WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 12 |

«В. В. ПРАСОЛОВ ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 5-е издание, исправленное и дополненное Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации Издательство МЦНМО ОАО «Московские учебники» ...»

-- [ Страница 2 ] --

2. Две окружности пересекаются в точках A и B. Точка X лежит на прямой AB, но не на отрезке AB. Докажите, что длины всех касательных, проведённых из точки X к окружностям, равны.

3. Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом (т. е. ни одна из них не лежит внутри другой). Найдите длину общей касательной к этим окружностям.

4. Пусть a и b — длины катетов прямоугольного треугольника, c — длина его гипотенузы. Докажите, что:

а) радиус вписанной окружности треугольника равен (a + b - c)/2;

б) радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений ка тетов, равен (a + b + c)/2.

§ 1. Касательные к окружностям 3.1. Прямые PA и PB касаются окружности с центром O (A и B — точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересе кающая отрезки PA и PB в точках X и Y. Докажите, что величина угла XOY не зависит от выбора третьей касательной.

3.2. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке K, а вневписанная — в точке L. Докажите, что CK = BL = = (a + b - c)/2, где a, b, c — длины сторон треугольника.

3.3. На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка E, и в треугольники ACE и ECB вписаны окружности, каса ющиеся отрезка CE в точках M и N. Найдите длину отрезка MN, если известны длины отрезков AE и BE.

3.4. Четырёхугольник ABCD обладает тем свойством, что существу ет окружность, вписанная в угол BAD и касающаяся продолжений сторон BC и CD. Докажите, что AB + BC = AD + DC.

3.5. Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами R и r пересекает их общие внешние касательные в точках A и B и ка сается одной из окружностей в точке C. Докажите, что AC · CB = Rr.

3.6*. К двум окружностям различного радиуса проведены общие внешние касательные AB и CD. Докажите, что четырёхугольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда окружности касаются.

Условия задач 3.7*. Дан параллелограмм ABCD. Вневписанная окружность тре угольника ABD касается продолжений сторон AD и AB в точках M и N. Докажите, что точки пересечения отрезка MN с BC и CD лежат на вписанной окружности треугольни ка BCD.

3.8*. На каждой стороне четырёхугольни ка ABCD взято по две точки, и они соединены так, как показано на рис. 3.1. Докажите, что если все пять заштрихованных четырёхугольни ков описанные, то четырёхугольник ABCD тоже описанный.

3.9*. Дана окружность и точка вне её;

из этой точки мы совершаем путь по замкнутой Рис. 3. ломаной, состоящей из отрезков прямых, ка сательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке.

Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюс, а участки пути, по которым удалялись от цен тра, — со знаком минус. Докажите, что для любого такого пути сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.

См. также задачи 1.21 а), 1.61, 1.65, 1.67.

§ 2. Произведение длин отрезков хорд 3.10. Через точку P, лежащую на общей хорде AB двух пересекаю щихся окружностей, проведены хорда KM первой окружности и хор да LN второй окружности. Докажите, что четырёхугольник KLMN вписанный.

3.11. Две окружности пересекаются в точках A и B;

MN — общая касательная к ним. Докажите, что прямая AB делит отрезок MN пополам.

3.12. Прямая OA касается окружности в точке A, а хорда BC па раллельна OA. Прямые OB и OC вторично пересекают окружность в точках K и L. Докажите, что прямая KL делит отрезок OA по полам.

3.13. В параллелограмме ABCD диагональ AC больше диагона ли BD;

M — такая точка диагонали AC, что четырёхугольник BCDM вписанный. Докажите, что прямая BD является общей касательной к описанным окружностям треугольников ABM и ADM.

3.14. Даны окружность S и точки A и B вне её. Для каждой прямой l, проходящей через точку A и пересекающей окружность S в точках M и N, рассмотрим описанную окружность треугольни ка BMN. Докажите, что все эти окружности имеют общую точку, отличную от точки B.

3.15. Даны окружность S, точки A и B на ней и точка C хор ды AB. Для каждой окружности S, касающейся хорды AB в точке C 58 Глава 3. Окружности и пересекающей окружность S в точках P и Q, рассмотрим точку M пересечения прямых AB и PQ. Докажите, что положение точки M не зависит от выбора окружности S.

См. также задачи 1.32, 2.29.

§ 3. Касающиеся окружности 3.16. Две окружности касаются внешним образом в точке A. К ним проведена общая (внешняя) касательная, касающаяся окружностей в точках C и D. Докажите, что CAD = 90.

3.17. Две окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2 касаются в точ ке A. Через точку A проведена прямая, пересекающая S1 в точке A и S2 в точке A2. Докажите, что O1A1 O2A2.

3.18. Три окружности S1, S2 и S3 попарно касаются друг друга в трёх различных точках. Докажите, что прямые, соединяющие точку касания окружностей S1 и S2 с двумя другими точками касания, пе ресекают окружность S3 в точках, являющихся концами её диаметра.

3.19. Две касающиеся окружности с центрами O1 и O2 касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром O. Найдите периметр треугольника OO1O2.

3.20. Окружности S1 и S2 касаются окружности S внутренним об разом в точках A и B, причём одна из точек пересечения окружностей S1 и S2 лежит на отрезке AB. Докажите, что сумма радиусов окруж ностей S1 и S2 равна радиусу окружности S.

3.21. Радиусы окружностей S1 и S2, касающихся в точке A, равны R и r (R > r). Найдите длину касательной, проведённой к окруж ности S2 из точки B окружности S1, если известно, что AB = a. (Разбе рите случаи внутреннего и внешнего касания.) 3.22. На отрезке AB взята точ ка C. Прямая, проходящая че рез точку C, пересекает окружно сти с диаметрами AC и BC в точ ках K и L, а окружность с диамет ром AB — в точках M и N. Докажи те, что KM = LN.

Рис. 3. 3.23. Даны четыре окружности S1, S2, S3 и S4, причём окружности Si и Si+1 касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S5 = S1). Дока жите, что точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

3.24*. а) Три окружности с центрами A, B, C, касающиеся друг друга и прямой l, расположены так, как показано на рис. 3.2.

Пусть a, b и c радиусы окружностей с центрами A, B, C. Докажите, — что 1/ c = 1/ a + 1/ b.

Условия задач б) Четыре окружности попарно касаются внешним образом (в шести различных точках). Пусть a, b, c, d — их радиусы, = 1/a, = 1/b, 2 2 2 = 1/c и = 1/d. Докажите, что 2( + + + ) = ( + + + )2.

§ 4. Три окружности одного радиуса 3.25. Три окружности радиуса R проходят через точку H;

A, B и C — точки их попарного пересечения, отличные от H. Докажите, что:

а) H — точка пересечения высот треугольника ABC;

б) радиус описанной окружности треугольника ABC тоже равен R.

Рис. 3. 3.26*. Три равные окружности пересекаются так, как показано на рис. 3.3, а или б. Докажите, что AB1 + BC1 ± CA1 = 180, где знак минус берётся в случае б.

3.27*. Три окружности одного ра диуса проходят через точку P;

A, B и Q — точки их попарного пе ресечения. Четвёртая окружность то го же радиуса проходит через точ ку Q и пересекается с двумя другими в точках C и D. При этом треуголь ники ABQ и CDP остроугольные, а четырёхугольник ABCD выпуклый (рис. 3.4). Докажите, что ABCD — па раллелограмм. Рис. 3. § 5. Две касательные, проведённые из одной точки 3.28. Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O. Докажите, что если из точки M отрезок AO виден под углом 90, то отрезки OB и OC видны из неё под равными углами.

3.29. Из точки A проведены касательные AB и AC к окружно сти с центром O. Через точку X отрезка BC проведена прямая KL, 60 Глава 3. Окружности перпендикулярная XO (точки K и L лежат на прямых AB и AC).

Докажите, что KX = XL.

3.30. На продолжении хорды KL окружности с центром O взята точка A, и из неё проведены касательные AP и AQ;

M — середина отрезка PQ. Докажите, что MKO = MLO.

3.31*. Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках D и E;

M — середина отрезка BC. Докажите, что BM2 = DM · ME и угол DME в два раза больше угла DBE или угла DCE;

кроме того, BEM = DEC.

3.32*. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём ка сательные в точках B и D пересекаются в точке K, лежащей на прямой AC.

а) Докажите, что AB · CD = BC · AD.

б) Прямая, параллельная KB, пересекает прямые BA, BD и BC в точках P, Q и R. Докажите, что PQ = QR.

* * * 3.33. Даны окружность S и прямая l, не имеющие общих точек. Из точки P, движущейся по прямой l, проводятся касательные PA и PB к окружности S. Докажите, что все хорды AB имеют общую точку.

Если точка P лежит вне окружности S, а PA и PB — касательные к окруж ности, то прямую AB называют полярой точки P относительно окружно сти S.

3.34*. Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B, причём центр O окружности S1 лежит на S2. Прямая, проходящая через точку O, пересекает отрезок AB в точке P, а окружность S2 в точ ке C. Докажите, что точка P лежит на поляре точки C относительно окружности S1.

§ 6. Применение теоремы о высотах треугольника 3.35. Точки C и D лежат на окружности с диаметром AB. Пря мые AC и BD, AD и BC пересекаются в точках P и Q. Докажите, что AB PQ.

3.36*. Прямые PC и PD касаются окружности с диаметром AB (C и D — точки касания). Докажите, что прямая, соединяющая P с точкой пересечения прямых AC и BD, перпендикулярна AB.

3.37*. Даны диаметр AB окружности и точка C, не лежащая на прямой AB. С помощью одной линейки (без циркуля) опустите перпен дикуляр из точки C на AB, если: а) точка C не лежит на окружности;

б) точка C лежит на окружности.

3.38*. Пусть Oa, Ob и Oc — центры описанных окружностей тре угольников PBC, PCA и PAB. Докажите, что если точки Oa и Ob лежат на прямых PA и PB, то точка Oc лежит на прямой PC.

Условия задач § 7. Площади криволинейных фигур 3.39. На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника по строены полуокружности, расположенные так, как показано на рис. 3.5. Докажите, что сумма площадей обра зовавшихся «луночек» равна площади данного треугольника.

3.40*. В круге проведены два перпендикуляр ных диаметра, т. е. четыре радиуса, а затем построены четыре круга, диаметрами которых служат эти радиусы. Докажите, что суммарная площадь попарно общих частей этих кругов рав Рис. 3. на площади части исходного круга, лежащей вне рассматриваемых четырёх кругов (рис. 3.6).

3.41*. На трёх отрезках OA, OB и OC одинаковой длины (точка B лежит внутри угла AOC) как на диаметрах построены окружности.

Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не содержащего точку O, равна половине площади (обычного) треугольника ABC.

Рис. 3.6 Рис. 3. 3.42*. На сторонах произвольного остроугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности. При этом образуется три «внешних» криволинейных треугольника и один «внутренний» (рис. 3.7). Докажите, что если из суммы площадей «внешних» тре угольников вычесть площадь «внутреннего» треугольника, то получит ся удвоенная площадь треугольника ABC.

§ 8. Окружности, вписанные в сегмент 3.43. Хорда AB разбивает окружность S на две дуги. Окруж ность S1 касается хорды AB в точке M и одной из дуг в точке N.

62 Глава 3. Окружности Докажите, что:

а) прямая MN проходит через середину P второй дуги;

б) длина касательной PQ к окружности S1 равна PA.

3.44. Из точки D окружности S опущен перпендикуляр DC на диа метр AB. Окружность S1 касается отрезка CA в точке E, а также отрезка CD и окружности S. Докажите, что DE — биссектриса тре угольника ADC.

3.45*. Две окружности, вписанные в сегмент AB данной окруж ности, пересекаются в точках M и N. Докажите, что прямая MN проходит через середину C дополнительной для данного сегмента ду ги AB.

3.46*. На диаметре AB окружности S взята точка K и из неё восставлен перпендикуляр, пересекающий S в точке L. Окружности SA и SB касаются окружности S, отрезка LK и диаметра AB, а именно, SA касается отрезка AK в точке A1, SB касается отрезка BK в точ ке B1. Докажите, что A1LB1 = 45.

3.47*. Окружность, касающаяся сторон AC и BC треугольника ABC в точках M и N, касается также его описанной окружности (внутрен ним образом). Докажите, что середина отрезка MN совпадает с цен тром вписанной окружности треугольника ABC.

3.48*. Треугольники ABC1 и ABC2 вписаны в окружность S, при чём хорды AC2 и BC1 пересекаются. Окружность S1 касается хор ды AC2 в точке M2, хорды BC1 в точке N1 и окружности S. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABC1 и ABC2 ле жат на отрезке M2N1.

3.49*. На стороне BC треугольника ABC взята точка D. Окруж ность S1 касается отрезков BD и DA и описанной окружности, окружность S2 касается отрезков CD и DA и описанной окружности.

Пусть I, I1, I2 и r, r1, r2 — центры и радиусы вписанной окруж ности и окружностей S1, S2;

= ADB. Докажите, что точка I лежит на отрезке I1I2, причём I1I: I2I = tg2. Докажите также, что r = r1 cos2 + r2 sin2 (Тебо).

2 3.50*. Четырёхугольник ABCD вписанный. Пусть ra, rb, rc, rd — ра диусы вписанных окружностей треугольников BCD, ACD, ABD, ABC.

Докажите, что ra + rc = rb + rd.

См. также задачи 5.102, 6.104, 19.15, 28.23, 28.26.

§ 9. Разные задачи 3.51. Две окружности имеют радиусы R1 и R2, а расстояние между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности ортогональны тогда и только тогда, когда d2 = R2 + R2.

1 Условия задач 3.52. Три окружности попарно касаются внешним образом в точках A, B и C. Докажите, что описанная окружность треугольника ABC перпендикулярна всем трём окружностям.

3.53. Две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, пересекающая первую окруж ность в точке M1, а вторую в точке M2. Докажите, что BO1M1 = = BO2M2.

§ 10. Радикальная ось 3.54. На плоскости даны окружность S и точка P. Прямая, про ведённая через точку P, пересекает окружность в точках A и B.

Докажите, что произведение PA · PB не зависит от выбора прямой.

Эта величина, взятая со знаком плюс для точки P вне окружности и со зна ком минус для точки P внутри окружности, называется степенью точки P относительно окружности S.

3.55. Докажите, что для точки P, лежащей вне окружности S, её степень относительно S равна квадрату длины касательной, проведён ной из этой точки.

3.56. Докажите, что степень точки P относительно окружности S равна d2 - R2, где R — радиус S, d — расстояние от точки P до цен тра S.

3.57. Окружность задана уравнением f(x, y) = 0, где f(x, y) = x2 + + y2 + ax + by + c. Докажите, что степень точки (x0, y0) относительно этой окружности равна f(x0, y0).

3.58*. На плоскости даны две неконцентрические окружности S и S2. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно S1 равна степени относительно S2, является прямая.

Эту прямую называют радикальной осью окружностей S1 и S2.

3.59*. Докажите, что радикальная ось двух пересекающихся ок ружностей проходит через точки их пересечения.

3.60*. На плоскости даны три окружности, центры которых не ле жат на одной прямой. Проведём радикальные оси для каждой пары этих окружностей. Докажите, что все три радикальные оси пересека ются в одной точке.

Эту точку называют радикальным центром трёх окружностей.

3.61*. На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружно сти. Через точки пересечения любых двух из них проведена прямая.

Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке или па раллельны.

3.62*. Постройте радикальную ось двух непересекающихся окруж ностей S1 и S2.

64 Глава 3. Окружности 3.63*. Даны две неконцентрические окружности S1 и S2. Докажите, что множеством центров окружностей, пересекающих обе эти окруж ности под прямым углом, является их радикальная ось, из которой (если данные окружности пересекаются) выброшена их общая хорда.

3.64*. а) Докажите, что середины четырёх общих касательных к двум непересекающимся кругам лежат на одной прямой.

б) Через две из точек касания общих внешних касательных с двумя окружностями проведена прямая. Докажите, что окружности высека ют на этой прямой равные хорды.

3.65*. На окружности S с диаметром AB взята точка C, из точки C опущен перпендикуляр CH на прямую AB. Докажите, что общая хор да окружности S и окружности S1 с центром C и радиусом CH делит отрезок CH пополам.

3.66*. На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A и B1;

l — прямая, проходящая через общие точки окружностей с диа метрами AA1 и BB1. Докажите, что:

а) прямая l проходит через точку H пересечения высот треугольни ка ABC;

б) прямая l тогда и только тогда проходит через точку C, когда AB1 : AC = BA1 : BC.

3.67*. Продолжения сторон AB и CD четырёхугольника ABCD пе ресекаются в точке F, а продолжения сторон BC и AD — в точке E.

Докажите, что окружности с диаметрами AC, BD и EF имеют общую радикальную ось, причём на ней лежат ортоцентры треугольников ABE, CDE, ADF и BCF.

3.68*. Три окружности попарно пересекаются в точках A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2. Докажите, что A1B2 · B1C2 · C1A2 = A2B1 · B2C1 · C2A1.

3.69*. На стороне BC треугольника ABC взята точка A. Середин ный перпендикуляр к отрезку A B пересекает сторону AB в точке M, а серединный перпендикуляр к отрезку A C пересекает сторону AC в точке N. Докажите, что точка, симметричная точке A относительно прямой MN, лежит на описанной окружности треугольника ABC.

3.70*. Решите задачу 1.67, используя свойства радикальной оси.

