = P + Q2 sin( + ).

Угол найдем также геометрически: из прямоугольного треуголь ника OAC видим, что tg = AC/OA = Q/P. Это также согласу ется с предыдущими результатами (напомним, что числа P и Q положительны).

Задача 20.4. Если приравнять абсциссы векторов OC и OA + OB, то для положительных P и Q получится формула P cos - Q sin = P + Q2 cos( + ), где = arctg(Q/P ). Выведите эту формулу, не используя векто ров.

Прием, которым мы воспользовались, позволяет придать гео метрический смысл и другим тригонометрическим выкладкам.

Давайте, например, упростим выражение sin + sin( + 120) + +sin(-120) (задача 19.3 из предыдущего параграфа). Для этого отложим от начала координат следующие три вектора a, b и c, со ответствующие точкам, - 120, - 120 тригонометрической окружности: a = (cos ;

sin ), b = (cos( - 120);

sin( - 120)), c = (cos( + 120);

sin( + 120)) (рис. 20.2а). Если искать сумму a + b + c геометрически (откладывая b от конца a и т. д.), то ясно, что наша ломаная из трех звеньев замкнется в правильный тре угольник, так что a + b + c = 0 (рис. 20.2б). Записывая же сумму a + b + c в координатах, получаем равенства sin + sin( + 120) + sin( - 120) = 0, cos + cos( + 120) + cos( - 120) = 0.

а) б) Рис. 20.2.

а) б) Рис. 20.3. Векторные диаграммы.

Таким образом, мы доказали тождество из задачи 19.3 (а заодно и аналогичное тождество для косинусов). Впрочем, в данном слу чае ничего не стоит доказать эти тождества без всяких векторов, с помощью формул сложения. Приведем более серьезный пример.

Рассмотрим синусоидальное колебание с амплитудой A > 0, частотой и фазой : u = A sin(t + ). Тогда значение u в мо мент времени t есть ордината вектора длины A, образующего угол t + с осью абсцисс. Иными словами, значение u в момент t равно ординате вектора длины A, вращающегося вокруг начала координат с угловой скоростью. На рисунках принято изобра жать положение этого вращающегося вектора в момент t = 0. При этом угол, образованный им с осью абсцисс, будет равняться фа зе (рис. 20.3а). Рассмотрим теперь два колебания одной частоты:

u1 = A1 sin(t + 1), u2 = A2 sin(t + 2). Как найти амплитуду и фазу их суммы u1 + u2? Если изобразить u1 и u2 вращающи мися векторами, то очевидно, что сумма этих векторов также будет вращаться со скоростью, и u1 + u2 будет равно ордина те их суммы. Стало быть, при изображении колебаний векторами сумме колебаний соответствует сумма векторов. В частности, из рис. 20.3б и теоремы косинусов ясно, что длина суммы векторов равна A2 + A2 + 2A1A2 cos(1 - 2), так что 1 A1 sin(t + 1) + A2 sin(t + 2) = = A2 + A2 + 2A1A2 cos(1 - 2) sin(t + ), 1 где угол также может быть найден геометрически (например, с помощью теоремы синусов).

При таком соответствии между колебаниями и векторами разложение A sin(t + ) = P sin t + Q cos t соответствует разложению вектора на сумму векторов, параллельных осям абсцисс и ординат (так что коэффициенты P и Q — не что иное, как координаты вектора). Сдвиг начала отсчета времени на, в результате которого к фазе прибавляется число =, соответствует повороту на угол. Теперь становится понятным, почему полностью аналогичны ответы к задачам 19.11 и 19.12.

Описанное нами изображение колебаний с помощью векторов применяется в электротехнических расчетах;

там его называют методом векторных диаграмм.

Задача 20.5. Рассмотрим колебания, заданные формулами u1 = = A1 sin t и u2 = A2 sin(t + ). Найдите с помощью векторной диаграммы амплитуду и фазу для u1 + u2.

§ 21. Двойные, тройные и половинные углы Запишем формулы синуса, косинуса и тангенса суммы для част ного случая, когда слагаемые равны. Получится вот что:

sin 2 = sin( + ) = sin · cos + cos sin = 2 sin cos ;

cos 2 = cos cos - sin sin = cos2 - sin2 ;

tg + tg 2 tg tg 2 = tg( + ) = =.

1 - tg · tg 1 - 2 tg Стало быть, мы получили формулы, выражающие тригоно метрические функции от 2 через тригонометрические функции от :

sin 2 = 2 sin cos ;

cos 2 = cos2 - sin2 ;

2 tg tg 2 =.

1 - tg Формулу для cos 2 можно немного преобразовать. Если заме нить в ней sin2 на 1 - cos2, то получится формула, выражаю щая cos 2 через cos :

cos 2 = cos2 - sin2 = cos2 - (1 - cos2 ) = 2 cos2 - 1.

Можно, наоборот, заменить cos2 на 1-sin2. В итоге получается вот что:

cos 2 = 2 cos2 - 1;

cos 2 = 1 - 2 sin2.

Задача 21.1. Формулу cos 2 = 1 - 2 sin2 можно доказать (для острых углов ) геометрически. Сделайте это, найдя двумя раз ными способами основание равнобедренного треугольника с углом при вершине 2 и боковой стороной 1.

Задача 21.2. а) Пусть sin + cos = m;

найдите sin 2.

б) Пусть sin - cos = n;

найдите sin 2.

Задача 21.3. Докажите тождество:

cos cos 2 cos 4 = sin 8/8 sin.

Указание. Умножьте и поделите левую часть на 8 sin.

Задача 21.4. Найдите значения выражений, не используя кальку лятор или таблицы:

а) cos(/9) cos(2/9) cos(4/9);

б) sin 10 sin 50 sin 70.

Подобно формулам для функций двойного угла, можно полу чать формулы для синуса и косинуса 3, 4 и т.д. Например:

cos 3 = cos(2 + ) = cos 2 cos - sin 2 sin = = (cos2 - sin2 ) cos - 2 sin cos sin = = cos3 - 3 sin2 cos = (заменяем sin2 на 1 - cos2 ) = cos3 - 3 sin2 cos = cos3 - 3(1 - cos2 ) cos = = 4 cos3 - 3 cos.

Задача 21.5. Выведите вторую из нижеприведенных формул:

cos 3 = 4 cos3 - 3 cos ;

sin 3 = 3 sin - 4 sin3.

Мы не будем выписывать формулы для синуса и косинуса n при n, больших 3. Для небольших значений n читатель легко сде лает это сам;

как устроена формула для произвольного n, мы узнаем, когда познакомимся с комплексными числами.

На наши формулы для cos 2 можно посмотреть и с другой стороны. Именно, выразим в этих формулах cos2 или sin2 че рез cos 2. Получается вот что:

1 + cos cos2 = ;

1 - cos sin2 =.

Эти формулы часто называют формулами понижения степе ни;

вот два их применения.

Во-первых, давайте заменим всюду в этих формулах на /2.

Получится вот что:

cos2(/2) = (1 + cos )/2;

sin2(/2) = (1 - cos )/2.

Если теперь извлечь из обеих частей квадратные корни, то полу чатся такие «формулы половинного угла»:

cos 1 + cos sin 1 - cos = =.

2 2 2 Стало быть, если нам известен косинус числа, то — с точностью до знака — мы можем найти также синус и косинус числа /2.

Если отбросить в формулах половинного угла знаки абсолют 1 + cos ной величины и записать, например, cos =, то по 2 лучится неверная формула: правая часть у нее всегда неотрица тельна (по определению квадратного корня), а левая часть может быть отрицательной. Если мы знаем только значения тригоно метрических функций от угла, то для определения знаков sin и cos нужна дополнительная информация.

Такая неоднозначность в определении значений функций половинного угла не удивительна: если мы знаем только sin и cos, то нам известно расположение точки, соответствующей числу, на тригонометрической окружности, но узнать, где на окружности находится число /2, без дополнительной информации нельзя: если числа и отличаются на 2, то сами они занимают на тригонометрической окружности одно и то же место, а числа /2 и /2 диаметрально противоположны.

Задача 21.6. а) Найдите cos(x/2), если cos x = 1/3, 2 < x < 3.

б) Найдите sin(x/2), если cos x = 1/4, 0 x.

в) Пусть нам требуется найти sin(x/2), если cos x = 1/4 и a - 2 x a. Для каких a из отрезка [0;

/2] эта задача будет иметь единственное решение?

Рис. 21.1.

Задача 21.7. В треугольнике против сторон a, b, c лежат углы A, B, C. Докажите следующие формулы:

A (p - b)(p - c) A p(p - a) а) sin = ;

б) cos = 2 bc 2 bc (p = (a + b + c)/2 — полупериметр).

Второй пример применения формул понижения степени отно сится к физике. Как известно, если «нагрузка» (например, лам почка) сопротивлением R находится под напряжением U, то на ней выделяется мощность U2/R. Если ток у нас переменный, то напряжение U, а стало быть, и мощность все время меняются;

практический интерес представляет среднее значение этой мощ ности. Давайте его найдем. Пусть напряжение зависит от времени по закону U = U0 cos t, где U0 — амплитуда (максимальное зна чение напряжения). Тогда по формуле понижения степени имеем:

1 + cos 2t 2 U2/R = (U0 /R) cos2 t = (U0 /R) = 2 = U0 /2R + (U0 /R) cos 2t.

В этой сумме меняется со временем только второе слагаемое, но при этом его среднее значение равно нулю: половину времени чис ло cos 2t положительно, другую половину — отрицательно, а при усреднении эти положительные и отрицательные значения ком пенсируют друг друга (см. рис. 21.1).

Поэтому среднее значение мощности равно первому слагаемо му, то есть U0 /2R. Если обозначить U = U0/ 2, то получится, что средняя мощность равна (U2)/R. Стало быть, средняя мощ ность, выделяемая на сопротивлении R в цепи переменного тока с амплитудой напряжения U0, такая же, как если бы ток был по стоянен, а напряжение было в 2 раз меньше, чем U0. Величину U называют среднеквадратичным значением напряжения;

именно его имеют в виду, когда говорят, что напряжение равно 220.

Задача 21.8. Докажите тождества:

а) sin2( + ) + sin2( - ) + cos 2 · cos 2 = 1;

б) cos2( + ) + cos2( - ) - cos 2 · cos 2 = 1;

5 в) cos6 x + sin6 x = + cos 4x.

8 Задача 21.9. Упростите выражение sin4 x+cos4 x и постройте гра фик функции y = sin4 x + cos4 x.

Мы уже выписывали формулы для | sin(/2)| и | cos(/2)|, так что формулу для | tg(/2)| можно получить, просто поделив эти формулы друг на друга:

tg 1 - cos =.

2 1 + cos Можно, однако, получить для тангенса половинного угла фор sin(/2) мулы и поинтереснее. Для этого в равенстве tg(/2) = cos(/2) умножим числитель и знаменатель на 2 cos(/2):

2 sin(/2) cos(/2) sin tg = = 2 2 cos2(/2) 1 + cos (мы воспользовались формулами синуса двойного угла и пониже ния степени). Можно было бы также умножить числитель и зна менатель на 2 sin(/2):

2 sin2(/2) 1 - cos tg = =.

2 2 sin(/2) cos(/2) sin Итак:

sin 1 - cos tg = ;

tg =.

2 1 + cos 2 sin sin Задача 21.10. Формулу tg = можно (по крайней ме 2 1 + cos ре для острых углов ) доказать геометрически. Сделайте это, руководствуясь рис. 21.2.

Тангенс половинного угла играет в тригонометрии особую роль: через него можно выразить все остальные тригоно метрические функции. Это делается так.

Рассмотрим такую цепочку равенств:

sin(2 · (/2)) 2 sin(/2) cos(/2) 2 tg(/2) sin = = = 1 1 + tg2(/2) cos2(/2) + sin2(/2) (мы поделили числитель и знаменатель Рис. 21.2.

на cos(/2)). Обработаем аналогичным образом косинус:

cos(2 · (/2)) cos2(/2) - sin2(/2) 1 - tg2(/2) cos = = =.

1 1 + tg2(/2) cos2(/2) + sin2(/2) Деля формулу для sin на формулу для cos, получим:

2 tg(/2) tg =.

1 - tg2(/2) Впрочем, в этой последней формуле ничего нового как раз нет: ес ли записать tg = tg(2 · (/2)), то это — просто формула тангенса двойного угла.

Запишем три наши формулы вместе:

2 tg(/2) sin = ;

1 + tg2(/2) 1 - tg2(/2) cos = ;

1 + tg2(/2) 2 tg(/2) tg =.

1 - tg2(/2) Формулы, которые мы только что получили, в принципе поз воляют чисто механически проверить любое тригонометрическое тождество, в обеих частях которого стоят выражения относитель но sin и cos : надо только выразить всюду sin и cos через tg(/2), после чего, если обозначить tg(/2) через t, получится алгебраическое тождество с одной переменной t, проверка кото рого может потребовать времени, но не изобретательности. Точно так же любое тригонометрическое уравнение, в котором левая и правая части выражены через sin x и cos x, сводится с помо щью этих формул к алгебраическому уравнению относительно tg(x/2) (впрочем, для решения уравнений в «школьном» смысле эта подстановка мало что дает, поскольку при этом, как правило, получаются алгебраические уравнения высокой степени).

Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного угла, называются «формулами универсаль ной подстановки».

На формулы универсальной подстановки можно посмотреть и еще с одной стороны. Рассмотрим нашу старую знакомую — окружность ра диуса 1 с центром в начале координат. Уравнение этой окружности x2 +y2 = 1 можно рассматривать как рецепт проверки, принадлежит ли окружности данная точка: «подставь ее координаты (x;

y) в уравнение;

точка будет лежать на окружности, если при этом получится верное равенство». После того, как мы определили функции синус и косинус, появляется возможность описать окружность, что называется, парамет рически, а именно задать координаты всех ее точек формулами: «точки окружности — это точки с координатами (cos ;

sin ) для всевозможных чисел ». Если теперь выразить cos и sin через t = tg(/2), то точки окружности окажутся заданными с помощью формул, не использую щих тригонометрии: точки окружности с уравнением x2 + y2 = 1 — 1 - t2 2t это точки с координатами ;

для всевозможных t.1 Как 1 + t2 1 + t говорят, координаты точек окружности задаются с помощью «рацио нальных функций» от t (рациональная функция — это функция, для вычисления значения которой достаточно четырех действий арифмети ки и возведения в целую степень).

Представим теперь, что кривая задается не уравнением x2+y2 = 1, а каким-то другим алгебраическим уравнением. Спрашивается, можно ли Строго говоря, эти формулы задают все точки окружности, кроме (-1;

0).

Мы не будем обращать внимания, если конечное число точек формулой не охватывается.

в этом случае координаты ее точек задать рациональными выражения ми от переменной t? Ответ на этот вопрос зависит от уравнения кривой.

Если в обеих частях уравнения стоят многочлены от x и y степени не выше второй, то задать точки кривой с помощью рациональных функ ций от одной переменной всегда удается (примеры — в задаче 21.11).

Если же кривая задана уравнением степени больше 2, то, как правило, задать координаты ее точек рациональными функциями невозможно:

так обстоит дело уже для кривой x3 + y3 = 1.

Задача 21.11. Задайте с помощью рациональных функций координаты точек следующих кривых:

а) эллипса с уравнением x2 + 4y2 = 1;

б) гиперболы с уравнением xy = 1;

в) гиперболы с уравнением x2 - y2 = 1.

Указания. б) Если x = t, то y = 1/t. в) Разложите левую часть на множители.

Задача 21.12. а) Укажите пять решений уравнения x2 + y2 = 1 в поло жительных рациональных числах.

б) Укажите пять решений уравнения a2 + b2 = c2 в натуральных числах.

§ 22. Преобразование произведения в сумму и суммы в произведение Напишем одну под другой формулы синуса суммы и синуса раз ности:

sin( + ) = sin cos + cos sin ;

sin( - ) = sin cos - cos sin.

Сложив эти формулы, получим sin(+)+sin(-) = 2 sin cos, или sin cos = (sin( + ) + sin( - )).

Поступая аналогичным образом с формулами косинуса суммы и разности, получим:

cos( + ) + cos( - ) = 2 cos cos ;

cos( + ) - cos( - ) = -2 sin sin, откуда получаются такие формулы:

cos cos = (cos( - ) + cos( + )) sin sin = (cos( - ) - cos( + )) Мы получили формулы, позволяющие переходить от произве дения тригонометрических функций к их сумме. Давайте теперь научимся делать переход в другую сторону: от суммы к произве дению.

Рассмотрим, например, формулу 2 sin cos = sin( + ) + sin( - ).

