WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л. Тоом ТРИГОНОМЕТРИЯ Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия по тригонометрии для учащихся 10 классов общеобразовательных

учреждений МЦНМО АО «Московские учебники» Москва 2002 ББК 22.151.0 Г32 Г32 И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л. Тоом. Три гонометрия. М.: МЦНМО, 2002. — 199 с.

ISBN 5-94057-050-X Эта книга, написанная группой авторов под руко водством одного из крупнейших математиков 20 века академика И. М. Гельфанда, призвана опровергнуть расхожее мнение о три гонометрии как скучном и непонятном разделе школьного кур са математики. Читателю предлагается взглянуть на знакомый предмет по-новому. Изложение, сопровождающееся большим ко личеством задач, начинается «с нуля» и доходит до материала, выходящего довольно далеко за рамки школьной программы;

три гонометрические формулы иллюстрируются примерами из физи ки и геометрии.

Отдельная глава посвящена типичным приемам решения три гонометрических задач, предлагаемых на вступительных экзаме нах в высшие учебные заведения.

Книга будет незаменимым помощником для школьников стар ших классов, преподавателей, родителей и всех, интересующихся математикой.

©И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л. Тоом, ISBN 5-94057-050-X ©МЦНМО, Предисловие Что такое тригонометрия? Скучные и никому не нужные форму лы — скажут почти все старшеклассники. Тем не менее, мы хотим вас в этом разубедить.

Чтобы взглянуть на тригонометрию по-новому, мы рассказы ваем о ней «с нуля». Поэтому читать пособие лучше с самого начала и подряд, хотя кое-что вы, скорее всего, уже знаете.

Наши определения равносильны определениям из школьных учебников, но не всегда дословно с ними совпадают.

Не надо стремиться перерешать все задачи из книги (мы со знательно поместили их с запасом), но сколько-то задач после каждого параграфа порешать стоит. Если задачи к параграфу совсем не выходят, значит, что-то вы не усвоили, и есть смысл перечитать этот параграф.

Более трудные задачи отмечены звездочкой, более трудный текст напечатан мелким шрифтом. При первом чтении все это можно пропустить.

Теперь более подробно о содержании книги. В первых двух главах речь идет о начальных понятиях тригонометрии (точнее говоря, о той ее части, в которой не участвуют формулы сложе ния). Третья глава («Решение треугольников») посвящена при менениям тригонометрии к планиметрии. (Имейте в виду, что решение треугольников — не единственный раздел геометрии;

не следует думать, что, проработав только нашу книжку, вы уже научитесь решать геометрические задачи.) Четвертая глава посвящена формулам сложения и их след ствиям. Это — центральная часть тригонометрии (и книги), и имен но здесь сосредоточены основные тригонометрические формулы.

Мы надеемся, что после изучения этой главы вы поймете, откуда они берутся, и научитесь в них ориентироваться. Мы начина ем эту главу с параграфов, в которых рассказано о векторах на плоскости, а сами тригонометрические формулы иллюстрируем примерами из физики.

Тригонометрия по традиции занимает большое место в мате риалах конкурсных экзаменов в вузы;

чтобы научиться уверенно решать экзаменационные задачи по тригонометрии, нужна трени ровка. В пятой главе мы описываем типичные приемы решения тригонометрических уравнений и неравенств. Многие из задач к этой главе взяты из материалов приемных экзаменов в Мос ковский государственный университет и ведущие вузы.

Заключительная шестая глава, напротив, посвящена теме, не входящей в программу вступительных экзаменов, но тесно свя занной с тригонометрией — комплексным числам. Мы надеемся, что наши читатели получат удовольствие от знакомства с этим красивым и важным разделом математики.

При написании пятой главы нам помогли беседы с Ж. М. Раб ботом;

часть задач к этой главе мы позаимствовали из известного «Сборника задач по математике для конкурсных экзаменов в ву зы» под редакцией М. И. Сканави. Многие задачи по планиметрии взяты из сборников И. Ф. Шарыгина. Обсуждение примеров из физики и комплексных чисел многим обязано заслуженно попу лярным «Фейнмановским лекциям по физике».

Работа над этой книгой никогда не была бы завершена, если бы мы не ощущали постоянного внимания и поддержки и не поль зовались помощью многих и многих людей. Пользуемся случаем выразить им всем глубокую благодарность. Особенно тепло мы хотим поблагодарить Н. Б. Васильева, Ж. М. Раббота и А. Ше ня, потративших много сил и времени на улучшение рукописи этого пособия.

Предисловие ко второму и третьему изданиям Второе издание этого пособия готовилось без участия И. М. Гель фанда и А. Л. Тоома, поэтому отличия от первого издания неве лики (самое существенное — иное изложение дистрибутивности скалярного произведения в § 18). Само собой разумеется, что вся ответственность за эти изменения лежит только на мне. В третьем издании исправлен ряд ошибок и добавлены указания и решения к некоторым задачам.

С. Львовский Глава Первое знакомство с тригонометрией § 1. Как измерить крутизну Классификация углов из книги по альпи низму:

«Перпендикулярно» — 60 градусов;

«Мой дорогой сэр, абсолютно перпендику лярно!» — 65 градусов;

«Нависающе»— 70 градусов.

Дж. Литтлвуд. «Математическая смесь».

1.1. Синус Пусть человек поднимается в гору. Будем считать, что склон го ры — это гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC (рис. 1.1).

Можно предложить по крайней мере два способа измерения кру тизны подъема: 1) измерить высоту подъема (отрезок BC на рис. 1.1а);

2) провести дугу с центром в точке (рис. 1.1б) и измерить ее дли ну.

Конечно, сама по себе высота подъема ничего не характери зует: если вы долго идете по склону, то можно подняться высоко даже при пологом склоне. Поэтому нужно рассматривать отно а) б) Рис. 1.1.

шение длины подъема к длине пути (соответственно отношение длины дуги к радиусу)1. Эти отношения от длины пути уже не зависят.

Вот формальное доказательство того, что отношение длины подъ ема к длине пути не зависит от этой длины. Пусть человек прошел не весь путь, а дошел только до точки B (рис. 1.2). Тогда крутизна подъ ема на отрезке AB равна B C /A B, а на отрезке AB равна BC/AB.

Однако B C BC как два перпендику ляра к одной прямой, так что AC B = = ACB = 90, AB C = ABC. Стало быть, треугольники ABC и AB C подоб ны по двум углам, и BC/AB = B C /AB.

Таким образом, отношение высоты подъ ема к длине пути не зависит от длины пути. Доказать, что отношение длины ду Рис. 1.2.

ги к радиусу не зависит от радиуса, также можно, но для этого надо формально определить, что такое длина дуги.

В этой книжке мы этим заниматься не будем.

Определение. Синусом острого угла в прямоугольном треуголь нике называется отношение катета этого треугольника, лежа щего против угла, к гипотенузе треугольника (рис. 1.3).

От выбора прямоугольного треугольника, содержащего угол, это отношение не зависит.

Физик объяснил бы это так: высота подъема имеет размерность длины, а крутизна — безразмерное число.

Рис. 1.3. sin = BC/AB. Рис. 1.4. Радианная мера угла AOB — отношение длины дуги AB к радиусу AO.

1.2. Измерение углов Вторая из введенных нами характеристик крутизны называется радианной мерой угла.

Определение. Радианной мерой угла называется отношение длины дуги окружности, заключенной между сторонами угла и с центром в вершине угла, к радиусу этой окружности (рис. 1.4).

От радиуса окружности это отношение не зависит.

Например, когда говорят, что «радианная мера угла равна 1/2», или «величина угла равна 1/2 ра диана», или попросту «угол равен 1/ радиана», это значит, что заключенная внутри него дуга вдвое короче радиуса.

Если радиус окружности равен 1, то ра дианная мера угла равна длине дуги.

Вычислим радианную меру прямого угла. В соответствии с нашим определе нием проведем дугу окружности радиу са r с центром в вершине прямого уг ла (рис. 1.5). Дуга AB составляет чет Рис. 1.5.

верть всей окружности. Коль скоро дли на окружности радиуса r равна 2r, дли на нашей дуги равна 2r/4 = r/2, а радианная мера прямого угла равна (r/2)/r = /2 1,57.

Обе введенные нами характеристики крутизны (синус и ра дианная мера угла) имеют то преимущество перед привычным измерением углов в градусах, что являются естественными;

про измерение углов в градусах этого не скажешь: как бы вы стали объяснять представителю внеземной цивилизации, почему один градус составляет именно одну девяностую прямого угла? Кстати, во время Великой французской революции, когда пытались изме нить все, включая календарь и названия игральных карт, была предложена и новая единица измерения углов — одна сотая пря мого угла, что ничуть не хуже и не лучше одной девяностой.

Выясним, как связаны между собой радианная и градусная меры угла. Как мы уже знаем, величина прямого угла равна радиан. Так как угол 1 в 90 раз меньше прямого угла, то и его радианная мера в 90 раз меньше радианной меры прямого угла, то есть равна : 90 = /180 0,017. Угол в k градусов имеет меру (/180)k радиан. Чтобы узнать, сколько градусов содержит угол в 1 радиан, надо найти такое k, что (/180)k = 1. Стало быть, в одном радиане содержится 180/ 57,29.

Задача 1.1. Заполните пустые места в таблице, после чего выучите таблицу наизусть:

градусы 30 45 60 120 135 150 180 радианы Задача 1.2. Для каждого из углов 10, 30, 60 найдите прибли женные значения синуса и радианной меры (с двумя значащими цифрами). На сколько процентов отличаются синус и радианная мера для этих углов?

Задача 1.3. Пусть радианная мера острого угла равна. Дока жите неравенство: sin < (словами: синус острого угла меньше его радианной меры).

Указание. См. рис. 1.6.

Рис. 1.6. Рис. 2.1. Тангенс.

§ 2. Тангенс В предыдущем параграфе мы научились измерять крутизну с по мощью синуса угла. Есть и другой способ измерения крутизны, составляющий, как пока еще говорят, альтернативу синусу.

Представим себе, что человек, поднимаясь по тропе, прибли жается к крутому берегу (рис. 2.1). Если измерять крутизну подъ ема с помощью отношения высоты подъема к длине пути, то по лучится уже знакомый нам синус. Давайте теперь вместо длины пройденного человеком пути измерять, насколько он приблизился к берегу по горизонтали. Иными словами, рассмотрим расстояние AC — проекцию пути на горизонталь. В качестве характеристики крутизны возьмем отношение BC/AC. Это отношение называется тангенсом угла.

Определение. Тангенсом острого угла в прямоугольном тре угольнике называется отношение катета этого треугольника, лежащего против угла, к катету треугольника, прилежащему к углу (рис. 2.1).

Как и синус угла, тангенс не зависит от выбора прямоуголь ного треугольника, содержащего этот угол.

Обозначается тангенс угла так: tg (читается «тангенс альфа»).

Задача 2.1. Докажите, что тангенс угла не зависит от размеров прямоугольного треугольника, содержащего этот угол.

Задача 2.2. Для данного острого угла что больше: sin или tg ?

Выясним, как связаны синус и тангенс угла. Пусть, например, известен тангенс угла ;

как найти его синус? Воспользуемся тем, что для вычисления tg годится любой прямоугольный треуголь ник с углом ;

выберем тот из них, что изображен на рис. 2.1. По теореме Пифагора его гипотенуза равна 1 + tg2, так что tg sin = 1 + tg Рис. 2.1.

Задача 2.3. Пусть — острый угол;

выведите формулу, выража ющую tg через sin.

Задача 2.4. Для каждого из углов 10, 30, 60 найдите прибли женные значения их тангенса. Что больше: тангенс или радианная мера? И на сколько процентов больше?

Из предыдущей задачи вы должны были увидеть, что танген сы фигурировавших в ней углов больше, чем их радианная мера.

На самом деле это верно для любых острых углов. Наглядно это можно пояснить с помощью рис. 2.2а. На нем AC = 1, так что длина дуги CMC равна 2 (мы считаем, что угол измерен в ра дианах), а длина ломаной CBC равна 2 tg. Из рисунка ясно, что длина ломаной CBC больше, чем длина дуги CMC,1 так что 2 tg > 2, откуда tg >.

Аккуратное доказательство этого неравенства вы узнаете, ре шив следующую задачу.

Задача 2.5. Докажите неравенство tg >.

Указание. Сравните площадь треугольника ABC и сектора AMC (рис. 2.2б). Площадь сектора равна половине произведения длины дуги, ограничивающей этот сектор, на радиус окружности.

Веревочку CBC надо укоротить, чтобы она облегала дугу CMC вплот ную.

а) б) Рис. 2.2. tg >.

§ 3. Косинус Определение. Косинусом острого угла в прямоугольном тре угольнике называется отношение катета, прилежащего к углу, к гипотенузе треугольника (рис. 3.1).

Рис. 3.1. cos = AC/AB.

От выбора прямоугольного треугольника, содержащего угол, это отношение не зависит.

Косинус угла обозначается cos («косинус альфа»).

Задача 3.1. Докажите следующие формулы:

а) sin(90 - ) = cos ;

б) cos(90 - ) = sin ;

в) tg = sin / cos.

Рис. 3.2. Функции угла 45. Рис. 3.3. Углы 30 и 60.

Задача 3.2. Докажите формулу: sin2 + cos2 = 1.

Указание. Воспользуйтесь теоремой Пифагора.

Задача 3.3. Пусть — острый угол. Выведите формулу, выража ющую cos через tg : cos = 1/ 1 + tg2.

Указание. Воспользуйтесь рис. 2.1 из предыдущего параграфа.

Задача 3.4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, угол при основании равен. Найдите: а) основание;

б) высоту, опущенную на боковую сторону;

в) высоту, опущенную на осно вание.

Не существует простой формулы, позволяющей по величине угла найти точное значение его синуса или косинуса. Тем не менее для некоторых углов точные значения синуса, косинуса и тангенса легко вычислить. Сделаем это для углов 30, 45 и 60.

Начнем с угла 45. Чтобы посчитать его синус, косинус и тан генс, надо, согласно нашим определениям, взять прямоугольный треугольник с углом 45. В качестве такого треугольника можно взять половинку квадрата со стороной 1 (рис. 3.2).

Из теоремы Пифагора ясно, что диагональ этого квадрата рав на 2. Следовательно, из треугольника ACD получаем:

sin 45 = CD/AC = 1/ 2 = 2/2;

cos 45 = AD/AC = 2/2;

tg 45 = CD/AD = 1.

Теперь займемся углами 30 и 60. Рассмотрим равносторон ний треугольник со стороной 1 и опустим в нем высоту (рис. 3.3).

Эта высота разделит его на два прямоугольных треугольника с ги потенузой 1 и острыми углами 60 и 30;

при этом AD = 1/ (высота BD в равностороннем треугольнике является также бис сектрисой и медианой). По теореме Пифагора находим BD = AB2 - AD2 = 3/2. Теперь, когда длины всех сторон треуголь ника ABD нам известны, остается только выписать:

sin 30 = AD/AB = 1/2;

sin 60 = BD/AB = 3/2;

cos 30 = BD/AB = 3/2;

cos 60 = AD/AB = 1/2;

tg 30 = AD/BD = 1/ 3 = 3/3;

tg 60 = BD/AD = 3.

Кстати, тот факт, что sin 30 = 1/2, был известен вам и рань ше, только в другом обличье, как теорема о том, что катет, лежа щий против угла 30, равен половине гипотенузы.

Приведем более сложный пример явного вычисления синуса и коси нуса. Для этого рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с углом при основании 72 и углом при вершине 36 (рис 3.4). Проведем в нем биссектрису AM угла A и подсчитаем все углы. Из рисунка видно, что треугольники ABM и ACM равнобедренные и AC = AM = BM.

Если AB = a, то AC = 2a cos 72, MC = 2AC cos 72 = 4a cos2 72;

так как AB = BC = MC + BM = MC + AC, получаем равенство a = 4a cos2 72 + 2a cos 72, откуда 4 cos2 72 + 2 cos 72 - 1 = 0. Решая это (квадратное) уравнение относительно cos 72, получаем 5 - cos 72 =.

Задача 3.5. Найдите cos 36.

Задача 3.6. В окружность вписан правильный пятиугольник. Найдите отношение его стороны к радиусу окружности.

Рис. 3.4.