3.71*. Внутри выпуклого многоугольника расположено несколько попарно непересекающихся кругов различных радиусов. Докажите, что многоугольник можно разрезать на маленькие многоугольники так, чтобы все они были выпуклыми и в каждом из них содержался ровно один из данных кругов.

3.72*. а) В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1.

Прямые AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1 пересекаются в точках C, A и B. Докажите, что точки A, B и C лежат на радикальной оси окружности девяти точек и описанной окружности.

б) Биссектрисы внешних углов треугольника ABC пересекают про должения противоположных сторон в точках A, B и C. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой, причём эта прямая пер Условия задач пендикулярна прямой, соединяющей центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

3.73*. Докажите, что диагонали AD, BE и CF описанного шести угольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).

3.74*. Даны четыре окружности S1, S2, S3 и S4, причём окружно сти Si и Si+1 касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S5 = S1).

Докажите, что радикальная ось окружностей S1 и S3 проходит через точку пересечения общих внешних касательных к S2 и S4.

3.75*. а) Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. Сте пень точки P окружности S1 относительно окружности S2 равна p, расстояние от точки P до прямой AB равно h, а расстояние между центрами окружностей равно d. Докажите, что |p| = 2dh.

б) Степени точек A и B относительно описанных окружностей треугольников BCD и ACD равны pa и pb. Докажите, что |pa|SBCD = = |pb|SACD.

См. также задачи 3.76—3.82, 8.90, 14.56 б), 28.6.

§ 11. Пучки окружностей Пучком окружностей называют семейство окружностей, обладающее сле дующим свойством: радикальной осью любой пары окружностей из этого семейства служит некоторая фиксированная прямая. При этом подразуме вается, что это семейство максимально в том смысле, что нет окружностей, которые можно было бы к нему добавить, не нарушая указанного свойства.

3.76*. а) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся па рой окружностей.

б) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся одной окружностью и радикальной осью.

3.77*. Пусть f(x, y) = x2 + y2 + a1x + b1y + c1 и g(x, y) = x2 + y2 + + a2x + b2y + c2. Докажите, что для любого вещественного = 1 урав нение f - g = 0 задаёт окружность из пучка окружностей, порождён ного окружностями f = 0 и g = 0.

3.78*. Докажите, что любая окружность пучка либо пересекает ра дикальную ось в двух фиксированных точках (эллиптический пучок), либо касается радикальной оси в фиксированной точке (параболиче ский пучок), либо не пересекает радикальную ось (гиперболический пучок).

Предельными точками пучка окружностей называют принадлежащие ему окружности нулевого радиуса (т. е. точки).

3.79*. Докажите, что гиперболический пучок содержит две предель ные точки, параболический — одну, а эллиптический — ни одной.

3.80*. Докажите, что если окружность ортогональна двум окруж ностям пучка, то она ортогональна и всем остальным окружностям пучка.

66 Глава 3. Окружности 3.81*. Докажите, что семейство всех окружностей, ортогональных окружностям данного пучка, образует пучок.

Этот пучок называют ортогональным пучком.

3.82*. Докажите, что предельная точка пучка является общей точ кой окружностей ортогонального пучка, и наоборот.

Задачи для самостоятельного решения 3.83. Качалка, имеющая форму сектора круга радиуса R, качается на горизонтальном столе. По какой траектории движется её вер шина?

3.84. Из точки A, лежащей вне окружности радиуса R, проведе ны к ней две касательные AB и AC, где B и C — точки касания.

Пусть BC = a. Докажите, что 4R2 = r2 + ra + a2/2, где r и ra — радиусы вписанной и вневписанной окружностей треугольника ABC.

3.85. Две окружности касаются внутренним образом. Прямая, про ходящая через центр меньшей окружности, пересекает большую в точ ках A и D, а меньшую в точках B и C. Найдите отношение радиусов окружностей, если AB : BC : CD = 2 : 4 : 3.

3.86. Центры трёх окружностей радиуса R, где 1 < R < 2, образу ют правильный треугольник со стороной 2. Чему равно расстояние между точками пересечения этих окружностей, лежащими вне тре угольника?

3.87. На отрезке AB взята точка C и построены полуокружности с диаметрами AB, AC и BC (по одну сторону от прямой AB). Найди те отношение площади криволинейного треугольника, ограниченного этими полуокружностями, к площади треугольника, образованного се рединами дуг этих полуокружностей.

3.88. Окружность пересекает сторону BC треугольника ABC в точ ках A1 и A2, сторону AC в точках B1 и B2, сторону AB в точках C1 и C2. Докажите, что - AC1 BA1 CB1 AC2 BA2 CB · · = · ·.

C1B A1C B1A C2B A2C B2A 3.89. Из точки A к окружности проведены касательные AB и AC;

PQ — диаметр окружности;

прямая l касается окружности в точке Q.

Прямые PA, PB и PC пересекают прямую l в точках A1, B1 и C1.

Докажите, что A1B1 = A1C1.

Решения 3.1. Пусть прямая XY касается данной окружности в точке Z. Соот ветственные стороны треугольников XOA и XOZ равны, поэтому XOA = = XOZ. Аналогично ZOY = BOY. Следовательно, XOY = XOZ + ZOY = = (AOZ + ZOB)/2 = AOB/2.

Решения задач 3.2. Пусть M и N — точки касания вписанной окружности со сторонами AB и BC. Тогда BK + AN = BM + AM = AB, поэтому CK + CN = a + b - c.

Пусть P и Q — точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон AB и BC. Тогда AP = AB + BP = AB + BL и AQ = AC + CQ = AC + CL.

Поэтому AP + AQ = a + b + c. Следовательно, BL = BP = AP - AB = (a + b - c)/2.

3.3. Согласно задаче 3.2 CM = (AC + CE - AE)/2 и CN = (BC + CE - BE)/2.

Учитывая, что AC = BC, получаем MN = |CM - CN| = |AE - BE|/2.

3.4. Пусть прямые AB, BC, CD и DA касаются окружности в точках P, Q, R и S. Тогда CQ = CR = x, поэтому BP = BC + CQ = BC + x и DS = DC + CR = = DC + x. Следовательно, AP = AB + BP = AB + BC + x и AS = AD + DS = = AD + DC + x. Учитывая, что AP = AS, получаем требуемое.

3.5. Пусть прямая AB касается окружностей с центрами O1 и O2 в точках C и D. Так как O1AO2 = 90, прямоугольные треугольники AO1C и O2AD подобны. Поэтому O1C : AC = AD : DO2. Кроме того, AD = CB (см. задачу 3.2).

Следовательно, AC · CB = Rr.

Рис. 3.8 Рис. 3. 3.6. Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке O. Для определён ности будем считать, что точки A и D принадлежат первой окружности, а B и C — второй, причём OB < OA (рис. 3.8). Точка M пересечения биссектрис углов A и D четырёхугольника ABCD является серединой той дуги первой окружности, которая лежит внутри треугольника AOD, а точка N пересечения биссектрис углов B и C — серединой той дуги второй окружности, которая лежит вне треугольника BOC (см. задачу 2.96 а). Четырёхугольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда точки M и N совпадают.

3.7. Пусть R — точка касания вневписанной окружности со стороной BD, P и Q — точки пересечения отрезка MN с BC и CD соответственно (рис. 3.9).

Так как DMQ = BPN, DQM = BNP и DMQ = BNP, то треугольни ки MDQ, PBN и PCQ равнобедренные. Поэтому CP = CQ, DQ = DM = DR и BP = BN = BR. Следовательно, P, Q и R — точки касания вписанной окруж ности треугольника BCD с его сторонами (см. задачу 5.1).

68 Глава 3. Окружности 3.8. Обозначим некоторые точки касания так, как показано на рис. 3.10.

Сумма длин одной пары противоположных сторон среднего четырёхугольни ка равна сумме длин пары других его сторон. Продолжим стороны этого Рис. 3. четырёхугольника до точек касания с вписанными окружностями остальных четырёхугольников (ST — один из полученных отрезков). При этом обе суммы длин пар противоположных отрезков увеличатся на одно и то же число.

Каждый из полученных отрезков является общей касательной к паре «уг ловых» окружностей;

его можно заменить на равную ему по длине другую общую внешнюю касательную (т. е. ST заменить на QR). Для доказатель ства равенства AB + CD = BC + AD остаётся воспользоваться равенствами вида AP = AQ.

3.9. Пусть ABCD... YZ — указанная замкнутая ломаная, tA, tB,..., tZ — дли ны касательных к окружности, проведённых из вершин ломаной. В соответ ствии с соглашением о знаках алгебраическая длина участка пути от A к B равна tA - tB. Поэтому алгебраическая сумма длин участков пути с указанны ми знаками равна (tA - tB) + (tB - tC) +... + (tY - tZ) + (tZ - tA) = 0.

3.10. Пусть O — точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхуголь ника ABCD. Четырёхугольник ABCD вписанный тогда и только тогда, ко гда AOB DOC, т. е. OA · OC = OB · OD. Так как четырёхугольники ALBN и AMBK вписанные, то PL · PN = PA · PB = PM · PK. Поэтому четы рёхугольник KLMN вписанный.

3.11. Пусть O — точка пересечения прямой AB и отрезка MN. Тогда OM2 = = OA · OB = ON2, т. е. OM = ON.

3.12. Пусть для определённости лучи OA и BC сонаправлены;

M — точ ка пересечения прямых KL и OA. Тогда LOM = LCB = OKM, а зна чит, KOM OLM. Следовательно, OM : KM = LM : OM, т. е. OM2 = = KM · LM. Кроме того, MA2 = MK · ML. Поэтому MA = OM.

Решения задач 3.13. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда MO · OC = = BO · OD. Тогда как OC = OA и BO = OD, то MO · OA = BO2 и MO · OA = DO2.

Эти равенства означают, что OB касается описанной окружности треугольни ка ABM и OD касается описанной окружности треугольника ADM.

3.14. Пусть C — точка пересечения прямой AB с описанной окружностью треугольника BMN, отличная от точки B;

AP — касательная к окружности S.

Тогда AB · AC = AM · AN = AP2, а значит, AC = AP2/AB, т. е. точка C одна и та же для всех прямых l.

З а м е ч а н и е. Следует исключить случай, когда длина касательной, про ведённой из A к S, равна AB.

3.15. Ясно, что MC2 = MP · MQ = MA · MB, причём точка M лежит на лу че AB, если AC > BC, и на луче BA, если AC < BC. Пусть для определённости точка M лежит на луче AB. Тогда (MB + BC)2 = (MB + BA) · MB. Следова тельно, MB = BC2/(AB - 2BC), а значит, положение точки M не зависит от выбора окружности S.

3.16. Пусть M — точка пересечения прямой CD и касательной к окружно стям в точке A. Тогда MC = MA = MD. Поэтому точка A лежит на окружности с диаметром CD.

3.17. Точки O1, A и O2 лежат на одной прямой, поэтому A2AO2 = A1AO1.

Треугольники AO2A2 и AO1A1 равнобедренные, поэтому A2AO2 = AA2O и A1AO1 = AA1O1. Следовательно, AA2O2 = AA1O1, т. е. O1A1 O2A2.

3.18. Пусть O1, O2 и O3 — центры окружностей S1, S2 и S3;

A, B, C — точки касания окружностей S2 и S3, S3 и S1, S1 и S2;

A1 и B1 — точки пересечения прямых CA и CB с окружностью S3. Согласно предыдущей задаче B1O3 CO и A1O3 CO2. Точки O1, C и O2 лежат на одной прямой, поэтому точки A1, O3 и B1 тоже лежат на одной прямой, т. е. A1B1 — диаметр окружно сти S3.

3.19. Пусть A1, A2 и B — точки касания окружностей с центрами O и O1, O и O2, O1 и O2,. Тогда O1O2 = O1B + BO2 = O1A1 + O2A2. Поэтому OO1 + OO2 + + O1O2 = (OO1 + O1A1) + (OO2 + O2A2) = OA1 + OA2 = 2R.

3.20. Пусть O, O1 и O2 — центры окружностей S, S1 и S2;

C — об щая точка окружностей S1 и S2, лежащая на отрезке AB. Треугольни ки AOB, AO1C и CO2B равнобедренные, поэтому OO1CO2 — параллелограмм и OO1 = O2C = O2B, а значит, AO = AO1 + O1O = AO1 + O2B.

3.21. Пусть O1 и O2 — центры окружностей S1 и S2;

X — вторая точка пе ресечения прямой AB с окружностью S2. Квадрат искомой длины касательной равен BA · BX. Согласно задаче 3.17 BO1 XO2, поэтому AB : BX = O1A : O1O и AB · BX = AB2 · O1O2/R = a2(R ± r)/R, где знак минус берётся в случае внут реннего касания.

3.22. Пусть O, O1 и O2 — центры окружностей с диаметрами AB, AC и BC.

Достаточно проверить, что KO = OL. Докажем, что O1KO = O2OL. В самом деле, O1K = AC/2 = O2O, O1O = BC/2 = O2L и KO1O = OO2L = 180 - 2, где — угол между прямыми KL и AB.

3.23. Пусть Oi — центр окружности Si, Ai — точка касания окружностей Si и Si+1. Четырёхугольник O1O2O3O4 выпуклый;

пусть,, и — 1 2 3 величины его углов. Легко проверить, что Ai-1AiAi+1 = ( + )/2, поэтому i i+ A1 + A3 = ( + + + )/2 = A2 + A4.

1 2 3 3.24. а) Пусть A1, B1 и C1 — проекции точек A, B и C на прямую l;

C2 — проекция точки C на прямую AA1. По теореме Пифагора CC2 = AC2 - AC2, 2 70 Глава 3. Окружности т. е. A1C2 = (a + c)2 - (a - c)2 = 4ac. Аналогич но B1C2 = 4bc и A1B2 = 4ab. Так как A1C1 + 1 + C1B1 = A1B1, то ac + bc = ab, т. е. 1/ b + + 1/ a = 1/ c.

б) Пусть A, B, C — центры «внешних» окружностей, D — центр «внутренней» окруж ности (рис. 3.11). Полупериметр треугольни ка BDC равен b + c + d, поэтому BDC d(b + c + d) cos2 =, 2 (b + d)(c + d) BDC bc sin2 = 2 (b + d)(c + d) Рис. 3. (см. задачу 12.13). Если + + = 180, то sin2 + sin2 - sin2 + 2 sin sin cos = 0 (это утверждение эквива лентно теореме косинусов). Подставив в эту формулу значения = BDC/2, = ADC/2 и = ADB/2, получим bc ac ab a bcd(b + c + d) - - + 2 = 0, (b + d)(c + d) (a + d)(c + d) (a + d)(b + d) (a + d)(b + d)(c + d) т. е.

a + d b + d c + d d(b + c + d) - - + 2 = 0.

a b c bc Разделив на d, имеем - - - + 2 + + = 0. Поэтому ( + + + )2 = ( - - - )2 + 4( + + ) = 2 2 2 = 4( + + ) + 4( + + ) = 2( + + + )2 - 2( + + + ), 2 2 2 т. е. 2( + + + ) = ( + + + )2.

3.25. Пусть A1, B1 и C1 — центры данных окружностей (рис. 3.12). То гда A1BC1H — ромб, а значит, BA1 HC1. Аналогично B1A HC1, поэтому B1A BA1 и B1ABA1 — параллелограмм.

а) Так как A1B1 CH и A1B1 AB, то AB CH. Аналогично доказывается, что BC AH и CA BH.

б) Так же, как было доказано, что B1A BA1, можно доказать, что B1C BC и A1C AC1;

кроме того, длины всех этих шести отрезков равны R. Достроим треуголь ник BA1C до ромба BA1CO. Тогда AB1CO то же ромб. Поэтому AO = BO = CO = R, т. е.

O — центр описанной окружности треугольни ка ABC, и её радиус равен R.

3.26. Легко проверить, что AB1 ± B1A1 = Рис. 3. = AC1 + C1A1, BC1 + C1B1 = BA1 ± B1A и C1A1 ± CA1 = C1B1 ± B1C, где знак ми нус берётся только в случае б. Складывая эти равенства, получаем AB1 + + BC1 ± CA1 = AC1 + BA1 ± CB1. С другой стороны, удвоенные величины Решения задач углов треугольника ABC равны BA1 ± CA1, AB1 ± CB1 и BC1 + AC1, а их сумма равна 360.

3.27. Так как AP + BP + PQ = 180 (см. задачу 3.26), то AB = 180 - PQ. Аналогично CD = 180 - PQ, т. е. AB = CD, а значит, AB = CD.

Кроме того, PQ AB и PQ CD (см. задачу 3.25), поэтому AB CD.

3.28. Точки M, B и C лежат на окружности с диаметром AO. Кроме того, хорды OB и OC этой окружности равны.

3.29. Точки B и X лежат на окружности с диаметром KO, поэто му XKO = XBO. Аналогично XLO = XCO. Так как XBO = XCO, то треугольник KOL равнобедренный, причём OX — его высота.

3.30. Достаточно проверить, что AK · AL = AM · AO. В самом деле, тогда точки K, L, M и O лежат на одной окружности, и поэтому MKO = MLO.

Так как AOP APM, то AM · AO = AP2;

ясно также, что AK · AL = AP2.

3.31. Для определённости будем считать, что угол DBE острый. Пусть O — центр окружности;

точки D и E симметричны точкам D и E относительно прямой AO. Согласно задаче 28.7 прямые ED и E D пересекаются в точке M.

Поэтому BDM = EBM и BEM = DBM, а значит, BDM EBM. Сле довательно, BM : DM = EM : BM. Кроме того, DME = DE = 2DBE.