Обозначим в правой части этой формулы + через x, а - через y. Складывая и вычитая равенства + = x и - = y, находим, что = (x + y)/2, = (x - y)/2. Подставляя эти выра жения в левую часть формулы и читая формулу справа налево, получаем окончательно:

x + y x - y sin x + sin y = 2 sin cos.

2 Подставляя в только что полученную формулу -y вместо y, по лучаем:

x - y x + y sin x - sin y = 2 sin cos.

2 Если обработать формулы для cos cos и для sin sin так же, как мы это сделали с формулой для sin cos, то получится вот что:

x + y x - y cos x + cos y = 2 cos cos ;

2 x + y x - y cos x - cos y = -2 sin sin.

2 (обратите внимание на знак «минус» во второй формуле).

Задача 22.1. Докажите эти формулы.

Формулы преобразования суммы тригонометрических функ ций в произведение можно получить и геометрически. В самом деле, отложим от начала координат векто ры OA и OB, имеющие длину 1 и образу ющие с положительным направлением оси абсцисс углы и соответственно;

пусть OC = OA + OB (рис. 22.1). Тогда, очевид но, OA = (cos ;

sin ), OB = (cos ;

sin ), OC = (cos + cos ;

sin + sin ).

Рис. 22.1.

С другой стороны, так как OA = OB = 1, параллелограмм OACB является ромбом. Следовательно, OC — биссектриса угла AOB, откуда BOC =, и для равнобедренного треугольника OBC имеем - OC = 2 · OB · cos BOC = 2 cos.

- Так как вектор OC составляет с осью абсцисс угол + = + =, то + + OC = OC cos ;

OC sin = 2 + - + - = 2 cos cos ;

2 sin cos.

2 2 2 Сопоставляя два выражения для координат вектора OC, получа ем + - cos + cos = 2 cos cos ;

2 + - sin + sin = 2 sin cos 2 в согласии с выведенными нами формулами.

Задача 22.2. Докажите тождества:

а) sin( + ) sin( - ) + sin( + ) sin( - ) + + sin( + ) sin( - ) = 0;

б) 4 sin sin(/3 - ) sin(/3 + ) = sin 3;

в) cos + cos 2 + cos 6 + cos 7 = 4 cos cos cos 4.

2 Задача 22.3. В предположении, что + + =, докажите ра венства:

sin + sin а) = ctg ;

cos + cos б) sin + sin + sin = 4 cos cos cos ;

2 2 в) sin2 + sin2 + sin2 = 2 + 2 cos cos cos.

Задача 22.4. Пусть в треугольнике против сторон a, b, c лежат соответственно углы,,. Докажите формулы:

+ tg ctg a + b 2 = =.

- a - b tg tg 2 Эти формулы называются формулами Региомонтана, или теоре мой тангенсов.

Задача 22.5. а) В предположении, что + + + =, докажите тождество:

sin sin + sin sin = sin( + ) sin( + ).

б) Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Докажите, что AB·CD+BC·AD = AC·BD (во вписанном четырехугольнике сумма произведений противоположных сторон равна произведе нию диагоналей — теорема Птолемея).

Формулы, которыми мы занимались в этом параграфе, при меняются в радиотехнике. Пусть нам надо передать по радио голос диктора частотой, скажем, 300. На таких низких частотах вести радиопередачу невозможно: частоты радиоволн, применяе мых для радиовещания, могут измеряться миллионами. Волны а) Диктор молчит. б) Диктор заговорил.

Рис. 22.2.

таких частот используют так. Пока диктор молчит, в эфир идут только радиоволны высокой частоты (несущая частота — см.

график на рис. 22.2а).

Никакой информации с этим сигналом не передается. Пусть теперь диктор начал издавать звуки с частотой ( много меньше, чем );

тогда в эфир идет сигнал u = (A sin t) sin t. Примерный график его представлен на рис. 22.2б. Можно сказать, что ампли туда колебаний высокой частоты сама претерпевает колебания с низкой частотой. Как говорят, высокочастотный сигнал мо дулируется низкочастотным (все сказанное — лишь грубая схема того, что на самом деле происходит в приемнике).

Преобразуем выражение для модулированного сигнала:

A A u = A sin t sin t = cos( - )t - cos( + )t.

2 Как видите, наш модулированный сигнал — не что иное, как сум ма сигналов с частотами + и -. Так что когда говорят, что радиостанция ведет передачу на частоте, скажем, = 10, то надо помнить, что фактически в эфир идут не только радиоволны ча стоты, но и волны всех частот из интервала [ -;

+] где — максимальная частота полезного сигнала, передаваемого радио станцией. Значит, несущие частоты разных радиостанций не мо гут быть слишком близки друг к другу: если отрезки [ - ;

+ ] будут перекрываться, то радиостанции будут мешать друг друж ке.

Еще одно приложение формул из этого параграфа — вычис ление суммы косинусов или синусов чисел, образующих арифме тическую прогрессию (в физике такие вычисления используются при исследовании явления дифракции).

Пусть нам надо упростить выражение cos + cos( + h) + cos( + 2h) +... + cos( + 10h).

Для начала решим эту задачу геометрически, а потом покажем, как к ней можно применить наши формулы. Рассмотрим следую щие векторы: a0 = (cos ;

sin ), a1 = (cos( + h);

sin( + h)),..., a10 = (cos( + 10h);

sin( + 10h)). Очевидно, искомая сумма — это абсцисса вектора a0 + a1 +... + a10. Найдем эту сумму векторов.

Для этого отложим OA1 = a0 от начала координат, A1A2 = a от точки A1 и т. д. (рис. 22.3). Тогда a0 + a1 +... + a10 = OA11.

Рис. 22.3. OA1 = a0, A1A2 = a1,..., A10A11 = a10.

Чтобы найти координаты вектора OA, найдем его длину и угол наклона к оси абсцисс. Для этого заметим, что каждый из от резков OA1, A1A2,... имеет длину 1 и повернут относительно предыдущего на один и тот же угол h радиан. Следовательно, точки O, A1, A2,..., A11 лежат на одной окружности. Ее центр Z является точкой пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам OA1 и A1A2. Если F Z и GZ — эти перпендикуляры, то F ZG = h, так что F ZA1 = h/2 и радиус окружности R равен F A1/ sin F ZA1 = 1/2 sin(h/2) (напомним, что длины от резков OA1 и A1A2 равны единице). Так как, очевидно, OZA1 = = A1ZA2 =... = A10ZA11 = h, то OZA11 = 11h, и из равнобедренного треугольника OZA11 имеем OZA11 sin(11h/2) OA11 = 2R sin =.

2 sin(h/2) Чтобы найти угол наклона вектора OA11 к оси абсцисс, заме тим, что центральный угол A1ZA11 = 10h, так что вписанный угол A11OA1, опирающийся на дугу A1A11, равен 10h/2 = 5h, а A11OX = A11OA1 + = + 5h. Стало быть, OA11 = (OA11 cos( + 5h);

OA11 sin( + 5h)) = 11h 11h sin cos( + 5h) sin sin( + 5h) 2 = ;

.

sin(h/2) sin(h/2) Сопоставляя две записи для координат вектора OA11, получаем формулы:

cos + cos( + h) + cos( + 2h) +... + cos( + 10h) = 11h sin cos( + 5h) = ;

sin(h/2) sin + sin( + h) + sin( + 2h) +... + sin( + 10h) = 11h sin sin( + 5h) =.

sin(h/2) Первая из этих формул — это то, к чему мы стремились, вторая получилась в качестве побочного продукта.

Как видите, вычисления оказались довольно длинными. К то му же читатель-педант может заметить, что чертеж на рис. 22. получается только для достаточно малых h, а при больших h ло маная OA1 · · · A10A11 может обойти всю окружность, и не один раз, так что чертеж будет другой. На самом деле наша формула верна при всех и h (если только знаменатель sin(h/2) не равен нулю;

но последнее возможно только если h = 2n для некоторо го целого n, а тогда и без всякой формулы ясно, что сумма равна 11 cos ). Чтобы в этом убедиться, давайте подсчитаем нашу сум му, не используя чертеж.

Именно, умножим и разделим нашу сумму на 2 sin(h/2):

cos + cos( + h) + cos( + 2h) +... + cos( + 10h) = = (2 sin(h/2) cos + 2 sin(h/2) cos( + h) + 2 sin(h/2) + 2 sin(h/2) cos( + 2h) +... + 2 sin(h/2) cos( + 10h)).

Каждое из слагаемых в скобках вида 2 sin(h/2) cos( + mh) пре образуем так:

h h 2 sin(h/2) cos( + mh) = sin + mh + + sin - - mh + = 2 1 = sin + m + h - sin + m - h.

2 Подставляя это в нашу формулу, видим, что сумма равна 1 h h 3h sin + - sin - + sin + +... + 2 sin(h/2) 2 2 1 1 + sin + 10 + h - sin + 9 + h ;

2 если раскрыть скобки, то сократятся все слагаемые, за исключе h 1 нием - sin - и sin + 10 + h, и сумма будет равна 2 1 h 11h sin( + (10 + )h) - sin( - ) 2 sin cos( + 5h) 2 2 = 2 sin(h/2) 2 sin(h/2) (мы преобразовали сумму в произведение). Сокращая двойки в числителе и знаменателе, получаем ту же формулу, что мы нашли геометрически.

Наше второе вычисление короче и проще первого, но менее естественно. Когда мы познакомимся с комплексными числами, мы научимся находить такие суммы наиболее естественным (хотя и не наиболее коротким) способом.

Задача 22.6. Докажите, что на рис. 22.3 точки O, A1, A2,..., A действительно лежат на одной окружности.

Задача 22.7. Упростите выражения:

а) cos x - cos(x + h) + cos(x + 2h) - cos(x + 3h) +... - cos(x + 9h) + cos(x + 10h);

б) sin x + sin 2x +... + sin 100x.

Задача 22.8. Через центр окружности, описанной около правиль ного многоугольника, проведена прямая. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин многоугольника до этой прямой не зависит от выбора прямой.

§ 23. Производные тригонометрических функций Повторить: § 4: малые углы;

§ 5: часы, или современный взгляд на тригонометрию;

§ 11: графики синуса и косинуса.

Для начала вспомним, что такое вообще производная.

Посмотрим на таблицу значений функции y = 0,7x + 0,4:

x 3 4 5 6 7 8 0,7x + 0,4 2,5 3,2 3,9 4,6 5, Чтобы продолжить заполнение этой таблицы, не нужно даже под ставлять x = 8, x = 9... в выражение 0,7x + 0,4: достаточно заметить, что при увеличении x на 1 значение y увеличивается на 0, 7. Это и не удивительно: ведь наша функция линейна, а у линей ных функций одинаковым изменениям аргумента соответствуют одинаковые изменения функции.

Если, однако, функция линейной не является, то положение будет другим. Посмотрим, для тех же значений x, на таблицу значений функции y = x (приближенные значения даны с тремя знаками после запятой):

x 3 4 5 6 7 8 x 1,732 2,000 2,234 2, На сей раз при увеличении x на 1 значение x увеличивается то на 0,268, то на 0,234, то еще как-нибудь. Исходя только из этой таблицы, предсказать значение 7 будет затруднительно. Возь мем, однако, значения x с меньшим шагом, скажем, отстоящие друг от друга на 0,01:

x 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1, x 0,975 0,980 0,985 0,990 0,995 1,000 1,005 1, (значения x вновь взяты с тремя знаками после запятой).

Чудесным образом вновь возникла та же ситуация, что была у с линейной функцией: при увеличении x на 0,01 значение нас x увеличивается всегда на 0,005. Точные значения приращений друг другу все равно, конечно, не равны, но приближенно можно сказать, что при изменениях x на отрезке [0,95;

1,02] функция y = x ведет себя как линейная функция.

Таким свойством обладает не только функция g(x) = x.

Большинство интересных функций при изменении аргумента на малых промежутках ведут себя почти как линейные функции:

равным изменениям аргумента соответствуют приближенно рав ные изменения функции. По-ученому такие функции называются «дифференцируемыми» или «гладкими».

В эпоху, предшествовавшую распространению калькуляторов и компьютеров, этим свойством пользовались при нахождении значений функций с помощью таблиц. Если, допустим, в таблице были приближенные значения для 1,93 и 1,94, а требовалось найти 1,931, то поступали так: к табличному значению 1, прибавляли одну в таблице зна десятую от разности приведенных чений 1,94 и 1,93, как если бы функция y = x на отрезке [1,93;

1,94] была линейна. Такой способ обращения с таблицами назывался линейной интерполяцией.

Давайте выразим то, что мы узнали про функцию y = x, с помощью формулы. Если x близко к 1, то при увеличении x на 0,01 значение x увеличивается примерно на 0,005, т. е. на в два раза меньшую величину. Если x отстоит от 1 на малую величину h, то x отстоит от 1 примерно на h/2. Стало быть, для малых h h верна приближенная формула 1 + h 1 +.

Рассмотрим теперь вместо y = x произвольную «достаточно хорошую» функцию y = f(x) и число a из ее области определе ния. При x, близких к a, изменения значений f(x) приблизительно пропорциональны изменениям значений x. Обозначим коэффици ент пропорциональности буквой c;

тогда если x отстоит от a на малую величину h, то f(x) отстоит от f(a) приблизительно на ch, так что f(a + h) f(a) + ch.

Если при малых h верна приближенная формула f(a + h) f(a) + ch, то число c называется производной функции f в точке a. Производная функции f в точке a обозначается f (a).

Результат наших экспериментов над функцией y = x можно теперь записать так: производная функции y = x в точке 1 равна 1/2.

Как искать производные функций, не обращаясь к таблицам их значений? Рассмотрим произвольную функцию y = f(x). Из приближенной формулы f(a + h) f(a) + ch число c = f(a) вы ражается так:

f(a + h) - f(a) f(a).

h Чем меньше a, тем эта формула точнее. Стало быть, f (a) — это число, к которому приближается отношение f(a + h) - f(a) h при h, приближающемся к нулю.

f(a + h) - f(a) Говоря по-ученому, f(a) равна «пределу при h, h стремящемся к нулю». Еще раз повторим, что этот предел может не существовать, но он существует для большинства интересных функций (и в большинстве точек).

Вот как можно найти этим способом производную функции f(x) = x3. Чтобы найти ее производную в точке a, надо узнать, (a + h)3 - a к чему приближается отношение при приближении h h к нулю. После упрощений с использованием формулы куба сум мы это выражение примет вид 3a2 + 3ah + h2. Ясно, что при стремлении h к нулю это выражение приближается к 3a2, так что f (a) = 3a2, если f(x) = x3.

Теперь найдем производную функции y = x. Чтобы найти эту производную в точке a, надо узнать, к чему приближается a + h - a отношение при приближении h к нулю. Для этого h обозначим a через b, a + h - a через t;

тогда a + h будет равен b + t;

запишем еще число h в виде h = (a + h) - a = ( a + h)2 - ( a)2 = (b + t)2 - b2.

Тогда получается:

a + h - a t t = = =.

h (b + t)2 - b2 2bt - b2 2b - t Когда h приближается к нулю, число t = a + h - a тоже при a + h - a ближается к нулю, так что приближается к 1/2h = h = 1/2 a. Стало быть, производная функции y = x в точке a равна 1/2 a. При a = 1 получается 1/2, что согласуется с резуль татами нашего эксперимента.

Более подробно о производной вы прочитаете в книжках, по священных основам анализа. Мы же еще напомним только, как производная связана с графиками функций.

Рассмотрим на графике функции y = f(x) секущую, соединя ющую точки (a;

f(a)) и (a + h;

f(a + h)) (рис. 23.1). Если — угол наклона этой секущей к оси абсцисс, то из треугольника P QR f(a + h) - f(a) имеем = tg. Когда h уменьшается до нуля, точ h ка R(a + h;

f(a + h)) сливается с точкой P (a;

f(a)), секущая P R превращается в касательную к графику в точке P, а отношение f(a + h) - f(a) превращается в f(a). Стало быть:

h производная функции y = f(x) в точке a равна тангенсу угла между касательной к графику функции в точке (a;

f(a)) и осью абсцисс.

Рис. 23.1.

Теперь перейдем к производным синуса и косинуса. Первое, что тут надо сказать, — это что производную функции y = cos x мы уже вычисляли. В самом деле, в § 5, где шла речь о наших фир менных часах, мы вычисляли скорость движения проекции конца стрелки на ось абсцисс. Для этого мы делили путь, пройденный этой проекцией за малое время, на само, то есть вычисляли cos(t + ) - cos t (для малых ) отношение. С точностью до обо значений это то же отношение, что используется для вычисления производной. Как мы выяснили в § 5, при уменьшении это отно шение стремится к - sin t, так что производная функции y = cos x в точке t равна - sin t, или, короче: (cos x) = - sin x. Рассуждая аналогичным образом, но рассматривая проекцию на ось ординат, а не абсцисс, можно было бы установить, что (sin x) = cos x. Од нако рассуждения в § 5 были не слишком аккуратными: по ходу дела мы заменяли длину дуги на длину хорды, считали перпенди кулярными прямые, которые перпендикулярными не являются, и тому подобное. Поэтому мы сейчас подсчитаем производные си нуса и косинуса другим способом.