Можно доказать, что правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки в том и только в том случае, когда отношение его стороны к радиусу описанной окружности можно выра зить через целые числа с помощью четырех арифметических действий и извлечения квадратного корня. Решив задачу 3.6, вы убедитесь, что правильный пятиугольник именно таков. В 1796 году К. Ф. Гаусс окон чательно выяснил, какие правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки (будущему великому немецкому матема тику было тогда всего 19 лет, и это была его первая научная работа).

В частности, оказалось, что циркулем и линейкой можно построить пра вильный 17-угольник.

Для практических применений нужны не столько точные фор мулы, сколько приближенные значения синусов и косинусов кон кретных углов. В прежние времена эти значения собирались в таб лицы тригонометрических функций. Пример такой таблицы мы приводим ниже. Излишне объяснять, что таблицы, использовав шиеся на практике, давали значения тригонометрических функ ций не через 5, а с гораздо более мелким шагом. В настоящее вре мя тригонометрические таблицы утратили былое значение: чтобы приближенно найти синус или косинус угла, достаточно нажать несколько клавиш на микрокалькуляторе или компьютере.

Таблица 3.1. Значения тригонометрических функций (с двумя знаками после запятой) 5 10 15 20 25 30 35 sin 0,09 0,17 0,26 0,34 0,42 0,50 0,57 0, tg 0,09 0,18 0,27 0,36 0,47 0,58 0,70 0, 45 50 55 60 65 70 75 80 sin 0,71 0,77 0,82 0,87 0,91 0,94 0,97 0,98 0, tg 1,00 1,19 1,43 1,73 2,14 2,75 3,73 5,67 11, Задача 3.7. Найдите с помощью таблицы 3.1 приближенное зна чение cos 25.

§ 4. Малые углы В принципе можно было бы мерить все углы в радианах. На практике широко используется и градусное измерение углов, хо тя с чисто математической точки зрения оно неестественно. При этом для малых углов используются специальные единицы: угло вая минута и угловая секунда. Угловая минута — это 1/60 часть градуса;

угловая секунда — это 1/60 часть угловой минуты. Если, например, величина угла равна 129 градусам, 34 минутам и секундам, то пишут: 12934 16.

Задача 4.1. На какой угол поворачивается за одну секунду:

а) часовая стрелка часов;

б) минутная стрелка часов;

в) секундная стрелка часов?

Решение. Разберем только пункт а). Полный оборот часовая стрелка делает за 12 часов;

стало быть, за час она поворачива ется на 360/12 = 30. Следовательно, за минуту часовая стрелка повернется на угол, в 60 раз меньший, чем за час, то есть на 30 ;

в свою очередь, за секунду стрелка повернется на угол, в 60 раз меньший, чем за минуту, то есть на 30. Теперь вы видите, на сколько мала угловая секунда: ведь даже угол, в тридцать раз больший (поворот часовой стрелки за секунду времени) мы не в состоянии заметить.

Представление об угловой минуте дает такой факт: «разре шающая способность» человеческого глаза (при стопроцентном зрении и хорошем освещении) равна примерно одной угловой ми нуте. Это означает, что две точки, которые видны под углом или меньше, на глаз воспринимаются как одна.

Посмотрим, что можно сказать о синусе, косинусе и тангенсе малых углов. Если на рис. 4.2 угол мал, то высота BC, дуга BD и отрезок BE, перпендикулярный AB, очень близки. Их длины — это sin, радианная мера и tg. Стало быть, для малых углов синус, тангенс и радианная мера приближенно равны друг другу:

Рис. 4.1. Разрешающая способность.

Рис. 4.2. Малые углы.

Если — малый угол, измеренный в радианах, то sin ;

tg.

Задача 4.2. Запишите приближенные формулы для синуса и тан генса малых углов, считая, что угол измеряется в градусах.

Ответ. sin /180.

Видно, что формулы сложнее, чем для радианной меры — еще один довод в ее пользу!

Задача 4.3. Под каким углом видно дерево высотой 10 метров с расстояния в 800 метров? Дайте ответ: а) в радианах;

б) в угло вых минутах.

Задача 4.4. Чему равно расстояние, равное одной минуте дуги земного меридиана? Радиус Земли равен примерно 6370.

Расстояние, о котором идет речь в этой задаче, примерно рав но морской миле (именно так и появилась эта мера длины).

Рис. 4.3. Парсек.

Рис. 4.4. Формула тысячных.

Задача 4.5. В астрономии применяется единица измерения рассто яний, называемая парсек. По определению, расстояние в 1 пар сек — это расстояние с которого радиус земной орбиты1 виден под углом 1 (рис. 4.3). Сколько километров в одном парсеке?

(Радиус земной орбиты равен примерно 150 миллионам километ ров.) Задача 4.6. Военные пользуются единицей измерения углов, на зываемой «тысячная». По определению, тысячная — это 1/ развернутого угла. Такое измерение углов военные применяют в следующей формуле для определения расстояния до удаленных предметов: = (/) · 1000. Здесь — расстояние до предмета, — его высота, — угол, под которым он виден, измеренный в тысячных (рис. 4.4). Точна ли эта формула? Почему ей можно пользоваться на практике? Чему равно число, по мнению военных?

Мы видим, что формулы sin, tg верны с хоро шей точностью для малых углов. Посмотрим, что произойдет, Астрономы поправили бы нас: не радиус (орбита Земли — не круг, а эл липс), а большая полуось (половина расстояния между наиболее удаленными друг от друга точками орбиты).

если угол не столь мал. Для угла в 30 точное значение сину са равно 0,5, а радианная мера равна /6 0,52. Ошибка (или, как еще говорят, погрешность), которую дает формула sin, равна примерно 0,02, что составляет 4% от значения синуса. Мож но сказать, что относительная погрешность при таком вычисле нии (отношение погрешности к значению синуса) составляет 4%.

Для углов, меньших 10, относительная погрешность формулы sin меньше одного процента. Чем меньше угол, тем мень ше относительная погрешность формулы sin.

Существуют и другие формулы, позволяющие вычислять си нусы и тангенсы — и не только малых углов — с хорошей точно стью. Например, формула sin - 3/6 (напоминаем, что измеряется в радианах!) дает относительную погрешность менее 1% уже для всех углов, не превосходящих 50. Позднее мы уви дим, как оценить погрешность наших формул.

Задача 4.7. Пусть — острый угол, измеренный в радианах. До кажите неравенство cos > 1 - 2.

Указание. Воспользуйтесь формулой cos = 1 - sin2, нера венством sin < и неравенством t > t (для 0 < t < 1).

Задача 4.8. Для косинусов малых углов в качестве приближен ного значения можно брать 1. Докажите, что при величине угла менее 5 относительная погрешность этого приближения будет ме нее 1%.

Глава Начальные свойства тригонометрических функций § 5. Часы, или современный взгляд на тригонометрию 5.1. Часы и процессы До сих пор тригонометрия была для нас наукой о соотношени ях сторон в треугольниках. Именно с этого развитие тригоно метрии и начиналось (слово «тригонометрия» означает в пере воде с древнегреческого «измерение треугольников»). Позднее, однако, акценты сместились, и сейчас тригонометрию правильнее рассматривать как науку не о треугольниках, а о периодических процессах. Чтобы понять, при чем тут периодические процессы, рассмотрим простейший из них — движение стрелок часов.

Задача 5.1. Предположим, что все стрелки часов имеют длину 1 см (видимо, это женские наручные часики). Какой путь прохо дит за сутки:

а) секундная стрелка;

б) минутная стрелка;

в) часовая стрелка?

Рис. 5.1. Часы фирмы «Тригонометрия».

(Мы имеем в виду, конечно, путь, проходимый концом стрелки.) Задача 5.2. Секундная стрелка часов имеет длину 1 см. Часы за вели в 12 часов дня 1 января. В котором часу и какого числа путь, пройденный концом секундной стрелки, составит 1 км? С какой точностью надо знать пройденный стрелкой путь, чтобы иметь возможность ответить на вопрос о дате?

Часы нам еще сослужат добрую службу, но чтобы не входить в противоречие с общепринятой терминологией и обозначениями, нам нужны часы не совсем обычные. Наши «часы для любителей тригонометрии» имеют всего одну стрелку. Эта стрелка движет ся в обратном (по сравнению с обычными часами) направлении.

В момент пуска часов стрелка указывает вправо (туда, где на обычных часах написана цифра 3). За час стрелка поворачива ется на 1 радиан.

Будем считать, что длина стрелки равна 1. Тогда, согласно определению радианной меры угла, длина дуги, описываемой кон цом стрелки за час, равна 1, за два часа — 2 и т. д.

Объясним теперь, какое отношение эти часы имеют к синусам и косинусам. Для этого рассмотрим систему координат, располо женную, как показано на рис. 5.2а.

а) б) Рис. 5.2. Часы и тригонометрия.

Каковы будут координаты конца стрелки в момент t (через t часов после запуска)? Из рис. 5.2б ясно, что, пока стрелка не успела выйти за пределы первой координатной четверти, ее коор динаты будут (cos t;

sin t) (имеются в виду косинус и синус угла в t радиан). В самом деле, из прямоугольного треугольника MAP видно, что cos MAP = AP, sin MAP = MP, а радианная мера угла MAP равна t.

Пусть теперь стрелка вышла за пределы первой координатной четверти (это означает, что пройденный ей путь t превысил /2).

Формально мы не можем сказать, что координаты конца стрелки равны (cos t;

sin t), так как t больше не является радианной ме рой острого угла, а синус и косинус мы определили только для острых углов. Однако мы можем обобщить наши определения.

Можно определить косинус числа t как абсциссу конца стрелки в тот момент, когда пройденное этим концом расстояние составит t. Аналогично синус t определяется как ордината конца стрелки в тот же момент. Как мы видели, в тех случаях, когда t является радианной мерой острого угла, новые определения согласуются с прежними.

Задача 5.3. Как бы вы определили синус и косинус отрицатель ного числа t?

Задача 5.4. Найдите:

а) cos(/2) и sin(/2);

б) cos и sin ;

в) cos(3/2) и sin(3/2);

г) cos(5/2) и sin(5/2).

В следующем параграфе мы дадим более формальные опреде ления синуса и косинуса произвольного числа и начнем системати ческое изучение тригонометрии. Но некоторые важные свойства синуса и косинуса можно увидеть уже сейчас.

Заметим, что за время 2 стрелка наших часов делает полный круг и оказывается на прежнем месте. Поэтому координаты ее конца в моменты t и t + 2 одинаковы. Другими словами:

cos(t + 2) = cos t sin(t + 2) = sin t Как говорят, функции синус и косинус имеют период 2.

Задача 5.5. Как меняется положение стрелки за время ? Чему равны cos(t + ) и sin(t + )?

5.2. Скорость Посмотрим теперь, как изменяются cos t и sin t при изменении t.

Сделаем это для косинуса (ситуация с синусом аналогична).

Стрелка часов равномерно вращается, при этом в тот момент, когда конец стрелки прошел расстояние t, проекция этого конца на ось абсцисс отмечает число cos t (рис. 5.3а). Видно, что эта про екция совершает колебания от 1 до -1 и обратно. Далее, движение конца стрелки по окружности равномерно, но движение его про екции равномерным уже не будет. Чтобы это увидеть, нанесем на окружность положения конца стрелки через равные промежут ки времени, а на ось абсцисс — их проекции (рис. 5.3б). Хорошо видно, что вблизи концов отрезка [-1;

1] точки идут гуще, чем в его середине. Однако отмеченные точки — не что иное, как про екции конца стрелки через равные промежутки времени. Стало быть, в середине отрезка [-1;

1] наша точка движется быстрее, чем у его краев. Это и понятно: в своих колебаниях по отрезку наша точка в концах разворачивается, а чтобы развернуться, надо сначала затормозить.

а) б) Рис. 5.3. Как меняется косинус.

Задача 5.6. а) Если для каждого целого n найти число sin(n/30), сколько различных чисел получится?

б*) Каким должно быть число a, чтобы множество чисел вида cos(na), где n пробегает все целые числа, было конечно?

в**) Существует ли такое натуральное число n, что | cos n| < < 1/1000?

Давайте подсчитаем поточнее, с какой скоростью движется проекция конца стрелки. Будем опять-таки рассматривать проекцию на гори зонтальную ось, соответствующую косинусу. Мы считали, что стрелка движется со скоростью 1 / и имеет длину 1, так что ее конец движет ся со скоростью 1. Пусть в данный момент стрелка повернута на угол t (рис. 5.4) Через маленькое время конец стрелки переместится из точки A в точку B, а его проекция — из точки M в точку N. Найдем отрезок MN. Для этого заметим, что угол CAB можно приближенно считать прямым, так как хорда AB мала. Поэтому BAK /2 - CAK = /2 - t (углы измеряются в радианах). Следовательно, MN AB cos(/2 - t) = AB · sin t.

Далее, так как хорда AB мала, ее длина приближенно равна длине ду ги AB, то есть. Следовательно, MN · sin t, и средняя скорость проекции конца стрелки на участке от M до N приблизительно равна MN/ = sin t. На самом деле чем меньше, тем меньше ошибки наших Рис. 5.4.

приближенных вычислений и тем ближе средняя скорость к sin t. Как говорят, мгновенная скорость проекции конца стрелки в тот момент, когда стрелка прошла расстояние t, равна sin t. Точнее говоря, эта мгно венная скорость равна - sin t, так как при возрастании пройденного расстояния от t до t + проекция конца стрелки движется по оси абс цисс в «отрицательном направлении» (от б чисел к меньшим).

ольших Говоря по-ученому, производная от функции y = cos t — это функция y = - sin t.

§ 6. Определение тригонометрических функций В этом параграфе мы аккуратно сформулируем определения три гонометрических функций.

Для этого введем на плоскости прямоугольную систему коор динат и рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат (рис. 6.1а).

Такой чертеж принято называть тригонометрическим кругом (или тригонометрической окружностью). Точку с координатами (1;

0), лежащую на этой окружности, будем называть началом отсчета или точкой ноль (не путайте с началом координат!).

Направление движения против часовой стрелки будем называть положительным направлением (рис. 6.1б).

Тригонометрическая окружность служит для того, чтобы на носить на нее числа. Это делается так. Пусть у нас есть число t.

Начав с начала отсчета, пройдем по тригонометрической окруж ности путь длиной |t|: если t > 0 — в положительном направле нии, если t < 0 — в отрицательном (возможно, нам придется при этом несколько раз пройти по одному и тому же месту). Точка, в которой мы остановились, и есть точка на окружности, соответ ствующая числу t.

По-другому точку на окружности, соответствующую числу t, можно себе представить как второй конец намотанной на окруж ность нерастяжимой нити длины |t|, один конец которой закреп лен в начале отсчета, или как положение стрелки часов, о которых мы говорили в предыдущем параграфе, в момент t.

На рис. 6.2 отмечено, какая точка соответствует числу / (длина дуги от 0 до этой точки составляет как раз 1/4 всей длины окружности, т. е. 2/4 = /2). Впрочем, в ту же точку попадут и числа + 2, - 2, + 4 — при движении по окружности 2 2 мы сделаем один или несколько лишних кругов, но остановимся все в той же точке.

Задача 6.1. Нанесите на тригонометрический круг числа 3/2, /4, -/4, -/2, -7/4, -7/2. Сколько различных точек у вас получилось?

Задача 6.2. Нанесите на тригонометрическую окружность точки, соответствующие числам n/2 для всех целых n. Сколько различ а) б) Рис. 6.1. Тригонометрический круг.

Рис. 6.2.

ных точек у вас получилось?

Задача 6.3. Выполните задание предыдущей задачи для чисел:

а) -/4 + n;

б) /3 + 2n (n — любое целое число).

Задача 6.4. В какой четверти будет находиться точка тригономет рической окружности, соответствующая числу 1000?

Задача 6.5. Сколько точек получится, если нанести на тригоно метрический круг все числа вида 73n/107, где n — целое число?

Задача 6.6. Каким должно быть число a, чтобы среди точек, со ответствующих числам вида 2an при всех целых n, было бы конечное число различных?

Задача 6.7. Пусть числу t соответствует на тригонометрической окружности точка P. Запишите какое-нибудь другое число, кото рому на тригонометрической окружности соответствуют:

а) та же самая точка P ;

б) точка, симметричная точке P относительно начала коорди нат;

в) точка, симметричная точке P относительно оси абсцисс;

г) точка, симметричная точке P относительно оси ординат;

д) точка, симметричная точке P относительно биссектрисы пер вого и третьего координатных углов.