Из равенства BEM = DBM следует, что BEM = DBC = DEC.

3.32. а) Так как KAB KBC, то AB : BC = KB : KC. Аналогично AD : DC = = KD : KC. Учитывая, что KB = KD, получаем требуемое.

б) Задача сводится к предыдущей, так как PQ sin PBQ sin ABD sin ABD AD QR CD = = = =, =.

BQ sin BPQ sin KBA sin ADB AB BQ CB 3.33. Опустим из центра O окружности S перпендикуляр OM на пря мую l. Докажем, что точка X, в которой пересекаются AB и OM, остаётся неподвижной. Точки A, B и M лежат на окружности с диаметром PO. По этому AMO = ABO = BAO, а значит, AMO XAO, так как угол при вершине O у этих треугольников общий. Следовательно, AO : MO = XO : AO, т. е. OX = OA2/MO — постоянная величина.

3.34. Так как OBP = OAB = OCB, то OBP OCB, а значит, OB2 = = OP · OC. Проведём из точки C касательную CD к окружности S1. Тогда OD2 = OB2 = OP · OC. Следовательно, ODC OPD и OPD = ODC = 90.

3.35. Прямые BC и AD являются высотами треугольника APB, поэтому прямая PQ, проходящая через точку Q их пересечения, перпендикулярна прямой AB.

3.36. Обозначим точки пересечения прямых AC и BD, BC и AD через K и K1 соответственно. Согласно предыдущей задаче KK1 AB, поэтому до статочно доказать, что точка пересечения касательных в точках C и D лежит на прямой KK1.

Докажем, что касательная в точке C проходит через середину отрезка KK1.

Пусть M — точка пересечения касательной в точке C и отрезка KK1. Стороны острых углов ABC и CKK1 соответственно перпендикулярны, поэтому углы равны. Аналогично CAB = CK1K. Ясно также, что KCM = ABC, поэтому треугольник CMK равнобедренный. Аналогично треугольник CMK1 равнобед ренный и KM = CM = K1M, т. е. M — середина отрезка KK1.

Аналогично доказывается, что касательная в точке D проходит через сере дину отрезка KK1.

72 Глава 3. Окружности 3.37. а) Прямая AC пересекает окружность в точках A и A1, пря мая BC — в точках B и B1. Если A = A1 (или B = B1), то прямая AC (или BC) — искомый перпендикуляр. Если же это не так, то AB1 и BA1 явля ются высотами треугольника ABC и искомая прямая — это прямая, проходя щая через точку C и точку пересечения прямых AB1 и BA1.

б) Возьмём точку C1, не лежащую на окружности, и опустим из неё перпендикуляр на AB. Пусть он пересекается с окружностью в точках D и E.

Построим точку P пересечения прямых DC и AB, а затем точку F пересе чения прямой PE с окружностью. При симметрии относительно AB точка C переходит в точку F. Поэтому CF — искомый перпендикуляр.

3.38. Так как PA ObOc, то прямая PA прохо дит через точку Oa тогда и только тогда, когда прямая POa проходит через точку пересечения вы сот треугольника OaObOc. Аналогичные утверждения верны и для точек B и C. Из условия задачи сле дует, что P — точка пересечения высот треугольни ка OaObOc, а значит, POc OaOb.

3.39. Пусть 2a и 2b — длины катетов, 2c — дли на гипотенузы. Сумма площадей «луночек» равна a2 + b2 + SABC - c2. Ясно, что (a2 + b2 - c2) = 0.

3.40. Доказательство достаточно провести для каждой из четырёх частей, на которые диаметры де лят исходный круг (рис. 3.13). Рассмотрим в круге Рис. 3. сегмент, отсекаемый хордой, на которую опирается центральный угол 90;

пусть S и s — площади таких сегментов для исходного и четырёх построенных кругов соответственно. Ясно, что S = 4s. Остаётся заметить, что площадь части с одинарной штриховкой равна S - 2s = 2s, а площадь части с двойной штриховкой равна 2s.

3.41. Обозначим точки пересечения окружностей, построенных на отрезках OB и OC, OA и OC, OA и OB, через A1, B1, C1 соответственно (рис. 3.14).

OA1B = OA1C = 90, поэтому точки B, A1 и C лежат на одной пря мой, а так как окружности имеют одинаковые радиусы, то BA1 = A1C.

Рис. 3.14 Рис. 3. Решения задач Точки A1, B1, C1 являются серединами сторон треугольника ABC, поэто му BA1 = C1B1 и BC1 = A1B1. Так как круги имеют одинаковый радиус, то равные хорды BA1 и C1B1 отсекают от кругов части равной площа ди, а равные хорды C1B и B1A1 также отсекают от кругов части равной площади. Поэтому площадь криволинейного треугольника A1B1C1 равна пло щади параллелограмма A1B1C1B, т. е. равна половине площади треугольни ка ABC.

3.42. Рассматриваемые окружности проходят через основания высот тре угольника, а значит, точки их пересечения лежат на сторонах треуголь ника. Пусть x, y, z и u — площади рассматриваемых криволинейных тре угольников;

a, b, c, d, e и f — площади сегментов, отсекаемых от окруж ностей сторонами треугольника;

p, q и r — площади частей треугольни ка, лежащих вне внутреннего криволинейного треугольника (рис. 3.15).

Тогда x + (a + b) = u + p + q + (c + f), y + (c + d) = u + q + r + (e + b) и z + + (e + f) = u + r + p + (a + d). Складывая эти равенства, получаем x + y + z = = 2(p + q + r + u) + u.

3.43. а) Пусть O и O1 — центры окружностей S и S1. Треугольники MO1N и PON равнобедренные, причём MO1N = PON. Следовательно, точки P, M и N лежат на одной прямой.

б) Ясно, что PQ2 = PM · PN = PM · (PM + MN). Пусть K — середина хор ды AB. Тогда PM2 = PK2 + MK2 и PM · MN = AM · MB = AK2 - MK2. Поэто му PQ2 = PK2 + AK2 = PA2.

3.44. Согласно задаче 3.43 б) BE = BD. Поэтому DAE + ADE = DEB = = BDE = BDC + CDE. А так как DAB = BDC, то ADE = CDE.

3.45. Пусть O1 и O2 — центры вписанных окружностей, CP и CQ — каса тельные к ним. Тогда CO2 = CP2 + PO2 = CP2 + O1M2 и, так как CQ = CA = CP 1 (задача 3.43 б), CO2 = CQ2 + QO2 = CP2 + O2M2. Следовательно, CO2 - CO2 = 2 2 1 = MO2 - MO2, а значит, прямая CM перпендикулярна O1O2 (см. задачу 7.6).

1 Поэтому прямая MN проходит через точку C.

З а м е ч а н и е. Если окружности не пересекаются, а касаются, утвер ждение остаётся верным;

в этом случае прямую MN нужно заменить на касательную к окружностям в их общей точке.

3.46. Пусть LAB = и LBA = ( + = 90). Согласно задаче 3.43 б) AB1 = AL, поэтому AB1L = 90 - /2. Аналогично BA1L = 90 - /2. Следо вательно, A1LB1 = ( + )/2 = 45.

3.47. Пусть A1 и B1 — середины дуг BC и AC;

O — центр вписанной окруж ности. Тогда A1B1 CO (см. задачу 2.20 а) и MN CO, а значит, MN A1B1.

Будем перемещать точки M и N по лучам CA и CB так, что M N A1B1.

Лишь при одном положении точек M и N точка L, в которой пересекаются прямые B1M и A1N, попадает на описанную окружность треугольника ABC.

С другой стороны, если отрезок MN проходит через точку O, точка L попадает на эту окружность (см. задачу 2.52).

3.48. Решение этой задачи обобщает решение предыдущей задачи. Доста точно доказать, что центр O1 вписанной окружности треугольника ABC1 ле жит на отрезке M2N1. Пусть A1 и A2 — середины дуг BC1 и BC2, B1 и B2 — се редины дуг AC1 и AC2;

PQ — диаметр окружности S, перпендикулярный хорде AB, причём Q и C1 лежат по одну сторону от прямой AB. Точ ка O1 является точкой пересечения хорд AA1 и BB1, а точка L касания окружностей S и S1 согласно задаче 3.43 а) является точкой пересечения 74 Глава 3. Окружности прямых A1N1 и B2M2 (рис. 3.16).

Пусть C1AB = 2, C1BA = 2, C1AC2 = = 2. Тогда A1A2 = 2 = B1B2, т. е.

A1B2 B1A2. Угол между хордами A1B и BC1 равен ( B2C1 + A1B)/2 = - +.

Далее, угол между хордами BC1 и AC равен ( C1C2 + AB)/2 = 2 + 180 - 2 - 2, поэтому хорда M2N1 образует с ка сательными BC1 и AC2 углы + -, а значит, M2N1 A1B2.

Предположим теперь, что точки M и N перемещаются по хордам AC2 и BC так, что M N A1B2. Пусть пря 2 мые A1N и B2M пересекаются в точ 1 ке L. Точка L лежит на окружно сти S лишь при одном положении то чек M и N. Поэтому достаточно ука 2 зать на дуге AB такую точку L1, что Рис. 3. если M, N — точки пересечения хорд 2 AC2 и L1B2, BC1 и L1A1, то M N A1B 2 и точка O1 лежит на отрезке M N. Пусть Q1 — такая точка окружно 2 сти S, что 2(PQ, PQ1) = (PC2, PC1), и L1 — точка пересечения прямой Q1O с окружностью S. Докажем, что точка L1 искомая. Так как B1Q = 2, то B2Q1 = 2( - 2 ) = C2A1. Поэтому четырёхугольник AM O1L1 вписан ный, а значит, M O1A = M L1A = B2A1A, т. е. M O1 B2A1. Аналогич 2 2 но N O1 B2A1.

3.49. Пусть E1 и E2 — основания перпендикуляров, опущенных из точек I1 и I2 на прямую BC. Согласно задаче 3.48 точка I является точкой пе ресечения прямой, проходящей через точку E1 и точку касания прямой AD и окружности S1, и прямой, проходящей через точку E2 и точку касания прямой AD и окружности S2. Пусть F1 — точка пересечения прямых E1I и E2I, F2 — точка пересечения прямых E2I2 и E1I. Ясно, что DI1 E1I, DI2 E2I и DI1 DI2. Поэтому I1D F1E2 и I2D F2E1. Следовательно, E1I1 : I1F1 = E1D: DE2 = F2I2 : I2E2. Это означает, что точка I лежит на от резке I1I2, причём I1I: I2I = E1F1 : E2F2 = E1E2 tg : E1E2 ctg = tg2.

2 2 Пусть E — проекция точки I на прямую BC. Тогда r = IE. Согласно зада че 1.1 б) I1E1 ctg + I2E2 tg 2 IE = = r1 cos2 + r2 sin2.

2 tg + ctg 2 3.50. Пусть = AOB, где O — точка пересечения диагоналей AC и BD.

Пусть, далее, rab, rbc, rcd, rad — радиусы окружностей, касающихся описанной окружности четырёхугольника ABCD и отрезков CO и DO, DO и AO, AO и BO, Решения задач BO и CO. Согласно теореме Тебо (задача 3.49) 2ra = rad sin2 + rab cos2, rb = rab cos2 + rbc sin2, 2 2 2 rc = rbc sin2 + rcd cos2, rd = rcd cos2 + rad sin2.

2 2 2 Поэтому ra + rc = (rad + rbc) sin2 + (rab + rcd) cos2 = rb + rd.

2 3.51. Пусть окружности с центрами O1 и O2 проходят через точку A.

Радиусы O1A и O2A перпендикулярны касательным к окружностям в точке A, поэтому окружности ортогональны тогда и только тогда, когда O1AO2 = 90, т. е. O1O2 = O1A2 + O2A2.

3.52. Пусть A1, B1 и C1 — центры данных окружностей, причём точ ки A, B и C лежат на отрезках B1C1, C1A1 и A1B1 соответственно. Так как A1B = A1C, B1A = B1C и C1A = C1B, то A, B и C — точки касания вписан ной окружности треугольника A1B1C1 с его сторонами (см. задачу 5.1). Таким образом, радиусы A1B, B1C и C1A данных окружностей касаются описанной окружности треугольника ABC.

# – # – 3.53. Легко проверить, что угол поворота от вектора OiB до вектора OiMi (против часовой стрелки) равен 2(AB, AMi). Ясно также, что (AB, AM1) = = (AB, AM2).

3.54. Проведём через точку P другую прямую, пересекающую окружность в точках A1 и B1. Тогда PAA1 PB1B, поэтому PA : PA1 = PB1 : PB.

3.55. Проведём через точку P касательную PC. PAC PCB, поэто му PA : PC = PC : PB.

3.56. Пусть прямая, проходящая через точку P и центр окружности, пересекает окружность в точках A и B. Тогда PA = d + R и PB = |d - R|.

Поэтому PA · PB = |d2 - R2|. Ясно также, что величина d2 - R2 и степень точки P относительно окружности S имеют одинаковые знаки.

2 3.57. Пусть = -a/2, = -b/2 и R= + -c. Тогда f(x, y) = (x - )2 + + (y - ) - R2, т. е. (, ) — центр данной окружности S, а R — её радиус.

Таким образом, квадрат расстояния от точки (x0, y0) до центра окружности S равен (x - )2 + (y - ). Поэтому согласно задаче 3.56 степень точки (x0, y0) относительно окружности S равна f(x0, y0).

3.58. Пусть R1 и R2 — радиусы окружностей. Рассмотрим систему коор динат, в которой центры окружностей имеют координаты (-a, 0) и (a, 0).

Согласно задаче 3.56 степени точки с координатами (x, y) относительно дан ных окружностей равны (x + a)2 + y2 - R2 и (x - a)2 + y2 - R2 соответственно.

1 Приравнивая эти выражения, получаем x = (R2 - R2)/4a. Это уравнение задаёт 1 прямую, перпендикулярную отрезку, соединяющему центры окружностей.

3.59. Степени точки пересечения окружностей относительно каждой из них равны нулю, поэтому она лежит на радикальной оси. Если точек пересечения две, то они однозначно задают радикальную ось.

3.60. Так как центры окружностей не лежат на одной прямой, радикальная ось первой и второй окружностей пересекается с радикальной осью второй и третьей окружностей. Степени точки пересечения относительно всех трёх окружностей равны, поэтому она лежит на радикальной оси первой и третьей окружностей.

3.61. Согласно задаче 3.59 прямые, содержащие хорды, являются ради кальными осями. Согласно задаче 3.60 радикальные оси пересекаются в одной 76 Глава 3. Окружности точке, если центры окружностей не лежат на одной прямой. В противном случае они перпендикулярны этой прямой.

3.62. Проведём вспомогательную окружность S, пересекающую обе данные окружности. Затем проведём прямую через общие точки окружностей S1 и S и прямую через общие точки окружностей S2 и S. Точка пересечения этих прямых — радикальный центр окружностей S1, S2 и S. С помощью какой-ни будь другой вспомогательной окружности построим ещё один радикальный центр. Искомая прямая соединяет построенные радикальные центры.

3.63. Пусть O1 и O2 — центры данных окружностей, r1 и r2 — их радиусы.

Окружность S радиуса r с центром O ортогональна окружности Si тогда и только тогда, когда r2 = OO2 - ri, т. е. квадрат радиуса окружности S равен i степени точки O относительно окружности Si. Поэтому множеством центров искомых окружностей является множество тех точек радикальной оси, степе ни которых относительно данных окружностей положительны.

3.64. а) Указанные точки лежат на радикальной оси.

б) Точки касания внешних касательных с окружностями являются верши нами трапеции ABCD с основанием AB. Середины боковых сторон AD и BC принадлежат радикальной оси, поэтому середина O диагонали AC тоже при надлежит радикальной оси. Если прямая AC пересекает окружности в точках A1 и C1, то OA1 · OA = OC1 · OC, а значит, OA1 = OC1 и AA1 = CC1.

3.65. Пусть M — середина отрезка CH. Требуется доказать, что точка M лежит на радикальной оси окружностей S и S1, т. е. её степени относительно этих окружностей равны. Пусть радиусы окружностей S и S1 равны 2R и 2r.

Тогда степень точки M относительно окружности S1 равна CM2 - 4r2 = -3r2, а её степень относительно S равна OM2 - 4R2, где O — середина отрезка AB.

Ясно, что OH2 = 4R2 - 4r2, поэтому OM2 = OH2 + HM2 = 4R2 - 4r2 + r2 = = 4R2 - 3r2. Следовательно, OM2 - 4R2 = -3r2.

3.66. а) Пусть SA и SB — окружности с диаметрами AA1 и BB1;

S — окруж ность с диаметром AB. Общими хордами окружностей S и SA, S и SB являются высоты AHa и BHb, поэтому они (или их продолжения) пересе каются в точке H. Согласно задаче 3.61 общая хорда окружностей SA и SB проходит через точку пересечения хорд AHa и BHb.

б) Общая хорда окружностей SA и SB проходит через точку пересе чения прямых A1Ha и B1Hb (т. е. через точку C) тогда и только тогда, когда CB1 · CHb = CA1 · CHa (длины отрезков следует считать ориентирован ными). Так как CHb = (a2 + b2 - c2)/2b и CHa = (a2 + b2 - c2)/2a, приходим к соотношению CB1/b = CA1/a.