Начнем с того, что подсчитаем производную от синуса в точке 0. Согласно определению, для этого надо узнать, к чему прибли жается отношение sin(0 + h) - sin h sin h =, h h когда h приближается к нулю. Если вспомнить, что для малых h есть приближенная формула sin h h, то естественно пред положить, что это отношение будет приближаться к 1. Чтобы убедиться в этом, вспомним, что для всех h от 0 до /2 верны неравенства sin h < h и tg h > h. Из первого неравенства следует, что sin h/h < 1, а из неравенства tg h > h (т. е. sin h/ cos h > h) получаем, что sin h/h > cos h. Итак, отношение sin h/h заключено между единицей и числом cos h, которое при стремлении h к нулю также приближается к единице. Стало быть, и отношению sin h/h при приближении h к нулю ничего не остается, как приближаться к единице. Итак, в точке 0 производная синуса равна единице.

Теперь можно найти производную функции y = sin x в любой точке a. Для этого сделаем такие преобразования:

h h h 2 sin cos a + sin sin(a + h) - sin a h 2 2 = = · cos a +.

h h h/2 Когда h приближается к нулю, величина h/2 также приближается к нулю. Поэтому первый сомножитель, как мы только что уста новили, приближается к единице, а второй приближается к cos a, так что значение всего выражения приближается к cos a. Итак, производная функции sin x в точке a равна cos a, или:

(sin x) = cos x.

Производную функции y = cos x можно найти с помощью ана логичных выкладок, преобразуя разность в произведение. Для разнообразия поступим иначе: воспользуемся тем, что cos x = = sin + x. Тогда производная косинуса в точке a будет вы числяться так:

sin + a + h - sin + a cos(a + h) - cos a 2 = ;

h h при стремлении h к нулю это последнее выражение стремится, очевидно, к производной функции синус в точке + a, равной, как мы только что вычислили, cos + a. Так как cos + a = 2 = - sin a, получаем окончательно, что производная функции y = = cos x в точке a равна - sin a, или:

(cos x) = - sin x.

Рис. 23.2.

Наше рассуждение, сводящее вычисление производной косинуса к производной синуса, имеет простой геометрический смысл. В са мом деле, как мы помним из § 11, график функции y = cos x получается из графика функции y = sin x параллельным пере носом на - вдоль оси абсцисс;

стало быть, и касательная к графику y = cos x в точке с абсциссой a получается параллельным переносом из касательной к графику y = sin x в точке с абсцис сой a + (рис. 23.2). Эти две прямые образуют, очевидно, равные углы с осью абсцисс;

однако тангенс угла наклона пунктирной прямой равен производной синуса в точке a +, то есть равен cos a + или - sin a. Значит, таков же и тангенс угла наклона сплошной прямой, равный производной косинуса в точке a.

Теперь, когда мы нашли производные синуса и косинуса в лю бой точке a, мы можем выписать приближенные формулы, при годные при малых h:

sin(a + h) sin a + h cos a;

cos(a + h) cos a - h sin a.

Однако, чтобы иметь возможность ими пользоваться, необходимо знать их погрешность. Выясним это.

Начнем опять со случая, когда a = 0. Тогда формулы при нимают вид sin h h, cos h 1. Для малых значение cos h h положительно, так что можно записать cos h = 1 - sin2 h. С дру гой стороны, если 0 h, то sin h h. Отсюда cos h = 1 - sin2 h 1 - h2 1 - h (последнее — так как x x при 0 x 1). Стало быть, 1 - cos h h2, то есть погрешность формулы cos h 1 не превос ходит h2. Чтобы оценить погрешность формулы sin h h, снова воспользуемся неравенствами sin h h tg h:

sin h h - sin h tg h - sin h = - sin h = sin h - cos h cos h h - 1 - h 1 (мы заменили sin h и на б числа h и соответствен ольшие cos 1-h h 1 h но). Далее, h - 1 =. Если h 0,1, то 1 - h2 0,99, 1-h2 1-h 1,02, и h-sin h 1,02h3, так что при |h| 0,1 погрешность 1-h формулы sin h h не превосходит 1,02|h|3.

Теперь можно оценить погрешность формулы sin(a + h) sin a + h cos a.

Чтобы это сделать, заметим, что погрешность равна sin a + h cos a - sin(a + h), и раскроем sin(a + h) по формуле синуса суммы:

sin a + h cos a - sin(a + h) = = sin a + h cos a - sin a cos h - sin h cos a = = sin a(1 - cos h) + cos a(h - sin h) h2 sin a + 1,02h3 cos a (мы молчаливо предполагаем, что 0 a, так что sin a и cos a неотрицательны;

с помощью формул приведения к этому сводятся любые приближенные вычисления синуса и косинуса). Посколь ку при h 0,1 будет выполнено неравенство 1,02h3 < h2, нашу погрешность можно далее оценить так:

h2 sin a + 1,02h3 cos a h2 sin a + h2 cos a h2 + h2 = 2h2.

Стало быть, погрешность формулы sin(a + h) sin a + h cos a не превосходит 2h2 (при 0 a и 0 h 0,1). Например, если h = 0,01, то погрешность не превосходит 0,0002, так что при пользовании формулой sin(a + h) sin a + h cos a три знака после запятой будут верны.

Результат, который мы получили, — иллюстрация общего факта: если f — «достаточно хорошая» гладкая функция, то для малых h погреш ность приближенной формулы f(a + h) f(a) + hf (a) не превосходит Mh2 для некоторого числа M, не зависящего от h.

Задача 23.1. Докажите, что погрешность приближенной формулы cos(a + h) cos a - h sin a также не превосходит 2h2 при всех достаточно малых h. Укажите какую-нибудь конкретную границу для h, наподобие 0 h 0,1 в нашей формуле для синуса (не стремитесь найти наиболее экономную).

Мы ничего не говорили о производных тангенса и котангенса.

Они легко находятся из формул для производных синуса и коси нуса и следующей формулы для производной частного:

f(x) f (x)g(x) - g (x)f(x) =.

g(x) g(x) Применяя эту формулу к tg x = sin x/ cos x, получим:

(sin x) cos x - (cos x) sin x sin x (tg x) = = =.

cos x (cos x)2 (cos x) Задача 23.2. Докажите, что (ctg x) = -.

sin2 x В заключение покажем, как искать производные от обрат ных тригонометрических функций. Найдем, например, производ ную от функции y = arcsin x. Пусть мы ищем эту производную arcsin(a + h) - arcsin a в точке a. Составим отношение и обозна h чим arcsin a = b, arcsin(a + h) - arcsin a = t;

тогда arcsin(a + h) = b + t, поэтому h = (a + h) - a = sin(b + t) - sin b, так что arcsin(a + h) - arcsin a t =.

h sin(b + t) - sin b Когда h приближается к нулю, t тоже приближается к нулю;

ве личина, обратная к нашему отношению, стремится к производной синуса в точке b, то есть к cos а само отношение стремится b, к 1/ cos b;

так как b = arcsin a - ;

, то 2 cos b = 1 - sin2 b = 1 - sin2(arcsin a) = 1 - a2, так что производная в точке a равна 1/ 1 - a2. Итак:

(arcsin x) =.

1 - x Задача 23.3. Докажите формулы: а) (arccos x) = - ;

1 - x б) (arctg x) =.

1 + x Способ, которым мы нашли производную арксинуса, аналоги чен способу, с помощью которого мы нашли производную функ ции y = x. Если известна производная от какой-то функции, то таким способом можно найти производную от обратной к ней (функции y = x и y = arcsin x обратны к функциям y = x и y = sin x соответственно).

Глава Тригонометрия для абитуриентов § 24. Как решать тригонометрические уравнения Повторить: § 10. Простейшие тригонометрические уравнения.

§ 19. Тригонометрические формулы сложения.

§ 20. Формула вспомогательного угла.

§ 21. Двойные, тройные и половинные углы.

§ 22. Преобразование произведения в сумму и суммы в произведе ние.

С точки зрения поступающего в вуз, важным применением тригонометрии является ее использование в задачах вступитель ного экзамена. Кроме хорошего знания тригонометрии как тако вой, для успешного решения экзаменационных задач необходимо освоить несколько стандартных приемов. Изучению этих приемов и посвящена настоящая глава.

Предполагая, что вы уже умеете решать простейшие триго нометрические уравнения наподобие cos x = 0 или sin x = 1/3, пойдем дальше.

В простых случаях тригонометрическое уравнение можно по чти сразу свести заменой переменной к алгебраическому.

x x x Пример 24.1. cos2 - 7 cos + 4 = sin2.

3 3 x Решение. Если бы в правой части не было sin2, можно было x бы сразу же обозначать cos новой буквой. В данном же случае x придется предварительно выразить в правой части sin2 через x x x cos2. Заменим sin2 на 1 - cos2 :

3 3 x x x cos2 - 7 cos + 4 = 1 - cos2.

3 3 x Обозначая cos через t, получаем, после упрощений, 2t2-7t+3 = x = 0. Корни этого уравнения: t1 = 3, t2 = 1/2, так что cos = x или cos = 1/2. Первое из этих уравнений не имеет решений, так x x как cos 1;

решая второе, получаем = ± + 2k, откуда 3 3 x = ± + 6k (k Z).

Ответ: ± + 6k (k Z).

Вот еще пример, когда уравнение сводится к простейшим с по мощью разложения левой части на множители.

Пример 24.2. sin 2x + 4 cos x - sin x = 1.

Решение. Заменим sin 2x по формуле синуса двойного угла и пе ренесем все в левую часть:

sin 2x + 4 cos x - sin x - 1 = 0;

2 cos x(sin x + 2) - (sin x + 2) = 0;

2 cos x - (sin x + 2) = 0, 1 откуда 2 cos x- = 0 или sin x+2 = 0, то есть cos x = или sin x = 2 = -2. Решениями первого уравнения будут числа x = ± arccos + +2n (n Z), второе уравнение решений не имеет, так как sin x 1.

Ответ: ± arccos + 2n (n Z).

Теперь перейдем к более специфическим приемам.

Часто решение тригонометрического уравнения находится, если воспользоваться формулой для косинуса двойного угла в одном из следующих вариантов:

cos 2 = 2 cos2 - 1;

cos 2 = 1 - 2 sin2.

x Пример 24.3. 2 sin + cos x + 2 = 0.

x x Решение. Так как cos x = cos 2 · = 1 - 2 sin2, то, обозначая 2 x sin через t, получаем уравнение 2t + 1 - 2t2 + 2 = 0 2t2 - 2t - 3 = 0.

1 ± Корни этого уравнения равны, так что наше уравнение x 1 + 7 x равносильно совокупности уравнений sin = и sin = 2 2 1 - =. Первое из этих уравнений не имеет решений, так как 1 + 7 x 1 - > 1;

из второго имеем = (-1)n arcsin +n (n Z), 2 2 откуда 1 - Ответ: (-1)n · 2 arcsin + 2n (n Z).

Задача 24.1. Решите уравнения: а) cos 2x - 5 sin x - 3 = 0;

x б) 2 cos x = 5 - 9 sin.

Некоторые уравнения рассчитаны на то, что их будут решать с помощью формул синуса и косинуса тройного угла:

cos 3 = 4 cos3 - 3 cos ;

sin 3 = 3 sin - 4 sin3.

Задача 24.2. Решите уравнения:

а) cos 3x - 18 cos x + 10 = 0;

б) 5 sin x = sin 3x;

в) 8 cos 6x cos 3x - cos 9x - cos 3x = 0.

Следующий тип тригонометрических уравнений, с которыми нам надо познакомиться, — это однородные тригонометрические уравнения. Вообще, однородным уравнением от двух неизвестных u и v называют уравнение a0un + a1un-1v + a2un-2v2 +... + anvn = 0, () в котором во всех слагаемых сумма степеней при u и v одна и та же (она называется степенью однородного уравнения). Одно родным тригонометрическим уравнением называется уравнение, которое получится из (), если вместо u и v подставить синус и косинус одного и того же выражения. Вот пример однородного тригонометрического уравнения степени 2:

Пример 24.4. sin2 x - 4 sin x cos x + 3 cos2 x = 0.

Решение. Поделим обе части уравнения на cos x. Чтобы это дей ствие было законным, надо убедиться, что выражение, на которое мы делим, не может обращаться в нуль для тех x, которые яв ляются корнями уравнения. В самом деле, если cos2 x = 0, то cos x = 0;

в нашем уравнении второе и третье слагаемые обратятся в нуль, а потому и первое слагаемое обращается в нуль: sin2 x = 0.

Однако cos2 x и sin2 x не могут одновременно равняться нулю, так что деление на cos2 x законно. Поделив, после очевидных упроще ний получим: tg2 x - 4 tg x + 3 = 0. Обозначая tg x = t, получаем квадратное уравнение, из которого находим t, а затем и сам x.

Ответ: (/4) + n;

arctg 3 + n (n Z).

Рассуждение, оправдывающее законность деления на cos2 x, проходит всегда, если только в уравнении присутствует слагаемое с sin2 x. В противном случае делить на cos2 x нельзя, но в этом и нет необходимости, так как можно сразу вынести cos x за скобку.

Приведем пример.

Пример 24.5. 3 sin x cos x + 2 cos2 x = 0.

Решение. Переписав уравнение в виде cos x(3 sin x + 2 cos x) = 0, получаем, что оно равносильно совокупности уравнений:

cos x = 0;

(1) 3 sin x + 2 cos x = 0. (2) Решениями уравнения (1) являются x = + k, k Z;

для ре шения уравнения (2) поделим обе части на cos x (на сей раз это можно, так как если cos x = 0, то из (2) вытекало бы, что sin x = 0, а sin x и cos x не могут одновременно равняться нулю) и получим 2 3 tg x + 2 = 0, откуда tg x = - и x = arctg - + n (n Z).

3 Ответ: + n;

arctg - + n (n Z).

2 Кстати, уравнение (2), которое мы решили по ходу дела, — то же однородное уравнение относительно sin x и cos x, только первой степени.

Наряду с уравнениями, которые сразу записаны в виде одно родных относительно синуса и косинуса, существуют и уравнения, которые можно свести к однородным с помощью следующего при ема:

Если в каждой из частей тригонометрического уравнения сто ит сумма выражений вида sin2 x, cos2 x, sin x cos x, sin 2x, cos 2x (возможно, с какими-то коэффициентами) и свободных членов, то это уравнение сведется к однородному, если всюду заменить sin 2x на 2 sin x cos x, cos 2x на cos2 x - sin2 x, а каждый свобод ный член a заменить на a(cos2 x + sin2 x).

3x 3x 3x Пример 24.6. 2 - 4,5 sin 3x + 5 cos2 = cos 3x + sin cos.

2 2 3x 3x 3x Решение. Заметим, что sin 3x = sin 2 · = 2 sin cos, 2 2 3x 3x 3x 3x 3x cos 3x = cos 2 · = cos2 - sin2, 2 = 2 cos2 + sin2.

2 2 2 2 С учетом этого уравнение запишется так:

3x 3x 3x 3x 3x 2 cos2 + 2 sin2 - 4,5 · 2 sin cos + 5 cos2 = 2 2 2 2 3x 3x 3x 3x = cos2 - sin2 + sin cos, 2 2 2 или, после упрощений:

3x 3x 3x 3x 3 sin2 - 10 sin cos + 6 cos2 = 0.

2 2 2 3x 3x Получилось однородное уравнение относительно sin и cos.

2 Дальнейшее ясно.

2 5 ± 7 Ответ: arctg + n (n Z).

3 3 С помощью описанного приема можно решать и уравнения вида a sin x + b cos x = c, которые мы решали в § 20 с помощью формулы вспомогательного угла: надо только заменить sin x на x x x x x x 2 sin cos, cos x — на cos2 - sin2, c — на c cos2 + sin2.

2 2 2 2 2 Задача 24.3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению 10x2 - 13xy + 3y2 = 0.

Задача 24.4. Решите уравнение 10x4 - 7x2(x2 + x + 1) + (x + x + 1)2 = 0.

Задача 24.5. Решите уравнения:

а) 7 sin2 x - 5 sin x cos x - cos2 x = 0;

б) sin2 x + 3 sin x cos x + 2 cos2 x = 1;

в) sin x - cos x = 1;

г) 4 sin3 x - 5 sin2 x cos x + sin x = cos3 x;

д) 2 sin3 x + sin 3x + 3 sin2 x cos x + cos3 x = 0;

е) 3(cos x - sin x) = 1 + cos 2x - sin 2x.