Задача 6.8. Как выглядит на тригонометрическом круге множе ство точек, соответствующих числам из промежутков: а) [0;

/2];

б) [/2;

2];

в) (-;

);

г) (2;

9).

Если 0 < t < /2, то число t на круге будет расположено так, что отрезок, соединяющий соот ветствующую точку с началом координат, составит угол t радиан с осью абсцисс. В самом деле, в этом случае длина дуги от 0 до t будет как раз равна t (рис. 6.3).

Рис. 6.3.

Теперь все готово для того, чтобы ввести основ ные определения тригонометрии.

Определение. Косинусом числа t называется абсцисса точки на тригонометрическом круге, соответствующей числу t.

Если t — радианная мера острого угла, то косинус этого угла в нашем прежнем смысле равен косинусу числа t в новом смысле.

Косинус числа t обозначается cos t.

Определение. Синусом числа t называется ордината точки на тригонометрическом круге, соответствующей числу t.

Если t — радианная мера острого угла, то синус этого угла в нашем прежнем смысле равен синусу числа t в новом смысле.

Синус числа t обозначается sin t.

Определение. Тангенсом числа t называется отношение синуса числа t к его косинусу.

Если t — радианная мера острого угла, то тангенс этого угла в нашем прежнем смысле равен тангенсу числа t в новом смысле (так как для острых углов верна формула tg t = sin t/ cos t).

Тангенс числа t обозначается tg t.

Определения синуса и косинуса, которые вы сейчас прочита ли, — это те же самые определения, что были даны в предыдущем параграфе, только сформулированные более аккуратно. В преды дущем же параграфе было объяснено, почему для острых углов эти определения согласуются с прежними.

Кроме синуса, косинуса и тангенса используются также и ме нее употребительные функции котангенс, секанс и косеканс, ко торые определяются так:

cos t ctg t = ;

sin t sec t = ;

cos t cosec t =.

sin t Теперь, когда мы определили тригонометрические функции числового аргумента, можно узнать, чему равны тригонометри ческие функции не только острых, но и прямого и тупых углов:

надо перевести величину угла в радианы и взять синус, косинус или тангенс от получившегося числа.

Задача 6.9. Заполните пустые места в следующей таблице:

0 90 120 135 150 sin cos tg — Замечание. В графе для tg 90 мы сразу поставили прочерк, так как, по определению, tg 90 = sin 90/ cos 90, но cos 90 = 0, так что tg 90 не определен.

Задача 6.10. Определите котангенс, секанс и косеканс острых уг лов с помощью прямоугольных треугольников (аналогично тому, как мы определяли синус, косинус и тангенс).

Задача 6.11. Одна из вершин правильного шестиугольника, впи санного в тригонометрическую окружность, расположена в нача ле отсчета. Найдите координаты остальных его вершин.

Задача 6.12. Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, но для правильного пятиугольника (указание: см. задачу 3.5).

Задача 6.13. В задаче 4.8 было сказано, что в качестве прибли женного значения косинуса малого угла можно взять число 1, то есть значение функции косинус в нуле. Что, если в качестве приближенного значения для синуса малого угла, не мудрствуя лукаво, взять 0 = sin 0? Чем это плохо?

Рис. 6.4. Точка M движется по циклоиде.

Задача 6.14. Рассмотрим колесо радиуса 1, касающееся оси абс цисс в начале координат (рис. 6.4). Предположим, что колесо покатилось по оси абсцисс в положительном направлении со ско ростью 1 (т. е. за время t его центр смещается на t вправо).

а) Нарисуйте (примерно) кривую, которую будет описывать точка M, касающаяся в первый момент оси абсцисс.

б) Найдите, каковы будут абсцисса и ордината точки M через время t после начала движения.

6.1. Ось тангенсов Синус и косинус мы в этом параграфе определили геометриче ски, как ординату и абсциссу точки, а тангенс — алгебраически, как sin t/ cos t. Можно, однако, и тангенсу придать геометриче ский смысл.

Для этого проведем через точку с координатами (1;

0) (на чало отсчета на тригонометрической окружности) касательную к тригонометрической окружности — прямую, параллельную оси Рис. 6.5. Ось тангенсов.

ординат. Назовем эту прямую осью тангенсов (рис. 6.5). Название это оправдывается так: пусть M — точка на тригонометрической окружности, соответствующая числу t. Продолжим радиус SM до пересечения с осью тангенсов. Тогда оказывается, что ордина та точки пересечения равна tg t.

В самом деле, треугольники NOS и MP S на рис. 6.5, очевид но, подобны. Отсюда sin t MP NO NO tg t = = = = = NO, cos t P S OS что и утверждалось.

Если точка M имеет координаты (0;

1) или (0;

-1), то пря мая SM параллельна оси тангенсов, и тангенс нашим способом определить нельзя. Это и не удивительно: абсцисса этих точек равна 0, так что cos t = 0 при соответствующих значениях t, и tg t = sin t/ cos t не определен.

6.2. Знаки тригонометрических функций Разберемся, при каких значениях t синус, косинус и тангенс поло жительны, а при каких — отрицательны. Согласно определению, sin t — это ордината точки на тригонометрической окружности, соответствующая числу t. Поэтому sin t > 0, если точка t на а) б) Рис. 6.6. Знаки синуса и косинуса.

Рис. 6.7. Знаки тангенса.

окружности лежит выше оси абсцисс, и sin t < 0, если точка t на окружности лежит ниже оси абсцисс (рис. 6.6а). На рис. 6.6б аналогичным образом изображено, когда положителен и когда от рицателен cos t. Увидеть, когда положителен, а когда отрицателен tg t, проще всего с помощью оси тангенсов: tg t положителен, если точка на окружности, соответствующая числу t, лежит в первой или третьей четверти, и отрицателен, если эта точка лежит во второй или четвертой четверти. Схематически это изображено на рис. 6.7.

Задача 6.15. Нарисуйте картинки, аналогичные рис. 6.7, для зна ков ctg t.

Задача 6.16. а) Изобразите на числовой оси множество точек t, удовлетворяющих системе неравенств:

sin t > 0, 0 t 4.

б) Рассмотрим множество чисел на числовой оси, удовлетво ряющих системе неравенств:

sin x 0, 0 x 20.

Найдите сумму длин отрезков, из которых состоит это множество.

§ 7. Простейшие формулы В § 3 мы установили для острых углов такую формулу:

sin2 + cos2 = 1.

Эта же формула верна и в случае, когда — любое число. В самом де ле, пусть M — точка на тригонометри ческой окружности, соответствующая числу (рис. 7.1). Тогда M имеет ко ординаты x = cos, y = sin. Од нако всякая точка (x;

y), лежащая на окружности единичного радиуса с цен тром в начале координат, удовлетво ряет уравнению x2 + y2 = 1, откуда Рис. 7.1.

cos2 + sin2 = 1, что и требовалось.

Итак, формула cos2 + sin2 = 1 вытекает из уравнения окружности.

Может показаться, что тем самым для острых углов мы дали новое доказательство этой формулы (по сравнению с указанным в § 3, где мы пользовались теоремой Пифагора). Отличие, однако, чисто внеш нее: при выводе уравнения окружности x2 + y2 = 1 используется та же теорема Пифагора.

Для острых углов мы получали и другие формулы, напри мер cos = 1/ 1 + tg2. Для произвольных углов эта формула в таком виде верна не может: согласно общепринятому по быть ниманию символа, правая часть всегда неотрицательна, в то время как левая часть вполне может быть и отрицательной. Что бы формула была верна при всех, надо ее возвести в квадрат.

Получится равенство: cos2 = 1/(1 + tg2 ). Докажем, что эта формула верна при всех : sin2 cos 1/(1 + tg2 ) = 1 1 + = = cos2.

cos2 sin2 + cos Задача 7.1. Выведите все формулы, приведенные ниже, из опре делений и формулы sin2 + cos2 = 1 (некоторые из них мы уже доказали):

sin cos sin2 + cos2 = 1;

tg2 = ;

ctg = ;

cos sin 1 tg 1 + tg2 = ;

sin2 = ;

tg · ctg = 1;

cos2 1 + tg 1 ctg 1 + ctg2 = ;

cos2 =.

1 + ctg sin Эти формулы позволяют, зная значение одной из тригоно метрических функций данного числа, почти найти все осталь ные. Пусть, например, мы знаем, что sin x = 1/2. Тогда cos2 x = = 1-sin2 x = 3/4, так что cos x равен или 3/2, или - 3/2. Чтобы узнать, какому именно из этих двух чисел равен cos x, нужна до полнительная информация.

Задача 7.2. Покажите на примерах, что оба вышеуказанных слу чая возможны.

Задача 7.3. а) Пусть tg x = -1. Найдите sin x. Сколько ответов у этой задачи?

б) Пусть в дополнение к условиям пункта а) нам известно, что sin x < 0. Сколько теперь ответов у задачи?

Для которых tg определен, т. е. cos = 0.

Задача 7.4. Пусть sin x = 3/5, x [/2;

3/2]. Найдите tg x.

Задача 7.5. Пусть tg x = 3, cos x > sin x. Найдите cos x, sin x.

sin x + 2 cos x Задача 7.6. Пусть tg x = 3/5. Найдите.

cos x - 3 sin x Задача 7.7. Докажите тождества:

tg + ctg tg tg sin tg - sin а) = ;

б) = ;

ctg + tg tg tg + sin tg sin 1 в) sin + cos ctg + sin tg + cos = +.

sin cos Задача 7.8. Упростите выражения:

а) (sin + cos )2 + (sin - cos )2;

б) (tg + ctg )2 + (tg - ctg )2;

в) sin (2 + ctg )(2 ctg + 1) - 5 cos.

§ 8. Периоды тригонометрических функций Числам x, x+2, x-2 соответствует одна и та же точка на триго нометрической окружности (если пройти по тригонометрической окружности лишний круг, то придешь туда, где был). Отсюда вы текают такие тождества, о которых уже шла речь в § 5:

sin(x + 2) = sin(x - 2) = sin x;

cos(x + 2) = cos(x - 2) = cos x.

В связи с этими тождествами мы уже употребляли термин «пе риод». Дадим теперь точные определения.

Определение. Число T = 0 называют периодом функции f, если для всех x верны равенства f(x - T ) = f(x + T ) = f(x) (под разумевается, что x + T и x - T входят в область определения функции, если в нее входит x). Функцию называют периодиче ской, если она имеет период (хотя бы один).

Периодические функции естественно возникают при описании колебательных процессов. Об одном из таких процессов речь уже шла в § 5. Вот еще примеры:

1) Пусть = (t) — угол отклонения качающегося маятника часов от вертикали в момент t. Тогда — периодическая функция от t.

2) Напряжение («разность потенциалов», как сказал бы физик) между двумя гнездами розетки в сети переменного тока, ес ли его рассматривать как функцию от времени, является периодической функцией1.

3) Пусть мы слышим музыкальный звук. Тогда давление воз духа в данной точке — периодическая функция от времени.

Если функция имеет период T, то периодами этой функции будут и числа -T, 2T, -2T... — одним словом, все числа nT, где n — целое число, не равное нулю. В самом деле, проверим, напри мер, что f(x + 2T ) = f(x):

f(x + 2T ) = f((x + T ) + T ) = f(x + T ) = f(x).

Определение. Наименьшим положительным периодом функции f называется — в соответствии с буквальным смыслом слов — такое положительное число T, что T — период f и ни одно по ложительное число, меньшее T, периодом f уже не является.

Периодическая функция не обязана иметь наименьший поло жительный период (например, функция, являющаяся постоянной, имеет периодом вообще любое число и, стало быть, наименьшего положительного периода у нее нет). Можно привести примеры и непостоянных периодических функций, не имеющих наимень шего положительного периода. Тем не менее в большинстве инте ресных случаев наименьший положительный период у периоди ческих функций существует.

Когда говорят «напряжение в сети 220 вольт», имеют в виду его «сред неквадратичное значение», о котором мы будем говорить в § 21. Само же напряжение все время меняется.

Рис. 8.1. Период тангенса и котангенса.

В частности, наименьший положительный период как синуса, так и косинуса равен 2. Докажем это, например, для функции y = sin x. Пусть вопреки тому, что мы утверждаем, у синуса есть такой период T, что 0 < T < 2. При x = /2 имеем sin x = = 1. Будем теперь увеличивать x. В точке x + T значение синуса должно быть также равно 1. Но в следующий раз синус будет равен 1 только при x = (/2) + 2. Поэтому период синуса быть меньше 2 не может. Доказательство для косинуса аналогично.

Наименьший положительный период функции, описывающей колебания (как в наших примерах 1–3), называется просто пери одом этих колебаний.

Поскольку число 2 является периодом синуса и косинуса, оно будет также периодом тангенса и котангенса. Однако для этих функций 2 — не наименьший период: наименьшим положи тельным периодом тангенса и котангенса будет. В самом деле, точки, соответствующие числам x и x + на тригонометриче ской окружности, диаметрально противоположны: от точки x до точки x + 2 надо пройти расстояние, в точности равное по ловине окружности. Теперь, если воспользоваться определением тангенса и котангенса с помощью осей тангенсов и котангенсов, равенства tg(x + ) = tg x и ctg(x + ) = ctg x станут очевидными (рис. 8.1). Легко проверить (мы предложим это сделать в зада чах), что — действительно наименьший положительный период тангенса и котангенса.

Одно замечание по поводу терминологии. Часто слова «период функции» употребляют в значении «наименьший положительный период». Так что если на экзамене у вас спросят: «Является ли 100 периодом функции синус?», не торопитесь с ответом, а уточ ните, имеется в виду наименьший положительный период или просто один из периодов.

Тригонометрические функции — типичный пример периодиче ских функций: любую «не очень плохую» периодическую функ цию можно в некотором смысле выразить через тригонометриче ские.

Задача 8.1. Найдите наименьшие положительные периоды функ ций:

x а) y = sin 3x;

б) y = cos ;

в) y = cos x;

г) y = cos x + cos(1,01x).

Задача 8.2. Зависимость напряжения в сети переменного тока от времени задается формулой U = U0 sin t (здесь t — время, U — напряжение, U0 и — постоянные величины). Частота перемен ного тока — 50 Герц (это означает, что напряжение совершает колебаний в секунду).

а) Найдите, считая, что t измеряется в секундах;

б) Найдите (наименьший положительный) период U как функ ции от t.

Задача 8.3. а) Докажите, что наименьший положительный период косинуса равен 2;

б) Докажите, что наименьший положительный период танген са равен.

Задача 8.4. Пусть наименьший положительный период функции f равен T. Докажите, что все остальные ее периоды имеют вид nT для некоторых целых чисел n.

Задача 8.5. Докажите, что следующие функции не являются пе риодическими:

а) y = x2;

б) y = sin(x2);

в) y = x + sin x;

г) y = sin |x|;

д*) y = cos x + cos(kx), где k — иррациональное число.

Задача 8.6. Числа 5 и 8 являются периодами функции f. Дока жите, что число 1 — тоже ее период.

Задача 8.7. Функция y = f(x) имеет наименьший положительный период 2, а функция y = g(x) имеет наименьший положительный период 6. Может ли функция y = f(x) + g(x) иметь наименьший положительный период 3?

Задача 8.8. Определим функцию f так:

1, если x — рациональное число;

f(x) = 0, если x — иррациональное число.

Докажите, что всякое рациональное число будет периодом функ ции f (отсюда следует, что у нее нет наименьшего положительного периода).

§ 9. Формулы приведения Нанесем на тригонометрическую окружность точку M, соответ ствующую числу x. Ее координатами будут (cos x;

sin x).

Опустим из точки M перпендикуляр на ось абсцисс. У нас получится прямоугольный треугольник (на рис. 9.1а он заштри хован).

Теперь повернем этот треугольник на 90 против часовой стрел ки. Он займет положение, показанное на рис. 9.1б. Точка M на этом рисунке соответствует числу x + /2 (так как угол MZM, очевидно, прямой) и имеет координаты (- sin x;

cos x). Поскольку координаты точки на тригонометрической окружности — это ко синус и синус соответствующего этой точке числа, получаем такие формулы:

cos(x + /2) = - sin x;

sin(x + /2) = cos x.

а) б) Рис. 9.1. Точка M соответствует числу x, точка M соответствует числу x + /2.

Поделим эти равенства одно на другое. Получится вот что:

tg(x + /2) = - ctg x;

ctg(x + /2) = - tg x.