3.67. Проведём в треугольнике CDE высоты CC1 и DD1;

пусть H — точка их пересечения. Окружности с диаметрами AC и BD проходят через точки C1 и D1 соответственно, поэтому степень точки H относительно каждой из этих окружностей равна её степени относительно окружности с диаметром CD (эта окружность проходит через точки C1 и D1). Аналогично доказывается, что степени точки H относительно окружностей с диаметрами AC, BD и EF равны, т. е. радикальные оси этих окружностей проходят через точку H. Для точек пересечения высот остальных трёх треугольников доказательство проводится аналогично.

З а м е ч а н и е. Центры рассматриваемых окружностей лежат на прямой Гаусса (см. задачу 4.56), поэтому их общая радикальная ось перпендикулярна прямой Гаусса.

Решения задач 3.68. Прямые A1A2, B1B2 и C1C2 пересекают ся в некоторой точке O (см. задачу 3.61). Так как A1OB2 B1OA2, то A1B2 : A2B1 = OA1 : OB1.

Аналогично B1C2 : B2C1 = OB1 : OC1 и C1A2 : C2A1 = = OC1 : OA1. Перемножая эти равенства, получаем требуемое.

3.69. Обозначим через B и C точки пересе чения прямых A M и A N с прямой, проведён ной через точку A параллельно BC (рис. 3.17).

Так как треугольники A BM и A NC равнобедрен ные, то ABC = A B C. Поскольку AM · BM = =A M·B M, степени точки M относительно окруж ностей S и S, описанных около треугольников ABC и A B C соответственно, равны. Это верно Рис. 3. и для точки N, поэтому прямая MN является ра дикальной осью окружностей S и S. Окружности S и S имеют одинаковые радиусы, поэтому их радикальная ось является их осью симметрии. Точка A, лежащая на окружности S, при симметрии относительно прямой MN переходит в точку, лежащую на окружности S.

3.70. Пусть AC и BD — касательные;

E и K — точки пересечения пря мых AC и BD, AB и CD;

O1 и O2 — центры окружностей (рис. 3.18). Так Рис. 3. как AB O1E, O1E O2E и O2E CD, то AB CD, а значит, K — точка пересечения окружностей S1 и S2 с диаметрами AC и BD. Точка K лежит на радикальной оси окружностей S1 и S2;

остаётся проверить, что этой радикаль ной осью является прямая O1O2. Радиусы O1A и O1B являются касательными к S1 и S2, поэтому точка O1 лежит на радикальной оси. Аналогично точка O лежит на радикальной оси.

3.71. Обозначим данные окружности через S1,..., Sn. Для каждой окруж ности Si рассмотрим множество Mi, состоящее из тех точек X, для которых степень относительно Si не больше степеней относительно S1,..., Sn. То гда Mi — выпуклое множество. В самом деле, пусть Mij — множество точек X, 78 Глава 3. Окружности для которых степень относительно Si не больше степени относительно Sj.

Mij является полуплоскостью, состоящей из точек, лежащих по одну сторону с окружностью Si от радикальной оси окружностей Si и Sj. Множество Mi является пересечением выпуклых множеств Mij, поэтому оно само выпуклое.

Кроме того, поскольку каждое из множеств Mij содержит окружность Si, то Mi содержит Si. Так как для каждой точки плоскости какая-то из степе ней относительно S1,..., Sn является наименьшей, множества Mi покрывают всю плоскость. Рассматривая те части множеств Mi, которые лежат внутри исходного многоугольника, получаем требуемое разбиение.

3.72. а) Точки B1 и C1 лежат на окружности с диаметром BC, поэтому степени точки A относительно описанных окружностей треугольников A1B1C и ABC равны степени точки A относительно этой окружности. Значит, точ ка A лежит на радикальной оси окружности девяти точек и описанной окружности треугольника ABC. Для точек B и C доказательство анало гично.

б) Рассмотрим треугольник A1B1C1, образованный внешними биссектриса ми треугольника ABC (треугольник A1B1C1 остроугольный). Согласно задаче а) точки A, B и C лежат на радикальной оси описанных окружностей треуголь ников ABC и A1B1C1. Радикальная ось этих окружностей перпендикулярна прямой, соединяющей их центры, т. е. прямой Эйлера треугольника A1B1C1.

Остаётся заметить, что точка пересечения высот треугольника A1B1C1 является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC (см. задачу 1.57 а).

3.73. Пусть выпуклый шестиугольник ABCDEF касается окружности в точках R, Q, T, S, P, U (точка R лежит на AB, Q — на BC и т. д.).

Выберем произвольное число a > 0 и постро им на прямых BC и EF точки Q P так, # – # –и что QQ = PP = a, а # векторы QQ и PP сонаправ – # – лены с векторами CB и EF. Аналогично строим точки R, S, T, U (рис. 3.19;

RR = SS = TT = = UU = a). Построим окружность S1, касающуюся прямых BC и EF в точках Q и P. Аналогично построим окружности S2 и S3.

Рис. 3. Докажем, что точки B и E лежат на ради кальной оси окружностей S1 и S2. BQ = QQ - BQ = RR - BR = BR (если QQ < BQ, то BQ = BQ - QQ = BR - RR = BR ) и EP = EP + PP = ES + SS = ES. Аналогично доказывается, что прямые FC и AD являются радикальными осями окружностей S1 и S3, S2 и S3 соот ветственно. Так как радикальные оси трёх окружностей пересекаются в одной точке, прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

3.74. Пусть Ai — точка касания окружностей Si и Si+1, X — точка пересе чения прямых A1A4 и A2A3. Тогда X — точка пересечения общих внешних касательных к окружностям S2 и S4 (см. задачу 5.73). А так как четы рёхугольник A1A2A3A4 вписанный (задача 3.23), то XA1 · XA4 = XA2 · XA3, а значит, точка X лежит на радикальной оси окружностей S1 и S3.

3.75. а) Рассмотрим систему координат с началом O в середине отрезка, соединяющего центры окружностей, а ось Ox направим вдоль этого отрезка.

Пусть точка P имеет координаты (x, y);

R и r — радиусы окружностей S1 и S2;

Решения задач a = d/2. Тогда (x + a)2 + y2 = R2 и p = (x - a)2 + y2 - r2 = ((x + a)2 + y2 - R2) - 4ax - r2 + R2 = R2 - r2 - 4ax.

Пусть точка A имеет координаты (x0, y0). Тогда (x0 + a)2 + y2 - R2 = = (x0 - a)2 + y2 - r2, т. е. x0 = (R2 - r2)/4a. Поэтому 2dh = 4a|x0 - x| = = |R2 - r2 - 4ax| = |p|.

б) Пусть d — расстояние между центрами описанных окружностей треуголь ников ACD и BCD;

ha и hb — расстояния от точек A и B до прямой CD.

Согласно задаче а) |pa| = 2dha и |pb| = 2dhb. Учитывая, что SBCD = hbCD/ и SACD = haCD/2, получаем требуемое.

3.76. Две окружности задают радикальную ось, поэтому а) следует из б).

Пусть задана окружность S с центром O и радиусом R и прямая l. Окруж ность S1 с центром O1 и радиусом R1 и окружность S имеют радикальную ось l тогда и только тогда, когда точка O1 лежит на прямой, перпендикулярной прямой l и проходящей через точку O, а кроме того, для любой точки A прямой l выполняется равенство AO2 - R2 = AO1 - R2, т. е. R2 = AO2 - AO2 + R 1 1 (теорема Пифагора показывает, что эта величина не зависит от выбора точки A на прямой l). Легко видеть, что все окружности, центры ко торых лежат на указанной прямой, а радиусы удовлетворяют указанному соотношению, образуют пучок. Действительно, если AO2 - R2 = AO1 - R и AO2 - R2 = AO2 - R2, то AO2 - R2 = AO2 - R2, поэтому прямая l служит 2 1 1 радикальной осью окружностей S1 и S2.

3.77. Если = 1, то 1 a1 - a2 b1 - b2 c1 - c (f - g) = x2 + y2 + x + y +.

1 - 1 - 1 - 1 - Поэтому согласно задаче 3.57 радикальная ось окружностей f - g=0 и f - g= 1 = 0 задаётся уравнением (f - g) = (f - g). Если =, то после 1 - 1 - очевидных преобразований получаем уравнение f = g. Таким образом, ради кальная ось этих окружностей совпадает с радикальной осью окружностей f = 0 и g = 0.

3.78. Из решения задачи 3.76 видно, что если окружность пучка проходит через точку радикальной оси, то и все остальные окружности пучка тоже проходят через эту точку.

3.79. В эллиптическом пучке любая окружность пересекает радикаль ную ось в двух фиксированных точках;

радиус такой окружности больше нуля.

В параболическом пучке любая окружность касается радикальной оси в фиксированной точке;

именно эта точка является предельной.

Рассмотрим теперь гиперболический пучок. Пусть A — точка пересечения радикальной оси и прямой m, на которой лежат центры окружностей пучка.

Пусть, далее, k — степень точки A относительно всех окружностей пучка.

Для гиперболического пучка k > 0. Точка O прямой m является центром окружности нулевого радиуса, если AO2 = k. Таких точек две.

3.80. Пусть S — окружность с центром O и радиусом R, S1 — окружность с центром O1 и радиусом R1. Ортогональность этих окружностей эквивалентна тому, что OO2 = R2 + R2. Степень точки O относительно окружности S1 равна 1 OO2 - R2, поэтому ортогональность окружностей S и S1 эквивалентна тому, 1 что степень точки O относительно окружности S1 равна R2.

80 Глава 3. Окружности Предположим, что окружность S ортогональна окружностям S1 и S2. То гда степень точки O относительно окружностей S1 и S2 равна R2. Поэтому точка O лежит на их радикальной оси. Степень точки O относительно любой окружности пучка, порождённого окружностями S1 и S2, равна R2.

3.81. Пусть окружность S с центром O и радиусом R принадлежит дан ному пучку. Тогда, как следует из решения задачи 3.80, степень точки O относительно любой окружности, ортогональной S, равна R2. Поэтому прямая, на которой лежат центры окружностей данного пучка, является радикальной осью для семейства ортогональных окружностей.

3.82. Точка O является предельной точкой пучка тогда и только тогда, ко гда её степень относительно любой окружности ортогонального пучка равна 0, т. е. точка O принадлежит любой окружности ортогонального пучка. Ясно так же, что пучок, ортогональный ортогональному пучку, совпадает с исходным пучком.

ГЛАВА ПЛОЩАДЬ Основные сведения 1. Площадь S треугольника ABC можно вычислять по следующим форму лам:

а) S = aha/2, где a = BC, ha — длина высоты, опущенной на BC;

б) S = bc sin A, где b, c — стороны треугольника, A — угол между ними;

в) S = pr, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности. В самом деле, если O — центр вписанной окружности, то S = SABO + SAOC + SOBC = (c + b + a)r = pr.

2. Если многоугольник разрезан на несколько многоугольников, то сумма их площадей равна площади исходного многоугольника.

3. Фигуры, имеющие равную площадь, иногда называют равновеликими.

Вводные задачи 1. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна d1d2 sin, где d1 и d2 — длины диагоналей, а — угол между ними.

2. Пусть E и F — середины сторон BC и AD параллелограм ма ABCD. Найдите площадь четырёхугольника, образованного прямы ми AE, ED, BF и FC, если известно, что площадь ABCD равна S.

3. Многоугольник описан около окружности радиуса r. Докажите, что его площадь равна pr, где p — полупериметр многоугольника.

4. Точка X расположена внутри параллелограмма ABCD. Докажи те, что SABX + SCDX = SBCX + SADX.

5. Пусть A1, B1, C1 и D1 — середины сторон CD, DA, AB, BC квадра та ABCD, площадь которого равна S. Найдите площадь четырёхуголь ника, образованного прямыми AA1, BB1, CC1 и DD1.

§ 1. Медиана делит площадь пополам 4.1. Докажите, что медианы разбивают треугольник на шесть рав новеликих треугольников.

4.2. Дан треугольник ABC. Найдите все такие точки P, что площа ди треугольников ABP, BCP и ACP равны.

82 Глава 4. Площадь 4.3. Внутри данного треугольника ABC найдите такую точку O, что площади тре угольников BOL, COM и AON равны (точки L, M и N лежат на сторонах AB, BC и CA, причём OL BC, OM AC и ON AB;

рис. 4.1).

4.4. На продолжениях сторон треугольни ка ABC взяты точки A1, B1 и так, # – # – # – # – # – # C – что AB1 = 2AB, BC1 = 2BC и CA1 = 2AC. Най дите площадь треугольника A1B1C1, если из вестно, что площадь треугольника ABC рав на S.

Рис. 4. 4.5. На продолжениях сторон DA, AB, BC, CD выпуклого четырёхугольника ABCD взя # – # – # – # – # – # – ты, #точки A1– B1, C1, D1 так, что DA1 = 2DA, AB1 = 2AB, BC1 = 2BC – # и CD1 = 2CD. Найдите площадь получившегося четырёхугольни ка A1B1C1D1, если известно, что площадь четырёхугольника ABCD равна S.

4.6*. Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Диагонали AD, BE и CF являются диаметрами этой окружности. Докажите, что площадь шестиугольника ABCDEF равна удвоенной площади треуголь ника ACE.

4.7*. Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD существует такая точка O, что площади треугольников OAB, OBC, OCD и ODA равны.

Докажите, что одна из диагоналей четырёхугольника делит другую пополам.

§ 2. Вычисление площадей 4.8. Высота трапеции, диагонали которой взаимно перпендикуляр ны, равна 4. Найдите площадь трапеции, если известно, что длина одной из её диагоналей равна 5.

4.9. Каждая диагональ выпуклого пятиугольника ABCDE отсекает от него треугольник единичной площади. Вычислите площадь пяти угольника ABCDE.

4.10. В прямоугольник ABCD вписаны два различных прямоугольника, имеющих общую вершину K на стороне AB. Докажи те, что сумма их площадей равна площади прямоугольника ABCD.

4.11*. В треугольнике ABC точка E — Рис. 4. середина стороны BC, точка D лежит на стороне AC, AC = 1, BAC = 60, ABC = = 100, ACB = 20 и DEC = 80 (рис. 4.2). Чему равна сумма площади треугольника ABC и удвоенной площади треугольника CDE?

Условия задач 4.12*. В треугольник Ta = A1A2A3 вписан треугольник Tb = B1B2B3, а в треугольник Tb вписан треугольник Tc = C1C2C3, причём сто роны треугольников Ta и Tc параллельны. Вы разите площадь треугольника Tb через площа ди треугольников Ta и Tc.

4.13*. На сторонах треугольника ABC взя ты точки A1, B1 и C1, делящие его сторо ны в отношениях BA1 : A1C = p, CB1 : B1A = q и AC1 : C1B = r. Точки пересечения отрезков AA1, BB1 и CC1 расположены так, как показа Рис. 4. но на рис. 4.3. Найдите отношение площадей треугольников PQR и ABC.

§ 3. Площади треугольников, на которые разбит четырёхугольник 4.14. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O.

Докажите, что SAOB = SCOD тогда и только тогда, когда BC AD.

4.15. а) Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересека ются в точке P. Известны площади треугольников ABP, BCP, CDP.

Найдите площадь треугольника ADP.

б) Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре тре угольника, площади которых выражаются целыми числами. Докажи те, что произведение этих чисел представляет собой точный квадрат.

4.16*. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, причём S2 + S2 = S2 + S2. Докажите, что P — середина одной ABP CDP BCP ADP из диагоналей.

4.17*. В выпуклом четырёхугольнике ABCD существуют три внут ренние точки P1, P2, P3, не лежащие на одной прямой и обладающие тем свойством, что сумма площадей треугольников ABPi и CDPi равна сумме площадей треугольников BCPi и ADPi для i = 1, 2, 3. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

§ 4. Площади частей, на которые разбит четырёхугольник 4.18. Пусть K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD;

отрезки KM и LN пересекаются в точке O. Докажите, что SAKON + SCLOM = SBKOL + SDNOM.

4.19. Точки K, L, M и N лежат на сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD, причём отрезки KM и LN параллельны сторо нам параллелограмма. Эти отрезки пересекаются в точке O. Докажите, что площади параллелограммов KBLO и MDNO равны тогда и только тогда, когда точка O лежит на диагонали AC.

84 Глава 4. Площадь 4.20. На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD взяты точки M и N так, что AM : MB = CN : ND. Отрезки AN и DM пересе каются в точке K, а отрезки BN и CM — в точке L. Докажите, что SKMLN = SADK + SBCL.

4.21. На стороне AB четырёхугольника ABCD взяты точки A1 и B1, а на стороне CD — точки C1 и D1, причём AA1 = BB1 = pAB и CC1 = = DD1 = pCD, где p < 0, 5. Докажите, что SA B1C1D1/SABCD = 1 - 2p.

4.22*. Каждая из сторон выпуклого четырёхугольника разделена на пять равных частей и соответствующие точки противоположных сторон соединены (рис. 4.4). Докажите, что пло щадь среднего (заштрихованного) четырёхуголь ника в 25 раз меньше площади исходного.

4.23*. На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырёхугольника с вер шинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника параллельна сто роне параллелограмма.

4.24*. Точки K и M — середины сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD, Рис. 4. точки L и N расположены на сторонах BC и AD так, что KLMN — прямоугольник. Докажите, что площадь четырёхугольника ABCD вдвое больше площади прямоуголь ника KLMN.

4.25*. Квадрат разделён на четыре части двумя перпендикулярны ми прямыми, точка пересечения которых лежит внутри его. Докажи те, что если площади трёх из этих частей равны, то равны и площади всех четырёх частей.

§ 5. Разные задачи 4.26. Даны параллелограмм ABCD и некоторая точка M. Докажите, что SACM = |SABM ± SADM|.