Задача 24.6. При каких значениях a уравнение x x a sin x + (a + 1) sin2 + (a - 1) cos2 = 2 имеет решение?

Ключ ко многим уравнениям — это преобразование суммы в произведение и произведения в сумму.

Разберем два примера.

Пример 24.7. sin 3x = cos 5x.

Решение. Преобразуем cos 5x по формуле приведения и перенесем его в левую часть. Тогда получим уравнение sin 3x - sin 5x + = 0.

Преобразуем в произведение:

3x - 5x - (/2) 3x + 5x + (/2) 2 sin cos = 0, 2 -2 sin x + cos 4x + = 0, 4 откуда sin x + = 0 или cos 4x + = 0. Решая первое урав 4 нение, получаем x + = n, откуда x = - + n, n Z. Решая 4 k второе уравнение, получаем 4x+ = +k, откуда x = +, 4 2 16 k Z.

k Ответ:

- + n, + (n, k Z).

4 16 Пример 24.8. sin 2x sin 6x = cos x cos 3x.

Решение. Преобразуем обе части следующим образом:

1 (cos 4x - cos 8x) = (cos 4x + cos 2x);

2 cos 4x - cos 8x = cos 4x + cos 2x;

cos 2x + cos 8x = 0;

2 cos 5x cos 3x = 0, откуда cos 5x = 0 или cos 3x = 0. Дальнейшее ясно.

Ответ: /10 + n/5;

/6 + n/3 (n Z).

Задача 24.7. Решите уравнения:

а) cos 3x = cos 5x;

б) sin x sin 3x + sin 4x sin 8x = 0;

в) sin 3x - sin 7x = 3 sin 2x. г) cos 5x + cos 6x + cos 7x = 0;

д) cos 9x - cos 7x + cos 3x - cos x = 0;

е) sin + x cos - 4x = sin + 3x cos - 6x.

6 3 4 Некоторые уравнения легко решаются с помощью формулы вспо могательного угла (§ 20).

В дополнение к сказанному в § 20 об этой формуле заметим, что на практике при преобразовании выражений вида a sin x + + b cos x с конкретными a и b не обязательно пользоваться именно формулой синуса суммы: можно воспользоваться любой другой формулой сложения.

Пример 24.9. sin x - cos x = 2/2.

Решение. Преобразуем левую часть так:

1 sin x - cos x = 2 sin x - cos x = 2 = 2 sin sin x - cos cos x.

4 Стало быть, уравнение принимает вид - 2 cos x + = 2/2, откуда cos x + = -1/2. Дальнейшее ясно.

5 Ответ: + 2n;

+ 2k.

12 Можно было бы решить это уравнение и по-другому, сведя его x x к однородному относительно cos и sin.

2 Задача 24.8. Решите уравнения:

а) 2 sin x + 5 cos x = 29 sin 7x;

x б) cos x + 3 sin x = sin -.

2 В некоторых уравнениях решающим переходом является ис пользование формул понижения степени:

1 - cos 2 1 + cos sin2 = ;

cos2 =.

2 Пример 24.10. cos 4x + 2 cos2 x = 2.

Решение. Преобразуем уравнение так:

1 + cos 2x cos 4x + 2 · = 2;

cos 4x + 1 + cos 2x = 2;

cos(2 · 2x) + 1 + cos 2x = 2;

2 cos2 2x + cos 2x - 2 = 0.

Дальнейшее ясно.

1 17 - Ответ: ± arccos + n (n Z).

2 В связи с формулами понижения степени находится еще один частный, но поучительный прием решения тригонометрических уравнений.

Пример 24.11. sin x + cos x = sin 2x.

Решение. Пусть sin x + cos x = t. Тогда t2 = (sin x + cos x)2 = sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x = 1 + sin 2x, откуда sin 2x = t2 - 1. Стало быть, уравнение принимает вид 1 ± t = t2-1, откуда t =, и уравнение сводится к совокупности 1 + 5 1 - двух уравнений: sin x+cos x = и sin x+cos x =. Эти 2 уравнения можно далее решать разными известными вам способа ми (удобнее всего — с помощью формулы вспомогательного угла).

Неопытные люди часто решают это уравнение так: возводят обе части в квадрат, получают, после упрощений, уравнение 1 + sin 2x = sin2 2x, () после чего обозначают sin 2x = y и действуют далее обычным об разом. В полученном ответе, однако, будут посторонние решения.

Дело в том, что уравнение sin x + cos x = - sin 2x () после возведения в квадрат тоже дает уравнение ()! Значит, ре шая (), мы находим не только то, что нам нужно, но и корни «постороннего» уравнения (). Именно так и появляются «посто ронние корни» при возведении уравнений (не обязательно триго нометрических) в квадрат. В принципе посторонние корни можно отсеять (либо непосредственной подстановкой в исходное урав нение, либо оставив только те из них, при которых обе части возводимого в квадрат уравнения имеют один знак), но в данном случае провести такой отсев было бы непросто.

Задача 24.9. Решите уравнения:

x а) sin2 + cos 2x = 1;

б) sin4 x + cos4 x = 7/8;

x x в) sin 2x = cos4 - sin4 ;

2 г) cos2 3x + cos2 4x + cos2 5x = 3/2;

x 3x д) cos2 - cos2 = sin2 2x - sin2 4x;

2 е) sin2 + x = sin x + sin2 - x ;

8 3 3 x ж) 2 + cos x + 3 sin x = 4 sin2 ;

2 2 з) 2 sin x + 2 cos x + 1 = sin 2x + 4(sin3 x + cos3 x).

До сих пор мы избегали уравнений, в которых участвуют тан генс или котангенс или же что-то стоит в знаменателе, теперь дошла очередь и до них. Основной новый момент — необходимость следить за областью определения.

Напомним, что выражение tg x имеет смысл тогда и только то гда, когда x = + n ни для какого n Z (иными словами, когда cos x = 0). Аналогично выражение ctg x имеет смысл тогда и толь ко тогда, когда x = n, n Z (иными словами, когда sin x = 0).

Лучше всего в самом начале решения уравнения выписать все необходимые ограничения (если в уравнении присутствует tg 2x, надо написать, что 2x = + n;

если какое-то выражение стоит в знаменателе, надо записать, что оно не равно 0, причем не обя зательно сразу же «расшифровывать» это ограничение, выясняя, чему именно не может равняться x: ведь для этого может по требоваться решить еще одно уравнение!). В конце решения надо проверить найденные значения неизвестных на вхождение в об ласть определения. Часто это бывает совсем просто. Например, если мы свели уравнение в конечном счете к простейшему урав -1 + нению cos x =, а выписанные нами ограничения имеют вид cos x + 1 = 0, то ясно, что все наши x этому ограничению удовлетворяют. Или, допустим, уравнение свелось к совокупности уравнений tg 2x = -1 и tg 2x =, в то время как ограничение бы n ло x = +, что проистекает из условия «tg 2x имеет смысл»;

4 тогда опять-таки все найденные нами x подходят: уж если мы знаем, чему равен tg 2x, то заведомо tg 2x имеет смысл. Бывают и случаи, когда так просто с проверкой не обойдешься;

о них речь пойдет в следующем параграфе.

Пример 24.12. (cos x + 1) ctg x = sin 2x.

Решение. Выпишем область определения: x = k (k Z). Теперь перепишем уравнение, согласно определению котангенса:

(cos x + 1) cos x = sin 2x.

sin x Избавимся от знаменателя и преобразуем:

(cos x + 1) cos x = sin 2x sin x;

(cos x + 1) cos x = 2 sin2 x cos x;

(cos x + 1) cos x = 2(1 - cos2 x) cos x.

Получилось алгебраическое уравнение относительно cos x;

решая его, получаем: cos x = 0, cos x = -1 или cos x = 1/2. Решения первого уравнения имеют вид + n (n Z);

все эти x входят в область определения, так как для них sin x = 0. Решения урав нения cos x = -1 в область определения не входят, так как если cos x = -1, то sin x = 0. Наконец, решения уравнения cos x = 1/ имеют вид x = ± +2m;

они в область определения входят (если cos x = 1/2, то sin x = 0).

Ответ: + n;

± + 2m (n, m Z).

2 Задача 24.10. Решите уравнения:

2 3 cos 2x 1 а) ctg x - tg x = ;

б) + = 4;

1 + cos 2x cos x sin x 1 в) 2 ctg x - = ;

г) (sin 2x + sin 4x) tg x = 0;

cos x sin 2x 1 - cos x sin x cos x д) = 2;

е) + = 2.

sin(x/2) 1 + cos x 1 + sin x Еще одна неприятность, связанная с областью определения, возникает при применении тригонометрических тождеств, левая или правая часть которых определена не при всех значениях пере менных. Если мы заменяем выражение на тождественно равное ему, но с меньшей областью определения, то те значения пере менной, при которых определена левая часть тождества, но не определена его правая часть, из рассмотрения выпадают, и да же если какие-то из них являются корнями исходного уравнения, в ответ они заведомо не войдут. Поэтому при каждой такой за мене те значения неизвестного, что выпадают из рассмотрения, надо немедленно проверить (например, подстановкой в исходное уравнение).

Пример 24.13. Решим уравнение 3 sin x - 2 cos x = 2 с помощью «формул универсальной подстановки» (выражающих sin x и cos x через tg(x/2)). Согласно этим формулам, 2 tg(x/2) 1 - tg2(x/2) sin x =, cos x =. () 1 + tg2(x/2) 1 + tg2(x/2) Левые части этих тождеств определены при всех x, а правые — при всех x, кроме тех, для которых x/2 = + k (k Z). По этому эти значения x надо проверить подстановкой в исходное уравнение. Если x/2 = + k, то x = + 2k (k Z);

под ставляя в уравнение, убеждаемся, что эти x являются корнями.

Теперь обозначим tg(x/2) = t и заменим в уравнении sin x и cos x по формулам (). Получим:

6t 1 - t - 2 · = 2.

1 + t2 1 + t Решая это уравнение, находим:

t = 2/3, tg(x/2) = 2/3, x = 2 arctg(2/3) + 2n (n Z).

Собирая найденные значения x, получаем Ответ: + 2k;

2 arctg(2/3) + 2n (k, n Z).

Если бы мы забыли проверить те значения x, при которых tg(x/2) не имеет смысла, то первая из двух серий решений была бы потеряна.

Задача 24.11. Рассмотрим следующие тригонометрические тож дества:

sin( + ) sin а) tg + tg = ;

б) tg = ;

cos cos 2 1 + cos 1 - cos 1 - cos в) tg = ;

г) tg2 = ;

2 sin 2 1 + cos 2 tg(/2) 2 tg д) sin = ;

е) tg 2 = 1 + tg2(/2) 1 - tg 1 ж) = cos2 ;

з) 1 + tg2 =.

1 + tg2 cos Разбейте их на такие группы: 1) тождества, у которых области определения левой и правой частей совпадают;

2) тождества, у ко торых область определения правой части шире, чем область опре деления левой части;

3) тождества, у которых область определе ния правой части уже, чем область определения левой части.

Задача 24.12. Решите уравнение 3 sin x-2 cos x = 2, разобранное в предыдущем примере, двумя другими способами: с помощью фор мулы вспомогательного угла и с помощью сведения к уравнению, однородному относительно sin(x/2) и cos(x/2).

Задача 24.13. Решите уравнения:

а) 8 cos x + 6 sin x - cos 2x - 7 = 0;

б) 5 sin 2x - 5 cos 2x = tg x - 5;

в) 2(1 - cos 2x) = 3 tg x;

г) 3 tg x = tg - x.

В заключение параграфа приведем один пример решения си стемы тригонометрических уравнений, который должен предосте речь вас от типичной ошибки.

Пример 24.14. Решите систему уравнений:

cos(x + y) = 1;

cos(x - y) = -1.

Решение. Эта система, очевидно, равносильна следующей:

x + y = 2k (k Z);

x - y = + 2n (n Z).

Складывая и вычитая уравнения, находим: x = + (k + n), y = - + (k - n). Теперь записываем Ответ: (x;

y) = + (k + n);

- + (k - n) (k, n Z).

2 Типичная ошибка при решении этой и подобных систем — обо значить «любое целое число» в двух уравнениях одной и той же буквой:

x + y = 2k;

x - y = + 2k;

после этого в качестве решений системы получатся пары (x;

y) = = + 2k;

-. Все они решениями действительно являются, 2 но кроме них есть еще много других, скажем ;

. Чтобы 2 cos(x+y) равнялся 1, а cos(x-y) равнялся -1, вполне достаточно, чтобы равенства x + y = 2k и x - y = + 2n выполнялись при разных k и n.

Задача 24.14. Изобразите на плоскости множество точек, коорди наты (x;

y) которых удовлетворяют следующим условиям:

а) системе уравнений из примера 24.14;

cos x = 0;

б) cos x cos y = 0;

в) cos y = 0.

г) cos x + cos y = 0.

Задача 24.15. Решите системы уравнений:

sin x cos y = 1/2;

sin2 x = cos x cos y;

а) б) sin y cos x = 1/2. cos2 x = sin x sin y.

- = sin y;

sin x sin x в) cos x - = cos y.

cos x 2 5 - cos2 6x + ( 5 - 1) ctg(-9y) = ;

г) 2 5 - ctg2(-9y) + ( 5 - 1) cos 6x =.

2y - ctg(x - y) = 3;

д) 3y + 2 ctg(x - y) = 8.

§ 25. Отбор чисел на тригонометрическом круге Повторить: § 6. Определение тригонометрических функций.

§ 10. Простейшие тригонометрические уравнения.

В уравнениях, встречавшихся нам до сих пор, при отборе кор ней получалось так, что при проверке в ответ включалась или же отбрасывалась вся серия целиком. В этом параграфе мы рас скажем, что делать в более сложных случаях, когда часть серии в ответ входит, а часть — нет.

cos 3x Пример 25.1. = 0.

sin 2x а) б) Рис. 25.1.

Решение. Это уравнение, очевидно, равносильно системе cos 3x = 0;

sin 2x = 0, или k x = + ;

3x = + k;

6 (k, n Z).

n 2x = n x = Итак, нам нужно из множества всех x, представимых в виде + k, где k — некоторое целое число, выкинуть посторонние корни — n те, что представимы в виде, где n — какое-то целое число.

Для этого нанесем на тригонометрический круг все числа вида k x = +, где k Z (рис. 25.1а).

6 При этом получится 6 точек, обозначенных на рис. 25.1а. Эти точки появляются, если взять любые 6 последовательных значе ний n, при остальных n точки будут повторяться. Более того, ясно, что всякое число, которому соответствует одна из отмечен k ных на рис. 25.1а точек, имеет вид + для некоторого целого k.

6 Если нанести на этот рисунок еще и точки, соответствующие n числам вида, то у нас получится рис. 25.1б (точки, соответ n ствующие числам, отмечены белыми кружками). Ответом к на k шему уравнению будут числа, представимые в виде + и при 6 n этом не представимые в виде. Иными словами, решения урав нения — числа, которым соответствуют черные кружки, не сов падающие с белыми. Обращаясь к рис. 25.1б, видим, что таких кружков ровно четыре, и каждому из них соответствует беско 5 7 нечная серия значений x: +2n;

+2n;

+2n;

+2n.

6 6 6 Можно также объединить первую серию с третьей, а вторую — с четвертой. Тогда ответ запишется так: x = + n;

x = + n 6 (n Z).

Мы не случайно при записи системы k x = + ;

6 n x = использовали две разные буквы для обозначения «произвольного k n целого числа»: ведь если x = + =, где k = n, то x — все 6 3 равно посторонний корень. Например, так будет при k = 4 и n = (получается посторонний корень 3/2).

cos(x/2) Пример 25.2. = 0.

sin(x/3) Решение Это уравнение равносильно системе cos(x/2) = 0;

x = + 2k;

или (k, n Z).

sin(x/3) = 0 x = 3n Попробуем действовать так же, как и в предыдущем примере:

нанесем на тригонометрический круг черные точки — числа ви да + 2k и белые точки — числа вида 3n. То, что получится, изображено на рис. 25.2.

На основании этого рисунка надо, казалось бы, сделать вывод, что решений у уравнения нет: ведь на рисунке нет черных точек, не сов падающих с белыми. Тем не менее легко ви деть, что, скажем, число x = будет реше нием уравнения. Где же мы ошиблись? Дело в том, что изображение чисел вида 3n, где Рис. 25.2.

n Z, на тригонометрическом круге неаде кватно: верно, что все такие числа изображаются одной из белых точек на рис. 25.2, но неверно, что все числа, соот ветствующие белым точкам, имеют вид 3n с целым n: бе лым точкам на рис. 25.2 соответствуют и числа, 2, 4, и т. д.