Строго говоря, мы доказали эти формулы лишь в одном случае — если точка, соответствующая числу x, лежит в первой четверти.

Проверьте сами, что эти формулы верны и в других случаях.

Итак, сравнив два положения треугольника на рис. 9.1а, мы получили несколько формул. Прикладывать этот треугольник к осям можно и разными другими способами, и каждый из этих способов дает свой набор формул. На рис. 9.2 изображены разные способы перекладывания треугольника, а под ними выписаны соответству ющие формулы.

Задача 9.1. Заполните пустые места в подписях к чертежам на рис. 9.2.

Формулы, которые мы получили с помощью перекладывания треугольника, называются формулами приведения. Точнее гово ря, пусть у нас есть число a, равное n/2 для какого-то целого числа n. Формулами приведения называются формулы, связыва ющие тригонометрические функции от x + a, x - a или a - x с тригонометрическими функциями от x. Как видите, этих формул много, и заучивать их наизусть было бы неразумно. На практике, Рис. 9.2. Формулы приведения.

если требуется воспользоваться формулой приведения, удобно на рисовать картинку наподобие тех, из которых составлен рис. 9.2, и посмотреть по ней, как должна выглядеть формула. Кроме то го, есть и мнемоническое правило, позволяющее выписать любую формулу приведения. Сформулируем это правило.

1) Пусть в левой части стоит тригонометрическая функция от x + a, x - a или a - x, где a = n/2. Если укладывается в числе a целое число раз (a = 0,, -, 2, -2,... ), то в правой части надо записать ту же тригонометрическую функцию, что и в левой части. Если же укладывается в числе a не целое, а «полуцелое» число раз (a = /2, -/2, 3/2, 5/2,... ), то название тригонометрической функции надо заменить на похожее (синус на косинус и наоборот, тан генс на котангенс и наоборот).

2) Если при x, принадлежащем первой четверти, левая часть положительна, то перед правой частью надо поставить знак плюс, в противном случае — знак минус.

Вот как по этим правилам получается фор мула для sin(3/2+x): 3/2 скобках указывает, что название функции меняется, так что в пра вой части будет стоять косинус;

так как при x, лежащем в первой четверти, sin(3/2 + x) отрицателен (рис. 9.3), перед косинусом будет стоять знак минус. В итоге: sin(3/2 + x) = - cos x.

Рис. 9.3.

С помощью формул приведения тригонометрические функции любого числа можно выразить через тригонометрические функ ции чисел, лежащих на отрезке [0;

/2] (от 0 до 90, если из мерять углы в градусах). Поэтому тригонометрические таблицы составляются только для углов от 0 до 90;

в современных каль куляторах и компьютерах программы, вычисляющие тригономет рические функции, также предварительно «приводят» аргумент к промежутку [0;

/2].

Из множества формул приведения стоит, возможно, отметить такие:

sin - x = cos x;

cos - x = sin x;

2 tg - x = ctg x;

ctg - x = tg x.

2 Эти формулы называются «формулами дополнительного угла»;

для острых углов они нам уже знакомы.

Полезно также запомнить, как меняются тригонометрические функции при изменении знака аргумента:

sin(-x) = - sin x;

cos(-x) = cos x;

tg(-x) = - tg x;

ctg(-x) = - ctg x.

Иными словами, синус, тангенс и котангенс — нечетные функции, косинус — четная функция.

Задача 9.2. Упростите выражения:

а) sin(x - /2);

б) sin(x - 1998);

в) sin(x - 1991/2);

г) sin(x - 3/2);

д) sin(2 - x);

е) tg(x - /2);

ж) sin(x - 111);

з) cos(x + 7/2);

и) tg(-x - 3/2).

Задача 9.3. Вычислите:

а) cos(13/6);

б) sin(44/3);

в) cos(-21/2);

г) tg(77/4);

д) sin(123/2);

е) sin(-19/3);

ж) sin 3540;

з) tg(-1050);

и) cos 1575;

к) sin(-1200).

Задача 9.4. Выразите через тригонометрическую функцию числ а, лежащего на отрезке [0;

/2]:

а) tg 19, 3;

б) tg 10;

в) sin 46/9;

г) cos 114;

д) sin(-9);

е) sin 22/7.

Задача 9.5. Определите знаки следующих выражений:

а) sin(127/5);

б) cos(-26, 17);

в) tg 83, 1;

г) cos 17;

д) sin(-46).

Задача 9.6. Пусть на плоскости задана система координат и точка M с координатами (a;

b). Запишите координаты точки, в которую M переходит при следующих преобразованиях:

а) симметрии относительно оси абсцисс;

б) симметрии относительно оси ординат;

в) симметрии относительно начала координат;

г) повороте относительно начала координат на 90 в положи тельном направлении;

д) симметрии относительно прямой с уравнением y = x.

§ 10. Простейшие тригонометрические уравнения Будем учиться решать тригонометрические уравнения. Начнем с самого простого: уравнения sin x = 1. Мы помним, что sin x — ор дината точки x на тригонометрической окружности. На ней есть только одна точка с ординатой 1 — точка M на рис. 10.1а. Одно а) б) Рис. 10.1. Простейшие уравнения.

из чисел, соответствующих точке M, — это число /2. Кроме / этой точке соответствуют, очевидно, все числа вида /2+2n, где n — целое число, и только они. Вместо «n — целое число» принято писать «n Z» (буквальный перевод: «n принадлежит множеству Рис. 10.2. Простейшие уравнения: систематизация.

всех целых чисел, обозначаемому Z»). Итак, решения уравнения sin x = 1 можно записать так: x = /2 + 2n, n Z. Можно запи сать решения этого уравнения и в виде множества:

+ 2n;

n Z.

Можно, наконец, написать так:

Ответ: + 2n;

n Z.

Решим еще уравнение cos x = 0. Так как cos x — абсцисса точ ки, соответствующей x, на тригонометрическом круге числу x могут соответствовать точки M и N (рис. 10.1б), и только они.

Точке M, как мы только что выяснили, соответствуют числа вида /2+2n, n Z. Точке N соответствует, в частности, число -/2, а значит, и все числа вида -/2 + 2m (m Z).

Можно записать оба эти множества чисел одной формулой, а именно x = /2n (n Z). Убедитесь, что эта формула дает в точности все числа, которым соответствует точка M или N на рис 10.1б.

Решения этих и аналогичных тригонометрических уравнений изображены на рис. 10.2.

Прежде чем читать дальше, убедитесь, что решения уравне ний на рис 10.2 соответствуют рисункам.

Теперь займемся уравнениями послож нее. Решим уравнение sin x = 1/2. Снача ла мы опять-таки найдем не сами решения, а соответствующие им точки на тригономет рическом круге. Это — точки с ординатой 1/2, их, очевидно, две (точки M1 и M2 на рис. 10.3).

Выясним, какие числа соответствуют этим точкам. Точка M1 соответствует (в частности) числу /6 (/6 радиан — это 30, sin 30Рис. 10.3. точ = 1/2), а ка M2 — числу - /6 = 5/6 (чтобы пройти путь от начала отсчета O до точки M2, можно сначала пройти в положительном направлении расстояние до точки S, а затем вернуться из S в M2, пройдя расстояние /6 — д SM2 и OM1 равны). Числа, уги соответствующие точке M1, имеют вид /6 + 2n, а числа, соот ветствующие точке M2, имеют вид 5/6+2n (n Z). Итак, ответ к уравнению sin x = 1/2 готов:

x = /6 + 2n;

x = 5/6a + 2n (n Z).

С уравнением sin x = 1/2 нам повезло в том отношении, что мы смогли явно указать число, синус которого равен 1/2. Чтобы решить уравнение sin x = a для произвольного a, нам нужно как то обозначить число, синус которого равен a. При этом, если такие числа есть, то их много, так что нужно еще выбрать из них одно.

Эти проблемы принято решать следующим образом:

Определение. Арксинусом числа a называется такое число x, что sin x = a и -/2 x /2. Это число обозначается arcsin a.

Из рис. 10.4 видно, что arcsin a существует и однозначно опре делен, если -1 a 1. Если |a| > 1 (то есть a > 1 или a < -1), то arcsin a не определен, поскольку sin x не бывает больше 1 или меньше -1. Теперь мы можем записать в общем виде решения Рис. 10.4. Арксинус.

Рис. 10.5. sin x = a.

уравнения sin x = a. Будем для начала считать, что -1 < a < 1.

Тогда на тригонометрической окружности есть две точки с орди натой a (рис. 10.5).

Точка M1 соответствует, очевидно, числу arcsin a (а также чис лам, отличающимся от него на кратные 2). Точка M2 соответ ствует числу -arcsin a (вспомните уравнение sin x = 1/2, а также формулу приведения sin( - x) = sin x). Все числа, соответствую щие этим двум точкам, — это числа arcsin a+2n и -arcsin a+2n (n Z). Стало быть, при |a| < 1 ответ к уравнению sin x = a та ков:

x = arcsin a + 2n;

(10.1) x = - arcsin a + 2n (n Z).

Когда a приближается к 1, две точки с ординатой a на тригоно метрической окружности приближаются друг к дружке, а когда a становится равным 1, они сливаются. Сливаются в одну и две «серии» решений уравнения sin x = a: каждая из двух формул пе реходит в знакомую нам /2+2n. Если же a > 1 (или a < -1), то уравнение sin x = a не имеет решений: точек с соответствующей ординатой на тригонометрической окружности просто нет.

Это напоминает положение дел с уравнением x2 = a: если a > 0, то кор ня два;

когда a приближается к нулю, эти корни приближаются друг к другу, когда a = 0, два корня сливаются в один, а когда a отрица тельно, то корней у уравнения x2 = a нет. Если, однако, рассматривать наряду с обычными еще и так называемые «комплексные числа», то окажется, что при a < 0 у уравнения x2 = a тоже есть два корня, но только комплексных. Аналогичным образом у уравнения sin x = a при a > 1 есть решения, являющиеся комплексными числами. Об этом у нас пойдет речь в главе 6.

Решения уравнения sin x = a можно записать и одной форму лой:

x = (-1)n arcsin a + n, n Z. (10.2) Проверьте, что формула (10.2) дает другую запись того же ответа, что и формула (10.1) (для этого полезно отдельно разобрать слу чай четных n, когда (-1)n = 1, и нечетных n, когда (-1)n = -1).

Рис. 10.6. Арккосинус.

Запись ответа к уравнению sin x = a в виде (10.2) удобна, если ничего, кроме ответа, от нас не требуется. Если же нужен даль нейший анализ решений (как, например, в задаче 10.10 в конце параграфа), то запись (10.1) (в виде двух «серий») удобнее.

Разберемся теперь с уравнением cos x = a. Для записи его решений используется функция арккосинус.

Определение. Арккосинусом числа a называется такое число x, что cos x = a и 0 x. Это число обозначается arccos a.

Из рисунка 10.6 видно, что arccos a существует и однозначно определен, если -1 a 1, и не определен, если a > 1.

Теперь запишем решения уравнения cos x = a. Опять будем сначала считать, что -1 < a < 1. Решениям этого уравнения соответствуют точки с абсциссой a на тригонометрической окруж ности (рис. 10.7). Точка M1 соответствует числу arccos a, а точка M2 — числу - arccos a (вспомните формулу cos(-x) = cos x). Вспо миная, что числа, отличающиеся на кратные 2, соответствуют одной и той же точке, получаем, что при |a| < 1 ответ к уравне нию cos x = a таков:

x = arccos a + 2n;

x = - arccos a + 2n (n Z).

Рис. 10.7. cos x = a.

Если a = 1 или -1, этот ответ тоже верен, причем обе «серии» сливаются в одну (т. е. одни и те же значения x встречаются в обе их сериях);

впрочем, при этих значениях a пользоваться общими формулами неразумно. Если же a > 1, то уравнение cos x = a не имеет решений.

Часто решения уравнения cos x = a кратко записывают так:

x = ± arccos a + 2n, n Z.

Эта запись имеет те же преимущества и недостатки, что и запись решений уравнения sin x = a с помощью одной формулы.

Для записи решений уравнения tg x = a используется функция арктангенс.

Определение. Арктангенсом числа a называется такое число x, что tg x = a и -/2 < x < /2. Это число обозначается arctg a.

Из рис. 10.8 видно, что arctg a существует и однозначно опре делен для всех a.

Теперь решим уравнение tg x = a. Очевидно, что оно имеет решения для всех a и что его решения — числа, соответствующие точкам M1 и M2 на рис. 10.8. Точке M1, очевидно, соответствуют числа arctg a+2n, а точке M2 — числа (arctg a+)+2k (если на нести на тригонометрическую окружность числа, отличающиеся на, то получатся две диаметрально противоположные точки).

Получилось две серии решений. Проще, однако, ответ записать так:

x = arctg a + n (n Z).

Рис. 10.8. Арктангенс.

Эта запись дает верный ответ, так как при четных n получается точка M1, а при нечетных — точка M2. Впрочем, это также следует из того, что период тангенса равен.

Осталось еще сказать про уравнение ctg x = a. Для его реше ния используется малоупотребительная функция арккотангенс.

Определение. Арккотангенсом числа a называется такое число x, что ctg x = a и 0 < x <. Обозначается это число arcctg a.

Арккотангенс, как и арктангенс, определен для всех чисел и связан с арктангенсом простой формулой (см. задачу 10.5).

Решениями уравнения ctg x = a являются числа x = arcctg a+ + n, n Z.

Задача 10.1. Заполните таблицы:

a -1 - 3/2 - 2/2 -1/2 0 1/2 2/2 3/2 arcsin a arccos a a 3 -1 - 3/3 0 3/3 1 arctg a arcctg a Задача 10.2. Решите уравнения:

1 а) sin 2x = ;

б) sin 3x - = - ;

2 4 x в) sin x + = 3;

г) sin + = ;

4 2 8 x 1 д) cos 2x + = - ;

е) cos + = ;

4 2 3 12 2 ж) cos 2x - = - ;

з) tg (x + /4) = - ;

3 2 x и) ctg = -1.

Задача 10.3. Решите уравнения:

1 - 5 1 + а) sin x = ;

б) sin 2x = ;

x 2 в) cos + = 4 - 7;

г) cos 2x - = ;

2 4 3 д) 6 sin2 x + sin x - 2 = 0;

е) 3 sin2 x - 10 sin x + 3 = 0;

ж) 2 sin2 x = 4 sin x + cos2 x;

з) 3 sin2 2x + cos2 2x + 5 cos 2x = 0;

и) cos2 y - 3 cos y + 1 = 0;

к) tg x = 3;

л) ctg x = 4 - 7.

Задача 10.4. Решите уравнения:

а) arcsin x = /6;

б) arcsin x = 5/6;

в) arccos x = 5/6.

Задача 10.5. Докажите формулы:

а) arcsin(-x) = - arcsin x;

б) arccos(-x) = - arccos x;

в) arctg(-x) = - arctg x;

г) arctg x + arcctg x = /2.

Задача 10.6. Постройте графики функций:

а) y = sin(arcsin x);

б) y = cos(arccos x);

в) y = arcsin(sin x);

г) y = arccos(cos x);

д) y = tg(arctg x).

Задача 10.7. Упростите выражения:

17 а) arctg tg ;

б) arcsin cos ;

5 в) arcctg(ctg 8);

г) arccos(cos 11);

д) arccos(sin 11).

Задача 10.8. Для каких x верны равенства:

а) arcsin 1 - x2 = arccos x;

б) arctg(1/x) = arcctg x;

в) arcsin(sin x) = x;

г) sin(arcsin x) = x.

Задача 10.9. Упростите выражения:

2 а) sin arctg ;

б) cos arctg ;

3 1 в) tg arcsin ;

г) sin arccos - ;

д) cos arcsin -.

Задача 10.10. а) Сколько решений уравнения sin x = 1/2 лежит на отрезке [0;

10]?

б) Сколько решений уравнения sin x = 1/3 лежит на отрезке [0;

100]?

в) Найдите сумму решений уравнения sin x = - 2/2, лежа щих на отрезке [0;

64].

§ 11. Графики синуса и косинуса Повторить: § 5. Часы, или современный взгляд на тригонометрию.

Построим график функции y = sin x. При этом нам опять при годятся часы из § 5.

Если x = 0, то, очевидно, y = 0. Когда x воз растает от 0 до /2, число sin x возрастает от 0 до 1 (представьте себе, как меняется ордината кон ца стрелки на наших фирменных часах). Участок графика для x от 0 до /2 изображен на рис. 11.1.