4.27. На сторонах AB и BC треугольника ABC внешним образом построены параллелограммы;

P — точка пересечения продолжений их сторон, параллельных AB и BC. На стороне AC построен параллело грамм, вторая сторона которого равна и параллельна BP. Докажите, что его площадь равна сумме площадей первых двух параллело граммов.

4.28*. Точка O, лежащая внутри правильного шестиугольника, соединена с вершинами. Возникшие при этом шесть треугольни ков раскрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих.

Условия задач 4.29*. Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырёхугольни ка ABCD пересекаются в точке O;

M и N — середины сторон AB и CD, P и Q — середины диагоналей AC и BD. Докажите, что:

а) SPMQN = |SABD - SACD|/2;

б) SOPQ = SABCD/4.

4.30*. На сторонах AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD взяты точки E и F. Пусть K, L, M и N — середины отрезков DE, BF, CE и AF. Докажите, что четырёхугольник KLMN выпуклый и его площадь не зависит от выбора точек E и F.

4.31*. Середины диагоналей AC, BD, CE,... выпуклого шестиуголь ника ABCDEF образуют выпуклый шестиугольник. Докажите, что его площадь в четыре раза меньше площади исходного шестиугольника.

4.32*. Диаметр PQ и перпендикулярная ему хорда RS пересекают ся в точке A. Точка C лежит на окружности, а точка B — внутри окружности, причём BC PQ и BC = RA. Из точек A и B опущены перпендикуляры AK и BL на прямую CQ. Докажите, что SACK = SBCL.

4.33*. Диагонали выпуклого четырёхуголь ника ABCD пересекаются в точке O;

P и Q — произвольные точки. Докажите, что SAOP SACP SABD = ·.

SBOQ SBDQ SABC * * * 4.34*. Через точку O, лежащую внут ри треугольника ABC, проведены отрез ки, параллельные сторонам. Отрезки AA1, BB1 и CC1 разбивают треугольник ABC на Рис. 4. четыре треугольника и три четырёхугольника (рис. 4.5). Докажите, что сумма площадей треугольников, прилегаю щих к вершинам A, B и C, равна площади четвёртого треугольника.

4.35*. На биссектрисе угла A треугольника ABC взята точка A так, что AA1 = p - a = (b + c - a)/2, и через точку A1 проведена прямая la, перпендикулярная биссектрисе. Если аналогично провести прямые lb и lc, то треугольник ABC разобьётся на части, среди ко торых четыре треугольника. Докажите, что площадь одного из этих треугольников равна сумме площадей трёх других.

См. также задачи 3.39—3.42, 13.55—13.59, 16.5, 24.7.

§ 6. Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части 4.36. Отрезок MN, параллельный стороне CD четырёхугольни ка ABCD, делит его площадь пополам (точки M и N лежат на сторонах BC и AD). Длины отрезков, проведённых из точек A и B 86 Глава 4. Площадь параллельно CD до пересечения с прямыми BC и AD, равны a и b.

Докажите, что MN2 = (ab + c2)/2, где c = CD.

4.37. Каждая из трёх прямых делит площадь фигуры пополам.

Докажите, что часть фигуры, заключённая внутри треугольника, об разованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/ площади всей фигуры.

4.38*. Прямая l делит площадь выпуклого многоугольника попо лам. Докажите, что эта прямая делит проекцию данного многоуголь ника на прямую, перпендикулярную l, в отношении, не превосходя щем 1 + 2.

4.39*. Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно раз резать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на четыре фигу ры равной площади.

4.40*. а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружно сти.

б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного мно гоугольника.

4.41*. Точки A и B окружности S1 соединены дугой окружности S2, делящей площадь круга, ограниченного S1, на равные части. Докажи те, что дуга S2, соединяющая A и B, по длине больше диаметра S1.

4.42*. Кривая Г делит квадрат на две части равной площади. Дока жите, что на ней можно выбрать две точки A и B так, что прямая AB проходит через центр O квадрата.

См. также задачи 2.73, 6.55, 6.56, 16.8, 18.33.

§ 7. Формулы для площади четырёхугольника 4.43. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P.

Расстояния от точек A, B и P до прямой CD равны a, b и p. Докажите, что площадь четырёхугольника ABCD равна ab · CD/2p.

4.44. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R, — угол между его диагоналями. Докажите, что площадь S четырёхуголь ника ABCD равна 2R2 sin A sin B sin.

4.45*. Докажите, что площадь четырёхугольника, диагонали кото рого не перпендикулярны, равна tg · |a2 + c2 - b2 - d2|/4, где a, b, c и d — длины последовательных сторон, — угол между диагоналями.

4.46*. а) Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольни ка ABCD вычисляется по формуле B + D S2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos2, где p — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон.

б) Докажите, что если четырёхугольник ABCD вписанный, то S2 = = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d).

Условия задач в) Докажите, что если четырёхугольник ABCD описанный, то S2 = = abcd sin2((B + D)/2).

См. также задачу 11.34.

§ 8. Вспомогательная площадь 4.47. Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой произволь но внутри правильного треугольника, до его сторон постоянна (и равна высоте треугольника).

4.48. Докажите, что длина биссектрисы AD треугольника ABC рав 2bc на cos.

b + c 4.49. Внутри треугольника ABC взята точка O;

прямые AO, BO и CO пересекают его стороны в точках A1, B1 и C1. Докажите, OA1 OB1 OC1 AC1 BA1 CB что: а) + + = 1;

б) · · = 1.

AA1 BB1 CC1 C1B A1C B1A 4.50. Даны (2n - 1)-угольник A1... A2n-1 и точка O. Прямые AkO и An+k-1An+k пересекаются в точке Bk. Докажите, что произведе ние отношений An+k-1Bk/An+kBk (k = 1,..., n) равно 1.

4.51. Дан выпуклый многоугольник A1A2... An. На стороне A1A взяты точки B1 и D2, на стороне A2A3 — точки B2 и D3 и т. д. таким образом, что если построить параллелограммы A1B1C1D1,..., AnBnCnDn, то прямые A1C1,..., AnCn пересекутся в одной точке O. Докажите, что A1B1 · A2B2 ·... · AnBn = A1D1 · A2D2 ·... · AnDn.

4.52. Длины сторон треугольника образуют арифметическую про грессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.

4.53. Расстояния от точки X стороны BC треугольника ABC до пря мых AB и AC равны db и dc. Докажите, что db/dc = BX · AC/(CX · AB).

4.54*. Многоугольник, описанный около окружности радиуса r, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.

4.55*. Через точку M, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые PR и QS, параллельные сторонам BC и AB (точки P, Q, R и S лежат на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно).

Докажите, что прямые BS, PD и MC пересекаются в одной точке.

4.56*. Докажите, что если никакие стороны четырёхугольника не параллельны, то середина отрезка, соединяющего точки пересечения противоположных сторон, лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей (прямая Гаусса).

4.57*. На сторонах BC и DC параллелограмма ABCD выбраны точ ки D1 и B1 так, что BD1 = DB1. Отрезки BB1 и DD1 пересекаются в точке Q. Докажите, что AQ — биссектриса угла BAD.

4.58*. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1 и на сторонах AB и AC взяты точки K и L так, что 88 Глава 4. Площадь AK = BC1 и AL = CB1. Докажите, что прямая AO, где O — центр описанной окружности треугольника ABC, делит отрезок KL пополам.

4.59*. Медианы AA1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точ ке M. Докажите, что если четырёхугольник A1BC1M описанный, то AB = BC.

4.60*. Внутри треугольника ABC взята точка O. Обозначим рассто яния от точки O до сторон BC, CA, AB треугольника через da, db, dc, а расстояния от точки O до вершин A, B, C через Ra, Rb, Rc. Докажи те, что:

а) aRa cdc + bdb;

б) daRa + dbRb + dcRc 2(dadb + dbdc + dcda);

в) Ra + Rb + Rc 2(da + db + dc) (Эрдёш—Морделл);

г) RaRbRc (R/2r)(da + db)(db + dc)(dc + da).

См. также задачи 1.60, 5.5, 5.34, 6.5, 6.31, 6.38, 6.40, 6.83, 9.26, 10.6, 10.52, 10.99, 11.21, 12.35, 22.49.

§ 9. Перегруппировка площадей 4.61. Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению длин наибольшей и наименьшей его диагоналей.

4.62. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что пло щадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади исходного треугольника.

Рис. 4. 4.63*. Стороны AB и CD параллелограмма ABCD площади 1 разби ты на n равных частей, AD и BC — на m равных частей.

а) Точки деления соединены так, как показано на рис. 4.6, а.

б) Точки деления соединены так, как показано на рис. 4.6, б.

Чему равны площади образовавшихся при этом маленьких парал лелограммов?

4.64*. а) Четыре вершины правильного двенадцатиугольника рас положены в серединах сторон квадрата (рис. 4.7). Докажите, что площадь заштрихованной части в 12 раз меньше площади двенадца тиугольника.

Условия задач б) Докажите, что площадь двенадцатиуголь ника, вписанного в окружность радиуса 1, рав на 3.

См. также задачи 2.77, 3.41, 4.35, 9.44.

Задачи для самостоятельного решения 4.65. Стороны вписанного четырёхугольни ка ABCD удовлетворяют соотношению AB · BC = = AD · DC. Докажите, что площади треугольни ков ABC и ADC равны.

Рис. 4. 4.66. Можно ли двумя прямолинейными раз резами, проходящими через две вершины треугольника, разрезать его на четыре части так, чтобы три треугольника (из числа этих частей) были равновеликими?

4.67. Докажите, что все выпуклые четырёхугольники, имеющие об щие середины сторон, равновелики.

4.68. Докажите, что если два треугольника, получающихся при продолжении сторон выпуклого четырёхугольника до их пересечения, равновелики, то одна из диагоналей делит другую пополам.

4.69. Площадь треугольника равна S, периметр равен P. Прямые, на которых расположены его стороны, отодвигаются (во внешнюю сторону) на расстояние h. Найдите площадь и периметр треугольника, образованного тремя полученными прямыми.

4.70. На стороне AB треугольника ABC взяты точки D и E так, что ACD = DCE = ECB =. Найдите отношение CD : CE, если из вестны длины сторон AC и BC и угол.

4.71. Пусть AA1, BB1 и CC1 — биссектрисы треугольника ABC. До кажите, что SA B1C1/SABC = 2abc/((a + b) · (b + c) · (c + a)).

4.72. Точки M и N являются серединами боковых сторон AB и CD трапеции ABCD. Докажите, что если удвоенная площадь трапеции равна AN · NB + CM · MD, то AB = CD = BC + AD.

4.73. Если четырёхугольник с попарно различными длинами сторон вписан в окружность радиуса R, то существует ещё два не равных ему четырёхугольника с такими же длинами сторон, вписанных в ту же окружность. Эти четырёхугольники имеют не более трёх различных длин диагоналей: d1, d2 и d3. Докажите, что площадь четырёхуголь ника равна d1d2d3/4R.

4.74. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки C1, A1 и B1;

точки C2, A2 и B2 симметричны этим точкам относительно середин соответствующих сторон. Докажите, что SA B1C1 = SA B2C2.

1 4.75. Внутри треугольника ABC взята точка P. Прямые, прохо дящие через точку P и вершины треугольника, пересекают стороны 90 Глава 4. Площадь в точках A1, B1 и C1. Докажите, что площадь треугольника, образо ванного серединами отрезков AA1, BB1 и CC1, равна четверти площади треугольника A1B1C1.

Решения 4.1. Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC. Прямая BM разрезает каждый из треугольников ABC и AMC на два равновеликих тре угольника, поэтому SABM = SBCM. Анало гично SBCM = SCAM.

4.2. Из равенства площадей треугольни ков ABP и BCP следует, что расстояния от точек A и C до прямой BP равны. Поэтому прямая BP либо проходит через середину отрезка AC, либо параллельна ему. Иско мые точки изображены на рис. 4.8.

4.3. Обозначим точку пересечения пря мой LO со стороной AC через L1.

Так как SLOB = SMOC и MOC = L1OC, то SLOB = SL1OC. Высоты треугольников Рис. 4. LOB и L1OC равны, поэтому LO = L1O, т. е. точка O лежит на медиане, прове дённой из вершины A. Аналогично доказывается, что точка O лежит на медианах, проведённых из вершин B и C, т. е. O — точка пересечения медиан треугольника. Эти рассуждения показывают также, что точка пересечения медиан треугольника обладает требуемым свойством.

4.4. Так как SA1BB1 = SA1AB = SABC, то SAA1B1 = 2S. Аналогично SBB1C1 = = SCC1A1 = 2S. Поэтому SABC = 7S.

4.5. Поскольку AB = BB1, то SBB1C = SBAC. А так как BC = CC1, то SB1C1C = SBB1C = SBAC и SBB1C1 = 2SBAC. Аналогично SDD1A1 = 2SACD, поэтому SBB1C1 + SDD1A1 = 2SABC + 2SACD = 2SABCD. Аналогично SAA1B1 + SCC1D1 = 2SABCD, поэтому SA1B1C1D1 = SABCD + SAA1B1 + SBB1C1 + SCC1D1 + SDD1A1 = 5SABCD.

4.6. Пусть O — центр описанной окружности. Так как AD, BE и CF — диа метры, то SABO = SDEO = SAEO, SBCO = SEFO = SCEO, SCDO = SAFO = SACO. Ясно также, что SABCDEF = 2(SABO + SBCO + SCDO) и SACE = SAEO + SCEO + SACO. Сле довательно, SABCDEF = 2SACE.

4.7. Пусть E и F — середины диагоналей AC и BD. Так как SAOB = SAOD, точка O лежит на прямой AF. Аналогично точка O лежит на прямой CF.

Предположим, что точка пересечения диагоналей не является серединой ни одной из них. Тогда прямые AF и CF имеют единственную общую точку F, поэтому O = F. Аналогично доказывается, что O = E. Получено противоречие.

4.8. Пусть диагональ AC трапеции ABCD с основанием AD равна 5. Достро им треугольник ACB до параллелограмма ACBE. Площадь трапеции ABCD равна площади прямоугольного треугольника DBE. Пусть BH — высота тре угольника DBE. Тогда EH2 = BE2 - BH2 = 52 - 42 = 32 и ED = BE2/EH = 25/3.

Поэтому SDBE = ED · BH/2 = 50/3.

4.9. Так как SABE = SABC, то EC AB. Остальные диагонали тоже парал лельны соответствующим сторонам. Пусть P — точка пересечения BD и EC.

Решения задач Если SBPC = x, то SABCDE = SABE + SEPB + SEDC + SBPC = 3 + x (SEPB = SABE = 1, так как ABPE — параллелограмм). Так как SBPC : SDPC = BP : DP = SEPB : SEPD, то x : (1 - x) = 1 : x, а значит, x = ( 5 - 1)/2 и SABCDE = ( 5 + 5)/2.

4.10. Центры всех трёх прямоугольников совпадают (см. задачу 1.7), поэтому два меньших прямоугольника имеют общую диагональ KL. Пусть M и N — вершины этих прямоугольников, лежащие на стороне BC. Точки M и N лежат на окружности с диаметром KL. Пусть O — центр этой окруж ности. O1 — проекция точки O на BC. Тогда BO1 = CO1 и MO1 = NO1, а зна чит, BM = NC. Чтобы доказать, что SKLM + SKLN = SKBCL, достаточно прове рить, что (SKBM + SLCM) + (SKBN + SLCN) = SKBCL = BC(KB + CL)/2 = BC · AB/2.

Остаётся заметить, что KB · BM + KB · BN = KB · BC, LC · CM + LC · CN = LC · BC и KB · BC + LC · BC = AB · BC.

4.11. Опустим из точки C перпендикуляр l на прямую AB. Пусть точки A, B и E симметричны точкам A, B и E относительно прямой l. То гда треугольник AA C равносторонний, причём ACB = BCB = B CA = 20.

Треугольники EE C и DEC равнобедренные с углом при вершине 20, причём боковая сторона EC у них общая. Следовательно, SABC + 2SEDC = SABC + 2SEE C.

Так как E — середина BC, то 2SEE C = SBE C = SBB C/2. Поэтому SABC + 2SEDC = = SAA C/2 = 3/8.

4.12. Пусть площади треугольников Ta, Tb и Tc равны a, b и c. Треуголь ники Ta и Tc гомотетичны, поэтому прямые, соединяющие их соответственные вершины, пересекаются в одной точке O. Коэффициент k подобия этих тре угольников равен a/c. Ясно, что SA1B3O : SC1B3O = A1O : C1O = k. Записывая аналогичные равенства и складывая их, получаем a : b = k, а значит, b = ac.

4.13. Воспользовавшись результатом задачи 1.3 а), легко проверить, что BQ p + pq B1R qr CR q + qr CP pr =, =, =, =.

BB1 1 + p + pq BB1 1 + q + qr CC1 1 + q + qr CC1 1 + r + pr Ясно также, что SRB1C SPQR QR PR B1C B1R = · и = ·.

SRB1C RB1 RC SABC AC BB Поэтому SPQR QR PR B1C QR PR CC1 B1C = · · = · · ·.

SABC BB1 RC AC BB1 CC1 CR AC Учитывая, что QR p + pq qr 1 rq (1 + q)(1 - pqr) = 1 - - = - = BB1 1 + p + pq 1 + q + rq 1 + p + pq 1 + q + rq (1 + p + pq)(1 + q + qr) и PR (1 + r)(1 - pqr) =, CC1 (1 + q + qr)(1 + r + pr) получаем SPQR (1 - pqr) =.