Вообще, изображение множества чисел на тригонометрическом круге будет адекватно, только если это множество «имеет период 2»: вместе с каждым числом x содержит числа x - 2 и x + 2.

В частности, будет иметь период 2 множество решений уравне ния, обе части которого имеют период 2 как функции от x.

cos(x/2) Доведем теперь до конца решение уравнения = 0.

sin(x/3) Все, что нам нужно, — выяснить, для каких целых чисел k число x = +2k окажется посторонним корнем. Это будет тогда, когда найдется такое число n Z, что + 2k = 3n. Сокращая в этом равенстве на, получаем вопрос, к которому все сводится: для каких k Z существует такое n Z, что 1 + 2k = 3n?

3n - Чтобы ответить на этот вопрос, выразим k через n: k = ;

выделим из этой дроби «целую часть»:

3n - 1 2n + n - 1 n - k = = = n +. () 2 2 n - Так как k и n — целые числа, то — тоже целое число. Значит, n - = m, n = 2m + 1 (m Z). Подставляя в (), получаем k = 3m + 1 (m Z). Итак, мы получили ответ на наш вопрос:

посторонние корни получаются при k = 3m + 1, m Z. Нас же интересуют как раз все остальные k. Ясно, что сказать «k = 3m+ 1, m Z»— все равно, что сказать «число k при делении на 3 дает остаток, не равный 1». Однако кроме единицы при делении на возможны только остатки 0 или 2. Так что можно еще сказать, что для числа x = +2k, являющегося корнем, число k дает при делении на 3 остаток 0 или 2, или, иными словами, k = 3m или k = 3m + 2, m Z. Подставляя это выражение для k, получаем окончательно ответ: x = + 6m или x = 5 + 6m.

Прием, позволивший нам выделить «плохие» значения k, сра батывает всегда;

как им пользоваться в общем случае, рассказано в приложении к этому параграфу.

cos(x/2) Заметим еще, что и для уравнения = 0 можно было sin(x/3) бы обойтись изображением чисел на круге. Для этого надо бы ло бы сделать замену переменной x = 6t. После этого уравнение cos 3t принимает вид = 0. Левая часть этого уравнения уже имеет sin 2t период 2 как функция от t, так что его можно решать, отбирая числа на круге. Найдя t, остается найти x = 6t.

Задача 25.1. Решите уравнения:

sin 3x sin 4x а) = 0;

б) = 0;

cos 6x cos 5x sin 4x cos 3x в) = 1;

г) = 1;

cos 6x sin 2x д) tg 5x = tg 3x.

Задача 25.2. Решите уравнения:

а) sin 3x + cos 4x = 2;

б) sin 3x - cos 2x = 2;

в) sin 4x + | sin 5x| = 2;

г) sin3 5x + sin4 7x = 2;

x x д) sin - sin = -2.

3 Указание к пункту а). При всех x верны неравенства sin 3x 1, cos 4x 1. Складывая их, получаем, что sin 3x+cos 4x 2, причем равенство достигается только в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны 1.

Задача 25.3. Решите уравнения:

а) sin 6x cos 8x = 1;

б) cos 4x cos 5x = 1;

x x в) cos 8x cos 3x = -1;

г) sin cos = -1;

10 x x д) cos cos = 1.

2 Указание к пункту а). При всех x верны неравенства | sin 6x| 1, | cos 8x| 1. Следовательно, sin 6x cos 8x = 1 тогда и только тогда, когда оба сомножителя одновременно равны 1 или -1.

Задача 25.4. а) Решите уравнение cos x + cos(x 2) = 2.

б) При каких значениях a уравнение cos x + cos(ax) = 2 имеет бесконечно много решений?

Приложение. Линейные неопределенные уравнения с двумя неизвестными При отборе корней тригонометрических уравнений иногда прихо дится отвечать на вопросы наподобие: «для каких k Z существу ет такое n Z, что 44k + 6 = 166n»? Посмотрим на этот вопрос немного с другой стороны: выясним, для каких вообще целых k и n выполняется равенство 166n - 44k = 6. Такого рода задачи называются неопределенными уравнениями (точнее говоря, ли нейными неопределенными уравнениями с двумя неизвестными, но эти уточняющие слова мы будем опускать, поскольку других неопределенных уравнений нам не встретится). Расскажем, как можно решать такие уравнения.

Первое, что надо сделать для решения неопределенного урав нения, — это найти наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных и попробовать сократить на него обе части урав нения (разумеется, свободный член должен при этом остаться целым числом). Рассмотрим, например, уравнение 21k - 24n = 8.

Наибольший общий делитель коэффициентов равен 3, и сокра тить на него не удается, так как 8 на 3 не делится. Тогда можно сразу сказать, что это уравнение решений в целых числах не име ет. В самом деле, если (k;

n) — решение этого уравнения1, то левая В этом приложении под «решением» мы всегда понимаем целочисленное решение.

часть делится на 3 (так как на 3 делятся оба коэффициента), а правая часть на 3 не делится. Значит, у этого уравнения реше ний нет. Сформулируем примененное нами соображение в общем виде:

Если в уравнении ax+by = c (с целыми a, b и c) коэффициенты a и b делятся на некоторое число d, а свободный член c не делится на d, то это уравнение не имеет решений в целых числах.

Мы указали одну причину, по которой наше неопределенное уравнение может не иметь решений. Оказывается, во всех осталь ных случаях решения обязательно будут.

Если в неопределенном уравнении ax+by = c свободный член c делится на наибольший общий делитель коэффициентов a и b (в частности, так будет, если a и b вообще не имеют общих делите лей, кроме единицы), то уравнение обязательно имеет решения в целых числах.

Мы не будем доказывать это утверждение, а просто покажем, как искать решения.

Решим уравнение 166n - 44k = 6. Для начала, как мы уже говорили, поделим обе части на 2: 83n - 22k = 3. Теперь выберем ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине — в нашем случае это k, — и выразим ее через другую 83n - неизвестную: k =. Выделим в этой дроби целую часть:

83n - 3 66n + 17n - 3 17n - k = = = 3n +. () 22 22 Как видите, целочисленные решения нашего уравнения будут по лучаться, если подставлять в него все те целые n, для которых 17n - число тоже будет целым: ведь тогда из () получается, 17n - что и k — целое число. Но как же узнать, когда число 17n - будет целым? Для этого обозначим буквой t и запишем:

17n - = t, или 17n - 3 = 22t. Как видите, снова получилось неопределенное уравнение, но его коэффициенты уже меньше, чем у исходного. Проделаем с этим новым уравнением ту же опе рацию, что и c исходным: выразим из него ту неизвестную, коэф фициент при которой меньше по абсолютной величине (на сей раз это будет n), и выделим из получающейся дроби целую часть:

22t + 3 17t + 5t + 3 5t + n = = = t +. () 17 17 5t + Из () видно, что число обязано быть целым. Обозначим 5t + его буквой s: = s, 5t + 3 = 17s. Продолжая в том же духе, выразим t через s:

17s - 3 2s - t = = 3s +.

5 2s - 3 2s - Обозначим, далее, буквой v: = v, 2s - 3 = 5v, 5 5v + 3 v + 3 v + s = = 2v +. Обозначим, наконец, буквой u:

2 2 v + = u, v = 2u - 3. В этом месте наши мучения и кончают ся. В самом деле, нам надо выяснить, для каких целых v чис v + ло будет целым, и ответ на этот вопрос уже готов: если v = 2u - 3, где u — любое целое число! (дело тут, конечно, в том, что в неопределенном уравнении v = 2u - 3 коэффициент при v равен единице). Теперь, чтобы получить решения исходного урав нения, нам осталось последовательно выразить v через u, s через v, t через s, n через t и k через n. Отправимся в обратный путь:

v + 3 2s - v = 2u - 3;

s = 2v + = 5u - 6;

t = 3s + = 17u - 21;

2 5t + 3 17n - n = t + = 22u - 27;

k = 3n + = 83u - 102. Итак, ре 17 шение получено: k = 83u-102, n = 22u-27, где u — произвольное целое число. Стало быть, ответ на наш исходный вопрос таков:

пусть k — целое число. Тогда 44k + 6 = 166n для некоторого n Z тогда и только тогда, когда k = 83u - 102, где u Z.

Изложенный нами способ нахождения решения линейного неопре деленного уравнения с целыми коэффициентами называется ал горитмом Евклида.

Задача 25.5. Для каких целых k существует такое целое n, что 7k - 19 = 5n?

Задача 25.6. Решите уравнения в целых числах:

а) 17x + 19y = 1;

б) 26x - 78y = 143;

в*) 7x2 - 4y = 5.

Задача 25.7. При решении в целых числах уравнения 166n-44k = = 6 нам пришлось ввести помимо n и k четыре дополнительные переменные (t, s, v и u). Приведите пример неопределенного урав нения вида ax + by = c, в котором a и b — двузначные числа, для решения которого по изложенному методу надо ввести во семь дополнительных переменных. Попробуйте также доказать, что большего количества дополнительных переменных при дву значных a и b никогда не потребуется.

§ 26. Как решать тригонометрические неравенства Повторить: § 6. Определение тригонометрических функций.

§ 11. Графики синуса и косинуса.

Мы начнем с простейших неравенств, к которым любое тригонометрическое неравенство в конечном счете сводится.

Пример 26.1. sin x > 1/2.

Решение. Для начала выясним, какие точки на тригонометрической окружно сти соответствуют решениям неравен ства. Это — точки, ордината которых больше 1/2, и на окружности они запол няют дугу P Q, отмеченную на рис. 26.1.

Теперь можно записать множество чисел, соответствующих Рис. 26.1.

точкам на дуге P Q. Ясно, что это множество содержит интервал (/6;

5/6) (/6 соответствует точке P, 5/6 — точке Q), а вооб ще наше множество состоит из всех интервалов (/6+2k;

5/6+ 2k), где k — целое: ведь если точке на тригонометрической окруж ности соответствует число x, то ей же соответствуют и все числа вида x + 2k (k Z) (рис. 26.2).

Рис. 26.2.

Ответ к неравенству можно записать так:

(/6 + 2k;

5/6 + 2k) (k Z) или еще проще: /6 + 2k < x < 5/6 + 2k.

Пример 26.2. sin x 1/3.

Решение. На тригонометрической окружности множество решений неравенства изобразится ду гой P Q, отмеченной на рис. 26.3. Нам нужно выбрать на числовой оси какой-нибудь отрезок, соответствующий этой дуге, и тогда останется только прибавить к его границам 2n. Выберем Рис. 26.3.

какое-нибудь число, соответствующее одному из концов дуги. Очевидно, точке P соответствует arcsin. Раз это число выбрано, выбор числа, соответствующего другому концу, уже предопределен. Чтобы найти это число, надо сдвинуться из точки arcsin на числовой оси в отрицательном направлении на расстояние, равное длине дуги P Q. Точке O на окружно сти соответствует ноль, точке B — число -, а точке Q — чис 1 ло, расположенное еще на arcsin левее, то есть - - arcsin.

3 Стало быть, один из отрезков, соответствующих дуге P Q, будет 1 - -arcsin ;

arcsin, а ответом к неравенству sin x 1/3 будет 3 объединение отрезков 1 - - arcsin + 2k;

arcsin + 2k (k Z).

3 Разумеется, тот же ответ можно представить и по-иному, напри мер 1 1 - + 2k;

arcsin + 2k ;

- arcsin + 2k;

+ 2k.

2 3 3 Пример 26.3. tg x > -.

Решение. Используя ось тангенсов, легко убедить ся, что на тригонометрической окружности ре шения неравенства изображаются двумя дугами, отмеченными на рис. 26.4. Дуге P Q соответству ет интервал - ;

arctg -, а дуге MN — ин тервал ;

+ arctg -. Второй из этих ин- Рис. 26.4.

2 тервалов получается из первого сдвигом на, так что ясно, что ответ к неравенству — это объединение интервалов 3 - + n;

arctg - + n (n Z).

2 При решении простейших тригонометрических неравенств мож но также пользоваться не тригонометрическим кругом, а графи ками. Например, чтобы решить то же неравенство sin x 1/3, достаточно отметить на числовой оси такие точки, что лежащие над ними точки графика y = sin x имеют ординату не более 1/ (рис. 26.5). По этому рисунку легко записать ответ.

При оформлении решений простейших тригонометрических неравенств не надо записывать рассуждений наподобие тех, что мы проводили в этих примерах: достаточно рисунка наподобие рис. 26.3 и ответа. Можно также нарисовать рисунок наподобие рис. 26.5 и опять же записать ответ.

Задача 26.1. Решите неравенства:

Рис. 26.5.

а) cos x 0;

б) sin x < 0;

x в) cos 100x 0;

г) cos 0;

д) tg 2x < 0.

Задача 26.2. Решите неравенства:

2 а) sin 2x ;

б) sin x < - ;

2 в) | sin x| ;

г) tg x 1;

д) | tg x| >.

Задача 26.3. Решите неравенства:

1 2 а) sin x < ;

б) cos 3x > - ;

в) | sin x| ;

4 9 г) tg x 5.

Задача 26.4. Решите неравенства:

а) sin x > sin 1;

б) sin x sin 7;

в) cos x > cos 10;

г) cos x sin 2;

д) tg x < ctg 10.

Задача 26.5. Решите неравенства:

а) 2 sin2 x - 3 cos x - 1 0;

б) 9 cos 4x + 6 cos 2x + 5 < 0;

в) cos 2x - 2 sin x + 5 > 0.

Задача 26.6. Решите неравенства:

а) arccos x ;

б) arccos x < 2;

в) arcsin x - ;

г) arccos x <.

4 Приведем пример решения более сложного неравенства.

2 sin x + Пример 26.4. 0.

x 2 cos - Решение. Мы применим «метод интервалов», который должен быть вам знаком по решению рациональных неравенств. Рецепт таков: надо на числовой оси отметить те точки, в которых обраща ются в нуль числитель и знаменатель;

на каждом из интервалов, на которые делится этими точками числовая ось, знак левой части будет постоянен, и останется только записать ответ как объедине ние интервалов с нужным знаком. В случае тригонометрических неравенств точек и интервалов будет, как правило, бесконечно много, однако они будут периодически повторяться, поэтому до статочно все проделать на отрезке длиной в период.

В нашем случае наименьшим периодом числителя будет 2, а знаменателя 4. Будем поэтому рассматривать знак левой ча сти на отрезке [0;

4]: его длина равна 4, а это число служит периодом как числителя, так и знаменателя.

Легко видеть, что на отрезке [0;

4] числитель обращается в 7 11 19 нуль в точках,, и, а знаменатель — в точках 6 6 6 2 и. Знаки числителя, знаменателя и левой части удобно 3 записать в таблице (точки, в которых знаменатель обращается в нуль, мы в интервалы не включили).

2 7 7 11 11 Интервал 0;

;

;

;

3 3 6 6 6 6 2 sin x + 1 + + - + x 2 cos - 1 + - - Левая часть + - + 19 10 10 23 Интервал ;

;

;

6 3 3 6 2 sin x + 1 - - + x 2 cos - 1 - + + Левая часть + - + Теперь, выделяя промежутки, на которых левая часть неот рицательна, и прибавляя к концам 4k, получаем 7их 2 11 Ответ: 4k;

+ 4k ;

+ 4k;

+ 4k ;

+ 4k;

+ 6 6 6 23 + 4k ;

+ 4k;

4 + 4k (k Z).

Задача 26.7. Ответ к неравенству из 7 19примера 26.4 можно записать 11 и так: + 4k;

+ 4k ;

+ 4k;

+ 4k ;

+ 6 6 6 3 + 4k;

+ 4k (k Z). Убедитесь, что ответ в этой форме задает то же самое множество значений x.

Задача 26.8. Решите неравенства:

sin 3x а) 0;

б) cos 2x cos x + ;

sin 5x 3 sin x + в) < 1.

2 cos x + § 27. Задачи на повторение Задача 27.1. Решите уравнения:

а) sin x + cos x = cos 2x;

б) sin2 x + cos2 3x = 1;

cos2 3t cos2 t в) + = 0;

г) sin6 x + cos6 x = sin 2x;

tg t tg 3t д) ctg x + ctg 3x = tg 2x;

е) tg 3x - tg x = 4 sin x;

ж) 5 sin x + 12 cos x = 13 sin 3x;

з) cos2 x - cos4 x = sin2 x sin 3x - 1;

и) 3 ctg t - 3 tg t + 4 sin 2t = 0;

к) sin x - cos x + 5 sin x cos x = 1;

л) sin x(3 sin 2x sin3 x + 12 sin 2x sin - 16 cos x) + 2 sin 4x = 0;

x м) 2 cos 2x - + 1 = cos x + ;

3 н) sin 3x sin x + 1 = cos 2x;

x о) cos 2x + 2 cos x + 7 = 2 sin + x + 4 sin2 ;

2 п) 4(sin 4x - sin 2x) = sin x(4 cos2 3x + 3);

р) sin 3x - sin x + cos 2x = 1;

с) 3 sin x + 2 cos x = 3 + sin 2x;

т) sin x + cos 4x + 2 sin 5x = 4.