При малых x наш график близок к прямой y = x: вспомним, что при малых x верна при ближенная формула sin x x. Можно сказать, Рис. 11.1.

что прямая y = x касается кривой с уравнением y = sin x в точке (0;

0). Заметим также, что наш участок графика расположен ниже этой прямой: ведь для острых углов x, измерен ных в радианах, выполнено неравенство sin x < x.

Чем ближе x к /2, тем более полого идет наша кривая. Это происходит потому, что проекция конца стрелки на ось ординат, колеблясь по отрезку [-1;

1], быстрее всего движется в середине отрезка и замедляется у его краев: мы это уже обсуждали в § 5.

а) б) Рис. 11.2.

Пусть далее, /2 x 2 (стрелка часов продолжает дви жение). Тогда, очевидно, ордината конца стрелки, то есть sin x, уменьшается от 1 до 0 — рис. 11.2а. Далее, когда x возрастает от до 3/2, sin x уменьшается от 0 до -1, а когда x возраста ет от 3/2 до 2, возрастает от -1 до 0. Итак, участок графика для 0 x 2 готов (рис. 11.2б). Заметим, кстати, что кри вая на рис 11.2а симметрична относительно вертикальной пря мой с уравнением x = /2. В самом деле, формула приведения sin(/2 - x) = sin x показывает, что точки с абсциссами x и - x имеют на графике одинаковые ординаты и, стало быть, симмет ричны относительно прямой x = /2 (рис. 11.3а).

а) б) Рис. 11.3.

Задача 11.1. Запишите уравнение прямой, касающейся графика функции y = sin x в точке с координатами (;

0).

Кривая на рис 11.2б центрально симметрична относительно точки с координатами (;

0);

это следует из другой формулы при ведения: sin(2 - x) = - sin x (рис. 11.3б).

После того, как у нас есть участок графика функции y = sin x для 0 x 2, весь график строится уже просто. В самом деле, когда конец стрелки прошел путь 2, стрелка вернулась в исходное положение;

при дальнейшем движении все будет по вторяться. Значит, график будет состоять из таких же кусков, как на рис 11.2б. Окончательно график функции y = sin x выглядит так, как на рис. 11.4. При этом участки графика при x [2;

4], [4;

6], [-2;

0],... получаются из графика на рис 11.2б сдвигом вдоль оси абсцисс на 2, 4, -2,... соответственно. Это — про сто переформулировка того факта, что функция y = sin x имеет период 2.

Рис. 11.4. y = sin x.

Рис. 11.5. y = cos x.

Теперь построим график функции y = cos x. Можно было бы строить его так же, как мы строили график синуса. Мы, однако, изберем другой путь, который позволит использовать уже имею щуюся у нас информацию.

Именно, воспользуемся формулой приведения sin(x + /2) = = cos x. Эту формулу можно понимать так: функция y = cos x принимает те же значения, что и функция y = sin x, но на / раньше. Например, функция y = sin x принимает значение 1 при x = /2, а функция y = cos x = sin(x + /2) принимает это же значение уже при x = 0. На графике это означает следующее: для каждой точки графика y = sin x есть точка графика y = cos x, у которой ордината та же, а абсцисса на /2 меньше (рис. 11.5).

Стало быть, график y = cos x получится, если сдвинуть график y = sin x вдоль оси абсцисс на /2 влево. На рис. 11.5 график функции y = cos x изображен сплошной кривой.

Итак, мы выяснили, что график косинуса получается преобра зованием (сдвигом) из графика синуса. Случаи, когда график од ной функции можно получить преобразованием из графика дру гой функции, интересны и сами по себе, поэтому скажем о них несколько слов.

Как, например, будет выглядеть график функции y = 2 sin x?

Ясно, что ординаты точек этого графика получаются из ординат соответствующих точек графика y = sin x умножением на 2, так что наш график изобразится сплошной кривой на рис. 11.6. Мож но сказать, что график y = 2 sin x получается из графика y = sin x растяжением в два раза вдоль оси ординат.

Рис. 11.6. y = 2 sin x.

Рис. 11.7. y = sin 2x.

Теперь построим график функции y = sin 2x. Легко понять, Рис. 11.8. y = sin(2x + /3).

что функция y = sin 2x принимает те же самые значения, что и функция y = sin x, но при в два раза меньших значениях x.

Например, функция y = sin x принимает значение 1 при x = /2, а функция y = sin 2x — уже при x = /4;

иными словами, чтобы получить график y = sin 2x, надо абсциссы всех точек графика y = sin x уменьшить в два раза, а ординаты оставить неизменны ми. То, что получается, изображено на рис. 11.7. Можно сказать, что график y = sin 2x (сплошная линия на рис. 11.7) получается из графика y = sin x сжатием в 2 раза к оси ординат.

Попробуем еще построить график функции y = sin(2x + /3).

Понятно, что он должен получаться каким-то преобразованием из графика y = sin 2x. На первый взгляд может показаться, что это преобразование — сдвиг влево на /3 вдоль оси абсцисс, по аналогии с тем, что изображено на рис. 11.5. Однако, если бы это было так, то вышло бы, например, что функция y = sin(2x + /3) принимает значение 1 при x = /4 - /3 = /12, что не со ответствует действительности (проверьте!). Правильно рассуж дать так: sin(2x + /3) = sin 2(x + /6), так что функция y = sin(2x+/3) принимает те же значения, что и функция y = sin 2x, но на /6 раньше. Так что сдвиг влево — не на /3, а на / (рис. 11.8).

Кривые, являющиеся графиками функций y = a sin bx, где a = 0, b = 0, называются синусоидами. Заметим, что кривой «ко синусоида» вводить не надо: как мы видели, график косинуса — это та же кривая, что и график синуса, только иначе расположен ная относительно осей координат.

Задача 11.2. Каковы координаты точек, помеченных на рис. 11. вопросительными знаками?

Задача 11.3. Возьмите свечу, тонкий лист бумаги и острый нож.

Намотайте лист бумаги на свечу в несколько слоев и аккуратно разрежьте эту свечу вместе с бумагой наискосок ножом. Теперь разверните бумагу. Вы увидите, что она оказалась разрезанной по волнистой линии. Докажите, что эта волнистая линия является синусоидой.

Задача 11.4. Постройте графики функций:

а) y = - sin x;

б) y = sin x - ;

в) y = cos(x/2);

x г) y = 3 cos 2x;

д) y = cos 2x - ;

е) y = sin - ;

4 2 ж) y = sin(x).

Замечание. Если вы строите графики тригонометрических функ ций на клетчатой бумаге, удобно выбрать немного разные масшта бы по осям, с тем чтобы на оси абсцисс числу соответствовало целое число клеточек. Например, часто выбирают такой масштаб:

по оси ординат отрезок длины 1 занимает две клеточки, по оси абсцисс отрезок длины занимает 6 клеточек.

Задача 11.5. Постройте графики функций:

а) y = arcsin x;

б) y = arccos x.

Посмотрим, как выглядят на графиках уже известные нам решения уравнений sin x = a и cos x = a. Эти решения являют ся абсциссами точек пересечения горизонтальной прямой y = a с графиком функций y = sin x (соответственно y = cos x). На рис. 11.9, 11.10 хорошо видны две серии решений, получающихся при -1 < a < 1.

По графикам синуса и косинуса видно, на каких промежут ках эти функции возрастают, а на каких убывают. Ясно, напри мер, что функция y = sin x возрастает на отрезках [-/2;

/2], Рис. 11.9.

Рис. 11.10.

а) б) Рис. 12.1.

[3/2;

5/2], [-5/2;

-3/2],... — одним словом, на всех отрезках [-/2 + 2k;

/2 + 2k], где k Z, и убывает на всех отрезках [/2 + 2n;

3/2 + 2n], где n Z.

Задача 11.6. На каких отрезках возрастает и на каких убывает функция y = cos x?

Задача 11.7. Сравните числа:

а) sin(17/5) и cos(-6/7);

б) sin(11, 2) и cos(-6, 4);

в) cos(19/9) и cos(-13/6);

г) sin 7 и cos 7;

д) cos 7 и cos 10.

Задача 11.8. Расположите в порядке возрастания: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6.

§ 12. Графики тангенса и котангенса Построим график функции y = tg x. Для начала построим его для чисел x, принадлежащих интервалу (-/2;

/2).

Если x = 0, то tg x = 0;

когда x возрастает от 0 до /2, tg x тоже возрастает — это видно, если посмотреть на ось танген сов (рис. 12.1а). Когда x приближается к /2, оставаясь меньше Рис. 12.2. y = tg x.

/2, значение tg x возрастает (точка M на рис. 12.1а убегает все выше) и может, очевидно, стать сколь угодно большим положи тельным числом. Аналогично, когда x убывает от 0 до -/2, tg x становится отрицательным числом, абсолютная величина которо го возрастает при приближении x к -/2. При x = /2 или -/ функция tg x не определена. Стало быть, график y = tg x при x (-/2;

/2) выглядит примерно как на рис. 12.1б.

Вблизи начала координат наша кривая близка к прямой y = x x: ведь для малых острых углов верно приближенное равнество tg x x. Можно сказать, что прямая y = x касается графика функции y = tg x в начале координат. Кроме того, кривая на рис 12.1б симметрична относительно начала координат. Это объ ясняется тем, что функция y = tg x нечетная, то есть выполнено тождество tg(-x) = - tg x.

Чтобы построить график функции y = tg x для всех x, вспом ним, что tg x — периодическая функция с периодом. Стало быть, чтобы получить полный график функции y = tg x, надо повто рить бесконечно много раз кривую рис. 12.1б, перенося ее вдоль оси абсцисс на расстояния n, где n — целое число. Окончатель ный вид графика функции y = tg x — на рис. 12.2.

По графику мы в очередной раз видим, что функция y = tg x Рис. 12.3. y = ctg x.

не определена при x = /2 + n, n Z, то есть при тех x, при которых cos x = 0. Вертикальные прямые с уравнениями x = /2, 3/2,..., к которым приближаются ветви графика, называются асимптотами графика.

На том же рис. 12.2 мы изобразили решения уравнения tg x = a.

Построим график функции y = ctg x. Проще всего, воспользо вавшись формулой приведения ctg x = tg(/2 - x), получить этот график из графика функции y = tg x с помощью преобразова ний наподобие тех, что мы описывали в предыдущем параграфе.

Результат — на рис. 12. Задача 12.1. График функции y = ctg x получается из графика функции y = tg x с помощью симметрии относительно некото рой прямой. Какой именно? Есть ли другие прямые с указанным свойством?

Задача 12.2. Как выглядит уравнение прямой, касающейся гра фика функции y = ctg x в точке с координатами (/2;

0)?

Задача 12.3. Сравните числа: а) tg(13/11) и tg 3,3;

б) tg 9,6 и ctg(-11,3).

Задача 12.4. Расположите числа в порядке возрастания: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

Задача 12.5. Постройте графики функций:

а) y = tg(2x - /3);

б) y = 2 ctg(/4 - x).

Задача 12.6. Постройте графики функций:

а) y = arctg x;

б) y = arcctg x.

Задача 12.7. Постройте график функции y = arctg x + arctg(1/x).

§ 13. Чему равно sin x + cos x?

В этом параграфе мы попытаемся решить такую задачу: какое самое большое значение может принимать выражение sin x+cos x?

Ясно, что sin x+cos x 2 при всех x: ведь как sin x, так и cos x не превосходят 1. Впрочем, значения 2 ни при каком x получиться не может: чтобы так вышло, нужно, чтобы sin x и cos x оба равня лись 1, а это невозможно, поскольку формула sin2 x + cos2 x = говорит нам, что когда sin x = 1, тогда cos x = 0 (и вообще, что когда sin x велик, тогда cos x мал). Хорошо было бы найти такое x, для которого оба слагаемых как бы уравновесили друг друга:

и то, и другое было бы не слишком велико. Советуем вам, прежде чем читать дальше, поискать такое x с помощью таблицы из § 3.

Если вы правильно считали, у вас должно было выйти, что из всех x, входящих в эту таблицу, наибольшее значение sin x + cos x получается при x, близких к 45, или, в радианной мере, к /4.

Если x = /4, точное значение sin x+cos x равно 2. Оказывается, что наш результат, полученный экспериментальным путем, и в самом деле верен: при всех x верно неравенство sin x + cos x 2, так что 2 — самое большое из значений, принимаемых этим выражением.

У нас еще не хватает средств, чтобы до казать это неравенство наиболее естествен ным способом. Пока что мы покажем, как свести его к задаче по планиметрии.

Рис. 13.1.

Если 0 < x < /2, то sin x и cos x — катеты прямоугольного треугольника с ги потенузой 1 и острым углом x (рис. 13.1).

Поэтому наша задача переформулируется так: доказать, что сум ма длин катетов прямоугольного треугольника с гипотенузой будет максимальной, если этот треугольник — равнобедренный.

Задача 13.1. Докажите это утверждение.

Так как у равнобедренного прямоугольного треугольника с ги потенузой 1 сумма длин катетов равна 2, результата этой из задачи вытекает неравенство sin x + cos x 2 для всех x, лежа щих в интервале (0;

/2). Отсюда уже нетрудно заключить, что это неравенство выполнено и вообще для всех x.

Результат задачи 13.1 верен не только для прямоугольных треугольни ков.

Задача 13.2. Докажите, что среди всех треугольников с данными вели чинами стороны AC и угла B наибольшая сумма AB + BC будет у равнобедренного треугольника с основанием AC.

Вернемся к тригонометрии.

Задача 13.3. Пользуясь таблицей синусов из § 3, постройте по точ кам график функции y = sin x + cos x.

Указание. Не забудьте, что x должен быть выражен в радианах;

для значений x за пределами отрезка [0;

/2] воспользуйтесь фор мулами приведения.

Если вы все сделали правильно, у вас должна была полу читься кривая, похожая на синусоиду. Позже мы увидим, что эта кривая не просто похожа, а является синусоидой. Научимся мы также находить и наибольшие значения таких выражений, как 3 sin x + 4 cos x (кстати, график функции y = 3 sin x + 4 cos x тоже является синусоидой!).

Глава Решение треугольников § 14. Теорема косинусов Определения тригонометрических функций острых углов, кото рые мы давали в начале нашей книжки, можно рассматривать как соотношения между сторонами и углами прямоугольного тре угольника. В этой главе речь пойдет о произвольных треуголь никах (не обязательно прямоугольных). Ход мыслей будет вот каким. С каждым треугольником связаны шесть чисел: величины трех сторон и трех углов. Между этими числами есть соотно шения. Одно из этих соотношений вы уже знаете: сумма углов треугольника равна 180. Если, например, два угла в треуголь нике равны 75 и 55, то третий угол уже не может быть каким попало, он обязательно равен 180 - 75 - 55 = 50. Этим со отношением, однако, дело не исчерпывается. Пусть, например, у некоторого треугольника мы знаем величины двух сторон и уг ла между ними. Тогда, согласно одному из признаков равенства треугольников, оставшаяся сторона и остальные два угла уже пол ностью определены. Наша цель — найти формулы, по которым они выражаются через уже известные стороны и угол.

Другие признаки равенства треугольников также ведут к соот ношениям между сторонами и углами, и эти соотношения также можно задать формулами. Кроме того, если известны стороны и углы треугольника, то этим однозначно определяются площадь а) б) Рис. 14.1.

треугольника, радиусы вписанной и описанной окружности и то му подобное. Для них тоже имеет смысл поискать формулы, вы ражающие их через стороны и углы треугольника.

Начнем же мы как раз с соотношения, связанного с «первым признаком равенства треугольников» (по двум сторонам и углу между ними)1. Итак, пусть заданы две стороны a и b треугольни ка и угол между ними. Попробуем выразить через эти данные длину третьей стороны. Обозначим эту сторону c. План действий таков: опустим высоту AM BC (рис. 14.1а — чертеж для случая, когда угол острый, 14.1б — для случая, когда он тупой). По тео реме Пифагора для треугольника AMB имеем c2 = AM2 + MB2;

если мы теперь выразим AM и MB через известные нам a, b и, то задача будет решена. Теперь конкретно:

• Пусть угол острый (рис. 14.1а). Тогда:

AM = b sin (из прямоугольного треугольника AMC);

CM = b cos (из того же треугольника);

BM = BC - CM = a - b cos.

Теперь по теореме Пифагора c2 = AM2 + BM2 = (b sin )2 + (a - b cos )2.