SABC (1 + p + pq)(1 + q + qr)(1 + r + pr) 4.14. Если SAOB = SCOD, то AO · BO = CO · DO. Поэтому AOD COB и AD BC. Эти рассуждения обратимы.

4.15. а) Так как SADP : SABP = DP : BP = SCDP : SBCP, то SADP = SABP · SCDP/SBCP.

92 Глава 4. Площадь б) Согласно задаче а) SADP · SCBP = SABP · SCDP. Поэтому SABP · SCBP · SCDP · SADP = (SADP · SCBP)2.

4.16. После сокращения на sin2 /4, где — угол между диагоналями, данное равенство площадей перепишется в виде (AP · BP)2 + (CP · DP)2 = = (BP · CP)2 + (AP · DP)2, т. е. (AP2 - CP2)(BP2 - DP2) = 0.

4.17. Предположим, что четырёхугольник ABCD не параллелограмм;

например, прямые AB и CD пересекаются. Согласно задаче 7.2 мно жеством точек P, лежащих внутри четырёхугольника ABCD, для кото рых SABP + SCDP = SBCP + SADP = SABCD/2, является отрезок. Следовательно, точки P1, P2 и P3 лежат на одной прямой. Получено противоречие.

4.18. Ясно, что SAKON = SAKO + SANO = (SAOB + SAOD)/2. Аналогично SCLOM = = (SBCO + SCOD)/2. Поэтому SAKON + SCLOM = SABCD/2.

4.19. Если площади параллелограммов KBLO и MDNO равны, то OK · OL = = OM · ON. Учитывая, что ON = KA и OM = LC, получаем KO : KA = LC : LO.

Следовательно, KOA LCO, а значит, точка O лежит на диагонали AC.

Эти рассуждения обратимы.

4.20. Пусть h1, h и h2 — расстояния от точек A, M и B до пря мой CD. Согласно задаче 1.1 б) h = ph2 + (1 - p)h1, где p = AM/AB. Поэтому SDMC = h · DC/2 = (h2p · DC + h1(1 - p) · DC)/2 = SBCN + SADN. Вычитая из обеих частей этого равенства SDKN + SCLN, получаем требуемое.

4.21. Согласно задаче 4.20 SABD1 + SCDB1 = SABCD. Поэтому SA1B1C1D1 = = SA1B1D1 + SC1D1B1 = (1 - 2p)SABD1 + (1 - 2p)SCDB1 = (1 - 2p)SABCD.

4.22. Согласно задаче 4.21 площадь среднего из четырёхугольников, задан ных отрезками, соединяющими точки сторон AB и CD, в пять раз меньше площади исходного четырёхугольника. А так как каждый из рассматрива емых отрезков делится отрезками, соединяющими соответствующие точки другой пары противоположных сторон, на пять равных частей (см. зада чу 1.16), то, воспользовавшись ещё раз результатом задачи 4.21, получим требуемое.

4.23. На сторонах AB, BC, CD и AD взяты точки K, L, M и N соот ветственно. Предположим, что диагональ KM не параллельна стороне AD.

Фиксируем точки K, M, N и будем двигать точку L по стороне BC. При этом площадь треугольника KLM изменяется строго монотонно. Кроме того, если LN AB, то выполняется равенство SAKN + SBKL + SCLM + SDMN = SABCD/2, т. е. SKLMN = SABCD/2.

4.24. Пусть L1 и N1 — середины сторон BC и AD соответственно. То гда KL1MN1 — параллелограмм и его площадь равна половине площади четы рёхугольника ABCD (см. задачу 1.38 а). Поэтому достаточно доказать, что пло щади параллелограммов KLMN и KL1MN1 равны. Если эти параллелограммы совпадают, то доказывать больше ничего не нужно, а если они не совпадают, то, так как середина отрезка KM является их центром симметрии, LL1 NN и BC AD. В этом случае средняя линия KM трапеции ABCD параллель на основаниям BC и AD, и поэтому высоты треугольников KLM и KL1M, опущенные на сторону KM, равны, т. е. равны площади параллелограммов KLMN и KL1MN1.

4.25. Пусть данные прямые l1 и l2 делят квадрат на четыре части, площади которых равны S1, S2, S3 и S4, причём для первой прямой площади частей, на которые она делит квадрат, равны S1 + S2 и S3 + S4 а для второй они Решения задач равны S2 + S3 и S1 + S4. Так как по условию S1 = S2 = S3, то S1 + S2 = S2 + S3.

Это означает, что образ прямой l1 при повороте относительно центра квадрата на +90 или -90 не просто параллелен прямой l2, а совпадает с ней.

Остаётся доказать, что прямая l1 (а значит, и прямая l2) проходит через центр квадрата. Предположим, что это не верно. Рассмотрим образы прямых l1 и l2 при поворотах на ±90 и обозначим площади частей, на которые они делят квадрат, так, как показано на рис. 4.9 (на этом рисунке изображены Рис. 4. оба различных варианта расположения прямых). Прямые l1 и l2 делят квадрат на четыре части, площади которых равны a, a + b, a + 2b + c и a + b, причём числа a, b и c ненулевые. Ясно, что три из указанных четырёх чисел не могут быть равны. Получено противоречие.

4.26. Все три рассматриваемых треугольника имеют общее основание AM.

Пусть hc и hd — расстояния от точек B, C и D до прямой AM. Так # –hb,# – # – как AC = AB + AD, то hc = |hb ± hd|.

4.27. Можно считать, что P — общая точка параллелограммов, построенных на сторонах AB и BC, т. е. эти параллелограммы имеют вид ABPQ и CBPR.

Ясно, что SACRQ = SABPQ + SCBPR.

4.28. Пусть сторона данного шестиугольника равна a. Продолжения крас ных сторон шестиугольника образуют правильный треугольник со сторо ной 3a, причём сумма площадей красных треугольников равна половине произведения a на сумму расстояний от точки O до сторон этого треуголь ника, поэтому она равна a2 · 3 3/4 (см. задачу 4.47). Сумма площадей синих треугольников вычисляется аналогично.

4.29. а) Площадь параллелограмма PMQN равна BC · AD sin /4, где — угол между прямыми AD и BC. Высоты треугольников ABD и ACD, опу щенные из вершин B и C, равны OB sin и OC sin, поэтому |SABD - SACD| = = |OB - OC| · AD sin /2 = BC · AD sin /2.

б) Пусть для определённости пересекаются лучи AD и BC. Так как PN AO и QN CO, точка N лежит внутри треугольника OPQ. Поэтому SOPQ = SPQN + SPMQN SACD SBCD SABD - SACD + SACD + SBCD SABCD + SPON + SQON = + + = =.

2 4 4 4 4.30. Отрезки KM и LN являются средними линиями треугольников CED и AFB, поэтому они имеют общую точку — середину отрезка EF. Кроме того, KM = CD/2, LN = AB/2 и угол между прямыми KM и LN равен углу между прямыми AB и CD. Поэтому площадь четырёхугольника KLMN рав на AB · CD sin /8.

94 Глава 4. Площадь 4.31. Обозначим середины диагоналей ше стиугольника ABCDEF так, как показано на рис. 4.10. Докажем, что площадь четырёх угольника A1B1C1D1 в четыре раза меньше площади четырёхугольника ABCD. Воспользу емся для этого тем, что площадь четырёх угольника равна половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними. Так как A1C1 и B1D1 — средние линии треуголь ников BDF и ACE, получаем требуемое. Ана логично доказывается, что площадь четырёх угольника D1E1F1A1 в четыре раза меньше площади четырёхугольника DEFA.

4.32. Пусть = PQC. Так как PC AK, то CK = AP cos. Поэтому 2SACK = CK · AK = Рис. 4. = (AP cos ) · (AQ sin ) = AR2 sin cos = = BC2 sin cos = BL · CL = 2SBCL.

SCBD CO 4.33. Ясно, что =. Прибавив к обеим частям этого равенства 1, SABD AO получим SABCD AC SACP = =. (1) SABD AO SAOP Аналогично доказывается, что SABCD BD SBDQ = =. (2) SABC BO SBOQ Поделив равенство (2) на (1), получаем требуемое.

4.34. Пусть Sa, Sb и Sc — площади треугольников, прилегающих к вер шинам A, B и C;

S — площадь четвёртого рассматриваемого треугольни ка. Ясно, что SACC1 + SBAA1 + SCBB1 = SABC - S + Sa + Sb + Sc. Кроме того, SABC = SAOC + SAOB + SBOC = SACC1 + SBAA1 + SCBB1.

4.35. Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC, B1 — точ ка касания вписанной окружности со стороной AC. Вырежем из треугольни ка ABC треугольник AOB1 и отразим его симметрично относительно биссек трисы угла OAB1. При этом прямая OB1 перейдёт в прямую la. Проделаем такую операцию для остальных треугольников. Общие части полученных при этом треугольников являются тремя треугольниками рассматриваемого раз биения, а непокрытая часть треугольника ABC — четвёртым треугольником.

Ясно также, что площадь непокрытой части равна сумме площадей частей, покрытых дважды.

4.36. Пусть для определённости лучи AD и BC пересекаются в точ ке O. Тогда SCDO : SMNO = c2 : x2, где x = MN, и SABO : SMNO = ab : x2, так как OA : ON = a : x и OB : OM = b : x. Следовательно, x2 - c2 = ab - x2, т. е. 2x2 = ab + c2.

4.37. Обозначим площади частей фигуры, на которые её делят пря мые, так, как показано на рис. 4.11. Площадь всей фигуры обозначим через S. Так как S3 + (S2 + S7) = S/2 = S1 + S6 + (S2 + S7), то S3 = S1 + S6.

Складывая это равенство с равенством S/2 = S1 + S2 + S3 + S4, получа ем S/2 = 2S1 + S2 + S4 + S6 2S1, т. е. S1 S/4.

Решения задач Рис. 4.11 Рис. 4. 4.38. Обозначим проекцию прямой l через B, крайние точки проекции многоугольника — через A и C. Пусть C1 — точка многоугольника, проеци рующаяся в точку C;

прямая l пересекает многоугольник в точках K и L, а K1 и L1 — точки прямых C1K и C1L, проецирующиеся в точку A (рис. 4.12).

Одна из частей, на которые прямая l делит многоугольник, содержит ся в трапеции K1KLL1, другая часть содержит треугольник C1KL. По этому SK1KLL1 SC1KL, т. е. AB · (KL + K1L1) BC · KL. Так как K1L1 = = KL · (AB + BC)/BC, то AB · (2 + AB/BC) BC. Решая это квадратное неравен ство, получаем BC/AB 1 + 2. Аналогично AB/BC 1 + 2 (нужно провести те же рассуждения, поменяв местами A и C).

4.39. Обозначим площадь многоугольника через S. Пусть l — произвольная прямая. Введём систему координат, для которой прямая l является осью Ox.

Пусть S(a) — площадь той части многоугольни ка, которая лежит ниже прямой y = a. При изме нении a от - до + S(a) непрерывно меняется от 0 до S, поэтому S(a) = S/2 для некоторого a, т. е. прямая y = a делит площадь многоугольника пополам. Аналогично существует прямая, перпен дикулярная l и делящая площадь многоугольника пополам. Эти две прямые разбивают многоуголь ник на части, площади которых равны S1, S2, S3 и S4 (рис. 4.13). Так как S1 + S2 = S3 + S и S1 + S4 = S2 + S3, то S1 = S3 = A и S2 = S4 = B.

При повороте прямой l на 90 A заменится на B, а B — на A. Так как A и B изменяются при поворо те l непрерывно, то для некоторого положения пря- Рис. 4. мой A=B, т. е. площади всех четырёх фигур равны.

4.40. а) Пусть прямая, делящая пополам площадь и периметр треуголь ника ABC, пересекает стороны AC и BC в точках P и Q соответствен но. Обозначим центр вписанной окружности треугольника ABC через O, 96 Глава 4. Площадь радиус вписанной окружности через r. Тогда SABQOP = r(AP + AB + BQ)/ и SOQCP = r(QC + CP)/2. Так как прямая PQ делит периметр пополам, то AP + AB + BQ = QC + CP, поэтому SABQOP = SOQCP. Кроме того, SABQP = SQCP по условию. Поэтому SOQP = 0, т. е. прямая QP проходит через точку O.

б) Доказательство проводится аналогично.

4.41. Рассматривая образ окружности S2 при симметрии относительно цен тра окружности S1 и учитывая равенство площадей, можно доказать, что диаметр AA1 окружности S1 пересекает S2 в некоторой точке K, отличной от A, причём AK > A1K. Окружность радиуса KA1 с центром K касается окружности S1 в точке A1, поэтому BK > A1K, т. е. BK + KA > A1A. Ясно так же, что сумма длин отрезков BK и KA меньше длины дуги S2, соединяющей точки A и B.

4.42. Случай, когда точка O принадлежит Г, очевиден;

поэтому будем пред полагать, что O не принадлежит Г. Пусть Г — образ кривой Г при симметрии относительно точки O. Если кривые Г и Г не пересекаются, то части, на которые Г делит квадрат, не могут быть равной площади. Пусть X — точка пересечения Г и Г, а точка X симметрична X относительно точки O. Так как при симметрии относительно точки O кривая Г переходит в Г, то X принадлежит Г. Поэтому прямая XX искомая.

4.43. Пусть площади треугольников APB, BPC, CPD и DPA равны S1, S2, S3 и S4. Тогда a/p = (S3 + S4)/S3 и b · CD/2 = S3 + S2, а значит, ab · CD/2p = = (S3 + S4)(S3 + S2)/S3. Учитывая, что S2S4 = S1S3, получаем требуемое.

4.44. Применяя теорему синусов к треугольникам ABC и ABD, получаем AC = 2R sin B и BD = 2R sin A. Поэтому S = AC · BD sin = 2R2 sin A sin B sin.

4.45. Так как площадь четырёхугольника равна (d1d2 sin )/2, где d1 и d2 — длины диагоналей, то остаётся проверить, что 2d1d2 cos = = |a2 + c2 - b2 - d2|. Пусть O — точка пересечения диагоналей четырёхуголь ника ABCD, = AOB. Тогда AB2 = AO2 + BO2 - 2AO · BO cos и BC2 = = BO2 + CO2 + 2BO · CO cos. Поэтому AB2 - BC2 = AO2 - CO2 - 2BO · AC cos.

Аналогично CD2 - AD2 = CO2 - AO2 - 2DO · AC cos. Складывая эти равенства, получаем требуемое.

З а м е ч а н и е. Так как 16S2 = 4d2d2 sin2 =4d2d2 -(2d1d2 cos )2, то 16S2 = 1 2 1 = 4d2d2 - (a2 + c2 - b2 - d2)2.

1 4.46. а) Пусть AB = a, BC = b, CD = c и AD = d. Ясно, что S = SABC + SADC = = (ab sin B + cd sin D)/2 и a2 + b2 - 2ab cos B = AC2 = c2 + d2 - 2cd cos D. Поэтому 16S2 = 4a2b2 - 4a2b2 cos2 B + 8abcd sin B sin D + 4c2d2 - 4c2d2 cos2 D, (a2 + b2 - c2 - d2)2 + 8abcd cos B cos D = 4a2b2 · cos2 B + 4c2d2 cos2 D.

Подставляя второе равенство в первое, получаем 16S2 = 4(ab + cd)2 - (a2 + b2 - c2 - d2)2 - 8abcd(1 + cos B cos D - sin B sin D).

Ясно, что 4(ab + cd)2 - (a2 + b2 - c2 - d2)2 = 16(p - a)(p - b)(p - c)(p - d) и 1 + cos B cos D - sin B sin D = 2 cos2((B + D)/2).

б) Если ABCD — вписанный четырёхугольник, то B + D = 180, а зна чит, cos2((B + D)/2) = 0.

Решения задач в) Если ABCD — описанный четырёхугольник, то a + c = b + d, поэто му p = a + c = b + d и p - a = c, p - b = d, p - c = a, p - d = b. Следовательно, S2 = abcd(1 - cos2((B + D)/2)) = abcd sin2((B + D)/2).

Если четырёхугольник ABCD вписанный и описанный одновременно, то S2 = abcd.

4.47. Из точки O, лежащей внутри правильного треугольника ABC, опу стим перпендикуляры OA1, OB1 и OC1 на стороны BC, AC и AB соответствен но. Пусть a — длина стороны треугольника ABC, h — длина высоты. Ясно, что SABC = SBCO + SACO + SABO. Следовательно, ah = a · OA1 + a · OB1 + a · OC1, т. е. h = OA1 + OB1 + OC1.

4.48. Пусть AD = l. Тогда 2SABD = cl sin( /2), 2SACD = bl sin( /2) и 2SABC = =bc sin. Следовательно, cl sin( /2)+bl sin( /2)=bc sin =2bc sin( /2) cos( /2).

4.49. а) Пусть расстояния от точек A и O до прямой BC равны h и h1. То гда SOBC :SABC =h1 :h=OA1 :AA1. Аналогично SOAC :SABC =OB1 :BB1 и SOAB :SABC = =OC1 :CC1. Складывая эти равенства и учитывая, что SOBC + SOAC + SOAB = SABC, получаем требуемое.

б) Пусть расстояния от точек B и C до прямой AA1 равны db и dc.

Тогда SABO : SACO = db : dc = BA1 : A1C. Аналогично SACO : SBCO = AC1 : C1B и SBCO : SABO = CB1 : B1A. Остаётся перемножить эти равенства.