Задача 27.2. Решите уравнения а) cos x - cos 2x + 2 sin x = 0;

б) 1 - 4 sin x = 1 - 4 cos 2x;

в) (1 + 2 cos x) sin(x + /4) = 0;

1 г) + sin x = + sin 3x;

2 д) 2 sin x sin 2x = 5 cos x + 4 sin 2x;

е) 5 sin x - cos 2x + 2 cos x = 0;

x x ж) cos 2x + sin = sin x + sin.

2 a = b2;

Указание. Уравнение a = b равносильно системе урав b 0, a = b;

a = b;

нение a = b равносильно любой из систем или a 0 b 0.

Задача 27.3. Решите уравнения:

cos2 x 1 3 cos x + 1;

а) = - 2 | cos x| б) = cos 2x - 1;

cos x в) 4| cos x| + 3 = 4 sin2 x;

1 г) cos = ;

sin x д) sin 8 cos x = cos 8 sin x ;

е) cos( arcctg2 x) = ;

ж) sin · sin x = -.

9 Задача 27.4. Решите системы уравнений:

tg x + ctg x = 2 sin y - ;

а) tg y + ctg y = 2 sin x +.

cos 2x cos x = 0;

б) 2 sin2 x - cos 2y - = 0.

sin x cos y = - ;

в) tg x ctg y = 1.

sin(x - y) = 2 cos x sin y;

г) cos(2x + y) + cos x cos y = 0.

4 sin x - 2 sin y = 3;

д) 2 cos x - cos y = 0.

1 + sin x sin y = cos x;

е) 2 sin x ctg y + 1 = 0.

Задача 27.5. Решите неравенства:

а) cos 2x sin x;

б) cos 2x > cos x - x;

sin в) 2 cos x(cos x - 8 tg x) < 5;

г) 4 sin x sin 2x sin 3x sin 4x;

д) (cos x - cos 5x)(2 sin x 3 cos x + 4) > 0;

+ 1 | tg x - 3| + е) - 1.

cos2 x ctg x Задача 27.6. Решите уравнения:

а) sin2 x + cos2 14x = sin x + cos 14x - ;

б) x2 + 2x sin(xy) + 1 = 0;

в) sin10 x + cos16 x = 1;

г) sin2 x - 2 sin x sin y - 2 cos2 y + cos4 y + = 0;

д) 2 3 sin 5x - 3 sin x = cos 24x cos x + 2 cos 5x - 6.

3 Задача 27.7. Найдите sin, если sin 2 и tg.

5 Задача 27.8. При каждом значении параметра a решите уравнение 3 cos x sin a - sin x cos a - 4 cos a = 3 3.

Задача 27.9. Найдите множество значений функции y = sin2 x - 12 sin x cos x + 3 cos2 x + 1.

Глава Комплексные числа § 28. Что такое комплексные числа Повторить: § 17: векторы на плоскости.

В этой главе мы познакомимся с комплексными числами, о ко торых уже неоднократно упоминали. Итак, что же это такое?

Как известно, из отрицательного числа извлечь квадратный корень невозможно: квадраты всех чисел неотрицательны. Да вайте, однако, вообразим, что нашлось такое необычное число i, квадрат которого равняется -1. Посмотрим, что получится, если это число i добавить к обычным числам.

Для начала поумножаем i на само себя: i2 = -1 (как мы и договаривались), тогда i3 = (i2) · i = (-1) · i = -i;

i4 = i3i = = (-i) · i = -i2 = -(-1) = 1 и т. д.

Задача 28.1. Чему равно i5? i6? i2003?

Теперь давайте умножать число i на обычные числа и скла дывать его с обычными числами. При этом будут получаться выражения наподобие 1 - i, -4i, 2 + 5i и т.д. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, такие выражения можно складывать и перемножать;

поскольку i2 всякий раз можно заменять на -1, в выражения, получающиеся после упрощений, i будет входить не более чем в первой степени:

(2 + 5i) + (3 - i) = 2 + 3 + 5i - i = 5 + 4i;

(2 + 5i)(3 - i) = 6 + 15i - 2i - 5i2 = 6 + 13i - 5(-1) = 11 + 13i.

Задача 28.2. Упростите выражения: а) 3 + i ;

б) (1 + i)20.

Имея в распоряжении число i, мы можем извлечь корень не только из -1, но и из любого отрицательного числа. Например, в качестве -2 · подойдет число i 2, поскольку (i 2)2 = i2 2 = -2.

Впрочем, -i 2 также даст в квадрате -2;

число -i 2 мы тоже будем называть квадратным корнем из -2. Выделять из этих двух квадратных корней один «арифметический корень» мы не будем:

для чисел, в записи которых участвует i, не удается разумным образом определить, какие из них следует считать положитель ными, а какие — отрицательными.

Задача 28.3. Пользуясь формулой для корней квадратного урав нения, найдите корни уравнения x2 - 4x + 5 = 0 (дискриминант этого уравнения отрицателен, так что в их записи будет участво вать i). Проверьте найденные значения x, подставив их в уравне ние.

А если выражение с i стоит в знаменателе? Сейчас мы увидим, что всякую дробь, в знаменателе которой присутствует i, можно преобразовать так, чтобы в знаменателе были только обычные числа. Покажем это на примере.

Пусть требуется упростить выражение. Поступим так 2 + 3i же, как мы делали, когда в школьных примерах избавлялись от иррациональности в знаменателе: домножим числитель и знаме натель на «сопряженное выражение» 2 - 3i:

1 2 - 3i 2 - 3i 2 = = = + i.

2 + 3i (2 + 3i)(2 - 3i) 4 - (-9) 13 7 - 11i Задача 28.4. Упростите выражения: а) ;

б).

3 + i i Теперь можно ответить на вопрос, стоящий в заглавии этого параграфа: комплексные числа — это те самые выражения с уча стием i, которыми мы до сих пор занимались. Точнее говоря:

Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — обычные (действительные, или вещественные) числа.

Комплексные числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d. Чтобы сложить или перемножить два комплекс ных числа, надо раскрыть скобки и привести подобные члены, заменяя i2 на -1.

Если провести это приведение подобных в общем виде, полу чится вот что:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i;

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.

Чтобы поделить одно комплексное число на другое, надо «до множить на сопряженные»:

a + bi (a + bi)(c - di) ac + bd bc - ad = = + i.

c + di (c + di)(c - di) c2 + d2 c2 + d a + bi Задача 28.5. Умножьте, вычисленное по вышеприведенной c + di формуле, на c+di и убедитесь, что действительно получится a+bi (то есть что деление комплексных чисел действительно является действием, обратным к умножению).

Комплексное число a+bi удобно изображать точкой на плоско сти с координатами (a;

b) (рис. 28.1). Абсцисса этой точки, то есть a, называется вещественной (или действительной) частью числа a+bi, а ордината этой точки, то есть b, называется мнимой частью числа a + bi. Плоскость с системой координат, на которой изобра жаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Комплексные числа, мнимая часть которых равна нулю, рас полагаются при таком изображении на оси абсцисс (когда речь Рис. 28.1. Комплексная плоскость.

идет о таком изображении комплексных чисел, ось абсцисс при нято называть вещественной, или действительной, осью, а ось ор динат — мнимой осью). Комплексные числа, лежащие на действи тельной оси, складываются и умножаются так же, как обычные действительные числа: ведь в их записи i не участвует. Поэто му можно считать, что действительные числа — частный случай комплексных, а действительная ось, которую они заполняют, — это знакомая нам с младших классов числовая прямая.

Задача 28.6. Докажите, что уравнение z2 = -1 не имеет (в ком плексных числах) других решений, кроме i и -i.

Указание. Пусть z = x + iy. Тогда z2 = x2 - y2 + i · 2xy. По условию, z2 = -1. Так как комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, получаем:

x2 - y2 = 1;

2xy = 0.

Решите эту систему уравнений.

Задача 28.7. Найдите все комплексные решения уравнения z3 = и изобразите их на комплексной плоскости.

Указание. Решений три;

на комплексной плоскости они ока жутся вершинами правильного треугольника.

Задача 28.8. Найдите все комплексные решения уравнения z2 = = 5 - 12i.

Задача 28.9. Докажите, что для всякого отличного от нуля ком плексного числа a + bi существуют ровно два решения уравнения z2 = a + bi.

Результат задачи 28.9 показывает, что, имея в своем распоря жении комплексные числа, можно извлекать квадратные корни не только из отрицательных, но и вообще из любых комплексных чисел.

Если дано комплексное число z = a + bi, то сопряженным к нему называется число a - bi. Мы уже сталкивались с сопря женными комплексными числами, когда обсуждали деление ком плексных чисел. Число, сопряженное к комплексному числу z, обозначается z. Говорят еще, что числа z и z сопряжены друг дру гу. Сопряженные числа изображаются на комплексной плоскости точками, симметричными относительно действительной оси.

Задача 28.10. Докажите тождества:

а) (z) = z;

б) (z + w) = z + w;

в) (zw) = z + w.

Задача 28.11. Пусть z и w — комплексные числа, не являющиеся действительными. Докажите, что z и w сопряжены тогда и только тогда, когда z + w и zw — действительные числа.

Задача 28.12. Докажите, что всякое квадратное уравнение с дей ствительными коэффициентами и отрицательным дискриминан том имеет два комплексных корня, сопряженных друг с другом.

Верна ли для таких уравнений теорема Виета?

Если изобразить комплексные числа точками на плоскости, то оказывается, что у действий над комплексными числами есть геометрический смысл. Давайте выясним, какой геометрический операции соответствует сложение комплексных чисел.

Соединим начало координат 0 (соответствующее числу нуль) с точкой на плоскости, соответствующей комплексному числу z = x + iy — получится вектор OZ, имеющий координаты (x;

y). Так как при сложении векторов их координаты складываются, то ра венство z1 + z2 = z3 равносильно равенству OZ1 + OZ2 = OZ (рис. 28.2). Итак, сложить комплексные числа — все равно что сложить соответствующие векторы.

Рис. 28.2. Сложение комплексных чисел.

Умножение комплексных чисел также имеет геометрический смысл;

мы выясним его в следующем параграфе.

§ 29. Модуль и аргумент комплексного числа Повторить: § 25: отбор чисел на круге.

В этом параграфе мы выясним геометрический смысл умно жения комплексных чисел. Сначала — небольшая подготовка.

Расстояние на комплексной плоскости от начала координат (точки O) до точки z называется модулем комплексного числа z.

Модуль комплексного числа z обозначает ся |z|, как и модуль действительного числа.

Такое совпадение обозначений не приводит к путанице, поскольку модуль действитель Рис. 29.1.

ного числа также равен расстоянию от со ответствующей точки на числовой оси до точки O. Если z = a + bi, то, очевидно, |z| = a2 + b2 (рис. 29.1).

Задача 29.1. Докажите, что для любых комплексных чисел z и w верно неравенство |z + w| |z| + |w|.

Теперь соединим точку z с точкой O. Угол, образуемый полу ченным отрезком с действительной осью (точнее говоря, с поло а) б) Рис. 29.2.

жительным направлением действительной оси), называется аргу ментом числа z (рис. 29.2а). Этот угол принято выражать в ра дианах.

Если z = a + bi, |z| = r, аргумент z равен, то, очевидно, a = r cos ;

b = r sin.

Стало быть, z = r cos + ir sin = r(cos + i sin ).

Запись комплексного числа в виде r(cos + i sin ), где r > 0, называется тригонометрической формой комплексного числа. В тригонометрической форме можно записать любое комплексное число, кроме нуля (аргумент нуля мы не определяем).

Запишем, например, в тригонометрической форме число z = = -1-i. Очевидно, |z| = 2, и из рис. 29.2б видно, что в качестве аргумента можно взять 5/4:

5 -1 - i = 2 cos + i sin.

4 Впрочем, с тем же успехом можно было бы сказать, что аргу мент -1 - i равен -3 : ведь равенство -1 - i = 2 cos - + +i sin - также верно. Вообще, аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до прибавления 2n, где n — целое число. В качестве аргумента числа z можно взять любое число, для которого z = |z|(cos + i sin ).

Задача 29.2. Найдите аргументы следующих чисел, после чего за пишите эти числа в тригонометрической форме: а) i;

б) -1;

в) 3 + i;

г) 3 - i;

д) -(cos + i sin );

е) cos - i sin.

Задача 29.3. Докажите, что = cos - i sin.

cos + i sin Пусть теперь нам даны комплексные числа z1 = r1(cos 1 + + i sin 1) и z2 = r2(cos 2 + i sin 2). Давайте их перемножим:

z1z2 = r1(cos 1 + i sin 1)r2(cos 2 + i sin 2) = = r1r2(cos 1 + i sin 1)(cos 2 + i sin 2) = = r1r2(cos 1 cos 2 - sin 1 sin 2)+ + i(sin 1 cos 2 + cos 1 sin 2) = = r1r2(cos(1 + 2) + i sin(1 + 2)).

(мы воспользовались формулами синуса и косинуса суммы).

Как видите, если перейти к тригонометрической форме, то умножение комплексных чисел запишется простой формулой:

r1(cos 1 + i sin 1)r2(cos 2 + i sin 2) = = r1r2(cos(1 + 2) + i sin(1 + 2)).

Или словами:

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Поскольку деление — действие, обратное к умножению, то:

При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргумен ты вычитаются.

Итак, мы придали геометрический смысл умножению комплексных чи сел, рассматриваемых как векторы на плоскости. На первый взгляд это противоречит сказанному в § 17, где мы говорили, что геометрически определить умножение векторов на плоскости невозможно. Представь те себе, однако, что у нас даны два вектора и мы хотим их умножить «как комплексные числа»— тут же выяснится, что для того, чтобы сло жить аргументы, надо сначала иметь ось, от которой эти аргументы отсчитывать, причем если выбрать «действительную ось» по-другому, то произведение изменится!

Рассматривая умножение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, мы убедились, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются. Запишем это свой ство комплексных чисел в виде формулы |zw| = |z| · |w|. (29.1) Задача 29.4. Докажите формулу (29.1), исходя из определения умножения комплексных чисел.

Задача 29.5. а) Докажите, что |z| = z · z;

б) выведите из этой формулы тождество (29.1).

Формулу (29.1) можно переписать и не используя комплекс ных чисел. В самом деле, если z = a1 + b1i и w = a2 + b2i, то, возводя (29.1) в квадрат, получаем такое тождество:

(a2 + b2)(a2 + b2) = (a1a2 - b1b2)2 + (a1b2 + b1a2)2. (29.2) 1 1 2 Разумеется, это тождество легко проверить и непосредственно.

Задача 29.6. Докажите, что число 32858969712941053630927296788431704044342041015625 = 531· является суммой квадратов двух целых чисел.

Задача 29.7. Докажите, что число 73734314159378042035384049570 = = 2 · 5 · 13 · 29 · 37 · 41 · 53 · 61 · 73 · 89 · 97 · 101 · 113 · 137 · 149 · 157 · также является суммой квадратов двух целых чисел.

Указание. 2 = 12 + 12;

5 = 12 + 22...

Существует аналог тождества (29.2) для сумм четырех квадратов, по казывающий, что произведение двух сумм четырех квадратов также равно сумме четырех квадратов:

(a2 + a2 + a2 + a2)(b2 + b2 + b2 + b2) = 1 2 3 4 1 2 3 = (a1b1 - a2b2 - a3b3 - a4b4)2 + (a1b2 + a2b1 + a3b4 - a4b3)2 + + (a1b3 + a3b1 - a2b4 + a4b2)2 + (a1b4 + a4b1 + a2b3 - a3b2)2.

Задача 29.8. Докажите это тождество.

Имеется также аналог этих двух тождеств для сумм восьми квадра тов, но на этом все и кончается: при n = 2, 4, 8 тождеств типа «произве дение двух сумм n квадратов равно сумме n квадратов» не существует.

Теперь посмотрим, что вытекает из того, что аргументы ком плексных чисел при умножении складываются.

Если возвести комплексное число в степень n, то есть умно жить его на себя n раз, то его модуль возведется в степень n, а аргумент умножится на n:

(r(cos + i sin ))n = rn(cos n + i sin n).

В частности, при r = 1 получится вот что:

(cos + i sin )n = cos n + i sin n.

Эта формула называется формулой Муавра.