После упрощений, которые предоставляем вам провести са мостоятельно, получаем:

c2 = a2 + b2 - 2ab cos.

В некоторых учебниках этот признак имеет другой номер.

• Пусть угол тупой (рис. 14.1б). Тогда:

AM = b sin(180 - ) = b sin ;

BM = BC + CM = a + b cos(180 - ) = a - b cos.

(мы воспользовались формулами приведения). Отсюда c2 = AM2 + BM2 = (b sin )2 + (a - b cos )2.

Получилось то же самое выражение, что и в первом случае;

тем самым для всех случаев мы доказали такую формулу:

c2 = a2 + b2 - 2ab cos.

Эта формула называется теоремой косинусов.

В нашем доказательстве мы не рассмотрели случай, когда угол прямой. В этом случае теорема косинусов также верна и, более то го, была вам уже известна: если = 90, то cos = 0, и теорема косинусов приобретает вид c2 = a2+b2, то есть сводится к обычной теореме Пифагора.

Итак, часть программы по переводу первого признака равен ства треугольников на язык формул мы выполнили: формула для вычисления третьей стороны по двум сторонам и углу между ними у нас уже есть. Надо еще найти два оставшихся угла тре угольника, при том что один из углов и все стороны мы уже знаем.

Собственно говоря, угол даже и не нужен: «третий признак ра венства треугольников» гласит, что треугольник полностью опре деляется своими тремя сторонами1.

Стало быть, зададимся такой задачей: даны три стороны тре угольника, найти его углы. Оказывается, ее решение дает та же теорема косинусов: надо только в формуле, выражающей эту тео рему, выразить cos через a, b и c:

a2 + b2 - c2 a2 + c2 - b2 b2 + c2 - a cos = ;

cos = ;

cos =.

2ab 2ac 2bc Вторая и третья формулы получаются аналогично первой.

В некоторых учебниках этот признак также идет под другим номером.

Мы нашли не сами углы, а только их косинусы, но углы тре угольника этим полностью определяются: когда меняется от до 180 (то есть от 0 до радиан), значение cos изменяется от до -1, принимая каждое значение ровно один раз. Таким образом, можно записать:

b2 + c2 - a = arccos.

2bc Задача 14.1. В треугольнике со сторонами a, b и c против стороны c лежит угол. Докажите, что угол острый тогда и только тогда, когда a2 + b2 > c2, и тупой тогда и только тогда, когда a2 + b2 < c2.

С помощью теоремы косинусов легко по лучить формулу, выражающую длину меди аны треугольника через длины его сторон.

Именно, пусть стороны треугольника равны AB = c, BC = a, AC = b, и пусть AM — медиана, проведенная к стороне BC. Чтобы найти ее длину, заметим, что по теореме ко синусов для треугольника ABM (рис. 14.2) имеем Рис. 14.2.

AM = AB2 + BM2 - 2AB · BM · cos = a = c2 + - ac cos.

С другой стороны, по теореме косинусов уже для всего треуголь ника ABC имеем a2 + c2 - b cos =.

2ac Подставляя это в предыдущую формулу, получим (после упроще ний) вот что:

В треугольнике со сторонами a, b и c длина медианы, проведен ной к стороне a, равна 2b2 + 2c2 - a2.

В задаче 14.4 мы предложим другой способ вывода этой фор мулы.

Задача 14.2. Докажите что сумма квадратов диагоналей парал лелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Задача 14.3. Две стороны треугольника равны b и c, угол между ними равен. Докажите, что длина медианы, проведенной к тре тьей стороне, равна b2 + c2 + 2bc cos.

Указание. Достройте треугольник до параллелограмма.

Задача 14.4. Используя результат задачи 14.2, дайте новое дока зательство формулы, выражающей медиану треугольника через три его стороны.

Задача 14.5. В треугольнике ABC даны стороны AB = c, BC = = a, AC = b. Точка M выбрана на стороне BC таким образом, что BM/MC = 1/2. Найдите длину отрезка AM.

§ 15. Вокруг площади треугольника Пусть опять в треугольнике известны стороны a и b и угол между ними. Выразим через эти данные — которые полностью опреде ляют треугольник — его площадь. Для этого опустим из вершины A высоту AM BC (рис. 15.1а);

пусть AM = h. Как известно, площадь треугольника равна ah/2.

С другой стороны, если угол острый, то из прямоугольного треугольника AMC находим, что h = b sin (рис. 15.1а);

если же угол тупой (рис. 15.1б), то из треугольника AMC опять же получаем h = b sin(180 - ) = b sin. Стало быть, в любом случае 1 площадь равна ah = ab sin.

2 а) б) Рис. 15.1. Площадь треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Мы пропустили случай, когда угол прямой. В этом случае sin = 1, и формула принимает вид S = ab, что, очевидно, спра ведливо.

Задача 15.1. Докажите, что площадь четырехугольника равна по ловине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Задача 15.2. Диагонали четырехугольника делят его на четыре треугольника, площади которых равны S1, S2, S3 и S4 (рис. 15.2).

Докажите, что S1S3 = S2S4.

Итак, мы знаем, как находить пло щадь треугольника, если известны две его стороны и угол между ними. А что де лать, если даны три стороны a, b и c? Надо найти угол между сторонами a и b, бла го мы это уже умеем. Точнее, нам нужен не сам угол, а его синус. Его мы най дем так: из теоремы косинусов запишем Рис. 15.2.

a2 + b2 - c cos = и воспользуемся фор 2ab мулой sin = 1 - cos2 (для произвольных, как вы помните, в правой части может стоять минус, но если — угол в пределах от 0 до 180, то sin 0, так что в этом случае минус не нужен).

Подставляя все это в нашу формулу для площади треугольника, получим вот что (S — площадь треугольника):

ab a2 + b2 - c S = · 1 -.

2 2ab Это выражение можно преобразовать к более приятному виду.

Для этого обозначим буквой p величину (a+b+c)/2 (p — половина периметра треугольника, коротко — полупериметр). Тогда после упрощений получим:

Площадь треугольника со сторонами a, b и c равна p(p - a)(p - b)(p - c), где p = (a + b + c)/2.

Эта формула называется формулой Герона.

Задача 15.3. Проведите преобразования, с помощью которых из нашей формулы для площади получается формула Герона.

Существует полезная формула, связывающая площадь тре угольника с радиусом вписанной в него окружности. Именно, пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC со сторо нами AB = c, BC = a, CA = b, r — ее радиус. Расстояние от O до каждой из сторон треугольника равно, очевидно, r (рис. 15.3).

Поэтому, если разбить наш треугольник на треугольники AOB, BOC и COA, то высоты, опущенные в них из точки O, все равны r;

следовательно, площади этих треугольников равны cr/2, ar/ и br/2, а площадь всего треугольника ABC равна cr/2 + ar/2 + br/2 = (a + b + c)/2 · r = pr, где p — полупериметр. Словами:

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

Задача 15.4. Даны стороны a, b, c треугольника. Найдите:

а) радиус вписанной окружности;

б) высоту, опущенную на сторону a.

а) б) Рис. 15.3.

Задача 15.5. Пусть стороны треугольника равны a, b, c. Найдите радиус окружности, касающейся сто роны a и продолжений сторон b и c. (Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продол жений двух других сторон, называется вневписан Рис. 15.4.

ной окружностью — рис. 15.4.) Мы уже умеем находить медианы, площадь, высоты и радиус вписанной окружности треугольни ка по его трем сторонам (или по двум сторонам и углу между ними).

Давайте научимся находить и бис сектрису треугольника. Основным средством у нас будет такая теоре ма:

Теорема. Если AM — биссектри са угла A в треугольнике ABC Рис. 15.5. Теорема о биссек (рис. 15.5), то BM/CM = AB/AC.

трисе.

Словами эту теорему можно сфор мулировать так: «биссектриса угла в треугольнике делит проти воположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам».

Проще всего доказать эту теорему, используя площади. Имен но, обозначим AB = c, AC = b, AM = l, BAC =, BM = x, Рис. 15.6.

CM = y. Биссектриса AM делит треугольник ABC на два: ABM и ACM. Найдем двумя способами отношение их площадей. Тре угольники ABM и ACM имеют общую высоту h, поэтому их площади пропорциональны основаниям:

площадь ABM x =.

площадь ACM y С другой стороны, так как AM — биссектриса, то BAM = CAM = /2.

Пользуясь нашей формулой для площади, получаем:

площадь ABM c =.

площадь ACM b Сопоставляя два выражения для отношения площадей треуголь ников ABM и ACM, получаем, что x/y = c/b, или BM/CM = = AB/CB, что и утверждалось.

Задача 15.6. а) В треугольнике со сторонами AB = c, BC = a, CA = b проведена биссектриса AM угла A. Чему равны отрезки BM и MC?

б) В каком отношении точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла A этого же треугольника?

Задача 15.7. Стороны треугольника равны 7, 8 и 12. Найдите дли ну биссектрисы1, проведенной к стороне длиной 12.

Замечание для педантов: под длиной биссектрисы в треугольнике пони мают длину отрезка биссектрисы от вершины угла до пересечения с проти воположной стороной.

Задача 15.8. В треугольнике биссектриса угла между сторонами длиной a и b имеет длину l и делит противоположную сторону на отрезки длиной x и y. Докажите формулу: l2 = ab - xy.

Задача 15.9. В треугольнике ABC биссектриса угла, смежного к углу BAC, пересекает прямую BC в точке M (рис. 15.6). Дока жите, что MB/MC = AB/AC.

Задача 15.10. Высоты треугольника равны 2, 3 и 4. Найдите углы этого треугольника.

§ 16. Теорема синусов Мы уже перевели на язык формул первый и третий признаки равенства треугольников (то есть мы можем восстановить все эле менты треугольника, если даны две его стороны и угол между ними или же три стороны). А те перь давайте выясним, какие формулы будут соответствовать второму при знаку равенства треугольников, кото рый гласит, что треугольник полно стью определяется стороной и двумя прилежащими к ней углами. Чтобы получить соответствующие формулы, рассмотрим стороны a и b треуголь Рис. 16.1.

ника ABC, выходящие из вершины C, и опустим из C высоту h на сторону AB (рис. 16.1). Тогда h = a sin (независимо от того, будет ли чертеж таким, как на рисун ке, или же угол будет тупым или прямым). Точно так же можно записать равенство h = b sin. Значит, a sin = b sin, откуда, де ля обе части на sin sin, получаем равенство a/ sin = b/ sin :

отношение длины стороны к синусу противолежащего угла будет одно и то же для стороны a и стороны b. Однако то же самое можно сделать и для любых двух сторон, так что эти отношения для всех трех сторон равны. Получилось у нас вот что:

Теорема синусов (предварительная форма). Если в треуголь нике против сторон a, b, c лежат углы,, соответственно, то a b c = =.

sin sin sin Задача 16.1. К стороне a треугольника прилегают углы и.

а) Найдите остальные стороны и углы этого треугольника.

б) Найдите площадь этого треугольника.

В теореме синусов в том виде, в каком мы ее получили, присут ствует недоговоренность: мы узна- ли, что отношения сторон к сину сам противолежащих им углов рав ны между собой, но чему же именно равны эти отношения? Чтобы отве тить на этот вопрос, вспомним кое что из геометрии.

Рис. 16.2.

Для начала вспомним, как свя заны угловая величина дуги и длина стягиваемой ей хорды. Из равнобедренного треугольника ABO на рис. 16.2 видно, что если дуга AB имеет угловую величину, а радиус окружности ра вен R, то AB = 2 · AM = 2R sin(/2) (на рисунке дуга занимает меньшую из двух половин окружности, но величина дуги, допол няющей дугу AB до полной окружности, равна = 360 - и sin(/2) = sin(180 - /2) = sin(/2), так что формулой можно пользоваться для любых дуг).

Второй факт из геометрии, который нам понадобится, — это теорема о вписанном угле. Пусть на окружности даны дуга AB и точка M, не лежащая на ней (рис. 16.3а), тогда угол AMB назы вается вписанным углом1, опирающимся на дугу AB. Теорема о Если дуга AB больше половины окружности, угол AMB становится боль ше 180, что нынешние учебники запрещают. Мы опускаем необходимые уточнения.

а) б) Рис. 16.3. Вписанные углы вписанном угле гласит, что величина вписанного угла равна по ловине угловой величины дуги, на которую он опирается. Из этой теоремы следует, в частности, что величина угла AMB, где точ ки A, M, B лежат на одной окружности, полностью определяется дугой AB и не зависит от положения точки M вне дуги AB: на рис. 16.3б углы AM1B, AM2B, AM3B, и т. д. равны.

Теперь, когда в нашем распоряжении есть теорема о вписанном угле, мы можем нако нец уточнить теорему синусов. Именно, рас смотрим треугольник ABC с углами A =, B =, C = и сторонами AB = c, BC = a, CA = b, и опишем около него окруж ность. Радиус окружности обозначим через R (рис. 16.4). В этой окружности длина хорды BC равна, как мы видели, 2R sin(BC /2) (име Рис. 16.4.

ется в виду та из дуг BC, что не содержит точки A). С другой стороны, по теореме о впи санном угле BC /2 =, хорда же BC — не что иное, как сторона a треугольника ABC. Подставляя эти равенства в выражение для BC, получаем, что a = 2R sin, или a/ sin = 2R. Проделывая то же для двух других сторон, получаем:

Если в треугольнике против сторон a, b, c лежат углы,, соответственно, то a b c = = = 2R, sin sin sin где R — радиус окружности, описанной около треугольника.

Задача 16.2. Треугольник с углами,, вписан в окружность радиуса R. Найдите площадь треугольника.

Задача 16.3. а) Докажите, что площадь треугольника со сторона ми a, b и c, вписанного в окружность радиуса R, равна abc/4R.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольни ка со сторонами a, b и c.

Задача 16.4. Сторона квадрата ABCD равна a. Найдите радиус окружности, проходящей через вершину A, центр квадрата и се редину стороны BC.

Задача 16.5. В окружности проведены три хорды, каждая из кото рых пересекается с двумя другими. Каждая из этих хорд делится точками пересечения на три отрезка равной длины a. Найдите радиус окружности.

Задача 16.6. Диагонали разбивают выпуклый четырехугольник на четыре треугольника. Радиусы окружностей, описанных око ло этих треугольников, одинаковы и равны R. Найдите стороны четырехугольника.

Задача 16.7. В круг радиуса R вписана трапеция, основания ко торой видны из центра под углами и. Найдите площадь тра пеции.

Задача 16.8. Диагонали трапеции, вписанной в круг радиуса R, образуют с ее боковыми сторонами углы и 2. Найдите площадь трапеции.

Задача 16.9. Вокруг треугольника ABC со стороной BC = a и уг лами ABC = и ACB =, описана окружность. Биссектриса угла A пересекает окружность в точке K. Найдите длину хорды AK.

Задача 16.10. Внутри угла величины лежит точка, находящаяся на расстояниях m и n от сторон угла. Найдите ее расстояние от вершины угла.

Глава Формулы сложения и их следствия § 17. Векторы Повторить: Свойства параллелограмма.

Прямоугольные координаты на плоскости (по любому пособию).

17.1. Направленные отрезки и векторы Чтобы как следует понять важный раздел тригонометрии, которо му посвящена эта глава, нам придется познакомиться с векторами на плоскости.

Давайте рассматривать отрезки, у которых один из концов назван началом отрезка (а дру гой так и остался концом). Такие отрезки на зываются направленными отрезками. На чер Рис. 17.1.

тежах их принято изображать в виде стрелки, идущей от начала отрезка к его концу. Направ ленный отрезок с началом A и концом B обозначается AB.

Главное отличие направленных отрезков от обычных — это то, в каких случаях два направленных отрезка считаются равными.

Рис. 17.2. AB = CD = KL.

Если обычные отрезки равны в том случае, когда равны их длины, то для направленных отрезков мы будем учитывать еще и направ ление. Именно:

Определение. Два направленных отрезка AB и CD считаются равными, если:

1) Равны их длины, т. е. AB = CD;

2) Прямые AB и CD параллельны (или совпадают), и при этом отрезки AB и CD направлены в одну сторону.

Например, на рис. 17.2 длины направленных отрезков AB, CD, KL, P Q и MN равны друг другу;

тем не менее верны только равенства AB = CD = KL;

направленные отрезки P Q и MN не равны друг другу и этим трем (P Q хоть и лежит на прямой, па раллельной AB, но направлен в сторону, противоположную AB).