4.50. Легко проверить, что отношение длин отрезков An+k-1Bk и An+kBk равно отношению площадей треугольников An+k-1OAk и AkOAn+k. Перемножая эти равенства, получаем требуемое.

4.51. Так как AiBiCiDi — параллелограмм и точка O лежит на продол жении его диагонали AiCi, то SAiBiO = SAiDiO, а значит, AiBi : AiDi = hi : hi-1, где hi — расстояние от точки O до стороны AiAi+1. Остаётся перемножить эти равенства для i = 1,..., n.

4.52. Пусть длины сторон треугольника ABC равны a, b и c, причём a b c. Тогда 2b = a + c и 2SABC = r(a + b + c) = 3rb, где r — радиус вписанной окружности. С другой стороны, 2SABC = hbb. Поэтому r = hb/3.

4.53. Достаточно заметить, что db · AB = 2SAXB = BX · AX sin, где = AXB и dc · AC = 2SAXC = CX · AX sin.

4.54. Пусть r1,..., rn — радиусы вписанных окружностей полученных тре угольников, P1,..., Pn — их периметры, a S1,..., Sn — площади. Площадь и периметр исходного многоугольника обозначим через S и P соответственно.

Заметим, что Pi < P (см. задачу 9.29 б). Поэтому S1 Sn S1 Sn S r1 +... + rn = 2 +... + 2 > 2 +... + 2 = 2 = r.

P1 Pn P P P 4.55. Через точку N пересечения прямых BS и CM проведём прямые Q1S и P1R1, параллельные прямым QS и PR (точки P1, Q1, R1 и S1 ле жат на сторонах AB, BC, CD и DA). Пусть F и G — точки пересечения прямых PR и Q1S1, P1R1 и QS. Так как точка M лежит на диагона ли NC параллелограмма NQ1CR1, то SFQ1QM = SMRR1G (задача 4.19), а значит, SNQ1QG = SNFRR1. Точка N лежит на диагонали BS параллелограмма ABQS, поэтому SAP1NS1 = SNQ1QG = SNFRR1. Следовательно, точка N лежит на диаго нали PD параллелограмма APRD.

4.56. Пусть E и F — точки пересечения продолжений сторон данного че тырёхугольника. Обозначим вершины четырёхугольника так, что E — точка пересечения продолжений сторон AB и CD за точки B и C, F — точка 98 Глава 4. Площадь пересечения лучей BC и AD. Достроим треугольники AEF и ABD до паралле лограммов AERF и ABLD.

При гомотетии с центром A и коэффициентом 2 середина диагонали BD, середина диагонали AC и середина отрезка EF переходят в точки L, C и R соответственно. Поэтому достаточно доказать, что точки L, C и R лежат на одной прямой. Именно этот факт был доказан в задаче 4.55.

4.57. Ясно, что SBQD = SBD1D - SBQD1 = d1 · D1B, где d1 — расстояние от точки Q до прямой AD. Аналогично SBQD = d2 · DB1, где d2 — расстояние от точки Q до прямой AB. Поэтому из равенства BD1 = DB1 следует, что d1 = d2.

4.58. Достаточно проверить, что SAKO = SALO, т. е. AO · AL sin OAL = = AO · AK sin OAK. Ясно, что AL = CB1 = BC cos C, sin OAL = cos B, AK = BC1 = = BC cos B и sin OAK = cos C.

4.59. Так как четырёхугольник A1BC1M описанный, то, во-первых, сум a mc c ma мы длин его противоположных сторон равны: + = +, а во-вто 2 3 2 рых, его вписанная окружность является одновременно вписанной окруж ностью треугольников AA1B и CC1B, имеющих к тому же равные площа a c ди, поэтому периметры этих треугольников равны: c + ma + = a + mc +.

2 Умножая первое равенство на 3 и складывая его со вторым, получаем требуемое.

4.60. Докажем сначала одно общее утверждение, которым мы воспользу емся при решении задач а)—г). Возьмём на лучах AB и AC произвольные точки B1 и C1 и опустим из них перпендикуляры B1K и C1L на прямую AO.

Так как B1C1 B1K + C1L, то B1C1 · Ra B1K · Ra + C1L · Ra = 2SAOB1 + 2SAOC1 = = AB1 · dc + AC1 · db.

а) Полагая B1 = B и C1 = C, получаем требуемое.

б) Домножая обе части неравенства aRa cdc + bdb на da/a, получа ем daRa (c/a)dadc + (b/a)dadb. Складывая это неравенство с аналогичны x y ми неравенствами для dbRb и dcRc и учитывая, что + 2, получаем y x требуемое.

в) Возьмём точки B1 и C1 так, что AB1 = AC и AC1 = AB. Тогда aRa bdc + + cdb, т. е. Ra (b/a)dc + (c/a)db. Складывая это неравенство с аналогичными x y неравенствами для Rb и Rc и учитывая, что + 2, получаем тре y x буемое.

г) Возьмём точки B1 и C1 так, что AB1 = AC1 = 1. Тогда B1C1 = 2 sin(A/2), а значит, 2 sin(A/2)Ra dc + db. Умножая это неравенство на аналогичные неравенства для Rb и Rc и учитывая, что sin(A/2) sin(B/2) sin(C/2) = r/4R (задача 12.38 а), получаем требуемое.

4.61. Отрежем от правильного восьмиугольника треугольники и переставим их так, как показано на рис. 4.14. В результате получим прямоугольник, стороны которого равны наибольшей и наименьшей диагоналям восьмиуголь ника.

4.62. Пусть A1, B1 и C1 — середины сторон BC, CA и AB треуголь ника ABC. Проведённые отрезки являются высотами треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C. Пусть P, Q и R — точки пересечения высот этих треуголь ников, а O — точка пересечения высот треугольника A1B1C1 (рис. 4.15).

Решения задач Рис. 4.14 Рис. 4. Рассматриваемый шестиугольник состоит из треугольника A1B1C1 и треуголь ников B1C1P, C1A1Q и A1B1R. Ясно, что B1C1P = C1B1O, C1A1Q = A1C1O и A1B1R = B1A1O. Поэтому площадь рассматриваемого шестиугольни ка равна удвоенной площади треугольника A1B1C1. Остаётся заметить, что SABC = 4SA1B1C1.

4.63. а) Отрежем от параллелограмма две части (рис. 4.16, а) и переставим их так, как показано на рис. 4.16, б. Получится фигура, состоящая из mn + маленьких параллелограммов. Поэтому площадь маленького параллелограмма равна 1/(mn + 1).

Рис. 4. б) Отрежем от параллелограмма три части (рис. 4.17, а) и переставим их так, как показано на рис. 4.17, б. Получится фигура, состоящая из mn - маленьких параллелограммов. Поэтому площадь маленького параллелограмма равна 1/(mn - 1).

Рис. 4. 100 Глава 4. Площадь 4.64. а) Разрежем исходный квадрат на четыре квадрата и рассмотрим один из них (рис. 4.18).

Пусть точка B симметрична точке B относитель но прямой PQ. Докажем, что APB = OB P.

Треугольник OPC равносторонний, значит, тре угольник APB равнобедренный, причём угол при его основании равен 15, поэтому треуголь ник BPQ равносторонний. Следовательно, OPB = = OPQ - B PQ = 75 - 60 = 15 и POB = = POQ/2 = 15. Кроме того, AB = OP. Аналогично доказывается, что BQC = OB Q. Следовательно, площадь заштрихованной на рис. 4.7 части равна Рис. 4. площади треугольника OPQ.

б) Пусть площадь правильного двенадцатиуголь ника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 12x. Согласно задаче а) площадь квадрата, описанного около этой окружности, равна 12x + 4x = 16x;

с другой стороны, площадь этого квадрата равна 4, поэтому x = 1/4 и 12x = 3.

ГЛАВА ТРЕУГОЛЬНИКИ Основные сведения 1. Вписанной окружностью треугольника называют окружность, касаю щуюся всех его сторон. Центром вписанной окружности является точка пере сечения биссектрис.

Вневписанной окружностью треугольника ABC называют окружность, ка сающуюся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сто рон. Для каждого треугольника имеется ровно три вневписанные окружности.

Центром вневписанной окружности, касающейся стороны AB, является точка пересечения биссектрисы угла C и биссектрис внешних углов A и B.

Описанной окружностью треугольника называют окружность, проходя щую через его вершины. Центром описанной окружности треугольника яв ляется точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

2. Для элементов треугольника ABC часто используются следующие обо значения:

a, b и c — длины сторон BC, CA и AB;

, и — величины углов при вершинах A, B, C;

p — полупериметр;

R — радиус описанной окружности;

r — радиус вписанной окружности;

ra, rb и rc — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон BC, CA и AB соответственно;

ha, hb и hc — длины высот, опущенных из вершин A, B и C.

3. Если AD — биссектриса угла A треугольника ABC (или биссектриса внешнего угла A), то BD : CD = AB : AC (см. задачу 1.17).

4. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямо го угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 5.19).

5. Для доказательства того, что точки пересечения некоторых прямых ле жат на одной прямой, часто используется теорема Менелая (задача 5.69).

Для доказательства того, что некоторые прямые пересекаются в одной точке, часто используется теорема Чевы (см. задачу 5.85).

Вводные задачи 1. а) Докажите, что если в треугольнике медиана совпадает с вы сотой, то этот треугольник равнобедренный.

б) Докажите, что если в треугольнике биссектриса совпадает с вы сотой, то этот треугольник равнобедренный.

102 Глава 5. Треугольники 2. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

3. На высоте AH треугольника ABC взята точка M. Докажите, что AB2 - AC2 = MB2 - MC2.

4. На сторонах AB, BC, CA правильного треугольника ABC взяты точки P, Q, R так, что AP : PB = BQ : QC = CR : RA = 2 : 1. Докажите, что стороны треугольника PQR перпендикулярны сторонам треуголь ника ABC.

§ 1. Вписанная и описанная окружности 5.1. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1, причём AC1 = AB1, BA1 = BC1 и CA1 = CB1. Докажите, что A1, B1 и C1 — точки касания вписанной окружности со сторо нами.

5.2. Пусть Oa, Ob и Oc — центры вневписанных окружностей тре угольника ABC. Докажите, что точки A, B и C — основания высот треугольника OaObOc.

5.3. Докажите, что сторона BC треугольника ABC видна из цен тра O вписанной окружности под углом 90 + A/2, а из центра Oa вневписанной окружности под углом 90 - A/2.

5.4. Внутри треугольника ABC взята точка P так, что PAB:PAC= = PCA : PCB = PBC : PBA = x. Докажите, что x = 1.

5.5*. Пусть A1, B1 и C1 — проекции некоторой внутренней точки O треугольника ABC на высоты. Докажите, что если длины отрезков AA1, BB1 и CC1 равны, то они равны 2r.

5.6*. Угол величиной = BAC вращается вокруг своей вер шины O — середины основания AC равнобедренного треугольни ка ABC. Стороны этого угла пересекают отрезки AB и BC в точках P и Q. Докажите, что периметр треугольника PBQ остаётся посто янным.

5.7*. В неравнобедренном треугольнике ABC через середину M сто роны BC и центр O вписанной окружности проведена прямая MO, пересекающая высоту AH в точке E. Докажите, что AE = r.

5.8*. Окружность касается сторон угла с вершиной A в точках P и Q. Расстояния от точек P, Q и A до некоторой касательной к этой окружности равны u, v и w. Докажите, что uv/w2 = sin2(A/2).

5.9*. а) На стороне AB треугольника ABC взята точка P. Пусть r, r1 и r2 — радиусы вписанных окружностей треугольников ABC, BCP и ACP;

h — высота, опущенная из вершины C. Докажите, что r = r1 + r2 - 2r1r2/h.

б) Точки A1, A2, A3,... лежат на одной прямой (в указанном по рядке). Докажите, что если радиусы вписанных окружностей всех треугольников BAiAi+1 равны одному и тому же числу r1, то радиусы Условия задач вписанных окружностей всех треугольников BAiAi+k равны одному и тому же числу rk.

* * * 5.10. Докажите, что точки, симметричные точке H пересечения высот треугольника ABC относительно его сторон, лежат на описанной окружности.

5.11*. Из точки P дуги BC описанной окружности треугольни ка ABC опущены перпендикуляры PX, PY и PZ на BC, CA и AB BC AC AB соответственно. Докажите, что = +.

PX PY PZ * * * 5.12*. Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, I — центр вписанной окружности, Ia — центр вневписанной окружно сти, касающейся стороны BC. Докажите, что:

а) d2 = R2 - 2Rr, где d = OI (Эйлер);

б) d2 = R2 + 2Rra, где da = OIa.

a 5.13*. Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, I — центр вписанной окружности. Докажите, что OI BI (или же O совпадает с I) тогда и только тогда, когда b = (a + c)/2.

5.14*. Продолжения биссектрис углов треугольника ABC пересека ют описанную окружность в точках A1, B1 и C1;

M — точка пересече MA · MC MA1 · MC ния биссектрис. Докажите, что: a) = 2r;

б) = R.

MB1 MB 5.15*. Длины сторон треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию, причём a < b < c. Биссектриса угла B пересекает опи санную окружность в точке B1. Докажите, что центр O вписанной окружности делит отрезок BB1 пополам.

5.16*. В треугольнике ABC сторона BC наименьшая. На лучах BA и CA отложены отрезки BD и CE, равные BC. Докажите, что ради ус описанной окружности треугольника ADE равен расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

* * * 5.17*. Медианы треугольника ABC разрезают его на 6 треугольни ков. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольни ков лежат на одной окружности.

§ 2. Прямоугольные треугольники 5.18. В треугольнике ABC угол C прямой. Докажите, что r = = (a + b - c)/2 и rc = (a + b + c)/2.

5.19. Пусть M — середина стороны AB треугольника ABC. Докажи те, что CM = AB/2 тогда и только тогда, когда ACB = 90.

104 Глава 5. Треугольники 5.20. Дана трапеция ABCD с основанием AD. Биссектрисы внешних углов при вершинах A и B пересекаются в точке P, а при вершинах C и D — в точке Q. Докажите, что длина отрезка PQ равна половине периметра трапеции.

5.21. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC прове дена биссектриса CD. Прямая, проходящая через точку D перпенди кулярно DC, пересекает AC в точке E. Докажите, что EC = 2AD.

5.22. На медиане BM и на биссектрисе BK треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки D и E так, что DK AB и EM BC.

Докажите, что ED BK.

5.23. Сумма углов при основании трапеции равна 90. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.

5.24. Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Точка M лежит на прямой AB, причём AMO = MAD.

Докажите, что точка M равноудалена от точек C и D.

5.25. В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CK из вершины прямого угла C, а в треугольнике ACK — биссектриса CE.

Докажите, что CB = BE.

5.26. В треугольнике ABC с прямым углом C проведены высота CD и биссектриса CF;

DK и DL — биссектрисы треугольников BDC и ADC.

Докажите, что CLFK — квадрат.

5.27*. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC внеш ним образом построен квадрат ABPQ. Пусть = ACQ, = QCP и = PCB. Докажите, что cos = cos cos.

См. также задачи 1.40, 1.43, 1.50 а), 2.5, 2.41, 2.68, 2.69, 3.39, 5.18—5.27, 5.35, 5.43, 5.46, 5.75, 5.157, 6.82, 11.14.

§ 3. Правильный треугольник 5.28. Из точки M, лежащей внутри правильного треугольника ABC, опущены перпендикуляры MP, MQ и MR на стороны AB, BC и CA соответственно. Докажите, что AP2 + BQ2 + CR2 = PB2 + QC2 + RA и AP + BQ + CR = PB + QC + RA.

5.29. Точки D и E делят стороны AC и AB правильного треуголь ника ABC в отношениях AD : DC = BE : EA = 1 : 2. Прямые BD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что AOC = 90.

* * * 5.30. Окружность делит каждую из сторон треугольника на три равные части. Докажите, что этот треугольник правильный.

5.31. Докажите, что если точка пересечения высот остроугольного треугольника делит высоты в одном и том же отношении, то треуголь ник правильный.

Условия задач 5.32. а) Докажите, что если a + ha = b + hb = c + hc, то треуголь ник ABC правильный.

б) В треугольник ABC вписаны три квадрата: у одного две вершины лежат на стороне AC, у другого — на BC, у третьего — на AB. Докажи те, что если все три квадрата равны, то треугольник ABC правильный.

5.33. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся его сторон в точках A1, B1, C1. Докажите, что если треугольники ABC и A1B1C1 подобны, то треугольник ABC правильный.

5.34. Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, длины высот — целые числа. Докажите, что треугольник правильный.

См. также задачи 1.29, 1.45, 1.46, 1.50 б), 1.59, 2.14, 2.16, 2.19, 2.38, 2.47, 2.57, 4.47, 5.64, 5.65, 6.48, 6.61, 6.82, 7.16 б), 7.18, 7.23, 7.39, 7.47, 10.3, 10.80, 11.3, 11.5, 14.21 а), 16.7, 18.10—18.16, 18.18—18.21, 18.23—18.25, 18.42, 18.43, 24.1, 29.34, 29.42, 29.46, 29.47, 31.44, 31.70.

§ 4. Треугольник с углом 60 или 5.35. В треугольнике ABC с углом A, равным 120, проведены биссектрисы AA1, BB1 и CC1. Докажите, что треугольник A1B1C прямоугольный.

5.36. В треугольнике ABC с углом A, равным 120, биссектрисы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке O. Докажите, что A1C1O = 30.