Из формулы Муавра легко вывести формулы, выражающие cos n и sin n через cos и sin. Для этого надо в ее левой ча сти раскрыть скобки и привести подобные. При n = 5, например, получится вот что:

(cos + i sin )5 = (cos5 - 10 cos3 sin2 + 5 cos sin4 ) + + i(5 cos4 sin - 10 cos2 sin3 + sin5 ) = = cos 5 + i sin 5.

Так как выражения слева и справа равны, то равны по отдельно сти их вещественные и мнимые части, откуда:

cos 5 = cos5 - 10 cos3 sin2 + 5 cos sin4, sin 5 = 5 cos4 sin - 10 cos2 sin3 + sin5.

Чтобы получить такие формулы для произвольного n, надо рас крывать скобки в (cos + i sin )n, а для этого требуется общая формула для раскрытия скобок в выражении (a + b)n. Мы вы пишем эту формулу, но не будем ее доказывать. Выглядит она так:

n(n - 1) (a + b)n = an + nan-1b + an-2b2 + 1 · n(n - 1)(n - 2) n(n - 1)(n - 2)... + an-3b3 +... + a1bn-1 + bn.

1 · 2 · 3 1 · 2 ·... (n - 1) Иными словами, в правой части коэффициент при an-kbk равен n(n - 1)... (n - k + 1) : в знаменателе стоит произведение первых 1 · 2 · · · · · k k натуральных чисел, а в числителе — произведение k идущих подряд целых чисел в убывающем порядке, начиная с n. Хотя коэффициенты в нашей формуле записаны как дроби, на самом деле все они — целые числа.

Формула для (a+b)n, которую мы выписали, называется фор мулой бинома Ньютона.

Задача 29.9. Проверьте формулу бинома Ньютона для n = 3, 4, 5.

Задача 29.10. а) Выпишите формулу бинома Ньютона для n = 6.

б) Выпишите формулы для cos 6 и sin 6.

Задача 29.11. Убедитесь, что в формуле бинома Ньютона коэф фициент при abn-1 равен n.

Задача 29.12. Докажите, что в формуле бинома Ньютона коэф фициенты при an-kbk и akbn-k равны (что и не удивительно: если левая часть тождества не меняется, когда меняешь местами a и b, то такой же должна быть и правая часть).

Другое приложение формулы Муавра — еще один вывод фор мулы для суммы косинусов или синусов углов, образующих ариф метическую прогрессию (§ 22). В самом деле, пусть нам надо вы числить сумму cos + cos( + ) + cos( + 2) +... + cos( + n).

Рассмотрим комплексные числа a = cos + i sin, b = cos + + i sin. Тогда, очевидно, abk = cos( + k) + i sin( + k). Сле довательно, a + ab + ab2 +... + abn = (cos + cos( + ) +... + cos( + n)) + + i( sin + sin( + ) +... + sin( + n)).

Однако правую часть можно вычислить по формуле для суммы геометрической прогрессии:

1 - bn+ a + ab + ab2 +... + abn = a = 1 - b 1 - cos(n + 1) - i sin(n + 1) = (cos + i sin ).

1 - cos - i sin (Если вас смущает, что мы применяем эту формулу к комплекс ным числам, посмотрите в вашем школьном учебнике, как она доказывается, и убедитесь, что дословно то же доказательство годится и для комплексных чисел.) Теперь осталось упростить выражение в правой части (для этого, как обычно при делении комплексных чисел, надо умно жить числитель и знаменатель дроби на (1-cos )+i sin и выде лить в полученном выражении действительную и мнимую части).

Действительная часть будет равна cos +cos(+)+...+cos(+ + n), а мнимая часть будет равна sin + sin( + ) +... + sin( + + n).

Задача 29.13. Проведите эти выкладки и убедитесь, что ответы совпадают с полученными в § 22.

Раз с помощью тригонометрической формы комплексные чис ла удобно возводить в степень, естественно надеяться, что та же тригонометрическая форма поможет и в выполнении обратной операции — извлечения корней из комплексных чисел. Покажем на примере, какие новые явления при этом возникают.

Давайте извлечем корень пятой степени из 32, то есть найдем число, которое, будучи возведенным в пятую степень, даст 32.

Среди действительных чисел такое число одно — это число 2. По смотрим, что будет, если рассматривать любые комплексные чис ла. Мы ищем такие числа z, что z5 = 32. Проще всего найти модуль числа z: если z5 = 32, то |z5| = |z|5 = 32 (при перемно жении чисел модули перемножаются), откуда |z| = 2 (уж |z|-то — это обычное действительное число, так что тут никаких разно чтений не будет). Осталось найти аргумент z. Для этого запи шем z в тригонометрической форме: z = 2(cos + i sin ). То гда z5 = 32(cos 5 + i sin 5), откуда 32(cos 5 + i sin 5) = 32, cos 5 + i sin 5 = 1, что, в свою очередь, равносильно системе тригонометрических уравнений cos 5 = 1;

sin 5 = 0.

Этой системе, очевидно, удовлетворяют в точности те и только те числа, для которых числу 5 соответствует начало отсче та на тригонометрической окружности, то есть 5 = 2k, или = 2k/5 (k Z). Стало быть, решения уравнения z5 = 32 — это числа вида 2(cos 2k/5 + i sin 2k/5), где k Z. Не все эти числа различны: так как комплексные числа с аргументами, от личающимися на 2, совпадают, то разные комплексные числа получаются только при k = 0, 1, 2, 3, 4, а дальше значения z будут повторяться. Итак, все корни уравнения z5 = 32 или, если угодно, все корни пятой степени из 32 таковы:

z1 = 2(cos 0 + i sin 0);

z2 = 2(cos 2/5 + i sin 2/5);

z3 = 2(cos 4/5 + i sin 4/5);

z4 = 2(cos 6/5 + i sin 6/5);

z5 = 2(cos 8/5 + i sin 8/5);

Здесь z1 — это просто число 2, действитель ный корень уравнения z5 = 32. Прочие кор ни этого уравнения действительными уже не являются. Если изобразить все корни пятой степени из 32 на комплексной плос- кости, то окажется, что они расположены в вершинах правильного пятиугольника.

В наших рассуждениях не играло ника Рис. 29.3.

кой роли ни то, что мы извлекали корень именно степени 5, ни то, что мы извлекали его из 32. На самом деле для всякого комплексного числа a = 0 существует ровно n решений уравнения zn = a (эти решения называются корня ми степени n из a). При изображении на комплексной плоскости корни степени n из a располагаются в вершинах правильного n угольника с центром в точке 0.

Задача 29.14. Найдите: а) все три кубических корня из i;

б) все шесть корней степени 6 из 1 и изобразите их на комплексной плос кости.

Задача 29.15. а) Докажите, что произведение двух корней степени n из 1 — тоже корень степени n из 1.

б*) Пусть z1, z2,..., zn — все корни степени n из 1, k — целое число. Докажите, что 0, если k не делится на n;

k k k z1 + z2 + · · · + zn = n, если k делится на n.

Мы добавили к обычным вещественным числам число i для того, чтобы можно было извлекать квадратные корни из отрица тельных чисел;

при этом оказалось, что в комплексных числах можно решить любое квадратное уравнение. Замечательно, что и вообще любое алгебраическое уравнение имеет корень в ком плексных числах: никаких новых чисел помимо i ради этого вво дить не надо. Этот важный факт, который по традиции называ ют основной теоремой алгебры, доказал в конце 18 века великий немецкий математик К. Ф. Гаусс.

§ 30. Показательная функция и формула Эйлера Повторить: § 23. Производная.

Хороший физик пользуется формализмом, как поэт — естественным языком.

Ю.И. Манин. «Математика и физика» В предыдущих параграфах мы видели, что с комплексными числами можно так же, как и с действительными, проделывать такие операции, как сложение, умножение, возведение в степень и извлечение корня. Цель этого параграфа — придать смысл таким выражениям, как 2z или sin z, где z — комплексное число.

В последующем тексте не будет ни аккуратных математиче ских определений, ни (тем более) строгих доказательств: мы бу дем обращаться с математикой примерно так же вольно, как это делают физики. Тем не менее обмана не будет: все последующие определения и рассуждения можно довести до математическо го уровня строгости, и в абзацах, набранных мелким шрифтом, объясняется, как это сделать. Руководствуясь этими указаниями, заинтересованный читатель сможет навести строгость в нашем тексте (если не сейчас, то тогда, когда он овладеет основами ма тематического анализа).

Теперь приступим к делу. Удобнее начать с показательной функции. Пусть a — положительное действительное число;

чему должно быть равно az для комплексных чисел z? Вспомним для начала, как определяется az для действительных z. Если z — целое число, то az — это произведение z сомножителей, каждый из кото n рых равен a;

если z = m/n, где m и n — целые числа, то az = am.

Как распространить такие определения на случай комплексных z — неясно: что такое «умножить на себя i раз» или «извлечь ко рень i-й степени»?! Поэтому придется пойти другим путем.

Для начала заметим, что если x мало, то для ax можно за писать приближенную формулу. В самом деле, если обозначить буквой l производную функции y = ax в точке x = 0, то, согласно § 23, для малых x получается: ax = a0+x a0 + lx = 1 + lx. Итак, Если x мало, то ax 1+lx, где l — производная функции y = ax в точке x = 0.

Разумеется, как мы уже объясняли в § 23, приближенную фор мулу такого типа можно получить для любой «достаточно хо рошей» функции, и действовать она будет только для малых x.

К счастью, свойства показательной функции позволяют перей ти к формуле, пригодной при любых x. Вот как это делается.

Пусть x — любое число. Выберем большое целое число n и запи шем ax = a(x/n)n = (ax/n)n;

если n велико, то x/n уже мало, и можно с помощью нашей приближенной формулы заменить ax/n на 1 + lx/n. Подставляя это выражение для ax/n, получаем:

Для больших целых n верна приближенная формула ax (1 + lx/n)n, где l — производная функции y = ax в точке x = 0.

Добросовестный читатель скажет, что наше рассуждение не очень убедительно: при умножении погрешности могут накапли ваться, и где гарантия, что после перемножения n штук формул ax/n 1+lx/n они не накопятся настолько, что ax не будет иметь с (1 + lx/n)n ничего общего? Это действительно могло бы слу читься, но, к счастью, в данном случае накопление погрешностей к опасным последствиям не приводит: при больших n прибли женное равенство ax (1 + lx/n)n имеет место, причем, выбрав n достаточно большим, погрешность этой формулы можно сделать сколь угодно малой.

Вот как это устанавливается. В § 23 мы уже говорили, что для «доста точно хороших» функций погрешность формулы f(a+h) f(a)+hf (a) не превосходит Mh2 для некоторого числа M, не зависящего от h. Если применить это соображение к функции f(x) = ax, выйдет, что погреш ность формулы ax/n 1+lx/n не превосходит Ml2x2/n2 для некоторого M. Обозначая, для сокращения письма, Ml2x2 буквой c, получаем, что погрешность формулы ax/n 1 + lx/n не превосходит c/n2, где число c от n не зависит. При возведении обеих частей этой формулы в степень n эта погрешность возрастает, но не слишком сильно: можно показать, что при возведении в n-ую степень обеих частей приближенной форму лы, в которой левая и правая части близки к 1 (а именно таковы ax/n и 1 + lx/n), погрешность возрастает примерно в n раз.

Стало быть, погрешность формулы ax (1 + lx/n)n не превосходит n · (c/n2) = c/n, и чем больше n, тем эта погрешность меньше, так что наша формула действительно позволяет вычислить ax с любой степе нью точности.

Теперь мы готовы определить az для комплексных значений z.

В самом деле, правая часть нашей приближенной формулы имеет смысл и при комплексных значениях x. Теперь для любого ком плексного z определим az как (1 + lz/n)n для большого целого числа n. Точнее говоря, это будет не само az, но его приближен ное значение, а точное значение az — это то, к чему стремится (1 + lz/n)n при росте n (по-ученому говоря, «предел (1 + lz/n)n при n, стремящемся к бесконечности»). Напомним, что через l обозначена производная функции y = ax в нуле.

Сейчас мы исследуем свойства показательной функции ком плексного аргумента, но сперва — одно замечание. В наших фор мулах постоянно присутствует число l. Наиболее простые фор мулы получатся, если взять основание степени, для которого l равняется 1. Это число так часто встречается в математике, что для его есть специальное обозначение: его обозначают буквой e;

повторим еще раз, что e — это, по определению, положительное число, для которого производная в нуле функции y = ex равна единице.

Задача 30.1. Покажите, что производная функции y = ax в точ ке 0 равна логарифму числа a по основанию e.

Приближенно e равно 2,718. Таким образом, имеем формулу:

n z ez 1 + при больших целых n.

n Для действительных z эта формула выражает свойство по казательной функции с основанием e, а для произвольного ком плексного z представляет собой определение.

Если в нашей формуле для ez положить z = 1, то получим n приближенную формулу для e = e1: e 1 +. Можно так n же показать, что при нашем определении показательной функции от комплексных чисел основное свойство показательной функции ez+w = ezew будет верно для любых комплексных z и w.

Давайте теперь посмотрим, каковы будут свойства функции ez при z, не являющихся действительными. Выясним, например, как подсчитать eix, где x — действительное число.

Согласно нашему определению, надо взять большое целое чис ло n, и тогда eix будет примерно равно (1 + ix/n)n. Чтобы узнать, к чему будет приближаться это число при росте n, заметим, что при больших n число x/n мало, так что действуют приближенные формулы sin(x/n) x/n, cos(x/n) 1. Поэтому (1 + ix/n)n cos(x/n) + i sin(x/n), откуда, возводя в степень n, получаем:

n n ix x x 1 + cos + i sin = cos x + i sin x.

n n n Иными словами, при больших n верна приближенная формула (1 + ix/n)n cos x + i sin x. Можно показать, что с ростом n по грешность этой формулы уменьшается.

Это следует из того, что в формулах sin(x/n) x/n, cos(x/n) 1 по грешность, как мы видели в § 23, не превосходит (x/n)2 (при достаточно больших n);

стало быть, можно сказать, что и у приближенной форму лы ix x x 1 + cos + i sin n n n погрешность не превосходит (по модулю) c/n2, где c не зависит от n.

После возведения обеих частей этой формулы в степень n погрешность увеличится примерно в n раз (это свойство возведения в степень вер но и для комплексных чисел) и станет равняться примерно c/n, что стремится к нулю с ростом n.

Итак, то число, к которому (1 + ix/n)n приближается с ростом n, — это cos x + i sin x. Значит, это и есть eix. Итак:

eix = cos x + i sin x.

Это — не что иное, как знаменитая формула Эйлера.

Посмотрим, что из нее можно вывести.

Для начала, теперь мы можем найти значение показательной функции от любого комплексного числа a + bi:

ea+bi = eaebi = ea(cos b + i sin b). () Задача 30.2. Выведите из формулы () тождество ez+w = ezew для произвольных комплексных z и w.

Задача 30.3. Вычислите: а) ei/2;

б) ei.

Задача 30.4. Найдите все комплексные числа z, для которых вы полнено равенство ez = -1.

Из формулы Эйлера следует, что e2i = cos 2i + i sin 2i = 1.

Следовательно, для любого комплексного числа z имеем:

ez+2i = eze2i = ez.

Значит, 2i — период функции f(z) = ez. Как видите, показа тельная функция тоже является периодической, только мы этого не видели, пока ограничивались действительными числами.

Задача 30.5. Докажите, что всякий период функции f(z) = ez имеет вид 2in для некоторого целого числа n (так что 2i явля ется чем-то вроде наименьшего положительного периода для этой функции).

Следующее, что мы сделаем с помощью формулы Эйлера — это покажем, что тригонометрические и показательные функции — фактически одно и то же (как и было обещано в § 19). Точнее говоря, мы выразим тригонометрические функции через показа тельные.

Для этого запишем формулу Эйлера, а под ней — ту же фор мулу, в которую вместо x подставлено -x:

eix = cos x + i sin x;

e-ix = cos x - i sin x (мы воспользовались тем, что cos(-x) = cos x, sin(-x) = - sin x).

Если сложить и вычесть эти два равенства, получится eix +e-ix = = 2 cos x, eix - e-ix = 2i sin x, откуда выходит:

eix + e-ix eix - e-ix cos x = ;

sin x =.

2 2i Таким образом, мы выразили тригонометрические функции через показательную, а формула Эйлера, наоборот, выражает по казательную функцию через тригонометрические. Так что если в нашем распоряжении есть комплексные числа, то тригономет рические функции выражаются через показательные, и наоборот.

У наших формул, выражающих синус и косинус через пока зательную функцию, есть еще одно применение. Именно, правые части этих формул имеют смысл, если вместо x подставить лю бое комплексное число. Поэтому их можно использовать для того, чтобы определить, что такое синус и косинус от любого комплекс ного числа. Именно: если z — комплексное число, то положим по определению:

eiz + e-iz eiz - e-iz cos z = ;

sin z =.