Если два направленных отрезка не лежат на одной прямой, то определение их равенства можно сформулировать и короче: AB = CD тогда и только тогда, когда четырехугольник ABDC является параллелограммом (рис 17.3).

(Вспомним, что четырехугольник является па раллелограммом тогда и только тогда, когда Рис. 17.3.

две его стороны равны и параллельны.) Обратите внимание, что вершины паралле лограмма идут в порядке ABDC: именно это обеспечивает выпол нение того условия, что направленные отрезки AB и CD направ лены в одну сторону, а не в противоположные.

Рис. 17.4. Координаты направленного отрезка.

Предположим теперь, что на плоскости задана система коор динат. Тогда можно определить, что такое координаты направ ленного отрезка.

По определению, координаты направленного отрезка получа ются, если из координат его конца вычесть координаты начала.

Точнее говоря:

Если точка A имеет координаты (x1;

y1), а точка B имеет ко ординаты (x2;

y2), то координатами направленного отрезка AB называется пара чисел (x2 - x1;

y2 - y1).

В частности, если начало направленного отрезка OA совпа дает с началом координат, то координаты OA — не что иное, как координаты точки A.

Геометрически можно представить координаты направленно го отрезка так: проведем через его концы прямые, параллельные осям координат (рис. 17.4). Вместе с самим отрезком эти прямые ограничивают прямоугольный треугольник (AMB на рисунке)1.

Координаты AB — это длины катетов этого треугольника, взя тые с подходящим знаком («плюс», если при движении по кате там треугольника из начала в конец отрезка мы движемся в том же направлении, куда указывает соответствующая ось координат, и «минус» в противном случае).

Если отрезок AB параллелен одной из осей, этот «треугольник» будет отрезком.

Можно еще сказать, что координаты направленного отрезка AB — это числа, указывающие, на какие расстояния надо сдви нуться вдоль осей координат, чтобы попасть из A в B.

Главное свойство координат направленного отрезка таково:

Направленные отрезки равны тогда и только тогда, ко гда равны их координаты.

В самом деле, пусть AB = CD.

Достраивая эти отрезки до пря моугольных треугольников ABM и CDN (рис. 17.5), получаем, что в этих треугольниках AB = CD и BAM = DCN: первое равен ство — это часть определения на правленных отрезков, второе выте кает из того, что AB CD и AM Рис. 17.5. CN. Значит, прямоугольные тре угольники ABM и CDN равны, стало быть, равны и их катеты: AM = CN, BM = DN. А ка теты этих треугольников — это и есть координаты AB и CD.

Напротив, пусть нам известно, что у направленных отрезков AB и CD равны координаты. Тогда, построив те же треугольники ABM и CDN, получаем, что они равны (по двум катетам), откуда BAM = DCN;

так как AM CN, из этого следует, что AB CD.

С формальной точки зрения наши рассуждения неполны: например, из равенства направленных отрезков мы вывели лишь равенство аб солютных величин их координат, ни словом не обмолвившись об их знаках. Это — неизбежное следствие того, что в определении равен ства направленных отрезков мы пользовались наглядно очевидным, но не определенным формально понятием «отрезки направлены в одну сторону». Давайте сформулируем определение равенства направленных отрезков более строго.

Для случая, когда отрезки AB и CD не лежат на одной прямой, равенство AB = CD равносильно, как мы знаем, тому, что ABDC — па раллелограмм. Однако четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали в точке пересечения делят ся пополам, поэтому определение можно сформулировать еще и так:

AB = CD если и только если середины отрезков AD и BC совпадают.

В таком виде это определение имеет смысл и в том случае, когда точки A, B, C и D лежат на одной прямой;

легко убедиться, что и в этом случае оно равносильно нашему исходному определению. Такое опреде ление равенства направленных отрезков уже безупречно с формальной точки зрения.

С помощью нового определения легко дать аккуратное доказатель ство того факта, что равенство направленных отрезков равносильно равенству их координат. В самом деле, пусть точки A, B, C, D име ют координаты соответственно (a1;

a2), (b1;

b2), (c1;

c2), (d1;

d2). Так как координаты середины отрезка являются полусуммами координат его концов, равенство AB = CD (то есть, по нашему определению, совпа дение середин отрезков AD и BC) равносильно равенствам a1 + d1 b1 + c = ;

2 a2 + d2 b2 + c =.

2 Эти равенства, в свою очередь, равносильны равенствам b1-a1 = d1-c1, b2 - a2 = d2 - c2, то есть равенству координат AB и CD.

Задача 17.1. Точки M, N и P таковы, что координаты направлен ного отрезка MN равны (10;

-14), а координаты направленного отрезка NP равны (-6;

26). Найдите координаты направленного отрезка MP.

Задача 17.2. Докажите, длина направленного отрезка с коор что динатами (x;

y) равна x2 + y2.

Указание. Воспользуйтесь формулой, выражающей расстояние меж ду точками через их координаты, или теоремой Пифагора.

Задача 17.3. Рассмотрим на плоскости наряду с той системой ко ординат OXY, которая у нас уже есть (назовем ее «системой коор динат номер 1»), еще две следующие системы координат (рис. 17.6):

Система координат номер 2. Ее начало координат O имеет в си стеме номер 1 координаты (3;

2), а оси O X и O Y парал лельны осям OX и OY и направлены в ту же сторону.

Система координат номер 3. Ее начало координат совпадает с O, а оси OX и OY повернуты на 45 в положительном на правлении относительно осей OX и OY.

Рис. 17.6.

Пусть направленный отрезок имеет в системе координат номер 1 координаты (1;

1). Каковы будут его координаты: а) в системе номер 2? б) в системе номер 3?

Указание. Так как равные направленные отрезки имеют равные координаты, удобно рассмотреть равный данному направленный отрезок, имеющий своим началом точку O.

В тех случаях, когда все равно, о котором из равных направ ленных отрезков идет речь (в трех последних задачах так и было), направленные отрезки часто называют векторами.

Например, на рис. 17.2 изображено 5 различных направлен ных отрезков, но всего 3 различных вектора. Так как с точностью до равенства направленный отрезок полностью определяется ко ординатами, для задания вектора не обязательно рисовать на правленный отрезок: если есть система координат, то достаточно указать координаты, и вектор будет полностью определен.

В большинстве интересных задач, в которых встречаются на правленные отрезки, равные направленные отрезки взаимозаме няемы, так что обычно предпочитают говорить именно о векто рах, а не о направленных отрезках.

Наряду с векторами, соответствующими настоящим отрезкам, рассматривают еще «нулевой вектор», имеющий координаты (0;

0).

Можно сказать, что нулевой вектор соответствует любому из «от резков» AA, у которого начало и конец совпадают. Как мы вскоре увидим, нулевой вектор играет роль, аналогичную роли нуля сре ди чисел.

Обозначать векторы можно так же, как и направленные от резки;

кроме того, иногда их обозначают латинскими буквами с черточкой сверху, например a. Можно также в качестве обо значения вектора записать его координаты: если вектор a имеет координаты (x;

y), пишем a = (x;

y). Нулевой вектор обозначается 0 или (0;

0). Длина вектора a обозначается |a|.

И еще одна особенность терминологии: если про направленные отрезки говорят «отрезки параллельны», то векторы принято на зывать не «параллельными», а «коллинеарными».

Задача 17.4. Рассмотрим всевозможные векторы вида AB, где A и B — две вершины данного правильного шестиугольника. Сколь ко среди этих векторов различных?

Если нам даны вектор a и точка M, то однозначно определена такая точка N, что a = MN (рис. 17.7). В этом случае говорят, что MN получен откладыванием вектора a от точки M. Говорят также, что точка N по лучена из точки M переносом на вектор a.

Рис. 17.7.

Задача 17.5. Каждую точку квадрата с вер шинами (1;

0), (0;

1), (-1;

0), (0;

-1) подвергли переносу на вектор (-1;

2). Изобразите фигуру, которая при этом получилась.

17.2. Сложение векторов С векторами можно производить различные действия, немного похожие на арифметические действия с числами. Сначала мы на учимся векторы складывать.

Пусть нам даны векторы a и b. Чтобы их сложить, надо сделать следующее. Возьмем произвольную точку M и отложим от нее век тор MN = a;

от конца этого вектора отложим вектор NP = b. Тогда суммой векторов a и b называется вектор MP. Сумма векторов a и b обозначается a + b — так же, как сумма чисел.

Вкратце наше определение сложения век Рис. 17.8.

торов можно записать так:

Сложение векто MN + NP = MP. ров.

Строго говоря, надо еще проверить, что a + b зависит только от самих векторов a и b. Предположим, мы начали построение не с точки M, а с другой точки M, построив N и P ;

где гарантия, что полученный в результате вектор M P будет равен вектору MP ? Интуитивно ясно, что так оно и будет;

вскоре мы увидим, как это доказать формально.

Координаты суммы векторов очень просто выражаются через координаты слагаемых. Именно, по определению координат на правленного отрезка (вектора) мы можем записать:

(координаты a) = (координаты точки N) - (координаты точки M);

(координаты b) = (координаты точки P ) - (координаты точки N).

Сложим эти два равенства. При этом координаты точки N сокра тятся, и получится вот что:

(координаты a) + (координаты b) = = (координаты P ) - (координаты M).

В правой части стоит не что иное, как координаты вектора MP, то есть, по нашему определению, a + b. Стало быть, координа ты вектора a + b являются суммами координат векторов a и b.

Запишем это же формулой:

Если a1 = (a1;

a2), b = (b1;

b2), то a + b = (a1 + b1;

a2 + b2).

(a1;

a2) + (b1;

b2) = (a1 + b1;

a2 + b2).

Эта формула показывает, в частности, что координаты вектора a + b зависят только от координат a и b, так что сумма векторов действи тельно не зависит от выбора точки M, использованной на рис. 17.8 для ее построения.

Итак, операция сложения векторов вполне соответствует свое му названию: при сложении векторов координаты складываются.

Из этого следует также, что сложение векторов подчиняется тем же законам, что и сложение чисел:

а) б) Рис. 17.9.

a + b = b + a (переместительность, или коммутативность);

a + (b + c) = (a + b) + c (сочетательность, или ассоциативность);

a + 0 = a (свойство нуля).

Задача 17.6. Через точку O, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены отрезки MN и P Q, параллельные его сторо нам (рис. 17.9а). Если от точки A отложить вектор a = DN + + AP + MB + ON, где окажется конец этого вектора?

Задача 17.7. ABCDE — пятиугольник (рис. 17.9б). Найдите сумму векторов AD + CE + BC + DB.

Задача 17.8. На плоскости задана точка O. Изобразите множество таких точек C, что OC = a+b, где a и b — всевозможные векторы, для которых: а) |a| 1, |b| 2;

б) |a| = 1, |b| = 2.

Если векторы a и b неколлинеарны (непа раллельны), то существует еще один способ построить их сумму. Именно, если отложить a и b от точки O так, что OA = a, OB = b, то a + b = OC, где C — такая точка, что OACB — параллелограмм (рис. 17.10). В са- мом деле, OB = AC, так что OC = OA + +AC = OA + AB = a+b, что и утверждалось.

В старых учебниках это построение называ лось «сложение векторов по правилу паралле Рис. 17.10.

лограмма».

17.3. Вычитание и умножение на число Раз уж мы умеем складывать векторы, давайте научимся их вы читать. Для начала найдем для вектора a = MN противополож ный ему, то есть такой вектор -a, что a + (-a) = 0. Ясно, что таковым будет вектор NM: ведь MN + + NM = 0. Таким образом, чтобы полу чить вектор, противоположный данному, надо просто поменять местами его конец и начало. Координаты a = MN получают ся, если из координат N вычесть коорди наты M, а координаты -a = NM — если Рис. 17.11. OA из координат M вычесть координаты N.

- OB = BA.

Стало быть, координаты -a получаются из координат a переменой знака.

Что же до разности векторов a и b, то это, конечно, такой век тор c, что c + b = a (вычитание — действие, обратное сложению).

Разностью векторов a и b будет, очевидно, вектор a + (-b) = a - b;

ясно, что координаты разности векторов a и b равны разности их координат. Если векторы a = OA и b = OB отложены от одной точки O, то a - b = BA (так как OB + BA = OA). Подытожим:

Если a = MN, то -a = NM. a + (-a) = 0.

Если a = (a1;

a2), то -a = (-a1;

-a2).

a - b = a + (-b);

(a - b) + b = a.

Если a = (a1;

a2), b = (b1;

b2), то a - b = (a1 - b1;

a2 - b2).

Разобравшись со сложением и вычитанием, перейдем к умно жению. Из начальной школы мы помним, что перемножить нату ральные числа a и b — это найти сумму b слагаемых, каждое из которых равно a. Например, 5a = a + a + a + a + a.

Рассмотрим теперь не число a, но вектор a. Для него также будет 5a = a + a + a + a + a (рис. 17.12).

Мы видим, что вектор P Q = 5a коллинеарен (параллелен) вектору a, что его длина в 5 раз больше длины a, и направлен он в ту же сторону, что и a. Ясно также, что в качестве -5a разумно взять вектор, противоположный вектору 5a.

Рис. 17.12. MN = a;

P Q = 5a.

Итак, мы описали, что значит умножить вектор на число 5 или -5. Число 5 можно заменить на любое другое. Тогда получится такое Определение. Произведением вектора a = 0 на число k = 0 назы вается такой вектор b, что:

1) |b| = |k| · |a|;

2) b коллинеарен a;

3) b направлен в ту же сторону, что и a, если k > 0, и в проти воположную сторону, если k < 0.

Произведение вектора a на число k обозначается ka. По опреде лению полагаем ka = 0, если k = 0 или a = 0.

Вектор ka этим определением задается однозначно: условие определяет его длину, а условия 2 и 3 — его направление.

Чтобы определить формально, что такое «коллинеарные векторы a и b направлены в одну сторону», отложим a = OA и b = OB от одной точки O. Тогда точки O, A и B окажутся на одной прямой, и мы скажем, что a и b направлены в противоположные стороны, если точка O лежит между A и B, и в одну сторону — в противном случае.

Посмотрим, как меняются координаты вектора при умноже нии его на число. Пусть мы умножаем вектор a = AB на число k, получая в результате ka = AB (рис. 17.13а для случая k > и рис. 17.13б для случая k < 0). Проведем через концы отрезков AB и AB1 прямые, параллельные осям координат. Получающие ся прямоугольные треугольники ABM и AB1M1 будут, очевидно, подобны. Коэффициент подобия равен, очевидно, AB1/AB = |k|;

поэтому катеты треугольника AB1M получаются из катетов тре угольника ABM умножением на |k|, и, стало быть, координаты а) б) Рис. 17.13.

вектора ka получаются из координат вектора a умножением на k (знаки совпадают, если k > 0, и противоположны, если k < 0).

Запишем это формулой:

Если a = (a1;

a2), то ka = (ka1;

ka2).

Или: k(a1;

a2) = (ka1;

ka2).

Из этой формулы следует, что умножение вектора на число подчиняется законам, аналогичным законам умножения чисел:

k · (la) = (k · l)a (ассоциативность);

k(a + b) = ka + kb (распределительность, или дистрибутивность).

(k + l)a = ka + la Задача 17.9. Докажите эти законы для векторов.

Обратите внимание, что у нас два различных распределительных за кона. Так получилось потому, что сомножители неравноправны: один из них — число, другой — вектор. Наверное, было бы более естественно, если бы мы определили умножение вектора на вектор так, чтобы про изведение тоже было вектором. Однако же для векторов на плоскости вообще невозможно геометрически определить такое умножение (если мы хотим, чтобы выполнялся распределительный закон). В следующем параграфе мы определим умножение вектора на вектор, но результат при этом будет не вектором, а числом.

Действия над векторами позволяют дать еще одно объяснение того, что такое координаты вектора. Именно: пусть на плоско сти задана система координат. Рассмотрим два вектора e1 и e2, имеющие длину 1, параллельные осям абсцисс и ординат и на правленные в сторону положительного направления этих осей.

Эти векторы называются единичными координатными вектора ми. Очевидно, e1 = (1;

0), e2 = (0;

1). Рассмотрим теперь про извольный вектор a = (a1;

a2) и запишем такие равенства: a = = (a1;

a2) = (a1;

0) + (0;

a2) = a1 · (1;

0) + a2 · (0;

1) = a1e1 + a2e2.