5.37. В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB1 и CC1. До кажите, что если описанные окружности треугольников ABB1 и ACC пересекаются в точке, лежащей на стороне BC, то A = 60.

5.38. а) Докажите, что если угол A треугольника ABC равен 120, то центр описанной окружности и ортоцентр симметричны относитель но биссектрисы внешнего угла A.

б) В треугольнике ABC угол A равен 60;

O — центр описан ной окружности, H — ортоцентр, I — центр вписанной окружности, а Ia — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. До кажите, что IO = IH и IaO = IaH.

5.39. В треугольнике ABC угол A равен 120. Докажите, что из отрезков длиной a, b, b + c можно составить треугольник.

5.40*. В остроугольном треугольнике ABC с углом A, равным 60, высоты пересекаются в точке H.

а) Пусть M и N — точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам BH и CH со сторонами AB и AC соответственно. Докажите, что точки M, N и H лежат на одной прямой.

б) Докажите, что на той же прямой лежит центр O описанной окружности.

5.41*. В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB1 и CC1. До кажите, что если CC1B1 = 30, то либо A = 60, либо B = 120.

См. также задачи 2.34, 2.35, 12.55.

106 Глава 5. Треугольники § 5. Целочисленные треугольники 5.42. Длины сторон треугольника — последовательные целые числа.

Найдите эти числа, если известно, что одна из медиан перпендикуляр на одной из биссектрис.

5.43. Длины всех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, причём наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Докажите, что его катеты равны 2mn и m2 - n2, а гипотенуза равна m2 + n2, где m и n — натуральные числа.

Прямоугольный треугольник, длины сторон которого — целые числа, назы вают пифагоровым.

5.44*. Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а дли ны его сторон — целые числа. Докажите, что эти числа равны 3, 4, 5.

5.45*. Приведите пример вписанного четырёхугольника с попар но различными целочисленными длинами сторон, у которого длины диагоналей, площадь и радиус описанной окружности — целые числа (Брахмагупта).

5.46*. а) Укажите два прямоугольных треугольника, из которых можно сложить треугольник, длины сторон и площадь которого — це лые числа.

б) Докажите, что если площадь треугольника — целое число, а дли ны сторон — последовательные натуральные числа, то этот треугольник можно сложить из двух прямоугольных треугольников с целочислен ными сторонами.

5.47*. а) В треугольнике ABC, длины сторон которого рациональ ные числа, проведена высота BB1. Докажите, что длины отрезков AB1 и CB1 — рациональные числа.

б) Длины сторон и диагоналей выпуклого четырёхугольника — ра циональные числа. Докажите, что диагонали разрезают его на четыре треугольника, длины сторон которых — рациональные числа.

См. также задачу 26.7.

§ 6. Разные задачи 5.48. Треугольники ABC и A1B1C1 таковы, что их соответственные углы равны или составляют в сумме 180. Докажите, что в действи тельности все соответственные углы равны.

5.49. Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и по строены точки A1, B1 и C1, симметричные O относительно середин сторон BC, CA и AB. Докажите, что ABC = A1B1C1 и прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

5.50. Через точку O пересечения биссектрис треугольника ABC проведены прямые, параллельные его сторонам. Прямая, параллель ная AB, пересекает AC и BC в точках M и N, а прямые, па раллельные AC и BC, пересекают AB в точках P и Q. Докажите, Условия задач что MN = AM + BN и периметр треугольника OPQ равен длине от резка AB.

5.51. а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

б) Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, R — ра диус описанной окружности. Докажите, что AH2 + BC2 = 4R2 и AH = = BC|ctg |.

5.52. Пусть x = sin 18. Докажите, что 4x2 + 2x = 1.

5.53. В треугольнике ABC сторона AB больше стороны BC. Пусть A1 и B1 — середины сторон BC и AC, а B2 и C2 — точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB. Докажите, что отрезки A1B1 и B2C2 пересекаются в точке X, лежащей на биссектрисе угла B.

5.54. Докажите, что проекции вершины A треугольника ABC на биссектрисы внешних и внутренних углов при вершинах B и C лежат на одной прямой.

5.55*. Докажите, что если в треугольнике две биссектрисы равны, то он равнобедренный.

5.56*. а) В треугольниках ABC и A B C равны стороны AC и A C, углы при вершинах B и B и биссектрисы углов B и B. Дока жите, что эти треугольники равны (точнее говоря, ABC = A B C или ABC = C B A ).

б) Через точку D биссектрисы BB1 угла ABC проведены прямые AA1 и CC1 (точки A1 и C1 лежат на сторонах треугольника). Докажи те, что если AA1 = CC1, то AB = BC.

5.57*. Докажите, что прямая делит периметр и площадь треуголь ника в равных отношениях тогда и только тогда, когда она проходит через центр вписанной окружности.

5.58*. Точка E — середина той дуги AB описанной окружности тре угольника ABC, на которой лежит точка C;

C1 — середина стороны AB.

Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:

а) прямая C1F делит пополам периметр треугольника ABC;

б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треуголь ника, пересекаются в одной точке.

5.59*. На сторонах AB и BC остроугольного треугольника ABC внешним образом построены квадраты ABC1D1 и A2BCD2. Докажите, что точка пересечения прямых AD2 и CD1 лежит на высоте BH.

5.60*. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены квадраты с центрами A1, B1 и C1. Пусть a1, b1 и c1 — длины сторон треугольника A1B1C1, S и S1 — площади треугольников ABC и A1B1C1.

Докажите, что:

а) a2 + b2 + c2 = a2 + b2 + c2 + 6S;

1 1 б) S1 - S = (a2 + b2 + c2)/8.

5.61*. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки C1, A1 и B1 так, что (CC1, AB) = = (AA1, BC) = (BB1, CA) =. Прямые AA1 и BB1, BB1 и CC1, 108 Глава 5. Треугольники CC1 и AA1 пересекаются в точках C, A, B соответственно. Докажите, что:

а) точка пересечения высот треугольника ABC совпадает с центром описанной окружности треугольника A B C ;

б) A B C ABC, причём коэффициент подобия равен 2 cos.

5.62*. В каждый из углов треугольника ABC вписано по окружно сти. Из одной вершины окружности, вписанные в два других угла, видны под равными углами. Из другой — тоже. Докажите, что тогда и из третьей вершины две окружности видны под равными углами.

5.63*. На сторонах треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C так, что AB1 : B1C = cn : an, BC1 : C1A = an : bn и CA1 : A1B = bn : cn (a, b и c — длины сторон треугольника). Описанная окружность тре угольника A1B1C1 высекает на сторонах треугольника ABC отрезки длиной ±x, ±y и ±z (знаки выбираются в соответствии с ориентацией x y z треугольника). Докажите, что + + = 0.

an-1 bn-1 cn- 5.64*. В треугольнике ABC проведены триссектрисы (лучи, деля щие углы на три равные части). Ближайшие к стороне BC триссектри сы углов B и C пересекаются в точке A1;

аналогично определим точки B1 и C1 (рис. 5.1). Докажите, что треугольник A1B1C1 равносторонний (теорема Морли).

Рис. 5. 5.65*. На сторонах правильного треугольника ABC как на осно ваниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники A1BC, AB1C и ABC1 с углами, и при основаниях, при чём + + = 60. Прямые BC1 и B1C пересекаются в точке A2, AC1 и A1C — в точке B2, AB1 и A1B — в точке C2. Докажите, что углы треугольника A2B2C2 равны 3, 3 и 3.

5.66*. Окружность радиуса ua вписана в угол A треугольника ABC, окружность радиуса ub вписана в угол B;

эти окружности касаются Условия задач друг друга внешним образом. Докажите, радиус описанной окруж что ности треугольника со сторонами a1 = ua ctg( /2), b1 = ub ctg( /2) и c1 = c равен p/2, где p — полупериметр треугольника ABC.

5.67*. Окружность S1 вписана в угол A треугольника ABC;

окруж ность S2 вписана в угол B и касается S1 (внешним образом);

окруж ность S3 вписана в угол C и касается S2;

окружность S4 вписана в угол A и касается S3 и т. д. Докажите, что окружность S7 совпадает с S1.

5.68*. Окружность S1 вписана в угол A треугольника ABC. Из вершины C к ней проведена касательная (отличная от CA), и в об разовавшийся треугольник с вершиной B вписана окружность S2. Из вершины A к S2 проведена касательная, и в образовавшийся тре угольник с вершиной C вписана окружность S3 и т. д. Докажите, что окружность S7 совпадает с S1.

§ 7. Теорема Менелая # – # – AB Пусть AB и CD — коллинеарные векторы. Обозначим через величи CD AB # – # – ну ±, где знак плюс берётся в том случае, когда векторы AB и CD CD # – # – сонаправлены, а знак минус — в случае, когда векторы AB и CD направ лены в разные стороны. Эту величину будем называть ориентированным отношением отрезков AB и CD.

5.69*. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A1, B1 и C1 соответственно. Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда BA1 CB1 AC · · = 1 (теорема Менелая).

CA1 AB1 BC 5.70*. а) В треугольнике ABC проведены биссектрисы внешних уг лов AA1, BB1 и CC1 (точки A1, B1 и C1 лежат на прямых BC, CA и AB). Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой.

б) В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и BB1 и бис сектриса внешнего угла CC1. Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой.

5.71*. Касательные к описанной окружности неравнобедренного тре угольника ABC в точках A, B и C пересекают продолжения сторон в точках A1, B1 и C1. Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой.

5.72*. Решите задачу 5.105 а) с помощью теоремы Менелая.

5.73*. Окружность S касается окружностей S1 и S2 в точках A и A2. Докажите, что прямая A1A2 проходит через точку пересечения 110 Глава 5. Треугольники общих внешних или общих внутренних касательных к окружностям S1 и S2.

5.74*. а) Серединный перпендикуляр к биссектрисе AD треугольни ка ABC пересекает прямую BC в точке E. Докажите, что BE : CE = = c2 : b2.

б) Докажите, что точки пересечения серединных перпендикуляров к биссектрисам треугольников и продолжений соответствующих сторон лежат на одной прямой.

5.75*. Из вершины C прямого угла треугольника ABC опущена высота CK, и в треугольнике ACK проведена биссектриса CE. Прямая, проходящая через точку B параллельно CE, пересекает CK в точке F.

Докажите, что прямая EF делит отрезок AC пополам.

5.76*. На прямых BC, CA и AB взяты точки A1, B1 и C1, причём точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой. Прямые, симметричные прямым AA1, BB1 и CC1 относительно соответствующих биссектрис треугольника ABC, пересекают прямые BC, CA и AB в точках A2, B2 и C2. Докажите, что точки A2, B2 и C2 лежат на одной прямой.

5.77*. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A1, B1 и C1, лежащие на одной прямой.

Докажите, что AB C1A1 A1B CB · · · = 1.

BC1 B1A1 BC B1A * * * 5.78*. Прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке O. До кажите, что точки пересечения прямых AB и A1B1, BC и B1C1, AC и A1C1 лежат на одной прямой (Дезарг).

5.79*. На одной прямой взяты точки A1, B1 и C1, а на другой — точ ки A2, B2 и C2. Прямые A1B2 и A2B1, B1C2 и B2C1, C1A2 и C2A пересекаются в точках C, A и B соответственно. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой (Папп).

5.80*. На сторонах AB, BC и CD четырёхугольника ABCD (или на их продолжениях) взяты точки K, L и M. Прямые KL и AC пересекаются в точке P, LM и BD — в точке Q. Докажите, что точка пересечения прямых KQ и MP лежит на прямой AD.

5.81*. Продолжения сторон AB и CD четырёхугольника ABCD пе ресекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD — в точке Q.

Через точку P проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках E и F. Докажите, что точки пересечения диагоналей четы рёхугольников ABCD, ABEF и CDFE лежат на прямой, проходящей через точку Q.

5.82*. а) Через точки P и Q проведены тройки прямых. Обозначим их точки пересечения так, как показано на рис. 5.2. Докажите, что прямые KL, AC и MN пересекаются в одной точке (или параллельны).

Условия задач б) Докажите, далее, что если точка O лежит на прямой BD, то точка пересече ния прямых KL, AC и MN лежит на пря мой PQ.

5.83*. На прямых BC, CA и AB взяты точки A1, B1 и C1. Пусть P1 — произволь ная точка прямой BC, P2 — точка пересе чения прямых P1B1 и AB, P3 — точка пе ресечения прямых P2A1 и CA, P4 — точка пересечения P3C1 и BC и т. д. Докажите, что точки P7 и P1 совпадают.

5.84*. Диагонали AD, BE и CF шести угольника ABCDEF пересекаются в одной Рис. 5. точке. Пусть A — точка пересечения пря мых AC и FB, B — точка пересечения BD и AC, C — точка пересече ния CE и BD, и т. д. Докажите, что точки пересечения прямых A B и D E, B C и E F, C D и F A лежат на одной прямой.

См. также задачи 6.106, 14.43.

§ 8. Теорема Чевы 5.85*. Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точ ки C1, A1 и B1, причём k из них лежат на сторонах треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть BA1 CB1 AC R = · ·.

CA1 AB1 BC Докажите, что:

а) точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k чётно (Менелай);

б) прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или парал лельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечётно (Чева).

5.86*. Вписанная (или вневписанная) окружность треугольника ABC касается прямых BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Точку пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания вписанной окружности, называют точкой Жергонна.

5.87*. Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вневписанных окружностей со сторонами, пересе каются в одной точке (точка Нагеля).

5.88*. Докажите, что высоты остроугольного треугольника пересе каются в одной точке.

5.89*. Прямые AP, BP и CP пересекают стороны треугольника ABC (или их продолжения) в точках A1, B1 и C1. Докажите, что:

а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB парал лельно прямым AP, BP и CP, пересекаются в одной точке;

112 Глава 5. Треугольники б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с середи нами отрезков AA1, BB1 и CC1, пересекаются в одной точке.

5.90*. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Прямые A1B1 и A1C1 пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно стороне BC, в точках C2 и B2 соответственно.

Докажите, что AB2 = AC2.

5.91*. а) Пусть, и — произвольные углы, причём сумма любых двух из них меньше 180. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники A1BC, AB1C и ABC1, име ющие при вершинах A, B и C углы, и. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, постро енных на сторонах треугольника ABC внутренним образом.

5.92*. Стороны BC, CA и AB треугольника ABC касаются окруж ности с центром O в точках A1, B1 и C1. На лучах OA1, OB1 и OC отложены равные отрезки OA2, OB2 и OC2. Докажите, что прямые AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке.

5.93*. Прямые AP, BP и CP пересекают прямые BC, CA и AB в точ ках A1, B1 и C1 соответственно. Точки A2, B2 и C2 выбраны на прямых BC, CA и AB так, что BA2 : A2C = A1C : BA1, CB2 : B2A = B1A : CB и AC2 : C2B = C1B : AC1. Докажите, что прямые AA2, BB2 и CC2 тоже пересекаются в одной точке Q (или параллельны).

Такие точки P и Q называют изотомически сопряжёнными относительно треугольника ABC.

5.94*. На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC взяты точки A1, B1, C1. Докажите, что AC1 BA1 CB1 sin ACC1 sin BAA1 sin CBB · · = · ·.

C1B A1C B1A sin C1CB sin A1AC sin B1BA 5.95*. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1, причём прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке P. Докажите, что прямые AA2, BB2 и CC2, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, тоже пересекают ся в одной точке Q.

Такие точки P и Q называют изогонально сопряжёнными относительно треугольника ABC.

5.96*. Докажите, что при изогональном сопряжении окружность, проходящая через вершины B и C и отличная от описанной окружно сти, переходит в окружность, проходящую через вершины B и C.

5.97*. Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках B и C пересекаются в точке P. Точка Q симметрична точ ке A относительно середины отрезка BC. Докажите, что точки P и Q изогонально сопряжены.

Условия задач 5.98*. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника по парно параллельны. Докажите, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

5.99*. Из некоторой точки P опущены перпендикуляры PA1 и PA на сторону BC треугольника ABC и на высоту AA3. Аналогично определяются точки B1, B2 и C1, C2. Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и C1C2 пересекаются в одной точке или параллельны.

5.100*. Через точки A и D, лежащие на окружности, проведены касательные, пересекающиеся в точке S. На дуге AD взяты точки B и C. Прямые AC и BD пересекаются в точке P, AB и CD — в точ ке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через точку S.

5.101*. Вписанная окружность треугольника ABC касается его сто рон в точках A1, B1 и C1. Внутри треугольника ABC взята точка X.

Прямая AX пересекает дугу B1C1 вписанной окружности в точке A2;

точки B2 и C2 определяются аналогично. Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и C1C2 пересекаются в одной точке.

5.102*. Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пе ресекает описанную окружность в точке A1. В сегмент, отсекаемый стороной BC, вписана окружность, касающаяся дуги BC в точке A1, а стороны BC — в точке A2. Точки B2 и C2 определяются аналогично.

Докажите, что прямые AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке.

5.103*. а) На сторонах BC, CA и AB равнобедренного треугольни ка ABC с основанием AB взяты точки A1, B1 и C1 так, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Докажите, что AC1 sin ABB1 sin CAA =.

C1B sin BAA1 sin CBB б) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взя ты точки M и N так, что CAM = ABN и CBM = BAN. Докажите, что точки C, M и N лежат на одной прямой.

5.104*. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1, BB и CC1. Биссектрисы AA1 и CC1 пересекают отрезки C1B1 и B1A в точках M и N. Докажите, что MBB1 = NBB1.

См. также задачи 4.49 б), 10.59, 14.7, 14.43.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.