2 2i Формулы, выражающие синус и косинус от действительных чисел через показательную функцию, показывают, что для дей ствительного числа z наше определение дает обычные синус и ко синус.

Задача 30.6. Найдите sin i и cos i.

Задача 30.7. Докажите, что формула Эйлера eiz = cos z + i sin z верна для произвольных комплексных значений z.

Задача 30.8. Докажите, что eb + e-b eb - e-b cos(a + bi) = cos a + i sin a.

2 Задача 30.9. а) Докажите, что все комплексные решения уравне ния sin z = 0 имеют вид z = n, где n — целое (так что дополни тельных комплексных решений у этого уравнения нет).

б) Решите в комплексных числах уравнение cos z = 0.

в) Решите в комплексных числах остальные простейшие три гонометрические уравнения из начала § 10.

Задача 30.10. Верно ли, что для всех комплексных чисел z выпол нено неравенство | sin z| 1?

Задача 30.11. Докажите, что для всех комплексных z верны тож дества:

а) cos(z + 2) = cos z;

б) sin(z + 2) = sin z;

в) cos(-z) = cos z;

г) sin(-z) = - sin z.

Задача 30.12. Докажите, что для всех комплексных чисел верны тождества:

cos2 z + sin2 z = 1;

cos(z + w) = cos z cos w - sin z sin w;

sin(z + w) = sin z cos w + cos z sin w.

Все тригонометрические тождества, которые мы выводили в гла ве 4, следуют из трех тождеств, перечисленных в этой задаче (а также из свойств четности и нечетности синуса и косинуса, кото рые в комплексных числах также верны — см. задачу 30.11). По этому все эти тождества верны и для тригонометрических функ ций комплексного переменного.

Задача 30.13. Решите в комплексных числах уравнение sin z = (решить уравнение — найти все его решения).

Задача 30.14. Верны ли для тригонометрических функций ком плексного аргумента формулы приведения?

Задача 30.15. Докажите, что уравнения sin z = a и cos z = a имеют решения (возможно, комплексные) при любом a.

Ответы и указания к некоторым задачам 1.2. sin 10 0,17, sin 30 = 0,5, sin 60 0,87. Радианные меры углов в 10, 30 и 60 градусов приближенно равны 0,17, 0,52 и 1,05. Ради анные меры углов в 30 и 60 градусов больше их синусов приблизительно на 4% и 21% соответственно;

радианная мера угла в 10 градусов совпа дает с его синусом с точностью до двух знаков после запятой.

2.1. Указание: два прямоугольных треугольника с равными острыми углами подобны.

2.2. sin < tg.

2.3. tg = sin / 1 - tg2.

2.4. tg 10 0,18, tg 30 0,58, tg 60 1,73. Тангенсы углов в 10, 30 и 60 градусов больше их радианных мер приблизительно на 1%, 10% и 65% соответственно.

3.4. а) 2a cos. б) a sin. в) a sin 2, если < 45, и a sin(180 - 2), если > 45 (когда мы познакомимся с тригонометрическими функциями произвольного угла, вы увидите, что этот ответ во всех случаях записать в виде a sin 2).

3.5. ( 5 + 1)/4.

3.6. 2 sin(36) = 10 - 2 5/2.

3.7. cos 25 = sin 65 0,91.

4.1. б) 6. в) 6.

4.3. 0,012 радиана, или приблизительно 43.

4.4. Примерно 1850 метров.

4.6. Указание. Тысячная равна /3000 1/1000 радиана (если при нять, что 3, что при таких измерениях и делают). И не надо считать военных неучами: ошибка порядка 15%, получающаяся при вычисле ниях по формуле тысячных, несущественна, поскольку измерить угол подручными средствами с б точностью нереально.

ольшей 5.1. а) Примерно 90 метров. б) Примерно полтора метра.

5.2. 12 января, в двенадцать часов три минуты пополуночи. Чтобы не ошибиться с датой, достаточно знать путь, пройденный секундной стрелкой за сутки, с точностью до 4 метров.

5.4. а) cos(/2) = 0, sin(/2) = 1. г) cos(5/2) = 0, sin(5/2) = 1.

5.6. а) 30 различных чисел. б) Число a должно быть рациональным.

в) Да.

6.1. Если вы не ошиблись, должно получиться 4 различных точки.

6.3. а) Две точки. б) Одна точка.

6.4. В первой четверти.

6.5. 214 точек.

6.6. Рациональным.

6.11. (1/2;

3/2), (-1/2;

3/2), (-1;

0), (-1/2;

- 3/2), (1/2;

- 3/2).

6.12. (( 5 - 1)/4;

10 + 2 5/4), (-(1 + 5)/4;

10 - 2 5/4), (-(1 + + 5)/4;

- 10 - 2 5/4), (( 5 - 1)/4;

- 10 + 2 5/4).

6.13. При пользовании формулой cos 1 для малых углов отно сительная погрешность (отношение погрешности к точному значению) будет мала, а если для столь же малых углов использовать форму лу sin 0, то погрешность будет близка к 100% точного значения — столь грубые приближенные формулы в этой ситуации бесполезны.

6.14. б) (t - sin t, 1 - cos t).

6.16. б) 10.

7.3. а) 2/2 или - 2/2. б) Только - 2/2.

7.5. cos x = - 10/10, sin x = -3 10/10.

7.6. 13/5.

7.8. а) 2. б) 2(tg2 + ctg2 ). в) 2/ sin.

8.1. а) 2/3. б) 4. в) 2. г) 200.

8.2. а) 100. б) 1/50.

8.6. Указание. 2 · 8 - 3 · 5 = 1.

8.7. Ответ: да. Когда вы освоите § 22, вы сможете проверить, что 2x такими свойствами обладают функции f(x) = sin x, g(x) = sin - sin x. Можно, однако, построить пример, в котором тригонометри ческие функции вообще не используются.

9.2. а) - x. б) sin x. е) - ctg x. ж) - sin x.

cos 9.3. а) 3/2. в) 0. д) -1. ж) - 3/2. и) - 2/2.

9.4. б) tg(10 - 3). г) cos(114 - 36). е) - sin(/7).

9.5. а) -. д) -.

9.6. а) (-a;

b). в) (-a;

-b). д) (b;

a).

n 10.2. а) (-1)n +, n Z. в) Решений нет. д) - ± +n, n Z.

12 2 8 ж) ± + n, n Z.

6 1 - 10.3. а) (-1)n arcsin +n, n Z. б) Решений нет. д) Указание:

положите sin x = t;

ответ: (-1)n arcsin - + n n Z. ж) Указание:

2 - замените cos2 x на 1 - sin2 x;

ответ: (-1)n arcsin + n, n Z.

к) arctg 3 + n, n Z;

л) arcctg(4 - 7) + n, n Z.

10.4. а) 1/2. б) Нет решений. в) - 3/2.

10.6. а) Указание: sin(arcsin x) = x по самом определению аркси у нуса, но не от всякого числа можно взять арксинус. в) Указание: эта функция — периодическая с периодом 2.

10.7. а) 2/5. б) 3/10. д) - 11.

10.8. а) -1 x 1. б) x > 0. в) - x. г) -1 x 1.

2 10.9. а) 2 13/13. в) 1/3. д) 2 2/3.

10.10. а) 10.

11.1. y = - x.

11.2. (0;

3/2), (5/6;

0).

11.7. б) sin(11,2) < cos(-6,4). г) sin 7 < cos 7;

11.8. sin 5 < cos 4 < cos 2 < sin 3 < sin 1 < cos 6.

12.1. Например, относительно прямой с уравнением x = /4.

12.2. y = /2 - x.

12.3. а) tg(13/11) < tg 3,3.

12.4. tg 5 < tg 2 < tg 3 < tg 4 < tg 1.

12.7. Указание: эта функция нечетная.

14.1. Указание: каковы знаки косинуса острых и тупых углов?

14.2. Указание: обозначьте стороны параллелограмма буквами a и b, а угол между ними буквой ;

выразите диагонали через a, b и.

14.5. Указание: выразите косинус угла ABM через стороны тре угольника, после чего примените теорему косинусов еще раз.

15.1. Указание: диагонали разбивают четырехугольник на четыре треугольника.

15.4. а) = (p - a)(p - b)(p - c)/p.

r 15.7. 6 14/5.

15.10. arccos(43/48), arccos(29/36), arccos(-11/24).

16.2. 2R2 sin sin sin.

16.4. a 10/4.

16.5. a 21/6.

16.6. Указание: докажите, что четырехугольник является ромбом.

16.7. R2 sin + sin cos ± cos (у задачи, вообще говоря, два 2 2 2 ответа!).

16.8. R2(sin + sin 2) 4 sin2 3 - (sin 2 - sin )2.

a cos 16.9..

sin( + ) m2 + n2 + 2mn cos 16.10..

sin 17.1. (4;

12).

17.3. а) (1;

1). б) ( 2;

0).

17.4. 19 (не забудьте про нулевой вектор!).

36 17.10. x =, y = -.

11 17.11. а) На 400/3 133,9 м. б) Лодку надо направить против тече ния под углом arctg(4/3) к берегу;

при этом ее снесет на 320/3 106,7 м.

17.12. Наименьшее расстояние — 15 миль;

на этом расстоянии ко рабли окажутся через 3 3/2 2,6 часов.

19.4. а) 1/2.

19.5. а) (3 + 4 3)/10. б) /4.

19.8. 4a/( 2 + 6), 2a 2/( 2 + 6).

19.9. 22 5/5.

19.12. (x cos + y sin ;

y cos - x sin ).

20.2. [- 5;

5].

20.3. б) - + (-1)n + n, n Z.

4 21.2. а) m2 - 1.

21.4. а) 1/8. б) 1/8.

21.6. а) - 6/3. б) 6/4. в) 0 a < 2 arcsin( 6/4).

cos(11h/2) cos(x + 5h) sin 50x sin(101x/2) 22.7. а). б).

cos(h/2) cos(x/2) 23.1. Годится, например, та граница 0 h 0,1.

же 9 - 24.1. б) (-1)n · 2 arcsin + 2n, n Z.

24.2. а) ± + 2n, n Z. б) n, n Z.

24.3. Объединение прямых, заданных уравнениями y = x и y = = 10x/3.

1 ± 5 1 ± 24.4. ;

.

2 5 ± 24.5. а) arctg + n, n Z. в) + 2n;

+ 2k, n, k Z.

14 д) - + n, n Z.

24.6. a 0.

k 24.7. а) n;

, n, k Z (на самом деле здесь можно было и не n n выписывать серии x = n;

см. § 25). в), n Z. е) - +, + 2 24 2 k +, n, k Z.

-1 ± 24.8. б) + (-1)n arcsin + 2n, n Z.

3 24.9. а) 2n, ± arccos - + 2k, n, k Z. в) + n, (-1)n + 4 2 n 2k 2m 2 + k, n, k Z. д),, +, n, k, m Z. ж) + n, + 2 7 5 5 3 + 2k, n, k Z.

n 24.10. а) +, + k, n, k Z. в) (-1)n + n, n Z. д) + 4 2 6 + 4n, n Z.

24.11. К первой группе относятся тождества (а), (б), (г) и (е), ко второй группе относится тождество (д), к третьей — тождество (в).

24.13. а) 2n, + 2k, n, k Z. б) n, arctg(5 ± 34) + k, n, k Z.

1 1 в) n, +k, +m, n, k, m Z. г) arctg - 3- ± 4 + 14 3 + 3 6 6 6 + n, n Z.

n 9 13 25.1. а), n Z. г) + 2n, + 2k, + 2m, + 3 10 10 10 + 2l, n, k, m, l Z.

25.2. а) - + 2n, n Z. г) Решений нет. д) Решений нет.

25.3. а) + n, n Z. г) 15 + 60n, n Z.

25.4. а) 0. б) При рациональных a и только при них.

25.5. k = 2 + 5t, t Z.

25.6. а) x = -10+19t, y = 9-17t, t Z. б) Решений нет. в) Решений нет.

n n 26.1. а) - + 2n;

+ 2n, n Z. д) - + ;

, n Z.

2 2 4 2 26.2. а) + n;

+ n, n Z. в) - + n;

+ n, n Z.

3 8 г) + n;

+ n, n Z.

2 1 1 1 26.3. а) --arcsin +2n;

arcsin +2n, n Z. б) - arccos + 4 4 3 2n 1 2 2n 10 + ;

arccos +, n Z. в) - arcsin + n;

arcsin + 3 3 9 3 10 + n, n Z.

26.4. а) (--1+2n;

1+2n), n Z. б) [3-7+2n;

7+2n], n Z.

в) (10 + 2n;

8 - 10 + 2n), n Z.

-3 + 17 -3 + 26.5. а) arccos + 2n;

2 - arccos + 2n, n Z.

4 1 1 26.6. а) -1;

. б) (cos 2;

1]. в) -1;

- sin. г) ;

1.

2 4 2 3 2 26.8. а) +n;

+n, +n;

+n, +n;

, n Z.

5 3 5 3 11 23 35 б) + 2n;

+ 2n, + 2n;

+ 2n, n Z. в) + 6 18 18 18 2 4 + 2n;

arctg + + 2n, + 2n;

arctg + 2 + 2n n Z.

3 3 28.1. i5 = i, i6 = -1, i1999 = -i.

28.2. а) ( 3 + i)3 = 8i.

28.3. 2 ± i.

28.4. а) 8 - 10i. б) -i.

1 3 1 28.7. 1, - + i, - - i.

2 2 2 28.8. ±(3 - 2i).

29.2. а) cos +i sin. в) 2 cos +i sin. г) cos(+)+i sin(+).

2 2 6 29.10. а) (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6.

б) cos 6 = cos6 - 15 cos4 sin2 + 15 cos2 sin4 - sin6. sin 6 = = 6 cos5 sin - 20 cos3 sin3 + 6 cos sin5.

30.4. а) i + 2in, n Z.

30.9. б) + n, n Z.

30.10. Нет.

Предметный указатель Алгоритм Евклида 156 умножение на число Аргумент комплексного запись в координатах числа 171 Вписанный угол Арккосинус 48 Вычитание векторов Герона формула Арккотангенс Двойного угла формулы Арксинус Деление комплексных чисел 166, производная Арктангенс геометрический смысл производная Дополнительного угла Бином Ньютона формулы 11, Биссектриса 72– Евклида алгоритм Векторная диаграмма Комплексные числа Векторы 79–97, 101, 105–108, аргумент 118, возведение в комплексную вычитание степень 181, координатные геометрическое координаты 81, изображение нулевой вектор деление 166, определение геометрический смысл противоположный вектор извлечение корней 177– равенство модуль скалярное произведение 94– определение запись в координатах сложение определение геометрический смысл распределительный закон сопряжение сложение 86 тригонометрическая форма запись в координатах 87 умножение правило параллелограмма 88 геометрический смысл Координатные векторы 91 через две стороны и угол Координаты вектора 81, 91 между ними Корни из комплексных через радиус вписанной чисел 177–178 окружности Косеканс 28 Показательная функция 179– Косинус Половинного угла формулы 111, график 55– Понижения степени знаки формулы значения для некоторых Правило параллелограмма углов Преобразование произведения комплексного числа в сумму малых углов 18, Преобразование произведения общее определение 21, в сумму острого угла Преобразование суммы в период произведение производная 23–24, геометрический смысл четность для углов, образующих Косинусов теорема 67, арифметическую Котангенс прогрессию график Преобразование суммы нечетность в произведение производная Преобразование суммы Круг тригонометрический 25– в произведение Медиана для углов, образующих Минута угловая арифметическую Модуль комплексного числа прогрессию Модуляция Приведения формулы Муавра формула 174– мнемоническое правило Нулевой вектор Производная Ось тангенсов обратных тригонометрических функций Период связь с касательными комплексной показательной синуса и косинуса функции тангенса и котангенса наименьший положительный Простейшие формулы синуса и косинуса Противоположный вектор тангенса и котангенса Птолемея теорема Периодическая функция Площадь треугольника, Работа силы формулы: Равенство векторов Герона 71 Радианная мера угла определение 7 острого угла связь с градусной мерой 8 половинного угла Региомонтана формулы 119 производная Тангенсов теорема Секанс Теорема Секунда угловая косинусов Синус о вписанном угле график Птолемея значения для некоторых синусов углов тангенсов комплексного числа Теорема косинусов малых углов 16, 29, Тригонометрическая форма нечетность комплексного числа общее определение 21, Тригонометрические острого угла неравенства 156– период использование графиков производная метод интервалов Синусов теорема простейшие Системы тригонометрических Тригонометрические уравнения уравнений 147–148, борьба с потерей Скалярное произведение, см.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.