Как видите, координаты вектора a — это коэффициенты, с по мощью которых он выражается через единичные координатные векторы.

Если e1 и e2 — единичные координатные векторы, то вектор a имеет координаты (a1;

a2) тогда и только тогда, когда a = a1e1+ a2e2.

Задача 17.10. Даны векторы a = (2;

-1), b = (1;

-6), c = (2;

24).

Найдите такие числа x и y, что c = xa + yb.

17.4. О векторах в физике Многие физические величины представляют собой векторы. В са мом деле, такие величины, как скорость, ускорение, сила, напря женность электрического поля, характеризуются не только вели чиной, но и направлением (если нам известно, из какого порта и с какой скоростью вышел корабль, то мы не можем сказать, где он будет через час, не зная направления его движения). Поэто му, например, скорость изображают в виде вектора, длина кото рого соответствует величине скорости, а направление указывает на направление движения. При этом формулировка многих фи зических законов использует те самые операции над векторами, которые мы только что определили. Простейший пример вектор ной величины в физике — это перемещение. Если тело, размерами и формой которого мы пренебрегаем, передвинулось из точки A в точку B, то говорят, что перемещение нашего тела равно век тору AB (если не пренебрегать размерами тела, то вектора для описания передвижения тела будет недостаточно: по дороге тело может и повернуться). Если тело сначала переместилось на век тор S1, а затем на вектор S2, то в результате его перемещение а) б) Рис. 17.14. Перемещение.

будет равно S1 + S2 (рис. 17.14а). Точно так же складываются перемещения, если тело совершило перемещение S относительно платформы, которая за это время сама совершила относитель но нас перемещение S: перемещение тела относительно нас будет равно S1 + S2 (рис. 17.14б).

Так как скорость — это перемещение за единицу времени, то скорость тоже является векторной величиной. Свойство переме щений, изображенное на рис. 17.14б, для скоростей будет выгля деть так: если платформа движется относительно нас со скоро стью u, а тело движется относительно платформы со скоростью v, то относительно нас тело движется со скоростью u + v.

Задача 17.11. а) Скорость течения реки равна 5 /, ширина ре ки равна 80, гребец в лодке развивает скорость 3 / относительно воды. Гребец переправляется через реку, направив лодку перпен дикулярно берегу. На какое расстояние снесет лодку?

б*) Как надо направить лодку, чтобы ее снесло течением как можно меньше? На какое расстояние ее при этом снесет?

Задача 17.12. Два корабля, находящиеся друг от друга на расстоя нии 30 миль, движутся со скоростью 10 узлов1 (каждый) курсами, указанными на рис. 17.15. На какое наименьшее расстояние они сблизятся? Через какое время после момента, показанного на ри сунке, это произойдет?

Узел — единица скорости, равная одной морской миле в час.

Указание. Перейдите в систему отсчета, связанную с одним из кораблей, и вос- пользуйтесь тем, что если одно тело движется со скоростью v, другое — со скоростью w, то второе тело движет ся относительно первого со скоростью Рис. 17.15.

w - v.

§ 18. Скалярное произведение Пусть тело, на которое действует сила F, совершило перемещение s. При этом, как говорят физики, сила совершает работу. Если сила параллельна перемещению, работа рав на произведению силы и перемещения, взято му со знаком «+», если сила действует в на правлении перемещения, и со знаком «-» в противном случае. В общем случае, когда F и s образуют угол, работа равна |F |·|s| cos.

Это объясняется тем, что силу F можно пред Рис. 18.1. Работа.

ставить в виде суммы сил F и F, парал лельной и перпендикулярной направлению перемещения, причем работа равна работе силы F (сила, перпендикулярная пути, ра боты не совершает). Великий английский физик и математик прошлого века У. Гамильтон понял, что действие над векторами, используемое в определении работы, заслуживает названия умно жения, так как для него, как и для умножения чисел, выполняется распределительный закон. Давайте и мы изучим эту операцию.

Определение. Скалярным произведением векторов a = 0, b = 0 называется число |a| · |b| cos, где — угол между векторами a и b (если a и b коллинеарны, то полага ют = 0, если векторы направлены в одну сторону, и =, если векторы направ лены в противоположные стороны). Если один из векторов равен нулю, то скалярное Рис. 18.2.

произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение векторов a и b обозначается a · b.

Основное свойство скалярного произведения — это распреде лительный закон a · (b + c) = a · b + a · c.

Чтобы его доказать, установим прежде всего следующий факт: если a = (a1;

0), где a1 > 0, b = (b1;

b2), то a · b = a1 · b1. В самом деле, в этом случае |a| = a1, |b| · cos = b1 (рис. 18.2), так что требуемое равенство непосредственно следует из определения скалярного произ ведения;

чтобы теперь доказать распределительный закон для векторов a, b и c, выберем систему координат так, чтобы вектор a был паралле лен оси абсцисс и направлен в положительную сторону. В этой систе ме координат имеем a = (a1;

0), где a1 > 0;

если в этой же системе b = (b1;

b2), c = (c1;

c2), то из доказанного нами факта вытекает:

b + c = (b1 + b2;

c1 + c2), a · b = a1 · b1, a · c = a1 · c1, a · (b + c) = a1 · (b1 + c1), так что распределительный закон для векторов вытекает из обычного распределительного закона a1(b1 + c1) = a1 · b1 + a1 · c1.

Еще одно важное свойство скалярного умножения — это аналог сочетательного закона: если k — число, a и b — векторы, то (ka)·b = k(a · b) (в самом деле, если — угол между a и b, то обе части равенства равны k · |a| · |b| · cos ). Наконец, уж совсем очевидно, что для скалярного умножения выполняется переместительный закон: a · b = b · a. Подытожим:

a · b = b · a (a + b) · c = a · c + b · c a · (b + c) = a · b + a · c (ka) · b = k(a · b) Выписанные свойства показывают, что при проведении выкла док с участием скалярного произведения, как и при действиях с числами, можно раскрывать скобки, приводить подобные члены и так далее. Нужно только не забывать, что скалярное произве дение векторов — не вектор, а число.

Задача 18.1. Пусть a и b — ненулевые векторы. В каких случаях a·b положительно, в каких — отрицательно, а в каких равно нулю?

Попробуем скалярно умножить вектор a на самого себя. Так как он образует сам с собой нулевой угол и cos 0 = 1, получаем, что скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины: a · a = |a|2.

В качестве примера применения свойств скалярного произведения дадим новое до казательство теоремы косинусов. Для это го рассмотрим треугольник ABC с углом BAC = и попробуем выразить сторону BC через AB и AC. Так как скалярное про изведение вектора на себя равно квадрату его длины, то BC2 = BC ·BC;

с другой стороны, если обозначить векторы AB = b и AC = c, Рис. 18.3.

то BC = c - b. Стало быть, BC2 = BC · BC = (c - b)(c - b) = = c · c - b · c - c · b + (-b) · (-b) = = c · c - 2b · c + b · b = = AC2 - 2b · c + AB2 = AC2 - 2AB · AC · cos + AB2, что и утверждает теорема косинусов.

Задача 18.2. Пусть a и b — векторы. Докажите формулу:

a · b = (|a + b|2 - |a|2 - |b|2).

Указание. Можно вывести эту формулу из теоремы косинусов и определения скалярного произведения, можно и раскрыть скобки в равенстве |a + b|2 = (a + b)(a + b).

Задача 18.3. Пусть ABC — равносторонний треугольник и O — его центр. Докажите, что для любой точки M верно равенство MA2 + MB2 + MC2 = OA2 + OB2 + OC2 + 3 · MO2.

Указание. Положите MO = x, OA = a, OB = b, OC = c и вос пользуйтесь тем, что MA2 = MA·MA, MB2 = MB ·MB, MC2 = MC · MC.

Давайте теперь выясним, как вычислять скалярное произве дение векторов, если даны их координаты. Пусть a = (a1;

a2), b = (b1;

b2). Рассмотрим на плоскости единичные координатные векторы e1 = (1;

0), e2 = (0;

1), о которых шла речь в предыду щем параграфе. Тогда a · b = (a1e1 + a2e2) · (b1e1 + b2e2) = = a1a2(e1 · e2) + a1b2(e1 · e2) + a2b1(e2 · e1) + a2b2(e2 · e2).

Однако же e1e2 = e2e1 = 0, так как e1 и e2 перпендикулярны;

с другой стороны, e1e1 = e2e2 = 1;

с учетом этих равенств полу чаем, что a · b = a1b1 + a2b2. Запишем эту формулу еще раз:

Если a = (a1;

a2), b = (b1;

b2), то a · b = a1b1 + a2b2.

Частный случай этой формулы (когда a2 = 0) мы уже установили, когда доказывали распределительный закон для скалярного произведения.

Задача 18.4. Выведите формулу, выражающую скалярное про изведение векторов через их координаты, используя результат задачи 18.2.

§ 19. Тригонометрические формулы сложения Формула, выражающая скалярное произведение векторов через их координаты, — это главное, ради чего мы занялись векторами.

Сейчас мы будем пожинать плоды нашей работы. Для начала давайте научимся на ходить синус и косинус суммы чисел, если известны синус и косинус слагаемых. Нам будет удобнее начать с формулы для коси нуса разности.

Итак, пусть нам даны числа и. Рас смотрим на тригонометрической окруж ности точку A, соответствующую числу, и точку B, соответствующую числу Рис. 19.1.

(рис. 19.1). Обозначим начало координат буквой Z и рассмотрим векторы a = ZA, b = ZB. Из определения тригонометрических функций ясно, что координаты векторов a и b таковы: a = (cos ;

sin );

b = = (cos ;

sin ). Стало быть, скалярное произведение векторов a и b равно, по формуле из предыдущего параграфа, a · b = cos cos + sin sin.

С другой стороны, длина каждого из векторов a и b равна едини це, а угол между ними равен - (точнее говоря, ( - ) + 2n для некоторого целого n, так как число - может оказаться от рицательным или б ольшим ). Так или иначе косинус угла между векторами a и b равен cos(-), так что a·b = |a|·|b|·cos(-) = = cos( - ). Сопоставляя два выражения для a · b, получаем:

cos( - ) = cos cos + sin sin.

Чтобы получить теперь формулу для косинуса суммы, надо в формулу для cos( - ) подставить - вместо :

cos( + ) = cos( - (-)) = = cos cos(-) + sin sin(-) = = cos cos - sin sin.

Чтобы получить формулы для синуса суммы и разности, восполь зуемся формулами приведения. Вот формула синуса суммы:

sin( + ) = cos(/2 - ( + )) = = cos((/2 - ) - ) = = cos(/2 - ) cos + sin(/2 - ) sin = = sin cos + cos sin.

Аналогичным способом получается и формула синуса разности.

Предлагаем вам вывести ее самостоятельно и свериться с ответом:

cos( + ) = cos cos - sin sin ;

cos( - ) = cos cos + sin sin ;

sin( + ) = sin cos + cos sin ;

sin( - ) = sin cos - cos sin.

Из формул для синуса и косинуса суммы и разности получа ются и формулы для тангенса суммы и разности. Вот, например, как получается формула для тангенса суммы:

sin( + ) sin cos + cos sin tg( + ) = = = cos( + ) cos cos - sin sin (sin cos + cos sin )/ cos cos = = (cos cos - sin sin )/ cos cos (sin / cos ) + (sin / cos ) = = 1 - (sin sin / cos cos ) tg + tg =.

1 - tg tg Выпишем еще раз формулы для тангенса суммы и разности:

tg + tg tg - tg tg( + ) = ;

tg( - ) =.

1 - tg tg 1 + tg tg В этой книжке уже шла речь о периодических, или колебатель ных, процессах. В простейшем и типичном случае колебательного процесса график зависимости величины (скажем, силы тока) от времени является синусоидой. Если отсчитывать время от того момента, когда значение величины равно нулю, то зависимость величины u, совершающей колебания, от времени t задается фор мулой u = A sin t, где A и — постоянные. В общем же случае, когда отсчет времени начинается через время после этого мо мента, вместо t в формулу надо будет подставить t +, и фор мула примет вид u = A sin (t + ) = A sin(t + ), где через мы обозначили величину. Постоянные, A и называют ся соответственно частотой, амплитудой и фазой, и этими тремя параметрами синусоидальное колебание полностью определяется.

Амплитуда показывает, какого наибольшего значения достигает величина в процессе колебаний, а фаза показывает, на каком эта пе колебаний мы начали отсчет времени: если = 0, то в момент, когда u = 0, а если, допустим, = /2, то в момент, когда u достигло наибольшего значения.

Если преобразовать выражение u = A sin(t + ), то мы полу чим:

u = A cos sin t + A sin cos t = P sin t + Q cos t, где P = A cos, Q = A sin — постоянные. Учитывая, что вместо cos t можно написать sin(t+/2), получаем, что всякое синусоидальное колебание можно представить в виде суммы колебаний с фаза ми 0 и /2.

Задача 19.1. Если, и + — острые уг лы, то формулу для синуса суммы можно по лучить геометрически, без всяких векторов.

Рис. 19.2.

Сделайте это, руководствуясь рис. 19.2.

Задача 19.2. а) Докажите тождество sin( + ) tg + tg =.

cos cos б) Выведите аналогичное тождество для ctg + ctg.

Задача 19.3. Докажите тождество sin + sin( + 120) + sin( - 120) = 0.

Задача 19.4. Найдите значения следующих выражений:

а) cos 78 cos 18 + cos 12 cos 72;

б) cos 76 cos 31 + cos 14 cos 59;

tg 22 + tg в).

1 + tg 158 ctg Задача 19.5. а) Найдите sin, если sin(/6 + ) = 4/5, / /2.

б) Дано, что 0 < < < /2, tg + tg = 3, tg( + ) = -3.

Найдите.

Задача 19.6. Докажите тождества:

а) arctg 2 + arctg 3 = 3/4;

1 1 1 б) arctg + arctg + arctg + arctg = /4.

3 5 7 Задача 19.7. а) Докажите тождество sin(60 - ) + sin = sin(60 + ).

б) Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность.

На дуге BC взята точка M. Докажите, что AM = BM + CM.

Задача 19.8. Расстояние между центрами двух пересекающихся окружностей равно a, общая хорда видна из центров под углами 90 и 60. Найдите радиусы окружностей.

Задача 19.9. Остроугольный треугольник вписан в окружность радиусом 10. Центр окружности удален от двух сторон треуголь ника на 2 5 и 8. Чему равно расстояние от центра окружности до третьей стороны треугольника?

Задача 19.10. а) На клетчатой бумаге нарисован треугольник, вер шины которого расположены в узлах (точках пересечения линий).

Докажите, что тангенсы углов этого треугольника являются ра циональными числами.

б) Докажите, что на клетчатой бумаге нельзя нарисовать рав носторонний треугольник с вершинами в узлах.

Задача 19.11. Величина u зависит от времени t по закону u = P cos t + Q sin t.

Сдвинем начало отсчета на постоянную величину (то есть под ставим t = t + и выразим u через t );

получится формула u = P cos t + Q sin t. Выразите P и Q через P, Q и число =.

Если говорить не о колебательных процессах, а просто о функциях, то эта задача говорит, что функция y = a sin x + b cos x после сдвига ар гумента на постоянное число c (замены x на x + c) остается функцией того же вида, только с другими коэффициентами a и b. Существует и более простой пример такого рода: показательная функция y = kax Рис. 19.3.

после замены x на x + c остается функцией того же вида, только с дру гим коэффициентом k. Великий математик XVIII века Леонард Эйлер открыл, что эти два примера — фактически одно и то же. У нас пойдет об этом речь, когда мы займемся комплексными числами.

Задача 19.12. Точку M, имеющую координаты (x;

y), поверну ли относительно начала координат на угол в положительном направлении. Получилась точка M (рис. 19.3). Каковы ее коор динаты?

Указание. Если e1 и e2 — единичные координатные векторы, то OM = xe1 + ye2;

пусть e1 и e2 — векторы, полученные из e и e2 соответственно поворотом на угол (относительно нача ла координат в положительном направлении). Тогда, очевидно, OM = xe1 + ye2.

Формулы, выражающие координаты точки M через координаты точки M, совпадают с формулами из предыдущей задачи, выражающими P и Q через P и Q. Причины такого совпадения мы обсудим в следующем параграфе.

Задача 19.13. а) Пусть a и b — положительные числа, меньшие 1.

a + b Покажите, что arctg a + arctg b = arctg.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.